Skip to main content

70+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Suku Banyak (Polinomial)

Matematika Dasar Suku Banyak Atau Polinomial (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar suku banyak (Polinomial). Sebelumnya kita sudah mengenal istilah dalam matematika yaitu matematika dasar persamaan kuadrat, karena persamaan kuadrat adalah bagian dari suku banyak, jadi saat kita belajar persamaan kuadrat, kita sudah belajar tentang suku banyak.

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Suku banyak (polinomial) $F(x)$ dalam $x$ berderajat $n$ adalah:
$F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n}$
dimana:

  • $n$ adalah bilangan cacah dan $a\neq 0$
  • $a_{n},\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \cdots, a_{0}$ konstanta dan merupakan koefisien dari $x^{n}, x^{n-1}, \cdots, x^{0}$
  • Derajat suatu suku banyak dalam $x$ dinyatakan oleh pangkat tertinggi ($n$) dalam suku banyak tersebut.

NILAI SUKU BANYAK


Nilai suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ pada saat $x=k$ adalah $F(k)$

KESAMAAN SUKU BANYAK


Suku banyak $F(x)$ dan $g(x)$ dikatakan sama ketika derajat dan koefisian variabel-variabel yang berpangkat sama besarnya adalah sama.

Catatan terkait nilai suku banyak dan kesamaan suku banyak dapat di simak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Definisi dan Nilai Suku Banyak (Polinomial).


PEMBAGIAN SUKU BANYAK


Pembagian suku banyak secara umum dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan bersusun kebawah dan cara horner. Untuk cara pembagian suku banyak ini kita diskusikan pada catatan tersendiri, silahkan disimak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Operasi Pembagian Pada Suku Banyak (Polinomial). Untuk melanjutkan diskusi berikut ini, materi pembagian suku banyak sudah kita anggap bisa.


TEOREMA SISA


  • Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.
    dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot (x-a)+F(a)$
  • Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(ax-b)$, maka sisa pembagiannya adalah $F \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
    dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot (ax-b)+F \left(\dfrac{b}{a} \right)$
  • Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x – a)(x - b)$, maka sisa pembagiannya adalah $\dfrac {F(a)-F(b)}{a-b}x+\dfrac {a \cdot F(b)-b \cdot F(a)}{a-b}$.
    dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Catatan terkait teorema sisa dapat di simak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial).


TEOREMA FAKTOR


Untuk suku banyak $F(x)$, $(x-a)$ adalah faktor suku banyak $F(x)$ jika dan hanya jika $F(a)=0$.
  • Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ faktornya adalah $(x-a)$, maka $F(a)=0$.
  • Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ nilai $F(a)=0$ maka $(x-a)$ adalah faktor $F(x)$.

Catatan terkait teorema faktor dan teorema vieta dapat di simak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Faktor dan Teorema Vieta Pada Suku Banyak (Polinomial).

TEOREMA AKAR-AKAR VIETA


Teorema akar-akar Vieta atau mungkin yang lebih dikenal dengan Hasil Jumlah dan Hasil Kali akar-akar Suku Banyak (*François Viète adalah pakar matematika abad ke-16 kebangsaan Perancis).

Persamaan suku banyak yang mempunyai akar-akar real paling banyak $n$ buah. Jika $x_{1},x_{2},x_{3}, \dots x_{n}$ adalah akar-akar dari persamaan tersebut, maka hubungan antara akar-akarnya ini adalah sebagai berikut.

  • $F(x)=ax^{2}+bx+c$,
    akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$
    • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
  • $F(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$,
    akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$
    • $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+ x_{2}\cdot x_{3} = \dfrac{c}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\dfrac{d}{a}$
  • $F(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$,
    akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$
    • $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \dfrac{c}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4}+\cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\dfrac{d}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \dfrac{e}{a}$
  • Beberapa sampel soal untuk kita diskusikan, yang kita pilih dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Mari berdiksusi;

    1. Soal SBMPTN 2015 |*Soal Lengkap

    Sisa pembagian $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ oleh $x^{2}-1$ adalah $–x+B$. Nilai $2A+B$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Karena suku banyak $f(x)=x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $–x+B$

    Sehingga untuk $x^{2}=1$ berlaku:
    $\begin{align}
    f \left( x^{2} \right) & \equiv -x+B \\ 1 -Ax +Bx -1 & \equiv -x+B \\ \left(-A +B \right) x & \equiv -x+B \\ \hline
    B & = 0 \\ -A+B & = -1 \\ A & = 1 \\ \hline
    2A+B & = 2(1)+0=2
    \end{align}$

    Apabila kurang paham kita coba dengan cara lain,
    Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba mengingatkan kembali tentang teorema sisa, yaitu:
    Untuk
    $F(x)=H(x)\cdot P(x)+Sisa$
    $F(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
    maka
    $F(a)=am+n$
    $F(b)=bm+n$

    Pada soal disampaikan bahwa $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi oleh $x^{2}-1$ sisanya $-x+B$.
    $\begin{align}
    & x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1 \\ & = \left (x^{2}-1 \right )\cdot H(x)+sisa \\ & = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B \\ & = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B
    \end{align}$

    Untuk $x=1$
    $\begin{align}
    1^{2014}-A(1)^{2015}+B(1)^{3}-1 & = -1+B \\ 1-A+B-1 & = -1+B \\ -A+B & = -1+B \\ A & = 1
    \end{align}$

    Untuk $x=-1$
    $\begin{align}
    (-1)^{2014}-A(-1)^{2015}+B(-1)^{3}-1 & = -(-1)+B \\ -1+A-B-1 & = 1+B \\ A-B & = 1+B \\ 1-B & = 1+B \\ B & = 0
    \end{align}$

    Nilai $2A+B=2(1)+0=2$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

    2. Soal UM UNDIP 2015 |*Soal Lengkap

    Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah...
    $(A)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( b \right )$
    $(B)$ $\dfrac{x-a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-b}{b-a}f\left ( a \right )$
    $(C)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( a \right )$
    $(D)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$
    $(E)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( a \right )$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba menggunakan teorema sisa, yaitu:
    Untuk
    $f(x)=h(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
    maka
    $f(a)=am+n\ \cdots \text{pers.1}$
    $f(b)=bm+n\ \cdots \text{pers.2}$
    Dari kedua persamaan di atas dapat kita tentukan nilai $m$ dan $n$ yaitu sebagai berikut:

    #menentukan nilai $m$
    $\begin{array}{c|c|cc}
    f(a) = am+n & \\ f(b) = bm+n & (-)\\ \hline
    f(a) -f(b) = am-bm & \\ f(a) -f(b) = (a -b)m & \\ \dfrac{f(a) -f(b)}{a-b} = m
    \end{array} $

    #menentukan nilai $n$
    $\begin{array}{c|c|cc}
    f(a) = am+n & \times b\\ f(b) = bm+n & \times a\\ \hline
    b \cdot f(a) = abm+bn & \\ a \cdot f(b) = abm+an & (-) \\ \hline
    b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = bn-an &\\ b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = (b -a ) n &\\ \dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} = n
    \end{array} $

    Sisa Pembagian adalah $mx+n$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    mx+n &= \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} \\ & =\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\ & =\dfrac{x \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\ & =\dfrac{x \cdot f(a)-b \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)}{a-b} \\ & =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{a-x}{a-b}f(b) \\ & =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{x-a}{b-a}f(b) \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$

    3. Soal SBMPTN 2014 |*Soal Lengkap

    Diketahui $P(x)$ suatu polinomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $x-1$, maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...
    $\begin{align}
    (A)\ & x+2 \\ (B)\ & 2x \\ (C)\ & x \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    $P(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

    Untuk $x=0$
    $P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
    maka $P(0)=n$

    Untuk $x=2$
    $P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
    $P(2)=2m+n$

    Pada soal diketahui $P(x+1)=2$ dan $P(x-1)=2$ maka untuk $x=1$ diperoleh $P(2)=2$ dan $P(0)=2$.

    $P(0)=2$ dan $P(0)=n$ maka $n=2$
    $P(2)=2$ dan $P(2)=2m+n$ maka $2m+n=2$ sehingga $m=0$.

    Sisa pembagian adalah $mx+n$ yaitu $0x+2=2$.

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

    4. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap

    Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-2g(x)$, oleh $x^{2}+x-2$ adalah $x+3$, sisa pembagian $2f(x)+g(x)$ oleh $x^{2}-3x+2$ adalah $x+1$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x-1$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & \dfrac{23}{24} \\ (B)\ & \dfrac{18}{24} \\ (C)\ & -\dfrac{21}{25} \\ (D)\ & -\dfrac{48}{25} \\ (E)\ & -\dfrac{50}{36}
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dari keterangan pada soal kita peroleh;
    $f(x)-2g(x)=(x^{2}+x-2)H(x)+x+3$
    $f(x)-2g(x)=(x+2)(x-1)H(x)+x+3$

    $2f(x)+g(x)=(x^{2}-3x+2)H(x)+x+1$
    $2f(x)+g(x)=(x-2)(x-1)H(x)+x+1$

    Untuk $x=1$ atau $x=2$, kita peroleh;
    $\begin{array}{c|c|cc}
    f(1)-2g(1) = 4 & \times 1\\ 2f(1)+g(1) = 2 & \times 2\\ \hline
    f(1)-2g(1) = 4 & \\ 4f(1)+2g(1) = 4 & (+)\\ \hline
    5f(1) = 8 &\\ f(1) = \dfrac{8}{5} & \\ g(1) = -\dfrac{6}{5}
    \end{array} $

    Nilai $f(1)g(1)=\dfrac{8}{5}\dfrac{-6}{5}=-\dfrac{48}{25}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{48}{25}$

    5. Soal Ujian Nasional 2011 |*Soal Lengkap

    Diketahui suku banyak $P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$. Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ dan dibagi $(x+1)$ sisa $-1$, maka nilai $(2a+b)$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & 13 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 6
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dari soal kita peroleh beberapa data, antara lain;
    Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ maka $P(1)=11$
    Jika $P(x)$ dibagi $(x+1)$ sisa $-1$ maka $P(-1)=-1$

    Karena $P(1)=11$ maka
    $P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
    $P(1)=2+a-3+5+b$
    $11=a+b+4$
    $a+b=7 \cdots (1)$

    Karena $P(-1)=-1$ maka
    $P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
    $P(-1)=2-a-3-5+b$
    $-1=-a+b-64$
    $-a+b=5 \cdots (2)$

    $\begin{array}{c|c|cc}
    a+b = 7 & \\ -a+b = 5 & (+)\\ \hline
    2b = 12 & \\ b = 6 & \\ a = 1 &
    \end{array} $

    Nilai $2a+b=2+6=8$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$

    6. Soal Ujian Nasional SMA 2007 |*Soal Lengkap

    Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $10$ dan jika dibagi $(2x-3)$ sisanya $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(2x^{2}-x-3)$, sisanya adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & -2x+8 \\ (B)\ & -2x+12 \\ (C)\ & -x+4 \\ (D)\ & -5x+5 \\ (E)\ & -5x+15
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dari apa yang disampaikan pada soal, ada beberapa hal yang dapat kita simpulkan yaitu;
    $f(-1)=10$ dan $f(\dfrac{3}{2})=5$

    Dari bentuk suku banyak;
    $f(x)=h(x)\cdot p(x)+sisa$
    $f(x)=h(x)\cdot 2x^{2}-x-3+mx+n$
    $f(x)=h(x)\cdot (x+1)(2x-3)+mx+n$

    $f(-1)=-m+n$ maka $-m+n=10$ $\cdots (1)$
    $f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{3}{2}m+n$ maka $\dfrac{3}{2}m+n=5$ $\cdots (2)$

    Dengan mengeliminasi atau substitusi pers. $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh nilai $m=-2$ atau $n=8$

    $mx+n \equiv -2x+8$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2x+8$

    7. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap

    Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+x-2$ bersisa $ax+b$ dan dibagi $x^{2}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$. Jika $f(-2)=7$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & 12 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 5
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
    ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x-1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x-1)+ax+b$
    ketika $f(x)$ dibagi $(x-1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-3)(x-1)+2bx+a-1$

    Dari persamaan di atas kita peroleh:
    $f(-2)=7$ maka $-2a+b=7$
    $ \begin{align}
    f(1) & = f(1) \\ a+b & = 2b+a-1 \\ b & = 1 \\ -2a+b & = 7 \\ -2a+1 & = 7 \\ -2a & = 6 \\ a & = -3 \\ a^{2}+b^{2} & = (-3)^{2}+(1)^{2} \\ & = 10
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

    8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 |*Soal Lengkap

    Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+3x+2$ bersisa $3bx+a-2$ dan dibagi $x^{2}-2x-3$ bersisa $ax-2b$. Jika $f(3)+f(-2)=6$, maka $a+b=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
    ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x+1)+3bx+a-2$
    ketika $f(x)$ dibagi $(x+1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+1)(x-3)+ax-2b$

    Dari persamaan di atas kita peroleh:
    $ \begin{align}
    f(3)+f(-2) & = 6 \\ 3a-2b-6b+a-2 & = 6 \\ 4a-8b & = 8 \\ a-2b & = 2 \cdots (1)\\ f(-1) & = f(-1) \\ -3b+a-2 & = -a-2b \\ -b+2a & = 2 \cdots (2)\\ \end{align} $

    $\begin{array}{c|c|cc}
    a-2b = 2 & \\ -b+2a = 2 & (-)\\ \hline
    -a-b = 0 & \\ a+b = 0
    \end{array} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0$

    9. Soal UMB-PT 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap

    Hasil kali semua $x$ yang memenuhi persamaan $9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6}=0$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & -10 \\ (B)\ & -5\sqrt{2} \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 5\sqrt{2} \\ (E)\ & 10
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar dan bilangan berpangkat, seperti berikut ini;
    $\begin{align}
    9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6} &= 0 \\ 9^{x^{3}-4x^{2}-x+4} &= 9^{x^{2}+x-6} \\ x^{3}-4x^{2}-x+4 &= x^{2}+x-6 \\ x^{3}-4x^{2}-x+4 -x^{2}-x+6 &= 0 \\ x^{3}-5x^{2}-2x+10 &= 0
    \end{align}$
    Untuk hasil kali semua nilai $x$ adalah:
    $\begin{align}
    x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} &= -\dfrac{d}{a} \\ &= -\dfrac{10}{1} \\ &= -10
    \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -10 $

    10. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap - Soal SPMB 2005 Kode 580 |*Soal Lengkap

    Hasil bagi dan sisa suku banyak $3x^{3}+10x^{2}-8x+3$ dibagi $x^{2}+3x-1$, berturut-turut adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & 3x+1\ \text{dan}\ 2x+2 \\ (B)\ & 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4 \\ (C)\ & 3x-1\ \text{dan}\ 8x+2 \\ (D)\ & 3x+19\ \text{dan}\ -56x+21 \\ (E)\ & 3x+19\ \text{dan}\ 51x+16
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Jika Pembagian suku banyak di atas kita coba selesaikan dengan pembagian bersusun kebawah;

    Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)

    Jika Pembagian suku banyak di atas kita coba selesaikan dengan metode horner-kino;
    Soal dan Pembahasan Ujian Masuk STIS Tahun 2011

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4$


    11. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

    Jika $f(x)=ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4$ dibagi $(x-1)$ sisanya $10$, sementara jika dibagi dengan $(x+2)$ akan menghasilkan sisa $2$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut yang memenuhi adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1 \\ (B)\ & \dfrac{3}{4}\ \text{dan}\ 1 \\ (C)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{4}{3} \\ (D)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{3}{4} \\ (E)\ & -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Pembagian suku banyak yang mungkin membantu yaitu;

    Teorema Sisa


    • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya adalah $s=f(a)$.
    • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya adalah $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
    $\begin{align}
    f(x) &= ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4 \\ f(1) &= a(1)^{3}+3b(1)^{2}+(2a-b)(1)+4 \\ 10 &= a +3b+ 2a-b +4 \\ 6 &= 3a +2b \\ \hline
    f(-2) &= a(-2)^{3}+3b(-2)^{2}+(2a-b)(-2)+4 \\ 2 &= -8a +12b -4a+2b+4 \\ -2 &= -12a +14b
    \end{align}$

    Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
    $\begin{array}{c|c|cc}
    -12a+14b = -2 & (\times 1) \\ 3a+2b = 6 & (\times 4) \\ \hline
    -12a+14b = -2 & \\ 12a+8b = 24 & (+) \\ \hline
    22b = 22 & \\ b = 1 & 3a+2b = 6 \\ & 3a+2(1) = 6 \\ & a = \dfrac{4}{3}
    \end{array} $

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$

    12. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

    Jika suku banyak $P(x)=ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan $x+a$, maka $ab=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Jika sebuah bilangan $a$ habis dibagi $x$ dan $y$, maka berlaku $a \equiv k \cdot x \cdot y$
    contoh:
    $140$ habis dibagi $5$ dan $2$
    sehingga berlaku $140 \equiv k \cdot 5 \cdot 2$, dan nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=14$

    suku banyak $P(x)= ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi oleh $x^{2}+1$ dan $x+a$.
    $\begin{align}
    & ax^{3}+x^{2}+bx+1 \\
    & \equiv k \cdot \left( x^{2}+1 \right) \left( x+a \right) \\
    0 & \equiv k \cdot \left( x^{3}+ax^{2}+ x + a \right) \\
    0 & \equiv kx^{3}+ akx^{2}+ kx +ak
    \end{align}$
    Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

    • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=k$
    • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $ak=1$, maka $a^{2}=1$ atau $a= \pm 1$
    • dari koefisien $x $ kita peroleh $ b=k$
    Untuk $a=1$ dan $b=1$, nilai $ab=1$
    Untuk $a=-1$ dan $b=-1$, nilai $ab=1$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

    13. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

    Suku banyak $f(x)=ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan dibagi $x-4$ bersisa $51$ Nilai $a+b=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

    Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

    Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
    $\begin{align}
    & ax^{3}-ax^{2}+bx-a \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+ mx+ n
    \end{align}$

    Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

    • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$
    • dari koefisien $x$ kita peroleh $b=m$
    suku banyak $f(x)= ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ dibagi $x-4$ bersisa $51$
    $\begin{align}
    f(4) & = a(4)^{3}-a(4)^{2}+b(4)-a \\ 51 & = 64a -16a +4b -a \\ 51 & = 47a +4b \\ 51 & = 47a +4a \\ 51 & = 51a \rightarrow a=1
    \end{align}$
    Untuk $a=1$ dan $a=b$ maka $b=$, nilai $a+b=2$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

    14. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

    Jika $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dengan $a \neq 0$ habis dibagi $x^{2}+2$, maka nilai $\dfrac{b}{2a}$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

    Jika suku banyak $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dibagi $x^{2}+2$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

    Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
    $\begin{align}
    & x^{3}+ax^{2}+2x+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+2 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+2mx+2n
    \end{align}$

    Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

    • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $m=1$
    • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $a=n$
    • dari konstanta kita peroleh $ b=2n$
    Untuk $a=n$ dan $b=2n$, maka $\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2n}{2n}=1$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

    15. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

    Jika $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, maka nilai $ab$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Jika sebuah bilangan $a$ habis dibagi $x$ dan $y$, maka berlaku $a \equiv k \cdot x \cdot y$
    contoh:
    $140$ habis dibagi $5$ dan $2$
    sehingga berlaku $140 \equiv k \cdot 5 \cdot 2$, dan nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=14$

    suku banyak $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    & ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a \\
    & \equiv k \cdot \left( x^{2}+2 \right) \left( x+b \right) \\
    & \equiv k \cdot \left( x^{3}+bx^{2}+2x +2b \right) \\
    & \equiv kx^{3}+ kbx^{2}+2kx +2bk
    \end{align}$
    Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

    • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $kb=b$, maka $k=1$
    • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=k$, maka $a=1$
    • dari konstanta kita peroleh $2bk=-a$, maka $2b=-1$
    Untuk $a=1$ dan $b=-\dfrac{1}{2}$, nilai $ab=-\dfrac{1}{2}$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

    16. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

    Suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $(x-2)^{2}$ bersisa $-2x+a$. Nilai $a+b=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & 15 \\ (B)\ & 13 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -13 \\ (E)\ & -15
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

    Jika suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $\left(x-2 \right)^{2}=x^{2}-4x+4$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

    Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
    $\begin{align}
    & x^{3}+bx^{2}-2x-6 \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}-4x+4 \right) -2x+a \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}-4mx^{2}-4nx+4mx+4n -2x+a \\ & \equiv mx^{3}+ \left(n -4m \right) x^{2}+ \left(4m-4n-2 \right)x+4n+a \\ \end{align}$

    Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

    • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $1=m$
    • dari koefisien $x$ kita peroleh $4m-4n-2=-2$, maka $n=1$
    • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $b=n-4m $, maka $b=-3$
    • dari konstanta kita peroleh $-6=4n+a$, maka $a=-10$
    Untuk $a=-10$ dan $b=-3$, maka $a+b=-13$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -13$

    17. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

    Diketahui suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$. Jika $x^{2}+1$ adalah faktor dari $f(x)$ dan $f(a)=2$, maka nilai $ab=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

    Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

    Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
    $\begin{align}
    & ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+mx+n
    \end{align}$

    Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

    • dari konstanta kita peroleh $n=a+b $
    • dari koefisien $x$ kita peroleh $-b=m $
    • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $n=a+b $
    • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$
    karena nilai $m=a$ dan $m=-b$, maka $a=-b$

    Diketahui $f(a)=2$, sehingga:
    $\begin{align}
    f(a) & = ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\ 2 & = a \cdot a^{3}+(a+b) \cdot a^{2}-b \cdot a +a+b \\ 2 & = a^{4}+(a+b)a^{2}-ab +a+b \\ 2 & = a^{4}+(a-a)a^{2}-a(-a) +a-a \\ 2 & = a^{4}+ a^{2} \\ 0 & = a^{4}+ a^{2} -2 \\ 0 & = \left( a^{2}+2 \right)\left( a^{2}-1 \right) \\ 0 & = \left( a^{2}+2 \right)\left( a-1 \right)\left( a+1 \right) \\ \end{align}$
    Untuk $a=1$ nilai $b=-1$ sehingga $ab=-1$
    Untuk $a=-1$ nilai $b=1$ sehingga $ab=-1$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

    18. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

    Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $a+b=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

    Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

    Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
    $\begin{align}
    & ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+mx+n
    \end{align}$

    Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

    • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $n=3 $
    • dari konstanta kita peroleh $n=b $ maka $b=3$
    • dari koefisien $x$ kita peroleh $b-2=m $ maka $m=1$
    • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m $ maka $a=1$
    • Nilai $a+b=4$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$

    19. Soal SPMB 2006 Kode 320 |*Soal Lengkap - Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

    Jika Diketahui $P(x)= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right)$. Dengan $Q(x)$ adalah suatu suku banyak. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+1)$ bersisa $10$ dan jika dibagi $(x-1)$ bersisa $20$. Maka apabila $P(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ akan bersisa...
    $\begin{align}
    (A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 35 \\ (E)\ & 45
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
    $ \begin{align}
    P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(-1) & =10 \rightarrow -a +b= 10 \\ P( 1) &=20 \rightarrow a +b= 20 \\ \end{align} $

    $\begin{array}{c|c|cc}
    -a+b = 10 & \\ a+b = 20 & (+) \\ \hline
    2b = 30 & \\ b = 15 & \\ a = 5
    \end{array} $
    Jika $P(x)$ dibagi oleh $(x-2)$, maka sisa pembagian adalah:
    $ \begin{align}
    P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(2) &= 2a+ b \\ P(2) &= 2(5)+ (15)=25
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$

    20. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

    Jika $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $3a - b$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & -9 \\
    (B)\ & -3 \\
    (C)\ & 3 \\
    (D)\ & 9 \\
    (E)\ & 12
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Soal ini kita coba selesaikan dengan Cara Manipulasi Faktor, dengan manipulasi faktor ini, kita anggap faktornya adalah sama dengan nol.

    Dengan menganggap faktor (pembagi) $x^{2}+1=0$ sehingga diperoleh $x^{2}=-1$.

    Dengan $x^{2}=-1$ dan $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka berlaku:
    $\begin{align}
    p(x) & \equiv ax^{3}+bx^{2}+2x-3 \\
    p(x) & \equiv ax \cdot x^{2}+bx^{2}+2x-3 \\
    0 & \equiv ax (-1) +b (-1) +2x-3 \\
    0 & \equiv -ax -b +2x-3 \\
    0 & \equiv (2-a)x -b-3 \\
    \hline
    2-a\ & = 0 \\
    a & = 2 \\ \hline
    -b-3\ & = 0 \\ b\ & = -3 \\ \hline
    \text{nilai}\ 3a-b &= 3(2)-(-3) =9
    \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$


    21. Soal SPMB 2007 Kode 551 |*Soal Lengkap

    Jika suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dan $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ mempunyai sisa sama apabila dibagi $(x+1)$ maka nilai $p+q=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

    Suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
    $ \begin{align}
    2x^{3}-px^{2}+qx+6 & = 2(-1)^{3}-p(-1)^{2}+q(-1)+6 \\ & = -2-p -q +6 \\ & = 4-p -q
    \end{align} $

    Suku banyak $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
    $ \begin{align}
    2x^{3}+3x^{2}-4x-1 & = 2(-1)^{3}+3(-1)^{2}-4(-1)-1 \\ & = -2+3+4-1 \\ & = 4
    \end{align} $

    Karena sisa pembagian di atas dikatakan sama sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    4-p-q & = 4 \\ -p-q & = 4-4 \\ -p-q & = 0 \\ p+q & = 0
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

    22. Soal SPMB 2007 Kode 451 |*Soal Lengkap

    Diketahui suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dengan $a,b$ dan $c$ konstanta. Jika suku banyak $p(x)$ bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x-2007)$ dan juga bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x+2007)$, maka $c=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -2007 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 2007
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

    Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x-2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
    $ \begin{align}
    P(2007) & = -2007 \\ a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007)-2007 & = -2007 \\ a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007) & = 0 \\ a(2007)^{6}+b(2007)^{4} & = - 2007c
    \end{align} $

    Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x+2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
    $ \begin{align}
    P(-2007) & = -2007 \\ a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007)-2007 & = -2007 \\ a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007) & = 0 \\ a (-1)^{6} (2007)^{6}+b(-1)^{4}(2007)^{4}+c(-1)(2007) & = 0 \\ a (2007)^{6}+b (2007)^{4}-c(2007) & = 0 \\ a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = 2007c
    \end{align} $

    Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
    $ \begin{align}
    a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = a (2007)^{6}+b (2007)^{4} \\ 2007c & = -2007c \\ 2007c+2007c & = 0 \\ 4014c & = 0 \\ c & = 0
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

    23. Soal SNMPTN 2008 Kode 302 |*Soal Lengkap

    Nilai $m+n$ yang mengakibatkan $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{3}x+na^{4}$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
    Suku banyak $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{3}x+na^{4}$ dibagi $(x-a)^{2}$ dengan skema horner sebagai berikut:
    Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
    Karena $P(x)$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ sehingga sisa pembagian adalah nol, sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    -ma^{3}+2a^{3} & = 0 \\ \left( -m +2 \right) a^{3} & = 0 \\ -m +2 & = 0 \\ m & = 2 \\
    \hline
    na^{4}-ma^{4}+3a^{4} & = 0 \\ na^{4}-(2)a^{4}+3a^{4} & = 0 \\ na^{4}+a^{4} & = 0 \\ \left(n +1 \right) a^{4} & = 0 \\ n & = -1 \\ \hline
    m+n & = 2-1 \\
    m+n & = 1
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

    24. Soal SNMPTN 2009 |*Soal Lengkap

    Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ adalah $x-1$. Faktor yang lain adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & x^{2}+3x+3 \\ (B)\ & x^{2}+x-3 \\ (C)\ & x^{2}+3x-3 \\ (D)\ & x^{2}+2x+3 \\
    (E)\ & x^{2}-7x+3
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Faktor suku banyak $f(x)$ adalah $(x-a)$ maka $f(a)=0$
    Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ adalah $(x-1)$, maka berlaku:
    $ \begin{align}
    (1)^{3}+k(1)^{2}+(1)-3 & = 0 \\ 1+k +1-3 & = 0 \\ k-1 & = 0 \\ k & = 1
    \end{align} $
    Untuk nilai $k=1$ maka suku banyak $x^{3}+x^{2}+x-3$ dibagi $(x-1)$ dengan metode horner sebagai berikut:
    Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
    Hasil pembagian suku banyak merupakan salah satu faktor suku banyak yaitu $x^{2}+2x+3$.

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+2x+3$

    25. Soal SNMPTN 2011 |*Soal Lengkap

    Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$. Jika $f(x)$ adalah suku banyak yang bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$ dan bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka nilai $a$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & -1 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\
    (E)\ & 3
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
    Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$, maka berlaku:
    $ \begin{align}
    g(1) & = 0 \\ a(1)^{2}-b(1)+a-b & = 0 \\ a -b +a-b & = 0 \\ 2a -2b & = 0 \\ a & = b
    \end{align} $
    Untuk $a=b$, maka $g(x)=ax^{2}-bx+a-b=ax^{2}-ax$ atau $g(x)=ax \left( x-1 \right)$

    Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$, sehingga $f(1) = a$ dan $f(x)$ bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka berlaku:
    $ \begin{align}
    f(x) & = H(x) \cdot g(x)+sisa \\ f(x) & = H(x) \cdot ax \left( x-1 \right) + 3ax+b^{2}+1 \\ f(1) & = 3a(1)+b^{2}+1 \\ a & = 3a +a^{2}+1 \\ 0 & = a^{2}+2a+1 \\ 0 & = (a+1)(a+1) \\ a & = -1
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

    26. Soal SNMPTN 2011 |*Soal Lengkap

    Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$. Suku banyak $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & 4x-2 \\ (B)\ & 3x-2 \\ (C)\ & 3x+2 \\ (D)\ & 4x+2 \\
    (E)\ & 5x-2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
    Diketahui $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
    $ \begin{align}
    f(-1) & = -2 \\ f(2) & = 3
    \end{align} $

    Diketahui $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
    $ \begin{align}
    g(-1) & = 3 \\ g(2) & = 2
    \end{align} $

    Karena $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$, berlaku:
    $ \begin{align}
    h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x^{2}-x-2 \right)+mx+n \\ f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x-2 \right)\left(x+1 \right)+mx+n \\ \hline
    f(-1) \cdot g(-1) & = H(-1) \cdot \left(-1-2 \right)\left(-1+1 \right)+m(-1)+n \\ (-2) \cdot (3) & =-m+n \\ -6 & =-m+n\ \cdots \text{pers.1} \\ \hline
    f(2) \cdot g(2) & = H(2) \cdot \left(2-2 \right)\left(2+1 \right)+m(2)+n \\ (3) \cdot (2) & =2m+n \\ 6 & =2m+n\ \cdots \text{pers.2} \\ \end{align} $
    Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
    $\begin{array}{c|c|cc}
    -m+n = -6 & \\ 2m+n = 6 & (-) \\ \hline
    -3m = -12 & \\ m = 4 \\ n = -2
    \end{array} $
    Sisa pembagian adalah $mx+n \equiv 4x-2$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-2$

    27. Soal SNMPTN 2018 |*Soal Lengkap

    Sisa pembagian $p(x)=x^{3}-ax^{2}-2bx-4a-4$ oleh $x^{2}+1$ adalah $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $-17$, maka $4ab=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -12 \\ (B)\ & -9 \\ (C)\ & -7 \\ (D)\ & -6 \\
    (E)\ & -5
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
    Diketahui $p(x)$ bersisa $-17$ bila dibagi $(x-1)$ sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    p(1) & = -17 \\ -17 & = (1)^{3}-a(1)^{2}-2b(1)-4a-4 \\ -17 & = 1-a -2b -4a-4 \\ -14 & = -5a-2b \\ 14 & = 5a +2b
    \end{align} $
    Diketahui juga bahwa $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ bersisa $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ dengan menggunakan metode horner-kino kurang lebih seperti berikut ini:
    Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
    Dari proses pembagian di atas sisanya adalah $-3a-4$ sehingga:
    $ \begin{align}
    -3a-4 & = -5a+2 \\ -3a+5a & = 4+2 \\ 2a & = 6 \\ a & = 3 \\ \hline
    5a +2b &= 14 \\ 5(3) +2b &= 14 \\ 2b & = 14-15 \\ b & = -\dfrac{1}{2} \\ \hline
    4ab & = 4 \cdot 3 \cdot -\dfrac{1}{2} \\ & = -6
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$

    28. Soal SNMPTN 2013 |*Soal Lengkap

    Jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15=f(x)(x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x-1$, maka nilai $b$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & 8 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 2 \\
    (E)\ & 1
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
    Untuk $x=1$ kita peroleh persamaan:
    $ \begin{align}
    x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 &= f(x)(x-1) \\ (1)^{4}+a(1)^{3}+(b-10)(1)^{2}+24(1)-15 &= f(1)(1-1) \\ 1+a + b-10 +24 -15 &= 0 \\ a + b &= 0 \\ a & = -b
    \end{align} $

    Diketahui $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 = f(x)(x-1)$ dan $f(x)$ juga habis dibagi $x-1$ sehingga dapat kita simpulkan bahwa $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ habis dibagi $(x-1)(x-1)$ atau $x^{2}-2x+1$.

    Dengan menggunakan metode horner-kino jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ dibagi $x^{2}-2x+1$ kurang lebih seperti berikut ini:
    Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
    Dari proses pembagian di atas sisanya adalah $-2a-b-8$ sehingga:
    $ \begin{align}
    -2a-b-8 & = 0 \\ -2(-b)-b-8 & = 0 \\ 2b-b-8 & = 0 \\ b & = 8
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

    29. Soal SNMPTN 2014 |*Soal Lengkap

    Diketahui $P$ dan $Q$ suatu Polynomial sehingga $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$. Jika $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa...
    $\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 1 \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
    Diketahui $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$ maka $Q(1)=4$, dan $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$, sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    P(x)Q(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) +3x+5 \\ P(x)Q(x) &= H(x) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) +3x+5 \\ P(1)Q(1) &= H(1) \left( 1-1 \right) \left( 1+1 \right) +3(1)+5 \\ P(1) \cdot 4 &= 8 \\ P(1) &= \dfrac{8}{4}=2 \\ \end{align} $
    Karena $P(1)=2$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$.

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

    30. Soal SNMPTN 2014 |*Soal Lengkap

    Diketahui $P(x)$ suatu polynomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $(x-1)$, maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...
    $\begin{align}
    (A)\ & x+2 \\ (B)\ & 2x \\ (C)\ & x \\ (D)\ & 1 \\
    (E)\ & 2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
    Diketahui $P(x+1)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$ maka $P(0)=2$, dan $P(x-1)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$ maka $P(2)=2$.

    $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$, sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    P(x) &= H(x) \left( x^{2}-2x \right) + mx+n \\ \hline
    P(0) &= H(0) \cdot (0) \left( 0-2 \right) + m(0)+n \\ 2 &= n \\ \hline
    P(2) &= H(2) \cdot (2) \left( 2-2 \right) + m(2)+n \\ 2 &= 2m+n \\ 2 &= 2m+2 \\ 2-2 &= 2m \\ 0 &= m \\ \end{align} $
    Sisa pembagian $mx+n \equiv 0x+2$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$


    31. Soal SBMPTN 2015 |*Soal Lengkap

    Sisa pembagian $Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $ dibagi oleh $x^{2}-1$ adalah $5x-4$. Nilai $A+B$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
    • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
    Kita misalkan suku banyak $P(x)=Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $.
    Diketahui $P(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $5x-4$, sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    P(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) + 5x-4 \\ P(x) &= H(x) \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) + 5x-4 \\ \hline
    P(1) &= H(1) \left( 1-1 \right)\left( 1+1 \right) + 5(1)-4 \\ P(1) &= 1 \\ \hline
    P(-1) &= H(-1) \left( -1-1 \right)\left( -1+1 \right) + 5(-1)-4 \\ P(-1) &= -9 \\ \end{align} $

    Untuk $x=1$ dan $x=-1$, kita peroleh:
    $\begin{align}
    P(x) &= Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} \\ P(1) &= A(1)^{2014}+(1)^{2015}-B \left( 1-2 \right)^{2} \\ 1 &= A+1 -B \\ 0 &= A -B \\ B &= A \\ \hline
    P(-1) &= A(-1)^{2014}+(-1)^{2015}-B \left( -1-2 \right)^{2} \\ -9 &= A -1 -9B \\ -8 &= A -9B \\ -8 &= B -9B \\ -8 &= -8B \\ 1 &= B \\ A &= 1 \\ \end{align}$
    Nilai $A+B=1+1=2$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

    32. Soal SPMB 2006 Kode 621 |*Soal Lengkap

    Diketahui $f(x)= x^{4}+x^{3}-2$ dan $g(x)= x^{3}+2x^{2}+2x+2$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $(x-a)$ bersisa $1$ maka $f(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa...
    $\begin{align}
    (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$.

    $g(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa $1$, maka berlaku:
    $ \begin{align}
    g(a) & = 1 \\ (a)^{3}+2(a)^{2}+2(a)+2 & = 1 \\ a^{3}+2a^{2}+2a+2-1 & = 0 \\ a^{3}+2a^{2}+2a+1 & = 0 \\ (a^{2}+a+1)(a+1) & = 0 \\ (a^{2}+a+1)=0;\ & (a+1)=0 \\ (a^{2}+a+1)=0;\ & a = -1
    \end{align} $

    $f(x)$ dibagi $(x-a)$:
    $ \begin{align}
    f(a) & = a^{4}+a^{3}-2 \\ f(-1) & = (-1)^{4}+(-1)^{3}-2 \\ & = 1-1-2 \\ & = -2
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$

    33. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 |*Soal Lengkap

    Jika suku banyak $ax^{3}+2x^{2}+5x+b$ dibagi $\left( x^{2}-1\right)$ menghasilkan sisa $\left( 6x+5 \right)$ maka $a+3b$ sama dengan...
    $\begin{align}
    (A)\ & 12 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 5
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Jika pembagian suku banyak kita kerjakan dengan menggunakan metode horner-kino, maka skemanya seperti berkut ini:

    Soal dan Pembahasan suku banyak simak ui 2009
    Dari persamaan di atas kita peroleh sisa adalah $\left( a+5 \right)x+\left( b+2 \right)$ dan pada soal disampaikan bahwa sisa $\left( 6x+5 \right)$ sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    6x+5 & \equiv \left( a+5 \right)x+\left( b+2 \right) \\ \hline
    a+5 & = 6 \\ a & = 1 \\ \hline
    b+2 & = 5 \\ b & = 3 \\ \hline
    a+3b & = 1+3(3) =10
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

    34. Soal UM UGM 2005 Kode 611 |*Soal Lengkap

    Fungsi $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$, sedangkan jika dibagi $(x-2)$ sisanya $4$. Jika $f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-3x+2$, maka sisanya adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & -x-2 \\ (B)\ & x+1 \\ (C)\ & x+2 \\ (D)\ & 2x+1 \\ (E)\ & 4x-1
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$ dan $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $4$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(1)=3$, dan $f(2)=4$.

    $f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-3x+2$, sehingga berlaku
    $\begin{align}
    f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-3x+2 \right) + mx+n \\ f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x-2 \right) \left( x-1 \right)+ mx+n\\ \hline
    f(1) & = m+n\\ 3 & = m+n\\ \hline
    f(2) & = 2m+n\\ 4 & = 2m+n
    \end{align}$

    Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
    $\begin{array}{c|c|cc}
    m+n = 3 & \\ 2m+n = 4 & \\ \hline
    m = 1 & \\ n = 2 &
    \end{array} $
    Sisa pembagian $mx+n=x+2$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+2$

    35. Soal SPMB 2006 Kode 420 |*Soal Lengkap

    Diketahui $p(x)=ax^{5}+bx-1$ dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $p(x)$ dibagi dengan $(x-2006)$ bersisa $3$, maka bila $p(x)$ dibagi dengan $(x+2006)$ akan bersisa...
    $\begin{align}
    (A)\ & -1 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -5
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-2006)$ sisanya $3$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(2006)=3$.

    Yang ditanyakan adalah $p(x)$ dibagi $(x+2006)$ atau $p(-2006)$

    $\begin{align}
    p(x) &= ax^{5}+bx-1 \\ p(2006) &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right)-1 \\ 3 &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right)-1 \\ 4 &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right) \\ \hline
    p(-2006) &= a \left( -2006 \right)^{5}+b\left( -2006 \right)-1 \\ &= a \left( -1 \right)^{5}\left( 2006 \right)^{5} -b\left( 2006 \right)-1 \\ &= -a \left( 2006 \right)^{5} -b\left( 2006 \right)-1 \\ &=- \left( a \left( 2006 \right)^{5} +b\left( 2006 \right) \right)-1 \\ &=- \left( 4 \right)-1 =-5\\ \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5$

    36. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

    Suku banyak $p(x)$ bersisa $2$ jika dibagi $x-1$ dan tak bersisa jika dibagi $x+1$. Suku banyak $q(x)$ bersisa $2x$ jika dibagi $x^{2}-1$. Jika suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, maka sisanya adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & 3x-1 \\ (B)\ & 3x+1 \\ (C)\ & -3x+2 \\ (D)\ & -3x-2 \\ (E)\ & 3x+2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $2$ dan $p(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $0$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(1)=2$, dan $p(-1)=0$.

    $q(x)$ dibagi dengan $x^{2}-1$ bersisa $2x$, sehingga kita peroleh:
    $\begin{align}
    q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + 2x \\ q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + 2x \\ q(1) & = 2(1)=2 \\ q(-1) & = 2(-1)=-2
    \end{align}$

    Suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, sehingga berlaku
    $\begin{align}
    p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + mx+n \\ p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + mx+n \\ \hline
    p(1)+q(1) & = m (1)+n \\ 4 & = m+n \\ \hline
    p(-1)+q(-1) & = m (-1)+n \\ -2 & = -m+n \\ \end{align}$

    Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua persamaan yang kita peroleh di atas, maka kita peroleh:
    $\begin{array}{c|c|cc}
    m+n = 4 & \\ -m+n = -2 & \\ \hline
    2n = 2 & \\ n = 1 & \\ m = 3 &
    \end{array} $
    Sisa pembagian $mx+n=3x+1$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x+1$

    37. Soal SPMB 2006 Kode 121 |*Soal Lengkap

    Diketahui $h(x)=x^{2}+3x-4$ merupakan salah satu faktor dari $g(x)=x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $x+1$, akan bersisa...
    $\begin{align}
    (A)\ & 0 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 12 \\
    (E)\ & 24
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Pada soal disampaikan bahwa $h(x)=x^{2}+3x-4$ salah satu faktor dari $g(x)=x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b$, sehingga kita peroleh:
    $\begin{align}
    x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}+3x-4 \right) \\ x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b & \equiv H(x) \cdot \left( x+4 \right) \left( x-1 \right) \\
    \hline
    (1)^{4}+2(1)^{3}-a(1)^{2}-14(1)+b & = 0 \\
    1+2-a -14 +b & = 0 \\
    -a +b & = 11 \\
    \end{align}$

    Sisa $g(x)$ dibagi $x+1$ adalah $g(-1)$, sehingga kita peroleh:
    $\begin{align}
    g(x) & = x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b \\ g(-1) & = (-1)^{4}+2(-1)^{3}-a(-1)^{2}-14(-1)+b \\ & = 1-2-a +14+b \\ & = -a +b+13 \\ & = 11+13=24
    \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 24$

    38. Soal UM UGM 2018 Kode 576 |*Soal Lengkap

    Diberikan suku banyak $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+a$ dengan $a \neq 0$. Jika $x^{2}+nx+1$ merupakan faktor $p(x)$, maka $n=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\
    (E)\ & 3
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Pada soal disampaikan bahwa $x^{2}+nx+1$ salah satu faktor dari $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+a$, sehingga kita peroleh:
    $\begin{align}
    ax^{3}+bx^{2}+a & \equiv \left( x^{2}+nx+1 \right) \cdot \left( cx+d \right) \\ & = cx^{3}+dx^{2}+cnx^{2}+dnx+cx+d \\ & = cx^{3}+ \left( d+cn \right) x^{2}+\left( dn+c \right)x+d
    \end{align}$
    Dari kesamaan suku banyak di atas dapat kita ambil kesimpulan yaitu: $a=c$, $b=d+cn$, $dn+c=0$, dan $d=a$.

    Untuk menentukan nilai $n$ kita pilih dari persamaan yang kita peroleh, yaitu:
    $\begin{align}
    dn+c & = 0 \\ (a)n+(a) & = 0 \\ (a)n & = -a \\ n & = -1
    \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1$

    39. Soal UM UNDIP 2018 Kode 727/730 |*Soal Lengkap

    Jika suku banyak $x^{4}-2x^{2}+1$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right)$ maka nilai $a+b+c+d=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\
    (E)\ & 2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Pada soal disampaikan bahwa $x^{4}-2x^{2}+1$ dapat difaktorkan menjadi:
    $\begin{align}
    x^{4}-2x^{2}+1 & \equiv \left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right) \\ \left(x^{2}-1 \right)\left(x^{2}-1 \right) & \equiv \left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right) \\ \hline
    x^{2}-1 & \equiv x^{2}+ax+b \\ a=0,\ &\ b=-1 \\ \hline
    x^{2}-1 & \equiv x^{2}+cx+d \\ c=0,\ &\ d=-1 \\ \end{align}$
    Nilai $a+b+c+d=-2$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$

    40. Soal Ujian Nasional 2016 |*Soal Lengkap

    Diketahui $(x+2)$ adalah faktor dari suku banyak $f(x)=2x^{3}-ax^{2}-11x+6$, hasil bagi $f(x)$ dibagi $(2x+3)$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & x^{2}-3x+1 \\ (B)\ & x^{2}-3x-1 \\ (C)\ & 2x^{2}-6x-2 \\ (D)\ & 2x^{2}+6x-2 \\ (E)\ & 2x^{2}-6x+2 \\ \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Pada soal disampaikan bahwa $(x+2)$ adalah faktor $f(x)=2x^{3}-ax^{2}-11x+6$ sehingga berdasarkan teorema faktor Untuk suku banyak $F(x)$, $(x-a)$ adalah faktor suku banyak $F(x) jika dan hanya jika $F(a)=0$ nilai $f(-2)=0$ sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    f(-2) & =2x^{3}-ax^{2}-11x+6 \\ 0 & =2(-2)^{3}-a(-2)^{2}-11(-2)+6 \\ 0 & =-16-4a+22+6 \\ 0 & =12-4a \\ 3 & = a \\ f(x) &= 2x^{3}-3x^{2}-11x+6
    \end{align}$
    $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6$ dibagi $(2x+3)$, kita kerjakan dengan koefisien tak tentu:
    $\begin{align}
    & 2x^{3}-3x^{2}-11x+6 \\ & \equiv \left( x^{2}+bx+c \right) \left( 2x+3 \right)+d\\ & \equiv 2x^{3}+3x^{2}+2bx^{2}+3bx+2cx+3c+d\\ & \equiv 2x^{3}+\left(3+2b \right)x^{2}+ \left(3b+2c \right)x+3c+d\\ \hline
    & 3+2b=-3\ \rightarrow\ b=-3 \\ & 3b+2c=-11\ \rightarrow\ c=-1
    \end{align}$
    Untuk $b=-3$ dan $c=-1$, maka hasil bagi $\left( x^{2}+bx+c \right)$ adalah $x^{2}-3x-1$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}-3x-1$


    41. Soal SIMAK UI 2011 Kode 618 |*Soal Lengkap

    Jika $p(x)$ adalah polinomial berderajat $3$ dengan $p(1)=2$, $p(2)=3$, $p(3)=4$, dan $p(4)=6$, maka salah satu faktor dari $p(x+2)$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & x-2 \\ (B)\ & x-1 \\ (C)\ & x \\ (D)\ & x+1 \\ (E)\ & x+2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Suku banyak $p(x)$ polinomial berderajat $3$ kita misalkan
    $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

    Dari $p(1)=2$, $p(2)=3$, $p(3)=4$, dan $p(4)=6$ maka kita peroleh beberapa persamaan yaitu:
    $\begin{align}
    a+b+c+d &= 2\ \cdots\ (1) \\ 8a+4b+2c+d &= 3\ \cdots\ (2) \\ 27a+9b+3c+d &= 4\ \cdots\ (3) \\ 64a+16b+4c+d &= 6\ \cdots\ (4)
    \end{align}$

    Dengan mengeliminasi $d$ pada $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh:
    $\begin{align}
    a+b+c+d &= 2 \\ 8a+4b+2c+d &= 3 \\ \hline
    7a+3b+c &= 1\ \cdots\ (5)
    \end{align}$

    Dengan mengeliminasi $d$ pada $(2)$ dan $(3)$ kita peroleh:
    $\begin{align}
    8a+4b+2c+d &= 3 \\ 27a+9b+3c+d &= 4 \\ \hline
    19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6)
    \end{align}$

    Dengan mengeliminasi $d$ pada $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
    $\begin{align}
    27a+9b+3c+d &= 4 \\ 64a+16b+4c+d &= 6 \\ \hline
    37a+7b+c &= 2\ \cdots\ (7)
    \end{align}$

    Dengan mengeliminasi $c$ pada $(5)$ dan $(6)$ kita peroleh:
    $\begin{align}
    19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6) \\ 7a+3b+c &= 1\ \cdots\ (5) \\ \hline
    12a+2b &= 0\ \cdots\ (8)
    \end{align}$

    Dengan mengeliminasi $c$ pada $(5)$ dan $(7)$ kita peroleh:
    $\begin{align}
    19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6) \\ 37a+7b+c &= 2\ \cdots\ (7) \\ \hline
    18a+2b &= 1\ \cdots\ (9)
    \end{align}$

    Dengan mengeliminasi $b$ pada $ (8)$ dan $(9)$ kita peroleh:
    $\begin{align}
    18a+2b &= 1\ \cdots\ (9) \\ 12a+2b &= 0\ \cdots\ (8) \\ \hline
    6a &= 1\ \rightarrow\ a=\dfrac{1}{6}
    \end{align}$

    Untuk $a=\dfrac{1}{6}$ dan $12a+2b= 0$, kita peroleh $b=-1$.

    Nilai $a=\dfrac{1}{6}$ dan $b=-1$ kita substitusi ke $7a+3b+c= 1$ kita peroleh $c=\dfrac{17}{6}$.

    Nilai $a=\dfrac{1}{6}$, $b=-1$, dan $C=\dfrac{17}{6}$ kita substitusi ke $a+b+c+d = 2$ kita peroleh $d=0$.

    Sehingga kita peroleh kita peroleh $p(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-x^{2}+\dfrac{17}{6}x$.

    $\begin{align}
    p(x) &= \dfrac{1}{6}x^{3}-x^{2}+\dfrac{17}{6}x \\ p(x+2) &= \dfrac{1}{6}(x+2)^{3}-(x+2)^{2}+\dfrac{17}{6}(x+2) \\ &= (x+2) \left( \dfrac{1}{6}(x+2)^{2}-(x+2) +\dfrac{17}{6} \right)
    \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x+2$

    42. Soal UM UGM 2015 Kode 632 |*Soal Lengkap

    Jika $9,x_{1},x_{2}$ merupakan tiga akar berbeda dari $x^{3}-6x^{2}-ax+b=0$ dengan $b-a=5$, maka $x_{1}+x_{2}+x_{1} \cdot x_{2}=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -7 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 3 \\ \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dari suku banyak $x^{3}-6x^{2}-ax+b=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh: $\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 6 \\ x_{1}+x_{2}+ 9 & = 6 \\ x_{1}+x_{2} & = -3 \end{align}$
    $\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -b \\ x_{1} \cdot x_{2} \cdot 9 & = -b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = -\dfrac{b}{9} \end{align}$
    $\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} & = \dfrac{c}{a} \\ -\dfrac{b}{9} + 9x_{1} + 9x_{2} & = -a \\ -\dfrac{b}{9} + 9 \left( -3 \right) & = -a \\ -\dfrac{b}{9} -27 & = -a \\ \hline
    b-a=5 & \\
    \hline
    -\dfrac{b}{9} -27 & = 5-b \\ -\dfrac{b}{9} +b & = 32 \\ \dfrac{8b}{9} & = 32 \\ \dfrac{ b}{9} & = 4 \end{align}$
    $\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{1} \cdot x_{2} & = -3 -\dfrac{b}{9} \\ & = -3 - 4 \\ & = -7 \end{align}$
    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$

    43.Soal UM UGM 2017 Kode 713 |*Soal Lengkap

    Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^{3}-12x^{2}+(p+4)x-(p+8)=0$ membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, maka $p-36=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -2 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 12 \\ \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dari suku banyak $x^{3}-12x^{2}+(p+4)x-(p+8)=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
    $\begin{align}
    x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 12
    \end{align}$

    Lalu dikatakan akar-akar persamaan suku banyak membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    x_{1} + x_{2} + x_{3} & = x_{1} + x_{1}+2 + x_{1}+4 \\ 12 & = 6+3x_{1} \\ 6 & = 3x_{1} \\ x_{1} & = 2 \rightarrow x_{2}=2,\ x_{3}=4
    \end{align}$

    $\begin{align}
    x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 & = p+8 \\ 48 & = p+8 \\ 40 & = p \\ \hline
    p-36 & = 40-36 = 4
    \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$

    44. Soal UM UGM 2017 Kode 814 |*Soal Lengkap

    Jika salah satu akar persamaan $x^{3}+2x^{2}+px-6=0$ adalah $2$, maka jumlah dua akar lainnya adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 6 \\ \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dari suku banyak $x^{3}+2x^{2}+px-6=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
    $\begin{align}
    x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -2
    \end{align}$

    Lalu dikatakan salah satu akar suku banyak adalah $2$, maka berlaku:
    $\begin{align}
    x_{1} + x_{2} + 2 & = -2 \\ x_{1} + x_{2} & = -4
    \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$

    45. Soal UM UGM 2018 Kode 276 |*Soal Lengkap

    Akar-akar persamaan $x^{3}-7x^{2}+px+q=0$ membentuk deret geometri dengan rasio $2$, nilai $p+q$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 14 \\ \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dari suku banyak $x^{3}-7x^{2}+px+q=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
    $\begin{align}
    x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 7
    \end{align}$

    Lalu dikatakan akar-akar persamaan suku banyak membentuk deret geometri dengan rasio $2$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    x_{1} + x_{2} + x_{3} & = x_{1} + 2x_{1} + 4x_{1} \\ 7 & = 7x_{1} \\ x_{1} & = 1 \rightarrow x_{2}=2,\ x_{3}=4
    \end{align}$

    $\begin{align}
    x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ 1 \cdot 2 \cdot 4 & = -q \\ 8 & = -q \\ q & = -8
    \end{align}$

    $\begin{align}
    x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ 2 + 4 + 8 & = \dfrac{c}{a} \\ 14 & = p \\ \hline
    p+q & = 14-8=6
    \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$

    46. Soal UM UGM 2018 Kode 276 |*Soal Lengkap

    Salah satu akar dari persamaan $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ adalah $0$, sedangkan dua akar lainnya saling berlawanan tanda. Jika $a+b+c=-4$ ..
    $\begin{align}
    (A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 32 \\ \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dikatakan salah satu akar suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ adalah $0$, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    x^{3}+ax^{2}+bx+c & = 0 \\ (0)^{3}+a(0)^{2}+b(0)+c & = 0 \\ c & = 0 \\ \hline
    a + b + c & = -4 \\ a + b & = -4
    \end{align}$

    Dari teorema akar-akar vieta dan dikatakan dua akar lainnya saling berlawanan tanda, sehingga berlaku:
    $\begin{align}
    x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1} + x_{2} + 0 & = -a \\ x_{1} + \left( -x_{1} \right) & = -a \\ 0 & = a \\ \hline
    a+b & = -4 \\ b & = -4
    \end{align}$

    $\begin{align}
    x^{3}+ax^{2}+bx+c & = 0 \\ x^{3}-4x & = 0 \\ x \left( x^{2}-4 \right) & = 0 \\ x \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) & = 0 \\ \hline
    x=0;\ x=-2,\ x=2
    \end{align}$
    Akar terbesar yang mungkin adalah $2$.

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

    47. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 |*Soal Lengkap

    Jika suku banyak $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$ maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x-1)(x+1)$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & \dfrac{-f(-1)}{2}(1+x) \\ (B)\ & \dfrac{-f(-1)}{2}(1-x) \\ (C)\ & \dfrac{f(-1)}{2}(1+x) \\ (D)\ & \dfrac{f(-1)}{2}(1-x) \\ (E)\ & \dfrac{f(-1)}{2}(x-1)
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+\text{sisa}$
    Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-1)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-1)(x+1)+mx+n$

    $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$, sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    f(1) & = 0 \\ f(1) & = H(1) \cdot (1-1)(1+1)+m(1)+n \\ 0 & = m+n
    \end{align} $

    $f(x)$ dibagi oleh $(x-1)(x+1)$, sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    f(x) & = H(x) \cdot (x-1)(x+1)+mx+n \\ f(-1) & = H(-1) \cdot (-1-1)(-1+1)+m(-1)+n \\ f(-1) & = -m+n \\ f(-1) & = n+n \\ f(-1) & = 2n \\ n & = \dfrac{1}{2}f(-1) \\ m & = -\dfrac{1}{2}f(-1)
    \end{align} $

    Untuk $n=\dfrac{1}{2}f(-1)$ dan $m=-\dfrac{1}{2}f(-1)$ maka sisa pembagian $mx+n$ adalah:
    $ \begin{align}
    mx+n & = -\dfrac{1}{2}f(-1) \cdot x+\dfrac{1}{2}f(-1) \\ & = \dfrac{1}{2}f(-1) \left(-x+1 \right) \\ & = \dfrac{1}{2}f(-1) \left(1-x \right)
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{f(-1)}{2}(1-x)$

    48. Soal SIMAK UI 2009 Kode 934 |*Soal Lengkap

    Sebuah fungsi $f(x)$ memiliki sisa $30$ jika dibagi $(x-1)$ dan bersisa $15$ jika dibagi $\left( 3x-2\right)$. Jika $f(x)$ dibagi $(x-1)(3x-2)$ maka sisanya adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & 45x-15 \\ (B)\ & 45x+5 \\ (C)\ & -40x-5 \\ (D)\ & 40x-15 \\ (E)\ & 45x+5 \\
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+\text{sisa}$
    Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-1)(3x-2)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n$

    $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $30$, sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    f(1) & = 30 \\ f(x) &= H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n \\ f(1) & = m(1)+n \\ 30 & = m+n
    \end{align} $

    $f(x)$ dibagi $(3x-2)$ sisa $15$, sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    f \left( \frac{2}{3} \right) & = 15 \\ f(x) &= H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n \\ f \left( \frac{2}{3} \right) & = m\left( \frac{2}{3} \right)+n \\ 15 & = \left( \frac{2}{3} \right)m+n \\ 45 & = 2m+3n
    \end{align} $

    $\begin{array}{c|c|cc}
    m+n = 30 & \times 2 \\ 2m+3n = 45 & \times 1 \\ \hline
    2m+2n = 60 & \\ 2m+3n = 45 & (-)\\ \hline
    n = -15 & \\ m = 45
    \end{array} $
    Sisa pembagian $mx+n$ dalah $45x-15$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 45x-15$

    49. Soal SIMAK UI 2009 Kode 944 |*Soal Lengkap

    Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^{4}-8x^{3}+2ax^{2}+(5b+3)x+4c-3=0$ diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmatika dengan beda $2$. Nilai $a+b+c=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -3 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \\
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dari suku banyak $x^{4}-8x^{3}+2ax^{2}+(5b+3)x+4c-3=0$ dan dengan menggunakan teorema akar vieta kita peroleh:
    $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-8}{1}=8$

    Dengan diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmatika dengan beda $2$,
    $ \begin{align}
    x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a} &= 8
    x_{1}+x_{1}+2+x_{1}+4+x_{1}+6= 8 \\ 4x_{1} + 12 & = 8 \\ x_{1} & = -1
    \end{align} $
    Untuk $x_{1}=-1$, maka $x_{2}=1$, $x_{3}=3$ dan $x_{4}=5$

    $ \begin{align}
    x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4} & = \dfrac{c}{a} \\ -1 -3 -5+3+5+15 & = \dfrac{2a}{1} \\ 14 & = 2a \\ a & = 7
    \end{align} $

    $ \begin{align}
    x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4} & = -\dfrac{d}{a} \\ -3-5-15+15 & = -\dfrac{5b+3}{1} \\ -8 & = -5b-3 \\ b & = 1
    \end{align} $

    $ \begin{align}
    x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} & = \dfrac{e}{a} \\ -15 & = \dfrac{4c-3}{1} \\ -15 & = 4c-3 \\ c & = -3
    \end{align} $

    Nilai $a+b+c+d$ adalah $7+1-3=5$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

    50. Soal SIMAK UI 2009 Kode 954 |*Soal Lengkap

    Jika suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x-2$ sisanya $27$, jika dibagi $x+1$ sisanya $3$, maka jika dibagi $x-1$ sisanya sama dengan...
    $\begin{align}
    (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \\
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x-2$ sisa $27$, maka $f(2)=27$, sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    (2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)-3 & = 27 \\ 8 +4a +2b -3 & = 27 \\ 4a +2b & = 22 \\ 2a + b & = 11
    \end{align} $

    Suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x+1$ sisa $3$, maka $f(-1)=3$, sehingga berlaku:
    $ \begin{align}
    (-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)-3 & = 3 \\ -1 + a - b -3 & = 3 \\ a - b & = 7
    \end{align} $

    $\begin{array}{c|c|cc}
    2a+b = 11 & \\ a-b = 7\ \ (+)& \\ \hline
    3a = 18 & \\ a = 6 & \\
    b = -1
    \end{array} $

    Untuk $a=6$ dan $b=-1 $ kita peroleh suku banyak menjadi $x^{3}+6x^{2}-x-3$, dan dibagi $x-1$ sisanya adalah:
    $ \begin{align}
    (1)^{3}+6(1)^{2}-(1)-3 & = 1+6-1-3 \\ & = 3
    \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$


    51. Soal SIMAK UI 2010 Kode 503 |*Soal Lengkap

    Jika sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x, x-1,$ dan $x + 2$ berturut-turut adalah $2, 3,$ dan $4$, maka sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x^{3} + x^{2} - 2x$ adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & -\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{2}{3}x-2 \\ (B)\ & \dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{2}{3}x+2 \\ (C)\ & \dfrac{1}{3}x^{2}+2x-\dfrac{2}{3} \\ (D)\ & \dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{1}{3}-2 \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    suku banyak $f(x)$ dibagi $x$ sisa $2$ maka $f(0)=2$,
    suku banyak $f(x)$ dibagi $x-1$ sisa $3$ maka $f(1)=3$,
    suku banyak $f(x)$ dibagi $x+2$ sisa $4$ maka $f(-2)=4$

    suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{3} + x^{2} - 2x$ maka:
    $ \begin{align}
    f(x) &=H(x) \cdot x^{3} + x^{2} - 2x+\text{sisa} \\ &=H(x) \cdot x \left(x^{2} + x - 2 \right)+ax^{2}+bx+c \\ &=H(x) \cdot x \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) + ax^{2}+bx+c \\ \hline
    f(0) &= c\ \rightarrow\ c=2 \\ f(1) &= a+b+c \\ 3 &= a+b+ 2 \\ 1 &= a+b \\ f(-2) &= 4a-2b+c \\ 4 &= 4a-2b+2 \\ 1 &= 2a- b
    \end{align} $

    $\begin{array}{c|c|cc}
    a+b = 1 & \\ 2a-b = 1\ \ (+)& \\ \hline
    3a = 2 & \\ a = \dfrac{2}{3} & \\
    b = \dfrac{1}{3} &
    \end{array} $

    Untuk $a=\dfrac{2}{3}$, $b=\dfrac{1}{3}$ dan $c=2$, maka sisa $ax^{2}+bx+c$ adalah $\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2$

    52. Soal SIMAK UI 2010 Kode 506 |*Soal Lengkap

    Jumlah semua solusi riil dari persamaan $x^{5}-4x^{4}-2x^{3}+39x^{2}-54x=0$
    adalah...
    $\begin{align}
    (A)\ & -4 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 4
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk mendapatkan akar-akar riil atau akar-akar rasional persamaan suku banyak, salah satu caranya adalah dengan mencoba nilai $x$ yang mungkin jadi salah satu akar persamaan suku banyak.

    Dari bentuk persamaan suku banyak di atas, salah satu akar yang sudah pasti adalah $x=0$ sehingga tidak perlu kita coba lagi, bentuk suku banyak menjadi:
    $x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) =0$

    berikutnya kita coba untuk $x=2$
    $ \begin{align}
    & x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+39x-54 \\ & = (2)^{4}-4(2)^{3}-2(2)^{2}+39(2)-54 \\ & = 16-32-8+78-54 \\
    &= 0
    \end{align} $
    artinya $x=2$ merupakan salah satu akar suku banyak atau $(x-2)$ merupakan salah satu faktor suku banyak.

    Berikutnya suku banyak $x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+39x-54$ kita bagi dengan $(x-2)$

    Jumlah semua solusi riil dari persamaan
    dari pembagian suku banyak di atas kita peroleh
    $ \begin{align}
    & x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) \\ & = x \left( x-2 \right) \left( x^{3}-2x^{2}-6x+27 \right)
    \end{align} $

    Lalu kita memfaktorkan $x^{3}-2x^{2}-6x+27$, dengan mencoba nilai $x$ yang mungkin yaitu $x=-3$
    $ \begin{align}
    & x^{3}-2x^{2}-6x+27 \\ & = (-3)^{3}-2(-3)^{2}-6(-3)+27 \\ & = -27-18+18+27 \\
    &= 0
    \end{align} $
    artinya $x=-3$ merupakan salah satu akar suku banyak atau $(x+3)$ merupakan salah satu faktor suku banyak.
    Berikutnya suku banyak $x^{3}-2x^{2}-6x+27$ kita bagi dengan $(x+3)$
    Jumlah semua solusi riil dari persamaan
    dari pembagian suku banyak di atas kita peroleh
    $ \begin{align}
    & x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) \\ & = x \left( x-2 \right) \left( x^{3}-2x^{2}-6x+27 \right) \\ & = x \left( x-2 \right) \left( x+3 \right) \left( x^{2}-5x+9 \right) \\ \end{align} $

    Untuk $x^{2}-5x+9$ nilai $D=b^{2}-4ac$ adalah $D \lt 0$ sehingga tidak memiliki akar-akar riil.

    Akar riil dari persamaan $x \left( x-2 \right) \left( x+3 \right) \left( x^{2}-5x+9 \right)$ adalah $0,2,-3$
    Jumlah semua solusi riil adalah $0+2-3=-1$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

    53. Soal SIMAK UI 2010 Kode 507 |*Soal Lengkap

    Diketahui $P(x)=ax^{5}+bx-1$ dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x-2010)$ bersisa $6$. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+2010)$ akan bersisa...
    $\begin{align}
    (A)\ & -8 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 8
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Pada soal disampaikan bahwa $P(x)$ dibagi $(x-2010)$ sisanya $6$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $P(2010)=6$.

    Yang ditanyakan adalah $P(x)$ dibagi $(x+2010)$ atau $p(-2010)$

    $\begin{align}
    P(x) &= ax^{5}+bx-1 \\ P(2010) &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right)-1 \\ 6 &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right)-1 \\ 7 &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right) \\ 7 &=2010 \left( a \left( 2010 \right)^{4}+b \right) \\ \dfrac{7}{2010} &= a \left( 2010 \right)^{4}+b \\ \hline
    p(-2006) &= a \left( -2010 \right)^{5}+b\left( -2010 \right)-1 \\ &= a \left( -2010 \right) \cdot \left( -2010 \right)^{4}+b\left( -2010 \right)-1 \\ &= \left( -2010 \right) \left( a \cdot \left(2010 \right)^{7}+b \right)-1 \\ &= \left( -2010 \right) \left( \dfrac{7}{2010} \right)-1 \\ &= -7 -1 =-8
    \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -8$

    54. Soal SIMAK UI 2010 Kode 508 |*Soal Lengkap

    Pada pembagian suku banyak $81x^{3} + 9x^{2} - 9x + 4$ dengan $(3x - p)$ diperoleh sisa $3p^{3} + 2$. Jumlah nilai-nilai $p$ yang memenuhi adalah....
    $\begin{align}
    (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Pada soal disampaikan bahwa $81x^{3} + 9x^{2} - 9x + 4$ dibagi $(3x - p)$ sisanya $3p^{3} + 2$, sehingga berdasarkan teorema sisa untuk $x=\dfrac{p}{3}$ berlaku:
    $\begin{align}
    81\left( \frac{p}{3} \right)^{3} + 9\left( \frac{p}{3} \right)^{2} - 9\left( \frac{p}{3} \right) + 4 &= 3p^{3} + 2 \\ 81 \cdot \dfrac{p^{3}}{3^{3}} + 9 \cdot \dfrac{p^{2}}{3^{2}} - 9 \cdot \dfrac{p }{3} + 4 &= 3p^{3} + 2 \\ 3p^{3} + p^{2} - 3p + 4 &= 3p^{3} + 2 \\ p^{2} - 3p + 2 &= 0 \\ \hline
    p_{1} + p_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{-3}{1} =3
    \end{align}$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$

    55. Soal SIMAK UI 2011 Kode 511 |*Soal Lengkap

    Misalkan $f(x)$ adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmatika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya sama dengan $12$. Maka sisa dari pembagian $f(x + 6)$ oleh $x^{2} + 1$ adalah ....
    $\begin{align}
    (A)\ & 7x-6 \\ (B)\ & x+6 \\ (C)\ & 6x-7 \\ (D)\ & x-6 \\ (E)\ & x+1
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Pada soal disampaikan bahwa akar-akar suku banyak $f(x)$ membentuk barisan aritmatika, kita misalkan dengan; $a, a+b, a+2b$.

    Nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama,
    $\begin{align}
    a+2b &= 3a \\ 2b &= 2a \\ b &= a \\ \end{align}$

    Jumlah akar-akarnya sama dengan $12$
    $\begin{align}
    a + a+b + a+2b &= 12 \\ a + a+a + a+2a &= 12 \\ 6a &= 12 \\ a &= 2 \\ \end{align}$
    Akar-akar suku banyak $f(x)$ adalah $2,4,6$, sehingga:
    $\begin{align}
    f(x) &= (x-2)(x-4)(x-6) \\ f(x+6) &= (x+6-2)(x+6-4)(x+6-6) \\ &= (x+4)(x+2)(x) \\ &= \left( x^{2}+6x+8 \right) (x) \\ &= x^{3}+6x^{2}+8x
    \end{align}$
    Suku banyak $f(x+6) = x^{3}+6x^{2}+8x $ dibagi $x^{2}+1$, kita coba dengan manipulsi faktor $x^{2}=-1$.
    $\begin{align}
    f(x+6) &= x^{3}+6x^{2}+8x \\ &= x^{2} \cdot x+6x^{2}+8x \\ &= (-1) \cdot x+6(-1)+8x \\ &= -x-6+8x \\
    &= 7x-6
    \end{align}$
    Sisa pembagian $f(x+6) = x^{3}+6x^{2}+8x $ dengan $x^{2}+1$ adalah $7x-6$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7x-6$

    56. Soal UM UNDIP 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap

    Diberikan persamaan $\dfrac{2x^{2}+x+3}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)}=\dfrac{a}{ x-1}+\dfrac{b}{ x+1}+\dfrac{c}{ x+2}$ dengan $a,b,$ dan $c$ konstanta-konstanta. Nilai $a+b+c=\cdots$
    $\begin{align}
    (A)\ & -4 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 6
    \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Bentuk suku banyak di atas jika kita ubah bentuknya menjadi dua suku banyak yang sama, maka akan kita peroleh:
    $\begin{align}
    & \dfrac{2x^{2}+x+3}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\ &=\dfrac{a}{ x-1}+\dfrac{b}{ x+1}+\dfrac{c}{ x+2} \\ &=\dfrac{(a+b)x+(a-b)}{x^{2}-1}+ \dfrac{c}{ x+2} \\ &=\dfrac{\left[ (a+b)x+(a-b) \right] \left( x+2 \right)+c \left( x^{2}-1 \right)}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\ &=\dfrac{(a+b)x^{2}+2(a+b)x+(a-b)x+2(a-b)+cx^{2}-c}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\ &=\dfrac{(a+b+c)x^{2}+(3a+b)x+2a-2b-c}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)}
    \end{align}$
    Dari kesamaan dua suku banyak di atas kita peroleh nilai $a+b+c=2$

    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

    57. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

    Jika $\left( x-2 \right)^{2}$ membagi $x^{4}- ax^{3}+bx^{2}x^{2}+4x-4$, maka $ab=\cdots$

    $\begin{align}
    (A)\ & 9 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 16 \\ (D)\ & 20 \\ (E)\ & 25 \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Pemfaktoran Langsung dari suku banyak.

    $ \begin{align} & x^{4}- ax^{3}+bx^{2} +4x-4 \\ & = \left( x-2 \right)^{2}\left( x^{2}+px+q \right) \\ & = \left( x^{2}-4x+4 \right) \left( x^{2}+px+q \right) \\ & = x^{4}+px^{3}+qx^{2}-4x^{3}-4x^{2}-4qx+4x^{2} +4px+4q \\ & = x^{4}+ \left( p-4 \right)x^{3}+\left( 4p+q+4 \right)x^{2}+\left( 4p-4q \right)x +4q \end{align} $

    Dari kesamaan suku banyak di atas kita peroleh:

    • $4q=-4$ maka $q=-1$
    • $4p-4q=4$ atau $4p+4=4$ maka $p=0$
    • $4p+q+4=b$ maka $b=4(0)+(-1)+4=3$
    • $p-4=-a$ maka $a=4-0=4$
    • Nilai $ab=(4)(3)=12$

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$

    58. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

    Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa...

    $\begin{align}
    (A)\ & x+1 \\ (B)\ & x+2 \\ (C)\ & x+3 \\ (D)\ & 2x+1 \\ (E)\ & 2x+4 \end{align}$
    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Metode Horner Kino.

    Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa

    Dari apa yang kita peroleh di atas, sisa yang kita peroleh $\left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right)$, sehingga dapat kita tuliskan: $ \begin{align} \left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right) & \equiv 7x+14 \\ \hline -2A+11=7 & \\ -2A = -4 & \\ A = 2 & \\ -2A+B+8=14 & \\ -4+B+8 = 14 & \\ B = 10 & \end{align} $

    Sekarang suku banyaknya adalah $x^{4}+3x^{3}+2x^{2} +5x+10$ dibagi $x^{2}+4x+4$ adalah:

    Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2$

    59. Soal SPMB 2005 Kode 480 |*Soal Lengkap

    Salah satu akar persamaan $x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6=0$ adalah $2$. Jumlah akar-akar yang lain persamaan itu adalah...

    $\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dari teorema akar vieta untuk $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$ berlaku $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$.

    Sehingga untuk $x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6=0$ salah satu akarnya $2$, dapat kita peroleh:
    $\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &=-\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &=-\dfrac{-5}{1} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 &=5 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} &=3 \end{align}$


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

    60. Soal SPMB 2005 Kode 780 |*Soal Lengkap

    Jika $P(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+a$ dibagi dengan $\left( x+3 \right)$ bersisa $2$, maka $P(x)$ dibagi $\left( x+1 \right)$ akan bersisa...

    $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Teorema sisa, "jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.


    $P(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+a$ dibagi dengan $\left( x+3 \right)$ bersisa $2$, dapat kita peroleh:
    $\begin{align} P(x) &= x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+a \\ P(-3) &= (-3)^{4}+5(-3)^{3}+9(-3)^{2}+13(-3)+a \\ 2 &= 81-135+81-39+a \\ 2 &=-12+a \longrightarrow a=14 \end{align}$


    $P(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+14$ dibagi dengan $\left( x+1 \right)$ dapat kita peroleh:
    $\begin{align} P(x) &= x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+14 \\ P(-1) &= (-1)^{4}+5(-1)^{3}+9(-1)^{2}+13(-1)+14 \\ &= 1- 5+9-13+14 \\ &=6 \end{align}$


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$


    61. Soal SPMB 2005 Kode 280 |*Soal Lengkap

    Diketahui $f(x)=x^{3}-5x+20$, $g(x)=2x^{3}+5x^{2}+11$ dan $h(x)=x+3$. Jika $a$ dan $b$ masing-masing merupakan sisa hasil pembagian $f(x)$ dan $g(x)$ oleh $h(x)$, maka $a+b=\cdots$

    $\begin{align} (A)\ & -20 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 34 \\ (D)\ & 118 \\ (E)\ & 142 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Teorema sisa, "jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.


    $f(x)=x^{3}-5x+20$ dibagi dengan $h(x)=x+3$, dapat kita peroleh:
    $\begin{align} f(-3) &= (-3)^{3}-5(-3)+20 \\ a &= -27+15+20 = 8 \end{align}$


    $g(x)=2x^{3}+5x^{2}+11$ dibagi dengan $h(x)=x+3$, dapat kita peroleh:
    $\begin{align} g(-3) &= 2(-3)^{3}+5(-3)^{2}+11 \\ b &= -54+45+11 = 2 \\ \hline a+b &= 10 \end{align}$


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

    62. Soal SPMB 2005 Kode 181 |*Soal Lengkap

    $f(x)=\frac{1}{2}x^{4}-2ax^{2}+2a^{2}$ habis dibagi dengan $\left( x-4 \right)$ untuk $a=\cdots$

    $\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Teorema faktor, "jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ habis dibagi oleh $(x-a)$, maka $F(a)=0$.


    $f(x)=\frac{1}{2}x^{4}-2ax^{2}+2a^{2}$ habis dibagi oleh $\left( x-4 \right)$, dapat kita peroleh:
    $\begin{align} f(4) &= \frac{1}{2}(4)^{4}-2a(4)^{2}+2a^{2} \\ 0 &= 128-32a+2a^{2} \\ 0 &= a^{2}-16a+64 \\ 0 &= \left( a-8 \right) \left( a-8 \right) \\ & a=8 \end{align}$


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

    63. Soal SPMB 2005 Kode 380 |*Soal Lengkap

    Diketahui $f(x)= x^{3}+ax^{2}+bx+2$, $f(1)= f(2)=0$ dan $g(x)= x^{2}- \left(a +b \right)x+ab$ $g(-1)=\cdots$

    $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -6 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk $f(1)= f(2)=0$ dan $f(x)= x^{3}+ax^{2}+bx+2$, dapat kita peroleh:
    $\begin{align} f(x) &= x^{3}+ax^{2}+bx+2 \\ f(1) &= (1)^{3}+a(1)^{2}+b(1)+2 \\ 0 &= 1+a +b +2 \\ -3 &= a+b \\ \hline f(x) &= x^{3}+ax^{2}+bx+2 \\ f(1) &= (2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)+2 \\ 0 &= 8+4a +2b +2 \\ -10 &= 4a+2b \\ -5 &= 2a+ b \\ -5 &= a+ a+ b \\ -5 &= a+ -3 \\ a &= -2 \longrightarrow b=-1 \end{align}$


    Untuk $a=-2$ dan $b=-1$, dapat kita peroleh:
    $\begin{align} g(x) &= x^{2}- \left(a +b \right)x+ab \\ g(x) &= x^{2}+3x+2 \\ g(-1) &= (-1)^{2}+3(-1)+2 \\ &= 1-3+2 =0 \end{align}$


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

    64. Soal UM UGM 2005 Kode 812 |*Soal Lengkap

    Suku banyak $f(x)=x^{3}+ax^{2}-bx-5$ dibagi dengan $(x-2)$ memberikan hasil bagi $x^{2}+4x+11$ dan sisa $17$. Nilai $a+b=\cdots$

    $\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Disampaikan bahwa $f(x)=x^{3}+ax^{2}-bx-5$ dibagi $(x-2)$ memberikan hasil bagi $x^{2}+4x+11$ dan sisa $17$, sehingga dapat kita peroleh:
    $\begin{align}
    f(x) & \equiv H(x) \cdot P \left( x \right) + Sisa \\ x^{3}+ax^{2}-bx-5 & \equiv \left( x^{2}+4x+11 \right) \cdot \left( x-2 \right) + 17 \\ x^{3}+ax^{2}-bx-5 & \equiv x^{3}-2x^{2}+4x^{2}-8x+11x-22 + 17 \\ x^{3}+ax^{2}-bx-5 & \equiv x^{3}+2x^{2} +3x- 5 \\ a+b & = 2-3 =-1 \end{align} $


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

    65. Soal SPMB 2006 Kode 521 |*Soal Lengkap

    Jika salah satu akar suku banyak $f(x)=0$ adalah $a$, maka salah satu akar $\left( x^{2}+3x+6 \right)f \left( x+2 \right)=0$ adalah...

    $\begin{align} (A)\ & a+2 \\ (B)\ & a+3 \\ (C)\ & a-3 \\ (D)\ & 2a \\ (E)\ & a-2 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dikatakan salah satu akar suku banyak $f(x)=0$ adalah $a$, sehingga untuk $x=a$ berlaku $f(a)=0$.


    $\begin{align} \left( x^{2}+3x+6 \right)f \left( x+2 \right) & = 0 \\ \left( x^{2}+3x+6 \right)=0\ \text{atau}\ & f \left( x+2 \right) = 0 \end{align}$


    Dari $f(a)=0$ dan $f \left( x+2 \right) = 0$ dapat kita peroleh $a=x+2$ atau $x=a-2$.


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ a-2$

    66. Soal SPMB 2006 Kode 720 |*Soal Lengkap

    Jika $b \gt 0$, $\dfrac{x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a}{x-a}=x^{2}+bx+3$, dan $a$ merupakan sisa pembagian $\dfrac{x^{2}-x-3}{x+b}$, maka $a-b=\cdots$

    $\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -5 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    $\begin{align} \dfrac{x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a}{x-a} &=x^{2}+bx+3 \\ x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a &= \left( x^{2}+bx+3 \right)\left( x-a \right)+0 \end{align}$


    Dari bentuk persamaan di atas dapat kita simpulkan bahwa $x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a$ dibagi $\left( x-a \right)$ sisa $0$, sehingga untuk $x=a$ berlaku:
    $\begin{align} (a)^{3}+(b-a)(a)^{2}-a(a)-3a &= 0 \\ a^{3}+a^{2}b-a^{3}-a^{2} -3a &= 0 \\ a^{2}b -a^{2} -3a &= 0 \\ a b -a -3 &= 0 \\ a b &= a+3 \\ \end{align}$


    Diketahui bahwa $a$ merupakan sisa pembagian $\dfrac{x^{2}-x-3}{x+b}$, sehingga dapat kita peroleh:
    $\begin{align} x^{2}-x-3 &= H\left( x \right)\left( x+b \right)+a \\ (-b)^{2}-(-b)-3 &= H\left( -b \right)\left( -b+b \right)+a \\ b^{2}+b -3 &= a \\ b^{2}+b &= a+3 \\ b^{2}+b &= a b \\ b + 1 &= a \\ 1 &= a-b \end{align}$


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

    67. Soal UM UGM 2006 Kode 372 |*Soal Lengkap

    Diketahui $f(x)$ suku banyak berderajat $3$ dengan koefisien $x^{3}$ sama dengan $1$, yang habis dibagi $\left( x-3 \right)$ dan $\left( x+1 \right)$. Jika $f(4)=30$, maka $f(2)=\cdots$

    $\begin{align} (A)\ & -8 \\ (B)\ & -7 \\ (C)\ & -12 \\ (D)\ & 0 \\ (E)\ & 7 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Diketahui bahwa $f(x)$ berderajat $3$, habis dibagi $\left( x-3 \right)$ dan $\left( x+1 \right)$ maka dapat kita peroleh:
    $\begin{align}
    f(x) & = \left( x+a \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) \\ \hline f(4) & = \left( 4+a \right) \left( 4-3 \right) \left( 4+1 \right) \\ 30 & = \left( 4+a \right) \left( 1 \right) \left( 5 \right) \\ 6 & = 4+a \longrightarrow a=2 \\ \hline f(x) & = \left( x+a \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) \\ f(x) & = \left( x+2 \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) \\ f(2) & = \left( 2+2 \right) \left( 2-3 \right) \left( 2+1 \right) \\ & = \left( 4 \right) \left( -1 \right) \left( 3 \right) \\ & = -12 \end{align} $


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -12$

    68. Soal SPMB 2007 Kode 350 |*Soal Lengkap

    Suku banyak $f(x)$ berderajat $5$, $f(x)$ habis dibagi $x^{2}-1$. Maka sisa pembagian $ f \left( x \right)$ oleh $\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$ adalah...

    $\begin{align} (A)\ & \frac{1}{3}f(2)\left( x+1 \right) \\ (B)\ & \frac{1}{3}f(2)\left( x-1 \right) \\ (C)\ & f(2) \\ (D)\ & \frac{1}{3}f(2)\left( x^{2}-1 \right) \\ (E)\ & \frac{1}{3}f(-2)\left( x^{2}-1 \right) \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Dengan menggunakan teorema soal nomor $2$ Soal UM UNDIP 2015 di atas diketahui, jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$.


    Sisa pembagian $ f \left( x \right)$ oleh $\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)$ adalah:
    $\dfrac{\left(x-b \right)\left(x -c \right)}{\left(a-b \right)\left( a-c \right)}f\left ( a \right ) + \dfrac{\left(x-a \right)\left(x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}f\left ( b \right )+\dfrac{\left(x-a \right)\left(x-b \right)}{\left(c-a \right)\left( c-b \right)}f\left ( c \right )$


    $f(x)$ habis dibagi $x^{2}-1$ maka $f(1)=0$ dan $f(-1)=0$. Sisa pembagian $f \left( x \right)$ oleh $\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$ adalah:
    $\begin{align} \text{sisa} & = \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)}{\left(2-1 \right)\left(2+1 \right)}f\left ( 2 \right )+ \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x-2 \right)}{\left(-1-1 \right)\left(-1-2 \right)}f\left ( -1 \right )+\dfrac{\left(x-2 \right)\left(x+1 \right)}{\left(1-2 \right)\left(1+1 \right)}f\left ( 1 \right ) \\ & = \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)}{\left( 1 \right)\left( 3 \right)}f\left ( 2 \right )+ \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x-2 \right)}{\left( -2 \right)\left( -3 \right)} \cdot \left( 0 \right) +\dfrac{\left(x-2 \right)\left(x+1 \right)}{\left( -1 \right)\left( 2 \right)} \cdot \left ( 0 \right ) \\ & = \dfrac{x^{2}-1}{3}f\left ( 2 \right )+0+0 \\ & = \dfrac{1}{3} \left( x^{2}-1 \right) f\left ( 2 \right ) \end{align}$


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{3}f(2)\left( x^{2}-1 \right)$


    Secara umum soal di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan teorema sisa, yaitu:
    $\begin{align} f \left(x \right) & = \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\left(x-2 \right) \cdot H(x)+sisa \\ f \left(x \right) & = \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\left(x-2 \right) \cdot H(x)+ax^{2}+bx+c \\ f \left( 1 \right) & = \left(1-1 \right)\left(1+1 \right)\left(1-2 \right) \cdot H(1)+a(1)^{2}+b(1)+c \\ 0 & = a+b+c \\ \hline f \left( -1 \right) & = \left(-1-1 \right)\left(-1+1 \right)\left(-1-2 \right) \cdot H(-1)+a(-1)^{2}+b(-1)+c \\ 0 & = a-b+c \end{align}$


    Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
    $\begin{align} a+b+c & = 0 \\ a-b+c & = 0\ \, (-) \\ \hline 2b & = 0 \longrightarrow b =0 \\ a+b+c & = 0 \\ a+0+c & = 0 \\ a+c & = 0 \longrightarrow a = -c \\ \end{align}$


    Untuk $b=0$ dan $a=-c$ dapat kita peroleh:
    $\begin{align} f \left(x \right) & = \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\left(x-2 \right) \cdot H(x)+ax^{2}+bx+c \\ f \left( 2 \right) & = \left(2-1 \right)\left(2+1 \right)\left(2-2 \right) \cdot H(2)+(-c)(2)^{2}+(0)(2)+c \\ f \left( 2 \right) & = -4c+ c \\ f \left( 2 \right) & = -3c \longrightarrow c=-\dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \end{align}$


    $\begin{align} \text{sisa} & = ax^{2}+bx+c \\ & = \left( -c \right)x^{2}+(0)(c)-\dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \\ & = \left( \dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \right)x^{2}-\dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \\ & = \dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \left( x^{2}- 1 \right) \\ \end{align}$


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{3}f(2)\left( x^{2}-1 \right)$

    69. Soal SPMB 2007 Kode 750 |*Soal Lengkap

    Jika akar-akar persamaan $x^{3}+px^{2}+11x+p=0$ adalah $1$, $\alpha$, dan $\beta$, maka nilai $\alpha^{2} +\beta^{2}$ adalah

    $\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 13 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 20 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Salah satu akar suku banyak $x^{3}+px^{2}+11x+p=0$ adalah $1$ sehingga berlaku:
    $\begin{align} (1)^{3}+p(1)^{2}+11(1)+p & = 0 \\ 1 + p+11+p & = 0 \\ 2p & = -12 \\ p & = -6 \end{align}$


    Untuk $p=-6$ maka $x^{3}-6x^{2}+11x-6=0$. Dengan teorema vieta dapat kita peroleh:
    $\begin{align}
    x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\ 1 + \alpha + \beta & = -\dfrac{-6}{1} \\ \alpha + \beta & = 5 \\ \left( \alpha + \beta \right)^{2} & = 5^{2} \\ \alpha^{2} + \beta^{2} + 2 \alpha\ \beta & = 25 \\ \hline x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3} & = \dfrac{c}{a} \\ 1 \cdot \alpha + 1 \cdot \beta + \alpha \cdot \beta & = \dfrac{11}{1} \\ \alpha + \beta + \alpha \cdot \beta & = 11 \\ 5 + \alpha \cdot \beta & = 11 \\ \alpha \cdot \beta & = 6 \\ \hline \alpha^{2} + \beta^{2} + 2 \alpha\ \beta & = 25 \\ \alpha^{2} + \beta^{2} + 2 \cdot 6 & = 25 \\ \alpha^{2} + \beta^{2} & = 25-12=13 \end{align}$


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 13$

    70. Soal SPMB 2007 Kode 151 |*Soal Lengkap

    Apabila $f(x)= ax^{3}+bx +(a+b)$ dibagi $x^{2}-3x+2$ bersisa $x+1$, maka nilai $a-b=\cdots$

    $\begin{align}
    (A)\ & \frac{3}{2} \\ (B)\ & \frac{5}{4} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & \frac{1}{4} \\ (E)\ & -1 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
    $ \begin{align} F(x) &= P\left( x \right) H\left( x \right) + S\left( x \right) \\ ax^{3}+bx +(a+b) &= H\left( x \right) \left( x^{2}-3x+2 \right) + x+1 \\ ax^{3}+bx +(a+b) &= H\left( x \right) \left( x-1 \right)\left( x-2 \right) + x+1 \\ \hline a(1)^{3}+b(1) +(a+b) &= H\left( 1 \right) \left( 1-1 \right)\left( 1-2 \right) + 1+1 \\ a +b + a+b &= 2 \\ a +b &= 1 \\ \hline a(2)^{3}+b(2) +(a+b) &= H\left( 2 \right) \left( 2-1 \right)\left( 2-2 \right) + 2+1 \\ 8a + 2b + a+b &= 3 \\ 9a + 3b &= 3 \\ 3a + b &= 1 \end{align} $


    Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
    $\begin{align}
    a+b &= 1 \\ 3a+b &= 1\ \, (-) \\ \hline -2a &= 0 \\ a &=0 \longrightarrow b=1 \\ a-b &= -1 \end{align} $


    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -1$


    71. Soal SPMB 2007 Kode 650 |*Soal Lengkap

    Banyaknya akar-akar real yang berbeda persamaan $x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1=0$ adalah...

    $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Untuk mendapatkan akar-akar polinomial, pertama dengan menguji nilai $x$ salah satu akar polinomial yang mungkin, yang diuji adalah faktor $\pm 1$ yaitu $\pm 1$.


    Kita uji untuk $x=1$ kita peroleh:
    $\begin{align} F\left( x \right) & = x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1 \\ F\left( 1 \right) & = (1)^{5}-2(1)^{4}+ (1)^{3}-(1)^{2}+2(1)-1 \\ & = 1-2 + 1-1+2 -1 = 0 \\ \end{align}$
    Salah satu akar suku banyak adalah $x=1$ sehingga salah satu faktornya $\left( x-1 \right)$. Jika kita bagikan $x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1$ dengan $\left( x - 1 \right)$ kita peroleh:

    Banyaknya akar-akar real yang berbeda persamaan $x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1=0$ adalah

    Dari hasil di atas, kita peroleh:
    $\begin{align} x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1 & = 0 \\ \left( x -1 \right) \left( x^{4} -x^{3}-x +1 \right) & = 0 \end{align}$

    Dengan cara yang sama kita coba faktorkan $\left( x^{4} -x^{3}-x +1 \right)$ seperti berikut ini:

    Banyaknya akar-akar real yang berbeda persamaan $x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1=0$ adalah

    Dari hasil di atas, kita peroleh:
    $\begin{align} x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1 & = 0 \\ \left( x -1 \right) \left( x^{4} -x^{3}-x +1 \right) & = 0 \\ \left( x -1 \right) \left( x -1 \right) \left( x^{3} - 1 \right) & = 0 \\ \left( x -1 \right) \left( x -1 \right) \left( x -1 \right) \left( x^{2} +x+1 \right) & = 0 \end{align}$
    $x^{2} +x+1$ nilai $D \lt 0$ sehingga akar-akarnya tidak real.
    Banyaknya akar-akar real persamaan suku banyak yang berbeda adalah $1$.


    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

    72. Soal UM UGM 2007 Kode 731 |*Soal Lengkap

    Suku banyak berderajat tiga $P(x)=x^{3}+2x^{2}+mx+n$ dibagi dengan $x^{2}-4x+3$ mempunyai sisa $3x+2$, maka nilai $n=\cdots$

    $\begin{align} (A)\ & -20 \\ (B)\ & -16 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 20 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Disampaikan bahwa $P(x)=x^{3}+2x^{2}+mx+n$ dibagi $(x^{2}-4x+3)$ memberikan sisa $3x+2$, sehingga dapat kita peroleh:
    $ \begin{align} P(x) &= H\left( x \right) (x^{2}-4x+3) + S\left( x \right) \\ x^{3}+2x^{2}+mx+n &= H\left( x \right) \left( x-3 \right)\left( x-1 \right) + 3x+2 \\ \hline x=3 \rightarrow (3)^{3}+2(3)^{2}+m(3)+n &= H\left( 3 \right) \left( 3-3 \right)\left( 3-1 \right) + 3(3)+2 \\ 27+18+3m +n &= 20 \\ 3m+n &= -34\\ \hline x=1 \rightarrow (1)^{3}+2(1)^{2}+m(1)+n &= H\left( 1 \right) \left( 1-3 \right)\left( 1-1 \right) + 3(1)+2 \\ 1+2+ m +n &= 5 \\ m+n &= 2 \end{align} $


    Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
    $\begin{align}
    3m+n &= -34 \\ m+n &= 2\ \, \, \, (-) \\ \hline 2m &= -36 \\ m &= -18 \longrightarrow n=20 \end{align} $


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 20$

    73. Soal SNMPTN 2008 Kode 102 |*Soal Lengkap

    Diketahui suku banyak $p(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ dengan $a$, $b$, dan $c$ konstan. Jika terdapat tepat satu nilai $y$ yang memenuhi $P(y)=y$, maka $9c=\cdots$

    $\begin{align} (A)\ & ab \\ (B)\ & a+b \\ (C)\ & ab-a \\ (D)\ & a-b \\ (E)\ & ab+2 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Diketahui $P(y)=y$ sehingga dapat kita peroleh:
    $ \begin{align}
    P(x) & = x^{3}+ax^{2}+bx+c \\ P(y) & = y^{3}+ay^{2}+by+c \\ y & = y^{3}+ay^{2}+by+c \\ 0 & = y^{3}+ay^{2}+by-y+c \\ 0 & = y^{3}+ay^{2}+ \left(b -1 \right)y+c \end{align} $


    Terdapat tepat satu nilai $y$ yang memenuhi $P(y)=y$ sehingga akar-akar dari persamaan $y^{3}+ay^{2}+ \left(b -1 \right)y+c=0$ hanya ada satu atau $y_{1}=y_{2}=y_{3}$. Sehingga dengan menggunakan teorema vieta dapat kita peroleh:

    • $y_{1}+y_{2}+y_{3}=-\dfrac{a}{1}$
      $ \begin{align} y_{1}+y_{1}+y_{1} & = -a \\ 3y_{1} & =-a \\ y_{1} & = -\dfrac{1}{3}a \end{align} $
    • $y_{1} \cdot y_{2} + y_{1} \cdot y_{3}+ y_{2}\cdot y_{3} = \dfrac{b-1}{1}$
      $ \begin{align} y_{1} \cdot y_{1} + y_{1} \cdot y_{1}+ y_{1}\cdot y_{1} & = b-1 \\ 3y^{2}_{1} & = b-1 \\ y^{2}_{1} & = \dfrac{b-1}{3} \\ \end{align} $
    • $y_{1} \cdot y_{2} \cdot y_{3} = -\dfrac{c}{1}$
      $ \begin{align} y_{1} \cdot y_{1} \cdot y_{1} & = -c \\ y_{1} \cdot y^{2}_{1} & = -c \\ -\dfrac{1}{3}a \cdot \dfrac{b-1}{3} & = -c \\ \dfrac{ab-a}{9} & = c \\ ab-a & = 9c \\ \end{align} $

    $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ab-a$

    74. Soal UM UGM 2008 Kode 472 |*Soal Lengkap

    Jika $a$ dan $b$ adalah sisa hasil pembagian $f(x)=x^{3}-4x+1$ dan $g(x)=2x^{3}+5x^{2}-8$ oleh $x+2$, maka sisa hasil pembagian $f(x)-g(x)$ oleh $\left( x-a-b \right)$ adalah...

    $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$

    Alternatif Pembahasan:
    Show

    Diketahui $a$ adalah sisa hasil pembagian $f(x)$ oleh $x+2$, sehingga dapat kita peroleh:
    $ \begin{align} f(x) &= x^{3}-4x+1 \\ f(-2) &= (-2)^{3}-4(-2)+1 \\ a &= -8+8+1 \rightarrow a=1 \end{align} $


    Diketahui $a$ adalah sisa hasil pembagian $g(x)$ oleh $x+2$, sehingga dapat kita peroleh:
    $ \begin{align} g(x) &= 2x^{3}+5x^{2}-8 \\ g(-2) &= 2(-2)^{3}+5(-2)^{2}-8 \\ b &= -16+20-8 \rightarrow b=-4 \end{align} $


    Sisa hasil pembagian $f(x)-g(x)$ oleh $\left( x-a-b \right)$ atau $\left( x+3 \right)$ dapat kita peroleh:
    $\begin{align}
    f(x)-g(x) &= \left( x^{3}-4x+1 \right) - \left( 2x^{3}+5x^{2}-8 \right) \\ f(x)-g(x)&=-x^{3}-5x^{2}-4x+ 9 \\ f(-3)-g(-3) &=-(-3)^{3}-5(-3)^{2}-4(-3)+ 9 \\ &=27-45+12+9 \\ &= 3 \end{align} $


    $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$

    Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
    Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Suku Banyak atau Polinomial (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
    • lembar jawaban penilaian harian matematika,
    • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
    • presentasi hasil diskusi matematika atau
    • pembahasan quiz matematika di kelas.

    Untuk sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA suku banyak (Polinomial) silahkan disampaikan CMIIW😊.

    Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

    Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "70+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Suku Banyak (Polinomial)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
    Buka Komentar
    Tutup Komentar