40 Soal dan Pembahasan Simulasi Masuk SMA Unggul/Plus Tahun 2020 (*Soal Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige)
Catatan calon guru kali ini kita coba berdiskusi untuk persiapan masuk SMA unggulan atau SMA Plus. Soal yang kita coba diskusikan kita pilih dari soal simulasi masuk SMA Unggulan atau SMA Plus yang dilaksanakan oleh Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige.
Soal-soal masuk SMA unggulan atau SMA Plus, secara umum tingkat kesulitannya lebih tinggi daripada soal-soal Ujian Nasional SMP, bahkan ada beberapa soal yang sudah setara dengan soal Olimpiade Matematika Tingkat Kabupaten (OSK) atau soal-soal masuk Perguruan Tinggi Nageri (PTN).
Sebagai contoh soal masuk SMA Unggulan atau SMA Plus dapat dipelajari dari dua contoh berikut ini:
- Soal dan Pembahasan masuk Asrama Yasop SMA Negeri 2 Balige 📥 Download File
- Soal dan Pembahasan masuk SMA Unggul Del 📥 Download File
Soal simulasi masuk SMA Unggulan atau SMA Plus yang dilaksanakan oleh Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige berikut terdiri dari 40 soal ini, beberapa diantaranya sudah pernah diujikan pada ujian masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN). Mari kita diskusikan beberapa soal simulasi masuk SMA unggulan ini yang diujikan pada bulan November 2019 kemarin:
1. Pada suatu penangkaran terdapat burung pipit dan burung dara. Ketika $5$ burung pipit dilepaskan, jumlah burung dara dua kali burung pipit yang tersisa. Kemudian, ketika $25$ ekor burung dara dilepaskan, burung pipit yang tersisa adalah $3$ kali burung dara yang tersisa. Jumlah burung pipit semula adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 20 \\
(B)\ & 25 \\
(C)\ & 30 \\
(D)\ & 35
\end{align}$
Kita coba misalkan jumlalh burung dara mula-mula adalah $d$ dan jumlah burung pipit mula-mula adalah $p$.
Dari pernyataan "Ketika $5$ burung pipit dilepaskan, jumlah burung dara dua kali burung pipit yang tersisa" kita peroleh persamaan $2(p-5) = d$
Dari pernyataan "Kemudian, ketika $25$ ekor burung dara dilepaskan, burung pipit yang tersisa adalah $3$ kali burung dara yang tersisa" kita peroleh persamaan $3(d-25) = p-5$
$\begin{align}
3(d-25) &= p-5 \\
3 d-75 &= \dfrac{1}{2}d \\
3 d-\dfrac{1}{2}d &= 75 \\
\dfrac{5}{2}d &= 75 \\
5d &= 150 \\
d &= 30 \\
\hline
3(d-25) &= p-5 \\
3(30-25) &= p-5 \\
15 &= p-5 \\
20 &= p
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 20$
2. Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika keliling segitiga$=24\ cm$, maka luas segitiga tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 20\ cm^{2} \\
(B)\ & 24\ cm^{2} \\
(C)\ & 28\ cm^{2} \\
(D)\ & 32\ cm^{2} \\
\end{align}$
Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika sehingga sisi-sisi segitiga siku-siku dapat kita misalkan menjadi $3x, 4x, 5x$.
Karena keliling segitiga adalah $24$ sehingga berlaku
$\begin{align}
3x + 4x + 5x &= 24 \\
12x &= 24 \\
x &= 2
\end{align}$
Sisi segitiga siku-siku adalah $3x,4x,5x$ dengan $x=2$ sisi segitiga adalah $6,8,10$.
$\begin{align}
L &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \\
&= 24
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24\ cm^{2}$
3. Misalkan rata-rata nilai ujian Matematika dari $30$ siswa adalah $8,4$. Jika nilai yang terkecil tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi $8,5$ sedangkan jika nilai terbesarnya tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi $8,2$. Jangkauan dari nilai ujian Matematika adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7,4 \\
(B)\ & 7,8 \\
(C)\ & 8,2 \\
(D)\ & 8,7 \\
\end{align}$
Kita misalkan nilai dari $30$ siswa yang sudah kita urutkan dari yang terkecil ke terbesar adalah $x_{1},x_{2}, \cdots , x_{29},x_{30}$.
Rata-rata data tunggal untuk $30$ nilai adalah $8,4$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30}}{30} &=\overline{x} \\
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 8,4 \cdot 30 \\
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 252
\end{align}$
Nilai yang terkecil tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi $8,5$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30}}{29} &=\overline{x} \\
x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 8,5 \cdot 29 \\
x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 246,5 \\
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 252 \\
\hline
x_{1} &= 252-246,5 \\
&=5,5
\end{align}$
Nilai yang terbesar tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi $8,2$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}}{29} &=\overline{x} \\
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29} &= 8,2 \cdot 29 \\
x_{1}+ x_{2}+\cdots +x_{29} &= 237,8 \\
x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{29}+x_{30} &= 252 \\
\hline
x_{30} &= 252-237,8 \\
&=14,2
\end{align}$
Jangkauan data adalah $R=x_{max}-x_{min}$ atau $R=x_{30}-x_{1}=14,2-5,5=8,7$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 8,7$
4. Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
$(A)\ 18\pi+18$
$(B)\ 18\pi-18$
$(C)\ 14\pi+14$
$(D)\ 14\pi-15$
$(E)\ 10\pi+10$
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://3.bp.blogspot.com/-XaFgpFmzupg/WabIatsvXNI/AAAAAAAALoM/YW-_XuvRbWQlAJLs7gWY7Sj6kjysP5OSQCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://1.bp.blogspot.com/-V4zD4q6coLA/WabLWH7IENI/AAAAAAAALoY/a3Vo47diixwDkAO2gg9NETEBOb-zobNDgCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://1.bp.blogspot.com/-DUFaYEpf7IQ/WabN4xjQwtI/AAAAAAAALok/Zz3XTWTvCkoP5enNZw2u-Z4-0m7SsVKdwCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran%2B2.png "Luas Arsiran")
$\begin{split}
L_{Biru} & = \dfrac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \dfrac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2} = \dfrac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://2.bp.blogspot.com/-lz2YMcWBLQQ/WabWzJh6MSI/AAAAAAAALo0/IgFr0sybGm0HdGCg95D_fGBdryN7H0nDgCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran%2B3.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
$\begin{split}
L_{Juring\ ABC} & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 = 9 \pi
\end{split}$
$\begin{split}
L_{ABC} & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\hline
L_{Tembereng} & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran adalah $ L_{Biru} +L_{Tembereng}$ yaitu $9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$
5. Jika $A^{2x}=2$, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{31}{18} \\
(B)\ & \dfrac{31}{9} \\
(C)\ & \dfrac{32}{18} \\
(D)\ & \dfrac{33}{9}
\end{align}$
Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} &= \dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \cdot \dfrac{A^{5x}}{A^{5x}} \\
&= \dfrac{A^{10x}-A^{0}}{A^{8x}+A^{2x}} \\
&= \dfrac{\left( A^{2x} \right)^{5}-1}{\left( A^{2x} \right)^{4}+A^{2x}} \\
&= \dfrac{\left(2 \right)^{5}-1}{\left( 2 \right)^{4}+ 2} \\
&= \dfrac{32-1}{16+ 2} \\
&= \dfrac{31}{18}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{31}{18}$
6. Suatu garis yang melalui titi $(0,0)$ membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut $(1,0),(5,0),(1,12)$ dan $(5,12)$ menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & \dfrac{12}{5}
\end{align}$
Suatu garis yang membagi persegi panjang jadi dua bagian yang sama adalah melalui titik $(0,0)$ maka adalah $y=mx$. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
24 & = \dfrac{1}{2}\ jumlah\ garis\ sejajar\ \cdot t \\
24 & = \dfrac{1}{2}\ (m+5m)(5-1) \\
24 & = 2(6m) \\
24 & = 12m \\
m & = 2 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$
7. Titik $X,\ Y,$ dan $Z$ terletak pada segitiga $ABC$ sehingga $AZ = AY$, $BZ = BX$, $CX = CY$ seperti pada gambar. Jika $BC,\ CA,$ dan $AB$ berturut-turut adalah $a\ cm$, $b\ cm$, dan $c\ cm$, maka $2AY = \cdots\ cm$.
$\begin{align}
(A)\ & -a+b+c \\
(B)\ & a-b+c \\
(C)\ & a+b-c \\
(D)\ & -a-b+c
\end{align}$
Dengan memperhatikan gambar dan unsur-unsur yang diketahui dan manipulasi aljabar, jika kita misalkan $AY=AZ=p$ maka bentuk alternatif penyelesaian soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
a &= c-p + b- p \\
a - b - c &= -2p \\
-a + b + c &= 2p \\
-a + b + c &= 2 AY
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -a + b + c$
8. Budi dapat sebuah gardu dalam $45$ hari, Toni dalam $30$ hari. Jika Budi dan Toni bekerja bersama-sama, maka pekerjaan akan selesai dalam...
$\begin{align}
(A)\ & 25\ \text{hari} \\
(B)\ & 18\ \text{hari} \\
(C)\ & 15\ \text{hari} \\
(D)\ & 12\ \text{hari}
\end{align}$
Kita coba dengan alternatif penyelesaian seperti berikut ini;
- $45$ hari Budi dapat menyelesaikan 1 gardu
- $30$ hari Toni dapat menyelesaikan 1 gardu
Sehingga dalam $90$ hari mereka berdua menyelesaikan 5 gardu.
Jadi $1$ gardu selesai bersama-sama dalam $\frac{90}{5}=18\ \text{hari}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\ \text{hari}$
9. Perbandingan uang Budi dan uang Rani adalah $3 : 4$, sedangkan perbandingan uang Rani dan uang Tini adalah $6:7$. Selisih uang Rani dan uang Budi adalah $Rp30.000$. Jumlah uang Budi dan Tini adalah...
$\begin{align}
(A)\ & Rp270.000,00 \\
(B)\ & Rp260.000,00 \\
(C)\ & Rp230.000,00 \\
(D)\ & Rp210.000,00
\end{align}$
Perbandingan uang Budi dan uang Rani adalah $3 : 4 \equiv 18x:24x$.
Perbandingan uang Rani dan uang Tini adalah $6 : 7 \equiv 24x:28x$
Selisih uang Rani dan uang Budi adalah $Rp30.000$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
24x-18x &= Rp30.000 \\
6x &= Rp30.000 \\
x &= 5.000
\end{align}$
Jumlah uang Budi dan Tini adalah:
$\begin{align}
18x+28x &=46x \\
&=46(5.000) \\
&= 230.000
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp230.000,00$
10. Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^x\!\log (x+12)-3 \cdot {}^x\!\log 4=-1$, maka $x+2y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 86 \\
(B)\ & 34 \\
(C)\ & -5 \\
(D)\ & -14
\end{align}$
Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan sifat logaritma serta manipulasi aljabar alternatif penjabaran penyelesaian soal di atas seperti berikut ini:
$\begin{align}
4^{y+3x} &=64 \\
2^{2y+6x} &=2^{6} \\
\hline
2y+6x &= 6
\end{align}$
$\begin{align}
{}^x\!\log (x+12)-3 \cdot {}^x\!\log 4 &= -1 \\
{}^x\!\log (x+12)- {}^x\!\log 4^{3} &= {}^x\!\log x^{-1} \\
{}^x\!\log \dfrac{x+12}{4^{3}} &= {}^x\!\log \dfrac{1}{x} \\
\hline
\dfrac{x+12}{64} &= \dfrac{1}{x} \\
x^{2}+12x &= 64 \\
x^{2}+12x - 64 &= 0 \\
(x+16)(x-4) &= 0 \\
x=-16\ \text{atau}\ x=4 &\\
\end{align}$
Untuk $x=-16$ tidak memenuhi karena syarat pada logaritma nilai $x \gt 0$, sehingga nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=4$.
$\begin{align}
2y+6x &= 6 \\
2y+6(4) &= 6 \\
y &= \dfrac{6-24}{2}=-9 \\
\hline
x+2y &= 4 + 2(-9) \\
&= -14
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -14$
11. Pedagang membeli $150$ kg beras dengan harga $Rp750.00,00$, jika pedagang menginginkan untung $15\%$, harga penjualan tiap $kg$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & Rp6.000,00 \\
(B)\ & Rp5.750,00 \\
(C)\ & Rp5.500,00 \\
(D)\ & Rp4.500,00
\end{align}$
Keuntungan yang diharapkan adalah $15\% \times Rp750.000,00 = Rp112.500,00$, sehingga keuntungan tiap $kg$ adalah $\dfrac{Rp112.500,00}{150}=Rp750,00$.
Harga penjualan tiap $kg$ adalah:
$\begin{align}
& Rp750,00+\dfrac{Rp750.000,00}{150} \\
& = Rp750,00+ Rp5.000,00 \\
& = Rp5.750,00
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp5.750,00$
12. Seutas tali dipotong menjadi $5$ bagian dengan panjang membentuk suatu barisan geometri, jika tali yang paling pendek $5\ cm$, dan yang paling panjang $405\ cm$. Panjang tali semula adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 530\ cm \\
(B)\ & 605\ cm \\
(C)\ & 705\ cm \\
(D)\ & 925\ cm
\end{align}$
Tali dipotong menjadi $5$ bagian dengan panjang membentuk suatu barisan geometri sehingga berlaku:
$\begin{align}
T &= a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4} \\
&= 5+5r+5r^{2}+5r^{3}+405 \\
\hline
& 405 = 5r^{4} \\
& \dfrac{405}{5} = r^{4} \\
& 81 = r^{4} \\
& 3 = r \\
\hline
T &= 5+5(3)+5(3)^{2}+5(3)^{3}+405 \\
&= 5+15+45+135+405 \\
&= 605
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 605$
13. Nilai $a,b$ dan $c$ adalah sisi-sisi sebuah segitiga, jika $a$ sisi terpanjang, maka pernyataan berikut yang selalu benar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & a \gt b+c \\
(B)\ & a \lt b+c \\
(C)\ & a \leq b+c \\
(D)\ & a^{2}+b^{2}=c^{2}
\end{align}$
Untuk setiap segitiga $ABC$, jika $a,b,c$ adalah panjang sisi-sisi segitiga maka berlaku $a+b \gt c$, $a+c \gt b$ dan $b+c \gt a$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ b+c \gt a $
14. Diketahui $5$ buah truk. Truk $A$ dan $B$ masing-masing memuat $4$ ton. Truk $C$ dan $D$ masing-masing memuat $6$ ton. Jika truk $E$ memuat $1$ ton lebih dari rata-rata muatan kelima Truk, maka muatan truk $A$ $+$ muatan truk $E$ $= \cdots$ ton.
$\begin{align}
(A)\ & 8,17 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 10,25
\end{align}$
Rata-rata kelima truk adalah:
$\begin{align}
\dfrac{A+B+C+D+E}{5} &=\overline{x} \\
\dfrac{4+4+6+6+E}{5} &=\overline{x} \\
\dfrac{20+E}{5} &=\overline{x} \\
20+E &=5 \overline{x} \\
E &=5 \overline{x} -20 \\
\hline
\overline{x} +1 &=5 \overline{x} -20 \\
21 &=4 \overline{x} \\
\dfrac{21}{4} &= \overline{x} \\
\hline
\dfrac{21}{4} &= \dfrac{20+E}{5} \\
105 &= 80+4E \\
25 &= 4E \\
\dfrac{25}{4} &= E \\
6,25 &= E \\
\hline
A+E &= 4+6,25 \\
&= 10,25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10,25$
15. Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$, maka nilai minimum dari $\alpha^{2}+\beta^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 25
\end{align}$
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$ dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ kita peroleh:
$\begin{align}
\alpha + \beta &= -\dfrac{b}{a} \\
&= -\dfrac{a+5}{1} = -a-5 \\
\alpha \cdot \beta &= \dfrac{c}{a} \\
&= \dfrac{5a}{1} = 5a \\
\hline
\alpha^{2}+\beta^{2} &= \left( \alpha +\beta \right)^{2} - 2 \alpha \cdot \beta \\
&= \left( -a-5 \right)^{2} - 2 \cdot 5a \\
&= a^{2}+10a+25 - 10a \\
&= a^{2}+25
\end{align}$
Untuk menghitung nilai minimum $\alpha^{2}+\beta^{2} = a^{2}+25$ kita gunakan rumus mencari nilai minimum/maximum fungsi kuadrat yaitu:
$\begin{align}
y_{min} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
&= -\dfrac{0^{2}-4(1)(25)}{4(1)} \\
&= -\dfrac{-100}{4} = 25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25$
16. Jika $cos\ x=2sin\ x$, maka nilai $sin\ x\ cos\ x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & \dfrac{2}{5}
\end{align}$
$\begin{align}
cos\ x &= 2sin\ x \\
\dfrac{sin\ x}{cos\ x} &= \dfrac{1}{2} \\
tan\ x &= \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Sesuai dengan pengertian $tan\ x$ yaitu perbandingan sisi di depan sudut $x$ dengan sisi siku di samping sudut $x$. Jika pada segitiga $ABC$ dan sudut $x$ pada sudut $A$, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini;
$\begin{align}
sin\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
cos\ x & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
\hline
sin\ x\ \cdot cos\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{2}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2}{5}$
17. Suku tengah barisan aritmatika adalah $23$. Jika suku terakhirnya $43$ dan suku ketiganya $13$, maka banyak suku barisan itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 11
\end{align}$
Untuk menghitung suku tengah barisan aritmatika yaitu $u_{t}=\dfrac{1}{2} \left(a + u_{n} \right)$.
misal: dari lima barisan aritmatika $\left(a \right)$, $\left(a+b \right)$, $\left(a+2b \right)$, $\left(a+3b \right)$, $\left(a+4b \right)$ kita peroleh suku tengah adalah $\left(a+2b \right)$ atau $\dfrac{1}{2} \left(a + a+4b \right)$.
dari apa yang disampaikan pada soal $u_{t}=23$, $u_{n}=43$ dan $u_{3}=23$
$\begin{align}
u_{t} &= \dfrac{1}{2} \left(a + u_{n} \right) \\
23 &= \dfrac{1}{2} \left(a + 43 \right) \\
46 &= a + 43 \\
3 &= a \\
\hline
u_{3} &= a+2b \\
13 &= 3+2b \\
13 -3 &= 2b \\
10 &= 2b\ \rightarrow b=5
\end{align}$
$\begin{align}
u_{n} &= a+ \left( n-1 \right) b \\
43 &= 3 + \left( n-1 \right) 5 \\
43 - 3 &= 5n- 5\\
40 -5 &= 5n \\
35 &= 5n\ \rightarrow n=7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 7$
18. Besar sudut terkecil dari dua jarum jam pada pukul $22.10$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 145^{\circ} \\
(B)\ & 125^{\circ} \\
(C)\ & 115^{\circ} \\
(D)\ & 95^{\circ}
\end{align}$
Untuk soal lainnya tentang topik Contoh Soal dan Pembahasan Cara Menghitung Besar Sudut Dua Jarum Jam.
- Besar sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam ketika pukul $22.00$ adalah $\dfrac{360}{12} \times 2=60^{\circ}$
- Jarum jam panjang (biru) berputar $60^{\circ}$ dari posisi mula-mula sehingga jarum jam pendek (hijau) berputar $\dfrac{60}{12}=5^{\circ}$ dari posisi mula-mula
- Jarum jam pendek (hijau) menjauhi angka $10$ sejauh $5^{\circ}$, total sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam adalah:
$\begin{align}
& \left( 30^{\circ}-5^{\circ} \right)+\left( 3 \times 30^{\circ} \right) \\
&= 25^{\circ}+90^{\circ} \\
&=115^{\circ}
\end{align}$
19. Dalam sebuah bujursangkar dibuat empat buah persegi panjang yang sama sehingga terdapat bujursangkar kecil di dalamnya (seperti tampak dalam gambar).
Jika diketahui luas bujursangkar besar adalah sembilan kali lebih besar dari luas bujur sangkar kecil, maka perbandingan sisi panjang dan sisi pendek dari persegi panjang adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{4} \\
(B)\ & \dfrac{4}{3} \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & \dfrac{2}{1} \\
\end{align}$
Kita coba dengan memisalkan sisi persegipanjang dengan $a \times b$ sehingga persegi kecil ukurannya adalah $(b-a)$ dan luasnya $(b-a)^{2}$ dan persegi besar ukurannya adalah $(b+a)$ dan luasnya $(b+a)^{2}$.
$\begin{align}
\left( a+b \right)^{2} &= 9 \left( a-b \right)^{2}\\
\left( a+b \right)^{2} &= \left[ 3(a-b) \right]^{2}\\
a+b &= 3a-3b \\
4b &= 2a \\
\dfrac{b}{a} &=\dfrac{2}{4} =\dfrac{2}{1}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2}{1}$
20. Sebuah tempat penampungan air berbentuk tabung dengan tinggi $1,2\ m$ dan diameter $70\ cm$. Tempat penampungan air itu akan diisi air dengan kecepatan rata-rata $6$ liter per menit. Tempat penampungan tersebut akan penuh setelah...
$\begin{align}
(A)\ & 1\ \text{jam}\ 17\ \text{menit} \\
(B)\ & 1\ \text{jam}\ 27\ \text{menit} \\
(C)\ & 2\ \text{jam}\ 34\ \text{menit} \\
(D)\ & 2\ \text{jam}\ 51\ \text{menit}
\end{align}$
Penampungan air berbentuk tabung sehingga volume tempat penampungan air dengan $\pi=\dfrac{22}{7}$ adalah:
$\begin{align}
V_{t} &= \pi\ r^{2} \cdot t \\
&= \dfrac{22}{7} \cdot 35^{2} \cdot 120 \\
&= \dfrac{22}{7} \cdot 35 \cdot 35 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 30 \\
&= 22 \cdot 21000 \\
&= 462.000\ cm^{3} \\
&= 462\ dm^{3} = 462\ \text{liter}
\end{align}$
Kecepatan rata-rata untuk mengisi tabung adalah $6$ liter per menit sehingga untuk mengisi $462$ liter dibutuhkan waktu $\dfrac{462}{6}=77$ menit atau setara dengan $1$ jam $17$ menit.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1\ \text{jam}\ 17\ \text{menit} $
21. Perhatikan gambar, $O$ adalah pusat lingkaran.
Jika $\angle RQS + \angle RPS =80^{\circ} $ maka $\angle ROS + \angle RTS = \cdots $
$\begin{align}
(A)\ & 60^{\circ} \\
(B)\ & 80^{\circ} \\
(C)\ & 100^{\circ} \\
(D)\ & 120^{\circ}
\end{align}$
Karena $\angle RQS$, $\angle RPS$ dan $\angle RTS$ menghadap busur yang sama $RS$ sehingga $\angle RQS=\angle RPS=\angle RTS$.
Diketahui juga $\angle RQS + \angle RPS =80^{\circ}$ sehingga $\angle RQS = \angle RPS =\angle RTS =40^{\circ} $.
$\begin{align}
\angle ROS + \angle RTS &= 80^{\circ} + 40^{\circ} \\
&= 120^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 120^{\circ}$
22. Jika $u_{1},u_{2},u_{3}, \cdots$ adalah barisan geometri yang memenuhi $u_{3}-u_{6}=x$ dan $u_{2}-u_{4}=y$, maka $\dfrac{x}{y}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\left( r^{3}-r^{2}-r \right)}{\left( r-1 \right)} \\
(B)\ & \dfrac{\left( r^{3}-r^{2}+r \right)}{\left( r-1 \right)} \\
(C)\ & \dfrac{\left( r^{3}+r^{2}+r \right)}{\left( r+1 \right)} \\
(D)\ & \dfrac{\left( r^{3}-r^{2}+r \right)}{\left( r+1 \right)}
\end{align}$
Karena $u_{1},u_{2},u_{3}, \cdots$ adalah barisan geometri sehingga berlaku $a,ar,ar^{2}, \cdots, ar^{n}$.
$\begin{align}
\dfrac{x}{y} &= \dfrac{u_{3}-u_{6}}{u_{2}-u_{4}} \\
&= \dfrac{ar^{2}-ar^{5}}{ar - ar^{3}} \\
&= \dfrac{ar^{2} \left( 1- r^{3} \right)}{ar \left( 1 - r^{2} \right)} \\
&= \dfrac{r \left( 1- r^{3} \right)}{ \left( 1 - r^{2} \right)} \\
&= \dfrac{r \left( 1- r \right) \left( 1+r+r^{2} \right)}{ \left( 1 - r \right)\left( 1 + r \right)} \\
&= \dfrac{r \left( 1+r+r^{2} \right)}{ \left( 1 + r \right)} \\
&= \dfrac{ \left( r^{3}+r^{2}+r \right)}{ \left( r + 1 \right)}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\left( r^{3}+r^{2}+r \right)}{\left( r+1 \right)}$
23. Jangkauan dan rata-rata nilai ujian $6$ siswa adalah $6$. Jika median data tersebut adalah $6$ dan selisih antar kuartil ke-$1$ dan ke-$3$ adalah $4$, maka jumlah dua nilai ujian tertinggi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 14 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 16 \\
(D)\ & 17
\end{align}$
Kita misalkan nilai $6$ siswa adalah $x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$, dengan apa yang disampaikan di soal kita peroleh:
- Jangkauan $6$,
$\begin{align}
J &= x_{6}-x_{1} \\
6 &= x_{6}-x_{1} \\
x_{1} &= x_{6}-6
\end{align}$ - Median $6$,
$\begin{align}
Me &= \dfrac{x_{3}+x_{4}}{2} \\
6 &= \dfrac{x_{3}+x_{4}}{2} \\
12 &= x_{3}+x_{4}
\end{align}$ - Selisih antar kuartil ke-$1$ dan ke-$3$ adalah $4$
$\begin{align}
4 &= Q_{3}-Q_{1} \\
4 &= x_{5}-x_{2} \\
x_{2} &= x_{5}- 4
\end{align}$ - Rata-rata $6$,
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}}{6} \\
6 &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}}{6} \\
36 &= x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6} \\
36 &= \left( x_{6}-6 \right)+ \left( x_{5}- 4 \right)+ \left( 12 \right)+x_{5}+x_{6} \\
36 &= 2+2x_{5}+2x_{6} \\
34 &= 2 \left( x_{5}+ x_{6} \right) \\
17 &= x_{5}+ x_{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 17$
24. Diketahui $BC$ sejajar dengan $DE$ seperti pada gambar. Jika $BC=6\ cm$, $DE=3\ cm$, dan jarak antara $BC$ dan $DE$ adalah $6\ cm$, maka jumlah luas segitiga $ABC$ dan $ADE$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 18 \\
(D)\ & 24
\end{align}$
Dari gambar di atas dapat kita peroleh beberapa keterangan, antara lain:
- sudut $\angle BAC = \angle DAE$ Sudut bertolak belakang,
- garis $BC$ dan garis $DE$ adalah sejajar sehingga $\angle CBA = \angle DEA$ dan $\angle BCA = \angle EDA$,
- karena besar ketiga sudut segitiga sama maka $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADE$
$\begin{align}
\dfrac{BC}{DE} &= \dfrac{t_{ABC} }{t_{ADE}}\\
\dfrac{6}{3} &= \dfrac{t_{ABC} }{6-t_{ABC}}\\
36-6t_{ABC} &= 3t_{ABC} \\
36 &= 9t_{ABC} \\
4 &= t_{ABC} \\
2 &= t_{ADE} \\
\end{align}$
Jumlah luas segitiga adalah:
$\begin{align}
\left[ ABC \right]+ \left[ ADE \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 + \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2\\
&= 12 + 3 = 15
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 15$
25. Bentuk sederhana dari:
$\sqrt{8+ \sqrt{60}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{5} +\sqrt{3} \\
(B)\ & \sqrt{6} + 2 \\
(C)\ & 2 +\sqrt{3} \\
(D)\ & \sqrt{6} +\sqrt{2}
\end{align}$
Bentuk soal di atas, dapat kita sederhanakan dengan menarik akar kuadrat:
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
- $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
\sqrt{8+ \sqrt{60}} &= \sqrt{8+ \sqrt{60}} \\
&= \sqrt{8+ \sqrt{4 \cdot 15}} \\
&= \sqrt{8+ 2\sqrt{15}} \\
&= \sqrt{(5+3)+ 2\sqrt{(5)(3)}} \\
&= \sqrt{5}+\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{5} +\sqrt{3}$
26. $\dfrac{\left (\sqrt[3]{x^{4}} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x+1}} \right )}{x\sqrt[6]{x+1}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & x \sqrt{x+1} \\
(B)\ & x \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{1}{\sqrt[6]{x^{2}}}
\end{align}$
Bentuk soal di atas, dapat kita sederhanakan dengan sifat-sifat bentuk akar menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \dfrac{\left (\sqrt[3]{x^{4}} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x+1}} \right )}{x\sqrt[6]{x+1}} \\
&= \dfrac{ \left (x^{\frac{4}{3}} \right) \left ( \sqrt[3]{x^{2} (x+1)^{\frac{1}{2}}} \right )}{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{\left ( x^{\frac{4}{3}} \right )\left ( x^{\frac{2}{3}} (x+1)^{\frac{1}{6}} \right)}{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{ x^{\frac{4}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}} }{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{ x^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}}{x } \\
&= \dfrac{ x^{\frac{6}{3}}}{x}=\dfrac{ x^{2}}{x}=x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x$
27. Agar ketiga garis $3x+2y+4=0$, $x-3y+5=0$ dan $2x+(m+1)y-1=0$ berpotongan di satu titik maka nilai $m$ haruslah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4
\end{align}$
Agar ketiga garis berpotongan pada satu titik, kita coba menganilisa titik potong dua garis yang sudah lengkap, yaitu:
$\begin{array}{c|c|cc}
3x+2y+4 =0\ & (\times 1) \\
x-3y+5 =0\ & (\times 3) \\
\hline
3x+2y+4 =0 & \\
3x-9y+15 =0\ \ \ (-) & \\
\hline
11y-11 = 0 & \\
y = 1 & \\
x-3y+5 =0 &\\
x-3(1)+5 =0 &\\
x + 2 =0 &\\
x = -2
\end{array} $
Agar ketiga garis berpotngan di satu titik maka garis $2x+(m+1)y-1=0$ harus juga melalui titik $(-2,1)$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
2x+(m+1)y-1 &=0 \\
2(-2)+(m+1)(1)-1 &=0 \\
-4+m+1 -1 &=0 \\
m &= 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
28. Persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis $6x-10y-7=0$, dan $3x+4y-8=0$ dan tegak lurus dengan garis ke-2 adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3y-4x+13 =0 \\
(B)\ & 3y-4x+\dfrac{13}{2} =0 \\
(C)\ & 3y+4x-13 =0 \\
(D)\ & 3y-4x+10 =0
\end{align}$
Garis yang melalui titik potong dua garis, yaitu:
$\begin{array}{c|c|cc}
6x-10y-7 & =0\ (\times 1) \\
3x+4y-8 & =0\ (\times 2) \\
\hline
6x-10y-7 & =0 \\
6x+8y-16 & =0 (-) \\
\hline
-18y+9 = 0 & \\
y = \dfrac{1}{2} & \\
6x-10y-7 =0 & \\
6x-10 \left( \dfrac{1}{2} \right)-7 =0 & \\
6x-5-7 =0 & \\
6x = 12 & \\
x = 2 & \\
\end{array} $
Garis yang akan kita tentukan adalah garis yang melalui titik $\left(2, \dfrac{1}{2} \right)$ dan tegak lurus dengan $3x+4y-8=0$, dengan $m=-\dfrac{3}{4}$.
Jika dua garis saling tegak lurus, maka perkalian gradien kedua garis adalah $-1$, sehingga gradien garis yang kita pakai adalah $m=\dfrac{4}{3}$ dan persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &=m \left( x - x_{1} \right) \\
y- \dfrac{1}{2} &=\dfrac{4}{3} \left( x - 2 \right) \\
6y- 3 &= 8 \left( x - 2 \right) \\
6y- 3 &= 8 x - 16 \\
6y- 8x +13 = 0 & \\
3y- 4x + \dfrac{13}{2} = 0 & \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} =0$
29. Jika garis $g$ melalui titik $P(-2,1)$ dan memotong parabola $y=x^{2}-4x+3$ di titik $Q(x,y)$ dan $R(4,3)$, maka $y-5x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{3} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{9} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Kita coba mulai dengan memisalkan garis $g: y=mx+n$, karena garis $g$ melalui titik $P(-2,1)$ dan $R(4,3)$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
1 = -2m+n &\\
3 = 4m+n\ &(-)\\
\hline
-2 = -6m & \\
m = \dfrac{1}{3} &\\
\hline
1 = -2 \left( \dfrac{1}{3} \right) + n & \\
1 = - \dfrac{2}{3} + n & \\
n = \dfrac{5}{3}
\end{array} $
Persamaan garis $g$ adalah $y=mx+n$, yaitu:
$\begin{align}
y &= \dfrac{1}{3} x+ \dfrac{5}{3} \\
3y &= x + 5 \\
\end{align}$
Garis $3y = x + 5$ memotong parabola $y=x^{2}-4x+3$ di titik $Q(x,y)$ dan $R(4,3)$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &= y \\
\dfrac{1}{3} x+ \dfrac{5}{3} &= x^{2}-4x+3 \\
x+5 &= 3x^{2}-12x+9 \\
3x^{2}-13x+4 &= 0 \\
(3x- 1)(x- 4) &= 0 \\
x=\dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x=4 & \\
\end{align}$
Titik $R(4,3)$, untuk $x=4$ maka $y=3$
Titik $Q(x,y)$, untuk $x=\dfrac{1}{3}$ maka $y= \dfrac{1}{3} x+ \dfrac{5}{3} =\dfrac{16}{9}$, sehingga nilai $y-5x=\dfrac{16}{9}-5 \left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{1}{9}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{9}$
30. Jika kedua akar persamaan $x^{2}-px+p=0$ bernilai positif, maka jumlah kuadrat akar-akar itu mempunyai ekstrem...
$\begin{align}
(A)\ & \text{Minimum}\ -1 \\
(B)\ & \text{Maksimum}\ -1 \\
(C)\ & \text{Minimum}\ 8 \\
(D)\ & \text{Maksimum}\ 8
\end{align}$
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-px+p=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka berlaku:
- Jumlah akar-akar $\alpha+\beta =-\dfrac{b}{a}=p$
- Perkalian akar-akar $\alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a}=p$
- Jumlah kadrat akar-akar
$\begin{align}
/alpha^{2}+\beta^{2} &= \left( \alpha +\beta \right)^{2}-2 \alpha \beta \\
&= p^{2}-2p
\end{align}$ - Nilai minimum $y=p^{2}-2p$ adalah
$\begin{align}
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
&= -\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(0)}{4(1)} \\
&= -\dfrac{4-0}{4}=-1
\end{align}$
(*belajar lebih banyak tentang fungsi kuadrat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \text{Minimum}\ -1$
31. Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $x^{4}-x^{2} \lt 0 $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \lt x \lt 2 \\
(B)\ & -2 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 2 \\
(C)\ & -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \\
(D)\ & -1 \lt x \lt 1
\end{align}$
$\begin{align}
x^{4}-x^{2} & \lt 0 \\
x^{2} \left( x^{2}-1 \right) & \lt 0 \\
x^{2} \left( x -1 \right)\left( x +1 \right) & \lt 0
\end{align}$
Pembuat nol dari pertidaksamaan di atas ada tiga yaitu $x=-1$, $x=0$ dan $x=1$ kita gambarkan dalam garis bilangan dan kita lakukan uji nilai pada setiap daerah seperti berikut ini:
Dari gambar di atas daerah yang memenuhi $x^{2} \left( x -1 \right)\left( x +1 \right) \lt 0$ adalah $-1 \lt x \lt 0$ atau $0 \lt x \lt 1$
(*belajar lebih banyak tentang pertidaksamaan)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$
32. Perhatikan gambar persegi $ABCD$ dan jajargenjang $EFGH$ di bawah ini...
Jika luas daerah yang tidak diarsir adalah $61\ cm^{2}$, maka luas daerah yang diarsir adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6\ cm^{2} \\
(B)\ & 10\ cm^{2} \\
(C)\ & 12\ cm^{2} \\
(D)\ & 20\ cm^{2}
\end{align}$
- Luas daerah persegi $ABCD$ adalah $\left[ ABCD \right]= 25\ cm^{2}$
- Pada persegi Luas daerah tidak diarsir adalah $25- [arsir]$
- Luas daerah jajargenjang $EFGH$ adalah $\left[ EFGH \right]= 48\ cm^{2}$
- Pada jajargenjang Luas daerah tidak diarsir adalah $48- [arsir]$
$\begin{align}
61 &= 25 - [arsir] + 48 - [arsir]\\
61 &= 73 - 2[arsir] \\
2[arsir] &= 73 - 61 \\
2 [arsir] &= 12 \\
[arsir] &= 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6\ cm^{2}$
33. Sebuah taman berbentuk persegipanjang berukuran $(30\ m \times 18\ m)$. Di sekeliling taman dipasang tiang lampu dengan jarak antar lampu $6\ m$. Jika harga tiap tiang lampu $Rp200.000$ per tiang, maka biaya yang diperlukan seluruhnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & Rp2.400.000,00 \\
(B)\ & Rp3.200.000,00 \\
(C)\ & Rp4.000.000,00 \\
(D)\ & Rp4.800.000,00
\end{align}$
Tiang lampu dipasang di sekeliling kolam, sehingga kita cari terlebih dahulu keliling kolam yaitu:
$\begin{align}
\text{Keliling} &= 2(p+l)\\
&= 2(30+18)\\
&= 96
\end{align}$
Tiang lampu dipasang berjarak $6\ m$ sehingga banyak tiang lampu adalah $\dfrac{96}{6}=16$ tiang.
Biaya yang dibutuhkan untuk tiap tiang lampu adalah $Rp200.000$ sehingga biaya keseluruhan adalah $200.000 \times 16 = 3.200.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp3.200.000,00$
34. Sebuah gedung berbentuk balok dengan ukuran $15\ m \times 10\ m \times 4\ m$. Dinding bagian dalam di cat seluruhnya dengan biaya $Rp30.000,00$ permeter persegi. Seluruh biaya pengecatan gedung adalah...
$\begin{align}
(A)\ & Rp6.000.000,00 \\
(B)\ & Rp6.900.000,00 \\
(C)\ & Rp9.000.000,00 \\
(D)\ & Rp12.000.000,00
\end{align}$
Balok dengan ukuran $15\ m \times 10\ m \times 4\ m$, secara umum berarti $p=15$, $l=10$ dan $t=4$ sehingga yang membentuk dinding adalah ukuran $2 \times \left( 15\ m \times 4\ m \right)=120\ m^{2}$ dan $2 \times \left( 10\ m \times 4\ m \right)=80\ m^{2}$. Total luas dinding adalah $200\ m^{2}$.
Biaya total yang dibutuhkan untuk pengecatan dinding adalah $30.000 \times 200$ atau $Rp6.000.000,00$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ Rp6.000.000,00$
35. Budi dan Tini berbelanja di toko yang sama dalam minggu yang sama selama $5$ hari (Senin sampai dengan Jumat). Mereka masing-masing mempunyai peluang yang sama untuk berbelanja di toko pada $5$ hari tersebut. Peluang mereka berbelanja di toko itu pada hari yang berurutan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0,20 \\
(B)\ & 0,25 \\
(C)\ & 0,32 \\
(D)\ & 0,50
\end{align}$
Peluang Budi dan Tini belanja adalah sama, peluang Budi belanja adalah $P(B)=\dfrac{1}{5}$ dan peluang Tini belanja adalah $P(T)=\dfrac{1}{5}$.
Mereka berbelanja pada hari yang berurutan terjadi pada delapan kemungkinan yaitu:
- Budi Senin - Tini Selasa atau sebaliknya,
- Budi Selasa - Tini Rabu atau sebaliknya,
- Budi Rabu - Tini Kami, satau sebaliknya
- Budi Kamis - Tini Jumat, atau sebaliknya
Peluang Budi berbelanja hari Senin adalah $\dfrac{1}{5}$ dan peluang Tini berbelanja hari Selasa adalah $\dfrac{1}{5}$, sehingga peluang Budi berbelanja senin dan Tini Selasa adalah $\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{25}$.
Total kemungkinan peluang Budi dan Tini belanja pada hari yang berurutan adalah $8 \times \dfrac{1}{25}=0,32$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0,32$
36. Sebuah kapal dari pelabuhan berlayar ke selatan sejauh $72\ km$, kemudian belok ke timur sejauh $21\ km$, jarak terdekat kapal sekarang dari pelabuhan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 93\ km \\
(B)\ & 84\ km \\
(C)\ & 75\ km \\
(D)\ & 65\ km
\end{align}$
Keadaan pelabuhan dan kapal dapat kita ilustrasikan seperti berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 75\ km$
37. Perhatikan data pada tabel berikut ini!
Perhatikan tabel berikut!
Modus dari data pada tabel adalah...
Tinggi Badan Frekuensi $151-155$ $3$ $156-160$ $6$ $161-165$ $13$ $166-170$ $10$ $171-175$ $6$ $176-180$ $2$
$\begin{align}
(A)\ & 163,50 \\
(B)\ & 164 \\
(C)\ & 166,25 \\
(D)\ & 166,50
\end{align}$
Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi yang paling besar.
Untuk data tunggal modus suatu data mudah ditemukan, tetapi untuk data berkelompok modus data sedikit lebih rumit.
Modus data berkelompok dirumuskan seperti berikut ini;
$Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c$
dimana;
$Tb_{mo}:$Tepi bawah kelas modus, dan Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi paling besar.
Kelas modus, dari tabel terlihat bahwa kelas frekuensi tertinggi adalah kelas $161-165$, sehingga $(Tb_{mo} = 161 - 0,5 = 160,5)$;
$d_1:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum kelas modus; $(d_{1}=13-6=7)$;
$d_2:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudah kelas modus; $(d_{2}=13-10=3)$;
$c:$ Panjang Kelas $(c=151,5-155,5=5)$;
$ \begin{align}
Mo & = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c \\
& = 160,5 + \left( \frac{7}{7 + 3} \right) \cdot 5 \\
& = 160,5 + \left( \frac{7}{10} \right) \cdot 5 \\
& = 160,5 + 3,5 \\
& = 164
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 164$
38. Perhatikan limas beraturan $T.ABCD$ berikut.
Besar sudut antara bidang $TAD$ dan $TBC$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 75^{\circ} \\
(B)\ & 60^{\circ} \\
(C)\ & 45^{\circ} \\
(D)\ & 30^{\circ}
\end{align}$
Untuk mendapatkan sudut antara bidang $TAD$ dan $TBC$, kita tarik garis melalui $T$ yang tegak lurus $BC$ dan $AD$ sehingga kita peroleh sudut $ETF=\alpha$ seperti gambar berikut:
$\begin{align}
TE^2=TF^{2} & = TF^{2}-CF^{2} \\
& = (\sqrt{3})^{2}-(1)^{2} \\
& = 3-1 = 2 \\
TE =TF & = \sqrt{2}
\end{align}$
Dengan cara yang sama pada $\bigtriangleup TT'F$ dapat kita tentukan panjang $TT'$ yaitu:
$\begin{align}
TT'^{2} & = TF^{2}-TF'^{2} \\
& = (\sqrt{2})^{2}-(1)^{2} \\
& = 2-1 = 1 \\
TT' & = \sqrt{1} =1
\end{align}$
Dengan panjang $TT'=1$, maka luas $\bigtriangleup TEF$ adalah $\left[ TEF \right]=\dfrac{1}{2} \cdot (1) \cdot (2)=1$
Untuk menghitung luas $\bigtriangleup TEF$ dapat juga dengan cara (*jika diketahui dua sisi dan satu sudut)
$\begin{align}
\left[ TEF \right] &=\dfrac{1}{2} \cdot (TE) \cdot (EF) \cdot sin\ \alpha \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot (\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2}) \cdot sin\ \alpha \\
&= 2 \cdot sin\ \alpha
\end{align}$
Dari hasil di atas, dapat kita ambil kesimpulan:
$\begin{align}
\left[ TEF \right] & = \left[ TEF \right] \\
2 \cdot sin\ \alpha & = 1 \\
sin\ \alpha & = \dfrac{1}{2} \\
\alpha & = 30^{\circ} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 30^{\circ}$
39. Sebuah Prisma segitiga $ABC.DEF$ dengan panjang rusuk alasnya $AB=AC=12\ cm$, sudut $\angle ABC=30^{\circ}$ dan tinggi prisma $20\ cm$. Luas permukaan prisma tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left(420+240\sqrt{3}\ \right) cm^{2} \\
(B)\ & \left(420+280\sqrt{3}\ \right) cm^{2} \\
(C)\ & \left(480+240\sqrt{3}\ \right) cm^{2} \\
(D)\ & \left(480+312\sqrt{3}\ \right) cm^{2}
\end{align}$
Luas permukaan prisma segitiga dapat kita hitung dengan cara menghitung luas bangun datar yang membentuk prsma segitiga.
$\begin{align}
\left[ ABED \right] & = 2 \cdot AB \cdot AD \\
& = 12 \cdot 20 \\
& = 240
\end{align}$
Untuk menghitung luas $\bigtriangleup ABC$ kita butuh panjang $AA'$ dan $BA'$, dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada $\bigtriangleup AA'B$
$\begin{align}
sin\ 30^{\circ} & = \dfrac{AA'}{AB} \\
\dfrac{1}{2} & = \dfrac{AA'}{12} \\
6 & = AA' \\
\hline
cos\ 30^{\circ} & = \dfrac{BA'}{AB} \\
\dfrac{1}{2} \sqrt{3} & = \dfrac{BA'}{12} \\
6 \sqrt{3} & = BA' \\
\hline
\left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AA' \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6 \\
& = 36 \sqrt{3} \\
\end{align}$
Lalu luas persegi panjang $BCFE$
$\begin{align}
\left[ BCFE \right] & = BC \cdot CF \\
& = 12\sqrt{3} \cdot 20 \\
& = 240\sqrt{3}
\end{align}$
Total luas permukaan prisma segitiga adalah
$\begin{align}
& 2 \left[ ABED \right] + 2 \left[ ABC \right] + \left[ BCFE \right] \\
& = 2(240)+ 2 \left( 36 \sqrt{3} \right) + 240 \sqrt{3} \\
& = 480 + 72 \sqrt{3} + 240 \sqrt{3} \\
& = 480 + 312 \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left(480+312\sqrt{3} \right) cm^{2}$
40. Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah penyelesaian $x^{{}^3\!\log x}=81$, maka $x_{1}x_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2
\end{align}$
Jika kita jabarkan dan dengan menggunakan beberapa sifat logaritma, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
x^{{}^3\!\log x} &=81 \\
{}^x\!\log 81 &= {}^3\!\log x \\
{}^x\!\log 3^{4} &= {}^3\!\log x \\
4 \cdot {}^x\!\log 3 &= {}^3\!\log x \\
\hline
mis:\ {}^3\!\log x=a & \\
\hline
4 \cdot \dfrac{1}{a} &= a \\
4 &= a^{2} \\
a^{2} - 4 &= 0 \\
\hline
a_{1} + a_{2} & = - \dfrac{b}{a} \\
{}^3\!\log x_{1} + {}^3\!\log x_{2} & = 0 \\
{}^3\!\log x_{1} x_{2} & = {}^3\!\log 1 \\
x_{1} x_{2} & = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasJika tertarik untuk menyelesaikan soal untuk mata pelajaran yang lain silahkan download pada link berikut ini:
- Soal Simulasi Matematika Masuk SMA Unggul Tahun 2019 (*Soal Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige) 👀 📥 Download File
- Soal Simulasi IPS Masuk SMA Unggul Tahun 2019 (*Soal Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige) 👀 📥 Download File
- Soal Simulasi IPA Masuk SMA Unggul Tahun 2019 (*Soal Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige) 👀 📥 Download File
- Soal Simulasi B.Inggris Masuk SMA Unggul Tahun 2019 (*Soal Yayasan Tunas Bangsa Soposurung Balige) 👀 📥 Download File
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Cara Pilar (Pintar Bernalar) Perkalian Dua Angka;
