Kumpulan Soal KSM/OMI Madrasah Tsanawiyah (MTs) Tingkat Kabupaten/Kota, Provinsi, dan Nasional

The good student, bersama Calon Guru kita belajar matematika SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar. Turunan fungsi ajabar ini adalah pengembangan dari limit fungsi aljabar, sehingga untuk belajar turunan fungsi aljabar ini, ada baiknya kita bisa tentang limit fungsi aljabar, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat memahami turunan fungsi aljabar.

Penerapan turunan fungsi aljabar dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada turunan fungsi aljabar bukanlah hal sulit seperti yang kalian dengar di luar bahwa belajar matematika itu sesuatu yang sulit. Jika diikuti step by step pada catatan yang kita diskusikan berikut ini, maka kita akan bisa memahami soal-soal turunan fungsi aljabar dan mendapatkan solusinya.

---

DEFINISI TURUNAN FUNGSI

Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'(x)$, didefinisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).

Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.

---

ATURAN TURUNAN FUNGSI

Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain:

1. Jika $f(x)=k$ (k:konstanta) maka $f'(x)=0$
2. Jika $f(x)=x$ maka $f'(x)=1$
3. Jika $f(x)= kx^{n}$ maka $f'(x)=knx^{n-1}$
4. Jika $f(x)= k \cdot u(x)$ maka $f'(x)=k \cdot u'(x)$
5. Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) + v'(x)$
6. Jika $f(x)=u(x) - v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) - v'(x)$
7. Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
8. Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
9. Jika $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$
10. Jika $f(x)= \left |u(x) \right |$ maka $f'(x)=\dfrac{u(x)}{\left | u(x) \right |} \cdot u'(x),\ \ u\neq 0$
11. Jika $f(x)= ln\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
12. Jika $f(x)=e^{u(x)}$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot e^{u(x)}$
13. Jika $f(x)=log_{a}u(x)$ maka $f'(x)= \dfrac{u'(x)}{ln\ a \cdot u(x)}$
14. Jika $f(x)=a^{u(x)}$ maka $f'(x)=a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot ln\ a$

Sifat-sifat dari turunan fungsi aljabar di atas, diperoleh dari definisi turunan fungsi, untuk melihat beberapa embuktian sifat di atas bisa dipelajari dari catatan cara membuktikan sifat-sifat turunan fungsi aljabar.

---

MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA

Jika kurva $y=f(x)$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.

Untuk catatan yang membahas tentang gradien garis singgung menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan konsep garis singgung kurva dengan turunan dan pembahasan soal latihan.

---

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

• Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
• Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$

Untuk catatan yang membahas tentang fungsi naik dan turun menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan cara menentukan fungsi naik, fungsi turun dan titik stasioner.

---

NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Untuk catatan yang membahas tentang nilai maksimum dan nilai minimum menggunakan turunan silahkan disimak pada catatan penerapan turunan fungsi.

---

Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Aljabar

Catatan matematika tentang soal dan pembahasan turunan fungsi aljabar ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.

Soal-soal latihan turunan fungsi aljabar berikut ini kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

Nama Peserta :
Tanggal Tes :	Jumat, 22 Agustus 2025
Jumlah Soal :	33 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

41. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 |*Soal Lengkap

Diberikan grafik fungsi $f \left( x \right)= 3x^{\frac{5}{3}}-15x^{\frac{2}{3}}$, maka...

1. $f' \left( 0 \right)$ tidak ada
2. fungsi naik di selang $\left( 2, \infty \right)$
3. fungsi turun di selang $\left( 0, 2 \right)$
4. terjadi minimum relatif di titik $\left( 2, -9\sqrt[3]{4} \right)$

$(A)$ Pernyataan (1), (2), dan (3) SAJA yang benar.

$(B)$ Pernyataan (1) dan (3) SAJA yang benar.

$(C)$ Pernyataan (2) dan (4) SAJA yang benar.

$(D)$ HANYA Pernyataan (4) yang benar.

$(E)$ SEMUA pernyataan benar.

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f \left( x \right) & = 3x^{\frac{5}{3}}-15x^{\frac{2}{3}} \\ f' \left( x \right) & = \frac{5}{3} \cdot 3x^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3} \cdot 15x^{-\frac{1}{3}} \\ & = 5x^{\frac{2}{3}}-10x^{-\frac{1}{3}} \cdot \dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} \end{align}$

1. $f' \left( 0 \right)\ \text{tidak ada}$
   $\begin{align} f'\left( 0 \right) & = \dfrac{5(0)-10}{0^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{-10}{0} \\ & = \text{tidak terdefinisi} \end{align}$
   $\therefore$ Pernyataan (1) BENAR
2. $\text{fungsi naik di selang}\ \left( 2, \infty \right)$
   $\begin{align} f'\left( x \right) & \gt 0 \\ \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} & \gt 0 \\ \dfrac{5x-10}{\sqrt[3]{x }} & \gt 0 \\ \end{align}$
   

   Pertidaksamaan di atas berlaku saat $x \gt 0$ dan $5x-10 \gt 0 \rightarrow x \gt 2$, sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $x \gt 2$.

   $\therefore$ Pernyataan (2) BENAR
3. $\text{fungsi turun di selang}\ \left( 0,2 \right)$
   $\begin{align} f'\left( x \right) & \lt 0 \\ \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} & \lt 0 \\ \dfrac{5x-10}{\sqrt[3]{x }} & \lt 0 \\ \end{align}$
   

   Pertidaksamaan di atas berlaku saat $x \gt 0$ dan $5x-10 \lt 0 \rightarrow x \lt 2$, sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $0 \lt x \lt 2$.

   $\therefore$ Pernyataan (3) BENAR
4. $\text{terjadi minimum relatif di titik}\ \left( 2, -9\sqrt[3]{4} \right)$
   $\begin{align} f'\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} & = 0 \\ 5x-10 & = 0 \\ x & = 2 \\ \hline f \left( 2 \right) & = 3(2)^{\frac{5}{3}}-15(2)^{\frac{2}{3}} \\ & = 3(2)^{\frac{5}{3}}-15(2)^{\frac{2}{3}} \\ & = (2)^{\frac{2}{3}} \left( 3(2)^{1}-15 \right) \\ & = (2)^{\frac{2}{3}} \left( -9 \right) \\ & = -9\sqrt[3]{4} \end{align}$
   $\therefore$ Pernyataan (4) BENAR

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1)(2)(3)(4)\ \text{BENAR}$

42. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap

Jika persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah...

$(A)\ 2$

$(B)\ 1$

$(C)\ -1$

$(D)\ -2$

$(E)\ -3$

Alternatif Pembahasan:

Karena persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, maka dapat kita misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan $\dfrac{1}{m}$ dengan syarat $m \gt 0$.
Hasil kali akar-akar,
$\begin{align} m \times \dfrac{1}{m} & = \dfrac{c}{a} \\ 1 & = q \end{align}$
Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align} m + \dfrac{1}{m} & = -\dfrac{b}{a} \\ m+m^{-1} & = p \end{align}$
Nilai maksimum $p-q$ kita coba cari dengan turunan pertama $p-q$ yaitu
$\begin{align} p-q & = m+m^{-1} - 1 \\ (p-q)' & = 1-m^{-2} \\ 1-m^{-2} & = 0 \\ m^{-2} & = 1 \\ \dfrac{1}{m^{2}} & = 1 \\ 1 & = m^{2} \\ m = -1\ & \text{atau}\ m=1\ \text{(TM)} \end{align}$
Untuk $m=-1$
$p-q = m+m^{-1} - 1$
$p-q =-1+(-1)^{-1} - 1$
$p-q =-3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$

43. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap

Sebuah kotak dengan alas persegi dirancang agar volumnya $2$ liter. Jika biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, maka biaya pembuatan termurahnya adalah $p$ ribu rupiah, dengan $p=\cdots$.

$(A)\ 8$

$(B)\ 10$

$(C)\ 12$

$(D)\ 14$

$(E)\ 15$

Alternatif Pembahasan:

Kita misalkan alas dan tinggi kotak masing-masing adalah $a$ dan $t$, sehingga adalah:
$\begin{align} V &= L_{alas} \cdot Tinggi \\ 2 &= a^{2} \cdot t \\ t &= \dfrac{2}{a^{2}} \end{align}$
Luas permukaan balok adalah:
$\begin{align} L &= 2a^{2}+ 4 \cdot at \\ L &= 2a^{2}+ 4 \cdot a \cdot \dfrac{2}{a^{2}} \\ L &= 2a^{2}+ \dfrac{8}{a} \\ L &= 2a^{2}+ 8 a^{-1} \\ \end{align}$
Biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, sehingga total biaya adalah:
$\begin{align} B &= 2a^{2} \cdot 2 + 8 a^{-1} \cdot 1\\ B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \end{align}$
Untuk mendapatkan biaya minimum atau termurah kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(B'=0)$, yaitu:
$\begin{align} B' &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a^{3} - 8 \\ 8a^{3} &= 8 \\ a^{3} &= 1 \\ a &= 1 \end{align}$
Biaya termurah kita peroleh saat $a=1$ sehingga biaya termurah adalah
$\begin{align} B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \\ p &= 4(1)^{2} + 8 (1)^{-1} \\ p &= 12 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$

44. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap

Untuk $x \geq 1$, nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x+7$ adalah...

$(A)\ 3$

$(B)\ 6$

$(C)\ 7$

$(D)\ 11$

$(E)\ 23$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan nilai maskimum kita coba uji pakai turunan pertama sama dengan nol, yaitu:
$\begin{align} f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= x^{2}-4x +3 \\ 0 &= (x-1)(x-3) \\ x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\ \hline f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f(1) &= -(1)^{3}+6(1)^{2}-9(1)+7 \\ &= -1+6-9+7=3 \\ f(3) &= -(3)^{3}+6(3)^{2}-9(3)+7 \\ &= -27+54-27+7=7 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$

---

Catatan Tambahan:
Menentukan nilai maksimum atau minimum dapat juga menggunakan Uji turunan kedua yaitu:

• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum adalah $f(a)$.
• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum adalah $f(a)$.

$\begin{align} f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= x^{2}-4x +3 \\ 0 &= (x-1)(x-3) \\ x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\ \hline f''(x) &= -6x+12 \\ f''(1) &= -6(1) +12=6 \\ f''(3) &= -6(3) +12=-6 \end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas, $x=3$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(3)$ yaitu $7$.

45. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap

Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$, maka $f(4)=\cdots$

$(A)\ 11$

$(B)\ 12$

$(C)\ 14$

$(D)\ 17$

$(E)\ 22$

Alternatif Pembahasan:

Diketahui $f(x)$ adalah fungsi kuadrat, kita misalkan $f(x)=ax^{2}+bx+c$
Untuk $f(x)= ax^{2}+bx+c$, $f'(x)=2ax +b$ dan $f'(1)=3$, maka $3=2a+b$.
Garis singggung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ di $x=-1$ adalah $y=-x+1$ dimana gradien $m=-1$.
$\begin{align} m & = f'(x)=2ax +b \\ m & = f'(-1) \\ -1 & = -2a+b \end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc} 2a+b = 3 & \\ -2a+b = -1 & \\ \hline 2b = 2 & \\ b = 1 & \\ a = 1 \end{array}$
Untuk $a=1$ dan $b=1$ maka $f(x)= x^{2}+ x+c$
Saat $x=-1$ diperoleh $y=-x+1=-(-1)+1=2$ maka $2= (-1)^{2}+(-1)+c$ kita peroleh $c=2$
$f(x)= x^{2}+ x+2$
$f(4)= 4^{2}+ 4+2=22$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 22$

46. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap

Diketahui grafik fungsi $f'(x)$ seperti terlihat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi $f(x)$ adalah...

1. Saat $x \lt-1$, $f(x)$ turun
2. Saat $0 \lt x \lt 2$, $f(x)$ naik
3. Garis singgung kurva $f(x)$ di $x=-1$ sejajar dengan sumbu $X$
4. $x=2$ merupakan titik ekstrim

$(A)$ Pernyataan (1), (2), dan (3) SAJA yang benar.

$(B)$ Pernyataan (1) dan (3) SAJA yang benar.

$(C)$ Pernyataan (2) dan (4) SAJA yang benar.

$(D)$ HANYA Pernyataan (4) yang benar.

$(E)$ SEMUA pernyataan benar.

Alternatif Pembahasan:

• Saat $x \lt -1$ terlihat pada gambar $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ turun.
  $\therefore$ pernyataan $(1)$ Benar
• Saat $0 \lt x \lt 2$ terlihat pada gambar $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ naik.
  $\therefore$ pernyataan $(2)$ Benar
• Saat $x=-1$ terlihat pada gambar $f'(-1) = 0$ maka $x=-1$ merupakan titik ekstrim. Garis singgung kurva pada titik ekstrim sejajar sumbu $x$
  $\therefore$ pernyataan $(3)$ Benar
• Saat $x=2$ terlihat pada gambar $f'(2) = 0$ maka $x=2$ merupakan titik ekstrim.
  $\therefore$ pernyataan $(4)$ Benar

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$ SEMUA pernyataan benar.

47. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 |*Soal Lengkap

Diketahui $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$ dengan $0 \lt a \lt b$.
Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ adalah...

1. Jika $x \lt b$, $f(a)$ adalah nilai maksimum $f$
2. Jika $x \gt 0$, $f(b)$ adalah nilai minimum $f$
3. Jika $x \lt 0$, $f$ merupakan fungsi turun
4. Jika $x \gt b$, $f$ merupakan fungsi naik

$(A)$ Pernyataan (1), (2), dan (3) SAJA yang benar.

$(B)$ Pernyataan (1) dan (3) SAJA yang benar.

$(C)$ Pernyataan (2) dan (4) SAJA yang benar.

$(D)$ HANYA Pernyataan (4) yang benar.

$(E)$ SEMUA pernyataan benar.

Alternatif Pembahasan:

Jika $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$, untuk $f'(x)=0$ maka kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \\ 0 &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \end{align}$
Titik ekstrim adalah saat $x=0$, $x=a$, dan $x=b$, sehingga ada empat daerah yang dibatasi yaitu:

• Saat $x \lt 0$, maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
• Saat $0 \lt x \lt a$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
• Saat $a \lt x \lt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
• Saat $x \gt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik

Dari keterangan yang kita peroleh di atas, dapat kita simpulkan bahwa:

• Untuk $x=0$ adalah nilai maksimum $f$, karena saat $x \lt 0$ fungsi $f$ naik.
• Untuk $x=a$ adalah titik belok $f$, karena saat $0 \lt x \lt a$ dan $a \lt x \lt b$ fungsi $f$ turun.
• Untuk $x=b$ adalah nilai minimum $f$, karena saat $x \gt b$ fungsi $f$ naik.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ Pernyataan (2) dan (4) SAJA yang benar.

48. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 |*Soal Lengkap

Diketahui grafik fungsi $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ dengan $b^{2} \lt 3ac$. Pernyataan berikut mungkin terjadi pada fungsi $f$ tersebut, kecuali...

1. $f$ merupakan fungsi naik di seluruh daerah asalnya.
2. $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.
3. $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum.
4. $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik.

$(A)$ Pernyataan (1), (2), dan (3) SAJA yang benar.

$(B)$ Pernyataan (1) dan (3) SAJA yang benar.

$(C)$ Pernyataan (2) dan (4) SAJA yang benar.

$(D)$ HANYA Pernyataan (4) yang benar.

$(E)$ SEMUA pernyataan benar.

Alternatif Pembahasan:

Dari $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ kita peroleh $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$
$\begin{align} D &= b^{2}-4ac \\ &= (2b)^{2}-4(3a)(c) \\ &= 4b^{2}-12ac \\ &= 4 \left( b^{2}-3ac \right) \\ \hline b^{2} \lt 3ac\ & \text{sehingga}\ D \lt 0 \end{align}$

• $b^{2} \lt 3ac$, dimana $b^{2} \gt 0$ sehingga $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ atau $a \gt 0$ dan $c \gt 0$
  
  • Saat $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit negatif atau $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ selalu turun.
  • Saat $a \gt 0$ dan $c \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit positif atau $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ selalu naik.
• $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik benar yaitu saat $x=0$
• $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum karena $f$ selalu naik atau selalu turun
• $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik tidak tepat karena $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)$ HANYA Pernyataan (4) yang benar.

49. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 |*Soal Lengkap

Grafik $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ mempunyai garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$, maka jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah...

$(A)\ \frac{2}{3}$

$(B)\ \frac{5}{6}$

$(C)\ \frac{3}{2}$

$(D)\ \frac{5}{3}$

$(E)\ \frac{8}{3}$

Alternatif Pembahasan:

Garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$ dapat terjadi jika dan hanya jika $P$ dan $Q$ adalah titik ekstrim, sehingga turunan pertama pada titik $P$ dan $Q$ adalah nol.

Dari $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ kita peroleh $y' =x^{2}-3x +2$
$\begin{align} y' & =x^{2}-3x +2 \\ 0 &= (x-2)(x-1) \\ x=2\ &\text{atau}\ x=1 \\ \hline x=1 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(1)^{3}-\dfrac{3}{2}(1)^{2}+2(1) \\ & \rightarrow y =\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{2} +2 \\ & \rightarrow y =\dfrac{5}{6} \\ x=2 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(2)^{3}-\dfrac{3}{2}(2)^{2}+2(2) \\ & \rightarrow y =\dfrac{8}{3} -\dfrac{12}{2} +4 \\ & \rightarrow y =\dfrac{2}{3} \end{align}$
Jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah $\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$

50. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah $x$, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah...

$(A)\ \pi x$

$(B)\ 2\pi x$

$(C)\ \frac{x}{2\pi}$

$(D)\ \frac{x}{\pi}$

$(E)\ \frac{x^{2}}{4\pi}$

Alternatif Pembahasan:

Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya, dimana keliling dalah $x$, sehingga berlaku:
$\begin{align} K & =2 \pi\ r \\ x & =2 \pi\ r \\ r & = \dfrac{x}{2 \pi} \\ \hline L & = \pi \cdot r^{2} \\ & = \pi \cdot \left( \dfrac{x}{2 \pi} \right)^{2} \\ & = \pi \cdot \dfrac{x^{2}}{4 \pi^{2}} \\ & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \end{align}$
Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya dapat kita tuliskan $\dfrac{\Delta L}{\Delta K}=\dfrac{\Delta L}{\Delta x}=\dfrac{d L}{dx}$.
$\begin{align} L & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \\ \dfrac{d L}{dx} & = \dfrac{2x}{4 \pi} \\ & = \dfrac{ x}{2 \pi} \end{align}$

Jika tertarik untuk mencoba soal yang berbeda tentang Laju perubahan coba disini
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{x}{2\pi}$

51. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Proyek pembangunan gedung STIS dapat diselesaikan dalam $x$ hari, dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek pembangunan gedung STIS ini minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu...

$(A)\ 40\ \text{hari}$

$(B)\ 60\ \text{hari}$

$(C)\ 90\ \text{hari}$

$(D)\ 120\ \text{hari}$

$(E)\ 150\ \text{hari}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Fungsi total biaya yang dikerjakan setiap hari adalah $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$, sehingga biaya total pekerjaan selama $x$ hari adalah:
$\begin{align} B(x) & = \left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right) x \\ & = 3x^{2}-900x+200 \\ B'(x)& = 6x-900 \end{align}$
Untuk mendapatakan biaya minimum dapat kita gunakan turunan pertama $B'(x)=0$
$\begin{align} 6x-900 & = 0 \\ 6x & = 900 \\ x & = \dfrac{900}{60}=150 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 150\ \text{hari}$

52. Soal UTBK SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jarak terdekat pada kurva $y=\frac{1}{2}x^{2}+1$ ke garis $2x-y=4$ adalah...

$(A)\ \frac{3}{ 5 }\sqrt{5}$

$(B)\ \frac{5}{ 3 }\sqrt{3}$

$(C)\ \frac{7}{ 5 }\sqrt{5}$

$(D)\ \frac{5}{ 7 }\sqrt{7}$

$(E)\ \frac{1}{ 5 }\sqrt{5}$

Alternatif Pembahasan:

Misal titik $(m,n)$ adalah titik pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ sehingga jarak kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ dan garis $2x-y=4$ minimum (terdekat).
$y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ pada titik $(m,n)$ berlaku $n=\dfrac{1}{2}m^{2}+1$.
Dengan menggunakan rumus jarak titik $\left( x_{1},y_{1}\right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right|$ sehingga jarak titik $(m,n)$ ke garis $2x-y-4=0$ adalah:
$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m-n-4}{ \sqrt{(2)^2+(-1)^2}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m-\left( \dfrac{1}{2}m^{2}+1 \right) -4}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-1 -4}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ \end{align}$
Untuk menentukan nilai $d$ minimum maka kita dapat cara darai $d'=0$.

$\begin{align} d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d' &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5}-0}{ \left( \sqrt{5} \right)^{2}} \\ 0 &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5} }{5}\\ 0 &= \left( 2 - m \right) \sqrt{5} \\ \hline m &= 2 \\ \hline d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2(2)- \dfrac{1}{2}(2)^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{4 - 2 -5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{-3}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \dfrac{3}{ \sqrt{5} } \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3}{ 5 }\sqrt{5}$

53. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi $30\ cm$ akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara mengunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti gambar. Volume kotak yang terbesar yang dapat dibuat adalah...

$(A)\ 2.000\ cm^{3}$

$(B)\ 3.000\ cm^{3}$

$(C)\ 4.000\ cm^{3}$

$(D)\ 5.000\ cm^{3}$

$(E)\ 6.000\ cm^{3}$

Alternatif Pembahasan:

Soal ini adalah salah satu contoh penerapan atau aplikasi fungsi turunan, volume kotak dapat kita hitung dengan aturan menghitung volum tabung yaitu $\text{Luas Alas} \times \text{tinggi}$.
Panjang sisi karton adalah $30\ cm$ dan dipotong sebesar $x\ cm$ di setiap sudut karton, sehingga alas kotak nantinya adalah persegi dengan panjang sisi $30-2x$ dan tinggi kotak adalah $x$. Volume kotak adalah:
$\begin{align} V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ & = \left( 900-120x+4x^{2} \right) \cdot x \\ & = 4x^{3}-120x^{2}+900x \\ \end{align}$

Volume kotak terbesar kita coba tentukan dengan uji turunan pertama yaitu;
$\begin{align} V'(x) & = 0 \\ 12x^{2}-240x+900 & = 0 \\ x^{2}-20x+75 & = 0 \\ (x-15)(x-5) & = 0 \end{align}$

Untuk menentukan volume kotak terbesar dapat dengan menguji pembuat nol pada turunan pertama ($x=5$ dan $x=15$) ke turunan kedua yaitu;
$\begin{align} V''(x) & = 2x-20 \\ \hline x=15 & \rightarrow V''(15) = 10\ ( 10 \gt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume minimum} \\ \hline x=5 & \rightarrow V''(5) = -10\ (-10 \lt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume maximum} \\ \hline V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ V(5) & = \left(30-2(5) \right)^{2} \cdot 5 \\ V(5) & = 400 \cdot 5 =2000 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2.000\ cm^{3}$

54. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Sebuah akuarium berbentuk balok tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegipanjang dengan perbandingan lebar dan panjangnya $2:3$. Jika luas permukaan akuarium adalah $1.800\ \text{cm}^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah...$\text{cm}^{3}$

$(A)\ 62.000$

$(B)\ 72.000$

$(C)\ 82.000$

$(D)\ 92.000$

$(E)\ 102.000$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita ilustrasikan balok yang disampaikan pada soal dan dengan memisalkan panjang $3x$, lebar $2x$ tinggi $t$, kurang lebih seperti berikut ini:

Luas permukaan balok tanpa tutup adalah $1.800\ m^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align} 1800 &= 2x \cdot 3x + 2 \cdot 2x \cdot t + 2 \cdot 3x \cdot t \\ 1800 &= 6x^{2} + 4xt + 6xt \\ 1800 &= 6x^{2} + 10xt \\ 1800 - 6x^{2} &= 10xt \\ \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} &= t \end{align}$
Volume balok:
$\begin{align} V &= 2x \cdot 3x \cdot t \\ &= 6x^{2} \cdot \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} \\ &= 6x \left( 1800- 6x^{2} \right) \\ &= 10800x- 36x^{3} \end{align}$
Dengan menggunakan uji turunan pertama $\left( V'=0 \right)$ kita peroleh $x$ pembuat maksimum:
$\begin{align} V' &= 10800 - 108x^{2} \\ 0 &= 108 \left( 100 - x^{2} \right) \\ 0 &= 108 \left( 10 + x \right)\left( 10 - x \right) \\ \hline & x = -10\ \text{atau}\ x=10 \\ \hline V &= 10800x- 36x^{3} \\ V &= 10800(10)- 36(10)^{3} \\ V &= 108.000- 36.000 \\ V &= 72.000 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 72.000$

55. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Kawat yang panjangnya $128\ cm$ akan dibentuk menjadi lima persegi panjang seperti pada gambar berikut:

Luas maksimum daerah yang dapat dibuat dengan kawat adalah...$\text{cm}^{2}$

$(A)\ 280$

$(B)\ 290$

$(C)\ 300$

$(D)\ 310$

$(E)\ 320$

Alternatif Pembahasan:

Luas lima persegi panjang seperti gambar adalah $L=5xy$
Panjang kawat yang dibutuhkan kelima persegipanjang adalah:
$\begin{align} 8x+8y & = 128 \\ x+ y & = 16 \\ y & = 16-x \\ \hline L & = 5xy \\ L & = 5x(16-x) \\ L & = 80x-5x^{2} \end{align}$
Luas maksimum dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $\left(L'=0 \right)$.
$\begin{align} L' & = 80-10x \\ 0 & = 80-10x \\ 10x & = 80 \\ x & = 8 \\ \hline L & = 80x-5x^{2} \\ & = 80(8)-5(8)^{2} \\ & = 640-320 \\ & = 320 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 320$

56. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 |*Soal Lengkap

Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sama sisi adalah...

$(A)\ 2\sqrt{3}$

$(B)\ \sqrt{3}$

$(C)\ \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$(D)\ \frac{1}{3} \sqrt{3}$

$(E)\ \frac{1}{4} \sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba mengilustrasikan kurva $y=3-x^{2}$ dan garis singgung di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ seperti berikut ini;

Dari gambar di atas garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ yaitu $PR$ dan $Q(a,b)$ yaitu $QR$ dapat kita hitung grad gradien masing-masing garis dengan menggunakan turunan pertama $m=y'$:
$\begin{align} y &= 3-x^{2} \\ y' &= -2x \\ m_{PR} &= -2(-a) = 2a \\ m_{QR} &= -2(a) = 2a \end{align}$

Nilai gradien garis dapat juga kita hitung dengan menggunakan $m=tan\ \alpha$ dimana $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu-$x$ positif.

Karena yang diharapkan segitiga $PQR$ menjadi segitiga samasisi maka sudut $PQR=\alpha$ adalah $\alpha=60^{\circ}$ sehingga gradien garis $PR$ adalah:
$\begin{align} m_{PR} &=tan\ 60^{\circ} \\ 2a &= \sqrt{3} \\ a &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

57. Soal UMB-PT 2014 Kode 673 |*Soal Lengkap

Jumlah dua bilangan positif adalah $120$. Agar hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua mencapai maksimum, maka selisih dari bilangan yang terbesar dan yang terkecil adalah...

$(A)\ 10$

$(B)\ 20$

$(C)\ 30$

$(D)\ 40$

$(E)\ 50$

Alternatif Pembahasan:

Misal kedua bilangan adalah $a$ dan $b$;
$\begin{align} a+b &= 120 \\ b &= 120-a \\ H &= a^{2} \cdot b \\ &= a^{2} \cdot (120-a) \\ &= 120a^{2} - a^{3} \end{align}$
Misal hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua adalah $H$, dan untuk mendapatkan $H$ maksimum kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(H'=0)$, yaitu:
$\begin{align} H' &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= a \left( 240 -3a \right) \\ a &= 0\ \text{atau}\ a=\dfrac{240}{3}=80 \end{align}$
Nilai $H$ maksimum kita peroleh saat $a=80$ sehingga $b=40$, dan selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $80-40=40$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 40$

58. Soal UMPTN 1992 Rayon A |*Soal Lengkap

Untuk memproduksi $x$ unit barang per hari diperlukan biaya $\left( x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \right)$ rupiah. Jika barang itu harus harus diproduksikan, maka biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi...

$(A)\ 1.000\ \text{unit}$

$(B)\ 1.500\ \text{unit}$

$(C)\ 2.000\ \text{unit}$

$(D)\ 3.000\ \text{unit}$

$(E)\ 4.000\ \text{unit}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan biaya minimum dapat kita pakai uji turunan $\left( y'=0 \right)$ pertama sama dengan nol pada $y=\left( x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \right)$.
$\begin{align} y &= x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \\ y' &= 3x^{2}-6.000x +3.000.000 \\ \hline y' &= 0 \\ 0 &= 3x^{2}-6.000x +3.000.000 \\ 0 &= x^{2}-2.000x +1.000.000 \\ 0 &= (x-1000)(x-1000) \\ & x=1000 \end{align}$
Biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi $1.000$ unit

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1.000\ \text{unit}$

59. Soal SPMB 2004 Regional I |*Soal Lengkap

Jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah $75$. Nilai terbesar dari hasil kali kedua bilangan tersebut adalah...

$(A)\ 50$

$(B)\ 75$

$(C)\ 175$

$(D)\ 250$

$(E)\ 350$

Alternatif Pembahasan:

Misal kedua bilangan adalah $a$ dan $b$, sehingga jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah $75$ dapat kita tuliskan $a+b^{2}= 75$ atau $a= 75-b^{2}$.

Hasil Kali $(HK)$ kedua bilangan adalah:
$\begin{align} HK &= a \times b \\ &= \left( 75-b^{2} \right) \times b \\ &= 75b-b^{3} \end{align}$

Untuk mendapatkan $HK$ maksimum, kita gunakan turunan pertama dari $HK$ yaitu $HK'=0$.
$\begin{align} HK &= 75b-b^{3} \\ HK' &= 75-3b^{2} \\ \hline HK' &= 0 \\ 0 &= 75-3b^{2} \\ 0 &= b^{2}-25 \\ 0 &= \left( b-5 \right)\left( b+5 \right) \\ &b=5\ \text{atau}\ b=-5 \\ \end{align}$

Untuk $b=5\ \rightarrow a=50$ maka $ab=5 \cdot 50=250$, sedangkan untuk $b=-5\ \rightarrow a=50$ maka $ab=5 \cdot 50=-250$. Nilai terbesar dari $a \cdot b$ adalah $250$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 250$

60. Soal SPMB 2004 Regional II |*Soal Lengkap

Jika $\bigtriangleup ABC$ siku-siku sama kaki, $AC=BC=8$ dan $AD=CE$, maka luas minimum dari segiempat $ABED$ adalah...

$(A)\ 16$

$(B)\ 24$

$(C)\ 32$

$(D)\ 48$

$(E)\ 64$

Alternatif Pembahasan:

Luas segitiga $ABC$ adalah
$\begin{align} \left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \\ & = 32 \end{align}$

Jika pada $\bigtriangleup ABC$ kita misalkan $AD=x$ maka $CD=8-x$, $CE=x$ dan $EB=8-x$ maka dapat kita gambarkan seperti berikut:

Untuk menentukan luas segiempat $ABED$ maksimum dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $L'=0$, yaitu:
$\begin{align} L & = \left[ ABC \right]-\left[ CDE \right] \\ & = 32- \dfrac{1}{2} \cdot CE \cdot CD \\ & = 32- \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot (8-x) \\ & = 32-4x+\dfrac{1}{2}x^{2} \\ L' & = -4+x \\ \hline L' & = 0 \\ 0 & = -4+x \\ 4 & = x \end{align}$

Luas maksimum segiempat $ABED$ terjadi saat $x=4$ yaitu
$\begin{align} L & = 32-4x+\dfrac{1}{2}x^{2} \\ & = 32-4(4)+\dfrac{1}{2}(4)^{2} \\ & = 32-16+8 \\ & = 24 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24$

61. Soal UMPTN 1997 Rayon A, B, C |*Soal Lengkap

Sebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya $30\ cm$ dengan melipat lebarnya atas tiga bagian yang sama, seperti terlihat pada gambar.

Jika $\theta$ menyatakan besar sudut dinding talang tersebut dengan bidang alasnya $\left( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)$, maka volume air yang tertampung paling banyak bila $\theta=\cdots$

$(A)\ 75^{\circ}$

$(B)\ 60^{\circ}$

$(C)\ 45^{\circ}$

$(D)\ 30^{\circ}$

$(E)\ 22,5^{\circ}$

Alternatif Pembahasan:

Agar volume air yang tertampung maksimum pada talang maka luas penampang talang yang tampak seperti trapesium harus maksimum. Sebagai bantuan, titik sudut kita beri nama dan kita misalkan panjang $BF=x$ seperti gambar berikut:

Luas trapesium $ABCD$ adalah:
$\begin{align} L & = \left[ ABCD \right] \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \left( BC+AD \right) \cdot AF \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 10+2x+10 \right) \cdot AF \\ & = \left( 10+x \right) \cdot AF \\ \hline AF & = \sqrt{AB^{2}-BF^{2}} \\ & = \sqrt{10^{2}-x^{2}} \\ & = \sqrt{100-x^{2}} \\ \hline L & = \left( 10+x \right) \cdot \sqrt{100-x^{2}} \\ \end{align}$

Luas maksimum tercapai saat $L'=0$.
$\begin{align} L & = \left( 10+x \right) \cdot \sqrt{100-x^{2}} \\ \hline u &= 10+x \rightarrow u'= 1\\ v &= \sqrt{100-x^{2}} \\ v' &= \dfrac{1}{2}\left(100-x^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \left(-2x \right) \\ &= \dfrac{-x}{\sqrt{100-x^{2}}} \\ \hline L' &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ & = 1 \cdot \left( \sqrt{100-x^{2}} \right) +\left( 10+x \right) \left( \dfrac{-x}{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ & = \sqrt{100-x^{2}} - \left( \dfrac{ 10x+x^{2} }{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ \hline L' & = 0 \\ 0 & = \sqrt{100-x^{2}} - \left( \dfrac{ 10x+x^{2} }{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ \sqrt{100-x^{2}} & = \dfrac{ 10x+x^{2} }{\sqrt{100-x^{2}}} \\ 100-x^{2} & = 10x+x^{2} \\ 0 & = 2x^{2}+10x-100 \\ 0 & = \left( x-5 \right)\left( x+10 \right) \\ & x=5\ \text{atau}\ x=-10 \\ \end{align}$

Karena $x$ adalah ukuran panjang maka $x=-10$ tidak memenuhi, sehingga luas trapesium akan maksimum saat $x=5$.

Untuk $x=5$ maka:
$\begin{align} cos\ \theta & = \dfrac{BF}{AB} \\ & = \dfrac{5}{10}= \dfrac{1}{2} \\ \theta & = 60^{\circ} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 60^{\circ}$

62. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal Lengkap

Jika grafik fungsi $y=x+\dfrac{1}{x}$ mencapai maksimum di titik $\left(x_{0},y_{0} \right)$ maka $x_{0}+y_{0} =\cdots$

$(A)\ -3$

$(B)\ -2$

$(C)\ 0$

$(D)\ 2$

$(E)\ 3$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align} f(x) & = x+\dfrac{1}{x} \\ & = x+x^{-1} \\ f'(x) & = 1-x^{-2} \\ & = 1-\dfrac{1}{x^{2}} \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 1-\dfrac{1}{x^{2}} \\ 0 & = \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}} \\ 0 & = x^{2}-1 \\ 0 & = \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =1\ \text{atau}\ x =-1 \end{align}$
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=1$ atau $x=-1$

Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 1-x^{-2} \\ f''(x) & = 1+2x^{-3} \\ \hline f''(1) & = 1+2(1)^{-3}=3 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(1) \\ f''\left( -1 \right) & = 1+2(-1)^{-3}=-1 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maximum}\ f\left( -1 \right) \\ \end{align}$

Nilai maksimum $f(-1)$ adalah:
$\begin{align} f(x) & = x+\dfrac{1}{x} \\ f(-1) & = (-1)+\dfrac{1}{(-1)} \\ & = -1 -1 = -2 \end{align}$

Mencapai maksimum di titik $\left(-1,-2 \right)$ maka $-1-2 =-3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -3$

63. Soal SIMAK UI 2010 Kode 204 |*Soal Lengkap

Sebuah tempat air terbuat dari plat baja yang berbentuk separuh tabung (sesuai gambar). Bagian atas terbuka dan kapasitasnya $125\pi$ liter. Agar bahan pembuatannya sehemat mungkin, nilai $h=\cdots \text{meter}$.

$(A)\ 1$

$(B)\ 5$

$(C)\ 10$

$(D)\ 50$

$(E)\ 100$

Alternatif Pembahasan:

Volume tabung adalah $V_{T}=\pi r^{2}t$ sehingga untuk separuh tabung dengan tinggi $h$ maka volume adalah:
$\begin{align} V_{\frac{1}{2}T} & = \dfrac{1}{2} \cdot \pi r^{2}h \\ 125\pi & = \dfrac{1}{2} \cdot \pi r^{2}h \\ \dfrac{250}{r^{2}} & = h \end{align}$

Luas bahan yang diperlukan untuk membuat separuh tabung adalah luas setengah selimut tabung ditambah dua kali luas setengah lingkaran
$\begin{align} L & =\dfrac{1}{2} \cdot 2\pi r h + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \pi r^{2} \\ L & = \pi r h + \pi r^{2} \\ \hline & h = \dfrac{250}{r^{2}} \\ \hline L & = \pi r \cdot \dfrac{250}{r^{2}} + \pi r^{2} \\ & = 250 \pi r^{-1} + \pi r^{2} \\ \end{align}$

Untuk mendapatkan Luas $L$ minimum kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama $L'=0$, sehingga dapat kita tuliskan
$\begin{align} L' & = 0 \\ -250 \pi r^{-2}+2 \pi r & = 0 \\ 2 \pi r & = 250 \pi r^{-2} \\ r & = 125 r^{-2} \\ r^{3} & = 125 \\ r & = 5 \\ \hline h & = \dfrac{250}{r^{2}} = \dfrac{250}{5^{2}} \\ & = \dfrac{250}{25}=10 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10$

64. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 |*Soal Lengkap

Sebuah akuarium memiliki dasar dan sisi-sisi yang berbentuk persegi panjang dan tidak memiliki tutup. Volume dari akuarium adalah $4\ m^{3}$. Lebar dari dasar akuarium adalah $1\ m$. Untuk pembuatan dasar akuarium diperlukan biaya sebesar $Rp10.000,00$ per $m^{2}$, sedangkan untuk sisi-sisinya diperlukan biaya sebesar $Rp5.000,00$ per $m^{2}$. Biaya minimal yang diperlukan untuk membuat sebuah akuarium adalah...

$(A)\ Rp20.000,00$

$(B)\ Rp40.000,00$

$(C)\ Rp50.000,00$

$(D)\ Rp60.000,00$

$(E)\ Rp80.000,00$

Alternatif Pembahasan:

Akuarium kita ilustrasikan seperti gambar berikut:

Volume akuarium adalah $V=p \cdot l \cdot t$, untuk lebar $1\ m$ dan volume $4\ m^{3}$ berlaku:
$\begin{align} V & = p \cdot l \cdot t \\ 4 & = p \cdot 1 \cdot t \\ 4 & = pt \end{align}$

Biaya pembuatan dasar aquarium $10.000,00$ per $m^{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} B_{dasar} & = p \cdot l \cdot 10.000 \\ & = p \cdot 1 \cdot 10.000 \\ & = 10.000p \end{align}$

Biaya pembuatan sisi-sisi aquarium $5.000,00$ per $m^{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} B_{sisi} & = 2 \cdot l \cdot t \cdot 5.000 + 2 \cdot p \cdot t \cdot 5.000 \\ & = 2 \cdot 1 \cdot t \cdot 5.000 + 10.000pt \\ & = 10.000t + 10.000pt \\ \end{align}$

Biaya total pembuatan aquarium adalah:
$\begin{align} B_{T} & = B_{dasar} + B_{sisi} \\ & = 10.000p + 10.000t + 10.000pt \\ \hline & 4 = pt \rightarrow p=\frac{4}{t} \\ \hline & = 10.000 \cdot \dfrac{4}{t} + 10.000t + 10.000t \cdot \dfrac{4}{t} \\ & = \dfrac{40.000}{t} + 10.000t + 40.000 \\ & = 40.000t^{-1} + 10.000t + 40.000 \end{align}$

Untuk mendapatkan biaya minimum kita gunakan turunan pertama $B'_{T}=0$
$\begin{align} B_{T} & = 40.000t^{-1} + 10.000t + 40.000 \\ B'_{T} & = -40.000t^{-2} + 10.000 \\ \hline B'_{T} & = 0 \\ 0 & = -40.000t^{-2} + 10.000 \\ 40.000t^{-2} & = 10.000 \\ t^{2} & = 4 \\ t & = \pm 2 \end{align}$

Karena $t$ adalah ukuran tinggi sehingga $t=-2$ tidak memenuhi. Biaya minimum tercapai saat $t=2$,
$\begin{align} B_{T} & = 40.000t^{-1} + 10.000t + 40.000 \\ & = 40.000(2)^{-1} + 10.000(2) + 40.000 \\ & = 20.000 + 20.000t + 40.000 \\ & = 80.000 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 80.000$

65. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $t$ dan posisi partikel di setiap saat adalah $s(t)=2t^{3}-24t^{2}+90t+7$, $t \geq 0$. Kecepatan partikel ini positif bilamana $t$ memenuhi..

$(A)\ 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$

$(B)\ 3 \lt t \lt 5$

$(C)\ 0 \leq t \lt 5$

$(D)\ t \geq 0$

$(E)\ t=0\ \text{atau}\ t=5$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan fungsi kecepatan selalu positif dapat kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana:
$\begin{align} v(t) & = s'(t) \\ & = 6t^{2}-48t+90 \end{align}$
Nilai kecepatan selalu positif, berarti $v(t) = 6t^{2}-48t+90 \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} v(t) & \gt 0 \\ 6t^{2}-48t+90 & \gt 0 \\ 6 \left( t^{2}- 8t+ 15 \right) & \gt 0 \\ 6 \left( t-5 \right) \left( t-3 \right) & \gt 0 \\ t \lt 3\ \text{atau}\ t \gt 5 & \end{align}$
Karena $t \geq 0$ maka yang nilai $t$ yang memenuhi adalah $0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$

66. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Diketahui $f\left(x \right)=\sqrt{x^{2}-ax+b}$. Jika $f\left( 1 \right)=f'\left( 1 \right)=2$, maka $a+b=\cdots$

$(A)\ -9$

$(B)\ -7$

$(C)\ -3$

$(D)\ 2$

$(E)\ 1$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f\left(x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\ f\left( 1 \right) & = \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b} \\ 2 & = \sqrt{1-a+b} \\ 4 & = 1-a+b \\ 3 & = -a+b \\ \hline f\left( x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\ f'\left( x \right) & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x^{2}-ax+b}} \cdot \left( 2x -a \right) \\ f'\left( 1 \right) & = \dfrac{\left( 2(1) -a \right)}{2 \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1-a+b}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1+3}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{4} \\ 8 & = 2-a \rightarrow a=-6 \\ \hline 3 & = -a+b \\ 3 & = 6+b \rightarrow b=-3 \end{align}$
Nilai $a+b=-9$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -9$

67. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Diberikan bilangan positif $m$ dan $n$. Jika $mx+ny=1$, maka nilai maksimum $xy$ adalah...

$(A)\ \frac{1}{4mn}$

$(B)\ \frac{1}{2mn}$

$(C)\ \frac{1}{mn}$

$(D)\ \frac{2}{mn}$

$(E)\ \frac{4}{mn}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Dari persamaan $mx+ny=1$ dapat kita peroleh $y=\frac{1}{n}\left( 1-mx \right)$.

Hasil perkalian $xy$ kita misalkan dengan $N$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} N & = xy \\ & = x \cdot \dfrac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\ & = \dfrac{x}{n}-\dfrac{mx^{2}}{n} \\ N'& = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\ \hline N' & = 0 \\ 0 & = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\ 0 & = 1 - 2mx \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x = \dfrac{1}{2m} \end{align}$

Dari yang kita peroleh di atas maka $N=xy$ akan maksimum/minimum di $x=\dfrac{1}{2m}$ (*silahkan diuji dengan menggunakan turunan kedua apakah benar $x$ pembuat maksimum).

Nilai maksimumnya adalah:
$\begin{align} xy_{max} & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\ & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-m \cdot \frac{1}{2m} \right) \\ & = \dfrac{1}{2mn} \left( 1- \dfrac{1}{2 } \right) \\ & = \dfrac{1}{4mn} \end{align}$

Sebagai alternatif kreatif:
$\begin{align} \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{2} & \geq 0 \\ a+b-2\sqrt{ab} & \geq 0 \\ a+b & \geq 2\sqrt{ab} \\ \hline mx+ny & \geq 2\sqrt{mx \cdot ny} \\ 1 & \geq 2\sqrt{mxny} \\ 1 & \geq 4 mxny \\ \dfrac{1}{4mn} & \geq xy \\ xy & \leq \dfrac{1}{4mn} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{4mn}$

68. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

Jika garis singgung kurva $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x$ di titik $\left(a,b \right)$ mempunyai gradien $15$, maka nilai $a + b$ yang mungkin adalah...

$(A)\ 0$

$(B)\ -2$

$(C)\ -4$

$(D)\ -6$

$(E)\ -8$

Alternatif Pembahasan:

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $\left(a,b \right)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x$ memppunyai gradien $m=15$ di $\left(a,b \right)$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align} m & = f'(x) \\ 15 & = 3x^{2}-6x-9 \\ 15 & = 3(a)^{2}-6(a)-9 \\ 0 & = 3a^{2}-6a-24 \\ 0 & = a^{2}-2a-8 \\ 0 & = \left(a-4 \right)\left(a+2 \right) \\ & a=4\ \text{atau}\ a=-2 \end{align}$

Untuk $a=4=x$ maka $b=y=(4)^{3} - 3(4)^{2} - 9(4)=-20$.
Nilai $a+b=-16$
Untuk $a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^{3} - 3(-2)^{2} - 9(-2)=-2$.
Nilai $a+b=-4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -4$

69. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f\left( x \right)=\left( 2x+1 \right)^{5}$ dan $h =fog$, jika $g\left( 5 \right)=-1$ dan $g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2$, maka $h'\left( 5 \right)= \cdots$

$(A)\ 10$

$(B)\ 25$

$(C)\ 50$

$(D)\ 60$

$(E)\ 120$

Alternatif Pembahasan:

Sedikit catatan tentang fungsi komposisi dan fungsi invers, yaitu $\left( fog \right)(x)=f \left( g(x) \right)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} h &= fog \\ h \left( x \right) &= f \left( g(x) \right) \\ h' \left( x \right) &= f' \left( g(x) \right) \cdot g'\left( x \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( g(5) \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ \end{align}$

---

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \left( 2x+1 \right)^{5} \\ f'\left( x \right)\ &=5 \left( 2x+5 \right)^{5-1} \cdot \left( 2 \right) \\ f'\left( -1 \right)\ &=5 \left( 2(-1)+1 \right)^{4} \cdot \left( 2 \right) \\ &=10 \cdot \left( -1 \right)^{4} = 10 \end{align}$

---

$\begin{align} g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right) &= 2x+2 \\ \hline \dfrac{x+1}{x-1} &= 5 \\ x+1 &= 5x-5 \\ 1+5 &= 5x-x \\ x &= \frac{6}{4}= \frac{3}{2} \\ \hline g'\left( 5 \right) &= 2 \left( \dfrac{3}{2} \right)+2 \\ &= 3+2 =5 \end{align}$

---

$\begin{align} h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ &= 10 \cdot 5 \\ &= 50 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 50$

70. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Diberikan $f(x)=\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right)$. Jika $f'(0)=3$ dan $f'(-1)=10$, maka $f'\left( -\frac{1}{2} \right) =\cdots$

$(A)\ -\frac{15}{4}$

$(B)\ -\frac{13}{4}$

$(C)\ -\frac{11}{4}$

$(D)\ -\frac{9}{4}$

$(E)\ -\frac{7}{4}$

Alternatif Pembahasan:

Sifat turunan fungsi yang mungkin dapat membantu salah satunya adalah $f\left( x \right) = u \left( x \right) \cdot v \left( x \right)$ turunan pertamanya adalah $f'\left( x \right) = u' \left( x \right) \cdot v \left( x \right)+u \left( x \right) \cdot v' \left( x \right)$.

$\begin{align} f\left( x \right) & = \left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right) \\ f'\left( x \right) & = \left( 2ax +b \right) \left( x^{2} +x \right)+\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( 2x + 1 \right) \\ \hline f'\left( 0 \right) & = \left( 2a(0) +b \right) \left( (0)^{2} + (0) \right)+\left( a(0)^{2}+b(0)+c \right) \left( 2(0) + 1 \right) \\ 3 & = \left( 0 +b \right) \left( 0 \right)+\left( 0+0+c \right) \left( 1 \right) \\ 3 & = c \\ \hline f'\left( -1 \right) & = \left( 2a(-1) +b \right) \left( (-1)^{2} + (-1) \right)+\left( a(-1)^{2}+b(-1)+c \right) \left( 2(-1) + 1 \right) \\ 10 & = \left( -2a+b \right) \left( 0 \right)+\left( a -b +c \right) \left( -1 \right) \\ 10 & = \left( a -b +3 \right) \left( -1 \right) \\ -10 & = a -b +3 \\ -13 & = a -b \\ \hline f'\left( -\frac{1}{2} \right) & = \left( 2a\left( -\frac{1}{2} \right) +b \right) \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^{2} + \left( -\frac{1}{2} \right) \right)+ \\ &\ \ \ \left( a\left( -\frac{1}{2} \right)^{2}+b\left( -\frac{1}{2} \right)+c \right) \left( 2\left( -\frac{1}{2} \right) + 1 \right) \\ & = \left( -a+b \right) \left( \frac{1}{4} -\frac{1}{2} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( -1 + 1 \right) \\ & = -\left( a-b \right) \left( -\frac{1}{4} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( 0 \right) \\ & = -\left( -13 \right) \left( -\frac{1}{4} \right) \\ & = -\dfrac{13}{4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{13}{4}$

71. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Jika $m$ dan $M$ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$ dengan $M+m=3$, maka $f(2)=\cdots$

$(A)\ 0$

$(B)\ 2$

$(C)\ 4$

$(D)\ 5$

$(E)\ 6$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Dari fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f'(x) & = 6x^{2}-6x \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 6x^{2}-6x \\ 0 & = 6x \left( x - 1 \right) \\ & x=0\ \text{atau}\ x=1 \\ \hline f''(x) & = 12x -6 \\ f''(0) & = -6 \lt 0 \longrightarrow f(0)=M \\ f''(1) & = 6 \gt 0 \longrightarrow f(1)=m \end{align}$

$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f(0) & = a \\ f(1) & = -1+a \\ m+M & = 3 \\ f(1)+f(0) & = 3 \\ -1+a+a & = 3 \\ 2a & = 4\ \longrightarrow a=2 \\ \hline f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+2 \\ f(2) & = 2(2)^{3}-3(2)^{2}+2 \\ & = 16-12+2=6 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$

72. Soal SPMB 2003 Regional I |*Soal Lengkap

Jika gambar di bawah ini adalah grafik $y=\dfrac{df(x)}{dx}$, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi $f(x)$...

$(A)$ mencapai nilai maksimum di $x=1$

$(B)$ mencapai nilai minimum di $x=-1$

$(C)$ naik pada interval $-\infty \lt x \lt 1$

$(D)$ selalu memotong sumbu $y$ di titik $\left( 0,-3 \right)$

$(E)$ merupakan fungsi kuadrat$

Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, gambar di atas grafik fungsi kuadrat dimana grafik tersebut adalah $y=\dfrac{df(x)}{dx}$ atau turunan pertama dari fungsi $f(x)$, sehingga fungsi $f(x)$ belum diketahui.

Dengan menggunakan catatan fungsi kuadrat, dapat kita ketahui bahwa turunan pertama $f(x)$ adalah:
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$

Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik puncak $(1,4)$:
$y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
$y=a\left (x -1\right)^{2}+4$

langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(0, 3)$:
$\begin{align} y &= a\left (x -1\right)^{2}+4 \\ 3 &= a\left (0 -1 \right)^{2}+4 \\ 3 &= a+4\ \longrightarrow a=-1 \end{align}$
Setelah kita peroleh nilai $a=-1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align} y &= a\left (x -1\right)^{2}+4 \\ y &= -1 \left ( x^{2}-2x+1 \right) +4 \\ y &= -x^{2}+2x-1 +4 \\ y &= -x^{2}+2x+3 \end{align}$

Kita sudah peroleh $y=\dfrac{df(x)}{dx}=-x^{2}+2x+3$ atau $f'(x)=-x^{2}+2x+3$.

Untuk $f'(x)=-x^{2}+2x+3$ maka $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^{3}+ x^{2}+3x+c$, ini memastikan pilihan $(E)$ dan $(D)$ salah.

Fungsi $f(x)$ naik pada saat $f'(x) \gt 0$, maka:
$\begin{align} -x^{2}+2x+3 & \gt 0 \\ x^{2}-2x-3 & \lt 0 \\ \left ( x+1 \right)\left ( x-3 \right) & \lt 0 \\ x=-1\ \text{atau}\ x=3 & \\ \end{align}$
Dari hasil di atas fungsi $f(x)$ naik pada saat $-1 \lt x \lt 3$, ini memastikan pilihan $(C)$ salah.

• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
• Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align} f'(x) & = 0 \\ -x^{2}+2x+3 & = 0 \\ \left ( x+1 \right)\left ( x-3 \right) & = 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =-1\ \text{atau}\ x =3 & \end{align}$
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=-1$ atau $x=3$

Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = -x^{2}+2x+3 \\ f''(x) & = -2x +2 \\ \hline f''(-1) & = -2(-1)+2=4 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(-1) \\ f''(3) & = -2(3)+2=-4 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(3) \end{align}$
ini memastikan pilihan $(A)$ salah dan $(B)$ benar.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \text{mencapai nilai minimum di}\ x=-1$

73. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal Lengkap

Persegi panjang $PQRS$ terletak pada segitiga siku-siku $PTU$. Jika $PS=4$ dan $PQ=3$, maka luas minimum $\bigtriangleup PTU$ adalah...

$(A)\ 16$

$(B)\ 18$

$(C)\ 20$

$(D)\ 22$

$(E)\ 24$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita misalkan pada gambar $US=y$ dan $QT=x$, maka dapat kita peroleh:

Dari gambar di atas luas $\bigtriangleup PTU$ dapat kita hitung dengan dua cara yaitu:
$\begin{align} \left[ PTU \right] &= \left[ PTU \right] \\ [PQRS]+[TQR]+[RSU] &= \dfrac{1}{2} \times PT \times PU \\ 12 + \dfrac{1}{2} \times x \times 4 + \dfrac{1}{2} \times 3 \times y &= \dfrac{1}{2}\left( 3+x \right)\left( 4+y \right) \\ 12 + 2x + \dfrac{3}{2}y &= \dfrac{1}{2}\left( 12+3y+4x+xy \right) \\ \hline 24 + 4x + 3y &= 12+3y+4x+xy \\ 12 &= xy \\ \dfrac{12}{x} &= y \end{align}$

Luas minimum $\bigtriangleup PTU$ adalah:
$\begin{align} L_{PTU} &= 12 + 2x + \dfrac{3}{2}y \\ &= 12 + 2x + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{12}{x} \\ &= 12+ 2x + \dfrac{18}{x} \\ &= 12+ 2x + 18x^{-1} \\ L_{PTU}' &= 2-18x^{-2} \\ \hline L_{PTU}' &= 0 \\ 2-18x^{-2} &= 0 \\ 2 &= 18x^{-2} \\ 2x^{2} &= 18 \\ x^{2} &= 9 \longrightarrow x= \pm 3 \end{align}$

Saat $L_{PTU}'= 0$ kita peroleh $x=3$, sehingga $x=3$ adalah pembuat $L_{PTU}$ minimum.
$\begin{align} L_{PTU} &= 12+ 2x + 18x^{-1} \\ &= 12+ 2(3) + 18(3)^{-1} \\ &= 12+ 6+ 18 \cdot \dfrac{1}{3} \\ &= 12+ 6 + 6 = 24 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 24$

Catatan 70+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Aljabar di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.

Tidak ada gunanya IQ Anda tinggi namun malas, tidak miliki disiplin. Yang penting adalah Anda sehat dan mau berkorban untuk masa depan yang cerah.

BJ Habibie