Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri. Sumber Soal kita pilih dari Soal Uji Kompetensi Buku Siswa Aktif dan Kreatif Belajar Matematika Untuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah (SMA/MA) Kelas XII Peminatan MAtematika dan Ilmu-ilmu Alam penerbit Grafindo Edisi revisi 2016.
Belajar turunan fungsi trigonometri itu baiknya dilakukan setelah kita belajar turunan fungsi aljabar, karena definisi dan aturan-aturan dasar yang dipakai pada turunan fungsi trigonometri sama dengan yang dipakai pada turunan fungsi aljabar.
Turunan fungsi trigonmetri yang khusus membahas soal-soal yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional atau seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasioanal atau secara mandiri sudah pernah kita diskusikan sebelumnya. Silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri.
Dalam ilmu matematika (khususnya dalam bidang kalkulus), titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik dengan turunan kurva pertama yang sama dengan nol. Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun.
Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'(x)$, didefinisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).
Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca "$f$ aksen $x$"), bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.
NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM FUNGSI
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
1. Soal Uji Kompetensi BAB Turunan Fungsi Trigonometri
Nilai maksimum dari $f\left ( \theta \right )=\sin \theta$ pada daerah $D=\left [ -\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3} \right ]$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Penulisan interval dengan model $D=\left [ -\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3} \right ]$ ekuivalen dengan $-\dfrac{\pi}{4} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{3}$. Untuk $\pi=180^{\circ}$ maka domain fungsi $f\left ( \theta \right )=\sin \theta$ adalah $-45^{\circ} \leq \theta \leq 60^{\circ}$
Dengan menggunakan nilai-nilai sudut istimewa pada fungsi $f\left ( \theta \right )=\sin \theta$ dimana nilai $\theta$ berada pada $-45^{\circ} \leq \theta \leq 60^{\circ}$. Nilai maksimum $f\left ( \theta \right )$ yaitu $f\left ( \theta \right )=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Berikut kita coba dengan memakai aturan turunan. Untuk mendapatkan nilai maksimum suatu fungsi dapat kita tentukan dengan menggunakan turunan, yaitu:
$f\left ( \theta \right ) = \sin \theta \rightarrow f'\left ( \theta \right ) = \cos \theta$
Fungsi $f\left ( \theta \right )=\sin \theta$ naik saat:
$\begin{align}
f' \left ( \theta \right ) \gt 0 & \rightarrow \cos \theta \gt 0
\end{align}$
Nilai $\theta$ yang memenuhi adalah $-90^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ}$
Dari hasil di atas dapat kita peroleh bahwa nilai fungsi $f\left ( \theta \right )=\sin \theta$ saat $\theta=-90^{\circ}$ sampai $\theta=90^{\circ}$ selalu naik. Sehingga nilai maksimum $f\left ( \theta \right )=\sin \theta$ untuk $D=\left [ -90, 90 \right ]$ adalah saat $ \theta=90^{\circ}$ yaitu $f\left ( \theta \right )=\sin 90^{\circ}=1$
Karena $\theta$ pada soal yang diinginkan hanya pada $D=\left [ -45^{\circ},60^{\circ} \right ]$ yang merupakan bagian dari daerah $D=\left [ -90^{\circ}, 90^{\circ} \right ]$. Sehingga nilai fungsi $f\left ( \theta \right )=\sin \theta$ pada daerah asal $D=\left [ -45,60 \right ]$ juga selalu naik. Nilai maksimum $f\left ( \theta \right )$ adalah saat $\theta=60^{\circ}$ yaitu $f\left ( \theta \right )=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. Soal Uji Kompetensi BAB Turunan Fungsi Trigonometri
Salah satu ujung sebuah tangga yang panjangnya $27\ dm$ disandarkan pada dinding, yang tingginya $8\ dm$. Dengan menggeser bagian bawah tangga ke arah dinding bagian atasnya akan menonjol ke luar dinding arah dinding. Panjang tonjolan mendatar maksimum dari bagian atas tangga adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mempermudah pemahaman soal di atas, berikut coba kita gambarkan:
Pada gambar di atas $BD$ adalah tangga dan $AC$ adalah dinding. Berdasarkan keterangan soal, yang akan kita hitung adalah panjang $x$ maksimum.
Dari $\bigtriangleup ABC$ kita peroleh $\sin \alpha = \dfrac{8}{z}$ atau $z= \dfrac{8}{\sin \alpha}$ dan dari $\bigtriangleup ABC$ kita peroleh $\cos \alpha = \dfrac{x}{y}$ atau $y= \dfrac{x}{\cos \alpha}$
Lalu diketahui bahwa $y+z=27$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
27\ &= y+z \\
27\ &= \dfrac{x}{\cos \alpha}+\dfrac{8}{\sin \alpha} \\
\dfrac{x}{\cos \alpha}\ &= 27-\dfrac{8}{\sin \alpha} \\
x\ &= 27\cos \alpha-\dfrac{8 \cos \alpha}{\sin \alpha} \\
x\ &= 27 \cos \alpha -8\ \cot\ \alpha\ \\
x'\ &= -27 \sin \alpha +8\ \csc^{2}\ \alpha
\end{align}$
Untuk menentukan nilai $x$ maksimum kita gunakan turunan pertama $x'=0$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
-27 \sin \alpha +8\ \csc^{2}\ \alpha\ &= x' \\
-27 \sin \alpha +8\ \csc^{2}\ \alpha\ &= 0 \\
27 \sin \alpha &= 8\ \csc^{2} \alpha \\
27 \sin \alpha &= 8\ \cdot \dfrac{1}{\sin^{2}\ \alpha} \\
sin^{3}\ \alpha &= \dfrac{8}{27} \\
\sin \alpha &= \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Untuk $\sin \alpha = \dfrac{2}{3}$ kita peroleh $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ dan $\cot \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x\ &= 27 \cos \alpha -8\ \cot\ \alpha \\
x\ &= 27 \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3} -8\ \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
x\ &= 9\sqrt{5} -4\sqrt{5} \\
x \ &= 5\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5\sqrt{5}\ \text{dm} $
3. Soal Uji Kompetensi BAB Turunan Fungsi Trigonometri
Perhatikan gambar berikut.Sebuah pancuran atap logam mempunyai sisi yang panjangnya $3\ cm$. Sisi-sisi membuat sudut sama besar yaitu $\theta$ dengan alas. Nilai $\theta$ agar memaksimalkan kapasitas penampung pancuran atap adalah... (petunjuk: $0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$)
Alternatif Pembahasan:
Soal ini dapat juga diselesaikan tanpa harus menggunakan turunan trigonometri silahkan di cek pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar.
Agar volume air yang tertampung maksimum pada pancuran maka luas penampang pancuran yang tampak seperti trapesium harus maksimum. Sebagai bantuan, titik sudut kita beri nama dan kita misalkan panjang $BF=x$ seperti gambar berikut:
Dari gambar di atas kita peroleh $\sin \theta=\dfrac{x}{3}$ atau $3\ \sin \theta=x$ dan $\cos \theta=\dfrac{y}{3}$ atau $3\ \sin \theta=y$. Luas trapesium $ABCD$ adalah:
$ \begin{align}
L & = \left( 3+y \right)\left( x \right) \\
& = \left( 3+ 3\ \cos \theta \right)\left( 3\ \sin \theta \right) \\
L'& = \left( -3\ \sin \theta \right)\left( 3\ \sin \theta \right)+\left( 3+ 3\ \cos \theta \right)\left( 3\ \cos \theta \right)\\
& = -9\ \sin^{2} \theta +9\ \cos \theta+9\ cos^{2} \theta \\
& = -9\ \left( 1-cos^{2} \theta \right) +9\ \cos \theta+9\ cos^{2} \theta \\
& = -9+9cos^{2} \theta +9\ \cos \theta+9\ cos^{2} \theta \\
& = 18\ cos^{2} \theta +9\ \cos \theta-9
\end{align}$
Luas maksimum tercapai saat $L'=0$.
$ \begin{align}
L' & = 18\ cos^{2} \theta +9\ \cos \theta-9 \\
0 & = 18\ cos^{2} \theta +9\ \cos \theta-9 \\
0 & = 2\ cos^{2} \theta + \cos \theta-1 \\
0 & = \left( 2\ \cos \theta-1 \right)\left( \cos \theta+1 \right) \\
& \cos \theta=\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos \theta=-1
\end{align}$
Karena $\theta$ berada pada $0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$, maka yang memenuhi adalah $\cos \theta=\dfrac{1}{2}$ sehingga $\theta=\dfrac{\pi}{3}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\pi}{3}$
4. Soal Uji Kompetensi BAB Turunan Fungsi Trigonometri
Diberikan fungsi $y=3\ \sin x$ nilai maksimum $y$ pada selang $D= \left[0, \pi \right]$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Penulisan interval dengan model $D= \left[0, \pi \right]$ ekuivalen dengan $0 \leq x \leq \pi $. Untuk $\pi=180^{\circ}$ maka domain fungsi $y=\sin x$ adalah $0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}$
Dengan menggunakan nilai-nilai sudut istimewa pada fungsi $y=3\ \sin x$ dimana nilai $x$ berada pada $0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}$. Nilai maksimum $y=3\ \sin x$ yaitu $y=3 \cdot \sin 90^{\circ}=3$.
Berikut kita coba dengan memakai aturan turunan. Untuk mendapatkan nilai maksimum suatu fungsi dapat kita tentukan dengan menggunakan turunan, yaitu:
$y = 3\ \sin x \rightarrow y' = 3\ \cos x$
Nilai maksimum atau minimum tercapai saat $y'= 0$
$\begin{align}
3\ \cos x& = 0 \\
\cos x& = 0 \\
x & = 90^{\circ} \\
\hline
y' & = 3\ \cos x \\
y'' & = -3\ \sin x \\
y'' & = -3\ \sin (90) \\
& = -3\ (1) = -3 \lt 0 \\
x=90^{\circ}\ & \left( \text{pembuat maskimum} \right)
\end{align}$
Dari hasil di atas dapat kita peroleh bahwa nilai maksimum fungsi terjadi saat $x=90^{\circ}$, $y=3\ \sin 90^{\circ}=3 \cdot 1=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$
5. Soal Uji Kompetensi BAB Turunan Fungsi Trigonometri
Dimanakah fungsi $h(t)=\sin t$, dengan $0 \leq t \leq 2\pi $ akan naik...
Alternatif Pembahasan:
Sebuah fungsi $f \left(x \right)$ dikatakan naik saat $f' \left(x \right) \gt 0$. Sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} h(t)& =\sin t \\ h'(t)& =\cos t \\ \hline \cos t & \gt 0 \\ \hline \cos t & = 0 \\ \cos t & = \cos 90^{\circ} \\ t & = 90^{\circ} + k \cdot 2\pi \\ t & = -90^{\circ} + k \cdot 2\pi \\ t & = 90^{\circ}, 270^{\circ} \end{align}$
Dari hasil di atas dapat kita peroleh batasan pembuat nol adalah $t = 90^{\circ}$ dan $t= 270^{\circ}$. Jika kita gambarkan dalam garis bilangan, batasan pembuat nol dan batasan nilai $t$ yang diinginkan $0 \leq t \leq 2\pi $ seperti berikut ini.
Kita lakukan uji titik untuk setiap daerah pada $y'=\cos t$, kita peroleh seperti berikut ini
Dari hasil di atas kita peroleh $y'=\cos t \gt 0$ ada pada daerah $0^{\circ} \lt t \lt 90^{\circ} $ atau $270^{\circ} \lt t \lt 360^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right]\ \text{atau}\ \left[\dfrac{3}{2}\pi, 2 \pi \right]$
6. Soal Uji Kompetensi BAB Turunan Fungsi Trigonometri
Diketahui sebuah fungsi $f \left( x \right)=\sin^{2}x$, dengan $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} $. Titik kritis fungsi tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik kritis atau titik stasioner suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik dengan turunan kurva pertama yang sama dengan nol. Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun.
$\begin{align} f \left( x \right) & = \sin^{2}x \\ f'\left( x \right) & =2 \cdot \sin x\ \cos x \\ & = \sin 2x \\ \hline \sin 2x & = 0 \\ \hline \sin 2x & = 0 \\ \sin 2x & = \sin 0^{\circ} \\ 2x & = 0^{\circ} + k \cdot 2\pi \\ x & = 0^{\circ} + k \cdot \pi \\ x & = 0 \\ \hline 2x & =180^{\circ}- 0^{\circ} + k \cdot 2\pi \\ 2x & = 180^{\circ} + k \cdot 2\pi \\ x & = 90^{\circ} + k \cdot \pi \\ x & = 90^{\circ} \\ \end{align}$
Dari hasil di atas dapat kita peroleh titik kritis pada $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} $ terjadi saat $x=0^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
7. Soal Uji Kompetensi BAB Turunan Fungsi Trigonometri
Diketahui sebuah fungsi $f \left( x \right)=\sin^{2}x$, dengan $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} $. Nilai minimum fungsi tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik kritis atau titik stasioner suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik dengan turunan kurva pertama yang sama dengan nol. Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun.
$\begin{align} f \left( x \right) & = \sin^{2}x \\ f'\left( x \right) & =2 \cdot \sin x\ \cos x \\ & = \sin 2x \\ \hline \sin 2x & = 0 \\ \hline \sin 2x & = 0 \\ \sin 2x & = \sin 0^{\circ} \\ 2x & = 0^{\circ} + k \cdot 2\pi \\ x & = 0^{\circ} + k \cdot \pi \\ x & = 0 \\ \hline 2x & =180^{\circ}- 0^{\circ} + k \cdot 2\pi \\ 2x & = 180^{\circ} + k \cdot 2\pi \\ x & = 90^{\circ} + k \cdot \pi \\ x & = 90^{\circ} \\ \end{align}$
Dari hasil di atas dapat kita peroleh titik kritis pada $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} $ terjadi saat $x=0^{\circ}$ sehingga nilai minimum $f \left( x \right)=\sin^{2}x$ adalah $f \left( 0 \right)=\sin^{2}0=0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0$
8. Soal Uji Kompetensi BAB Turunan Fungsi Trigonometri
Pak Bani memiliki tanah berbentuk setengah lingkaran seperti pada gambar, ditanah tersebut akan dibuat kebun bunga berbentuk persegi panjang. Luas kebun bunga terbesar yang bisa dibuat adalah...satuan luas
Alternatif Pembahasan:
Misalkan panjang dan lebar kebun bunga pak Bani kita misalkan seperti pada gambar berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh $\sin \theta=\dfrac{y}{3R}$ atau $y=3R\ \sin \theta$ dan $\cos \theta=\dfrac{x}{3R}$ atau $x=3R\ \sin \theta$.
Luas Persegi panjang adalah:
$ \begin{align}
L & = \left( 2x \right)\left( y \right) \\
& = \left( 2 \cdot 3R\ \cos \theta \right)\left( 3R\ \sin \theta \right) \\
& = 9R^{2}\ 2\ \sin \theta\ \cos \theta \\
& = 9R^{2}\ \sin 2\theta
\end{align}$
Luas maksimum tercapai saat $\sin 2\theta$ maksimum yaitu saat $\sin 2\theta=1$ sehingga luas maksimum kebun adalah $9R^{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9R^{2}$
Catatan tentang Turunan Fungsi Trigonometri dan Pembahasan Soal Uji Kompetensi dari Buku Matematika Peminatan SMA Kelas XII di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.