Skip to main content

Bank Soal Matematika Dasar Turunan Fungsi (*Soal dan Pembahasan)

Matematika Dasar Turunan Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber)Catatan calon guru yang akan kita diskusikan saat ini kita coba dari Matematika Dasar topik Turunan Fungsi. Jika ingin terjun ikut dalam diskusi pembahasan soal Turunan Fungsi ini, ada baiknya sudah mengenal terlebih dahulu tentang limit fungsi, baik itu limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri.

Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebuut adalah $f'(x)$, didefenisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).

Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.

Aturan Turunan Fungsi

Dari defenisi turunan fungsi diatas, dapat kita peroleh beberapa aturan dasar turunan fungsi pada funsgi aljabar atau fungsi trigonometri, antara lain:
  1. $\dfrac{d}{dx}[c]=0$
  2. $\dfrac{d}{dx}[x]=1$
  3. $\dfrac{d}{dx}[cx^{n}]=cnx^{n-1}$
  4. $\dfrac{d}{dx}[cu]=cu'$
  5. $\dfrac{d}{dx}[u \pm v]=u' \pm v'$
  6. $\dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+uv'$
  7. $\dfrac{d}{dx}[\dfrac{u}{v}]=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
  8. $\dfrac{d}{dx}[u^{n}]=nu^{n-1}u'$
  9. $\dfrac{d}{dx}[\left |u \right |]=\dfrac{u}{\left |u \right |}(u'),\ u\neq 0 $
  10. $\dfrac{d}{dx}[ln\ u]=\dfrac{u'}{u}$
  11. $\dfrac{d}{dx}[e^{u}]=u'e^{u}$
  12. $\dfrac{d}{dx}[log_{a}u]=\dfrac{u'}{(ln\ a)u}$
  13. $\dfrac{d}{dx}[a^{u}]=a^{u}u'(ln\ a)$
  14. $\dfrac{d}{dx}[sin\ u]=u'(cos\ u)$
  15. $\dfrac{d}{dx}[cos\ u]=-u'(sin\ u)$
  16. $\dfrac{d}{dx}[tan\ u]=u'(sec^{2}\ u)$
  17. $\dfrac{d}{dx}[cot\ u]=-u'(csc^2\ u)$
  18. $\dfrac{d}{dx}[sec\ u]=u'(sec\ u\ tan\ u)$
  19. $\dfrac{d}{dx}[csc\ u]=-u'(csc\ u\ cot\ u)$
  20. $\dfrac{d}{dx}[arcsin\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$
  21. $\dfrac{d}{dx}[arccos\ u]=\dfrac{-u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$
  22. $\dfrac{d}{dx}[arctan\ u]=\dfrac{u'}{1+u^{2}}$
  23. $\dfrac{d}{dx}[arccot\ u]=\dfrac{-u'}{1+u^{2}}$
  24. $\dfrac{d}{dx}[arcsec\ u]=\dfrac{u'}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$
  25. $\dfrac{d}{dx}[arccsc\ u]=\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$
  26. $\dfrac{d}{dx}[sinh\ u]=u'(cosh\ u)$
  27. $\dfrac{d}{dx}[cosh\ u]=-u'(sinh\ u)$
  28. $\dfrac{d}{dx}[tanh\ u]=u'(sech^{2}\ u)$
  29. $\dfrac{d}{dx}[coth\ u]=-u'(csch^2\ u)$
  30. $\dfrac{d}{dx}[sech\ u]=-u'(sech\ u\ tanh\ u)$
  31. $\dfrac{d}{dx}[csch\ u]=-u'(csch\ u\ coth\ u)$
  32. $\dfrac{d}{dx}[sinh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}}$
  33. $\dfrac{d}{dx}[cosh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}-1}}$
  34. $\dfrac{d}{dx}[tanh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{1-u^{2}}$
  35. $\dfrac{d}{dx}[coth^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{1-u^{2}}$
  36. $\dfrac{d}{dx}[sech^{-1}\ u]=\dfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^{2}}}$
  37. $\dfrac{d}{dx}[csch^{-1}\ u]=\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{1+u^{2}}}$

Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva

Jika kurva $y=f(x)$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

  1. Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
  2. Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$

Nilai Maksimum atau Minimum Sebuah Fungsi

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan😊.

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=ax^{2}+2x+4$ dan $g(x)=x^{2}+ax-2$. Jika $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h'(0)=1$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal diketahui $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dan $h'(0)=1$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}+2x+4$ maka $f(0)=4$
$f'(x)=2ax+2$ maka $f'(0)=2$
untuk $g(x)=x^{2}+ax-2$ maka $g(0)=-2$
$g'(x)=2x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align}
h(x) & = \dfrac{f(x)}{g(x)} \\
h'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\
h'(0) & = \dfrac{f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot g'(0)}{g^{2}(0)} \\
1 & = \dfrac{(2) \cdot (-2) - (0) \cdot (a)}{(-2)^{2}} \\
1 & = \dfrac{-4 - 4a}{4} \\
4 & = -4 - 4a \\
8 & = - 4a \\
a & = \dfrac {8}{-4} = -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$

2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=ax^{2}-4x+1$ dan $g(x)=3x^{2}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x)g(x)$ dengan $h'(0)=-3$, maka nilai $k'(0)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -3 \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal diketahui $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $h'(0)=-3$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}-4x+1$ maka $f(0)=1$
$f'(x)=2ax-4$ maka $f'(0)=-4$
untuk $g(x)=3x^{2}+ax+2$ maka $g(0)=2$
$g'(x)=6x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align}
h(x) & = f(x)+g(x) \\
h'(x) & = f'(x)+g'(x) \\
h'(0) & = f'(0)+g'(0) \\
-3 & = -4+a \\
a & = -3+4=1
\end{align}$

$\begin{align}
k(x) & = f(x)g(x) \\
k'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\
k'(0) & = f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\
& = (-4)(2)+(1)(1) \\
& = -4+1=-3 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -3$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
$(A)\ 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(B)\ 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(C)\ sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(D)\ sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\
& =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\
& = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

4. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ adalah $h'(x)=\cdots$
$(A)\ -6x^{2}+36x$
$(B)\ -6x^{2}+36x+18$
$(C)\ -18x^{2}+30x+18$
$(D)\ 18x^{2}+30x+18$
$(E)\ 18x^{2}-30x-18$
Alternatif Pembahasan:

Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\
h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\
& =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\
& =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\
& =-18x^{2}+30x+18
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -18x^{2}+30x+18$

5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

14. Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval...
$(A)\ 1 \lt x \lt 3$
$(B)\ -1 \lt x \lt 3$
$(C)\ -3 \lt x \lt 1$
$(D)\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1$
$(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$
Alternatif Pembahasan:

Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=3x^2+6x-9$
$ \begin{align}
f'(x) & \lt 0 \\
3x^2+6x-9 & \lt 0 \\
x^2+2x-3 & \lt 0 \\
(x+3)(x-1) \lt 0 & \lt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =-3\ \text{atau} \\
x & =1 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 1$

6. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
$(A)\ 4 \lt x \lt 5$
$(B)\ -4 \lt x \lt 5$
$(C)\ x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 4$
$(D)\ x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 5$
$(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Alternatif Pembahasan:

Syarat suatu grafik fungsi akan naik adalah turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$
$ \begin{align}
f'(x) & \gt 0 \\
6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\
x^{2}-x -20 & \gt 0 \\
(x-5)(x+4) & \gt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =5\ \text{atau} \\
x & =-4 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

7. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Turunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah...
$(A)\ h'(x)=-3x^{2}+6x-3$
$(B)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
$(C)\ h'(x)=3x^{2}+6x-3$
$(D)\ h'(x)=3x^{2}+3x-6$
$(E)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
Alternatif Pembahasan:

Turunan petama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ adalah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$.
$h(x)=(-x+1)^{3} $

$ \begin{align}
h(x) & = (-x+1)^{3} \\
h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\
& = -3(-x+1)^{2}\\
& = -3(x^{2}-2x+1)\\
& = -3x^{2}+6x-3
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3x^{2}+6x-3$

8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Jika persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, maka dapat kita misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan $ \dfrac{1}{m}$ dengan syarat $m \gt 0$.

Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
m \times \dfrac{1}{m} & = \dfrac{c}{a} \\
1 & = q
\end{align}$

Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
m + \dfrac{1}{m} & = -\dfrac{b}{a} \\
m+m^{-1} & = p
\end{align}$

Nilai maksimum $p-q$ kita coba cari dengan turunan pertama $p-q$ yaitu
$\begin{align}
p-q & = m+m^{-1} - 1 \\
(p-q)' & = 1-m^{-2} \\
1-m^{-2} & = 0 \\
m^{-2} & = 1 \\
\dfrac{1}{m^{2}} & = 1 \\
1 & = m^{2} \\
m = -1\ & \text{atau}\ m=1\ \text{(TM)}
\end{align}$

Untuk $m=-1$
$p-q = m+m^{-1} - 1$
$p-q =-1+(-1)^{-1} - 1$
$p-q =-3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$

9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$, maka $f(4)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 11 \\
(B)\ & 12 \\
(C)\ & 14 \\
(D)\ & 17 \\
(E)\ & 22
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Diketahui $f(x)$ adalah fungsi kuadrat, kita misalkan $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Untuk $f(x)= ax^{2}+bx+c$, $f'(x)=2ax +b$ dan $f'(1)=3$, maka $3=2a+b$.

Garis singggung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ di $x=-1$ adalah $y=-x+1$ dimana gradien $m=-1$.
$\begin{align}
m & = f'(x)=2ax +b \\
m & = f'(-1) \\
-1 & = -2a+b
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\
-2a+b = -1 & \\
\hline
2b = 2 & \\
b = 1 & \\
a = 1
\end{array} $
Untuk $a=1$ dan $b=1$ maka $f(x)= x^{2}+ x+c$
Saat $x=-1$ diperoleh $y=-x+1=-(-1)+1=2$ maka $2= (-1)^{2}+(-1)+c$ kita peroleh $c=2$

$f(x)= x^{2}+ x+2$
$f(4)= 4^{2}+ 4+2=22$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 22$

10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$, maka...
$(1)\ $ $f$ terdefenisi di $x \geq 0$
$(2)\ $ $f'(2)=\dfrac{2}{3}$
$(3)\ $ $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$
$(4)\ $ $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik
Alternatif Pembahasan:

Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan

  • Untuk point $(1)$ pernyataan $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ terdefenisi di $x \geq 0$ adalah BENAR
    Sebuah fungsi dikatakan terdefinisi jika fungsi tersebut mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real.
  • Untuk point $(2)$ pernyataan $f'(2)=\dfrac{2}{3}$ adalah BENAR
    $ \begin{align}
    f(x) & = (x-1)^\dfrac{2}{3} \\
    f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^-\dfrac{1}{3} \\
    f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^-\dfrac{1}{3} \\
    & = \dfrac{2}{3}
    \end{align} $
  • Untuk point $(3)$ pernyataan $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$ dan $y=(x-1)^\dfrac{2}{3}=1$ adalah BENAR
    $ \begin{align}
    m=f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^-\dfrac{1}{3} \\
    m=f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \\
    y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
    y-1 & = \dfrac{2}{3} (x-2) \\
    y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3} + 1 \\
    y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3} \\
    \end{align} $
  • Untuk point $(4)$ pernyataan $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik adalah SALAH, karena $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ tidak mempunyai nilai turunan ketika $x=1$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1),\ (2),\ (3)\ \text{BENAR}$

11. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

Sebuah kotak dengan alas persegi dirancang agar volumnya $2$ liter. Jika biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, maka biaya pembuatan termurahnya adalah $p$ ribu rupiah, dengan $p=\cdots$.
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 12 \\
(D)\ & 14 \\
(E)\ & 15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kita misalkan alas dan tinggi kotak masing-masing adalah $a$ dan $t$, sehingga adalah:
$\begin{align}
V &= L_{alas} \cdot Tinggi \\
2 &= a^{2} \cdot t \\
t &= \dfrac{2}{a^{2}}
\end{align}$

Luas permukaan balok adalah:
$\begin{align}
L &= 2a^{2}+ 4 \cdot at \\
L &= 2a^{2}+ 4 \cdot a \cdot \dfrac{2}{a^{2}} \\
L &= 2a^{2}+ \dfrac{8}{a} \\
L &= 2a^{2}+ 8 a^{-1} \\
\end{align}$

Biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, sehingga total biaya adalah:
$\begin{align}
B &= 2a^{2} \cdot 2 + 8 a^{-1} \cdot 1\\
B &= 4a^{2} + 8 a^{-1}
\end{align}$

Untuk mendapatkan biaya minimum atau termurah kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(B'=0)$, yaitu:
$\begin{align}
B' &= 8a - 8 a^{-2} \\
0 &= 8a - 8 a^{-2} \\
0 &= 8a^{3} - 8 \\
8a^{3} &= 8 \\
a^{3} &= 1 \\
a &= 1
\end{align}$

Biaya termurah kita peroleh saat $a=1$ sehingga biaya termurah adalah
$\begin{align}
B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \\
p &= 4(1)^{2} + 8 (1)^{-1} \\
p &= 12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$


12. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Untuk $x \geq 1$, nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x+7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 23
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan nilai maskimum kita coba uji pakai turunan pertama sama dengan nol, yaitu:
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\
f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= x^{2}-4x +3 \\
0 &= (x-1)(x-3) \\
x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\
\hline
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\
f(1) &= -(1)^{3}+6(1)^{2}-9(1)+7 \\
&= -1+6-9+7=3 \\
f(3) &= -(3)^{3}+6(3)^{2}-9(3)+7 \\
&= -27+54-27+7=7
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$

Catatan Tambahan:
Menentukan nilai maksimum atau minimum dapat juga menggunakan Uji turunan kedua yaitu:

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\
f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= -3x^{2}+12x -9 \\
0 &= x^{2}-4x +3 \\
0 &= (x-1)(x-3) \\
x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\
\hline
f''(x) &= -6x+12 \\
f''(1) &= -6(1) +12=6 \\
f''(3) &= -6(3) +12=-6
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas, $x=3$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(3)$ yaitu $7$.

13. Soal UMB-PT 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)

Jumlah dua bilangan positif adalah $120$. Agar hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua mencapai maksimum, maka selisih dari bilangan yang terbesar dan yang terkecil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 30 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 50
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Misal kedua bilangan adalah $a$ dan $b$;
$\begin{align}
a+b &= 120 \\
b &= 120-a \\
H &= a^{2} \cdot b \\
&= a^{2} \cdot (120-a) \\
&= 120a^{2} - a^{3}
\end{align}$

Misal hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua adalah $H$, dan untuk mendapatkan $H$ maksimum kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(H'=0)$, yaitu:
$\begin{align}
H' &= 240a -3a^{ 2} \\
0 &= 240a -3a^{ 2} \\
0 &= a \left( 240 -3a \right) \\
a &= 0\ \text{atau}\ a=\dfrac{240}{3}=80
\end{align}$

Nilai $H$ maksimum kita peroleh saat $a=80$ sehingga $b=40$, dan selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $80-40=40$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 40$

14. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)

Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^{3}+2x^{2}-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
f(x) &= mx^{3}+2x^{2}-nx+5 \\
f'(x) &= 3mx^{2}+4x -n \\
f'(1) &= 3m(1)^{2}+4(1) -n \\
0 &= 3m +4-n \ \ \cdots(1)\\
f'(-5) &= 3m(-5)^{2}+4(-5) -n \\
0 &= 75m-20-n \cdots(2)\\
\end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
3m+4-n = 0 & \\
75m-20-n = 0 & (-)\\
\hline
-72m = 24 \\
m = \dfrac{24}{-72}=-\dfrac{1}{3} \\
n = 3\\
\hline
3m-n =3 \left( -\dfrac{1}{3} \right) - 3 \\
3m-n =-1-3=-4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$

15. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(0)=1$ dan $f'(0)=2$. Jika $g(x)=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}}$ maka $g'(0)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & -6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
g(x) &=\dfrac{u}{v} \\
g'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\
g (x) &=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}} \\
g'(x) &=\dfrac{0-1 \cdot 3\left( 2f(x)-1 \right)^{3-1} \cdot 2f'(x) }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\
&=\dfrac{-6f'(x) \cdot \left( 2f(x)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\
g'(0) &=\dfrac{-6f'(0) \cdot \left( 2f(0)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(0)-1 \right)^{6}} \\
&=\dfrac{-6 (2) \cdot \left( 2 (1)-1 \right)^{2} }{\left( 2 (1)-1 \right)^{6}} \\
&=\dfrac{-12 }{1}=-12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12$

16. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)

Syarat agar fungsi $f(x)=-x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8$ selalu turun untuk semua nilai real $x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & a \lt -5\ \text{atau}\ a \gt 7 \\
(B)\ & a \lt 0\ \text{atau}\ a \gt 4 \\
(C)\ & -5\ \lt a \lt 7 \\
(D)\ & -7\ \lt a \lt 5 \\
(E)\ & -7\ \lt a \lt 0\ \text{atau}\ 4\ \lt a \lt 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Agar sebuh fungsi $f(x)$ selalu turun maka $f'(x) \lt 0$
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8 \\
f'(x) &= -3x^{2}+ ax -x-3
\end{align}$

Agar $f'(x)=-3x^{2}+ (a-1)x-3 \lt 0 $, ini berarti $f'(x)$ selalu bernilai negatif atau dengan istilah lain $f'(x)$ adalah definit negatif.

Syarat sebuah fungsi $f(x)=px^{2}+qx+r$ definit negatif adalah:

  • $p \lt 0$ sudah memenuhi karena $p=-3$
  • $D=q^{2}-4pr \lt 0 $
    $(a-1)^{2}-4(-3)(-3) \lt 0 $
    $a^{2}-2a+1-36 \lt 0 $
    $a^{2}-2a -35 \lt 0 $
    $(a-7)(a+5) \lt 0 $
    Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol adalah $a=-5$ atau $a=7$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-5\ \lt a \lt 7$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -5\ \lt a \lt 7$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Fungsi $f(x)= x^{4}-2x^{2}+ax+a$ mempunyai nilai minimum $b$ di $x=1$. Nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Seperti yang kita ketahui bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\
f'(x) &= 4x^{3}-4x +a
\end{align}$

Karena $f(x)$ nilai minimumnya $b$ di $x=1$ maka $f'(1)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
f'(1) &= 4(1)^{3}-4(1) +a \\
0 &= 4-4 +a \\
0 &= a \\
\hline
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\
f(x) &= x^{4}-2x^{2} \\
b=f(1) &= (1)^{4}-2(1)^{2} \\
&= 1-2=-1 \\
\hline
a+b &= 0-1=-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$

18. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1}$ dengan $f(0)=f'(0)$ dan $f'(-1)=1$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
f(x) &=\dfrac{u}{v} \\
f'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\
f (x) &=\dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\
f'(x) &=\dfrac{a \cdot \left( x^{2}+1 \right) -(ax+b) \cdot 2x }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
&=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
f'(0) &=\dfrac{a(0)^{2}+a -2a(0)^{2}-2b(0) }{\left( (0)^{2}+1 \right)^{2}} \\
f'(0) &= a \\
f(0) &=\dfrac{a(0)+b}{0^{2}+1} \\
f(0) &=b \\
\hline
f'(0) &= f(0) \\
a &= b \\
\hline
f'(x) &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\
f'(-1) &=\dfrac{a(-1)^{2}+a -2a(-1)^{2}-2b(-1) }{\left( (-1)^{2}+1 \right)^{2}} \\
1 &=\dfrac{a +a -2a +2b }{4} \\
4 &=2b \\
2 &= b \\
a &= 2 \\
a+b &= 2+2=4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$

19. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Matematika Dasar Turunan Fungsi SIMAK UI 2013
Diketahui grafik fungsi $f'(x)$ seperti terlihat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi $f(x)$ adalah...
$(1)\ $ Saat $x \lt-1$, $f(x)$ turun
$(2)\ $ Saat $0 \lt x \lt 2$, $f(x)$ naik
$(3)\ $ Garis singgung kurva $f(x)$ di $x=-1$ sejajar dengan sumbu $X$
$(4)\ $ $x=2$ merupakan titik ekstrim
Alternatif Pembahasan:

  • Saat $x \lt -1$ terlihat pada gambar $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ turun.
    $\therefore$ pernyataan $(1)$ Benar
  • Saat $0 \lt x \lt 2$ terlihat pada gambar $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ naik.
    $\therefore$ pernyataan $(2)$ Benar
  • Saat $x=-1$ terlihat pada gambar $f'(-1) = 0$ maka $x=-1$ merupakan titik ekstrim. Garis singgung kurva pada titik ekstrim sejajar sumbu $x$
    $\therefore$ pernyataan $(3)$ Benar
  • Saat $x=2$ terlihat pada gambar $f'(2) = 0$ maka $x=2$ merupakan titik ekstrim.
    $\therefore$ pernyataan $(4)$ Benar
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1)(2)(3)(4)\ \text{Benar}$

20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$ dengan $0 \lt a \lt b$.
Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ adalah...

$(1)$ Jika $x \lt b$, $f(a)$ adalah nilai maksimum $f$.
$(2)$ Jika $x \gt 0$, $f(b)$ adalah nilai minimum $f$.
$(3)$ Jika $x \lt 0$, $f$ merupakan fungsi turun.
$(4)$ Jika $x \gt b$, $f$ merupakan fungsi naik.
Alternatif Pembahasan:

Jika $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$, untuk $f'(x)=0$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \\
0 &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b)
\end{align}$
Titik ekstrim adalah saat $x=0$, $x=a$, dan $x=b$, sehingga ada empat daerah yang dibatasi yaitu:

  • Saat $x \lt 0$, maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
  • Saat $0 \lt x \lt a$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
  • Saat $a \lt x \lt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
  • Saat $ x \gt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
Dari keterangan yang kita peroleh di atas, dapat kita simpulkan bahwa:
  • Untuk $x=0$ adalah nilai maksimum $f$, karena saat $x \lt 0$ fungsi $f$ naik.
  • Untuk $x=a$ adalah titik belok $f$, karena saat $0 \lt x \lt a$ dan $a \lt x \lt b$ fungsi $f$ turun.
  • Untuk $x=b$ adalah nilai minimum $f$, karena saat $x \gt b$ fungsi $f$ naik.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)(4)\ \text{Benar}$

21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)

Diketahui grafik fungsi $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ dengan $b^{2} \lt 3ac$. Pernyataan berikut mungkin terjadi pada fungsi $f$ tersebut, kecuali...
$(1)\ $ $f$ merupakan fungsi naik di seluruh daerah asalnya.
$(2)\ $ $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.
$(3)\ $ $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum.
$(4)\ $ $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik.
Alternatif Pembahasan:

Dari $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ kita peroleh $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$
$\begin{align}
D &= b^{2}-4ac \\
&= (2b)^{2}-4(3a)(c) \\
&= 4b^{2}-12ac \\
&= 4 \left( b^{2}-3ac \right) \\
\hline
b^{2} \lt 3ac\ & \text{sehingga}\ D \lt 0
\end{align}$

  • $b^{2} \lt 3ac$, dimana $b^{2} \gt 0$ sehingga $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ atau $a \gt 0$ dan $c \gt 0$
    • Saat $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit negatif atau $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ selalu turun.
    • Saat $a \gt 0$ dan $c \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit positif atau $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ selalu naik.
  • $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik benar yaitu saat $x=0$
  • $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum karena $f$ selalu naik atau selalu turun
  • $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik tidak tepat karena $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ \text{Benar}$

22. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Grafik $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ mempunyai garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$, maka jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3} \\
(B)\ & \dfrac{5}{6} \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & \dfrac{5}{3} \\
(E)\ & \dfrac{8}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$ dapat terjadi jika dan hanya jika $P$ dan $Q$ adalah titik ekstrim, sehingga turunan pertama pada titik $P$ dan $Q$ adalah nol.

Dari $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ kita peroleh $y' =x^{2}-3x +2 $
$\begin{align}
y' & =x^{2}-3x +2 \\
0 &= (x-2)(x-1) \\
x=2\ &\text{atau}\ x=1 \\
\hline
x=1 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(1)^{3}-\dfrac{3}{2}(1)^{2}+2(1) \\
& \rightarrow y =\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{2} +2 \\
& \rightarrow y =\dfrac{5}{6} \\
x=2 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(2)^{3}-\dfrac{3}{2}(2)^{2}+2(2) \\
& \rightarrow y =\dfrac{8}{3} -\dfrac{12}{2} +4 \\
& \rightarrow y =\dfrac{2}{3}
\end{align}$
Jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah $\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Turunan Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Matematika Dasar Turunan Fungsi sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Bank Soal Matematika Dasar Turunan Fungsi (*Soal dan Pembahasan)" 😊 and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar