Skip to main content

60+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Sukubanyak (Polinomial)

Matematika Dasar Suku Banyak Atau Polinomial (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar suku banyak (Polinomial). Sebelumnya kita sudah mengenal istilah dalam matematika yaitu matematika dasar persamaan kuadrat, karena persamaan kuadrat adalah bagian dari suku banyak, jadi saat kita belajar persamaan kuadrat, kita sudah belajar tentang suku banyak.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada suku banyak juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal suku banyak dan menemukan solusinya.

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis suku banyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Suku banyak (polinomial) $F(x)$ dalam $x$ berderajat $n$ adalah:
$F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n}$
dimana:

  • $n$ adalah bilangan cacah dan $a\neq 0$
  • $a_{n},\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \cdots, a_{0}$ konstanta dan merupakan koefisien dari $x^{n}, x^{n-1}, \cdots, x^{0}$
  • Derajat suatu suku banyak dalam $x$ dinyatakan oleh pangkat tertinggi ($n$) dalam suku banyak tersebut.

Nilai Suku Banyak


Nilai suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ pada saat $x=k$ adalah $F(k)$

Kesamaan Suku Banyak


Suku banyak $F(x)$ dan $g(x)$ dikatakan sama ketika derajat dan koefisian variabel-variabel yang berpangkat sama besarnya adalah sama.

Pembagian Suku Banyak


Pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan bersusun kebawah dan cara horner. Untuk cara pembagian suku banyak ini kita diksusikan pada diskusi tersendiri, jadi saat ini pembagian suku banyak sudah kita anggap bisa.

Teorema Sisa


  • Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.
    dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot (x-a)+F(a)$
  • Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(ax-b)$, maka sisa pembagiannya adalah $F \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
    dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot (ax-b)+F \left(\dfrac{b}{a} \right)$
  • Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x – a)(x - b)$, maka sisa pembagiannya adalah $\dfrac {F(a)-F(b)}{a-b}x+\dfrac {a \cdot F(b)-b \cdot F(a)}{a-b}$.
    dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Teorema Faktor


Untuk suku banyak $F(x)$, $(x-a)$ adalah faktor suku banyak $F(x)$ jika dan hanya jika $F(a)=0$.
  • Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ faktornya adalah $(x-a)$, maka $F(a)=0$.
  • Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ nilai $F(a)=0$ maka $(x-a)$ adalah faktor $F(x)$.

Teorema Akar-akar Vieta - Hasil Jumlah dan Hasil Kali akar-akar Suku Banyak


(*Franรงois Viรจte adalah pakar matematika abad ke-16 kebangsaan Perancis). Persamaan suku banyak yang mempunyai akar-akar real paling banyak $n$ buah. Jika $x_{1},x_{2},x_{3}, \dots x_{n}$ adalah akar-akar dari persamaan tersebut, maka hubungan antara akar-akarnya ini adalah sebagai berikut.
  • $F(x)=ax^{2}+bx+c$, akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$
    • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
  • $F(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$
    • $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+ x_{2}\cdot x_{3} = \dfrac{c}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\dfrac{d}{a}$
  • $F(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$
    • $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \dfrac{c}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4}+\cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\dfrac{d}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \dfrac{e}{a}$
Beberapa sampel soal untuk kita diskusikan, yang kita pilih dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Mari berdiksusi;

1. Soal SBMPTN 2015 |*Soal Lengkap

Sisa pembagian $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ oleh $x^{2}-1$ adalah $–x+B$. Nilai $2A+B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Karena suku banyak $f(x)=x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $–x+B$

Sehingga untuk $x^{2}=1$ berlaku:
$\begin{align}
f \left( x^{2} \right) & \equiv -x+B \\ 1 -Ax +Bx -1 & \equiv -x+B \\ \left(-A +B \right) x & \equiv -x+B \\ \hline
B & = 0 \\ -A+B & = -1 \\ A & = 1 \\ \hline
2A+B & = 2(1)+0=2
\end{align}$

Apabila kurang paham kita coba dengan cara lain,
Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba mengingatkan kembali tentang teorema sisa, yaitu:
Untuk
$F(x)=H(x)\cdot P(x)+Sisa$
$F(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$F(a)=am+n$
$F(b)=bm+n$

Pada soal disampaikan bahwa $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi oleh $x^{2}-1$ sisanya $-x+B$.
$\begin{align}
& x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1 \\ & = \left (x^{2}-1 \right )\cdot H(x)+sisa \\ & = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B \\ & = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B
\end{align}$

Untuk $x=1$
$\begin{align}
1^{2014}-A(1)^{2015}+B(1)^{3}-1 & = -1+B \\ 1-A+B-1 & = -1+B \\ -A+B & = -1+B \\ A & = 1
\end{align}$

Untuk $x=-1$
$\begin{align}
(-1)^{2014}-A(-1)^{2015}+B(-1)^{3}-1 & = -(-1)+B \\ -1+A-B-1 & = 1+B \\ A-B & = 1+B \\ 1-B & = 1+B \\ B & = 0
\end{align}$

Nilai $2A+B=2(1)+0=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

2. Soal UM UNDIP 2015 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah...
$(A)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( b \right )$
$(B)$ $\dfrac{x-a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-b}{b-a}f\left ( a \right )$
$(C)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( a \right )$
$(D)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$
$(E)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( a \right )$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba menggunakan teoerma sisa, yaitu:
Untuk
$f(x)=h(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$f(a)=am+n\ \cdots \text{pers.1}$
$f(b)=bm+n\ \cdots \text{pers.2}$
Dari kedua persamaan di atas dapat kita tentukan nilai $m$ dan $n$ yaitu sebagai berikut:

#menentukan nilai $m$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \\ f(b) = bm+n & (-)\\ \hline
f(a) -f(b) = am-bm & \\ f(a) -f(b) = (a -b)m & \\ \dfrac{f(a) -f(b)}{a-b} = m
\end{array} $

#menentukan nilai $n$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \times b\\ f(b) = bm+n & \times a\\ \hline
b \cdot f(a) = abm+bn & \\ a \cdot f(b) = abm+an & (-) \\ \hline
b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = bn-an &\\ b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = (b -a ) n &\\ \dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} = n
\end{array} $

Sisa Pembagian adalah $mx+n$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
mx+n &= \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} \\ & =\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\ & =\dfrac{x \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\ & =\dfrac{x \cdot f(a)-b \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)}{a-b} \\ & =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{a-x}{a-b}f(b) \\ & =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{x-a}{b-a}f(b) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$

3. Soal SBMPTN 2014 |*Soal Lengkap

Diketahui $P(x)$ suatu polinomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $x-1$, maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...
$\begin{align}
(A)\ & x+2 \\ (B)\ & 2x \\ (C)\ & x \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$P(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Untuk $x=0$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
maka $P(0)=n$

Untuk $x=2$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
$P(2)=2m+n$

Pada soal diketahui $P(x+1)=2$ dan $P(x-1)=2$ maka untuk $x=1$ diperoleh $P(2)=2$ dan $P(0)=2$.

$P(0)=2$ dan $P(0)=n$ maka $n=2$
$P(2)=2$ dan $P(2)=2m+n$ maka $2m+n=2$ sehingga $m=0$.

Sisa pembagian adalah $mx+n$ yaitu $0x+2=2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

4. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap

Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-2g(x)$, oleh $x^{2}+x-2$ adalah $x+3$, sisa pembagian $2f(x)+g(x)$ oleh $x^{2}-3x+2$ adalah $x+1$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x-1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{23}{24} \\ (B)\ & \dfrac{18}{24} \\ (C)\ & -\dfrac{21}{25} \\ (D)\ & -\dfrac{48}{25} \\ (E)\ & -\dfrac{50}{36}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari keterangan pada soal kita peroleh;
$f(x)-2g(x)=(x^{2}+x-2)H(x)+x+3$
$f(x)-2g(x)=(x+2)(x-1)H(x)+x+3$

$2f(x)+g(x)=(x^{2}-3x+2)H(x)+x+1$
$2f(x)+g(x)=(x-2)(x-1)H(x)+x+1$

Untuk $x=1$ atau $x=2$, kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
f(1)-2g(1) = 4 & \times 1\\ 2f(1)+g(1) = 2 & \times 2\\ \hline
f(1)-2g(1) = 4 & \\ 4f(1)+2g(1) = 4 & (+)\\ \hline
5f(1) = 8 &\\ f(1) = \dfrac{8}{5} & \\ g(1) = -\dfrac{6}{5}
\end{array} $

Nilai $f(1)g(1)=\dfrac{8}{5}\dfrac{-6}{5}=-\dfrac{48}{25}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{48}{25}$

5. Soal Ujian Nasional 2011 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$. Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ dan dibagi $(x+1)$ sisa $-1$, maka nilai $(2a+b)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari soal kita peroleh beberapa data, antara lain;
Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ maka $P(1)=11$
Jika $P(x)$ dibagi $(x+1)$ sisa $-1$ maka $P(-1)=-1$

Karena $P(1)=11$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(1)=2+a-3+5+b$
$11=a+b+4$
$a+b=7 \cdots (1)$

Karena $P(-1)=-1$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(-1)=2-a-3-5+b$
$-1=-a+b-64$
$-a+b=5 \cdots (2)$

$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 7 & \\ -a+b = 5 & (+)\\ \hline
2b = 12 & \\ b = 6 & \\ a = 1 &
\end{array} $

Nilai $2a+b=2+6=8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$

6. Soal Ujian Nasional 2007 |*Soal Lengkap

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $10$ dan jika dibagi $(2x-3)$ sisanya $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(2x^{2}-x-3)$, sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2x+8 \\ (B)\ & -2x+12 \\ (C)\ & -x+4 \\ (D)\ & -5x+5 \\ (E)\ & -5x+15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari apa yang disampaikan pada soal, ada beberapa hal yang dapat kita simpulkan yaitu;
$f(-1)=10$ dan $f(\dfrac{3}{2})=5$

Dari bentuk suku banyak;
$f(x)=h(x)\cdot p(x)+sisa$
$f(x)=h(x)\cdot 2x^{2}-x-3+mx+n$
$f(x)=h(x)\cdot (x+1)(2x-3)+mx+n$

$f(-1)=-m+n$ maka $-m+n=10$ $\cdots (1)$
$f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{3}{2}m+n$ maka $\dfrac{3}{2}m+n=5$ $\cdots (2)$

Dengan mengeliminasi atau substitusi pers. $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh nilai $m=-2$ atau $n=8$

$mx+n \equiv -2x+8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2x+8$

7. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+x-2$ bersisa $ax+b$ dan dibagi $x^{2}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$. Jika $f(-2)=7$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x-1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x-1)+ax+b$
ketika $f(x)$ dibagi $(x-1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-3)(x-1)+2bx+a-1$

Dari persamaan di atas kita peroleh:
$f(-2)=7$ maka $-2a+b=7$
$ \begin{align}
f(1) & = f(1) \\ a+b & = 2b+a-1 \\ b & = 1 \\ -2a+b & = 7 \\ -2a+1 & = 7 \\ -2a & = 6 \\ a & = -3 \\ a^{2}+b^{2} & = (-3)^{2}+(1)^{2} \\ & = 10
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+3x+2$ bersisa $3bx+a-2$ dan dibagi $x^{2}-2x-3$ bersisa $ax-2b$. Jika $f(3)+f(-2)=6$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x+1)+3bx+a-2$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+1)(x-3)+ax-2b$

Dari persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
f(3)+f(-2) & = 6 \\ 3a-2b-6b+a-2 & = 6 \\ 4a-8b & = 8 \\ a-2b & = 2 \cdots (1)\\ f(-1) & = f(-1) \\ -3b+a-2 & = -a-2b \\ -b+2a & = 2 \cdots (2)\\ \end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
a-2b = 2 & \\ -b+2a = 2 & (-)\\ \hline
-a-b = 0 & \\ a+b = 0
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0$

9. Soal UMB-PT 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap

Hasil kali semua $x$ yang memenuhi persamaan $9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6}=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -10 \\ (B)\ & -5\sqrt{2} \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 5\sqrt{2} \\ (E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar dan bilangan berpangkat, seperti berikut ini;
$\begin{align}
9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6} &= 0 \\ 9^{x^{3}-4x^{2}-x+4} &= 9^{x^{2}+x-6} \\ x^{3}-4x^{2}-x+4 &= x^{2}+x-6 \\ x^{3}-4x^{2}-x+4 -x^{2}-x+6 &= 0 \\ x^{3}-5x^{2}-2x+10 &= 0
\end{align}$
Untuk hasil kali semua nilai $x$ adalah:
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} &= -\dfrac{d}{a} \\ &= -\dfrac{10}{1} \\ &= -10
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -10 $

10. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Hasil bagi dan sisa suku banyak $3x^{3}+10x^{2}-8x+3$ dibagi $x^{2}+3x-1$, berturut-turut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3x+1\ \text{dan}\ 2x+2 \\ (B)\ & 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4 \\ (C)\ & 3x-1\ \text{dan}\ 8x+2 \\ (D)\ & 3x+19\ \text{dan}\ -56x+21 \\ (E)\ & 3x+19\ \text{dan}\ 51x+16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika Pembagian suku banyak di atas kita coba selesaikan dengan pembagian bersusun kebawah;

Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)

Jika Pembagian suku banyak di atas kita coba selesaikan dengan metode horner-kino;
Soal dan Pembahasan Ujian Masuk STIS Tahun 2011

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4$


11. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4$ dibagi $(x-1)$ sisanya $10$, sementara jika dibagi dengan $(x+2)$ akan menghasilkan sisa $2$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1 \\ (B)\ & \dfrac{3}{4}\ \text{dan}\ 1 \\ (C)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{4}{3} \\ (D)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{3}{4} \\ (E)\ & -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Pembagian suku banyak yang mungkin membantu yaitu;

Teorema Sisa


  • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya adalah $s=f(a)$.
  • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya adalah $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
$\begin{align}
f(x) &= ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4 \\ f(1) &= a(1)^{3}+3b(1)^{2}+(2a-b)(1)+4 \\ 10 &= a +3b+ 2a-b +4 \\ 6 &= 3a +2b \\ \hline
f(-2) &= a(-2)^{3}+3b(-2)^{2}+(2a-b)(-2)+4 \\ 2 &= -8a +12b -4a+2b+4 \\ -2 &= -12a +14b
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-12a+14b = -2 & (\times 1) \\ 3a+2b = 6 & (\times 4) \\ \hline
-12a+14b = -2 & \\ 12a+8b = 24 & (+) \\ \hline
22b = 22 & \\ b = 1 & 3a+2b = 6 \\ & 3a+2(1) = 6 \\ & a = \dfrac{4}{3}
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$

12. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $P(x)=ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan $x+a$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika sebuah bilangan $a$ habis dibagi $x$ dan $y$, maka berlaku $a \equiv k \cdot x \cdot y$
contoh:
$140$ habis dibagi $5$ dan $2$
sehingga berlaku $140 \equiv k \cdot 5 \cdot 2$, dan nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=14$

suku banyak $P(x)= ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi oleh $x^{2}+1$ dan $x+a$.
$\begin{align}
& ax^{3}+x^{2}+bx+1 \\
& \equiv k \cdot \left( x^{2}+1 \right) \left( x+a \right) \\
0 & \equiv k \cdot \left( x^{3}+ax^{2}+ x + a \right) \\
0 & \equiv kx^{3}+ akx^{2}+ kx +ak
\end{align}$
Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=k$
  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $ak=1$, maka $a^{2}=1$ atau $a= \pm 1$
  • dari koefisien $x $ kita peroleh $ b=k$
Untuk $a=1$ dan $b=1$, nilai $ab=1$
Untuk $a=-1$ dan $b=-1$, nilai $ab=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

13. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Suku banyak $f(x)=ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan dibagi $x-4$ bersisa $51$ Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& ax^{3}-ax^{2}+bx-a \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+ mx+ n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$
  • dari koefisien $x$ kita peroleh $b=m$
suku banyak $f(x)= ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ dibagi $x-4$ bersisa $51$
$\begin{align}
f(4) & = a(4)^{3}-a(4)^{2}+b(4)-a \\ 51 & = 64a -16a +4b -a \\ 51 & = 47a +4b \\ 51 & = 47a +4a \\ 51 & = 51a \rightarrow a=1
\end{align}$
Untuk $a=1$ dan $a=b$ maka $b=$, nilai $a+b=2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

14. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dengan $a \neq 0$ habis dibagi $x^{2}+2$, maka nilai $\dfrac{b}{2a}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dibagi $x^{2}+2$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& x^{3}+ax^{2}+2x+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+2 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+2mx+2n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $m=1$
  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $a=n$
  • dari konstanta kita peroleh $ b=2n$
Untuk $a=n$ dan $b=2n$, maka $\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2n}{2n}=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

15. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, maka nilai $ab$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika sebuah bilangan $a$ habis dibagi $x$ dan $y$, maka berlaku $a \equiv k \cdot x \cdot y$
contoh:
$140$ habis dibagi $5$ dan $2$
sehingga berlaku $140 \equiv k \cdot 5 \cdot 2$, dan nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=14$

suku banyak $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
& ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a \\
& \equiv k \cdot \left( x^{2}+2 \right) \left( x+b \right) \\
& \equiv k \cdot \left( x^{3}+bx^{2}+2x +2b \right) \\
& \equiv kx^{3}+ kbx^{2}+2kx +2bk
\end{align}$
Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $kb=b$, maka $k=1$
  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=k$, maka $a=1$
  • dari konstanta kita peroleh $2bk=-a$, maka $2b=-1$
Untuk $a=1$ dan $b=-\dfrac{1}{2}$, nilai $ab=-\dfrac{1}{2}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$


16. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $(x-2)^{2}$ bersisa $-2x+a$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 15 \\ (B)\ & 13 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -13 \\ (E)\ & -15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $\left(x-2 \right)^{2}=x^{2}-4x+4$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& x^{3}+bx^{2}-2x-6 \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}-4x+4 \right) -2x+a \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}-4mx^{2}-4nx+4mx+4n -2x+a \\ & \equiv mx^{3}+ \left(n -4m \right) x^{2}+ \left(4m-4n-2 \right)x+4n+a \\ \end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $1=m$
  • dari koefisien $x$ kita peroleh $4m-4n-2=-2$, maka $n=1$
  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $b=n-4m $, maka $b=-3$
  • dari konstanta kita peroleh $-6=4n+a$, maka $a=-10$
Untuk $a=-10$ dan $b=-3$, maka $a+b=-13$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -13$

17. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$. Jika $x^{2}+1$ adalah faktor dari $f(x)$ dan $f(a)=2$, maka nilai $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+mx+n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

  • dari konstanta kita peroleh $n=a+b $
  • dari koefisien $x$ kita peroleh $-b=m $
  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $n=a+b $
  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$
karena nilai $m=a$ dan $m=-b$, maka $a=-b$

Diketahui $f(a)=2$, sehingga:
$\begin{align}
f(a) & = ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\ 2 & = a \cdot a^{3}+(a+b) \cdot a^{2}-b \cdot a +a+b \\ 2 & = a^{4}+(a+b)a^{2}-ab +a+b \\ 2 & = a^{4}+(a-a)a^{2}-a(-a) +a-a \\ 2 & = a^{4}+ a^{2} \\ 0 & = a^{4}+ a^{2} -2 \\ 0 & = \left( a^{2}+2 \right)\left( a^{2}-1 \right) \\ 0 & = \left( a^{2}+2 \right)\left( a-1 \right)\left( a+1 \right) \\ \end{align}$
Untuk $a=1$ nilai $b=-1$ sehingga $ab=-1$
Untuk $a=-1$ nilai $b=1$ sehingga $ab=-1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

18. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+mx+n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $n=3 $
  • dari konstanta kita peroleh $n=b $ maka $b=3$
  • dari koefisien $x$ kita peroleh $b-2=m $ maka $m=1$
  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m $ maka $a=1$
  • Nilai $a+b=4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$

19. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika Diketahui $P(x)= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right)$. Dengan $Q(x)$ adalah suatu suku banyak. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+1)$ bersisa $10$ dan jika dibagi $(x-1)$ bersisa $20$. Maka apabila $P(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 35 \\ (E)\ & 45
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(-1) & =10 \rightarrow -a +b= 10 \\ P( 1) &=20 \rightarrow a +b= 20 \\ \end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
-a+b = 10 & \\ a+b = 20 & (+) \\ \hline
2b = 30 & \\ b = 15 & \\ a = 5
\end{array} $
Jika $P(x)$ dibagi oleh $(x-2)$, maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(2) &= 2a+ b \\ P(2) &= 2(5)+ (15)=25
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$

20. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $3a - b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -9 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Soal ini kita coba selesaikan dengan Cara Manipulasi Faktor, dengan manipulasi faktor ini, kita anggap faktornya adalah sama dengan nol.

Dengan menganggap faktor (pembagi) $x^{2}+1=0$ sehingga diperoleh $x^{2}=-1$.

Dengan $x^{2}=-1$ dan $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka berlaku:
$\begin{align}
p(x) & \equiv ax^{3}+bx^{2}+2x-3 \\
p(x) & \equiv ax \cdot x^{2}+bx^{2}+2x-3 \\
0 & \equiv ax (-1) +b (-1) +2x-3 \\
0 & \equiv -ax -b +2x-3 \\
0 & \equiv (2-a)x -b-3 \\
\hline
2-a\ & = 0 \\
a & = 2 \\ \hline
-b-3\ & = 0 \\ b\ & = -3 \\ \hline
\text{nilai}\ 3a-b &= 3(2)-(-3) =9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$


21. Soal SPMB 2007 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dan $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ mempunyai sisa sama apabila dibagi $(x+1)$ maka nilai $p+q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

Suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
2x^{3}-px^{2}+qx+6 & = 2(-1)^{3}-p(-1)^{2}+q(-1)+6 \\ & = -2-p -q +6 \\ & = 4-p -q
\end{align} $

Suku banyak $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
2x^{3}+3x^{2}-4x-1 & = 2(-1)^{3}+3(-1)^{2}-4(-1)-1 \\ & = -2+3+4-1 \\ & = 4
\end{align} $

Karena sisa pembagian di atas dikatakan sama sehingga berlaku:
$ \begin{align}
4-p-q & = 4 \\ -p-q & = 4-4 \\ -p-q & = 0 \\ p+q & = 0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

22. Soal SPMB 2007 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dengan $a,b$ dan $c$ konstanta. Jika suku banyak $p(x)$ bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x-2007)$ dan juga bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x+2007)$, maka $c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2007 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 2007
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x-2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$ \begin{align}
P(2007) & = -2007 \\ a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007)-2007 & = -2007 \\ a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007) & = 0 \\ a(2007)^{6}+b(2007)^{4} & = - 2007c
\end{align} $

Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x+2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$ \begin{align}
P(-2007) & = -2007 \\ a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007)-2007 & = -2007 \\ a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007) & = 0 \\ a (-1)^{6} (2007)^{6}+b(-1)^{4}(2007)^{4}+c(-1)(2007) & = 0 \\ a (2007)^{6}+b (2007)^{4}-c(2007) & = 0 \\ a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = 2007c
\end{align} $

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = a (2007)^{6}+b (2007)^{4} \\ 2007c & = -2007c \\ 2007c+2007c & = 0 \\ 4014c & = 0 \\ c & = 0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

23. Soal SNMPTN 2008 |*Soal Lengkap

Nilai $m+n$ yang mengakibatkan $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{3}x+na^{4}$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Suku banyak $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{3}x+na^{4}$ dibagi $(x-a)^{2}$ dengan skema horner sebagai berikut:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Karena $P(x)$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ sehingga sisa pembagian adalah nol, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
-ma^{3}+2a^{3} & = 0 \\ \left( -m +2 \right) a^{3} & = 0 \\ -m +2 & = 0 \\ m & = 2 \\
\hline
na^{4}-ma^{4}+3a^{4} & = 0 \\ na^{4}-(2)a^{4}+3a^{4} & = 0 \\ na^{4}+a^{4} & = 0 \\ \left(n +1 \right) a^{4} & = 0 \\ n & = -1 \\ \hline
m+n & = 2-1 \\
m+n & = 1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

24. Soal SNMPTN 2009 |*Soal Lengkap

Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ adalah $x-1$. Faktor yang lain adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+3x+3 \\ (B)\ & x^{2}+x-3 \\ (C)\ & x^{2}+3x-3 \\ (D)\ & x^{2}+2x+3 \\
(E)\ & x^{2}-7x+3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Faktor suku banyak $f(x)$ adalah $(x-a)$ maka $f(a)=0$
Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ adalah $(x-1)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
(1)^{3}+k(1)^{2}+(1)-3 & = 0 \\ 1+k +1-3 & = 0 \\ k-1 & = 0 \\ k & = 1
\end{align} $
Untuk nilai $k=1$ maka suku banyak $x^{3}+x^{2}+x-3$ dibagi $(x-1)$ dengan metode horner sebagai berikut:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Hasil pembagian suku banyak merupakan salah satu faktor suku banyak yaitu $x^{2}+2x+3$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+2x+3$

25. Soal SNMPTN 2011 |*Soal Lengkap

Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$. Jika $f(x)$ adalah suku banyak yang bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$ dan bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(1) & = 0 \\ a(1)^{2}-b(1)+a-b & = 0 \\ a -b +a-b & = 0 \\ 2a -2b & = 0 \\ a & = b
\end{align} $
Untuk $a=b$, maka $g(x)=ax^{2}-bx+a-b=ax^{2}-ax$ atau $g(x)=ax \left( x-1 \right)$

Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$, sehingga $f(1) = a$ dan $f(x)$ bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = H(x) \cdot g(x)+sisa \\ f(x) & = H(x) \cdot ax \left( x-1 \right) + 3ax+b^{2}+1 \\ f(1) & = 3a(1)+b^{2}+1 \\ a & = 3a +a^{2}+1 \\ 0 & = a^{2}+2a+1 \\ 0 & = (a+1)(a+1) \\ a & = -1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$


26. Soal SNMPTN 2011 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$. Suku banyak $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x-2 \\ (B)\ & 3x-2 \\ (C)\ & 3x+2 \\ (D)\ & 4x+2 \\
(E)\ & 5x-2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(-1) & = -2 \\ f(2) & = 3
\end{align} $

Diketahui $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(-1) & = 3 \\ g(2) & = 2
\end{align} $

Karena $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$, berlaku:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x^{2}-x-2 \right)+mx+n \\ f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x-2 \right)\left(x+1 \right)+mx+n \\ \hline
f(-1) \cdot g(-1) & = H(-1) \cdot \left(-1-2 \right)\left(-1+1 \right)+m(-1)+n \\ (-2) \cdot (3) & =-m+n \\ -6 & =-m+n\ \cdots \text{pers.1} \\ \hline
f(2) \cdot g(2) & = H(2) \cdot \left(2-2 \right)\left(2+1 \right)+m(2)+n \\ (3) \cdot (2) & =2m+n \\ 6 & =2m+n\ \cdots \text{pers.2} \\ \end{align} $
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-m+n = -6 & \\ 2m+n = 6 & (-) \\ \hline
-3m = -12 & \\ m = 4 \\ n = -2
\end{array} $
Sisa pembagian adalah $mx+n \equiv 4x-2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-2$

27. Soal SNMPTN 2018 |*Soal Lengkap

Sisa pembagian $p(x)=x^{3}-ax^{2}-2bx-4a-4$ oleh $x^{2}+1$ adalah $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $-17$, maka $4ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\ (B)\ & -9 \\ (C)\ & -7 \\ (D)\ & -6 \\
(E)\ & -5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $p(x)$ bersisa $-17$ bila dibagi $(x-1)$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
p(1) & = -17 \\ -17 & = (1)^{3}-a(1)^{2}-2b(1)-4a-4 \\ -17 & = 1-a -2b -4a-4 \\ -14 & = -5a-2b \\ 14 & = 5a +2b
\end{align} $
Diketahui juga bahwa $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ bersisa $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ dengan menggunakan metode horner-kino kurang lebih seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Dari proses pembagian di atas sisanya adalah $-3a-4$ sehingga:
$ \begin{align}
-3a-4 & = -5a+2 \\ -3a+5a & = 4+2 \\ 2a & = 6 \\ a & = 3 \\ \hline
5a +2b &= 14 \\ 5(3) +2b &= 14 \\ 2b & = 14-15 \\ b & = -\dfrac{1}{2} \\ \hline
4ab & = 4 \cdot 3 \cdot -\dfrac{1}{2} \\ & = -6
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$

28. Soal SNMPTN 2013 |*Soal Lengkap

Jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15=f(x)(x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x-1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Untuk $x=1$ kita peroleh persamaan:
$ \begin{align}
x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 &= f(x)(x-1) \\ (1)^{4}+a(1)^{3}+(b-10)(1)^{2}+24(1)-15 &= f(1)(1-1) \\ 1+a + b-10 +24 -15 &= 0 \\ a + b &= 0 \\ a & = -b
\end{align} $

Diketahui $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 = f(x)(x-1)$ dan $f(x)$ juga habis dibagi $x-1$ sehingga dapat kita simpulkan bahwa $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ habis dibagi $(x-1)(x-1)$ atau $x^{2}-2x+1$.

Dengan menggunakan metode horner-kino jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ dibagi $x^{2}-2x+1$ kurang lebih seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Dari proses pembagian di atas sisanya adalah $-2a-b-8$ sehingga:
$ \begin{align}
-2a-b-8 & = 0 \\ -2(-b)-b-8 & = 0 \\ 2b-b-8 & = 0 \\ b & = 8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

29. Soal SNMPTN 2014 |*Soal Lengkap

Diketahui $P$ dan $Q$ suatu Polynomial sehingga $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$. Jika $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa...
$\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$ maka $Q(1)=4$, dan $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x)Q(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) +3x+5 \\ P(x)Q(x) &= H(x) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) +3x+5 \\ P(1)Q(1) &= H(1) \left( 1-1 \right) \left( 1+1 \right) +3(1)+5 \\ P(1) \cdot 4 &= 8 \\ P(1) &= \dfrac{8}{4}=2 \\ \end{align} $
Karena $P(1)=2$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

30. Soal SNMPTN 2014 |*Soal Lengkap

Diketahui $P(x)$ suatu polynomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $(x-1)$, maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...
$\begin{align}
(A)\ & x+2 \\ (B)\ & 2x \\ (C)\ & x \\ (D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $P(x+1)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$ maka $P(0)=2$, dan $P(x-1)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$ maka $P(2)=2$.

$P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-2x \right) + mx+n \\ \hline
P(0) &= H(0) \cdot (0) \left( 0-2 \right) + m(0)+n \\ 2 &= n \\ \hline
P(2) &= H(2) \cdot (2) \left( 2-2 \right) + m(2)+n \\ 2 &= 2m+n \\ 2 &= 2m+2 \\ 2-2 &= 2m \\ 0 &= m \\ \end{align} $
Sisa pembagian $mx+n \equiv 0x+2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$


31. Soal SBMPTN 2015 |*Soal Lengkap

Sisa pembagian $Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $ dibagi oleh $x^{2}-1$ adalah $5x-4$. Nilai $A+B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Kita misalkan suku banyak $P(x)=Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $.
Diketahui $P(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $5x-4$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) + 5x-4 \\ P(x) &= H(x) \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) + 5x-4 \\ \hline
P(1) &= H(1) \left( 1-1 \right)\left( 1+1 \right) + 5(1)-4 \\ P(1) &= 1 \\ \hline
P(-1) &= H(-1) \left( -1-1 \right)\left( -1+1 \right) + 5(-1)-4 \\ P(-1) &= -9 \\ \end{align} $

Untuk $x=1$ dan $x=-1$, kita peroleh:
$\begin{align}
P(x) &= Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} \\ P(1) &= A(1)^{2014}+(1)^{2015}-B \left( 1-2 \right)^{2} \\ 1 &= A+1 -B \\ 0 &= A -B \\ B &= A \\ \hline
P(-1) &= A(-1)^{2014}+(-1)^{2015}-B \left( -1-2 \right)^{2} \\ -9 &= A -1 -9B \\ -8 &= A -9B \\ -8 &= B -9B \\ -8 &= -8B \\ 1 &= B \\ A &= 1 \\ \end{align}$
Nilai $A+B=1+1=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

32. Soal SPMB 2006 |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)= x^{4}+x^{3}-2$ dan $g(x)= x^{3}+2x^{2}+2x+2$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $(x-a)$ bersisa $1$ maka $f(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$.

$g(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa $1$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(a) & = 1 \\ (a)^{3}+2(a)^{2}+2(a)+2 & = 1 \\ a^{3}+2a^{2}+2a+2-1 & = 0 \\ a^{3}+2a^{2}+2a+1 & = 0 \\ (a^{2}+a+1)(a+1) & = 0 \\ (a^{2}+a+1)=0 & (a+1)=0 \\ (a^{2}+a+1)=0 & a = -1
\end{align} $

$f(x)$ dibagi $(x-a)$:
$ \begin{align}
f(a) & = a^{4}+a^{3}-2 \\ f(-1) & = (-1)^{4}+(-1)^{3}-2 \\ & = 1-1-2 \\ & = -2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$

33. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $ax^{3}+2x^{2}+5x+b$ dibagi $\left( x^{2}-1\right)$ menghasilkan sisa $\left( 6x+5 \right)$ maka $a+3b$ sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika pembagian suku banyak kita kerjakan dengan menggunakan metode horner-kino, maka skemanya seperti berkut ini:

Soal dan Pembahasan suku banyak simak ui 2009
Dari persamaan di atas kita peroleh sisa adalah $\left( a+5 \right)x+\left( b+2 \right)$ dan pada soal disampaikan bahwa sisa $\left( 6x+5 \right)$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
6x+5 & \equiv \left( a+5 \right)x+\left( b+2 \right) \\ \hline
a+5 & = 6 \\ a & = 1 \\ \hline
b+2 & = 5 \\ b & = 3 \\ \hline
a+3b & = 1+3(3) =10
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

34. Soal UM UGM 2005 |*Soal Lengkap

Fungsi $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$, sedangkan jika dibagi $(x-2)$ sisanya $4$. Jika $f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-3x+2$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -x-2 \\ (B)\ & x+1 \\ (C)\ & x+2 \\ (D)\ & 2x+1 \\ (E)\ & 4x-1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$ dan $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $4$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(1)=3$, dan $f(2)=4$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-3x+2$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-3x+2 \right) + mx+n \\ f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x-2 \right) \left( x-1 \right)+ mx+n\\ \hline
f(1) & = m+n\\ 3 & = m+n\\ \hline
f(2) & = 2m+n\\ 4 & = 2m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 3 & \\ 2m+n = 4 & \\ \hline
m = 1 & \\ n = 2 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=x+2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+2$

35. Soal SPMB 2006 |*Soal Lengkap

Diketahui $p(x)=ax^{5}+bx-1$ dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $p(x)$ dibagi dengan $(x-2006)$ bersisa $3$, maka bila $p(x)$ dibagi dengan $(x+2006)$ akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-2006)$ sisanya $3$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(2006)=3$.

Yang ditanyakan adalah $p(x)$ dibagi $(x+2006)$ atau $p(-2006)$

$\begin{align}
p(x) &= ax^{5}+bx-1 \\ p(2006) &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right)-1 \\ 3 &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right)-1 \\ 4 &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right) \\ \dfrac{4}{2006} &= a \left( 2006 \right)^{4}+b \\ \hline
p(-2006) &= a \left( -2006 \right)^{5}+b\left( -2006 \right)-1 \\ &= a \left( -2006 \right) \cdot \left( -2006 \right)^{4}+b\left( -2006 \right)-1 \\ &= \left( -2006 \right) \left( a \cdot \left(2006 \right)^{4}+b \right)-1 \\ &= \left( -2006 \right) \left( \dfrac{4}{2006} \right)-1 \\ &= -4 -1 =-5\\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5$


36. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

Suku banyak $p(x)$ bersisa $2$ jika dibagi $x-1$ dan tak bersisa jika dibagi $x+1$. Suku banyak $q(x)$ bersisa $2x$ jika dibagi $x^{2}-1$. Jika suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3x-1 \\ (B)\ & 3x+1 \\ (C)\ & -3x+2 \\ (D)\ & -3x-2 \\ (E)\ & 3x+2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $2$ dan $p(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $0$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(1)=2$, dan $p(-1)=0$.

$q(x)$ dibagi dengan $x^{2}-1$ bersisa $2x$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + 2x \\ q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + 2x \\ q(1) & = 2(1)=2 \\ q(-1) & = 2(-1)=-2
\end{align}$

Suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, sehingga berlaku
$\begin{align}
p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + mx+n \\ p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + mx+n \\ \hline
p(1)+q(1) & = m (1)+n \\ 4 & = m+n \\ \hline
p(-1)+q(-1) & = m (-1)+n \\ -2 & = -m+n \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua persamaan yang kita peroleh di atas, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 4 & \\ -m+n = -2 & \\ \hline
2n = 2 & \\ n = 1 & \\ m = 3 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=3x+1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x+1$

37. Soal SPMB 2006 |*Soal Lengkap

Diketahui $h(x)=x^{2}+3x-4$ merupakan salah satu faktor dari $g(x)=x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $x+1$, akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 12 \\
(E)\ & 24
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $h(x)=x^{2}+3x-4$ salah satu faktor dari $g(x)=x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}+3x-4 \right) \\ x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b & \equiv H(x) \cdot \left( x+4 \right) \left( x-1 \right) \\
\hline
(1)^{4}+2(1)^{3}-a(1)^{2}-14(1)+b & = 0 \\
1+2-a -14 +b & = 0 \\
-a +b & = 11 \\
\end{align}$

Sisa $g(x)$ dibagi $x+1$ adalah $g(-1)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
g(x) & = x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b \\ g(-1) & = (-1)^{4}+2(-1)^{3}-a(-1)^{2}-14(-1)+b \\ & = 1-2-a +14+b \\ & = -a +b+13 \\ & = 11+13=24
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 24$

38. Soal UM UGM 2018 Kode 576 |*Soal Lengkap

Diberikan suku banyak $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+a$ dengan $a \neq 0$. Jika $x^{2}+nx+1$ merupakan faktor $p(x)$, maka $n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $x^{2}+nx+1$ salah satu faktor dari $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+a$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
ax^{3}+bx^{2}+a & \equiv \left( x^{2}+nx+1 \right) \cdot \left( cx+d \right) \\ & = cx^{3}+dx^{2}+cnx^{2}+dnx+cx+d \\ & = cx^{3}+ \left( d+cn \right) x^{2}+\left( dn+c \right)x+d
\end{align}$
Dari kesamaan suku banyak di atas dapat kita ambil kesimpulan yaitu: $a=c$, $b=d+cn$, $dn+c=0$, dan $d=a$.

Untuk menentukan nilai $n$ kita pilih dari persamaan yang kita peroleh, yaitu:
$\begin{align}
dn+c & = 0 \\ (a)n+(a) & = 0 \\ (a)n & = -a \\ n & = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1$

39. Soal UM UNDIP 2018 Kode 727/730 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $x^{4}-2x^{2}+1$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right)$ maka nilai $a+b+c+d=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $x^{4}-2x^{2}+1$ dapat difaktorkan menjadi:
$\begin{align}
x^{4}-2x^{2}+1 & \equiv \left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right) \\ \left(x^{2}-1 \right)\left(x^{2}-1 \right) & \equiv \left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right) \\ \hline
x^{2}-1 & \equiv x^{2}+ax+b \\ a=0,\ &\ b=-1 \\ \hline
x^{2}-1 & \equiv x^{2}+cx+d \\ c=0,\ &\ d=-1 \\ \end{align}$
Nilai $a+b+c+d=-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$

40. Soal Ujian Nasional 2016 |*Soal Lengkap

Diketahui $(x+2)$ adalah faktor dari suku banyak $f(x)=2x^{3}-ax^{2}-11x+6$, hasil bagi $f(x)$ dibagi $(2x+3)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-3x+1 \\ (B)\ & x^{2}-3x-1 \\ (C)\ & 2x^{2}-6x-2 \\ (D)\ & 2x^{2}+6x-2 \\ (E)\ & 2x^{2}-6x+2 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $(x+2)$ adalah faktor $f(x)=2x^{3}-ax^{2}-11x+6$ sehingga berdasarkan teorema faktor Untuk suku banyak $F(x)$, $(x-a)$ adalah faktor suku banyak $F(x) jika dan hanya jika $F(a)=0$ nilai $f(-2)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
f(-2) & =2x^{3}-ax^{2}-11x+6 \\ 0 & =2(-2)^{3}-a(-2)^{2}-11(-2)+6 \\ 0 & =-16-4a+22+6 \\ 0 & =12-4a \\ 3 & = a \\ f(x) &= 2x^{3}-3x^{2}-11x+6
\end{align}$
$f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6$ dibagi $(2x+3)$, kita kerjakan dengan koefisien tak tentu:
$\begin{align}
& 2x^{3}-3x^{2}-11x+6 \\ & \equiv \left( x^{2}+bx+c \right) \left( 2x+3 \right)+d\\ & \equiv 2x^{3}+3x^{2}+2bx^{2}+3bx+2cx+3c+d\\ & \equiv 2x^{3}+\left(3+2b \right)x^{2}+ \left(3b+2c \right)x+3c+d\\ \hline
& 3+2b=-3\ \rightarrow\ b=-3 \\ & 3b+2c=-11\ \rightarrow\ c=-1
\end{align}$
Untuk $b=-3$ dan $c=-1$, maka hasil bagi $\left( x^{2}+bx+c \right)$ adalah $x^{2}-3x-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}-3x-1$


41. Soal SIMAK UI 2011 Kode 618 |*Soal Lengkap

Jika $p(x)$ adalah polinomial berderajat $3$ dengan $p(1)=2$, $p(2)=3$, $p(3)=4$, dan $p(4)=6$, maka salah satu faktor dari $p(x+2)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-2 \\ (B)\ & x-1 \\ (C)\ & x \\ (D)\ & x+1 \\ (E)\ & x+2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $p(x)$ polinomial berderajat $3$ kita misalkan
$p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

Dari $p(1)=2$, $p(2)=3$, $p(3)=4$, dan $p(4)=6$ maka kita peroleh beberapa persamaan yaitu:
$\begin{align}
a+b+c+d &= 2\ \cdots\ (1) \\ 8a+4b+2c+d &= 3\ \cdots\ (2) \\ 27a+9b+3c+d &= 4\ \cdots\ (3) \\ 64a+16b+4c+d &= 6\ \cdots\ (4)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $d$ pada $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh:
$\begin{align}
a+b+c+d &= 2 \\ 8a+4b+2c+d &= 3 \\ \hline
7a+3b+c &= 1\ \cdots\ (5)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $d$ pada $(2)$ dan $(3)$ kita peroleh:
$\begin{align}
8a+4b+2c+d &= 3 \\ 27a+9b+3c+d &= 4 \\ \hline
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $d$ pada $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
27a+9b+3c+d &= 4 \\ 64a+16b+4c+d &= 6 \\ \hline
37a+7b+c &= 2\ \cdots\ (7)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $c$ pada $(5)$ dan $(6)$ kita peroleh:
$\begin{align}
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6) \\ 7a+3b+c &= 1\ \cdots\ (5) \\ \hline
12a+2b &= 0\ \cdots\ (8)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $c$ pada $(5)$ dan $(7)$ kita peroleh:
$\begin{align}
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6) \\ 37a+7b+c &= 2\ \cdots\ (7) \\ \hline
18a+2b &= 1\ \cdots\ (9)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $b$ pada $ (8)$ dan $(9)$ kita peroleh:
$\begin{align}
18a+2b &= 1\ \cdots\ (9) \\ 12a+2b &= 0\ \cdots\ (8) \\ \hline
6a &= 1\ \rightarrow\ a=\dfrac{1}{6}
\end{align}$

Untuk $a=\dfrac{1}{6}$ dan $12a+2b= 0$, kita peroleh $b=-1$.

Nilai $a=\dfrac{1}{6}$ dan $b=-1$ kita substitusi ke $7a+3b+c= 1$ kita peroleh $c=\dfrac{17}{6}$.

Nilai $a=\dfrac{1}{6}$, $b=-1$, dan $C=\dfrac{17}{6}$ kita substitusi ke $a+b+c+d = 2$ kita peroleh $d=0$.

Sehingga kita peroleh kita peroleh $p(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-x^{2}+\dfrac{17}{6}x$.

$\begin{align}
p(x) &= \dfrac{1}{6}x^{3}-x^{2}+\dfrac{17}{6}x \\ p(x+2) &= \dfrac{1}{6}(x+2)^{3}-(x+2)^{2}+\dfrac{17}{6}(x+2) \\ &= (x+2) \left( \dfrac{1}{6}(x+2)^{2}-(x+2) +\dfrac{17}{6} \right)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x+2$

42. Soal UM UGM 2015 Kode 632 |*Soal Lengkap

Jika $9,x_{1},x_{2}$ merupakan tiga akar berbeda dari $x^{3}-6x^{2}-ax+b=0$ dengan $b-a=5$, maka $x_{1}+x_{2}+x_{1} \cdot x_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 3 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari suku banyak $x^{3}-6x^{2}-ax+b=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh: $\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 6 \\ x_{1}+x_{2}+ 9 & = 6 \\ x_{1}+x_{2} & = -3 \end{align}$
$\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -b \\ x_{1} \cdot x_{2} \cdot 9 & = -b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = -\dfrac{b}{9} \end{align}$
$\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} & = \dfrac{c}{a} \\ -\dfrac{b}{9} + 9x_{1} + 9x_{2} & = -a \\ -\dfrac{b}{9} + 9 \left( -3 \right) & = -a \\ -\dfrac{b}{9} -27 & = -a \\ \hline
b-a=5 & \\
\hline
-\dfrac{b}{9} -27 & = 5-b \\ -\dfrac{b}{9} +b & = 32 \\ \dfrac{8b}{9} & = 32 \\ \dfrac{ b}{9} & = 4 \end{align}$
$\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{1} \cdot x_{2} & = -3 -\dfrac{b}{9} \\ & = -3 - 4 \\ & = -7 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$

43.Soal UM UGM 2017 Kode 713 |*Soal Lengkap

Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^{3}-12x^{2}+(p+4)x-(p+8)=0$ membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, maka $p-36=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 12 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari suku banyak $x^{3}-12x^{2}+(p+4)x-(p+8)=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 12
\end{align}$

Lalu dikatakan akar-akar persamaan suku banyak membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = x_{1} + x_{1}+2 + x_{1}+4 \\ 12 & = 6+3x_{1} \\ 6 & = 3x_{1} \\ x_{1} & = 2 \rightarrow x_{2}=2,\ x_{3}=4
\end{align}$

$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 & = p+8 \\ 48 & = p+8 \\ 40 & = p \\ \hline
p-36 & = 40-36 = 4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$

44. Soal UM UGM 2017 Kode 814 |*Soal Lengkap

Jika salah satu akar persamaan $x^{3}+2x^{2}+px-6=0$ adalah $2$, maka jumlah dua akarlainnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 6 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari suku banyak $x^{3}+2x^{2}+px-6=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -2
\end{align}$

Lalu dikatakan salah satu akar suku banyak adalah $2$, maka berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + 2 & = -2 \\ x_{1} + x_{2} & = -4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$

45. Soal UM UGM 2018 Kode 276 |*Soal Lengkap

Akar-akar persamaan $x^{3}-7x^{2}+px+q=0$ membentuk deret geometri dengan rasio $2$, nilai $p+q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 14 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari suku banyak $x^{3}-7x^{2}+px+q=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 7
\end{align}$

Lalu dikatakan akar-akar persamaan suku banyak membentuk deret geometri dengan rasio $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = x_{1} + 2x_{1} + 4x_{1} \\ 7 & = 7x_{1} \\ x_{1} & = 1 \rightarrow x_{2}=2,\ x_{3}=4
\end{align}$

$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ 1 \cdot 2 \cdot 4 & = -q \\ 8 & = -q \\ q & = -8
\end{align}$

$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ 2 + 4 + 8 & = \dfrac{c}{a} \\ 14 & = p \\ \hline
p+q & = 14-8=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$


46. Soal UM UGM 2018 Kode 276 |*Soal Lengkap

Salah satu akar dari persamaan $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ adalah $0$, sedangkan dua akar lainnya saling berlawanan tanda. Jika $a+b+c=-4$ ..
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 32 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dikatakan salah satu akar suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ adalah $0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{3}+ax^{2}+bx+c & = 0 \\ (0)^{3}+a(0)^{2}+b(0)+c & = 0 \\ c & = 0 \\ \hline
a + b + c & = -4 \\ a + b & = -4
\end{align}$

Dari teorema akar-akar vieta dan dikatakan dua akar lainnya saling berlawanan tanda, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1} + x_{2} + 0 & = -a \\ x_{1} + \left( -x_{1} \right) & = -a \\ 0 & = a \\ \hline
a+b & = -4 \\ b & = -4
\end{align}$

$\begin{align}
x^{3}+ax^{2}+bx+c & = 0 \\ x^{3}-4x & = 0 \\ x \left( x^{2}-4 \right) & = 0 \\ x \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) & = 0 \\ \hline
x=0;\ x=-2,\ x=2
\end{align}$
Akar terbesar yang mungkin adalah $2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

47. Soal Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap

Jika salah satu akar persamaan polinomial $x^{4}-8x^{3}+px^{2}+5x+2=0$ adalah $-1$, nilai $p$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -6 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Disebutkan pada soal bahwa $-1$ adalah salah satu akar $x^{4}-8x^{3}+px^{2}+5x+2=0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{4}-8x^{3}+px^{2}+5x+2 & = 0 \\ (-1)^{4}-8(-1)^{3}+p(-1)^{2}+5(-1)+2 & = 0 \\ (1)-8(-1) +p(1) -5+2 & = 0 \\ 1+8 +p -3 & = 0 \\ p +6 & = 0 \\ p & = -6 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -6$

48. Soal Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=3x^{4}-5x^{2}+kx+12$ habis dibagi $x+2$, maka nilai $k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 40 \\
(E)\ & 50
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)=3x^{4}-5x^{2}+kx+12$ habis dibagi $x+2$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(-2) &= 0 \\ 3(-2)^{4}-5(-2)^{2}+k(-2)+12 &= 0 \\ 3(16)-5(4)-2k+12 &= 0 \\ 48-20-2k+12 &= 0 \\ -2k & = -40 \\ & = 20
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$

49. Soal Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap

Jika $f(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ sisanya $24$, sedangkan jika dibagi dengan $(x+5)$ sisanya $10$. Jika $f(x)$ dibagi dengan $x^{2}+3x-10$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+34 \\ (B)\ & x-34 \\ (C)\ & 2x-20 \\ (D)\ & 2x+20 \\ (E)\ & x+14
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $24$ dan $f(x)$ dibagi $(x+5)$ sisanya $10$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(2)=24$, dan $f(-5)=10$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}+3x-10$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-3x+2 \right) + mx+n \\ f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+5 \right) \left( x-2 \right)+ mx+n\\ \hline
f(2) & = 2m+n\\ 24 & = 2m+n\\ \hline
f(-5) & = -5m+n\\ 10 & = -5m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+n = 24 & \\ -5m+n = 10 & (-) \\ \hline
7m = 14 & \\ m = 2 & \\ n = 20 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=2x+20$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x+20$

50. Soal Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap

Jika $f(x)$ dibagi dengan $(x+2)$ bersisa $14$, dan dibagi $(x-4)$ bersisa $-4$. Jika $f(x)$ dibagi $x^{2}-2x-8$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3x-8 \\ (B)\ & 3x+8 \\ (C)\ & -3x+8 \\ (D)\ & 8x-3 \\ (E)\ & -8x+3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x+2)$ sisanya $24$ dan $f(x)$ dibagi $(x-4)$ sisanya $-4$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(-2)=14$, dan $f(4)=-4$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-2x-8$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-2x-8 \right) + mx+n \\ f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+2 \right) \left( x-4 \right)+ mx+n\\ \hline
f(-2) & = -2m+n\\ 14 & = -2m+n\\ \hline
f(4) & = 4m+n\\ -4 & = 4m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-2m+n = 14 & \\ 4m+n = -4 & (-) \\ \hline
-6m = 18 & \\ m = -3 & \\ n = 8 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=-3x+8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x+20$


51. Soal Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap

Suatu suku banyak $f(x)$ jika dibagi dengan $(x-2)$ bersisa $5$, dan dibagi $(x+3)$ bersisa $-10$. Jika $f(x)$ dibagi $x^{2}+x-6$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3x-1 \\ (B)\ & -3x+8 \\ (C)\ & -3x-8 \\ (D)\ & 3x-1 \\ (E)\ & -3x+1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $5$ dan $f(x)$ dibagi $(x+3)$ sisanya $-10$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(2)=5$, dan $f(-3)=-10$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}+x-6$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}+x-6 \right) + mx+n \\ f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x-2 \right) \left( x+3 \right)+ mx+n\\ \hline
f(2) & = 2m+n\\ 5 & = 2m+n\\ \hline
f(-3) & = -3m+n\\ -10 & = -3m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+n = 5 & \\ -3m+n = -10 & (-) \\ \hline
5m = 15 & \\ m = 3 & \\ n = -1 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=3x-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3x-1$

52. Soal Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap

Diketahui $R(x)=g(x) \cdot h(x)$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $6$ dan $10$. Jika $h(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $2$ dan $2$. Tentukan sisa pembagian $R(x)$ oleh $x^{2}-4$.
$\begin{align}
(A)\ & -2x-16 \\ (B)\ & -2x+16 \\ (C)\ & 2x+16 \\ (D)\ & 16x-2 \\ (E)\ & 16x+2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $g(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $6$ dan $10$,
sehingga berdasarkan teorema sisa berlaku $g(2)=6$, dan $g(-2)=10$.

Lalu disampaikan bahwa $h(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $2$ dan $2$,
sehingga berdasarkan teorema sisa berlaku $h(2)=2$, dan $h(-2)=2$.

$R(x)$ dibagi dengan $x^{2}-4$, sehingga berlaku
$\begin{align}
R(x) & \equiv H(x)\left( x^{2}-4 \right) + mx+n \\ g(x) \cdot h(x) & \equiv H(x) \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) + mx+n \\ g(2) \cdot h(2) & \equiv H(2) \left( 2-2 \right) \left( 2+2 \right) + m(2)+n \\ 6 \cdot 2 & \equiv 2m +n \\ 12 & \equiv 2m +n \\ \hline
g(-2) \cdot h(-2) & \equiv H(-2) \left( -2-2 \right) \left( -2+2 \right) + m(-2)+n \\ 10 \cdot 2 & \equiv -2m +n \\ 20 & \equiv -2m +n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+n = 12 & \\ -2m+n = 20 & (-) \\ \hline
4m = -8 & \\ m = -2 & \\ n = 16 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=-2x+16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2x+16$

53. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$ maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x-1)(x+1)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{-f(-1)}{2}(1+x) \\ (B)\ & \dfrac{-f(-1)}{2}(1-x) \\ (C)\ & \dfrac{f(-1)}{2}(1+x) \\ (D)\ & \dfrac{f(-1)}{2}(1-x) \\ (E)\ & \dfrac{f(-1)}{2}(x-1)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+\text{sisa}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-1)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-1)(x+1)+mx+n$

$f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(1) & = 0 \\ f(1) & = H(1) \cdot (1-1)(1+1)+m(1)+n \\ 0 & = m+n
\end{align} $

$f(x)$ dibagi oleh $(x-1)(x+1)$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = H(x) \cdot (x-1)(x+1)+mx+n \\ f(-1) & = H(-1) \cdot (-1-1)(-1+1)+m(-1)+n \\ f(-1) & = -m+n \\ f(-1) & = n+n \\ f(-1) & = 2n \\ n & = \dfrac{1}{2}f(-1) \\ m & = -\dfrac{1}{2}f(-1)
\end{align} $

Untuk $n=\dfrac{1}{2}f(-1)$ dan $m=-\dfrac{1}{2}f(-1)$ maka sisa pembagian $mx+n$ adalah:
$ \begin{align}
mx+n & = -\dfrac{1}{2}f(-1) \cdot x+\dfrac{1}{2}f(-1) \\ & = \dfrac{1}{2}f(-1) \left(-x+1 \right) \\ & = \dfrac{1}{2}f(-1) \left(1-x \right)
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{f(-1)}{2}(1-x)$

54. Soal SIMAK UI 2009 Kode 934 |*Soal Lengkap

Sebuah fungsi $f(x)$ memiliki sisa $30$ jika dibagi $(x-1)$ dan bersisa $15$ jika dibagi $\left( 3x-2\right)$. Jika $f(x)$ dibagi $(x-1)(3x-2)$ maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 45x-15 \\ (B)\ & 45x+5 \\ (C)\ & -40x-5 \\ (D)\ & 40x-15 \\ (E)\ & 45x+5 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+\text{sisa}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-1)(3x-2)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n$

$f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $30$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(1) & = 30 \\ f(x) &= H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n \\ f(1) & = m(1)+n \\ 30 & = m+n
\end{align} $

$f(x)$ dibagi $(3x-2)$ sisa $15$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f \left( \frac{2}{3} \right) & = 15 \\ f(x) &= H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n \\ f \left( \frac{2}{3} \right) & = m\left( \frac{2}{3} \right)+n \\ 15 & = \left( \frac{2}{3} \right)m+n \\ 45 & = 2m+3n
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 30 & \times 2 \\ 2m+3n = 45 & \times 1 \\ \hline
2m+2n = 60 & \\ 2m+3n = 45 & (-)\\ \hline
n = -15 & \\ m = 45
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n$ dalah $45x-15$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 45x-15$

55. Soal SIMAK UI 2009 Kode 944 |*Soal Lengkap

Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^{4}-8x^{3}+2ax^{2}+(5b+3)x+4c-3=0$ diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmatika dengan beda $2$. Nilai $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari suku banyak $x^{4}-8x^{3}+2ax^{2}+(5b+3)x+4c-3=0$ dan dengan menggunakan teorema akar vieta kita peroleh:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-8}{1}=8$

Dengan diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmatika dengan beda $2$,
$ \begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a} &= 8
x_{1}+x_{1}+2+x_{1}+4+x_{1}+6= 8 \\ 4x_{1} + 12 & = 8 \\ x_{1} & = -1
\end{align} $
Untuk $x_{1}=-1$, maka $x_{2}=1$, $x_{3}=3$ dan $x_{4}=5$

$ \begin{align}
x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4} & = \dfrac{c}{a} \\ -1 -3 -5+3+5+15 & = \dfrac{2a}{1} \\ 14 & = 2a \\ a & = 7
\end{align} $

$ \begin{align}
x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4} & = -\dfrac{d}{a} \\ -3-5-15+15 & = -\dfrac{5b+3}{1} \\ -8 & = -5b-3 \\ b & = 1
\end{align} $

$ \begin{align}
x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} & = \dfrac{e}{a} \\ -15 & = \dfrac{4c-3}{1} \\ -15 & = 4c-3 \\ c & = -3
\end{align} $

Nilai $a+b+c+d$ adalah $7+1-3=5$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$


56. Soal SIMAK UI 2009 Kode 954 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x-2$ sisanya $27$, jika dibagi $x+1$ sisanya $3$, maka jika dibagi $x-1$ sisanya sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x-2$ sisa $27$, maka $f(2)=27$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
(2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)-3 & = 27 \\ 8 +4a +2b -3 & = 27 \\ 4a +2b & = 22 \\ 2a + b & = 11
\end{align} $

Suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x+1$ sisa $3$, maka $f(-1)=3$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
(-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)-3 & = 3 \\ -1 + a - b -3 & = 3 \\ a - b & = 7
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 11 & \\ a-b = 7\ \ (+)& \\ \hline
3a = 18 & \\ a = 6 & \\
b = -1
\end{array} $

Untuk $a=6$ dan $b=-1 $ kita peroleh suku banyak menjadi $x^{3}+6x^{2}-x-3$, dan dibagi $x-1$ sisanya adalah:
$ \begin{align}
(1)^{3}+6(1)^{2}-(1)-3 & = 1+6-1-3 \\ & = 3
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$

57. Soal SIMAK UI 2010 Kode 503 |*Soal Lengkap

Jika sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x, x-1,$ dan $x + 2$ berturut-turut adalah $2, 3,$ dan $4$, maka sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x^{3} + x^{2} - 2x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{2}{3}x-2 \\ (B)\ & \dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{2}{3}x+2 \\ (C)\ & \dfrac{1}{3}x^{2}+2x-\dfrac{2}{3} \\ (D)\ & \dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{1}{3}-2 \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

suku banyak $f(x)$ dibagi $x$ sisa $2$ maka $f(0)=2$,
suku banyak $f(x)$ dibagi $x-1$ sisa $3$ maka $f(1)=3$,
suku banyak $f(x)$ dibagi $x+2$ sisa $4$ maka $f(-2)=4$

suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{3} + x^{2} - 2x$ maka:
$ \begin{align}
f(x) &=H(x) \cdot x^{3} + x^{2} - 2x+\text{sisa} \\ &=H(x) \cdot x \left(x^{2} + x - 2 \right)+ax^{2}+bx+c \\ &=H(x) \cdot x \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) + ax^{2}+bx+c \\ \hline
f(0) &= c\ \rightarrow\ c=2 \\ f(1) &= a+b+c \\ 3 &= a+b+ 2 \\ 1 &= a+b \\ f(-2) &= 4a-2b+c \\ 4 &= 4a-2b+2 \\ 1 &= 2a- b
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 1 & \\ 2a-b = 1\ \ (+)& \\ \hline
3a = 2 & \\ a = \dfrac{2}{3} & \\
b = \dfrac{1}{3} &
\end{array} $

Untuk $a=\dfrac{2}{3}$, $b=\dfrac{1}{3}$ dan $c=2$, maka sisa $ax^{2}+bx+c$ adalah $\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2$

58. Soal SIMAK UI 2010 Kode 506 |*Soal Lengkap

Jumlah semua solusi riil dari persamaan $x^{5}-4x^{4}-2x^{3}+39x^{2}-54x=0$
adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mendapatkan akar-akar riil atau akar-akar rasional persamaan suku banyak, salah satu caranya adalah dengan mencoba nilai $x$ yang mungkin jadi salah satu akar persamaan suku banyak.

Dari bentuk persamaan suku banyak di atas, salah satu akar yang sudah pasti adalah $x=0$ sehingga tidak perlu kita coba lagi, bentuk suku banyak menjadi:
$x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) =0$

berikutnya kita coba untuk $x=2$
$ \begin{align}
& x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+39x-54 \\ & = (2)^{4}-4(2)^{3}-2(2)^{2}+39(2)-54 \\ & = 16-32-8+78-54 \\
&= 0
\end{align} $
artinya $x=2$ merupakan salah satu akar suku banyak atau $(x-2)$ merupakan salah satu faktor suku banyak.

Berikutnya suku banyak $x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+39x-54$ kita bagi dengan $(x-2)$

Jumlah semua solusi riil dari persamaan
dari pembagian suku banyak di atas kita peroleh
$ \begin{align}
& x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) \\ & = x \left( x-2 \right) \left( x^{3}-2x^{2}-6x+27 \right)
\end{align} $

Lalu kita memfaktorkan $x^{3}-2x^{2}-6x+27$, dengan mencoba nilai $x$ yang mungkin yaitu $x=-3$
$ \begin{align}
& x^{3}-2x^{2}-6x+27 \\ & = (-3)^{3}-2(-3)^{2}-6(-3)+27 \\ & = -27-18+18+27 \\
&= 0
\end{align} $
artinya $x=-3$ merupakan salah satu akar suku banyak atau $(x+3)$ merupakan salah satu faktor suku banyak.
Berikutnya suku banyak $x^{3}-2x^{2}-6x+27$ kita bagi dengan $(x+3)$
Jumlah semua solusi riil dari persamaan
dari pembagian suku banyak di atas kita peroleh
$ \begin{align}
& x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) \\ & = x \left( x-2 \right) \left( x^{3}-2x^{2}-6x+27 \right) \\ & = x \left( x-2 \right) \left( x+3 \right) \left( x^{2}-5x+9 \right) \\ \end{align} $

Untuk $x^{2}-5x+9$ nilai $D=b^{2}-4ac$ adalah $D \lt 0$ sehingga tidak memiliki akar-akar riil.

Akar riil dari persamaan $x \left( x-2 \right) \left( x+3 \right) \left( x^{2}-5x+9 \right)$ adalah $0,2,-3$
Jumlah semua solusi riil adalah $0+2-3=-1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

59. Soal SIMAK UI 2010 Kode 507 |*Soal Lengkap

Diketahui $P(x)=ax^{5}+bx-1$ dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x-2010)$ bersisa $6$. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+2010)$ akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $P(x)$ dibagi $(x-2010)$ sisanya $6$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $P(2010)=6$.

Yang ditanyakan adalah $P(x)$ dibagi $(x+2010)$ atau $p(-2010)$

$\begin{align}
P(x) &= ax^{5}+bx-1 \\ P(2010) &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right)-1 \\ 6 &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right)-1 \\ 7 &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right) \\ 7 &=2010 \left( a \left( 2010 \right)^{4}+b \right) \\ \dfrac{7}{2010} &= a \left( 2010 \right)^{4}+b \\ \hline
p(-2006) &= a \left( -2010 \right)^{5}+b\left( -2010 \right)-1 \\ &= a \left( -2010 \right) \cdot \left( -2010 \right)^{4}+b\left( -2010 \right)-1 \\ &= \left( -2010 \right) \left( a \cdot \left(2010 \right)^{7}+b \right)-1 \\ &= \left( -2010 \right) \left( \dfrac{7}{2010} \right)-1 \\ &= -7 -1 =-8
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -8$

60. Soal SIMAK UI 2010 Kode 508 |*Soal Lengkap

Pada pembagian suku banyak $81x^{3} + 9x^{2} - 9x + 4$ dengan $(3x - p)$ diperoleh sisa $3p^{3} + 2$. Jumlah nilai-nilai $p$ yang memenuhi adalah....
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $81x^{3} + 9x^{2} - 9x + 4$ dibagi $(3x - p)$ sisanya $3p^{3} + 2$, sehingga berdasarkan teorema sisa untuk $x=\dfrac{p}{3}$ berlaku:
$\begin{align}
81\left( \frac{p}{3} \right)^{3} + 9\left( \frac{p}{3} \right)^{2} - 9\left( \frac{p}{3} \right) + 4 &= 3p^{3} + 2 \\ 81 \cdot \dfrac{p^{3}}{3^{3}} + 9 \cdot \dfrac{p^{2}}{3^{2}} - 9 \cdot \dfrac{p }{3} + 4 &= 3p^{3} + 2 \\ 3p^{3} + p^{2} - 3p + 4 &= 3p^{3} + 2 \\ p^{2} - 3p + 2 &= 0 \\ \hline
p_{1} + p_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{-3}{1} =3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$


61. Soal SIMAK UI 2011 Kode 511 |*Soal Lengkap

Misalkan $f(x)$ adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmatika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya sama dengan $12$. Maka sisa dari pembagian $f(x + 6)$ oleh $x^{2} + 1$ adalah ....
$\begin{align}
(A)\ & 7x-6 \\ (B)\ & x+6 \\ (C)\ & 6x-7 \\ (D)\ & x-6 \\ (E)\ & x+1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa akar-akar suku banyak $f(x)$ membentuk barisan aritmatika, kita misalkan dengan; $a, a+b, a+2b$.

Nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama,
$\begin{align}
a+2b &= 3a \\ 2b &= 2a \\ b &= a \\ \end{align}$

Jumlah akar-akarnya sama dengan $12$
$\begin{align}
a + a+b + a+2b &= 12 \\ a + a+a + a+2a &= 12 \\ 6a &= 12 \\ a &= 2 \\ \end{align}$
Akar-akar suku banyak $f(x)$ adalah $2,4,6$, sehingga:
$\begin{align}
f(x) &= (x-2)(x-4)(x-6) \\ f(x+6) &= (x+6-2)(x+6-4)(x+6-6) \\ &= (x+4)(x+2)(x) \\ &= \left( x^{2}+6x+8 \right) (x) \\ &= x^{3}+6x^{2}+8x
\end{align}$
Suku banyak $f(x+6) = x^{3}+6x^{2}+8x $ dibagi $x^{2}+1$, kita coba dengan manipulsi faktor $x^{2}=-1$.
$\begin{align}
f(x+6) &= x^{3}+6x^{2}+8x \\ &= x^{2} \cdot x+6x^{2}+8x \\ &= (-1) \cdot x+6(-1)+8x \\ &= -x-6+8x \\
&= 7x-6
\end{align}$
Sisa pembagian $f(x+6) = x^{3}+6x^{2}+8x $ dengan $x^{2}+1$ adalah $7x-6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7x-6$

62. Soal UM UNDIP 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap

Diberikan persamaan $\dfrac{2x^{2}+x+3}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)}=\dfrac{a}{ x-1}+\dfrac{b}{ x+1}+\dfrac{c}{ x+2}$ dengan $a,b,$ dan $c$ konstanta-konstanta. Nilai $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Bentuk suku banyak di atas jika kita ubah bentuknya menjadi dua suku banyak yang sama, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{2x^{2}+x+3}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\ &=\dfrac{a}{ x-1}+\dfrac{b}{ x+1}+\dfrac{c}{ x+2} \\ &=\dfrac{(a+b)x+(a-b)}{x^{2}-1}+ \dfrac{c}{ x+2} \\ &=\dfrac{\left[ (a+b)x+(a-b) \right] \left( x+2 \right)+c \left( x^{2}-1 \right)}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\ &=\dfrac{(a+b)x^{2}+2(a+b)x+(a-b)x+2(a-b)+cx^{2}-c}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\ &=\dfrac{(a+b+c)x^{2}+(3a+b)x+2a-2b-c}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)}
\end{align}$
Dari kesamaan dua suku banyak di atas kita peroleh nilai $a+b+c=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

63. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Jika $\left( x-2 \right)^{2}$ membagi $x^{4}- ax^{3}+bx^{2}x^{2}+4x-4$, maka $ab=\cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 16 \\ (D)\ & 20 \\ (E)\ & 25 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Pemfaktoran Langsung dari suku banyak.

$ \begin{align} & x^{4}- ax^{3}+bx^{2} +4x-4 \\ & = \left( x-2 \right)^{2}\left( x^{2}+px+q \right) \\ & = \left( x^{2}-4x+4 \right) \left( x^{2}+px+q \right) \\ & = x^{4}+px^{3}+qx^{2}-4x^{3}-4x^{2}-4qx+4x^{2} +4px+4q \\ & = x^{4}+ \left( p-4 \right)x^{3}+\left( 4p+q+4 \right)x^{2}+\left( 4p-4q \right)x +4q \end{align} $

Dari kesamaan suku banyak di atas kita peroleh:

  • $4q=-4$ maka $q=-1$
  • $4p-4q=4$ atau $4p+4=4$ maka $p=0$
  • $4p+q+4=b$ maka $b=4(0)+(-1)+4=3$
  • $p-4=-a$ maka $a=4-0=4$
  • Nilai $ab=(4)(3)=12$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$

64. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa...

$\begin{align}
(A)\ & x+1 \\ (B)\ & x+2 \\ (C)\ & x+3 \\ (D)\ & 2x+1 \\ (E)\ & 2x+4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Metode Horner Kino.

Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa

Dari apa yang kita peroleh di atas, sisa yang kita peroleh $\left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right)$, sehingga dapat kita tuliskan: $ \begin{align} \left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right) & \equiv 7x+14 \\ \hline -2A+11=7 & \\ -2A = -4 & \\ A = 2 & \\ -2A+B+8=14 & \\ -4+B+8 = 14 & \\ B = 10 & \end{align} $

Sekarang suku banyaknya adalah $x^{4}+3x^{3}+2x^{2} +5x+10$ dibagi $x^{2}+4x+4$ adalah:

Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Suku Banyak atau Polinomial (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA suku banyak (Polinomial) silahkan disampaikan CMIIW๐Ÿ˜Š.

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ’— Cara alternatif Menentukan Nilai suku banyak (polinomial) dengan Substitusi Langsung dan Cara Skema;

youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "60+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Sukubanyak (Polinomial)" silahkan disampaikan ๐Ÿ˜Š dan terima kasih ๐Ÿ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar