The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Penerapan Turunan Fungsi Aljabar. Sedikit tentang penerapan turunan fungsi ini sebelumnya sudah kita diskusikan pada catatan Pembahasan Soal Uji Kompetensi dari Buku Matematika Peminatan SMA Kelas XII.
LANGKAH-LANGKAH MENYELESAIKAN SOAL PENERAPAN TURUNAN FUNGSI
Ada beberapa langkah yang harus kita perhatikan dalam menggunakan turunan fungsi untuk menyelesaikan masalah matematik yang mungkin berhubungan langsung dengan kehidupan sehari-hari kita, antara lain:
- Menentukan varibel-variabel fungsi.
- Menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
- Menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi.
NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM FUNGSI
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN PENERAPAN TURUNAN FUNGSI
Sebagai bahan belajar dan latihan penerapan turunan fungsi aljabar mari kita simak beberapa soal berikut. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Matematika SMA Penerapan Turunan Fungsi Aljabar atau soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
1. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Dua buah bilangan bulat positip mempunyai hasil kali $100$. Supaya jumlah kedua bilangan itu sekecil-kecilnya, maka selisih kedua bilangan itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Misalkan dua buah bilangan real adalah $a$ dan $b$, sehingga kita peroleh $a \cdot b =100$ atau $b =\dfrac{100}{a}$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misalkan hasil jumlah kedua bilangan itu $H$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
H\ &= a + b \\
H\ &= a + \dfrac{100}{a} \\
H\ &= a+100 a^{-1}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
H\ &= a+100 a^{-1} \\
H'\ &= 1-100a^{-2} \\
H''\ &= 200a^{-3} \\
\hline
H'\ &= 0 \\
1-100a^{-2} &= 0 \\
a^{2}-100 &= 0 \\
\left( a-10 \right) \left( a+10 \right) &= 0 \\
a=10\ \text{atau}\ a=-10 & \\
\end{align}$
Untuk $a=-10$ tidak memenuhi, tapi sebagai bahan latihan coba kita periksa:
$\begin{align}
H''\ &= 200a^{-3} \\
&= 200\left( -10 \right)^{-3} \\
&= -\dfrac{1}{5} \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $H'' \lt 0$ sehingga $a=-10$ adalah pembuat maksimum $H=a+b$ jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real.
Untuk $a=10$ kita peroleh
$\begin{align}
H''\ &= 200a^{-3} \\
&= 200\left( 10 \right)^{-3} \\
&= \dfrac{1}{5} \gt 0 \\
\end{align}$
Karena $H'' \gt 0$ sehingga $a=10$ adalah pembuat minimum $H=a+b$.
Untuk $a=10$ dan $a \cdot b =100$ kita peroleh $b=10$ sehingga selisih kedua bilangan itu adalah $a-b=0$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
2. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Suatu persegi panjang mempunyai keliling $100\ cm$. Luas maksimum persegi panjang itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Misalkan panjang dan lebar persegi panjang adalah $p$ dan $l$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
K\ &= 2p + 2l \\
100\ &= 2p + 2l \\
50\ &= p + l \\
l\ &= 50-p
\end{align}$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misalkan Luas persegi adalah $L$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
L\ &= p \cdot l \\
L\ &= p \cdot \left( 50-p \right) \\
L\ &= 50p - p^{2}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
L\ &= 50p - p^{2} \\
L'\ &= 50-2p \\
L''\ &= -2 \\
\hline
L'\ &= 0 \\
50-2p &= 0 \\
2p &= 50 \\
p &= 25
\end{align}$
Untuk $p=25$ kita peroleh
$\begin{align}
L''\ &= -2 \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $L'' \lt 0$ sehingga $p=25$ adalah pembuat maksimum $L=p \cdot l$.
Untuk $p=25$ dan $ p + l=50$ kita peroleh $l=25$ sehingga $L=p \cdot l=25 \cdot 25 =625$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 625\ cm^{2}$
3. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Luas seluruh sisi balok $96\ cm^{2}$ apabila alasnya berbentuk persegi, maka paling besar balok tersebut dapat dibuat dengan volume...$cm^{2}$
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Misalkan tinggi balok adalah $t$ dan panjang sisi alas persegi adalah $p$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
96 &= 2 \cdot p \cdot p + 4 \cdot p \cdot t \\
96 &= 2p^{2} + 4pt \\
4pt\ &= 96-2p^{2} \\
t\ &= \dfrac{96-2p^{2}}{4p}
\end{align}$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misalkan Volume balok adalah $V$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
V\ &= p \cdot p \cdot t \\
V\ &= p \cdot p \cdot \dfrac{96-2p^{2}}{4p} \\
V\ &= \dfrac{96p-2p^{3}}{4} \\
V\ &= 24p-\dfrac{1}{2}p^{3}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
V\ &= 24p-\dfrac{1}{2}p^{3} \\
V'\ &= 24 -\dfrac{3}{2}p^{2} \\
V''\ &= -3p \\
\hline
V'\ &= 0 \\
24 -\dfrac{3}{2}p^{2} &= 0 \\
p^{2}-16 &= 0 \\
\left( p-4 \right) \left( p+4 \right) &= 0 \\
p=4\ \text{atau}\ p=-4\ & \text{(TM)} \\
\end{align}$
Untuk $p=4$ kita peroleh
$\begin{align}
V''\ &= -3p \\
V''\ &= -3(4)=-12 \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $V'' \lt 0$ sehingga $p=4$ adalah pembuat maksimum $V=p \cdot p \cdot t$.
Untuk $p=4$ dan $96=2p^{2} + 4pt$ kita peroleh $t=4$ sehingga $V=4 \cdot 4 \cdot 4=64$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 64\ cm^{2}$
4. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Pada gambar berikut ini tampak sebagian dari talang air terbuat dari seng. Jika lebar seng $80\ cm$ maka tinggi talang supaya dapat menampung air sebanyak-banyaknya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Misalkan tinggi talang adalah $t$ dan lebar talang adalah $l$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
80 &= l + 2 \cdot t \\
l &= 80-2t
\end{align}$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misalkan Volume talang adalah $V$ dan panjang talang adalah relatif tergantung kebutuhan maka panjang talang kita misalkan dengan $1$ satuan panjang, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
V\ &= p \cdot l \cdot t \\
V\ &= 1 \cdot \left( 80-2t \right) \cdot t \\
V\ &= 80t-2t^{2}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
V\ &= 80t-2t^{2} \\
V'\ &= 80 - 4t \\
V''\ &= -4 \\
\hline
V'\ &= 0 \\
80 - 4t &= 0 \\
4t &= 80 \\
t &= 20
\end{align}$
Untuk $t=20$ kita peroleh
$\begin{align}
V''\ &= -4\ \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $V'' \lt 0$ sehingga $t=20$ adalah pembuat maksimum $V=p \cdot l \cdot t$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20\ cm$
5. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Sebuah prisma dimana alasnya berbentuk segitiga siku-siku sama kaki sedangkan isinya $V = 4 \left(2 – \sqrt{2} \right) m^{3}$. Jika prisma itu dibuat sehingga luas permukaannya minimum, maka luas alasnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Misalkan tinggi prisma adalah $t$ dan panjang sisi segitiga siku-siku yang sama adalah $a$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
V &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot t \\
4 \left(2 – \sqrt{2} \right) &= \dfrac{1}{2}a^{2}t \\
\dfrac{8 \left(2 – \sqrt{2} \right)}{a^{2}} &= t
\end{align}$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misalkan Luas permukaan prisma adalah $L$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
L\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{2}a^{2} + 2 \cdot a \cdot t + a\sqrt{2} \cdot t \\
L\ &= a^{2} + 2a \cdot \dfrac{8 \left(2 – \sqrt{2} \right)}{a^{2}} + a\sqrt{2} \cdot \dfrac{8 \left(2 – \sqrt{2} \right)}{a^{2}} \\
L\ &= a^{2} + 16 \left(2 – \sqrt{2} \right)a^{-1} + 8 \left(2\sqrt{2} – 2 \right)a^{-1} \\
L\ &= a^{2} + \left(32 – 16\sqrt{2} \right)a^{-1} + \left(16 \sqrt{2}-16 \right)a^{-1} \\
L\ &= a^{2}+16 a^{-1}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
L\ &= a^{2}+16 a^{-1} \\
L'\ &= 2a-16a^{-2} \\
L''\ &= a+32a^{-3} \\
\hline
L'\ &= 0 \\
2a-16a^{-2} &= 0 \\
2a^{3}-16 &= 0 \\
2a^{3} &= 16 \\
a^{3} &= 8\ \longrightarrow a=\sqrt[3]{8}=2
\end{align}$
Untuk $a=2$ kita peroleh
$\begin{align}
L''\ &= a+32a^{-3} \\
L''\ &= (2)+32(2)^{-3} \\
L''\ &= 6\ \gt 0 \\
\end{align}$
Karena $L'' \gt 0$ sehingga $a=2$ adalah pembuat minimum $L= 2 \cdot \dfrac{1}{2}a^{2} + 2t + a\sqrt{2} \cdot t$.
Sehingga dapat kita peroleh luas alas adalah $L_{\bigtriangleup}=\dfrac{1}{2}a^{2}=2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
6. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu $t$ menit ditentukan menurut fungsi $s(t) =-\dfrac{1}{3}t^{3}+3t^{2}-5t$. Kecepatan tertinggi mobil itu dicapai pada waktu...menit
Alternatif Pembahasan:
Pada soal di atas fungsi sudah diberikan yaitu $s(t) =-\dfrac{1}{3}+3t^{2}-5t$ sehingga kita dapat langsung ke langkah ketiga.
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
s(t) &= -\dfrac{1}{3}t^{3}+3t^{2}-5t \\
\hline
v(t) &= \dfrac{ds}{dt} \\
v(t) &= -t^{2}+6t -5 \\
v'(t) &= -2t +6 \\
v''\ &= -2 \\
\hline
v'\ &= 0 \\
-2t +6 &= 0 \\
-2t &= -6 \\
t &= 3
\end{align}$
Untuk $t=3$ kita peroleh
$\begin{align}
v''\ &= -2\ \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $v'' \lt 0$ sehingga $t=2$ adalah pembuat maksimum $v(t)= -t^{2}+6t -5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
7. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Pada gambar berikut tampak garis $y = 8 – 2x$ di dalam segitiga $OAB$ dibuat persegi panjang. Supaya luas persegi panjang itu maksimum, maka koordinat $P$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Sudah kita peroleh dari persamaan garis $y = 8 – 2x$.
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misalkan Luas persegi panjang adalah $L$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
L\ &= x \cdot y \\
L\ &= x \cdot \left( 8 – 2x \right) \\
L\ &= 8x – 2x^{2}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
L\ &= 8x – 2x^{2} \\
L'\ &= 8-4x \\
L''\ &= -4 \\
\hline
L'\ &= 0 \\
8-4x &= 0 \\
4x &= 8 \\
x &= 2
\end{align}$
Untuk $x=2$ kita peroleh
$\begin{align}
L''\ &= -4\ \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $L'' \lt 0$ sehingga $x=2$ adalah pembuat maksimum $L= x \cdot y$.
Untuk $x=2$ dan $y = 8 – 2x$ kita peroleh $y=4$ sehingga $P\left( 2,4 \right)$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ P\left( 2,4 \right)$
8. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Pada gambar berikut tampak persegi $ABCD$ dengan sisi $20\ cm$ dan diketahui panjang $BE=2x\ cm$ serta $CF=x\ cm$. Luas minimum segitiga $AEF$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Dari gambar di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\left[ ABCD \right]\ &= \left[ ABE \right] + \left[ ECF \right] + \left[ ADF \right] + \left[ AEF \right] \\
400\ &= \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 2x + \frac{1}{2} \cdot x \cdot \left( 20-2x \right) + \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \left( 20-x \right) + \left[ AEF \right] \\
400\ &= 20x - x^{2} + 10x + 200-10x + \left[ AEF \right] \\
400\ &= -x^{2} + 20x + 200 + \left[ AEF \right] \\
\left[ AEF \right]\ &= x^{2} - 20x + 200 \\
L_{AEF}\ &= x^{2} - 20x + 200
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
L_{AEF}\ &= x^{2} - 20x + 200 \\
L'\ &= 2x-20 \\
L''\ &= 2 \\
\hline
L'\ &= 0 \\
2x-20 &= 0 \\
2x &= 20 \\
x &= 10
\end{align}$
Untuk $x=10$ kita peroleh
$\begin{align}
L''\ &= 2 \gt 0 \\
\end{align}$
Karena $L'' \gt 0$ sehingga $x=10$ adalah pembuat minimum $L_{AEF} = x^{2} - 20x + 200$.
Untuk $x=10$ kita peroleh $L_{AEF} = 100$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 100\ cm^{2}$
9. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Volume sebuah balok dengan volume $36\ cm^{3}$. Alas balok berbentuk persegi panjang dengan panjang tiga kali lebarnya. Jika balok itu dibuat dengan luas permukaan sekecil mungkin, maka tingginya menjadi...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Kita misalkan panjang balok $p$, lebar balok $l$, dan tinggi balok $t$, dan dari keterangan pada soal yaitu $p = 3l$ dan sebagai tambahan ilustrasi dapat diperhatikan seperti pada gambar di bawah ini:
$\begin{align} V\ &= p \cdot l \cdot t \\ 36 \ &= 3l \cdot l \cdot t \\ 36\ &= 3l^{2}t \\ t\ &= \dfrac{12}{l^{2}} \end{align}$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misalkan Luas permukaan balok adalah $L$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
L\ &= 2 \left( p \cdot t \right)+2 \left( l \cdot t \right)+ 2 \left( p \cdot l \right) \\
L\ &= 2 \left( 3l \cdot \dfrac{12}{l^{2}} \right)+2 \left( l \cdot \dfrac{12}{l^{2}} \right)+ 2 \left( 3l \cdot l \right) \\
&= 72l^{-1} +24l^{-1} + 6l^{2} \\
&= 96l^{-1} + 6l^{2}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
L\ &= 96l^{-1} + 6l^{2} \\
L'\ &= -96l^{-2} + 12l \\
L''\ &= 192l^{-3} + 12 \\
\hline
L'\ &= 0 \\
-96l^{-2} + 12l &= 0 \\
-96 + 12l^{3} &= 0 \\
12l^{3} &= 96 \\
l^{3} &= 8 \longrightarrow l=\sqrt[3]{8}=2
\end{align}$
Untuk $l=2$ kita peroleh
$\begin{align}
L''\ &= 192l^{-3} + 12 \\
L''\ &= 192(2)^{-3} + 12 \\
L''\ &= 36\ \gt 0 \\
\end{align}$
Karena $L'' \gt 0$ sehingga $l=2$ adalah pembuat minimum $L$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\ cm$
10. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Sebuah benda diluncurkan ke bawah suatu permukaan miring dengan persamaan gerak $s(t) = t^{3}-6t^{2}+12t+1$. Waktu yang dibutuhkan agar percepatan benda $48\ \dfrac{m}{s^{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal di atas fungsi sudah diberikan yaitu $s(t) = t^{3}-6t^{2}+12t+1$ sehingga kita dapat langsung ke langkah ketiga.
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
$\begin{align}
s(t) &= t^{3}-6t^{2}+12t+1 \\
\hline
v(t) &= \dfrac{ds}{dt} \\
v(t) &= 3t^{2}-12t +12 \\
\hline
a(t) &= \dfrac{dv}{dt} \\
a(t) &= 6t -12
\end{align}$
Untuk $a=48$ dalam waktu $t$ detik kita peroleh
$\begin{align}
a(t) &= 6t -12 \\
48 &= 6t -12 \\
6t &= 60\ \longrightarrow t=10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10\ \text{detik}$
11. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Diketahui sebuah segitiga sama sisi $ABC$ dengan sisi $12\ cm$. Dalam segitiga itu dibuat persegi panjang dengan alas terletak pada $AB$ dan kedua titik sudut lainnya terletak pada kaki segitiga tersebut. Segiempat tersebut maksimum dapat dibuat dengan luas...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Panjang sisi segitiga sama sisi adalah $12\ cm$, variabel tambahan dan berdasarkan keterangan dari soal dapat kita lihat pada gambar segitiga $ABC$ dan persegi panjang seperti berikut ini:
Untuk menyederhanakan perhitungan, luas daerah segitiga yang kita gunakan hanya setengah yaitu $18\sqrt{3}\ cm^{2}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \left[ABC \right] \ &= \dfrac{1}{2} \cdot BQ \cdot y + \dfrac{1}{2} \cdot RT \cdot CT+ x \cdot y \\
18\sqrt{3} \ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left( 6-x \right) \cdot y + \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot \left( 6\sqrt{3}-y \right)+ xy \\
18\sqrt{3} \ &= 3y-\dfrac{1}{2}xy + 3\sqrt{3}x-\dfrac{1}{2}xy + xy \\
18\sqrt{3} \ &= 3y+3\sqrt{3}x \\
y \ &= 6\sqrt{3}- \sqrt{3}x
\end{align}$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Luas persegi panjang adalah $xy$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
L\ &= xy \\
L\ &= x \left( 6\sqrt{3}- \sqrt{3}x \right) \\
&= 6\sqrt{3}x- \sqrt{3}x^{2}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
L &= 6\sqrt{3}x- \sqrt{3}x^{2} \\
L'\ &= 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}x \\
L''\ &= - 2\sqrt{3} \\
\hline
L'\ &= 0 \\
6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}x &= 0 \\
2\sqrt{3}x &= 6\sqrt{3} \\
x &= 3
\end{align}$
Untuk $x=3$ kita peroleh
$\begin{align}
L''\ &= - 2\sqrt{3}\ \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $L'' \lt 0$ sehingga $x=3$ adalah pembuat maksimum $L$.
Untuk $x=3$ dan $y = 6\sqrt{3}- \sqrt{3}x$ kita peroleh $y=3\sqrt{3}$ dan $L=xy=9\sqrt{3}$.
Luas maksimum persegipanjang dalam segitiga sama sisi adalah $2xy=18\sqrt{3}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 18\sqrt{3}\ cm^{2}$
12. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Untuk memproduksi $x$ potong pakaian jadi dalam $1$ hari diperlukan biaya produksi $\left(x^{2} + 8x + 15 \right)$ ribu rupiah, sedangkan harga jual per potong $\left( 40-x \right)$ ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang diperoleh per hari adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Dari informasi pada soal kita sudah peroleh biaya produksi $\left(x^{2} + 8x + 15 \right)$ dan harga jual per potong $\left( 40-x \right)$ ribu rupiah.
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misal Keuntungan adalah $K$, kita ketahui keuntungan diperoleh dari harga jual $x$ potong dikurangi biaya produksi $x$ potong sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
K\ &= x \left( 40-x \right) - \left( x^{2} + 8x + 15 \right) \\
K\ &= 40x -x^{2} - x^{2} - 8x - 15 \\
K\ &= -2x^{2}+32x - 15
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
K\ &= -2x^{2}+32x - 15 \\
K'\ &= -4x +32 \\
K''\ &= -4 \\
\hline
K'\ &= 0 \\
-4x +32 &= 0 \\
x &= 8
\end{align}$
Untuk $x=8$ kita peroleh
$\begin{align}
K''\ &= -4\ \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $K'' \lt 0$ sehingga $x=8$ adalah pembuat maksimum,
$\begin{align}
K\ &= -2x^{2}+32x - 15 \\
K\ &= -2(8)^{2}+32(8) - 15 \\
K\ &= -128+ 256 - 15 \\
K\ &= 113
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp113.000,00$
13. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $\left(3x – 900 + \dfrac{120}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu...hari
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Dari informasi pada soal kita sudah peroleh biaya proyek per hari $\left(3x – 900 + \dfrac{120}{x} \right)$.
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misal Biaya adalah $B$, sehingga biaya total selama $x$ hari kita peroleh:
$\begin{align}
B\ &= x \left(3x – 900 + \dfrac{120}{x} \right) \\
B\ &= 3x^{2} – 900x + 120
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
B\ &= 3x^{2} – 900x + 120 \\
B'\ &= 6x -900 \\
B''\ &= 6 \\
\hline
B'\ &= 0 \\
6x-900 &= 0 \\
x &= 150
\end{align}$
Untuk $x=150$ kita peroleh
$\begin{align}
B''\ &= 6\ \gt 0 \\
\end{align}$
Karena $B'' \gt 0$ sehingga $x=150$ adalah pembuat minimum.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 150$
14. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Dua kandang berdampingan masing-masing dengan ukuran $x\ m$, $y\ m$, dan luasnya $12\ m^{2}$. Agar panjang pagar yang diperlukan sesedikit mungkin maka panjang $x$ dan $y$ berturut-turut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Dengan ukuran $x\ m$, $y\ m$, dan luasnya $12\ m^{2}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
L\ &= x \cdot y \\
12\ &= x y \longrightarrow y= \dfrac{12}{x}
\end{align}$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Total panjang pagar yang dibutuhkan kita misalkan $P$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
P\ &= 4x+3y \\
P\ &= 4x+3 \left( \dfrac{12}{x} \right) \\
P\ &= 4x+ 36x^{-1}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
P &= 4x+ 36x^{-1} \\
P'\ &= 4 - 36x^{-2} \\
p''\ &= 72x^{-3} \\
\hline
L'\ &= 0 \\
4 - 36x^{-2} &= 0 \\
4x^{2} - 36 &= 0 \\
x^{2} - 9 &= 0 \\
x=3\ \text{atau}\ x=-3\ & \text{(TM)} \\
\end{align}$
Untuk $x=3$ kita peroleh
$\begin{align}
L''\ &= 72x^{-3} \\
L''\ &= 72(4)^{-3} \gt 0 \\
\end{align}$
Karena $L'' \gt 0$ sehingga $x=3$ adalah pembuat minimum $P = 4x+3y$.
Untuk $x=3$ dan $xy=14$ kita peroleh $y=4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3\ m\ \text{dan}\ 4\ m$
15. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Suatu perusahaan menghasilkan $x$ produk dengan biaya produksi sebesar $\left( 5000 + 2000x + 20x^{2} \right)$ ribu rupiah dengan $x \geq 0$. Jika semua produk perusahaan itu habis terjual dengan harga $Rp6.000.000,00$ untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Dari informasi pada soal kita sudah peroleh biaya produksi $\left( 5000 + 2000x + 20x^{2} \right)$ dalam ribuan.
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misal Laba adalah $L$. Penjualan adalah sebanyak $x$ untuk harga produk $Rp6.000.000,00$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
L\ &= \text{Penjualan}-\text{Biaya Produksi} \\
L\ &= 6000x – \left( 5000 + 2000x + 20x^{2} \right) \\
L\ &= -20x^{2}+4000x – 5000
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
L\ &= -20x^{2}+4000x – 5000 \\
L'\ &= -40x +4000 \\
L''\ &= -40 \\
\hline
L'\ &= 0 \\
-40x +4000 &= 0 \\
x &= 100
\end{align}$
Untuk $x=100$ kita peroleh
$\begin{align}
L''\ &= -40\ \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $L'' \lt 0$ sehingga $x=100$ adalah pembuat maksimum $L= -20x^{2}+4000x – 5000$ sehingga kita peroleh $L=195.000$ dalam ribuan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ Rp195.000.000,00$
16. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Sebuah balok akan dibuat dengan alasnya berbentuk persegi. Jika luas permukaan balok (bidang-bidang sisinya) adalah $24\ cm^{2}$, maka tentukanlah volume terbesar yang mungkin dicapai balok tersebut?
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Luas bidang sisinya $26\ cm^{2}$, variabel tambahan dan berdasarkan keterangan dari soal dapat kita lihat pada gambar berikut ini:
$\begin{align} L\ &= 2 \cdot x \cdot x + 4 \cdot x \cdot t \\ 24\ &= 2x^{2} + 4xt \\ 4xt\ &= 24-2x^{2} \\ t\ &= \dfrac{24-2x^{2}}{4x} \\ t\ &= 6x^{-1}-\dfrac{1}{2}x \end{align}$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Volume balok adalah $V=\text{Luas alas}\ \cdot t$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
V\ &= x^{2} \cdot t \\
V\ &= x^{2} \cdot \left( 6x^{-1}-\dfrac{1}{2}x \right) \\
V\ &= 6x -\dfrac{1}{2}x^{3}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
V &= 6x -\dfrac{1}{2}x^{3} \\
V'\ &= 6-\dfrac{3}{2}x^{2} \\
V''\ &= -3x \\
\hline
L'\ &= 0 \\
6-\dfrac{3}{2}x^{2} &= 0 \\
x^{2}-4 &= 0 \\
\left( x-2 \right) \left( x+2 \right) &= 0 \\
x=2\ \text{atau}\ x=-2\ & \text{(TM)} \\
\end{align}$
Untuk $x=2$ kita peroleh
$\begin{align}
V''\ &= -3x \\
V''\ &= -3(2)=-6 \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $V'' \lt 0$ sehingga $x=2$ adalah pembuat maksimum $V=6x -\dfrac{1}{2}x^{3}$. sehingga kita peroleh $V=8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8\ cm^{3}$
17. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Suatu persegi panjang, ukuran panjangnya $\left(8 – 2 x \right)\ cm$ dan lebar $\left(2 + x \right)\ cm$. Agar luas persegi panjang tersebut maksimum, maka panjangnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Ukuran panjangnya $\left(8 – 2 x \right)\ cm$ dan lebar $\left(2 + x \right)\ cm$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Luas persegi panjang adalah $L=p \cdot l$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
L\ &= \left(8 – 2 x \right) \left(2 + x \right) \\
L\ &= 16+4x-2x^{2}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
L &= 16+4x-2x^{2} \\
L'\ &= 4-4x \\
L''\ &= -4 \\
\hline
L'\ &= 0 \\
4-4x &= 0 \\
x &= 1
\end{align}$
Untuk $x=1$ kita peroleh
$\begin{align}
L''\ &= -4 \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $L'' \lt 0$ sehingga $x=1$ adalah pembuat maksimum $L=16+4x-2x^{2}$. Sehingga kita peroleh ukuran panjangnya $8 – 2x=6$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6\ cm$
18. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Kawat yang panjangnya $20\ m$ akan dibuat pagar kebun yang berbentuk $3$ persegi panjang seperti gambar di bawah ini. Luas maksimum kebun yang dipagar kawat tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Kita misalkan ukuran persegi panjang, panjangnya $y$ dan lebarnya $x$, sehingga dengan panjang kawat $20\ m$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} 20\ &= 5x+5y \\ 4\ &= x+ y \\ y\ &= 4-x \end{align}$
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Luas kebun kita misalkan dengan $L$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
L\ &= 3xy \\
L\ &= 3x \cdot \left( 4-x \right) \\
L\ &= 12x -3x^{2}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
L &= 12x -3x^{2} \\
L'\ &= 12-6x \\
L''\ &= -6 \\
\hline
L'\ &= 0 \\
12-6x &= 0 \\
x &= 2
\end{align}$
Untuk $x=2$ kita peroleh
$\begin{align}
L''\ &= -6 \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $L'' \lt 0$ sehingga $x=2$ adalah pembuat maksimum $L=12x -3x^{2}$. Sehingga kita peroleh luas maksimumnya adalah $L=12$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12,00\ m$
19. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan $V_{0}\ \frac{m}{s}$. Tinggi peluru setelah $t$ detik dinyatakan dengan fungsi $h(t) = 5 + 20t –\frac{5}{4}t^{2}$. Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal di atas fungsi sudah diberikan yaitu $h(t) = 5 + 20t –\frac{5}{4}t^{2}$ sehingga kita dapat langsung ke langkah ketiga.
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
$\begin{align}
h(t) &= 5 + 20t –\frac{5}{4}t^{2} \\
h'(t) &= 20 - \frac{5}{2}t \\
h''(t) &= -\dfrac{5}{2} \\
\hline
h'(t) &= 0 \\
20 - \dfrac{5}{2}t &= 0 \\
t &= 8
\end{align}$
Untuk $t=8$ kita peroleh
$\begin{align}
h''(t)\ &= -\dfrac{5}{2} \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $h''(t) \lt 0$ sehingga $t=8$ adalah pembuat maksimum $h(t)$. Sehingga kita peroleh tinggi maksimumnya adalah:
$\begin{align}
h(t) &= 5 + 20t –\frac{5}{4}t^{2} \\
h(8) &= 5 + 20(8) –\frac{5}{4}(8)^{2} \\
&= 85
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 85\ m$
20. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Sebuah roket bergerak dari keadaan diam. Kecepatan roket itu setelah berjalan $t$ menit memenuhi rumus $V(t) = -\dfrac{1}{2} \left(t^{2}-8t \right)\ \frac{km}{menit}$. Roket itu berada pada kecepatan lebih dari $7,5\ \frac{km}{menit}$ pada saat $t =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kecepatan lebih dari $7,5\ \frac{km}{menit}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
V(t) & \gt 7,5 \\
-\dfrac{1}{2} \left(t^{2}-8t \right) & \gt 7,5 \\
- \left(t^{2}-8t \right) & \gt 15 \\
- \left(t^{2}-8t \right) & \gt 15 \\
t^{2}-8t & \lt -15 \\
t^{2}-8t + 15 & \lt 0 \\
\left( t-3 \right)\left( t-5 \right) & \lt 0 \\
\hline
\text{pembuat nol:}\ & t =3\ \text{atau}\ t = 5 \\
\hline
3 \lt t \lt 5 &
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \text{Lebih dari 3 menit dan kurang dari 5 menit}$
21. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $\left(2x-600+\dfrac{30}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar proyek minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Dari informasi pada soal kita sudah peroleh biaya proyek perhari $\left(2x-600+\dfrac{30}{x} \right)$ dalam ratus ribu rupiah.
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misal biaya proyek keseluruhan adalah $B$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
B\ &= \left(2x-600+\dfrac{30}{x} \right) \cdot x \\
B\ &= 2x^{2}-600x+30
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
B\ &= 2x^{2}-600x+30 \\
B'\ &= 4x-600 \\
B''\ &= 4 \\
\hline
B'\ &= 0 \\
4x-600 &= 0 \\
x &= 150
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 150\ \text{hari}$
22. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Biaya untuk membuat $x$ satuan barang adalah $B(x) = \left( \frac{1}{4}x^{2}+35x+25 \right)$ ribu rupiah. Jika harga jual untuk $x$ satuan barang adalah $\left(50 – \frac{1}{2}x \right)x$ ribu rupiah maka keuntungan maksimum yang diperoleh adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Dari informasi pada soal kita sudah peroleh biaya produksi $B(x) = \left( \frac{1}{4}x^{2}+35x+25 \right)$ dalam ribuan.
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misal Keuntungan adalah $K$ dan harga jual adalah $\left(50 – \frac{1}{2}x \right)x$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
K\ &= \text{Harga jual}-\text{Biaya Produksi} \\
K\ &= \left(50 – \frac{1}{2}x \right)x – \left( \frac{1}{4}x^{2}+35x+25 \right) \\
K\ &= 50x – \frac{1}{2}x^{2} – \frac{1}{4}x^{2}-35x -25 \\
K\ &= 15x-25 – \frac{3}{4}x^{2}
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
K\ &= 15x-25 – \frac{3}{4}x^{2} \\
K'\ &= 15 – \frac{3}{2}x \\
K''\ &= -\frac{3}{2} \\
\hline
K'\ &= 0 \\
15 – \frac{3}{2}x &= 0 \\
x &= 10 \\
\end{align}$
Untuk $x=10$ kita peroleh
$\begin{align}
K''\ &= -\frac{3}{2}\ \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $K'' \lt 0$ sehingga $x=10$ adalah pembuat maksimum $K= 15x-25 – \frac{3}{4}x^{2}$ sehingga kita peroleh $K=50$ dalam ribuan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp50.000,00$
23. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Jika $y$ adalah jarak tempuh dalam waktu $t$ dan dinyatakan dengan $y = t^{3}+2t^{2}+t+1$, maka kecepatan menjadi $21$ pada waktu $t =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pada soal di atas fungsi sudah diberikan yaitu $y = t^{3}+2t^{2}+t+1$ sehingga kita dapat langsung ke langkah ketiga.
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
y &= t^{3}+2t^{2}+t+1 \\
s(t) &= t^{3}+2t^{2}+t+1 \\
\hline
v(t) &= \dfrac{ds}{dt} \\
v(t) &= 3t^{2}+4t + 1 \\ \\
21 &= 3t^{2}+4t + 1 \\
0 &= 3t^{2}+4t - 20 \\
0 &= \left(t-2 \right)\left( 3t+10 \right) \\
& t=2\ \text{atau}\ t=-\frac{10}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2,0$
24. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Reaksi terhadap otot serangga $t$ jam setelah disemprotkan pada tanaman dapat dinyatakan sebagai bilangan tak negatif yang sama dengan $15t^{2}-t^{3}$. Reaksi maksimum dicapai...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal di atas fungsi sudah diberikan yaitu $R=15t^{2}-t^{3}$ sehingga kita dapat langsung ke langkah ketiga.
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
$\begin{align}
R &= 15t^{2}-t^{3} \\
R' &= 30t -3t^{2} \\
R'' &= 30-6t \\
\hline
R' &= 0 \\
30t -3t^{2} &= 0 \\
\left( 3t \right) \left( t-10\right) &= 0 \\
t=0\ \text{atau}\ t=10 &
\end{align}$
Untuk $t=10$ kita peroleh
$\begin{align}
R'' \ &= 30-6t \\
&= 30-6(10) \lt 0 \\
\end{align}$
Karena $R'' \lt 0$ sehingga $t=10$ adalah pembuat maksimum $R$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \text{10 jam sebelum reaksi habis}$
25. Soal Latihan Penerapan Turunan Fungsi
Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam $x$ hari, maka biaya proyek per hari menjadi $\left(2x +\dfrac{1000}{x}-40 \right)$ ribu rupiah. Biaya proyek minimum adalah...
Alternatif Pembahasan:
Langkah pertama: menentukan varibel-variabel fungsi.
Dari informasi pada soal kita sudah peroleh biaya proyek perhari $\left(2x +\dfrac{1000}{x}-40 \right)$ dalam ribu rupiah.
Langkah kedua: menentukan hubungan antar variabel, sehingga terbentuk suatu fungsi.
Misal biaya proyek keseluruhan adalah $B$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
B\ &= \left(2x +\dfrac{1000}{x}-40 \right) \cdot x \\
B\ &= 2x^{2}+1000-40x
\end{align}$
Langkah ketiga menentukan nilai yang diharapkan.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
B\ &= 2x^{2}+1000-40x \\
B'\ &= 4x-40 \\
B''\ &= 4 \\
\hline
B'\ &= 0 \\
4x-40 &= 0 \\
x &= 10
\end{align}$
Untuk $x=10$ kita peroleh
$\begin{align}
B''\ &= 4\ \gt 0 \\
\end{align}$
Karena $B'' \gt 0$ sehingga $x=10$ adalah pembuat minimum $B = 2x^{2}+1000-40x$ sehingga kita peroleh $B=800$ dalam ribuan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ Rp800.000,00$
Catatan Penerapan Turunan Fungsi Aljabar Dilengkapi 25 Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
