Belajar Perbandingan Trigonometri Dasar dan Pembahasan Soal Latihan
Calon guru belajar matematika dasar SMA tentang trigonometri yaitu Belajar Perbandingan Trigonometri Dasar. Perbandingan Trigonometri menjadi salah satu materi yang paling indah di matematika SMA, salah satu alasannya karena perbandingan trigonometri selalu ikutan nimbrung pada materi matematika lainnya seperti Persamaan kuadrat, Sistem persamaan, Limit Fungsi, Turunan Fungsi, Integral Fungsi, fungsi atau dimensi tiga.
Meskipun namanya terdengar asing, perbandingan trigonometri bukanlah materi matematika yang menakutkan seperti yang kalian dengar diluar sana. Ibarat film, perbandingan trigonometri lebih mudah diingat daripada film Upin dan Ipin karena nama-nama pemain dalam perbandingan trigonometri hanya ada enam sedangkan pada film Upin dan Ipin lebih dari enam.
Sekarang coba kita mulai dari mengenal nama-nama pemain di perbandingan trigonometri ini, agar belajar perbandingan trigonometri menjadi mudah. Jadi Cara Belajar Perbandingan Trigonometri Menjadi Lebih Mudah adalah dengan mengenal nama-nama pemain atau istilah yang dipakai dalam perbandingan trigonometri.
Nama-nama pemain atau istilah pada perbandingan trigonometri berasal dari sebuah segitiga siku-siku, apa saja istilahnya mari kita simak;
- Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$ karena besar sudut $C$ adalah $ 90^{\circ}$
- Sudut lain yaiut sudut $BAC= \alpha\ (\text{alpha})$ dan sudut $ABC = \beta\ (\text{beta})$
- Sisi $AB$ adalah sisi hipotenusa atau dikatakan "sisi miring".
- Sisi $BC$ adalah sisi siku di depan sudut $ \alpha $
- Sisi $AC$ adalah sisi siku di samping sudut $ \alpha $.
- Sisi $AC$ adalah sisi siku di depan sudut $ \beta $.
- Sisi $BC$ adalah sisi siku di samping sudut $ \beta $.
Setelah beberapa keterangan di atas kita sepakati, berikutnya kita akan membandingkan semua sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Perbandingan sisi pada segitiga yang kita peroleh adalah $ \dfrac{BC}{AB}$, $\dfrac{AB}{AC}$, $\dfrac{AC}{AB}$, $\dfrac{AB}{AC}$, $\dfrac{BC}{AC}$, dan $\dfrac{AC}{BC}$
Jika perbandingan ini kita hubungkan dengan keterangan sebelumnya maka kita peroleh perbandingan (*dengan patokan sudut yang digunakan $\text{alpha}\ ( \alpha )$):
- $ \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\text{sisi siku di depan sudut alpha}}{\text{sisi miring}}$
- $ \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\text{sisi siku di samping sudut alpha}}{\text{sisi miring}}$
- $ \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\text{sisi siku di depan sudut alpha}}{\text{sisi siku di samping sudut alpha}}$
- $ \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{sisi miring}}{\text{sisi siku di depan sudut alpha}}$
- $ \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\text{sisi miring}}{\text{sisi siku di samping sudut alpha}}$
- $ \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\text{sisi siku di samping sudut alpha}}{\text{sisi siku di depan sudut alpha}}$
Untuk mempermudah penyebutan perbandingan-perbandingan di atas sudah disepakati untuk memberi mereka nama, para matematikawan beberapa abad yang lalu memberi nama untuk setiap perbandingan di atas. Sama sepertinya orang tua kita, memberi kita nama untuk mempermudah penyebutan kita dari anak-anak lainnya.
keseluruhan perbandingan di atas disebut atau diberi nama dengan perbandingan trigonometri, dan anggota perbandingan trigonometri di beri nama atau istilah sebagai berikut:
Definisi Sinus
$ \dfrac{\text{sisi siku di depan sudut}\ \alpha}{\text{sisi miring}}$ diberi nama dengan $\text{sinus}\ \alpha$ dapat ditulis hanya $\text{sin}\ \alpha$
sebagai tips untuk mengingat ini sering disebut "demi" atau $\dfrac{\text{depan}}{\text{miring}}$
Definisi Cosinus
$ \dfrac{\text{sisi siku di samping sudut}\ \alpha}{\text{sisi miring}}$ diberi nama dengan $\text{cosinus}\ \alpha$ dapat ditulis hanya $\text{cos}\ \alpha$
sebagai tips untuk mengingat ini sering disebut "sami" atau $ \dfrac{\text{samping}}{\text{miring}}$
Definisi Tangen
$ \dfrac{\text{sisi siku di depan sudut}\ \alpha}{\text{sisi siku di samping sudut}\ \alpha}$ diberi nama dengan $tangen\ \alpha$ dapat ditulis hanya $\text{tan}\ \alpha$
sebagai tips untuk mengingat ini sering disebut "desa" atau $ \dfrac{\text{depan}}{\text{samping}}$
Definisi Cosecan
$ \dfrac{\text{sisi miring}}{\text{sisi siku di depan sudut}\ \alpha}$ diberi nama dengan $\text{cosecan}\ \alpha$ dapat ditulis hanya $\text{csc}\ \alpha$
sebagai tips untuk mengingat ini sering disebut kebalikan sinus
Definisi Secan
$ \dfrac{\text{sisi miring}}{\text{sisi siku di samping sudut}\ \alpha}$ diberi nama dengan $\text{secan}\ \alpha$ dapat ditulis hanya $\text{sec}\ \alpha$
sebagai tips untuk mengingat ini sering disebut kebalikan cosinus
Definisi Cotangen
$ \dfrac{\text{sisi siku di samping sudut}\ \alpha}{\text{sisi siku di depan sudut}\ \alpha}$ diberi nama dengan $\text{cotangen}\ \alpha$ dapat ditulis hanya $\text{cot}\ \alpha$
sebagai tips untuk mengingat ini sering disebut kebalikan tangen
Enam perbandingan yang kita peroleh di atas adalah pemain utama dalam perbandingan trigonometri, dan yang akan dikembangkan ke dalam beberapa Identitas Trigonometri atau aturan-aturan pada trigonometri.
Sebagai contoh, mari kita simak contoh soal berikut:
Pada segitiga $ABC$ di atas, jika panjang dari $AB=5\ cm$, dan $BC=12\ cm$ maka perbandingan trigonometri untuk sudut $ \alpha $ adalah...
$BC:$ Sisi siku di depan sudut $ \alpha $
$AB:$ Sisi siku di samping sudut $ \alpha $
$AC:$ Sisi miring
Untuk $AB=5$ dan $BC=12$ maka dengan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh $AC=13$.
$\begin{align}
\sin\ \alpha & = \dfrac{\text{de }}{\text{mi}} =\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{12}{13} \\
\cos\ \alpha & = \dfrac{\text{sa }}{\text{mi}} \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{13} \\
\tan\ \alpha & = \dfrac{\text{de }}{\text{sa}} =\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{5} \\
\csc\ \alpha & =\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{13}{12} \\
\sec\ \alpha & =\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{13}{5} \\
\cot\ \alpha & =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{12}
\end{align}$
Sebagai bahan latihan, silahkan dicoba beberapa contoh soal berikut:
Contoh 1.
Untuk segitiga $ABC$ dimana panjang dari $AB=5\ cm$, dan $BC=12\ cm$ maka tentukan perbandingan trigonometri untuk sudut $ \beta $
Alternatif Pembahasan:
Perbandingan trigonometri untuk sudut $ \beta $
BC: Sisi siku di samping sudut $ \beta $
AB: Sisi siku di depan sudut $ \beta $
AC: Sisi miring
Untuk $AB=5$ dan $BC=12$ maka dengan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh $AC=13$.
$\begin{align}
\sin\ \beta & = \dfrac{\text{de }}{\text{mi}} =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{13} \\
\cos\ \beta & = \dfrac{\text{sa }}{\text{mi}} =\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{12}{13} \\
\tan\ \beta & = \dfrac{\text{de }}{\text{sa}} = \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{12} \\
\csc\ \beta & =\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{13}{5} \\
\sec\ \beta & =\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{13}{12} \\
\cot\ \beta & =\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{5}
\end{align}$
Contoh 2.
Perhatikan gambar berikut:
Nilai $\cos\ \alpha=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika gambar kita beri nama seperti berikut ini:
Panjang $BC$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $ABC$.
$\begin{align}
BC^{2} &= AC^{2}+AB^{2} \\
BC^{2} &= \left( 2\sqrt{10}\right)^{2}+3^{2} \\
BC^{2} &= 40+9 \\
BC &= \sqrt{49} =7
\end{align}$
Panjang $BD$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $BCD$.
$\begin{align}
CD^{2} &= BC^{2}+BD^{2} \\
25^{2} &= 7^{2}+BD^{2} \\
625 &= 49+BD^{2} \\
BD &= \sqrt{625-49} \\
&=\sqrt{576}=24
\end{align}$
$\begin{aligned}
\cos\ \alpha &= \dfrac{BD}{CD} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{24}{25}
\end{aligned}$
$ \therefore\ \cos\ \alpha = \dfrac{24}{25}$
Contoh 3.
Diketahui $\bigtriangleup KLM$ siku-siku di $M$ dan $ \tan\ L=\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$. Nilai $\cos\ L$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika soal kita gambar maka ilustrasinya seperti berikut ini:
$\begin{align}
KL^{2} &= KM^{2}+LM^{2} \\
BC^{2} &= \left( \sqrt{3}\right)^{2}+3^{2} \\
BC^{2} &= 3+9 \\
BC &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
\end{align}$
$\begin{aligned}
\cos\ L &= \dfrac{LM}{KL} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{3}{2\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{aligned}$
$ \therefore\ \cos\ L = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
Contoh 4.
Pada gambar dibawah ini, terlihat $AEB$ adalah garis lurus, jika diketahui $ \tan\ DAE=\dfrac{4}{3}$ dan $\sin\ CAB=\dfrac{8}{17}$.
Hitunglah
(a) $\sin\ DEA=\cdots$
(b) Panjang $EB=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari $\bigtriangleup DAE$ diketahui $ \tan\ DAE=\dfrac{4}{3}$, sehingga berlaku:
$\begin{aligned}
\tan\ DAE &= \dfrac{DE}{AD} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
\dfrac{4}{3} &= \dfrac{DE}{3} \\
DE &= 4
\end{aligned}$
dengan teorema phytagoras pada segitiga $DAE$.
$\begin{align}
AE^{2} &= AD^{2}+DE^{2} \\
AE^{2} &= 3^{2}+4^{2} \\
AE^{2} &= 25 \\
AE &= \sqrt{25} = 5
\end{align}$
$\begin{aligned}
\sin\ DEA &= \dfrac{AD}{AE} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{3}{5}
\end{aligned}$
Dari $\bigtriangleup ABC$ diketahui $\sin\ CAB=\dfrac{8}{17}$, sehingga berlaku:
$\begin{aligned}
\sin\ CAB &= \dfrac{BC}{AC} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
\dfrac{8}{17} &= \dfrac{8}{AC} \\
AC &= 17
\end{aligned}$
dengan teorema phytagoras pada segitiga $DAE$.
$\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\
17^{2} &= AB^{2}+8^{2} \\
289 &= AB^{2}+64 \\
AB^{2} &= 289-64 \\
AB &= \sqrt{225}=15
\end{align}$
Panjang $EB=AB-AE=15-5=10$
Contoh 5.
Jika $\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ dan $\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, maka nilai $x$, $y$ atau $r$ pada segitiga di bawah ini adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari segitiga $(a)$ diketahui $\sin\ 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{aligned}
\sin\ 30^{\circ} &= \dfrac{4}{y} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{4}{y} \\
y &= 8
\end{aligned}$
dengan teorema phytagoras pada segitiga $DAE$.
$\begin{align}
y^{2} &= 4^{2}+r^{2} \\
8^{2} &= 16+r^{2} \\
r^{2} &= 64-16 \\
r &= \sqrt{48} = 4\sqrt{3}
\end{align}$
Dari segitiga $(b)$ diketahui $\cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{aligned}
\cos\ 60^{\circ}&= \dfrac{8}{r} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{8}{r} \\
r &= 16 \\
\end{aligned}$
dengan teorema phytagoras pada segitiga $DAE$.
$\begin{align}
r^{2} &= 8^{2}+r^{2} \\
16^{2} &= 64+x^{2} \\
x^{2} &= 256-64 \\
x &= \sqrt{192} = 8\sqrt{3}
\end{align}$
Contoh 6.
Diketahui segitiga $PQR$ siku-siku di $Q$. Jika $PQ=7\ cm$ dan $QR=25\ cm$ maka hitunglah nilai $\sin\ \alpha$, $\cos\ \alpha$, $ \tan\ \alpha$, $\csc\ \alpha$, $\sec\ \alpha$ dan $\cot\ \alpha$ dengan $\alpha$ adalah sudut antara $PQ$ dan $PR$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan segitiga siku-siku $PQR$ dan sudut $\alpha$, ilustrasinya seperti berikut ini:
\sin\ \alpha &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{24}{25} \\
\hline
\cos\ \alpha &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{7}{25} \\
\hline
\tan\ \alpha &= \dfrac{QR}{PQ} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{24}{7} \\
\hline
\csc\ \alpha &= \dfrac{PR}{QR} \quad && \left[ \dfrac{mi}{de} \right] \\
&= \dfrac{25}{24} \\
\hline
\sec\ \alpha &= \dfrac{PR}{PQ} \quad && \left[ \dfrac{sa}{de} \right] \\
&= \dfrac{25}{7} \\
\hline
\cot\ \alpha &= \dfrac{PQ}{QR} \quad && \left[ \dfrac{mi}{de} \right] \\
&= \dfrac{7}{24}
\end{aligned}$
Contoh 7.
Perhatikan gambar dibawah ini!
Berdasarkan gambar, tentukan nilai:
(a). $ \tan\ \theta$
(b). $\sec\ \theta$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas, untuk menemukan $ \tan\ \theta$ dan $\sec\ theta$ kita butuh $AC$ dan $CD$,
Panjang $AC$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $ABC$.
$\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\
AC^{2} &= 3^{2}+4^{2} \\
AC^{2} &= 25 \\
AC &= \sqrt{25} = 5
\end{align}$
Panjang $CD$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $ACD$.
$\begin{align}
CD^{2} &= AC^{2}+AD^{2} \\
CD^{2} &= 5^{2}+12^{2} \\
CD^{2} &= 169 \\
CD &= \sqrt{169}=13
\end{align}$
$\begin{aligned}
\tan\ \theta &= \dfrac{AC}{AD} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{5}{12} \\
\hline
\sec\ \theta &= \dfrac{CD}{AD} \quad && \left[ \dfrac{mi}{sa} \right] \\
&= \dfrac{13}{12}
\end{aligned}$
Contoh 8.
Dari segitiga berikut ini:
Jika $\sin\ \theta=\dfrac{2}{5}$, tentukan nilai $x$ (dalam cm)
Alternatif Pembahasan:
Jika sisi miring segitiga kita misalkan dengan $h$ (hipotenusa)
$\begin{aligned}
\sin\ \theta &= \dfrac{12}{h} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
\dfrac{2}{5} &= \dfrac{12}{h} \\
2 \cdot h &= 12 \cdot 5 \\
h &= 6 \cdot 5 =30
\end{aligned}$
Panjang $x$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga.
$\begin{align}
h^{2} &= x^{2}+12^{2} \\
30^{2} &= x^{2}+144 \\
900 &= x^{2}+144 \\
900-144 &= x^{2} \\
x^{2} &= 756 \\
x &= \sqrt{756}=6\sqrt{21}
\end{align}$
Contoh 9.
Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut::
Tentukan:
(a). Panjang $AC$,
(b). $\sin\ \theta$,
(c). $\cos\ \theta$,
(d). $\sin\ \theta$,
Alternatif Pembahasan:
Panjang $AC$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $ABC$.
$\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\
AC^{2} &= 16^{2}+12^{2} \\
AC^{2} &= 256+144 \\
AC &= \sqrt{400} \\
AC &= 20
\end{align}$
Untuk $AC=20$, $AB=16$ dan $BC=12$
$\begin{aligned}
\sin\ \theta &= \dfrac{BC}{AC} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5} \\
\hline
\cos\ \theta &= \dfrac{AB}{AC} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{16}{20} = \dfrac{4}{5} \\
\hline
\tan\ \theta &= \dfrac{BC}{AB} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4} \\
\end{aligned}$
Contoh 10.
Perhatikan segitiga siku-siku dibawah ini. Diketahui $ \tan\ M =\dfrac{16}{30}$, tentukan $\sin\ M$ dan $\cos\ M$.
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disebutkan bahwa $ an\ M =\dfrac{16}{30}$, berdasarkan defenisi $tangen$ dapat kita simpulkan:
$\begin{aligned}
\tan\ M &= \dfrac{KL}{LM} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
\dfrac{16}{30} &= \dfrac{KL}{LM} \\
KL &= 16x \\
LM &= 30x \\
\end{aligned}$
Panjang $KM$ dapat kita temukan dengan teorema phytagoras pada segitiga $KLM$.
$\begin{align}
KM^{2} &= KL^{2}+LM^{2} \\
KM^{2} &= (16x)^{2}+(30x)^{2} \\
KM^{2} &= 256x^{2}+900x^{2} \\
KM &= \sqrt{1156x^{2}} \\
&= 34x
\end{align}$
Untuk $KL=16x$, $LM=30x$ dan $KM=34x$
$\begin{aligned}
\sin\ M &= \dfrac{KL}{KM} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{16x}{34x} = \dfrac{8}{17} \\
\hline
\cos\ M &= \dfrac{LM}{KM} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{30x}{34x} = \dfrac{15}{17}
\end{aligned}$
Contoh 11.
Tentukan nilai sinus, cosinus dan tangen untuk sudut $P$ dan $R$ pada setiap segitiga siku-siku di bawah ni. Nyatakan jawaban kamu dalam bentuk paling sederhana.
Alternatif Pembahasan:
Pada segitiga $PQR$ dengan teorema phytagoras dapat kita tentukan $PR$.
$\begin{align}
PR^{2} &= PQ^{2}+ QR^{2} \\
PR^{2} &=8^{2}+4^{2} \\
PR^{2} &=64+16 \\
PR &=\sqrt{80}=4\sqrt{5}
\end{align}$
Untuk sudut $P$
$\begin{align}
\sin\ P &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{8}{4 \sqrt{5}}= \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
\cos\ P &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{4}{4 \sqrt{5}}= \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\
\tan\ P &= \dfrac{QR}{PQ} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{8}{4}=2 \\
\end{align}$
Untuk sudut $R$
$\begin{align}
\sin\ R &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{4}{4 \sqrt{5}}= \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\
\cos\ R &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{8}{4 \sqrt{5}}= \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
\tan\ R &= \dfrac{PQ}{QR} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2} \\
\end{align}$
Contoh 12.
Tentukan nilai sinus, cosinus dan tangen untuk sudut $P$ dan $R$ pada setiap segitiga siku-siku di bawah ni. Nyatakan jawaban kamu dalam bentuk paling sederhana.
Alternatif Pembahasan:
Pada segitiga $PQR$ dengan teorema phytagoras dapat kita tentukan $PQ$.
$\begin{align}
PR^{2} &= PQ^{2}+ QR^{2} \\
11^{2} &=PQ^{2}+7^{2} \\
PQ^{2} &=121-49 \\
PQ &=\sqrt{72}=6 \sqrt{2}
\end{align}$
Untuk sudut $P$
$\begin{align}
\sin\ P &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{7}{11} \\
\cos\ P &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{6 \sqrt{2}}{11}= \dfrac{6}{11}\sqrt{2} \\
\tan\ P &= \dfrac{QR}{PQ} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{7}{6 \sqrt{2}}=\dfrac{7}{6} \sqrt{2}
\end{align}$
Untuk sudut $R$
$\begin{align}
\sin\ R &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{6 \sqrt{2}}{11}= \dfrac{6}{11}\sqrt{2} \\
\cos\ R &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{7}{11} \\
\tan\ R &= \dfrac{PQ}{QR} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{7}{6 \sqrt{2}}=\dfrac{7}{6} \sqrt{2}
\end{align}$
Contoh 13.
Tentukan nilai sinus, cosinus dan tangen untuk sudut $P$ dan $R$ pada setiap segitiga siku-siku di bawah ni. Nyatakan jawaban kamu dalam bentuk paling sederhana.
Alternatif Pembahasan:
Pada segitiga $PQR$ dengan teorema phytagoras dapat kita tentukan $PQ$.
$\begin{align}
PR^{2} &= PQ^{2}+ QR^{2} \\
&=1^{2}+2^{2} \\
&=1+4 \\
PR &=\sqrt{5}
\end{align}$
Untuk sudut $P$
$\begin{align}
\sin\ P &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
\cos\ P &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\
\tan\ P &= \dfrac{QR}{PQ} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{2}{1}= 2
\end{align}$
Untuk sudut $R$
$\begin{align}
\sin\ R &= \dfrac{PQ}{PR} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \\
\cos\ R &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
\tan\ R &= \dfrac{PQ}{QR} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{6} \sqrt{2}
\end{align}$
Contoh 14.
Pada suatu segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle B =90^{\circ}$, $AB=24\ cm$ dan $BC=7\ cm$, hitung:
(a). $\sin\ A$, $\cos\ A$ dan $ \tan\ A$
(b). $\sin\ C$, $\cos\ C$ dan $ \tan\ C$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan, segitiga siku-siku $ABC$ adalah seperti berikut ini:
$\begin{align}
\sin\ A &= \dfrac{BC}{AC} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{7}{25} \\
\cos\ A &= \dfrac{AB}{AC} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{24}{25} \\
\tan\ A &= \dfrac{BC}{AB} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{7}{24}
\end{align}$
Untuk sudut $C$
$\begin{align}
\sin\ C &= \dfrac{AB}{AC} \quad && \left[ \dfrac{de}{mi} \right] \\
&= \dfrac{24}{25} \\
\cos\ C &= \dfrac{QR}{PR} \quad && \left[ \dfrac{sa}{mi} \right] \\
&= \dfrac{7}{25} \\
\tan\ C &= \dfrac{PQ}{QR} \quad && \left[ \dfrac{de}{sa} \right] \\
&= \dfrac{24}{7}
\end{align}$
Soal Latihan dan Pembahasan Perbandingan Trigonometri
Soal latihan Perbandingan Trigonometri Dasar berikut ini kita pilih dari Kumpulan Modul Belajar dan Modul Ajar Matematika SMA. Untuk soal perbandingan trigonomteir yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri, soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan, atau Soal UN (Ujian Nasional) silahkan di coba sebagai bahan latihan pada Soal dan Pembahasan Matematika SMA Trigonometri.
1. Soal Latihan Perbandingan Trigonometri Dasar
Jika $x$ memenuhi $-2\ \csc\ x + 2 \cot\ x + 3\ \sin\ x=0$ untuk $0 \lt x \lt \pi$, maka $\cos\ x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan bentuk soal trigonometri di atas, setidaknya kita sedikit paham tentang persamaan kuadrat dan identitas trigometri. Dengan bantuan manipulasi aljabar, maka penjabaran soal yang mungkin kita lakukan seperti berikut ini:
$\begin{align}
-2\ \csc\ x + 2 cot\ x + 3\ \sin\ x &=0 \\
-2\ \dfrac{1}{\sin\ x} + 2 \dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} + 3\ \sin\ x &=0 \\
\hline
\text{kedua ruas dikali}\ \sin\ x \\
\hline
-2 + 2\ \cos\ x + 3\ \sin^{2} x &=0 \\
-2 + 2\ \cos\ x + 3 \left( 1-\cos^{2} x \right) &=0 \\
-2 + 2\ \cos\ x + 3 -3\cos^{2} x &=0 \\
3\cos^{2} x - 2\ \cos\ x -1 &=0 \\
\left(3\ \cos\ x + 1 \right) \left(\cos\ x - 1 \right) &=0 \\
\cos\ x &=-\dfrac{1}{3} \\
\cos\ x &=1
\end{align}$
Karena $0 \lt x \lt \pi$, maka nilai $\cos\ x$ yang memenuhi adalah $\cos\ x =-\dfrac{1}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{1}{3}$
Bagaimana pendapat Anda tentang perbandingan trigonometrinya, atau kita sudah bisa berkomentar "kalau perbandingan trigonometrinya seperti ini saya mengerti, tapi kalau yang seperti ....", kalau bisa berkomentar seperti ini, berarti ada perkembangan dalam belajar trigonometrinya.
Tetapi kalau belum bisa, silahkan coba dibaca ulang lagi ceritanya dari awal, dan kalau ada yang perlu ditanyakan silahkan disampaikan.
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Matematika Dasar SMA: Belajar Perbandingan Trigonometri silahkan disampaikan 🙏 CMIIW 📩😊