Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Suku Banyak (Polinomial)

Matematika Dasar Suku Banyak Atau Polinomial (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Suku Banyak Atau Polinomial. Sebelumnya kita sudah mengenal istilah dalam matematika yaitu matematika dasar persamaan kuadrat, karena persamaan kuadrat adalah bagian dari suku banyak, jadi saat kita belajar persamaan kuadrat, kita sudah belajar tentang suku banyak.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada suku banyak juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal suku banyak dan menemukan solusinya.

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Suku banyak (polinomial) dalam $x$ berderajat $n$ adalah:
$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n}$
dimana:
  • $n$ adalah bilangan cacah dan $a\neq 0$
  • $a_{n},\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \cdots, a_{0}$ konstanta dan merupakan koefisien dari $x^{n}, x^{n-1}, \cdots, x^{0}$
  • Derajat suatu suku banyak dalam $x$ dinyatakan oleh pangkat tertinggi ($n$) dalam suku banyak tersebut.

Nilai Suku Banyak
Nilai suku banyak $f(x)$ berderajat $n$ pada saat $x=k$ adalah $f(k)$

Kesamaan Suku Banyak
Suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ dikatakan sama ketika derajat dan koefisian variabel-variabel yang berpangkat sama besarnya adalah sama.

Pembagian Suku Banyak
Pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan bersusun kebawah dan cara horner. Untuk cara pembagian suku banyak ini kita diksusikan pada diskusi tersendiri, jadi saat ini pembagian suku banyak sudah kita anggap bisa.

Teorema Sisa
  • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya adalah $s=f(a)$.
  • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya adalah $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.

Teorema Faktor
  • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ memiliki faktor $(x-a)$, maka $f(a)=0$.
  • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ memiliki faktor $(ax-b)$, $f \left(\dfrac{b}{a} \right)=0$.

Secara umum bentuk suku banyak suatu $f(x)$ jika dibagi $P(x)$ dan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ dapat dituliskan: $f(x)=P(x) \cdot H(x) + S(x)$
  • Jika $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)+f(a)$
  • Jika $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Teorema Vieta - Hasil Jumlah dan Hasil Kali akar-akar Suku Banyak
(*François Viète adalah pakar matematika abad ke-16 kebangsaan Perancis). Persamaan suku banyak yang mempunyai akar-akar real paling banyak $n$ buah. Jika $x_{1},x_{2},x_{3}, \dots x_{n}$ adalah akar-akar dari persamaan tersebut, maka hubungan antara akar-akarnya ini adalah sebagai berikut.
  • $f(x)=ax^{2}+bx+c$, akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$
    • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
  • $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$
    • $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+ x_{2}\cdot x_{3} = \dfrac{c}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\dfrac{d}{a}$
  • $f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$
    • $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \dfrac{c}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4}+\cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\dfrac{d}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \dfrac{e}{a}$
Beberapa sampel soal untuk kita diskusikan, yang kita pilih dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Mari berdiksusi;

1. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)

Sisa pembagian $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ oleh $x^{2}-1$ adalah $–x+B$. Nilai $2A+B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba mengingatkan kembali tentang teorema sisa, yaitu:
Untuk
$F(x)=H(x)\cdot P(x)+Sisa$
$F(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$F(a)=am+n$
$F(b)=bm+n$

Pada soal disampaikan bahwa $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi oleh $x^{2}-1$ sisanya $-x+B$.
$\begin{align}
x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1 & = \left (x^{2}-1 \right )\cdot H(x)+sisa \\
& = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B \\
& = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B
\end{align}$

Untuk $x=1$
$\begin{align}
1^{2014}-A(1)^{2015}+B(1)^{3}-1 & = -1+B \\
1-A+B-1 & = -1+B \\
-A+B & = -1+B \\
A & = 1
\end{align}$

Untuk $x=-1$
$\begin{align}
(-1)^{2014}-A(-1)^{2015}+B(-1)^{3}-1 & = -(-1)+B \\
-1+A-B-1 & = 1+B \\
A-B & = 1+B \\
1-B & = 1+B \\
B & = 0
\end{align}$

Nilai $2A+B=2(1)+0=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

2. Soal UM UNDIP 2015 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah...
$(A)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( b \right )$
$(B)$ $\dfrac{x-a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-b}{b-a}f\left ( a \right )$
$(C)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( a \right )$
$(D)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$
$(E)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( a \right )$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba menggunakan teoerma sisa, yaitu:
Untuk
$f(x)=h(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$f(a)=am+n\ \cdots \text{pers.1}$
$f(b)=bm+n\ \cdots \text{pers.2}$
Dari kedua persamaan di atas dapat kita tentukan nilai $m$ dan $n$ yaitu sebagai berikut:

#menentukan nilai $m$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \\
f(b) = bm+n & (-)\\
\hline
f(a) -f(b) = am-bm & \\
f(a) -f(b) = (a -b)m & \\
\dfrac{f(a) -f(b)}{a-b} = m
\end{array} $

#menentukan nilai $n$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \times b\\
f(b) = bm+n & \times a\\
\hline
b \cdot f(a) = abm+bn & \\
a \cdot f(b) = abm+an & (-) \\
\hline
b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = bn-an &\\
b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = (b -a ) n &\\
\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} = n
\end{array} $

Sisa Pembagian adalah $mx+n$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
mx+n &= \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} \\
& =\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\
& =\dfrac{x \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\
& =\dfrac{x \cdot f(a)-b \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)}{a-b} \\
& =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{a-x}{a-b}f(b) \\
& =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{x-a}{b-a}f(b) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$

3. Soal SBMPTN 2014 (*Soal Lengkap)

Diketahui $P(x)$ suatu polinomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $x-1$,
maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...
$\begin{align}
(A)\ & x+2 \\
(B)\ & 2x \\
(C)\ & x \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$P(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Untuk $x=0$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
maka $P(0)=n$

Untuk $x=2$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
$P(2)=2m+n$

Pada soal diketahui $P(x+1)=2$ dan $P(x-1)=2$ maka untuk $x=1$ diperoleh $P(2)=2$ dan $P(0)=2$.

$P(0)=2$ dan $P(0)=n$ maka $n=2$
$P(2)=2$ dan $P(2)=2m+n$ maka $2m+n=2$ sehingga $m=0$.

Sisa pembagian adalah $mx+n$ yaitu $0x+2=2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

4. Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)

Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-2g(x)$, oleh $x^{2}+x-2$ adalah $x+3$, sisa pembagian $2f(x)+g(x)$ oleh $x^{2}-3x+2$ adalah $x+1$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x-1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{23}{24} \\
(B)\ & \dfrac{18}{24} \\
(C)\ & -\dfrac{21}{25} \\
(D)\ & -\dfrac{48}{25} \\
(E)\ & -\dfrac{50}{36}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari keterangan pada soal kita peroleh;
$f(x)-2g(x)=(x^{2}+x-2)H(x)+x+3$
$f(x)-2g(x)=(x+2)(x-1)H(x)+x+3$

$2f(x)+g(x)=(x^{2}-3x+2)H(x)+x+1$
$2f(x)+g(x)=(x-2)(x-1)H(x)+x+1$

Untuk $x=1$ atau $x=2$, kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
f(1)-2g(1) = 4 & \times 1\\
2f(1)+g(1) = 2 & \times 2\\
\hline
f(1)-2g(1) = 4 & \\
4f(1)+2g(1) = 4 & (+)\\
\hline
5f(1) = 8 &\\
f(1) = \dfrac{8}{5} & \\
g(1) = -\dfrac{6}{5}
\end{array} $

Nilai $f(1)g(1)=\dfrac{8}{5}\dfrac{-6}{5}=-\dfrac{48}{25}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{48}{25}$

5. Soal UN 2011 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$. Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ dan dibagi $(x+1)$ sisa $-1$, maka nilai $(2a+b)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari soal kita peroleh beberapa data, antara lain;
Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ maka $P(1)=11$
Jika $P(x)$ dibagi $(x+1)$ sisa $-1$ maka $P(-1)=-1$

Karena $P(1)=11$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(1)=2+a-3+5+b$
$11=a+b+4$
$a+b=7 \cdots (1)$

Karena $P(-1)=-1$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(-1)=2-a-3-5+b$
$-1=-a+b-64$
$-a+b=5 \cdots (2)$

$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 7 & \\
-a+b = 5 & (+)\\
\hline
2b = 12 & \\
b = 6 & \\
a = 1 &
\end{array} $

Nilai $2a+b=2+6=8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$

6. Soal UN 2007 (*Soal Lengkap)

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $10$ dan jika dibagi $(2x-3)$ sisanya $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(2x^{2}-x-3)$, sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2x+8 \\
(B)\ & -2x+12 \\
(C)\ & -x+4 \\
(D)\ & -5x+5 \\
(E)\ & -5x+15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan pada soal, ada beberapa hal yang dapat kita simpulkan yaitu;
$f(-1)=10$ dan $f(\dfrac{3}{2})=5$

Dari bentuk suku banyak;
$f(x)=h(x)\cdot p(x)+sisa$
$f(x)=h(x)\cdot 2x^{2}-x-3+mx+n$
$f(x)=h(x)\cdot (x+1)(2x-3)+mx+n$

$f(-1)=-m+n$ maka $-m+n=10$ $\cdots (1)$
$f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{3}{2}m+n$ maka $\dfrac{3}{2}m+n=5$ $\cdots (2)$

Dengan mengeliminasi atau substitusi pers. $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh nilai $m=-2$ atau $n=8$

$mx+n \equiv -2x+8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2x+8$

7. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+x-2$ bersisa $ax+b$ dan dibagi $x^{2}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$. Jika $f(-2)=7$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x-1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x-1)+ax+b$
ketika $f(x)$ dibagi $(x-1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-3)(x-1)+2bx+a-1$

Dari persamaan di atas kita peroleh:
$f(-2)=7$ maka $-2a+b=7$
$ \begin{align}
f(1) & = f(1) \\
a+b & = 2b+a-1 \\
b & = 1 \\
-2a+b & = 7 \\
-2a+1 & = 7 \\
-2a & = 6 \\
a & = -3 \\
a^{2}+b^{2} & = (-3)^{2}+(1)^{2} \\
& = 10
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+3x+2$ bersisa $3bx+a-2$ dan dibagi $x^{2}-2x-3$ bersisa $ax-2b$. Jika $f(3)+f(-2)=6$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x+1)+3bx+a-2$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+1)(x-3)+ax-2b$

Dari persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
f(3)+f(-2) & = 6 \\
3a-2b-6b+a-2 & = 6 \\
4a-8b & = 8 \\
a-2b & = 2 \cdots (1)\\
f(-1) & = f(-1) \\
-3b+a-2 & = -a-2b \\
-b+2a & = 2 \cdots (2)\\
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
a-2b = 2 & \\
-b+2a = 2 & (-)\\
\hline
-a-b = 0 & \\
a+b = 0
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0$

9. Soal UMB-PT 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)

Hasil kali semua $x$ yang memenuhi persamaan $9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6}=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -10 \\
(B)\ & -5\sqrt{2} \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 5\sqrt{2} \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar dan bilangan berpangkat, seperti berikut ini;
$\begin{align}
9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6} &= 0 \\
9^{x^{3}-4x^{2}-x+4} &= 9^{x^{2}+x-6} \\
x^{3}-4x^{2}-x+4 &= x^{2}+x-6 \\
x^{3}-4x^{2}-x+4 -x^{2}-x+6 &= 0 \\
x^{3}-5x^{2}-2x+10 &= 0
\end{align}$
Untuk hasil kali semua nilai $x$ adalah:
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} &= -\dfrac{d}{a} \\
&= -\dfrac{10}{1} \\
&= -10
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -10 $


10. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Hasil bagi dan sisa suku banyak $3x^{3}+10x^{2}-8x+3$ dibagi $x^{2}+3x-1$, berturut-turut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3x+1\ \text{dan}\ 2x+2 \\
(B)\ & 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4 \\
(C)\ & 3x-1\ \text{dan}\ 8x+2 \\
(D)\ & 3x+19\ \text{dan}\ -56x+21 \\
(E)\ & 3x+19\ \text{dan}\ 51x+16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pembagian suku banyak di atas kita coba bagikan dengan pembagian bersusun kebawah;

Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4$

11. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4$ dibagi $(x-1)$ sisanya $10$, sementara jika dibagi dengan $(x+2)$ akan menghasilkan sisa $2$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}\ \text{dan}\ 1 \\
(C)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{4}{3} \\
(D)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{3}{4} \\
(E)\ & -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Pembagian suku banyak yang mungkin membantu yaitu;

Teorema Sisa
  • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya adalah $s=f(a)$.
  • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya adalah $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
$\begin{align}
f(x) &= ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4 \\
f(1) &= a(1)^{3}+3b(1)^{2}+(2a-b)(1)+4 \\
10 &= a +3b+ 2a-b +4 \\
6 &= 3a +2b \\
\hline
f(-2) &= a(-2)^{3}+3b(-2)^{2}+(2a-b)(-2)+4 \\
2 &= -8a +12b -4a+2b+4 \\
-2 &= -12a +14b
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-12a+14b = -2 & (\times 1) \\
3a+2b = 6 & (\times 4) \\
\hline
-12a+14b = -2 & \\
12a+8b = 24 & (+) \\
\hline
22b = 22 & \\
b = 1 & 3a+2b = 6 \\
& 3a+2(1) = 6 \\
& a = \dfrac{4}{3}
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$

12. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $P(x)=ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan $x+a$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Jika suku banyak $P(x)$ kita bagi $x^{2}+1$ dengan cara bersusun ke bawah, seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Karena $P(x)$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka sisa pembagian di atas yaitu $-ax+bx=(-a +b)x$ harus sama dengan $0$.

Agar $(-a +b)x=0$ maka $-a+b=0$ atau $b=a$.

Karena $P(x)$ habis dibagi $x+a$
$ \begin{align}
P(x) & = ax^{3}+x^{2}+bx+1 \\
P(-a) & = a(-a)^{3}+(-a)^{2}+b(-a)+1 \\
0 & = -a^{4}+a^{2}+(a)(-a)+1 \\
0 & = -a^{4}+a^{2}-a^{2}+1 \\
a^{4} & = 1 \\
a & = \pm 1 \\
b & = \pm 1 \\
ab & = 1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

13. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)

Suku banyak $f(x)=ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan dibagi $x-4$ bersisa $51$ Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Jika suku banyak $f(x)$ kita bagi $x^{2}+1$ dengan cara bersusun ke bawah, seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Karena $f(x)$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka sisa pembagian di atas yaitu $-ax+bx =(-a +b)x$ harus sama dengan $0$.

Agar $(-a +b)x=0$ maka $-a+b=0$ sehingga berlaku $b=a$.

Karena $P(x)$ dibagi $x-4$ bersisa $51$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = ax^{3}-ax^{2}+bx-a \\
f(4) & = a(4)^{3}-a(4)^{2}+(a)(4)-a \\
51 & = 64a -16a +4a-a \\
51 & = 51a \\
a & = 1 \\
b & = 1 \\
a+b & = 2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

14. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)

Jika $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dengan $a \neq 0$ habis dibagi $x^{2}+2$, maka nilai $\dfrac{b}{2a}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Jika suku banyak $P(x)$ kita bagi $x^{2}+2$ dengan cara bersusun ke bawah, seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Karena $P(x)$ habis dibagi $x^{2}+2$ maka sisa pembagian di atas yaitu $b-2a$ harus sama dengan $0$.

$ \begin{align}
b-2a & = 0 \\
b & = 2a \\
\hline
\dfrac{b}{2a} & = \dfrac{2a}{2a} \\
& = 1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

15. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)

Jika $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, maka nilai $ab$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Suku banyak $P(x)$ berderajat $3$ dan habis dibagi $x^{2}+2$ dan $x+b$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) & \equiv \left( k \right)\left(x^{2}+2\right) \left(x+b \right) \\
ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a & \equiv kx^{3}+kbx^{2}+2kx+2bk
\end{align} $
Dari kesamaan dua suku banyak di atas kita peroleh
$ \begin{align}
bx^{2} \equiv kbx^{2} & \rightarrow b=kb \rightarrow k=1 \\
ax^{3} \equiv kx^{3} & \rightarrow a=k \rightarrow a=1 \\
-a \equiv 2bk & \rightarrow -a=2bk \rightarrow -1=2b \\
\hline
ab & = (1) \cdot -\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

16. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)

Suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $(x-2)^{2}$ bersisa $-2x+a$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 15 \\
(B)\ & 13 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -13 \\
(E)\ & -15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Jika suku banyak $P(x)$ kita bagi $(x-2)^{2}=x ^{2}-4x+4$ dengan cara bersusun ke bawah, seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Karena $P(x)$ dibagi $(x-2)^{2}$ bersisa $-2x+a$ maka sisa pembagian di atas yaitu $10x+4bx-4b-22$ sama dengan $-2x+a$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
10x+4bx-4b-22 & \equiv -2x+a \\
(10 +4b)x-4b-22 & \equiv -2x+a \\
\hline
10+4b & \equiv -2 \rightarrow b=-3 \\
-4b-22 & \equiv a \rightarrow a=-10 \\
a+b & = -13
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -13$

17. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$. Jika $x^{2}+1$ adalah faktor dari $f(x)$ dan $f(a)=2$, maka nilai $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Jika suku banyak $f(x)$ kita bagi $x^{2}+1$ dengan cara bersusun ke bawah, seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Karena $x^{2}+1$ adalah faktor $f(x)$ maka sisa pembagian di atas yaitu $-ax-bx$ sama dengan $0$, sehingga berlaku $-(a+b)x=0$ atau $a+b=0$.
$ \begin{align}
f(x) &= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\
f(a) &= a(a)^{3}+(a+b)(a)^{2}-b(a)+a+b \\
2 &= a(a)^{3}+(0)(a)^{2}-b(a)+0 \\
2 &= a(a)^{3}-(-a)(a)+0 \\
0 &= a^{4}+a^{2}-2 \\
0 &= \left(a^{2}+2 \right)\left(a^{2}-1 \right) \\
0 &= \left(a^{2}+2 \right)\left(a-1 \right)\left(a+1 \right) \\
\hline
a =1 & \rightarrow b=-1 \\
a =-1 & \rightarrow b=+1 \\
a+b & = -1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Jika suku banyak $f(x)$ kita bagi $x^{2}+1$ dengan cara bersusun ke bawah, seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Karena $f(x)$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka sisa pembagian di atas yaitu $(b-a-2)x+b-3$ harus sama dengan $0$.

Agar $(b-a-2)x+b-3=0$, maka $ b-a-2 =0$ dan $b-3=$ sehingga berlaku $b=3$ atau $b-a-2 =0 \rightarrow a=1$. Nilai $a+b=4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$


19. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019 (*Soal Lengkap)

Jika Diketahui $P(x)= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right)$. Dengan $Q(x)$ adalah suatu suku banyak. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+1)$ bersisa $10$ dan jika dibagi $(x-1)$ bersisa $20$. Maka apabila $P(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 25 \\
(D)\ & 35 \\
(E)\ & 45
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(-1) & =10 \rightarrow -a +b= 10 \\
P( 1) &=20 \rightarrow a +b= 20 \\
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
-a+b = 10 & \\
a+b = 20 & (+) \\
\hline
2b = 30 & \\
b = 15 & \\
a = 5
\end{array} $
Jika $P(x)$ dibagi oleh $(x-2)$, maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(2) &= 2a+ b \\
P(2) &= 2(5)+ (15)=25
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$

20. Soal SPMB 2006 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)= x^{4}+x^{3}-2$ dan $g(x)= x^{3}+2x^{2}+2x+2$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $(x-a)$ bersisa $1$ maka $f(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$.

$g(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa $1$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(a) & = 1 \\
(a)^{3}+2(a)^{2}+2(a)+2 & = 1 \\
a^{3}+2a^{2}+2a+2-1 & = 0 \\
a^{3}+2a^{2}+2a+1 & = 0 \\
(a^{2}+a+1)(a+1) & = 0 \\
(a^{2}+a+1)=0 & (a+1)=0 \\
(a^{2}+a+1)=0 & a = -1
\end{align} $

$f(x)$ dibagi $(x-a)$:
$ \begin{align}
f(a) & = a^{4}+a^{3}-2 \\
f(-1) & = (-1)^{4}+(-1)^{3}-2 \\
& = 1-1-2 \\
& = -2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$

21. Soal SPMB 2007 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dan $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ mempunyai sisa sama apabila dibagi $(x+1)$ maka nilai $p+q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

Suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
2x^{3}-px^{2}+qx+6 & = 2(-1)^{3}-p(-1)^{2}+q(-1)+6 \\
& = -2-p -q +6 \\
& = 4-p -q
\end{align} $

Suku banyak $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
2x^{3}+3x^{2}-4x-1 & = 2(-1)^{3}+3(-1)^{2}-4(-1)-1 \\
& = -2+3+4-1 \\
& = 4
\end{align} $

Karena sisa pembagian di atas dikatakan sama sehingga berlaku:
$ \begin{align}
4-p-q & = 4 \\
-p-q & = 4-4 \\
-p-q & = 0 \\
p+q & = 0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

22. Soal SPMB 2007 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dengan $a,b$ dan $c$ konstanta. Jika suku banyak $p(x)$ bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x-2007)$ dan juga bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x+2007)$, maka $c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2007 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 2007
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x-2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$ \begin{align}
P(2007) & = -2007 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007)-2007 & = -2007 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007) & = 0 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4} & = - 2007c
\end{align} $

Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x+2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$ \begin{align}
P(-2007) & = -2007 \\
a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007)-2007 & = -2007 \\
a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007) & = 0 \\
a (-1)^{6} (2007)^{6}+b(-1)^{4}(2007)^{4}+c(-1)(2007) & = 0 \\
a (2007)^{6}+b (2007)^{4}-c(2007) & = 0 \\
a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = 2007c
\end{align} $

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = a (2007)^{6}+b (2007)^{4} \\
2007c & = -2007c \\
2007c+2007c & = 0 \\
4014c & = 0 \\
c & = 0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

23. Soal SNMPTN 2008 (*Soal Lengkap)

Nilai $m+n$ yang mengakibatkan $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{4}x+na^{4}$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Suku banyak $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{3}x+na^{4}$ dibagi $(x-a)^{2}$ dengan skema horner sebagai berikut:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Karena $P(x)$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ sehingga sisa pembagian adalah nol, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
-ma^{3}+2a^{3} & = 0 \\
\left( -m +2 \right) a^{3} & = 0 \\
-m +2 & = 0 \\
m & = 2 \\
\hline
na^{4}-ma^{4}+3a^{4} & = 0 \\
na^{4}-(2)a^{4}+3a^{4} & = 0 \\
na^{4}+a^{4} & = 0 \\
\left(n +1 \right) a^{4} & = 0 \\
n & = -1 \\
\hline
m+n & = 2-1 \\
m+n & = 1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

24. Soal SNMPTN 2009 (*Soal Lengkap)

Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ adalah $x-1$. Faktor yang lain adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+3x+3 \\
(B)\ & x^{2}+x-3 \\
(C)\ & x^{2}+3x-3 \\
(D)\ & x^{2}+2x+3 \\
(E)\ & x^{2}-7x+3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Faktor suku banyak $f(x)$ adalah $(x-a)$ maka $f(a)=0$
Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ adalah $(x-1)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
(1)^{3}+k(1)^{2}+(1)-3 & = 0 \\
1+k +1-3 & = 0 \\
k-1 & = 0 \\
k & = 1
\end{align} $
Untuk nilai $k=1$ maka suku banyak $x^{3}+x^{2}+x-3$ dibagi $(x-1)$ dengan metode horner sebagai berikut:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Hasil pembagian suku banyak merupakan salah satu faktor suku banyak yaitu $x^{2}+2x+3$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+2x+3$

25. Soal SNMPTN 2011 (*Soal Lengkap)

Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$. Jika $f(x)$ adalah suku banyak yang bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$ dan bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(1) & = 0 \\
a(1)^{2}-b(1)+a-b & = 0 \\
a -b +a-b & = 0 \\
2a -2b & = 0 \\
a & = b
\end{align} $
Untuk $a=b$, maka $g(x)=ax^{2}-bx+a-b=ax^{2}-ax$ atau $g(x)=ax \left( x-1 \right)$

Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$, sehingga $f(1) = a$ dan $f(x)$ bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = H(x) \cdot g(x)+sisa \\
f(x) & = H(x) \cdot ax \left( x-1 \right) + 3ax+b^{2}+1 \\
f(1) & = 3a(1)+b^{2}+1 \\
a & = 3a +a^{2}+1 \\
0 & = a^{2}+2a+1 \\
0 & = (a+1)(a+1) \\
a & = -1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

26. Soal SNMPTN 2011 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$. Suku banyak $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x-2 \\
(B)\ & 3x-2 \\
(C)\ & 3x+2 \\
(D)\ & 4x+2 \\
(E)\ & 5x-2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(-1) & = -2 \\
f(2) & = 3
\end{align} $

Diketahui $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(-1) & = 3 \\
g(2) & = 2
\end{align} $

Karena $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$, berlaku:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\
f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x^{2}-x-2 \right)+mx+n \\
f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x-2 \right)\left(x+1 \right)+mx+n \\
\hline
f(-1) \cdot g(-1) & = H(-1) \cdot \left(-1-2 \right)\left(-1+1 \right)+m(-1)+n \\
(-2) \cdot (3) & =-m+n \\
-6 & =-m+n\ \cdots \text{pers.1} \\
\hline
f(2) \cdot g(2) & = H(2) \cdot \left(2-2 \right)\left(2+1 \right)+m(2)+n \\
(3) \cdot (2) & =2m+n \\
6 & =2m+n\ \cdots \text{pers.2} \\
\end{align} $
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-m+n = -6 & \\
2m+n = 6 & (-) \\
\hline
-3m = -12 & \\
m = 4 \\
n = -2
\end{array} $
Sisa pembagian adalah $mx+n \equiv 4x-2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-2$

27. Soal SNMPTN 2018 (*Soal Lengkap)

Sisa pembagian $p(x)=x^{3}-ax^{2}-2bx-4a-4$ oleh $x^{2}+1$ adalah $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $-17$, maka $4ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -9 \\
(C)\ & -7 \\
(D)\ & -6 \\
(E)\ & -5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $p(x)$ bersisa $-17$ bila dibagi $(x-1)$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
p(1) & = -17 \\
-17 & = (1)^{3}-a(1)^{2}-2b(1)-4a-4 \\
-17 & = 1-a -2b -4a-4 \\
-14 & = -5a-2b \\
14 & = 5a +2b
\end{align} $
Diketahui juga bahwa $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ bersisa $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ dengan menggunakan metode horner-kino kurang lebih seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Dari proses pembagian di atas sisanya adalah $-3a-4$ sehingga:
$ \begin{align}
-3a-4 & = -5a+2 \\
-3a+5a & = 4+2 \\
2a & = 6 \\
a & = 3 \\
\hline
5a +2b &= 14 \\
5(3) +2b &= 14 \\
2b & = 14-15 \\
b & = -\dfrac{1}{2} \\
\hline
4ab & = 4 \cdot 3 \cdot -\dfrac{1}{2} \\
& = -6
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$


28. Soal SNMPTN 2013 (*Soal Lengkap)

Jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15=f(x)(x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x-1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Untuk $x=1$ kita peroleh persamaan:
$ \begin{align}
x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 &= f(x)(x-1) \\
(1)^{4}+a(1)^{3}+(b-10)(1)^{2}+24(1)-15 &= f(1)(1-1) \\
1+a + b-10 +24 -15 &= 0 \\
a + b &= 0 \\
a & = -b
\end{align} $

Diketahui $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 = f(x)(x-1)$ dan $f(x)$ juga habis dibagi $x-1$ sehingga dapat kita simpulkan bahwa $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ habis dibagi $(x-1)(x-1)$ atau $x^{2}-2x+1$.

Dengan menggunakan metode horner-kino jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ dibagi $x^{2}-2x+1$ kurang lebih seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Dari proses pembagian di atas sisanya adalah $-2a-b-8$ sehingga:
$ \begin{align}
-2a-b-8 & = 0 \\
-2(-b)-b-8 & = 0 \\
2b-b-8 & = 0 \\
b & = 8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

29. Soal SNMPTN 2014 (*Soal Lengkap)

Diketahui $P$ dan $Q$ suatu Polynomial sehingga $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$. Jika $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$ maka $Q(1)=4$, dan $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x)Q(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) +3x+5 \\
P(x)Q(x) &= H(x) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) +3x+5 \\
P(1)Q(1) &= H(1) \left( 1-1 \right) \left( 1+1 \right) +3(1)+5 \\
P(1) \cdot 4 &= 8 \\
P(1) &= \dfrac{8}{4}=2 \\
\end{align} $
Karena $P(1)=2$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

30. Soal SNMPTN 2014 (*Soal Lengkap)

Diketahui $P(x)$ suatu polynomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $(x-1)$, maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...
$\begin{align}
(A)\ & x+2 \\
(B)\ & 2x \\
(C)\ & x \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $P(x+1)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$ maka $P(0)=2$, dan $P(x-1)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$ maka $P(2)=2$.

$P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-2x \right) + mx+n \\
\hline
P(0) &= H(0) \cdot (0) \left( 0-2 \right) + m(0)+n \\
2 &= n \\
\hline
P(2) &= H(2) \cdot (2) \left( 2-2 \right) + m(2)+n \\
2 &= 2m+n \\
2 &= 2m+2 \\
2-2 &= 2m \\
0 &= m \\
\end{align} $
Sisa pembagian $mx+n \equiv 0x+2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

31. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)

Sisa pembagian $Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $ dibagi oleh $x^{2}-1$ adalah $5x-4$. Nilai $A+B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Kita misalkan suku banyak $P(x)=Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $.
Diketahui $P(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $5x-4$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) + 5x-4 \\
P(x) &= H(x) \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) + 5x-4 \\
\hline
P(1) &= H(1) \left( 1-1 \right)\left( 1+1 \right) + 5(1)-4 \\
P(1) &= 1 \\
\hline
P(-1) &= H(-1) \left( -1-1 \right)\left( -1+1 \right) + 5(-1)-4 \\
P(-1) &= -9 \\
\end{align} $

Untuk $x=1$ dan $x=-1$, kita peroleh:
$\begin{align}
P(x) &= Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} \\
P(1) &= A(1)^{2014}+(1)^{2015}-B \left( 1-2 \right)^{2} \\
1 &= A+1 -B \\
0 &= A -B \\
B &= A \\
\hline
P(-1) &= A(-1)^{2014}+(-1)^{2015}-B \left( -1-2 \right)^{2} \\
-9 &= A -1 -9B \\
-8 &= A -9B \\
-8 &= B -9B \\
-8 &= -8B \\
1 &= B \\
A &= 1 \\
\end{align}$
Nilai $A+B=1+1=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Suku Banyak atau Polinomial (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Suku Banyak atau Polinomial ini sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😂 mari kita lihat kreativitas siswa ini lewat matematika;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Suku Banyak (Polinomial)" sangat diharapkan 😊 and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar