Skip to main content

Belajar Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial) Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial)

The good student, bersama Calon Guru kita belajar matematika dasar SMA dari Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial). Sebagai contoh soal latihan untuk bahan diskusi, kita pilih dari soal pada Modul Teorema Sisa pada Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA Kurikulum 2013.

Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial)


Sisa pembagian dan hasil pembagian pada suku banyak (polinomial) dapat kita ketahui dengan menggunakan metode bersusun atau skema Horner. Jika yang dicari hanya sisa pembagian polinomial, maka dapat ditentukan dengan menggunakan teorema sisa.

Secara umum teorema sisa diambil dari teorema umum pembagian, yakni: \begin{align} \text{yang dibagi}=\text{pembagi} \times \text{hasil bagi} + \text{sisa} \end{align}

Secara khusus teorema sisa dibagi atas beberapa bagian sesuai dengan karasteristik pembaginya, yaitu:

Jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ akan mendapatkan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S$, maka berlaku hubungan:
$\begin{align} P\left( x \right) & = \left( x-a \right) \cdot H\left( x \right) + S \\ &\text{untuk}\ x=a\ \text{berlaku} \\ P\left( a \right) & = \left( a-a \right) \cdot H\left( a \right) + S \\ P\left( a \right) & = \left( 0 \right) \cdot H\left( a \right) + S \\ P\left( a \right) & = S \end{align}$

Jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $ax^{2} + bx + c$ yang dapat difaktorkan menadi$\left(x – x_{1} \right)\left(x – x_{1} \right)$ akan mendapatkan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ maka berlaku hubungan:
$\begin{align} P\left( x \right) & = \left(x-x_{1} \right) \left(x-x_{2} \right) H \left( x \right) + S(x) \\ \end{align}$
Karena pembagi berderajat dua, maka sisa pembagian dapat kita misalkan dengan $S(x)=mx+n$. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} P\left( x \right) & = \left(x-x_{1} \right) \left(x-x_{2} \right) H \left( x \right) + mx+n \\ \hline P\left( x_{1} \right) & = \left(x_{1}-x_{1} \right) \left(x_{1}-x_{2} \right) H \left( x_{1} \right) + mx_{1}+n \\ P\left( x_{1} \right) & = \left( 0 \right) \left(x_{1}-x_{2} \right) H \left( x_{1} \right) + mx_{1}+n \\ P\left( x_{1} \right) & = mx_{1}+n \\ \hline P\left( x_{2} \right) & = \left(x_{2}-x_{1} \right) \left(x_{2}-x_{2} \right) H \left( x_{2} \right) + mx_{2}+n \\ P\left( x_{2} \right) & = \left( x_{2}-x_{1} \right) \left( 0 \right) H \left( x_{2} \right) + mx_{2}+n \\ P\left( x_{2} \right) & = mx_{2}+n \end{align}$
Jika $P\left( x_{1} \right)$ dan $P\left( x_{2} \right)$ dieliminasi atau subtitusi akan diperoleh nilai $m$ dan $n$, sehingga $S(x)$ dapat dicari.

Untuk pembagi $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ yang dapat dirubah kebentuk $\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)\left(x-x_{3} \right)$ lalu dilanjutkan dengan eliminasi atau substitusi tiga variabel dengan tiga persamaan kan diperoleh sisa pembagian. Untuk catatan kita berikut ini akan diskusi hanya sampai pembagi berderajat $2$.

Untuk menambah pemahaman kita terkait Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial) ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Operasi Pembagian Pada Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA Kurikulum 2013 dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

Jika tertarik untuk diskusi terkait Soal-soal Pada Suku Banyak (Polinomial) yang sudha pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri (PTN) yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Sukubanyak (Polinomial).

1. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Sisa dari pembagian polinomial $\left(x^{3} – 5x^{2} + 4x + 8 \right)$ dibagi $\left( x – 3 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 18 \\ (B)\ & 14 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -14 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka sisanya adalah $S=P(a)$. Sehingga dapat kita peroleh sisa pembagian adalah:

Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial)

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

2. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Sisa pembagian dari polinomial $\left( x^{3} +2x^{2} -2x + 6 \right)$ dibagi $\left(x^{2} – 2x – 3 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 9x+18 \\ (B)\ & 9x-18 \\ (C)\ & 18x+9 \\ (D)\ & 18x-9 \\ (E)\ & -18x-9 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – x_{1} \right)\left(x – x_{2} \right)$ sisa pembagian adalah $S(x)=mx+n$ dan berlaku $P\left( x_{1} \right) = mx_{1}+n$ dan $P\left( x_{2} \right) = mx_{2}+n$ .


Untuk pembagi $\left(x^{2} – 2x – 3 \right)= \left( x+1 \right)\left( x-3 \right)$ kita peroleh nilai $x_{1}=-1$ dan $x_{2}=3$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} P\left( x \right) & = x^{3} +2x^{2} -2x + 6 \\ P\left( -1 \right) & = (-1)^{3} +2(-1)^{2} -2 (-1) + 6 \\ & = -1 + 2(1) +2 + 6 \\ & = 9 \\ \hline P\left( 3 \right) & = (3)^{3} +2(3)^{2} -2 (3) + 6 \\ & = 27 + 2(9) -6 + 6 \\ & = 45 \\ \end{align}$

Untuk nilai $P\left( -1 \right)=9$ dan $P\left( 3 \right)=9$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} P\left( x_{1} \right) & = mx_{1}+n \\ P\left( -1 \right) & = m(-1)+n \\ 9 & = -m+n \\ \hline P\left( x_{2} \right) & = mx_{2}+n \\ P\left( 3 \right) & = m(3)+n \\ 45 & = 3m+n \\ \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} -m+n & = 9 \\ 3m+n & = 45\ \, (-) \\ \hline -4m & = -36\ \\ m & = 9\ \longrightarrow n=18 \end{align}$
Sisa pembagian $S(x)=mx+n$ adalah $S(x)=9x+18$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 9x+18$

3. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Sisa pembagian dari polinomial $\left( x^{3} -2x^{2} -6x + 8 \right)$ dibagi $\left(x^{2} – 9 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3x+10 \\ (B)\ & 3x-10 \\ (C)\ & 10x+3 \\ (D)\ & 10x-3 \\ (E)\ & -10x-3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – x_{1} \right)\left(x – x_{2} \right)$ sisa pembagian adalah $S(x)=mx+n$ dan berlaku $P\left( x_{1} \right) = mx_{1}+n$ dan $P\left( x_{2} \right) = mx_{2}+n$ .


Untuk pembagi $\left(x^{2} – 9 \right)= \left( x+3 \right)\left( x-3 \right)$ kita peroleh nilai $x_{1}=-3$ dan $x_{2}=3$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} P\left( x \right) & = x^{3} -2x^{2} -6x + 8 \\ P\left( -3 \right) & = \left( -3 \right)^{3} -2\left( -3 \right)^{2} -6\left( -3 \right) + 8 \\ & = -27 -18 + 18 + 8 \\ & = -19 \\ \hline P\left( 3 \right) & = \left( 3 \right)^{3} -2\left( 3 \right)^{2} -6\left( 3 \right) + 8 \\ & = 27 - 18 - 18 + 8 \\ & = -1 \end{align}$

Untuk nilai $P\left( -3 \right)=-19$ dan $P\left( 3 \right)=-1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} P\left( x_{1} \right) & = mx_{1}+n \\ P\left( -3 \right) & = m(-3)+n \\ -19 & = -3m+n \\ \hline P\left( x_{2} \right) & = mx_{2}+n \\ P\left( 3 \right) & = m(3)+n \\ -1 & = 3m+n \\ \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} -3m+n & = -19 \\ 3m+n & = -1 \ \, (-) \\ \hline -6m & = -18\ \\ m & = 3\ \longrightarrow n=-10 \end{align}$
Sisa pembagian $S(x)=mx+n$ adalah $S(x)=3x-10$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x-10$

4. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Jika polinom $F(x)$ dibagi $(x – 4)$ maka sisanya $12$. Dan jika $F(x)$ dibagi dengan $(x + 3)$ maka sisanya $–2$. Tentukan sisanya jika polinom $F(x)$ dibagi dengan $\left(x^{2} – x – 12 \right)$

$\begin{align} (A)\ & 2x+4 \\ (B)\ & 2x-4 \\ (C)\ & -2x+4 \\ (D)\ & 4x-2 \\ (E)\ & 4x+2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka sisanya adalah $S=P(a)$.
Sehingga jika polinom $F(x)$ dibagi $(x – 4)$ sisanya $12$ maka $F(4)=12$,
dan jika polinom $F(x)$ dibagi $(x +3)$ sisanya $-2$ maka $F(-3)=-2$.


Polinomial $F(x)$ dibagi oleh $\left(x^{2} – x – 12 \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = \left(x^{2} – x – 12 \right) \cdot H(x) + S(x) \\ F\left( x \right) & = \left( x-4 \right)\left( x+3 \right) \cdot H(x) + mx+n \\ F\left( 4 \right) & = \left( 4-4 \right)\left( x+3 \right) \cdot H(4) + m(4) +n \\ 12 & = 4m +n \\ \hline F\left( -3 \right) & = \left( x-4 \right)\left( -3+3 \right) \cdot H(-3) + m(-3) +n \\ -2 & = -3m +n \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} 4m+n & = 12 \\ -3m+n & = -2 \ \, (-) \\ \hline 7m & = 14\ \\ m & = 2\ \longrightarrow n=4 \end{align}$
Sisa pembagian $S(x)=mx+n$ adalah $S(x)=2x+4$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x+4$

5. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Jika polinomial $F(x)$ dibagi $(x +5)$ maka sisanya $15$, dan jika $F(x)$ dibagi dengan $\left(x^{2} -5x+6 \right)$ maka sisanya $2x-17$. Tentukan sisanya jika polinomial $F(x)$ dibagi dengan $\left(x^{2} +3 x – 10 \right)$

$\begin{align} (A)\ & 4x + 5 \\ (B)\ & 4x - 5 \\ (C)\ & –4x - 5 \\ (D)\ & –5x + 4 \\ (E)\ & –5x – 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka sisanya adalah $S=P(a)$.
Sehingga jika polinom $F(x)$ dibagi $(x +5)$ sisanya $15$ maka $F(-5)=15$.


Polinomial $F(x)$ dibagi oleh $\left( x^{2} -5x+6 \right)$ sisanya $2x-17$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = \left(x^{2} -5x+6 \right) \cdot H(x) + 2x-17 \\ F\left( x \right) & = \left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \cdot H(x) + 2x-17 \\ F\left( 2 \right) & = \left( 2-2 \right)\left( 2-3 \right) \cdot H(2) + 2(2)-17 \\ F\left( 2 \right) & = -13 \end{align}$


Polinomial $F(x)$ dibagi oleh $\left(x^{2} +3 x – 10 \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = \left(x^{2} +3 x – 10 \right) \cdot H(x) + S(x) \\ F\left( x \right) & = \left( x+5 \right)\left( x-2 \right) \cdot H(x) + mx+n \\ F\left( -5 \right) & = \left( -5+5 \right)\left( -5-2 \right) \cdot H(-5) + m(-5) +n \\ 15 & = -5m +n \\ \hline F\left( 2 \right) & = \left( 2+5 \right)\left( 2-2 \right) \cdot H(2) + m(2) +n \\ -13 & = 2m +n \\ \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} -5m+n & = 15 \\ 2m+n & = -13 \ \, (-) \\ \hline -7m & = 28\ \\ m & = -4\ \longrightarrow n=-5 \end{align}$
Sisa pembagian $S(x)=mx+n$ adalah $S(x)=–4x – 5$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ –4x – 5$

6. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Polinomial $x^{4}-8x^{2} +2ax+b $ dibagi $x^{2} -x-2$ mendapatkan sisa $3x-4$. Nilai $a$ dan $b$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & a=-3\ \text{dan}\ b=6 \\ (B)\ & a=3\ \text{dan}\ b=-6 \\ (C)\ & a=3\ \text{dan}\ b=6 \\ (D)\ & a=-6\ \text{dan}\ b=3 \\ (E)\ & a=6\ \text{dan}\ b=3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Polinomial $x^{4}-8x^{2} +2ax+b $ dibagi oleh $x^{2} -x-2$ sisanya $3x-4$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} x^{4}-8x^{2} +2ax+b & = \left( x^{2} -x-2 \right) \cdot H(x) + 3x-4 \\ x^{4}-8x^{2} +2ax+b & = \left( x-2 \right)\left( x+1 \right) \cdot H(x) + 3x-4 \\ \hline \text{untuk}\ x=2 & \\ \hline (2)^{4}-8(2)^{2} +2a(2)+b & = \left( 2-2 \right)\left( 2+1 \right) \cdot H(2) + 3(2)-4 \\ 16-32 +4a+b & = 2 \\ 4a+b & = 18 \\ \hline \text{untuk}\ x=-1 & \\ \hline (-1)^{4}-8(-1)^{2} +2a(-1)+b & = \left( -1-2 \right)\left( -1+1 \right) \cdot H(-1) + 3(-1)-4 \\ 1-8 -2a+b & = -7 \\ -2a+b & = 0 \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} 4a+b & = 18 \\ -2a+b & = 0 \ \, (-) \\ \hline 6a & = 18\ \\ a & = 3\ \longrightarrow b=6 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ a=3\ \text{dan}\ b=6$

7. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Sisa dari pembagian polinomial $\left( x^{4} – 3x^{3} + 5x^{2} + 6 \right)$ dibagi $\left( x – 2 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 32 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 18 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 12 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka sisanya adalah $S=P(a)$. Sehingga dapat kita peroleh sisa pembagian adalah:

Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial)

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12$

8. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Sisa dari pembagian polinomial $\left( 4x^{3} – 8x^{2} + 3x – 16 \right)$ dibagi $\left( 2x + 1 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -20 \\ (B)\ & -18 \\ (C)\ & -12 \\ (D)\ & 10 \\ (E)\ & 18 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka sisanya adalah $S=P(a)$. Sehingga dapat kita peroleh sisa pembagian adalah:

Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial)

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -12$

9. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Sisa pembagian dari polinomial $\left( x^{4} + 4x^{3} – x^{2} – 10x – 8 \right)$ dibagi $\left(x^{2} +x – 2 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2x+3 \\ (B)\ & -2x-12 \\ (C)\ & 3x-5 \\ (D)\ & 2x+4 \\ (E)\ & 4x-1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – x_{1} \right)\left(x – x_{2} \right)$ sisa pembagian adalah $S(x)=mx+n$ dan berlaku $P\left( x_{1} \right) = mx_{1}+n$ dan $P\left( x_{2} \right) = mx_{2}+n$ .


Untuk pembagi $\left( x^{2} +x – 2 \right)= \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)$ kita peroleh nilai $x_{1}=-2$ dan $x_{2}=1$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} P\left( x \right) & = x^{4} + 4x^{3} – x^{2} – 10x – 8 \\ P\left( -2 \right) & = (-2)^{4} + 4(-2)^{3} – (-2)^{2} – 10(-2) – 8 \\ & = 16 - 32 - 4 + 20 -8 \\ & = -8 \\ \hline P\left( 1 \right) & = (1)^{4} + 4(1)^{3} – (1)^{2} – 10(1) – 8 \\ & = 1 + 4 - 1 - 10 -8 \\ & = -14 \end{align}$

Untuk nilai $P\left( -2 \right)=-8$ dan $P\left( 1 \right)=-14$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} P\left( x_{1} \right) & = mx_{1}+n \\ P\left( -2 \right) & = m(-2)+n \\ -8 & = -2m+n \\ \hline P\left( x_{2} \right) & = mx_{2}+n \\ P\left( 1 \right) & = m(1)+n \\ -14 & = m+n \\ \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} -2m+n & = -8 \\ m+n & = -14\ \, (-) \\ \hline -3m & = 6\ \\ m & = -2\ \longrightarrow n=-12 \end{align}$
Sisa pembagian $S(x)=mx+n$ adalah $S(x)=-2x-12$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2x-12$

10. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Sisa pembagian dari polinomial $\left( 3x^{3} – 5x^{2} + 4x – 10 \right)$ dibagi $\left(x^{2} - 4 \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3x-9 \\ (B)\ & 6x+5 \\ (C)\ & 3x+8 \\ (D)\ & 12x-4 \\ (E)\ & 16x-30 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – x_{1} \right)\left(x – x_{2} \right)$ sisa pembagian adalah $S(x)=mx+n$ dan berlaku $P\left( x_{1} \right) = mx_{1}+n$ dan $P\left( x_{2} \right) = mx_{2}+n$ .


Untuk pembagi $\left( x^{2} -4 \right)= \left( x+2 \right)\left( x-2 \right)$ kita peroleh nilai $x_{1}=-2$ dan $x_{2}=2$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} P\left( x \right) & = 3x^{3} – 5x^{2} + 4x – 10 \\ P\left( -2 \right) & = 3(-2)^{3} – 5(-2)^{2} + 4(-2) – 10 \\ & = -24 - 20 - 8 -10 \\ & = -62 \\ \hline P\left( 2 \right) & = 3( 2)^{3} – 5( 2)^{2} + 4( 2) – 10 \\ & = 24 - 20 + 8 - 10 \\ & = 2 \end{align}$

Untuk nilai $P\left( -2 \right)=-62$ dan $P\left( 2 \right)=2$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} P\left( x_{1} \right) & = mx_{1}+n \\ P\left( -2 \right) & = m(-2)+n \\ -62 & = -2m+n \\ \hline P\left( x_{2} \right) & = mx_{2}+n \\ P\left( 2 \right) & = m(2)+n \\ 2 & = 2m+n \\ \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} -2m+n & = -62 \\ 2m+n & = 2\ \, (-) \\ \hline -4m & = -64\ \\ m & = 16\ \longrightarrow n=-30 \end{align}$
Sisa pembagian $S(x)=mx+n$ adalah $S(x)=16x-30$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 16x-30$

11. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Jika polinom $F(x)$ dibagi $(x +2)$ maka sisanya $5$, dan jika $F(x)$ dibagi dengan $(x -4)$ akan bersisa $17$. Jika $F(x)$ dibagi $\left(x^{2} – 2x – 8 \right)$ akan bersisa...

$\begin{align} (A)\ & -3x-8 \\ (B)\ & -2x+5 \\ (C)\ & 2x+9 \\ (D)\ & 3x+2 \\ (E)\ & -2x+11 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka sisanya adalah $S=P(a)$.
Sehingga jika polinom $F(x)$ dibagi $(x +2)$ sisanya $5$ maka $F(-2)=5$,
dan jika polinom $F(x)$ dibagi $(x -4)$ sisanya $17$ maka $F(4)=17$.


Polinomial $F(x)$ dibagi oleh $\left(x^{2} – 2x – 8 \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = \left(x^{2} – 2x – 8 \right) \cdot H(x) + S(x) \\ F\left( x \right) & = \left( x+2 \right)\left( x-4 \right) \cdot H(x) + mx+n \\ F\left( -2 \right) & = \left( -2+2 \right)\left( -2-4 \right) \cdot H(-2) + m(-2) +n \\ 5 & = -2m +n \\ \hline F\left( 4 \right) & = \left( 4+2 \right)\left( 4-4 \right) \cdot H(4) + m(4) +n \\ 17 & = 4m +n \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} -2m+n & = 5 \\ 4m+n & = 17 \ \, (-) \\ \hline -6m & = -12\ \\ m & = 2\ \longrightarrow n=9 \end{align}$
Sisa pembagian $S(x)=mx+n$ adalah $S(x)=2x+9$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2x+9$

12. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Jika $F(x)$ dibagi $(x -2)$ maka sisanya $6$, dan jika $F(x)$ dibagi dengan $\left(x^{2} -3x-10 \right)$ akan bersisa $2x+6$. Jika $F(x)$ dibagi $\left(x^{2} -4 \right)$ akan bersisa...

$\begin{align} (A)\ & x+4 \\ (B)\ & 3x-4 \\ (C)\ & 2x+5 \\ (D)\ & 2x-4 \\ (E)\ & 3x+2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka sisanya adalah $S=P(a)$.
Sehingga jika polinom $F(x)$ dibagi $(x -2)$ sisanya $6$ maka $F(2)=6$.


Polinomial $F(x)$ dibagi oleh $\left(x^{2} – 3x – 10 \right)$ sisanya $2x+6$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = \left(x^{2} – 3x – 10 \right) \cdot H(x) + 2x+6 \\ F\left( x \right) & = \left( x+2 \right)\left( x-5 \right) \cdot H(x) + 2x+6 \\ F\left( -2 \right) & = \left( -2+2 \right)\left( -2-5 \right) \cdot H(-2) + 2(-2)+6 \\ F\left( -2 \right) & = 2 \end{align}$


Polinomial $F(x)$ dibagi oleh $\left(x^{2} -4 \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = \left(x^{2} -4 \right) \cdot H(x) + S(x) \\ F\left( x \right) & = \left( x+2 \right)\left( x-2 \right) \cdot H(x) + mx+n \\ F\left( -2 \right) & = \left( -2+2 \right)\left( -2-2 \right) \cdot H(-2) + m(-2) +n \\ 2 & = -2m +n \\ \hline F\left( 2 \right) & = \left( 2+2 \right)\left( 2-2 \right) \cdot H(2) + m(2) +n \\ 6 & = 2m +n \\ \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} -2m+n & = 2 \\ 2m+n & = 6 \ \, (-) \\ \hline -4m & = -4\ \\ m & = 1\ \longrightarrow n=4 \end{align}$
Sisa pembagian $S(x)=mx+n$ adalah $S(x)= x +4$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x+4$

13. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Polinomial $F(x)$ dibagi oleh $x^{2}-4$ akan bersisa $2x+9$, dan jika dibagi $x^{2} -4x-5$ sisanya $4x-1$. Jika $F(x)$ dibagi $x^{2} - x-2$ maka akan bersisa...

$\begin{align} (A)\ & 2x+9 \\ (B)\ & 3x-5 \\ (C)\ & 6x+1 \\ (D)\ & 4x+6 \\ (E)\ & x-4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – x_{1} \right)\left(x – x_{2} \right)$ sisa pembagian adalah $S(x)=mx+n$ dan berlaku $P\left( x_{1} \right) = mx_{1}+n$ dan $P\left( x_{2} \right) = mx_{2}+n$ .


Polinomial $F(x)$ dibagi oleh $x^{2}-4$ sisanya $2x+9$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = \left(x^{2} – 4 \right) \cdot H(x) + 2x+9 \\ F\left( x \right) & = \left( x+2 \right)\left( x-2 \right) \cdot H(x) + 2x+9 \\ F\left( 2 \right) & = \left( 2+2 \right)\left( 2-2 \right) \cdot H( 2) + 2( 2)+9 \\ F\left( 2 \right) & = 13 \end{align}$


Polinomial $F(x)$ dibagi oleh $x^{2}-4x-5$ sisanya $4x-1$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = \left( x^{2}-4x-5 \right) \cdot H(x) + 4x-1 \\ F\left( x \right) & = \left( x-5 \right)\left( x+1 \right) \cdot H(x) + 4x-1 \\ F\left( -1 \right) & = \left( -1-5 \right)\left( -1+1 \right) \cdot H(-1) + 4(-1)-1 \\ F\left( -1 \right) & = -5 \end{align}$


Polinomial $F(x)$ dibagi oleh $\left( x^{2} - x-2\right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = \left( x^{2} - x-2 \right) \cdot H(x) + S(x) \\ F\left( x \right) & = \left( x+1 \right)\left( x-2 \right) \cdot H(x) + mx+n \\ F\left( 2 \right) & = \left( 2+1 \right)\left( 2-2 \right) \cdot H(2) + m(2) +n \\ 13 & = 2m +n \\ \hline F\left( -1 \right) & = \left( -1+1 \right)\left( -1-2 \right) \cdot H(-1) + m(-1) +n \\ -5 & = -m +n \\ \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} 2m+n & = 13 \\ -m+n & = -5 \ \, (-) \\ \hline 3m & = 18\ \\ m & = 6\ \longrightarrow n=1 \end{align}$
Sisa pembagian $S(x)=mx+n$ adalah $S(x)= 6x +1$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6x+1$

14. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Jika $4x^{4} – 12x^{3} + 13x^{2} + px + 2$ habis dibagi oleh $\left(2x – 1 \right)$ maka nilai $p$ sama dengan...

$\begin{align} (A)\ & -8 \\ (B)\ & -6 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka sisanya adalah $S=P(a)$.


Polinomial $P(x)=4x^{4} – 12x^{3} + 13x^{2} + px + 2$ habis dibagi oleh $2x-1$ atau sisa pembagian adalah nol. Sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} P\left( \frac{1}{2} \right) & = 0 \\ 4\left( \frac{1}{2} \right)^{4} – 12\left( \frac{1}{2} \right)^{3} + 13\left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)p + 2 & = 0 \\ 4\left( \frac{1}{16} \right) – 12\left( \frac{1}{8} \right) + 13\left( \frac{1}{4} \right) + \dfrac{p}{2} + 2 & = 0 \\ \dfrac{1}{4} – \dfrac{6}{4} + \dfrac{13}{4} + \dfrac{p}{2} + 2 & = 0 \\ 1 -6 +13 + 2p + 8 & = 0 \\ 2p + 16 & = 0 \\ p & = -8 \\ \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -8$

15. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Polinom $\left( a^{10} – 4 \right)$ dibagi dengan $a^{2} + 2$ mendapatkan sisa...

$\begin{align} (A)\ & 32 \\ (B)\ & 25 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & -28 \\ (E)\ & -36 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka untuk $x-a=0$ atau $x=a$ diperoleh sisanya adalah $S=P(a)$.


Polinomial $P(a)= \left(a^{10} – 4 \right)$ dibagi oleh $a^{2} + 2$ maka untuk $a^{2} + 2=0$ atau $a^{2} = - 2$ diperoleh sisanya adalah $S=P\left( a^{2} \right)$ atau $S=P\left( -2 \right)$
$\begin{align} P \left( a \right)\ & = a^{10} – 4 \\ P\left( a^{2} \right)\ & = \left( a^{2} \right)^{5} – 4 \\ P\left( -2 \right)\ & = \left( -2 \right)^{5} – 4 \\ & = -32 – 4 = - 36 \\ \end{align}$

Sebagai pembanding, berikut sisa pembagian $\left( a^{10} – 4 \right)$ dibagi $a^{2} + 2$ dengan cara Metode Horner Kino:

Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Operasi Pembagian Pada Suku Banyak (Polinomial) Metode Horner-Kino

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -36$

16. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Polinom $\left( a^{4} – 3b^{2} \right)$ dibagi dengan $a^{2} -b$ mendapatkan sisa...

$\begin{align} (A)\ & -2b^{2} \\ (B)\ & 2b+b^{2} \\ (C)\ & b^{2}-1 \\ (D)\ & 3b \\ (E)\ & b^{2}2b \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka untuk $x-a=0$ atau $x=a$ diperoleh sisanya adalah $S=P(a)$.


Polinomial $P\left(a \right)=a^{4} – 3b^{2}$ dibagi oleh $a^{2} -b$ maka untuk $a^{2} - 2=0$ atau $a^{2} = b$ diperoleh sisanya adalah $S=P\left( a^{2} \right)$ atau $S=P\left( b \right)$
$\begin{align} P \left( a \right)\ & = a^{4} – 3b^{2} \\ P\left( a^{2} \right)\ & = \left( a^{2} \right)^{2} – 3b^{2} \\ P\left( b \right)\ & = \left( b \right)^{2} – 3b^{2} \\ & = b^{2} – 3b^{2} = -2b^{2} \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2b^{2}$

17. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Polinom $F(x)=x^{5} + x^{4} – 13x^{2} + 19$ dibagi oleh $x-k$ menghasilkan sisa $k^{5}-17$. Nilai $k$ antara lain adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3\ \text{atau}\ 4 \\ (B)\ & 2\ \text{atau}\ -3 \\ (C)\ & -4\ \text{atau}\ 2 \\ (D)\ & 4\ \text{atau}\ -3 \\ (E)\ & 2\ \text{atau}\ 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka untuk $x-a=0$ atau $x=a$ diperoleh sisanya adalah $S=P(a)$.


Polinomial $F(x)=x^{5} + x^{4} – 13x^{2} + 19$ dibagi oleh $x-k$ menghasilkan $k^{5}-17$ maka untuk $x-k=0$ atau $x=k$ diperoleh sisanya adalah $S=F\left( k \right)$ atau $S=k^{5}-17$.
$\begin{align} F \left( x \right)\ & = x^{5} + x^{4} – 13x^{2} + 19 \\ F \left( k \right)\ & = k^{5} + k^{4} – 13k^{2} + 19 \\ k^{5}-17\ & = k^{5} + k^{4} – 13k^{2} + 19 \\ 0\ & = k^{4} – 13k^{2} + 36 \\ 0\ & = \left[ k^{2} \right]^{2} – 13\left[ k^{2} \right] + 36 \\ 0\ & = \left( \left[ k^{2} \right] – 9 \right) \left( \left[ k^{2} \right] – 4 \right) \\ 0\ & = \left( k^{2} – 9 \right) \left( k^{2} – 4 \right) \\ 0\ & = \left( k+3 \right)\left( k - 3 \right) \left( k+2 \right) \left( k-2 \right) \\ & k=-3,\ k=3,\ k=-2,\ \text{atau}\ k=2 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\ \text{atau}\ -3$

18. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Polinom $F(x) = x^{4} + m^{2}x^{3} – x^{2} + mx – 11$ dan $G(x) = x^{3} + 2x^{2} – 6x – m$ masing-masing dibagi $(x – 1)$ menghasilkan sisa yang sama. Nilai $m$ antara lain...

$\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka untuk $x-a=0$ atau $x=a$ diperoleh sisanya adalah $S=P(a)$.


Polinomial $F(x) = x^{4} + m^{2}x^{3} – x^{2} + mx – 11$ dibagi oleh $(x – 1)$ maka untuk $x-1=0$ atau $x=1$ diperoleh sisanya adalah $S=F\left( 1 \right)$.
$\begin{align} F \left( x \right)\ & = x^{4} + m^{2}x^{3} – x^{2} + mx – 11 \\ F \left( 1 \right)\ & = (1)^{4} + m^{2}(1)^{3} – (1)^{2} + m(1) – 11 \\ & = 1 + m^{2} – 1 + m – 11 \\ & = m^{2} + m – 11 \end{align}$


Polinomial $G(x) = x^{3} + 2x^{2} – 6x – m$ dibagi oleh $(x – 1)$ maka untuk $x-1=0$ atau $x=1$ diperoleh sisanya adalah $S=G\left( 1 \right)$.
$\begin{align} G \left( x \right)\ & = (1)^{3} + 2(1)^{2} – 6(1) – m \\ G \left( 1 \right)\ & = 1 + 2 – 6 – m \\ & = -3 - m \end{align}$


Sisa pembagian $F(x)$ dan $G(x)$ oleh $(x-1)$ adalah sama sehingga berlaku:
$\begin{align} F \left( 1 \right)\ &= G \left( 1 \right) \\ m^{2} + m – 11 & = -3 – m \\ m^{2} + 2m – 8 & = 0 \\ \left( m+4 \right) \left( m-2 \right) & = 0 \\ m=-4\ \text{atau}\ m=2 & \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$

19. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Jika $F(x) = x^{5} + ax^{3} + b$ dibagi $x^{2} – 1$ menghasilkan sisa $2x + 1$. Maka nilai $a^{2} + b^{2} =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – x_{1} \right)\left(x – x_{2} \right)$ sisa pembagian adalah $S(x)=mx+n$ dan berlaku $P\left( x_{1} \right) = mx_{1}+n$ dan $P\left( x_{2} \right) = mx_{2}+n$ .


Polinomial $F(x) = x^{5} + ax^{3} + b$ dibagi $x^{2} – 1$ menghasilkan sisa $2x + 1$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = \left( x^{2} – 1 \right) \cdot H(x) + S(x) \\ x^{5} + ax^{3} + b & = \left( x+1 \right)\left( x-1 \right) \cdot H(x) + 2x+1 \\ \hline &\text{untuk}\ x=1 \\ (1)^{5} + a(1)^{3} + b & = \left( 1+1 \right)\left( 1-1 \right) \cdot H(1) + 2(1)+1 \\ 1 + a + b & = 3 \\ a + b & = 2 \\ \hline &\text{untuk}\ x=-1 \\ (-1)^{5} + a(-1)^{3} + b & = \left( -1+1 \right)\left( -1-1 \right) \cdot H(-1) + 2(-1)+1 \\ -1 - a + b & = -1 \\ -a + b & = 0 \\ \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} a+b & = 2 \\ -a+b & = 0\ \, (-) \\ \hline 2a & = 2\ \\ a & = 1\ \longrightarrow b=1 \\ a^{2}+b^{2} & = 1^{2}+1^{2}=2 \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

20. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Jika $f(x)=3x^{4}-5x^{2}+kx+12$ habis dibagi $x+2$, maka nilai $k$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 50 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)=3x^{4}-5x^{2}+kx+12$ habis dibagi $x+2$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(-2) &= 0 \\ 3(-2)^{4}-5(-2)^{2}+k(-2)+12 &= 0 \\ 3(16)-5(4)-2k+12 &= 0 \\ 48-20-2k+12 &= 0 \\ -2k & = -40 \\ & = 20
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$

21. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Jika $f(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ sisanya $24$, sedangkan jika dibagi dengan $(x+5)$ sisanya $10$. Jika $f(x)$ dibagi dengan $x^{2}+3x-10$, maka sisanya adalah...

$\begin{align} (A)\ & x+34 \\ (B)\ & x-34 \\ (C)\ & 2x-20 \\ (D)\ & 2x+20 \\ (E)\ & x+14 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $24$ dan $f(x)$ dibagi $(x+5)$ sisanya $10$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(2)=24$, dan $f(-5)=10$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}+3x-10$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-3x+2 \right) + mx+n \\ f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+5 \right) \left( x-2 \right)+ mx+n\\ \hline
f(2) & = 2m+n\\ 24 & = 2m+n\\ \hline
f(-5) & = -5m+n\\ 10 & = -5m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+n = 24 & \\ -5m+n = 10 & (-) \\ \hline
7m = 14 & \\ m = 2 & \\ n = 20 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=2x+20$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x+20$

22. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Jika $f(x)$ dibagi dengan $(x+2)$ bersisa $14$, dan dibagi $(x-4)$ bersisa $-4$. Jika $f(x)$ dibagi $x^{2}-2x-8$, maka sisanya adalah...

$\begin{align} (A)\ & -3x-8 \\ (B)\ & 3x+8 \\ (C)\ & -3x+8 \\ (D)\ & 8x-3 \\ (E)\ & -8x+3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x+2)$ sisanya $24$ dan $f(x)$ dibagi $(x-4)$ sisanya $-4$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(-2)=14$, dan $f(4)=-4$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-2x-8$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-2x-8 \right) + mx+n \\ f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+2 \right) \left( x-4 \right)+ mx+n\\ \hline
f(-2) & = -2m+n\\ 14 & = -2m+n\\ \hline
f(4) & = 4m+n\\ -4 & = 4m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
-2m+n = 14 & \\ 4m+n = -4 & (-) \\ \hline
-6m = 18 & \\ m = -3 & \\ n = 8 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=-3x+8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x+20$

23. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Suatu suku banyak $f(x)$ jika dibagi dengan $(x-2)$ bersisa $5$, dan dibagi $(x+3)$ bersisa $-10$. Jika $f(x)$ dibagi $x^{2}+x-6$, maka sisanya adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3x-1 \\ (B)\ & -3x+8 \\ (C)\ & -3x-8 \\ (D)\ & 3x-1 \\ (E)\ & -3x+1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $5$ dan $f(x)$ dibagi $(x+3)$ sisanya $-10$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(2)=5$, dan $f(-3)=-10$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}+x-6$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}+x-6 \right) + mx+n \\ f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x-2 \right) \left( x+3 \right)+ mx+n\\ \hline
f(2) & = 2m+n\\ 5 & = 2m+n\\ \hline
f(-3) & = -3m+n\\ -10 & = -3m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+n = 5 & \\ -3m+n = -10 & (-) \\ \hline
5m = 15 & \\ m = 3 & \\ n = -1 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=3x-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3x-1$

24. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Diketahui $R(x)=g(x) \cdot h(x)$. Jika $g(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $6$ dan $10$. Jika $h(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $2$ dan $2$. Tentukan sisa pembagian $R(x)$ oleh $x^{2}-4$.

$\begin{align} (A)\ & -2x-16 \\ (B)\ & -2x+16 \\ (C)\ & 2x+16 \\ (D)\ & 16x-2 \\ (E)\ & 16x+2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan bahwa $g(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $6$ dan $10$,
sehingga berdasarkan teorema sisa berlaku $g(2)=6$, dan $g(-2)=10$.

Lalu disampaikan bahwa $h(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ dan $(x+2)$ sisanya $2$ dan $2$,
sehingga berdasarkan teorema sisa berlaku $h(2)=2$, dan $h(-2)=2$.

$R(x)$ dibagi dengan $x^{2}-4$, sehingga berlaku
$\begin{align}
R(x) & \equiv H(x)\left( x^{2}-4 \right) + mx+n \\ g(x) \cdot h(x) & \equiv H(x) \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) + mx+n \\ g(2) \cdot h(2) & \equiv H(2) \left( 2-2 \right) \left( 2+2 \right) + m(2)+n \\ 6 \cdot 2 & \equiv 2m +n \\ 12 & \equiv 2m +n \\ \hline
g(-2) \cdot h(-2) & \equiv H(-2) \left( -2-2 \right) \left( -2+2 \right) + m(-2)+n \\ 10 \cdot 2 & \equiv -2m +n \\ 20 & \equiv -2m +n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+n = 12 & \\ -2m+n = 20 & (-) \\ \hline
4m = -8 & \\ m = -2 & \\ n = 16 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=-2x+16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2x+16$

25. Soal Latihan Teorema Sisa Polinomial

Misalkan suku banyak $f(x)$ dibagi $(x -9)$ bersisa $2$ dan jika $f(x)$ habis dibagi oleh $(x - 16)$.
Jika sisa pembagian $f\left(x^{2} \right)$ oleh $\left(x^{2} + x – 12 \right)$ adalah $S\left(x \right)$, maka $S\left( -1 \right)=\cdots$ ...

$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{6}{7} \\ (B)\ & -\dfrac{3}{7} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{3}{7} \\ (E)\ & \dfrac{6}{7} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Berdasarkan teorema sisa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $\left(x – a \right)$ maka sisanya adalah $S=P(a)$.
Sehingga jika polinom $f(x)$ dibagi $(x -9)$ sisanya $2$ maka $f(9)=2$,
dan jika polinom $f(x)$ dibagi $(x -16)$ sisanya $0$ maka $f(16)=0$.


Polinomial $f\left(x^{2} \right)$ dibagi oleh $\left( x^{2} + x – 12 \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} f\left(x^{2} \right) & = \left( x^{2} + x – 12 \right) \cdot H(x) + S(x) \\ f\left( x^{2} \right) & = \left( x+4 \right) \left( x-3 \right) \cdot H(x) + mx+n \\ \end{align}$


Dari nilai $f(9)=2$ dapat juga kita peroleh $f\left( (3)^{2} \right)=9$ dan dari nilai $f(16)=0$ dapat juga kita peroleh $f\left( (-4)^{2} \right)=0$, sehingga berlaku:
$\begin{align} f\left( x^{2} \right) & = \left( x+4 \right) \left( x-3 \right) \cdot H(x) + mx+n \\ f\left( 3^{2} \right) & = \left( 3+4 \right) \left( 3-3 \right) \cdot H(3) + m(3)+n \\ 2 & =3m+n \\ \hline f\left( (-4)^{2} \right) & = \left( -4+4 \right) \left( -4-3 \right) \cdot H(-4) + m(-4)+n \\ 0 & =-4m+n \\ \end{align}$


Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} 3m+n & = 2 \\ -4m+n & = 0 \ \, (-) \\ \hline 7m & = 2\ \\ m & = \dfrac{2}{7}\ \longrightarrow n=\dfrac{8}{7} \end{align}$
Sisa pembagian $S(x)=mx+n$ adalah $S(x)=\dfrac{2}{7}x+\dfrac{8}{7}$.
Nilai $S(-1)=\dfrac{2}{7}(-1)+\dfrac{8}{7}=\dfrac{6}{7}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{7}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Belajar Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial) Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Belajar Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial) Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar