Calon Guru belajar matematika dasar SMP dari Cara Menentukan atau Menyusun Fungsi Kuadrat Pada Matematika SMP Kurikulum 2013.
Selain saat Ujian Nasional Fungsi Kuadrat juga sering diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri, silahkan disimak sebagai pendalaman materi soal-soal tentang fungsi kuadrat yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional Berbasis Kertas (UNKP) atau Berbasis Komputer (UNBK) atau seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN) atau seleksi masuk sekolah kedinasan pada Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Kuadrat.
Untuk dapat dengan mudah mengikuti diskusi Menentukan Fungsi Kuadrat berikut ini, ada baiknya kita sudah mengetahui beberapa informasi pada fungsi kuadrat, antara lain:
- Titik potong dengan sumbu $y$ saat $x=0$
- Titik potong dengan sumbu $x$ saat $y=0$
- Titik puncak (titik balik) $\left ( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right )$
- Nilai optimum $y_{p}= -\dfrac{D}{4a}=-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}$
- Sumbu Simetri $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$
MENENTUKAN FUNGSI KUADRAT
Bagaimana aturan yang kita pakai dalam menentukan fungsi kuadrat, tergantung dari unsur-unsur pada fungsi kuadrat yang diketahui, secara umum dapat dikelompokkan pada tiga kemungkinan yaitu:
- Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat dapat ditentukan menggunakan persamaan $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
- Jika diketahui Titik Potong dengan sumbu $x$ yaitu $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ serta sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat dapat ditentukan menggunakan persamaan $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$
- Jika diketahui tiga titik yang dilalui oleh grafik Fungsi Kuadrat maka Fungsi Kuadrat dapat ditentukan menggunakan persamaan $y=ax^{2}+bx+c$. Nilai $a,\ b,\ c$ Fungsi Kuadrat diperoleh dengan proses substitusi atau eliminasi sistem persamaan tiga variabel.
Bagaimana menggunakan persamaan di atas dalam menentukan fungsi kuadrat jika diketahui grafiknya atau diketahui titik puncak, titik potong dan sumbu simetri. Kita coba pahami menggunakan aturan di atas dari beberapa contoh berikut ini:
Soal EBTANAS SMA IPA Tahun 1995 |*Soal Lengkap
Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut ini,
Persamaan grafik fungsi kuadrat di atas adalah...
Dari gambar grafik kita peroleh bahwa titik puncak adalah $(1,3)$ sehingga $x_{p}=1$ dan $y_{p}=3$, sedangkan titik sembarang yang dilalui grafik adalah $(0,1)$ sehingga saat $x=0 \rightarrow y=1 $.
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik puncak $(1,3)$:
$y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
$y=a\left (x -1\right)^{2}+3$
Langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(0,1)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -1\right)^{2}+3 \\
1 &= a\left (0 -1\right)^{2}+3 \\
1 &= a\left (-1\right)^{2}+3 \\
1 &= a(1)+3 \\
1 &= a+3 \\
1-3 &= a \\
-2 &= a
\end{align}$
Setelah kita peroleh nilai $a=-2$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -1\right)^{2}+3 \\
y &= -2 \left (x -1\right)^{2}+3 \\
y &= -2 \left (x^{2}-2x+1 \right) +3 \\
y &= -2x^{2}+4x-2+3 \\
y &= -2x^{2}+4x+1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=-2x^{2}+4x+1$
Soal EBTANAS SMA IPA Tahun 1997 |*Soal Lengkap
Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik $(1,-4)$ dan melalui titik $(2,-3)$ persamaannya adalah...
Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa titik balik (titik puncak) adalah $(1,-4)$ sehingga $x_{p}=1$ dan $y_{p}=-4$, sedangkan titik sembarang yang dilalui grafik adalah $(2,-3)$ sehingga saat $x=2 \rightarrow y=-3 $.
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik puncak $(1,-4)$:
$y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
$y=a\left (x -1\right)^{2}-4$
Langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(2,-3)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -1\right)^{2}-4 \\
-3 &= a\left (2 -1 \right)^{2}-4 \\
-3 &= a\left (1 \right)^{2} -4 \\
-3 &= a\left (1 \right) -4 \\
-3 &= a-4 \\
-3+4 &= a \\
1 &= a
\end{align}$
Setelah kita peroleh nilai $a=1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -1\right)^{2}-4 \\
y &= 1 \left (x -1\right)^{2}-4 \\
y &= x^{2}-2x+1 -4 \\
y &= x^{2}-2x-3
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y= x^{2}-2x-3$
Soal Ujian Nasional SMA IPS Tahun 2018 |*Soal Lengkap
Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut ini,Dari gambar grafik kita peroleh bahwa titik potong terhadap sumbu-$x$ pada $(1,0)$ dan $(4,0)$ sehingga $x_{1}=1$ dan $x_{2}=4$, sedangkan titik sembarang yang dilalui grafik adalah $(0,-4)$ sehingga saat $x=0 \rightarrow y=-4 $.
Persamaan grafik fungsi kuadrat dari grafik di atas adalah...
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$
Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik potong terhadap sumbu-$x$ yaitu $x_{1}=1$ dan $x_{2}=4$:
$y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$
$y=a\left (x -1 \right)\left (x -4 \right)$
Langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(0,-4)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -1 \right)\left (x -4 \right) \\
-4 &= a\left (0 -1 \right)\left (0 -4 \right) \\
-4 &= a\left ( -1 \right)\left ( -4 \right) \\
-4 &= 4a \\
\dfrac{-4}{4} &= a \\
-1 &= a
\end{align}$
Setelah kita peroleh nilai $a=-1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -1 \right)\left (x -4 \right) \\
y &= -1\left (x -1 \right)\left (x -4 \right) \\
y &= -1 \left (x^{2}-5x+4 \right) \\
y &=-x^{2}+5x-4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=-x^{2}+5x-4$
Soal EBTANAS SMA IPA Tahun 1996 |*Soal Lengkap
Grafik suatu fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$x$ di titik $(–4, 0)$ dan $(3, 0)$ serta memotong di titik $(0, –12)$, mempunyai persamaan adalah...
Dari informasi pada soal disampaikan bahwa grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-$x$ pada $(-4,0)$ dan $(3,0)$ sehingga $x_{1}=-4$ dan $x_{2}=3$, sedangkan titik sembarang yang dilalui grafik adalah $(0,-12)$ sehingga saat $x=0 \rightarrow y=-12 $.
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$
Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik potong terhadap sumbu-$x$ yaitu $x_{1}=-4$ dan $x_{2}=3$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right) \\
y &= a\left (x -(-4) \right)\left (x -3 \right) \\
y &= a\left (x +4 \right)\left (x -3 \right) \\
\end{align}$
Langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(0,-12)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x +4 \right)\left (x -3 \right) \\
-12 &= a\left (0 +4 \right)\left (0 -3 \right) \\
-12 &= -12a \\
\dfrac{-12}{-12} &= a \\
1 &= a
\end{align}$
Setelah kita peroleh nilai $a=1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x +4 \right)\left (x -3 \right) \\
y &= 1\left (x +4 \right)\left (x -3 \right) \\
y &= x^{2}+x-12
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y= x^{2}+x-12$
Soal UN SMA IPS Tahun 2019 |*Soal Lengkap
Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar di bawah ini adalah...
Dari gambar grafik kita peroleh tiga titik yang dilalui oleh grafik yaitu $(0,-6)$, $(2,-6)$ dan $(3,-3)$ sehingga saat $x=0 \rightarrow y=-6 $, $x=2 \rightarrow y=-6 $ dan $x=3 \rightarrow y=-3 $.
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=ax^{2}+bx+c$
Pertama kita substitusi nilai $(0,-6)$, $(2,-6)$ dan $(3,-3)$ pada persamaan $y=ax^{2}+bx+c$, kita peroleh:
$\begin{align}
(0,-6) \rightarrow -6 &= a(0)^{2}+b(0)+c \\
-6 &= c \\
\hline
(2,-6) \rightarrow -6 &= a(2)^{2}+b(2)+(-6) \\
-6 &= 4a +2b -6 \\
-6+6 &= 4a +2b \\
0 &= 4a +2b \\
0 &= 2a + b \ \ \text{pers.(1)}\\
\hline
(3,-3) \rightarrow -3 &= a(3)^{2}+b(3)+(-6) \\
-3 &= 9a + 3b -6 \\
-3+6 &= 9a+3b \\
3 &= 9a + 3b \\
1 &= 3a + b \ \ \text{pers.(2)}\\
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b=0 & \\
3a+b =1 & (-) \\
\hline
a = 1 & 2a+b=0 \\
& b=-2
\end{array} $
Untuk $a=1,\ b=-2,\ c=-6$, maka $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $y= x^{2}-2x-6$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y= x^{2}-2x-6$
Soal EBTANAS SMA IPS Tahun 1998 |*Soal Lengkap
Grafik fungsi kuadrat melalui titik $(0,3)$, $(1,0)$ dan $(2,-1)$, persamaan grafik fungsi tersebut adalah...Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(0,3)$, $(1,0)$ dan $(2,-1)$ sehingga saat $x=3 \rightarrow y=0 $, $x=0 \rightarrow y=1 $ dan $x=2 \rightarrow y=-1 $.
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=ax^{2}+bx+c$
Pertama kita substitusi nilai $(0,3)$, $(1,0)$ dan $(2,-1)$ pada persamaan $y=ax^{2}+bx+c$, kita peroleh:
$\begin{align}
(0,3) \rightarrow 3 &= a(0)^{2}+b(0)+c \\
3 &= c \\
\hline
(1,0) \rightarrow 0 &= a(1)^{2}+b(1)+(3) \\
0 &= a + b+3 \\
-3 &= a + b \ \ \text{pers.(1)}\\
\hline
(2,-1) \rightarrow -1 &= a(2)^{2}+b(2)+(3) \\
-1 &= 4a + 2b +3 \\
-1-3 &= 4a+2b \\
-4 &= 4a+2b \\
-2 &= 2a + b\ \ \text{pers.(2)}\\
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
a+ b=-3 & \\
2a+b =-2 & (-) \\
\hline
-a = -1 & \\
a = 1 & 2a+b=-2 \\
& b=-4
\end{array} $
Untuk $a=1,\ b=-4,\ c=3$, maka $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $y= x^{2}-4x+3$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y= x^{2}-4x+3$
Soal Latihan dan Pembahasan Cara Menentukan Fungsi Kuadrat
Beberapa contoh soal sebelumnya mudah-mudahan dapat membantu pemahaman kita dalam membentuk atau menentukan fungsi kuadrat. Sebagai tambahan soal latihan, soal berikut kita pilih dari buku siswa matematika SMP kelas IX (sembilan) kurikulum 2013 dan sebelum melihat alternatif pembahasan, ada baiknya dicoba terlebih dahulu.
1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat $(-1,1)$, $(0,-4)$, dan $(1,-5)$.
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(-1,1)$, $(0,-4)$, dan $(1,-5)$ sehingga saat $x=-1 \rightarrow y=1 $, $x=0 \rightarrow y=-4 $ dan $x=1 \rightarrow y=-5$.
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=ax^{2}+bx+c$
Pertama kita substitusi nilai $(-1,1)$, $(0,-4)$, dan $(1,-5)$ pada persamaan $y=ax^{2}+bx+c$, kita peroleh:
$\begin{align}
(0,-4) \rightarrow -4 &= a(0)^{2}+b(0)+c \\
-4 &= c \\
\hline
(-1,1) \rightarrow 1 &= a(-1)^{2}+b(-1)+(-4) \\
1 &= a - b-4 \\
1+4 &= a - b \\
5 &= a - b \ \ \text{pers.(1)}\\
\hline
(1,-5) \rightarrow -5 &= a(1)^{2}+b(1)+(-4) \\
-5 &= a + b -4 \\
-5+4 &= a+b \\
-1 &= a+b\ \ \ \text{pers.(2)}\\
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
a-b=5 & \\
a+b =-1 & (+) \\
\hline
2a = 4 & \\
a = 2 & a+b=-1 \\
& b=-3
\end{array} $
Untuk $a=2,\ b=-3,\ c=-4$, maka fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $y= 2x^{2}-3x-4$
2. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-$x$ pada titik koordinat $(4,0)$ dan $(-3,0)$ serta melalui titik koordinat $(2,-10)$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(4,0)$, $(-3,0)$ dan $(2,-10)$ sehingga saat $x=4 \rightarrow y=0 $, $x=-3 \rightarrow y=0 $ dan $x=2 \rightarrow y=-10$.
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$
Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik potong terhadap sumbu-$x$ yaitu $x_{1}=4$ dan $x_{2}=-3$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right) \\
y &= a\left (x -4 \right)\left (x -(-3) \right) \\
y &= a\left (x -4 \right)\left (x +3 \right) \\
\end{align}$
langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(2,-10)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -4 \right)\left (x +3 \right) \\
-10 &= a\left (2 -4 \right)\left (2 +3 \right) \\
-10 &= -10a \\
\dfrac{-10}{-10} &= a \\
1 &= a
\end{align}$
Setelah kita peroleh nilai $a=1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -4 \right)\left (x +3 \right) \\
y &= 1\left (x -4 \right)\left (x +3 \right) \\
y &= x^{2}-x-12
\end{align}$
Fungsi kuadrat adalah $y = x^{2}-x-12$
3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-$x$ pada titik koordinat $(-2,0)$ dan memiliki titik puncak pada koordinat $(-1,-1)$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(-2,0)$ dan titik puncak $(2,-16)$ sehingga saat $x=-2 \rightarrow y=0 $ dan $x_{p}=2 \rightarrow y_{p}=-16 $.
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik puncak $(2,-16)$:
$y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
$y=a\left (x -2\right)^{2}-16$
Langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(-2,0)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -2\right)^{2}-16 \\
0 &= a\left (-2 -2\right)^{2}-16 \\
0 &= 16a -16 \\
16 &= 16a \\
1 &= a
\end{align}$
Setelah kita peroleh nilai $a=1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -2\right)^{2}-16 \\
y &= 1\left (x -2\right)^{2}-16 \\
y &= x^{2}-4x+4 -16 \\
y &= x^{2}-4x-12
\end{align}$
Fungsi kuadrat adalah $y = x^{2}-4x-12$
4. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-$y$ pada koordinat $(0,4)$, melalui titik koordinat $(-1,-1)$ dan memiliki sumbu simetri $x=2$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(0,4)$, $(-1,-1)$ dan sumbu simetri $x=2$ sehingga saat $x=0 \rightarrow y=4 $, $x=-1 \rightarrow y=-1 $.
Sumbu simetri fungsi kuadrat adalah $x=2$
- Jika kita analisis dengan bantuan titik $(0,4)$ sehingga kurva juga melalui titik $\left( 0+2(2),4 \right)$ atau $(4,4)$.
- Jika kita analisis dengan bantuan titik $(-1,-1)$ sehingga kurva juga melalui titik $\left( -1+2(3),-1 \right)$ atau $(5,-1)$.
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=ax^{2}+bx+c$
Pertama kita substitusi nilai $(0,4)$, $(4,4)$, dan $(-1,-1)$ pada persamaan $y=ax^{2}+bx+c$, kita peroleh:
$\begin{align}
(0, 4) \rightarrow 4 &= a(0)^{2}+b(0)+c \\
4 &= c \\
\hline
(4,4) \rightarrow 4 &= a(4)^{2}+b(4)+( 4) \\
4 &= 16a + 4b+4 \\
4-4 &= 16a+4b \\
0 &= 16a+ 4b \\
0 &= 4a+ b \ \ \text{pers.(1)}\\
\hline
(-1,-1) \rightarrow -1 &= a(-1)^{2}+b(-1)+(4) \\
-1 &= a - b +4 \\
-1-4 &= a-b \\
-5 &= a-b\ \ \ \text{pers.(2)}\\
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
4a+ b=0 & \\
a-b =-5 & (+) \\
\hline
5a = -5 & \\
a = -1 & 4a+b=0 \\
& b=4
\end{array} $
Untuk $a=-1,\ b=4,\ c= 4$, maka fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $y= -x^{2}+4x+4$
5. Tantangan Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui $(12,0)$, $(0,3)$ dan $(0,-2)$.
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(12,0)$, $(0,3)$ dan $(0,-2)$, jika kita perhatikan titik yang dilalui oleh grafik, garfik memotong sumbu-$y$ di dua titik dan melalui titik sembarang.
Mungkin ini salah satu sebab kenapa soal ini diberi label soal tantangan, kita coba peroleh grafik fungsi kuadrat dengan memodifikasi grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$x$ di dua titik yaitu $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$ menjadi grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$y$ di dua titik yaitu $x=a\left (y -y_{1}\right)\left (y -y_{2}\right)$.
Grafik melalui titik $(12,0)$, $(0,3)$ dan $(0,-2)$ sehingga saat $x=12 \rightarrow y=0 $, $x=0 \rightarrow y=3 $ dan $x=0 \rightarrow y=-2$.
Persamaan yang kita pakai adalah: $x=a\left (y -y_{1}\right)\left (y -y_{2}\right)$.
Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik potong terhadap sumbu-$y$ yaitu $y_{1}=3$ dan $y_{2}=-2$:
$\begin{align}
x &=a\left (y -y_{1}\right)\left (y -y_{2}\right) \\
x &=a\left (y -3\right)\left (y -(-2) \right) \\
x &=a\left (y -3\right)\left (y +2 \right) \\
\end{align}$
langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(12,0)$:
$\begin{align}
x &=a\left (y -3\right)\left (y +2 \right) \\
12 &=a\left (0 -3\right)\left (0 +2 \right) \\
12 &= -6a \\
\dfrac{12}{-6} &= a \\
-2 &= a
\end{align}$
Setelah kita peroleh nilai $a=-2$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
x &=a\left (y -3\right)\left (y +2 \right) \\
x &=-2 \left (y -3\right)\left (y +2 \right) \\
x &= -2y^{2}+2y+12
\end{align}$
Fungsi kuadrat adalah $x = -2y^{2}+2y+12$
6. Untuk suatu bilangan bulat $p$ yang tidak nol, tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat $(p,0)$, $(-p,0)$ dan $(0,p)$.
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(p,0)$, $(-p,0)$ dan $(0,p)$ sehingga saat $x=p \rightarrow y=0 $, $x=-p \rightarrow y=0 $ dan $x=0 \rightarrow y=p$.
Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$.
Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik potong terhadap sumbu-$x$ yaitu $x_{1}=p$ dan $x_{2}=-p$:
$\begin{align}
y &=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right) \\
y &=a\left (x -p \right)\left (x -(-p) \right) \\
y &=a\left (x -p \right)\left (x + p \right) \\
\end{align}$
langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(0,p)$:
$\begin{align}
p &=a\left (0 -p \right)\left (0 + p \right) \\
p &=a\left ( -p \right)\left ( p \right) \\
1 &= -ap \\
-\dfrac{1}{p} &= a
\end{align}$
Setelah kita peroleh nilai $a=-\dfrac{1}{p}$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &=a\left (x -p \right)\left (x + p \right) \\
y &=-\dfrac{1}{p} \cdot \left (x -p \right)\left (x + p \right) \\
y &=-\dfrac{1}{p} \cdot \left (x^{2} -p^{2} \right) \\
y &=-\dfrac{1}{p} x^{2} +p
\end{align}$
Fungsi kuadrat adalah $y =-\dfrac{1}{p} x^{2} +p$
7. Tentukan semua titik potong grafik fungsi linear $y=x-1$ dengan fungsi kuadrat $y=x^{2}-5x+4$.
Alternatif Pembahasan:
Dua fungsi mempunyai titik potong, artinya ada nilai $(x,y)$ yang memenuhi untuk kedua fungsi. Kita coba menentukan titik potong fungsi linear $y=x-1$ dengan fungsi kuadrat $y=x^{2}-5x+4$ dengan mensubsitusi nilai $y$.
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-5x+4 &= x-1 \\
x^{2}-5x+4 -x +1 &= 0 \\
x^{2}-6x+5 &= 0 \\
(x-5)(x-1) &= 0 \\
x=5\ & x= 1
\end{align}$
$x=5\ \rightarrow y=x-1=4$
$x=1\ \rightarrow y=x-1=0$
Titik potong kedua grafik fungsi adalah $(5,4)$ dan $(1,0)$
8. Tentukan semua titik potong grafik fungsi kuadrat $y=x^{2}-6x+4$ dengan fungsi kuadrat $y=x^{2}-8x$.
Alternatif Pembahasan:
Dua fungsi mempunyai titik potong, artinya ada nilai $(x,y)$ yang memenuhi untuk kedua fungsi. Kita coba menentukan titik potong fungsi kuadrat $y=x^{2}-6x+4$ dengan fungsi kuadrat $y=x^{2}-8x$ dengan mensubsitusi nilai $y$.
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-6x+4 &= x^{2}-8x \\
x^{2}-6x+4 - x^{2}+8x &= 0 \\
2x+4 &= 0 \\
x &= -2 \\
\hline
x=-2\ \rightarrow & y=x^{2}-8x \\
& y=(-2)^{2}-8(-2) \\
& y=4+16=20
\end{align}$
Titik potong kedua fungsi kuadrat adalah $(-2,20)$
9. Tantangan Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar grafik fungsi linear $y=ax+b$ memotong grafik fungsi kuadrat $y=x^{2}-4x+2$ tepat pada satu titik koordinat yakni $(3,-1)$ (Kalau dierlukan dapat menggunakan grafik).
Alternatif Pembahasan:
Grafik fungsi linear $y=ax+b$ memotong grafik fungsi kuadrat $y=x^{2}-4x+2$ tepat pada satu titik $(3,-1)$, artinya saat $x=3$ maka $y=-1$ memenuhi untuk $y=ax+b$ dan $y=x^{2}-4x+2$.
$\begin{align}
(3,-1)\ \rightarrow & y=x^{2}-4x+2 \\
& -1 =(3)^{2}-4(3)+2 \\
& -1 =9-12+2 \\
& -1 =-1 \\
\hline
(3,-1)\ \rightarrow & y=ax+b \\
& -1 =3a+b \\
& -1-3a =b
\end{align}$
Berikutnya kita substitusikan nilai $y$ karena kedua fungsi sudah dianggap berpotongan pada satu titik sehingga berlaku:
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-4x+2 &= ax+b \\
x^{2}-4x+2 - ax -b &= 0 \\
x^{2}-(4+a)x+2-b &= 0 \\
x^{2}-(4+a)x+2-(-1-3a) &= 0 \\
x^{2}-(4+a)x+3a+3 &= 0
\end{align}$
Titik potong kedua kurva hanya satu titik sehingga kita usahakan agar penyelesaian persamaan kuadrat di atas hanya satu saja atau akar-akarnya kembar.
Agar akar persamaan kuadrat kembar maka berlaku:
$\begin{align}
D &= 0 \\
b^{2}-4ac &= 0 \\
(4+a)^{2}-4(1)(3a+3) &= 0 \\
a^{2}+8a+16-12a-12 &= 0 \\
a^{2}-4a+4 &= 0 \\
(a-2)(a-2) &= 0 \\
a &= 2
\end{align}$
Untuk $a=2$, maka nilai $b=-1-3(2)=-7$ sehingga $y=ax+b$ adalah $y=2x-7$.
10. Dari fungsi kuadrat $y=2x^{2}-12x+16$ akan dibuat sebuah segitiga. Titik-titik sudut segitiga tersebut merupakan titik potong sumbu-$x$ dan titik puncak. Tentukan luas segitiga tersebut.
Alternatif Pembahasan:
Grafik fungsi kuadrat $y=2x^{2}-12x+16$ memotong sumbu-$x$ saat $y=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
2x^{2}-12x+16 & = 0 \\
x^{2}-6x+8 & = 0 \\
(x-4)(x-2) & = 0 \\
x=4\ \text{atau} &\ x=2
\end{align}$
Titik potong terhadap sumbu-$x$ adalah $(4,0)$ dan $(2,0)$
Titik puncak grafik fungsi kuadrat $y=2x^{2}-12x+16$ adalah:
$\begin{align}
x_{p} &=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-12}{2(2)} =3 \\
y_{p} &=-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
&=-\dfrac{(-12)^{2}-4(2)(16)}{4(2)} \\
&=-\dfrac{144-128}{8}=-2
\end{align}$
Titik puncak adalah $(3,-2)$
Segitiga melalui titik $(4,0)$, $(2,0)$ dan $(3,-2)$ sehingga alasnya adalah titik potong terhadap sumbu-$x$ yaitu dari $(2,0)$ sampai $(4,0)$ sehingga $a=2$ satuan panjang dan tingginya adalah dari sumbu-$x$ sampai $y_{p}=-2$ sehingg $t=2$ satuan panjang.
Luas segitiga adalah $\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t=\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2= 2$ satuan luas.
Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Dengan Menggunakan Tabel
Gambarlah grafik fungsi kuadrat $f(x)=-x^{2}+2x+3$ dengan daerah asal $\left \{ x | -2 \leq x \leq 4,\ x \in R \right \}$ dengan membuat tabel terlebih dahulu, kemudian sebutkan:
- Pembuat nol
- Koordinat titik balik dan jenisnya
- Persamaan sumbu simteri
- Nilai balik fungsi
Alternatif Pembahasan:
Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel dengan daerah asal $\left \{ x | -2 \leq x \leq 4,\ x \in R \right \}$ pertama kita munculkan tabel nilai $x$ bilangan bulat dan nilai $f(x)$
| $x$ | $f(x)$ | $Titik$ |
| $-2$ | $-5$ | $\left(-2,-5 \right)$ |
| $-1$ | $0$ | $\left(-1,0 \right)$ |
| $0$ | $3$ | $\left(0,3 \right)$ |
| $1$ | $4$ | $\left(1,4 \right)$ |
| $2$ | $3$ | $\left(2,3 \right)$ |
| $3$ | $0$ | $\left(3,0 \right)$ |
| $4$ | $-5$ | $\left(4,-5 \right)$ |
Dari tabel di atas, jika kita gambarkan titik-titik yang diperoleh di atas dalam koordinat cartesius maka gambarnya seperti berikut ini:
Dengan menghubungakan titik-titik yang kita peroleh di atas dengan garis melengkung maka kita peroleh sebuah gambar seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dapat kita simpulkan:
- Pembuat nol adalah $x=-1$ dan $x=3$
- Koordinat titik balik adalah $\left( 1,4 \right)$ dan merupakan titik balik maksimum.
- Persamaan sumbu simetri adalah $x_{p}=1$
- Nilai balik fungsi adalah $y_{p}=4$
Catatan Cara Menentukan Fungsi Kuadrat dan Pembahasan Soal Latihan dari Buku Matematika SMP di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
