Skip to main content

Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (*Soal dan Pembahasan)

Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber)Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Fungsi Kuadrat. Sebelumnya sebelumnya tentang persamaan kuadrat. Karena fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat ibarat saudara kembar yang tak sama, jadi kedua materi ini mempunyai keterikatan yang sangat kuat.

Beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Catatan sederhana tentang beberapa aturan dasar Fungsi Kuadrat [*untuk berikutnya kita singkat FK].
Bentuk umum PK adalah $y= a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c$ atau $f(x)= a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c$
dengan $a$, $b$ dan $c$ bilangan real serta $a \neq 0$.

Contoh:
  • $f(x)=x^{2}+4x+3$ dengan nilai $a=1$, $b=4$ dan $c=3$
  • $y=-2x^{2}-5x-3$ dengan nilai $a=-2$, $b=-5$ dan $c=-3$
  • $f(t)=5t^{2}+6t+1$ dengan nilai $a=5$, $b=6$ dan $c=1$

Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik FK berbentuk parabola, dan posisi parabola berada pada dua kemungkinan yaitu terbuka kebawah [*bayangkan payung yang dipakai normal] atau terbuka keatas [*bayangkan payung yang dipakai terbalik].

Grafik FK bisa kita gambar salah satu caranya dengan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut;
  • Cari titik potong dengan sumbu $y$ maka $x=0$
  • Cari titik potong dengan sumbu $x$ maka $y=0$
  • Cari titik puncak [titik balik] $\left ( -\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a} \right )$
  • Lalu hubungkan titik yang sudah diperoleh dengan menggunakan garis melengkung dengan memperhatikan Sumbu Simetri $x_{p}=-\frac{b}{2a}$ dan Nilai Ekstrim $y_{p}=-\frac{D}{4a}$

Jika ditinjau berdasarkan nilai $a$, $b$, $c$ dan $D=b^{2}-4ac$ terhadap grafik FK, ada beberapa hubungan yang bisa kita ambil;
  • Berdasarkan Nilai $a$
    • $a \gt 0:$ grafik parabola terbuka keatas
    • $a \lt 0:$ grafik parabola terbuka kebawah
  • Berdasarkan Nilai $a$ dan $b$
    • $a \gt 0$ dan $b \gt 0:$ Titik puncak grafik parabola berada di kiri
    • $a \lt 0$ dan $b \lt 0:$ Titik puncak grafik parabola berada di kiri
    • $a \gt 0$ dan $b \lt 0:$ Titik puncak grafik parabola berada di kanan
    • $a \lt 0$ dan $b \gt 0:$ Titik puncak grafik parabola berada di kanan
    • $a \lt 0$ dan $b = 0:$ grafik parabola berada di tengah
    • $a \gt 0$ dan $b = 0:$ grafik parabola berada di tengah
  • Berdasarkan Nilai $c$
    • $c \gt 0:$ grafik parabola memotong sumbu $y$ di titik $y$ positif
    • $c = 0:$ grafik parabola memotong di titik $(0,0)$
    • $c \lt 0:$ grafik parabola memotong sumbu $y$ di titik $y$ negatif
  • Berdasarkan Nilai $D$
    • $D \gt 0:$ grafik parabola memotong sumbu $x$ di dua titik
    • $D = 0:$ grafik parabola menyinggung sumbu $x$
    • $D \lt 0:$ grafik parabola tidak memotong sumbu $x$

Definit Negatif dan Posotif

Sebuah FK dikatakan Definit Negatif jika nilai FK selalu negatif untuk sembarang nilai variabel. Grafik FK yang dikatakan Definit Negatif selalu berada dibawah sumbu $x$. Syarat FK yang dikatakan Definit Negatif adalah $a \lt 0$ dan $D \lt 0$.

Sedangkan untuk sebuah FK dikatakan Definit Positif jika nilai FK selalu positif untuk sembarang nilai variabel. Grafik FK yang dikatakan Definit Positif selalu berada diatas sumbu $x$. Syarat FK yang dikatakan Definit Positif adalah $a \gt 0$ dan $D \lt 0$.

Menyusun Fungsi Kuadrat

Menyusun FK dapat dilakukan dari beberapa situasi yang berbeda, antara lain;
  • Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka FK adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
  • Jika diketahui Titik Potong dengan sumbu $x$ yaitu $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ serta sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka FK adalah $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$
  • Jika diketahui tiga titik yang dilalui oleh grafik FK maka FK adalah $y=ax^{2}+bx+c$. Nilai $a,\ b,\ c$ FK diperoleh dengan proses substitusi atau eliminasi sistem persamaan tiga variabel.

Hubungan Garis dan Parabola

Hubungan garis $y=mx+n$ dengan parabola $y=ax^{2}+bx+c$. Jika disubstitusi $y=mx+n$ ke $y=ax^{2}+bx+c$ maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru [PKB].
  1. Jika Diskriminan [*PKB] $D \gt 0$ maka garis dan parabola berpotongan di dua titik.
  2. Jika Diskriminan [*PKB] $D = 0$ maka garis dan parabola bersinggungan atau berpotongan di satu titik.
  3. Jika Diskriminan [*PKB] $D \lt 0$ maka garis dan parabola tidak bersinggungan dan tidak berpotongan

Beberapa aturan atau sifat dari fungsi kuadrat diatas kita coba gunakan dalam menyelesaikan soal [masalah] yang pernah diujikan dalam ujian atau seleksi masuk Peguruan Tinggi Negeri. Mari kita simak beberapa contoh untuk kita diskusikan πŸ˜‰πŸ˜

1. Soal UM UGM 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Berdasarkan perkiraan kebutuhan ketela kota $P$ pada $x$ tahun setelah 2017 sebesar: $h(x)=180x^{2}+540x+1080$ kwintal. Produk ketela kota tersebut pada tahun yang sama sebesar $f(x)=720x+20880$ kwintal. Untuk mencukupi kebutuhannya, kota tersebut harus mendatangkan ketela dari luar kota mulai pada tahun...
$(A)\ 2020$
$(B)\ 2023$
$(C)\ 2028$
$(D)\ 2029$
$(E)\ 2032$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menyimak apa yang disampaikan pada soal bahwa kebutuhan ketela mengikuti fungsi $h(x)=180x^{2}+540x+1080$ dimana fungsi itu adalah fungsi kuadrat. Sedangkan produksi ketela mengikuti fungsi $f(x)=720x+20880$ adalah fungsi linear.

Pada masa awal [*anggap $x=0$] produksi ketela masih mampu mencukupi kebutuhan ketela kota $P$, tetapi kebutuhan mengikuti konsep fungsi kuadrat $h(x)=180x^{2}+540x+1080$ berkembang lebih cepat dari produksi yang mengikuti konsep fungsi linear $f(x)=720x+20880$.

Untuk mengetahui kapan kota $P$ akan mendatangkan ketela, kita coba dengan mencari kapan banyak produksi sama dengan banyak kebutuhan. Ketika kebutuhan sama dengan produksi maka berlakau;
\begin{split}
h(x)&=f(x)\\
180x^{2}+540x+1080&=720x+20880\\
180x^{2}+540x+1080-720x-20880&=0\\
180x^{2}-180x-19800&=0\\
x^{2}-x-110&=0\\
(x-11)(x+10)&=0\\
x=11\ atau\ x=-10\\
\end{split}
Dari persamaan kuadrat di atas diperoleh nilai $x=11$ atau $x=-10$ [*$x=-10$ Tidak memenuhi karena $x$ dalam tahun]. Kesimpulan yang bisa kita ambil adalah produksi dan kebutuhan ketela sama, terjadi $11$ tahun dari tahun $2017$ yaitu $2028$.

Sehingga kota $P$ akan mendatangkan ketela mulai tahun $2029$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2029$

2. Soal USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Persamaan grafik pada gambar adalah...
$(A)\ y=x^{2}-2x+2$
$(B)\ y=x^{2}+2x+1$
$(C)\ y=x^{2}-2x+1$
$(D)\ y=x^{2}-2x$
$(E)\ y=x^{2}+2x$
Alternatif Pembahasan:

Dari gambar kita ketahui titik puncak parabola yaitu $(1,1)$ dan melalui titik $(0,2)$. Dari unsur-unsur yang diketahui kita gunakan "Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka FK adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$"

Untuk membentuk FK terlebih dahulu kita cari nilai $a$.
Pertama substitusi titik puncak $(1,1)$:
$y=a\left (x -1\right)^{2}+1$

Kedua substitusi titik sembarang $(0,2)$:
$2=a\left (0 -1\right)^{2}+1$
$2=a\left (-1\right)^{2}+1$
$2=a+1$
$1=a$

Setelah diperoleh nilai $a=1$, fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$y=a\left (x -1\right)^{2}+1$
$y=\left (x -1\right)^{2}+1$
$y=x^{2}-2x+1+1$
$y=x^{2}-2x+2$ $\A$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}-2x+2$

3. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 (*Soal Lengkap)

Jika suatu garis lurus yang melalui $(0,-14)$ tidak memotong maupun menyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$, maka gradien garis tersebut, $m$, memenuhi...
$(A)\ m \lt -9$
$(B)\ m \lt -1$
$(C)\ -1 \lt m \lt 9$
$(D)\ 1 \lt m \lt 9$
$(E)\ m \gt 9$
Alternatif Pembahasan:

Persamaan garis lurus tidak diketahui, kita anggap $y=mx+n$ dan melalui $(0,-14)$ sehingga berlaku $y=mx-14$.

Karena garis tidak memotong maupun menyinggung parabola maka kita gunakan aturan Diskriminan [PKB] $D \lt 0$.
Persamaan Kuadrat Baru [PKB] yang merupakan adalah:
\begin{split}
y&=y\\
2x^{2}+5x-12 &=mx-14\\
2x^{2}+5x-mx-12+14 &=0\\
2x^{2}+(5-m)x+2 &=0\\
\end{split}
Karena garis tidak memotong maupun menyinggung parabola, Diskriminan [PKB] harus memenuhi $D \lt 0$.
\begin{split}
D & \lt 0\\
b^{2}-4ac & \lt 0\\
(5-m)^{2}-4(2)(2) & \lt 0\\
m^{2}-10m+25-16 & \lt 0\\
m^{2}-10m+9 & \lt 0\\
(m-1)(m-9) & \lt 0\\
\end{split}
Dari pertidaksamaan kuadrat diatas kita peroleh nilai $m$ yang memenuhi adalah $1 \lt m \lt 9$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \lt m \lt 9$

Jika kurang paham dalam pertidaksamaan kuadrat, bisa coba disimak kembali pada Cara Kreatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat.

4. Soal SIMAK UI 2009 Kode 924 (*Soal Lengkap)

Diketahui fungsi $mx^{2}-2x^{2}+2mx+m-3$. Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu $x$, maka nilai $m$ yang mungkin adalah...
$(A)\ m \lt -3$
$(B)\ m \lt -2$
$(C)\ m \lt 1\frac{}1{5}$
$(D)\ m \lt 2$
$(E)\ m \gt 3$
Alternatif Pembahasan:

Disampaikan pada soal bahwa fungsi $mx^{2}-2x^{2}+2mx+m-3$ senantiasa berada di bawah sumbu $x$, artinya nilai fungsi selalu bernilai negatif, fungsi adalah definit positif.

Syarat FK yang dikatakan Definit Negatif adalah $a \lt 0$ dan $D \lt 0$
$y=mx^{2}-2x^{2}+2mx+m-3$
$y=(m-2)x^{2}+2mx+m-3$

#Syarat Pertama $a \lt 0$
\begin{split}
m-2 \lt 0\\
m \lt 2\\
\end{split}

#Syarat Kedua $D \lt 0$
\begin{split}
D & \lt 0\\
b^{2}-4ac & \lt 0\\
(2m)^{2}-4(m-2)(m-3) & \lt 0\\
4m^{2}-4m^2+20m-24 & \lt 0\\
20m-24 & \lt 0\\
m-6 & \lt 0\\
m & \lt 6\\
\end{split}
Dengan mengambil irisan dari syarat pertama $m \lt 2$ dan syarat kedua $m \lt 6$, nilai $m$ yang mungkin adalah $m \lt 2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ m \lt 2$

5. Soal SIMAK UI 2010 Kode 204 (*Soal Lengkap)

Garis $y=mx+5$ memotong parabola $y=x^{2}-4mx+4n$ di titik $P$ dan $Q$. Jika $P=(1,6)$, maka koordinat $Q$ adalah...
$(A)\ \left ( \frac{3}{2},\frac{13}{2} \right )$
$(B)\ \left ( \frac{5+\sqrt{21}}{2},\frac{15+\sqrt{21}}{2} \right )$
$(C)\ \left ( \frac{5-\sqrt{21}}{2},\frac{15-\sqrt{21}}{2} \right )$
$(D)\ \left ( \frac{9}{4},\frac{29}{4} \right )$
$(E)\ \left ( 4,9 \right )$
Alternatif Pembahasan:

Karena kurva berpotongan di titik $(1,6)$ maka;
garis $y=mx+5$ melalui $(1,6)$
$\Rightarrow 6=m(1)+5$
$\Rightarrow 6=m+5$
$\Rightarrow m=1$

Karena berpotongan di titik $(1,6)$ maka;
parabola $y=x^{2}-4mx+4n$ melalui $(1,6)$
$\Rightarrow 6=(1)^{2}-4m(1)+4n$
$\Rightarrow 6=1-4(1)+4n$
$\Rightarrow 6=-3+4n$
$\Rightarrow 9=4n$
$\Rightarrow \frac{9}{4}=n$

Pada soal juga disampaikan fungsi $y=mx+5$ dan $y=x^{2}-4mx+4n$ berpotongan di dua titik, sehingga pernah terjadi;
$y=y$
$x^{2}-4mx+4n=mx+5$
$x^{2}-4mx-mx+4n-5=0$
$x^{2}-5mx+4n-5=0$
$x^{2}-5(1)x+4\frac{9}{4}-5=0$
$x^{2}-5x+4=0$
$(x-1)(x-4)=0$
Dari persamaan kuadrat diatas, diperoleh nilai $x_{1}=1$ dan $x_{2}=4$.

Karena $P=(1,6)$, maka koordinat $Q$ adalah saat $x=4$ dan $y=9$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (4,9)$

6. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal Lengkap)

Sebuah garis $h$ yang melalui titik asal memotong kurva $2y=3x^{2}-2x+1$ di dua titik di mana jumlah nilai $x$-nya adalah $10$ maka gradien dari garis $h$ adalah...
$(A)\ -1$
$(B)\ \frac{3}{2}$
$(C)\ 6$
$(D)\ 14$
$(E)\ 15$
Alternatif Pembahasan:

Garis $h$ yang melalui titik asal kita misalkan adalah garis $y=mx$

Karena garis memotong kurva $2y=3x^{2}-2x+1$ di dua titik maka berlaku;
$y=y$
$\frac{3}{2}x^{2}-x+\frac{1}{2}=mx$
$\frac{3}{2}x^{2}-x-mx+\frac{1}{2}=0$
$\frac{3}{2}x^{2}-(m+1)x+\frac{1}{2}=0$

Pada soal disampaikan bahwa jumlah nilai $x$-nya adalah $10$, maka;
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
$10=-\frac{-(m+1)}{\frac{3}{2}}$
$\frac{30}{2}=m+1$
$15=m+1$
$14=m$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ m=14$

7. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal Lengkap)

Jika garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah...
$(A)\ 0$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 3$
$(E)\ 4$
Alternatif Pembahasan:

Garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ adalah $y=mx+n$
Kita cari nilai gradien $m$ dengan menggunakan turunan pertama dari $y=4x-x^{2}$ yaitu $y'=m=4-2x$.
Nilai gradien $m$ di titik $(1,3)$ adalah $m=4-2(1)=2$.

Untuk nilai gradien $m=2$ dan melalui titik $(1,3)$ persamaan garis singgung adalah $y=2x+1$.

Garis $y=2x+1$ juga menyinggung kurva $y=x^{2}-6x+k$, sehingga antara garis $y=2x+1$ dan kurva $y=x^{2}-6x+k$ berlaku:
$x^{2}-6x+k=2x+1$
$x^{2}-6x-2x+k-1=0$
$x^{2}-8x+k-1=0$
Karena garis dan kurva bersingungan maka:
$D=0$
$b^{2}-4ac=0$
$(-8)^{2}-4(1)(k-1)=0$
$64-4k+4=0$
$68=4k$
$17=k$

Maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}=5-\sqrt{17-1}=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

8. Soal UM UGM 2015 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Parabola $y=ax^{2}+bx+c$, $a \gt 0$ memotong sumbu $x$ pada $x=p$ dan $x=2p$, $p \neq 0$. Nilai $c-b \gt 0$ terpenuhi apabila...
$(A)\ -\frac{3}{2} \lt p \lt 0$
$(B)\ p \lt -\frac{3}{2}$ atau $p \gt 0$
$(C)\ p \lt -\frac{3}{2}$ atau $p \gt \frac{3}{2}$
$(D)\ 0 \lt p \lt \frac{3}{2}$
$(E)\ p \lt 0$ atau $p \gt \frac{3}{2}$
Alternatif Pembahasan:

Karena parabola memotong sumbu $x$ pada $x=p$ dan $x=2p$ maka berlaku:
$y=ax^{2}+bx+c\equiv y= (x-p)(x-2p)$
$ax^{2}+bx+c\equiv x^{2}-3px+2p^{2}$
nilai $a=1$, $b=-3p$ dan $c=2p^{2}$.

Nilai $c-b \gt 0$
$2p^{2} \gt -3p$
$2p^{2} +3p \gt 0$
$p(2p +3) \gt 0$

Nilai $p$ yang memenuhi adalah $-\frac{3}{2} \lt p \lt 0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{3}{2} \lt p \lt 0$

Jika kurang paham dalam pertidaksamaan kuadrat, bisa coba disimak kembali pada Cara Kreatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat.

9. Soal UM UGM 2016 Kode 571 (*Soal Lengkap)

Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah $2$. Jika $f(2)=F(4)=0$, maka $a+b+c=\cdots$
$(A)\ -10$
$(B)\ -6$
$(C)\ -4$
$(D)\ 4$
$(E)\ 6$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan $f(2)=f(4)=0$ untuk $f(x)=ax^{2}+bx+c$, artinya kurva akan memotong sumbu $x$ di titik $(2,0)$ dan $(4,0)$. Dengan melihat titik potong kurva terhadap sumbu $x$ bisa kita simpulkan bahwa sumbu simetri berada pada $x=3$. Kesimpulan lain yang bisa kita ambil adalah titik $x_{p}=3$. Titik puncaknya sudah lengkap yaitu $(3,2)$

Dari data-data yang sudah kita ketahui yaitu kurva melalui titik $(2,0)$, $(4,0)$ dan titik puncak $(3,2)$ maka kita bisa menyusun FK dengan $y=a \left(x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$.

Untuk membentuk FK terlebih dahulu kita cari nilai $a$.
Pertama substitusi titik puncak $(3,2)$:
$y=a\left (x -3\right)^{2}+2$

Kedua substitusi titik sembarang $(2,0)$:
$0=a\left (2 -3\right)^{2}+2$
$0=a+2$
$-2=a$

Setelah diperoleh nilai $a=-2$, fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$y=a\left (x -3\right)^{2}+2$
$y=-2 \left (x -3\right)^{2}+2$
$y=-2 (x^{2}-6x+9)+2$
$y=-2x^{2}+12x-18+2$
$y=-2x^{2}+12x-16$
$a=-2$, $b=12$ dan $c=-16$

Nilai: $a+b+c=-2+12-16=-6$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -6$

10. Soal SNMPTN 2012 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Jika $f$ adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik $(1,0),\ (4,0),$ dan $(0,-4),$ maka nilai $f(7)$ adalah...
$(A)\ -16$
$(B)\ -17$
$(C)\ -18$
$(D)\ -19$
$(E)\ -20$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa grafik FK $y=ax^{2}+bx+c$ melalui tiga titik $(1,0),\ (4,0),$ dan $(0,-4)$ sehingga berlaku:
$(0,-4)$ $\Rightarrow\ -4=c$
$(4,0)$ $\Rightarrow\ 0=16a+4b-4$ $\Rightarrow\ 4=16a+4b$ $\Rightarrow\ 4a+b=1$
$(1,0)$ $\Rightarrow\ 0=a+b-4$ $\Rightarrow\ 4=a+b$ $\Rightarrow\ a+b=4$

Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua persamaan diatas kita peroleh nilai $a=-1$ dan $b=5$.

FK adalah $f(x)=-x^{2}+5x-4$
Nilai $f(7)=-(7)^{2}+5(7)-4$$=-49+31=-18$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -18$

11. Soal SBMPTN 2013 Kode 427 (*Soal Lengkap)

Jika grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ mempunyai titik puncak $(8,4)$ dan memotong sumbu-$x$ negatif, maka...
$(A)\ a \gt 0,\ b \gt 0$ dan $c \gt 0$
$(B)\ a \lt 0,\ b \lt 0$ dan $c \gt 0$
$(C)\ a \lt 0,\ b \gt 0$ dan $c \lt 0$
$(D)\ a \gt 0,\ b \gt 0$ dan $c \lt 0$
$(E)\ a \lt 0,\ b \gt 0$ dan $c \gt 0$
Alternatif Pembahasan:

Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu $x$ negatif berarti kurva terbuka kebawah $(a \lt 0)$, karena jika terbuka keatas maka kurva tidak akan pernah memotong sumbu $x$.

Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva terbuka kebawah $(a \lt 0)$ maka nilai $b$ bisa kita tafsir dari titik $x_{p}=-\frac{b}{2a}$ $\Rightarrow$ $8=-\frac{b}{2a}$. Karena nilai $-\frac{b}{2a}=8$ dan $a \lt 0$ maka $b \gt 0$.

Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu $x$ negatif berarti kurva memotong sumbu $y$ positif $(c \gt 0)$. Karena tidak mungkin kurva dari titik $(8,4)$ dan terbuka kebawah melalui sumbu $y$ negatif.

Kesimpulan akhir adalah $a \lt 0$, $b \gt 0$ dan $c \gt 0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ a \lt 0$, $b \gt 0$ dan $c \gt 0$


12. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Titik $(a,b)$ terletak pada grafik $y=bx^{2}+\left( 1-b^{2} \right)x-56$. Jika $a-b=7$, maka nilai $ab$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 7 \\
(B).\ & 5 \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & -1 \\
(E).\ & -5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena titik $(a,b)$ terletak pada grafik $y=bx^{2}+\left( 1-b^{2} \right)x-56$ sehinggga berlaku
$\begin{align}
y & =bx^{2}+\left( 1-b^{2} \right)x-56 \\
b & =b(a)^{2}+\left( 1-b^{2} \right)(a)-56 \\
b & =ba^{2}+a-ab^{2} -56 \\
56 & =ba^{2}+a-ab^{2}-b \\
56 & =ba^{2}-ab^{2}+a-b \\
56 & =ab \left( a-b \right)+a-b \\
56 & =ab (7)+7 \\
49 & =ab (7) \\
\dfrac{49}{7} & =ab \\
7 & =ab
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$

13. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Jika puncak grafik fungsi $y=px^{2}-qx-1$ sama dengan puncak grafik $y=x^{2}-2x+4$, maka nilai $p+q$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & -12 \\
(B).\ & -4 \\
(C).\ & 0 \\
(D).\ & 4 \\
(E).\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Titik puncak adalah $\left ( -\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a} \right )$, dan puncak grafik fungsi $y=px^{2}-qx-1$ sama dengan puncak grafik $y=x^{2}-2x+4$ sehingga

Untuk titik $x_{p}$ berlaku:
$\begin{align}
-\frac{b}{2a} & = -\frac{b}{2a} \\
-\frac{-2}{2(1)} & = -\frac{-q}{2p} \\
1 & = \frac{q}{2p} \\
2p & = q
\end{align}$

Untuk titik $y_{p}$ berlaku:
$\begin{align}
-\frac{D}{4a} & = -\frac{D}{4a} \\
-\frac{b^{2}-4ac}{4a} & = -\frac{b^{2}-4ac}{4a} \\
-\frac{(-2)^{2}-4(1)(4)}{4(1)} & = -\frac{(-q)^{2}-4(p)(-1)}{4(p)} \\
-\frac{4-16}{4} & = -\frac{q^{2}+4p}{4p} \\
3 & = -\frac{q^{2}+4p}{4p} \\
-12p & = q^{2}+4p \\
-12p & = (2p)^{2}+4p \\
4p^{2}+16p & = 0 \\
4p(p+4) & = 0 \\
p=0\ (TM)\ &\ \vee \ p=-4 \\
q &\ =2p=-8
\end{align}$
Nilai $p+q=-4-8=-12$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Fungsi Kuadrat sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (*Soal dan Pembahasan)" 😊 and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar