--> Skip to main content

20+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi TrigonometriCalon guru coba diskusi matematika dengan membahas soal Matematika Dasar tentang Turunan Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini adalah kelanjutan atau pengembangan dari turunanan fungsi aljabar.

Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar bahwa untuk belajar matematika dasar turunan fungsi trigonometri, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang limit fungsi aljabar. Terkhusus lagi untuk belajar turunan fungsi trigonometri, kita juga sudah belajar limit fungsi trigonometri, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar turunan fungsi.

Penerapan turunan fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada turunan fungsi trigonometri bukanlah hal sulit, jika kita mau mengikuti step by step yang kita diskusikan pada alternatif pembahasan soal dibawah ini, maka kita akan bisa memahami soal-soal turunan fungsi trigonometri.

Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'(x)$, didefinisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).

Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.

ATURAN TURUNAN FUNGSI


Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain:
  1. Jika $f(x)=k$ (k:konstanta) maka $f'(x)=0$
  2. Jika $f(x)=x$ maka $f'(x)=1$
  3. Jika $f(x)= kx^{n}$ maka $f'(x)=knx^{n-1}$
  4. Jika $f(x)= k \cdot u(x)$ maka $f'(x)=k \cdot u'(x)$
  5. Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) + v'(x)$
  6. Jika $f(x)=u(x) - v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) - v'(x)$
  7. Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
  8. Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
  9. Jika $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$
  10. Jika $f(x)= \left |u(x) \right | $ maka $f'(x)=\dfrac{u(x)}{\left | u(x) \right |} \cdot u'(x),\ \ u\neq 0 $
  11. Jika $f(x)= ln\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
  12. Jika $f(x)=e^{u(x)}$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot e^{u(x)}$
  13. Jika $f(x)=log_{a}u(x)$ maka $f'(x)= \dfrac{u'(x)}{ln\ a \cdot u(x)}$
  14. Jika $f(x)=a^{u(x)}$ maka $f'(x)=a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot ln\ a$

ATURAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI


Dari definisi turunan fungsi, selain beberapa aturan pada turunan fungsi di atas, khusus untuk turunan fungsi trigonometri diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi, yaitu:
  1. Jika $f(x)=sin\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot cos\ u(x)$
  2. Jika $f(x)=cos\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot sin\ u(x)$
  3. Jika $f(x)= tan\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot sec^{2}\ u(x)$
  4. Jika $f(x)= cot\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot csc^2\ u(x)$
  5. Jika $f(x)= sec\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot sec\ u(x)\ tan\ u(x)$
  6. Jika $f(x)=csc\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot csc\ u(x)\ cot\ u(x)$
  7. Jika $f(x)=arcsin\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u^{2}(x)}}$
  8. Jika $f(x)=arccos\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{\sqrt{1-u^{2}(x)}}$
  9. Jika $f(x)=arctan\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1+u^{2}(x)}$
  10. Jika $f(x)=arccot\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{1+u^{2}(x)}$
  11. Jika $f(x)=arcsec\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{|u(x)| \sqrt{u^{2}(x)-1}}$
  12. Jika $f(x)=arccsc\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{|u(x)| \sqrt{u^{2}(x)-1}}$
  13. Jika $f(x)=sinh\ u(x)$ maka $f'(x)= u'(x) \cdot cosh\ u(x)$
  14. Jika $f(x)=cosh\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot sinh\ u(x)$
  15. Jika $f(x)=tanh\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot sech^{2}\ u(x)$
  16. Jika $f(x)=coth\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot csch^2\ u(x)$
  17. Jika $f(x)=sech\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot sech\ u(x)\ tanh\ u(x)$
  18. Jika $f(x)=csch\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot csch\ u(x)\ coth\ u(x)$
  19. Jika $f(x)=sinh^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u^{2}(x)+1}}$
  20. Jika $f(x)=cosh^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u^{2}(x)-1}}$
  21. Jika $f(x)=tanh^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1-u^{2}(x)}$
  22. Jika $f(x)=coth^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1-u^{2}(x)}$
  23. Jika $f(x)=sech^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{u(x)\sqrt{1-u^{2}(x)}}$
  24. Jika $f(x)=csch^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{|u(x)| \sqrt{1+u^{2}(x)}}$

MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA


Jika kurva $y=f(x)$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

  • Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
  • Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$

NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi trigonometri di atas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan😊.

1. Soal UMPTN 1992 Rayon A (*Soal Lengkap)

Diketahui fungsi $f(x)=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $x=\left( 0,b \right)$. Nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & \dfrac{\pi}{2} \\ (C)\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ (D)\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ (E)\ & 2+\dfrac{\pi}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk kita ingat bahwa jika $y=sin\ x$ maka $y'=cos\ x$ dan $y=cos\ x$ maka $y'=-sin\ x$.

Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ pada $f(x)=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
y &=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ &=\dfrac{2+cos\ 90^{\circ}}{sin\ 90^{\circ}} \\ &=\dfrac{2+0}{1}=2 \\ \hline
(x,y) &= \left( 90^{\circ},2 \right)
\end{align}$

Gradien garis singgung di sebuah titik dapat kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama yaitu $m=f'(x)$, sehingga saat $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline
f(x)\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'(x) = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline
m=f'(x) &= \dfrac{\left( -sin\ x \right)\left(sin\ x \right)-\left( 2+cos\ x \right)\left(cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -\left( 2cos\ x+cos^{2} x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x-cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left( sin^{2}+cos^{2} x \right) -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ 90^{\circ} }{sin^{2} 90^{\circ}} \\ &= \dfrac{ - 1 -2 (0) }{(1)^{2}} \\ &= -1 \\ \end{align}$
Persaman garis untuk $m=-1$ pada $(x,y)= \left( 90^{\circ},2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-2 &= -1 \left( x- 90^{\circ} \right) \\ y-2 &= -x+ 90^{\circ} \\ y &= -x+2+ 90^{\circ}
\end{align}$
Garis memotong sumbu $y$ di titik $\left( 0,b \right)$ sehingga:
$\begin{align}
y &= -x+2+ 90^{\circ} \\ b &= -0+2+ 90^{\circ} \\ b &=2+ 90^{\circ}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2+\dfrac{\pi}{2}$

2. Soal UMPTN 1993 Rayon B (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)= - \left( cos^{2}x-sin^{2}x \right)$, maka $f'(x)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \left( cos\ x + sin\ x \right) \\ (B)\ & 2 \left( cos\ x - sin\ x \right) \\ (C)\ & sin\ x\ cos\ x \\ (D)\ & 2\ sin\ x\ cos\ x \\ (E)\ & 4\ sin\ x\ cos\ x
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita meminjam sifat dari identitas trigonometri yaitu $sin\ 2x=2\ sin\ x\ cos\ x$ dan $cos\ 2x=cos^{2}x-sin^{2}x$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
f(x) &= - \left( cos^{2}x-sin^{2}x \right) \\ &= - \left( -2\ sin\ 2x \right) \\ &= 2\ sin\ 2x \\ &= 2\ \cdot 2 sin\ x\ cos\ x \\ &= 4 sin\ x\ cos\ x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E\ 4\ sin\ x\ cos\ x$

3. Soal UMPTN 1993 Rayon B (*Soal Lengkap)

Jika $y=3x^{4}+sin\ 2x +cos\ 3x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ (B)\ & 12x^{3}+ cos\ 2x - sin\ 3x \\ (C)\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ (D)\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ (E)\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
y &=3x^{4}+sin\ 2x +3\ cos\ 3x \\ \dfrac{dy}{dx} &=3(4)x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ &=12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x$

4. Soal UMPTN 1993 Rayon C (*Soal Lengkap)

Jika $y=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ (B)\ & 6\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ (C)\ & 2\ cos\ 3x +3\ sin\ 2x \\ (D)\ & 6\ cos\ 3x +6\ sin\ 2x \\ (E)\ & -6\ cos\ 3x - 6\ sin\ 2x \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
y &=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x \\ \dfrac{dy}{dx} &=2(3)\ cos\ 3x -3 \left(-2\ sin\ 2x \right) \\ &=6\ cos\ 3x +6 \ sin\ 2x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12x^{3}+2cos\ 2x -3 sin\ 3x$

5. Soal UMPTN 1999 Rayon A (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=\dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x}$, $sin\ x \neq 0$ dan $f'(x)$ adalah turunan $f(x)$, maka $f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) $
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline
f(x)\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'(x) = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline
f'(x) &= \dfrac{\left( cos\ x - sin\ x \right)\left( sin\ x \right)-\left( sin\ x + cos\ x \right)\left( cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{cos\ x\ sin\ x - sin^{2} x- sin\ x\ cos\ x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - sin^{2} x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left( sin^{2} x+cos^{2}x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} x} \\ \hline
f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} \left( \dfrac{\pi}{2} \right)} \\ &= \dfrac{ - 1}{1} = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

6. Soal UMPTN 1998 Rayon A (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=a\ tan\ x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{\pi}{2} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & \pi
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ tan\ x +bx \\ f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\ f'(x) & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline
2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline
a+b=0
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$

7. Soal SPMB 2002 Regional I (*Soal Lengkap)

Turunan pertama dari $y=cos^{4}\ x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ (C)\ & -4\ cos^{3}x\ sin\ x \\ (D)\ & -4\ cos^{3}x\ sin\ x \\ (E)\ & -4\ cos^{3}x\ sin\ x
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untk menyelesaikan masalah di atas kita coba dengan pemisalan:
$\begin{align}
u & = cos\ x \\ \dfrac{du}{dx} & = -sin\ x \\ \hline
y & = cos^{4}\ x\\ y & = u^{4} \\ \dfrac{dy}{du} & = 4u^{3} \\ \hline
\dfrac{dy}{dx} & = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4u^{3} \cdot \left( -sin\ x \right) \\ & = 4cos^{3}\ x \cdot \left( -sin\ x \right) \\ & = -4cos^{3}\ x \cdot sin\ x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -4cos^{3}\ x \cdot sin\ x$

8. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=a\ tan\ x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & \dfrac{24}{5} \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & \dfrac{39}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ tan\ x +bx \\ f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\ f'(x) & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline
2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline
a+b=0
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$


9. Soal SBMPTN 2017 Kode 106/124 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
$\begin{align} (A)\ & 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x) \\ (B)\ & 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x) \\ (C)\ & sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x) \\ (D)\ & sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x) \\ (E)\ & sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split} f'(x) = \dfrac{df}{dx} & = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\ & =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\ & = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x) \end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

10. Soal SBMPTN 2017 Kode 135 (*Soal Lengkap)

Misalkan $f(x)=2\ tan \left(\sqrt{sec\ x} \right)$, maka $f'(x)\cdots$

$\begin{align} (A)\ & sec^{2} \left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot tan\ x \\ (B)\ & sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ (C)\ & 2sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ (D)\ & sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot sec\ x \cdot tan\ x \\ (E)\ & 2sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot sec\ x \cdot tan\ x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=2\ tan \left(\sqrt{sec\ x} \right)$
Misal $u=sec\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=sec\ x\ \cdot \tan\ x$

Soal:$f(x)=2\ tan \left(\sqrt{u} \right)$
Misal $v=\sqrt{u}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$

Soal:$f(x)=2\ tan \left( v \right)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=2sec^{2}(v)$
$\begin{split}
f'(x) = \dfrac{df}{dx} &= \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =2sec^{2}(v) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =2sec^{2}\left( \sqrt{u} \right) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =sec^{2}\left( \sqrt{sec\ x} \right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & = sec^{2}\left( \sqrt{sec\ x} \right) \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot \tan\ x \end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x$

11. Soal SPMB 2005 Regional II (*Soal Lengkap)

Turunan pertama dari fungsi $f(x)=\dfrac{1+cos\ x}{sin\ x}$ adalah $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1-sin\ x}{sin^{2}x} \\ (B)\ & \dfrac{ sin\ x-1}{cos\ x-1} \\ (C)\ & \dfrac{ 2}{cos\ x+1} \\ (D)\ & \dfrac{ 2}{sin\ x-1} \\ (E)\ & \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{1+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline & u\ = 1+cos\ x \rightarrow u'=-sin\ x \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'=cos\ x \\ \hline f(x)\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'(x) &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{\left( -sin\ x \right)\left( sin\ x \right)-\left( 1 + cos\ x \right)\left( cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2}\ x - cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -\left( sin^{2}\ x+cos^{2} x \right) - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -1 - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left(1 + cos\ x \right)}{1-cos^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left(1 + cos\ x \right)}{\left(1 + cos\ x \right)\left(1 - cos\ x \right)} \\ &= \dfrac{ -1 }{ \left(1 - cos\ x \right)} \\ &= \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{cos\ x-1} $

12. Soal SPMB 2005 Kode 772 Regional I (*Soal Lengkap)

Jika fungsi $f(x)=sin\ ax + cos\ bx$ memenuhi $f'(0)=b$ dan $f'\left( \frac{\pi}{2a} \right)=-1$, maka $a+b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
f(x)\ &= sin\ ax + cos\ bx \\ f'(x)\ &= a\ cos\ ax -b\ sin\ bx \\ \hline f'(0)\ &= a\ cos\ 0 -b\ sin\ 0 \\ b\ &= a\ \cdot 1 -b\ \cdot 0 \\ b\ &= a \\ \hline f'\left( \frac{\pi}{2a} \right)\ &= a\ cos\ a\left( \frac{\pi}{2a} \right) -b\ sin\ b\left( \frac{\pi}{2a} \right) \\ -1\ &= a\ cos\ a\left( \frac{\pi}{2a} \right) -a\ sin\ a\left( \frac{\pi}{2a} \right) \\ -1\ &= a\ cos\ \left( \frac{\pi}{2 } \right) -a\ sin\ \left( \frac{\pi}{2 } \right) \\ -1\ &= a\ \cdot 0 -a\ \cdot 1 \\ -1\ &= -a \\ a\ &= 1\ \rightarrow b=1 \\ a+b\ &= 2 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

13. Soal SPMB 2005 Kode 520 Regional II (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=sin\ x\ cos\ 3x$, maka $f'\left( \frac{1}{6}\pi \right)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -1\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \\ (E)\ & -1\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
f(x)\ &= sin\ x\ cos\ 3x\\ \hline & u\ = sin\ x \rightarrow u'=cos\ x \\ & v\ = cos\ 3x \rightarrow v'=-3\ sin\ 3x \\ \hline \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'(x) &= cos\ x \cdot cos\ 3x + sin\ x \cdot -3\ sin\ 3x \\ &= cos\ x \cdot cos\ 3x -3 sin\ x \cdot sin\ 3x \\ \hline f'\left( \frac{1}{6}\pi \right) &= cos\ \left( \frac{1}{6}\pi \right) \cdot cos\ 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) -3 sin\ \left( \frac{1}{6}\pi \right) \cdot sin\ 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) \\ &= cos\ 30^{\circ} \cdot cos\ 90^{\circ} -3 sin\ 30^{\circ} \cdot sin\ 90^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 0 -3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \\ &= 0 - \dfrac{3}{2} \\ &=- \dfrac{3}{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1\dfrac{1}{2}$

14. Soal SPMB 2005 Kode 171 Regional III (*Soal Lengkap)

Turunan pertama dari fungsi $y= \left( sin\ x\ + cos\ x \right)^{2}$ adalah $y'=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 4\ sin^{2}x \\ (C)\ & 4\ sin^{2}x-2 \\ (D)\ & 4\ cos^{2}x-2 \\ (E)\ & 4\ cos^{2}x-4 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
f(x)\ &= \left( sin\ x\ + cos\ x \right)^{2} \\ &= sin^{2} x\ + cos^{2} x + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + sin\ 2x \\ f'(x) &= 2\ cos\ 2x \\ &= 2\ \left( 2cos^{2}x-1 \right) \\ &= 4\ cos^{2}x-2 \end{align}$

Alternatif yang lain dapat juga kita gunakan sifat turunan yaitu:

$\begin{align}
f(x)\ &= \left( sin\ x\ + cos\ x \right)^{2} \\ f'(x) &= 2 \left( sin\ x\ + cos\ x \right) \left( cos\ x\ - sin\ x \right) \\ &= 2 \left( cos^{2}\ x\ - sin^{2}\ x \right) \\ &= 2 \left( cos^{2}\ x\ - 1 +cos^{2}\ x \right) \\ &= 2 \left( 2cos^{2}\ x\ - 1 \right) \\ &= 4\ cos^{2}x- 2 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4\ cos^{2}x-2$

15. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)

Jika $f\left( x \right)= \sqrt{1+sin^{2}x},\ 0 \leq x \leq \pi$, maka $f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right)$ sama dengan...

$\begin{align} (A)\ & \left( 1+sin^{2}x \right) sin\ x\ cos\ x \\ (B)\ & \left( 1+sin^{2}x \right) \\ (C)\ & sin\ x\ cos\ x \\ (D)\ & sin\ x \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \sqrt{1+sin^{2}x} \\ f\left( x \right)\ &= \left( 1+sin^{2}x \right)^{\frac{1}{2}} \\ f'\left( x \right)\ &= \frac{1}{2} \cdot \left( 1+sin^{2}x \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ \hline f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right) &= \sqrt{1+sin^{2}x} \cdot \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ &= sin\ x \cdot cos\ x \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ sin\ x\ cos\ x$

16. Soal UM UGM 2005 Kode 621 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f\left( x \right)= x\ sin\ 3x$, maka $f'\left( \frac{\pi}{4} \right)$ sama dengan...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(1+ \dfrac{3\pi}{4} \right)\\ (B)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left(1+ \dfrac{3\pi}{4} \right)\\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(1- \dfrac{3\pi}{4} \right)\\ (D)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \dfrac{3\pi}{4}-1 \right)\\ (E)\ & \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \left(1+ \dfrac{3\pi}{4} \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= x\ sin\ 3x \\ \hline & u\ = x \rightarrow u'=1 \\ & v\ = sin\ 3x \rightarrow v'= 3\ cos\ 3x \\ \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'(x) &= 1 \cdot sin\ 3x + x \cdot 3\ cos\ 3x \\ &= sin\ 3x + 3x \cdot cos\ 3x \\ f'\left( \frac{\pi}{4} \right) &= sin\ 3\left( \frac{\pi}{4} \right) + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot cos\ 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \\ &= sin\ 135^{\circ} + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot cos\ 135^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ &= \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \left(1 - 3 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(1- \dfrac{3\pi}{4} \right)$

17. Soal UM UGM 2006 Kode 381 (*Soal Lengkap)

Jika $f\left( x \right)= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x}$, dengan $cos\ x +sin x \neq 0$ maka $f'\left( x \right)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 1- \left( f(x) \right)^{2}\\ (B)\ & -1+\left( f(x) \right)^{2}\\ (C)\ & - \left(1+ \left( f(x) \right)^{2} \right) \\ (D)\ & 1 + \left( f(x) \right)^{2}\\ (E)\ & \left( f(x) \right)^{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x} \\ \hline & u\ = cos\ x -sin\ x \rightarrow u'=-sin\ x - cos\ x \\ & v\ = cos\ x + sin\ x \rightarrow v'= -sin\ x + cos\ x \\ \hline f(x)\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'(x) &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{\left( -sin\ x - cos\ x \right)\left( cos\ x + sin\ x \right)-\left( cos\ x -sin\ x \right)\left( -sin\ x + cos\ x \right)}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} } \\ &= \dfrac{-\left( sin\ x + cos\ x \right)^{2} -\left( cos\ x -sin\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} } \\ &= \dfrac{-\left( sin\ x + cos\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2}} - \dfrac{\left( cos\ x -sin\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} }\\ &= -1 - \dfrac{\left( cos\ x -sin\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} }\\ &= -1 - \left( f(x) \right)^{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ - \left(1+ \left( f(x) \right)^{2} \right)$

18. Soal UMPTN 1994 Rayon B (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=x\ cos\ x$, maka $f'\left(x + \frac{\pi}{2} \right)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ (B)\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ (C)\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ (D)\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ (E)\ & -cos\ x\ + x\ sin\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk kita ingat bahwa $y=sin\ \left(\frac{\pi}{2}+x \right)=cos\ x$ dan $y=cos\ \left(\frac{\pi}{2}+x \right)=-sin\ x$.


$\begin{align} f(x) &= x\ cos\ x \\ f\left(x + \frac{\pi}{2} \right) &= \left(x + \frac{\pi}{2} \right)\ cos\ \left(x + \frac{\pi}{2} \right) \\ &= -\left(x + \frac{\pi}{2} \right)\ sin\ x \\ \hline & u\ = -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow u'=-1 \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'= cos\ x \\ \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'\left(x \right) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ \hline f' \left(x + \frac{\pi}{2} \right) &= -1 \cdot sin\ x -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x - x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{pi}{2}\ cos\ x$


19. Soal UMPTN 2001 Rayon C (*Soal Lengkap)

Garis $g$ menyinggung kurva $y=sin\ x + cos\ x$ di titik yang berabsis $\dfrac{1}{3}\pi$. Gradien garis yang tegak lurus pada garis $g$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 1-\sqrt{3} \\ (B)\ & 1+\sqrt{3} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.


$\begin{align} y &= sin\ x + cos\ x \\ y' &= cos\ x - sin\ x \\ \hline m_{x=\frac{1}{3}\pi} &= cos\ \frac{1}{3}\pi - sin\ \frac{1}{3}\pi \\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$

Gradien garis yang tegak lurus dengan garis singgung $g$ bergradien $m_{g}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah:
$\begin{align} m_{g} \cdot m_{l} &= -1 \\ m_{l} &= \dfrac{-1}{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2 \left( 1 + \sqrt{3} \right)}{1-3} \\ &= 1 + \sqrt{3} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1+\sqrt{3}$

20. Soal SNMPTN 2011 Kode 578 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f\left( x \right)=x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x$. Persamaan garis singgung di $f$ yang melalui titik asal adalah...

$\begin{align} (A)\ & x=0 \\ (B)\ & y=0 \\ (C)\ & y=x \\ (D)\ & y=-x \\ (E)\ & \text{tidak ada} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Gradien garis Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.


$\begin{align} f\left( x \right) &= x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x \\ f'\left( x \right) &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ \end{align}$

Gradien garis singgung pada kurva yang melalui titik asal adalah:
$\begin{align} m_{g} &= \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &= \frac{1}{3} \cdot \left( 0 \right)^{-\frac{2}{3}}\ sin\ \left( 0 \right) + \left( 0 \right)^{ \frac{1}{3}}\ cos\ \left( 0 \right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ &= 0 \end{align}$

Garis singgung melaluit titik asal $\left( 0,0 \right)$ dengan gradien $m=0$ adalah:
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left(x-x_{1} \right) \\ y-0 &= 0 \left(x- 0 \right) \\ y &= 0 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y=0$

21. Soal SNMPTN 2010 KOde 528 (*Soal Lengkap)

Jika garis singgung kurva $y=2x\ cos^{3} x$ di titik $\left( \pi, -2\pi \right)$ tegak lurus dengan garis $g$, maka persamaan garis $g$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & y=2x-3\pi \\ (B)\ & y=2x+\pi \\ (C)\ & y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\pi \\ (D)\ & y=-\dfrac{1}{2}x+3\pi \\ (E)\ & y=\dfrac{1}{2}x+\pi \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.


$\begin{align} y &= 2x\ cos^{3} x \\ y' &= 2 \cdot cos^{3}\ x +2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x \left( -sin\ x \right) \\ &= 2 \cdot cos^{3}\ x - 2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x\ sin\ x \\ \hline m_{x=\pi} &= 2 \cdot cos^{3}\ \pi - 2\pi \cdot 3 \cdot cos^{2}\ \pi\ sin\ \pi \\ &= 2 \cdot (-1)^{3} - 2\pi \cdot 3 \cdot (-1)^{2}\ (0) \\ &= 2 \cdot (-1) - 0 = -2 \end{align}$

Karena dua garis yang tegak lurus perkalian gradiennya adalah $-1$ sehingga gradien garis yang tegak lurus dengan garis bergradien $m_{g}=-2$ adalah $ m_{l}=\dfrac{1}{2} $

Persamaan garis di titik $\left( \pi, -2\pi \right)$ yang tegak lurus dengan garis $g$ adalah
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left(x-x_{1} \right) \\ y+2\pi &= \dfrac{1}{2} \left(x- \pi \right) \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{1}{2}\pi -2\pi \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi $

22. Soal SIMAK UI 2012 Kode 523 (*Soal Lengkap)

Diberikan $f(x)=sin^{2}x$. Jika $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x)$, maka $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & sin\ 2x \\ (B)\ & -cos\ 2x \\ (C)\ & 2\ cos\ 2x \\ (D)\ & 2\ sin\ x \\ (E)\ & -2\ cos\ x \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Bentuk limit $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \}$ pada soal memiliki kemiripan dengan definisi turunan fungsi yaitu:
$\begin{align} y &= f(x) \\ f'(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f(x+p)-f(x)}{p} \\ f''(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f'(x+p)-f'(x)}{p} \\ f^{(3)}(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f''(x+p)-f''(x)}{p} \\ \vdots & \end{align}$

Jika kita misalkan $h=\dfrac{1}{a}$ maka kita peroleh $a=\dfrac{1}{h}$

Lalu untuk $h \rightarrow \infty$ kita peroleh $a \rightarrow 0$

Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan pada soal, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} & \lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{1}{a} \left\{ f' \left ( x+ a \right ) -f'(x)\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{ f' \left ( x+ a \right ) -f'(x)}{a} \end{align}$

Dari bentuk di atas dapat kta simpulkan bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan kedua dari fungsi $f(x)=sin^{2}x$, yaitu:
$\begin{align} f(x) &= sin^{2}x \\ f'(x) &= 2\ \cdot sin\ x\ cos\ x \\ f''(x) &= 2\ \cdot cos\ x\ \cdot cos\ x + 2 \cdot sin\ x \cdot \left(-sin\ x \right) \\ &= 2\ \cdot cos^{2}x - 2 \cdot sin^{2}x \\ &= 2\ \left( cos^{2}x - sin^{2}x \right) \\ &= 2\ cos\ 2x \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\ cos\ 2x$

23. Soal UM UGM 2014 Kode 532 (*Soal Lengkap)

Jika $f\left( x \right)= \left( sin\ x + cos\ x \right)\left( cos\ 2x + sin\ 2x \right)$ dan $f'\left( x \right)=2\ cos\ 3x +g(x)$ maka $g(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & cos\ 3x +sin\ x \\ (B)\ & cos\ 3x -sin\ x \\ (C)\ & cos\ x +sin\ x \\ (D)\ & cos\ x - sin\ x \\ (E)\ & -cos\ x + sin\ x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita mungkin memerlukan catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada perbandingan trigonometri.

$\begin{align} f\left( x \right) &= \left( sin\ x + cos\ x \right)\left( cos\ 2x + sin\ 2x \right)\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x \\ &= sin \left( 2x+x \right) + cos \left(2x-x \right) \\ &= sin \left( 3x \right) + cos \left( x \right) \\ f'\left( x \right)\ &= 3\ cos \left( 3x \right) - sin \left( x \right) \\ &= 2\ cos \left( 3x \right) + cos \left( 3x \right) - sin \left( x \right) \\ \hline f'\left( x \right)\ &= 2\ cos \left( 3x \right) + g \left( x \right) \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ cos\ 3x -sin\ x$

24. Soal SBMPTN 2014 Kode 589/586 (*Soal Lengkap)

Jika $f\left( x \right)= 2x + sin\ 2x$ untuk $-\dfrac{\pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} $, maka $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left ( tan\ x \right )^{i} \\ (B)\ & 4\ \left ( 1-cos^{2}x \right ) \\ (C)\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i} \\ (D)\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left ( -sin\ x \right )^{2i} \\ (E)\ & 4\ cos\ 2x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f\left( x \right) &= 2x + sin\ 2x \\ f '\left( x \right) &= 2 + 2\ cos\ 2x \\ &= 2 \left(1 + cos\ 2x \right) \\ &= 2 \left(1 + 2cos^{2}x-1 \right) \\ &= 4cos^{2}x \end{align}$

Sampai pada langkah di atas kita belum mendapatkan jawaban seperti apa yang diinginkan pembuat soal. Kita coba mengeksplorasi beberapa pilihan yang ada. Untuk pilihan $(B)$ dan $(E)$ sudah tidak mungkin lagi menjadi jawaban, sehingga yang perlu kita eksplorasi adalah pilihan $(A)$, $(C)$, atau $(D)$.

Disini yang kita pilih untuk di eksplorasi adalah pilihan $(C)\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i}$

$\begin{align} & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i} \\ & =4 \left [ \left( -1 \right )^{0} \left ( tan\ x \right )^{2(0)}+\left( -1 \right )^{1} \left ( tan\ x \right )^{2(1)} + \left( -1 \right )^{2} \left ( tan\ x \right )^{2(2)} +\cdots \right]\\ & =4 \left[ \left( 1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{0}+\left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{2 }+(1) \left ( tan\ x \right )^{4} +\left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{6} +\cdots \right] \\ & = 4 \left[ 1 + \left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{2 }+\left( 1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{4} +\left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{6} +\cdots \right] \\ \hline & a=1\ \text{dan}\ r=-tan^{2}x \\ & S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline & = 4 \left[ \dfrac{1}{1+ tan^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ \dfrac{1}{sec^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ cos^{2}x \right] \\ \end{align}$

Dari hasil eksplorasi di atas kita peroleh $4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i} = 4 \left[ cos^{2}x \right]$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i}$

25. Soal SBMPTN 2015 Kode 534 (*Soal Lengkap)

Fungsi $f\left( x \right)= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}$ untuk $- \pi \lt x \lt 2\pi$, turun pada interval...

$\begin{align} (A)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{5\pi}{12} \\ (B)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \\ (C)\ & \dfrac{\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\ (D)\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{7\pi}{12} \\ (E)\ & -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi} \\ f '\left( x \right) &= -\dfrac{-2\ cos\ x\ sin\ x + \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{2\ cos\ x\ sin\ x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \end{align}$

Agar $f\left( x \right)$ turun maka $f'\left( x \right) \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} f '\left( x \right) & \lt 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & \lt 0 \\ \end{align}$

Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:

$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & = 0 \\ sin\ 2x - \frac{1}{2} & = 0 \\ sin\ 2x & = \frac{1}{2} \\ sin\ 2x & =sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 2x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{11\pi}{12},\frac{ \pi}{12},\frac{13\pi}{12} \\ \hline 2x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 2x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{7\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{17\pi}{12} \end{align}$

Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \lt 0$


Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $(E)\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya.


Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ yaitu $x=0$
$\begin{align} f '\left( x \right) &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 2(0) - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}(0)+\frac{0}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{- \frac{1}{2}}{2+\pi} \lt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \lt 0 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$

26. Soal SBMPTN 2015 Kode 541 (*Soal Lengkap)

Fungsi $f\left( x \right)= \sqrt{cos^{2}2x+x}$ untuk $ x \gt 0$, naik pada interval...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{12} \\ (B)\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24} \\ (C)\ & \dfrac{7\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{6} \\ (D)\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{24} \\ (E)\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{12} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= \sqrt{cos^{2}2x+x} \\ f '\left( x \right) &= \dfrac{-2\ cos\ 2x\ \cdot 2 \cdot sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-4\ cos\ 2x\ sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \end{align}$

Agar $f\left( x \right)$ naik maka $f'\left( x \right) \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} f '\left( x \right) & \gt 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & \gt 0 \\ \end{align}$

Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:

$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & = 0 \\ -2 sin\ 4x +1 & = 0 \\ 2sin\ 4x & = 1 \\ sin\ 4x & = \dfrac{ 1}{2} \\ sin\ 4x & = sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 4x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2}\\ x & =\frac{\pi}{24},\ \frac{13 \pi}{12},\ \frac{25\pi}{24},\cdots \\ \hline 4x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 4x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2} \\ x & = \frac{5\pi}{24},\ \frac{17\pi}{24},\ \frac{29\pi}{24},\cdots \end{align}$

Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \gt 0$


Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $(B)\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya.


Kita uji nilai $x$ dari $\dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ yaitu $x=\dfrac{12\pi}{24}=90$
$\begin{align} f '\left( x \right) &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 4(90) +1}{2\sqrt{1+(90)}} \\ &= \dfrac{0+1}{2\sqrt{1+(90)}} \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{1+(90)}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \gt 0 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$

26. Soal SBMPTN 2015 Kode 510 (*Soal Lengkap)

Fungsi $f\left( x \right)= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}$ untuk $ -\pi \leq x \leq \pi$, turun pada interval...

$\begin{align} (A)\ & 0 \leq x \leq \dfrac{ \pi}{ 2} \\ (B)\ & 0 \lt x \lt \pi \\ (C)\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq 0 \\ (D)\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq \dfrac{\pi}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x} \\ f '\left( x \right) &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \end{align}$

Agar $f\left( x \right)$ turun maka $f'\left( x \right) \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} f '\left( x \right) & \lt 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & \lt 0 \\ \end{align}$

Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:

$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & = 0 \\ \frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x & = 0 \\ cos\ x & = \frac{x}{\sqrt{2}} \\ cos\ x & = cos\ \frac{ \pi}{4} \\ \hline x & =\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{\pi}{4} \\ \hline x & =-\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =-\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} \\ \end{align}$

Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \gt 0$


Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $(E)\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya.


Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ yaitu $x=0$
$\begin{align} f '\left( x \right) &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ 0}{2\sqrt{2+\frac{0}{\sqrt{2}}-sin\ 0}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- 1}{2\sqrt{2+0-0}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \lt 0 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$

27. Soal UMPTN 1996 Rayon A (*Soal Lengkap)

Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}+1 \\ (B)\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}-1 \\ (C)\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{8}-1 \\ (D)\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}-1 \\ (E)\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Gradien garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ adalah:
$\begin{align}
y & = tan\ x \\ m=y' & = sec^{2} x \\ & = \dfrac{1}{cos^{2}\ x} \\ & = \dfrac{1}{cos^{2} \left( \frac{\pi}{4} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left( \frac{1}{2} \sqrt{2} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left( \frac{1}{4} \cdot 2 \right)} = 2
\end{align}$
Dua garis saling tegak lurus maka perkalian kedua gradien garis adalah $-1$ atau $m_{1} \cdot m_{2}=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva gradiennya adalah $m=-\dfrac{1}{2}$.

Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva di titik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ dan $m=-\dfrac{1}{2}$ adalah:

$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2} \left( x-\frac{\pi}{4} \right) \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8} \\ y & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8}+1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1$


28. Soal SIMAK UI 2010 Kode 205 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui $f(x)= \left| tan (x) \right|$, maka laju perubahan $f(x)$ pada saat $x=k$, dimana $\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$ akan sama dengan...

$\begin{align} (A)\ & -sin\ (k) \\ (B)\ & cos\ (k) \\ (C)\ & -sec^{2}\ (k) \\ (D)\ & sec^{2}\ (k) \\ (E)\ & cot\ (k) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan definisi nilai mutlak fungsi $f(x)= \left| tan (x) \right|$ dapat kita tuliskan,
$ \left| tan (x) \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
tan (x),\ \text{untuk}\ tan (x) \geq 0 \\
-tan (x),\ \text{untuk}\ tan (x) \lt 0
\end{array} \right.$


Untuk $k=x$ dan $\dfrac{\pi}{2} \lt k \lt \pi$ maka $x$ berada di kuadran II diperoleh $tan (x)$ bernilai negatif sehingga $f(x)=- tan\ x$.


Laju perubahan $f(x)$ terhadap $x$ dapat kita tuliskan $\dfrac{df(x)}{dx}=-sec^{2}x$, dan laju perubahan $f(x)$ pada saat $x=k$ adalah $\dfrac{df(k)}{dx}=-sec^{2}k$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -sec^{2}\ (k)$

29. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)

$y= sin\left ( sin\left ( sin\left ( sin\left ( \cdots\left ( sin\left ( sin\ (x) \right ) \right ) \right ) \cdots \right ) \right ) \right ) $ Tentukan $\dfrac{dy}{dx}$ pada $x=0$.

$\begin{align} (A)\ & - \infty \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \infty \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal di atas kita lakukan dengan beberapa eksplorasi dengan fungsi yang sederhana.

Untuk $y=sin(x)$
$\begin{align} f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos(x) \\ f'(0)\ & =cos(0) \\ = 1 \end{align}$


Untuk $y=sin\left ( sin\ (x) \right )$
$\begin{align} f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos\left ( sin\ (x) \right ) \cdot cos(x) \\ f'(0)\ & =cos\left ( sin\ (0) \right ) \cdot cos(0) \\ & =cos\left ( 0 \right ) \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$


Untuk $y=sin\left ( sin \left ( sin\ (x) \right ) \right )$
$\begin{align} f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos \left ( sin \left ( sin\ (x) \right ) \right ) \cdot cos \left ( sin\ (x) \right ) \cdot cos(x) \\ f'(0)\ & =cos \left ( sin \left ( sin\ (0) \right ) \right ) \cdot cos \left ( sin\ (0) \right ) \cdot cos(0) \\ & =cos \left ( sin \left ( 0 \right ) \right ) \cdot cos \left ( 0 \right ) \cdot 1 \\ & =cos \left ( 0 \right ) \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$

Jika kita lakukan eksplorasi pada langkah berikutnya hasilnya juga adalah $1$ dan ini menjawab untuk fungsi $y= sin\left ( sin\left ( sin\left ( sin\left ( \cdots\left ( sin\left ( sin\ (x) \right ) \right ) \right ) \cdots \right ) \right ) \right ) $ hasilnya adalah $1$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$


Beberapa pembahasan soal Turunan Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™ Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "20+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri " silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar