Matematika Dasar Suku Banyak Atau Polinomial (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Suku Banyak atau Polinomial. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang persamaan kuadrat, karena sedikit banyaknya nanti Suku Banyak Atau Polinomial ini akan banyak menyinggung kepada persamaan kuadrat. Sehingga materi persamaan kuadrat sebelumnya sangat dibutuhkan untuk memantapkan soal-soal dan pembahasan tentang Suku Banyak Atau Polinomial ini.

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Catatan sederhana tentang beberapa aturan dasar Suku Banyak Atau Polinomial;

Hasil pekerjaan siswa sepertinya masih jauh dari apa yang diharapkan. Seperti apa soal dan pembahasan tentang suku banyak yang diujikan sewaktu mid semester kemarin mari kita lihat, mungkin ada hal-hal yang perlu kita diskusikan;

1. SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)

Sisa pembagian $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ oleh $x^{2}-1$ adalah $–x+B$. Nilai $2A+B$ adalah...
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba mengingatkan kembali tentang teorema sisa, yaitu:
Untuk
$F(x)=H(x)\cdot P(x)+Sisa$
$F(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$F(a)=am+n$
$F(b)=bm+n$

Pada soal disampaikan bahwa $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi oleh $x^{2}-1$ sisanya $-x+B$.
$x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1=\left (x^{2}-1 \right )\cdot H(x)+sisa$
$x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1=\left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B$
$x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1=\left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B$

Untuk $x=1$
$1-A+B-1=-1+B$
$-A=-1$
$A=1$

Untuk $x=-1$
$-1+A-B-1=1+B$
$A-B=1+B$
$1-B=1+B$
$B=0$

$\therefore 2A+B=2$ $\B$


2. UM UNDIP 2015 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah...
A. $\frac{x+a}{a-b}f\left ( a \right )+\frac{x+b}{b-a}f\left ( b \right )$
B. $\frac{x-a}{a-b}f\left ( b \right )+\frac{x-b}{b-a}f\left ( a \right )$
C. $\frac{x+a}{a-b}f\left ( b \right )+\frac{x+b}{b-a}f\left ( a \right )$
D. $\frac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\frac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$
E. $\frac{x-b}{a-b}f\left ( b \right )+\frac{x-a}{b-a}f\left ( a \right )$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba menggunakan teoerma sisa, yaitu:
Untuk
$f(x)=h(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$f(a)=am+n$
$f(b)=bm+n$

Kita terapkan ke soal dengan mengeliminasi $n$ atau mengeliminasi $m$;
#mengeliminasi $n$
$f(a)-f(b)=am-bm$
$f(a)-f(b)=( a-b)m$
$m=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

#mengeliminasi $m$
$b \cdot f(a)-a \cdot f(b)=bn-an$
$b \cdot f(a)-a \cdot f(b)=( b-a)n$
$n=\frac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a}$

$\therefore $ Sisa Pembagian adalah $mx+n$
$mx+n=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\frac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a}$
$mx+n=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\frac{a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b}$
$mx+n=\frac{x \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b}$
$mx+n=\frac{x \cdot f(a)-b \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)}{a-b}$
$mx+n=\frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{a-x}{a-b}f(b)$
$mx+n=\frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)$ $\D$


3. SBMPTN 2014 (*Soal Lengkap)

Diketahui $P(x)$ suatu polynomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $x-1$,
maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...
A. $x+2$
B. $2x$
C. $x$
D. $1$
E. $2$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$P(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Untuk $x=0$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
maka $P(0)=n$

Untuk $x=2$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
$P(2)=2m+n$

Pada soal diketahui $P(x+1)=2$ dan $P(x-1)=2$ maka untuk $x=1$ diperoleh $P(2)=2$ dan $P(0)=2$.

$P(0)=2$ dan $P(0)=n$ maka $n=2$
$P(2)=2$ dan $P(2)=2m+n$ maka $2m+n=2$, $m=0$

$\therefore $ Sisa pembagian adalah $mx+n$ yaitu $2$ $\E$


4. Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)

Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-2g(x)$, oleh $x^{2}+x-2$ adalah $x+3$, sisa pembagian $2f(x)+g(x)$ oleh $x^{2}-3x+2$ adalah $x+1$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x-1$ adalah...
A. $\frac{23}{24}$
B. $\frac{18}{24}$
C. $-\frac{21}{25}$
D. $-\frac{48}{25}$
E. $-\frac{50}{36}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari keterangan pada soal kita peroleh;
$f(x)-2g(x)=(x^{2}+x-2)H(x)+x+3$
$f(x)-2g(x)=(x+2)(x-1)H(x)+x+3$

$2f(x)+g(x)=(x^{2}-3x+2)H(x)+x+1$
$2f(x)+g(x)=(x-2)(x-1)H(x)+x+1$

Untuk $x=1$, kita peroleh;
$f(1)-2g(1)=4$ $\cdots (1)$
$2f(1)+g(1)=1$ $\cdots (2)$

jika pers $(1)$ dan $(2)$ kita eliminasi atau substitusi kita peroleh;
$g(1)=-\frac{6}{5}$ dan $f(1)=\frac{8}{5}$

$\therefore f(1)g(1)=\frac{8}{5}\frac{-6}{5}=-\frac{48}{25}$ $\D$


5. UN 2011 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$. Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ dan dibagi $(x+1)$ sisa $-1$, maka nilai $(2a+b)$ adalah...
A. $13$
B. $10$
C. $8$
D. $7$
E. $6$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari soal kita peroleh beberapa data, antara lain;
Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ maka $P(1)=11$
Jika $P(x)$ dibagi $(x+1)$ sisa $-1$ maka $P(-1)=-1$

Karena $P(1)=11$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(1)=2+a-3+5+b$
$11=a+b+4$
$a+b=7$ $\cdots (1)$

Karena $P(-1)=-1$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(-1)=2-a-3-5+b$
$-1=-a+b-64$
$-a+b=5$ $\cdots (2)$

Dengan mengeliminasi atau substitusi pers. $(1)$ dan $(2)$, maka kita peroleh nilai $a=1$ dan $b=6$

$\therefore 2a+b=2+6=8$ $\C$


6. UN 2007 (*Soal Lengkap)

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $10$ dan jika dibagi $(2x-3)$ sisanya $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(2x^{2}-x-3)$, sisanya adalah...
A. $-2x+8$
B. $-2x+12$
C. $-x+4$
D. $-5x+5$
E. $-5x+15$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari apa yang disampaikan pada soal, ada beberapa hal yang dapat kita simpulkan yaitu;
$f(-1)=10$ dan $f(\frac{3}{2})=5$

Dari bentuk suku banyak;
$f(x)=h(x)\cdot p(x)+sisa$
$f(x)=h(x)\cdot 2x^{2}-x-3+mx+n$
$f(x)=h(x)\cdot (x+1)(2x-3)+mx+n$

$f(-1)=-m+n$ maka $-m+n=10$ $\cdots (1)$
$f(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}m+n$ maka $\frac{3}{2}m+n=5$ $\cdots (2)$

Dengan mengeliminasi atau substitusi pers. $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh nilai $m=-2$ atau $n=8$

$\therefore mx+n \equiv -2x+8$ $\A$


"Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Suku Banyak Atau Polinomial (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban pembahasan Penilaian Harian, pembahasan Quiz atau pada saat presentasi diskusi di kelas.

Jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya😊😊.
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 😂 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

You Might Also Like: