Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini adalah kelanjutan atau pengembangan dari turunanan fungsi aljabar.
Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar bahwa untuk belajar matematika dasar turunan fungsi trigonometri, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang limit fungsi aljabar. Terkhusus lagi untuk belajar turunan fungsi trigonometri, kita juga sudah belajar limit fungsi trigonometri, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar turunan fungsi.
Penerapan turunan fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada turunan fungsi trigonometri bukanlah hal sulit, jika kita mau mengikuti step by step yang kita diskusikan pada alternatif pembahasan soal dibawah ini, maka kita akan bisa memahami soal-soal turunan fungsi trigonometri.
Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'(x)$, didefinisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).
Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.
ATURAN TURUNAN FUNGSI
Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain:
- Jika $f(x)=k$ (k:konstanta) maka $f'(x)=0$
- Jika $f(x)=x$ maka $f'(x)=1$
- Jika $f(x)= kx^{n}$ maka $f'(x)=knx^{n-1}$
- Jika $f(x)= k \cdot u(x)$ maka $f'(x)=k \cdot u'(x)$
- Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) + v'(x)$
- Jika $f(x)=u(x) - v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) - v'(x)$
- Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
- Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
- Jika $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$
- Jika $f(x)= \left |u(x) \right | $ maka $f'(x)=\dfrac{u(x)}{\left | u(x) \right |} \cdot u'(x),\ \ u\neq 0 $
- Jika $f(x)= ln\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
- Jika $f(x)=e^{u(x)}$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot e^{u(x)}$
- Jika $f(x)=log_{a}u(x)$ maka $f'(x)= \dfrac{u'(x)}{ln\ a \cdot u(x)}$
- Jika $f(x)=a^{u(x)}$ maka $f'(x)=a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot ln\ a$
ATURAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Dari definisi turunan fungsi, selain beberapa aturan pada turunan fungsi di atas, khusus untuk turunan fungsi trigonometri diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi.
- Jika $f(x)=\sin u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \cos u(x)$
- Jika $f(x)=\cos u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sin u(x)$
- Jika $f(x)= \tan u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec^{2} u(x)$
- Jika $f(x)= \cot u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \csc^2 u(x)$
- Jika $f(x)= \sec u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \sec u(x) \tan u(x)$
- Jika $f(x)= \csc u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \csc u(x) \cot u(x)$
- Jika $f(x)=arc\sin u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u^{2}(x)}}$
- Jika $f(x)=arc\cos u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{\sqrt{1-u^{2}(x)}}$
- Jika $f(x)=arc\tan u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1+u^{2}(x)}$
- Jika $f(x)=arc\cot u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{1+u^{2}(x)}$
- Jika $f(x)=arc\sec u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{|u(x)| \sqrt{u^{2}(x)-1}}$
- Jika $f(x)=arc\csc u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{|u(x)| \sqrt{u^{2}(x)-1}}$
- Jika $f(x)=\sinh u(x)$ maka $f'(x)= u'(x) \cdot \cosh u(x)$
- Jika $f(x)=\cosh u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \sinh u(x)$
- Jika $f(x)=\tanh u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot \text{sech}^{2}\ u(x)$
- Jika $f(x)= \coth u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \text{csch}^2\ u(x)$
- Jika $f(x)= \text{sech}\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \text{sech}\ u(x)\ \tanh u(x)$
- Jika $f(x)= \text{csch}\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot \text{csch}\ u(x)\ \coth u(x)$
- Jika $f(x)= \sinh^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u^{2}(x)+1}}$
- Jika $f(x)= \cosh^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u^{2}(x)-1}}$
- Jika $f(x)= \tanh^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1-u^{2}(x)}$
- Jika $f(x)= \coth^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1-u^{2}(x)}$
- Jika $f(x)= \text{sech}^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{u(x)\sqrt{1-u^{2}(x)}}$
- Jika $f(x)= \text{csch}^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{|u(x)| \sqrt{1+u^{2}(x)}}$
MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA
Jika kurva $y=f(x)$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.
Untuk catatan yang membahas tentang gradien garis singgung menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan konsep garis singgung kurva dengan turunan dan pembahasan soal latihan.
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
- Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
- Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$
Untuk catatan yang membahas tentang fungsi naik dan turun menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan cara menentukan fungsi naik, fungsi turun dan titik stasioner.
NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Untuk catatan yang membahas tentang nilai maksimum dan nilai minimum menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan penerapan turunan fungsi.
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi trigonometri di atas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan😊.
1. Soal UMPTN 1992 Rayon A |*Soal Lengkap
Diketahui fungsi $f(x)=\dfrac{2+\cos x}{\sin x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $\left( 0,b \right)$. Nilai $b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk kita ingat bahwa jika $y=\sin x$ maka $y'=\cos x$ dan $y=\cos x$ maka $y'=-\sin x$.
Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ pada $f(x)=\dfrac{2+\cos x}{\sin x}$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
y &=\dfrac{2+\cos x}{\sin x} \\
&=\dfrac{2+\cos 90^{\circ}}{\sin 90^{\circ}} \\
&=\dfrac{2+0}{1}=2 \\
\hline
(x,y) &= \left( 90^{\circ},2 \right)
\end{align}$
Gradien garis singgung di sebuah titik dapat kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama yaitu $m=f'(x)$, sehingga saat $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{2+\cos x}{\sin x} \\
\hline
f(x)\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'(x) = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\
\hline
m=f'(x) &= \dfrac{\left( -\sin x \right)\left(\sin x \right)-\left( 2+\cos x \right)\left(\cos x \right)}{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ -\sin^{2} x -\left( 2\cos x+\cos^{2} x \right)}{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ -\sin^{2} x -2\cos x-\cos^{2} x }{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ - \left( \sin^{2}+\cos^{2} x \right) -2\cos x }{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ - 1 -2\cos x }{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ - 1 -2\cos 90^{\circ} }{\sin^{2} 90^{\circ}} \\
&= \dfrac{ - 1 -2 (0) }{(1)^{2}} \\
&= -1 \\
\end{align}$
Persaman garis untuk $m=-1$ pada $(x,y)= \left( 90^{\circ},2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\
y-2 &= -1 \left( x- 90^{\circ} \right) \\
y-2 &= -x+ 90^{\circ} \\
y &= -x+2+ 90^{\circ}
\end{align}$
Garis memotong sumbu $y$ di titik $\left( 0,b \right)$ sehingga:
$\begin{align}
y &= -x+2+ 90^{\circ} \\
b &= -0+2+ 90^{\circ} \\
b &=2+ 90^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2+\dfrac{\pi}{2}$
2. Soal UMPTN 1993 Rayon B |*Soal Lengkap
Jika $f(x)= - \left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)$, maka $f'(x)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita meminjam sifat dari identitas trigonometri yaitu $\sin 2x=2\ \sin x\ \cos x$ dan $\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
f(x) &= - \left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right) \\
&= - \left( -2\ \sin 2x \right) \\
&= 2\ \sin 2x \\
&= 2\ \cdot 2 \sin x\ \cos x \\
&= 4 \sin x\ \cos x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4\ \sin x\ \cos x$
3. Soal UMPTN 1993 Rayon B |*Soal Lengkap
Jika $y=3x^{4}+\sin 2x +\cos 3x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
y &=3x^{4}+\sin 2x +3\ \cos 3x \\
\dfrac{dy}{dx} &=3(4)x^{3}+2\ \cos 2x -3\ \sin 3x \\
&=12x^{3}+2\ \cos 2x -3\ \sin 3x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12x^{3}+2\ \cos 2x -3\ \sin 3x$
4. Soal UMPTN 1993 Rayon C |*Soal Lengkap
Jika $y=2\ \sin 3x -3\ \cos 2x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
y &=2\ \sin 3x -3\ \cos 2x \\
\dfrac{dy}{dx} &=2(3)\ \cos 3x -3 \left(-2\ \sin 2x \right) \\
&=6\ \cos 3x +6 \ \sin 2x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12x^{3}+2\cos 2x -3 \sin 3x$
5. Soal UMPTN 1999 Rayon A |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x}$, $\sin x \neq 0$ dan $f'(x)$ adalah turunan $f(x)$, maka $f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x} \\
\hline
f(x)\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'(x) = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\
\hline
f'(x) &= \dfrac{\left( \cos x - \sin x \right)\left( \sin x \right)-\left( \sin x + \cos x \right)\left( \cos x \right)}{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{\cos x\ \sin x - \sin^{2} x- \sin x\ \cos x-\cos^{2}x}{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ - \sin^{2} x-\cos^{2}x}{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ - \left( \sin^{2} x+\cos^{2}x \right)}{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ - 1}{\sin^{2} x} \\
\hline
f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) &= \dfrac{ - 1}{\sin^{2} \left( \dfrac{\pi}{2} \right)} \\
&= \dfrac{ - 1}{1} = -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
6. Soal UMPTN 1998 Rayon A |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=a\ \tan x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $f(x)=\tan x$ maka $f'(x)=\sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $f(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ \tan x +bx \\
f'(x) & = a\ \sec^{2} x +b \\
f'(x) & = \dfrac{a}{\cos^{2} x} +b \\
\hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\
3 & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\
3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\
3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\
3 & = 2a +b \\
\hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\
9 & = 4a +b \\
\end{align}$
Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\
4a+b = 9 & - \\
\hline
2a = 6 & \\
a = 3 & \\
b = -3 & \\
\hline
a+b=0
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$
7. Soal SPMB 2002 Regional I |*Soal Lengkap
Turunan pertama dari $y=\cos^{4}\ x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untk menyelesaikan masalah di atas kita coba dengan pemisalan:
$\begin{align}
u & = \cos x \\
\dfrac{du}{dx} & = -\sin x \\
\hline
y & = \cos^{4}\ x\\
y & = u^{4} \\
\dfrac{dy}{du} & = 4u^{3} \\
\hline
\dfrac{dy}{dx} & = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\
& = 4u^{3} \cdot \left( -\sin x \right) \\
& = 4\cos^{3}\ x \cdot \left( -\sin x \right) \\
& = -4\cos^{3}\ x \cdot \sin x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -4\ \cos^{3}\ x \cdot \sin x$
8. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=a\ \tan x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $f(x)=\tan x$ maka $f'(x)=\sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $f(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ \tan x +bx \\
f'(x) & = a\ \sec^{2} x +b \\
f'(x) & = \dfrac{a}{\cos^{2} x} +b \\
\hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\
3 & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\
3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\
3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\
3 & = 2a +b \\
\hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\
9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\
9 & = 4a +b \\
\end{align}$
Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\
4a+b = 9 & - \\
\hline
2a = 6 & \\
a = 3 & \\
b = -3 & \\
\hline
a+b=0
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$
9. Soal SBMPTN 2017 Kode 106/124 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=sin(\sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$
Soal:$f(x)=sin(\sin^{2}x)$
Misal $u=\sin x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=\cos x$
Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$
Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split}
f'(x) = \dfrac{df}{dx} & = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =cos(v) \cdot 2u \cdot \cos x\\
& =cos(u^{2}) \cdot 2(\sin x) \cdot \cos x\\
& =cos(\sin^{2}x) \cdot 2(\sin x) \cdot \cos x\\
& =cos(\sin^{2}x) \cdot \sin 2x\\
& = \sin 2x \cdot cos(\sin^{2}x)
\end{split}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sin 2x \cdot cos(\sin^{2}x)$
10. Soal SBMPTN 2017 Kode 135 |*Soal Lengkap
Misalkan $f(x)=2\ \tan \left(\sqrt{\sec x} \right)$, maka $f'(x)\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$
Soal:$f(x)=2\ tan \left(\sqrt{\sec x} \right)$
Misal $u=\sec x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=\sec x\ \cdot \tan x$
Soal:$f(x)=2\ tan \left(\sqrt{u} \right)$
Misal $v=\sqrt{u}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$
Soal:$f(x)=2\ tan \left( v \right)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=2\sec^{2}(v)$
$\begin{split}
f'(x) = \dfrac{df}{dx} &= \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =2\sec^{2}(v) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \sec x\ \cdot \tan x \\
& =2\sec^{2}\left( \sqrt{u} \right) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{\sec x}} \cdot \sec x\ \cdot \tan x \\
& =\sec^{2}\left( \sqrt{\sec x} \right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\sec x}} \cdot \sec x\ \cdot \tan x \\
& = \sec^{2}\left( \sqrt{\sec x} \right) \cdot \sqrt{\sec x} \cdot \tan x
\end{split}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sec^{2}\left(\sqrt{\sec x} \right) \cdot \sqrt{\sec x} \cdot \tan x$
11. Soal SPMB 2005 Regional II |*Soal Lengkap
Turunan pertama dari fungsi $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}$ adalah $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{1+\cos x}{\sin x} \\
\hline
& u\ = 1+\cos x \rightarrow u'=-\sin x \\
& v\ = \sin x \rightarrow v'=\cos x \\
\hline
f(x)\ &= \dfrac{u}{v} \\
f'(x) &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\
f'(x) &= \dfrac{\left( -\sin x \right)\left( \sin x \right)-\left( 1 + \cos x \right)\left( \cos x \right)}{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ -\sin^{2}\ x - \cos x - \cos^{2} x }{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ -\left( \sin^{2}\ x+\cos^{2} x \right) - \cos x}{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ -1 - \cos x}{\sin^{2} x} \\
&= \dfrac{ - \left(1 + \cos x \right)}{1-\cos^{2} x} \\
&= \dfrac{ - \left(1 + \cos x \right)}{\left(1 + \cos x \right)\left(1 - \cos x \right)} \\
&= \dfrac{ -1 }{ \left(1 - \cos x \right)} \\
&= \dfrac{1}{\cos x-1}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{\cos x-1} $
12. Soal SPMB 2005 Kode 772 Regional I |*Soal Lengkap
Jika fungsi $f(x)=\sin ax + \cos bx$ memenuhi $f'(0)=b$ dan $f'\left( \frac{\pi}{2a} \right)=-1$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
f(x)\ &= \sin ax + \cos bx \\
f'(x)\ &= a\ \cos ax -b\ \sin bx \\
\hline
f'(0)\ &= a\ \cos 0 -b\ \sin 0 \\
b\ &= a\ \cdot 1 -b\ \cdot 0 \\
b\ &= a \\
\hline
f'\left( \frac{\pi}{2a} \right)\ &= a\ \cos a\left( \frac{\pi}{2a} \right) -b\ \sin b\left( \frac{\pi}{2a} \right) \\
-1\ &= a\ \cos a\left( \frac{\pi}{2a} \right) -a\ \sin a\left( \frac{\pi}{2a} \right) \\
-1\ &= a\ \cos \left( \frac{\pi}{2 } \right) -a\ \sin \left( \frac{\pi}{2 } \right) \\
-1\ &= a\ \cdot 0 -a\ \cdot 1 \\
-1\ &= -a \\
a\ &= 1\ \rightarrow b=1 \\
a+b\ &= 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
13. Soal SPMB 2005 Kode 520 Regional II |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=\sin x\ \cos 3x$, maka $f'\left( \frac{1}{6}\pi \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
f(x)\ &= \sin x\ \cos 3x\\
\hline
& u\ = \sin x \rightarrow u'=\cos x \\
& v\ = \cos 3x \rightarrow v'=-3\ \sin 3x \\
\hline
\hline
f(x)\ &= u \cdot v \\
f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\
f'(x) &= \cos x \cdot \cos 3x + \sin x \cdot -3\ \sin 3x \\
&= \cos x \cdot \cos 3x -3 \sin x \cdot \sin 3x \\
\hline
f'\left( \frac{1}{6}\pi \right) &= \cos \left( \frac{1}{6}\pi \right) \cdot \cos 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) -3 \sin \left( \frac{1}{6}\pi \right) \cdot \sin 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) \\
&= \cos 30^{\circ} \cdot \cos 90^{\circ} -3 \sin 30^{\circ} \cdot \sin 90^{\circ} \\
&= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 0 -3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \\
&= 0 - \dfrac{3}{2} \\
&=- \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1\dfrac{1}{2}$
14. Soal SPMB 2005 Kode 171 Regional III |*Soal Lengkap
Turunan pertama dari fungsi $y= \left( \sin x\ + \cos x \right)^{2}$ adalah $y'=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
f(x)\ &= \left( \sin x\ + \cos x \right)^{2} \\
&= \sin^{2} x\ + \cos^{2} x + 2\ \sin x\ \cos x \\
&= 1 + 2\ \sin x\ \cos x \\
&= 1 + \sin 2x \\
f'(x) &= 2\ \cos 2x \\
&= 2\ \left( 2\cos^{2}x-1 \right) \\
&= 4\ \cos^{2}x-2
\end{align}$
Alternatif yang lain dapat juga kita gunakan sifat turunan yaitu:
$\begin{align}
f(x)\ &= \left( \sin x\ + \cos x \right)^{2} \\
f'(x) &= 2 \left( \sin x\ + \cos x \right) \left( \cos x\ - \sin x \right) \\
&= 2 \left( \cos^{2}\ x\ - \sin^{2}\ x \right) \\
&= 2 \left( \cos^{2}\ x\ - 1 +\cos^{2}\ x \right) \\
&= 2 \left( 2\cos^{2}\ x\ - 1 \right) \\
&= 4\ \cos^{2}x- 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4\ \cos^{2}x-2$
15. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap
Jika $f\left( x \right)= \sqrt{1+\sin^{2}x},\ 0 \leq x \leq \pi$, maka $f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right)$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \sqrt{1+\sin^{2}x} \\ f\left( x \right)\ &= \left( 1+\sin^{2}x \right)^{\frac{1}{2}} \\ f'\left( x \right)\ &= \frac{1}{2} \cdot \left( 1+\sin^{2}x \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+\sin^{2}x}} \cdot \sin x \cdot \cos x \\ &= \dfrac{\sin x \cdot \cos x}{\sqrt{1+\sin^{2}x}} \\ \hline f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right) &= \sqrt{1+\sin^{2}x} \cdot \dfrac{\sin x \cdot \cos x}{\sqrt{1+\sin^{2}x}} \\ &= \sin x \cdot \cos x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sin x\ \cos x$
16. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal Lengkap
Diketahui $f\left( x \right)= x\ \sin 3x$, maka $f'\left( \frac{\pi}{4} \right)$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f\left( x \right)\ &= x\ \sin 3x \\ \hline & u\ = x \rightarrow u'=1 \\ & v\ = \sin 3x \rightarrow v'= 3\ \cos 3x \\ \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'(x) &= 1 \cdot \sin 3x + x \cdot 3\ \cos 3x \\ &= \sin 3x + 3x \cdot \cos 3x \\ f'\left( \frac{\pi}{4} \right) &= \sin 3\left( \frac{\pi}{4} \right) + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \\ &= \sin 135^{\circ} + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos 135^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ &= \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \left(1 - 3 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(1- \dfrac{3\pi}{4} \right)$
17. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal Lengkap
Jika $f\left( x \right)= \dfrac{\cos x -\sin x}{\cos x + \sin x}$, dengan $\cos x +sin x \neq 0$ maka $f'\left( x \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \dfrac{\cos x -\sin x}{\cos x + \sin x} \\ \hline & u\ = \cos x -\sin x \rightarrow u'=-\sin x - \cos x \\ & v\ = \cos x + \sin x \rightarrow v'= -\sin x + \cos x \\ \hline f(x)\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'(x) &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{\left( -\sin x - \cos x \right)\left( \cos x + \sin x \right)-\left( \cos x -\sin x \right)\left( -\sin x + \cos x \right)}{\left( \cos x + \sin x \right)^{2} } \\ &= \dfrac{-\left( \sin x + \cos x \right)^{2} -\left( \cos x -\sin x \right)^{2}}{\left( \cos x + \sin x \right)^{2} } \\ &= \dfrac{-\left( \sin x + \cos x \right)^{2}}{\left( \cos x + \sin x \right)^{2}} - \dfrac{\left( \cos x -\sin x \right)^{2}}{\left( \cos x + \sin x \right)^{2} }\\ &= -1 - \dfrac{\left( \cos x -\sin x \right)^{2}}{\left( \cos x + \sin x \right)^{2} }\\ &= -1 - \left( f(x) \right)^{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ - \left(1+ \left( f(x) \right)^{2} \right)$
18. Soal UMPTN 1994 Rayon B |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=x\ \cos x$, maka $f'\left(x + \frac{\pi}{2} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk kita ingat bahwa $y=\sin \left(\frac{\pi}{2}+x \right)=\cos x$ dan $y=\cos \left(\frac{\pi}{2}+x \right)=-\sin x$.
$\begin{align} f(x) &= x\ \cos x \\ f\left(x + \frac{\pi}{2} \right) &= \left(x + \frac{\pi}{2} \right)\ \cos \left(x + \frac{\pi}{2} \right) \\ &= -\left(x + \frac{\pi}{2} \right)\ \sin x \\ \hline & u\ = -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow u'=-1 \\ & v\ = \sin x \rightarrow v'= \cos x \\ \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'\left(x \right) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ \hline f' \left(x + \frac{\pi}{2} \right) &= -1 \cdot \sin x -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot \cos x \\ &= -\sin x -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot \cos x \\ &= -\sin x - x\ \cos x - \frac{\pi}{2}\ \cos x \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\sin x\ -x\ \cos x - \frac{pi}{2}\ \cos x$
19. Soal UMPTN 2001 Rayon C |*Soal Lengkap
Garis $g$ menyinggung kurva $y=\sin x + \cos x$ di titik yang berabsis $\dfrac{1}{3}\pi$. Gradien garis yang tegak lurus pada garis $g$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.
$\begin{align} y &= \sin x + \cos x \\ y' &= \cos x - \sin x \\ \hline m_{x=\frac{1}{3}\pi} &= \cos \frac{1}{3}\pi - \sin \frac{1}{3}\pi \\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
Gradien garis yang tegak lurus dengan garis singgung $g$ bergradien $m_{g}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah:
$\begin{align}
m_{g} \cdot m_{l} &= -1 \\
m_{l} &= \dfrac{-1}{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \\
&= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \\
&= \dfrac{-2 \left( 1 + \sqrt{3} \right)}{1-3} \\
&= 1 + \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1+\sqrt{3}$
20. Soal SNMPTN 2011 Kode 578 |*Soal Lengkap
Diketahui $f\left( x \right)=x^{\frac{1}{3}}\ \sin x$. Persamaan garis singgung di $f$ yang melalui titik asal adalah...
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.
$\begin{align} f\left( x \right) &= x^{\frac{1}{3}}\ \sin x \\ f'\left( x \right) &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ \sin x + x^{ \frac{1}{3}}\ \cos x \\ &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ \sin x + x^{ \frac{1}{3}}\ \cos x \\ \end{align}$
Gradien garis singgung pada kurva yang melalui titik asal adalah:
$\begin{align}
m_{g} &= \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ \sin x + x^{ \frac{1}{3}}\ \cos x \\
&= \frac{1}{3} \cdot \left( 0 \right)^{-\frac{2}{3}}\ \sin \left( 0 \right) + \left( 0 \right)^{ \frac{1}{3}}\ \cos \left( 0 \right) \\
&= \frac{1}{3} \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\
&= 0
\end{align}$
Garis singgung melaluit titik asal $\left( 0,0 \right)$ dengan gradien $m=0$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left(x-x_{1} \right) \\
y-0 &= 0 \left(x- 0 \right) \\
y &= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=0$
21. Soal SNMPTN 2010 KOde 528 |*Soal Lengkap
Jika garis singgung kurva $y=2x\ \cos^{3} x$ di titik $\left( \pi, -2\pi \right)$ tegak lurus dengan garis $g$, maka persamaan garis $g$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.
$\begin{align} y &= 2x\ \cos^{3} x \\ y' &= 2 \cdot \cos^{3}\ x +2x \cdot 3 \cdot \cos^{2}\ x \left( -\sin x \right) \\ &= 2 \cdot \cos^{3}\ x - 2x \cdot 3 \cdot \cos^{2}\ x\ \sin x \\ \hline m_{x=\pi} &= 2 \cdot \cos^{3}\ \pi - 2\pi \cdot 3 \cdot \cos^{2}\ \pi\ \sin \pi \\ &= 2 \cdot (-1)^{3} - 2\pi \cdot 3 \cdot (-1)^{2}\ (0) \\ &= 2 \cdot (-1) - 0 = -2 \end{align}$
Karena dua garis yang tegak lurus perkalian gradiennya adalah $-1$ sehingga gradien garis yang tegak lurus dengan garis bergradien $m_{g}=-2$ adalah $ m_{l}=\dfrac{1}{2} $
Persamaan garis di titik $\left( \pi, -2\pi \right)$ yang tegak lurus dengan garis $g$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left(x-x_{1} \right) \\
y+2\pi &= \dfrac{1}{2} \left(x- \pi \right) \\
y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{1}{2}\pi -2\pi \\
y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi $
22. Soal SIMAK UI 2012 Kode 523 |*Soal Lengkap
Diberikan $f(x)=\sin^{2}x$. Jika $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x)$, maka $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Bentuk limit $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \}$ pada soal memiliki kemiripan dengan definisi turunan fungsi yaitu:
$\begin{align}
y &= f(x) \\
f'(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f(x+p)-f(x)}{p} \\
f''(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f'(x+p)-f'(x)}{p} \\
f^{(3)}(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f''(x+p)-f''(x)}{p} \\
\vdots &
\end{align}$
Jika kita misalkan $h=\dfrac{1}{a}$ maka kita peroleh $a=\dfrac{1}{h}$
Lalu untuk $h \rightarrow \infty$ kita peroleh $a \rightarrow 0$
Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan pada soal, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
& \lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \} \\
&= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{1}{a} \left\{ f' \left ( x+ a \right ) -f'(x)\right \} \\
&= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{ f' \left ( x+ a \right ) -f'(x)}{a}
\end{align}$
Dari bentuk di atas dapat kta simpulkan bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan kedua dari fungsi $f(x)=\sin^{2}x$, yaitu:
$\begin{align}
f(x) &= \sin^{2}x \\
f'(x) &= 2\ \cdot \sin x\ \cos x \\
f''(x) &= 2\ \cdot \cos x\ \cdot \cos x + 2 \cdot \sin x \cdot \left(-\sin x \right) \\
&= 2\ \cdot \cos^{2}x - 2 \cdot \sin^{2}x \\
&= 2\ \left( \cos^{2}x - \sin^{2}x \right) \\
&= 2\ \cos 2x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\ \cos 2x$
23. Soal UM UGM 2014 Kode 532 |*Soal Lengkap
Jika $f\left( x \right)= \left( \sin x + \cos x \right)\left( \cos 2x + \sin 2x \right)$ dan $f'\left( x \right)=2\ \cos 3x +g(x)$ maka $g(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita mungkin memerlukan catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada perbandingan trigonometri.
$\begin{align} f\left( x \right) &= \left( \sin x + \cos x \right)\left( \cos 2x + \sin 2x \right)\\ &= \sin x\ \cos 2x + \sin x\ \sin 2x + \cos x\ \cos 2x + \cos x\ \sin 2x\\ &= \sin x\ \cos 2x + \cos x\ \sin 2x + \sin x\ \sin 2x + \cos x\ \cos 2x \\ &= sin \left( 2x+x \right) + cos \left(2x-x \right) \\ &= sin \left( 3x \right) + cos \left( x \right) \\ f'\left( x \right)\ &= 3\ cos \left( 3x \right) - sin \left( x \right) \\ &= 2\ cos \left( 3x \right) + cos \left( 3x \right) - sin \left( x \right) \\ \hline f'\left( x \right)\ &= 2\ cos \left( 3x \right) + g \left( x \right) \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \cos 3x -\sin x$
24. Soal SBMPTN 2014 Kode 589/586 |*Soal Lengkap
Jika $f\left( x \right)= 2x + \sin 2x$ untuk $-\dfrac{\pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} $, maka $f'(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f\left( x \right) &= 2x + \sin 2x \\ f '\left( x \right) &= 2 + 2\ \cos 2x \\ &= 2 \left(1 + \cos 2x \right) \\ &= 2 \left(1 + 2\cos^{2}x-1 \right) \\ &= 4\cos^{2}x \end{align}$
Sampai pada langkah di atas kita belum mendapatkan jawaban seperti apa yang diinginkan pembuat soal. Kita coba mengeksplorasi beberapa pilihan yang ada. Untuk pilihan $(B)$ dan $(E)$ sudah tidak mungkin lagi menjadi jawaban, sehingga yang perlu kita eksplorasi adalah pilihan $(A)$, $(C)$, atau $(D)$.
Disini yang kita pilih untuk di eksplorasi adalah pilihan $(C)\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( \tan x \right )^{2i}$
$\begin{align} & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( \tan x \right )^{2i} \\ & =4 \left [ \left( -1 \right )^{0} \left ( \tan x \right )^{2(0)}+\left( -1 \right )^{1} \left ( \tan x \right )^{2(1)} + \left( -1 \right )^{2} \left ( \tan x \right )^{2(2)} +\cdots \right]\\ & =4 \left[ \left( 1 \right ) \left ( \tan x \right )^{0}+\left( -1 \right ) \left ( \tan x \right )^{2 }+(1) \left ( \tan x \right )^{4} +\left( -1 \right ) \left ( \tan x \right )^{6} +\cdots \right] \\ & = 4 \left[ 1 + \left( -1 \right ) \left ( \tan x \right )^{2 }+\left( 1 \right ) \left ( \tan x \right )^{4} +\left( -1 \right ) \left ( \tan x \right )^{6} +\cdots \right] \\ \hline & a=1\ \text{dan}\ r=-tan^{2}x \\ & S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline & = 4 \left[ \dfrac{1}{1+ tan^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ \dfrac{1}{\sec^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ \cos^{2}x \right] \\ \end{align}$
Dari hasil eksplorasi di atas kita peroleh $4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( \tan x \right )^{2i} = 4 \left[ \cos^{2}x \right]$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( \tan x \right )^{2i}$
25. Soal SBMPTN 2015 Kode 534 |*Soal Lengkap
Fungsi $f\left( x \right)= -\sqrt{\cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}$ untuk $- \pi \lt x \lt 2\pi$, turun pada interval...
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.
$\begin{align} f\left( x \right) &= -\sqrt{\cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi} \\ f '\left( x \right) &= -\dfrac{-2\ \cos x\ \sin x + \frac{1}{2}}{2\sqrt{\cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{2\ \cos x\ \sin x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{\cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{\sin 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{\cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \end{align}$
Agar $f\left( x \right)$ turun maka $f'\left( x \right) \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
f '\left( x \right) & \lt 0 \\
\dfrac{\sin 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{\cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & \lt 0 \\
\end{align}$
Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:
$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{\sin 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{\cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & = 0 \\ \sin 2x - \frac{1}{2} & = 0 \\ \sin 2x & = \frac{1}{2} \\ \sin 2x & =\sin \frac{ \pi}{6} \\ \hline 2x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{11\pi}{12},\frac{ \pi}{12},\frac{13\pi}{12} \\ \hline 2x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 2x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{7\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{17\pi}{12} \end{align}$
Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \lt 0$
Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $(E)\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya.
Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ yaitu $x=0$
$\begin{align}
f '\left( x \right) &= \dfrac{\sin 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{\cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\
&= \dfrac{\sin 2(0) - \frac{1}{2}}{2\sqrt{\cos^{2}(0)+\frac{0}{2}+\pi}} \\
&= \dfrac{- \frac{1}{2}}{2+\pi} \lt 0 \\
& \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \lt 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$
26. Soal SBMPTN 2015 Kode 541 |*Soal Lengkap
Fungsi $f\left( x \right)= \sqrt{\cos^{2}2x+x}$ untuk $ x \gt 0$, naik pada interval...
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.
$\begin{align} f\left( x \right) &= \sqrt{\cos^{2}2x+x} \\ f '\left( x \right) &= \dfrac{-2\ \cos 2x\ \cdot 2 \cdot \sin 2x + 1}{2\sqrt{\cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-4\ \cos 2x\ \sin 2x + 1}{2\sqrt{\cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 \sin 4x +1}{2\sqrt{\cos^{2}2x+x}} \end{align}$
Agar $f\left( x \right)$ naik maka $f'\left( x \right) \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
f '\left( x \right) & \gt 0 \\
\dfrac{-2 \sin 4x +1}{2\sqrt{\cos^{2}2x+x}} & \gt 0 \\
\end{align}$
Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:
$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{-2 \sin 4x +1}{2\sqrt{\cos^{2}2x+x}} & = 0 \\ -2 \sin 4x +1 & = 0 \\ 2\sin 4x & = 1 \\ \sin 4x & = \dfrac{ 1}{2} \\ \sin 4x & = \sin \frac{ \pi}{6} \\ \hline 4x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2}\\ x & =\frac{\pi}{24},\ \frac{13 \pi}{12},\ \frac{25\pi}{24},\cdots \\ \hline 4x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 4x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2} \\ x & = \frac{5\pi}{24},\ \frac{17\pi}{24},\ \frac{29\pi}{24},\cdots \end{align}$
Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \gt 0$
Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $(B)\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya.
Kita uji nilai $x$ dari $\dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ yaitu $x=\dfrac{12\pi}{24}=90$
$\begin{align}
f '\left( x \right) &= \dfrac{-2 \sin 4x +1}{2\sqrt{\cos^{2}2x+x}} \\
&= \dfrac{-2 \sin 4(90) +1}{2\sqrt{1+(90)}} \\
&= \dfrac{0+1}{2\sqrt{1+(90)}} \\
&= \dfrac{1}{2\sqrt{1+(90)}} \gt 0 \\
& \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \gt 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$
26. Soal SBMPTN 2015 Kode 510 |*Soal Lengkap
Fungsi $f\left( x \right)= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-\sin x}$ untuk $ -\pi \leq x \leq \pi$, turun pada interval...
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.
$\begin{align} f\left( x \right) &= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-\sin x} \\ f '\left( x \right) &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- \cos x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-\sin x}} \end{align}$
Agar $f\left( x \right)$ turun maka $f'\left( x \right) \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
f '\left( x \right) & \lt 0 \\
\dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- \cos x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-\sin x}} & \lt 0 \\
\end{align}$
Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:
$\begin{align}
f '\left( x \right) & = 0 \\
\dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- \cos x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-\sin x}} & = 0 \\
\frac{x}{\sqrt{2}}- \cos x & = 0 \\
\cos x & = \frac{x}{\sqrt{2}} \\
\cos x & = \cos \frac{ \pi}{4} \\
\hline
x & =\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\
x & =\frac{\pi}{4} \\
\hline
x & =-\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\
x & =-\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} \\
\end{align}$
Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \gt 0$
Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $(E)\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya.
Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ yaitu $x=0$
$\begin{align}
f '\left( x \right) &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- \cos x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-\sin x}} \\
&= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- \cos 0}{2\sqrt{2+\frac{0}{\sqrt{2}}-\sin 0}} \\
&= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- 1}{2\sqrt{2+0-0}} \gt 0 \\
& \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \lt 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$
27. Soal UMPTN 1996 Rayon A |*Soal Lengkap
Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva $y=\tan x$ di titik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Gradien garis singgung kurva $y=\tan x$ di titik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ adalah:
$\begin{align}
y & = \tan x \\
m=y' & = \sec^{2} x \\
& = \dfrac{1}{\cos^{2}\ x} \\
& = \dfrac{1}{\cos^{2} \left( \frac{\pi}{4} \right)} \\
& = \dfrac{1}{\left( \frac{1}{2} \sqrt{2} \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1}{\left( \frac{1}{4} \cdot 2 \right)} = 2
\end{align}$
Dua garis saling tegak lurus maka perkalian kedua gradien garis adalah $-1$ atau $m_{1} \cdot m_{2}=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva gradiennya adalah $m=-\dfrac{1}{2}$.
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva di titik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ dan $m=-\dfrac{1}{2}$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\
y-1 & = -\dfrac{1}{2} \left( x-\frac{\pi}{4} \right) \\
y-1 & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8} \\
y & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8}+1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1$
28. Soal SIMAK UI 2010 Kode 205 |*Soal Lengkap
Jika diketahui $f(x)= \left| tan (x) \right|$, maka laju perubahan $f(x)$ pada saat $x=k$, dimana $\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$ akan sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan definisi nilai mutlak fungsi $f(x)= \left| tan (x) \right|$ dapat kita tuliskan,
$ \left| tan (x) \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
tan (x),\ \text{untuk}\ tan (x) \geq 0 \\
-tan (x),\ \text{untuk}\ tan (x) \lt 0
\end{array} \right.$
Untuk $k=x$ dan $\dfrac{\pi}{2} \lt k \lt \pi$ maka $x$ berada di kuadran II diperoleh $tan (x)$ bernilai negatif sehingga $f(x)=- \tan x$.
Laju perubahan $f(x)$ terhadap $x$ dapat kita tuliskan $\dfrac{df(x)}{dx}=-\sec^{2}x$, dan laju perubahan $f(x)$ pada saat $x=k$ adalah $\dfrac{df(k)}{dx}=-\sec^{2}k$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\sec^{2}\ (k)$
29. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 |*Soal Lengkap
$y= \sin \left ( \sin \left ( \sin \left ( \sin \left ( \cdots \left ( \sin \left ( \sin (x) \right ) \right ) \right ) \cdots \right ) \right ) \right ) $ Tentukan $\dfrac{dy}{dx}$ pada $x=0$.
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita lakukan dengan beberapa eksplorasi dengan fungsi yang sederhana.
Untuk $y=sin(x)$
$\begin{align}
f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos(x) \\
f'(0)\ & =cos(0) \\
= 1
\end{align}$
Untuk $y=\sinleft ( \sin (x) \right )$
$\begin{align}
f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =\cosleft ( \sin (x) \right ) \cdot cos(x) \\
f'(0)\ & =\cosleft ( \sin (0) \right ) \cdot cos(0) \\
& =\cosleft ( 0 \right ) \cdot 1 \\
& =1
\end{align}$
Untuk $y=\sinleft ( sin \left ( \sin (x) \right ) \right )$
$\begin{align}
f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos \left ( sin \left ( \sin (x) \right ) \right ) \cdot cos \left ( \sin (x) \right ) \cdot cos(x) \\
f'(0)\ & =cos \left ( sin \left ( \sin (0) \right ) \right ) \cdot cos \left ( \sin (0) \right ) \cdot cos(0) \\
& =cos \left ( sin \left ( 0 \right ) \right ) \cdot cos \left ( 0 \right ) \cdot 1 \\
& =cos \left ( 0 \right ) \cdot 1 \cdot 1 \\
& =1 \cdot 1 \cdot 1 \\
& =1
\end{align}$
Jika kita lakukan eksplorasi pada langkah berikutnya hasilnya juga adalah $1$ dan ini menjawab untuk fungsi $y= \sinleft ( \sinleft ( \sinleft ( \sinleft ( \cdots\left ( \sinleft ( \sin (x) \right ) \right ) \right ) \cdots \right ) \right ) \right ) $ hasilnya adalah $1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
30. Soal UMPTN 1991 |*Soal Lengkap
Nilai maksimum dari $f(x)= 2\ \cos 2x + 4\ \sin x$ untuk $0 \lt x \lt \pi$, adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama $f'(x)= 0$
$\begin{align} f(x) & = 2\ \cos 2x + 4\ \sin x \\ f'(x) & = -4\ \sin 2x + 4\ \cos x \end{align}$
Untuk $f'(x)=0$, kita peroleh:
$\begin{align}
-4\ \sin 2x + 4\ \cos x & = 0 \\
-4\ 2\ \sin x\ \cos x + 4\ \cos x & = 0 \\
-4\ \cos x \left(2\ \sin x - 1 \right) & = 0 \\
-4\ \cos x= 0\ \text{atau}\ 2\ \sin x - 1 & = 0 \\
\cos x= 0\ \text{atau}\ \sin x & = \frac{1}{2} \\
\end{align}$
- Untuk $0 \lt x \lt \pi$ kita peroleh:
- Saat $\cos x= 0$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=90^{\circ}$
$\begin{align} f(x) & = 2\ \cos 2x + 4\ \sin x \\ f \left( 90^{\circ} \right) & = 2\ \cos 2\left( 90^{\circ} \right) + 4\ \sin \left( 90^{\circ} \right) \\ & = 2\ \cos 180^{\circ} + 4 \sin 90^{\circ} \\ & = 2\ \left( -1 \right) + 4 \left( 1 \right) = 2 \end{align}$ - Saat $\sin x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=30^{\circ}, 150^{\circ}$
$\begin{align} f(x) & = 2\ \cos 2x + 4\ \sin x \\ f \left( 30^{\circ} \right) & = 2\ \cos 2\left( 30^{\circ} \right) + 4\ \sin \left( 30^{\circ} \right) \\ & = 2\ \cos 60^{\circ} + 4 \sin 30^{\circ} \\ & = 2\ \left( \frac{1}{2} \right) + 4 \left( \frac{1}{2} \right) = 3 \end{align}$
$\begin{align} f(x) & = 2\ \cos 2x + 4\ \sin x \\ f \left( 150^{\circ} \right) & = 2\ \cos 2\left( 150^{\circ} \right) + 4\ \sin \left( 150^{\circ} \right) \\ & = 2\ \cos 300^{\circ} + 4\ \sin 150^{\circ} \\ & = 2\ \left( \frac{1}{2} \right) + 4\ \left( \frac{1}{2} \right) = 3 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
31. Soal UMPTN 1992 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)= \dfrac{2+\cos x}{\sin x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $\left( 0,b \right)$, nilai $b$ yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama, dimana kita ketahui bahwa gradien garis singgung $m=f'(x)$.
$\begin{align} f(x) & = \dfrac{2+\cos x}{\sin x} \\ \hline u = 2+\cos x & \rightarrow u'=-\sin x \\ v = \sin x & \rightarrow u'=\cos x \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( -\sin x \right)\left( \sin x \right)-\left( 2+\cos x \right)\left( \cos x \right)}{\sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\sin^{2} x -2\cos x - \cos^{2} x }{\sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ - \left(\sin^{2} x 2\cos x + \cos^{2} x \right) }{\sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left(1 +2\cos x \right)}{\sin^{2} x} \end{align}$
Gradien garis singgung $m=f'(x)$ saat $x=\dfrac{\pi}{2}$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{ -\left(1 +2\cos x \right)}{\sin^{2} x} \\
& = \dfrac{ -\left(1 +2\cos \frac{\pi}{2} \right)}{\sin^{2} \frac{\pi}{2}} \\
& = \dfrac{ -\left(1 +2 \cdot 0 \right)}{(1)^{2}} = -1
\end{align}$
Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}$, kita peroleh $y=f(x)$, yaitu:
$\begin{align}
y & = \dfrac{2+\cos x}{\sin x} \\
& = \dfrac{2+\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} \\
& = \dfrac{2+ 0}{1} 2
\end{align}$
Persamaan garis singgung yang melelui titik $\left( \frac{\pi}{2}, 2 \right)$ dan gradien $m=-1$ adalah
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x -x_{1} \right) \\
y-2 & = -1 \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \\
y-2 & = -x + \frac{\pi}{2} \\
y & = -x + \frac{\pi}{2} +2
\end{align}$
Memotong sumbu $y$ adalah pada saat $x=0$, yaitu $\left( 0, \frac{\pi}{2} +2 \right)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{\pi}{2} +2 $
Beberapa pembahasan soal Turunan Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Turunan Fungsi Trigonometri di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
