Calon guru belajar matematika dasar SMA tentang trigonometri yaitu Belajar Perbandingan Trigonometri Dasar. Perbandingan Trigonometri menjadi salah satu materi yang paling indah di matematika SMA, salah satu alasannya karena perbandingan trigonometri selalu ikutan nimbrung pada materi matematika lainnya seperti Persamaan kuadrat, Sistem persamaan, Limit Fungsi, Turunan Fungsi, Integral Fungsi, fungsi atau dimensi tiga.
Meskipun namanya terdengar asing, perbandingan trigonometri bukanlah materi matematika yang menakutkan seperti yang kalian dengar diluar sana. Ibarat film, perbandingan trigonometri lebih mudah diingat daripada film Upin dan Ipin karena nama-nama pemain dalam perbandingan trigonometri hanya ada enam sedangkan pada film Upin dan Ipin lebih dari enam.
Sekarang coba kita mulai dari mengenal nama-nama pemain di perbandingan trigonometri ini, agar belajar perbandingan trigonometri menjadi mudah. Jadi Cara Belajar Perbandingan Trigonometri Menjadi Lebih Mudah adalah dengan mengenal nama-nama pemain atau istilah yang dipakai dalam perbandingan trigonometri.
Definisi Perbandingan Trigonometri
Secara sederhana dapat kita sebut Perbandingan Trigonometri adalah perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Lalu dikembangkan lagi nama-nama pemain atau istilah-sitilah pada perbandingan trigonometri yang berasal dari segitiga siku-siku. Apa saja istilahnya mari kita simak;
Dari segitiga di atas "kita sepakati" terlebih dahulu "nama" atau "istilah" yang berikutnya akan digunakan dalam catatan perbandingan trigonometri ini, antara lain:
- Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$ karena besar sudut $C$ adalah $ 90^{\circ}$
- Sudut lain dapat kita sebutkan dengan sudut $BAC= \alpha\ (\text{alpha})$ dan sudut $ABC = \beta\ (\text{beta})$
- Sisi $AB$ adalah hipotenusa adalah sisi terpanjang pada segitiga siku-siku yang terletak di depan sudut sikunya. Hipotenusa sering dikatakan "sisi miring" pada segitiga siku-siku.
- Sisi $BC$ adalah sisi di depan sudut $ \alpha $
- Sisi $AC$ adalah sisi di samping sudut $ \alpha $.
- Sisi $AC$ adalah sisi di depan sudut $ \beta $.
- Sisi $BC$ adalah sisi di samping sudut $ \beta $.
Setelah beberapa keterangan di atas kita sepakati, berikutnya kita akan membandingkan semua sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Perbandingan sisi pada segitiga yang kita peroleh adalah $ \dfrac{BC}{AB}$, $\dfrac{AB}{AC}$, $\dfrac{AC}{AB}$, $\dfrac{AB}{AC}$, $\dfrac{BC}{AC}$, dan $\dfrac{AC}{BC}$
Jika perbandingan ini kita hubungkan dengan keterangan sebelumnya maka kita peroleh perbandingan (*dengan patokan sudut yang digunakan $\text{alpha}\ ( \alpha )$):
- $ \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\text{sisi di depan sudut alpha}}{\text{hipotenusa}}$
- $ \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\text{sisi di samping sudut alpha}}{\text{hipotenusa}}$
- $ \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\text{sisi di depan sudut alpha}}{\text{sisi di samping sudut alpha}}$
- $ \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{sisi di depan sudut alpha}}$
- $ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{sisi di samping sudut alpha}}$
- $ \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\text{sisi di samping sudut alpha}}{\text{sisi di depan sudut alpha}} $
Untuk mempermudah penyebutan perbandingan-perbandingan di atas, maka didefinisikan oleh para matematikawan beberapa abad yang lalu dengan memberi nama untuk setiap perbandingan. Sama sepertinya orang tua kita, memberi kita nama untuk mempermudah penyebutan kita dari anak-anak lainnya.
Perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku disebut atau diberi nama dengan perbandingan trigonometri. Anggota perbandingan trigonometri di beri nama atau istilah seperti berikut.
- Definisi Sinus alpha ($\alpha$)
Sinus alpha adalah perbandingan sisi di depan sudut alpha dengan hipotenusa.Sebagai tips untuk mengingat definisi sinus sering disebut "demi" atau $\dfrac{\text{depan}}{\text{miring}}$.
dapat kita tulis dalam bentuk:
$\sin \alpha= \dfrac{\text{sisi di depan sudut}\ \alpha}{\text{hipotenusa}}$ - Definisi Cosinus alpha ($\alpha$)
Cosinus alpha adalah perbandingan sisi di samping sudut alpha dengan hipotenusa.sebagai tips untuk mengingat definisi cosinus sering disebut "sami" atau $ \dfrac{\text{samping}}{\text{miring}}$.
dapat kita tulis dalam bentuk:
$\cos \alpha= \dfrac{\text{sisi di samping sudut}\ \alpha}{\text{hipotenusa}}$ - Definisi Tangen alpha ($\alpha$)
Tangen alpha adalah perbandingan sisi di depan sudut alpha dengan sisi di samping sudut alpha.sebagai tips untuk mengingat definisi tangen sering disebut "desa" atau $ \dfrac{\text{depan}}{\text{samping}}$.
dapat kita tulis dalam bentuk:
$\tan \alpha= \dfrac{\text{sisi di depan sudut}\ \alpha}{\text{sisi di samping sudut}\ \alpha}$ - Definisi Cosecan alpha ($\alpha$)
Cosecan alpha adalah perbandingan hipotenusa dengan sisi di depan sudut alpha.Sebagai tips untuk mengingat definisi cosecan sering disebut "kebalikan sin".
dapat kita tulis dalam bentuk:
$\csc \alpha= \dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{sisi di depan sudut}\ \alpha}$ - Definisi Secan alpha ($\alpha$)
Secan alpha adalah perbandingan hipotenusa dengan sisi di samping sudut alpha.sebagai tips untuk mengingat definisi secan sering disebut "kebalikan cos".
dapat kita tulis dalam bentuk:
$\sec \alpha= \dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{sisi di samping sudut}\ \alpha}$ - Definisi Cotangen alpha ($\alpha$)
Cotangen alpha adalah perbandingan sisi di samping sudut alpha dengan sisi di depan sudut alpha.sebagai tips untuk mengingat definisi cotangen sering disebut "kebalikan tan".
dapat kita tulis dalam bentuk:
$\cot \alpha= \dfrac{\text{sisi di samping sudut}\ \alpha}{\text{sisi di depan sudut}\ \alpha}$
Enam perbandingan yang kita peroleh di atas adalah pemain utama dalam perbandingan trigonometri, dan yang akan dikembangkan ke dalam beberapa Identitas Trigonometri atau aturan-aturan pada trigonometri.
Sebagai contoh, mari kita simak contoh soal berikut:
Pada segitiga $ABC$ di atas, jika panjang dari $AB=5\ cm$, dan $BC=12\ cm$ maka perbandingan trigonometri untuk sudut $ \alpha $ adalah...
$BC:$ sisi di depan sudut $ \alpha $
$AB:$ Sisi di samping sudut $ \alpha $
$AC:$ Hipotenusa
Untuk $AB=5$ dan $BC=12$ maka dengan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh $AC=13$.
$\begin{align}
\sin\ \alpha & = \dfrac{\text{de }}{\text{mi}} =\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{12}{13} \\
\cos\ \alpha & = \dfrac{\text{sa }}{\text{mi}} \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{13} \\
\tan\ \alpha & = \dfrac{\text{de }}{\text{sa}} =\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{5} \\
\csc\ \alpha & =\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{13}{12} \\
\sec\ \alpha & =\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{13}{5} \\
\cot\ \alpha & =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{12}
\end{align}$
Contoh 1:
Untuk segitiga $ABC$ dimana panjang dari $AB=5\ cm$, dan $BC=12\ cm$ maka tentukan perbandingan trigonometri untuk sudut $ \beta $
Alternatif Pembahasan:
Perbandingan trigonometri untuk sudut $ \beta $
BC: Sisi di samping sudut $ \beta $
AB: Sisi di depan sudut $ \beta $
AC: Hipotenusa
Untuk $AB=5$ dan $BC=12$ maka dengan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh $AC=13$.
$\begin{align}
\sin\ \beta & = \dfrac{\text{de }}{\text{mi}} =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{13} \\
\cos\ \beta & = \dfrac{\text{sa }}{\text{mi}} =\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{12}{13} \\
\tan\ \beta & = \dfrac{\text{de }}{\text{sa}} = \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{12} \\
\csc\ \beta & =\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{13}{5} \\
\sec\ \beta & =\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{13}{12} \\
\cot\ \beta & =\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{5}
\end{align}$
Contoh 2:
Perhatikan gambar berikut:
Nilai $\cos\ \alpha=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika gambar kita beri nama seperti berikut ini:
Dari gambar di atas, untuk menemukan $\cos\ \alpha$ kita butuh $BD$,
Panjang $BC$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $ABC$.
$\begin{align}
BC^{2} &= AC^{2}+AB^{2} \\
BC^{2} &= \left( 2\sqrt{10}\right)^{2}+3^{2} \\
BC^{2} &= 40+9 \\
BC &= \sqrt{49} =7
\end{align}$
Panjang $BD$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $BCD$.
$\begin{align}
CD^{2} &= BC^{2}+BD^{2} \\
25^{2} &= 7^{2}+BD^{2} \\
625 &= 49+BD^{2} \\
BD &= \sqrt{625-49} \\
&=\sqrt{576}=24
\end{align}$
$\begin{aligned}
\cos\ \alpha &= \dfrac{BD}{CD} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{24}{25}
\end{aligned}$
$ \therefore\ \cos\ \alpha = \dfrac{24}{25}$
Contoh 3:
Diketahui $\bigtriangleup KLM$ siku-siku di $M$ dan $ \tan\ L=\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$. Nilai $\cos\ L$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika soal kita gambar maka ilustrasinya seperti berikut ini:
Panjang $KL$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $KLM$.
$\begin{align}
KL^{2} &= KM^{2}+LM^{2} \\
BC^{2} &= \left( \sqrt{3}\right)^{2}+3^{2} \\
BC^{2} &= 3+9 \\
BC &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
\end{align}$
$\begin{aligned}
\cos\ L &= \dfrac{LM}{KL} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{3}{2\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{aligned}$
$ \therefore\ \cos\ L = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
Contoh 4:
Pada gambar dibawah ini, terlihat $AEB$ adalah garis lurus, jika diketahui $ \tan\ DAE=\dfrac{4}{3}$ dan $\sin\ CAB=\dfrac{8}{17}$.Hitunglah
(a) $\sin\ DEA=\cdots$
(b) Panjang $EB=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari $\bigtriangleup DAE$ diketahui $ \tan\ DAE=\dfrac{4}{3}$, sehingga berlaku:
$\begin{aligned}
\tan\ DAE &= \dfrac{DE}{AD} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
\dfrac{4}{3} &= \dfrac{DE}{3} \\
DE &= 4
\end{aligned}$
dengan teorema phytagoras pada segitiga $DAE$.
$\begin{align}
AE^{2} &= AD^{2}+DE^{2} \\
AE^{2} &= 3^{2}+4^{2} \\
AE^{2} &= 25 \\
AE &= \sqrt{25} = 5
\end{align}$
$\begin{aligned}
\sin\ DEA &= \dfrac{AD}{AE} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{3}{5}
\end{aligned}$
Dari $\bigtriangleup ABC$ diketahui $\sin\ CAB=\dfrac{8}{17}$, sehingga berlaku:
$\begin{aligned}
\sin\ CAB &= \dfrac{BC}{AC} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
\dfrac{8}{17} &= \dfrac{8}{AC} \\
AC &= 17
\end{aligned}$
dengan teorema phytagoras pada segitiga $DAE$.
$\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\
17^{2} &= AB^{2}+8^{2} \\
289 &= AB^{2}+64 \\
AB^{2} &= 289-64 \\
AB &= \sqrt{225}=15
\end{align}$
Panjang $EB=AB-AE=15-5=10$
Contoh 5:
Jika $\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ dan $\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, maka nilai $x$, $y$ atau $r$ pada segitiga di bawah ini adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari segitiga $(a)$ diketahui $\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{aligned}
\sin\ 30^{\circ} &= \dfrac{4}{y} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{4}{y} \\
y &= 8
\end{aligned}$
dengan teorema phytagoras pada segitiga $DAE$.
$\begin{align}
y^{2} &= 4^{2}+r^{2} \\
8^{2} &= 16+r^{2} \\
r^{2} &= 64-16 \\
r &= \sqrt{48} = 4\sqrt{3}
\end{align}$
Dari segitiga $(b)$ diketahui $\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{aligned}
\cos\ 60^{\circ}&= \dfrac{8}{r} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{8}{r} \\
r &= 16 \\
\end{aligned}$
Dengan teorema phytagoras pada segitiga $DAE$.
$\begin{align}
r^{2} &= 8^{2}+r^{2} \\
16^{2} &= 64+x^{2} \\
x^{2} &= 256-64 \\
x &= \sqrt{192} = 8\sqrt{3}
\end{align}$
Contoh 6:
Diketahui segitiga $PQR$ siku-siku di $Q$. Jika $PQ=7\ cm$ dan $QR=25\ cm$ maka hitunglah nilai $\sin\ \alpha$, $\cos\ \alpha$, $ \tan\ \alpha$, $\csc\ \alpha$, $\sec\ \alpha$ dan $\cot\ \alpha$ dengan $\alpha$ adalah sudut antara $PQ$ dan $PR$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan segitiga siku-siku $PQR$ dan sudut $\alpha$, ilustrasinya seperti berikut ini:
$\begin{aligned}
\sin\ \alpha &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{24}{25} \\
\hline
\cos\ \alpha &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{7}{25} \\
\hline
\tan\ \alpha &= \dfrac{QR}{PQ} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{24}{7} \\
\hline
\csc\ \alpha &= \dfrac{PR}{QR} \quad && \left[ \dfrac{mi}{de} \right] \\
&= \dfrac{25}{24} \\
\hline
\sec\ \alpha &= \dfrac{PR}{PQ} \quad && \left[ \dfrac{sa}{de} \right] \\
&= \dfrac{25}{7} \\
\hline
\cot\ \alpha &= \dfrac{PQ}{QR} \quad && \left[ \dfrac{mi}{de} \right] \\
&= \dfrac{7}{24}
\end{aligned}$
Contoh 7:
Perhatikan gambar dibawah ini!
Berdasarkan gambar, tentukan nilai:
(a). $ \tan\ \theta$
(b). $\sec\ \theta$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas, untuk menemukan $ \tan\ \theta$ dan $\sec\ theta$ kita butuh $AC$ dan $CD$,
Panjang $AC$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $ABC$.
$\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\
AC^{2} &= 3^{2}+4^{2} \\
AC^{2} &= 25 \\
AC &= \sqrt{25} = 5
\end{align}$
Panjang $CD$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $ACD$.
$\begin{align}
CD^{2} &= AC^{2}+AD^{2} \\
CD^{2} &= 5^{2}+12^{2} \\
CD^{2} &= 169 \\
CD &= \sqrt{169}=13
\end{align}$
$\begin{aligned}
\tan\ \theta &= \dfrac{AC}{AD} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{5}{12} \\
\hline
\sec\ \theta &= \dfrac{CD}{AD} \quad && \left[ \dfrac{mi}{sa} \right] \\
&= \dfrac{13}{12}
\end{aligned}$
Contoh 8:
Dari segitiga berikut ini:
Jika $\sin\ \theta=\dfrac{2}{5}$, tentukan nilai $x$ (dalam cm)
Alternatif Pembahasan:
Jika hipotenusa segitiga kita misalkan dengan $h$ (hipotenusa)
$\begin{aligned}
\sin\ \theta &= \dfrac{12}{h} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
\dfrac{2}{5} &= \dfrac{12}{h} \\
2 \cdot h &= 12 \cdot 5 \\
h &= 6 \cdot 5 =30
\end{aligned}$
Panjang $x$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga.
$\begin{align}
h^{2} &= x^{2}+12^{2} \\
30^{2} &= x^{2}+144 \\
900 &= x^{2}+144 \\
900-144 &= x^{2} \\
x^{2} &= 756 \\
x &= \sqrt{756}=6\sqrt{21}
\end{align}$
Contoh 9:
Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut:
Tentukan:
(a). Panjang $AC$,
(b). $\sin\ \theta$,
(c). $\cos\ \theta$,
(d). $\sin\ \theta$,
Alternatif Pembahasan:
Panjang $AC$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $ABC$.
$\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\
AC^{2} &= 16^{2}+12^{2} \\
AC^{2} &= 256+144 \\
AC &= \sqrt{400} \\
AC &= 20
\end{align}$
Untuk $AC=20$, $AB=16$ dan $BC=12$
$\begin{aligned}
\sin\ \theta &= \dfrac{BC}{AC} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5} \\
\hline
\cos\ \theta &= \dfrac{AB}{AC} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{16}{20} = \dfrac{4}{5} \\
\hline
\tan\ \theta &= \dfrac{BC}{AB} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4} \\
\end{aligned}$
Contoh 10:
Perhatikan segitiga siku-siku dibawah ini. Diketahui $ \tan\ M =\dfrac{16}{30}$, tentukan $\sin\ M$ dan $\cos\ M$.
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disebutkan bahwa $ an\ M =\dfrac{16}{30}$, berdasarkan defenisi $tangen$ dapat kita simpulkan:
$\begin{aligned}
\tan\ M &= \dfrac{KL}{LM} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
\dfrac{16}{30} &= \dfrac{KL}{LM} \\
KL &= 16x \\
LM &= 30x \\
\end{aligned}$
Panjang $KM$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $KLM$.
$\begin{align}
KM^{2} &= KL^{2}+LM^{2} \\
KM^{2} &= (16x)^{2}+(30x)^{2} \\
KM^{2} &= 256x^{2}+900x^{2} \\
KM &= \sqrt{1156x^{2}} \\
&= 34x
\end{align}$
Untuk $KL=16x$, $LM=30x$ dan $KM=34x$
$\begin{aligned}
\sin\ M &= \dfrac{KL}{KM} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{16x}{34x} = \dfrac{8}{17} \\
\hline
\cos\ M &= \dfrac{LM}{KM} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{30x}{34x} = \dfrac{15}{17}
\end{aligned}$
Contoh 11:
Tentukan nilai sinus, cosinus dan tangen untuk sudut $P$ dan $R$ pada setiap segitiga siku-siku di bawah ni. Nyatakan jawaban kamu dalam bentuk paling sederhana.
Alternatif Pembahasan:
Pada segitiga $PQR$ dengan teorema phytagoras dapat kita tentukan $PR$.
$\begin{align}
PR^{2} &= PQ^{2}+ QR^{2} \\
PR^{2} &=8^{2}+4^{2} \\
PR^{2} &=64+16 \\
PR &=\sqrt{80}=4\sqrt{5}
\end{align}$
Untuk sudut $P$
$\begin{align}
\sin\ P &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{8}{4 \sqrt{5}}= \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
\cos\ P &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{4}{4 \sqrt{5}}= \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\
\tan\ P &= \dfrac{QR}{PQ} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{8}{4}=2 \\
\end{align}$
Untuk sudut $R$
$\begin{align}
\sin\ R &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{4}{4 \sqrt{5}}= \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\
\cos\ R &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{8}{4 \sqrt{5}}= \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
\tan\ R &= \dfrac{PQ}{QR} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2} \\
\end{align}$
Contoh 12:
Tentukan nilai sinus, cosinus dan tangen untuk sudut $P$ dan $R$ pada setiap segitiga siku-siku di bawah ni. Nyatakan jawaban kamu dalam bentuk paling sederhana.
Alternatif Pembahasan:
Pada segitiga $PQR$ dengan teorema phytagoras dapat kita tentukan $PQ$.
$\begin{align}
PR^{2} &= PQ^{2}+ QR^{2} \\
11^{2} &=PQ^{2}+7^{2} \\
PQ^{2} &=121-49 \\
PQ &=\sqrt{72}=6 \sqrt{2}
\end{align}$
Untuk sudut $P$
$\begin{align}
\sin\ P &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{7}{11} \\
\cos\ P &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{6 \sqrt{2}}{11}= \dfrac{6}{11}\sqrt{2} \\
\tan\ P &= \dfrac{QR}{PQ} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{7}{6 \sqrt{2}}=\dfrac{7}{6} \sqrt{2}
\end{align}$
Untuk sudut $R$
$\begin{align}
\sin\ R &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{6 \sqrt{2}}{11}= \dfrac{6}{11}\sqrt{2} \\
\cos\ R &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{7}{11} \\
\tan\ R &= \dfrac{PQ}{QR} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{7}{6 \sqrt{2}}=\dfrac{7}{6} \sqrt{2}
\end{align}$
Contoh 13:
Tentukan nilai sinus, cosinus dan tangen untuk sudut $P$ dan $R$ pada setiap segitiga siku-siku di bawah ni. Nyatakan jawaban kamu dalam bentuk paling sederhana.
Alternatif Pembahasan:
Pada segitiga $PQR$ dengan teorema phytagoras dapat kita tentukan $PQ$.
$\begin{align}
PR^{2} &= PQ^{2}+ QR^{2} \\
&=1^{2}+2^{2} \\
&=1+4 \\
PR &=\sqrt{5}
\end{align}$
Untuk sudut $P$
$\begin{align}
\sin\ P &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
\cos\ P &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\
\tan\ P &= \dfrac{QR}{PQ} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{2}{1}= 2
\end{align}$
Untuk sudut $R$
$\begin{align}
\sin\ R &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\
\cos\ R &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
\tan\ R &= \dfrac{PQ}{QR} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{6} \sqrt{2}
\end{align}$
Contoh 14:
Pada suatu segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle B =90^{\circ}$, $AB=24\ cm$ dan $BC=7\ cm$, hitung:
(a). $\sin\ A$, $\cos\ A$ dan $ \tan\ A$
(b). $\sin\ C$, $\cos\ C$ dan $ \tan\ C$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan, segitiga siku-siku $ABC$ adalah seperti berikut ini:
Untuk sudut $A$
$\begin{align}
\sin\ A &= \dfrac{BC}{AC} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{7}{25} \\
\cos\ A &= \dfrac{AB}{AC} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{24}{25} \\
\tan\ A &= \dfrac{BC}{AB} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{7}{24}
\end{align}$
Untuk sudut $C$
$\begin{align}
\sin\ C &= \dfrac{AB}{AC} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{24}{25} \\
\cos\ C &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{7}{25} \\
\tan\ C &= \dfrac{PQ}{QR} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{24}{7}
\end{align}$
Soal Latihan dan Pembahasan Perbandingan Trigonometri
Untuk soal perbandingan trigonomteir yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri, soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan, atau Soal UN (Ujian Nasional) silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika SMA Trigonometri.
Soal latihan Perbandingan Trigonometri Dasar berikut ini kita pilih dari Kumpulan Modul Belajar dan Modul Ajar Matematika SMA. Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Matematika Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Test : | |
| Jumlah Soal : | 1 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Latihan Perbandingan Trigonometri Dasar
Jika $x$ memenuhi $-2\ \csc\ x + 2 \cot\ x + 3\ \sin\ x=0$ untuk maka $\cos\ x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan bentuk soal trigonometri di atas, setidaknya kita sedikit paham tentang persamaan kuadrat dan identitas trigometri. Dengan bantuan manipulasi aljabar, maka penjabaran soal yang mungkin kita lakukan seperti berikut ini:
$\begin{align}
-2\ \csc\ x + 2 cot\ x + 3\ \sin\ x &=0 \\
-2\ \dfrac{1}{\sin\ x} + 2 \dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} + 3\ \sin\ x &=0 \\
\hline
\text{kedua ruas dikali}\ \sin\ x \\
\hline
-2 + 2\ \cos\ x + 3\ \sin^{2} x &=0 \\
-2 + 2\ \cos\ x + 3 \left( 1-\cos^{2} x \right) &=0 \\
-2 + 2\ \cos\ x + 3 -3\cos^{2} x &=0 \\
3\cos^{2} x - 2\ \cos\ x -1 &=0 \\
\left(3\ \cos\ x + 1 \right) \left(\cos\ x - 1 \right) &=0 \\
\cos\ x &=-\dfrac{1}{3} \\
\cos\ x &=1
\end{align}$
maka nilai $\cos\ x$ yang memenuhi adalah \cos\ x =1$ atau $\cos\ x =-\dfrac{1}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\frac{1}{3}$
Catatan Belajar Perbandingan Trigonometri Dasar dan Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
I have no special talent. I am only passionately curious. (Saya tidak memiliki bakat khusus. Hanya selalu menikmati rasa ingin tahu saja)
