Calon guru belajar matematika dasar SMA tentang Lima Cara Alternatif Menentukan Sisa Pembagian atau Hasil Pembagian pada Suku Banyak (polinomial). Lima Cara Alternatif Menentukan Sisa Pembagian atau Hasil Pembagian pada Suku Banyak (polinomial) sebelumnya di rangkum oleh pak Luhut Tambunan (Belajar Bersama Pak Luhut) dalam bentuk gambar seperti dibawah ini dari Grup Belajar Guru Matematika Nusantara.
Disini kembali kita simpan dan bagikan agar lima cara alternatif ini lebih dikenal oleh anak-anak SMA yang sedang belajar suku banyak (polinomial), karena beberapa cara alternatif menentukan sisa pembagian suku banyak ini tidak pernah diketahui oleh anak-anak SMA.
Untuk anak-anak SMA yang mau mencoba menciptakan prestasi lewat suku banyak (polinomial) maka dengan mempelajari Lima Cara Alternatif Menentukan Sisa Pembagian atau Hasil Pembagian pada Suku Banyak adalah pilihan yang tepat.
Untuk soal dan pembahasan matematika dasar suku banyak (polinomial) dengan topik lebih bervariasi dapat pelajari pada catatan kita sebelumya tentang Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar suku banyak.
Secara umum bentuk suku banyak suatu $f(x)$ jika dibagi $P(x)$ dan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ dapat dituliskan:
$f(x)=P(x) \cdot H(x) + S(x)$
- Jika $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)+f(a)$
- Jika $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
Mari kita simak pembahasanya dan disini kita coba mulai langsung kepada contoh soal, dan contoh soal yang kita pilih beberapa diantaranya adalah soal-soal suku banyak (polinomial) yang sudah diujikan pada SBMPTN, Ujian masuk PTN atau Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK).
Suku Banyak $f(x)=ax^{3}-3x^{2}+3x+b$ dibagi oleh $x^{2}+2$ memberikan sisa $3-x$. Nilai $a \cdot b=\cdots$
Cara Pembagian Bersusun Kebawah
Jika $f(x)=ax^{3}-3x^{2}+3x+b$ dibagi oleh $x^{2}+2$ dengan bersusun ke bawah, maka perhitungannya seperti berikut ini:
Dari pembagian di atas, kita peroleh hasil pembagian $ax-3$ dan sisa pembagian adalah $(3-2a)x+b+6$.
Pada soal diketahui sisa pembagian adalah $3-x$, maka berlaku:
$\begin{align}
(3-2a)x+b+6\ & \equiv 3-x \\
(3-2a)x+b+6\ & \equiv -x+3 \\
\hline
b+6\ & = 3 \\
b & = 3-6 = -3 \\
\hline
3-2a\ & = -1 \\
4 & = 2a \\
2 & = a \\
\hline
\text{nilai}\ a \cdot b &= (2)(-3) =-6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -6$
Cara Manipulasi Faktor
Dengan manipulasi faktor ini, caranya kita anggap faktornya adalah sama dengan nol sehingga pembagi (faktor) $x^{2}+2=0$ diperoleh $x^{2}=-2$.
Dengan $x^{2}=-2$ dan $f(x)=ax^{3}-3x^{2}+3x+b$ dibagi $x^{2}+2$ sisa $3-x$ maka berlaku:
$\begin{align}
f(x) &= ax^{3}-3x^{2}+3x+b \\
f(x) &= ax \cdot x^{2}-3x^{2}+3x+b \\
3-x &= ax \cdot (-2)-3(-2)+3x+b \\
3-x &= -2ax + 6 +3x+b \\
3-x &= (3-2a)x+6+b \\
\hline
b+6\ & = 3 \\
b & = 3-6 = -3 \\
\hline
3-2a\ & = -1 \\
4 & = 2a \\
2 & = a \\
\hline
\text{nilai}\ a \cdot b &= (2)(-3) =-6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -6$
Cara Pemfaktoran langsung
Dengan pemfaktoran langsung ini sama halnya dengan memfaktorkan persamaan kuadrat yang kita anggap sudah bisa. Sehingga kita dapat membentuk fungsi dalam beberapa faktor.
Diketahui $f(x)=ax^{3} -3x^{2}+3x+b$ dibagi $x^{2}+2$ sisa $3-x$ maka berlaku:
$\begin{align}
ax^{3}-3x^{2}+3x+b & \equiv \left(x^{2}+2 \right) \left( ax+m \right)+ 3-x \\
ax^{3}-3x^{2}+3x+b & \equiv ax^{3}+mx^{2}+2ax+2m + 3-x \\
ax^{3}-3x^{2}+3x+b & \equiv ax^{3}+mx^{2}+\left( 2a-1 \right)x+ \left( 2m+3 \right) \\
\hline
m\ & = -3 \\
\hline
b & = 2m+3 \\
& = 2(-3)+3=-3 \\
\hline
2a-1 \ & = 3 \\
2a & = 4 \\
a & = 2 \\
\hline
\text{nilai}\ a \cdot b &= (2)(-3) =-6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -6$
Cara Pembagian Horner Bertingkat
Jika $f(x)=ax^{3}-3x^{2}+3x+b$ dibagi oleh $x^{2}+2$ dengan horner bertingkat, maka perhitungannya seperti berikut ini:
Dari pembagian di atas, kita peroleh hasil pembagian $ax-3$ dan sisa pembagian adalah $(3-2a)x+b+6$.
Pada soal diketahui sisa pembagian adalah $3-x$, maka berlaku:
$\begin{align}
(3-2a)x+b+6\ & \equiv 3-x \\
(3-2a)x+b+6\ & \equiv -x+3 \\
\hline
b+6\ & = 3 \\
b & = 3-6 = -3 \\
\hline
3-2a\ & = -1 \\
4 & = 2a \\
2 & = a \\
\hline
\text{nilai}\ a \cdot b &= (2)(-3) =-6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -6$
Cara Pembagian Horner-Kino
Jika $f(x)=ax^{3}-3x^{2}+3x+b$ dibagi oleh $x^{2}+2$ dengan horner-kino, maka perhitungannya seperti berikut ini:
Dari pembagian di atas, kita peroleh hasil pembagian $ax-3$ dan sisa pembagian adalah $(3-2a)x+b+6$.
Pada soal diketahui sisa pembagian adalah $3-x$, maka berlaku:
$\begin{align}
(3-2a)x+b+6\ & \equiv 3-x \\
(3-2a)x+b+6\ & \equiv -x+3 \\
\hline
b+6\ & = 3 \\
b & = 3-6 = -3 \\
\hline
3-2a\ & = -1 \\
4 & = 2a \\
2 & = a \\
\hline
\text{nilai}\ a \cdot b &= (2)(-3) =-6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -6$
Jika $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$, maka nilai $3a - b$ adalah...
Cara Pembagian Bersusun Kebawah
Jika $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ dibagi oleh $x^{2}+1$ dengan bersusun ke bawah, maka perhitungannya seperti berikut ini:
Dari pembagian di atas, kita peroleh hasil pembagian $ax+b$ dan sisa pembagian adalah $(2-a)x-3-b$.
Pada soal diketahui $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ atau sisa pembagian adalah $0$, maka berlaku:
$\begin{align}
(2-a)x-3-b\ & \equiv 0 \\
\hline
2-a\ & = 0 \\
a & = 2 \\
\hline
-3-b\ & = 0 \\
b & = -3 \\
\hline
\text{nilai}\ 3a-b &= 3(2)-(-3) = 9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$
Cara Manipulasi Faktor
Dengan manipulasi faktor ini, caranya kita anggap faktornya adalah sama dengan nol sehingga pembagi (faktor) $x^{2}+1=0$ diperoleh $x^{2}=-1$.
Dengan $x^{2}=-1$ dan $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka berlaku:
$\begin{align}
p(x) & \equiv ax^{3}+bx^{2}+2x-3 \\
p(x) & \equiv ax \cdot x^{2}+bx^{2}+2x-3 \\
0 & \equiv ax (-1) +b (-1) +2x-3 \\
0 & \equiv -ax -b +2x-3 \\
0 & \equiv (2-a)x -b-3 \\
\hline
2-a\ & = 0 \\
a & = 2 \\
\hline
-b-3\ & = 0 \\
b\ & = -3 \\
\hline
\text{nilai}\ 3a-b &= 3(2)-(-3) =9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$
Cara Pemfaktoran langsung
Dengan pemfaktoran langsung ini sama halnya dengan memfaktorkan persamaan kuadrat yang kita anggap sudah bisa. Sehingga kita dapat membentuk suku banyak dalam beberapa faktor.
Diketahui $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka berlaku:
$\begin{align}
ax^{3}+bx^{2}+2x-3 & \equiv \left(x^{2}+1 \right) \left( ax+m \right)+ 0 \\
ax^{3}+bx^{2}+2x-3 & \equiv ax^{3}+mx^{2}+ax+ m \\
\hline
2x-3\ & = ax+m \\
a = 2\ & m = -3 \\
\hline
b & = m \\
b & = -3 \\
\hline
\text{nilai}\ 3a-b &= 3(2)-(-3) =9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 9$
Cara Pembagian Horner Bertingkat
Jika $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ dengan horner bertingkat, maka perhitungannya seperti berikut ini:
Dari pembagian di atas, kita peroleh hasil pembagian $ax+b$ dan sisa pembagian adalah $(2-a)x+(-3-b)$.
Pada soal diketahui sisa pembagian adalah $0$, maka berlaku:
$\begin{align}
(2-a)x+(-3-b)\ & \equiv 0 \\
\hline
2-a\ & = 0 \\
a & = 2 \\
\hline
-3-b \ & = 0 \\
b & = -3 \\
\hline
\text{nilai}\ 3a - b &= 3(2)-(-3) =9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$
Cara Pembagian Horner-Kino
Jika $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ dengan horner kino, maka perhitungannya seperti berikut ini:
Dari pembagian di atas, kita peroleh hasil pembagian $ax+b$ dan sisa pembagian adalah $(2-a)x+(-3-b)$.
Pada soal diketahui sisa pembagian adalah $0$, maka berlaku:
$\begin{align}
(2-a)x+(-3-b)\ & \equiv 0 \\
\hline
2-a\ & = 0 \\
a & = 2 \\
\hline
-3-b \ & = 0 \\
b & = -3 \\
\hline
\text{nilai}\ 3a - b &= 3(2)-(-3) =9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$
Jika diketahui $f(x)= x^{10}+2x^{9}-2x^{8}-2x^{7}+x^{6}+3x^{2}+6x+1$, maka nilai dari $f\left( \sqrt{2}-1 \right) = \cdots$
Jika soal di atas kita kerjakan dengan cara yang umum yaitu dengan mensubstitusi $x=\sqrt{2}-1$ ke $f(x)$ maka akan memerlukan energi yang sangat besar.
Untuk menghemat energi, kita melakukan manipulasi aljabar. Salah satu alternatifnya adalah penjabaran dari Pak Anang seperti berikut ini:
$\begin{align}
x\ & = \sqrt{2}-1 \\
x+1\ & = \sqrt{2} \\
x^{2}+2x+1\ & = 2 \\
x^{2}+2x-1\ & = 0
\end{align}$
Berdasarkan teorema sisa, kita ketahui bahwa:
Jika $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka sisa pembagian adalah $f(a)$ dan Nilai suku banyak $f(x)$ untuk $x=a$ adalah $f(a)$.
Dari data-data yang kita peroleh di atas maka dapat kita simpulkan bahwa sisa pembagian $f(x)$ dengan $x^{2}+2x-1=0$ adalah $f \left( \sqrt{2}-1 \right)$.
Apabila $f(x)= x^{10}+2x^{9}-2x^{8}-2x^{7}+x^{6}+3x^{2}+6x+1$ dibagi $x^{2}+2x-1$ dengan horner kino, maka perhitungannya seperti berikut ini:
Dari pembagian di atas, kita peroleh hasil pembagian $x^{8}+3$ dan sisa pembagian adalah $(0x+4)=4$.
Karena sisa pembagian $f(x)$ dengan $x^{2}+2x-1=0$ adalah $f \left( \sqrt{2}-1 \right)$ dan diketahui sisa pembagian $f(x)$ dengan $x^{2}+2x-1=0$ adalah $4$, maka $f \left( \sqrt{2}-1 \right)=4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4$
Untuk contoh soal dan pembahasan yang dan masih seputar Suku Banyak atau Polinomial dapat berlatih pada Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Suku Banyak (Polinomial)😊
Cara alternatif dalam menyelesaikan soal atau masalah pada matematika "terkadang" bertentangan dengan konsep matematika tetapi hasil akhir yang diharapkan tercapai. Ini ibarat pengobatan alternatif pada dunia kedokteran, pengobatan alternatif juga terkadang bertentangan dengan dunia kedokteran yang seharusnya, tetapi ada saja orang sembuh karena pengobatan alternatif.
Catatan tentang Lima Cara Alternatif Menentukan Sisa atau Hasil Bagi Pada Sukubanyak (Polinomial) di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
