Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Kuadrat

Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber)Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Fungsi Kuadrat. Tetapi jika kita ingin belajar matematika dasar fungsi kuadrat, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang matematika dasar persamaan kuadrat, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar fungsi kuadrat.

Penerapan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada fungsi kuadrat sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal fungsi kuadrat dan menemukan solusinya.

Beberapa catatan calon guru tentang Fungsi Kuadrat sebelum kita bahas masalah yang berkembang;
Bentuk umum Fungsi Kuadrat adalah $y= a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c$ atau $f(x)= a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c$
dengan $a$, $b$ dan $c$ bilangan real serta $a \neq 0$.

Contoh:
  • $f(x)=x^{2}+4x+3$ dengan nilai $a=1$, $b=4$ dan $c=3$
  • $y=-2x^{2}-5x-3$ dengan nilai $a=-2$, $b=-5$ dan $c=-3$
  • $f(t)=5t^{2}+6t+1$ dengan nilai $a=5$, $b=6$ dan $c=1$

Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik Fungsi Kuadrat berbentuk parabola, dan posisi parabola berada pada dua kemungkinan yaitu terbuka kebawah (*bayangkan payung yang dipakai normal) atau terbuka keatas (*bayangkan payung yang dipakai terbalik).

Grafik Fungsi Kuadrat bisa kita gambar salah satu caranya dengan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut;
  • Cari titik potong dengan sumbu $y$ maka $x=0$
  • Cari titik potong dengan sumbu $x$ maka $y=0$
  • Cari titik puncak (titik balik) $\left ( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right )$
  • Lalu hubungkan titik yang sudah diperoleh dengan menggunakan garis melengkung dengan memperhatikan Sumbu Simetri $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$ dan Nilai Ekstrim $y_{p}=-\dfrac{D}{4a}$

Jika ditinjau berdasarkan nilai $a$, $b$, $c$ dan $D=b^{2}-4ac$ terhadap grafik Fungsi Kuadrat, ada beberapa hubungan yang bisa kita ambil;
  • Berdasarkan Nilai $a$
    • $a \gt 0:$ grafik parabola terbuka keatas
    • $a \lt 0:$ grafik parabola terbuka kebawah
  • Berdasarkan Nilai $a$ dan $b$
    • $a \gt 0$ dan $b \gt 0:$ Titik puncak grafik parabola berada di kiri
    • $a \lt 0$ dan $b \lt 0:$ Titik puncak grafik parabola berada di kiri
    • $a \gt 0$ dan $b \lt 0:$ Titik puncak grafik parabola berada di kanan
    • $a \lt 0$ dan $b \gt 0:$ Titik puncak grafik parabola berada di kanan
    • $a \lt 0$ dan $b = 0:$ grafik parabola berada di tengah
    • $a \gt 0$ dan $b = 0:$ grafik parabola berada di tengah
  • Berdasarkan Nilai $c$
    • $c \gt 0:$ grafik parabola memotong sumbu $y$ di titik $y$ positif
    • $c = 0:$ grafik parabola memotong di titik $(0,0)$
    • $c \lt 0:$ grafik parabola memotong sumbu $y$ di titik $y$ negatif
  • Berdasarkan Nilai $D$
    • $D \gt 0:$ grafik parabola memotong sumbu $x$ di dua titik
    • $D = 0:$ grafik parabola menyinggung sumbu $x$
    • $D \lt 0:$ grafik parabola tidak memotong sumbu $x$

Definit Negatif dan Posotif

Sebuah Fungsi Kuadrat dikatakan Definit Negatif jika nilai Fungsi Kuadrat selalu negatif untuk sembarang nilai variabel. Grafik Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Negatif selalu berada dibawah sumbu $x$. Syarat Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Negatif adalah $a \lt 0$ dan $D \lt 0$.

Sedangkan untuk sebuah Fungsi Kuadrat dikatakan Definit Positif jika nilai Fungsi Kuadrat selalu positif untuk sembarang nilai variabel. Grafik Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Positif selalu berada diatas sumbu $x$. Syarat Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Positif adalah $a \gt 0$ dan $D \lt 0$.

Menyusun Fungsi Kuadrat

Menyusun Fungsi Kuadrat dapat dilakukan dari beberapa situasi yang berbeda, antara lain;
  • Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
  • Jika diketahui Titik Potong dengan sumbu $x$ yaitu $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ serta sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat adalah $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$
  • Jika diketahui tiga titik yang dilalui oleh grafik Fungsi Kuadrat maka Fungsi Kuadrat adalah $y=ax^{2}+bx+c$. Nilai $a,\ b,\ c$ Fungsi Kuadrat diperoleh dengan proses substitusi atau eliminasi sistem persamaan tiga variabel.

Hubungan Garis dan Parabola

Hubungan garis $y=mx+n$ dengan parabola $y=ax^{2}+bx+c$. Jika disubstitusi $y=mx+n$ ke $y=ax^{2}+bx+c$ maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat persekutuan kedua grafik.
  1. Jika Diskriminan (*persamaan kuadrat persekutuan) $D \gt 0$ maka garis dan parabola berpotongan di dua titik.
  2. Jika Diskriminan (*persamaan kuadrat persekutuan) $D = 0$ maka garis dan parabola bersinggungan atau berpotongan di satu titik.
  3. Jika Diskriminan (*persamaan kuadrat persekutuan) $D \lt 0$ maka garis dan parabola tidak bersinggungan dan tidak berpotongan

Beberapa aturan atau sifat dari fungsi kuadrat diatas kita coba gunakan dalam menyelesaikan soal (masalah) yang pernah diujikan dalam ujian atau seleksi masuk Peguruan Tinggi Negeri. Mari kita simak beberapa contoh untuk kita diskusikan πŸ˜‰πŸ˜

1. Soal UM UGM 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Berdasarkan perkiraan kebutuhan ketela kota $P$ pada $x$ tahun setelah 2017 sebesar: $h(x)=180x^{2}+540x+1080$ kwintal. Produk ketela kota tersebut pada tahun yang sama sebesar $f(x)=720x+20880$ kwintal. Untuk mencukupi kebutuhannya, kota tersebut harus mendatangkan ketela dari luar kota mulai pada tahun...
$\begin{align}
(A)\ & 2020 \\
(B)\ & 2023 \\
(C)\ & 2028 \\
(D)\ & 2029 \\
(E)\ & 2032
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan menyimak apa yang disampaikan pada soal bahwa kebutuhan ketela mengikuti fungsi $h(x)=180x^{2}+540x+1080$ dimana fungsi itu adalah fungsi kuadrat. Sedangkan produksi ketela mengikuti fungsi $f(x)=720x+20880$ adalah fungsi linear.

Pada masa awal (*anggap $x=0$) produksi ketela masih mampu mencukupi kebutuhan ketela kota $P$, tetapi kebutuhan mengikuti konsep fungsi kuadrat $h(x)=180x^{2}+540x+1080$ berkembang lebih cepat dari produksi yang mengikuti konsep fungsi linear $f(x)=720x+20880$.

Untuk mengetahui kapan kota $P$ akan mendatangkan ketela, kita coba dengan mencari kapan banyak produksi sama dengan banyak kebutuhan. Ketika kebutuhan sama dengan produksi maka berlakau;
$\begin{align}
h(x)&=f(x)\\
180x^{2}+540x+1080&=720x+20880\\
180x^{2}+540x+1080-720x-20880&=0\\
180x^{2}-180x-19800&=0\\
x^{2}-x-110&=0\\
(x-11)(x+10)&=0\\
x=11\ atau\ x=-10\\
\end{align}$
Dari persamaan kuadrat di atas diperoleh nilai $x=11$ atau $x=-10$ (*$x=-10$ Tidak memenuhi karena $x$ dalam tahun). Kesimpulan yang bisa kita ambil adalah produksi dan kebutuhan ketela sama, terjadi $11$ tahun dari tahun $2017$ yaitu $2028$.

Sehingga kota $P$ akan mendatangkan ketela mulai tahun $2029$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2029$

2. Soal USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Persamaan grafik pada gambar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x^{2}-2x+2 \\
(B)\ & y=x^{2}+2x+1 \\
(C)\ & y=x^{2}-2x+1 \\
(D)\ & y=x^{2}-2x \\
(E)\ & y=x^{2}+2x
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari gambar kita ketahui titik puncak parabola yaitu $(1,1)$ dan melalui titik $(0,2)$. Dari unsur-unsur yang diketahui kita gunakan "Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$"

Untuk membentuk Fungsi Kuadrat terlebih dahulu kita cari nilai $a$.
Pertama substitusi titik puncak $(1,1)$:
$y=a\left (x -1\right)^{2}+1$

Kedua substitusi titik sembarang $(0,2)$:
$\begin{align}
2 &= a\left (0 -1\right)^{2}+1 \\
2 &= a\left (-1\right)^{2}+1 \\
2 &= a+1 \\
1 &= a
\end{align}$

Setelah diperoleh nilai $a=1$, fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -1\right)^{2}+1 \\
y &= \left (x -1\right)^{2}+1 \\
y &= x^{2}-2x+1+1 \\
y &= x^{2}-2x+2
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}-2x+2$

3. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 (*Soal Lengkap)

Jika suatu garis lurus yang melalui $(0,-14)$ tidak memotong maupun menyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$, maka gradien garis tersebut, $m$, memenuhi...
$\begin{align}
(A)\ & m \lt -9 \\
(B)\ & m \lt -1 \\
(C)\ & -1 \lt m \lt 9 \\
(D)\ & 1 \lt m \lt 9 \\
(E)\ & m \gt 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Persamaan garis lurus tidak diketahui, kita anggap $y=mx+n$ dan melalui $(0,-14)$ sehingga berlaku $y=mx-14$.

Karena garis tidak memotong maupun menyinggung parabola maka kita gunakan aturan Diskriminan (*persamaan kuadrat persekutuan) $D \lt 0$.
Persamaan Kuadrat persekutuan adalah:
$\begin{align}
y&=y\\
2x^{2}+5x-12 &=mx-14\\
2x^{2}+5x-mx-12+14 &=0\\
2x^{2}+(5-m)x+2 &=0\\
\end{align}$
Karena garis tidak memotong maupun menyinggung parabola, Diskriminan harus memenuhi $D \lt 0$.
$\begin{align}
D & \lt 0\\
b^{2}-4ac & \lt 0\\
(5-m)^{2}-4(2)(2) & \lt 0\\
m^{2}-10m+25-16 & \lt 0\\
m^{2}-10m+9 & \lt 0\\
(m-1)(m-9) & \lt 0\\
\end{align}$
Dari pertidaksamaan kuadrat diatas kita peroleh nilai $m$ yang memenuhi adalah $1 \lt m \lt 9$

Jika kurang paham dalam pertidaksamaan kuadrat, bisa coba disimak kembali pada Cara Kreatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \lt m \lt 9$

4. Soal SIMAK UI 2009 Kode 924 (*Soal Lengkap)

Diketahui fungsi $mx^{2}-2x^{2}+2mx+m-3$. Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu $x$, maka nilai $m$ yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & m \lt -3 \\
(B)\ & m \lt -2 \\
(C)\ & m \lt 1\dfrac{1}{5} \\
(D)\ & m \lt 2 \\
(E)\ & m \gt 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Disampaikan pada soal bahwa fungsi $mx^{2}-2x^{2}+2mx+m-3$ senantiasa berada di bawah sumbu $x$, artinya nilai fungsi selalu bernilai negatif, fungsi adalah definit positif.

Syarat Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Negatif adalah $a \lt 0$ dan $D \lt 0$
$y=mx^{2}-2x^{2}+2mx+m-3$
$y=(m-2)x^{2}+2mx+m-3$

#Syarat Pertama $a \lt 0$
$\begin{align}
m-2 & \lt 0\\
m & \lt 2\\
\end{align}$

#Syarat Kedua $D \lt 0$
$\begin{align}
D & \lt 0\\
b^{2}-4ac & \lt 0\\
(2m)^{2}-4(m-2)(m-3) & \lt 0\\
4m^{2}-4m^2+20m-24 & \lt 0\\
20m-24 & \lt 0\\
m-6 & \lt 0\\
m & \lt 6\\
\end{align}$
Dengan mengambil irisan dari syarat pertama $m \lt 2$ dan syarat kedua $m \lt 6$, nilai $m$ yang mungkin adalah $m \lt 2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ m \lt 2$

5. Soal SIMAK UI 2010 Kode 204 (*Soal Lengkap)

Garis $y=mx+5$ memotong parabola $y=x^{2}-4mx+4n$ di titik $P$ dan $Q$. Jika $P=(1,6)$, maka koordinat $Q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left ( \dfrac{3}{2},\dfrac{13}{2} \right ) \\
(B)\ & \left ( \dfrac{5+\sqrt{21}}{2},\dfrac{15+\sqrt{21}}{2} \right ) \\
(C)\ & \left ( \dfrac{5-\sqrt{21}}{2},\dfrac{15-\sqrt{21}}{2} \right ) \\
(D)\ & \left ( \dfrac{9}{4},\dfrac{29}{4} \right ) \\
(E)\ & \left ( 4,9 \right )
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena kurva berpotongan di titik $(1,6)$ maka garis $y=mx+5$ melalui $(1,6)$;
$\begin{align}
6 &= m(1)+5 \\
6 &= m+5 \\
m &= 1
\end{align}$

Karena berpotongan di titik $(1,6)$ maka parabola $y=x^{2}-4mx+4n$ melalui $(1,6)$;
$\begin{align}
6 &= (1)^{2}-4m(1)+4n \\
6 &= 1-4(1)+4n \\
6 &= -3+4n \\
9 &= 4n \\
\dfrac{9}{4} &= n
\end{align}$

Pada soal juga disampaikan fungsi $y=mx+5$ dan $y=x^{2}-4mx+4n$ berpotongan di dua titik, sehingga pernah terjadi;
$\begin{align}
y &= y \\
x^{2}-4mx+4n &= mx+5 \\
x^{2}-4mx-mx+4n-5 &= 0 \\
x^{2}-5mx+4n-5 &= 0 \\
x^{2}-5(1)x+4\dfrac{9}{4}-5 &= 0 \\
x^{2}-5x+4 &= 0 \\
(x-1)(x-4)&= 0
\end{align}$
Dari persamaan kuadrat diatas, diperoleh nilai $x_{1}=1$ dan $x_{2}=4$.

Karena $P=(1,6)$, maka koordinat $Q$ adalah saat $x=4$ dan $y=9$

Materi ini dapat juga dijumpai pada sistem persamaan linear kuadrat, jika mau coba diskusi tentang sistem persamaan silahkan dicoba pada Matematika Dasar Sistem Persamaan (*Soal dan Pembahasan)

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (4,9)$

6. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal Lengkap)

Sebuah garis $h$ yang melalui titik asal memotong kurva $2y=3x^{2}-2x+1$ di dua titik di mana jumlah nilai $x$-nya adalah $10$ maka gradien dari garis $h$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{2} \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 14 \\
(E)\ & 15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Garis $h$ yang melalui titik asal kita misalkan adalah garis $y=mx$

Karena garis memotong kurva $2y=3x^{2}-2x+1$ di dua titik maka berlaku;
$\begin{align}
y &= y \\
\dfrac{3}{2}x^{2}-x+\dfrac{1}{2} &= mx \\
\dfrac{3}{2}x^{2}-x-mx+\dfrac{1}{2} &= 0 \\
\dfrac{3}{2}x^{2}-(m+1)x+\dfrac{1}{2} &= 0
\end{align}$

Pada soal disampaikan bahwa jumlah nilai $x$-nya adalah $10$, maka;
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\
10 &= -\dfrac{-(m+1)}{\dfrac{3}{2}} \\
\dfrac{30}{2} &= m+1 \\
15 &= m+1 \\
14 &= m
\end{align}$

Materi ini dapat juga dijumpai pada sistem persamaan linear kuadrat, jika mau coba diskusi tentang sistem persamaan silahkan dicoba pada Matematika Dasar Sistem Persamaan (*Soal dan Pembahasan)

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ m=14$

7. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal Lengkap)

Jika garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ adalah $y=mx+n$
Kita cari nilai gradien $m$ dengan menggunakan turunan pertama dari $y=4x-x^{2}$ yaitu $y'=m=4-2x$.
Nilai gradien $m$ di titik $(1,3)$ adalah $m=4-2(1)=2$.

Untuk nilai gradien $m=2$ dan melalui titik $(1,3)$ persamaan garis singgung adalah $y=2x+1$.

Garis $y=2x+1$ juga menyinggung kurva $y=x^{2}-6x+k$, sehingga antara garis $y=2x+1$ dan kurva $y=x^{2}-6x+k$ berlaku:
$\begin{align}
x^{2}-6x+k &= 2x+1 \\
x^{2}-6x-2x+k-1 &= 0 \\
x^{2}-8x+k-1 &=0
\end{align}$

Karena garis dan kurva bersingungan maka:
$\begin{align}
D &= 0
b^{2}-4ac &= 0 \\
(-8)^{2}-4(1)(k-1) &= 0 \\
64-4k+4&=0 \\
68&=4k \\
17 &= k
\end{align}$

Maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}=5-\sqrt{17-1}=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

8. Soal UM UGM 2015 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Parabola $y=ax^{2}+bx+c$, $a \gt 0$ memotong sumbu $x$ pada $x=p$ dan $x=2p$, $p \neq 0$. Nilai $c-b \gt 0$ terpenuhi apabila...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{2} \lt p \lt 0 \\
(B)\ & p \lt -\dfrac{3}{2}\ \text{atau}\ p \gt 0 \\
(C)\ & p \lt -\dfrac{3}{2} \text{atau}\ p \gt \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 0 \lt p \lt \dfrac{3}{2} \\
(E)\ & p \lt 0 \text{atau}\ p \gt \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena parabola memotong sumbu $x$ pada $x=p$ dan $x=2p$ maka berlaku:
$\begin{align}
y=ax^{2}+bx+c & \equiv y= (x-p)(x-2p) \\
ax^{2}+bx+c & \equiv x^{2}-3px+2p^{2}
\end{align}$
nilai $a=1$, $b=-3p$ dan $c=2p^{2}$.

Nilai $c-b \gt 0$
$\begin{align}
2p^{2} & \gt -3p \\
2p^{2} +3p & \gt 0 \\
p(2p +3) & \gt 0
\end{align}$

Nilai $p$ yang memenuhi adalah $-\dfrac{3}{2} \lt p \lt 0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{3}{2} \lt p \lt 0$

Jika kurang paham dalam pertidaksamaan kuadrat, bisa coba disimak kembali pada Cara Kreatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat.

9. Soal UM UGM 2016 Kode 571 (*Soal Lengkap)

Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah $2$. Jika $f(2)=f(4)=0$, maka $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -10 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan $f(2)=f(4)=0$ untuk $f(x)=ax^{2}+bx+c$, artinya kurva akan memotong sumbu $x$ di titik $(2,0)$ dan $(4,0)$. Dengan melihat titik potong kurva terhadap sumbu $x$ bisa kita simpulkan bahwa sumbu simetri berada pada $x=3$. Kesimpulan lain yang bisa kita ambil adalah titik $x_{p}=3$. Titik puncaknya sudah lengkap yaitu $(3,2)$

Dari data-data yang sudah kita ketahui yaitu kurva melalui titik $(2,0)$, $(4,0)$ dan titik puncak $(3,2)$ maka kita bisa menyusun Fungsi Kuadrat dengan $y=a \left(x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$.

Untuk membentuk Fungsi Kuadrat terlebih dahulu kita cari nilai $a$.
Pertama substitusi titik puncak $(3,2)$:
$y=a\left (x -3\right)^{2}+2$

Kedua substitusi titik sembarang $(2,0)$:
$\begin{align}
0 &= a\left (2 -3\right)^{2}+2 \\
0 &= a+2 \\
-2 &= a
\end{align}$

Setelah diperoleh nilai $a=-2$, fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -3\right)^{2}+2 \\
y &= -2 \left (x -3\right)^{2}+2 \\
y &= -2 (x^{2}-6x+9)+2 \\
y &= -2x^{2}+12x-18+2 \\
y &= -2x^{2}+12x-16 \\
\end{align}$
$a=-2$, $b=12$ dan $c=-16$

Nilai: $a+b+c=-2+12-16=-6$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -6$


10. Soal SNMPTN 2012 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Jika $f$ adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik $(1,0),\ (4,0),$ dan $(0,-4),$ maka nilai $f(7)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -16 \\
(B)\ & -17 \\
(C)\ & -18 \\
(D)\ & -19 \\
(E)\ & -20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa grafik Fungsi Kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ melalui tiga titik $(1,0),\ (4,0),$ dan $(0,-4)$ sehingga berlaku:

  • $(0,-4)$ $\Rightarrow\ -4=c$
  • $(4,0)$ $\Rightarrow\ 0=16a+4b-4$ $\Rightarrow\ 4=16a+4b$ $\Rightarrow\ 4a+b=1$
  • $(1,0)$ $\Rightarrow\ 0=a+b-4$ $\Rightarrow\ 4=a+b$ $\Rightarrow\ a+b=4$
$\begin{array}{c|c|cc}
4a+b=1 & \\
a+b = 4 & (-) \\
\hline
3a = -3 & a+b=4 \\
a = -1 & b = 5
\end{array} $

Fungsi Kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $f(x)=-x^{2}+5x-4$
Nilai $f(7)=-(7)^{2}+5(7)-4$$=-49+31=-18$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -18$

11. Soal SBMPTN 2013 Kode 427 (*Soal Lengkap)

Jika grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ mempunyai titik puncak $(8,4)$ dan memotong sumbu-$x$ negatif, maka...
$\begin{align}
(A)\ & a \gt 0,\ b \gt 0 \text{dan}\ c \gt 0 \\
(B)\ & a \lt 0,\ b \lt 0 \text{dan}\ c \gt 0 \\
(C)\ & a \lt 0,\ b \gt 0 \text{dan}\ c \lt 0 \\
(D)\ & a \gt 0,\ b \gt 0 \text{dan}\ c \lt 0 \\
(E)\ & a \lt 0,\ b \gt 0 \text{dan}\ c \gt 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu $x$ negatif berarti kurva terbuka kebawah $(a \lt 0)$, karena jika terbuka keatas maka kurva tidak akan pernah memotong sumbu $x$.

Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva terbuka kebawah $(a \lt 0)$ maka nilai $b$ bisa kita tafsir dari titik $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$ $\Rightarrow$ $8=-\dfrac{b}{2a}$. Karena nilai $-\dfrac{b}{2a}=8$ dan $a \lt 0$ maka $b \gt 0$.

Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu $x$ negatif berarti kurva memotong sumbu $y$ positif $(c \gt 0)$. Karena tidak mungkin kurva dari titik $(8,4)$ dan terbuka kebawah melalui sumbu $y$ negatif.

Kesimpulan akhir adalah $a \lt 0$, $b \gt 0$ dan $c \gt 0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ a \lt 0$, $b \gt 0$ dan $c \gt 0$

12. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Titik $(a,b)$ terletak pada grafik $y=bx^{2}+\left( 1-b^{2} \right)x-56$. Jika $a-b=7$, maka nilai $ab$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Karena titik $(a,b)$ terletak pada grafik $y=bx^{2}+\left( 1-b^{2} \right)x-56$ sehinggga berlaku
$\begin{align}
y & =bx^{2}+\left( 1-b^{2} \right)x-56 \\
b & =b(a)^{2}+\left( 1-b^{2} \right)(a)-56 \\
b & =ba^{2}+a-ab^{2} -56 \\
56 & =ba^{2}+a-ab^{2}-b \\
56 & =ba^{2}-ab^{2}+a-b \\
56 & =ab \left( a-b \right)+a-b \\
56 & =ab (7)+7 \\
49 & =ab (7) \\
\dfrac{49}{7} & =ab \\
7 & =ab
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$

13. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Jika puncak grafik fungsi $y=px^{2}-qx-1$ sama dengan puncak grafik $y=x^{2}-2x+4$, maka nilai $p+q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Titik puncak adalah $\left ( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right )$, dan puncak grafik fungsi $y=px^{2}-qx-1$ sama dengan puncak grafik $y=x^{2}-2x+4$ sehingga

Untuk titik $x_{p}$ berlaku:
$\begin{align}
-\dfrac{b}{2a} & = -\dfrac{b}{2a} \\
-\dfrac{-2}{2(1)} & = -\dfrac{-q}{2p} \\
1 & = \dfrac{q}{2p} \\
2p & = q
\end{align}$

Untuk titik $y_{p}$ berlaku:
$\begin{align}
-\dfrac{D}{4a} & = -\dfrac{D}{4a} \\
-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} & = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(4)}{4(1)} & = -\dfrac{(-q)^{2}-4(p)(-1)}{4(p)} \\
-\dfrac{4-16}{4} & = -\dfrac{q^{2}+4p}{4p} \\
3 & = -\dfrac{q^{2}+4p}{4p} \\
-12p & = q^{2}+4p \\
-12p & = (2p)^{2}+4p \\
4p^{2}+16p & = 0 \\
4p(p+4) & = 0 \\
p=0\ (TM)\ \vee \ p=-4 &\\
q = 2p=-8 &
\end{align}$
Nilai $p+q=-4-8=-12$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12$

14. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)

Jika suatu fungsi kuadrat mencapai minimum di titik $(3,-2)$ dan grafiknya melalui titik $(1,6)$ maka parabola memotong sumbu-$Y$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (0,9) \\
(B)\ & (0,12) \\
(C)\ & (0,16) \\
(D)\ & (0,18) \\
(E)\ & (0,20)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari unsur-unsur yang diketahui kita gunakan Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$

Untuk membentuk Fungsi Kuadrat terlebih dahulu kita cari nilai $a$.
#Pertama substitusi titik puncak $(3,-2)$:
$y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
$y=a\left (x -3\right)^{2}-2$

#Kedua substitusi titik sembarang $(1,6)$:
$\begin{align}
6 &= a\left (1 -3\right)^{2}-2 \\
6 &= 4a -2 \\
8 &= 4a \\
2 &= a
\end{align}$

#Setelah diperoleh nilai $a=2$, fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -3\right)^{2}-2 \\
&= 2\left (x -3 \right)^{2}-2 \\
&= 2\left (x^{2} -6x+9 \right)^{2}-2 \\
&= 2x^{2} -12x+18 -2 \\
&= 2x^{2} -12x+16
\end{align}$
Memotong sumbu-$Y$ saat $(0,16)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (0,16)$

15. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

Diketahui garis $x=ky$ ($k$ konstanta bilangan bulat) dan parabola $x^{2}+3y+1=0$. Himpunan semua $k$ dimana garis memotong parabola adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ 0,1,2 \right \} \\
(B)\ & \left \{ -1,0,2 \right \} \\
(C)\ & \left \{ -1,0,1 \right \} \\
(D)\ & \left \{ -2,0,1 \right \} \\
(E)\ & \left \{ -2,-1,1 \right \}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa garis $x=ky$ ($k$ konstanta bilangan bulat) dan parabola $x^{2}+3y+1=0$, sehingga pernah terjadi;
$\begin{align}
x^{2}+3y+1 &= 0 \\
\left( ky \right)^{2}+3y+1 &= 0 \\
k^{2}y^{2}+3y+1 &= 0
\end{align}$

Karena garis dan parabola berpotongan maka $D \gt 0$ pada $k^{2}y^{2}+3y+1 = 0$:
$\begin{align}
D & \gt 0 \\
b^{2}-4ac & \gt 0 \\
3^{2}-4\left( k^{2} \right)(1) & \gt 0 \\
9-4 k^{2} & \gt 0 \\
4 k^{2}-9 & \lt 0 \\
(2k-3)(2k+3) & \lt 0
\end{align}$
Himpunan penyelesaian yang memenuhi $(2k-3)(2k+3) \lt 0$ adalah $-\dfrac{3}{2} \lt k \lt \dfrac{3}{2}$

Jika masih kesulitan mendapatkan himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan kuadrat dengan cepat, coba Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat.

Untuk $k$ bilangan bulat yang memenuhi $-\dfrac{3}{2} \lt k \lt \dfrac{3}{2}$ adalah $\left \{ -1,0,1 \right \}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{ -1,0,1 \right \}$

16. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)

Diberikan dua parabola dengan persamaan $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dan $g(x)=px^{2}+qx+r$ tidak berpotongan dan $\dfrac{b}{a}=\dfrac{q}{p}$, maka jarak terdekat dua parabola tersebut adalah selisih dari...
$\begin{align}
(A)\ & r\ \text{dan}\ c \\
(B)\ & f\left(-\dfrac{b}{2a} \right) \text{dan}\ g\left(-\dfrac{q}{2p} \right) \\
(C)\ & f\left(-b \right) \text{dan}\ g\left(-q \right) \\
(D)\ & f\left( \dfrac{b}{a} \right) \text{dan}\ k \\
(E)\ & k \text{dan}\ g\left(-\dfrac{q}{2p} \right)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ titik puncaknya adalah
$\left ( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \right )$

Dari kurva $g(x)=px^{2}+qx+r$ titik puncaknya adalah
$\left ( -\dfrac{q}{2p},-\dfrac{q^{2}-4pr}{4p} \right )$

Dari kesamaan $\dfrac{b}{a}=\dfrac{q}{p}$ kita peroleh $b=\dfrac{aq}{p}$ atau $p=\dfrac{aq}{b}$
$\begin{align}
-\dfrac{b}{2a} &= -\dfrac{\dfrac{aq}{p}}{2a} \\
&= -\dfrac{aq}{p} \cdot \dfrac{1}{2a} \\
&= - \dfrac{q}{2p}
\end{align}$
Dari kesamaan di atas dapat kita simpulkan bahwa $x_{p}$ kedua kurva adalah sama, sehingga salah satu kemungkinan posisi kedua kurva adalah sebagai berikut;

Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Jarak terdekat dua parabola tersebut adalah selisih dari $y_{p}$ pada kedua kurva.
  • $y_{p}$ untuk $f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah $f\left(-\dfrac{b}{2a} \right)$
  • $y_{p}$ untuk $g(x)=px^{2}+qx+r$ adalah $g\left(-\dfrac{p}{2q} \right)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ f\left(-\dfrac{b}{2a} \right) \text{dan}\ g\left(-\dfrac{q}{2p} \right)$

17. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)

Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-$X$ di $A(1,0)$ dan $B(2,0)$. Jika grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik $(0,4)$ dan puncaknya di titik $(p,q)$, maka $p+q=...$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{2} \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & \dfrac{5}{2} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari unsur-unsur yang diketahui kita gunakan Jika diketahui Titik Potong dengan sumbu $x$ yaitu $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ serta sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat adalah $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$

Untuk membentuk Fungsi Kuadrat terlebih dahulu kita cari nilai $a$.
#Pertama substitusi titik potong $A(1,0)$ dan $B(2,0)$:
$y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$
$y=a\left (x -1 \right)\left (x -2\right)$

#Kedua substitusi titik sembarang $(0,4)$:
$\begin{align}
4 &= a\left (0 -1 \right)\left (0 -2\right) \\
4 &= 2a \\
2 &= a
\end{align}$

#Setelah diperoleh nilai $a=2$, fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -1 \right)\left (x -2\right) \\
&= 2\left (x -1 \right)\left (x -2\right) \\
&= 2\left( x^{2}-3x+2 \right) \\
&= 2x^{2}-6x+4 \\
x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\
&= -\dfrac{-6}{2(2)}= \dfrac{3}{2} \\
y_{p} &= -\dfrac{D}{4a} \\
&= -\dfrac{36-4(2)(4)}{4(2)}=-\dfrac{1}{2} \\
p+q &= \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

18. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)

Jika $a \gt 2$, maka grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+2ax+2$
$(A)\ $ Berada di atas sumbu-$X$
$(B)\ $ Berada di bawah sumbu-$X$
$(C)\ $ Menyinggung sumbu-$X$
$(D)\ $ Memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda
$(E)\ $ Memotong sumbu-$X$ di $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ dengan $x_{1} \gt 0$ dan $x_{2} \gt 0$
Alternatif Pembahasan:

Dari grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+2ax+2$ kita coba hitung diskriminan;
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (2a)^{2}-4(a)(2) \\
& = 4a^{2}-8a \\
& = 4a(a-2)
\end{align}$
Karena $a \gt 2$ dan $D= 4a(a-2)$ akan selalu lebih dari nol atau bisa kita tuliskan $D \gt 0$.

Berdasarkan batasan nilai $a \gt 2$ dan $D \gt 0$ maka fungsi akan selalu memotong sumbu-$X$ di dua titik yang berbeda. Jika dianalisis lebih rinci lagi, titik potong yang mungkin adalah $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ dengan $x_{1} \lt 0$ dan $x_{2} \lt 0$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ $ Memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda


19. Soal SBMPTN 2014 Kode 644 (*Soal Lengkap)

Jika $0 \lt a \lt 10$, fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+2ax+10$ memenuhi sifat...
$(A)\ $ Selalu negatif
$(B)\ $ Selalu positif
$(C)\ $ Hanya positif di setiap $x$, dengan $0 \lt a \lt 10$
$(D)\ $ Hanya negatif di setiap $x$, dengan $0 \lt a \lt 10$
$(E)\ $ Hanya positif di setiap $x$, dengan $x \lt 0$ dan $x \gt 10$
Alternatif Pembahasan:

Dari grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+2ax+10$ kita coba hitung diskriminan;
$\begin{align}
D & = b^{2}-4ac \\
& = (2a)^{2}-4(a)(10) \\
& = 4a^{2}-40a \\
& = 4a(a-10)
\end{align}$
Karena $0 \lt a \lt 10$ dan $D= 4a(a-10)$ akan selalu bernilai negatif atau bisa kita tuliskan $D \lt 0$.

Berdasarkan batasan nilai $0 \lt a \lt 10$ dan $D \lt 0$ maka fungsi $f(x)=ax^{2}+2ax+10$ akan selalu bernilai positif yang disebut dengan istilah definit positif.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ $ Selalu positif

20. Soal SBMPTN 2014 Kode 644 (*Soal Lengkap)

Fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}+2px+p$ memenuhi nilai minimum $-p$ dengan $p\neq 0$. Jika sumbu simetri kurfa $f$ adalah $x=a$, maka nilai $a+f(a)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & -5 \\
(E)\ & -6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari grafik fungsi $f(x)=x^{2}+2px+p$ kita peroleh;
$\begin{align}
x_{p} & = -\dfrac{b}{2a} \\
a & = -\dfrac{2p}{2(1)} \\
a & = - p
\end{align}$
$\begin{align}
y_{p} & = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
-p & = -\dfrac{(2p)^{2}-4(1)(p)}{4(1)} \\
-p & = -\dfrac{4p^{2}-4p}{4} \\
4p & = 4p^{2}-4p \\
1 & = p -1 \\
p & = 2
\end{align}$

$\begin{align}
a+f(x) & = -2+ x^{2}+2px+p \\
a+f(a) & = -2+ (-2)^{2}+2(2)(-2)+2 \\
& = -2+ 4-8+2 = -4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4$

21. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 (*Soal Lengkap)

Jika fungsi $f(x)=a^{2}x^{2}-12x+c^{2}$ menyinggung sumbu-$X$ di $x=\dfrac{2}{3}$, maka $a^{2}-c^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Grafik fungsi $f(x)=a^{2}x^{2}-12x+c^{2}$ menyinggung sumbu-$X$ maka $D=0$
$\begin{align}
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-12)^{2}-4a^{2}c^{2} & = 0 \\
144-4a^{2}c^{2} & = 0 \\
144 & = 4a^{2}c^{2} \\
36 & = a^{2}c^{2} \\
ac & = 6 \\
c & = \dfrac{6}{a}
\end{align}$

Grafik fungsi $f(x)=a^{2}x^{2}-12x+c^{2}$ menyinggung sumbu-$X$ di $x=\dfrac{2}{3}$ maka $\left( \dfrac{2}{3},0 \right)$ berlaku untuk $f(x)$:
$\begin{align}
f \left( \dfrac{2}{3} \right) & = a^{2} \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2}-12\left( \dfrac{2}{3} \right)+c^{2} \\
0 & = a^{2} \left( \dfrac{4}{9} \right) -8+c^{2} \\
8 & = a^{2} \left( \dfrac{4}{9} \right)+ \left( \dfrac{6}{a} \right)^{2} \\
8 & = a^{2} \left( \dfrac{4}{9} \right)+ \dfrac{36}{a^{2}} \\
2 & = a^{2} \left( \dfrac{1}{9} \right)+ \dfrac{9}{a^{2}} \\
18a^{2} & = a^{4} +81 \\
0 & = a^{4}-18a^{2} +81 \\
0 & = \left( a^{2}-9 \right)^{2} \\
0 & = \left( (a-3)(a+3) \right)^{2} \\
a & = 3\ \text{maka}\ c=2\\
a & = -3\ \text{maka}\ c=-2\\
\end{align}$

$\begin{align}
a^{2}-c^{2} & = (-3)^{2}-(-2)^{2} \\
& = 9-4=5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

22. Soal SBMPTN 2013 Kode 128 (*Soal Lengkap)

Parabola $y=x^{2}-2x+m+2$ mempunyai titik puncak $(p,q)$. Jika $3p$ dan $q$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $9$, maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$.

Dari parabola $y=x^{2}-2x+m+2$ dapat kita tentukan:
$\begin{align}
p &=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\
\hline
q & =-\dfrac{D}{4a} \\
& =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
& =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(m+2)}{4(1)} \\
& =-\dfrac{4-4m-8}{4} \\
& =-\dfrac{-4-4m}{4} \\
& = 1+m
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
$\begin{align}
(3)+( 1+m)+ \cdots &= 9 \\
\hline
\dfrac{a }{1-r } & = 9 \\
\dfrac{3}{1- \dfrac{1+m}{3}} & = 9 \\
3 & = 9 \times \left( 1- \dfrac{1+m}{3} \right) \\
3 & = 9 - 3-3m \\
3-6 & = -3m \\
-3 & = -3m \\
1 & = m
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

23. Soal SBMPTN 2013 Kode 126 (*Soal Lengkap)

Parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ mempunyai titik puncak $(p,q)$. Jika $2p$ dan $\dfrac{q}{4}$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $4$, maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$.

Dari parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ dapat kita tentukan:
$\begin{align}
p &=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\
\hline
q & =-\dfrac{D}{4a} \\
& =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
& =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3m-1)}{4(1)} \\
& =-\dfrac{4-12m+4 }{4} \\
& =-\dfrac{8-12m }{4} \\
& = 3m-2
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
$\begin{align}
(2)+(\dfrac{3m-2}{4})+ \cdots &= 4 \\
\hline
\dfrac{a }{1-r } & = 4 \\
\dfrac{2}{1- \dfrac{3m-2}{8} } & = 4 \\
2 & = 4 \times \left( 1- \dfrac{3m-2}{8} \right) \\
2 & = 4 - \dfrac{3m-2}{2} \\
2-4 & = - \dfrac{3m-2}{2} \\
-4 & = - (3m-2) \\
4 & = 3m-2 \\
4+2 & = 3m \\
2 & = m
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Dari fungsi kuadrat $y=f(x)$ diketahui bahwa fungsi $y=f(x+a)$ mencapai nilai maksimum untuk $x=p$. Dapat ditarik kesimpulan bahwa fungsi $y=f(x-a)$ mencapai maksimum untuk...
$\begin{align}
(A)\ & x=p-a \\
(B)\ & x=p+a \\
(C)\ & x=p-2a \\
(D)\ & x=p+2a \\
(E)\ & x=2a-p
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang fungsi kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

  • Fungsi Kuadrat $f(x)=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$ Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$
  • Nilai maksimum atau minimum adalah $y_{p}$
  • Pembuat nilai maksimum atau minimum adalah $x_{p}$
Untuk fungsi kuadrat $y=f(x)$ yang mempunyai nilai maksimum, kita misalkan $f(x)$ yang paling sederhana yaitu $f(x)=-x^{2}$.
  • $f(x)=-x^{2}$ nilai maksimumnya adalah $y_{p}=0$ saat $x=0$
  • $f(x+a)=-(x+a)^{2}$ nilai maksimumnya adalah $y_{p}=0$ saat $x=-a$
  • $f(x-a)=-(x-a)^{2}$ nilai maksimumnya adalah $y_{p}=0$ saat $x=a$
Pada soal disampaikan bahwa fungsi $y=f(x+a)$ mencapai nilai maksimum untuk $x=p$ maka nilai maksimumnya adalah $y=f(p+a)$
Karena nilai maksimum $f(x+a)$ sama dengan nilai maksimum $f(x-a)$ maka nilai maksimum fungsi $y=f(x-a)$ adalah $y=f(p+a)$
$\begin{align}
y &= f(x-a) \\
f(p+a) &= -(x-a)^{2} \\
-(p+a)^{2} &= -(x-a)^{2} \\
p+a &= x-a \\
p+a+a &= x \\
p+2a &= x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x=p+2a$

25. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Titik potong parabola $y=mx^{2}+x+m$, $m \neq 0$ dengan garis $y=(m+1)x+1$ adalah $\left( x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left( x_{2},y_{2} \right)$. Jika $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1$, nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat dan sistem persamaan linear kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

  • Jika parabola $y=ax^{2}+bx+c$ berpotongan di dua titik dengan garis $y=mx+n$ maka setelah disubstitusi $y=y$ diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru
  • Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
  • $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
$\begin{align}
y &= y \\
mx^{2}+x+m &= (m+1)x+1 \\
mx^{2}+x+m &= mx+x+1 \\
mx^{2}+x+m-mx-x-1 &= 0 \\
mx^{2} -mx +m -1 &= 0 \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= 1 \\
\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} &= 1 \\
\left ( -\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2 \cdot \dfrac{c}{a} &= 1 \\
\left ( -\dfrac{-m}{m} \right )^{2}-2 \cdot \dfrac{m-1}{m} &= 1 \\
\left ( 1 \right )^{2}- \dfrac{2m-2}{m} &= 1 \\
1- 1 &= \dfrac{2m-2}{m} \\
0 &= \dfrac{2m-2}{m} \\
0 &= 2m-2 \\
2 &= 2m \\
1 &= m
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

26. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Perhatikan gambar grafik berikut.
Soal dan Pembahasan UNBK Matematika SMA IPA (*Simulasi UNBK)
Jika grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ seperti pada gambar, nilai $a,b$, dan $c$ yang memenuhi adalah...

$\begin{align}
(A)\ & a \gt 0,\ b \gt 0,\ \text{dan}\ c \gt 0 \\
(B)\ & a \lt 0,\ b \gt 0,\ \text{dan}\ c \gt 0 \\
(C)\ & a \lt 0,\ b \gt 0,\ \text{dan}\ c \lt 0 \\
(D)\ & a \gt 0,\ b \lt 0,\ \text{dan}\ c \gt 0 \\
(E)\ & a \lt 0,\ b \lt 0,\ \text{dan}\ c \lt 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menentukan keadaan nilai $a,b$, dan $c$ pada grafik Fungsi Kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dapat kita ketahui dengan melihat keadaan parabola dari gambar tanpa harus menentukan nilai $a,b$, dan $c$.

  • Parabola terbuka ke atas sehingga nilai $a \gt 0$
  • Parabola memotong sumbu-$Y$ di atas sumbu-$X$ sehingga nilai $c \gt 0$
  • Titik puncak parabola berada di sebelah kiri sumbu-$Y$ maka $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$ bernilai negatif. Nilai $a \gt 0$ dan $b \gt 0$ atau $a \lt 0$ dan $b \lt 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a \gt 0,\ b \gt 0,\ \text{dan}\ c \gt 0$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Fungsi Kuadrat sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda πŸ’— Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Kuadrat" 😊 and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar