Kumpulan Soal KSM/OMI Madrasah Tsanawiyah (MTs) Tingkat Kabupaten/Kota, Provinsi, dan Nasional

Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar suku banyak (Polinomial). Pada catatan matematika sebelumnya ada kita sudah mengenal istilah persamaan kuadrat. Kenapa kita singgung persamaan kuadrat, karena persamaan kuadrat adalah bagian dari suku banyak, sehingga saat kita belajar persamaan kuadrat setidaknya kita sudah belajar sedikit tentang suku banyak.

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Suku banyak (polinomial) $F(x)$ dalam $x$ berderajat $n$ adalah:
$F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n}$
dimana:

• $n$ adalah bilangan cacah dan $a\neq 0$
• $a_{n},\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \cdots, a_{0}$ konstanta dan merupakan koefisien dari $x^{n}, x^{n-1}, \cdots, x^{0}$
• Derajat suatu suku banyak dalam $x$ dinyatakan oleh pangkat tertinggi ($n$) dalam suku banyak tersebut.

---

NILAI SUKU BANYAK

Nilai suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ pada saat $x=k$ adalah $F(k)$

---

KESAMAAN SUKU BANYAK

Suku banyak $F(x)$ dan $g(x)$ dikatakan sama ketika derajat dan koefisian variabel-variabel yang berpangkat sama besarnya adalah sama.

Catatan terkait nilai suku banyak dan kesamaan suku banyak dapat di simak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Definisi dan Nilai Suku Banyak (Polinomial).

---

PEMBAGIAN SUKU BANYAK

Pembagian suku banyak secara umum dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan bersusun kebawah dan cara horner. Untuk cara pembagian suku banyak ini kita diskusikan pada catatan tersendiri, silahkan disimak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Operasi Pembagian Pada Suku Banyak (Polinomial). Untuk melanjutkan diskusi berikut ini, materi pembagian suku banyak sudah kita anggap bisa.

---

TEOREMA SISA

• Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.
  dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
  $F(x) \equiv H(x) \cdot (x-a)+F(a)$
  
• Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(ax-b)$, maka sisa pembagiannya adalah $F \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
  dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
  $F(x) \equiv H(x) \cdot (ax-b)+F \left(\dfrac{b}{a} \right)$
• Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x – a)(x - b)$, maka sisa pembagiannya adalah $\dfrac {F(a)-F(b)}{a-b}x+\dfrac {a \cdot F(b)-b \cdot F(a)}{a-b}$.
  dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
  $F(x) \equiv H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
  

Catatan terkait teorema sisa dapat di simak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial).

---

TEOREMA FAKTOR

Untuk suku banyak $F(x)$, $(x-a)$ adalah faktor suku banyak $F(x)$ jika dan hanya jika $F(a)=0$.

• Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ faktornya adalah $(x-a)$, maka $F(a)=0$.
• Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ nilai $F(a)=0$ maka $(x-a)$ adalah faktor $F(x)$.

Catatan terkait teorema faktor dan teorema vieta dapat di simak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Faktor dan Teorema Vieta Pada Suku Banyak (Polinomial).

---

TEOREMA AKAR-AKAR VIETA

Teorema akar-akar Vieta atau mungkin yang lebih dikenal dengan Hasil Jumlah dan Hasil Kali akar-akar Suku Banyak (*François Viète adalah pakar matematika abad ke-16 kebangsaan Perancis).

Persamaan suku banyak yang mempunyai akar-akar real paling banyak $n$ buah. Jika $x_{1},x_{2},x_{3}, \dots x_{n}$ adalah akar-akar dari persamaan tersebut, maka hubungan antara akar-akarnya ini adalah sebagai berikut.

$F(x)=ax^{2}+bx+c$,
akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$

• $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
• $x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$

$F(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$,
akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$

• $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$
• $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+ x_{2}\cdot x_{3} = \dfrac{c}{a}$
• $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\dfrac{d}{a}$

$F(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$,
akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$

• $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
• $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \dfrac{c}{a}$
• $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4}+\cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\dfrac{d}{a}$
• $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \dfrac{e}{a}$

---

Soal dan Pembahasan Matematika SMA Suku Banyak (Polinomial)

Catatan matematika tentang soal dan pembahasan Suku Banyak (Polinomial) ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.

Soal-soal latihan Suku Banyak (Polinomial) berikut ini silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

Nama Peserta :
Tanggal Tes :	Rabu, 20 Agustus 2025
Jumlah Soal :	40 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal UM UGM 2008 Kode 472 |*Soal Lengkap

Jika $a$ dan $b$ adalah sisa hasil pembagian $f(x)=x^{3}-4x+1$ dan $g(x)=2x^{3}+5x^{2}-8$ oleh $x+2$, maka sisa hasil pembagian $f(x)-g(x)$ oleh $\left( x-a-b \right)$ adalah...

$(A)\ 2$

$(B)\ 3$

$(C)\ 4$

$(D)\ 5$

$(E)\ 6$

Alternatif Pembahasan:

Diketahui $a$ adalah sisa hasil pembagian $f(x)$ oleh $x+2$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= x^{3}-4x+1 \\ f(-2) &= (-2)^{3}-4(-2)+1 \\ a &= -8+8+1 \rightarrow a=1 \end{align}$

Diketahui $a$ adalah sisa hasil pembagian $g(x)$ oleh $x+2$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} g(x) &= 2x^{3}+5x^{2}-8 \\ g(-2) &= 2(-2)^{3}+5(-2)^{2}-8 \\ b &= -16+20-8 \rightarrow b=-4 \end{align}$

Sisa hasil pembagian $f(x)-g(x)$ oleh $\left( x-a-b \right)$ atau $\left( x+3 \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x)-g(x) &= \left( x^{3}-4x+1 \right) - \left( 2x^{3}+5x^{2}-8 \right) \\ f(x)-g(x)&=-x^{3}-5x^{2}-4x+ 9 \\ f(-3)-g(-3) &=-(-3)^{3}-5(-3)^{2}-4(-3)+ 9 \\ &=27-45+12+9 \\ &= 3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$

2. Soal UM UNDIP 2015 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah...

$(A)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( b \right )$

$(B)$ $\dfrac{x-a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-b}{b-a}f\left ( a \right )$

$(C)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( a \right )$

$(D)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$

$(E)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( a \right )$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba menggunakan teorema sisa, yaitu:
Untuk
$f(x)=h(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$f(a)=am+n\ \cdots \text{pers.1}$
$f(b)=bm+n\ \cdots \text{pers.2}$
Dari kedua persamaan di atas dapat kita tentukan nilai $m$ dan $n$ yaitu sebagai berikut:

#menentukan nilai $m$
$\begin{array}{c|c|cc} f(a) = am+n & \\ f(b) = bm+n & (-)\\ \hline f(a) -f(b) = am-bm & \\ f(a) -f(b) = (a -b)m & \\ \dfrac{f(a) -f(b)}{a-b} = m \end{array}$

#menentukan nilai $n$
$\begin{array}{c|c|cc} f(a) = am+n & \times b\\ f(b) = bm+n & \times a\\ \hline b \cdot f(a) = abm+bn & \\ a \cdot f(b) = abm+an & (-) \\ \hline b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = bn-an &\\ b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = (b -a ) n &\\ \dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} = n \end{array}$

Sisa Pembagian adalah $mx+n$, sehingga berlaku:
$\begin{align} mx+n &= \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} \\ & =\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\ & =\dfrac{x \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\ & =\dfrac{x \cdot f(a)-b \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)}{a-b} \\ & =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{a-x}{a-b}f(b) \\ & =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{x-a}{b-a}f(b) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$

3. Soal SBMPTN 2014 |*Soal Lengkap

Diketahui $P(x)$ suatu polinomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $x-1$, maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...

$(A)\ x+2$

$(B)\ 2x$

$(C)\ x$

$(D)\ 1$

$(E)\ 2$

Alternatif Pembahasan:

$P(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Untuk $x=0$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
maka $P(0)=n$

Untuk $x=2$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
$P(2)=2m+n$

Pada soal diketahui $P(x+1)=2$ dan $P(x-1)=2$ maka untuk $x=1$ diperoleh $P(2)=2$ dan $P(0)=2$.

$P(0)=2$ dan $P(0)=n$ maka $n=2$
$P(2)=2$ dan $P(2)=2m+n$ maka $2m+n=2$ sehingga $m=0$.

Sisa pembagian adalah $mx+n$ yaitu $0x+2=2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

4. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap

Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-2g(x)$, oleh $x^{2}+x-2$ adalah $x+3$, sisa pembagian $2f(x)+g(x)$ oleh $x^{2}-3x+2$ adalah $x+1$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x-1$ adalah...

$(A)\ \dfrac{23}{24}$

$(B)\ \dfrac{18}{24}$

$(C)\ -\dfrac{21}{25}$

$(D)\ -\dfrac{48}{25}$

$(E)\ -\dfrac{50}{36}$

Alternatif Pembahasan:

Dari keterangan pada soal kita peroleh;
$f(x)-2g(x)=(x^{2}+x-2)H(x)+x+3$
$f(x)-2g(x)=(x+2)(x-1)H(x)+x+3$

$2f(x)+g(x)=(x^{2}-3x+2)H(x)+x+1$
$2f(x)+g(x)=(x-2)(x-1)H(x)+x+1$

Untuk $x=1$ atau $x=2$, kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc} f(1)-2g(1) = 4 & \times 1\\ 2f(1)+g(1) = 2 & \times 2\\ \hline f(1)-2g(1) = 4 & \\ 4f(1)+2g(1) = 4 & (+)\\ \hline 5f(1) = 8 &\\ f(1) = \dfrac{8}{5} & \\ g(1) = -\dfrac{6}{5} \end{array}$

Nilai $f(1)g(1)=\dfrac{8}{5}\dfrac{-6}{5}=-\dfrac{48}{25}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{48}{25}$

5. Soal Ujian Nasional 2011 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$. Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ dan dibagi $(x+1)$ sisa $-1$, maka nilai $(2a+b)$ adalah...

$(A)\ 13$

$(B)\ 10$

$(C)\ 8$

$(D)\ 7$

$(E)\ 6$

Alternatif Pembahasan:

Dari soal kita peroleh beberapa data, antara lain;
Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ maka $P(1)=11$
Jika $P(x)$ dibagi $(x+1)$ sisa $-1$ maka $P(-1)=-1$

Karena $P(1)=11$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(1)=2+a-3+5+b$
$11=a+b+4$
$a+b=7 \cdots (1)$

Karena $P(-1)=-1$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(-1)=2-a-3-5+b$
$-1=-a+b-64$
$-a+b=5 \cdots (2)$

$\begin{array}{c|c|cc} a+b = 7 & \\ -a+b = 5 & (+)\\ \hline 2b = 12 & \\ b = 6 & \\ a = 1 & \end{array}$

Nilai $2a+b=2+6=8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$

6. Soal Ujian Nasional SMA 2007 |*Soal Lengkap

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $10$ dan jika dibagi $(2x-3)$ sisanya $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(2x^{2}-x-3)$, sisanya adalah...

$(A)\ -2x+8$

$(B)\ -2x+12$

$(C)\ -x+4$

$(D)\ -5x+5$

$(E)\ -5x+15$

Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan pada soal, ada beberapa hal yang dapat kita simpulkan yaitu;
$f(-1)=10$ dan $f(\dfrac{3}{2})=5$

Dari bentuk suku banyak;
$f(x)=h(x)\cdot p(x)+sisa$
$f(x)=h(x)\cdot 2x^{2}-x-3+mx+n$
$f(x)=h(x)\cdot (x+1)(2x-3)+mx+n$

$f(-1)=-m+n$ maka $-m+n=10$ $\cdots (1)$
$f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{3}{2}m+n$ maka $\dfrac{3}{2}m+n=5$ $\cdots (2)$

Dengan mengeliminasi atau substitusi pers. $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh nilai $m=-2$ atau $n=8$

$mx+n \equiv -2x+8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2x+8$

7. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+x-2$ bersisa $ax+b$ dan dibagi $x^{2}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$. Jika $f(-2)=7$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$

$(A)\ 12$

$(B)\ 10$

$(C)\ 9$

$(D)\ 8$

$(E)\ 5$

Alternatif Pembahasan:

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x-1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x-1)+ax+b$
ketika $f(x)$ dibagi $(x-1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-3)(x-1)+2bx+a-1$

Dari persamaan di atas kita peroleh:
$f(-2)=7$ maka $-2a+b=7$
$\begin{align} f(1) & = f(1) \\ a+b & = 2b+a-1 \\ b & = 1 \\ -2a+b & = 7 \\ -2a+1 & = 7 \\ -2a & = 6 \\ a & = -3 \\ a^{2}+b^{2} & = (-3)^{2}+(1)^{2} \\ & = 10 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+3x+2$ bersisa $3bx+a-2$ dan dibagi $x^{2}-2x-3$ bersisa $ax-2b$. Jika $f(3)+f(-2)=6$, maka $a+b=\cdots$

$(A)\ -1$

$(B)\ 0$

$(C)\ 1$

$(D)\ 2$

$(E)\ 3$

Alternatif Pembahasan:

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x+1)+3bx+a-2$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+1)(x-3)+ax-2b$

Dari persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} f(3)+f(-2) & = 6 \\ 3a-2b-6b+a-2 & = 6 \\ 4a-8b & = 8 \\ a-2b & = 2 \cdots (1)\\ f(-1) & = f(-1) \\ -3b+a-2 & = -a-2b \\ -b+2a & = 2 \cdots (2)\\ \end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc} a-2b = 2 & \\ -b+2a = 2 & (-)\\ \hline -a-b = 0 & \\ a+b = 0 \end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0$

9. Soal UMB-PT 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap

Hasil kali semua $x$ yang memenuhi persamaan $9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6}=0$ adalah...

$(A)\ -10$

$(B)\ -5\sqrt{2}$

$(C)\ 5$

$(D)\ 5\sqrt{2}$

$(E)\ 10$

Alternatif Pembahasan:

Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar dan bilangan berpangkat, seperti berikut ini;
$\begin{align} 9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6} &= 0 \\ 9^{x^{3}-4x^{2}-x+4} &= 9^{x^{2}+x-6} \\ x^{3}-4x^{2}-x+4 &= x^{2}+x-6 \\ x^{3}-4x^{2}-x+4 -x^{2}-x+6 &= 0 \\ x^{3}-5x^{2}-2x+10 &= 0 \end{align}$
Untuk hasil kali semua nilai $x$ adalah:
$\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} &= -\dfrac{d}{a} \\ &= -\dfrac{10}{1} \\ &= -10 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -10$

10. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap - Soal SPMB 2005 Kode 580 |*Soal Lengkap

Hasil bagi dan sisa suku banyak $3x^{3}+10x^{2}-8x+3$ dibagi $x^{2}+3x-1$, berturut-turut adalah...

$(A)\ 3x+1\ \text{dan}\ 2x+2$

$(B)\ 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4$

$(C)\ 3x-1\ \text{dan}\ 8x+2$

$(D)\ 3x+19\ \text{dan}\ -56x+21$

$(E)\ 3x+19\ \text{dan}\ 51x+16$

Alternatif Pembahasan:

Jika Pembagian suku banyak di atas kita coba selesaikan dengan pembagian bersusun kebawah;

Jika Pembagian suku banyak di atas kita coba selesaikan dengan metode horner-kino;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4$

11. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4$ dibagi $(x-1)$ sisanya $10$, sementara jika dibagi dengan $(x+2)$ akan menghasilkan sisa $2$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut yang memenuhi adalah...

$(A)\ \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$

$(B)\ \dfrac{3}{4}\ \text{dan}\ 1$

$(C)\ 1\ \text{dan}\ \dfrac{4}{3}$

$(D)\ 1\ \text{dan}\ \dfrac{3}{4}$

$(E)\ -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Pembagian suku banyak yang mungkin membantu yaitu;

Teorema Sisa

---

• Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya adalah $s=f(a)$.
• Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya adalah $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.

$\begin{align} f(x) &= ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4 \\ f(1) &= a(1)^{3}+3b(1)^{2}+(2a-b)(1)+4 \\ 10 &= a +3b+ 2a-b +4 \\ 6 &= 3a +2b \\ \hline f(-2) &= a(-2)^{3}+3b(-2)^{2}+(2a-b)(-2)+4 \\ 2 &= -8a +12b -4a+2b+4 \\ -2 &= -12a +14b \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc} -12a+14b = -2 & (\times 1) \\ 3a+2b = 6 & (\times 4) \\ \hline -12a+14b = -2 & \\ 12a+8b = 24 & (+) \\ \hline 22b = 22 & \\ b = 1 & 3a+2b = 6 \\ & 3a+2(1) = 6 \\ & a = \dfrac{4}{3} \end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$

12. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $P(x)=ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan $x+a$, maka $ab=\cdots$

$(A)\ \dfrac{1}{4}$

$(B)\ \dfrac{1}{2}$

$(C)\ 1$

$(D)\ 2$

$(E)\ 4$

Alternatif Pembahasan:

Jika sebuah bilangan $a$ habis dibagi $x$ dan $y$, maka berlaku $a \equiv k \cdot x \cdot y$
contoh:
$140$ habis dibagi $5$ dan $2$
sehingga berlaku $140 \equiv k \cdot 5 \cdot 2$, dan nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=14$

suku banyak $P(x)= ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi oleh $x^{2}+1$ dan $x+a$.
$\begin{align} & ax^{3}+x^{2}+bx+1 \\ & \equiv k \cdot \left( x^{2}+1 \right) \left( x+a \right) \\ 0 & \equiv k \cdot \left( x^{3}+ax^{2}+ x + a \right) \\ 0 & \equiv kx^{3}+ akx^{2}+ kx +ak \end{align}$
Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=k$
• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $ak=1$, maka $a^{2}=1$ atau $a= \pm 1$
• dari koefisien $x$ kita peroleh $b=k$

Untuk $a=1$ dan $b=1$, nilai $ab=1$
Untuk $a=-1$ dan $b=-1$, nilai $ab=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

13. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Suku banyak $f(x)=ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan dibagi $x-4$ bersisa $51$ Nilai $a+b=\cdots$

$(A)\ -2$

$(B)\ -1$

$(C)\ 0$

$(D)\ 1$

$(E)\ 2$

Alternatif Pembahasan:

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x)$

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align} & ax^{3}-ax^{2}+bx-a \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+ mx+ n \end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$
• dari koefisien $x$ kita peroleh $b=m$

suku banyak $f(x)= ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ dibagi $x-4$ bersisa $51$
$\begin{align} f(4) & = a(4)^{3}-a(4)^{2}+b(4)-a \\ 51 & = 64a -16a +4b -a \\ 51 & = 47a +4b \\ 51 & = 47a +4a \\ 51 & = 51a \rightarrow a=1 \end{align}$
Untuk $a=1$ dan $a=b$ maka $b=$, nilai $a+b=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

14. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dengan $a \neq 0$ habis dibagi $x^{2}+2$, maka nilai $\dfrac{b}{2a}$ adalah...

$(A)\ \dfrac{1}{4}$

$(B)\ \dfrac{1}{2}$

$(C)\ 1$

$(D)\ 2$

$(E)\ 4$

Alternatif Pembahasan:

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x)$

Jika suku banyak $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dibagi $x^{2}+2$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align} & x^{3}+ax^{2}+2x+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+2 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+2mx+2n \end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $m=1$
• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $a=n$
• dari konstanta kita peroleh $b=2n$

Untuk $a=n$ dan $b=2n$, maka $\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2n}{2n}=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

15. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, maka nilai $ab$ adalah...

$(A)\ -\dfrac{1}{4}$

$(B)\ -\dfrac{1}{2}$

$(C)\ -1$

$(D)\ -2$

$(E)\ -4$

Alternatif Pembahasan:

Jika sebuah bilangan $a$ habis dibagi $x$ dan $y$, maka berlaku $a \equiv k \cdot x \cdot y$
contoh:
$140$ habis dibagi $5$ dan $2$
sehingga berlaku $140 \equiv k \cdot 5 \cdot 2$, dan nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=14$

suku banyak $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, sehingga berlaku:
$\begin{align} & ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a \\ & \equiv k \cdot \left( x^{2}+2 \right) \left( x+b \right) \\ & \equiv k \cdot \left( x^{3}+bx^{2}+2x +2b \right) \\ & \equiv kx^{3}+ kbx^{2}+2kx +2bk \end{align}$
Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $kb=b$, maka $k=1$
• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=k$, maka $a=1$
• dari konstanta kita peroleh $2bk=-a$, maka $2b=-1$

Untuk $a=1$ dan $b=-\dfrac{1}{2}$, nilai $ab=-\dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

16. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $(x-2)^{2}$ bersisa $-2x+a$. Nilai $a+b=\cdots$

$(A)\ 15$

$(B)\ 13$

$(C)\ 0$

$(D)\ -13$

$(E)\ -15$

Alternatif Pembahasan:

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x)$

Jika suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $\left(x-2 \right)^{2}=x^{2}-4x+4$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align} & x^{3}+bx^{2}-2x-6 \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}-4x+4 \right) -2x+a \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}-4mx^{2}-4nx+4mx+4n -2x+a \\ & \equiv mx^{3}+ \left(n -4m \right) x^{2}+ \left(4m-4n-2 \right)x+4n+a \\ \end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $1=m$
• dari koefisien $x$ kita peroleh $4m-4n-2=-2$, maka $n=1$
• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $b=n-4m$, maka $b=-3$
• dari konstanta kita peroleh $-6=4n+a$, maka $a=-10$

Untuk $a=-10$ dan $b=-3$, maka $a+b=-13$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -13$

17. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$. Jika $x^{2}+1$ adalah faktor dari $f(x)$ dan $f(a)=2$, maka nilai $ab=\cdots$

$(A)\ -2$

$(B)\ -1$

$(C)\ 0$

$(D)\ 1$

$(E)\ 2$

Alternatif Pembahasan:

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x)$

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align} & ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+mx+n \end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari konstanta kita peroleh $n=a+b$
• dari koefisien $x$ kita peroleh $-b=m$
• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $n=a+b$
• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$

Karena nilai $m=a$ dan $m=-b$, maka $a=-b$
Diketahui $f(a)=2$, sehingga:
$\begin{align} f(a) & = ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\ 2 & = a \cdot a^{3}+(a+b) \cdot a^{2}-b \cdot a +a+b \\ 2 & = a^{4}+(a+b)a^{2}-ab +a+b \\ 2 & = a^{4}+(a-a)a^{2}-a(-a) +a-a \\ 2 & = a^{4}+ a^{2} \\ 0 & = a^{4}+ a^{2} -2 \\ 0 & = \left( a^{2}+2 \right)\left( a^{2}-1 \right) \\ 0 & = \left( a^{2}+2 \right)\left( a-1 \right)\left( a+1 \right) \\ \end{align}$

Untuk $a=1$ nilai $b=-1$ sehingga $ab=-1$
Untuk $a=-1$ nilai $b=1$ sehingga $ab=-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

18. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $a+b=\cdots$

$(A)\ 1$

$(B)\ 2$

$(C)\ 4$

$(D)\ 5$

$(E)\ 6$

Alternatif Pembahasan:

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x)$

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align} & ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+mx+n \end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $n=3$
• dari konstanta kita peroleh $n=b$ maka $b=3$
• dari koefisien $x$ kita peroleh $b-2=m$ maka $m=1$
• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$ maka $a=1$
• Nilai $a+b=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$

19. Soal SPMB 2006 Kode 320 |*Soal Lengkap - Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika Diketahui $P(x)= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right)$. Dengan $Q(x)$ adalah suatu suku banyak. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+1)$ bersisa $10$ dan jika dibagi $(x-1)$ bersisa $20$. Maka apabila $P(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ akan bersisa...

$(A)\ 10$

$(B)\ 20$

$(C)\ 25$

$(D)\ 35$

$(E)\ 45$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

$\begin{align} P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(-1) & =10 \rightarrow -a +b= 10 \\ P( 1) &=20 \rightarrow a +b= 20 \\ \end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc} -a+b = 10 & \\ a+b = 20 & (+) \\ \hline 2b = 30 & \\ b = 15 & \\ a = 5 \end{array}$
Jika $P(x)$ dibagi oleh $(x-2)$, maka sisa pembagian adalah:
$\begin{align} P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\ P(2) &= 2a+ b \\ P(2) &= 2(5)+ (15)=25 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$

20. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $3a - b$ adalah...

$(A)\ -9$

$(B)\ -3$

$(C)\ 3$

$(D)\ 9$

$(E)\ 12$

Alternatif Pembahasan:

Soal ini kita coba selesaikan dengan Cara Manipulasi Faktor, dengan manipulasi faktor ini, kita anggap faktornya adalah sama dengan nol.

Dengan menganggap faktor (pembagi) $x^{2}+1=0$ sehingga diperoleh $x^{2}=-1$.

Dengan $x^{2}=-1$ dan $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka berlaku:
$\begin{align} p(x) & \equiv ax^{3}+bx^{2}+2x-3 \\ p(x) & \equiv ax \cdot x^{2}+bx^{2}+2x-3 \\ 0 & \equiv ax (-1) +b (-1) +2x-3 \\ 0 & \equiv -ax -b +2x-3 \\ 0 & \equiv (2-a)x -b-3 \\ \hline 2-a\ & = 0 \\ a & = 2 \\ \hline -b-3\ & = 0 \\ b\ & = -3 \\ \hline \text{nilai}\ 3a-b &= 3(2)-(-3) =9 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$

21. Soal SPMB 2007 Kode 551 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dan $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ mempunyai sisa sama apabila dibagi $(x+1)$ maka nilai $p+q=\cdots$

$(A)\ -2$

$(B)\ -1$

$(C)\ 0$

$(D)\ 1$

$(E)\ 2$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

Suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$\begin{align} 2x^{3}-px^{2}+qx+6 & = 2(-1)^{3}-p(-1)^{2}+q(-1)+6 \\ & = -2-p -q +6 \\ & = 4-p -q \end{align}$

Suku banyak $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$\begin{align} 2x^{3}+3x^{2}-4x-1 & = 2(-1)^{3}+3(-1)^{2}-4(-1)-1 \\ & = -2+3+4-1 \\ & = 4 \end{align}$

Karena sisa pembagian di atas dikatakan sama sehingga berlaku:
$\begin{align} 4-p-q & = 4 \\ -p-q & = 4-4 \\ -p-q & = 0 \\ p+q & = 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

22. Soal SPMB 2007 Kode 451 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dengan $a,b$ dan $c$ konstanta. Jika suku banyak $p(x)$ bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x-2007)$ dan juga bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x+2007)$, maka $c=\cdots$

$(A)\ -2007$

$(B)\ -1$

$(C)\ 0$

$(D)\ 10$

$(E)\ 2007$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x-2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$\begin{align} P(2007) & = -2007 \\ a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007)-2007 & = -2007 \\ a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007) & = 0 \\ a(2007)^{6}+b(2007)^{4} & = - 2007c \end{align}$

Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x+2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$\begin{align} P(-2007) & = -2007 \\ a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007)-2007 & = -2007 \\ a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007) & = 0 \\ a (-1)^{6} (2007)^{6}+b(-1)^{4}(2007)^{4}+c(-1)(2007) & = 0 \\ a (2007)^{6}+b (2007)^{4}-c(2007) & = 0 \\ a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = 2007c \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = a (2007)^{6}+b (2007)^{4} \\ 2007c & = -2007c \\ 2007c+2007c & = 0 \\ 4014c & = 0 \\ c & = 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

23. Soal SNMPTN 2008 Kode 302 |*Soal Lengkap

Nilai $m+n$ yang mengakibatkan $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{3}x+na^{4}$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ adalah...

$(A)\ 2$

$(B)\ 1$

$(C)\ 0$

$(D)\ -1$

$(E)\ -2$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

Suku banyak $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{3}x+na^{4}$ dibagi $(x-a)^{2}$ dengan skema horner sebagai berikut:

Karena $P(x)$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ sehingga sisa pembagian adalah nol, sehingga berlaku:
$\begin{align} -ma^{3}+2a^{3} & = 0 \\ \left( -m +2 \right) a^{3} & = 0 \\ -m +2 & = 0 \\ m & = 2 \\ \hline na^{4}-ma^{4}+3a^{4} & = 0 \\ na^{4}-(2)a^{4}+3a^{4} & = 0 \\ na^{4}+a^{4} & = 0 \\ \left(n +1 \right) a^{4} & = 0 \\ n & = -1 \\ \hline m+n & = 2-1 \\ m+n & = 1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

24. Soal SNMPTN 2009 |*Soal Lengkap

Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ adalah $x-1$. Faktor yang lain adalah...

$(A)\ x^{2}+3x+3$

$(B)\ x^{2}+x-3$

$(C)\ x^{2}+3x-3$

$(D)\ x^{2}+2x+3$

$(E)\ x^{2}-7x+3$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Faktor suku banyak $f(x)$ adalah $(x-a)$ maka $f(a)=0$

Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ adalah $(x-1)$, maka berlaku:
$\begin{align} (1)^{3}+k(1)^{2}+(1)-3 & = 0 \\ 1+k +1-3 & = 0 \\ k-1 & = 0 \\ k & = 1 \end{align}$
Untuk nilai $k=1$ maka suku banyak $x^{3}+x^{2}+x-3$ dibagi $(x-1)$ dengan metode horner sebagai berikut:

Hasil pembagian suku banyak merupakan salah satu faktor suku banyak yaitu $x^{2}+2x+3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+2x+3$

25. Soal SNMPTN 2011 |*Soal Lengkap

Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$. Jika $f(x)$ adalah suku banyak yang bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$ dan bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka nilai $a$ adalah...

$(A)\ -1$

$(B)\ -2$

$(C)\ 1$

$(D)\ 2$

$(E)\ 3$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$, maka berlaku:
$\begin{align} g(1) & = 0 \\ a(1)^{2}-b(1)+a-b & = 0 \\ a -b +a-b & = 0 \\ 2a -2b & = 0 \\ a & = b \end{align}$
Untuk $a=b$, maka $g(x)=ax^{2}-bx+a-b=ax^{2}-ax$ atau $g(x)=ax \left( x-1 \right)$

Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$, sehingga $f(1) = a$ dan $f(x)$ bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka berlaku:
$\begin{align} f(x) & = H(x) \cdot g(x)+sisa \\ f(x) & = H(x) \cdot ax \left( x-1 \right) + 3ax+b^{2}+1 \\ f(1) & = 3a(1)+b^{2}+1 \\ a & = 3a +a^{2}+1 \\ 0 & = a^{2}+2a+1 \\ 0 & = (a+1)(a+1) \\ a & = -1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

26. Soal SNMPTN 2011 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$. Suku banyak $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$ adalah...

$(A)\ 4x-2$

$(B)\ 3x-2$

$(C)\ 3x+2$

$(D)\ 4x+2$

$(E)\ 5x-2$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Diketahui $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
$\begin{align} f(-1) & = -2 \\ f(2) & = 3 \end{align}$

Diketahui $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
$\begin{align} g(-1) & = 3 \\ g(2) & = 2 \end{align}$

Karena $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$, berlaku:
$\begin{align} h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x^{2}-x-2 \right)+mx+n \\ f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x-2 \right)\left(x+1 \right)+mx+n \\ \hline f(-1) \cdot g(-1) & = H(-1) \cdot \left(-1-2 \right)\left(-1+1 \right)+m(-1)+n \\ (-2) \cdot (3) & =-m+n \\ -6 & =-m+n\ \cdots \text{pers.1} \\ \hline f(2) \cdot g(2) & = H(2) \cdot \left(2-2 \right)\left(2+1 \right)+m(2)+n \\ (3) \cdot (2) & =2m+n \\ 6 & =2m+n\ \cdots \text{pers.2} \\ \end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc} -m+n = -6 & \\ 2m+n = 6 & (-) \\ \hline -3m = -12 & \\ m = 4 \\ n = -2 \end{array}$
Sisa pembagian adalah $mx+n \equiv 4x-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-2$

27. Soal SNMPTN 2018 |*Soal Lengkap

Sisa pembagian $p(x)=x^{3}-ax^{2}-2bx-4a-4$ oleh $x^{2}+1$ adalah $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $-17$, maka $4ab=\cdots$

$(A)\ -12$

$(B)\ -9$

$(C)\ -7$

$(D)\ -6$

$(E)\ -5$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Diketahui $p(x)$ bersisa $-17$ bila dibagi $(x-1)$ sehingga berlaku:
$\begin{align} p(1) & = -17 \\ -17 & = (1)^{3}-a(1)^{2}-2b(1)-4a-4 \\ -17 & = 1-a -2b -4a-4 \\ -14 & = -5a-2b \\ 14 & = 5a +2b \end{align}$

Diketahui juga bahwa $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ bersisa $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ dengan menggunakan metode horner-kino kurang lebih seperti berikut ini:

Dari pembagian di atas kita peroleh sisanya adalah $(-2b-1)x-3a-4$ sehingga $(-2b-1)x-3a-4 \equiv -5a+2$.

Agar $(-2b-1)x-3a-4 \equiv -5a+2$ dapat terjadi, kemungkinan pertama yang pasti adalah:
$\begin{align} -2b-1 & = 0 \\ -2b & = 1 \\ b & = -\dfrac{1}{2} \end{align}$

Untuk $b=-\frac{1}{2}$ dan $5a +2b=14$, kita peroleh:
$\begin{align} 5a +2b & = 14 \\ 5a +2 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) & = 14 \\ 5a -1 & = 14 \\ 5a & = 15 \\ a & = \dfrac{15}{5}=3 \\ \hline 4ab & = 4 \left( 3 \right) \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\ 4ab & = -6 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$

28. Soal SNMPTN 2013 |*Soal Lengkap

Jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15=f(x)(x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x-1$, maka nilai $b$ adalah...

$(A)\ 8$

$(B)\ 6$

$(C)\ 4$

$(D)\ 2$

$(E)\ 1$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Untuk $x=1$ kita peroleh persamaan:
$\begin{align} x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 &= f(x)(x-1) \\ (1)^{4}+a(1)^{3}+(b-10)(1)^{2}+24(1)-15 &= f(1)(1-1) \\ 1+a + b-10 +24 -15 &= 0 \\ a + b &= 0 \\ a & = -b \end{align}$

Diketahui $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 = f(x)(x-1)$ dan $f(x)$ juga habis dibagi $x-1$ sehingga dapat kita simpulkan bahwa $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ habis dibagi $(x-1)(x-1)$ atau $x^{2}-2x+1$.

Dengan menggunakan metode horner-kino jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ dibagi $x^{2}-2x+1$ kurang lebih seperti berikut ini:

Dari proses pembagian di atas sisanya adalah $-2a-b-8$ sehingga:
$\begin{align} -2a-b-8 & = 0 \\ -2(-b)-b-8 & = 0 \\ 2b-b-8 & = 0 \\ b & = 8 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

29. Soal SNMPTN 2014 |*Soal Lengkap

Diketahui $P$ dan $Q$ suatu Polynomial sehingga $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$. Jika $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa...

$(A)\ 8$

$(B)\ 6$

$(C)\ 4$

$(D)\ 2$

$(E)\ 1$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Diketahui $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$ maka $Q(1)=4$, dan $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$, sehingga berlaku:
$\begin{align} P(x)Q(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) +3x+5 \\ P(x)Q(x) &= H(x) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) +3x+5 \\ P(1)Q(1) &= H(1) \left( 1-1 \right) \left( 1+1 \right) +3(1)+5 \\ P(1) \cdot 4 &= 8 \\ P(1) &= \dfrac{8}{4}=2 \\ \end{align}$
Karena $P(1)=2$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

30. Soal SNMPTN 2014 |*Soal Lengkap

Diketahui $P(x)$ suatu polynomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $(x-1)$, maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...

$(A)\ x+2$

$(B)\ 2x$

$(C)\ x$

$(D)\ 1$

$(E)\ 2$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Diketahui $P(x+1)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$ maka $P(0)=2$, dan $P(x-1)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$ maka $P(2)=2$.

$P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$, sehingga berlaku:
$\begin{align} P(x) &= H(x) \left( x^{2}-2x \right) + mx+n \\ \hline P(0) &= H(0) \cdot (0) \left( 0-2 \right) + m(0)+n \\ 2 &= n \\ \hline P(2) &= H(2) \cdot (2) \left( 2-2 \right) + m(2)+n \\ 2 &= 2m+n \\ 2 &= 2m+2 \\ 2-2 &= 2m \\ 0 &= m \\ \end{align}$
Sisa pembagian $mx+n \equiv 0x+2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

31. Soal SBMPTN 2015 |*Soal Lengkap

Sisa pembagian $Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2}$ dibagi oleh $x^{2}-1$ adalah $5x-4$. Nilai $A+B$ adalah...

$(A)\ -4$

$(B)\ -2$

$(C)\ 0$

$(D)\ 2$

$(E)\ 4$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Kita misalkan suku banyak $P(x)=Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2}$.
Diketahui $P(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $5x-4$, sehingga berlaku:
$\begin{align} P(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) + 5x-4 \\ P(x) &= H(x) \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) + 5x-4 \\ \hline P(1) &= H(1) \left( 1-1 \right)\left( 1+1 \right) + 5(1)-4 \\ P(1) &= 1 \\ \hline P(-1) &= H(-1) \left( -1-1 \right)\left( -1+1 \right) + 5(-1)-4 \\ P(-1) &= -9 \\ \end{align}$

Untuk $x=1$ dan $x=-1$, kita peroleh:
$\begin{align} P(x) &= Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} \\ P(1) &= A(1)^{2014}+(1)^{2015}-B \left( 1-2 \right)^{2} \\ 1 &= A+1 -B \\ 0 &= A -B \\ B &= A \\ \hline P(-1) &= A(-1)^{2014}+(-1)^{2015}-B \left( -1-2 \right)^{2} \\ -9 &= A -1 -9B \\ -8 &= A -9B \\ -8 &= B -9B \\ -8 &= -8B \\ 1 &= B \\ A &= 1 \\ \end{align}$
Nilai $A+B=1+1=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$

32. Soal SPMB 2006 Kode 621 |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)= x^{4}+x^{3}-2$ dan $g(x)= x^{3}+2x^{2}+2x+2$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $(x-a)$ bersisa $1$ maka $f(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa...

$(A)\ 2$

$(B)\ 1$

$(C)\ 0$

$(D)\ -1$

$(E)\ -2$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$.

$g(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa $1$, maka berlaku:
$\begin{align} g(a) & = 1 \\ (a)^{3}+2(a)^{2}+2(a)+2 & = 1 \\ a^{3}+2a^{2}+2a+2-1 & = 0 \\ a^{3}+2a^{2}+2a+1 & = 0 \\ (a^{2}+a+1)(a+1) & = 0 \\ (a^{2}+a+1)=0;\ & (a+1)=0 \\ (a^{2}+a+1)=0;\ & a = -1 \end{align}$

$f(x)$ dibagi $(x-a)$:
$\begin{align} f(a) & = a^{4}+a^{3}-2 \\ f(-1) & = (-1)^{4}+(-1)^{3}-2 \\ & = 1-1-2 \\ & = -2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$

33. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $ax^{3}+2x^{2}+5x+b$ dibagi $\left( x^{2}-1\right)$ menghasilkan sisa $\left( 6x+5 \right)$ maka $a+3b$ sama dengan...

$(A)\ 12$

$(B)\ 10$

$(C)\ 9$

$(D)\ 8$

$(E)\ 5$

Alternatif Pembahasan:

Jika pembagian suku banyak kita kerjakan dengan menggunakan metode horner-kino, maka skemanya seperti berkut ini:

Dari persamaan di atas kita peroleh sisa adalah $\left( a+5 \right)x+\left( b+2 \right)$ dan pada soal disampaikan bahwa sisa $\left( 6x+5 \right)$ sehingga berlaku:
$\begin{align} 6x+5 & \equiv \left( a+5 \right)x+\left( b+2 \right) \\ \hline a+5 & = 6 \\ a & = 1 \\ \hline b+2 & = 5 \\ b & = 3 \\ \hline a+3b & = 1+3(3) =10 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

34. Soal UM UGM 2005 Kode 611 |*Soal Lengkap

Fungsi $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$, sedangkan jika dibagi $(x-2)$ sisanya $4$. Jika $f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-3x+2$, maka sisanya adalah...

$(A)\ -x-2$

$(B)\ x+1$

$(C)\ x+2$

$(D)\ 2x+1$

$(E)\ 4x-1$

Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$ dan $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $4$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(1)=3$, dan $f(2)=4$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-3x+2$, sehingga berlaku
$\begin{align} f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-3x+2 \right) + mx+n \\ f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x-2 \right) \left( x-1 \right)+ mx+n\\ \hline f(1) & = m+n\\ 3 & = m+n\\ \hline f(2) & = 2m+n\\ 4 & = 2m+n \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc} m+n = 3 & \\ 2m+n = 4 & \\ \hline m = 1 & \\ n = 2 & \end{array}$
Sisa pembagian $mx+n=x+2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+2$

35. Soal SPMB 2006 Kode 420 |*Soal Lengkap

Diketahui $p(x)=ax^{5}+bx-1$ dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $p(x)$ dibagi dengan $(x-2006)$ bersisa $3$, maka bila $p(x)$ dibagi dengan $(x+2006)$ akan bersisa...

$(A)\ -1$

$(B)\ -2$

$(C)\ -3$

$(D)\ -4$

$(E)\ -5$

Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-2006)$ sisanya $3$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(2006)=3$.

Yang ditanyakan adalah $p(x)$ dibagi $(x+2006)$ atau $p(-2006)$

$\begin{align} p(x) &= ax^{5}+bx-1 \\ p(2006) &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right)-1 \\ 3 &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right)-1 \\ 4 &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right) \\ \hline p(-2006) &= a \left( -2006 \right)^{5}+b\left( -2006 \right)-1 \\ &= a \left( -1 \right)^{5}\left( 2006 \right)^{5} -b\left( 2006 \right)-1 \\ &= -a \left( 2006 \right)^{5} -b\left( 2006 \right)-1 \\ &=- \left( a \left( 2006 \right)^{5} +b\left( 2006 \right) \right)-1 \\ &=- \left( 4 \right)-1 =-5\\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5$

36. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap

Suku banyak $p(x)$ bersisa $2$ jika dibagi $x-1$ dan tak bersisa jika dibagi $x+1$. Suku banyak $q(x)$ bersisa $2x$ jika dibagi $x^{2}-1$. Jika suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, maka sisanya adalah...

$(A)\ 3x-1$

$(B)\ 3x+1$

$(C)\ -3x+2$

$(D)\ -3x-2$

$(E)\ 3x+2$

Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $2$ dan $p(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $0$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(1)=2$, dan $p(-1)=0$.

$q(x)$ dibagi dengan $x^{2}-1$ bersisa $2x$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + 2x \\ q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + 2x \\ q(1) & = 2(1)=2 \\ q(-1) & = 2(-1)=-2 \end{align}$

Suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, sehingga berlaku
$\begin{align} p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + mx+n \\ p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + mx+n \\ \hline p(1)+q(1) & = m (1)+n \\ 4 & = m+n \\ \hline p(-1)+q(-1) & = m (-1)+n \\ -2 & = -m+n \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua persamaan yang kita peroleh di atas, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc} m+n = 4 & \\ -m+n = -2 & \\ \hline 2n = 2 & \\ n = 1 & \\ m = 3 & \end{array}$
Sisa pembagian $mx+n=3x+1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x+1$

37. Soal SPMB 2006 Kode 121 |*Soal Lengkap

Diketahui $h(x)=x^{2}+3x-4$ merupakan salah satu faktor dari $g(x)=x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $x+1$, akan bersisa...

$(A)\ 0$

$(B)\ 3$

$(C)\ 9$

$(D)\ 12$

$(E)\ 24$

Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa $h(x)=x^{2}+3x-4$ salah satu faktor dari $g(x)=x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}+3x-4 \right) \\ x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b & \equiv H(x) \cdot \left( x+4 \right) \left( x-1 \right) \\ \hline (1)^{4}+2(1)^{3}-a(1)^{2}-14(1)+b & = 0 \\ 1+2-a -14 +b & = 0 \\ -a +b & = 11 \\ \end{align}$

Sisa $g(x)$ dibagi $x+1$ adalah $g(-1)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} g(x) & = x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b \\ g(-1) & = (-1)^{4}+2(-1)^{3}-a(-1)^{2}-14(-1)+b \\ & = 1-2-a +14+b \\ & = -a +b+13 \\ & = 11+13=24 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 24$

38. Soal UM UGM 2018 Kode 576 |*Soal Lengkap

Diberikan suku banyak $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+a$ dengan $a \neq 0$. Jika $x^{2}+nx+1$ merupakan faktor $p(x)$, maka $n=\cdots$

$(A)\ -3$

$(B)\ -2$

$(C)\ -1$

$(D)\ 1$

$(E)\ 3$

Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa $x^{2}+nx+1$ salah satu faktor dari $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+a$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} ax^{3}+bx^{2}+a & \equiv \left( x^{2}+nx+1 \right) \cdot \left( cx+d \right) \\ & = cx^{3}+dx^{2}+cnx^{2}+dnx+cx+d \\ & = cx^{3}+ \left( d+cn \right) x^{2}+\left( dn+c \right)x+d \end{align}$
Dari kesamaan suku banyak di atas dapat kita ambil kesimpulan yaitu: $a=c$, $b=d+cn$, $dn+c=0$, dan $d=a$.

Untuk menentukan nilai $n$ kita pilih dari persamaan yang kita peroleh, yaitu:
$\begin{align} dn+c & = 0 \\ (a)n+(a) & = 0 \\ (a)n & = -a \\ n & = -1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1$

39. Soal UM UNDIP 2018 Kode 727/730 |*Soal Lengkap

Jika suku banyak $x^{4}-2x^{2}+1$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right)$ maka nilai $a+b+c+d=\cdots$

$(A)\ -2$

$(B)\ -1$

$(C)\ 0$

$(D)\ 1$

$(E)\ 2$

Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa $x^{4}-2x^{2}+1$ dapat difaktorkan menjadi:
$\begin{align} x^{4}-2x^{2}+1 & \equiv \left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right) \\ \left(x^{2}-1 \right)\left(x^{2}-1 \right) & \equiv \left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right) \\ \hline x^{2}-1 & \equiv x^{2}+ax+b \\ a=0,\ &\ b=-1 \\ \hline x^{2}-1 & \equiv x^{2}+cx+d \\ c=0,\ &\ d=-1 \\ \end{align}$
Nilai $a+b+c+d=-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$

40. Soal Ujian Nasional 2016 |*Soal Lengkap

Diketahui $(x+2)$ adalah faktor dari suku banyak $f(x)=2x^{3}-ax^{2}-11x+6$, hasil bagi $f(x)$ dibagi $(2x+3)$ adalah...

$(A)\ x^{2}-3x+1$

$(B)\ x^{2}-3x-1$

$(C)\ 2x^{2}-6x-2$

$(D)\ 2x^{2}+6x-2$

$(E)\ 2x^{2}-6x+2$

Alternatif Pembahasan:

Pada soal disampaikan bahwa $(x+2)$ adalah faktor $f(x)=2x^{3}-ax^{2}-11x+6$ sehingga berdasarkan teorema faktor Untuk suku banyak $F(x)$, $(x-a)$ adalah faktor suku banyak $F(x)$ jika dan hanya jika $F(a)=0$ nilai $f(-2)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align} f(-2) & =2x^{3}-ax^{2}-11x+6 \\ 0 & =2(-2)^{3}-a(-2)^{2}-11(-2)+6 \\ 0 & =-16-4a+22+6 \\ 0 & =12-4a \\ 3 & = a \\ f(x) &= 2x^{3}-3x^{2}-11x+6 \end{align}$

$f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6$ dibagi $(2x+3)$, kita kerjakan dengan koefisien tak tentu:
$\begin{align} & 2x^{3}-3x^{2}-11x+6 \\ & \equiv \left( x^{2}+bx+c \right) \left( 2x+3 \right)+d\\ & \equiv 2x^{3}+3x^{2}+2bx^{2}+3bx+2cx+3c+d\\ & \equiv 2x^{3}+\left(3+2b \right)x^{2}+ \left(3b+2c \right)x+3c+d\\ \hline & 3+2b=-3\ \rightarrow\ b=-3 \\ & 3b+2c=-11\ \rightarrow\ c=-1 \end{align}$

Untuk $b=-3$ dan $c=-1$, maka hasil bagi $\left( x^{2}+bx+c \right)$ adalah $x^{2}-3x-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}-3x-1$

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Suku Banyak atau Polinomial di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

• lembar jawaban penilaian harian matematika,
• lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA suku banyak (Polinomial) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.

Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.

Albert Einstein