Calon guru belajar matematika dasar SMP lewat soal dan pembahasan Bilangan Berpangkat (Eksponen) pada matematika SMP. Apa yang diharapkan setelah mempelajari materi ini, yaitu siswa dapat mengembangkan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat melalui ide-ide kreatif mereka, sehingga dapat menyelesaian masalah yang berkaitan dengan bilangan berpangkat.
Soal matematika dasar bilangan berpangkat (eksponen) untuk SMP ini kita pilih dari soal-soal yang sudah pernah diujikan pada soal Ujian Sekolah matematika SMP, soal Ujian Nasional matematika SMP, atau soal ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Favorit.
Dengan sendirinya catatan pembahasan soal bilangan berpangkat ini dapat menjadi bahan latihan untuk persiapan dalam menghadapi Ujian Sekolah matematika SMP atau ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Favorit.
Bilangan berpangkat ini mempunyai hubungan yang erat dengan bentuk akar, yaitu $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$, sehingga pada catatan bilangan berpangkat ini ada saatnya kita gunakan sifat-sifat dari bentuk akar. Untuk mempelajari tentang bentuk akar silahkan di simak pada catatan bentuk akar matematika SMP.
DEFINISI BILANGAN BERPANGKAT (EKSPONEN)
Bilangan Berpangkat adalah operasi matematika yang menggunakan eksponen atau pangkat untuk menunjukkan hasil perkalian berulang dari suatu bilangan.
Dalam penulisan bilangan berpangkat, bilangan yang dipangkatkan disebut basis (bilangan pokok), sedangkan bilangan yang ada di atas bilangan pokok disebut eksponen (pangkat).
$a^{n}= \underset{perkalian\ sebanyak\ n}{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a \times a}}$
$n:$ Bilangan pangkat (eksponen), dimana $n$ adalah bilangan bulat positif
$a:$ Bilangan Pokok (basis)
- Contoh:
- $3^{2} =3 \times 3$
- $5^{4} =5 \times 5 \times 5 \times 5$
- $b^{5}=b \times b \times b \times b \times b$
- $\pi^{4}=\pi \times \pi \times \pi \times \pi$
- $\left( \dfrac{2}{3} \right)^{3}=\left( \dfrac{2}{3} \right) \times \left( \dfrac{2}{3} \right) \times \left( \dfrac{2}{3} \right) $
- $\left(-15 \right)^{5} =\left(-15 \right) \times \left(-15 \right) \times \left(-15 \right) \times \left(-15 \right) \times \left(-15 \right)$
- $- 15 ^{5} =- 15 \times 15 \times 15 \times 15 \times 15 $
Dari definisi di atas, dapat kita tuliskan salah satu fungsi dari bilangan berpangkat atau eksponen ini adalah cara yang paling sederhana untuk penulisan perkalian berulang atau cara alternatif penulisan bilangan yang sangat besar.
Misalnya kecepatan cahaya dapat merambat melalui ruang hampa udara dengan kecepatan sekitar $299.792.458$ meter per detik. Artinya, setiap detik cahaya merambat, jarak yang ditempuh mencapai $299.792.458$ meter. Jika kecepatan cahaya ini kita tulis dalam pembulatan maka kecepatan cahaya adalah sekitar $300.000.000$ meter per detik atau $3 \times 10^{8}$ meter per detik.
Dari definisi bilangan berpangkat di atas, diperoleh beberapa sifat-sifat bilangan berpangkat yaitu:
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ dengan $a \neq 0$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
- $a^{m} \cdot b^{m}=(a \cdot b)^{m}$
- $\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left( \dfrac{a}{b} \right )^{m} $ dengan $b \neq 0$
- $\dfrac{1}{a^{m}}={a}^{-m}$ dengan $a \neq 0$
- $\dfrac{1}{a^{-m}}={a}^{m}$ dengan $a \neq 0$
- $a^{0}=1$ dengan $a \neq 0$
Untuk bentuk pangkat khusus, yaitu $0^{0} =\ \text{tidak tentu}$, tetapi ada juga beberapa buku yang menuliskan $0^{0}=\ \text{tidak terdefinisi}$. - Jika $𝑎$ adalah bilangan real serta $𝑚$ dan $𝑛$ adalah bilangan bulat positif yang relatif prima $\left( FPB (𝒎, 𝒏) =1 \right)$,
maka $a^{\frac{m}{n}}=\left( a^{m} \right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
- Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$
Pada catatan ini, sifat-sifat bilangan berpangkat di atas sudah kita gunakan secara bersamaan, untuk catatan bilangan berpangkat yang membahas sifat bilangan berpangkat secara khusus, silahkan di simak pada catatan berikut:
- Definisi Bilangan Berpangkat
- Perkalian Bilangan Berpangkat
- Pembagian Bilangan Berpangkat, Pangkat Nol dan Pangkat Negatif.
Soal dan Pembahasan Bilangan Berpangkat (Eksponen) Matematika SMP
Soal-soal Bilangan Berpangkat berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 32 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Simulasi UNBK SMP 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $(-4)^{3} + (-4)^{2} +(-4)^{1} + (-4)^{0}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& (-4)^{3} + (-4)^{2} +(-4)^{1} + (-4)^{0} \\
& =-64 + 16 + (-4) + 1 \\
& =-51
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -51$
2. Soal UNBK SMP 2018 |*Soal Lengkap
Hasil dari penjumlahan bilangan $(-2)^{3} + (-2)^{2} +(-2)^{1} + (-2)^{0}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& (-2)^{3} + (-2)^{2} +(-2)^{1} + (-2)^{0} \\
& =-8 + 4 + (-2) + 1 \\
& =-5
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(C)\ -5$
3. Soal Simulasi UNBK SMP 2018 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\left ( 243^{\frac{1}{3}} \right )^{\frac{3}{5}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung bilangan bepangkat pada soal bisa kita gunakan sifat bilangan berpangkat yaitu $(a^{m})^{n}=a^{m \times n}$
$ \begin{align}
\left ( 243^{\frac{1}{3}} \right )^{\frac{3}{5}} & =243^{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}} \\
& =243^{\frac{1 \times 3}{3 \times 5}} \\
& =243^\frac{3}{15} \\
& =(3^{5})^\frac{3}{15} \\
& =3^{5 \times \frac{3}{15}} \\
& =3^{\frac{15}{15}} \\
& =3^{1}=3 \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
4. Soal UN Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Hasil dari $2^{-1} + 3^{-1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 2^{-1} + 3^{-1} \\
& =\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \\
& = \dfrac{2+3}{6} = \dfrac{5}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(A)\ \dfrac{5}{6}$
5. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap
Hasil dari $81^{\frac{3}{4}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 81^{\frac{3}{4}} \\
& = \left( 3^{4} \right)^{\frac{3}{4}} \\
& = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} \\
& = 3^{3} = 27
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(B)\ 27$
6. Soal UN Matematika SMP 2016 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\left( 27^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \left( 27^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}} \\
& = 27^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} \\
& = 27^{\frac{1}{3}} \\
& = \left( 3^{3} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}}=3
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(C)\ 3$
7. Soal UN Matematika SMP 2015 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ 81^{\frac{1}{4}} \times 4^{\frac{3}{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 81^{\frac{1}{4}} \times 4^{\frac{3}{2}} \\
& = \left( 3^{4} \right)^{\frac{1}{4}} \times \left( 2^{2} \right)^{\frac{3}{2}} \\
& = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} \times 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} \\
& = 3 \times 2^{3} \\
& = 3 \times 8 = 24
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(D)\ 24$
8. Soal UN Matematika SMP 2013 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ 2^{-3}+ 4^{-3}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 2^{-3}+ 4^{-3} \\
& = \dfrac{1}{2^{3}} + \dfrac{1}{4^{3}} \\
& = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{64} \\
& = \dfrac{8}{64} + \dfrac{1}{64} \\
& = \dfrac{9}{64}
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(B)\ \dfrac{9}{64}$
9. Soal UN Matematika SMP 2012 |*Soal Lengkap
Hasil dari $36^{\frac{3}{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 36^{\frac{3}{2}} \\
& = \left( 6^{2} \right)^{\frac{3}{2}} \\
& = 6^{2 \cdot \frac{3}{2}} \\
& = 6^{3} = 216
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(D)\ 216$
10. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $x^{4}-y^{4}=15$, $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif. Maka nilai $x^{4}+y^{4}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat eksponen dan manipulasi aljabar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{4}-y^{4} & = 15 \\
\left(x^{2}+y^{2} \right)\left(x^{2}-y^{2} \right) & = 15 \\
\left(x^{2}+y^{2} \right)\left( x+y \right)\left( x-y \right) & = 15 \\
\left(x^{2}+y^{2} \right) \left( x+y \right)\left( x-y \right) & = \left( 5 \right) \left( 3 \right)\left( 1 \right)
\end{align}$
Diketahui bahwa $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif sehingga kita peroleh bahwa $ \left(x^{2}+y^{2} \right) \gt \left( x + y \right)$ dan $\left( x + y \right) \gt \left( x-y \right)$ sehingga dari bentuk di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x+y & = 3 \\
x-y & = 1\ \ \ (+) \\
\hline
2x & = 4 \\
x & = \dfrac{4}{2}=2 \\
y & = 1
\end{align}$
Nilai $x^{4}+y^{4}=2^{4}+1^{4}=17$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 17$
11. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2022 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\dfrac{(2018-2017)^{2}+(2018+2017)^{2}}{2017^{2}+2018^{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat eksponen dan manipulasi aljabar, jika kita misalkan $x=2018$ dan $y=2017$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{(2018-2017)^{2}+(2018+2017)^{2}}{2017^{2}+2018^{2}} \\
& = \dfrac{x^{2}+y^{2}-2xy+x^{2}+y^{2}+2xy}{x^{2}+y^{2}} \\
& = \dfrac{x^{2}+y^{2}-2xy+x^{2}+y^{2}+2xy}{x^{2}+y^{2}} \\
& = \dfrac{2x^{2}+2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \\
& = \dfrac{2 \left( x^{2}+ y^{2} \right)}{x^{2}+y^{2}} \\
& = \dfrac{2 }{1} =2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
12. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n}=120$. Nilai $3n$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n} &= 120 \\
3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n} &= 3+117 \\
3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n} &= 3+9+118 \\
3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n} &= 3+9+27+91 \\
3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n} &= 3+3^{2}+3^{3}+3^{4} \\
\hline
n &= 4 \\
3n &= 3(4)=12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$
13. Model Soal US-UM Matematika SMP 2024 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\dfrac{3^{50}+3^{48}}{3^{49}+3^{47}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{3^{50}+3^{48}}{3^{49}+3^{47}} \\
& = \dfrac{ 3^{47+3}+ 3^{47+1} }{ 3^{47+2}+3^{47}} \\
& = \dfrac{ 3^{3} \cdot 3^{47}+3^{1} \cdot 3^{47} }{3^{2} \cdot 3^{47}+3^{47}} \\
& = \dfrac{ 3^{47} \cdot \left( 3^{3} +3^{1} \right) }{3^{47} \cdot \left( 3^{2} + 1 \right)} \\
& = \dfrac{ \left( 3^{3} +3^{1} \right) }{ \left( 3^{2} + 1 \right)} \\
& = \dfrac{ 27 + 3 }{ 9 + 1 } \\
& = \dfrac{30}{10}=3
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(A)\ 3$
14. Model Soal US-UM Matematika SMP 2024 |*Soal Lengkap
Jika $9^{4x} : 3^{2x} = 2.187$, maka nilai dari $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align}
9^{4x} : 3^{2x} & = 2.187 \\
\left( 3^{2} \right)^{4x} : 3^{2x} & = 3^7 \\
3^{8x} : 3^{2x} & = 3^7 \\
3^{8x-2x} & = 3^7 \\
3^{6x} & = 3^7 \\
\hline
6x & = 7 \\
x & = \dfrac{7}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(B)\ \dfrac{7}{6}$
15. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Jika $a+b=3$ dan $a^{3}+b^{3}=18$ maka nilai $ab=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan meminjam aturan pada bilangan berpangkat dapat kita tuliskan beberapa aturan bilangan berpangkat yaitu:
- $\left( a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left( a+b \right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
- $\left( a+b \right)^{3}=a^{3}+3ab\left( a+b \right)+b^{3}$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left( a+b \right)^{3} & =a^{3}+3ab\left( a+b \right)+b^{3} \\
\left( 3 \right)^{3} &= a^{3} +b^{3} + 3ab\left( a+b \right) \\
27 &= 18 + 3ab \left( 3 \right) \\
27-18 &= 9ab \\
9 &= 9ab \\
1 &= ab
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
16. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Jika $x^{2}-y^{2}=\dfrac{7}{18}$ dan $x^{-2}-y^{-2}=-7$, maka nilai $\left( xy \right)^{-1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$
- $\dfrac{1}{a^{-n}}=a^{n}$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{-2}-y^{-2} & = -7 \\
\hline
\text{kedua ruas}\ & \text{dikalikan}\ x^{2} y^{2} \\
\hline
y^{2}-x^{2} & = -7 \left(xy \right)^{2} \\
x^{2}-y^{2} & = 7 \left(xy \right)^{2} \\
\dfrac{7}{18} & = 7 \left(xy \right)^{2} \\
\dfrac{1}{18} & = \left( xy \right)^{2} \\
\pm \sqrt{\dfrac{1}{18}} & = xy \\
\pm \sqrt{\dfrac{2}{36}} & = xy \\
\pm \dfrac{\sqrt{2}}{6} & = xy \\
\hline
\pm\dfrac{6}{\sqrt{2}} & = \dfrac{1}{xy} \\
\pm\dfrac{6}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & = \left( xy \right)^{-1} \\
\pm 3 \sqrt{2} & = \left( xy \right)^{-1}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3\sqrt{2}$
17. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Jika $n^{2}+\dfrac{1}{n^{2}}=11$, maka nilai $n-\dfrac{1}{n}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $\left( a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left( a-b \right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left( n-\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =n^{2}-2 \cdot n \cdot \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}} \\
\left( n-\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =n^{2}-2 + \dfrac{1}{n^{2}} \\
\left( n-\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =n^{2} + \dfrac{1}{n^{2}}-2 \\
\left( n-\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =11-2 \\
\left( n-\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =9 \\
n-\dfrac{1}{n} & = \pm \sqrt{9} \\
n-\dfrac{1}{n} & = -3\ \text{atau}\ 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$
18. Model Soal US-UM Matematika SMP 2024 |*Soal Lengkap
hasil dari $25^{\frac{1}{2}} \times 16^{\frac{3}{4}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung bilangan berpangkat di atas catatan calon guru tentang bilangan berpangkat berikut mungkin bermanfaat:
- $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
$\begin{align}
25^{\frac{1}{2}} \times 16^{\frac{1}{4}} &= \left( 5^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \times \left( 2^{4} \right)^{\frac{3}{2}} \\
&= \left( 5 \right)^{2 \times \frac{1}{2}} \times \left( 2 \right)^{4 \times \frac{3}{4}} \\
&= 5^{1} \times 2^{3} \\
&= 5 \times 8 = 40
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 40 $
19. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Jika nilai $\left( x + y \right)^{2} = 324$ dan $\left( x - y \right)^{2} = 16$, maka nilai dari $ xy$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $\left( a + b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left( a - b \right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left( x + y \right)^{2} & = 324 \\
x^{2}+2xy+y^{2} & = 324\ \ \cdots \text{Pers.(1)} \\
\hline
\left( x - y \right)^{2} & = 16 \\
x^{2}-2xy+y^{2} & = 16\ \ \cdots \text{Pers.(2)}
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas jika kita kurangkan akan kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+2xy+y^{2} & = 324 \\
x^{2}-2xy+y^{2} & = 16\ \ \ (-) \\
\hline
4xy & = 308 \\
xy & = \dfrac{308}{4} \\
xy & = 77
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 77 $
20. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Jika nilai $\left( x-5 \right)^{2} + \left( y-2 \right)^{2}+ \left( z-9 \right)^{2} = 0$, maka nilai dari $\left( x+y-z \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari definisi bilangan berpangkat, untuk $a$ dan $b$ bilangan real hasil dari $\left( a + b \right)^{2} \geq 0$ atau $\left( a - b \right)^{2} \geq 0$.
Dari informasi di atas agar $\left( x-3 \right)^{2} + \left( y-2 \right)^{2}+ \left( z-9 \right)^{2} = 0$ terjadi, hanya pada satu kemungkinan saja, yaitu:
$\begin{align}
\left( x-3 \right)^{2} & = 0 \\
x-3 & = 0 \\
x & = 3 \\
\hline
\left( y-2 \right)^{2} & = 0 \\
y-2 & = 0 \\
y & = 2 \\
\hline
\left( z-9 \right)^{2} & = 0 \\
z-9 & = 0 \\
z & = 9 \\
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
x+y-z & = 3+2-9 \\
& = 5-9 = -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -4 $
21. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Jika $n+\dfrac{1}{n}=3$, maka nilai $n^{2}+\dfrac{1}{n^{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $\left( a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left( a-b \right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left( n+\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =n^{2}+2 \cdot n \cdot \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}} \\
\left( 3 \right)^{2} & =n^{2}+2 + \dfrac{1}{n^{2}} \\
9 & =n^{2} + \dfrac{1}{n^{2}}+2 \\
9 -2 & =n^{2} + \dfrac{1}{n^{2}} \\
7 & =n^{2} + \dfrac{1}{n^{2}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
22. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Jika $a^{2}+b^{2}=29$ dan $ab=10$ dimana $a \gt 0$, $b \gt 0$, maka nilai $\dfrac{a+b}{a-b}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $\left( a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left( a-b \right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left( a+b \right)^{2} & = a^{2}+2ab+b^{2} \\
\left( a+b \right)^{2} & = a^{2}+b^{2}+2ab \\
\left( a+b \right)^{2} & = 29+2(10) \\
\left( a+b \right)^{2} & = 49 \\
a+b & = 7
\end{align}$
$\begin{align}
\left( a-b \right)^{2} & = a^{2}-2ab+b^{2} \\
\left( a-b \right)^{2} & = a^{2}+b^{2}-2ab \\
\left( a-b \right)^{2} & = 29-2(10) \\
\left( a-b \right)^{2} & = 9 \\
a-b & = 3
\end{align}$
Nilai dari $\dfrac{a+b}{a-b}$ adalah $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{7}{3}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{7}{3}$
23. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024 |*Soal Lengkap
Jika $2^{a_{1}}+2^{a_{2}}+2^{a_{3}}+ \cdots +2^{a_{n}}=2024$ maka nilai $ a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk soal ini kita akan merubah bentuk $2024$ menjadi penjumlahan bilangan berpangkat dengan bilangan pokok $2$.
$2024= 2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}$,
sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
& a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n} \\
&= 10+9+8+7+6+5+4+3 \\
&= 46
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 46$
24. Soal OKSI SMAN 2 Lintongnihuta 2024 |*Soal Lengkap
Diketahui $A=2 \times 2024^{2025}$, $B=2024^{2025}$, $C=2023 \times 2024^{2024}$, $D=2 \times 2024^{2024}$ dan $E=2024^{2024}$, dari bilangan-bilangan berikut, mana yang paling besar?
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, dengan menggunakan prinsip bilangan berpangkat atau manipulasi aljabar akan kita peroleh beberapa perhitungan seperti di bawah ini.
- Untuk $A-B$
$\begin{align}
&= 2 \times 2024^{2025}-2024^{2025} \\ &= 2024^{2025} \\ &= 2024 \times 2024^{2024} \end{align}$ - Untuk $B-C$
$\begin{align}
&= 2024^{2025} - 2023 \times 2024^{2024} \\ &= 2024 \times 2024^{2024} - 2023 \times 2024^{2024} \\ &= 2024^{2024} \left( 2024-2023 \right) \\ &= 2024^{2024} \end{align}$ - Untuk $C-D$
$\begin{align}
&= 2023 \times 2024^{2024}-2 \times 2024^{2024} \\ &= 2024^{2024} \left( 2023 -2 \right) \\ &= 2021 \times 2024^{2024} \end{align}$ - Untuk $D-E$
$\begin{align}
&= 2 \times 2024^{2024}-2024^{2024} \\ &= 2024^{2024} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ A-B$
25. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Jika $\dfrac{6^{x}}{3^{x}+3^{x}+3^{x}}=\dfrac{5}{3}$ maka nilai $2^{x}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain $\left( \frac{a}{b} \right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$.
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{6^{x}}{3^{x}+3^{x}+3^{x}} & = \dfrac{5}{3} \\
\dfrac{6^{x}}{3 \cdot 3^{x}} & = \dfrac{5}{3} \\
\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6^{x}}{3^{x}} & = \dfrac{5}{3} \\
\left( \dfrac{6}{3} \right)^{x} & = 5 \\
\left( 2 \right)^{x} & = 5 \\
2^{x} & = 5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5$
26. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Nilai dari $n$ pada persamaan $\left(10^{12}+25 \right)^{2}-\left(10^{12}-25 \right)^{2}=10^{n}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $a^{2}-b^{2}=\left( a+b \right)\left( a -b \right) $
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left({\color{red}{10^{12}+25}} \right)^{2}-\left( {\color{blue}{10^{12}-25}} \right)^{2} & = 10^{n} \\
\left(\left[{\color{red}{10^{12}+25}} \right] + \left[ {\color{blue}{10^{12}-25}} \right] \right) \left( \left[{\color{red}{10^{12}+25}} \right] - \left[ {\color{blue}{10^{12}-25}} \right] \right) & = 10^{n} \\
\left( {\color{red}{10^{12}+25}} + {\color{blue}{10^{12}-25}} \right) \left( {\color{red}{10^{12}+25}} - {\color{blue}{10^{12}+25}} \right) & = 10^{n} \\
\left( 2 \cdot 10^{12} \right) \left( 50 \right) & = 10^{n} \\
100 \cdot 10^{12} & = 10^{n} \\
10^{2} \cdot 10^{12} & = 10^{n} \\
10^{2+12} & = 10^{n} \\
10^{14} & = 10^{n} \\
n & = 14
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 14$
27. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^{x}=2^{2028}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $\left( a^{m} \right)^{n} =a^{mn} $
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
x^{x} & = 2^{2028} \\
x^{x} & = 2^{2 \cdot 1024} \\
x^{x} & = \left( 2^{2} \right) ^{1024} \\
x^{x} & = \left( 4 \right)^{2 \cdot 512} \\
x^{x} & = \left( 4^{2} \right)^{512} \\
x^{x} & = \left( 16 \right)^{512} \\
x^{x} & = \left( 16 \right)^{2 \cdot 256} \\
x^{x} & = \left( 16^{2} \right)^{256} \\
x^{x} & = \left( 256 \right)^{256} \\
\hline
x & = 256
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 256 $
28. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $9^{\sqrt{x}}=\sqrt{27^{x}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $\left( a^{m} \right)^{n} =a^{mn} $
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
9^{\sqrt{x}} &= \sqrt{27^{x}} \\
\left( 3^{2} \right)^{\sqrt{x}} &= \sqrt{ \left(3^{3} \right)^{x} \right)} \\
3^{2\sqrt{x}} &= \left( 3^{3x} \right) ^{\frac{1}{2}} \\
3^{2\sqrt{x}} &= 3^{\frac{3x}{2}}
\end{align}
Dari persamaan di atas kita peroleh:
\begin{align}
2\sqrt{x} &= \frac{3x}{2} \\
\left( 2\sqrt{x} \right)^{2} &= \left( \frac{3x}{2} \right)^{2} \\
4x &= \frac{9x^{2}}{4} \\
16x &= 9x^{2} \\
9x^{2} - 16x &= 0 \\
x \left( 9x - 16 \right) & = 0 \\
x =0\ \text{atau}\ x=\frac{16}{9} &
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{16}{9} $
29. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat yang memenuhi $a^{2}-b^{2}=19$, maka nilai $ab=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita ketahui bahwa $19$ adalah bilangan prima, sehingga hanya mempunyai dua faktor. Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
a^{2}-b^{2} & = 19 \\
\left( a+b \right)\left( a-b \right) & = 19 \times 1 \\
\end{align}$
- Dari kesamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a+b & = 19 \\ a-b & = 1\ \ (+) \\ \hline
2a & = 20 \\ a & = \frac{20}{2}=10 \end{align}$
untuk $a=10$ kita peroleh $b=9$, sehingga nilai $ab=90$. - Dari kesamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a+b & = 1 \\ a-b & = 19\ \ (+) \\ \hline
2a & = 20 \\ a & = \frac{20}{2}=10 \end{align}$
untuk $a=10$ kita peroleh $b=-9$, sehingga nilai $ab=-90$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 90$
30. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan |*Soal Lengkap
If $3^{x+1}+3^{x-1}=90$ then $x+\dfrac{1}{x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- $\left( a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left( a-b \right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
3^{x+1} + 3^{x-1} & = 90 \\
3^{x} \cdot 3^{1} + 3^{x} \cdot 3^{-1} & = 90 \\
3^{x} \left( 3^{1} + 3^{-1} \right) & = 90 \\
3^{x} \left( 3 + \frac{1}{3} \right) & = 90 \\
3^{x} \left( \frac{10}{3} \right) & = 90 \\
3^{x} & = 90 \left( \frac{3}{10} \right) \\
3^{x} & = 27 \\
3^{x} & = 3^{3} \\
\hline
x & =3
\end{align}$
Untuk $x=3$ kita peroleh:
$\begin{align}
x+\frac{1}{x} & = 3+\frac{1}{3} \\
& = 3+\frac{1}{3} \\
& = \frac{9}{3}+\frac{1}{3} \\
& = \frac{10}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{10}{3} $
31. Model Soal US-UM Matematika SMP |*Soal Lengkap
If $2^{22}-2^{21} =8^{x}$, then $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- Jika $a^{m} =a^{n}$ maka $m=n$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2^{22}-2^{21} & = 8^{x} \\
2^{21} \cdot 2^{1} - 2^{21} \cdot 1 & = 8^{x} \\
2^{21} \left(2- 1 \right) & = \left(2^{3} \right)^{x} \\
2^{21} & = 2^{3x} \\
\hline
21 & = 3x \\
x & = \dfrac{21}{3}=7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7 $
32. Model Soal US-UM Matematika SMP |*Soal Lengkap
Jika $a^{m} \times a^{n}=1$ dan $a \neq 0$ maka...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat beberapa diantaranya yang mungkin membantu, antara lain:
- $a^{0} =1$ dimana $a \neq 0$
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
a^{m} \times a^{n} & = 1 \\
a^{m+n} & = a^{0} \\
\hline
m+n & = 0 \\
m & = -n
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ m=-n $
Catatan Pembahasan Soal Bilangan Berpangkat (Eksponen) Matematika SMP di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
