Calon guru belajar matematika dasar SMP lewat soal dan pembahasan Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar pada matematika SMP. Apa yang diharapkan setelah mempelajari materi ini, yaitu dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar.
Soal matematika dasar bilangan berpangkat dan bentuk akar untuk SMP ini kita pilih dari soal-soal yang sudah pernah diujikan pada soal Ujian Sekolah matematika SMP, soal Ujian Nasional matematika SMP, atau soal ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Plus.
DEFINISI BILANGAN BERPANGKAT (EKSPONEN)
Dari definisi bilangan berpangkat di atas, diperoleh beberapa sifat-sifat bilangan berpangkat yaitu:
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
- $a^{m} \cdot b^{m}=(a \cdot b)^{m}$
- $\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left( \dfrac{a}{b} \right )^{m}$
- $\dfrac{1}{a^{m}}={a}^{-m}$ dengan $a \neq 0$
- $\dfrac{1}{a^{-m}}={a}^{m}$ dengan $a \neq 0$
- $a^{0}=1$ dengan $a \neq 0$
- $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
- Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$
DEFINISI BENTUK AKAR
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya bilangan irasional.
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.
Misalnya $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, dan bentuk lainnya. Sedangkan $\sqrt{4}=2$ atau $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ bukan bentuk akar karena hasilnya adalah bilangan rasional.
Dalam matematik definisi bentuk akar ini dituliskan dalam bentuk $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.
dibaca dengan "akar pangkat $n$ dari $a$".
Bentuk kuhusus $\sqrt[n]{a}$, yaitu saat $n=2$ tidak perlu dituliskan, sehingga dapat ditulis hanya dengan $\sqrt{a}$ dibaca dengan "akar kuadrat dari $a$" atau "akar pangkat dua dari $a$" atau sering disebut "akar $a$".
Dari definisi bentuk akar di atas, diperoleh beberapa sifat-sifat bentuk akar yaitu:
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
- $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
- $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
- $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
- $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
- $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
- $\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{c\left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
- $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$, atau
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$ - $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$
- $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$
- $\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$
- $\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}$
- $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP
1. Soal UNBK SMP Tahun 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $3\sqrt{7} \times \sqrt{8} + 5\sqrt{14}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 15\sqrt{29} \\
(B)\ & 11\sqrt{29} \\
(C)\ & 15\sqrt{14} \\
(D)\ & 11\sqrt{14}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:
- $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
- $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
$\begin{align}
3\sqrt{7} \times \sqrt{8} + 5\sqrt{14} &= 3\sqrt{7} \times 2\sqrt{2} + 5\sqrt{14} \\
&= 6\sqrt{14} + 5\sqrt{14} \\
&= 11\sqrt{14}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11\sqrt{14}$
2. Soal UNBK SMP Tahun 2019 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\left(3 \sqrt{3} \right)^{-2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -27 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{27} \\
(C)\ & \dfrac{1}{27} \\
(D)\ & 27
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung bilangan berpangkat di atas catatan calon guru tentang bilangan berpangkat berikut mungkin bermanfaat:
- $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
- $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
\left(3 \sqrt{3} \right)^{-2} &= \left(3 \sqrt{3} \right)^{-2} \\
&= \left(3 \cdot 3^{\frac{1}{2} } \right)^{-2} \\
&= \left( 3^{1+\frac{1}{2} } \right)^{-2} \\
&= \left( 3^{ \frac{3}{2} } \right)^{-2} \\
&= 3^{-3} = \dfrac{1}{3^{3}} = \dfrac{1}{27}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{27}$
3. Soal Simulasi UNBK SMP 2019 |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12-5\sqrt{6} \\
(B)\ & 12 -\sqrt{6} \\
(C)\ & -5-\sqrt{6} \\
(D)\ & 6-5\sqrt{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6-2\sqrt{6}-3\sqrt{6}+6}{3-2} \\
& = \dfrac{12-5\sqrt{6}}{1} \\
& = 12-5\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12-5\sqrt{6}$
4. Soal Simulasi UNBK SMP 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $(-4)^{3} + (-4)^{2} +(-4)^{1} + (-4)^{0}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -52 \\
(B)\ & -51 \\
(C)\ & 84 \\
(D)\ & 85
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& (-4)^{3} + (-4)^{2} +(-4)^{1} + (-4)^{0} \\
& =-64 + 16 + (-4) + 1 \\
& =-51
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -51$
5. Soal UNBK SMP 2018 |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4+\sqrt{15} \\
(B)\ & \frac{4-\sqrt{15}}{2} \\
(C)\ & 4+2\sqrt{15} \\
(D)\ & \frac{4+2\sqrt{15}}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} \\
& = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} \times \frac{\sqrt{20}+\sqrt{12}}{\sqrt{20}+\sqrt{12}} \\
& = \frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{20}+\sqrt{12}\right)}{\left(\sqrt{20}-\sqrt{12}\right)\left(\sqrt{20}+\sqrt{12}\right)} \\
& = \frac{\sqrt{100}+\sqrt{60}+\sqrt{60}+\sqrt{36}}{\sqrt{400}-\sqrt{240}+\sqrt{240}-\sqrt{144} } \\
& = \frac{10+2\sqrt{60}+6}{20-12} \\
& = \frac{16+2\sqrt{60}}{8} \\
& = \frac{16+2\sqrt{4 \cdot 15}}{8} \\
& = \frac{16+2 \cdot 2\sqrt{15}}{8} \\
& = \frac{16+4\sqrt{15}}{8} \\
& = \frac{4+\sqrt{15}}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Bentuk sederhana dari $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}}$ adalah $(D)\ \frac{4+\sqrt{15}}{2}$
Coba latih lagi soal tentang betuk akar pada Matematika Dasar: Bentuk Akar [Soal UN SMP dan Pembahasan]
6. Soal UNBK SMP 2018 |*Soal Lengkap
Hasil dari penjumlahan bilangan $(-2)^{3} + (-2)^{2} +(-2)^{1} + (-2)^{0}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & -5 \\
(D)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& (-2)^{3} + (-2)^{2} +(-2)^{1} + (-2)^{0} \\
& =-8 + 4 + (-2) + 1 \\
& =-5
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(C)\ -5$
7. Soal Simulasi UNBK SMP 2018 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\left ( 243^{\frac{1}{3}} \right )^{\frac{3}{5}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung bilangan bepangkat pada soal bisa kita gunakan sifat bilangan berpangkat yaitu $(a^{m})^{n}=a^{m \times n}$
$ \begin{align}
\left ( 243^{\frac{1}{3}} \right )^{\frac{3}{5}} & =243^{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}} \\
& =243^{\frac{1 \times 3}{3 \times 5}} \\
& =243^\frac{3}{15} \\
& =(3^{5})^\frac{3}{15} \\
& =3^{5 \times \frac{3}{15}} \\
& =3^{\frac{15}{15}} \\
& =3^{1}=3 \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
8. Soal Simulasi UNBK SMP 2018 |*Soal Lengkap
Bilangan yang senilai dengan $\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6-2\sqrt{5} \\ (B)\ & 6+2\sqrt{5} \\ (C)\ & 12-2\sqrt{5} \\ (D)\ & 12+2\sqrt{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Bilangan yang senilai dengan sebuah bilangan itu bisa kita cari dengan merubah bentuk tapi tidak merubah nilainya. Cara yang paling mudah adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan $1$, karena bilangan yang dikali dengan $1$ hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
$ \begin{align}
\frac{8}{3+\sqrt{5}}
& =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times 1 \\
& =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(9-5)} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{4} \\
& =\dfrac{2(3-\sqrt{5})}{1} \\
& =6-2\sqrt{5} \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6-2\sqrt{5}$
9. Soal UN SMP 2018 |*Soal Lengkap
Hasil dari $2^{-1} + 3^{-1}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{6} \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 2^{-1} + 3^{-1} \\
& =\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \\
& = \dfrac{2+3}{6} = \dfrac{5}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(A)\ \dfrac{5}{6}$
10. Soal UN SMP 2018 |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{54}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{8}-3\sqrt{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{12} \\
(B)\ & 5\sqrt{4} \\
(C)\ & 6\sqrt{10} \\
(D)\ & 2\sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{54}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{8}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2\sqrt{9 \times 6}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{4 \times 2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \times 3\sqrt{6}+4\sqrt{6}}{4 \times 2 \sqrt{2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6\sqrt{6}+4\sqrt{6}}{8 \sqrt{2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{10\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \\
& = 2\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{3}$
11. Soal UN SMP 2017 |*Soal Lengkap
Hasil dari $81^{\frac{3}{4}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 18 \\ (B)\ & 27 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 54 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 81^{\frac{3}{4}} \\
& = \left( 3^{4} \right)^{\frac{3}{4}} \\
& = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} \\
& = 3^{3} = 27
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(B)\ 27$
12. Soal UN SMP 2017 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} : \sqrt{48} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3\sqrt{3} \\
(B)\ & 4\sqrt{3} \\
(C)\ & 5\sqrt{2} \\
(D)\ & 6\sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} : \sqrt{48} \\
& = 2\sqrt{9 \times 3} \times \sqrt{16 \times 2} : \sqrt{16 \times 3}\\
& = 2 \times 3 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} : 4\sqrt{3} \\
& = 6 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} : 4\sqrt{3} \\
& = \dfrac{6 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} \\
& = 6\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6\sqrt{2}$
13. Soal UN SMP 2017 |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari $ \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6+2\sqrt{5} \\
(B)\ & 6+\sqrt{10} \\
(C)\ & 6-\sqrt{10} \\
(D)\ & 6-2\sqrt{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} \times \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \\
& = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{\left(3-\sqrt{5} \right)\left(3+\sqrt{5} \right)} \\
& = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{9-5} \\
& = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{4} \\
& = 2 \times \left(3-\sqrt{5} \\
& = 6-2\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6-2\sqrt{5}$
14. Soal UN SMP 2016 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\left( 27^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \left( 27^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}} \\
& = 27^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} \\
& = 27^{\frac{1}{3}} \\
& = \left( 3^{3} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}}=3
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(C)\ 3$
15. Soal UN SMP 2016 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ \sqrt{1.000}-2\sqrt{40} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6\sqrt{10} \\
(B)\ & 8\sqrt{10} \\
(C)\ & 10\sqrt{10} \\
(D)\ & 2\sqrt{10} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sqrt{1.000}-2\sqrt{40} \\
& = \sqrt{100 \times 10}-2\sqrt{4 \times 10} \\
& = 10 \sqrt{10}-2 \times 2\sqrt{10} \\
& = 10 \sqrt{10}- 4\sqrt{10} \\
& = 6\sqrt{10}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6\sqrt{10}$
16. Soal UN SMP 2016 |*Soal Lengkap
Bilangan yang senilai dengan $ \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{6+2\sqrt{2}}{7} \\
(B)\ & \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7} \\
(C)\ & \dfrac{5+ \sqrt{2}}{13} \\
(D)\ & \dfrac{5- \sqrt{2}}{13} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \times \dfrac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \times \left(3-\sqrt{2} \right)}{\left(3-\sqrt{2} \right)\left(3+\sqrt{2} \right)} \\
& = \dfrac{2 \times \left(3-\sqrt{2} \right)}{9-2} \\
& = \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}$
17. Soal UN SMP 2015 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ 81^{\frac{1}{4}} \times 4^{\frac{3}{2}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 72 \\ (B)\ & 48 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 24 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 81^{\frac{1}{4}} \times 4^{\frac{3}{2}} \\
& = \left( 3^{4} \right)^{\frac{1}{4}} \times \left( 2^{2} \right)^{\frac{3}{2}} \\
& = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} \times 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} \\
& = 3 \times 2^{3} \\
& = 3 \times 8 = 24
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(D)\ 24$
18. Soal UN SMP 2015 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ 3\sqrt{2}+5 \sqrt{8}- \sqrt{32} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4\sqrt{2} \\
(B)\ & 6\sqrt{2} \\
(C)\ & 8\sqrt{2} \\
(D)\ & 9\sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 3\sqrt{2}+5 \sqrt{8}- \sqrt{32} \\
& = 3\sqrt{2}+5 \sqrt{4 \times 2}- \sqrt{16 \times 2} \\
& = 3\sqrt{2}+5 \times 2\sqrt{2}-4\sqrt{2} \\
& = 3\sqrt{2}+10\sqrt{2}-4\sqrt{2} \\
& = 9\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9\sqrt{2}$
19. Soal UN SMP 2014 |*Soal Lengkap
Bilangan $ \dfrac{2}{\sqrt{6}} $ dirasionalkan penyebutnya menjadi...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{6} \\
(B)\ & \dfrac{1}{6}\sqrt{12} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{6} \\
(D)\ & 2\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
& = \dfrac{2}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\
& = \dfrac{2 \times \sqrt{6} \right)}{\left( \sqrt{6} \right)\left( \sqrt{6} \right)} \\
& = \dfrac{2 \sqrt{6}}{6} \\
& = \dfrac{1}{3}\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{3}\sqrt{6}$
20. Soal UN SMP 2014 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ \sqrt{24} : \sqrt{3} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{2} \\
(B)\ & 3\sqrt{2} \\
(C)\ & 4\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sqrt{24} : \sqrt{3} \\
& = \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{\sqrt{8} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
& = \sqrt{8}= \sqrt{4 \times 2} \\
& = 2\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{2}$
21. Soal UN SMP 2013 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ 2^{-3}+ 4^{-3}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{64} \\ (B)\ & \dfrac{9}{64} \\ (C)\ & \dfrac{15}{64} \\ (D)\ & \dfrac{17}{64} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 2^{-3}+ 4^{-3} \\
& = \dfrac{1}{2^{3}} + \dfrac{1}{4^{3}} \\
& = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{64} \\
& = \dfrac{8}{64} + \dfrac{1}{64} \\
& = \dfrac{9}{64}
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(B)\ \dfrac{9}{64}$
22. Soal UN SMP 2013 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ 4\sqrt{10} \times \sqrt{2} $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4\sqrt{5} \\
(B)\ & 8\sqrt{5} \\
(C)\ & 9\sqrt{5} \\
(D)\ & 10\sqrt{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 4\sqrt{10} \times \sqrt{2} \\
& = 4\sqrt{10 \times 2} \\
& = 4\sqrt{20} \\
& = 4 \sqrt{4 \times 5}= 4 \times 2 \sqrt{5} \\
& = 8\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8\sqrt{5}$
23. Soal UN SMP 2012 |*Soal Lengkap
Hasil dari $36^{\frac{3}{2}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 24 \\ (B)\ & 54 \\ (C)\ & 108 \\ (D)\ & 216 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& 36^{\frac{3}{2}} \\
& = \left( 6^{2} \right)^{\frac{3}{2}} \\
& = 6^{2 \cdot \frac{3}{2}} \\
& = 6^{3} = 216
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(D)\ 216$
24. Soal UN SMP 2012 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\sqrt{3} \times \sqrt{8}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{6} \\ (B)\ & 3\sqrt{6} \\ (C)\ & 4\sqrt{3} \\ (D)\ & 4\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:
- $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
- $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
$\begin{align}
\sqrt{3} \times \sqrt{8} &= \sqrt{3} \times \sqrt{4 \times 2} \\
&= \sqrt{3} \times 2 \sqrt{ 2} \\
&= 2\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{6}$
25. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $x^{4}-y^{4}=15$, $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif. Maka nilai $x^{4}+y^{4}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 17 \\
(B)\ & 31 \\
(C)\ & 32 \\
(D)\ & 113
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat eksponen dan manipulasi aljabar dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{4}-y^{4} & = 15 \\
\left(x^{2}+y^{2} \right)\left(x^{2}-y^{2} \right) & = 15 \\
\left(x^{2}+y^{2} \right)\left( x+y \right)\left( x-y \right) & = 15 \\
\left(x^{2}+y^{2} \right) \left( x+y \right)\left( x-y \right) & = \left( 5 \right) \left( 3 \right)\left( 1 \right)
\end{align}$
Diketahui bahwa $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif sehingga kita peroleh bahwa $ \left(x^{2}+y^{2} \right) \gt \left( x + y \right)$ dan $\left( x + y \right) \gt \left( x-y \right)$ sehingga dari bentuk di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x+y & = 3 \\
x-y & = 1\ \ \ (+) \\
\hline
2x & = 4 \\
x & = \dfrac{4}{2}=2 \\
y & = 1
\end{align}$
Nilai $x^{4}+y^{4}=2^{4}+1^{4}=17$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 17$
26. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2022 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\dfrac{(2018-2017)^{2}+(2018+2017)^{2}}{2017^{2}+2018^{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat eksponen dan manipulasi aljabar, jika kita misalkan $x=2018$ dan $y=2017$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{(2018-2017)^{2}+(2018+2017)^{2}}{2017^{2}+2018^{2}} \\
& = \dfrac{x^{2}+y^{2}-2xy+x^{2}+y^{2}+2xy}{x^{2}+y^{2}} \\
& = \dfrac{x^{2}+y^{2}-2xy+x^{2}+y^{2}+2xy}{x^{2}+y^{2}} \\
& = \dfrac{2x^{2}+2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \\
& = \dfrac{2 \left( x^{2}+ y^{2} \right)}{x^{2}+y^{2}} \\
& = \dfrac{2 }{1} =2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
27. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2022 |*Soal Lengkap
Diketahui $3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n}=120$. Nilai $3n$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n} &= 120 \\
3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n} &= 3+117 \\
3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n} &= 3+9+118 \\
3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n} &= 3+9+27+91 \\
3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{n} &= 3+3^{2}+3^{3}+3^{4} \\
\hline
n &= 4 \\
3n &= 3(4)=12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$
28. Soal Simulasi US Matematika SMP |*Soal Lengkap
Hasil dari $\dfrac{3^{50}+3^{48}}{3^{49}+3^{47}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 81 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{3^{50}+3^{48}}{3^{49}+3^{47}} \\
& = \dfrac{ 3^{47+3}+ 3^{47+1} }{ 3^{47+2}+3^{47}} \\
& = \dfrac{ 3^{3} \cdot 3^{47}+3^{1} \cdot 3^{47} }{3^{2} \cdot 3^{47}+3^{47}} \\
& = \dfrac{ 3^{47} \cdot \left( 3^{3} +3^{1} \right) }{3^{47} \cdot \left( 3^{2} + 1 \right)} \\
& = \dfrac{ \left( 3^{3} +3^{1} \right) }{ \left( 3^{2} + 1 \right)} \\
& = \dfrac{ 27 + 3 }{ 9 + 1 } \\
& = \dfrac{30}{10}=3
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(A)\ 3$
29. Soal Simulasi US Matematika SMP |*Soal Lengkap
Nilai dari $x=\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $x=\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x & =\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( x \right)^{2}& = \left( \sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
x^{2}& = 2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}} \\
x^{2}& = 2+ x \\
0 & = x^{2} - x - 2 \\
0 & = \left( x-2 \right) \left( x+1 \right) \\
& x=2\ \text{atau}\ x=-1
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}}$ adalah bilangan postif maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=2$.
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(A)\ 2$
30. Soal Simulasi US Matematika SMP |*Soal Lengkap
Nilai dari $x=\sqrt{2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{\cdots}}}}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2021 \\ (B)\ & 2022 \\ (C)\ & 2023 \\ (D)\ & 2024 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $x=\sqrt{2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x & = \sqrt{2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( x \right)^{2}& = \left( \sqrt{2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
x^{2}& = 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{ 2022 \sqrt{\cdots}}}} \\
x^{2}& = 2022 x \\
x & = 2022
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(B)\ 2022$
31. Soal Simulasi US Matematika SMP |*Soal Lengkap
Misalkan $A \gt 1$. Bentuk yang senilai dengan $\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & A^{\frac{1}{27}} \\ (B)\ & A^{\frac{13}{9}} \\ (C)\ & A^{\frac{1}{3}} \\ (D)\ & A^{\frac{13}{27}} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align}
\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}} & = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A \cdot \left( A \right)^{\frac{1}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A \cdot A^{\frac{1}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A^{1+ \frac{1}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A^{\frac{4}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A \cdot \left( A^{\frac{4}{3}} \right)^{\frac{1}{3}}} \\
& = \sqrt[3]{A \cdot A^{\frac{4}{9}}} \\
& = \sqrt[3]{ A^{1+\frac{4}{9}}} \\
& = \sqrt[3]{ A^{\frac{13}{9}}} \\
& = \left( A^{\frac{13}{9}} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = A^{\frac{13}{27}}
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(D)\ A^{\frac{13}{27}}$
32. Soal Simulasi US Matematika SMP |*Soal Lengkap
Jika $9^{4x} : 3^{2x} = 2.187$, maka nilai dari $x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{6}{7} \\ (B)\ & \dfrac{7}{6} \\ (C)\ & -\dfrac{6}{7} \\ (D)\ & -\dfrac{7}{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align}
9^{4x} : 3^{2x} & = 2.187 \\
\left( 3^{2} \right)^{4x} : 3^{2x} & = 3^7 \\
3^{8x} : 3^{2x} & = 3^7 \\
3^{8x-2x} & = 3^7 \\
3^{6x} & = 3^7 \\
\hline
6x & = 7 \\
x & = \dfrac{7}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Hasil penjumlahan adalah $(B)\ \dfrac{7}{6}$
33. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan - SMA Favorit |*Soal Lengkap
Jika $a+b=3$ dan $a^{3}+b^{3}=18$ maka nilai $ab=\cdots$
$(A)\ 1 $
$(B)\ 2 $
$(C)\ 3 $
$(D)\ 4 $
Alternatif Pembahasan:
Dengan meminjam aturan pada bilangan berpangkat dapat kita tuliskan beberapa aturan bilangan berpangkat yaitu:
- $\left( a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left( a+b \right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
- $\left( a+b \right)^{3}=a^{3}+3ab\left( a+b \right)+b^{3}$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left( a+b \right)^{3} & =a^{3}+3ab\left( a+b \right)+b^{3} \\
\left( 3 \right)^{3} &= a^{3} +b^{3} + 3ab\left( a+b \right) \\
27 &= 18 + 3ab \left( 3 \right) \\
27-18 &= 9ab \\
9 &= 9ab \\
1 &= ab
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
34. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan - SMA Favorit |*Soal Lengkap
Jika $x^{2}-y^{2}=\dfrac{7}{18}$ dan $x^{-2}-y^{-2}=-7$, maka nilai $\left( xy \right)^{-1}$ adalah...
$(A)\ 2\sqrt{3} $
$(B)\ 2 $
$(C)\ 3 $
$(D)\ 3\sqrt{2} $
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat dapat kita tuliskan beberapa aturan bilangan berpangkat yang mungkin membantu yaitu:
- $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$
- $\dfrac{1}{a^{-n}}=a^{n}$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{-2}-y^{-2} & = -7 \\
\hline
\text{kedua ruas}\ & \text{dikalikan}\ x^{2} y^{2} \\
\hline
y^{2}-x^{2} & = -7 \left(xy \right)^{2} \\
x^{2}-y^{2} & = 7 \left(xy \right)^{2} \\
\dfrac{7}{18} & = 7 \left(xy \right)^{2} \\
\dfrac{1}{18} & = \left( xy \right)^{2} \\
\pm \sqrt{\dfrac{1}{18}} & = xy \\
\pm \sqrt{\dfrac{2}{36}} & = xy \\
\pm \dfrac{\sqrt{2}}{6} & = xy \\
\hline
\pm\dfrac{6}{\sqrt{2}} & = \dfrac{1}{xy} \\
\pm\dfrac{6}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & = \left( xy \right)^{-1} \\
\pm 3 \sqrt{2} & = \left( xy \right)^{-1}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3\sqrt{2}$
35. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan - SMA Favorit |*Soal Lengkap
Jika $n^{2}+\dfrac{1}{n^{2}}=11$, maka nilai $n-\dfrac{1}{n}$ adalah...
$(A)\ 3 $
$(B)\ \sqrt{11} $
$(C)\ \sqrt{15} $
$(D)\ 4 $
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bilangan berpangkat dapat kita tuliskan beberapa aturan bilangan berpangkat yang mungkin membantu yaitu:
- $\left( a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left( a-b \right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left( n-\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =n^{2}-2 \cdot n \cdot \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}} \\
\left( n-\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =n^{2}-2 + \dfrac{1}{n^{2}} \\
\left( n-\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =n^{2} + \dfrac{1}{n^{2}}-2 \\
\left( n-\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =11-2 \\
\left( n-\dfrac{1}{n} \right)^{2} & =9 \\
n-\dfrac{1}{n} & = \pm \sqrt{9} \\
n-\dfrac{1}{n} & = -3\ \text{atau}\ 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$
36. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan - SMA Favorit |*Soal Lengkap
Nilai $ab$ jika $\sqrt{9+2-6\sqrt{ab}}=3-\sqrt{2}$ adalah...
$(A)\ 1 $
$(B)\ 2 $
$(C)\ 6 $
$(D)\ 18 $
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bentuk akar dapat kita tuliskan beberapa aturan bentuk yang mungkin membantu:
- $\sqrt{(x+y)+2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ dengan $x,\ y \geq 0$
- $\sqrt{(x+y)-2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$ dengan $x,\ y \geq 0$ dan $x \geq y$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{9+2-6\sqrt{ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9+2-2 \cdot 3 \sqrt{ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9+2-2\sqrt{9 \cdot ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9}-\sqrt{ab} & = 3-\sqrt{2} \\
3-\sqrt{ab} & = 3-\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
37. Model Soal US-UM Matematika SMP 2023 |*Soal Lengkap
hasil dari $25^{\frac{1}{2}} \times 16^{\frac{3}{4}}$ adalah...
$(A)\ 40 $
$(B)\ 80 $
$(C)\ 120 $
$(D)\ 200 $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung bilangan berpangkat di atas catatan calon guru tentang bilangan berpangkat berikut mungkin bermanfaat:
- $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
$\begin{align}
25^{\frac{1}{2}} \times 16^{\frac{1}{4}} &= \left( 5^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \times \left( 2^{4} \right)^{\frac{3}{2}} \\
&= \left( 5 \right)^{2 \times \frac{1}{2}} \times \left( 2 \right)^{4 \times \frac{3}{4}} \\
&= 5^{1} \times 2^{3} \\
&= 5 \times 8 = 40
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 40 $
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Pembahasan 30+ Soal Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Matematika SMP silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊