--> Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar (36)

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi AljabarCalon guru coba belajar matematika dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar. Turunan fungsi ajabar ini adalah pengembangan dari limit fungsi aljabar, sehingga untuk bisa belajar matematika dasar turunan fungsi aljabar ini, ada baiknya kita sudah paham tentang limit fungsi aljabar, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat memahami turunan fungsi aljabar.

Penerapan turunan fungsi aljabar dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada turunan fungsi aljabar bukanlah hal sulit seperti yang alian dengan di luar bahwa belajar matematika itu sesuatu yang sulit. Jika diikuti step by step yang kita diskusikan pada alternatif pembahasan soal dibawah ini, maka kita akan bisa memahami soal-soal turunan fungsi aljabar dan mendapatkan solusinya.

DEFINISI TURUNAN FUNGSI


Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'(x)$, didefinisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).

Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.

ATURAN TURUNAN FUNGSI


Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain:
  1. Jika $f(x)=k$ (k:konstanta) maka $f'(x)=0$
  2. Jika $f(x)=x$ maka $f'(x)=1$
  3. Jika $f(x)= kx^{n}$ maka $f'(x)=knx^{n-1}$
  4. Jika $f(x)= k \cdot u(x)$ maka $f'(x)=k \cdot u'(x)$
  5. Jika $f(x)=u(x)+v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) + v'(x)$
  6. Jika $f(x)=u(x) - v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) - v'(x)$
  7. Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
  8. Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
  9. Jika $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=n \cdot u^{n-1}(x) \cdot u'(x)$
  10. Jika $f(x)= \left |u(x) \right | $ maka $f'(x)=\dfrac{u(x)}{\left | u(x) \right |} \cdot u'(x),\ \ u\neq 0 $
  11. Jika $f(x)= ln\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
  12. Jika $f(x)=e^{u(x)}$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot e^{u(x)}$
  13. Jika $f(x)=log_{a}u(x)$ maka $f'(x)= \dfrac{u'(x)}{ln\ a \cdot u(x)}$
  14. Jika $f(x)=a^{u(x)}$ maka $f'(x)=a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot ln\ a$

MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG


Jika kurva $y=f(x)$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN


  1. Jika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jika $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
  2. Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jika $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$

NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUM FUNGSI


Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan😊.

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=ax^{2}+2x+4$ dan $g(x)=x^{2}+ax-2$. Jika $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h'(0)=1$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal diketahui $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dan $h'(0)=1$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}+2x+4$ maka $f(0)=4$
$f'(x)=2ax+2$ maka $f'(0)=2$
untuk $g(x)=x^{2}+ax-2$ maka $g(0)=-2$
$g'(x)=2x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align}
h(x) & = \dfrac{f(x)}{g(x)} \\ h'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\
h'(0) & = \dfrac{f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot g'(0)}{g^{2}(0)} \\
1 & = \dfrac{(2) \cdot (-2) - (0) \cdot (a)}{(-2)^{2}} \\
1 & = \dfrac{-4 - 4a}{4} \\
4 & = -4 - 4a \\
8 & = - 4a \\ a & = \dfrac {8}{-4} = -2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$

2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=ax^{2}-4x+1$ dan $g(x)=3x^{2}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x)g(x)$ dengan $h'(0)=-3$, maka nilai $k'(0)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & 0 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal diketahui $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $h'(0)=-3$ maka kita perlu $h'(x)$
untuk $f(x)=ax^{2}-4x+1$ maka $f(0)=1$
$f'(x)=2ax-4$ maka $f'(0)=-4$
untuk $g(x)=3x^{2}+ax+2$ maka $g(0)=2$
$g'(x)=6x+a$ maka $g'(0)=a$

$\begin{align}
h(x) & = f(x)+g(x) \\ h'(x) & = f'(x)+g'(x) \\ h'(0) & = f'(0)+g'(0) \\ -3 & = -4+a \\
a & = -3+4=1
\end{align}$

$\begin{align}
k(x) & = f(x)g(x) \\ k'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ k'(0) & = f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\ & = (-4)(2)+(1)(1) \\ & = -8+1=-7 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -7$

3. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ adalah $h'(x)=\cdots$
$(A)\ -6x^{2}+36x$
$(B)\ -6x^{2}+36x+18$
$(C)\ -18x^{2}+30x+18$
$(D)\ 18x^{2}+30x+18$
$(E)\ 18x^{2}-30x-18$
Alternatif Pembahasan:
Show

Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\ & =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\ & =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\ & =-18x^{2}+30x+18
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -18x^{2}+30x+18$

4. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

14. Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval...
$(A)\ 1 \lt x \lt 3$
$(B)\ -1 \lt x \lt 3$
$(C)\ -3 \lt x \lt 1$
$(D)\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1$
$(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$
Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=3x^2+6x-9$
$ \begin{align}
f'(x) & \lt 0 \\ 3x^2+6x-9 & \lt 0 \\ x^2+2x-3 & \lt 0 \\ (x+3)(x-1) \lt 0 & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} \\ x & =-3\ \text{atau} \\
x & =1 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 1$

5. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi...
$(A)\ 4 \lt x \lt 5$
$(B)\ -4 \lt x \lt 5$
$(C)\ x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 4$
$(D)\ x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 5$
$(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Alternatif Pembahasan:
Show

Syarat suatu grafik fungsi akan naik adalah turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$
$ \begin{align}
f'(x) & \gt 0 \\ 6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\ x^{2}-x -20 & \gt 0 \\ (x-5)(x+4) & \gt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} \\ x & =5\ \text{atau} \\
x & =-4 \end{align} $

Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$

6. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Turunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah...
$(A)\ h'(x)=-3x^{2}+6x-3$
$(B)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
$(C)\ h'(x)=3x^{2}+6x-3$
$(D)\ h'(x)=3x^{2}+3x-6$
$(E)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
Alternatif Pembahasan:
Show

Turunan petama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ adalah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$.
$h(x)=(-x+1)^{3} $

$ \begin{align}
h(x) & = (-x+1)^{3} \\ h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\ & = -3(-x+1)^{2}\\ & = -3(x^{2}-2x+1)\\ & = -3x^{2}+6x-3
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3x^{2}+6x-3$

7. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Jika persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Karena persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, maka dapat kita misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan $ \dfrac{1}{m}$ dengan syarat $m \gt 0$.

Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
m \times \dfrac{1}{m} & = \dfrac{c}{a} \\ 1 & = q
\end{align}$

Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
m + \dfrac{1}{m} & = -\dfrac{b}{a} \\ m+m^{-1} & = p
\end{align}$

Nilai maksimum $p-q$ kita coba cari dengan turunan pertama $p-q$ yaitu
$\begin{align}
p-q & = m+m^{-1} - 1 \\ (p-q)' & = 1-m^{-2} \\ 1-m^{-2} & = 0 \\ m^{-2} & = 1 \\ \dfrac{1}{m^{2}} & = 1 \\ 1 & = m^{2} \\ m = -1\ & \text{atau}\ m=1\ \text{(TM)}
\end{align}$

Untuk $m=-1$
$p-q = m+m^{-1} - 1$
$p-q =-1+(-1)^{-1} - 1$
$p-q =-3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$

8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$, maka $f(4)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 11 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 22
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui $f(x)$ adalah fungsi kuadrat, kita misalkan $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Untuk $f(x)= ax^{2}+bx+c$, $f'(x)=2ax +b$ dan $f'(1)=3$, maka $3=2a+b$.

Garis singggung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ di $x=-1$ adalah $y=-x+1$ dimana gradien $m=-1$.
$\begin{align}
m & = f'(x)=2ax +b \\ m & = f'(-1) \\ -1 & = -2a+b
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\ -2a+b = -1 & \\ \hline
2b = 2 & \\ b = 1 & \\ a = 1
\end{array} $
Untuk $a=1$ dan $b=1$ maka $f(x)= x^{2}+ x+c$
Saat $x=-1$ diperoleh $y=-x+1=-(-1)+1=2$ maka $2= (-1)^{2}+(-1)+c$ kita peroleh $c=2$

$f(x)= x^{2}+ x+2$
$f(4)= 4^{2}+ 4+2=22$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 22$


9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$, maka...
$(1)\ $ $f$ terdefinisi di $x \geq 0$
$(2)\ $ $f'(2)=\dfrac{2}{3}$
$(3)\ $ $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$
$(4)\ $ $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik
Alternatif Pembahasan:
Show

Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan

  • Untuk point $(1)$ pernyataan $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ terdefinisi di $x \geq 0$ adalah BENAR
    Sebuah fungsi dikatakan terdefinisi jika fungsi tersebut mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real.
  • Untuk point $(2)$ pernyataan $f'(2)=\dfrac{2}{3}$ adalah BENAR
    $ \begin{align}
    f(x) & = (x-1)^\dfrac{2}{3} \\ f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^-\dfrac{1}{3} \\ f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^-\dfrac{1}{3} \\ & = \dfrac{2}{3}
    \end{align} $
  • Untuk point $(3)$ pernyataan $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ adalah garis singgung di $x=2$ dan $y=(x-1)^\dfrac{2}{3}=1$ adalah BENAR
    $ \begin{align}
    m=f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^-\dfrac{1}{3} \\ m=f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \\ y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-1 & = \dfrac{2}{3} (x-2) \\ y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3} + 1 \\ y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3} \\ \end{align} $
  • Untuk point $(4)$ pernyataan $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik adalah SALAH, karena $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ tidak mempunyai nilai turunan ketika $x=1$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1),\ (2),\ (3)\ \text{BENAR}$

10. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

Sebuah kotak dengan alas persegi dirancang agar volumnya $2$ liter. Jika biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, maka biaya pembuatan termurahnya adalah $p$ ribu rupiah, dengan $p=\cdots$.
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita misalkan alas dan tinggi kotak masing-masing adalah $a$ dan $t$, sehingga adalah:
$\begin{align}
V &= L_{alas} \cdot Tinggi \\ 2 &= a^{2} \cdot t \\ t &= \dfrac{2}{a^{2}}
\end{align}$

Luas permukaan balok adalah:
$\begin{align}
L &= 2a^{2}+ 4 \cdot at \\ L &= 2a^{2}+ 4 \cdot a \cdot \dfrac{2}{a^{2}} \\ L &= 2a^{2}+ \dfrac{8}{a} \\ L &= 2a^{2}+ 8 a^{-1} \\ \end{align}$

Biaya pembuatan bidang alas dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, sehingga total biaya adalah:
$\begin{align}
B &= 2a^{2} \cdot 2 + 8 a^{-1} \cdot 1\\ B &= 4a^{2} + 8 a^{-1}
\end{align}$

Untuk mendapatkan biaya minimum atau termurah kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(B'=0)$, yaitu:
$\begin{align}
B' &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a^{3} - 8 \\ 8a^{3} &= 8 \\ a^{3} &= 1 \\ a &= 1
\end{align}$

Biaya termurah kita peroleh saat $a=1$ sehingga biaya termurah adalah
$\begin{align}
B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \\ p &= 4(1)^{2} + 8 (1)^{-1} \\ p &= 12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12$

11. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Untuk $x \geq 1$, nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x+7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 11 \\ (E)\ & 23
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mendapatkan nilai maskimum kita coba uji pakai turunan pertama sama dengan nol, yaitu:
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= x^{2}-4x +3 \\ 0 &= (x-1)(x-3) \\ x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\ \hline
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f(1) &= -(1)^{3}+6(1)^{2}-9(1)+7 \\ &= -1+6-9+7=3 \\ f(3) &= -(3)^{3}+6(3)^{2}-9(3)+7 \\ &= -27+54-27+7=7
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$

Catatan Tambahan:
Menentukan nilai maksimum atau minimum dapat juga menggunakan Uji turunan kedua yaitu:
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= x^{2}-4x +3 \\ 0 &= (x-1)(x-3) \\ x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\ \hline
f''(x) &= -6x+12 \\ f''(1) &= -6(1) +12=6 \\ f''(3) &= -6(3) +12=-6
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas, $x=3$ adalah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(3)$ yaitu $7$.

12. Soal UMB-PT 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)

Jumlah dua bilangan positif adalah $120$. Agar hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua mencapai maksimum, maka selisih dari bilangan yang terbesar dan yang terkecil adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 50
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misal kedua bilangan adalah $a$ dan $b$;
$\begin{align}
a+b &= 120 \\ b &= 120-a \\ H &= a^{2} \cdot b \\ &= a^{2} \cdot (120-a) \\ &= 120a^{2} - a^{3}
\end{align}$

Misal hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua adalah $H$, dan untuk mendapatkan $H$ maksimum kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(H'=0)$, yaitu:
$\begin{align}
H' &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= a \left( 240 -3a \right) \\ a &= 0\ \text{atau}\ a=\dfrac{240}{3}=80
\end{align}$

Nilai $H$ maksimum kita peroleh saat $a=80$ sehingga $b=40$, dan selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah $80-40=40$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 40$

13. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)

Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^{3}+2x^{2}-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
f(x) &= mx^{3}+2x^{2}-nx+5 \\ f'(x) &= 3mx^{2}+4x -n \\ f'(1) &= 3m(1)^{2}+4(1) -n \\ 0 &= 3m +4-n \ \ \cdots(1)\\ f'(-5) &= 3m(-5)^{2}+4(-5) -n \\ 0 &= 75m-20-n \cdots(2)\\ \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
3m+4-n = 0 & \\ 75m-20-n = 0 & (-)\\ \hline
-72m = 24 \\ m = \dfrac{24}{-72}=-\dfrac{1}{3} \\ n = 3\\ \hline
3m-n =3 \left( -\dfrac{1}{3} \right) - 3 \\ 3m-n =-1-3=-4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$

14. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(0)=1$ dan $f'(0)=2$. Jika $g(x)=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}}$ maka $g'(0)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\ (B)\ & -6 \\ (C)\ & -6 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
g(x) &=\dfrac{u}{v} \\ g'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ g (x) &=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}} \\ g'(x) &=\dfrac{0-1 \cdot 3\left( 2f(x)-1 \right)^{3-1} \cdot 2f'(x) }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6f'(x) \cdot \left( 2f(x)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ g'(0) &=\dfrac{-6f'(0) \cdot \left( 2f(0)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(0)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6 (2) \cdot \left( 2 (1)-1 \right)^{2} }{\left( 2 (1)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-12 }{1}=-12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12$

15. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)

Syarat agar fungsi $f(x)=-x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8$ selalu turun untuk semua nilai real $x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & a \lt -5\ \text{atau}\ a \gt 7 \\ (B)\ & a \lt 0\ \text{atau}\ a \gt 4 \\ (C)\ & -5\ \lt a \lt 7 \\ (D)\ & -7\ \lt a \lt 5 \\ (E)\ & -7\ \lt a \lt 0\ \text{atau}\ 4\ \lt a \lt 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Agar sebuh fungsi $f(x)$ selalu turun maka $f'(x) \lt 0$
$\begin{align}
f(x) &= -x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8 \\ f'(x) &= -3x^{2}+ ax -x-3
\end{align}$

Agar $f'(x)=-3x^{2}+ (a-1)x-3 \lt 0 $, ini berarti $f'(x)$ selalu bernilai negatif atau dengan istilah lain $f'(x)$ adalah definit negatif.

Syarat sebuah fungsi $f(x)=px^{2}+qx+r$ definit negatif adalah:

  • $p \lt 0$ sudah memenuhi karena $p=-3$
  • $D=q^{2}-4pr \lt 0 $
    $(a-1)^{2}-4(-3)(-3) \lt 0 $
    $a^{2}-2a+1-36 \lt 0 $
    $a^{2}-2a -35 \lt 0 $
    $(a-7)(a+5) \lt 0 $
    Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol adalah $a=-5$ atau $a=7$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-5\ \lt a \lt 7$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -5\ \lt a \lt 7$

16. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Fungsi $f(x)= x^{4}-2x^{2}+ax+a$ mempunyai nilai minimum $b$ di $x=1$. Nilai $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Seperti yang kita ketahui bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
$\begin{align}
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\ f'(x) &= 4x^{3}-4x +a
\end{align}$

Karena $f(x)$ nilai minimumnya $b$ di $x=1$ maka $f'(1)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
f'(1) &= 4(1)^{3}-4(1) +a \\ 0 &= 4-4 +a \\ 0 &= a \\ \hline
f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\ f(x) &= x^{4}-2x^{2} \\ b=f(1) &= (1)^{4}-2(1)^{2} \\ &= 1-2=-1 \\ \hline
a+b &= 0-1=-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1}$ dengan $f(0)=f'(0)$ dan $f'(-1)=1$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
f(x) &=\dfrac{u}{v} \\ f'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f (x) &=\dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\ f'(x) &=\dfrac{a \cdot \left( x^{2}+1 \right) -(ax+b) \cdot 2x }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ f'(0) &=\dfrac{a(0)^{2}+a -2a(0)^{2}-2b(0) }{\left( (0)^{2}+1 \right)^{2}} \\ f'(0) &= a \\ f(0) &=\dfrac{a(0)+b}{0^{2}+1} \\ f(0) &=b \\ \hline
f'(0) &= f(0) \\ a &= b \\ \hline
f'(x) &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ f'(-1) &=\dfrac{a(-1)^{2}+a -2a(-1)^{2}-2b(-1) }{\left( (-1)^{2}+1 \right)^{2}} \\ 1 &=\dfrac{a +a -2a +2b }{4} \\ 4 &=2b \\ 2 &= b \\ a &= 2 \\ a+b &= 2+2=4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$

18. Soal UMPTN 1992 Rayon A (*Soal Lengkap)

Untuk memproduksi $x$ unit barang per hari diperlukan biaya $\left( x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \right)$ rupiah. Jika barang itu harus harus diproduksikan, maka biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi...
$\begin{align}
(A)\ & 1.000\ \text{unit} \\ (B)\ & 1.500\ \text{unit} \\ (C)\ & 2.000\ \text{unit} \\ (D)\ & 3.000\ \text{unit} \\ (E)\ & 4.000\ \text{unit}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mendapatkan biaya minimum dapat kita pakai uji turunan $\left( y'=0 \right)$ pertama sama dengan nol pada $y=\left( x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \right)$.
$\begin{align}
y &= x^{3}-3.000x^{2}+3.000.000x \\ y' &= 3x^{2}-6.000x +3.000.000 \\ \hline
y' &= 0 \\ 0 &= 3x^{2}-6.000x +3.000.000 \\ 0 &= x^{2}-2.000x +1.000.000 \\ 0 &= (x-1000)(x-1000) \\ & x=1000
\end{align}$
Biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi $1.000$ unit

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1.000\ \text{unit}$


19. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Matematika Dasar Turunan Fungsi SIMAK UI 2013
Diketahui grafik fungsi $f'(x)$ seperti terlihat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi $f(x)$ adalah...
$(1)\ $ Saat $x \lt-1$, $f(x)$ turun
$(2)\ $ Saat $0 \lt x \lt 2$, $f(x)$ naik
$(3)\ $ Garis singgung kurva $f(x)$ di $x=-1$ sejajar dengan sumbu $X$
$(4)\ $ $x=2$ merupakan titik ekstrim
Alternatif Pembahasan:
Show

  • Saat $x \lt -1$ terlihat pada gambar $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ turun.
    $\therefore$ pernyataan $(1)$ Benar
  • Saat $0 \lt x \lt 2$ terlihat pada gambar $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ naik.
    $\therefore$ pernyataan $(2)$ Benar
  • Saat $x=-1$ terlihat pada gambar $f'(-1) = 0$ maka $x=-1$ merupakan titik ekstrim. Garis singgung kurva pada titik ekstrim sejajar sumbu $x$
    $\therefore$ pernyataan $(3)$ Benar
  • Saat $x=2$ terlihat pada gambar $f'(2) = 0$ maka $x=2$ merupakan titik ekstrim.
    $\therefore$ pernyataan $(4)$ Benar

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1)(2)(3)(4)\ \text{Benar}$

20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$ dengan $0 \lt a \lt b$.
Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ adalah...

$(1)$ Jika $x \lt b$, $f(a)$ adalah nilai maksimum $f$.
$(2)$ Jika $x \gt 0$, $f(b)$ adalah nilai minimum $f$.
$(3)$ Jika $x \lt 0$, $f$ merupakan fungsi turun.
$(4)$ Jika $x \gt b$, $f$ merupakan fungsi naik.
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$, untuk $f'(x)=0$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
f'(x) &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \\ 0 &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b)
\end{align}$
Titik ekstrim adalah saat $x=0$, $x=a$, dan $x=b$, sehingga ada empat daerah yang dibatasi yaitu:

  • Saat $x \lt 0$, maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
  • Saat $0 \lt x \lt a$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
  • Saat $a \lt x \lt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun
  • Saat $ x \gt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik
Dari keterangan yang kita peroleh di atas, dapat kita simpulkan bahwa:
  • Untuk $x=0$ adalah nilai maksimum $f$, karena saat $x \lt 0$ fungsi $f$ naik.
  • Untuk $x=a$ adalah titik belok $f$, karena saat $0 \lt x \lt a$ dan $a \lt x \lt b$ fungsi $f$ turun.
  • Untuk $x=b$ adalah nilai minimum $f$, karena saat $x \gt b$ fungsi $f$ naik.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)(4)\ \text{Benar}$

21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)

Diketahui grafik fungsi $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ dengan $b^{2} \lt 3ac$. Pernyataan berikut mungkin terjadi pada fungsi $f$ tersebut, kecuali...
$(1)\ $ $f$ merupakan fungsi naik di seluruh daerah asalnya.
$(2)\ $ $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.
$(3)\ $ $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum.
$(4)\ $ $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik.
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ kita peroleh $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$
$\begin{align}
D &= b^{2}-4ac \\ &= (2b)^{2}-4(3a)(c) \\ &= 4b^{2}-12ac \\ &= 4 \left( b^{2}-3ac \right) \\ \hline
b^{2} \lt 3ac\ & \text{sehingga}\ D \lt 0
\end{align}$

  • $b^{2} \lt 3ac$, dimana $b^{2} \gt 0$ sehingga $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ atau $a \gt 0$ dan $c \gt 0$
    • Saat $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit negatif atau $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ selalu turun.
    • Saat $a \gt 0$ dan $c \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ adalah definit positif atau $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ selalu naik.
  • $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik benar yaitu saat $x=0$
  • $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum karena $f$ selalu naik atau selalu turun
  • $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik tidak tepat karena $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (4)\ \text{Benar}$

22. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Grafik $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ mempunyai garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$, maka jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \dfrac{5}{6} \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{5}{3} \\ (E)\ & \dfrac{8}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$ dapat terjadi jika dan hanya jika $P$ dan $Q$ adalah titik ekstrim, sehingga turunan pertama pada titik $P$ dan $Q$ adalah nol.

Dari $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ kita peroleh $y' =x^{2}-3x +2 $
$\begin{align}
y' & =x^{2}-3x +2 \\ 0 &= (x-2)(x-1) \\ x=2\ &\text{atau}\ x=1 \\ \hline
x=1 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(1)^{3}-\dfrac{3}{2}(1)^{2}+2(1) \\
& \rightarrow y =\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{2} +2 \\ & \rightarrow y =\dfrac{5}{6} \\ x=2 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(2)^{3}-\dfrac{3}{2}(2)^{2}+2(2) \\
& \rightarrow y =\dfrac{8}{3} -\dfrac{12}{2} +4 \\
& \rightarrow y =\dfrac{2}{3}
\end{align}$
Jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah $\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$

23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah $x$, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \pi x \\ (B)\ & 2\pi x \\ (C)\ & \dfrac{x}{2\pi} \\ (D)\ & \dfrac{x}{\pi} \\ (E)\ & \dfrac{x^{2}}{4\pi}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya, dimana keliling dalah $x$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
K & =2 \pi\ r \\ x & =2 \pi\ r \\ r & = \dfrac{x}{2 \pi} \\ \hline
L & = \pi \cdot r^{2} \\ & = \pi \cdot \left( \dfrac{x}{2 \pi} \right)^{2} \\ & = \pi \cdot \dfrac{x^{2}}{4 \pi^{2}} \\ & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi}
\end{align}$
Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya dapat kita tuliskan $\dfrac{\Delta L}{\Delta K}=\dfrac{\Delta L}{\Delta x}=\dfrac{d L}{dx}$.
$\begin{align}
L & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \\ \dfrac{d L}{dx} & = \dfrac{2x}{4 \pi} \\ & = \dfrac{ x}{2 \pi}
\end{align}$

Jika tertarik untuk mencoba soal yang berbeda tentang Laju perubahan coba disini
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{x}{2\pi}$

24. Soal TKA SAINTEK UTBK SBMPTN Tahun 2019 (*Soal Lengkap)

Jarak terdekat pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ ke garis $2x-y=4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{ 5 }\sqrt{5} \\ (B)\ & \dfrac{5}{ 3 }\sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{7}{ 5 }\sqrt{5} \\ (D)\ & \dfrac{5}{ 7 }\sqrt{7} \\ (E)\ & \dfrac{1}{ 5 }\sqrt{5} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misal titik $(m,n)$ adalah titik pada kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ sehingga jarak kurva $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ dan garis $2x-y=4$ minimum (terdekat).

$y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$ pada titik $(m,n)$ berlaku $n=\dfrac{1}{2}m^{2}+1$.

Dengan menggunakan rumus jarak titik $\left( x_{1},y_{1}\right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| $ sehingga jarak titik $(m,n)$ ke garis $2x-y-4=0$ adalah
$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m-n-4}{ \sqrt{(2)^2+(-1)^2}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m-\left( \dfrac{1}{2}m^{2}+1 \right) -4}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-1 -4}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ \end{align}$
Untuk menentukan nilai $d$ minimum maka kita dapat cara darai $d'=0$.

$\begin{align}
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d' &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5}-0}{ \left( \sqrt{5} \right)^{2}} \\ 0 &= \dfrac{\left( 2 - m \right) \sqrt{5} }{5}\\ 0 &= \left( 2 - m \right) \sqrt{5} \\ \hline
m &= 2 \\ \hline
d &= \left| \dfrac{2m- \dfrac{1}{2}m^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{2(2)- \dfrac{1}{2}(2)^{2}-5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{4 - 2 -5}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \left| \dfrac{-3}{ \sqrt{5}} \right| \\ d &= \dfrac{3}{ \sqrt{5} }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{3}{ 5 }\sqrt{5}$

25. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Proyek pembangunan gedung STIS dapat diselesaikan dalam $x$ hari, dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek pembangunan gedung STIS ini minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu...
$\begin{align}
(A)\ & 40\ \text{hari} \\ (B)\ & 60\ \text{hari} \\ (C)\ & 90\ \text{hari} \\ (D)\ & 120\ \text{hari} \\ (E)\ & 150\ \text{hari}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Fungsi total biaya yang dikerjakan setiap hari adalah $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$, sehingga biaya total pekerjaan selama $x$ hari adalah:
$\begin{align}
B(x) & = \left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right) x \\ & = 3x^{2}-900x+200 \\ B'(x)& = 6x-900
\end{align}$
Untuk mendapatakan biaya minimum dapat kita gunakan turunan pertama $B'(x)=0$
$\begin{align}
6x-900 & = 0 \\ 6x & = 900 \\ x & = \dfrac{900}{60}=150
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 150\ \text{hari}$

26. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$ dalam interval $-4 \leq x \leq -1$ mempunyai nilai maksimum $a$ dan minimum $b$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 38 \\ (B)\ & 35 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 22 \\ (E)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f'(x) & = 3x^{2}+6x-9 \\ f'(x) & = 3(x-1)(x+3)
\end{align}$

$\begin{align}
f''(x) & = 6x+6 \\ f''(1) & = 6(1)+6=12 \gt 0 \\ f''(-3) & = 6(-3)+6=-12 \lt 0 \\ \end{align}$
Pembuat maksimum $f(x)$ adalah saat $x=-3$,
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f(-3) & = (-3)^{3}+3(-3)^{2}-9(-3) \\ & = -27+27+27=27=a
\end{align}$

Untuk rentang $-4 \leq x \leq -1$ minimum adalah saat $x=-1$
$\begin{align}
f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f(-1) & = (-1)^{3}+3(-1)^{2}-9(-1) \\ & = -1+3+9=11=b
\end{align}$

Nilai $a+b=27+11=38$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 38$

27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi $30\ cm$ akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara mengunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti gambar. Volume kotak yang terbesar yang dapat dibuat adalah...
Simulasi UNBK Matematika IPA (*Soal dan Pembahasan Paket A)
$\begin{align}
(A)\ & 2.000\ cm^{3} \\ (B)\ & 3.000\ cm^{3} \\ (C)\ & 4.000\ cm^{3} \\ (D)\ & 5.000\ cm^{3} \\ (E)\ & 6.000\ cm^{3} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Soal ini adalah salah satu contoh penerapan atau aplikasi fungsi turunan, volume kotak dapat kita hitung dengan aturan menghitung volum tabung yaitu $\text{Luas Alas} \times \text{tinggi}$.

Panjang sisi karton adalah $30\ cm$ dan dipotong sebesar $x\ cm$ di setiap sudut karton, sehingga alas kotak nantinya adalah persegi dengan panjang sisi $30-2x$ dan tinggi kotak adalah $x$. Volume kotak adalah:
$\begin{align}
V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ & = \left( 900-120x+4x^{2} \right) \cdot x \\ & = 4x^{3}-120x^{2}+900x \\ \end{align}$

Volume kotak terbesar kita coba tentukan dengan uji turunan pertama yaitu;
$\begin{align}
V'(x) & = 0 \\ 12x^{2}-240x+900 & = 0 \\ x^{2}-20x+75 & = 0 \\ (x-15)(x-5) & = 0
\end{align}$

Untuk menentukan volume kotak terbesar dapat dengan menguji pembuat nol pada turunan pertama ($x=5$ dan $x=15$) ke turunan kedua yaitu;
$\begin{align}
V''(x) & = 2x-20 \\ \hline
x=15 & \rightarrow V''(15) = 10\ ( 10 \gt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume minimum} \\ \hline
x=5 & \rightarrow V''(5) = -10\ (-10 \lt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume maximum} \\ \hline
V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ V(5) & = \left(30-2(5) \right)^{2} \cdot 5 \\ V(5) & = 400 \cdot 5 =2000
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2.000\ cm^{3}$


28. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Sebuah akuarium berbentuk balok tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegipanjang dengan perbandingan lebar dan panjangnya $2:3$. Jika luas permukaan akuarium adalah $1.800\ cm^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah...$cm^{3}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita ilustrasikan balok yang disampaikan pada soal dan dengan memisalkan panjang $3x$, lebar $2x$ tinggi $t$, kurang lebih seperti berikut ini:

UNBK 2018 Matematika SMA IPA (*Soal dan Pembahasan)

Luas permukaan balok tanpa tutup adalah $1.800\ m^{2}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
1800 &= 2x \cdot 3x + 2 \cdot 2x \cdot t + 2 \cdot 3x \cdot t \\ 1800 &= 6x^{2} + 4xt + 6xt \\ 1800 &= 6x^{2} + 10xt \\ 1800 - 6x^{2} &= 10xt \\ \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} &= t
\end{align} $
Volume balok:
$\begin{align}
V &= 2x \cdot 3x \cdot t \\ &= 6x^{2} \cdot \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} \\ &= 6x \left( 1800- 6x^{2} \right) \\ &= 10800x- 36x^{3}
\end{align} $
Dengan menggunakan uji turunan pertama (V'=0) kita peroleh $x$ pembuat maksimum:
$\begin{align}
V' &= 10800 - 108x^{2} \\ 0 &= 108 \left( 100 - x^{2} \right) \\ 0 &= 108 \left( 10 + x \right)\left( 10 - x \right) \\ \hline
& x = -10\ \text{atau}\ x=10 \\ \hline
V &= 10800x- 36x^{3} \\ V &= 10800(10)- 36(10)^{3} \\ V &= 108.000- 36.000 \\ V &= 72.000
\end{align} $

$\therefore$ Jawaban yang sesuai $72.000$

29. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Turunan pertama fungsi $f(x)=\left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & f'(x)=12x^{2}-4x-24 \\ (B)\ & f'(x)=12x^{2}-8x+24 \\ (C)\ & f'(x)=24x-8 \\ (D)\ & f'(x)=12x^{2}-16x+24 \\ (E)\ & f'(x)=12x^{2}-8x-24
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menentukan turunan pertama fungsi $f(x)=\left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) $, dapat kita kerjakan dengan dua alternatif antara lain pakai aturan $f(x)=u \cdot v$ maka $f'(x)=u' \cdot v+u \cdot v'$ atau dengan menyederhanakan fungsi ke bentuk penjumlahan dan pengurangan.
$\begin{align}
f(x) = & \left( 4x^{2}-12x \right)\left( x+2 \right) \\ = & 4x^{3}+8x^{2}-12x^{2}-24x \\ = & 4x^{3}-4x^{2}-24x \\ f'(x)= & 3 \cdot 4x^{3-1}-2 \cdot 4x^{2-1} -24 \\ = & 12x^{2}-8x^ -24
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ f'(x)=12x^{2}-8x-24$

30. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Grafik fungsi $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5$ naik pada interval...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \lt x \lt 3 \\ (B)\ & -3 \lt x \lt 2 \\ (C)\ & x \lt 2\ \text{atau}\ x \gt 3 \\ (D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (E)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menentukan interval nilai $x$ agar fungsi $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5$ naik kita cukup menentukan interval niLai $x$ yang memenuhi saat $f'(x) \gt 0$.
$\begin{align}
f(x) = & x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-18x+5 \\ f'(x)= & 3x^{3-1}-2 \cdot \frac{3}{2}x^{2-1} -18 \\ f'(x)= & 3x^{2}-3x -18 \\ \hline
f'(x)= & \gt 0 \\ 3x^{2}-3x -18 & \gt 0 \\ 3(x^{2}- x -6) & \gt 0 \\ 3(x-3)(x+2) & \gt 0 \\ \end{align}$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3$
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 3$

31. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Kawat yang panjangnya $128\ cm$ akan dibentuk menjadi lima persegi panjang seperti pada gambar berikut:
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPS Tahun 2019
Luas maksimum daerah yang dapat dibuat dengan kawat adalah...$cm^{2}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Luas lima persegi panjang seperti gambar adalah $L=5xy$
Panjang kawat yang dibutuhkan kelima persegipanjang adalah:
$ \begin{align}
8x+8y & = 128 \\ x+ y & = 16 \\ y & = 16-x \\ \hline
L & = 5xy \\ L & = 5x(16-x) \\ L & = 80x-5x^{2}
\end{align}$
Luas maksimum dapat kita hitung dengan menggunakan turunan pertama $\left(L'=0 \right)$.
$ \begin{align}
L' & = 80-10x \\ 0 & = 80-10x \\ 10x & = 80 \\ x & = 10 \\ \hline
L & = 80x-5x^{2} \\ & = 80(10)-5(10)^{2} \\ & = 800-500 \\ & = 300
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $300$

32. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 (*Soal Lengkap)

Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi yang dapat diturunkan di $R$ sehingga $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) \left(g(x)-g(x+h) \right)}{k^{2}h}=\dfrac{x-1}{k}$ dan $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \left(f(x)-f(x+h) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h}=\dfrac{x-1}{k+1}$ untuk $k \gt 0$, maka...
$\begin{align}
(1)\ & \left(fg \right)'(0)=2k-1 \\ (2)\ & \left(fg \right)'(c)=(2k-1)(c-1) \\ (3)\ & \left(fg \right)'(x+1)=(1-2k)x \\ (4)\ & \left(fg \right)'\left(x^{2} \right)=(2k-1)(x^{2}-1) \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) \left(g(x)-g(x+h) \right)}{k^{2}h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-f(x+h) \left(g(x+h)-g(x) \right)}{k^{2}h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-f(x+h)}{k^{2}} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} &= \dfrac{x-1}{k} \\ \dfrac{-f(x+0)}{k^{2}} \cdot g'(x) &= \dfrac{x-1}{k} \\ \dfrac{-f(x)}{k^{2}} \cdot g'(x) &= \dfrac{x-1}{k} \\ -f(x) \cdot g'(x) &= k^{2} \cdot \dfrac{x-1}{k} \\ f(x) \cdot g'(x) &= -k \cdot (x-1)
\end{align}$

$\begin{align}
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(x) \left(f(x)-f(x+h) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-g(x) \left(f(x+h)-f(x) \right)}{\left( k^{2}-1 \right)h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-g(x)}{\left( k^{2}-1 \right)} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ \dfrac{-g(x)}{\left( k^{2}-1 \right) } \cdot f'(x) &= \dfrac{x-1}{k+1} \\ -g(x) \cdot f'(x) &= \left( k^{2}-1 \right) \cdot \dfrac{x-1}{k+1} \\ g(x) \cdot f'(x) &= -\left( k-1 \right)\left( x-1 \right)
\end{align}$

Pernyataan $(1)$
$\begin{align}
\left(fg \right)'(0) &= f'(0) \cdot g(0) +f(0) \cdot g'(0) \\ &= -(0-1) \cdot (k-1) -(0-1)k \\ &= k-1 +k \\ &= 2k-1
\end{align}$

Pernyataan $(2)$
$\begin{align}
\left(fg \right)'(c) &= f'(c) \cdot g(c) +f(c) \cdot g'(c) \\ &= -(c-1) \cdot (k-1) -(c-1)k \\ &= -(c-1) \cdot (k-1+k) \\ &= -(c-1) \cdot (2k-1)
\end{align}$

Pernyataan $(3)$
$\begin{align}
\left(fg \right)'(x+1) &= f'(x+1) \cdot g(x+1) +f(x+1) \cdot g'(x+1) \\ &= -(x+1-1) \cdot (k-1) -(x+1-1)k \\ &= -x \cdot (k-1) -(x)k \\ &= -x \cdot (k-1+k) \\ &= -x \cdot (2k-1) \\ &= x \cdot (1-2k) \\ \end{align}$

Pernyataan $(4)$
$\begin{align}
\left( fg \right)' \left( x^{2} \right) &= f'\left( x^{2} \right) \cdot g\left( x^{2} \right) +f\left( x^{2} \right) \cdot g'\left( x^{2} \right) \\ &= -\left( x^{2}-1 \right) \cdot \left( k-1 \right) - \left( x^{2}-1 \right) \cdot k \\ &= -\left( x^{2}-1 \right) \left( k-1+k \right) \\ &= -\left( x^{2}-1 \right) \left( 2k-1 \right)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$

33. Soal Matematika SAINTEK SBMPTN 2016 Kode 249 (*Soal Lengkap)

Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang membuat segitiga $PQR$ sama sisi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{3} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba mengilustrasikan kurva $y=3-x^{2}$ dan garis singgung di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ seperti berikut ini;

Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPS Tahun 2019

Dari gambar di atas garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ yaitu $PR$ dan $Q(a,b)$ yaitu $QR$ dapat kita hitung grad gradien masing-masing garis dengan menggunakan turunan pertama $m=y'$:
$\begin{align}
y &= 3-x^{2} \\ y' &= -2x \\ m_{PR} &= -2(-a) = 2a \\ m_{QR} &= -2(a) = 2a
\end{align}$

Nilai gradien garis dapat juga kita hitung dengan menggunakan $m=tan\ \alpha$ dimana $\alpha$ adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu-$x$ positif.

Karena yang diharapkan segitiga $PQR$ menjadi segitiga samasisi maka sudut $PQR=\alpha$ adalah $\alpha=60^{\circ}$ sehingga gradien garis $PR$ adalah:
$\begin{align}
m_{PR} &=tan\ 60^{\circ} \\ 2a &= \sqrt{3} \\ a &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

34. Soal Matematika SAINTEK SBMPTN 2016 Kode 217 (*Soal Lengkap)

Misalkan $f(x)=a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik belok di $(4,13)$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{91}{8} \\ (B)\ & \dfrac{81}{8} \\ (C)\ & \dfrac{71}{8} \\ (D)\ & \dfrac{61}{8} \\ (E)\ & \dfrac{51}{8} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita gunakan turunan kedua, yaitu untuk menentukan titik belok sebuah fungsi dapat ditentukan dengan aturan titik belok sebuah fungsi yaitu $f''(x)=0$.
$\begin{align}
f(x) &= a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \\ f(x) &= a x^{\frac{1}{2}}+ b x^{-\frac{1}{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot a x^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2} \cdot b x^{-\frac{3}{2}} \\ f''(x) &= \dfrac{1}{4} \cdot a x^{-\frac{3}{2}}+\dfrac{3}{4} \cdot b x^{-\frac{5}{2}} \\ &= \dfrac{a}{4 \cdot x^{\frac{3}{2}}} -\dfrac{3b}{4 \cdot x^{\frac{5}{2}}} \\ &= \dfrac{a}{4 \cdot x \sqrt{x}}-\dfrac{3b}{4 \cdot x^{2} \sqrt{x}} \\ \end{align}$

Titik belok fungsi adalah $(4,13)$ sehingga saat $x=4$ berlaku $f''(4)=0$:
$\begin{align}
f''(x) &= \dfrac{a}{4 \cdot x \sqrt{x}}-\dfrac{3b}{4 \cdot x^{2} \sqrt{x}} \\ 0 &= \dfrac{a}{4 \cdot 4 \sqrt{4}}-\dfrac{3b}{4 \cdot 4^{2} \sqrt{4}} \\ 0 &= \dfrac{a}{32}-\dfrac{3b}{128} \\ \dfrac{3b}{128} &= \dfrac{a}{32} \\ \dfrac{3}{4}b &= a
\end{align}$

Fungsi melului titik $(4,13)$, sehingga berlaku $f(4)=13$:
$\begin{align}
f(x) &= a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \\ f(4) &= a\sqrt{4}+\dfrac{b}{\sqrt{4}} \\ 13 &= 2a +\dfrac{b}{2} \\ 13 &= 2 \cdot \dfrac{3b}{4} +\dfrac{b}{2} \\ 13 &= \dfrac{3b}{2} +\dfrac{b}{2} \\ 13 &= \dfrac{4b}{2} \Rightarrow\ b= \dfrac{13}{2} \\ a &= \dfrac{3}{4} b \\ a &= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{13}{2} = \dfrac{39}{8} \\ \hline
a+b &= \dfrac{39}{8} + \dfrac{13}{2} \\ &= \dfrac{39}{8} + \dfrac{52}{8} \\ &= \dfrac{91}{8}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{91}{8}$

35. Soal SIMAK UI 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar $2x^{2}-(2c-1)x-c^{3}+4=0$, maka nilai maksimum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4\dfrac{3}{4} \\ (B)\ & -3\dfrac{3}{4} \\ (C)\ & -2\dfrac{3}{4} \\ (D)\ & 2\dfrac{3}{4} \\ (E)\ & 3\dfrac{3}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu meminjam beberapa aturan dari persamaan kuadrat
Jika kita misalkan $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
M &= x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\ &= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\ &= \left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\ &= \left (\dfrac{2c-1}{2} \right )^{2}-2\left (\dfrac{-c^{3}+4}{2} \right ) \\ &= \dfrac{4c^{2}-4c+1}{4}+c^{3}-4 \\ &= c^{2}-c+\dfrac{1}{4}+c^{3}-4 \\ &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}
\end{align}$

Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $M'=0$.
$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4} \\ M' &= 3c^{2}+2c-1 \\ 3c^{2}+2c-1 &= 0 \\ \dfrac{1}{3}(3c+3)(3c-1) &= 0 \\ \end{align}$
Kita peroleh nilai $c=-1$ dan $c=\dfrac{1}{3}$

Untuk $c=-1$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $M=c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}$ lalu membandingkan hasilnya untuk $c=\dfrac{1}{3}$.

$\begin{align}
M' &= 3c^{2}+2c-1 \\ M'' &= 6c +2 \\ M'' \left( -1 \right)&= 6(-1)+2=-4 \\ M'' \lt 0 \rightarrow & c=-1\ \text{pembuat maksimum} \\ \hline M'' \left( \frac{1}{3} \right)&= 6\left( \frac{1}{3} \right) +2=4 \\ M'' \gt 0 \rightarrow & c=\frac{1}{3}\ \text{pembuat minimum} \\ \end{align}$

Nilai maksimum $M$ adalah
$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\frac{3}{4} \\ &= 1+1-1-3\frac{3}{4} \\ &= -2\dfrac{3}{4}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -2 \dfrac{3}{4}$

36. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 (*Soal Lengkap)

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2}+5ax+a^{3}-4a+1=0$. Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -\sqrt{3} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \sqrt{3} \\ (E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu meminjam beberapa aturan dari persamaan kuadrat
Jika kita misalkan $N=x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
N &= x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2} \\ &= x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2} \\ &= -\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \\ &= -\dfrac{5a}{1}+\dfrac{a^{3}-4a+1}{1} \\ &= a^{3}-9a+1
\end{align}$
Untuk mendapatkan pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $N'=0$.
$\begin{align}
N &= a^{3}-9a+1 \\ N' &= 3a^{2}-9 \\ 3a^{2}-9 &= 0 \\ a^{2}-3 &= 0 \\ (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) &= 0
\end{align}$

Kita peroleh nilai $a=-\sqrt{3}$ dan $a=\sqrt{3}$

Untuk $a=-\sqrt{3}$ adalah pembuat maksimum dengan menggunakan uji turunan kedua atau bisa langsung mensubstitusi ke $N=a^{3}-9a+1$ lalu membandingkan hasilnya untuk $a=\sqrt{3}$.

Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum adalah $-\sqrt{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\sqrt{3}$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Turunan Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™ Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Belajar Mengenal dan Memahami Soal TPS (Tes Potensi Skolastik) UTBK SBMPTN 2019

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Aljabar (36)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar