Skip to main content

Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika Saintek UM UNDIP Tahun 2019 Kode 324

Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika Saintek UM UNDIP Tahun 2019 Kode 324.

Soal Ujian Mandiri Universitas Diponegoro (UM UNDIP) ini adalah soal mata ujian kelompok saintek yang terdiri dari $100$ soal dan terdiri dari duu bagian. Tes Potensi Umum (Mata ujian Matematika Dasar, Logika, Verbal, Numerik, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris) dan Tes Potensi Akademik (Mata Ujian Matematika, Biologi, Fisika, dan Kimia).

Soal yang kita diskusikan berikut ini adalah $15$ soal dari tes potensi akademik yaitu mata ujian Matematika. Untuk melihat soal lengkapnya silahkan download langsung di Kumpulan SOAL UM UNDIP.

1. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Parabola $y=x^{2}-4x+3m-2$ mempunyai titik puncak $T \left( p,q \right)$. Jika $p$ dan $\dfrac{q}{3}$ adalah dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $4$, maka nilai $m$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari Fungsi Kuadrat $y=x^{2}-4x+3m-2$ mempunyai titik puncak $T \left( p,q \right)$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} x_{p}= p &= -\dfrac{b}{2a} \\ p &= -\dfrac{-4}{2(1)} = 2 \\ \hline y_{p} = q &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ q &= -\dfrac{16-12m+8}{4} \\ q &= -\dfrac{24-12m}{4} \\ q &= 3m-6 \end{align}$


Dari $p$ dan $\dfrac{q}{3}$ adalah dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $4$, maka kita peroleh suku pertama $(a)$ deret geometri tak hingga adalah $a=p=2$ dan rasio $(r)$ adalah $r=\dfrac{\frac{q}{3}}{p}=\dfrac{q}{6}$.


Untuk jumlah deret tak hingga adalah $4$, maka kita peroleh:
$\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 4 &= \dfrac{2}{1-\frac{q}{6}} \\ 4-\dfrac{4q}{6} &= 2 \\ 4-2 &=\dfrac{4q}{6} \\ 12 &= 4q \\ q &= 3 \\ \hline 3m-6 &= 3 \\ 3m &= 9 \\ m &= 3 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

2. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Jika persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ tidak mempunyai akar real, maka grafik fungsi $y=ax^{2}+bx+c$ menyinggung garis $y=x$ bilamana...

$\begin{align} (A)\ & b \lt -\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \lt b \lt 0 \\ (C)\ & b \gt -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 0 \lt b \lt \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & b \lt \dfrac{1}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari Persamaan Kuadrat $ax^{2}+bx+c$ yang tidak mempunyai akar-akar real sehingga berlaku $D \lt 0$ atau $b^{2}-4ac \lt 0$.


Grafik fungsi $y=ax^{2}+bx+c$ menyinggung garis $y=x$ akan terjadi saat diskrimiman persamaan kuadrat persekutuan adalah nol, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} y &= y \\ ax^{2}+bx+c &= x \\ ax^{2}+bx-x+c &= 0 \\ ax^{2}+ \left(b-1 \right) x+c &= 0 \\ \hline D &= 0 \\ b^{2}-4ac &= 0 \\ \left(b-1 \right)^{2}-4ac &= 0 \\ \left(b-1 \right)^{2} &= 4ac \\ \end{align}$


Dari $b^{2}-4ac \lt 0$ dan $\left(b-1 \right)^{2} = 4ac$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} b^{2}-4ac & \lt 0 \\ b^{2}-\left(b-1 \right)^{2} & \lt 0 \\ b^{2}-\left(b^{2}-2b+1 \right) & \lt 0 \\ 2b-1 & \lt 0 \\ 2b & \lt 1 \\ b & \lt \dfrac{1}{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ b \lt \dfrac{1}{2}$

3. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Diberikan dua vektor $u$ dan $v$, dengan $u=\left(-1,-2,1 \right)$ dan $v=\left(2,1,1 \right)$. Besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 45^{\circ} \\ (B)\ & 60^{\circ} \\ (C)\ & 75^{\circ} \\ (D)\ & 90^{\circ} \\ (E)\ & 120^{\circ} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Perkalian skalar dua vektor $u$ dan $v$ adalah $u \cdot v = \left| u \right| \cdot \left| v \right| \cdot cos\ \theta $, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} cos\ \theta &= \dfrac{u \cdot v}{\left| u \right| \cdot \left| v \right|} \\ \hline \left| u \right| &= \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} \\ &= \sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{6} \\ \left| v \right| &= \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}} \\ &= \sqrt{(2)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{6} \\ u \cdot v &= x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}+z_{1} \cdot z_{2} \\ &= (-1)(2)+(-2)(1)+( 1)(1) = -3 \\ \hline cos\ \theta &= \dfrac{-3}{\left( \sqrt{6} \right)\left( \sqrt{6} \right) } \\ cos\ \theta &= \dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2} \\ \theta &= 120^{\circ} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 120^{\circ} $

4. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Diketahui invers matriks $A$ adalah
$A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix}$
Matriks $x$ yang memenuhi hubungan
$AX=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$
adalah...

$\begin{align} (A)\ & \begin{bmatrix} 2 & 14 \\ 1 & 25 \\ 4 & 13 \end{bmatrix} \\ (B)\ & \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 1 & -4 \\ 4 & -12 \end{bmatrix} \\ (C)\ & \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \\ (D)\ & \begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -7 & -4 & -12 \end{bmatrix} \\ (E)\ & \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 14 & 25 & 13 \end{bmatrix} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan salah satu sifat matriks $A \cdot A^{-1} = I$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} AX &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} \cdot AX &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ I \cdot X &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} (1)(2)+(0)(1)+(2)(0) & (1)(-1)+(0)(0)+(2)(-3) \\ (1)(2)+(2)(1)+(1)(0) & (1)(-1)+(2)(0)+(1)(-3) \\ (3)(2)+(5)(1)+(3)(0) & (3)(-1)+(5)(0)+(3)(-3) \\ \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix}$

5. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Median dari data pada tabel berikut adalah:

Interval Frekuensi
$71-75$ $4$
$76-80$ $6$
$81-85$ $9$
$86-90$ $8$
$91-90$ $12$
$96-100$ $3$

$\begin{align} (A)\ & 82,5 \\ (B)\ & 84,75 \\ (C)\ & 85,5 \\ (D)\ & 86,75 \\ (E)\ & 88 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Data-data yang kita perlukan untuk menghitung median pada data berkelumpok:

  • Total frekuensi adalah $42$, letak median $Me$ ada pada data ke- $\left[\frac{1}{2}(n+1) \right]$
    $Me$ terletak pada data ke- $\left[\frac{1}{2}(42+1) \right]=21,5$
  • $Me$ pada data ke-$21,5$ artinya $Me$ berada pada kelas interval $86-90$
  • Tepi bawah kelas $Me$ yaitu $t_{b}= 86 - 0,5 = 85,5 $
  • Frekuensi kumulatif sebelum kelas $Me$, yaitu $f_{k}= 9+6+4=19$
  • Frekuensi kelas $Me$, $f_{Me}=8$
  • Panjang kelas $c=90,5 -85,5=5$
$ \begin{align}
Me & = t_{b} + \left( \dfrac{\frac{1}{2}n - f_{k}}{f_{Me}} \right)c \\ & = 85,5 + \left( \dfrac{\frac{1}{2} \cdot 42 - 19}{8} \right) \cdot 5 \\ & = 85,5 + \left( \dfrac{21 - 19}{8} \right) \cdot 5 \\ & = 85,5 + \left( \dfrac{10}{8} \right) \\ & = 85,5 + 2,5 \\ & = 88 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 88$

6. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Persamaan lingkaran lingkaran yang berpusat di titik $P\left( -2,3 \right)$ dan menyinggung garis $4x-3y +2 = 0$ mempunyai persamaan...

$\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y-3=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+4 =0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+12=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Lingkaran yang berpusat di $P \left( -2,3 \right)$ dan meyinggung garis garis $4x-3y +2 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $P \left( -2,3 \right)$ ke garis $4x-3y +2 = 0$.

$\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(4)(-2)+(-3)(3)+(2)}{\sqrt{(4)^{2}+(-3)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-15}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{-15}{5} \right|= 3 \end{align}$

Lingkaran pusatnya $P \left( 2,3 \right)$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x+2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} &= (3)^{2} \\ x^{2}+4x+4+y^{2}-6y+9 &= 9 \\ x^{2}+y^{2}+4x-6y+4 &= 0 \\ \end{align}$

Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini:

Persamaan lingkaran lingkaran yang berpusat di titik $P\left( -2,3 \right)$ dan menyinggung garis $4x-3y +2 = 0$ mempunyai persamaan

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$

7. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Diberikan dua buah matriks $M=\begin{bmatrix} a+b & a \\ b & a-b \end{bmatrix}$ dan $N=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix}$.
Jika $M^{t}=N$, dengan $M^{t}$ menyatakan transpose matriks $M$, maka nilai $a$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan persamaan $M^{t}=N$ ke matriks $M$ dan $N$, sehingga dapat kita peroleh.

$\begin{align} M^{t} & = N \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \hline a+b & = 1 \\ a-b & = 3 \\ \hline 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

8. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $12$ cm. Jarak titik $B$ ke diagonal ruang $AG$ adalah...cm

$\begin{align} (A)\ & 5\sqrt{3} \\ (B)\ & 6\sqrt{3} \\ (C)\ & 3\sqrt{6} \\ (D)\ & 4\sqrt{6} \\ (E)\ & 6\sqrt{6} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik tambahan yang diperlukan untuk menentukan jarak titik $B$ ke garis $AG$ seperti keterangan pada soal maka akan kita peroleh seperti berikut ini:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $12$ cm. Jarak titik $B$ ke diagonal ruang $AG$ adalah

Pada gambar di atas proyeksi titik $B$ ke garis $AG$ kita misalkan dengan $B'$ sehingga jarak titik $B$ ke $AG$ adalah $BB'$.


Dengan panjang rusuk $12$ maka $AG$ yang merupakan diagonal ruang kubus sehingga $AG=12\sqrt{3}$ dan $BG$ yang merupakan diagonal bidang kubus sehingga $BG=12\sqrt{2}$. Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $ABG$ kita peroleh:
$ \begin{align} \left[ ABG \right] & = \left[ ABG \right]\\ \dfrac{1}{2} \cdot AG \cdot BB' & = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BG \\ 12\sqrt{3} \cdot BB' & = 12 \cdot 12\sqrt{2} \\ BB' & = \dfrac{ 12\sqrt{2} }{ \sqrt{3}}= 4\sqrt{6} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4\sqrt{6}$

9. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Diberikan dua fungsi real $f(x)=x^{2}-2 \left| x \right|$ dan $g(x)=x^{2} +1 $. Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left( fog \right)(x)=0$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Sedikit kita pinjam catatan suku banyak yang mungkin bermanfaat yaitu untuk $P(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$


$ \begin{align}
(fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = \left( g(x) \right)^{2}-2 \left| \left( g(x) \right) \right| \\ & = \left( x^{2}+1 \right)^{2}-2 \left| \left( x^{2}+1 \right) \right| \\ & = x^{4}+2x^{2}+1 -2 \left| \left( x^{2}+1 \right) \right| \\ \hline \text{saat}\ & \left( x^{2}+1 \right) \gt 0 \\ (fog)(x) &= x^{4}+2x^{2}+1 -2 \left( x^{2}+1 \right) \\ 0 &= x^{4}+2x^{2}+1 -2 x^{2} -2 \\ 0 &= x^{4} -1 \\ \therefore\ x_{1}+x_{2}&+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{0}{1}=0 \\ \hline \text{saat}\ & \left( x^{2}+1 \right) \lt 0 \\ (fog)(x) &= x^{4}+2x^{2}+1 -2 \left( -x^{2}-1 \right) \\ 0 &= x^{4}+2x^{2}+1 +2 x^{2} +2 \\ 0 &= x^{4}+4x^{2}+5 \\ \therefore\ x_{1}+x_{2}&+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{0}{1}=0 \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

10. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Jika $\left| f(x)-2 \right| \leq x+3$, maka nilai $\lim\limits_{x \to -3}f(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak Himpunan penyelesaian dari $\left| f(x) \right| \leq a$ adalah $-a \leq f(x) \leq a$. Sehingga jika kita terapkan pada fungsi soal, kita akan peroleh:


\begin{align} \left| f(x)-2 \right| & \leq x+3 \\ -(x+3) \leq f(x) & -2 \leq (x+3) \\ - x-3+2 \leq f(x) & \leq x+3+2 \\ - x-1 \leq f(x) & \leq x+5 \\ \lim\limits_{x \to -3} \left(-x-1 \right) \leq \lim\limits_{x \to -3} & f(x) \leq \lim\limits_{x \to -3}\left( x+5 \right) \\ -(-3)-1 \leq \lim\limits_{x \to -3} & f(x) \leq -3+5 \\ 2 \leq \lim\limits_{x \to -3} & f(x) \leq 2 \end{align}


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

11. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Diberikan fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}+ax+b$, dengan $a$ dan $b$ konstanta real. Jika $f(-1)=2$ dan $f(2)=-1$, maka nilai minimum untuk fungsi $f$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui $f(-1)=2$ dan $f(2)=-1$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} f(x) &= x^{2}+ax+b \\ \hline f(-1) &= (-1)^{2}+a(-1)+b \\ 2 &= 1-a +b \\ 1 &= -a +b \\ \hline f(2) &= (2)^{2}+a(2)+b \\ -1 &= 4+2a +b \\ -5 &= 2a +b \\ \hline 2a +b &= -5 \\ -a +b &= 1\ \ (-) \\ \hline 3a &= -6 \\ a &= -2 \\ b &= 3 \end{align}$


Untuk $a=-2$ dan $b=3$ sehingga $f(x)=x^{2}-2x+3$ dan nilai minimum nya adalah:
$\begin{align} y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ &= -\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3)}{4(1)} \\ &= -\dfrac{4-12}{4} =-2 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$

12. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Persamaan kuadrat $x^{2}-ax+ \left( a-1 \right)=0$, mempunyai akar-akar $x_{1} \gt 1$ dan $x_{2} \lt 1$ untuk...

$\begin{align} (A)\ & a \neq 2 \\ (B)\ & a \lt 2 \\ (C)\ & a \lt 0 \\ (D)\ & a \gt 0 \\ (E)\ & a \gt 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Persamaan kuadrat $ax^{2}-ax+ \left( a-1 \right)=0$ mempunyai akar-akar $x_{1} \gt 1$ dan $x_{2} \lt 1$ sehingga persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang berbeda sehingga diskriminan persamaan kuadrat tersebut memenuhi $D=b^{2}-4ac \gt 0$.

$\begin{align} b^{2}-4ac & \gt 0 \\ (-a)^{2}-4(1)(a-1) & \gt 0 \\ a^{2}-4a+ 4 & \gt 0 \\ \left( a-2 \right) \left( a-2 \right) & \gt 0 \\ \left( a-2 \right)^{2} & \gt 0 \end{align}$


Agar ketidaksamaan $\left( a-2 \right)^{2} \gt 0$ bernilai benar, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a \neq 2$.


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a \neq 2$

13. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Jika $a-b=sin\ \theta$ dan $\sqrt{2ab}=cos\ \theta$, maka $\left( a+b \right)^{2}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \frac{1}{2} \left(1+cos\ 2 \theta \right) \\ (B)\ & \frac{1}{2} \left(2+cos\ 2 \theta \right) \\ (C)\ & \frac{1}{2} \left(3+cos\ 2 \theta \right) \\ (D)\ & \frac{1}{2} \left(1+2 cos\ 2\theta \right) \\ (E)\ & \frac{1}{2} \left(1+3 cos\ 2\theta \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan manipulasi aljabar, dapat kita tuliskan:

$\begin{align} a-b & = sin\ \theta \\ \left(a-b \right)^{2} & = sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-2ab & = sin^{2} \theta \\ \hline \sqrt{2ab} & =cos\ \theta \\ 2ab & =cos^{2} \theta \\ \hline a^{2}+b^{2}-2ab & = sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-cos^{2} \theta & = sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2} & = sin^{2}+cos^{2} \theta \theta \\ a^{2}+b^{2} & = 1 \end{align}$


$\begin{align} \left(a+b \right)^{2} & = a^{2}+b^{2}+2ab \\ & = 1+cos^{2} \theta \\ & = 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}cos\ 2\theta \\ & = \frac{1}{2} \left( 3+ cos\ 2\theta \right) \end{align}$


$\begin{align} cos\ (2A)\ & = cos\ A \cdot cos\ A - sin\ A \cdot sin\ A \\ & = cos^{2} A - sin^{2} A \\ & = cos^{2} A - \left( 1-cos^{2} A \right) \\ & = 2cos^{2} A - 1\\ cos\ (2A) + 1 \ & = 2cos^{2} A \\ \frac{1}{2}cos\ (2A) + \frac{1}{2} \ & = cos^{2} A \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2} \left(3+cos\ 2 \theta \right)$

14. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Persamaan garis singgung yang melalui titik $\left( 6,-6 \right)$ terhadap hiperbola $x^{2}-y^{2}=144$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3y=5x-48 \\ (B)\ & 3y=5x-24 \\ (C)\ & 3y=5x-16 \\ (D)\ & 5y=3x+24 \\ (E)\ & 5y=3x+48 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Salah satu cara untuk menyelesaikan soal ini dapat digunakan dengan bantuan dua rumus. Pertama rumus persamaan garis singgung hiperbola $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ jika diketahui gradien $m$ yaitu $y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}}$.


Kedua rumus persamaan garis jika diketahui gradien $m$ dan sebuah titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ yang dilalui garis yaitu $y-y_{1}=m \left(x-x_{1} \right)$.


Persamaan garis singgung hiperbola kita misalkan gradiennya $m$ dan melalui titik $\left( 6,-6 \right)$, sehingga persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y - y_{1} &= m \left( x - x_{1} \right) \\ y + 6 &= m \left( x - 6 \right) \\ y &= mx-6m-6 \end{align}$


Garis singgung hiperbola $x^{2}-y^{2}=144$ atau $\dfrac{x^{2}}{144}-\dfrac{y^{2}}{144}=1$ dengan gradien $m$ adalah:
$\begin{align} y &= mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}} \\ y &= mx \pm \sqrt{144m^{2}-144} \\ y &= mx \pm 12\sqrt{ m^{2}-1} \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
y &= y \\ mx \pm 12\sqrt{ m^{2}-1} &= mx-6m-6 \\ \pm 12\sqrt{ m^{2}-1} &= -6m-6 \\ \left( \pm 12\sqrt{ m^{2}-1}\right)^{2} &= \left( -6m-6 \right)^{2} \\ 144 \left( m^{2}-1 \right) &= 36m^{2}+72m+36 \\ 108m^{2} -72m- 180 &= 0 \\ 3m^{2} -2m - 5 &= 0 \\ \left( m+1 \right) \left( 3m-5 \right)&= 0 \\ m= -1\ \text{atau}\ & m=\frac{5}{3} \end{align}$

  • untuk $m=-1$ kita peroleh $y= (-1)x-6(-1)-6$ atau $y= -x$.
  • untuk $m= \frac{5}{3}$ kita peroleh $y= \left( \frac{5}{3} \right)x-6\left( \frac{5}{3} \right)-6$ atau $3y= 5x-48$.
(*Sebagai catatan jika untuk soal essay persamaan garis yang diperoleh di atas harus diuji terhadap hiperbola dan diperiksa apakah diskriminan persekutuan adalah nol)

Jika kita gambarkan kedudukan garis dan hiperbola seperti berikut ini:

Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika Saintek UM UNDIP Tahun 2019 Kode 324

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3y=5x-48$

15. Soal Matematika Saintek UM UNDIP 2019

Pada ulangan matematika diketahui nilai rata-rata kelas adalah $67$. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa $65$ dan untuk siswi $70$, maka perbandingan banyaknya siswa dan siswi pada kelas tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2:3 \\ (B)\ & 3:2 \\ (C)\ & 4:3 \\ (D)\ & 6:2 \\ (E)\ & 8:3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$.


Kelompok siswa rata-ratanya adalah $\bar{x}_{a}=65$ dan anggotanya ${n}_{a}$. Kelompok siswi rata-ratanya adalah $\bar{x}_{i}=70$ dan anggotanya ${n}_{i}$. Rata-rata kelasnya atau rata-rata gabungannya adalah $67$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{a} \cdot n_{a}+\bar{x}_{i} \cdot n_{i}}{n_{a}+n_{i}} \\ 67 &= \dfrac{65 \cdot n_{a} + 70 \cdot n_{i}}{n_{a}+n_{i}} \\ 67n_{a}+67n_{i} &= 65n_{a} + 70n_{i} \\ 67n_{a}-65n_{a} &= 70n_{i} - 67n_{i} \\ 2n_{a} &= 3n_{i} \\ \dfrac{n_{a}}{n_{i}} &= \dfrac{3}{2} \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3:2$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras


Pembahasan soal Kemampuan Matematika Saintek UM UNDIP Tahun 2019 Kode 324 di atas beberapa adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika Saintek UM UNDIP Tahun 2019 Kode 324 silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Soal dan Pembahasan Kemampuan Matematika Saintek UM UNDIP Tahun 2019 Kode 324" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar