Skip to main content

70+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Turunan Fungsi Aljabar

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi AljabarThe good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar. Turunan fungsi ajabar ini adalah pengembangan dari limit fungsi aljabar, sehingga untuk bisa belajar matematika dasar turunan fungsi aljabar ini, ada baiknya kita sudah paham tentang limit fungsi aljabar, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat memahami turunan fungsi aljabar.

Penerapan turunan fungsi aljabar dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada turunan fungsi aljabar bukanlah hal sulit seperti yang alian dengan di luar bahwa belajar matematika itu sesuatu yang sulit. Jika diikuti step by step yang kita diskusikan pada alternatif pembahasan soal dibawah ini, maka kita akan bisa memahami soal-soal turunan fungsi aljabar dan mendapatkan solusinya.

DEFINISI TURUNAN FUNGSI


Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'(x)$, didefinisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).

Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.

ATURAN TURUNAN FUNGSI


Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain:
  1. Jika $f(x)=k$ (k:konstanta) maka $f'(x)=0$
  2. Jika $f(x)=x$ maka $f'(x)=1$
  3. Jika $f(x)= kx^{n}$ maka $f'(x)=knx^{n-1}$
  4. Jika $f(x)= k \cdot u(x)$ maka $f'(x)=k \cdot u'(x)$
  5. Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) + v'(x)$
  6. Jika $f(x)=u(x) - v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) - v'(x)$
  7. Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
  8. Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
  9. Jika $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$
  10. Jika $f(x)= \left |u(x) \right | $ maka $f'(x)=\dfrac{u(x)}{\left | u(x) \right |} \cdot u'(x),\ \ u\neq 0 $
  11. Jika $f(x)= ln\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
  12. Jika $f(x)=e^{u(x)}$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot e^{u(x)}$
  13. Jika $f(x)=log_{a}u(x)$ maka $f'(x)= \dfrac{u'(x)}{ln\ a \cdot u(x)}$
  14. Jika $f(x)=a^{u(x)}$ maka $f'(x)=a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot ln\ a$

MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG


Jika kurva $y=f(x)$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN


  1. Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
  2. Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$

NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM FUNGSI


Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan😊.

1. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Turunan pertama fungsi $f(x)=\left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) $ adalah...
$\begin{align} (A)\ & f'(x)=12x^{2}-4x-24 \\ (B)\ & f'(x)=12x^{2}-8x+24 \\ (C)\ & f'(x)=24x-8 \\ (D)\ & f'(x)=12x^{2}-16x+24 \\ (E)\ & f'(x)=12x^{2}-8x-24
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)=\left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) $, dapat kita kerjakan dengan dua alternatif

Pertama pakai aturan $f(x)=u \cdot v$ maka $f'(x)=u' \cdot v+u \cdot v'$ $\begin{align} f(x) & = \left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) \\ \hline u &= 4x^{2}-12x \rightarrow u'=8x-12 \\ v &= x+2 \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 8x-12 \right)\left( x+2 \right)+\left( 4x^{2}-12x \right)\left( 1 \right) \\ &= 8x^{2}+16x-12x-24 + 4x^{2}-12x \\ &= 12x^{2}-8x-24 \end{align}$

Kedua dengan menyederhanakan fungsi ke bentuk penjumlahan dan pengurangan.
$\begin{align} f(x) &= \left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) \\ &= 4x^{3}+8x^{2}-12x^{2}-24x \\ &= 4x^{3}-4x^{2}-24x \\ f'(x) &= 3 \cdot 4x^{3-1}-2 \cdot 4x^{2-1} -24 \\ &= 12x^{2}-8x -24 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ f'(x)=12x^{2}-8x-24$

2. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)=ax^{2}+2x+4$ dan $g(x)=x^{2}+ax-2$. Jika $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h'(0)=1$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal diketahui $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dan $h'(0)=1$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}+2x+4$ maka $f(0)=4$
$f'(x)=2ax+2$ maka $f'(0)=2$
untuk $g(x)=x^{2}+ax-2$ maka $g(0)=-2$
$g'(x)=2x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align} h(x) & = \dfrac{f(x)}{g(x)} \\ h'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\
h'(0) & = \dfrac{f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot g'(0)}{g^{2}(0)} \\
1 & = \dfrac{(2) \cdot (-2) - (0) \cdot (a)}{(-2)^{2}} \\
1 & = \dfrac{-4 - 4a}{4} \\
4 & = -4 - 4a \\
8 & = - 4a \\ a & = \dfrac {8}{-4} = -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$

3. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)=ax^{2}-4x+1$ dan $g(x)=3x^{2}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x)g(x)$ dengan $h'(0)=-3$, maka nilai $k'(0)$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & 0 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal diketahui $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $h'(0)=-3$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}-4x+1$ maka $f(0)=1$
$f'(x)=2ax-4$ maka $f'(0)=-4$
untuk $g(x)=3x^{2}+ax+2$ maka $g(0)=2$
$g'(x)=6x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align} h(x) & = f(x)+g(x) \\ h'(x) & = f'(x)+g'(x) \\ h'(0) & = f'(0)+g'(0) \\ -3 & = -4+a \\
a & = -3+4=1
\end{align}$

$\begin{align} k(x) & = f(x)g(x) \\ k'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ k'(0) & = f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\ & = (-4)(2)+(1)(1) \\ & = -8+1=-7 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -7$

4. Soal UMB 2008 Kode 270 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}+1$, maka $f' \left( \dfrac{1}{2} \right)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -20 \\ (B)\ & -16 \\ (C)\ & -12 \\ (D)\ & -8 \\ (E)\ & -4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &= \dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}+1 \\ &= x^{-2}-x^{-1}+1 \\ f'\left( x \right) &= -2x^{-2-1}-(-1)x^{-1-1}+0 \\ &= -2x^{-3}+x^{-2} \\ f'\left( \dfrac{1}{2} \right) &= -2\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-3}+\left( \dfrac{1}{2} \right)^{-2} \\ &= -2\left( 2^{-1} \right)^{-3}+\left( 2^{-1} \right)^{-2} \\ &= -2\left( 2^{3} \right) +\left( 2^{2} \right) \\ &= -16 + 4 \\ &= -12 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -12 $

5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap

Diketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ adalah $h'(x)=\cdots$
$(A)\ -6x^{2}+36x$
$(B)\ -6x^{2}+36x+18$
$(C)\ -18x^{2}+30x+18$
$(D)\ 18x^{2}+30x+18$
$(E)\ 18x^{2}-30x-18$
Alternatif Pembahasan:
Show

Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\ & =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\ & =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\ & =-18x^{2}+30x+18
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -18x^{2}+30x+18$

6. Soal SPMB 2004 Regional I |*Soal Lengkap

Turunan pertama dari fungsi $f(x)=\left( x-1 \right)^{2} \left( x+1 \right)$ adalah $f'(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & x^{2}-2x+1 \\ (B)\ & x^{2}+2x+1 \\ (C)\ & 3x^{2}-2x-1 \\ (D)\ & 3x^{2}-2x+1 \\ (E)\ & 3x^{2}+2x+1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)=\left( x-1 \right)^{2} \left( x+1 \right)$ kita kerjakan dengan aturan $f(x)=u \cdot v$ maka $f'(x)=u' \cdot v+u \cdot v'$
$\begin{align} f(x) &= \left( x-1 \right)^{2} \left( x+1 \right) \\ \hline u &= \left( x-1 \right)^{2} \rightarrow u'=2\left( x-1 \right) \\ v &= \left( x+1 \right) \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= 2\left( x-1 \right) \left( x+1 \right)^{2}+\left( x-1 \right)^{2}\left( 1 \right) \\ &= 2\left( x^{2}-1 \right) + x^{2}-2x+1 \\ &= 2x^{2}-2+x^{2}-2x+1 \\ &= 3x^{2}-2x-1 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3x^{2}-2x-1$

7. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap

Turunan pertama dari $f(x)=\dfrac{x^{2}-7}{x\sqrt{x}}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{x^{2}+21}{2x^{2}\sqrt{x}} \\ (B)\ & \dfrac{x^{2}+21}{x^{2}\sqrt{x}} \\ (C)\ & \dfrac{x^{2}-21}{2x^{2}\sqrt{x}} \\ (D)\ & \dfrac{x^{2}}{x^{2}\sqrt{x}+21} \\ (E)\ & \dfrac{x^{2}+21}{2x\sqrt{x}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)$ di atas kita kerjakan dengan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{x^{2}-7}{x\sqrt{x}} \\ &= \dfrac{x^{2}-7}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{x^{2}-7}{x^{\frac{3}{2}}} \\ \hline u &= x^{2}-7 \rightarrow u'=2x \\ v &= x^{\frac{3}{2}} \rightarrow v'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{2x \cdot x^{\frac{3}{2}}- \left( x^{2}-7 \right) \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} }{\left( x^{\frac{3}{2}} \right)^{2}} \\ &= \dfrac{2x^{\frac{5}{2}}- \frac{3}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{21}{2}x^{\frac{1}{2}} }{x^{3}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{2}x^{\frac{5}{2}}+\frac{21}{2}x^{\frac{1}{2}} }{x^{3}} \\ &= \dfrac{\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} \right )\left (x^{2}+ 21 \right )}{x^{3}} \\ &= \dfrac{\left (x^{2}+ 21 \right )}{2x^{\frac{5}{2}}} \\ &= \dfrac{\left (x^{2}+ 21 \right )}{2x^{2} \sqrt{x}} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{x^{2}+21}{2x^{2}\sqrt{x}}$

8. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap

Turunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah...
$(A)\ h'(x)=-3x^{2}+6x-3$
$(B)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
$(C)\ h'(x)=3x^{2}+6x-3$
$(D)\ h'(x)=3x^{2}+3x-6$
$(E)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
Alternatif Pembahasan:
Show

Turunan petama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ adalah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$.
$h(x)=(-x+1)^{3} $

$ \begin{align}
h(x) & = (-x+1)^{3} \\ h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\ & = -3(-x+1)^{2}\\ & = -3(x^{2}-2x+1)\\ & = -3x^{2}+6x-3
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3x^{2}+6x-3$

9. Soal SNMPTN 2007 Kode 541 |*Soal Lengkap

Turunan pertama fungsi $y=\dfrac{2}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{3}}}$ adalah $y'=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{-3}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{5}}} \\ (B)\ & \dfrac{-18x}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{5}}} \\ (C)\ & \dfrac{-3}{\sqrt{ 3x^{2}+5}} \\ (D)\ & \dfrac{-18x}{\sqrt{ 3x^{2}+5 }} \\ (E)\ & \dfrac{18x}{\sqrt{ 3x^{2}+5 }} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menentukan turunan pertama fungsi $y$ di atas kita kerjakan dengan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
$\begin{align} y &= \dfrac{2}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{3}}} \\ &= \dfrac{2}{ \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}}} \\ \hline u &= 2 \rightarrow u'=0 \\ v &= \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}} \\ v' &= \frac{3}{2} \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}}\left( 6x \right)= 9x \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{0 \cdot \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}}- \left( 2 \right) \cdot 9x \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}}}{\left (\left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{3}{2}} \right )^{2}} \\ &= \dfrac{ - 18x \left( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{1}{2}}}{\left ( 3x^{2}+5 \right)^{3}} \\ &= \dfrac{ - 18x}{\left ( 3x^{2}+5 \right)^{\frac{5}{2}}} \\ &= \dfrac{ - 18x}{\sqrt{\left(3x^{2}+5 \right)^{5}}} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{-18x}{\sqrt{\left( 3x^{2}+5 \right)^{5}}} $

10. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 |*Soal Lengkap

Diketahui $f(0)=1$ dan $f'(0)=2$. Jika $g(x)=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}}$ maka $g'(0)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -12 \\ (B)\ & -6 \\ (C)\ & -6 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} g(x) &=\dfrac{u}{v} \\ g'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ g (x) &=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}} \\ g'(x) &=\dfrac{0-1 \cdot 3\left( 2f(x)-1 \right)^{3-1} \cdot 2f'(x) }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6f'(x) \cdot \left( 2f(x)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ g'(0) &=\dfrac{-6f'(0) \cdot \left( 2f(0)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(0)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6 (2) \cdot \left( 2 (1)-1 \right)^{2} }{\left( 2 (1)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-12 }{1}=-12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12$

11. Soal SNMPTN 2008 Kode 301 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=\dfrac{bx-a}{x+b}$, memenuhi $f \left( 1 \right)=1$ dan $f' \left( 1 \right)=2$, maka $f \left( 2 \right)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -21 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari $f \left( 1 \right)=1$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &=\dfrac{bx-a}{x+b} \\ f(1) &=\dfrac{b(1)-a}{1+b} \\ 1 &=\dfrac{b-a}{1+b} \\ 1+b &= b-a \\ -1 &= a \\ \end{align}$

Dengan bantuan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{bx-a}{x+b} \\ &= \dfrac{bx+1}{x+b} \\ \hline u &= bx+1 \rightarrow u'=b \\ v &= x+b \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{b \cdot \left( x+b \right)- \left( bx+1 \right) \cdot 1 }{\left( x+b \right)^{2}} \\ &= \dfrac{bx +b^{2} - bx-1 }{\left( x+b \right)^{2}} \\ &= \dfrac{b^{2}-1 }{\left( x+b \right)^{2}} \\ f'(1) &= \dfrac{b^{2}-1 }{\left( 1+b \right)^{2}} \\ 2 &= \dfrac{b^{2}-1 }{\left( 1+b \right)^{2}} \\ 2 &= \dfrac{\left( b -1 \right)\left( b +1 \right) }{\left( 1+b \right)^{2}} \\ 2 &= \dfrac{\left( b -1 \right) }{\left( 1+b \right) } \\ 2b+2 &= b -1 \\ b &= -3 \end{align}$

Untuk $a=-1$ dan $b=-3$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &=\dfrac{bx-a}{x+b} \\ &=\dfrac{-3x+1}{x-3} \\ f(2) &=\dfrac{-3(2)+1}{2-3} \\ &=\dfrac{-5}{-1}=5 \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5 $

12. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1}$ dengan $f(0)=f'(0)$ dan $f'(-1)=1$, maka $a+b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan bantuan aturan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\ \hline u &= ax+b \rightarrow u'=a \\ v &= x^{2}+1 \rightarrow v'=2x \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &\dfrac{a \cdot \left( x^{2}+1 \right) -(ax+b) \cdot 2x }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ \hline f'(0) &=\dfrac{a(0)^{2}+a -2a(0)^{2}-2b(0) }{\left( (0)^{2}+1 \right)^{2}} \\ &=\dfrac{ a }{1}=a \\ \hline f'(-1) &=\dfrac{a(-1)^{2}+a -2a(-1)^{2}-2b(-1) }{\left( (-1)^{2}+1 \right)^{2}} \\ 1 &=\dfrac{a +a -2a +2b}{4} \\ 4 &= 2b \\ 2 &= b \end{align}$

Untuk $b=2$ dan $f(0)=f'(0)=a$ kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\ f(0) &= \dfrac{a(0)+2}{(0)^{2}+1} \\ a &= \dfrac{2}{1} \\ a &= 2 \\ \hline a+b &= 2+2 =4 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4 $

13. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 |*Soal Lengkap

Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^{3}+2x^{2}-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f(x) &= mx^{3}+2x^{2}-nx+5 \\ f'(x) &= 3mx^{2}+4x -n \\ f'(1) &= 3m(1)^{2}+4(1) -n \\ 0 &= 3m +4-n \ \ \cdots(1)\\ f'(-5) &= 3m(-5)^{2}+4(-5) -n \\ 0 &= 75m-20-n \cdots(2)\\ \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
3m+4-n = 0 & \\ 75m-20-n = 0 & (-)\\ \hline
-72m = 24 \\ m = \dfrac{24}{-72}=-\dfrac{1}{3} \\ n = 3\\ \hline
3m-n =3 \left( -\dfrac{1}{3} \right) - 3 \\ 3m-n =-1-3=-4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$

14. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap

Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi yang dapat diturunkan di $R$ sehingga $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) \left(g(x)-g(x+h) \right)}{k^{2}h}=\dfrac{x-1}{k}$ dan $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \left(f(x)-f(x+h) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h}=\dfrac{x-1}{k+1}$ untuk $k \gt 0$, maka...
$\begin{align} (1)\ & \left(fg \right)'(0)=2k-1 \\ (2)\ & \left(fg \right)'(c)=(2k-1)(c-1) \\ (3)\ & \left(fg \right)'(x+1)=(1-2k)x \\ (4)\ & \left(fg \right)'\left(x^{2} \right)=(2k-1)(x^{2}-1) \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) \left(g(x)-g(x+h) \right)}{k^{2}h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-f(x+h) \left(g(x+h)-g(x) \right)}{k^{2}h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-f(x+h)}{k^{2}} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \dfrac{-f(x+0)}{k^{2}} \cdot g'(x) &= \dfrac{x-1}{k} \\ \dfrac{-f(x)}{k^{2}} \cdot g'(x) &= \dfrac{x-1}{k} \\ -f(x) \cdot g'(x) &= k^{2} \cdot \dfrac{x-1}{k} \\ f(x) \cdot g'(x) &= -k \cdot (x-1)
\end{align}$

$\begin{align} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \left(f(x)-f(x+h) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-g(x) \left(f(x+h)-f(x) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-g(x)}{\left( k^{2}-1 \right)} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \dfrac{-g(x)}{\left( k^{2}-1 \right) } \cdot f'(x) &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ -g(x) \cdot f'(x) &= \left( k^{2}-1 \right) \cdot \dfrac{x-1}{k+1} \\ g(x) \cdot f'(x) &= -\left( k-1 \right)\left( x-1 \right)
\end{align}$

Pernyataan $(1)$
$\begin{align} \left(fg \right)'(0) &= f'(0) \cdot g(0) +f(0) \cdot g'(0) \\ &= -(0-1) \cdot (k-1) -(0-1)k \\ &= k-1 +k \\ &= 2k-1
\end{align}$

Pernyataan $(2)$
$\begin{align} \left(fg \right)'(c) &= f'(c) \cdot g(c) +f(c) \cdot g'(c) \\ &= -(c-1) \cdot (k-1) -(c-1)k \\ &= -(c-1) \cdot (k-1+k) \\ &= -(c-1) \cdot (2k-1)
\end{align}$

Pernyataan $(3)$
$\begin{align} \left(fg \right)'(x+1) &= f'(x+1) \cdot g(x+1) +f(x+1) \cdot g'(x+1) \\ &= -(x+1-1) \cdot (k-1) -(x+1-1)k \\ &= -x \cdot (k-1) -(x)k \\ &= -x \cdot (k-1+k) \\ &= -x \cdot (2k-1) \\ &= x \cdot (1-2k) \\ \end{align}$

Pernyataan $(4)$
$\begin{align} \left( fg \right)' \left( x^{2} \right) &= f'\left( x^{2} \right) \cdot g\left( x^{2} \right) +f\left( x^{2} \right) \cdot g'\left( x^{2} \right) \\ &= -\left( x^{2}-1 \right) \cdot \left( k-1 \right) - \left( x^{2}-1 \right) \cdot k \\ &= -\left( x^{2}-1 \right) \left( k-1+k \right) \\ &= -\left( x^{2}-1 \right) \left( 2k-1 \right)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$

15. Soal SIMAK UI 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap

Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f'(2)=3$ dan $g'(2)=4$. Jika pada saat $x=2$, turunan dari $\left(f \cdot g \right)(x)$ adalah $11$ dan turunan dari $\left(f^{2}+g^{2} \right)(x)$ adalah $20$, maka turunan dari $\left( \dfrac{f}{g} \right)(x)$ saat $x=2$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & \dfrac{3}{4} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Kita ketahui bahwa, jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$. Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa pada saat $x=2$ turunan dari $\left(f \cdot g \right)(x)$ adalah $11$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \left(f \cdot g \right)'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\ \left(f \cdot g \right)'(2) & = f'(2) \cdot g(2)+f(2) \cdot g'(2) \\ 11 & = 3 \cdot g(2)+f(2) \cdot 4 \\ 11 & = 3g(2)+4f(2) \end{align}$


Kita ketahui bahwa, jika $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$. Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa pada saat $x=2$ turunan dari $\left(f^{2}+g^{2} \right)(x)$ adalah $20$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \left(f^{2}+g^{2} \right)'(x) & = 2f(x) \cdot f'(x)+2g(x) \cdot g'(x) \\ \left(f^{2}+g^{2} \right)'(2) & = 2f(2) \cdot f'(2)+2g(2) \cdot g'(2) \\ 20 & = 2f(2) \cdot 3+2g(2) \cdot 4 \\ 20 & = 6f(2) +8g(2) \\ 10 & = 3f(2) +4g(2) \end{align}$


$\begin{array}{c|c|cc}
3f(2) +4g(2) = 10 & \times 4 \\ 4f(2)+3g(2) = 11 & \times 3 \\ \hline
12f(2) + 16g(2) = 40 & \\ 12f(2)+9g(2) = 33 & (-)\\ \hline 7g(2) = 7 & \\ g(2) = 1 & \\ \hline 10 = 3f(2) +4g(2) & \\ 10 = 3f(2) +4(1) & \\ f(2) = 2 \end{array} $


Untuk $g(2) = 1$ dan $f(2) = 2$ maka kita peroleh:
$\begin{align} \left( \dfrac{f}{g} \right)'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\ \left( \dfrac{f}{g} \right)'(2) & = \dfrac{f'(2) \cdot g(2)-f(2) \cdot g'(2)}{g^{2}(2)} \\ & = \dfrac{3 \cdot 1-2 \cdot 4}{1^{2}} \\ & = \dfrac{3 - 8}{1} \\ & = -5 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -5$

16. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 |*Soal Lengkap

Misalkan fungsi $f:R \rightarrow R$ didefinisikan dengan $f \left( 2x-3 \right)=4x^{2}+2x-5$ dan $f'$ adalah turunan pertama dari $f$. Hasil dari $f' \left( 2x-3 \right)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 2x-7 \\ (B)\ & 2x-1 \\ (C)\ & 2x+7 \\ (D)\ & 4x+1 \\ (E)\ & 8x+2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada fungsi $f \left( 2x-3 \right)=4x^{2}+2x-5$ ruas kiri dan kanan kita turunkan terhadap $x$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{d}{dx} \left( f \left( 2x-3 \right) \right) & = \dfrac{d}{dx}\left( 4x^{2}+2x-5 \right) \\ f' \left( 2x-3 \right) \cdot 2 & =8x +2 \\ f' \left( 2x-3 \right) & = \dfrac{8x+2}{2} \\ & = 4x+1 \\ \end{align}$


Dengan cara lain sewaktu belajar komposisi fungsi, turunan fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan cara pada fungsi $f \left( 2x-3 \right)=4x^{2}+2x-5$ menggunakan manipulasi aljabar kita usahakan variabelnya menjadi $\left( 2x-3 \right)$.
$\begin{align} f \left( 2x-3 \right) & = 4x^{2}+2x-5 \\ & = \left( 2x-3 \right)^{2}+12x-9+2x-5 \\ & = \left( 2x-3 \right)^{2}+14x-14 \\ & = \left( 2x-3 \right)^{2}+7\left( 2x-3 \right)+21-14 \\ & = \left( 2x-3 \right)^{2}+7\left( 2x-3 \right)+7 \\ f' \left( 2x-3 \right) & = 2\left( 2x-3 \right) +7 \\ & = 4x-6 +7 \\ & = 4x+1 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4x+1$

17. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap

Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval...

$\begin{align} (A)\ & 1 \lt x \lt 3 \\ (B)\ & -1 \lt x \lt 3 \\ (C)\ & -3 \lt x \lt 1 \\ (D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1 \\ (E)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=3x^2+6x-9$
$ \begin{align}
f'(x) & \lt 0 \\ 3x^2+6x-9 & \lt 0 \\ x^2+2x-3 & \lt 0 \\ (x+3)(x-1) & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =-3\ \text{atau}\ x =1 & \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 1$

18. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap

Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
$(A)\ 4 \lt x \lt 5$
$(B)\ -4 \lt x \lt 5$
$(C)\ x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 4$
$(D)\ x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 5$
$(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu grafik fungsi akan naik adalah turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$
$ \begin{align}
f'(x) & \gt 0 \\ 6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\ x^{2}-x -20 & \gt 0 \\ (x-5)(x+4) & \gt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} \\ x =5\ \text{atau}\ x =-4 & \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

19. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal Lengkap

Grafik fungsi $f(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-3x^{2}$ naik untuk nilai $x$ yang memenuhi...

$\begin{align} (A)\ & 1 \lt x \lt 6 \\ (B)\ & 0 \lt x \lt 12 \\ (C)\ & -6 \lt x \lt 6 \\ (D)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 12 \\ (E)\ & x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu grafik fungsi $f(x)$ akan naik adalah saat $f'(x) \gt 0$

$ \begin{align} f(x) &= \dfrac{1}{6}x^{3}-3x^{2} \\ f'(x) &= \dfrac{1}{2}x^{2}-6x \\ \hline f'(x) & \gt 0 \\ \dfrac{1}{2}x^{2}-6x & \gt 0 \\ x^{2}-12x & \gt 0 \\ (x)(x-12) & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =0\ \text{atau}\ x =12 & \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-3x^{2}$ naik pada interval $x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 12$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 12$

20. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap

Grafik $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+7$ turun untuk $x$ yang memenuhi...

$\begin{align} (A)\ & x \lt 2 \\ (B)\ & -1 \lt x \lt 2 \\ (C)\ & -3 \lt x \lt -1 \\ (D)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (E)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$

$ \begin{align} f(x) &= 2x^{3}-3x^{2}-12x+7 \\ f'(x) &= 6x^{2}-6x -12 \\ \hline f'(x) & \lt 0 \\ 6x^{2}-6x -12 & \lt 0 \\ x^{2}- x -2 & \lt 0 \\ (x-2)(x+1) & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =2\ \text{atau}\ & x =-1 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+7$ turun pada interval $-1 \lt x \lt 2$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1 \lt x \lt 2$

21. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap

Jika diberikan fungsi $f$ dengan rumus $f(x)=x\sqrt{x+1}$ maka daerah dengan fungsi $f$ naik adalah...

$\begin{align} (A)\ & -1 \leq x \leq -\dfrac{2}{3} \\ (B)\ & x \leq - 1 \\ (C)\ & -1 \leq x \lt -\dfrac{2}{3} \\ (D)\ & x \gt -\dfrac{2}{3} \\ (E)\ & x \gt \dfrac{2}{3} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan naik adalah saat $f'(x) \gt 0$

$ \begin{align} f(x) &= x\sqrt{x+1} \\ &= x \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} \\ \hline u &= x \rightarrow u'= 1\\ v &= \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} \rightarrow v'=\dfrac{1}{2}\left(x+1 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ \hline f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 1 \right)\left( \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} \right)+\left( x \right)\left(\dfrac{1}{2} \left(x+1 \right)^{-\frac{1}{2}} \right) \\ &= \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{x}{2} \left(x+1 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ &= \left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}} + \dfrac{x}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{2 \left(x+1 \right)+x}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ &= \dfrac{3x+2}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} \\ \hline f'(x) & \gt 0 \\ \dfrac{3x+2}{2\left(x+1 \right)^{\frac{1}{2}}} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} & \gt 0 \\ \end{align} $

Untuk setiap $x$ bilangan real, hasil dari $2\sqrt{x+1}$ adalah bilangan real positif, sehingga agar $\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} \gt 0$ atau $\dfrac{3x+2}{(+)} \gt 0$ maka $3x+2$ harus bilangan real postif. Dapat kita tuliskan $3x+2 \gt 0$ atau $ x \gt -\dfrac{2}{3}$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \gt -\dfrac{2}{3}$

22. Soal SPMB 2004 Regional I |*Soal Lengkap

Fungsi $f(x)=\dfrac{x^{2}+3}{x-1}$ turun untuk nilai $x$ yang memenuhi...

$\begin{align} (A)\ & -3 \lt x \lt 1 \\ (B)\ & -3 \lt x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 1 \\ (C)\ & -1 \lt x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 3 \\ (D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1 \\ (E)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$

$ \begin{align} f(x) &= \dfrac{x^{2}+3}{x-1} \\ \hline u &= x^{2}+3 \rightarrow u'=2x \\ v &= x-1 \rightarrow v'=1 \\ \hline f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{\left( 2x \right) \cdot \left( x-1 \right)- \left( x^{2}+3 \right) \cdot \left( 1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ 2x^{2}-2x - x^{2}-3 }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ x^{2}-2x -3 }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} \\ \hline f'(x) & \lt 0 \\ \dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} & \lt 0 \end{align} $

Untuk mendapatkan nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan kita lakukan uji titik dengan batasan nilai $x$, pembuat nol pada pembilang dan pembuat nol pada penyebut yaitu $x=-1$, $x=1$ dan $x=3$

Soal SPMB 2004 Regional I Fungsi f(x) turun untuk nilai x yang memenuhi

Dari hasil di atas kita peroleh $\dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-1 \right)^{2}} \lt 0$ saat $-1 \lt x \lt 1$ atau $1 \lt x \lt 3$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1 \lt x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 3$

23. Soal SPMB 2004 Regional III |*Soal Lengkap

Fungsi $f(x)=4x^{3}-9x^{2}-12x+1$ turun untuk nilai $x$ yang memenuhi...

$\begin{align} (A)\ & x \lt -2 \\ (B)\ & -2 \lt x \lt \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -2 \lt x \lt 2 \\ (D)\ & x \gt 2 \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$

$ \begin{align} f(x) &= 4x^{3}-9x^{2}-12x+1 \\ f'(x) &= 12x^{2}-18x -12 \\ \hline f'(x) & \lt 0 \\ 12x^{2}-18x -12 & \lt 0 \\ 2x^{2}-3x-2 & \lt 0 \\ (2x+1)(x-2) & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =-\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x =2 & \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=4x^{3}-9x^{2}-12x+1$ turun pada interval $-\dfrac{1}{2} \lt x \lt 2$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 2$

24. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*Soal Lengkap

Grafik $y=2x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}-6x+5$ naik untuk $x$ yang memenuhi...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{2} \lt x \lt \dfrac{5}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{3}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{2} \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \lt x \lt \dfrac{5}{2} \\ (D)\ & x \lt -\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{3}{2} \\ (E)\ & x \lt -\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{5}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu grafik fungsi $f(x)$ akan naik adalah saat $f'(x) \gt 0$

$ \begin{align} f(x) &= 2x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}-6x+5 \\ f'(x) &= 6x^{2}-5x-6 \\ \hline f'(x) & \gt 0 \\ 6x^{2}-5x-6 & \gt 0 \\ \left(2x-3 \right) \left(3x+2 \right) & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} & \\ x =\dfrac{3}{2}\ \text{atau}\ x =-\dfrac{2}{3} & \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}-6x+5$ naik pada interval $x \lt -\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{3}{2}$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt -\dfrac{2}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{3}{2}$

25. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Grafik fungsi $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5$ naik pada interval...
$\begin{align} (A)\ & -2 \lt x \lt 3 \\ (B)\ & -3 \lt x \lt 2 \\ (C)\ & x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 3 \\ (D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (E)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menentukan interval nilai $x$ agar fungsi $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5$ naik kita cukup menentukan interval niLai $x$ yang memenuhi saat $f'(x) \gt 0$.
$\begin{align} f(x) = & x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5 \\ f'(x)= & 3x^{3-1}-2 \cdot \frac{3}{2}x^{2-1} -18 \\ f'(x)= & 3x^{2}-3x -18 \\ \hline
f'(x) & \gt 0 \\ 3x^{2}-3x -18 & \gt 0 \\ 3(x^{2}- x -6) & \gt 0 \\ 3(x-3)(x+2) & \gt 0 \\ \end{align}$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3$
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3$

26. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 |*Soal Lengkap

Jika kurva $y= \left(x^{2}-a \right)\left( 2x+b \right)^{3}$ turun pada interval $-1 \lt x \lt \dfrac{2}{5}$, maka nilai $ab=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menentukan turunan pertama kita pakai pakai aturan $y=u \cdot v$ maka $y'=u' \cdot v+u \cdot v'$
$\begin{align} y & = \left(x^{2}-a \right)\left( 2x+b \right)^{3} \\ \hline u &= \left(x^{2}-a \right) \rightarrow u'=2x \\ v &= \left( 2x+b \right)^{3} \rightarrow v'=6\left( 2x+b \right)^{2} \\ \hline y' &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ &= \left( 2x \right) \cdot \left( 2x+b \right)^{3}+\left(x^{2}-a \right) \cdot 6\left( 2x+b \right)^{2} \\ &= \left( 2x+b \right)^{2} \left[ 2x \cdot \left( 2x+b \right) +6 \left(x^{2}-a \right) \right] \\ &= \left( 2x+b \right)^{2} \left( 4x^{2}+2bx+6x^{2}-6a \right) \\ &= \left( 2x+b \right)^{2} \left( 10x^{2}+2bx-6a \right) \end{align}$

Dikatakan pada soal bahwa kurva turun sehingga berlaku:
$\begin{align} y' & \lt 0 \\ \left( 2x+b \right)^{2} \left( 10x^{2}+2bx-6a \right) & \lt 0 \\ 2\left( 2x+b \right)^{2} \left( 5x^{2}+ bx-3a \right) & \lt 0 \end{align}$

Kita ketahui bahwa $2\left( 2x+b \right)^{2} \geq 0$, maka dari pertidaksamaan di atas berlaku $\left( 5x^{2}+ bx-3a \right) \lt 0$.

Himpunan penyelesaian dari $\left( 5x^{2}+ bx-3a \right) \lt 0$ adalah $-1 \lt x \lt \dfrac{2}{5}$, sehingga berlaku $x \lt \frac{2}{5} \rightarrow (5x-2) \lt 0$ dan $x \lt -1 \rightarrow (x+1) \gt 0$.

Untuk $(5x-2) \lt 0$ dan $(x+1) \gt 0$ maka berlaku:
$\begin{align} \left( 5x-2 \right) \left( x+1 \right) & \lt 0 \\ 5x^{2}+5x-2x-2 & \lt 0 \\ 5x^{2}+3x-2 & \lt 0 \\ \hline 5x^{2}+ bx-3a & \lt 0 \\ \hline b=3\ \text{dan}\ a=\frac{2}{3} & \\ ab & = \frac{2}{3} \cdot 3 \\ & = 2 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

27. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 |*Soal Lengkap

Syarat agar fungsi $f(x)=-x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8$ selalu turun untuk semua nilai real $x$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & a \lt -5\ \text{atau}\ a \gt 7 \\ (B)\ & a \lt 0\ \text{atau}\ a \gt 4 \\ (C)\ & -5\ \lt a \lt 7 \\ (D)\ & -7\ \lt a \lt 5 \\ (E)\ & -7\ \lt a \lt 0\ \text{atau}\ 4\ \lt a \lt 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Agar sebuh fungsi $f(x)$ selalu turun maka $f'(x) \lt 0$
$\begin{align} f(x) &= -x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8 \\ f'(x) &= -3x^{2}+ ax -x-3
\end{align}$

Agar $f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$ dan agar $f(x)$ selalu turun maka $f'(x)=-3x^{2}+ (a-1)x-3$ selalu kurang dari nol atau dengan kata lain $f'(x)$ adalah definit negatif. Syarat sebuah fungsi $f(x)=px^{2}+qx+r$ definit negatif adalah:

  • Koefisien $x^{2}$ bernilai negatif atau $p \lt 0$ sudah memenuhi karena $p=-3$
  • Diskriminan $D=b^{2}-4ac$ kurang dari nol,
    $\begin{align} q^{2}-4pr & \lt 0 \\ (a-1)^{2}-4(-3)(-3) & \lt 0 \\ a^{2}-2a+1-36 & \lt 0 \\ a^{2}-2a -35 & \lt 0 \\ (a-7)(a+5) & \lt 0 \end{align}$
    Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol adalah $a=-5$ atau $a=7$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-5\ \lt a \lt 7$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -5\ \lt a \lt 7$

28. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal Lengkap

Batasan nilai $p$ agar fungsi $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^{3}+2px^{2}+2px+5$ selalu turun untuk semua nilai $x$ bilangan real adalah...

$\begin{align} (A)\ & p \lt 2\ \text{atau}\ p \gt 0 \\ (B)\ & -2 \leq p \leq 0 \\ (C)\ & -2 \lt p \lt 0 \\ (D)\ & -2 \leq p \lt 0 \\ (E)\ & -2 \lt p \leq 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu fungsi $f(x)$ akan turun adalah saat $f'(x) \lt 0$

$ \begin{align} f(x) &= -\dfrac{1}{3}x^{3}+2px^{2}+2px+5\\ f'(x) &= -x^{2}+4px +2p \end{align} $

Agar $f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$ dan agar $f(x)$ selalu turun maka $f'(x)=-x^{2}+4px +2p$ selalu kurang dari nol atau dengan kata lain $f'(x)$ adalah definit negatif. Syarat sebuah fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ definit negatif adalah:

  • Koefisien $x^{2}$ bernilai negatif atau $a \lt 0$ sudah memenuhi karena $a=-1$
  • Diskriminan $D=b^{2}-4ac$ kurang dari nol,
    $\begin{align} b^{2}-4ac & \lt 0 \\ (4p)^{2}-4(-1)(2p) & \lt 0 \\ 16p^{2}+8p & \lt 0 \\ 2p^{2}+p & \lt 0 \\ (p)(p+2) & \lt 0 \end{align}$
    Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol adalah $p=0$ atau $p=-2$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-2\ \lt p \lt 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2 \lt p \lt 0$

29. Soal SPMB 2005 Regional I |*Soal Lengkap

Pada selang $-1 \leq x \leq 2$, fungsi $y=x^{3}-3x^{2}+3$ mempunyai nilai maksimum...

$\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align} f(x) & = x^{3}-3x^{2}+3 \\ f'(x) & = 3x^{2}-6x \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 3x^{2}-6x \\ 0 & = x^{2}-2x \\ 0 & = \left( x \right) \left( x-2 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =0\ \text{atau}\ x =2 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=0$ atau $x=2$

Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 3x^{2}-6x \\ f''(x) & = 6x -6 \\ \hline f''(0) & = 6(0)-6=-6 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(0) \\ f''(2) & = 6(2)-6=6 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(2) \\ \end{align}$

Nilai maksimum $f(0)$ dan Nilai minimum $f(2)$
$\begin{align} f(x) & = x^{3}-3x^{2}+3 \\ f(0) & = (0)^{3}-3(0)^{2}+3 \\ & = 0 -0 +3 = 3 \\ \hline f(2) & = (2)^{3}-3(2)^{2}+3 \\ & = 8 - 12 +3 = -1 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 3$

30. Soal SPMB 2005 Regional II |*Soal Lengkap

Pada selang $0 \leq x \leq 4$, jarak terjauh dari kurva $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$ dengan sumbu $x$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 16 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align} f(x) & = x^{3}-6x^{2}+9x \\ f'(x) & = 3x^{2}-12x+9 \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 3x^{2}-12x+9 \\ 0 & = x^{2}-4x+3 \\ 0 & = \left( x-3 \right) \left( x-1 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =3\ \text{atau}\ x =1 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=1$ atau $x=3$

Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 3x^{2}-12x+9 \\ f''(x) & = 6x -12 \\ \hline f''(1) & = 6(1)-12=-6 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(1) \\ f''(3) & = 6(3)-12=6 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(3) \\ \end{align}$

Nilai maksimum $f(1)$ dan Nilai minimum $f(3)$
$\begin{align} f(x) & = x^{3}-6x^{2}+9x \\ f(1) & = (1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \\ & = 1 -6 +9 = 4 \\ \hline f(3) & = (3)^{3}-6(3)^{2}+9(3) \\ & = 27 - 54 + 27 = 0 \end{align}$

Pada selang $0 \leq x \leq 4$ jarak terjauh kurva sama dengan nilai maksimum atau nilai minimum. Pada kasus ini nilai minimum adalah $0$ dan nilai maksimum adalah $4$, sehingga jaraka terjauh kurva terhadap sumbu $x$ adalah $4$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4$

31. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Jika fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$ dalam interval $-4 \leq x \leq -1$ mempunyai nilai maksimum $a$ dan minimum $b$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 38 \\ (B)\ & 35 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 22 \\ (E)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align} f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f'(x) & = 3x^{2}+6x -9 \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 3x^{2}+6x -9 \\ 0 & = x^{2}+2x -3 \\ 0 & = \left( x+3 \right) \left( x-1 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =-3\ \text{atau}\ x =1 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=-3$ atau $x=1$

Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 3x^{2}+6x -9 \\ f''(x) & = 6x +6 \\ \hline f''(-3) & = 6(-3)+6=-12 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(-3) \\ f''(1) & = 6(1)+6=12 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(1) \\ \end{align}$

Nilai maksimum $f(-3)$ dan Nilai minimum $f(1)$
$\begin{align} f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f(-3) & = (-3)^{3}+3(-3)^{2}-9(-3) \\ & = -27 +27 + 27 = 27 \\ \hline f(1) & = (1)^{3}+3(1)^{2}-9(1) \\ & = 1 +3- 9 = -5 \end{align}$

Untuk rentang $-4 \leq x \leq -1$ nilai minimum $f(x)$ adalah saat $x=-1$ karena $f(x)$ turun di $-3 \lt x \lt 1$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f(-1) & = (-1)^{3}+3(-1)^{2}-9(-1) \\ & = -1+3+9=11 \end{align}$

Dengan nilai maksimum $27$ maka $a=27$ dan nilai minimum $11$ maka $b=11$. Kita peroleh nilai $a+b=27+11=38$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 38$

32. Soal SPMB 2005 Regional II |*Soal Lengkap

Jika fungsi $f(x)=x \left( 12-2x \right)^{2}$ mempunyai nilai maksimum $p$ dan nilai minimum $q$, maka $p-q=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 8\sqrt{2} \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 128
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align} f(x) & = x \left( 12-2x \right)^{2} \\ & = x \left( 4x^{2}-48x+144 \right) \\ & = 4x^{3}-48x^{2}+144x \\ f'(x) & = 12x^{2}-96x +144 \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 12x^{2}-96x +144 \\ 0 & = x^{2}-8x +12 \\ 0 & = \left( x-6 \right) \left( x-2 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =6\ \text{atau}\ x =2 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=2$ atau $x=6$

Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 12x^{2}-96x +144 \\ f''(x) & = 24x -96 \\ \hline f''(2) & = 24(2)-96=-48 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(2) \\ f''(6) & = 24(6)-96=48 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(6) \\ \end{align}$

Nilai maksimum $f(2)$ dan Nilai minimum $f(6)$
$\begin{align} f(x) & = x \left( 12-2x \right)^{2} \\ \\ f(2) & = 2 \left( 12-2(2) \right)^{2} \\ & = 2 \left( 8 \right)^{2} = 128 \\ \hline f(6) & = 6 \left( 12-2(6) \right)^{2} \\ \\ & = 6 \left( 0 \right)^{2} = 0 \end{align}$

Dengan nilai maksimum $128$ maka $p=128$ dan nilai minimum $0$ maka $q=0$. Kita peroleh nilai $p-q=128$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 128$

33. Soal SPMB 2005 Kode 171 |*Soal Lengkap

Jika fungsi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+1$ mencapai maksimum di titik $A$, maka absis titik $A$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-9x^{2}+1 \\ f'(x) & = 6x^{2}-18x \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 6x^{2}-18x \\ 0 & = x^{2}-3x \\ 0 & = \left( x \right) \left( x-3 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =0\ \text{atau}\ x =3 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=0$ atau $x=3$

Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 6x^{2}-18x \\ f''(x) & = 12x -18 \\ \hline f''(0) & = 12(0)-18=-18 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(0) \\ f''(3) & = 12(3)-18=18 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(3) \\ \end{align}$

Nilai maksimum adalah $f(0)$ atau saat $x=0$. Dikatakan pada soal $f(x)$ mencapai maksimum di titik $A$, maka absis titik $A$ adalah $0$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$

34. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal Lengkap

Fungsi $f(x)= x^{4}-2x^{2}+ax+a$ mempunyai nilai minimum $b$ di $x=1$. Nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Seperti yang kita ketahui bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\ f'(x) &= 4x^{3}-4x +a
\end{align}$

Karena $f(x)$ nilai minimumnya $b$ di $x=1$ maka $f'(1)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align} f'(1) &= 4(1)^{3}-4(1) +a \\ 0 &= 4-4 +a \\ 0 &= a \\ \hline
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\ f(x) &= x^{4}-2x^{2} \\ b=f(1) &= (1)^{4}-2(1)^{2} \\ &= 1-2=-1 \\ \hline
a+b &= 0-1=-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$

35. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Lengkap

Nilai minimum dari $y=x^{4}-6x^{2}-3$ mencapai...

$\begin{align} (A)\ & -14 \\ (B)\ & -13 \\ (C)\ & -12 \\ (D)\ & -11 \\ (E)\ & -10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align} f(x) & = x^{4}-6x^{2}-3 \\ f'(x) & = 4x^{3}-12x \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 4x^{3}-12x \\ 0 & = x^{3}-3x \\ 0 & = \left( x \right) \left( x^{2}-3 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =0\ \text{atau}\ x =\pm \sqrt{3} \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=0$ atau $x=\pm \sqrt{3}$

Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 4x^{3}-12x \\ f''(x) & = 12x^{2}-12 \\ \hline f''(0) & = 12(0)^{2}-12=-12 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(0) \\ f''\left(\pm \sqrt{3} \right) & = 12\left( \sqrt{3} \right)^{2}-12=24 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f\left(\pm \sqrt{3} \right) \\ \end{align}$

Nilai minimum $f\left(\pm \sqrt{3} \right)$ adalah:
$\begin{align} f(x) & = x^{4}-6x^{2}-3 \\ f\left(\pm \sqrt{3} \right) & = \left(\pm \sqrt{3} \right)^{4}-6\left(\pm \sqrt{3} \right)^{2}-3 \\ & = 9-6(3)-3 \\ & = -12 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -12$

36. Soal SPMB 2004 Regional II |*Soal Lengkap

Fungsi $f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ mencapai...

$\begin{align} (A)\ & \text{maksimum di}\ \left( 0,5 \right) \\ (B)\ & \text{maksimum di}\ \left( 3,-22 \right) \\ (C)\ & \text{minimum di}\ \left( -1,10 \right) \\ (D)\ & \text{minimum di}\ \left( -3,22 \right) \\ (E)\ & \text{minimum di}\ \left( 3,-22 \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align} f(x) & = x^{3}-3x^{2}-9x+5 \\ f'(x) & = 3x^{2}-6x -9 \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 3x^{2}-6x -9 \\ 0 & = x^{2}-2x -3 \\ 0 & = \left( x+1 \right) \left( x-3 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =-1\ \text{atau}\ x =3 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=-1$ atau $x=3$

Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 3x^{2}-6x -9 \\ f''(x) & = 6x -6 \\ \hline f''(-1) & = 6(-1)-6=-12 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maksimum}\ f(-1) \\ f''(3) & = 6(3)-6=12 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(3) \\ \end{align}$

Nilai maksimum $f(-1)$ dan Nilai minimum $f(3)$
$\begin{align} f(x) & = x^{3}-3x^{2}-9x+5 \\ f(-1) & = (-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+5 \\ & = -1 -3 +9 +5 = 10 \\ \hline f(3) & = (3)^{3}-3(3)^{2}-9(3)+5 \\ & = 27 - 27 -27 +5 = -22 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \text{minimum di}\ \left( 3,-22 \right)$

37. Soal Matematika SAINTEK SBMPTN 2016 Kode 217 |*Soal Lengkap

Misalkan $f(x)=a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik belok di $(4,13)$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{91}{8} \\ (B)\ & \dfrac{81}{8} \\ (C)\ & \dfrac{71}{8} \\ (D)\ & \dfrac{61}{8} \\ (E)\ & \dfrac{51}{8} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita gunakan turunan kedua, yaitu untuk menentukan titik belok sebuah fungsi dapat ditentukan dengan aturan titik belok sebuah fungsi yaitu $f''(x)=0$.
$\begin{align} f(x) &= a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \\ f(x) &= a x^{\frac{1}{2}}+ b x^{-\frac{1}{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot a x^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2} \cdot b x^{-\frac{3}{2}} \\ f''(x) &= \dfrac{1}{4} \cdot a x^{-\frac{3}{2}}+\dfrac{3}{4} \cdot b x^{-\frac{5}{2}} \\ &= \dfrac{a}{4 \cdot x^{\frac{3}{2}}} -\dfrac{3b}{4 \cdot x^{\frac{5}{2}}} \\ &= \dfrac{a}{4 \cdot x \sqrt{x}}-\dfrac{3b}{4 \cdot x^{2} \sqrt{x}} \\ \end{align}$

Titik belok fungsi adalah $(4,13)$ sehingga saat $x=4$ berlaku $f''(4)=0$:
$\begin{align} f''(x) &= \dfrac{a}{4 \cdot x \sqrt{x}}-\dfrac{3b}{4 \cdot x^{2} \sqrt{x}} \\ 0 &= \dfrac{a}{4 \cdot 4 \sqrt{4}}-\dfrac{3b}{4 \cdot 4^{2} \sqrt{4}} \\ 0 &= \dfrac{a}{32}-\dfrac{3b}{128} \\ \dfrac{3b}{128} &= \dfrac{a}{32} \\ \dfrac{3}{4}b &= a
\end{align}$

Fungsi melului titik $(4,13)$, sehingga berlaku $f(4)=13$:
$\begin{align} f(x) &= a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \\ f(4) &= a\sqrt{4}+\dfrac{b}{\sqrt{4}} \\ 13 &= 2a +\dfrac{b}{2} \\ 13 &= 2 \cdot \dfrac{3b}{4} +\dfrac{b}{2} \\ 13 &= \dfrac{3b}{2} +\dfrac{b}{2} \\ 13 &= \dfrac{4b}{2} \Rightarrow\ b= \dfrac{13}{2} \\ a &= \dfrac{3}{4} b \\ a &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{13}{2} = \dfrac{39}{8} \\ \hline
a+b &= \dfrac{39}{8} + \dfrac{13}{2} \\ &= \dfrac{39}{8} + \dfrac{52}{8} \\ &= \dfrac{91}{8}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{91}{8}$

38. Soal SIMAK UI 2017 Kode 723 |*Soal Lengkap

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $2x^{2}-(2c-1)x-c^{3}+4=0$, maka nilai maksimum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -4\dfrac{3}{4} \\ (B)\ & -3\dfrac{3}{4} \\ (C)\ & -2\dfrac{3}{4} \\ (D)\ & 2\dfrac{3}{4} \\ (E)\ & 3\dfrac{3}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu meminjam beberapa aturan dari persamaan kuadrat
Jika kita misalkan $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align} M &= x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\ &= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\ &= \left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\ &= \left (\dfrac{2c-1}{2} \right )^{2}-2\left (\dfrac{-c^{3}+4}{2} \right ) \\ &= \dfrac{4c^{2}-4c+1}{4}+c^{3}-4 \\ &= c^{2}-c+\dfrac{1}{4}+c^{3}-4 \\ &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}
\end{align}$

Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $M'=0$.
$\begin{align} M &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4} \\ M' &= 3c^{2}+2c-1 \\ 3c^{2}+2c-1 &= 0 \\ \dfrac{1}{3}(3c+3)(3c-1) &= 0 \\ \end{align}$
Kita peroleh nilai $c=-1$ dan $c=\dfrac{1}{3}$

Untuk $c=-1$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $M=c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}$ lalu membandingkan hasilnya untuk $c=\dfrac{1}{3}$.

$\begin{align} M' &= 3c^{2}+2c-1 \\ M'' &= 6c +2 \\ M'' \left( -1 \right)&= 6(-1)+2=-4 \\ M'' \lt 0 \rightarrow & c=-1\ \text{pembuat maksimum} \\ \hline M'' \left( \frac{1}{3} \right)&= 6\left( \frac{1}{3} \right) +2=4 \\ M'' \gt 0 \rightarrow & c=\frac{1}{3}\ \text{pembuat minimum} \\ \end{align}$

Nilai maksimum $M$ adalah saat $c=-$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} M &= c^{3}+c^{2}-c-3\frac{3}{4} \\ &= (-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)-3\frac{3}{4} \\ &= -1+1+1-3\frac{3}{4} \\ &= -2\dfrac{3}{4}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2 \dfrac{3}{4}$

39. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 |*Soal Lengkap

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2}+5ax+a^{3}-4a+1=0$. Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah$\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -\sqrt{3} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \sqrt{3} \\ (E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu meminjam beberapa aturan dari persamaan kuadrat
Jika kita misalkan $N=x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align} N &= x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2} \\ &= x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2} \\ &= -\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \\ &= -\dfrac{5a}{1}+\dfrac{a^{3}-4a+1}{1} \\ &= a^{3}-9a+1
\end{align}$
Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $N'=0$.
$\begin{align} N &= a^{3}-9a+1 \\ N' &= 3a^{2}-9 \\ 3a^{2}-9 &= 0 \\ a^{2}-3 &= 0 \\ (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) &= 0
\end{align}$

Kita peroleh nilai $a=-\sqrt{3}$ dan $a=\sqrt{3}$

Untuk $a=-\sqrt{3}$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $N=a^{3}-9a+1$ lalu membandingkan hasilnya untuk $a=\sqrt{3}$.

Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum adalah $-\sqrt{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\sqrt{3}$

40. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=(x-1)^{\frac{2}{3}}$, maka...
$(1)\ $ $f\ \text{terdefinisi di}\ x \geq 0$
$(2)\ $ $f'(2)=\dfrac{2}{3}$
$(3)\ $ $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$
$(4)\ $ $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik
Alternatif Pembahasan:
Show

Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan

  • Untuk point $(1)$ pernyataan $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ terdefinisi di $x \geq 0$ adalah BENAR
    Sebuah fungsi dikatakan terdefinisi jika fungsi tersebut mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real.
  • Untuk point $(2)$ pernyataan $f'(2)=\dfrac{2}{3}$ adalah BENAR
    $ \begin{align}
    f(x) & = (x-1)^{\frac{2}{3}} \\ f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^{-\dfrac{1}{3}} \\ f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^{-\dfrac{1}{3}} \\ & = \dfrac{2}{3}
    \end{align} $
  • Untuk point $(3)$ pernyataan $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$ dan $y=(x-1)^\dfrac{2}{3}=1$ adalah BENAR
    $ \begin{align}
    m=f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^{-\dfrac{1}{3}} \\ m=f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3} \\ y-y_{1} & = m \left(x-x_{1} \right) \\ y-1 & = \dfrac{2}{3} (x-2) \\ y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3} + 1 \\ y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3} \\ \end{align} $
  • Untuk point $(4)$ pernyataan $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik adalah SALAH, karena $f(x)=(x-1)^{\frac{2}{3}}$ tidak mempunyai nilai turunan ketika $x=1$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1),\ (2),\ (3)\ \text{BENAR}$

41. Soal SIMAK UI 2009 Kode 911 |*Soal Lengkap

Diberikan grafik fungsi $f \left( x \right)= 3x^{\frac{5}{3}}-15x^{\frac{2}{3}}$, maka...

$\begin{align} (1)\ & f' \left( 0 \right)\ \text{tidak ada} \\ (2)\ & \text{fungsi naik di selang}\ \left( 2, \infty \right) \\ (3)\ & \text{fungsi turun di selang}\ \left( 0, 2 \right) \\ (4)\ & \text{terjadi minimum relatif di titik}\ \left( 2, -9\sqrt[3]{4} \right) \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} f \left( x \right) & = 3x^{\frac{5}{3}}-15x^{\frac{2}{3}} \\ f' \left( x \right) & = \frac{5}{3} \cdot 3x^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3} \cdot 15x^{-\frac{1}{3}} \\ & = 5x^{\frac{2}{3}}-10x^{-\frac{1}{3}} \cdot \dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} \end{align}$

  1. $f' \left( 0 \right)\ \text{tidak ada}$
    $\begin{align} f'\left( 0 \right) & = \dfrac{5(0)-10}{0^{\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{-10}{0} \\ & = \text{tidak terdefinisi} \end{align}$
    $ \therefore $ Pernyataan (1) BENAR
  2. $\text{fungsi naik di selang}\ \left( 2, \infty \right)$
    $\begin{align} f'\left( x \right) & \gt 0 \\ \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} & \gt 0 \\ \dfrac{5x-10}{\sqrt[3]{x }} & \gt 0 \\ \end{align}$

    Pertidaksamaan di atas berlaku saat $x \gt 0$ dan $5x-10 \gt 0 \rightarrow x \gt 2$, sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $x \gt 2$.

    $ \therefore $ Pernyataan (2) BENAR
  3. $\text{fungsi turun di selang}\ \left( 0,2 \right)$
    $\begin{align} f'\left( x \right) & \lt 0 \\ \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} & \lt 0 \\ \dfrac{5x-10}{\sqrt[3]{x }} & \lt 0 \\ \end{align}$

    Pertidaksamaan di atas berlaku saat $x \gt 0$ dan $5x-10 \lt 0 \rightarrow x \lt 2$, sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $0 \lt x \lt 2$.

    $ \therefore $ Pernyataan (3) BENAR
  4. $\text{terjadi minimum relatif di titik}\ \left( 2, -9\sqrt[3]{4} \right)$
    $\begin{align} f'\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{5x-10}{x^{\frac{1}{3}}} & = 0 \\ 5x-10 & = 0 \\ x & = 2 \\ \hline f \left( 2 \right) & = 3(2)^{\frac{5}{3}}-15(2)^{\frac{2}{3}} \\ & = 3(2)^{\frac{5}{3}}-15(2)^{\frac{2}{3}} \\ & = (2)^{\frac{2}{3}} \left( 3(2)^{1}-15 \right) \\ & = (2)^{\frac{2}{3}} \left( -9 \right) \\ & = -9\sqrt[3]{4} \end{align}$
    $ \therefore $ Pernyataan (4) BENAR

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1)(2)(3)(4)\ \text{BENAR}$

42. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap

Jika persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Karena persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, maka dapat kita misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan $ \dfrac{1}{m}$ dengan syarat $m \gt 0$.

Hasil kali akar-akar,
$\begin{align} m \times \dfrac{1}{m} & = \dfrac{c}{a} \\ 1 & = q
\end{align}$

Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align} m + \dfrac{1}{m} & = -\dfrac{b}{a} \\ m+m^{-1} & = p
\end{align}$

Nilai maksimum $p-q$ kita coba cari dengan turunan pertama $p-q$ yaitu
$\begin{align} p-q & = m+m^{-1} - 1 \\ (p-q)' & = 1-m^{-2} \\ 1-m^{-2} & = 0 \\ m^{-2} & = 1 \\ \dfrac{1}{m^{2}} & = 1 \\ 1 & = m^{2} \\ m = -1\ & \text{atau}\ m=1\ \text{(TM)}
\end{align}$

Untuk $m=-1$
$p-q = m+m^{-1} - 1$
$p-q =-1+(-1)^{-1} - 1$
$p-q =-3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$

43. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap

Sebuah kotak dengan alas persegi dirancang agar volumnya $2$ liter. Jika biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, maka biaya pembuatan termurahnya adalah $p$ ribu rupiah, dengan $p=\cdots$.
$\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita misalkan alas dan tinggi kotak masing-masing adalah $a$ dan $t$, sehingga adalah:
$\begin{align} V &= L_{alas} \cdot Tinggi \\ 2 &= a^{2} \cdot t \\ t &= \dfrac{2}{a^{2}}
\end{align}$

Luas permukaan balok adalah:
$\begin{align} L &= 2a^{2}+ 4 \cdot at \\ L &= 2a^{2}+ 4 \cdot a \cdot \dfrac{2}{a^{2}} \\ L &= 2a^{2}+ \dfrac{8}{a} \\ L &= 2a^{2}+ 8 a^{-1} \\ \end{align}$

Biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, sehingga total biaya adalah:
$\begin{align} B &= 2a^{2} \cdot 2 + 8 a^{-1} \cdot 1\\ B &= 4a^{2} + 8 a^{-1}
\end{align}$

Untuk mendapatkan biaya minimum atau termurah kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(B'=0)$, yaitu:
$\begin{align} B' &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a^{3} - 8 \\ 8a^{3} &= 8 \\ a^{3} &= 1 \\ a &= 1
\end{align}$

Biaya termurah kita peroleh saat $a=1$ sehingga biaya termurah adalah
$\begin{align} B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \\ p &= 4(1)^{2} + 8 (1)^{-1} \\ p &= 12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$

44. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkap

Untuk $x \geq 1$, nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x+7$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 11 \\ (E)\ & 23
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mendapatkan nilai maskimum kita coba uji pakai turunan pertama sama dengan nol, yaitu:
$\begin{align} f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= x^{2}-4x +3 \\ 0 &= (x-1)(x-3) \\ x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\ \hline
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f(1) &= -(1)^{3}+6(1)^{2}-9(1)+7 \\ &= -1+6-9+7=3 \\ f(3) &= -(3)^{3}+6(3)^{2}-9(3)+7 \\ &= -27+54-27+7=7
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$

Catatan Tambahan:
Menentukan nilai maksimum atau minimum dapat juga menggunakan Uji turunan kedua yaitu:
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum adalah $f(a)$.
$\begin{align} f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= x^{2}-4x +3 \\ 0 &= (x-1)(x-3) \\ x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\ \hline
f''(x) &= -6x+12 \\ f''(1) &= -6(1) +12=6 \\ f''(3) &= -6(3) +12=-6
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas, $x=3$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(3)$ yaitu $7$.

45. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap

Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$, maka $f(4)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 11 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 22
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui $f(x)$ adalah fungsi kuadrat, kita misalkan $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Untuk $f(x)= ax^{2}+bx+c$, $f'(x)=2ax +b$ dan $f'(1)=3$, maka $3=2a+b$.

Garis singggung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ di $x=-1$ adalah $y=-x+1$ dimana gradien $m=-1$.
$\begin{align} m & = f'(x)=2ax +b \\ m & = f'(-1) \\ -1 & = -2a+b
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\ -2a+b = -1 & \\ \hline
2b = 2 & \\ b = 1 & \\ a = 1
\end{array} $
Untuk $a=1$ dan $b=1$ maka $f(x)= x^{2}+ x+c$
Saat $x=-1$ diperoleh $y=-x+1=-(-1)+1=2$ maka $2= (-1)^{2}+(-1)+c$ kita peroleh $c=2$

$f(x)= x^{2}+ x+2$
$f(4)= 4^{2}+ 4+2=22$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 22$

46. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap

Matematika Dasar Turunan Fungsi SIMAK UI 2013
Diketahui grafik fungsi $f'(x)$ seperti terlihat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi $f(x)$ adalah...
$(1)\ $ Saat $x \lt-1$, $f(x)$ turun
$(2)\ $ Saat $0 \lt x \lt 2$, $f(x)$ naik
$(3)\ $ Garis singgung kurva $f(x)$ di $x=-1$ sejajar dengan sumbu $X$
$(4)\ $ $x=2$ merupakan titik ekstrim
Alternatif Pembahasan:
Show

  • Saat $x \lt -1$ terlihat pada gambar $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ turun.
    $\therefore$ pernyataan $(1)$ Benar
  • Saat $0 \lt x \lt 2$ terlihat pada gambar $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ naik.
    $\therefore$ pernyataan $(2)$ Benar
  • Saat $x=-1$ terlihat pada gambar $f'(-1) = 0$ maka $x=-1$ merupakan titik ekstrim. Garis singgung kurva pada titik ekstrim sejajar sumbu $x$
    $\therefore$ pernyataan $(3)$ Benar
  • Saat $x=2$ terlihat pada gambar $f'(2) = 0$ maka $x=2$ merupakan titik ekstrim.
    $\therefore$ pernyataan $(4)$ Benar

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1)(2)(3)(4)\ \text{Benar}$

47. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 |*Soal Lengkap

Diketahui $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$ dengan $0 \lt a \lt b$.
Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ adalah...

$(1)$ Jika $x \lt b$, $f(a)$ adalah nilai maksimum $f$.
$(2)$ Jika $x \gt 0$, $f(b)$ adalah nilai minimum $f$.
$(3)$ Jika $x \lt 0$, $f$ merupakan fungsi turun.
$(4)$ Jika $x \gt b$, $f$ merupakan fungsi naik.
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$, untuk $f'(x)=0$ maka kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \\ 0 &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b)
\end{align}$
Titik ekstrim adalah saat $x=0$, $x=a$, dan $x=b$, sehingga ada empat daerah yang dibatasi yaitu:

  • Saat $x \lt 0$, maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
  • Saat $0 \lt x \lt a$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
  • Saat $a \lt x \lt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
  • Saat $ x \gt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
Dari keterangan yang kita peroleh di atas, dapat kita simpulkan bahwa:
  • Untuk $x=0$ adalah nilai maksimum $f$, karena saat $x \lt 0$ fungsi $f$ naik.
  • Untuk $x=a$ adalah titik belok $f$, karena saat $0 \lt x \lt a$ dan $a \lt x \lt b$ fungsi $f$ turun.
  • Untuk $x=b$ adalah nilai minimum $f$, karena saat $x \gt b$ fungsi $f$ naik.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)(4)\ \text{Benar}$

48. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 |*Soal Lengkap

Diketahui grafik fungsi $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ dengan $b^{2} \lt 3ac$. Pernyataan berikut mungkin terjadi pada fungsi $f$ tersebut, kecuali...
$(1)\ $ $f$ merupakan fungsi naik di seluruh daerah asalnya.
$(2)\ $ $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.
$(3)\ $ $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum.
$(4)\ $ $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik.
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ kita peroleh $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$
$\begin{align} D &= b^{2}-4ac \\ &= (2b)^{2}-4(3a)(c) \\ &= 4b^{2}-12ac \\ &= 4 \left( b^{2}-3ac \right) \\ \hline
b^{2} \lt 3ac\ & \text{sehingga}\ D \lt 0
\end{align}$

  • $b^{2} \lt 3ac$, dimana $b^{2} \gt 0$ sehingga $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ atau $a \gt 0$ dan $c \gt 0$
    • Saat $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit negatif atau $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ selalu turun.
    • Saat $a \gt 0$ dan $c \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit positif atau $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ selalu naik.
  • $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik benar yaitu saat $x=0$
  • $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum karena $f$ selalu naik atau selalu turun
  • $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik tidak tepat karena $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ \text{Benar}$

49. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 |*Soal Lengkap

Grafik $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ mempunyai garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$, maka jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \dfrac{5}{6} \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{5}{3} \\ (E)\ & \dfrac{8}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$ dapat terjadi jika dan hanya jika $P$ dan $Q$ adalah titik ekstrim, sehingga turunan pertama pada titik $P$ dan $Q$ adalah nol.

Dari $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ kita peroleh $y' =x^{2}-3x +2 $
$\begin{align} y' & =x^{2}-3x +2 \\ 0 &= (x-2)(x-1) \\ x=2\ &\text{atau}\ x=1 \\ \hline
x=1 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(1)^{3}-\dfrac{3}{2}(1)^{2}+2(1) \\
& \rightarrow y =\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{2} +2 \\ & \rightarrow y =\dfrac{5}{6} \\ x=2 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(2)^{3}-\dfrac{3}{2}(2)^{2}+2(2) \\
& \rightarrow y =\dfrac{8}{3} -\dfrac{12}{2} +4 \\
& \rightarrow y =\dfrac{2}{3}
\end{align}$
Jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah $\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$

50. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah $x$, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah...
$\begin{align} (A)\ & \pi x \\ (B)\ & 2\pi x \\ (C)\ & \dfrac{x}{2\pi} \\ (D)\ & \dfrac{x}{\pi} \\ (E)\ & \dfrac{x^{2}}{4\pi}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya, dimana keliling dalah $x$, sehingga berlaku:
$\begin{align} K & =2 \pi\ r \\ x & =2 \pi\ r \\ r & = \dfrac{x}{2 \pi} \\ \hline
L & = \pi \cdot r^{2} \\ & = \pi \cdot \left( \dfrac{x}{2 \pi} \right)^{2} \\ & = \pi \cdot \dfrac{x^{2}}{4 \pi^{2}} \\ & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi}
\end{align}$
Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya dapat kita tuliskan $\dfrac{\Delta L}{\Delta K}=\dfrac{\Delta L}{\Delta x}=\dfrac{d L}{dx}$.
$\begin{align} L & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \\ \dfrac{d L}{dx} & = \dfrac{2x}{4 \pi} \\ & = \dfrac{ x}{2 \pi}
\end{align}$

Jika tertarik untuk mencoba soal yang berbeda tentang Laju perubahan coba disini
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{x}{2\pi}$

51. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Proyek pembangunan gedung STIS dapat diselesaikan dalam $x$ hari, dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek pembangunan gedung STIS ini minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu...
$\begin{align} (A)\ & 40\ \text{hari} \\ (B)\ & 60\ \text{hari} \\ (C)\ & 90\ \text{hari} \\ (D)\ & 120\ \text{hari} \\ (E)\ & 150\ \text{hari}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Fungsi total biaya yang dikerjakan setiap hari adalah $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$, sehingga biaya total pekerjaan selama $x$ hari adalah:
$\begin{align} B(x) & = \left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right) x \\ & = 3x^{2}-900x+200 \\ B'(x)& = 6x-900
\end{align}$
Untuk mendapatakan biaya minimum dapat kita gunakan turunan pertama $B'(x)=0$
$\begin{align} 6x-900 & = 0 \\ 6x & = 900 \\ x & = \dfrac{900}{60}=150
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 150\ \text{hari}$

52. Soal TKA SAINTEK UTBK SBMPTN Tahun 2019 |*Soal Lengkap

Jarak terdekat pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ ke garis $2x-y=4$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{ 5 }\sqrt{5} \\ (B)\ & \dfrac{5}{ 3 }\sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{7}{ 5 }\sqrt{5} \\ (D)\ & \dfrac{5}{ 7 }\sqrt{7} \\ (E)\ & \dfrac{1}{ 5 }\sqrt{5} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misal titik $(m,n)$ adalah titik pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ sehingga jarak kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ dan garis $2x-y=4$ minimum (terdekat).

$y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ pada titik $(m,n)$ berlaku $n=\dfrac{1}{2}m^{2}+1$.

Dengan menggunakan rumus jarak titik $\left( x_{1},y_{1}\right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| $ sehingga jarak titik $(m,n)$ ke garis $2x-y-4=0$ adalah
$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m-n-4}{ \sqrt{(2)^2+(-1)^2}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m-\left( \dfrac{1}{2}m^{2}+1 \right) -4}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-1 -4}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ \end{align}$
Untuk menentukan nilai $d$ minimum maka kita dapat cara darai $d'=0$.

$\begin{align} d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d' &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5}-0}{ \left( \sqrt{5} \right)^{2}} \\ 0 &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5} }{5}\\ 0 &= \left( 2 - m \right) \sqrt{5} \\ \hline
m &= 2 \\ \hline
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2(2)- \dfrac{1}{2}(2)^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{4 - 2 -5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{-3}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \dfrac{3}{ \sqrt{5} }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3}{ 5 }\sqrt{5}$

53. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi $30\ cm$ akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara mengunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti gambar. Volume kotak yang terbesar yang dapat dibuat adalah...
Simulasi UNBK Matematika IPA (*Soal dan Pembahasan Paket A)
$\begin{align} (A)\ & 2.000\ cm^{3} \\ (B)\ & 3.000\ cm^{3} \\ (C)\ & 4.000\ cm^{3} \\ (D)\ & 5.000\ cm^{3} \\ (E)\ & 6.000\ cm^{3} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Soal ini adalah salah satu contoh penerapan atau aplikasi fungsi turunan, volume kotak dapat kita hitung dengan aturan menghitung volum tabung yaitu $\text{Luas Alas} \times \text{tinggi}$.

Panjang sisi karton adalah $30\ cm$ dan dipotong sebesar $x\ cm$ di setiap sudut karton, sehingga alas kotak nantinya adalah persegi dengan panjang sisi $30-2x$ dan tinggi kotak adalah $x$. Volume kotak adalah:
$\begin{align} V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ & = \left( 900-120x+4x^{2} \right) \cdot x \\ & = 4x^{3}-120x^{2}+900x \\ \end{align}$

Volume kotak terbesar kita coba tentukan dengan uji turunan pertama yaitu;
$\begin{align} V'(x) & = 0 \\ 12x^{2}-240x+900 & = 0 \\ x^{2}-20x+75 & = 0 \\ (x-15)(x-5) & = 0
\end{align}$

Untuk menentukan volume kotak terbesar dapat dengan menguji pembuat nol pada turunan pertama ($x=5$ dan $x=15$) ke turunan kedua yaitu;
$\begin{align} V''(x) & = 2x-20 \\ \hline
x=15 & \rightarrow V''(15) = 10\ ( 10 \gt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume minimum} \\ \hline
x=5 & \rightarrow V''(5) = -10\ (-10 \lt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume maximum} \\ \hline
V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ V(5) & = \left(30-2(5) \right)^{2} \cdot 5 \\ V(5) & = 400 \cdot 5 =2000
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2.000\ cm^{3}$

54. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Sebuah akuarium berbentuk balok tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegipanjang dengan perbandingan lebar dan panjangnya $2:3$. Jika luas permukaan akuarium adalah $1.800\ cm^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah...$cm^{3}$

$\begin{align} (A)\ & 62.000 \\ (B)\ & 72.000 \\ (C)\ & 82.000 \\ (D)\ & 92.000 \\ (E)\ & 102.000 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita ilustrasikan balok yang disampaikan pada soal dan dengan memisalkan panjang $3x$, lebar $2x$ tinggi $t$, kurang lebih seperti berikut ini:

UNBK 2018 Matematika SMA IPA (*Soal dan Pembahasan)

Luas permukaan balok tanpa tutup adalah $1.800\ m^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
1800 &= 2x \cdot 3x + 2 \cdot 2x \cdot t + 2 \cdot 3x \cdot t \\ 1800 &= 6x^{2} + 4xt + 6xt \\ 1800 &= 6x^{2} + 10xt \\ 1800 - 6x^{2} &= 10xt \\ \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} &= t
\end{align} $
Volume balok:
$\begin{align}
V &= 2x \cdot 3x \cdot t \\ &= 6x^{2} \cdot \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} \\ &= 6x \left( 1800- 6x^{2} \right) \\ &= 10800x- 36x^{3}
\end{align} $
Dengan menggunakan uji turunan pertama $\left( V'=0 \right)$ kita peroleh $x$ pembuat maksimum:
$\begin{align}
V' &= 10800 - 108x^{2} \\ 0 &= 108 \left( 100 - x^{2} \right) \\ 0 &= 108 \left( 10 + x \right)\left( 10 - x \right) \\ \hline
& x = -10\ \text{atau}\ x=10 \\ \hline
V &= 10800x- 36x^{3} \\ V &= 10800(10)- 36(10)^{3} \\ V &= 108.000- 36.000 \\ V &= 72.000
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 72.000$

55. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Kawat yang panjangnya $128\ cm$ akan dibentuk menjadi lima persegi panjang seperti pada gambar berikut:

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPS Tahun 2019

Luas maksimum daerah yang dapat dibuat dengan kawat adalah...$cm^{2}$

$\begin{align} (A)\ & 280 \\ (B)\ & 290 \\ (C)\ & 300 \\ (D)\ & 310 \\ (E)\ & 320 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Luas lima persegi panjang seperti gambar adalah $L=5xy$
Panjang kawat yang dibutuhkan kelima persegipanjang adalah:
$ \begin{align} 8x+8y & = 128 \\ x+ y & = 16 \\ y & = 16-x \\ \hline
L & = 5xy \\ L & = 5x(16-x) \\ L & = 80x-5x^{2}
\end{align}$
Luas maksimum dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $\left(L'=0 \right)$.
$ \begin{align} L' & = 80-10x \\ 0 & = 80-10x \\ 10x & = 80 \\ x & = 8 \\ \hline
L & = 80x-5x^{2} \\ & = 80(8)-5(8)^{2} \\ & = 640-320 \\ & = 320
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 320$

56. Soal Matematika SAINTEK SBMPTN 2016 Kode 249 |*Soal Lengkap

Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sama sisi adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{3} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba mengilustrasikan kurva $y=3-x^{2}$ dan garis singgung di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ seperti berikut ini;

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPS Tahun 2019

Dari gambar di atas garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ yaitu $PR$ dan $Q(a,b)$ yaitu $QR$ dapat kita hitung grad gradien masing-masing garis dengan menggunakan turunan pertama $m=y'$:
$\begin{align} y &= 3-x^{2} \\ y' &= -2x \\ m_{PR} &= -2(-a) = 2a \\ m_{QR} &= -2(a) = 2a
\end{align}$

Nilai gradien garis dapat juga kita hitung dengan menggunakan $m=tan\ \alpha$ dimana $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu-$x$ positif.

Karena yang diharapkan segitiga $PQR$ menjadi segitiga samasisi maka sudut $PQR=\alpha$ adalah $\alpha=60^{\circ}$ sehingga gradien garis $PR$ adalah:
$\begin{align} m_{PR} &=tan\ 60^{\circ} \\ 2a &= \sqrt{3} \\ a &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

57. Soal UMB-PT 2014 Kode 673 |*Soal Lengkap

Jumlah dua bilangan positif adalah $120$. Agar hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua mencapai maksimum, maka selisih dari bilangan yang terbesar dan yang terkecil adalah...
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 50
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misal kedua bilangan adalah $a$ dan $b$;
$\begin{align} a+b &= 120 \\ b &= 120-a \\ H &= a^{2} \cdot b \\ &= a^{2} \cdot (120-a) \\ &= 120a^{2} - a^{3}
\end{align}$

Misal hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua adalah $H$, dan untuk mendapatkan $H$ maksimum kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(H'=0)$, yaitu:
$\begin{align} H' &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= a \left( 240 -3a \right) \\ a &= 0\ \text{atau}\ a=\dfrac{240}{3}=80
\end{align}$

Nilai $H$ maksimum kita peroleh saat $a=80$ sehingga $b=40$, dan selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $80-40=40$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 40$

58. Soal UMPTN 1992 Rayon A |*Soal Lengkap

Untuk memproduksi $x$ unit barang per hari diperlukan biaya $\left( x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \right)$ rupiah. Jika barang itu harus harus diproduksikan, maka biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi...
$\begin{align} (A)\ & 1.000\ \text{unit} \\ (B)\ & 1.500\ \text{unit} \\ (C)\ & 2.000\ \text{unit} \\ (D)\ & 3.000\ \text{unit} \\ (E)\ & 4.000\ \text{unit}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mendapatkan biaya minimum dapat kita pakai uji turunan $\left( y'=0 \right)$ pertama sama dengan nol pada $y=\left( x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \right)$.
$\begin{align} y &= x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \\ y' &= 3x^{2}-6.000x +3.000.000 \\ \hline
y' &= 0 \\ 0 &= 3x^{2}-6.000x +3.000.000 \\ 0 &= x^{2}-2.000x +1.000.000 \\ 0 &= (x-1000)(x-1000) \\ & x=1000
\end{align}$
Biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi $1.000$ unit

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1.000\ \text{unit}$

59. Soal SPMB 2004 Regional I |*Soal Lengkap

Jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah $75$. Nilai terbesar dari hasil kali kedua bilangan tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 50 \\ (B)\ & 75 \\ (C)\ & 175 \\ (D)\ & 250 \\ (E)\ & 350 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misal kedua bilangan adalah $a$ dan $b$, sehingga jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah $75$ dapat kita tuliskan $a+b^{2}= 75$ atau $a= 75-b^{2}$.

Hasil Kali $(HK)$ kedua bilangan adalah:
$\begin{align} HK &= a \times b \\ &= \left( 75-b^{2} \right) \times b \\ &= 75b-b^{3} \end{align}$

Untuk mendapatkan $HK$ maksimum, kita gunakan turunan pertama dari $HK$ yaitu $HK'=0$.
$\begin{align} HK &= 75b-b^{3} \\ HK' &= 75-3b^{2} \\ \hline HK' &= 0 \\ 0 &= 75-3b^{2} \\ 0 &= b^{2}-25 \\ 0 &= \left( b-5 \right)\left( b+5 \right) \\ &b=5\ \text{atau}\ b=-5 \\ \end{align}$

Untuk $b=5\ \rightarrow a=50$ maka $ab=5 \cdot 50=250$, sedangkan untuk $b=-5\ \rightarrow a=50$ maka $ab=5 \cdot 50=-250$. Nilai terbesar dari $a \cdot b$ adalah $250$.


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 250$

60. Soal SPMB 2004 Regional II |*Soal Lengkap

Jika $\bigtriangleup ABC$ siku-siku sama kaki, $AC=BC=8$ dan $AD=CE$, maka luas minimum dari segiempat $ABED$ adalah...

Jika segitiga ABC siku-siku sama kaki, AC=BC=8 dan AD=CE, maka luas minimum dari segiempat ABED adalah

$\begin{align} (A)\ & 16 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 32 \\ (D)\ & 48 \\ (E)\ & 64 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Luas segitiga $ABC$ adalah
$ \begin{align} \left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \\ & = 32 \end{align}$

Jika pada $\bigtriangleup ABC$ kita misalkan $AD=x$ maka $CD=8-x$, $CE=x$ dan $EB=8-x$ maka dapat kita gambarkan seperti berikut:

Jika segitiga ABC siku-siku sama kaki, AC=BC=8 dan AD=CE, maka luas minimum dari segiempat ABED adalah

Untuk menentukan luas segiempat $ABED$ maksimum dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $L'=0$, yaitu:
$ \begin{align} L & = \left[ ABC \right]-\left[ CDE \right] \\ & = 32- \dfrac{1}{2} \cdot CE \cdot CD \\ & = 32- \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot (8-x) \\ & = 32-4x+\dfrac{1}{2}x^{2} \\ L' & = -4+x \\ \hline L' & = 0 \\ 0 & = -4+x \\ 4 & = x \end{align}$

Luas maksimum segiempat $ABED$ terjadi saat $x=4$ yaitu
$ \begin{align} L & = 32-4x+\dfrac{1}{2}x^{2} \\ & = 32-4(4)+\dfrac{1}{2}(4)^{2} \\ & = 32-16+8 \\ & = 24 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 24$


61. Soal UMPTN 1997 Rayon A, B, C |*Soal Lengkap

Sebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya $30\ cm$ dengan melipat lebarnya atas tiga bagian yang sama, seperti terlihat pada gambar.

Jika theta menyatakan besar sudut dinding talang tersebut dengan bidang alasnya, maka volume air yang tertampung paling banyak bila  theta

Jika $\theta$ menyatakan besar sudut dinding talang tersebut dengan bidang alasnya $\left( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)$, maka volume air yang tertampung paling banyak bila $\theta=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 75^{\circ} \\ (B)\ & 60^{\circ} \\ (C)\ & 45^{\circ} \\ (D)\ & 30^{\circ} \\ (E)\ & 22,5^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Agar volume air yang tertampung maksimum pada talang maka luas penampang talang yang tampak seperti trapesium harus maksimum. Sebagai bantuan, titik sudut kita beri nama dan kita misalkan panjang $BF=x$ seperti gambar berikut:

Jika theta menyatakan besar sudut dinding talang tersebut dengan bidang alasnya, maka volume air yang tertampung paling banyak bila  theta

Luas trapesium $ABCD$ adalah:
$ \begin{align} L & = \left[ ABCD \right] \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \left( BC+AD \right) \cdot AF \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 10+2x+10 \right) \cdot AF \\ & = \left( 10+x \right) \cdot AF \\ \hline AF & = \sqrt{AB^{2}-BF^{2}} \\ & = \sqrt{10^{2}-x^{2}} \\ & = \sqrt{100-x^{2}} \\ \hline L & = \left( 10+x \right) \cdot \sqrt{100-x^{2}} \\ \end{align}$


Luas maksimum tercapai saat $L'=0$.
$ \begin{align} L & = \left( 10+x \right) \cdot \sqrt{100-x^{2}} \\ \hline u &= 10+x \rightarrow u'= 1\\ v &= \sqrt{100-x^{2}} \\ v' &= \dfrac{1}{2}\left(100-x^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \left(-2x \right) \\ &= \dfrac{-x}{\sqrt{100-x^{2}}} \\ \hline L' &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ & = 1 \cdot \left( \sqrt{100-x^{2}} \right) +\left( 10+x \right) \left( \dfrac{-x}{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ & = \sqrt{100-x^{2}} - \left( \dfrac{ 10x+x^{2} }{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ \hline L' & = 0 \\ 0 & = \sqrt{100-x^{2}} - \left( \dfrac{ 10x+x^{2} }{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ \sqrt{100-x^{2}} & = \dfrac{ 10x+x^{2} }{\sqrt{100-x^{2}}} \\ 100-x^{2} & = 10x+x^{2} \\ 0 & = 2x^{2}+10x-100 \\ 0 & = \left( x-5 \right)\left( x+10 \right) \\ & x=5\ \text{atau}\ x=-10 \\ \end{align}$

Karena $x$ adalah ukuran panjang maka $x=-10$ tidak memenuhi, sehingga luas trapesium akan maksimum saat $x=5$.

Untuk $x=5$ maka:
$ \begin{align} cos\ \theta & = \dfrac{BF}{AB} \\ & = \dfrac{5}{10}= \dfrac{1}{2} \\ \theta & = 60^{\circ} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 60^{\circ}$

62. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal Lengkap

Jika grafik fungsi $y=x+\dfrac{1}{x}$ mencapai maksimum di titik $\left(x_{0},y_{0} \right)$ maka $ x_{0}+y_{0} =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align} f(x) & = x+\dfrac{1}{x} \\ & = x+x^{-1} \\ f'(x) & = 1-x^{-2} \\ & = 1-\dfrac{1}{x^{2}} \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 1-\dfrac{1}{x^{2}} \\ 0 & = \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}} \\ 0 & = x^{2}-1 \\ 0 & = \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x =1\ \text{atau}\ x =-1 \end{align} $
Dari yang kita peroleh di atas maka $f(x)$ akan maksimum/minimum di $x=1$ atau $x=-1$

Dengan menggunakan uji turunan kedua kita peroleh:
$\begin{align} f'(x) & = 1-x^{-2} \\ f''(x) & = 1+2x^{-3} \\ \hline f''(1) & = 1+2(1)^{-3}=3 \gt 0 \\ &\star \text{Nilai minimum}\ f(1) \\ f''\left( -1 \right) & = 1+2(-1)^{-3}=-1 \lt 0 \\ &\star \text{Nilai maximum}\ f\left( -1 \right) \\ \end{align}$

Nilai maksimum $f(-1)$ adalah:
$\begin{align} f(x) & = x+\dfrac{1}{x} \\ f(-1) & = (-1)+\dfrac{1}{(-1)} \\ & = -1 -1 = -2 \end{align}$

Mencapai maksimum di titik $\left(-1,-2 \right)$ maka $ -1-2 =-3$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -3$

63. Soal SIMAK UI 2010 Kode 204 |*Soal Lengkap

Sebuah tempat air terbuat dari plat baja yang berbentuk separuh tabung (sesuai gambar). Bagian atas terbuka dan kapasitasnya $125\pi$ liter. Agar bahan pembuatannya sehemat mungkin, nilai $h=\cdots$ meter.

Sebuah tempat air terbuat dari plat baja yang berbentuk separuh tabung (sesuai gambar). Bagian atas terbuka dan kapasitasnya 125 pi liter. Agar bahan pembuatannya sehemat mungkin, nilai  h meter

$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 50 \\ (E)\ & 100 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Volume tabung adalah $V_{T}=\pi r^{2}t$ sehingga untuk separuh tabung dengan tinggi $h$ maka volume adalah:
$\begin{align} V_{\frac{1}{2}T} & = \dfrac{1}{2} \cdot \pi r^{2}h \\ 125\pi & = \dfrac{1}{2} \cdot \pi r^{2}h \\ \dfrac{250}{r^{2}} & = h \end{align}$

Luas bahan yang diperlukan untuk membuat separuh tabung adalah luas setengah selimut tabung ditambah dua kali luas setengah lingkaran
$\begin{align} L & =\dfrac{1}{2} \cdot 2\pi r h + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \pi r^{2} \\ L & = \pi r h + \pi r^{2} \\ \hline & h = \dfrac{250}{r^{2}} \\ \hline L & = \pi r \cdot \dfrac{250}{r^{2}} + \pi r^{2} \\ & = 250 \pi r^{-1} + \pi r^{2} \\ \end{align}$

Untuk mendapatkan Luas $L$ minimum kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama $L'=0$, sehingga dapat kita tuliskan
$\begin{align} L' & = 0 \\ -250 \pi r^{-2}+2 \pi r & = 0 \\ 2 \pi r & = 250 \pi r^{-2} \\ r & = 125 r^{-2} \\ r^{3} & = 125 \\ r & = 5 \\ \hline h & = \dfrac{250}{r^{2}} = \dfrac{250}{5^{2}} \\ & = \dfrac{250}{25}=10 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 10$

64. Soal SIMAK UI 2010 Kode 206 |*Soal Lengkap

Sebuah akuarium memiliki dasar dan sisi-sisi yang berbentuk persegi panjang dan tidak memiliki tutup. Volume dari akuarium adalah $4\ m^{3}$. Lebar dari dasar akuarium adalah $1\ m$. Untuk pembuatan dasar akuarium diperlukan biaya sebesar $Rp10.000,00$ per $m^{2}$, sedangkan untuk sisi-sisinya diperlukan biaya sebesar $Rp5.000,00$ per $m^{2}$. Biaya minimal yang diperlukan untuk membuat sebuah akuarium adalah...

$\begin{align} (A)\ & Rp20.000,00 \\ (B)\ & Rp40.000,00 \\ (C)\ & Rp50.000,00 \\ (D)\ & Rp60.000,00 \\ (E)\ & Rp80.000,00 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Akuarium kita ilustrasikan seperti gambar berikut:

Sebuah akuarium memiliki dasar dan sisi-sisi yang berbentuk persegi panjang dan tidak memiliki tutup. Volume dari akuarium adalah  4 m3. Lebar dari dasar akuarium adalah 1 m. Untuk pembuatan dasar akuarium diperlukan biaya sebesar Rp10.000,00 per m2, sedangkan untuk sisi-sisinya diperlukan biaya sebesar Rp5.000,00  per m2. Biaya minimal yang diperlukan untuk membuat sebuah akuarium adalah

Volume akuarium adalah $V=p \cdot l \cdot t$, untuk lebar $1\ m$ dan volume $4\ m^{3}$ berlaku:
$\begin{align} V & = p \cdot l \cdot t \\ 4 & = p \cdot 1 \cdot t \\ 4 & = pt \end{align}$


Biaya pembuatan dasar aquarium $10.000,00$ per $m^{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} B_{dasar} & = p \cdot l \cdot 10.000 \\ & = p \cdot 1 \cdot 10.000 \\ & = 10.000p \end{align}$


Biaya pembuatan sisi-sisi aquarium $5.000,00$ per $m^{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} B_{sisi} & = 2 \cdot l \cdot t \cdot 5.000 + 2 \cdot p \cdot t \cdot 5.000 \\ & = 2 \cdot 1 \cdot t \cdot 5.000 + 10.000pt \\ & = 10.000t + 10.000pt \\ \end{align}$


Biaya total pembuatan aquarium adalah:
$\begin{align} B_{T} & = B_{dasar} + B_{sisi} \\ & = 10.000p + 10.000t + 10.000pt \\ \hline & 4 = pt \rightarrow p=\frac{4}{t} \\ \hline & = 10.000 \cdot \dfrac{4}{t} + 10.000t + 10.000t \cdot \dfrac{4}{t} \\ & = \dfrac{40.000}{t} + 10.000t + 40.000 \\ & = 40.000t^{-1} + 10.000t + 40.000 \end{align}$


Untuk mendapatkan biaya minimum kita gunakan turunan pertama $B'_{T}=0$
$\begin{align} B_{T} & = 40.000t^{-1} + 10.000t + 40.000 \\ B'_{T} & = -40.000t^{-2} + 10.000 \\ \hline B'_{T} & = 0 \\ 0 & = -40.000t^{-2} + 10.000 \\ 40.000t^{-2} & = 10.000 \\ t^{2} & = 4 \\ t & = \pm 2 \end{align}$

Karena $t$ adalah ukuran tinggi sehingga $t=-2$ tidak memenuhi. Biaya minimum tercapai saat $t=2$,
$\begin{align} B_{T} & = 40.000t^{-1} + 10.000t + 40.000 \\ & = 40.000(2)^{-1} + 10.000(2) + 40.000 \\ & = 20.000 + 20.000t + 40.000 \\ & = 80.000 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 80.000$

65. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $t$ dan posisi partikel di setiap saat adalah $s(t)=2t^{3}-24t^{2}+90t+7$, $t \geq 0$. Kecepatan partikel ini positif bilamana $t$ memenuhi...

$\begin{align}
(A)\ & 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5 \\ (B)\ & 3 \lt t \lt 5 \\ (C)\ & 0 \leq t \lt 5 \\ (D)\ & t \geq 0 \\ (E)\ & t=0\ \text{atau}\ t=5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mendapatkan fungsi kecepatan selalu positif dapat kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana:
$\begin{align}
v(t) & = s'(t) \\ & = 6t^{2}-48t+90
\end{align}$

Nilai kecepatan selalu positif, berarti $v(t) = 6t^{2}-48t+90 \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} v(t) & \gt 0 \\ 6t^{2}-48t+90 & \gt 0 \\ 6 \left( t^{2}- 8t+ 15 \right) & \gt 0 \\ 6 \left( t-5 \right) \left( t-3 \right) & \gt 0 \\ t \lt 3\ \text{atau}\ t \gt 5 & \end{align}$
Karena $t \geq 0$ maka yang nilai $t$ yang memenuhi adalah $0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$

66. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Diketahui $f\left(x \right)=\sqrt{x^{2}-ax+b}$. Jika $f\left( 1 \right)=f'\left( 1 \right)=2$, maka $a+b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -9 \\ (B)\ & -7 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align} f\left(x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\ f\left( 1 \right) & = \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b} \\ 2 & = \sqrt{1-a+b} \\ 4 & = 1-a+b \\ 3 & = -a+b \\ \hline f\left( x \right) & = \sqrt{x^{2}-ax+b} \\ f'\left( x \right) & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x^{2}-ax+b}} \cdot \left( 2x -a \right) \\ f'\left( 1 \right) & = \dfrac{\left( 2(1) -a \right)}{2 \sqrt{(1)^{2}-a(1)+b}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1-a+b}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{2 \sqrt{ 1+3}} \\ 2 & = \dfrac{2-a}{4} \\ 8 & = 2-a \rightarrow a=-6 \\ \hline 3 & = -a+b \\ 3 & = 6+b \rightarrow b=-3 \end{align}$
Nilai $a+b=-9$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -9$

67. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Diberikan bilangan positif $m$ dan $n$. Jika $mx+ny=1$, maka nilai maksimum $xy$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4mn} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2mn} \\ (C)\ & \dfrac{1}{mn} \\ (D)\ & \dfrac{2}{mn} \\ (E)\ & \dfrac{4}{mn} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Dari persamaan $mx+ny=1$ dapat kita peroleh $y=\frac{1}{n}\left( 1-mx \right)$.


Hasil perkalian $xy$ kita misalkan dengan $N$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} N & = xy \\ & = x \cdot \dfrac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\ & = \dfrac{x}{n}-\dfrac{mx^{2}}{n} \\ N'& = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\ \hline N' & = 0 \\ 0 & = \dfrac{1}{n}-\dfrac{2mx}{n} \\ 0 & = 1 - 2mx \\ & \text{diperoleh pembuat nol} \\ & x = \dfrac{1}{2m} \end{align} $


Dari yang kita peroleh di atas maka $N=xy$ akan maksimum/minimum di $x=\dfrac{1}{2m}$ (*silahkan diuji dengan menggunakan turunan kedua apakah benar $x$ pembuat maksimum).


Nilai maksimumnya adalah:
$\begin{align} xy_{max} & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-mx \right) \\ & = \dfrac{1}{2m} \cdot \frac{1}{n}\left( 1-m \cdot \frac{1}{2m} \right) \\ & = \dfrac{1}{2mn} \left( 1- \dfrac{1}{2 } \right) \\ & = \dfrac{1}{4mn} \end{align}$


Sebagai alternatif kreatif:
$\begin{align} \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{2} & \geq 0 \\ a+b-2\sqrt{ab} & \geq 0 \\ a+b & \geq 2\sqrt{ab} \\ \hline mx+ny & \geq 2\sqrt{mx \cdot ny} \\ 1 & \geq 2\sqrt{mxny} \\ 1 & \geq 4 mxny \\ \dfrac{1}{4mn} & \geq xy \\ xy & \leq \dfrac{1}{4mn} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{4mn}$

68. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

Jika garis singgung kurva $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ di titik $ \left(a,b \right) $ mempunyai gradien $15$, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah...

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -4 \\ (D)\ & -6 \\ (E)\ & -8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $\left(a,b \right)$ adalah turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga Kurva $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ memppunyai gradien $m=15$ di $ \left(a,b \right) $ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\ 15 & = 3x^{2}-6x-9 \\ 15 & = 3(a)^{2}-6(a)-9 \\ 0 & = 3a^{2}-6a-24 \\ 0 & = a^{2}-2a-8 \\ 0 & = \left(a-4 \right)\left(a+2 \right) \\ & a=4\ \text{atau}\ a=-2 \end{align}$


Untuk $ a=4=x$ maka $b=y=(4)^{3} - 3(4)^{2} - 9(4)=-20$.
Nilai $a+b=-16$
Untuk $ a=-2=x$ maka $b=y=(-2)^{3} - 3(-2)^{2} - 9(-2)=-2$.
Nilai $a+b=-4$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -4$

69. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f\left( x \right)=\left( 2x+1 \right)^{5}$ dan $h =fog$, jika $g\left( 5 \right)=-1 $ dan $g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $, maka $h'\left( 5 \right)= \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 25 \\ (C)\ & 50 \\ (D)\ & 60 \\ (E)\ & 120 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Sedikit catatan tentang fungsi komposisi dan fungsi invers, yaitu $\left( fog \right)(x)=f \left( g(x) \right)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} h &= fog \\ h \left( x \right) &= f \left( g(x) \right) \\ h' \left( x \right) &= f' \left( g(x) \right) \cdot g'\left( x \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( g(5) \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ \end{align}$


$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \left( 2x+1 \right)^{5} \\ f'\left( x \right)\ &=5 \left( 2x+5 \right)^{5-1} \cdot \left( 2 \right) \\ f'\left( -1 \right)\ &=5 \left( 2(-1)+1 \right)^{4} \cdot \left( 2 \right) \\ &=10 \cdot \left( -1 \right)^{4} = 10 \end{align}$


$\begin{align} g'\left( \frac{x+1}{x-1} \right) &= 2x+2 \\ \hline \dfrac{x+1}{x-1} &= 5 \\ x+1 &= 5x-5 \\ 1+5 &= 5x-x \\ x &= \frac{6}{4}= \frac{3}{2} \\ \hline g'\left( 5 \right) &= 2 \left( \dfrac{3}{2} \right)+2 \\ &= 3+2 =5 \end{align}$


$\begin{align} h' \left( 5 \right) &= f' \left( -1 \right) \cdot g'\left( 5 \right) \\ &= 10 \cdot 5 \\ &= 50 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 50$

70. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Diberikan $f(x)=\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right)$. Jika $f'(0)=3$ dan $f'(-1)=10$, maka $f'\left( -\frac{1}{2} \right) =\cdots $

$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{15}{4} \\ (B)\ & -\dfrac{13}{4} \\ (C)\ & -\dfrac{11}{4} \\ (D)\ & -\dfrac{9}{4} \\ (E)\ & -\dfrac{7}{4} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Sifat turunan fungsi yang mungkin dapat membantu salah satunya adalah $f\left( x \right) = u \left( x \right) \cdot v \left( x \right)$ turunan pertamanya adalah $f'\left( x \right) = u' \left( x \right) \cdot v \left( x \right)+u \left( x \right) \cdot v' \left( x \right)$.

$\begin{align} f\left( x \right) & = \left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right) \\ f'\left( x \right) & = \left( 2ax +b \right) \left( x^{2} +x \right)+\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( 2x + 1 \right) \\ \hline f'\left( 0 \right) & = \left( 2a(0) +b \right) \left( (0)^{2} + (0) \right)+\left( a(0)^{2}+b(0)+c \right) \left( 2(0) + 1 \right) \\ 3 & = \left( 0 +b \right) \left( 0 \right)+\left( 0+0+c \right) \left( 1 \right) \\ 3 & = c \\ \hline f'\left( -1 \right) & = \left( 2a(-1) +b \right) \left( (-1)^{2} + (-1) \right)+\left( a(-1)^{2}+b(-1)+c \right) \left( 2(-1) + 1 \right) \\ 10 & = \left( -2a+b \right) \left( 0 \right)+\left( a -b +c \right) \left( -1 \right) \\ 10 & = \left( a -b +3 \right) \left( -1 \right) \\ -10 & = a -b +3 \\ -13 & = a -b \\ \hline f'\left( -\frac{1}{2} \right) & = \left( 2a\left( -\frac{1}{2} \right) +b \right) \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^{2} + \left( -\frac{1}{2} \right) \right)+ \\ &\ \ \ \left( a\left( -\frac{1}{2} \right)^{2}+b\left( -\frac{1}{2} \right)+c \right) \left( 2\left( -\frac{1}{2} \right) + 1 \right) \\ & = \left( -a+b \right) \left( \frac{1}{4} -\frac{1}{2} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( -1 + 1 \right) \\ & = -\left( a-b \right) \left( -\frac{1}{4} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( 0 \right) \\ & = -\left( -13 \right) \left( -\frac{1}{4} \right) \\ & = -\dfrac{13}{4} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{13}{4}$

71. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Jika $m$ dan $M$ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$ dengan $M+m=3$, maka $f(2)=\cdots $

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Dari fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f'(x) & = 6x^{2}-6x \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 6x^{2}-6x \\ 0 & = 6x \left( x - 1 \right) \\ & x=0\ \text{atau}\ x=1 \hline f''(x) & = 12x -6 \\ f''(0) & = -6 \lt 0 \longrightarrow f(0)=M \\ f''(1) & = 6 \gt 0 \longrightarrow f(1)=m \end{align} $


$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f(0) & = a \\ f(1) & = -1+a \\ m+M & = 3 \\ f(1)+f(0) & = 3 \\ -1+a+a & = 3 \\ 2a & = 4\ \longrightarrow a=2 \\ \hline f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+2 \\ f(2) & = 2(2)^{3}-3(2)^{2}+2 \\ & = 16-12+2=6 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Turunan Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™ Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "70+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Turunan Fungsi Aljabar" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar