The good student, bersama Calon Guru kita belajar matematika dasar SMA dari Teorema Faktor dan Teorema Vieta Pada Suku Banyak (Polinomial). Sebagai contoh soal latihan untuk bahan diskusi, kita pilih dari soal pada Modul Teorema Faktor dan Teorema Vieta Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA Kurikulum 2013.
Teorema Faktor Pada Suku Banyak (Polinomial)
Secara umum Teorema Faktor adalah "$G(x)$ adalah faktor dari polinomial $F(x)$, jika dan hanya jika $F(x)$ dibagi $G(x)$ mendapatkan sisa nol".
Secara khusus, $\left(x – k \right)$ adalah faktor dari polinomial $F(x)$ jika dan hanya jika $F(k) = 0$.
Dari hasil di atas dapat juga kita simpulakan bahwa $x = k$ adalah salah satu akar-akar persamaan $F(x) = 0$.
Mari kita lihat contoh berikut ini:
Buktikanlah bahwa $\left( x + 3 \right)$ adalah faktor dari $x^{3} + x^{2} – 9x – 9$
Alternatif pembuktian:
Berdasarkan teorema faktor "jika $\left(x – k \right)$ adalah faktor linier dari polinom $F(x)$ maka $F(k) = 0$" akan dibuktikan bahwa $F(-3) = 0$.
$\begin{align}
F\left( x \right) & = x^{3} + x^{2} – 9x – 9 \\
F\left( -3 \right) & = (-3)^{3} + (-3)^{2} – 9(-3) – 9 \\
F \left( -3 \right) & = -27 + 9 +27 – 9 \\
F \left( -3 \right) & = 0
\end{align}$
Karena $F \left( -3 \right) = 0$ maka terbukti $\left( x + 3 \right)$ adalah faktor dari $x^{3} + x^{2} – 9x – 9$
Menentukan Akar-akar Rasional Suku Banyak
Setelah kita mengetahui faktor dari suku banyak, berikutnya kita diharapkan dapat mengetahui akar-akar suku banyak. Untuk menentukan akar-akar rasional suku banyak, ada beberapa tahapan yang haris kita lakukan. Tahapannya mari kita lihat pada contoh soal berikut ini.
Tentukanlah faktor-faktor linier dari persamaan $2x^{3} – x^{2} – 18x + 9 = 0$
Untuk menentukan akar-akar rasional suku banyak, tahapan berikut ini silahkan dipahami terlebih dahulu.
- Nilai $a$ yang mungkin dibatasi oleh faktor $\pm 9$ (konstanta) yaitu $\pm 1$, $\pm 3$, dan $\pm 9$
- Nilai $b$ yang mungkin dibatasi oleh faktor $\pm 2$ (koefisien variabel pangkat tertinggi) yaitu $\pm 1$, dan $\pm 2$
- Nilai $\frac{a}{b}$ yang mungkin adalah $\pm 1$, $\pm 3$, $\pm 9$, $\pm \frac{1}{2}$, $\pm \frac{3}{2}$, $\pm \frac{9}{2}$.
- Dari nilai $x=a$, $x=b$ atau $x=\frac{a}{b}$ di atas, diantaranya merupakan salah satu akar rasional suku banyak. Berikutnya dilakukan uji coba nilai $x$ ke suku banyak.
- Untuk $x$ yang mengakibatkan nilai suku banyak adalah nol, maka $x$ adalah salah satu akar suku banyak.
- Jika tidak ada nilai $x$ yang mengakibatkan nilai suku banyak nol maka suku banyak tidak mempunyai akar-akar rasional.
Dari nilai $a$, $b$, atau $\frac{a}{b}$ kita pilih sembarang untuk kita uji, misal kita pilih $x=1$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
F\left( x \right) & = 2x^{3} – x^{2} – 18x + 9 \\
F\left( 1 \right) & = 2(1)^{3} + (1)^{2} – 18(1) +9 \\
F \left( 1 \right) & = 2+1-18+9 =-6
\end{align}$
karena $F \left( 1 \right) \neq 0$ maka $\left( x - 1 \right)$ bukan faktor dari $2x^{3} – x^{2} – 18x + 9$
Berkutnya kita pilih pilih $x=3$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
F\left( x \right) & = 2x^{3} – x^{2} – 18x + 9 \\
F\left( 3 \right) & = 2(3)^{3} + (3)^{2} – 18(3) +9 \\
F \left( 3 \right) & = 54+9-54+9 = 0
\end{align}$
karena $F \left( 3 \right) = 0$ maka $\left( x - 3 \right)$ adalah faktor dari $2x^{3} – x^{2} – 18x + 9$
Sekarang kita menentukan faktor yang lain dengan membagikan $2x^{3} – x^{2} – 18x + 9$ dengan $(x-3)$, kita peroleh:
Dari hasil di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align}
F\left( x \right) & = \left( 2x^{3} – x^{2} – 18x + 9 \right) \\
& = \left( x-3 \right) \left( 2x^{2}+5x-3 \right) \\
& = \left( x-3 \right) \left( x+3 \right)\left( 2x-1 \right)
\end{align}$
TEOREMA AKAR-AKAR VIETA
Teorema akar-akar Vieta atau mungkin yang lebih dikenal dengan Hasil Jumlah dan Hasil Kali akar-akar Suku Banyak. Teorema ini diperkenalkan oleh François Viète, beliau adalah pakar matematika abad ke-16 kebangsaan Perancis.
Persamaan suku banyak yang mempunyai akar-akar real paling banyak $n$ buah. Jika $x_{1},x_{2},x_{3}, \dots x_{n}$ adalah akar-akar dari persamaan tersebut, maka hubungan antara akar-akarnya ini adalah sebagai berikut.
- $F(x)=ax^{2}+bx+c$,
akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$- $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2}= \frac{c}{a}$
- $F(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$,
akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$- $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+ x_{2}\cdot x_{3} = \frac{c}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\frac{d}{a}$
- $F(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$,
akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$- $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\frac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \frac{c}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ \cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\frac{d}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \frac{e}{a}$
Mari kita lihat contoh soal berikut ini:
Tentukanlah hasil jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial $2x^{3} – 5x^{2} + 4x – 6 = 0$
Alternatif pembahasan:
Dari suku banyak $2x^{3} – 5x^{2} + 4x – 6 = 0$ kita peroleh nilai $a=2$, $b=-5$, $c=4$, dan $d=-6$
- $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+ x_{2}\cdot x_{3} = \frac{c}{a}= \frac{4}{2}=2$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\frac{d}{a}=-\frac{-6}{2}=3$
Contoh soal kedua.
Jika salah satu akar persamaan polinomial $x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+5x+p=0$ adalah $-1$, maka jumlah hasil kali dua akar-akar persamaan polinomial adalah...
Diketahui bahwa $-1$ adalah salah satu akar $x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+5x+p=0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{4}-8x^{3}+px^{2}+5x+2 & = 0 \\
(-1)^{4}-8(-1)^{3}+p(-1)^{2}+5(-1)+2 & = 0 \\
(1)-8(-1) +p(1) -5+2 & = 0 \\
1+8 +p -3 & = 0 \\
p +6 & = 0 \\
p & = -6 \\
\hline
x^{4}-8x^{3}+px^{2}+5x+2 & = 0 \\
x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+5x+2 & = 0 \\
x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} & = \frac{c}{a} = \frac{-6}{2}=-3
\end{align}$
Untuk menambah pemahaman kita terkait Teorema Faktor dan Teorema Vieta Pada Suku Banyak (Polinomial) ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Teorema faktor Pada Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA Kurikulum 2013 dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Jika tertarik untuk diskusi terkait Soal-soal Pada Suku Banyak (Polinomial) yang sudha pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri (PTN) yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Sukubanyak (Polinomial).
1. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Manakah dari berikut ini yang merupakan faktor dari $x^{4} + 5x^{3} + 5x^{2} – 5x – 6$?
$\begin{align} (A)\ & \left( x – 2 \right) \\ (B)\ & \left( x + 2 \right) \\ (C)\ & \left( x – 3 \right) \\ (D)\ & \left( x + 5 \right) \\ (E)\ & \left( 2x – 1 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan salah satu akar polinomial, kita bisa dengan menguji pilihan yang ada, tetapi yang diuji tidak perlu semua. Yang diuji adalah faktor $\pm 6$ yaitu $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, dan $\pm 6$.
Kita uji untuk $x=2$, $x=-2$ dan $x=3$ kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = x^{4} + 5x^{3} + 5x^{2} – 5x – 6 \\ F\left( 2 \right) & = (2)^{4} + 5(2)^{3} + 5(2)^{2} – 5(2) – 6 \\ & = (2)^{4} + 5(2)^{3} + 5(2)^{2} – 5(2) – 6 \\ & = 16 + 40 + 20 – 10 – 6 = 60 \\ \hline F\left( -2 \right) & = (-2)^{4} + 5(-2)^{3} + 5(-2)^{2} – 5(-2) – 6 \\ & = 16 - 40 + 20 + 10 – 6 = 0 \\ \hline F\left( 3 \right) & = (3)^{4} + 5(3)^{3} + 5(3)^{2} – 5(3) – 6 \\ & = 81 + 135 + 45 - 15 – 6 = 240 \\ \end{align}$
Salah satu akar suku banyak adalah $x=-2$ sehingga salah satu faktornya adalah $\left( x + 2 \right)$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left( x + 2 \right)$
2. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Jika suku banyak $x^{3} – x^{2} – 32x + p$ mempunyai faktor $\left( x - 2 \right)$, maka nilai $p = \cdots$
$\begin{align} (A)\ & 25 \\ (B)\ & 30 \\ (C)\ & 60 \\ (D)\ & -20 \\ (E)\ & 10 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa $\left( x - 2 \right)$ adalah salah satu faktor suku banyak, sehingga untuk $x=2$ berlaku:
$\begin{align}
x^{3} – x^{2} – 32x + p & = 0 \\
(2)^{3} – (2)^{2} – 32(2) + p & = 0 \\
8-4-64 +p & = 0 \\
-60+p & = 0 \\
p & = 60
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60$
3. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Jika salah satu faktor dari $x^{4} + x^{3} – px^{2} + x – 6$ adalah $\left(x – 2 \right)$ maka faktor yang lain adalah...
$\begin{align} (A)\ & \left( x + 3 \right) \\ (B)\ & \left( x – 3 \right) \\ (C)\ & \left( x + 5 \right) \\ (D)\ & \left( x - 5 \right) \\ (E)\ & \left( 2x – 3 \right) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa $\left( x - 2 \right)$ adalah salah satu faktor suku banyak, sehingga untuk $x=2$ berlaku:
$\begin{align}
x^{4} + x^{3} – px^{2} + x – 6 & = 0 \\
(2)^{4} + (2)^{3} – p(2)^{2} + (2) – 6 & = 0 \\
16 + 8 – 4p -4 & = 0 \\
20-4p & = 0 \\
p & = 5 \\
\hline
x^{4} + x^{3} – 5x^{2} + x – 6 & = 0 \\
\end{align}$
$\left( x - 2 \right)$ adalah salah satu faktor sehingga jika kita bagikan $x^{4} + x^{3} – 5x^{2} + x – 6$ dengan $\left( x - 2 \right)$ kita peroleh:
Dari hasil di atas, kita coba kembali memfaktorkan $\left(x^{3}+3x^{2}+x +3\right)$. Seperti cara sebelumnya kita uji nilai $x=-3$ hasilnya adalah $0$, lalu kita bagikan dengan $\left( x+3 \right)$ maka dapat kita peroleh:
Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
& = x^{4} + x^{3} – 5x^{2} + x – 6 \\
& = \left( x-2 \right) \left( x^{3}+3x^{2}+x +3 \right) \\
& = \left( x-2 \right) \left( x+3 \right) \left( x^{2}+1 \right)
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left( x + 3 \right)$
4. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Jika $\left(x^{2} – 4\right)$ merupakan faktor dari polinom $x^{3} + px^{2} + 2qx – 12$, maka nilai $p \cdot q =\dots$
$\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa $\left(x^{2} – 4\right)$ adalah faktor suku banyak, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{3} + px^{2} + 2qx – 12 & = \left(x^{2} – 4\right) \cdot H(x) \\
x^{3} + px^{2} + 2qx – 12 & = \left(x – 2\right)\left(x + 2\right) \cdot H(x) \\
\hline
\text{untuk}\ x=2 & \\
(2)^{3} + p(2)^{2} + 2q(2) – 12 & = 0 \\
4p + 4q & = 4 \longrightarrow p + q = 1 \\
\hline
\text{untuk}\ x=-2 & \\
(-2)^{3} + p(-2)^{2} + 2q(-2) – 12 & = 0 \\
4p - 4q & = 20 \longrightarrow p - q = 5
\end{align}$
Dari persamaan kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
p+q\ & =1 \\
p-q\ & =5 \\
\hline
2p\ & = 6 \longrightarrow p=\frac{6}{2}=3\\
2q\ & = -4 \longrightarrow q=\frac{-4}{2}=-2\\
p \cdot q\ & = -6
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -6$
5. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Jika polinom $x^{4} + ax^{2} + bx + 9$ habis dibagi $x^{2} – 2x – 3$, maka nilai $a+b =\dots$
$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & -10 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa $\left( x^{2} – 2x – 3 \right)$ adalah faktor suku banyak, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{4} + ax^{2} + bx + 9 & = \left( x^{2} – 2x – 3 \right) \cdot H(x) \\
x^{4} + ax^{2} + bx + 9 & = \left(x – 3\right)\left(x + 1\right) \cdot H(x) \\
\hline
\text{untuk}\ x=3 & \\
(3)^{4} + a(3)^{2} + b(3) + 9 & = 0 \\
9a + 3b & = -90 \longrightarrow 3a + b = -30 \\
\hline
\text{untuk}\ x=-1 & \\
(-1)^{4} + a(-1)^{2} + b(-1) + 9 & = 0 \\
a - b & = -10
\end{align}$
Dari persamaan kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
3a+b\ & =-30 \\
a-b\ & =-10 \\
\hline
4a\ & = -40 \longrightarrow a=\frac{-40}{4}=-10\\
a-b\ & = -10 \longrightarrow b=0\\
a + b\ & = -10
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -10$
6. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Jika $\left(x – 3y\right)$ adalah faktor dari polinom $x^{4} – 2kx^{2}y^{2} + 9y^{4}$ maka nilai $k =\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa $\left(x – 3y\right)$ adalah faktor suku banyak, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{4} – 2kx^{2}y^{2} + 9y^{4} & = \left(x – 3y\right) \cdot H(x) \\
&\text{untuk}\ x=3y \\
\left(3y \right)^{4} – 2k\left(3y \right)^{2}y^{2} + 9y^{4} & = 0 \\
81y^{4} – 2k \cdot 9y^{2} \cdot y^{2} + 9y^{4} & = 0 \\
90y^{4} – 18k y^{4} & = 0 \\
90y^{4} & = 18k y^{4} \\
90 & = 18k \\
k & = \frac{90}{18}= 5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$
7. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Akar-akar dari persamaan $x^{3} + x^{2} – 4x – 4 = 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \{ 1, 2, 3 \} \\ (B)\ &\{ -1, 2, 3 \} \\ (C)\ & \{ -2, -1, 2 \} \\ (D)\ & \{ -2, 1, 3 \} \\ (E)\ & \{ -3, 1, 2 \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan akar-akar polinomial, pertama dengan menguji nilai $x$ salah satu akar polinomial yang mungkin, yang diuji adalah faktor $\pm 4$ yaitu $\pm 1$, $\pm 2$, dan $\pm 4$.
Kita uji untuk $x=-1$ kita peroleh:
$\begin{align}
F\left( x \right) & = x^{3} + x^{2} – 4x – 4 \\
F\left( -1 \right) & = (-1)^{3} + (-1)^{2} - 4(-1) – 4 \\
& = -1+1+4-4 = 0
\end{align}$
Salah satu akar suku banyak adalah $x=-1$ sehingga salah satu faktornya $\left( x+1 \right)$. Jika kita bagikan $x^{3} + x^{2} – 4x – 4$ dengan $\left( x + 1 \right)$ kita peroleh:
Dari hasil di atas, kita peroleh:
$\begin{align}
x^{3} + x^{2} – 4x – 4 & = 0 \\
\left( x+1 \right) \left( x -2 \right)\left( x +2 \right) & = 0 \\
x=-1,\ \ x=2,\ \text{atau}\ x=-2\ &
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \{ -2, -1, 2 \} $
8. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Akar-akar dari persamaan $x^{3} + 2x^{2} – 5x – 6 = 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \{ 2, 1, -3 \} \\ (B)\ &\{ -2, -1, -3 \} \\ (C)\ & \{ 2, -1, -3 \} \\ (D)\ & \{ 2, 1, 3 \} \\ (E)\ & \{ -2, 1, -3 \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan akar-akar polinomial, pertama dengan menguji nilai $x$ salah satu akar polinomial yang mungkin, yang diuji adalah faktor $\pm 6$ yaitu $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, dan $\pm 6$.
Kita uji untuk $x=-1$ kita peroleh:
$\begin{align}
F\left( x \right) & = x^{3} + 2x^{2} – 5x – 6 \\
F\left( -1 \right) & = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} - 5(-1) – 6 \\
& = -1+2+5-6 = 0
\end{align}$
Salah satu akar suku banyak adalah $x=-1$ sehingga salah satu faktornya $\left( x+1 \right)$. Jika kita bagikan $x^{3} + 2x^{2} – 5x – 6$ dengan $\left( x + 1 \right)$ kita peroleh:
Dari hasil di atas, kita peroleh:
$\begin{align}
x^{3}+ 2x^{2}-5x - 6 & = 0 \\
\left( x+1 \right) \left( x^{2} +x-6 \right) & = 0 \\
\left( x+1 \right) \left( x +3 \right)\left( x -2 \right) = 0 \\
x=-1,\ \ x=-3,\ \text{atau}\ x=2\ &
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \{ 2, -1, -3 \} $
9. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Akar-akar dari persamaan $2x^{3} + x^{2} – 7x – 6=0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \{ -\frac{3}{2}, -1, 3 \} \\ (B)\ &\{ 1, -1, -\frac{3}{2} \} \\ (C)\ & \{ -\frac{3}{2}, 1, -3 \} \\ (D)\ & \{ -1, -\frac{3}{2}, 2 \} \\ (E)\ & \{ -1, 1, -\frac{3}{2} \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan akar-akar polinomial, pertama dengan menguji nilai $x$ salah satu akar polinomial yang mungkin, yang diuji adalah faktor $\pm 6$, $\pm 2$ dan $\pm \frac{\text{faktor}\ 6}{\text{faktor}\ 2}$ antara lain $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\cdots$.
Kita uji untuk $x=-1$ kita peroleh:
$\begin{align}
F\left( x \right) & = 2x^{3} + x^{2} – 7x – 6 \\
F\left( -1 \right) & = 2(-1)^{3} + (-1)^{2} - 7(-1) – 6 \\
& = -2+1+7-6 = 0
\end{align}$
Salah satu akar suku banyak adalah $x=-1$ sehingga salah satu faktornya $\left( x+1 \right)$. Jika kita bagikan $2x^{3} + x^{2} – 7x – 6$ dengan $\left( x + 1 \right)$ kita peroleh:
Dari hasil di atas, kita peroleh:
$\begin{align}
2x^{3} + x^{2} – 7x – 6 & = 0 \\
\left( x+1 \right) \left( 2x^{2} -x-6 \right) & = 0 \\
\left( x+1 \right) \left( 2x +3 \right)\left( x -2 \right) = 0 \\
x=-1,\ \ x=-\frac{3}{2},\ \text{atau}\ x=2\ &
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \{ -1, -\frac{3}{2}, 2 \} $
10. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Akar-akar dari persamaan $3x^{3} + 2x^{2} – 3x – 2=0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \{ -2,\ 1,\ -\frac{1}{3} \} \\ (B)\ &\{ -2, \frac{3}{2}, -1 \} \\ (C)\ & \{ \frac{2}{3}, 1, -1 \} \\ (D)\ & \{ \frac{2}{3}, -1 \} \\ (E)\ & \{ -\frac{2}{3}, -1, 1 \} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan akar-akar polinomial, pertama dengan menguji nilai $x$ salah satu akar polinomial yang mungkin, yang diuji adalah faktor $\pm 2$, $\pm 3$ dan $\pm \frac{\text{faktor}\ 2}{\text{faktor}\ 3}$ antara lain $\pm 1$, $\pm 2$, dan $\pm 3$.
Kita uji untuk $x=1$ kita peroleh:
$\begin{align}
F\left( x \right) & = 3x^{3} + 2x^{2} – 3x – 2 \\
F\left( 1 \right) & = 3(1)^{3} + 2(1)^{2} - 3(1) – 2 \\
& = 3+2-3-2 = 0
\end{align}$
Salah satu akar suku banyak adalah $x=1$ sehingga salah satu faktornya $\left( x-1 \right)$. Jika kita bagikan $3x^{3} + 2x^{2} – 3x – 2$ dengan $\left( x - 1 \right)$ kita peroleh:
Dari hasil di atas, kita peroleh:
$\begin{align}
3x^{3} + 2x^{2} – 3x – 2 & = 0 \\
\left( x -1 \right) \left( 3x^{2} +5x+2 \right) & = 0 \\
\left( x -1 \right) \left( 3x +2 \right)\left( x +1 \right) = 0 \\
x=1,\ \ x=-\frac{2}{3},\ \text{atau}\ x=-1\ &
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \{ -\frac{2}{3}, -1, 1 \} $
11. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Jumlah akar-akar dari persamaan polinom $4x^{3} – 2x^{5} + 10x^{4} – 6x + 8x^{3} – 5 = 0$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & \frac{-5}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{2} \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari polinomial pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
4x^{3} – 2x^{5} + 10x^{4} – 6x + 8x^{3} – 5 & = 0 \\
-2x^{5} + 10x^{4} + 12x^{3} – 6x – 5 & = 0 \\
\hline
a=-2,\ b=10,\ c=12,\ & \\
d=0,\ e=-6,\ f=-5\ & \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} & = -\dfrac{b}{a} \\
& = -\dfrac{10}{-2} = 5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$
12. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Hasil kali dari akar-akar persamaan polinom $\left(2x^{2} – 3x \right)^{2} – \left(3x – 2\right)^{2}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & \frac{-1}{2} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari polinomial pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left(2x^{2} – 3x \right)^{2} – \left(3x – 2\right)^{2} & = 4x^{4} -12x^{3}+ 9x^{2} – \left( 9x^{2} - 12x + 4 \right) \\
& = 4x^{4} -12x^{3} - 12x - 4 \\
\hline
& a=4,\ b=-12,\ c=0,\ d=-12,\ e=4\ \\
\hline
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} & = \dfrac{e}{a} \\
& = \dfrac{-4}{4} = -1
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
13. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Salah satu akar persamaan dari bentuk polinom $2x^{3} – 5x^{2} – 9x + 18 = 0$ adalah $3$. Jumlah dua akar yang lainnya adalah...
$\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -1\frac{1}{2} \\ (C)\ & -\frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{2} \\ (E)\ & 1\frac{1}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari polinomial pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2x^{3} – 5x^{2} – 9x + 18 & = 0 \\
\hline
a=2,\ b=-5,\ c=-9,\ d=18\ & \\
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1} + x_{2} + 3 & = -\dfrac{-5}{2} \\
x_{1} + x_{2} & = \dfrac{5}{2}-3 \\
& = \dfrac{5}{2}-\dfrac{6}{2} =\dfrac{-1}{2}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\frac{1}{2}$
14. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Salah satu akar dari persamaan polinom $x^{3} + px^{2} – 6x + 8 = 0$ adalah $–2$, maka jumlah dua akar yang lain adalah...
$\begin{align} (A)\ & 7 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa $-2$ adalah salah satu akar $x^{3} + px^{2} – 6x + 8 = 0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{3} + px^{2} – 6x + 8 & = 0 \\
(-2)^{3}+p(-2)^{2}-6(-2)+8 & = 0 \\
-8+4p +12+8 & = 0 \\
4p & = -12 \\
p & = \frac{-12}{4} = -3 \\
\hline
x^{3} + px^{2} – 6x + 8 & = 0 \\
x^{3} -3x^{2} – 6x + 8 & = 0 \\
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = \frac{-b}{a} \\
x_{1} + x_{2} - 2 & = \frac{-(-3)}{1} \\
x_{1} + x_{2} & = 5 \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5$
15. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
$x_{1}, x_{2},$ dan $x_{3}$ adalah akar-akar dari persamaan polinom $x^{3} + 3x^{2} – 6x + 2k = 0$. Jika $x_{1} + x_{3} = 2x_{2}$, maka nilai $k$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari polinomial pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{3} + 3x^{2} – 6x + 2k & = 0 \\
\hline
a=1,\ b=3,\ c=-6,\ d=2k\ & \\
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1} + x_{3} + x_{2} & = -\dfrac{3}{1} \\
2x_{2} + x_{2} & = -3 \\
3x_{2} & = -3 \longrightarrow x_{2}=-1 \\
\hline
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -3 \\
x_{1} -1 + x_{3} & = -3 \\
x_{1} + x_{3} & = -2 \\
x_{3} & = -2 - x_{1}
\end{align}$
Dari polinomial pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} & = \dfrac{c}{a} \\
x_{1} \left( -1 \right) + x_{1}x_{3} + \left( -1 \right) x_{3} & = \dfrac{-6}{1} \\
-x_{1} + x_{1}x_{3} - x_{3} & = -6 \\
-x_{1} + x_{1}\left( -2 - x_{1} \right)- \left( -2 - x_{1} \right) & = -6 \\
-x_{1} -2 x_{1} - x^{2}_{1} + 2 + x_{1} & = -6 \\
x^{2}_{1} +2 x_{1} - 8 & = 0 \\
\left( x_{1}-2 \right)\left( x_{1}+4 \right) & = 0 \\
x_{1}=2\ \text{atau}\ x_{1}=-4 \\
\hline
\hline
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\
\left( -4 \right) \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( 2 \right) & = -\dfrac{2k}{1} \\
8 & = -2k \\
k & = -4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -4$
16. Soal Latihan Teorema Faktor dan Teorema Vieta
Jika akar-akar suku banyak $x^{3} + 5x^{2} + ax – 6 = 0$ adalah $x_{1}, x_{2}$ dan $x_{3}$, serta berlaku $x_{1} \cdot x_{2} = 3$ maka nilai a adalah...
$\begin{align} (A)\ & -11 \\ (B)\ & -8 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari polinomial pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{3} + 5x^{2} + ax – 6 & = 0 \\
\hline
a=1,\ b=5,\ c=a,\ d=-6\ & \\
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\
3 \cdot x_{3} & = -\dfrac{-6}{1} \\
x_{3} & = 2 \\
\hline
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1} + x_{2} + 2 & = -\dfrac{5}{1} \\
x_{1} + x_{2} & = - 7 \\
x_{1} + \dfrac{3}{x_{1}} & = - 7 \\
x^{2}_{1} + 3 & = - 7 x_{1} \\
x^{2}_{1} + 7 x_{1} + 3 & = 0 \\
x^{2}_{2} + 7 x_{2} + 3 & = 0 \\
x_{1} + x_{2} & = \dfrac{-b}{a} = -7 \\
\end{align}$
Dari polinomial pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} & = \dfrac{c}{a} \\
3 + x_{1} \left( 2 \right) + x_{2} \left( 2 \right) & = \dfrac{a}{1} \\
3 + 2 \left( x_{1} + x_{2} \right) & = a \\
3+ 2 \left( -7 \right) & = a \\
-11 & = a
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -11$
Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Teorema Faktor dan Teorema Vieta Pada Suku Banyak (Polinomial) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Belajar Teorema Faktor dan Teorema Vieta Pada Suku Banyak (Polinomial) Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
