30+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri

Untuk kita ingat bahwa jika $y=sin\ x$ maka $y'=cos\ x$ dan $y=cos\ x$ maka $y'=-sin\ x$.

Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ pada $f(x)=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
y &=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ &=\dfrac{2+cos\ 90^{\circ}}{sin\ 90^{\circ}} \\ &=\dfrac{2+0}{1}=2 \\ \hline
(x,y) &= \left( 90^{\circ},2 \right)
\end{align}$

Gradien garis singgung di sebuah titik dapat kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama yaitu $m=f'(x)$, sehingga saat $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline
f(x)\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'(x) = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline
m=f'(x) &= \dfrac{\left( -sin\ x \right)\left(sin\ x \right)-\left( 2+cos\ x \right)\left(cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -\left( 2cos\ x+cos^{2} x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x-cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left( sin^{2}+cos^{2} x \right) -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ 90^{\circ} }{sin^{2} 90^{\circ}} \\ &= \dfrac{ - 1 -2 (0) }{(1)^{2}} \\ &= -1 \\ \end{align}$
Persaman garis untuk $m=-1$ pada $(x,y)= \left( 90^{\circ},2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-2 &= -1 \left( x- 90^{\circ} \right) \\ y-2 &= -x+ 90^{\circ} \\ y &= -x+2+ 90^{\circ}
\end{align}$
Garis memotong sumbu $y$ di titik $\left( 0,b \right)$ sehingga:
$\begin{align}
y &= -x+2+ 90^{\circ} \\ b &= -0+2+ 90^{\circ} \\ b &=2+ 90^{\circ}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2+\dfrac{\pi}{2}$

Untuk menyelesaikan soal ini kita meminjam sifat dari identitas trigonometri yaitu $sin\ 2x=2\ sin\ x\ cos\ x$ dan $cos\ 2x=cos^{2}x-sin^{2}x$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
f(x) &= - \left( cos^{2}x-sin^{2}x \right) \\ &= - \left( -2\ sin\ 2x \right) \\ &= 2\ sin\ 2x \\ &= 2\ \cdot 2 sin\ x\ cos\ x \\ &= 4 sin\ x\ cos\ x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4\ sin\ x\ cos\ x$

$\begin{align}
y &=3x^{4}+sin\ 2x +3\ cos\ 3x \\ \dfrac{dy}{dx} &=3(4)x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ &=12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x$

$\begin{align}
y &=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x \\ \dfrac{dy}{dx} &=2(3)\ cos\ 3x -3 \left(-2\ sin\ 2x \right) \\ &=6\ cos\ 3x +6 \ sin\ 2x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12x^{3}+2cos\ 2x -3 sin\ 3x$

$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline
f(x)\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'(x) = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline
f'(x) &= \dfrac{\left( cos\ x - sin\ x \right)\left( sin\ x \right)-\left( sin\ x + cos\ x \right)\left( cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{cos\ x\ sin\ x - sin^{2} x- sin\ x\ cos\ x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - sin^{2} x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left( sin^{2} x+cos^{2}x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} x} \\ \hline
f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} \left( \dfrac{\pi}{2} \right)} \\ &= \dfrac{ - 1}{1} = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ tan\ x +bx \\ f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\ f'(x) & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline
2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline
a+b=0
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$

Untk menyelesaikan masalah di atas kita coba dengan pemisalan:
$\begin{align}
u & = cos\ x \\ \dfrac{du}{dx} & = -sin\ x \\ \hline
y & = cos^{4}\ x\\ y & = u^{4} \\ \dfrac{dy}{du} & = 4u^{3} \\ \hline
\dfrac{dy}{dx} & = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4u^{3} \cdot \left( -sin\ x \right) \\ & = 4cos^{3}\ x \cdot \left( -sin\ x \right) \\ & = -4cos^{3}\ x \cdot sin\ x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -4\ cos^{3}\ x \cdot sin\ x$

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ tan\ x +bx \\ f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\ f'(x) & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline
2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline
a+b=0
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$

Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split} f'(x) = \dfrac{df}{dx} & = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\ & =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\ & = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x) \end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=2\ tan \left(\sqrt{sec\ x} \right)$
Misal $u=sec\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=sec\ x\ \cdot \tan\ x$

Soal:$f(x)=2\ tan \left(\sqrt{u} \right)$
Misal $v=\sqrt{u}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$

Soal:$f(x)=2\ tan \left( v \right)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=2sec^{2}(v)$
$\begin{split}
f'(x) = \dfrac{df}{dx} &= \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =2sec^{2}(v) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =2sec^{2}\left( \sqrt{u} \right) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =sec^{2}\left( \sqrt{sec\ x} \right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & = sec^{2}\left( \sqrt{sec\ x} \right) \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot \tan\ x \end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x$

$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{1+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline & u\ = 1+cos\ x \rightarrow u'=-sin\ x \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'=cos\ x \\ \hline f(x)\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'(x) &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{\left( -sin\ x \right)\left( sin\ x \right)-\left( 1 + cos\ x \right)\left( cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2}\ x - cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -\left( sin^{2}\ x+cos^{2} x \right) - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -1 - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left(1 + cos\ x \right)}{1-cos^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left(1 + cos\ x \right)}{\left(1 + cos\ x \right)\left(1 - cos\ x \right)} \\ &= \dfrac{ -1 }{ \left(1 - cos\ x \right)} \\ &= \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{cos\ x-1} $

$\begin{align}
f(x)\ &= sin\ ax + cos\ bx \\ f'(x)\ &= a\ cos\ ax -b\ sin\ bx \\ \hline f'(0)\ &= a\ cos\ 0 -b\ sin\ 0 \\ b\ &= a\ \cdot 1 -b\ \cdot 0 \\ b\ &= a \\ \hline f'\left( \frac{\pi}{2a} \right)\ &= a\ cos\ a\left( \frac{\pi}{2a} \right) -b\ sin\ b\left( \frac{\pi}{2a} \right) \\ -1\ &= a\ cos\ a\left( \frac{\pi}{2a} \right) -a\ sin\ a\left( \frac{\pi}{2a} \right) \\ -1\ &= a\ cos\ \left( \frac{\pi}{2 } \right) -a\ sin\ \left( \frac{\pi}{2 } \right) \\ -1\ &= a\ \cdot 0 -a\ \cdot 1 \\ -1\ &= -a \\ a\ &= 1\ \rightarrow b=1 \\ a+b\ &= 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

$\begin{align}
f(x)\ &= sin\ x\ cos\ 3x\\ \hline & u\ = sin\ x \rightarrow u'=cos\ x \\ & v\ = cos\ 3x \rightarrow v'=-3\ sin\ 3x \\ \hline \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'(x) &= cos\ x \cdot cos\ 3x + sin\ x \cdot -3\ sin\ 3x \\ &= cos\ x \cdot cos\ 3x -3 sin\ x \cdot sin\ 3x \\ \hline f'\left( \frac{1}{6}\pi \right) &= cos\ \left( \frac{1}{6}\pi \right) \cdot cos\ 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) -3 sin\ \left( \frac{1}{6}\pi \right) \cdot sin\ 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) \\ &= cos\ 30^{\circ} \cdot cos\ 90^{\circ} -3 sin\ 30^{\circ} \cdot sin\ 90^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 0 -3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \\ &= 0 - \dfrac{3}{2} \\ &=- \dfrac{3}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1\dfrac{1}{2}$

$\begin{align}
f(x)\ &= \left( sin\ x\ + cos\ x \right)^{2} \\ &= sin^{2} x\ + cos^{2} x + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + sin\ 2x \\ f'(x) &= 2\ cos\ 2x \\ &= 2\ \left( 2cos^{2}x-1 \right) \\ &= 4\ cos^{2}x-2 \end{align}$

Alternatif yang lain dapat juga kita gunakan sifat turunan yaitu:

$\begin{align}
f(x)\ &= \left( sin\ x\ + cos\ x \right)^{2} \\ f'(x) &= 2 \left( sin\ x\ + cos\ x \right) \left( cos\ x\ - sin\ x \right) \\ &= 2 \left( cos^{2}\ x\ - sin^{2}\ x \right) \\ &= 2 \left( cos^{2}\ x\ - 1 +cos^{2}\ x \right) \\ &= 2 \left( 2cos^{2}\ x\ - 1 \right) \\ &= 4\ cos^{2}x- 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4\ cos^{2}x-2$

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \sqrt{1+sin^{2}x} \\ f\left( x \right)\ &= \left( 1+sin^{2}x \right)^{\frac{1}{2}} \\ f'\left( x \right)\ &= \frac{1}{2} \cdot \left( 1+sin^{2}x \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ \hline f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right) &= \sqrt{1+sin^{2}x} \cdot \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ &= sin\ x \cdot cos\ x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ sin\ x\ cos\ x$

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= x\ sin\ 3x \\ \hline & u\ = x \rightarrow u'=1 \\ & v\ = sin\ 3x \rightarrow v'= 3\ cos\ 3x \\ \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'(x) &= 1 \cdot sin\ 3x + x \cdot 3\ cos\ 3x \\ &= sin\ 3x + 3x \cdot cos\ 3x \\ f'\left( \frac{\pi}{4} \right) &= sin\ 3\left( \frac{\pi}{4} \right) + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot cos\ 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \\ &= sin\ 135^{\circ} + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot cos\ 135^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ &= \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \left(1 - 3 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(1- \dfrac{3\pi}{4} \right)$

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x} \\ \hline & u\ = cos\ x -sin\ x \rightarrow u'=-sin\ x - cos\ x \\ & v\ = cos\ x + sin\ x \rightarrow v'= -sin\ x + cos\ x \\ \hline f(x)\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'(x) &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{\left( -sin\ x - cos\ x \right)\left( cos\ x + sin\ x \right)-\left( cos\ x -sin\ x \right)\left( -sin\ x + cos\ x \right)}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} } \\ &= \dfrac{-\left( sin\ x + cos\ x \right)^{2} -\left( cos\ x -sin\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} } \\ &= \dfrac{-\left( sin\ x + cos\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2}} - \dfrac{\left( cos\ x -sin\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} }\\ &= -1 - \dfrac{\left( cos\ x -sin\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} }\\ &= -1 - \left( f(x) \right)^{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ - \left(1+ \left( f(x) \right)^{2} \right)$

Untuk kita ingat bahwa $y=sin\ \left(\frac{\pi}{2}+x \right)=cos\ x$ dan $y=cos\ \left(\frac{\pi}{2}+x \right)=-sin\ x$.

$\begin{align} f(x) &= x\ cos\ x \\ f\left(x + \frac{\pi}{2} \right) &= \left(x + \frac{\pi}{2} \right)\ cos\ \left(x + \frac{\pi}{2} \right) \\ &= -\left(x + \frac{\pi}{2} \right)\ sin\ x \\ \hline & u\ = -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow u'=-1 \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'= cos\ x \\ \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'\left(x \right) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ \hline f' \left(x + \frac{\pi}{2} \right) &= -1 \cdot sin\ x -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x - x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{pi}{2}\ cos\ x$

Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.

$\begin{align} y &= sin\ x + cos\ x \\ y' &= cos\ x - sin\ x \\ \hline m_{x=\frac{1}{3}\pi} &= cos\ \frac{1}{3}\pi - sin\ \frac{1}{3}\pi \\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$

Gradien garis yang tegak lurus dengan garis singgung $g$ bergradien $m_{g}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah:
$\begin{align} m_{g} \cdot m_{l} &= -1 \\ m_{l} &= \dfrac{-1}{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2 \left( 1 + \sqrt{3} \right)}{1-3} \\ &= 1 + \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1+\sqrt{3}$

Gradien garis Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x \\ f'\left( x \right) &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ \end{align}$

Gradien garis singgung pada kurva yang melalui titik asal adalah:
$\begin{align} m_{g} &= \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &= \frac{1}{3} \cdot \left( 0 \right)^{-\frac{2}{3}}\ sin\ \left( 0 \right) + \left( 0 \right)^{ \frac{1}{3}}\ cos\ \left( 0 \right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ &= 0 \end{align}$

Garis singgung melaluit titik asal $\left( 0,0 \right)$ dengan gradien $m=0$ adalah:
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left(x-x_{1} \right) \\ y-0 &= 0 \left(x- 0 \right) \\ y &= 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=0$

Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.

$\begin{align} y &= 2x\ cos^{3} x \\ y' &= 2 \cdot cos^{3}\ x +2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x \left( -sin\ x \right) \\ &= 2 \cdot cos^{3}\ x - 2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x\ sin\ x \\ \hline m_{x=\pi} &= 2 \cdot cos^{3}\ \pi - 2\pi \cdot 3 \cdot cos^{2}\ \pi\ sin\ \pi \\ &= 2 \cdot (-1)^{3} - 2\pi \cdot 3 \cdot (-1)^{2}\ (0) \\ &= 2 \cdot (-1) - 0 = -2 \end{align}$

Karena dua garis yang tegak lurus perkalian gradiennya adalah $-1$ sehingga gradien garis yang tegak lurus dengan garis bergradien $m_{g}=-2$ adalah $ m_{l}=\dfrac{1}{2} $

Persamaan garis di titik $\left( \pi, -2\pi \right)$ yang tegak lurus dengan garis $g$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left(x-x_{1} \right) \\ y+2\pi &= \dfrac{1}{2} \left(x- \pi \right) \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{1}{2}\pi -2\pi \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi $

Bentuk limit $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \}$ pada soal memiliki kemiripan dengan definisi turunan fungsi yaitu:
$\begin{align} y &= f(x) \\ f'(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f(x+p)-f(x)}{p} \\ f''(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f'(x+p)-f'(x)}{p} \\ f^{(3)}(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f''(x+p)-f''(x)}{p} \\ \vdots & \end{align}$

Jika kita misalkan $h=\dfrac{1}{a}$ maka kita peroleh $a=\dfrac{1}{h}$

Lalu untuk $h \rightarrow \infty$ kita peroleh $a \rightarrow 0$

Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan pada soal, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} & \lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{1}{a} \left\{ f' \left ( x+ a \right ) -f'(x)\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{ f' \left ( x+ a \right ) -f'(x)}{a} \end{align}$

Dari bentuk di atas dapat kta simpulkan bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan kedua dari fungsi $f(x)=sin^{2}x$, yaitu:
$\begin{align} f(x) &= sin^{2}x \\ f'(x) &= 2\ \cdot sin\ x\ cos\ x \\ f''(x) &= 2\ \cdot cos\ x\ \cdot cos\ x + 2 \cdot sin\ x \cdot \left(-sin\ x \right) \\ &= 2\ \cdot cos^{2}x - 2 \cdot sin^{2}x \\ &= 2\ \left( cos^{2}x - sin^{2}x \right) \\ &= 2\ cos\ 2x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\ cos\ 2x$

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita mungkin memerlukan catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada perbandingan trigonometri.

$\begin{align} f\left( x \right) &= \left( sin\ x + cos\ x \right)\left( cos\ 2x + sin\ 2x \right)\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x \\ &= sin \left( 2x+x \right) + cos \left(2x-x \right) \\ &= sin \left( 3x \right) + cos \left( x \right) \\ f'\left( x \right)\ &= 3\ cos \left( 3x \right) - sin \left( x \right) \\ &= 2\ cos \left( 3x \right) + cos \left( 3x \right) - sin \left( x \right) \\ \hline f'\left( x \right)\ &= 2\ cos \left( 3x \right) + g \left( x \right) \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ cos\ 3x -sin\ x$

$\begin{align} f\left( x \right) &= 2x + sin\ 2x \\ f '\left( x \right) &= 2 + 2\ cos\ 2x \\ &= 2 \left(1 + cos\ 2x \right) \\ &= 2 \left(1 + 2cos^{2}x-1 \right) \\ &= 4cos^{2}x \end{align}$

Sampai pada langkah di atas kita belum mendapatkan jawaban seperti apa yang diinginkan pembuat soal. Kita coba mengeksplorasi beberapa pilihan yang ada. Untuk pilihan $(B)$ dan $(E)$ sudah tidak mungkin lagi menjadi jawaban, sehingga yang perlu kita eksplorasi adalah pilihan $(A)$, $(C)$, atau $(D)$.

Disini yang kita pilih untuk di eksplorasi adalah pilihan $(C)\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i}$

$\begin{align} & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i} \\ & =4 \left [ \left( -1 \right )^{0} \left ( tan\ x \right )^{2(0)}+\left( -1 \right )^{1} \left ( tan\ x \right )^{2(1)} + \left( -1 \right )^{2} \left ( tan\ x \right )^{2(2)} +\cdots \right]\\ & =4 \left[ \left( 1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{0}+\left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{2 }+(1) \left ( tan\ x \right )^{4} +\left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{6} +\cdots \right] \\ & = 4 \left[ 1 + \left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{2 }+\left( 1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{4} +\left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{6} +\cdots \right] \\ \hline & a=1\ \text{dan}\ r=-tan^{2}x \\ & S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline & = 4 \left[ \dfrac{1}{1+ tan^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ \dfrac{1}{sec^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ cos^{2}x \right] \\ \end{align}$

Dari hasil eksplorasi di atas kita peroleh $4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i} = 4 \left[ cos^{2}x \right]$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i}$

Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi} \\ f '\left( x \right) &= -\dfrac{-2\ cos\ x\ sin\ x + \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{2\ cos\ x\ sin\ x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \end{align}$

Agar $f\left( x \right)$ turun maka $f'\left( x \right) \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} f '\left( x \right) & \lt 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & \lt 0 \\ \end{align}$

Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:

$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & = 0 \\ sin\ 2x - \frac{1}{2} & = 0 \\ sin\ 2x & = \frac{1}{2} \\ sin\ 2x & =sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 2x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{11\pi}{12},\frac{ \pi}{12},\frac{13\pi}{12} \\ \hline 2x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 2x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{7\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{17\pi}{12} \end{align}$

Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \lt 0$

Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $(E)\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya.

Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ yaitu $x=0$
$\begin{align} f '\left( x \right) &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 2(0) - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}(0)+\frac{0}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{- \frac{1}{2}}{2+\pi} \lt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \lt 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$

Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= \sqrt{cos^{2}2x+x} \\ f '\left( x \right) &= \dfrac{-2\ cos\ 2x\ \cdot 2 \cdot sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-4\ cos\ 2x\ sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \end{align}$

Agar $f\left( x \right)$ naik maka $f'\left( x \right) \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} f '\left( x \right) & \gt 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & \gt 0 \\ \end{align}$

Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:

$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & = 0 \\ -2 sin\ 4x +1 & = 0 \\ 2sin\ 4x & = 1 \\ sin\ 4x & = \dfrac{ 1}{2} \\ sin\ 4x & = sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 4x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2}\\ x & =\frac{\pi}{24},\ \frac{13 \pi}{12},\ \frac{25\pi}{24},\cdots \\ \hline 4x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 4x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2} \\ x & = \frac{5\pi}{24},\ \frac{17\pi}{24},\ \frac{29\pi}{24},\cdots \end{align}$

Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \gt 0$

Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $(B)\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya.

Kita uji nilai $x$ dari $\dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ yaitu $x=\dfrac{12\pi}{24}=90$
$\begin{align} f '\left( x \right) &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 4(90) +1}{2\sqrt{1+(90)}} \\ &= \dfrac{0+1}{2\sqrt{1+(90)}} \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{1+(90)}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \gt 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$

Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x} \\ f '\left( x \right) &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \end{align}$

Agar $f\left( x \right)$ turun maka $f'\left( x \right) \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} f '\left( x \right) & \lt 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & \lt 0 \\ \end{align}$

Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:

$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & = 0 \\ \frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x & = 0 \\ cos\ x & = \frac{x}{\sqrt{2}} \\ cos\ x & = cos\ \frac{ \pi}{4} \\ \hline x & =\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{\pi}{4} \\ \hline x & =-\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =-\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} \\ \end{align}$

Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \gt 0$

Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $(E)\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya.

Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ yaitu $x=0$
$\begin{align} f '\left( x \right) &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ 0}{2\sqrt{2+\frac{0}{\sqrt{2}}-sin\ 0}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- 1}{2\sqrt{2+0-0}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \lt 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$

Gradien garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ adalah:
$\begin{align}
y & = tan\ x \\ m=y' & = sec^{2} x \\ & = \dfrac{1}{cos^{2}\ x} \\ & = \dfrac{1}{cos^{2} \left( \frac{\pi}{4} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left( \frac{1}{2} \sqrt{2} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left( \frac{1}{4} \cdot 2 \right)} = 2
\end{align}$
Dua garis saling tegak lurus maka perkalian kedua gradien garis adalah $-1$ atau $m_{1} \cdot m_{2}=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva gradiennya adalah $m=-\dfrac{1}{2}$.

Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva di titik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ dan $m=-\dfrac{1}{2}$ adalah:

$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2} \left( x-\frac{\pi}{4} \right) \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8} \\ y & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8}+1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1$

Berdasarkan definisi nilai mutlak fungsi $f(x)= \left| tan (x) \right|$ dapat kita tuliskan,
$ \left| tan (x) \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
tan (x),\ \text{untuk}\ tan (x) \geq 0 \\
-tan (x),\ \text{untuk}\ tan (x) \lt 0
\end{array} \right.$

Untuk $k=x$ dan $\dfrac{\pi}{2} \lt k \lt \pi$ maka $x$ berada di kuadran II diperoleh $tan (x)$ bernilai negatif sehingga $f(x)=- tan\ x$.

Laju perubahan $f(x)$ terhadap $x$ dapat kita tuliskan $\dfrac{df(x)}{dx}=-sec^{2}x$, dan laju perubahan $f(x)$ pada saat $x=k$ adalah $\dfrac{df(k)}{dx}=-sec^{2}k$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -sec^{2}\ (k)$

Untuk menyelesaikan soal di atas kita lakukan dengan beberapa eksplorasi dengan fungsi yang sederhana.

Untuk $y=sin(x)$
$\begin{align} f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos(x) \\ f'(0)\ & =cos(0) \\ = 1 \end{align}$

Untuk $y=sin\left ( sin\ (x) \right )$
$\begin{align} f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos\left ( sin\ (x) \right ) \cdot cos(x) \\ f'(0)\ & =cos\left ( sin\ (0) \right ) \cdot cos(0) \\ & =cos\left ( 0 \right ) \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$

Untuk $y=sin\left ( sin \left ( sin\ (x) \right ) \right )$
$\begin{align} f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos \left ( sin \left ( sin\ (x) \right ) \right ) \cdot cos \left ( sin\ (x) \right ) \cdot cos(x) \\ f'(0)\ & =cos \left ( sin \left ( sin\ (0) \right ) \right ) \cdot cos \left ( sin\ (0) \right ) \cdot cos(0) \\ & =cos \left ( sin \left ( 0 \right ) \right ) \cdot cos \left ( 0 \right ) \cdot 1 \\ & =cos \left ( 0 \right ) \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$

Jika kita lakukan eksplorasi pada langkah berikutnya hasilnya juga adalah $1$ dan ini menjawab untuk fungsi $y= sin\left ( sin\left ( sin\left ( sin\left ( \cdots\left ( sin\left ( sin\ (x) \right ) \right ) \right ) \cdots \right ) \right ) \right ) $ hasilnya adalah $1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama $f'(x)= 0$

$\begin{align} f(x) & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f'(x) & = -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x \end{align}$

Untuk $f'(x)=0$, kita peroleh:
$\begin{align} -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ 2\ sin\ x\ cos\ x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ cos\ x \left(2\ sin\ x - 1 \right) & = 0 \\ -4\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ 2\ sin\ x - 1 & = 0 \\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ sin\ x & = \frac{1}{2} \\ \end{align}$

• Saat $cos\ x= 0$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=90^{\circ}$
  $\begin{align} f(x) & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left( 90^{\circ} \right) & = 2\ cos\ 2\left( 90^{\circ} \right) + 4\ sin\ \left( 90^{\circ} \right) \\ & = 2\ cos\ 180^{\circ} + 4 sin\ 90^{\circ} \\ & = 2\ \left( -1 \right) + 4 \left( 1 \right) = 2 \end{align}$
• Saat $sin\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=30^{\circ}, 150^{\circ}$
  $\begin{align} f(x) & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left( 30^{\circ} \right) & = 2\ cos\ 2\left( 30^{\circ} \right) + 4\ sin\ \left( 30^{\circ} \right) \\ & = 2\ cos\ 60^{\circ} + 4 sin\ 30^{\circ} \\ & = 2\ \left( \frac{1}{2} \right) + 4 \left( \frac{1}{2} \right) = 3 \end{align}$
  $\begin{align} f(x) & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left( 150^{\circ} \right) & = 2\ cos\ 2\left( 150^{\circ} \right) + 4\ sin\ \left( 150^{\circ} \right) \\ & = 2\ cos\ 300^{\circ} + 4\ sin\ 150^{\circ} \\ & = 2\ \left( \frac{1}{2} \right) + 4\ \left( \frac{1}{2} \right) = 3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$

Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama, dimana kita ketahui bahwa gradien garis singgung $m=f'(x)$.

$\begin{align} f(x) & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline u = 2+cos\ x & \rightarrow u'=-sin\ x \\ v = sin\ x & \rightarrow u'=cos\ x \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( -sin\ x \right)\left( sin\ x \right)-\left( 2+cos\ x \right)\left( cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ - \left(sin^{2} x 2cos\ x + cos^{2} x \right) }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left(1 +2cos\ x \right)}{sin^{2} x} \end{align}$

Gradien garis singgung $m=f'(x)$ saat $x=\dfrac{\pi}{2}$ adalah:
$\begin{align} m & = \dfrac{ -\left(1 +2cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left(1 +2cos\ \frac{\pi}{2} \right)}{sin^{2} \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{ -\left(1 +2 \cdot 0 \right)}{(1)^{2}} = -1 \end{align}$

Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}$, kita peroleh $y=f(x)$, yaitu:
$\begin{align} y & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ & = \dfrac{2+cos\ \frac{\pi}{2}}{sin\ \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{2+ 0}{1} 2 \end{align}$

Persamaan garis singgung yang melelui titik $\left( \frac{\pi}{2}, 2 \right)$ dan gradien $m=-1$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} & = m \left( x -x_{1} \right) \\ y-2 & = -1 \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \\ y-2 & = -x + \frac{\pi}{2} \\ y & = -x + \frac{\pi}{2} +2 \end{align}$

Memotong sumbu $y$ adalah pada saat $x=0$, yaitu $\left( 0, \frac{\pi}{2} +2 \right)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{\pi}{2} +2 $