Turunan Fungsi Trigonometri dan Pembahasan Soal Latihan

Dengan bantuan $\sin \alpha- \sin \beta= 2\ \cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)$ dan definisi turunan fungsi dapat kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \hline f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin (x+h)- \sin x}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2\ \cos \left( \frac{x+h+x}{2} \right)\sin \left( \frac{x+h-x}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2\ \cos \left( \frac{2x+h}{2} \right)\sin \left( \frac{h}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0}\ 2\ \cos \left( \frac{2x+h}{2} \right) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin \left( \frac{h}{2} \right)}{h} \\ & = 2\ \cos \left( \frac{2x+0}{2} \right) \cdot \dfrac{1}{2} \\ & = \cos x \end{align}$

Dengan bantuan $\sin \alpha- \sin \beta= 2\ \cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)$ dan definisi turunan fungsi dapat kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \hline f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin a(x+h)- \sin ax}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2\ \cos \left( \frac{ax+ah+ax}{2} \right)\sin \left( \frac{ax+ah-ax}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2\ \cos \left( \frac{2ax+ah}{2} \right)\sin \left( \frac{ah}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0}\ 2\ \cos \left( \frac{2ax+ah}{2} \right) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin \left( \frac{ah}{2} \right)}{h} \\ & = 2\ \cos \left( \frac{2ax+0}{2} \right) \cdot \dfrac{1}{2}a \\ & =a \cos ax \end{align}$

Dengan bantuan $\cos \alpha- \cos \beta= -2\ \sin \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)$ dan definisi turunan fungsi dapat kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \hline f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos (x+h)- \cos x}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( \frac{x+h+x}{2} \right)\sin \left( \frac{x+h-x}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( \frac{2x+h}{2} \right)\sin \left( \frac{h}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0}\ -2\ \sin \left( \frac{2x+h}{2} \right) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin \left( \frac{h}{2} \right)}{h} \\ & = -2\ \sin \left( \frac{2x+0}{2} \right) \cdot \dfrac{1}{2} \\ & = -\sin x \end{align}$

Dengan bantuan $\cos \alpha- \cos \beta= -2\ \sin \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)$ dan definisi turunan fungsi dapat kita peroleh:

$\begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \hline f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos a(x+h)- \cos ax}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( \frac{ax+ah+ax}{2} \right)\sin \left( \frac{ax+ah-ax}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-2\ \sin \left( \frac{2ax+ah}{2} \right)\sin \left( \frac{ah}{2} \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0}\ -2\ \sin \left( \frac{2ax+ah}{2} \right) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin \left( \frac{ah}{2} \right)}{h} \\ & = -2\ \sin \left( \frac{2ax+0}{2} \right) \cdot \dfrac{1}{2}a \\ & = -a \sin ax \end{align}$

Dengan bantuan untuk $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)}$ dan $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) & = \tan x \\ f(x) & = \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x) }{v^{2}(x)} \\ \hline f'(x) &= \dfrac{ \left( \cos x \right) \cdot \left( \cos x \right) - \left( \sin x \right) \cdot \left(- \sin x \right) }{ \left( \cos x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{ \cos^{2} x + \sin^{2} x }{ \cos^{2} x} \\ & = \dfrac{ 1 }{ \cos^{2} x} \\ & = \sec^{2} x \end{align}$

Dengan menggunakan aturan $f(x)=\sin\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot cos\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} y &= \sin \left( 2x-5 \right) \\ y' &= 2 \cdot \cos \left( 2x-5 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2 \cdot \cos \left( 2x-5 \right)$

Dengan menggunakan aturan $f(x)=\tan u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec^{2}\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} y &= \tan \left( 3x-4 \right) \\ y' &= 3 \cdot \sec^{2} \left( 3x-4 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3 \cdot \sec^{2} \left( 3x-4 \right)$

Dengan menggunakan aturan $f(x)=\cos u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sin u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} y &= \cos \left( x^{2}-3x \right) \\ y' &= -\left( 2x-3 \right) \cdot \sin \left( x^{2}-3x \right) \\ &= \left( 3-2x \right) \cdot \sin \left( x^{2}-3x \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( 3-2x \right) \cdot \sin \left( x^{2}-3x \right)$

Dengan menggunakan aturan $f(x)= \sec\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec\ u(x)\ \tan\ u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} y &= 3 \cdot \sec \left( 4x^{2}-5 \right) \\ y' &= 3 \cdot \left( 8x \right) \cdot \sec\ \left( 4x^{2}-5 \right)\ \tan\ \left( 4x^{2}-5 \right) \\ &=24x \cdot \sec\ \left( 4x^{2}-5 \right)\ \tan\ \left( 4x^{2}-5 \right) \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24x \cdot \sec \left( 4x^{2}-5 \right) \cdot \tan \left( 4x^{2}-5 \right)$

Dengan menggunakan aturan $f(x)=\cos u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sin u(x)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \cos x \\ f'(x) &= - \sin x \\ f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= - \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \\ &= - \sin 60^{\circ} \\ &= - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

Dengan menggunakan aturan $f(x)=\sin u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \cos u(x)$ dan $f(x)=\cos u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sin u(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= 8 \cdot \sin x + 4 \cdot \cos x \\ f'(x) &= 8 \cdot \cos x - 4 \cdot \sin x \\ f'\left( \frac{\pi}{4} \right) &= 8 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) - 4 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \\ f'\left( 45^{\circ} \right) &= 8 \cdot \cos 45^{\circ} - 4 \cdot \sin 45^{\circ} \\ &= 8 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} - 4 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ &= 4\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{2}$

Dengan menggunakan aturan $f(x)= \cot\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \csc^{2}\ u(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= 6 \cdot \cot \left( 3x+ \frac{\pi}{6} \right) \\ f'(x) &= 6 \left( -3 \right) \cdot \csc^{2}\ \left( 3x+ \frac{\pi}{6} \right) \\ f'\left( \frac{\pi}{6} \right) &= -18 \cdot \csc^{2}\ \left( 3 \cdot \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{6} \right) \\ f'\left( 30^{\circ} \right) &= -18 \cdot \csc^{2}\ \left( 3 \cdot 30^{\circ}+ 30^{\circ} \right) \\ &= -18 \cdot \csc^{2}\ 120^{\circ} \\ &= -18 \cdot \dfrac{1}{\sin^{2}\ 120^{\circ}} \\ &= \dfrac{-18}{\sin^{2}\ \left( 180^{\circ} - 60^{\circ} \right)} \\ &= \dfrac{-18}{\sin^{2}\ 60^{\circ}} \\ &= \dfrac{-18}{ \left(\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)^{2}} \\ &= \dfrac{-18}{ \left(\frac{3}{4} \right)} \\ &= -24 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -24$

Dengan menggunakan aturan $f(x)= \tan\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec^{2}\ u(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= 4 \cdot \tan \left( 2x- \frac{\pi}{3} \right) \\ f'(x) &= 4(2) \cdot \sec^{2} \left( 2x- \frac{\pi}{3} \right) \\ f'\left( \pi \right) &= 8 \cdot \sec^{2} \left( 2\pi- \frac{\pi}{3} \right) \\ f'\left( 180^{\circ} \right) &= 8 \cdot \sec^{2} \left( 360^{\circ}- 60^{\circ} \right) \\ &= 8 \cdot \sec^{2} \left( 300^{\circ} \right) \\ &= 8 \cdot \dfrac{1}{\cos^{2}\ 300^{\circ}} \\ &= \dfrac{8}{\cos^{2}\ \left( 360^{\circ} - 60^{\circ} \right)} \\ &= \dfrac{8}{\cos^{2}\ 60^{\circ}} \\ &= \dfrac{8}{ \left(\frac{1}{2} \right)^{2}} \\ &= \dfrac{8}{ \left(\frac{1}{4} \right)} \\ &= 32 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 32$

Dengan menggunakan aturan $f(x)= \cos\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sin\ u(x)$ dan sudut ganda cosinus $\cos 2A=\cos^{2} A-\sin^{2} A$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \cos^{2} 3x-\sin^{2} 3x \\ &= \cos \left( 2 \cdot 3x \right) \\ &= \cos 6x \\ \\ f'\left( x \right) &= - 6 \cdot \sin 6x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -6 \cdot \sin 6x$

Dengan menggunakan aturan pengurangan sinus $2\cos A \sin B=\sin \left( A+B \right) - \sin \left( A-B \right)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= 2 \cdot \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \sin \left( 2x + \frac{4\pi}{3} \right) \\ f(x) &= 2 \cdot \cos \left( 2x + 60^{\circ} \right) \cdot \sin \left( 2x + 240^{\circ} \right) \\ &= \sin \left( 2x + 60^{\circ} +2x + 240^{\circ} \right) - \sin \left( 2x + 60^{\circ}-2x - 240^{\circ} \right) \\ &= \sin \left( 4x + 300^{\circ} \right) - \sin \left( -180^{\circ} \right) \\ &= \sin \left( 4x + 300^{\circ} \right) + \sin 180^{\circ} \\ \hline f'(x) &= 4 \cos \left( 4x + 300^{\circ} \right) + 0 \\ &= 4 \cos \left( 4x + 360^{\circ}-60^{\circ} \right) \\ &= 4 \cos \left( 4x -60^{\circ} \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4 \cdot \cos \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right)$

Dengan menggunakan aturan $f(x)= \tan\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec^{2}\ u(x)$ dan sifat turunan perkalian fungsi $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= 3x^{2} \tan 2x \\ \hline &u= 3x^{2} \longrightarrow u'= 6x \\ &v= \tan 2x \longrightarrow v'= 2 \sec^{2} 2x \\ \hline f'(x) &= 6x \cdot \tan 2x + 3x^{2} \cdot 2 \sec^{2}\ 2x \\ &= 6x \cdot \tan 2x + 6x^{2} \sec^{2}\ 2x \\ f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) &= 6\left( \dfrac{\pi}{2} \right) \cdot \tan 2\left( \dfrac{\pi}{2} \right) + 6\left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{2} \sec^{2}\ 2\left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ &= 3\pi \cdot \tan \pi + 6\left( \dfrac{\pi^{2}}{4} \right) \sec^{2}\ \pi \\ &= 3\pi \cdot 0 + \dfrac{3\pi^{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{\cos^{2}\ \pi} \\ &= \dfrac{3\pi^{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{(-1)^{2}} \\ &= \dfrac{3\pi^{2}}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{2}\pi^{2}$

Dengan menggunakan aturan sifat turunan perkalian fungsi $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= 4 \cdot \sin 3x \cdot \cos 2x \\ \hline &u= 4 \sin 3x \longrightarrow u'= 4 \cdot 3 \cos 3x \\ &v= \cos 2x \longrightarrow v'= -2\sin 2x \\ \hline f'(x) &= 4 \cdot 3 \cos 3x \cdot \cos 2x + 4 \cdot \sin 3x \cdot -2 \sin 2x \\ &= 12 \cos 3x \cdot \cos 2x - 8 \cdot \sin 3x \cdot \sin 2x \\ f' \left( \dfrac{\pi}{6} \right) &= 12 \cos 3\left( \dfrac{\pi}{6} \right) \cdot \cos 2\left( \dfrac{\pi}{6} \right) - 8 \cdot \sin 3\left( \dfrac{\pi}{6} \right) \cdot \sin 2\left( \dfrac{\pi}{6} \right) \\ &= 12 \cos \dfrac{\pi}{2} \cdot \cos \dfrac{\pi}{3} - 8 \cdot \sin \dfrac{\pi}{2} \cdot \sin \dfrac{\pi}{3} \\ &= 12 \cos 90^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} - 8 \cdot \sin 90^{\circ} \cdot \sin 60^{\circ} \\ &= 12 \cdot 0 \cdot \dfrac{1}{2} - 8 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ &= 0-4\sqrt{3} \\ &= -4\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -4\sqrt{3}$

Dengan menggunakan aturan sifat turunan pembagian fungsi $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{\cos 3x}{\sin 5x} \\ \hline &u= \cos 3x \longrightarrow u'= -3 \sin 3x \\ &v= \sin 5x \longrightarrow v'= 5 \cos 5x \\ \hline f'(x) &= \dfrac{\left( -3 \sin 3x \right) \cdot \left( \sin 5x \right) -\left( \cos 3x \right) \cdot \left( 5 \cos 5x \right)}{\sin^{2} 5x} \\ &= \dfrac{ -3 \sin 3x\ \sin 5x - 5 \cos 3x\ \cos 5x }{\sin^{2} 5x} \\ f' \left( \dfrac{\pi}{3} \right) &= \dfrac{ -3 \sin 3\left( \frac{\pi}{3} \right)\ \sin 5\left( \frac{\pi}{3} \right)\ - 5 \cos 3\left( \frac{\pi}{3} \right)\ \cos 5\left( \frac{\pi}{3} \right)}{\sin^{2} 53\left( \frac{\pi}{3} \right)} \\ &= \dfrac{ -3 \sin 180^{\circ} \sin 300^{\circ} - 5 \cos 180^{\circ}\ \cos 300^{\circ}\ }{\sin^{2} 300^{\circ}} \\ &= \dfrac{ -3 \cdot \left( 0 \right) \cdot \left( -\frac{1}{2}\sqrt{3} \right) - 5 \cdot \left( -1 \right)\ \left( \frac{1}{2} \right) }{ \left( -\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ 0 + \frac{5}{2} }{ \frac{3}{4} } \\ &= \dfrac{10}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{10}{3}$

Dengan menggunakan aturan $f(x)=\sin u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \cos u(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \cos 4x \cdot \tan 4x \\ &= \cos 4x \cdot \dfrac{\sin 4x}{\cos 4x} \\ &= \sin 4x \\ f'(x) &= 4\ \cos 4x \\ f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) &= 4\ \cos 4 \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \\ &= 4\ \cos 240^{\circ} \\ &= 4\ \cdot -\dfrac{1}{2} \\ &= -2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$

Dengan menggunakan aturan $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \sin x - \sin x \cdot \cos^{2} x \\ &= \sin x \left( 1 - \cos^{2} x \right) \\ &= \sin x \left( \sin^{2} x \right) \\ &= \sin^{3} x \\ &= \left( \sin x \right)^{3} \\ \hline &u= \sin x \longrightarrow u'= \cos x \\ \hline f'(x) &= 3 \cdot \sin^{3-1} x \cdot \cos x\\ &= 3 \cdot \sin^{2} x \cdot \cos x \\ f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) &= 3 \cdot \sin^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \\ &= 3 \cdot \sin^{2} 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} \\ &= 3 \cdot \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ &= 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ &= \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{4}\sqrt{2}$

Dengan menggunakan aturan sifat turunan pembagian fungsi $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} \\ \hline &u= \sin x - \cos x \longrightarrow u'= \cos x + \sin x \\ &v= \sin x + \cos x \longrightarrow v'= \cos x - \sin x \\ \hline f'(x) &= \dfrac{\left( \cos x + \sin x \right) \left( \sin x + \cos x \right) -\left( \sin x - \cos x \right) \cdot \left( \cos x - \sin x \right)}{\left( \sin x + \cos x \right)^{2}} \\ &= \dfrac{\left( \cos x + \sin x \right)^{2} + \left( \sin x - \cos x \right) \cdot \left( \sin x - \cos x \right)}{\left( \sin x + \cos x \right)^{2}} \\ &= \dfrac{\left( \cos x + \sin x \right)^{2} + \left( \sin x - \cos x \right)^{2}}{\left( \sin x + \cos x \right)^{2}} \\ &= \dfrac{\cos^{2} x + \sin^{2} x + 2\sin x \cos x + \cos^{2} x + \sin^{2} x - 2\sin x \cos x}{\cos^{2} x + \sin^{2} x + 2\sin x \cos x} \\ &= \dfrac{1 + 1}{1 + 2\sin x \cos x} \\ &= \dfrac{2}{1 + 2\sin x \cos x} \\ f' \left( \dfrac{\pi}{4} \right) &= \dfrac{2}{ 1+ 2 \sin \dfrac{\pi}{4}\ \cos \dfrac{\pi}{4} } \\ &= \dfrac{2}{ 1+ 2 \sin 45^{\circ}\ \cos 45^{\circ} } \\ &= \dfrac{2}{ 1+ 2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ &= \dfrac{2}{ 1+ 2 \cdot \frac{1}{2} } \\ &= \dfrac{2}{ 1+ 1 } = 1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan $f(x)=\sin\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot cos\ u(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{\sin^{2} x}{1- \cos x} \\ &= \dfrac{\sin^{2} x}{1- \cos x} \cdot \dfrac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \\ &= \dfrac{\sin^{2} x \left( 1 + \cos x \right)}{1- \cos^{2} x} \\ &= \dfrac{\sin^{2} x \left( 1 + \cos x \right)}{ \sin^{2} x} \\ &= 1 + \cos x \\ \hline f'(x) &= 0-\sin x \\ &= -\sin x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\sin x$

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan $f(x)= \sec\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec\ u(x)\ \tan\ u(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x} \\ &= \dfrac{\cos x \left( 1+\sin x \right)+\cos x \left( 1-\sin x \right)}{1-\sin^{2} x} \\ &= \dfrac{\cos x \left( 1+\sin x+ 1-\sin x \right)}{ \cos^{2} x} \\ &= \dfrac{\cos x \left( 2 \right)}{ \cos^{2} x} \\ &= \dfrac{2}{ \cos x} \\ &= 2 \sec x \\ \hline f'\left( x \right) &= 2 \sec\ x\ \tan\ x \\ f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= 2 \sec\ \frac{\pi}{3}\ \tan\ \frac{\pi}{3} \\ &= 2 \sec\ 60^{\circ}\ \tan\ 60^{\circ} \\ &= 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \\ &= 4\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\sqrt{3}$

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= 2 \cdot \sin^{3} x \\ &= 2 \cdot \left( \sin x \right)^{3} \\ \hline &u= \sin x \longrightarrow u'= \cos x \\ \hline f'(x) &= 2 \cdot 3 \sin^{3-1} x \cdot \cos x\\ &= 6 \cdot \sin^{2} x \cdot \cos x \\ &= 6 \cdot \sin x \cdot \sin x \cdot \cos x \\ &= 3 \cdot 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot \sin x \\ &= 3 \cdot \sin 2x \cdot \sin x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3 \cdot \sin x \cdot \sin 2x$

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan $f(x)= \cot\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \csc^{2}\ u(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{\sin 8x}{\sin^{2} 4x} \\ &= \dfrac{2 \sin 4x\ \cos 4x}{\sin 4x\ \sin 4x} \\ &= \dfrac{2 \cos 4x}{ \sin 4x} \\ &= 2 \cot 4x \\ \hline f'\left( x \right) &= 2 \cdot -4 \cdot \csc^{2}\ 4x \\ &= -8 \cdot \csc^{2}\ 4x \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -8 \cdot \csc^{2} 4x$

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan sifat turunan pembagian fungsi $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \sec \left( 2x-4 \right) \cdot \cot \left( 2x-4 \right) \\ &= \dfrac{1}{\cos \left( 2x-4 \right)} \cdot \dfrac{\cos \left( 2x-4 \right)}{\sin \left( 2x-4 \right)} \\ &= \dfrac{1}{\sin \left( 2x-4 \right)} \\ \hline &u= 1 \longrightarrow u'= 0 \\ &v= \sin \left( 2x-4 \right) \longrightarrow v'= 2 \cos \left( 2x-4 \right) \\ \hline f'\left( x \right) &= \dfrac{0 \cdot \sin \left( 2x-4 \right) - 1 \cdot 2 \cos \left( 2x-4 \right)}{\sin^{2} \left( 2x-4 \right)} \\ &= \dfrac{-2 \cos \left( 2x-4 \right)}{\sin^{2} \left( 2x-4 \right)} \\ &= \dfrac{-2}{\sin \left( 2x-4 \right)} \cdot \dfrac{\cos \left( 2x-4 \right)}{\sin \left( 2x-4 \right)} \\ &= -2 \csc \left( 2x-4 \right) \cdot \cot \left( 2x-4 \right) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2 \cdot \csc \left( 2x-4 \right) \cdot \cot \left( 2x-4 \right)$

Dengan menggunakan aturan $f(x)=\csc\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \csc\ u(x)\ \cot\ u(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \csc \left( 2x+ \frac{\pi}{6} \right) \\ f'\left( x \right) &= -2 \cdot \csc\ \left( 2x+ \frac{\pi}{6} \right)\ \cot\ \left( 2x+ \frac{\pi}{6} \right) \\ f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= -2 \cdot \csc\ \left( 2\left( \frac{\pi}{3} \right)+ \frac{\pi}{6} \right)\ \cot\ \left( 2\left( \frac{\pi}{3} \right)+ \frac{\pi}{6} \right) \\ &= -2 \cdot \csc\ \left( \frac{5\pi}{6} \right)\ \cot\ \left( \frac{5\pi}{6} \right) \\ &= -2 \cdot \csc\ 150^{\circ}\ \cot\ 150^{\circ} \\ &= -2 \cdot \dfrac{1}{\sin\ 150^{\circ}} \cdot \dfrac{1}{\tan\ 150^{\circ}} \\ &= -2 \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{-\frac{1}{\sqrt{3}}} \\ &= -2 \cdot 2 \cdot - \sqrt{3} \\ &= 4\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\sqrt{3}$

Simbol $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ artinya yang ditanyakan adalah turunan kedua, dengan menggunakan aturan beberapa turunan fungsi dapat kita peroleh:

$\begin{align} y &= 5 \cos^{2} x\\ \hline \dfrac{dy}{dx} &= 5 \cdot 2 \cos^{2-1} x \cdot \left(-\sin x \right)\\ &= -10 \cos x \cdot \sin x \\ &= -5 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x \\ &= -5 \cdot \sin 2x \\ \hline \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} &= -5 \cdot 2 \cos 2x \\ &= -10 \cos 2x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10 \cos 2x$

Simbol $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ artinya yang ditanyakan adalah turunan kedua, dengan menggunakan aturan beberapa turunan fungsi dapat kita peroleh:

$\begin{align} y &= 3 \cdot \tan x \\ \hline f(x) &= \tan\ u(x) \longrightarrow f'(x)=u'(x) \cdot \sec^{2}\ u(x) \\ \hline \dfrac{dy}{dx} &= 3 \cdot \sec^{2}\ x \\ \hline f(x) &= \sec\ u(x) \longrightarrow f'(x)=u'(x) \cdot \sec\ u(x)\ \tan\ u(x) \\ \hline \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} &= 3 \cdot 2 \sec^{2-1} x \cdot \sec x\ \tan x\\ &= 6 \sec x \cdot \sec x\ \tan x\\ &= 6 \sec^{2} x\ \tan x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6 \sec^{2} x\ \tan x$

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan $f(x)= \sin\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \cos\ u(x)$ dapat kita peroleh:

$\begin{align} f(x) &= \left( \dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{\tan x} \right)\left( 1+\cos x \right) \\ &= \left( \dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{\cos x}{\sin x} \right)\left( 1+\cos x \right) \\ &= \left( \dfrac{1-\cos x}{\sin x} \right)\left( 1+\cos x \right) \\ &= \dfrac{1-\cos^{2} x}{\sin x} \\ &= \dfrac{\sin^{2} x}{\sin x} \\ &= \sin x \\ \hline f'(x) &= \cos x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \cos x$