Calon guru belajar matematika dasar SMP dari Pembahasan 40 Soal Latihan Matematika Tes Masuk SMA Unggul - SMA Plus - SMA Favorit Tahun 2023 untuk persiapan menghadapi seleksi akademik masuk SMA Unggulan, SMA Plus, atau SMA Favorit.
Pemabahasan soal matematika yang kita diskusikan di bawah ini kita pilih dari soal simulasi masuk SMA Unggulan, SMA Plus, atau SMA Favorit tahun 2020 yang dilaksanakan oleh Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige pada tahun 2019 tetapi masih relevan digunakan sebagai simulasi masuk SMA Unggulan, SMA Plus, atau SMA Favorit Tahun 2023.
Soal seleksi akademik masuk SMA Unggulan, SMA Plus, atau SMA Favorit, secara umum tingkat kesulitannya lebih tinggi daripada soal-soal Ujian Nasional SMP, bahkan ada beberapa soal yang sudah setara dengan soal Olimpiade Matematika Tingkat Kabupaten (OSK) atau soal-soal masuk Perguruan Tinggi Nageri (PTN).
Soal seleksi akademik masuk SMA Unggulan, SMA Plus, atau SMA Favorit tiap tahun yang diujikan juga terus berkembang seiring dengan mengikuti perkembangan kurikulum dan teknologi. Tetapi aturan-aturan dasar atau teorema-teorema dalam mengerjakan soal secara umum masih sama, terkhusus dalam pelajaran matematika.
Sehingga soal-soal yang sudah diujikan oleh SMA Unggul atau SMA Favorit yang lain sangat baik dijadikan latihan dasar sebagai bahan persiapan atau latihan dalam bernalar untuk mengikuti tes masuk SMA Unggulan, SMA Plus, atau SMA Favorit lainnya. Misalnya Soal dan Pembahasan masuk Asrama Yasop SMA Negeri 2 Balige atau Soal dan Pembahasan masuk SMA Unggul Del.
Soal Latihan Matematika Tes Masuk SMA Unggul - SMA Plus - SMA Favorit Tahun 2023
1. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Pada suatu penangkaran terdapat burung pipit dan burung dara. Ketika $5$ burung pipit dilepaskan, jumlah burung dara dua kali burung pipit yang tersisa. Kemudian, ketika $25$ ekor burung dara dilepaskan, burung pipit yang tersisa adalah $3$ kali burung dara yang tersisa. Jumlah burung pipit semula adalah...
$(A)\ 20 $
$(B)\ 25 $
$(C)\ 30 $
$(D)\ 35 $
Alternatif Pembahasan:
Kita coba misalkan jumlalh burung dara mula-mula adalah $d$ dan jumlah burung pipit mula-mula adalah $p$.
Dari pernyataan "Ketika $5$ burung pipit dilepaskan, jumlah burung dara dua kali burung pipit yang tersisa" kita peroleh persamaan $2(p-5) = d$
Dari pernyataan "Kemudian, ketika $25$ ekor burung dara dilepaskan, burung pipit yang tersisa adalah $3$ kali burung dara yang tersisa" kita peroleh persamaan $3(d-25) = p-5$
$\begin{align}
3(d-25) &= p-5 \\
3 d-75 &= \dfrac{1}{2}d \\
3 d-\dfrac{1}{2}d &= 75 \\
\dfrac{5}{2}d &= 75 \\
5d &= 150 \\
d &= 30 \\
\hline
3(d-25) &= p-5 \\
3(30-25) &= p-5 \\
15 &= p-5 \\
20 &= p
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 20$
2. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika keliling segitiga$=24\ cm$, maka luas segitiga tersebut adalah...
$(A)\ 20\ cm^{2} $
$(B)\ 24\ cm^{2} $
$(C)\ 28\ cm^{2} $
$(D)\ 32\ cm^{2} $
Alternatif Pembahasan:
Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika sehingga sisi-sisi segitiga siku-siku dapat kita misalkan menjadi $3x, 4x, 5x$.
Karena keliling segitiga adalah $24$ sehingga berlaku
$\begin{align}
3x + 4x + 5x &= 24 \\
12x &= 24 \\
x &= 2
\end{align}$
Sisi segitiga siku-siku adalah $3x,4x,5x$ dengan $x=2$ sisi segitiga adalah $6,8,10$.
$\begin{align}
L &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \\
&= 24
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24\ cm^{2}$
3. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Misalkan rata-rata nilai ujian Matematika dari $30$ siswa adalah $8,4$. Jika nilai yang terkecil tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi $8,5$ sedangkan jika nilai terbesarnya tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi $8,2$. Jangkauan dari nilai ujian Matematika adalah...
$(A)\ 7,4 $
$(B)\ 7,8 $
$(C)\ 8,2 $
$(D)\ 8,7 $
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan nilai dari $30$ siswa yang sudah kita urutkan dari yang terkecil ke terbesar adalah $x_{1},x_{2}, \cdots , x_{29},x_{30}$.
Rata-rata data tunggal untuk $30$ nilai adalah $8,4$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30}}{30} &=\overline{x} \\
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 8,4 \cdot 30 \\
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 252
\end{align}$
Nilai yang terkecil tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi $8,5$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30}}{29} &=\overline{x} \\
x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 8,5 \cdot 29 \\
x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 246,5 \\
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 252 \\
\hline
x_{1} &= 252-246,5 \\
&=5,5
\end{align}$
Nilai yang terbesar tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi $8,2$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}}{29} &=\overline{x} \\
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29} &= 8,2 \cdot 29 \\
x_{1}+ x_{2}+\cdots +x_{29} &= 237,8 \\
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 252 \\
\hline
x_{30} &= 252-237,8 \\
&=14,2
\end{align}$
Jangkauan data adalah $R=x_{max}-x_{min}$ atau $R=x_{30}-x_{1}=14,2-5,5=8,7$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 8,7$
4. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
$(A)\ 18\pi+18$
$(B)\ 18\pi-18$
$(C)\ 14\pi+14$
$(D)\ 14\pi-15$
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://3.bp.blogspot.com/-XaFgpFmzupg/WabIatsvXNI/AAAAAAAALoM/YW-_XuvRbWQlAJLs7gWY7Sj6kjysP5OSQCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
Alternatif Pembahasan:
Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://1.bp.blogspot.com/-V4zD4q6coLA/WabLWH7IENI/AAAAAAAALoY/a3Vo47diixwDkAO2gg9NETEBOb-zobNDgCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://1.bp.blogspot.com/-DUFaYEpf7IQ/WabN4xjQwtI/AAAAAAAALok/Zz3XTWTvCkoP5enNZw2u-Z4-0m7SsVKdwCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran%2B2.png "Luas Arsiran")
$\begin{split}
L_{Biru} & = \dfrac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \dfrac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2} = \dfrac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://2.bp.blogspot.com/-lz2YMcWBLQQ/WabWzJh6MSI/AAAAAAAALo0/IgFr0sybGm0HdGCg95D_fGBdryN7H0nDgCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran%2B3.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
$\begin{split}
L_{Juring\ ABC} & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 = 9 \pi
\end{split}$
$\begin{split}
L_{ABC} & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\hline
L_{Tembereng} & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran adalah $ L_{Biru} +L_{Tembereng}$ yaitu $9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$
5. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Jika $A^{2x}=2$, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\cdots$
$(A)\ \dfrac{31}{18} $
$(B)\ \dfrac{31}{9} $
$(C)\ \dfrac{32}{18} $
$(D)\ \dfrac{33}{9} $
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} &= \dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \cdot \dfrac{A^{5x}}{A^{5x}} \\
&= \dfrac{A^{10x}-A^{0}}{A^{8x}+A^{2x}} \\
&= \dfrac{\left( A^{2x} \right)^{5}-1}{\left( A^{2x} \right)^{4}+A^{2x}} \\
&= \dfrac{\left(2 \right)^{5}-1}{\left( 2 \right)^{4}+ 2} \\
&= \dfrac{32-1}{16+ 2} \\
&= \dfrac{31}{18}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{31}{18}$
6. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Suatu garis yang melalui titi $(0,0)$ membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut $(1,0),(5,0),(1,12)$ dan $(5,12)$ menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
$(A)\ \dfrac{1}{2} $
$(B)\ 1 $
$(C)\ 2 $
$(D)\ \dfrac{12}{5} $
Alternatif Pembahasan:
Suatu garis yang membagi persegi panjang jadi dua bagian yang sama adalah melalui titik $(0,0)$ maka adalah $y=mx$. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
24 & = \dfrac{1}{2}\ jumlah\ garis\ sejajar\ \cdot t \\
24 & = \dfrac{1}{2}\ (m+5m)(5-1) \\
24 & = 2(6m) \\
24 & = 12m \\
m & = 2 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$
7. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Titik $X,\ Y,$ dan $Z$ terletak pada segitiga $ABC$ sehingga $AZ = AY$, $BZ = BX$, $CX = CY$ seperti pada gambar. Jika $BC,\ CA,$ dan $AB$ berturut-turut adalah $a\ cm$, $b\ cm$, dan $c\ cm$, maka $2AY = \cdots\ cm$.
$(A)\ -a+b+c $
$(B)\ a-b+c $
$(C)\ a+b-c $
$(D)\ -a-b+c $
Alternatif Pembahasan:
Dengan memperhatikan gambar dan unsur-unsur yang diketahui dan manipulasi aljabar, jika kita misalkan $AY=AZ=p$ maka bentuk alternatif penyelesaian soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
a &= c-p + b- p \\
a - b - c &= -2p \\
-a + b + c &= 2p \\
-a + b + c &= 2 AY
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -a + b + c$
8. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Budi dapat sebuah gardu dalam $45$ hari, Toni dalam $30$ hari. Jika Budi dan Toni bekerja bersama-sama, maka pekerjaan akan selesai dalam...
$(A)\ 25\ \text{hari} $
$(B)\ 18\ \text{hari} $
$(C)\ 15\ \text{hari} $
$(D)\ 12\ \text{hari} $
Alternatif Pembahasan:
Kita coba dengan alternatif penyelesaian seperti berikut ini;
- $45$ hari Budi dapat menyelesaikan 1 gardu
- $30$ hari Toni dapat menyelesaikan 1 gardu
Sehingga dalam $90$ hari mereka berdua menyelesaikan 5 gardu.
Jadi $1$ gardu selesai bersama-sama dalam $\frac{90}{5}=18\ \text{hari}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\ \text{hari}$
9. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Perbandingan uang Budi dan uang Rani adalah $3 : 4$, sedangkan perbandingan uang Rani dan uang Tini adalah $6:7$. Selisih uang Rani dan uang Budi adalah $Rp30.000$. Jumlah uang Budi dan Tini adalah...
$(A)\ Rp270.000,00 $
$(B)\ Rp260.000,00 $
$(C)\ Rp230.000,00 $
$(D)\ Rp210.000,00 $
Alternatif Pembahasan:
Perbandingan uang Budi dan uang Rani adalah $3 : 4 \equiv 18x:24x$.
Perbandingan uang Rani dan uang Tini adalah $6 : 7 \equiv 24x:28x$
Selisih uang Rani dan uang Budi adalah $Rp30.000$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
24x-18x &= Rp30.000 \\
6x &= Rp30.000 \\
x &= 5.000
\end{align}$
Jumlah uang Budi dan Tini adalah:
$\begin{align}
18x+28x &=46x \\
&=46(5.000) \\
&= 230.000
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp230.000,00$
10. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^x\!\log (x+12)-3 \cdot {}^x\!\log 4=-1$, maka $x+2y=\cdots$
$(A)\ 86 $
$(B)\ 34 $
$(C)\ -5 $
$(D)\ -14 $
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan sifat logaritma serta manipulasi aljabar alternatif penjabaran penyelesaian soal di atas seperti berikut ini:
$\begin{align}
4^{y+3x} &=64 \\
2^{2y+6x} &=2^{6} \\
\hline
2y+6x &= 6
\end{align}$
$\begin{align}
{}^x\!\log (x+12)-3 \cdot {}^x\!\log 4 &= -1 \\
{}^x\!\log (x+12)- {}^x\!\log 4^{3} &= {}^x\!\log x^{-1} \\
{}^x\!\log \dfrac{x+12}{4^{3}} &= {}^x\!\log \dfrac{1}{x} \\
\hline
\dfrac{x+12}{64} &= \dfrac{1}{x} \\
x^{2}+12x &= 64 \\
x^{2}+12x - 64 &= 0 \\
(x+16)(x-4) &= 0 \\
x=-16\ \text{atau}\ x=4 &\\
\end{align}$
Untuk $x=-16$ tidak memenuhi karena syarat pada logaritma nilai $x \gt 0$, sehingga nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=4$.
$\begin{align}
2y+6x &= 6 \\
2y+6(4) &= 6 \\
y &= \dfrac{6-24}{2}=-9 \\
\hline
x+2y &= 4 + 2(-9) \\
&= -14
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -14$
11. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Pedagang membeli $150$ kg beras dengan harga $Rp750.00,00$, jika pedagang menginginkan untung $15\%$, harga penjualan tiap $kg$ adalah...
$(A)\ Rp6.000,00 $
$(B)\ Rp5.750,00 $
$(C)\ Rp5.500,00 $
$(D)\ Rp4.500,00 $
Alternatif Pembahasan:
Keuntungan yang diharapkan adalah $15\% \times Rp750.000,00 = Rp112.500,00$, sehingga keuntungan tiap $kg$ adalah $\dfrac{Rp112.500,00}{150}=Rp750,00$.
Harga penjualan tiap $kg$ adalah:
$\begin{align}
& Rp750,00+\dfrac{Rp750.000,00}{150} \\
& = Rp750,00+ Rp5.000,00 \\
& = Rp5.750,00
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp5.750,00$
12. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Seutas tali dipotong menjadi $5$ bagian dengan panjang membentuk suatu barisan geometri, jika tali yang paling pendek $5\ cm$, dan yang paling panjang $405\ cm$. Panjang tali semula adalah...
$(A)\ 530\ cm $
$(B)\ 605\ cm $
$(C)\ 705\ cm $
$(D)\ 925\ cm $
Alternatif Pembahasan:
Tali dipotong menjadi $5$ bagian dengan panjang membentuk suatu barisan geometri sehingga berlaku:
$\begin{align}
T &= a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4} \\
&= 5+5r+5r^{2}+5r^{3}+405 \\
\hline
& 405 = 5r^{4} \\
& \dfrac{405}{5} = r^{4} \\
& 81 = r^{4} \\
& 3 = r \\
\hline
T &= 5+5(3)+5(3)^{2}+5(3)^{3}+405 \\
&= 5+15+45+135+405 \\
&= 605
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 605$
13. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Nilai $a,b$ dan $c$ adalah sisi-sisi sebuah segitiga, jika $a$ sisi terpanjang, maka pernyataan berikut yang selalu benar adalah...
$(A)\ a \gt b+c $
$(B)\ a \lt b+c $
$(C)\ a \leq b+c $
$(D)\ a^{2}+b^{2}=c^{2} $
Alternatif Pembahasan:
Untuk setiap segitiga $ABC$, jika $a,b,c$ adalah panjang sisi-sisi segitiga maka berlaku $a+b \gt c$, $a+c \gt b$ dan $b+c \gt a$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ b+c \gt a $
14. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Diketahui $5$ buah truk. Truk $A$ dan $B$ masing-masing memuat $4$ ton. Truk $C$ dan $D$ masing-masing memuat $6$ ton. Jika truk $E$ memuat $1$ ton lebih dari rata-rata muatan kelima Truk, maka muatan truk $A$ $+$ muatan truk $E$ $= \cdots$ ton.
$(A)\ 8,17 $
$(B)\ 9 $
$(C)\ 10 $
$(D)\ 10,25 $
Alternatif Pembahasan:
Rata-rata kelima truk adalah:
$\begin{align}
\dfrac{A+B+C+D+E}{5} &=\overline{x} \\
\dfrac{4+4+6+6+E}{5} &=\overline{x} \\
\dfrac{20+E}{5} &=\overline{x} \\
20+E &=5 \overline{x} \\
E &=5 \overline{x} -20 \\
\hline
\overline{x} +1 &=5 \overline{x} -20 \\
21 &=4 \overline{x} \\
\dfrac{21}{4} &= \overline{x} \\
\hline
\dfrac{21}{4} &= \dfrac{20+E}{5} \\
105 &= 80+4E \\
25 &= 4E \\
\dfrac{25}{4} &= E \\
6,25 &= E \\
\hline
A+E &= 4+6,25 \\
&= 10,25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10,25$
15. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$, maka nilai minimum dari $\alpha^{2}+\beta^{2}=\cdots$
$(A)\ 5 $
$(B)\ 15 $
$(C)\ 10 $
$(D)\ 25 $
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$ dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ kita peroleh:
$\begin{align}
\alpha + \beta &= -\dfrac{b}{a} \\
&= -\dfrac{a+5}{1} = -a-5 \\
\alpha \cdot \beta &= \dfrac{c}{a} \\
&= \dfrac{5a}{1} = 5a \\
\hline
\alpha^{2}+\beta^{2} &= \left( \alpha +\beta \right)^{2} - 2 \alpha \cdot \beta \\
&= \left( -a-5 \right)^{2} - 2 \cdot 5a \\
&= a^{2}+10a+25 - 10a \\
&= a^{2}+25
\end{align}$
Untuk menghitung nilai minimum $\alpha^{2}+\beta^{2} = a^{2}+25$ kita gunakan rumus mencari nilai minimum/maximum fungsi kuadrat yaitu:
$\begin{align}
y_{min} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
&= -\dfrac{0^{2}-4(1)(25)}{4(1)} \\
&= -\dfrac{-100}{4} = 25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25$
16. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Jika $cos\ x=2sin\ x$, maka nilai $sin\ x\ cos\ x$ adalah...
$(A)\ \dfrac{1}{5} $
$(B)\ \dfrac{1}{4} $
$(C)\ \dfrac{1}{3} $
$(D)\ \dfrac{2}{5} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
cos\ x &= 2sin\ x \\
\dfrac{sin\ x}{cos\ x} &= \dfrac{1}{2} \\
tan\ x &= \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Sesuai dengan pengertian $tan\ x$ yaitu perbandingan sisi di depan sudut $x$ dengan sisi siku di samping sudut $x$. Jika pada segitiga $ABC$ dan sudut $x$ pada sudut $A$, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;
$\begin{align}
sin\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
cos\ x & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
\hline
sin\ x\ \cdot cos\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{2}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2}{5}$
17. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Suku tengah barisan aritmatika adalah $23$. Jika suku terakhirnya $43$ dan suku ketiganya $13$, maka banyak suku barisan itu adalah...
$(A)\ 5 $
$(B)\ 7 $
$(C)\ 9 $
$(D)\ 11 $
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung suku tengah barisan aritmatika yaitu $u_{t}=\dfrac{1}{2} \left(a + u_{n} \right)$.
misal: dari lima barisan aritmatika $\left(a \right)$, $\left(a+b \right)$, $\left(a+2b \right)$, $\left(a+3b \right)$, $\left(a+4b \right)$ kita peroleh suku tengah adalah $\left(a+2b \right)$ atau $\dfrac{1}{2} \left(a + a+4b \right)$.
dari apa yang disampaikan pada soal $u_{t}=23$, $u_{n}=43$ dan $u_{3}=23$
$\begin{align}
u_{t} &= \dfrac{1}{2} \left(a + u_{n} \right) \\
23 &= \dfrac{1}{2} \left(a + 43 \right) \\
46 &= a + 43 \\
3 &= a \\
\hline
u_{3} &= a+2b \\
13 &= 3+2b \\
13 -3 &= 2b \\
10 &= 2b\ \rightarrow b=5
\end{align}$
$\begin{align}
u_{n} &= a+ \left( n-1 \right) b \\
43 &= 3 + \left( n-1 \right) 5 \\
43 - 3 &= 5n- 5\\
40 -5 &= 5n \\
35 &= 5n\ \rightarrow n=7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 7$
18. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Besar sudut terkecil dari dua jarum jam pada pukul $22.10$ adalah...
$(A)\ 145^{\circ} $
$(B)\ 125^{\circ} $
$(C)\ 115^{\circ} $
$(D)\ 95^{\circ} $
Alternatif Pembahasan:
Untuk soal lainnya tentang topik Contoh Soal dan Pembahasan Cara Menghitung Besar Sudut Dua Jarum Jam.
- Besar sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam ketika pukul $22.00$ adalah $\dfrac{360}{12} \times 2=60^{\circ}$
- Jarum jam panjang (biru) berputar $60^{\circ}$ dari posisi mula-mula sehingga jarum jam pendek (hijau) berputar $\dfrac{60}{12}=5^{\circ}$ dari posisi mula-mula
- Jarum jam pendek (hijau) menjauhi angka $10$ sejauh $5^{\circ}$, total sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam adalah:
$\begin{align}
& \left( 30^{\circ}-5^{\circ} \right)+\left( 3 \times 30^{\circ} \right) \\
&= 25^{\circ}+90^{\circ} \\
&=115^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 115^{\circ}$
19. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Dalam sebuah bujursangkar dibuat empat buah persegi panjang yang sama sehingga terdapat bujursangkar kecil di dalamnya (seperti tampak dalam gambar).
Jika diketahui luas bujursangkar besar adalah sembilan kali lebih besar dari luas bujur sangkar kecil, maka perbandingan sisi panjang dan sisi pendek dari persegi panjang adalah...
$(A)\ \dfrac{5}{4} $
$(B)\ \dfrac{4}{3} $
$(C)\ \dfrac{3}{2} $
$(D)\ \dfrac{2}{1} $
Alternatif Pembahasan:
Kita coba dengan memisalkan sisi persegipanjang dengan $a \times b$ sehingga persegi kecil ukurannya adalah $(b-a)$ dan luasnya $(b-a)^{2}$ dan persegi besar ukurannya adalah $(b+a)$ dan luasnya $(b+a)^{2}$.
$\begin{align}
\left( a+b \right)^{2} &= 9 \left( a-b \right)^{2}\\
\left( a+b \right)^{2} &= \left[ 3(a-b) \right]^{2}\\
a+b &= 3a-3b \\
4b &= 2a \\
\dfrac{b}{a} &=\dfrac{2}{4} =\dfrac{2}{1}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2}{1}$
20. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Sebuah tempat penampungan air berbentuk tabung dengan tinggi $1,2\ m$ dan diameter $70\ cm$. Tempat penampungan air itu akan diisi air dengan kecepatan rata-rata $6$ liter per menit. Tempat penampungan tersebut akan penuh setelah...
$(A)\ 1\ \text{jam}\ 17\ \text{menit} $
$(B)\ 1\ \text{jam}\ 27\ \text{menit} $
$(C)\ 2\ \text{jam}\ 34\ \text{menit} $
$(D)\ 2\ \text{jam}\ 51\ \text{menit} $
Alternatif Pembahasan:
Penampungan air berbentuk tabung sehingga volume tempat penampungan air dengan $\pi=\dfrac{22}{7}$ adalah:
$\begin{align}
V_{t} &= \pi\ r^{2} \cdot t \\
&= \dfrac{22}{7} \cdot 35^{2} \cdot 120 \\
&= \dfrac{22}{7} \cdot 35 \cdot 35 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 30 \\
&= 22 \cdot 21000 \\
&= 462.000\ cm^{3} \\
&= 462\ dm^{3} = 462\ \text{liter}
\end{align}$
Kecepatan rata-rata untuk mengisi tabung adalah $6$ liter per menit sehingga untuk mengisi $462$ liter dibutuhkan waktu $\dfrac{462}{6}=77$ menit atau setara dengan $1$ jam $17$ menit.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1\ \text{jam}\ 17\ \text{menit} $
21. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Perhatikan gambar, $O$ adalah pusat lingkaran.
Jika $\angle RQS + \angle RPS =80^{\circ} $ maka $\angle ROS + \angle RTS = \cdots $
$(A)\ 60^{\circ} $
$(B)\ 80^{\circ} $
$(C)\ 100^{\circ} $
$(D)\ 120^{\circ} $
Alternatif Pembahasan:
Karena $\angle RQS$, $\angle RPS$ dan $\angle RTS$ menghadap busur yang sama $RS$ sehingga $\angle RQS=\angle RPS=\angle RTS$.
Diketahui juga $\angle RQS + \angle RPS =80^{\circ}$ sehingga $\angle RQS = \angle RPS =\angle RTS =40^{\circ} $.
$\begin{align}
\angle ROS + \angle RTS &= 80^{\circ} + 40^{\circ} \\
&= 120^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 120^{\circ}$
22. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Jika $u_{1},u_{2},u_{3}, \cdots$ adalah barisan geometri yang memenuhi $u_{3}-u_{6}=x$ dan $u_{2}-u_{4}=y$, maka $\dfrac{x}{y}=\cdots$
$(A)\ \dfrac{\left( r^{3}-r^{2}-r \right)}{\left( r-1 \right)}$
$(B)\ \dfrac{\left( r^{3}-r^{2}+r \right)}{\left( r-1 \right)}$
$(C)\ \dfrac{\left( r^{3}+r^{2}+r \right)}{\left( r+1 \right)}$
$(D)\ \dfrac{\left( r^{3}-r^{2}+r \right)}{\left( r+1 \right)}$
Alternatif Pembahasan:
Karena $u_{1},u_{2},u_{3}, \cdots$ adalah barisan geometri sehingga berlaku $a,ar,ar^{2}, \cdots, ar^{n}$.
$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= \dfrac{u_{3}-u_{6}}{u_{2}-u_{4}} \\
&= \dfrac{ar^{2}-ar^{5}}{ar - ar^{3}} \\
&= \dfrac{ar^{2} \left( 1- r^{3} \right)}{ar \left( 1 - r^{2} \right)} \\
&= \dfrac{r \left( 1- r^{3} \right)}{ \left( 1 - r^{2} \right)} \\
&= \dfrac{r \left( 1- r \right) \left( 1+r+r^{2} \right)}{ \left( 1 - r \right)\left( 1 + r \right)} \\
&= \dfrac{r \left( 1+r+r^{2} \right)}{ \left( 1 + r \right)} \\
&= \dfrac{ \left( r^{3}+r^{2}+r \right)}{ \left( r + 1 \right)}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\left( r^{3}+r^{2}+r \right)}{\left( r+1 \right)}$
23. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian $6$ siswa adalah $6$. Jika median data tersebut adalah $6$ dan selisih antar kuartil ke-$1$ dan ke-$3$ adalah $4$, maka jumlah dua nilai ujian tertinggi adalah...
$(A)\ 14 $
$(B)\ 15 $
$(C)\ 16 $
$(D)\ 17 $
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan nilai $6$ siswa adalah $x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$, dengan apa yang disampaikan di soal kita peroleh:
- Jangkauan $6$,
$\begin{align}
J &= x_{6}-x_{1} \\
6 &= x_{6}-x_{1} \\
x_{1} &= x_{6}-6
\end{align}$ - Median $6$,
$\begin{align}
Me &= \dfrac{x_{3}+x_{4}}{2} \\
6 &= \dfrac{x_{3}+x_{4}}{2} \\
12 &= x_{3}+x_{4}
\end{align}$ - Selisih antar kuartil ke-$1$ dan ke-$3$ adalah $4$
$\begin{align}
4 &= Q_{3}-Q_{1} \\
4 &= x_{5}-x_{2} \\
x_{2} &= x_{5}- 4
\end{align}$ - Rata-rata $6$,
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}}{6} \\
6 &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}}{6} \\
36 &= x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6} \\
36 &= \left( x_{6}-6 \right)+ \left( x_{5}- 4 \right)+ \left( 12 \right)+x_{5}+x_{6} \\
36 &= 2+2x_{5}+2x_{6} \\
34 &= 2 \left( x_{5}+ x_{6} \right) \\
17 &= x_{5}+ x_{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 17$
24. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Diketahui $BC$ sejajar dengan $DE$ seperti pada gambar. Jika $BC=6\ cm$, $DE=3\ cm$, dan jarak antara $BC$ dan $DE$ adalah $6\ cm$, maka jumlah luas segitiga $ABC$ dan $ADE$ adalah...
$(A)\ 12 $
$(B)\ 15 $
$(C)\ 18 $
$(D)\ 24 $
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas dapat kita peroleh beberapa keterangan, antara lain:
- sudut $\angle BAC = \angle DAE$ Sudut bertolak belakang,
- garis $BC$ dan garis $DE$ adalah sejajar sehingga $\angle CBA = \angle DEA$ dan $\angle BCA = \angle EDA$,
- karena besar ketiga sudut segitiga sama maka $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADE$
Karena $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADE$ sehingga berlaku (*pelajari perbandingan yang berlaku pada segitiga yang sebangun):
$\begin{align}
\dfrac{BC}{DE} &= \dfrac{t_{ABC} }{t_{ADE}}\\
\dfrac{6}{3} &= \dfrac{t_{ABC} }{6-t_{ABC}}\\
36-6t_{ABC} &= 3t_{ABC} \\
36 &= 9t_{ABC} \\
4 &= t_{ABC} \\
2 &= t_{ADE} \\
\end{align}$
Jumlah luas segitiga adalah:
$\begin{align}
\left[ ABC \right]+ \left[ ADE \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 + \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2\\
&= 12 + 3 = 15
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 15$
25. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Bentuk sederhana dari:
$\sqrt{8+ \sqrt{60}}$ adalah...
$(A)\ \sqrt{5} +\sqrt{3} $
$(B)\ \sqrt{6} + 2 $
$(C)\ 2 +\sqrt{3} $
$(D)\ \sqrt{6} +\sqrt{2} $
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal di atas, dapat kita sederhanakan dengan menarik akar kuadrat:
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
- $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
\sqrt{8+ \sqrt{60}} &= \sqrt{8+ \sqrt{60}} \\
&= \sqrt{8+ \sqrt{4 \cdot 15}} \\
&= \sqrt{8+ 2\sqrt{15}} \\
&= \sqrt{(5+3)+ 2\sqrt{(5)(3)}} \\
&= \sqrt{5}+\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{5} +\sqrt{3}$
26. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
$\dfrac{\left (\sqrt[3]{x^{4}} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x+1}} \right )}{x\sqrt[6]{x+1}}=\cdots$
$(A)\ x \sqrt{x+1} $
$(B)\ x $
$(C)\ 1 $
$(D)\ \dfrac{1}{\sqrt[6]{x^{2}}} $
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal di atas, dapat kita sederhanakan dengan sifat-sifat bentuk akar menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \dfrac{\left (\sqrt[3]{x^{4}} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x+1}} \right )}{x\sqrt[6]{x+1}} \\
&= \dfrac{ \left (x^{\frac{4}{3}} \right) \left ( \sqrt[3]{x^{2} (x+1)^{\frac{1}{2}}} \right )}{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{\left ( x^{\frac{4}{3}} \right )\left ( x^{\frac{2}{3}} (x+1)^{\frac{1}{6}} \right)}{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{ x^{\frac{4}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}} }{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{ x^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}}{x } \\
&= \dfrac{ x^{\frac{6}{3}}}{x}=\dfrac{ x^{2}}{x}=x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x$
27. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Agar ketiga garis $3x+2y+4=0$, $x-3y+5=0$ dan $2x+(m+1)y-1=0$ berpotongan di satu titik maka nilai $m$ haruslah...
$(A)\ -3 $
$(B)\ 2 $
$(C)\ 3 $
$(D)\ 4 $
Alternatif Pembahasan:
Agar ketiga garis berpotongan pada satu titik, kita coba menganilisa titik potong dua garis yang sudah lengkap, yaitu:
$\begin{array}{c|c|cc}
3x+2y+4 =0\ & (\times 1) \\
x-3y+5 =0\ & (\times 3) \\
\hline
3x+2y+4 =0 & \\
3x-9y+15 =0\ \ \ (-) & \\
\hline
11y-11 = 0 & \\
y = 1 & \\
x-3y+5 =0 &\\
x-3(1)+5 =0 &\\
x + 2 =0 &\\
x = -2
\end{array} $
Agar ketiga garis berpotngan di satu titik maka garis $2x+(m+1)y-1=0$ harus juga melalui titik $(-2,1)$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
2x+(m+1)y-1 &=0 \\
2(-2)+(m+1)(1)-1 &=0 \\
-4+m+1 -1 &=0 \\
m &= 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
28. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis $6x-10y-7=0$, dan $3x+4y-8=0$ dan tegak lurus dengan garis ke-2 adalah...
$(A)\ 3y-4x+13 =0 $
$(B)\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} =0 $
$(C)\ 3y+4x-13 =0 $
$(D)\ 3y-4x+10 =0 $
Alternatif Pembahasan:
Garis yang melalui titik potong dua garis, yaitu:
$\begin{array}{c|c|cc}
6x-10y-7 & =0\ (\times 1) \\
3x+4y-8 & =0\ (\times 2) \\
\hline
6x-10y-7 & =0 \\
6x+8y-16 & =0 (-) \\
\hline
-18y+9 = 0 & \\
y = \dfrac{1}{2} & \\
6x-10y-7 =0 & \\
6x-10 \left( \dfrac{1}{2} \right)-7 =0 & \\
6x-5-7 =0 & \\
6x = 12 & \\
x = 2 & \\
\end{array} $
Garis yang akan kita tentukan adalah garis yang melalui titik $\left(2, \dfrac{1}{2} \right)$ dan tegak lurus dengan $3x+4y-8=0$, dengan $m=-\dfrac{3}{4}$.
Jika dua garis saling tegak lurus, maka perkalian gradien kedua garis adalah $-1$, sehingga gradien garis yang kita pakai adalah $m=\dfrac{4}{3}$ dan persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &=m \left( x - x_{1} \right) \\
y- \dfrac{1}{2} &=\dfrac{4}{3} \left( x - 2 \right) \\
6y- 3 &= 8 \left( x - 2 \right) \\
6y- 3 &= 8 x - 16 \\
6y- 8x +13 = 0 & \\
3y- 4x + \dfrac{13}{2} = 0 & \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} =0$
29. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Jika garis $g$ melalui titik $P(-2,1)$ dan memotong parabola $y=x^{2}-4x+3$ di titik $Q(x,y)$ dan $R(4,3)$, maka $y-5x=\cdots$
$(A)\ -\dfrac{1}{3} $
$(B)\ -\dfrac{1}{4} $
$(C)\ \dfrac{1}{9} $
$(D)\ \dfrac{1}{2} $
Alternatif Pembahasan:
Kita coba mulai dengan memisalkan garis $g: y=mx+n$, karena garis $g$ melalui titik $P(-2,1)$ dan $R(4,3)$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
1 = -2m+n &\\
3 = 4m+n\ &(-)\\
\hline
-2 = -6m & \\
m = \dfrac{1}{3} &\\
\hline
1 = -2 \left( \dfrac{1}{3} \right) + n & \\
1 = - \dfrac{2}{3} + n & \\
n = \dfrac{5}{3}
\end{array} $
Persamaan garis $g$ adalah $y=mx+n$, yaitu:
$\begin{align}
y &= \dfrac{1}{3} x+ \dfrac{5}{3} \\
3y &= x + 5 \\
\end{align}$
Garis $3y = x + 5$ memotong parabola $y=x^{2}-4x+3$ di titik $Q(x,y)$ dan $R(4,3)$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &= y \\
\dfrac{1}{3} x+ \dfrac{5}{3} &= x^{2}-4x+3 \\
x+5 &= 3x^{2}-12x+9 \\
3x^{2}-13x+4 &= 0 \\
(3x- 1)(x- 4) &= 0 \\
x=\dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x=4 & \\
\end{align}$
Titik $R(4,3)$, untuk $x=4$ maka $y=3$
Titik $Q(x,y)$, untuk $x=\dfrac{1}{3}$ maka $y= \dfrac{1}{3} x+ \dfrac{5}{3} =\dfrac{16}{9}$, sehingga nilai $y-5x=\dfrac{16}{9}-5 \left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{1}{9}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{9}$
30. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Jika kedua akar persamaan $x^{2}-px+p=0$ bernilai positif, maka jumlah kuadrat akar-akar itu mempunyai ekstrem...
$(A)\ \text{Minimum}\ -1 $
$(B)\ \text{Maksimum}\ -1 $
$(C)\ \text{Minimum}\ 8 $
$(D)\ \text{Maksimum}\ 8 $
Alternatif Pembahasan:
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-px+p=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka berlaku:
- Jumlah akar-akar $\alpha+\beta =-\dfrac{b}{a}=p$
- Perkalian akar-akar $\alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a}=p$
- Jumlah kadrat akar-akar
$\begin{align}
/alpha^{2}+\beta^{2} &= \left( \alpha +\beta \right)^{2}-2 \alpha \beta \\
&= p^{2}-2p
\end{align}$ - Nilai minimum $y=p^{2}-2p$ adalah
$\begin{align}
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
&= -\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(0)}{4(1)} \\
&= -\dfrac{4-0}{4}=-1
\end{align}$
(*belajar lebih banyak tentang fungsi kuadrat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \text{Minimum}\ -1$
31. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $x^{4}-x^{2} \lt 0 $ adalah...
$(A)\ -2 \lt x \lt 2 $
$(B)\ -2 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 2 $
$(C)\ -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 $
$(D)\ -1 \lt x \lt 1 $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
x^{4}-x^{2} & \lt 0 \\
x^{2} \left( x^{2}-1 \right) & \lt 0 \\
x^{2} \left( x -1 \right)\left( x +1 \right) & \lt 0
\end{align}$
Pembuat nol dari pertidaksamaan di atas ada tiga yaitu $x=-1$, $x=0$ dan $x=1$ kita gambarkan dalam garis bilangan dan kita lakukan uji nilai pada setiap daerah seperti berikut ini:
Dari gambar di atas daerah yang memenuhi $x^{2} \left( x -1 \right)\left( x +1 \right) \lt 0$ adalah $-1 \lt x \lt 0$ atau $0 \lt x \lt 1$
(*belajar lebih banyak tentang pertidaksamaan)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$
32. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Perhatikan gambar persegi $ABCD$ dan jajargenjang $EFGH$ di bawah ini...
Jika luas daerah yang tidak diarsir adalah $61\ cm^{2}$, maka luas daerah yang diarsir adalah...
$(A)\ 6\ cm^{2} $
$(B)\ 10\ cm^{2} $
$(C)\ 12\ cm^{2} $
$(D)\ 20\ cm^{2} $
Alternatif Pembahasan:
- Luas daerah persegi $ABCD$ adalah $\left[ ABCD \right]= 25\ cm^{2}$
- Pada persegi Luas daerah tidak diarsir adalah $25- [arsir]$
- Luas daerah jajargenjang $EFGH$ adalah $\left[ EFGH \right]= 48\ cm^{2}$
- Pada jajargenjang Luas daerah tidak diarsir adalah $48- [arsir]$
$\begin{align}
61 &= 25 - [arsir] + 48 - [arsir]\\
61 &= 73 - 2[arsir] \\
2[arsir] &= 73 - 61 \\
2 [arsir] &= 12 \\
[arsir] &= 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6\ cm^{2}$
33. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Sebuah taman berbentuk persegipanjang berukuran $(30\ m \times 18\ m)$. Di sekeliling taman dipasang tiang lampu dengan jarak antar lampu $6\ m$. Jika harga tiap tiang lampu $Rp200.000$ per tiang, maka biaya yang diperlukan seluruhnya adalah...
$(A)\ Rp2.400.000,00 $
$(B)\ Rp3.200.000,00 $
$(C)\ Rp4.000.000,00 $
$(D)\ Rp4.800.000,00 $
Alternatif Pembahasan:
Tiang lampu dipasang di sekeliling kolam, sehingga kita cari terlebih dahulu keliling kolam yaitu:
$\begin{align}
\text{Keliling} &= 2(p+l)\\
&= 2(30+18)\\
&= 96
\end{align}$
Tiang lampu dipasang berjarak $6\ m$ sehingga banyak tiang lampu adalah $\dfrac{96}{6}=16$ tiang.
Biaya yang dibutuhkan untuk tiap tiang lampu adalah $Rp200.000$ sehingga biaya keseluruhan adalah $200.000 \times 16 = 3.200.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp3.200.000,00$
34. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Sebuah gedung berbentuk balok dengan ukuran $15\ m \times 10\ m \times 4\ m$. Dinding bagian dalam di cat seluruhnya dengan biaya $Rp30.000,00$ permeter persegi. Seluruh biaya pengecatan gedung adalah...
$(A)\ Rp6.000.000,00 $
$(B)\ Rp6.900.000,00 $
$(C)\ Rp9.000.000,00 $
$(D)\ Rp12.000.000,00 $
Alternatif Pembahasan:
Balok dengan ukuran $15\ m \times 10\ m \times 4\ m$, secara umum berarti $p=15$, $l=10$ dan $t=4$ sehingga yang membentuk dinding adalah ukuran $2 \times \left( 15\ m \times 4\ m \right)=120\ m^{2}$ dan $2 \times \left( 10\ m \times 4\ m \right)=80\ m^{2}$. Total luas dinding adalah $200\ m^{2}$.
Biaya total yang dibutuhkan untuk pengecatan dinding adalah $30.000 \times 200$ atau $Rp6.000.000,00$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ Rp6.000.000,00$
35. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Budi dan Tini berbelanja di toko yang sama dalam minggu yang sama selama $5$ hari (Senin sampai dengan Jumat). Mereka masing-masing mempunyai peluang yang sama untuk berbelanja di toko pada $5$ hari tersebut. Peluang mereka berbelanja di toko itu pada hari yang berurutan adalah...
$(A)\ 0,20 $
$(B)\ 0,25 $
$(C)\ 0,32 $
$(D)\ 0,50 $
Alternatif Pembahasan:
Peluang Budi dan Tini belanja adalah sama, peluang Budi belanja adalah $P(B)=\dfrac{1}{5}$ dan peluang Tini belanja adalah $P(T)=\dfrac{1}{5}$.
Mereka berbelanja pada hari yang berurutan terjadi pada delapan kemungkinan yaitu:
- Budi Senin - Tini Selasa atau sebaliknya,
- Budi Selasa - Tini Rabu atau sebaliknya,
- Budi Rabu - Tini Kami, satau sebaliknya
- Budi Kamis - Tini Jumat, atau sebaliknya
Peluang Budi berbelanja hari Senin adalah $\dfrac{1}{5}$ dan peluang Tini berbelanja hari Selasa adalah $\dfrac{1}{5}$, sehingga peluang Budi berbelanja senin dan Tini Selasa adalah $\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{25}$.
Total kemungkinan peluang Budi dan Tini belanja pada hari yang berurutan adalah $8 \times \dfrac{1}{25}=0,32$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0,32$
36. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Sebuah kapal dari pelabuhan berlayar ke selatan sejauh $72\ km$, kemudian belok ke timur sejauh $21\ km$, jarak terdekat kapal sekarang dari pelabuhan adalah...
$(A)\ 93\ km $
$(B)\ 84\ km $
$(C)\ 75\ km $
$(D)\ 65\ km $
Alternatif Pembahasan:
Keadaan pelabuhan dan kapal dapat kita ilustrasikan seperti berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 75\ km$
37. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Perhatikan data pada tabel berikut ini!
Modus dari data pada tabel adalah...
Tinggi Badan Frekuensi $151-155$ $3$ $156-160$ $6$ $161-165$ $13$ $166-170$ $10$ $171-175$ $6$ $176-180$ $2$
$(A)\ 163,50 $
$(B)\ 164 $
$(C)\ 166,25 $
$(D)\ 166,50 $
Alternatif Pembahasan:
Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi yang paling besar.
Untuk data tunggal modus suatu data mudah ditemukan, tetapi untuk data berkelompok modus data sedikit lebih rumit.
Modus data berkelompok dirumuskan seperti berikut ini;
$Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c$
dimana;
$Tb_{mo}:$Tepi bawah kelas modus, dan Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi paling besar.
Kelas modus, dari tabel terlihat bahwa kelas frekuensi tertinggi adalah kelas $161-165$, sehingga $(Tb_{mo} = 161 - 0,5 = 160,5)$;
$d_1:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum kelas modus; $(d_{1}=13-6=7)$;
$d_2:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudah kelas modus; $(d_{2}=13-10=3)$;
$c:$ Panjang Kelas $(c=151,5-155,5=5)$;
$ \begin{align}
Mo & = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c \\
& = 160,5 + \left( \frac{7}{7 + 3} \right) \cdot 5 \\
& = 160,5 + \left( \frac{7}{10} \right) \cdot 5 \\
& = 160,5 + 3,5 \\
& = 164
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 164$
38. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Perhatikan limas beraturan $T.ABCD$ berikut.
Besar sudut antara bidang $TAD$ dan $TBC$ adalah...
$(A)\ 90^{\circ} $
$(B)\ 60^{\circ} $
$(C)\ 45^{\circ} $
$(D)\ 30^{\circ} $
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan sudut antara bidang $TAD$ dan $TBC$, kita tarik garis melalui $T$ yang tegak lurus $BC$ dan $AD$ sehingga kita peroleh sudut $ETF=\alpha$ seperti gambar berikut:
$\begin{align}
TE^2=TF^{2} & = TC^{2}-CF^{2} \\
& = (\sqrt{3})^{2}-(1)^{2} \\
& = 3-1 = 2 \\
TE =TF & = \sqrt{2}
\end{align}$
Dengan cara yang sama pada $\bigtriangleup TT'F$ dapat kita tentukan panjang $TT'$ yaitu:
$\begin{align}
TT'^{2} & = TF^{2}-T'F^{2} \\
& = (\sqrt{2})^{2}-(1)^{2} \\
& = 2-1 = 1 \\
TT' & = \sqrt{1} =1
\end{align}$
Dengan panjang $TT'=1$, maka luas $\bigtriangleup TEF$ adalah $\left[ TEF \right]=\dfrac{1}{2} \cdot (1) \cdot (2)=1$
Untuk menghitung luas $\bigtriangleup TEF$ dapat juga dengan cara (*jika diketahui dua sisi dan satu sudut)
$\begin{align}
\left[ TEF \right] &=\dfrac{1}{2} \cdot (TE) \cdot (EF) \cdot sin\ \alpha \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot (\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2}) \cdot sin\ \alpha \\
&= sin\ \alpha
\end{align}$
Dari hasil di atas, dapat kita ambil kesimpulan:
$\begin{align}
\left[ TEF \right] & = \left[ TEF \right] \\
sin\ \alpha & = 1 \\
\alpha & = 90^{\circ} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 90^{\circ}$
39. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Sebuah Prisma segitiga $ABC.DEF$ dengan panjang rusuk alasnya $AB=AC=12\ cm$, sudut $\angle ABC=30^{\circ}$ dan tinggi prisma $20\ cm$. Luas permukaan prisma tersebut adalah...
$(A)\ \left(420+240\sqrt{3}\ \right) cm^{2} $
$(B)\ \left(420+280\sqrt{3}\ \right) cm^{2} $
$(C)\ \left(480+240\sqrt{3}\ \right) cm^{2} $
$(D)\ \left(480+312\sqrt{3}\ \right) cm^{2} $
Alternatif Pembahasan:
Luas permukaan prisma segitiga dapat kita hitung dengan cara menghitung luas bangun datar yang membentuk prsma segitiga.
$\begin{align}
\left[ ABED \right] & = 2 \cdot AB \cdot AD \\
& = 12 \cdot 20 \\
& = 240
\end{align}$
Untuk menghitung luas $\bigtriangleup ABC$ kita butuh panjang $AA'$ dan $BA'$, dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada $\bigtriangleup AA'B$
$\begin{align}
sin\ 30^{\circ} & = \dfrac{AA'}{AB} \\
\dfrac{1}{2} & = \dfrac{AA'}{12} \\
6 & = AA' \\
\hline
cos\ 30^{\circ} & = \dfrac{BA'}{AB} \\
\dfrac{1}{2} \sqrt{3} & = \dfrac{BA'}{12} \\
6 \sqrt{3} & = BA' \\
\hline
\left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AA' \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6 \\
& = 36 \sqrt{3} \\
\end{align}$
Lalu luas persegi panjang $BCFE$
$\begin{align}
\left[ BCFE \right] & = BC \cdot CF \\
& = 12\sqrt{3} \cdot 20 \\
& = 240\sqrt{3}
\end{align}$
Total luas permukaan prisma segitiga adalah
$\begin{align}
& 2 \left[ ABED \right] + 2 \left[ ABC \right] + \left[ BCFE \right] \\
& = 2(240)+ 2 \left( 36 \sqrt{3} \right) + 240 \sqrt{3} \\
& = 480 + 72 \sqrt{3} + 240 \sqrt{3} \\
& = 480 + 312 \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left(480+312\sqrt{3} \right) cm^{2}$
40. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah penyelesaian $x^{{}^3\!\log x}=81$, maka $x_{1}x_{2}=\cdots$
$(A)\ -2 $
$(B)\ -1 $
$(C)\ 1 $
$(D)\ 2 $
Alternatif Pembahasan:
Jika kita jabarkan dan dengan menggunakan beberapa sifat logaritma, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
x^{{}^3\!\log x} &=81 \\
{}^x\!\log 81 &= {}^3\!\log x \\
{}^x\!\log 3^{4} &= {}^3\!\log x \\
4 \cdot {}^x\!\log 3 &= {}^3\!\log x \\
\hline
mis:\ {}^3\!\log x=a & \\
\hline
4 \cdot \dfrac{1}{a} &= a \\
4 &= a^{2} \\
a^{2} - 4 &= 0 \\
\hline
a_{1} + a_{2} & = - \dfrac{b}{a} \\
{}^3\!\log x_{1} + {}^3\!\log x_{2} & = 0 \\
{}^3\!\log x_{1} x_{2} & = {}^3\!\log 1 \\
x_{1} x_{2} & = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Jika tertarik untuk menyelesaikan soal simulasi untuk mata pelajaran yang lain silahkan download pada link berikut ini:
- Soal Simulasi Matematika Masuk SMA Unggul Tahun 2019 (*Soal Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige) 👀 📥 Download File
- Soal Simulasi IPS Masuk SMA Unggul Tahun 2019 (*Soal Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige) 👀 📥 Download File
- Soal Simulasi IPA Masuk SMA Unggul Tahun 2019 (*Soal Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige) 👀 📥 Download File
- Soal Simulasi B.Inggris Masuk SMA Unggul Tahun 2019 (*Soal Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige) 👀 📥 Download File
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Pembahasan 40 Soal Latihan Matematika Tes Masuk SMA Unggul - SMA Plus - SMA Favorit Tahun 2023 silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊