--> Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Sukubanyak (Polinomial) (62)

Matematika Dasar Suku Banyak Atau Polinomial (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Suku Banyak Atau Polinomial. Sebelumnya kita sudah mengenal istilah dalam matematika yaitu matematika dasar persamaan kuadrat, karena persamaan kuadrat adalah bagian dari suku banyak, jadi saat kita belajar persamaan kuadrat, kita sudah belajar tentang suku banyak.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada suku banyak juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal suku banyak dan menemukan solusinya.

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Suku banyak (polinomial) $F(x)$ dalam $x$ berderajat $n$ adalah:
$F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n}$
dimana:
  • $n$ adalah bilangan cacah dan $a\neq 0$
  • $a_{n},\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \cdots, a_{0}$ konstanta dan merupakan koefisien dari $x^{n}, x^{n-1}, \cdots, x^{0}$
  • Derajat suatu suku banyak dalam $x$ dinyatakan oleh pangkat tertinggi ($n$) dalam suku banyak tersebut.

Nilai Suku Banyak
Nilai suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ pada saat $x=k$ adalah $F(k)$

Kesamaan Suku Banyak
Suku banyak $F(x)$ dan $g(x)$ dikatakan sama ketika derajat dan koefisian variabel-variabel yang berpangkat sama besarnya adalah sama.

Pembagian Suku Banyak
Pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan bersusun kebawah dan cara horner. Untuk cara pembagian suku banyak ini kita diksusikan pada diskusi tersendiri, jadi saat ini pembagian suku banyak sudah kita anggap bisa.

Teorema Sisa
  • Jika suatu sukubanyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.
    dari teorema ini, bentuk umum sukubanyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot (x-a)+F(a)$
  • Jika suatu sukubanyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(ax-b)$, maka sisa pembagiannya adalah $F \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
    dari teorema ini, bentuk umum sukubanyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot (ax-b)+F \left(\dfrac{b}{a} \right)$
  • Jika suatu sukubanyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x – a)(x - b)$, maka sisa pembagiannya adalah $\dfrac {F(a)-F(b)}{a-b}x+\dfrac {a \cdot F(b)-b \cdot F(a)}{a-b}$.
    dari teorema ini, bentuk umum sukubanyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
    $F(x) \equiv H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Teorema Faktor
Untuk suku banyak $F(x)$, $(x-a)$ adalah faktor suku banyak $F(x)$ jika dan hanya jika $F(a)=0$.
  • Jika suatu sukubanyak $F(x)$ berderajat $n$ faktornya adalah $(x-a)$, maka $F(a)=0$.
  • Jika suatu sukubanyak $F(x)$ berderajat $n$ nilai $F(a)=0$ maka $(x-a)$ adalah faktor $F(x)$.

Teorema Akar-akar Vieta - Hasil Jumlah dan Hasil Kali akar-akar Suku Banyak
(*François Viète adalah pakar matematika abad ke-16 kebangsaan Perancis). Persamaan suku banyak yang mempunyai akar-akar real paling banyak $n$ buah. Jika $x_{1},x_{2},x_{3}, \dots x_{n}$ adalah akar-akar dari persamaan tersebut, maka hubungan antara akar-akarnya ini adalah sebagai berikut.
  • $F(x)=ax^{2}+bx+c$, akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$
    • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
  • $F(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$
    • $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+ x_{2}\cdot x_{3} = \dfrac{c}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\dfrac{d}{a}$
  • $F(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$, akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$
    • $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \dfrac{c}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4}+\cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\dfrac{d}{a}$
    • $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \dfrac{e}{a}$
Beberapa sampel soal untuk kita diskusikan, yang kita pilih dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Mari berdiksusi;

1. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)

Sisa pembagian $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ oleh $x^{2}-1$ adalah $–x+B$. Nilai $2A+B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Karena suku banyak $f(x)=x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $–x+B$

Sehingga untuk $x^{2}=1$ berlaku:
$\begin{align}
f \left( x^{2} \right) & \equiv -x+B \\
1 -Ax +Bx -1 & \equiv -x+B \\
\left(-A +B \right) x & \equiv -x+B \\
\hline
B & = 0 \\
-A+B & = -1 \\
A & = 1 \\
\hline
2A+B & = 2(1)+0=2
\end{align}$

Apabila kurang paham kita coba dengan cara lain,
Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba mengingatkan kembali tentang teorema sisa, yaitu:
Untuk
$F(x)=H(x)\cdot P(x)+Sisa$
$F(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$F(a)=am+n$
$F(b)=bm+n$

Pada soal disampaikan bahwa $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi oleh $x^{2}-1$ sisanya $-x+B$.
$\begin{align}
& x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1 \\
& = \left (x^{2}-1 \right )\cdot H(x)+sisa \\
& = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B \\
& = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B
\end{align}$

Untuk $x=1$
$\begin{align}
1^{2014}-A(1)^{2015}+B(1)^{3}-1 & = -1+B \\
1-A+B-1 & = -1+B \\
-A+B & = -1+B \\
A & = 1
\end{align}$

Untuk $x=-1$
$\begin{align}
(-1)^{2014}-A(-1)^{2015}+B(-1)^{3}-1 & = -(-1)+B \\
-1+A-B-1 & = 1+B \\
A-B & = 1+B \\
1-B & = 1+B \\
B & = 0
\end{align}$

Nilai $2A+B=2(1)+0=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

2. Soal UM UNDIP 2015 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah...
$(A)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( b \right )$
$(B)$ $\dfrac{x-a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-b}{b-a}f\left ( a \right )$
$(C)$ $\dfrac{x+a}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x+b}{b-a}f\left ( a \right )$
$(D)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$
$(E)$ $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( b \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( a \right )$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba menggunakan teoerma sisa, yaitu:
Untuk
$f(x)=h(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$f(a)=am+n\ \cdots \text{pers.1}$
$f(b)=bm+n\ \cdots \text{pers.2}$
Dari kedua persamaan di atas dapat kita tentukan nilai $m$ dan $n$ yaitu sebagai berikut:

#menentukan nilai $m$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \\
f(b) = bm+n & (-)\\
\hline
f(a) -f(b) = am-bm & \\
f(a) -f(b) = (a -b)m & \\
\dfrac{f(a) -f(b)}{a-b} = m
\end{array} $

#menentukan nilai $n$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \times b\\
f(b) = bm+n & \times a\\
\hline
b \cdot f(a) = abm+bn & \\
a \cdot f(b) = abm+an & (-) \\
\hline
b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = bn-an &\\
b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = (b -a ) n &\\
\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} = n
\end{array} $

Sisa Pembagian adalah $mx+n$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
mx+n &= \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} \\
& =\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\
& =\dfrac{x \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\
& =\dfrac{x \cdot f(a)-b \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)}{a-b} \\
& =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{a-x}{a-b}f(b) \\
& =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{x-a}{b-a}f(b) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$

3. Soal SBMPTN 2014 (*Soal Lengkap)

Diketahui $P(x)$ suatu polinomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $x-1$,
maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...
$\begin{align}
(A)\ & x+2 \\
(B)\ & 2x \\
(C)\ & x \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$P(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Untuk $x=0$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
maka $P(0)=n$

Untuk $x=2$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
$P(2)=2m+n$

Pada soal diketahui $P(x+1)=2$ dan $P(x-1)=2$ maka untuk $x=1$ diperoleh $P(2)=2$ dan $P(0)=2$.

$P(0)=2$ dan $P(0)=n$ maka $n=2$
$P(2)=2$ dan $P(2)=2m+n$ maka $2m+n=2$ sehingga $m=0$.

Sisa pembagian adalah $mx+n$ yaitu $0x+2=2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

4. Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)

Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-2g(x)$, oleh $x^{2}+x-2$ adalah $x+3$, sisa pembagian $2f(x)+g(x)$ oleh $x^{2}-3x+2$ adalah $x+1$, maka sisa pembagian $f(x)g(x)$ oleh $x-1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{23}{24} \\
(B)\ & \dfrac{18}{24} \\
(C)\ & -\dfrac{21}{25} \\
(D)\ & -\dfrac{48}{25} \\
(E)\ & -\dfrac{50}{36}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari keterangan pada soal kita peroleh;
$f(x)-2g(x)=(x^{2}+x-2)H(x)+x+3$
$f(x)-2g(x)=(x+2)(x-1)H(x)+x+3$

$2f(x)+g(x)=(x^{2}-3x+2)H(x)+x+1$
$2f(x)+g(x)=(x-2)(x-1)H(x)+x+1$

Untuk $x=1$ atau $x=2$, kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
f(1)-2g(1) = 4 & \times 1\\
2f(1)+g(1) = 2 & \times 2\\
\hline
f(1)-2g(1) = 4 & \\
4f(1)+2g(1) = 4 & (+)\\
\hline
5f(1) = 8 &\\
f(1) = \dfrac{8}{5} & \\
g(1) = -\dfrac{6}{5}
\end{array} $

Nilai $f(1)g(1)=\dfrac{8}{5}\dfrac{-6}{5}=-\dfrac{48}{25}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{48}{25}$

5. Soal Ujian Nasional 2011 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$. Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ dan dibagi $(x+1)$ sisa $-1$, maka nilai $(2a+b)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari soal kita peroleh beberapa data, antara lain;
Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ maka $P(1)=11$
Jika $P(x)$ dibagi $(x+1)$ sisa $-1$ maka $P(-1)=-1$

Karena $P(1)=11$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(1)=2+a-3+5+b$
$11=a+b+4$
$a+b=7 \cdots (1)$

Karena $P(-1)=-1$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(-1)=2-a-3-5+b$
$-1=-a+b-64$
$-a+b=5 \cdots (2)$

$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 7 & \\
-a+b = 5 & (+)\\
\hline
2b = 12 & \\
b = 6 & \\
a = 1 &
\end{array} $

Nilai $2a+b=2+6=8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$

6. Soal Ujian Nasional 2007 (*Soal Lengkap)

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $10$ dan jika dibagi $(2x-3)$ sisanya $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(2x^{2}-x-3)$, sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2x+8 \\
(B)\ & -2x+12 \\
(C)\ & -x+4 \\
(D)\ & -5x+5 \\
(E)\ & -5x+15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari apa yang disampaikan pada soal, ada beberapa hal yang dapat kita simpulkan yaitu;
$f(-1)=10$ dan $f(\dfrac{3}{2})=5$

Dari bentuk suku banyak;
$f(x)=h(x)\cdot p(x)+sisa$
$f(x)=h(x)\cdot 2x^{2}-x-3+mx+n$
$f(x)=h(x)\cdot (x+1)(2x-3)+mx+n$

$f(-1)=-m+n$ maka $-m+n=10$ $\cdots (1)$
$f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{3}{2}m+n$ maka $\dfrac{3}{2}m+n=5$ $\cdots (2)$

Dengan mengeliminasi atau substitusi pers. $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh nilai $m=-2$ atau $n=8$

$mx+n \equiv -2x+8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2x+8$

7. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+x-2$ bersisa $ax+b$ dan dibagi $x^{2}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$. Jika $f(-2)=7$, maka $a^{2}+b^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x-1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x-1)+ax+b$
ketika $f(x)$ dibagi $(x-1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-3)(x-1)+2bx+a-1$

Dari persamaan di atas kita peroleh:
$f(-2)=7$ maka $-2a+b=7$
$ \begin{align}
f(1) & = f(1) \\
a+b & = 2b+a-1 \\
b & = 1 \\
-2a+b & = 7 \\
-2a+1 & = 7 \\
-2a & = 6 \\
a & = -3 \\
a^{2}+b^{2} & = (-3)^{2}+(1)^{2} \\
& = 10
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{2}+3x+2$ bersisa $3bx+a-2$ dan dibagi $x^{2}-2x-3$ bersisa $ax-2b$. Jika $f(3)+f(-2)=6$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x+1)+3bx+a-2$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+1)(x-3)+ax-2b$

Dari persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
f(3)+f(-2) & = 6 \\
3a-2b-6b+a-2 & = 6 \\
4a-8b & = 8 \\
a-2b & = 2 \cdots (1)\\
f(-1) & = f(-1) \\
-3b+a-2 & = -a-2b \\
-b+2a & = 2 \cdots (2)\\
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
a-2b = 2 & \\
-b+2a = 2 & (-)\\
\hline
-a-b = 0 & \\
a+b = 0
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0$

9. Soal UMB-PT 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)

Hasil kali semua $x$ yang memenuhi persamaan $9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6}=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -10 \\
(B)\ & -5\sqrt{2} \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 5\sqrt{2} \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar dan bilangan berpangkat, seperti berikut ini;
$\begin{align}
9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6} &= 0 \\
9^{x^{3}-4x^{2}-x+4} &= 9^{x^{2}+x-6} \\
x^{3}-4x^{2}-x+4 &= x^{2}+x-6 \\
x^{3}-4x^{2}-x+4 -x^{2}-x+6 &= 0 \\
x^{3}-5x^{2}-2x+10 &= 0
\end{align}$
Untuk hasil kali semua nilai $x$ adalah:
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} &= -\dfrac{d}{a} \\
&= -\dfrac{10}{1} \\
&= -10
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -10 $


10. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Hasil bagi dan sisa suku banyak $3x^{3}+10x^{2}-8x+3$ dibagi $x^{2}+3x-1$, berturut-turut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3x+1\ \text{dan}\ 2x+2 \\
(B)\ & 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4 \\
(C)\ & 3x-1\ \text{dan}\ 8x+2 \\
(D)\ & 3x+19\ \text{dan}\ -56x+21 \\
(E)\ & 3x+19\ \text{dan}\ 51x+16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika Pembagian suku banyak di atas kita coba selesaikan dengan pembagian bersusun kebawah;

Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)

Jika Pembagian suku banyak di atas kita coba selesaikan dengan metode horner-kino;
Soal dan Pembahasan Ujian Masuk STIS Tahun 2011

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4$

11. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4$ dibagi $(x-1)$ sisanya $10$, sementara jika dibagi dengan $(x+2)$ akan menghasilkan sisa $2$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}\ \text{dan}\ 1 \\
(C)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{4}{3} \\
(D)\ & 1\ \text{dan}\ \dfrac{3}{4} \\
(E)\ & -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Pembagian suku banyak yang mungkin membantu yaitu;

Teorema Sisa
  • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya adalah $s=f(a)$.
  • Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya adalah $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
$\begin{align}
f(x) &= ax^{3}+3bx^{2}+(2a-b)x+4 \\
f(1) &= a(1)^{3}+3b(1)^{2}+(2a-b)(1)+4 \\
10 &= a +3b+ 2a-b +4 \\
6 &= 3a +2b \\
\hline
f(-2) &= a(-2)^{3}+3b(-2)^{2}+(2a-b)(-2)+4 \\
2 &= -8a +12b -4a+2b+4 \\
-2 &= -12a +14b
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-12a+14b = -2 & (\times 1) \\
3a+2b = 6 & (\times 4) \\
\hline
-12a+14b = -2 & \\
12a+8b = 24 & (+) \\
\hline
22b = 22 & \\
b = 1 & 3a+2b = 6 \\
& 3a+2(1) = 6 \\
& a = \dfrac{4}{3}
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$

12. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $P(x)=ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan $x+a$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika sebuah bilangan $a$ habis dibagi $x$ dan $y$, maka berlaku $a \equiv k \cdot x \cdot y$
contoh:
$140$ habis dibagi $5$ dan $2$
sehingga berlaku $140 \equiv k \cdot 5 \cdot 2$, dan nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=14$

Sukubanyak $P(x)= ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi oleh $x^{2}+1$ dan $x+a$.
$\begin{align}
& ax^{3}+x^{2}+bx+1 \\
& \equiv k \cdot \left( x^{2}+1 \right) \left( x+a \right) \\
0 & \equiv k \cdot \left( x^{3}+ax^{2}+ x + a \right) \\
0 & \equiv kx^{3}+ akx^{2}+ kx +ak
\end{align}$
Berdasarkan kesamaan sukubanyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=k$
  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $ak=1$, maka $a^{2}=1$ atau $a= \pm 1$
  • dari koefisien $x $ kita peroleh $ b=k$
Untuk $a=1$ dan $b=1$, nilai $ab=1$
Untuk $a=-1$ dan $b=-1$, nilai $ab=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

13. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA (*Soal Lengkap)

Suku banyak $f(x)=ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ habis dibagi $x^{2}+1$ dan dibagi $x-4$ bersisa $51$ Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi sukubanyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& ax^{3}-ax^{2}+bx-a \\
& \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\
& \equiv mx^{3}+nx^{2}+ mx+ n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan sukubanyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$
  • dari koefisien $x$ kita peroleh $b=m$
Sukubanyak $f(x)= ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ dibagi $x-4$ bersisa $51$
$\begin{align}
f(4) & = a(4)^{3}-a(4)^{2}+b(4)-a \\
51 & = 64a -16a +4b -a \\
51 & = 47a +4b \\
51 & = 47a +4a \\
51 & = 51a \rightarrow a=1
\end{align}$
Untuk $a=1$ dan $a=b$ maka $b=$, nilai $a+b=2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

14. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA (*Soal Lengkap)

Jika $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dengan $a \neq 0$ habis dibagi $x^{2}+2$, maka nilai $\dfrac{b}{2a}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika sukubanyak $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dibagi $x^{2}+2$ maka hasil bagi sukubanyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& x^{3}+ax^{2}+2x+b \\
& \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+2 \right) + 0 \\
& \equiv mx^{3}+nx^{2}+2mx+2n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan sukubanyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $m=1$
  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $a=n$
  • dari konstanta kita peroleh $ b=2n$
Untuk $a=n$ dan $b=2n$, maka $\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2n}{2n}=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

15. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA (*Soal Lengkap)

Jika $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, maka nilai $ab$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika sebuah bilangan $a$ habis dibagi $x$ dan $y$, maka berlaku $a \equiv k \cdot x \cdot y$
contoh:
$140$ habis dibagi $5$ dan $2$
sehingga berlaku $140 \equiv k \cdot 5 \cdot 2$, dan nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=14$

Sukubanyak $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
& ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a \\
& \equiv k \cdot \left( x^{2}+2 \right) \left( x+b \right) \\
& \equiv k \cdot \left( x^{3}+bx^{2}+2x +2b \right) \\
& \equiv kx^{3}+ kbx^{2}+2kx +2bk
\end{align}$
Berdasarkan kesamaan sukubanyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $kb=b$, maka $k=1$
  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=k$, maka $a=1$
  • dari konstanta kita peroleh $2bk=-a$, maka $2b=-1$
Untuk $a=1$ dan $b=-\dfrac{1}{2}$, nilai $ab=-\dfrac{1}{2}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

16. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA (*Soal Lengkap)

Suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $(x-2)^{2}$ bersisa $-2x+a$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 15 \\
(B)\ & 13 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -13 \\
(E)\ & -15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $\left(x-2 \right)^{2}=x^{2}-4x+4$ maka hasil bagi sukubanyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& x^{3}+bx^{2}-2x-6 \\
& \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}-4x+4 \right) -2x+a \\
& \equiv mx^{3}+nx^{2}-4mx^{2}-4nx+4mx+4n -2x+a \\
& \equiv mx^{3}+ \left(n -4m \right) x^{2}+ \left(4m-4n-2 \right)x+4n+a \\
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan sukubanyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $1=m$
  • dari koefisien $x$ kita peroleh $4m-4n-2=-2$, maka $n=1$
  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $b=n-4m $, maka $b=-3$
  • dari konstanta kita peroleh $-6=4n+a$, maka $a=-10$
Untuk $a=-10$ dan $b=-3$, maka $a+b=-13$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -13$

17. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$. Jika $x^{2}+1$ adalah faktor dari $f(x)$ dan $f(a)=2$, maka nilai $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi sukubanyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\
& \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\
& \equiv mx^{3}+nx^{2}+mx+n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan sukubanyak, sehingga:

  • dari konstanta kita peroleh $n=a+b $
  • dari koefisien $x$ kita peroleh $-b=m $
  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $n=a+b $
  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$
karena nilai $m=a$ dan $m=-b$, maka $a=-b$

Diketahui $f(a)=2$, sehingga:
$\begin{align}
f(a) & = ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\
2 & = a \cdot a^{3}+(a+b) \cdot a^{2}-b \cdot a +a+b \\
2 & = a^{4}+(a+b)a^{2}-ab +a+b \\
2 & = a^{4}+(a-a)a^{2}-a(-a) +a-a \\
2 & = a^{4}+ a^{2} \\
0 & = a^{4}+ a^{2} -2 \\
0 & = \left( a^{2}+2 \right)\left( a^{2}-1 \right) \\
0 & = \left( a^{2}+2 \right)\left( a-1 \right)\left( a+1 \right) \\
\end{align}$
Untuk $a=1$ nilai $b=-1$ sehingga $ab=-1$
Untuk $a=-1$ nilai $b=1$ sehingga $ab=-1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

18. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi sukubanyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b \\
& \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\
& \equiv mx^{3}+nx^{2}+mx+n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan sukubanyak, sehingga:

  • dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $n=3 $
  • dari konstanta kita peroleh $n=b $ maka $b=3$
  • dari koefisien $x$ kita peroleh $b-2=m $ maka $m=1$
  • dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m $ maka $a=1$
  • Nilai $a+b=4$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$


19. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA (*Soal Lengkap)

Jika Diketahui $P(x)= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right)$. Dengan $Q(x)$ adalah suatu suku banyak. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+1)$ bersisa $10$ dan jika dibagi $(x-1)$ bersisa $20$. Maka apabila $P(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 25 \\
(D)\ & 35 \\
(E)\ & 45
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
$ \begin{align}
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(-1) & =10 \rightarrow -a +b= 10 \\
P( 1) &=20 \rightarrow a +b= 20 \\
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
-a+b = 10 & \\
a+b = 20 & (+) \\
\hline
2b = 30 & \\
b = 15 & \\
a = 5
\end{array} $
Jika $P(x)$ dibagi oleh $(x-2)$, maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x^{2}-x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(x) &= \left( x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \cdot Q(x)+\left( ax+b \right) \\
P(2) &= 2a+ b \\
P(2) &= 2(5)+ (15)=25
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$

20. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA

Jika $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $3a - b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -9 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Soal ini kita coba selesaikan dengan Cara Manipulasi Faktor, dengan manipulasi faktor ini, kita anggap faktornya adalah sama dengan nol.

Dengan menganggap faktor (pembagi) $x^{2}+1=0$ sehingga diperoleh $x^{2}=-1$.

Dengan $x^{2}=-1$ dan $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka berlaku:
$\begin{align}
p(x) & \equiv ax^{3}+bx^{2}+2x-3 \\
p(x) & \equiv ax \cdot x^{2}+bx^{2}+2x-3 \\
0 & \equiv ax (-1) +b (-1) +2x-3 \\
0 & \equiv -ax -b +2x-3 \\
0 & \equiv (2-a)x -b-3 \\
\hline
2-a\ & = 0 \\
a & = 2 \\
\hline
-b-3\ & = 0 \\
b\ & = -3 \\
\hline
\text{nilai}\ 3a-b &= 3(2)-(-3) =9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$

21. Soal SPMB 2007 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dan $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ mempunyai sisa sama apabila dibagi $(x+1)$ maka nilai $p+q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

Suku banyak $2x^{3}-px^{2}+qx+6$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
2x^{3}-px^{2}+qx+6 & = 2(-1)^{3}-p(-1)^{2}+q(-1)+6 \\
& = -2-p -q +6 \\
& = 4-p -q
\end{align} $

Suku banyak $2x^{3}+3x^{2}-4x-1$ dibagi $(x+1)$ maka sisa pembagian adalah:
$ \begin{align}
2x^{3}+3x^{2}-4x-1 & = 2(-1)^{3}+3(-1)^{2}-4(-1)-1 \\
& = -2+3+4-1 \\
& = 4
\end{align} $

Karena sisa pembagian di atas dikatakan sama sehingga berlaku:
$ \begin{align}
4-p-q & = 4 \\
-p-q & = 4-4 \\
-p-q & = 0 \\
p+q & = 0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

22. Soal SPMB 2007 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dengan $a,b$ dan $c$ konstanta. Jika suku banyak $p(x)$ bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x-2007)$ dan juga bersisa $-2007$ bila dibagi oleh $(x+2007)$, maka $c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2007 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 2007
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x-2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$ \begin{align}
P(2007) & = -2007 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007)-2007 & = -2007 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4}+c(2007) & = 0 \\
a(2007)^{6}+b(2007)^{4} & = - 2007c
\end{align} $

Suku banyak $P(x)=ax^{6}+bx^{4}+cx-2007$ dibagi $(x+2007)$ bersisa $-2007$ maka berlaku:
$ \begin{align}
P(-2007) & = -2007 \\
a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007)-2007 & = -2007 \\
a(-2007)^{6}+b(-2007)^{4}+c(-2007) & = 0 \\
a (-1)^{6} (2007)^{6}+b(-1)^{4}(2007)^{4}+c(-1)(2007) & = 0 \\
a (2007)^{6}+b (2007)^{4}-c(2007) & = 0 \\
a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = 2007c
\end{align} $

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
a (2007)^{6}+b (2007)^{4} & = a (2007)^{6}+b (2007)^{4} \\
2007c & = -2007c \\
2007c+2007c & = 0 \\
4014c & = 0 \\
c & = 0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

23. Soal SNMPTN 2008 (*Soal Lengkap)

Nilai $m+n$ yang mengakibatkan $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{4}x+na^{4}$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Suku banyak $x^{4}-6ax^{3}+8a^{2}x^{2}-ma^{3}x+na^{4}$ dibagi $(x-a)^{2}$ dengan skema horner sebagai berikut:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Karena $P(x)$ habis dibagi $(x-a)^{2}$ sehingga sisa pembagian adalah nol, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
-ma^{3}+2a^{3} & = 0 \\
\left( -m +2 \right) a^{3} & = 0 \\
-m +2 & = 0 \\
m & = 2 \\
\hline
na^{4}-ma^{4}+3a^{4} & = 0 \\
na^{4}-(2)a^{4}+3a^{4} & = 0 \\
na^{4}+a^{4} & = 0 \\
\left(n +1 \right) a^{4} & = 0 \\
n & = -1 \\
\hline
m+n & = 2-1 \\
m+n & = 1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

24. Soal SNMPTN 2009 (*Soal Lengkap)

Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ adalah $x-1$. Faktor yang lain adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+3x+3 \\
(B)\ & x^{2}+x-3 \\
(C)\ & x^{2}+3x-3 \\
(D)\ & x^{2}+2x+3 \\
(E)\ & x^{2}-7x+3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Faktor suku banyak $f(x)$ adalah $(x-a)$ maka $f(a)=0$
Salah satu faktor suku banyak $x^{3}+kx^{2}+x-3$ adalah $(x-1)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
(1)^{3}+k(1)^{2}+(1)-3 & = 0 \\
1+k +1-3 & = 0 \\
k-1 & = 0 \\
k & = 1
\end{align} $
Untuk nilai $k=1$ maka suku banyak $x^{3}+x^{2}+x-3$ dibagi $(x-1)$ dengan metode horner sebagai berikut:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Hasil pembagian suku banyak merupakan salah satu faktor suku banyak yaitu $x^{2}+2x+3$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+2x+3$

25. Soal SNMPTN 2011 (*Soal Lengkap)

Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$. Jika $f(x)$ adalah suku banyak yang bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$ dan bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$
Diketahui $g(x)=ax^{2}-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(1) & = 0 \\
a(1)^{2}-b(1)+a-b & = 0 \\
a -b +a-b & = 0 \\
2a -2b & = 0 \\
a & = b
\end{align} $
Untuk $a=b$, maka $g(x)=ax^{2}-bx+a-b=ax^{2}-ax$ atau $g(x)=ax \left( x-1 \right)$

Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $a$ ketika dibagi $(x-1)$, sehingga $f(1) = a$ dan $f(x)$ bersisa $3ax+b^{2}+1$ ketika dibagi $g(x)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = H(x) \cdot g(x)+sisa \\
f(x) & = H(x) \cdot ax \left( x-1 \right) + 3ax+b^{2}+1 \\
f(1) & = 3a(1)+b^{2}+1 \\
a & = 3a +a^{2}+1 \\
0 & = a^{2}+2a+1 \\
0 & = (a+1)(a+1) \\
a & = -1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

26. Soal SNMPTN 2011 (*Soal Lengkap)

Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$. Suku banyak $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x-2 \\
(B)\ & 3x-2 \\
(C)\ & 3x+2 \\
(D)\ & 4x+2 \\
(E)\ & 5x-2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
f(-1) & = -2 \\
f(2) & = 3
\end{align} $

Diketahui $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $(x+1)$, bersisa $2$ bila dibagi $(x-2)$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(-1) & = 3 \\
g(2) & = 2
\end{align} $

Karena $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^{2}-x-2$, berlaku:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\
f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x^{2}-x-2 \right)+mx+n \\
f(x) \cdot g(x) & = H(x) \cdot \left(x-2 \right)\left(x+1 \right)+mx+n \\
\hline
f(-1) \cdot g(-1) & = H(-1) \cdot \left(-1-2 \right)\left(-1+1 \right)+m(-1)+n \\
(-2) \cdot (3) & =-m+n \\
-6 & =-m+n\ \cdots \text{pers.1} \\
\hline
f(2) \cdot g(2) & = H(2) \cdot \left(2-2 \right)\left(2+1 \right)+m(2)+n \\
(3) \cdot (2) & =2m+n \\
6 & =2m+n\ \cdots \text{pers.2} \\
\end{align} $
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-m+n = -6 & \\
2m+n = 6 & (-) \\
\hline
-3m = -12 & \\
m = 4 \\
n = -2
\end{array} $
Sisa pembagian adalah $mx+n \equiv 4x-2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-2$

27. Soal SNMPTN 2018 (*Soal Lengkap)

Sisa pembagian $p(x)=x^{3}-ax^{2}-2bx-4a-4$ oleh $x^{2}+1$ adalah $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $-17$, maka $4ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12 \\
(B)\ & -9 \\
(C)\ & -7 \\
(D)\ & -6 \\
(E)\ & -5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $p(x)$ bersisa $-17$ bila dibagi $(x-1)$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
p(1) & = -17 \\
-17 & = (1)^{3}-a(1)^{2}-2b(1)-4a-4 \\
-17 & = 1-a -2b -4a-4 \\
-14 & = -5a-2b \\
14 & = 5a +2b
\end{align} $
Diketahui juga bahwa $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ bersisa $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x^{2}+1$ dengan menggunakan metode horner-kino kurang lebih seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Dari proses pembagian di atas sisanya adalah $-3a-4$ sehingga:
$ \begin{align}
-3a-4 & = -5a+2 \\
-3a+5a & = 4+2 \\
2a & = 6 \\
a & = 3 \\
\hline
5a +2b &= 14 \\
5(3) +2b &= 14 \\
2b & = 14-15 \\
b & = -\dfrac{1}{2} \\
\hline
4ab & = 4 \cdot 3 \cdot -\dfrac{1}{2} \\
& = -6
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$


28. Soal SNMPTN 2013 (*Soal Lengkap)

Jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15=f(x)(x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x-1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Untuk $x=1$ kita peroleh persamaan:
$ \begin{align}
x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 &= f(x)(x-1) \\
(1)^{4}+a(1)^{3}+(b-10)(1)^{2}+24(1)-15 &= f(1)(1-1) \\
1+a + b-10 +24 -15 &= 0 \\
a + b &= 0 \\
a & = -b
\end{align} $

Diketahui $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15 = f(x)(x-1)$ dan $f(x)$ juga habis dibagi $x-1$ sehingga dapat kita simpulkan bahwa $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ habis dibagi $(x-1)(x-1)$ atau $x^{2}-2x+1$.

Dengan menggunakan metode horner-kino jika $x^{4}+ax^{3}+(b-10)x^{2}+24x-15$ dibagi $x^{2}-2x+1$ kurang lebih seperti berikut ini:
Bank Soal Matematika Dasar suku banyak (*Soal dan Pembahasan)
Dari proses pembagian di atas sisanya adalah $-2a-b-8$ sehingga:
$ \begin{align}
-2a-b-8 & = 0 \\
-2(-b)-b-8 & = 0 \\
2b-b-8 & = 0 \\
b & = 8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

29. Soal SNMPTN 2014 (*Soal Lengkap)

Diketahui $P$ dan $Q$ suatu Polynomial sehingga $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$. Jika $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $Q(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $4$ maka $Q(1)=4$, dan $P(x)Q(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $3x+5$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x)Q(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) +3x+5 \\
P(x)Q(x) &= H(x) \left( x-1 \right) \left( x+1 \right) +3x+5 \\
P(1)Q(1) &= H(1) \left( 1-1 \right) \left( 1+1 \right) +3(1)+5 \\
P(1) \cdot 4 &= 8 \\
P(1) &= \dfrac{8}{4}=2 \\
\end{align} $
Karena $P(1)=2$, maka $P(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

30. Soal SNMPTN 2014 (*Soal Lengkap)

Diketahui $P(x)$ suatu polynomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa $2$ apabila masing-masing dibagi $(x-1)$, maka $P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$ memberikan sisa...
$\begin{align}
(A)\ & x+2 \\
(B)\ & 2x \\
(C)\ & x \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Diketahui $P(x+1)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$ maka $P(0)=2$, dan $P(x-1)$ dibagi $x-1$ bersisa $2$ maka $P(2)=2$.

$P(x)$ dibagi $x^{2}-2x$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-2x \right) + mx+n \\
\hline
P(0) &= H(0) \cdot (0) \left( 0-2 \right) + m(0)+n \\
2 &= n \\
\hline
P(2) &= H(2) \cdot (2) \left( 2-2 \right) + m(2)+n \\
2 &= 2m+n \\
2 &= 2m+2 \\
2-2 &= 2m \\
0 &= m \\
\end{align} $
Sisa pembagian $mx+n \equiv 0x+2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

31. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)

Sisa pembagian $Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $ dibagi oleh $x^{2}-1$ adalah $5x-4$. Nilai $A+B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
  • Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $
Kita misalkan suku banyak $P(x)=Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $.
Diketahui $P(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $5x-4$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) + 5x-4 \\
P(x) &= H(x) \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) + 5x-4 \\
\hline
P(1) &= H(1) \left( 1-1 \right)\left( 1+1 \right) + 5(1)-4 \\
P(1) &= 1 \\
\hline
P(-1) &= H(-1) \left( -1-1 \right)\left( -1+1 \right) + 5(-1)-4 \\
P(-1) &= -9 \\
\end{align} $

Untuk $x=1$ dan $x=-1$, kita peroleh:
$\begin{align}
P(x) &= Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} \\
P(1) &= A(1)^{2014}+(1)^{2015}-B \left( 1-2 \right)^{2} \\
1 &= A+1 -B \\
0 &= A -B \\
B &= A \\
\hline
P(-1) &= A(-1)^{2014}+(-1)^{2015}-B \left( -1-2 \right)^{2} \\
-9 &= A -1 -9B \\
-8 &= A -9B \\
-8 &= B -9B \\
-8 &= -8B \\
1 &= B \\
A &= 1 \\
\end{align}$
Nilai $A+B=1+1=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

32. Soal SPMB 2006 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)= x^{4}+x^{3}-2$ dan $g(x)= x^{3}+2x^{2}+2x+2$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $(x-a)$ bersisa $1$ maka $f(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$.

$g(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa $1$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(a) & = 1 \\
(a)^{3}+2(a)^{2}+2(a)+2 & = 1 \\
a^{3}+2a^{2}+2a+2-1 & = 0 \\
a^{3}+2a^{2}+2a+1 & = 0 \\
(a^{2}+a+1)(a+1) & = 0 \\
(a^{2}+a+1)=0 & (a+1)=0 \\
(a^{2}+a+1)=0 & a = -1
\end{align} $

$f(x)$ dibagi $(x-a)$:
$ \begin{align}
f(a) & = a^{4}+a^{3}-2 \\
f(-1) & = (-1)^{4}+(-1)^{3}-2 \\
& = 1-1-2 \\
& = -2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$

33. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $ax^{3}+2x^{2}+5x+b$ dibagi $\left( x^{2}-1\right)$ menghasilkan sisa $\left( 6x+5 \right)$ maka $a+3b$ sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika pembagian suku banyak kita kerjakan dengan menggunakan metode horner-kino, maka skemanya seperti berkut ini:

Soal dan Pembahasan sukubanyak simak ui 2009
Dari persamaan di atas kita peroleh sisa adalah $\left( a+5 \right)x+\left( b+2 \right)$ dan pada soal disampaikan bahwa sisa $\left( 6x+5 \right)$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
6x+5 & \equiv \left( a+5 \right)x+\left( b+2 \right) \\
\hline
a+5 & = 6 \\
a & = 1 \\
\hline
b+2 & = 5 \\
b & = 3 \\
\hline
a+3b & = 1+3(3) =10
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

34. Soal UM UGM Tahun 2005 (*Soal Lengkap)

Fungsi $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$, sedangkan jika dibagi $(x-2)$ sisanya $4$. Jika $f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-3x+2$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -x-2 \\
(B)\ & x+1 \\
(C)\ & x+2 \\
(D)\ & 2x+1 \\
(E)\ & 4x-1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$ dan $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $4$, sehingga berdasarkan teorema sisa sukubanyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(1)=3$, dan $f(2)=4$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-3x+2$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-3x+2 \right) + mx+n \\
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x-2 \right) \left( x-1 \right)+ mx+n\\
\hline
f(1) & = m+n\\
3 & = m+n\\
\hline
f(2) & = 2m+n\\
4 & = 2m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 3 & \\
2m+n = 4 & \\
\hline
m = 1 & \\
n = 2 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=x+2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+2$

35. Soal SPMB 2006 (*Soal Lengkap)

Diketahui $p(x)=ax^{5}+bx-1$ dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $p(x)$ dibagi dengan $(x-2006)$ bersisa $3$, maka bila $p(x)$ dibagi dengan $(x+2006)$ akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -3 \\
(D)\ & -4 \\
(E)\ & -5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-2006)$ sisanya $3$, sehingga berdasarkan teorema sisa sukubanyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(2006)=3$.

Yang ditanyakan adalah $p(x)$ dibagi $(x+2006)$ atau $p(-2006)$

$\begin{align}
p(x) &= ax^{5}+bx-1 \\
p(2006) &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right)-1 \\
3 &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right)-1 \\
4 &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right) \\
\dfrac{4}{2006} &= a \left( 2006 \right)^{4}+b \\
\hline
p(-2006) &= a \left( -2006 \right)^{5}+b\left( -2006 \right)-1 \\
&= a \left( -2006 \right) \cdot \left( -2006 \right)^{4}+b\left( -2006 \right)-1 \\
&= \left( -2006 \right) \left( a \cdot \left(2006 \right)^{4}+b \right)-1 \\
&= \left( -2006 \right) \left( \dfrac{4}{2006} \right)-1 \\
&= -4 -1 =-5\\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5$

36. Soal UM UGM Tahun 2019 (*Soal Lengkap)

Suku banyak $p(x)$ bersisa $2$ jika dibagi $x-1$ dan tak bersisa jika dibagi $x+1$. Suku banyak $q(x)$ bersisa $2x$ jika dibagi $x^{2}-1$. Jika suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3x-1 \\
(B)\ & 3x+1 \\
(C)\ & -3x+2 \\
(D)\ & -3x-2 \\
(E)\ & 3x+2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $2$ dan $p(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $0$, sehingga berdasarkan teorema sisa sukubanyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(1)=2$, dan $p(-1)=0$.

$q(x)$ dibagi dengan $x^{2}-1$ bersisa $2x$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + 2x \\
q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + 2x \\
q(1) & = 2(1)=2 \\
q(-1) & = 2(-1)=-2
\end{align}$

Suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, sehingga berlaku
$\begin{align}
p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + mx+n \\
p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + mx+n \\
\hline
p(1)+q(1) & = m (1)+n \\
4 & = m+n \\
\hline
p(-1)+q(-1) & = m (-1)+n \\
-2 & = -m+n \\
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua persamaan yang kita peroleh di atas, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 4 & \\
-m+n = -2 & \\
\hline
2n = 2 & \\
n = 1 & \\
m = 3 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=3x+1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x+1$


37. Soal SPMB 2006 (*Soal Lengkap)

Diketahui $h(x)=x^{2}+3x-4$ merupakan salah satu faktor dari $g(x)=x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $x+1$, akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 24
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $h(x)=x^{2}+3x-4$ salah satu faktor dari $g(x)=x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}+3x-4 \right) \\
x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b & \equiv H(x) \cdot \left( x+4 \right) \left( x-1 \right) \\
\hline
(1)^{4}+2(1)^{3}-a(1)^{2}-14(1)+b & = 0 \\
1+2-a -14 +b & = 0 \\
-a +b & = 11 \\
\end{align}$

Sisa $g(x)$ dibagi $x+1$ adalah $g(-1)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
g(x) & = x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b \\
g(-1) & = (-1)^{4}+2(-1)^{3}-a(-1)^{2}-14(-1)+b \\
& = 1-2-a +14+b \\
& = -a +b+13 \\
& = 11+13=24
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 24$

38. Soal UM UGM Tahun 2019 (*Soal Lengkap)

Diberikan suku banyak $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+a$ dengan $a \neq 0$. Jika $x^{2}+nx+1$ merupakan faktor $p(x)$, maka $n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $x^{2}+nx+1$ salah satu faktor dari $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+a$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
ax^{3}+bx^{2}+a & \equiv \left( x^{2}+nx+1 \right) \cdot \left( cx+d \right) \\
& = cx^{3}+dx^{2}+cnx^{2}+dnx+cx+d \\
& = cx^{3}+ \left( d+cn \right) x^{2}+\left( dn+c \right)x+d
\end{align}$
Dari kesamaan sukubanyak di atas dapat kita ambil kesimpulan yaitu: $a=c$, $b=d+cn$, $dn+c=0$, dan $d=a$.

Untuk menentukan nilai $n$ kita pilih dari persamaan yang kita peroleh, yaitu:
$\begin{align}
dn+c & = 0 \\
(a)n+(a) & = 0 \\
(a)n & = -a \\
n & = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1$

39. Soal UM UNDIP 2018 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $x^{4}-2x^{2}+1$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right)$ maka nilai $a+b+c+d=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $x^{4}-2x^{2}+1$ dapat difaktorkan menjadi:
$\begin{align}
x^{4}-2x^{2}+1 & \equiv \left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right) \\
\left(x^{2}-1 \right)\left(x^{2}-1 \right) & \equiv \left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right) \\
\hline
x^{2}-1 & \equiv x^{2}+ax+b \\
a=0,\ &\ b=-1 \\
\hline
x^{2}-1 & \equiv x^{2}+cx+d \\
c=0,\ &\ d=-1 \\
\end{align}$
Nilai $a+b+c+d=-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$

40. Soal Ujian Nasional 2016 (*Soal Lengkap)

Diketahui $(x+2)$ adalah faktor dari suku banyak $f(x)=2x^{3}-ax^{2}-11x+6$, hasil bagi $f(x)$ dibagi $(2x+3)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-3x+1 \\
(B)\ & x^{2}-3x-1 \\
(C)\ & 2x^{2}-6x-2 \\
(D)\ & 2x^{2}+6x-2 \\
(E)\ & 2x^{2}-6x+2 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $(x+2)$ adalah faktor $f(x)=2x^{3}-ax^{2}-11x+6$ sehingga berdasarkan teorema faktor Untuk suku banyak $F(x)$, $(x-a)$ adalah faktor suku banyak $F(x) jika dan hanya jika $F(a)=0$ nilai $f(-2)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
f(-2) & =2x^{3}-ax^{2}-11x+6 \\
0 & =2(-2)^{3}-a(-2)^{2}-11(-2)+6 \\
0 & =-16-4a+22+6 \\
0 & =12-4a \\
3 & = a \\
f(x) &= 2x^{3}-3x^{2}-11x+6
\end{align}$
$f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6$ dibagi $(2x+3)$, kita kerjakan dengan koefisien tak tentu:
$\begin{align}
& 2x^{3}-3x^{2}-11x+6 \\
& \equiv \left( x^{2}+bx+c \right) \left( 2x+3 \right)+d\\
& \equiv 2x^{3}+3x^{2}+2bx^{2}+3bx+2cx+3c+d\\
& \equiv 2x^{3}+\left(3+2b \right)x^{2}+ \left(3b+2c \right)x+3c+d\\
\hline
& 3+2b=-3\ \rightarrow\ b=-3 \\
& 3b+2c=-11\ \rightarrow\ c=-1
\end{align}$
Untuk $b=-3$ dan $c=-1$, maka hasil bagi $\left( x^{2}+bx+c \right)$ adalah $x^{2}-3x-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}-3x-1$

41. Soal SIMAK UI 2011 Kode 618 (*Soal Lengkap)

Jika $p(x)$ adalah polinomial berderajat $3$ dengan $p(1)=2$, $p(2)=3$, $p(3)=4$, dan $p(4)=6$, maka salah satu faktor dari $p(x+2)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-2 \\
(B)\ & x-1 \\
(C)\ & x \\
(D)\ & x+1 \\
(E)\ & x+2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $p(x)$ polinomial berderajat $3$ kita misalkan
$p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

Dari $p(1)=2$, $p(2)=3$, $p(3)=4$, dan $p(4)=6$ maka kita peroleh beberapa persamaan yaitu:
$\begin{align}
a+b+c+d &= 2\ \cdots\ (1) \\
8a+4b+2c+d &= 3\ \cdots\ (2) \\
27a+9b+3c+d &= 4\ \cdots\ (3) \\
64a+16b+4c+d &= 6\ \cdots\ (4)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $d$ pada $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh:
$\begin{align}
a+b+c+d &= 2 \\
8a+4b+2c+d &= 3 \\
\hline
7a+3b+c &= 1\ \cdots\ (5)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $d$ pada $(2)$ dan $(3)$ kita peroleh:
$\begin{align}
8a+4b+2c+d &= 3 \\
27a+9b+3c+d &= 4 \\
\hline
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $d$ pada $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
27a+9b+3c+d &= 4 \\
64a+16b+4c+d &= 6 \\
\hline
37a+7b+c &= 2\ \cdots\ (7)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $c$ pada $(5)$ dan $(6)$ kita peroleh:
$\begin{align}
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6) \\
7a+3b+c &= 1\ \cdots\ (5) \\
\hline
12a+2b &= 0\ \cdots\ (8)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $c$ pada $(5)$ dan $(7)$ kita peroleh:
$\begin{align}
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6) \\
37a+7b+c &= 2\ \cdots\ (7) \\
\hline
18a+2b &= 1\ \cdots\ (9)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $b$ pada $ (8)$ dan $(9)$ kita peroleh:
$\begin{align}
18a+2b &= 1\ \cdots\ (9) \\
12a+2b &= 0\ \cdots\ (8) \\
\hline
6a &= 1\ \rightarrow\ a=\dfrac{1}{6}
\end{align}$

Untuk $a=\dfrac{1}{6}$ dan $12a+2b= 0$, kita peroleh $b=-1$.

Nilai $a=\dfrac{1}{6}$ dan $b=-1$ kita substitusi ke $7a+3b+c= 1$ kita peroleh $c=\dfrac{17}{6}$.

Nilai $a=\dfrac{1}{6}$, $b=-1$, dan $C=\dfrac{17}{6}$ kita substitusi ke $a+b+c+d = 2$ kita peroleh $d=0$.

Sehingga kita peroleh kita peroleh $p(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-x^{2}+\dfrac{17}{6}x$.

$\begin{align}
p(x) &= \dfrac{1}{6}x^{3}-x^{2}+\dfrac{17}{6}x \\
p(x+2) &= \dfrac{1}{6}(x+2)^{3}-(x+2)^{2}+\dfrac{17}{6}(x+2) \\
&= (x+2) \left( \dfrac{1}{6}(x+2)^{2}-(x+2) +\dfrac{17}{6} \right)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x+2$

42. Soal UM UGM Tahun 2015 Kode 632 (*Soal Lengkap)

Jika $9,x_{1},x_{2}$ merupakan tiga akar berbeda dari $x^{3}-6x^{2}-ax+b=0$ dengan $b-a=5$, maka $x_{1}+x_{2}+x_{1} \cdot x_{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 3 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari suku banyak $x^{3}-6x^{2}-ax+b=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh: $\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 6 \\
x_{1}+x_{2}+ 9 & = 6 \\
x_{1}+x_{2} & = -3 \end{align}$
$\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -b \\
x_{1} \cdot x_{2} \cdot 9 & = -b \\
x_{1} \cdot x_{2} & = -\dfrac{b}{9} \end{align}$
$\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} & = \dfrac{c}{a} \\
-\dfrac{b}{9} + 9x_{1} + 9x_{2} & = -a \\
-\dfrac{b}{9} + 9 \left( -3 \right) & = -a \\
-\dfrac{b}{9} -27 & = -a \\
\hline
b-a=5 & \\
\hline
-\dfrac{b}{9} -27 & = 5-b \\
-\dfrac{b}{9} +b & = 32 \\
\dfrac{8b}{9} & = 32 \\
\dfrac{ b}{9} & = 4 \end{align}$
$\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{1} \cdot x_{2} & = -3 -\dfrac{b}{9} \\
& = -3 - 4 \\
& = -7 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$

43.Soal UM UGM Tahun 2017 Kode 713 (*Soal Lengkap)

Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^{3}-12x^{2}+(p+4)x-(p+8)=0$ membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, maka $p-36=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 12 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari suku banyak $x^{3}-12x^{2}+(p+4)x-(p+8)=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 12
\end{align}$

Lalu dikatakan akar-akar persamaan suku banyak membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = x_{1} + x_{1}+2 + x_{1}+4 \\
12 & = 6+3x_{1} \\
6 & = 3x_{1} \\
x_{1} & = 2 \rightarrow x_{2}=2,\ x_{3}=4
\end{align}$

$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\
2 \cdot 4 \cdot 6 & = p+8 \\
48 & = p+8 \\
40 & = p \\
\hline
p-36 & = 40-36 = 4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$

44. Soal UM UGM Tahun 2017 Kode 814 (*Soal Lengkap)

Jika salah satu akar persamaan $x^{3}+2x^{2}+px-6=0$ adalah $2$, maka jumlah dua akarlainnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari suku banyak $x^{3}+2x^{2}+px-6=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -2
\end{align}$

Lalu dikatakan salah satu akar sukubanyak adalah $2$, maka berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + 2 & = -2 \\
x_{1} + x_{2} & = -4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$

45. Soal UM UGM Tahun 2018 Kode 276 (*Soal Lengkap)

Akar-akar persamaan $x^{3}-7x^{2}+px+q=0$ membentuk deret geometri dengan rasio $2$, nilai $p+q$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 14 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari suku banyak $x^{3}-7x^{2}+px+q=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 7
\end{align}$

Lalu dikatakan akar-akar persamaan suku banyak membentuk deret geometri dengan rasio $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = x_{1} + 2x_{1} + 4x_{1} \\
7 & = 7x_{1} \\
x_{1} & = 1 \rightarrow x_{2}=2,\ x_{3}=4
\end{align}$

$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\
1 \cdot 2 \cdot 4 & = -q \\
8 & = -q \\
q & = -8
\end{align}$

$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\
2 + 4 + 8 & = \dfrac{c}{a} \\
14 & = p \\
\hline
p+q & = 14-8=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$


46. Soal UM UGM Tahun 2018 Kode 276 (*Soal Lengkap)

Salah satu akar dari persamaan $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ adalah $0$, sedangkan dua akar lainnya saling berlawanan tanda. Jika $a+b+c=-4$ ..
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 32 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dikatakan salah satu akar suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ adalah $0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{3}+ax^{2}+bx+c & = 0 \\
(0)^{3}+a(0)^{2}+b(0)+c & = 0 \\
c & = 0 \\
\hline
a + b + c & = -4 \\
a + b & = -4
\end{align}$

Dari teorema akar-akar vieta dan dikatakan dua akar lainnya saling berlawanan tanda, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1} + x_{2} + 0 & = -a \\
x_{1} + \left( -x_{1} \right) & = -a \\
0 & = a \\
\hline
a+b & = -4 \\
b & = -4
\end{align}$

$\begin{align}
x^{3}+ax^{2}+bx+c & = 0 \\
x^{3}-4x & = 0 \\
x \left( x^{2}-4 \right) & = 0 \\
x \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) & = 0 \\
\hline
x=0;\ x=-2,\ x=2
\end{align}$
Akar terbesar yang mungkin adalah $2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

47. Soal Latihan Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA dan MA

Jika salah satu akar persamaan polinomial $x^{4}-8x^{3}+px^{2}+5x+2=0$ adalah $-1$, nilai $p$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & -4 \\
(E)\ & -6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Disebutkan pada soal bahwa $-1$ adalah salah satu akar $x^{4}-8x^{3}+px^{2}+5x+2=0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{4}-8x^{3}+px^{2}+5x+2 & = 0 \\
(-1)^{4}-8(-1)^{3}+p(-1)^{2}+5(-1)+2 & = 0 \\
(1)-8(-1) +p(1) -5+2 & = 0 \\
1+8 +p -3 & = 0 \\
p +6 & = 0 \\
p & = -6 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -6$

48. Soal Latihan Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA dan MA

Jika $f(x)=3x^{4}-5x^{2}+kx+12$ habis dibagi $x+2$, maka nilai $k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 30 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 50
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)=3x^{4}-5x^{2}+kx+12$ habis dibagi $x+2$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(-2) &= 0 \\
3(-2)^{4}-5(-2)^{2}+k(-2)+12 &= 0 \\
3(16)-5(4)-2k+12 &= 0 \\
48-20-2k+12 &= 0 \\
-2k & = -40 \\
& = 20
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$

49. Soal Latihan Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA dan MA

Jika $f(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ sisanya $24$, sedangkan jika dibagi dengan $(x+5)$ sisanya $10$. Jika $f(x)$ dibagi dengan $x^{2}+3x-10$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+34 \\
(B)\ & x-34 \\
(C)\ & 2x-20 \\
(D)\ & 2x+20 \\
(E)\ & x+14
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $24$ dan $f(x)$ dibagi $(x+5)$ sisanya $10$, sehingga berdasarkan teorema sisa sukubanyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(2)=24$, dan $f(-5)=10$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}+3x-10$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-3x+2 \right) + mx+n \\
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+5 \right) \left( x-2 \right)+ mx+n\\
\hline
f(2) & = 2m+n\\
24 & = 2m+n\\
\hline
f(-5) & = -5m+n\\
10 & = -5m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+n = 24 & \\
-5m+n = 10 & (-) \\
\hline
7m = 14 & \\
m = 2 & \\
n = 20 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=2x+20$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x+20$

50. Soal Latihan Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA dan MA

Jika $f(x)$ dibagi dengan $(x+2)$ bersisa $14$, dan dibagi $(x-4)$ bersisa $-4$. Jika $f(x)$ dibagi $x^{2}-2x-8$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3x-8 \\
(B)\ & 3x+8 \\
(C)\ & -3x+8 \\
(D)\ & 8x-3 \\
(E)\ & -8x+3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x+2)$ sisanya $24$ dan $f(x)$ dibagi $(x-4)$ sisanya $-4$, sehingga berdasarkan teorema sisa sukubanyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(-2)=14$, dan $f(4)=-4$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-2x-8$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-2x-8 \right) + mx+n \\
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+2 \right) \left( x-4 \right)+ mx+n\\
\hline
f(-2) & = -2m+n\\
14 & = -2m+n\\
\hline
f(4) & = 4m+n\\
-4 & = 4m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-2m+n = 14 & \\
4m+n = -4 & (-) \\
\hline
-6m = 18 & \\
m = -3 & \\
n = 8 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=-3x+8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x+20$

51. Soal Latihan Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA dan MA

Suatu suku banyak $f(x)$ jika dibagi dengan $(x-2)$ bersisa $5$, dan dibagi $(x+3)$ bersisa $-10$. Jika $f(x)$ dibagi $x^{2}+x-6$, maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3x-1 \\
(B)\ & -3x+8 \\
(C)\ & -3x-8 \\
(D)\ & 3x-1 \\
(E)\ & -3x+1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $5$ dan $f(x)$ dibagi $(x+3)$ sisanya $-10$, sehingga berdasarkan teorema sisa sukubanyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(2)=5$, dan $f(-3)=-10$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}+x-6$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}+x-6 \right) + mx+n \\
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x-2 \right) \left( x+3 \right)+ mx+n\\
\hline
f(2) & = 2m+n\\
5 & = 2m+n\\
\hline
f(-3) & = -3m+n\\
-10 & = -3m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+n = 5 & \\
-3m+n = -10 & (-) \\
\hline
5m = 15 & \\
m = 3 & \\
n = -1 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=3x-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3x-1$

52. Soal Latihan Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA dan MA

Diketahui $R(x)=g(x) \cdot h(x)$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $6$ dan $10$. Jika $h(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $2$ dan $2$. Tentukan sisa pembagian $R(x)$ oleh $x^{2}-4$.
$\begin{align}
(A)\ & -2x-16 \\
(B)\ & -2x+16 \\
(C)\ & 2x+16 \\
(D)\ & 16x-2 \\
(E)\ & 16x+2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $g(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $6$ dan $10$,
sehingga berdasarkan teorema sisa berlaku $g(2)=6$, dan $g(-2)=10$.

Lalu disampaikan bahwa $h(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $2$ dan $2$,
sehingga berdasarkan teorema sisa berlaku $h(2)=2$, dan $h(-2)=2$.

$R(x)$ dibagi dengan $x^{2}-4$, sehingga berlaku
$\begin{align}
R(x) & \equiv H(x)\left( x^{2}-4 \right) + mx+n \\
g(x) \cdot h(x) & \equiv H(x) \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) + mx+n \\
g(2) \cdot h(2) & \equiv H(2) \left( 2-2 \right) \left( 2+2 \right) + m(2)+n \\
6 \cdot 2 & \equiv 2m +n \\
12 & \equiv 2m +n \\
\hline
g(-2) \cdot h(-2) & \equiv H(-2) \left( -2-2 \right) \left( -2+2 \right) + m(-2)+n \\
10 \cdot 2 & \equiv -2m +n \\
20 & \equiv -2m +n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+n = 12 & \\
-2m+n = 20 & (-) \\
\hline
4m = -8 & \\
m = -2 & \\
n = 16 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=-2x+16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2x+16$

53. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$ maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x-1)(x+1)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{-f(-1)}{2}(1+x) \\
(B)\ & \dfrac{-f(-1)}{2}(1-x) \\
(C)\ & \dfrac{f(-1)}{2}(1+x) \\
(D)\ & \dfrac{f(-1)}{2}(1-x) \\
(E)\ & \dfrac{f(-1)}{2}(x-1)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+\text{sisa}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-1)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-1)(x+1)+mx+n$

$f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(1) & = 0 \\
f(1) & = H(1) \cdot (1-1)(1+1)+m(1)+n \\
0 & = m+n
\end{align} $

$f(x)$ dibagi oleh $(x-1)(x+1)$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = H(x) \cdot (x-1)(x+1)+mx+n \\
f(-1) & = H(-1) \cdot (-1-1)(-1+1)+m(-1)+n \\
f(-1) & = -m+n \\
f(-1) & = n+n \\
f(-1) & = 2n \\
n & = \dfrac{1}{2}f(-1) \\
m & = -\dfrac{1}{2}f(-1)
\end{align} $

Untuk $n=\dfrac{1}{2}f(-1)$ dan $m=-\dfrac{1}{2}f(-1)$ maka sisa pembagian $mx+n$ adalah:
$ \begin{align}
mx+n & = -\dfrac{1}{2}f(-1) \cdot x+\dfrac{1}{2}f(-1) \\
& = \dfrac{1}{2}f(-1) \left(-x+1 \right) \\
& = \dfrac{1}{2}f(-1) \left(1-x \right)
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{f(-1)}{2}(1-x)$

54. Soal SIMAK UI 2009 Kode 934 (*Soal Lengkap)

Sebuah fungsi $f(x)$ memiliki sisa $30$ jika dibagi $(x-1)$ dan bersisa $15$ jika dibagi $\left( 3x-2\right)$. Jika $f(x)$ dibagi $(x-1)(3x-2)$ maka sisanya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 45x-15 \\
(B)\ & 45x+5 \\
(C)\ & -40x-5 \\
(D)\ & 40x-15 \\
(E)\ & 45x+5 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+\text{sisa}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-1)(3x-2)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n$

$f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $30$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(1) & = 30 \\
f(x) &= H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n \\
f(1) & = m(1)+n \\
30 & = m+n
\end{align} $

$f(x)$ dibagi $(3x-2)$ sisa $15$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f \left( \frac{2}{3} \right) & = 15 \\
f(x) &= H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n \\
f \left( \frac{2}{3} \right) & = m\left( \frac{2}{3} \right)+n \\
15 & = \left( \frac{2}{3} \right)m+n \\
45 & = 2m+3n
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 30 & \times 2 \\
2m+3n = 45 & \times 1 \\
\hline
2m+2n = 60 & \\
2m+3n = 45 & (-)\\
\hline
n = -15 & \\
m = 45
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n$ dalah $45x-15$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 45x-15$

55. Soal SIMAK UI 2009 Kode 944 (*Soal Lengkap)

Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^{4}-8x^{3}+2ax^{2}+(5b+3)x+4c-3=0$ diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmatika dengan beda $2$. Nilai $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari suku banyak $x^{4}-8x^{3}+2ax^{2}+(5b+3)x+4c-3=0$ dan dengan menggunakan teorema akar vieta kita peroleh:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-8}{1}=8$

Dengan diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmatika dengan beda $2$,
$ \begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a} &= 8
x_{1}+x_{1}+2+x_{1}+4+x_{1}+6= 8 \\
4x_{1} + 12 & = 8 \\
x_{1} & = -1
\end{align} $
Untuk $x_{1}=-1$, maka $x_{2}=1$, $x_{3}=3$ dan $x_{4}=5$

$ \begin{align}
x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4} & = \dfrac{c}{a} \\
-1 -3 -5+3+5+15 & = \dfrac{2a}{1} \\
14 & = 2a \\
a & = 7
\end{align} $

$ \begin{align}
x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4} & = -\dfrac{d}{a} \\
-3-5-15+15 & = -\dfrac{5b+3}{1} \\
-8 & = -5b-3 \\
b & = 1
\end{align} $

$ \begin{align}
x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} & = \dfrac{e}{a} \\
-15 & = \dfrac{4c-3}{1} \\
-15 & = 4c-3 \\
c & = -3
\end{align} $

Nilai $a+b+c+d$ adalah $7+1-3=5$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$


56. Soal SIMAK UI 2009 Kode 954 (*Soal Lengkap)

Jika suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x-2$ sisanya $27$, jika dibagi $x+1$ sisanya $3$, maka jika dibagi $x-1$ sisanya sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x-2$ sisa $27$, maka $f(2)=27$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
(2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)-3 & = 27 \\
8 +4a +2b -3 & = 27 \\
4a +2b & = 22 \\
2a + b & = 11
\end{align} $

Suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x+1$ sisa $3$, maka $f(-1)=3$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
(-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)-3 & = 3 \\
-1 + a - b -3 & = 3 \\
a - b & = 7
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 11 & \\
a-b = 7\ \ (+)& \\
\hline
3a = 18 & \\
a = 6 & \\
b = -1
\end{array} $

Untuk $a=6$ dan $b=-1 $ kita peroleh suku banyak menjadi $x^{3}+6x^{2}-x-3$, dan dibagi $x-1$ sisanya adalah:
$ \begin{align}
(1)^{3}+6(1)^{2}-(1)-3 & = 1+6-1-3 \\
& = 3
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$

57. Soal SIMAK UI 2010 Kode 503 (*Soal Lengkap)

Jika sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x, x-1,$ dan $x + 2$ berturut-turut adalah $2, 3,$ dan $4$, maka sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x^{3} + x^{2} - 2x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{2}{3}x-2 \\
(B)\ & \dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{2}{3}x+2 \\
(C)\ & \dfrac{1}{3}x^{2}+2x-\dfrac{2}{3} \\
(D)\ & \dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{1}{3}-2 \\
(E)\ & \dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

suku banyak $f(x)$ dibagi $x$ sisa $2$ maka $f(0)=2$,
suku banyak $f(x)$ dibagi $x-1$ sisa $3$ maka $f(1)=3$,
suku banyak $f(x)$ dibagi $x+2$ sisa $4$ maka $f(-2)=4$

suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{3} + x^{2} - 2x$ maka:
$ \begin{align}
f(x) &=H(x) \cdot x^{3} + x^{2} - 2x+\text{sisa} \\
&=H(x) \cdot x \left(x^{2} + x - 2 \right)+ax^{2}+bx+c \\
&=H(x) \cdot x \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) + ax^{2}+bx+c \\
\hline
f(0) &= c\ \rightarrow\ c=2 \\
f(1) &= a+b+c \\
3 &= a+b+ 2 \\
1 &= a+b \\
f(-2) &= 4a-2b+c \\
4 &= 4a-2b+2 \\
1 &= 2a- b
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 1 & \\
2a-b = 1\ \ (+)& \\
\hline
3a = 2 & \\
a = \dfrac{2}{3} & \\
b = \dfrac{1}{3} &
\end{array} $

Untuk $a=\dfrac{2}{3}$, $b=\dfrac{1}{3}$ dan $c=2$, maka sisa $ax^{2}+bx+c$ adalah $\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2$

58. Soal SIMAK UI 2010 Kode 506 (*Soal Lengkap)

Jumlah semua solusi riil dari persamaan $x^{5}-4x^{4}-2x^{3}+39x^{2}-54x=0$
adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk mendapatkan akar-akar riil atau akar-akar rasional persamaan suku banyak, salah satu caranya adalah dengan mencoba nilai $x$ yang mungkin jadi salah satu akar persamaan suku banyak.

Dari bentuk persamaan suku banyak di atas, salah satu akar yang sudah pasti adalah $x=0$ sehingga tidak perlu kita coba lagi, bentuk suku banyak menjadi:
$x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) =0$

berikutnya kita coba untuk $x=2$
$ \begin{align}
& x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+39x-54 \\
& = (2)^{4}-4(2)^{3}-2(2)^{2}+39(2)-54 \\
& = 16-32-8+78-54 \\
&= 0
\end{align} $
artinya $x=2$ merupakan salah satu akar suku banyak atau $(x-2)$ merupakan salah satu faktor suku banyak.

Berikutnya suku banyak $x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+39x-54$ kita bagi dengan $(x-2)$

Jumlah semua solusi riil dari persamaan
dari pembagian sukubanyak di atas kita peroleh
$ \begin{align}
& x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) \\
& = x \left( x-2 \right) \left( x^{3}-2x^{2}-6x+27 \right)
\end{align} $

Lalu kita memfaktorkan $x^{3}-2x^{2}-6x+27$, dengan mencoba nilai $x$ yang mungkin yaitu $x=-3$
$ \begin{align}
& x^{3}-2x^{2}-6x+27 \\
& = (-3)^{3}-2(-3)^{2}-6(-3)+27 \\
& = -27-18+18+27 \\
&= 0
\end{align} $
artinya $x=-3$ merupakan salah satu akar suku banyak atau $(x+3)$ merupakan salah satu faktor suku banyak.
Berikutnya suku banyak $x^{3}-2x^{2}-6x+27$ kita bagi dengan $(x+3)$
Jumlah semua solusi riil dari persamaan
dari pembagian sukubanyak di atas kita peroleh
$ \begin{align}
& x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) \\
& = x \left( x-2 \right) \left( x^{3}-2x^{2}-6x+27 \right) \\
& = x \left( x-2 \right) \left( x+3 \right) \left( x^{2}-5x+9 \right) \\
\end{align} $

Untuk $x^{2}-5x+9$ nilai $D=b^{2}-4ac$ adalah $D \lt 0$ sehingga tidak memiliki akar-akar riil.

Akar riil dari persamaan $x \left( x-2 \right) \left( x+3 \right) \left( x^{2}-5x+9 \right)$ adalah $0,2,-3$
Jumlah semua solusi riil adalah $0+2-3=-1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

59. Soal SIMAK UI 2010 Kode 507 (*Soal Lengkap)

Diketahui $P(x)=ax^{5}+bx-1$ dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x-2010)$ bersisa $6$. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+2010)$ akan bersisa...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $P(x)$ dibagi $(x-2010)$ sisanya $6$, sehingga berdasarkan teorema sisa sukubanyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $P(2010)=6$.

Yang ditanyakan adalah $P(x)$ dibagi $(x+2010)$ atau $p(-2010)$

$\begin{align}
P(x) &= ax^{5}+bx-1 \\
P(2010) &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right)-1 \\
6 &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right)-1 \\
7 &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right) \\
7 &=2010 \left( a \left( 2010 \right)^{4}+b \right) \\
\dfrac{7}{2010} &= a \left( 2010 \right)^{4}+b \\
\hline
p(-2006) &= a \left( -2010 \right)^{5}+b\left( -2010 \right)-1 \\
&= a \left( -2010 \right) \cdot \left( -2010 \right)^{4}+b\left( -2010 \right)-1 \\
&= \left( -2010 \right) \left( a \cdot \left(2010 \right)^{7}+b \right)-1 \\
&= \left( -2010 \right) \left( \dfrac{7}{2010} \right)-1 \\
&= -7 -1 =-8
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -8$

60. Soal SIMAK UI 2010 Kode 508 (*Soal Lengkap)

Pada pembagian suku banyak $81x^{3} + 9x^{2} - 9x + 4$ dengan $(3x - p)$ diperoleh sisa $3p^{3} + 2$. Jumlah nilai-nilai $p$ yang memenuhi adalah....
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $81x^{3} + 9x^{2} - 9x + 4$ dibagi $(3x - p)$ sisanya $3p^{3} + 2$, sehingga berdasarkan teorema sisa untuk $x=\dfrac{p}{3}$ berlaku:
$\begin{align}
81\left( \frac{p}{3} \right)^{3} + 9\left( \frac{p}{3} \right)^{2} - 9\left( \frac{p}{3} \right) + 4 &= 3p^{3} + 2 \\
81 \cdot \dfrac{p^{3}}{3^{3}} + 9 \cdot \dfrac{p^{2}}{3^{2}} - 9 \cdot \dfrac{p }{3} + 4 &= 3p^{3} + 2 \\
3p^{3} + p^{2} - 3p + 4 &= 3p^{3} + 2 \\
p^{2} - 3p + 2 &= 0 \\
\hline
p_{1} + p_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\
&= -\dfrac{-3}{1} =3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$

61. Soal SIMAK UI 2011 Kode 511 (*Soal Lengkap)

Misalkan $f(x)$ adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmatika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya sama dengan $12$. Maka sisa dari pembagian $f(x + 6)$ oleh $x^{2} + 1$ adalah ....
$\begin{align}
(A)\ & 7x-6 \\
(B)\ & x+6 \\
(C)\ & 6x-7 \\
(D)\ & x-6 \\
(E)\ & x+1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa akar-akar suku banyak $f(x)$ membentuk barisan aritmatika, kita misalkan dengan; $a, a+b, a+2b$.

Nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama,
$\begin{align}
a+2b &= 3a \\
2b &= 2a \\
b &= a \\
\end{align}$

Jumlah akar-akarnya sama dengan $12$
$\begin{align}
a + a+b + a+2b &= 12 \\
a + a+a + a+2a &= 12 \\
6a &= 12 \\
a &= 2 \\
\end{align}$
Akar-akar suku banyak $f(x)$ adalah $2,4,6$, sehingga:
$\begin{align}
f(x) &= (x-2)(x-4)(x-6) \\
f(x+6) &= (x+6-2)(x+6-4)(x+6-6) \\
&= (x+4)(x+2)(x) \\
&= \left( x^{2}+6x+8 \right) (x) \\
&= x^{3}+6x^{2}+8x
\end{align}$
Suku banyak $f(x+6) = x^{3}+6x^{2}+8x $ dibagi $x^{2}+1$, kita coba dengan manipulsi faktor $x^{2}=-1$.
$\begin{align}
f(x+6) &= x^{3}+6x^{2}+8x \\
&= x^{2} \cdot x+6x^{2}+8x \\
&= (-1) \cdot x+6(-1)+8x \\
&= -x-6+8x \\
&= 7x-6
\end{align}$
Sisa pembagian $f(x+6) = x^{3}+6x^{2}+8x $ dengan $x^{2}+1$ adalah $7x-6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7x-6$

62. Soal UM UNDIP 2018 Kode (*Soal Lengkap)

Diberikan persamaan $\dfrac{2x^{2}+x+3}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)}=\dfrac{a}{ x-1}+\dfrac{b}{ x+1}+\dfrac{c}{ x+2}$ dengan $a,b,$ dan $c$ konstanta-konstanta. Nilai $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Bentuk suku banyak di atas jika kita ubah bentuknya menjadi dua suku banyak yang sama, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{2x^{2}+x+3}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\
&=\dfrac{a}{ x-1}+\dfrac{b}{ x+1}+\dfrac{c}{ x+2} \\
&=\dfrac{(a+b)x+(a-b)}{x^{2}-1}+ \dfrac{c}{ x+2} \\
&=\dfrac{\left[ (a+b)x+(a-b) \right] \left( x+2 \right)+c \left( x^{2}-1 \right)}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\
&=\dfrac{(a+b)x^{2}+2(a+b)x+(a-b)x+2(a-b)+cx^{2}-c}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\
&=\dfrac{(a+b+c)x^{2}+(3a+b)x+2a-2b-c}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)}
\end{align}$
Dari kesamaan dua suku banyak di atas kita peroleh nilai $a+b+c=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Suku Banyak atau Polinomial (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Sukubanyak (Polinomial) (49) ini sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara alternatif Menentukan Nilai Sukubanyak (polinomial) dengan Substitusi Langsung dan Cara Skema;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Sukubanyak (Polinomial) (62)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar