Skip to main content

Matematika Dasar Turunan Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar Turunan Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber)Matematika Dasar yang akan kita diskusikan kali ini kita pilih dari Matematika Dasar Turunan Fungsi. Jika ingin terjun ikut dalam diskusi Turunan Fungsi ini, ada baiknya sudah mengenal terlebih dahulu tentang limit fungsi, baik itu limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri. Kalau sudah menegenal limit fungsi, mari kita coba diskusikan tentang turunan fungsi.

Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebuut adalah $f'(x)$, didefenisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).

Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.

Aturan Turunan Fungsi

Dari defenisi turunan fungsi diatas, dapat kita peroleh beberapa aturan dasar turunan fungsi pada funsgi aljabar atau fungsi trigonometri, antara lain:
  1. $\dfrac{d}{dx}[c]=0$
  2. $\dfrac{d}{dx}[x]=1$
  3. $\dfrac{d}{dx}[cx^{n}]=cnx^{n-1}$
  4. $\dfrac{d}{dx}[cu]=cu'$
  5. $\dfrac{d}{dx}[u \pm v]=u' \pm v'$
  6. $\dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+uv'$
  7. $\dfrac{d}{dx}[\dfrac{u}{v}]=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
  8. $\dfrac{d}{dx}[u^{n}]=nu^{n-1}u'$
  9. $\dfrac{d}{dx}[\left |u \right |]=\dfrac{u}{\left |u \right |}(u'),\ u\neq 0 $
  10. $\dfrac{d}{dx}[ln\ u]=\dfrac{u'}{u}$
  11. $\dfrac{d}{dx}[e^{u}]=u'e^{u}$
  12. $\dfrac{d}{dx}[log_{a}u]=\dfrac{u'}{(ln\ a)u}$
  13. $\dfrac{d}{dx}[a^{u}]=a^{u}u'(ln\ a)$
  14. $\dfrac{d}{dx}[sin\ u]=u'(cos\ u)$
  15. $\dfrac{d}{dx}[cos\ u]=-u'(sin\ u)$
  16. $\dfrac{d}{dx}[tan\ u]=u'(sec^{2}\ u)$
  17. $\dfrac{d}{dx}[cot\ u]=-u'(csc^2\ u)$
  18. $\dfrac{d}{dx}[sec\ u]=u'(sec\ u\ tan\ u)$
  19. $\dfrac{d}{dx}[csc\ u]=-u'(csc\ u\ cot\ u)$
  20. $\dfrac{d}{dx}[arcsin\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$
  21. $\dfrac{d}{dx}[arccos\ u]=\dfrac{-u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$
  22. $\dfrac{d}{dx}[arctan\ u]=\dfrac{u'}{1+u^{2}}$
  23. $\dfrac{d}{dx}[arccot\ u]=\dfrac{-u'}{1+u^{2}}$
  24. $\dfrac{d}{dx}[arcsec\ u]=\dfrac{u'}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$
  25. $\dfrac{d}{dx}[arccsc\ u]=\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$
  26. $\dfrac{d}{dx}[sinh\ u]=u'(cosh\ u)$
  27. $\dfrac{d}{dx}[cosh\ u]=-u'(sinh\ u)$
  28. $\dfrac{d}{dx}[tanh\ u]=u'(sech^{2}\ u)$
  29. $\dfrac{d}{dx}[coth\ u]=-u'(csch^2\ u)$
  30. $\dfrac{d}{dx}[sech\ u]=-u'(sech\ u\ tanh\ u)$
  31. $\dfrac{d}{dx}[csch\ u]=-u'(csch\ u\ coth\ u)$
  32. $\dfrac{d}{dx}[sinh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}}$
  33. $\dfrac{d}{dx}[cosh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}-1}}$
  34. $\dfrac{d}{dx}[tanh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{1-u^{2}}$
  35. $\dfrac{d}{dx}[coth^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{1-u^{2}}$
  36. $\dfrac{d}{dx}[sech^{-1}\ u]=\dfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^{2}}}$
  37. $\dfrac{d}{dx}[csch^{-1}\ u]=\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{1+u^{2}}}$

Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva

Jika kurva $y=f(x)$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

  1. Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
  2. Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$

Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta😊.

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=ax^{2}+2x+4$ dan $g(x)=x^{2}+ax-2$. Jika $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h'(0)=1$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal diketahui $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dan $h'(0)=1$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}+2x+4$ maka $f(0)=4$
$f'(x)=2ax+2$ maka $f'(0)=2$
untuk $g(x)=x^{2}+ax-2$ maka $g(0)=-2$
$g'(x)=2x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align}
h(x) & = \dfrac{f(x)}{g(x)} \\
h'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\
h'(0) & = \dfrac{f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot g'(0)}{g^{2}(0)} \\
1 & = \dfrac{(2) \cdot (-2) - (0) \cdot (a)}{(-2)^{2}} \\
1 & = \dfrac{-4 - 4a}{4} \\
4 & = -4 - 4a \\
8 & = - 4a \\
a & = \dfrac {8}{-4} = -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$

2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=ax^{2}-4x+1$ dan $g(x)=3x^{2}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x)g(x)$ dengan $h'(0)=-3$, maka nilai $k'(0)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -3 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal diketahui $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $h'(0)=-3$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}-4x+1$ maka $f(0)=1$
$f'(x)=2ax-4$ maka $f'(0)=-4$
untuk $g(x)=3x^{2}+ax+2$ maka $g(0)=2$
$g'(x)=6x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align}
h(x) & = f(x)+g(x) \\
h'(x) & = f'(x)+g'(x) \\
h'(0) & = f'(0)+g'(0) \\
-3 & = -4+a \\
a & = -3+4=1
\end{align}$

$\begin{align}
k(x) & = f(x)g(x) \\
k'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\
k'(0) & = f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\
& = (-4)(2)+(1)(1) \\
& = -4+1=-3 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -3$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
$(A)\ 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(B)\ 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(C)\ sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(D)\ sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\
& =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\
& = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

4. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ adalah $h'(x)=\cdots$
$(A)\ -6x^{2}+36x$
$(B)\ -6x^{2}+36x+18$
$(C)\ -18x^{2}+30x+18$
$(D)\ 18x^{2}+30x+18$
$(E)\ 18x^{2}-30x-18$
Alternatif Pembahasan:

Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\
h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\
& =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\
& =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\
& =-18x^{2}+30x+18
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ -18x^{2}+30x+18$

5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

14. Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval...
$(A)\ 1 \lt x \lt 3$
$(B)\ -1 \lt x \lt 3$
$(C)\ -3 \lt x \lt 1$
$(D)\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1$
$(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$
Alternatif Pembahasan:

Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=3x^2+6x-9$
$ \begin{align}
f'(x) & \lt 0 \\
3x^2+6x-9 & \lt 0 \\
x^2+2x-3 & \lt 0 \\
(x+3)(x-1) \lt 0 & \lt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =-3\ \text{atau} \\
x & =1 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ -3 \lt x \lt 1$

6. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
$(A)\ 4 \lt x \lt 5$
$(B)\ -4 \lt x \lt 5$
$(C)\ x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 4$
$(D)\ x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 5$
$(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Alternatif Pembahasan:

Syarat suatu grafik fungsi akan naik adalah turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$
$ \begin{align}
f'(x) & \gt 0 \\
6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\
x^{2}-x -20 & \gt 0 \\
(x-5)(x+4) & \gt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =5\ \text{atau} \\
x & =-4 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

7. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Turunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah...
$(A)\ h'(x)=-3x^{2}+6x-3$
$(B)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
$(C)\ h'(x)=3x^{2}+6x-3$
$(D)\ h'(x)=3x^{2}+3x-6$
$(E)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
Alternatif Pembahasan:

Turunan petama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ adalah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$.
$h(x)=(-x+1)^{3} $

$ \begin{align}
h(x) & = (-x+1)^{3} \\
h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\
& = -3(-x+1)^{2}\\
& = -3(x^{2}-2x+1)\\
& = -3x^{2}+6x-3
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3x^{2}+6x-3$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Bentuk Akar (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Bentuk Akar sangat diharapkan😊😊.

Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Matematika Dasar Turunan Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber)" 😊 and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar