Calon guru belajar matematika dasar dari Turunan Fungsi Trigonometri dan pembahasan beberapa sola latihan tentang turuna fungsi trigonometri. Setelah mengenal definisi Turunan Fungsi Aljabar, selanjutnya kita coba gunakan definisi turunan fungsi pada fungsi trigonometri.
Dengan menggunakan definisi turunan fungsi dan beberapa identitas trigonometri kita dapat menentukan turunan dari beberapa fungsi trigonometri.
TURUNAN FUNGSI $f(x)=\sin x$
Rumus turunan fungsi $f(x)=\sin x$
Turunan pertama dari $f(x)=\sin x$ adalah $f'(x)=\cos x$
Alternatif Pembuktian:
Dengan bantuan $\sin \alpha- \sin \beta= 2\ \cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)$ dan definisi turunan fungsi dapat kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \hline f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin (x+h)- \sin x}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2\ \cos \left( \frac{x+h+x}{2} \right)\sin \left( \frac{x+h-x}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2\ \cos \left( \frac{2x+h}{2} \right)\sin \left( \frac{h}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0}\ 2\ \cos \left( \frac{2x+h}{2} \right) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin \left( \frac{h}{2} \right)}{h} \\ & = 2\ \cos \left( \frac{2x+0}{2} \right) \cdot \dfrac{1}{2} \\ & = \cos x \end{align}$
TURUNAN FUNGSI $f(x)=\sin ax$
Rumus turunan fungsi $f(x)=\sin ax$
Turunan pertama dari $f(x)=\sin ax$ adalah $f'(x)=a \cos ax$
Alternatif Pembuktian:
Dengan bantuan $\sin \alpha- \sin \beta= 2\ \cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)$ dan definisi turunan fungsi dapat kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \hline f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin a(x+h)- \sin ax}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2\ \cos \left( \frac{ax+ah+ax}{2} \right)\sin \left( \frac{ax+ah-ax}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2\ \cos \left( \frac{2ax+ah}{2} \right)\sin \left( \frac{ah}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0}\ 2\ \cos \left( \frac{2ax+ah}{2} \right) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin \left( \frac{ah}{2} \right)}{h} \\ & = 2\ \cos \left( \frac{2ax+0}{2} \right) \cdot \dfrac{1}{2}a \\ & =a \cos ax \end{align}$
TURUNAN FUNGSI $f(x)=\cos x$
Rumus turunan fungsi $f(x)=\cos x$
Turunan pertama dari $f(x)=\cos x$ adalah $f'(x)=-\sin x$
Alternatif Pembuktian:
Dengan bantuan $\cos \alpha- \cos \beta= -2\ \sin \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)$ dan definisi turunan fungsi dapat kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \hline f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos (x+h)- \cos x}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( \frac{x+h+x}{2} \right)\sin \left( \frac{x+h-x}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( \frac{2x+h}{2} \right)\sin \left( \frac{h}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0}\ -2\ \sin \left( \frac{2x+h}{2} \right) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin \left( \frac{h}{2} \right)}{h} \\ & = -2\ \sin \left( \frac{2x+0}{2} \right) \cdot \dfrac{1}{2} \\ & = -\sin x \end{align}$
TURUNAN FUNGSI $f(x)=\cos ax$
Rumus turunan fungsi $f(x)=\cos ax$
Turunan pertama dari $f(x)=\cos ax$ adalah $f'(x)=-a \sin ax$
Alternatif Pembuktian:
Dengan bantuan $\cos \alpha- \cos \beta= -2\ \sin \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)$ dan definisi turunan fungsi dapat kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \hline f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos a(x+h)- \cos ax}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( \frac{ax+ah+ax}{2} \right)\sin \left( \frac{ax+ah-ax}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( \frac{2ax+ah}{2} \right)\sin \left( \frac{ah}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0}\ -2\ \sin \left( \frac{2ax+ah}{2} \right) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin \left( \frac{ah}{2} \right)}{h} \\ & = -2\ \sin \left( \frac{2ax+0}{2} \right) \cdot \dfrac{1}{2}a \\ & = -a \sin ax \end{align}$
TURUNAN FUNGSI $f(x)=\tan x$
Rumus turunan fungsi $f(x)=\tan x$
Turunan pertama dari $f(x)=\tan x$ adalah $f'(x)= \sec^{2} x$
Alternatif Pembuktian:
Dengan bantuan untuk $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$ dan $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) & = \tan x \\ f(x) & = \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ \hline f'(x) &= \dfrac{ \left( \cos x \right) \cdot \left( \cos x \right) - \left( \sin x \right) \cdot \left(- \sin x \right) }{ \left( \cos x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{ \cos^{2} x + \sin^{2} x }{ \cos^{2} x} \\ & = \dfrac{ 1 }{ \cos^{2} x} \\ & = \sec^{2} x \end{align}$
TURUNAN FUNGSI $f(x)=\tan ax$
Rumus turunan fungsi $f(x)=\tan ax$
Turunan pertama dari $f(x)=\tan ax$ adalah $f'(x)= a \sec^{2} ax$
Alternatif Pembuktian:
Dengan bantuan untuk $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$ dan $\tan ax=\dfrac{\sin ax}{\cos ax}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) & = \tan ax \\ f(x) & = \dfrac{\sin ax}{\cos ax} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ \hline f'(x) &= \dfrac{ \left(a \cos ax \right) \cdot \left( \cos ax \right) - \left( \sin x \right) \cdot \left(-a \sin ax \right) }{ \left( \cos ax \right)^{2}} \\ & = \dfrac{ a \cos^{2} ax + a \sin^{2} ax }{ \cos^{2} ax} \\ & = \dfrac{ a \left( \cos^{2} ax + \sin^{2} ax \right) }{ \cos^{2} ax} \\ & = \dfrac{ a }{ \cos^{2} ax} \\ & = a \sec^{2} ax \end{align}$
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Dari beberapa aturan turunan fungsi trigonmetri yang sudah dibuktikan di atas, secara umum turunan fungsi trigonometri dasar dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
- Jika $f(x)=\sin\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \cos\ u(x)$
- Jika $f(x)=\cos\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sin\ u(x)$
- Jika $f(x)= \tan\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec^{2}\ u(x)$
- Jika $f(x)= \cot\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \csc^{2}\ u(x)$
- Jika $f(x)= \sec\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec\ u(x)\ \tan\ u(x)$
- Jika $f(x)=\csc\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \csc\ u(x)\ \cot\ u(x)$
Untuk melihat bentuk lain rumus turunan fungsi trigonometri dapat dilihat pada catatan turunan fungsi trigonometri pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri.
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Berikut ini sebagai soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $y=\sin \left( 2x-5 \right)$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)=\sin\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot cos\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \sin \left( 2x-5 \right) \\
y' &= 2 \cdot \cos \left( 2x-5 \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2 \cdot \cos \left( 2x-5 \right)$
2. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $y=\tan \left( 3x-4 \right)$ maka $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)=\tan u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec^{2}\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \tan \left( 3x-4 \right) \\
y' &= 3 \cdot \sec^{2} \left( 3x-4 \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3 \cdot \sec^{2} \left( 3x-4 \right)$
3. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)=\cos \left( x^{2}-3x \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)=\cos u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sin u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \cos \left( x^{2}-3x \right) \\
y' &= -\left( 2x-3 \right) \cdot \sin \left( x^{2}-3x \right) \\
&= \left( 3-2x \right) \cdot \sin \left( x^{2}-3x \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( 3-2x \right) \cdot \sin \left( x^{2}-3x \right)$
4. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)=3 \cdot \sec \left( 4x^{2}-5 \right)$ maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)= \sec\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec\ u(x)\ \tan\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y &= 3 \cdot \sec \left( 4x^{2}-5 \right) \\
y' &= 3 \cdot \left( 8x \right) \cdot \sec\ \left( 4x^{2}-5 \right)\ \tan\ \left( 4x^{2}-5 \right) \\
&=24x \cdot \sec\ \left( 4x^{2}-5 \right)\ \tan\ \left( 4x^{2}-5 \right) \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24x \cdot \sec \left( 4x^{2}-5 \right) \cdot \tan \left( 4x^{2}-5 \right)$
5. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)=\cos x$ maka $f'\left( \frac{\pi}{3} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)=\cos u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sin u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \cos x \\
f'(x) &= - \sin x \\
f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= - \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \\
&= - \sin 60^{\circ} \\
&= - \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
6. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)=8 \cdot \sin x + 4 \cdot \cos x$ maka $f'\left( \frac{\pi}{4} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)=\sin u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \cos u(x)$ dan $f(x)=\cos u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sin u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= 8 \cdot \sin x + 4 \cdot \cos x \\ f'(x) &= 8 \cdot \cos x - 4 \cdot \sin x \\ f'\left( \frac{\pi}{4} \right) &= 8 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) - 4 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \\ f'\left( 45^{\circ} \right) &= 8 \cdot \cos 45^{\circ} - 4 \cdot \sin 45^{\circ} \\ &= 8 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} - 4 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ &= 4\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{2}$
7. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)=6 \cdot \cot \left( 3x+ \frac{\pi}{6} \right)$ maka nilai $f'\left( x \right)$ untuk $x=\frac{\pi}{6}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)= \cot\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \csc^{2}\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= 6 \cdot \cot \left( 3x+ \frac{\pi}{6} \right) \\ f'(x) &= 6 \left( -3 \right) \cdot \csc^{2}\ \left( 3x+ \frac{\pi}{6} \right) \\ f'\left( \frac{\pi}{6} \right) &= -18 \cdot \csc^{2}\ \left( 3 \cdot \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{6} \right) \\ f'\left( 30^{\circ} \right) &= -18 \cdot \csc^{2}\ \left( 3 \cdot 30^{\circ}+ 30^{\circ} \right) \\ &= -18 \cdot \csc^{2}\ 120^{\circ} \\ &= -18 \cdot \dfrac{1}{\sin^{2}\ 120^{\circ}} \\ &= \dfrac{-18}{\sin^{2}\ \left( 180^{\circ} - 60^{\circ} \right)} \\ &= \dfrac{-18}{\sin^{2}\ 60^{\circ}} \\ &= \dfrac{-18}{ \left(\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)^{2}} \\ &= \dfrac{-18}{ \left(\frac{3}{4} \right)} \\ &= -24 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -24$
8. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)=4 \cdot \tan \left( 2x- \frac{\pi}{3} \right)$ maka untuk $x=\pi$ nilai $f'\left( x \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)= \tan\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec^{2}\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= 4 \cdot \tan \left( 2x- \frac{\pi}{3} \right) \\ f'(x) &= 4(2) \cdot \sec^{2} \left( 2x- \frac{\pi}{3} \right) \\ f'\left( \pi \right) &= 8 \cdot \sec^{2} \left( 2\pi- \frac{\pi}{3} \right) \\ f'\left( 180^{\circ} \right) &= 8 \cdot \sec^{2} \left( 360^{\circ}- 60^{\circ} \right) \\ &= 8 \cdot \sec^{2} \left( 300^{\circ} \right) \\ &= 8 \cdot \dfrac{1}{\cos^{2}\ 300^{\circ}} \\ &= \dfrac{8}{\cos^{2}\ \left( 360^{\circ} - 60^{\circ} \right)} \\ &= \dfrac{8}{\cos^{2}\ 60^{\circ}} \\ &= \dfrac{8}{ \left(\frac{1}{2} \right)^{2}} \\ &= \dfrac{8}{ \left(\frac{1}{4} \right)} \\ &= 32 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 32$
9. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)=\cos^{2} 3x-\sin^{2} 3x$ maka $f'\left( x \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)= \cos\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sin\ u(x)$ dan sudut ganda cosinus $\cos 2A=\cos^{2} A-\sin^{2} A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \cos^{2} 3x-\sin^{2} 3x \\ &= \cos \left( 2 \cdot 3x \right) \\ &= \cos 6x \\ \\ f'\left( x \right) &= - 6 \cdot \sin 6x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -6 \cdot \sin 6x$
10. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)=2 \cdot \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \sin \left( 2x + \frac{4\pi}{3} \right)$ maka $f'\left( x \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pengurangan sinus $2\cos A \sin B=\sin \left( A+B \right) - \sin \left( A-B \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= 2 \cdot \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \sin \left( 2x + \frac{4\pi}{3} \right) \\ f(x) &= 2 \cdot \cos \left( 2x + 60^{\circ} \right) \cdot \sin \left( 2x + 240^{\circ} \right) \\ &= \sin \left( 2x + 60^{\circ} +2x + 240^{\circ} \right) - \sin \left( 2x + 60^{\circ}-2x - 240^{\circ} \right) \\ &= \sin \left( 4x + 300^{\circ} \right) - \sin \left( -180^{\circ} \right) \\ &= \sin \left( 4x + 300^{\circ} \right) + \sin 180^{\circ} \\ \hline f'(x) &= 4 \cos \left( 4x + 300^{\circ} \right) + 0 \\ &= 4 \cos \left( 4x + 360^{\circ}-60^{\circ} \right) \\ &= 4 \cos \left( 4x -60^{\circ} \right) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4 \cdot \cos \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right)$
11. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)=3x^{2} \tan 2x$ maka $f'\left( \dfrac{\pi}{2} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)= \tan\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec^{2}\ u(x)$ dan sifat turunan perkalian fungsi $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= 3x^{2} \tan 2x \\ \hline &u= 3x^{2} \longrightarrow u'= 6x \\ &v= \tan 2x \longrightarrow v'= 2 \sec^{2} 2x \\ \hline f'(x) &= 6x \cdot \tan 2x + 3x^{2} \cdot 2 \sec^{2}\ 2x \\ &= 6x \cdot \tan 2x + 6x^{2} \sec^{2}\ 2x \\ f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) &= 6\left( \dfrac{\pi}{2} \right) \cdot \tan 2\left( \dfrac{\pi}{2} \right) + 6\left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{2} \sec^{2}\ 2\left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ &= 3\pi \cdot \tan \pi + 6\left( \dfrac{\pi^{2}}{4} \right) \sec^{2}\ \pi \\ &= 3\pi \cdot 0 + \dfrac{3\pi^{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{\cos^{2}\ \pi} \\ &= \dfrac{3\pi^{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{(-1)^{2}} \\ &= \dfrac{3\pi^{2}}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{2}\pi^{2}$
12. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)=4 \cdot \sin 3x \cdot \cos 2x$ maka $f'\left( \dfrac{\pi}{6} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan sifat turunan perkalian fungsi $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= 4 \cdot \sin 3x \cdot \cos 2x \\ \hline &u= 4 \sin 3x \longrightarrow u'= 4 \cdot 3 \cos 3x \\ &v= \cos 2x \longrightarrow v'= -2\sin 2x \\ \hline f'(x) &= 4 \cdot 3 \cos 3x \cdot \cos 2x + 4 \cdot \sin 3x \cdot -2 \sin 2x \\ &= 12 \cos 3x \cdot \cos 2x - 8 \cdot \sin 3x \cdot \sin 2x \\ f' \left( \dfrac{\pi}{6} \right) &= 12 \cos 3\left( \dfrac{\pi}{6} \right) \cdot \cos 2\left( \dfrac{\pi}{6} \right) - 8 \cdot \sin 3\left( \dfrac{\pi}{6} \right) \cdot \sin 2\left( \dfrac{\pi}{6} \right) \\ &= 12 \cos \dfrac{\pi}{2} \cdot \cos \dfrac{\pi}{3} - 8 \cdot \sin \dfrac{\pi}{2} \cdot \sin \dfrac{\pi}{3} \\ &= 12 \cos 90^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} - 8 \cdot \sin 90^{\circ} \cdot \sin 60^{\circ} \\ &= 12 \cdot 0 \cdot \dfrac{1}{2} - 8 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ &= 0-4\sqrt{3} \\ &= -4\sqrt{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -4\sqrt{3}$
13. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)= \dfrac{\cos 3x}{\sin 5x}$, maka $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan sifat turunan pembagian fungsi $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{\cos 3x}{\sin 5x} \\ \hline &u= \cos 3x \longrightarrow u'= -3 \sin 3x \\ &v= \sin 5x \longrightarrow v'= 5 \cos 5x \\ \hline f'(x) &= \dfrac{\left( -3 \sin 3x \right) \cdot \left( \sin 5x \right) -\left( \cos 3x \right) \cdot \left( 5 \cos 5x \right)}{\sin^{2} 5x} \\ &= \dfrac{ -3 \sin 3x\ \sin 5x - 5 \cos 3x\ \cos 5x }{\sin^{2} 5x} \\ f' \left( \dfrac{\pi}{3} \right) &= \dfrac{ -3 \sin 3\left( \frac{\pi}{3} \right)\ \sin 5\left( \frac{\pi}{3} \right)\ - 5 \cos 3\left( \frac{\pi}{3} \right)\ \cos 5\left( \frac{\pi}{3} \right)}{\sin^{2} 53\left( \frac{\pi}{3} \right)} \\ &= \dfrac{ -3 \sin 180^{\circ} \sin 300^{\circ} - 5 \cos 180^{\circ}\ \cos 300^{\circ}\ }{\sin^{2} 300^{\circ}} \\ &= \dfrac{ -3 \cdot \left( 0 \right) \cdot \left( -\frac{1}{2}\sqrt{3} \right) - 5 \cdot \left( -1 \right)\ \left( \frac{1}{2} \right) }{ \left( -\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ 0 + \frac{5}{2} }{ \frac{3}{4} } \\ &= \dfrac{10}{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{10}{3}$
14. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)= \cos 4x \cdot \tan 4x$, maka $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)=\sin u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \cos u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \cos 4x \cdot \tan 4x \\ &= \cos 4x \cdot \dfrac{\sin 4x}{\cos 4x} \\ &= \sin 4x \\ f'(x) &= 4\ \cos 4x \\ f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) &= 4\ \cos 4 \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \\ &= 4\ \cos 240^{\circ} \\ &= 4\ \cdot -\dfrac{1}{2} \\ &= -2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$
15. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)= \sin x - \sin x \cdot \cos^{2} x$, maka $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \sin x - \sin x \cdot \cos^{2} x \\ &= \sin x \left( 1 - \cos^{2} x \right) \\ &= \sin x \left( \sin^{2} x \right) \\ &= \sin^{3} x \\ &= \left( \sin x \right)^{3} \\ \hline &u= \sin x \longrightarrow u'= \cos x \\ \hline f'(x) &= 3 \cdot \sin^{3-1} x \cdot \cos x\\ &= 3 \cdot \sin^{2} x \cdot \cos x \\ f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) &= 3 \cdot \sin^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \\ &= 3 \cdot \sin^{2} 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} \\ &= 3 \cdot \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ &= 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ &= \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{4}\sqrt{2}$
16. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)= \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$, maka $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan sifat turunan pembagian fungsi $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} \\ \hline &u= \sin x - \cos x \longrightarrow u'= \cos x + \sin x \\ &v= \sin x + \cos x \longrightarrow v'= \cos x - \sin x \\ \hline f'(x) &= \dfrac{\left( \cos x + \sin x \right) \left( \sin x + \cos x \right) -\left( \sin x - \cos x \right) \cdot \left( \cos x - \sin x \right)}{\left( \sin x + \cos x \right)^{2}} \\ &= \dfrac{\left( \cos x + \sin x \right)^{2} + \left( \sin x - \cos x \right) \cdot \left( \sin x - \cos x \right)}{\left( \sin x + \cos x \right)^{2}} \\ &= \dfrac{\left( \cos x + \sin x \right)^{2} + \left( \sin x - \cos x \right)^{2}}{\left( \sin x + \cos x \right)^{2}} \\ &= \dfrac{\cos^{2} x + \sin^{2} x + 2\sin x \cos x + \cos^{2} x + \sin^{2} x - 2\sin x \cos x}{\cos^{2} x + \sin^{2} x + 2\sin x \cos x} \\ &= \dfrac{1 + 1}{1 + 2\sin x \cos x} \\ &= \dfrac{2}{1 + 2\sin x \cos x} \\ f' \left( \dfrac{\pi}{4} \right) &= \dfrac{2}{ 1+ 2 \sin \dfrac{\pi}{4}\ \cos \dfrac{\pi}{4} } \\ &= \dfrac{2}{ 1+ 2 \sin 45^{\circ}\ \cos 45^{\circ} } \\ &= \dfrac{2}{ 1+ 2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ &= \dfrac{2}{ 1+ 2 \cdot \frac{1}{2} } \\ &= \dfrac{2}{ 1+ 1 } = 1 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$
17. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)= \dfrac{\sin^{2} x}{1- \cos x}$, maka $f'\left( x \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan $f(x)=\sin\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot cos\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{\sin^{2} x}{1- \cos x} \\ &= \dfrac{\sin^{2} x}{1- \cos x} \cdot \dfrac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \\ &= \dfrac{\sin^{2} x \left( 1 + \cos x \right)}{1- \cos^{2} x} \\ &= \dfrac{\sin^{2} x \left( 1 + \cos x \right)}{ \sin^{2} x} \\ &= 1 + \cos x \\ \hline f'(x) &= 0-\sin x \\ &= -\sin x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\sin x$
18. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)= \dfrac{\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$, maka nilai $f'\left( \frac{\pi}{3} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan $f(x)= \sec\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec\ u(x)\ \tan\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x} \\ &= \dfrac{\cos x \left( 1+\sin x \right)+\cos x \left( 1-\sin x \right)}{1-\sin^{2} x} \\ &= \dfrac{\cos x \left( 1+\sin x+ 1-\sin x \right)}{ \cos^{2} x} \\ &= \dfrac{\cos x \left( 2 \right)}{ \cos^{2} x} \\ &= \dfrac{2}{ \cos x} \\ &= 2 \sec x \\ \hline f'\left( x \right) &= 2 \sec\ x\ \tan\ x \\ f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= 2 \sec\ \frac{\pi}{3}\ \tan\ \frac{\pi}{3} \\ &= 2 \sec\ 60^{\circ}\ \tan\ 60^{\circ} \\ &= 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \\ &= 4\sqrt{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\sqrt{3}$
19. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)= 2 \cdot \sin^{3} x$, maka $f'\left( x \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= 2 \cdot \sin^{3} x \\ &= 2 \cdot \left( \sin x \right)^{3} \\ \hline &u= \sin x \longrightarrow u'= \cos x \\ \hline f'(x) &= 2 \cdot 3 \sin^{3-1} x \cdot \cos x\\ &= 6 \cdot \sin^{2} x \cdot \cos x \\ &= 6 \cdot \sin x \cdot \sin x \cdot \cos x \\ &= 3 \cdot 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot \sin x \\ &= 3 \cdot \sin 2x \cdot \sin x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3 \cdot \sin x \cdot \sin 2x$
20. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $f(x)= \dfrac{\sin 8x}{\sin^{2} 4x}$, maka $f'\left( x \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan $f(x)= \cot\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \csc^{2}\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{\sin 8x}{\sin^{2} 4x} \\ &= \dfrac{2 \sin 4x\ \cos 4x}{\sin 4x\ \sin 4x} \\ &= \dfrac{2 \cos 4x}{ \sin 4x} \\ &= 2 \cot 4x \\ \hline f'\left( x \right) &= 2 \cdot -4 \cdot \csc^{2}\ 4x \\ &= -8 \cdot \csc^{2}\ 4x \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -8 \cdot \csc^{2} 4x$
21. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan dari $f(x)= \sec \left( 2x-4 \right) \cdot \cot \left( 2x-4 \right)$, adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan sifat turunan pembagian fungsi $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \sec \left( 2x-4 \right) \cdot \cot \left( 2x-4 \right) \\ &= \dfrac{1}{\cos \left( 2x-4 \right)} \cdot \dfrac{\cos \left( 2x-4 \right)}{\sin \left( 2x-4 \right)} \\ &= \dfrac{1}{\sin \left( 2x-4 \right)} \\ \hline &u= 1 \longrightarrow u'= 0 \\ &v= \sin \left( 2x-4 \right) \longrightarrow v'= 2 \cos \left( 2x-4 \right) \\ \hline f'\left( x \right) &= \dfrac{0 \cdot \sin \left( 2x-4 \right) - 1 \cdot 2 \cos \left( 2x-4 \right)}{\sin^{2} \left( 2x-4 \right)} \\ &= \dfrac{-2 \cos \left( 2x-4 \right)}{\sin^{2} \left( 2x-4 \right)} \\ &= \dfrac{-2}{\sin \left( 2x-4 \right)} \cdot \dfrac{\cos \left( 2x-4 \right)}{\sin \left( 2x-4 \right)} \\ &= -2 \csc \left( 2x-4 \right) \cdot \cot \left( 2x-4 \right) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2 \cdot \csc \left( 2x-4 \right) \cdot \cot \left( 2x-4 \right)$
22. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika fungsi $y= \csc \left( 2x +\frac{\pi}{6} \right)$ maka nilai $y'$ untuk $x=\dfrac{\pi}{3}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan $f(x)=\csc\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \csc\ u(x)\ \cot\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \csc \left( 2x+ \frac{\pi}{6} \right) \\ f'\left( x \right) &= -2 \cdot \csc\ \left( 2x+ \frac{\pi}{6} \right)\ \cot\ \left( 2x+ \frac{\pi}{6} \right) \\ f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= -2 \cdot \csc\ \left( 2\left( \frac{\pi}{3} \right)+ \frac{\pi}{6} \right)\ \cot\ \left( 2\left( \frac{\pi}{3} \right)+ \frac{\pi}{6} \right) \\ &= -2 \cdot \csc\ \left( \frac{5\pi}{6} \right)\ \cot\ \left( \frac{5\pi}{6} \right) \\ &= -2 \cdot \csc\ 150^{\circ}\ \cot\ 150^{\circ} \\ &= -2 \cdot \dfrac{1}{\sin\ 150^{\circ}} \cdot \dfrac{1}{\tan\ 150^{\circ}} \\ &= -2 \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{-\frac{1}{\sqrt{3}}} \\ &= -2 \cdot 2 \cdot - \sqrt{3} \\ &= 4\sqrt{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\sqrt{3}$
23. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $y= 5 \cos^{2}x$ maka $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Simbol $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ artinya yang ditanyakan adalah turunan kedua, dengan menggunakan aturan beberapa turunan fungsi dapat kita peroleh:
$\begin{align} y &= 5 \cos^{2} x\\ \hline \dfrac{dy}{dx} &= 5 \cdot 2 \cos^{2-1} x \cdot \left(-\sin x \right)\\ &= -10 \cos x \cdot \sin x \\ &= -5 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x \\ &= -5 \cdot \sin 2x \\ \hline \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} &= -5 \cdot 2 \cos 2x \\ &= -10 \cos 2x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10 \cos 2x$
24. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Jika $y= 3 \cdot \tan x$ maka $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Simbol $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ artinya yang ditanyakan adalah turunan kedua, dengan menggunakan aturan beberapa turunan fungsi dapat kita peroleh:
$\begin{align} y &= 3 \cdot \tan x \\ \hline f(x) &= \tan\ u(x) \longrightarrow f'(x)=u'(x) \cdot \sec^{2}\ u(x) \\ \hline \dfrac{dy}{dx} &= 3 \cdot \sec^{2}\ x \\ \hline f(x) &= \sec\ u(x) \longrightarrow f'(x)=u'(x) \cdot \sec\ u(x)\ \tan\ u(x) \\ \hline \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} &= 3 \cdot 2 \sec^{2-1} x \cdot \sec x\ \tan x\\ &= 6 \sec x \cdot \sec x\ \tan x\\ &= 6 \sec^{2} x\ \tan x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6 \sec^{2} x\ \tan x$
25. Soal Latihan Turunan Fungsi Trigonometri
Fungsi $f(x)= \left( \dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{\tan x} \right)\left( 1+\cos x \right)$ mempunyai turunan...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan $f(x)= \sin\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \cos\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \left( \dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{\tan x} \right)\left( 1+\cos x \right) \\ &= \left( \dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{\cos x}{\sin x} \right)\left( 1+\cos x \right) \\ &= \left( \dfrac{1-\cos x}{\sin x} \right)\left( 1+\cos x \right) \\ &= \dfrac{1-\cos^{2} x}{\sin x} \\ &= \dfrac{\sin^{2} x}{\sin x} \\ &= \sin x \\ \hline f'(x) &= \cos x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \cos x$
Catatan tentang Turunan Fungsi Trigonometri dan Pembahasan Soal Latihan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.