Calon guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar suku banyak (Polinomial). Pada catatan matematika sebelumnya ada kita sudah mengenal istilah persamaan kuadrat. Kenapa kita singgung persamaan kuadrat, karena persamaan kuadrat adalah bagian dari suku banyak, sehingga saat kita belajar persamaan kuadrat setidaknya kita sudah belajar sedikit tentang suku banyak.
Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.
Suku banyak (polinomial) $F(x)$ dalam $x$ berderajat $n$ adalah:
$F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n}$
dimana:
- $n$ adalah bilangan cacah dan $a\neq 0$
- $a_{n},\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \cdots, a_{0}$ konstanta dan merupakan koefisien dari $x^{n}, x^{n-1}, \cdots, x^{0}$
- Derajat suatu suku banyak dalam $x$ dinyatakan oleh pangkat tertinggi ($n$) dalam suku banyak tersebut.
NILAI SUKU BANYAK
Nilai suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ pada saat $x=k$ adalah $F(k)$
KESAMAAN SUKU BANYAK
Suku banyak $F(x)$ dan $g(x)$ dikatakan sama ketika derajat dan koefisian variabel-variabel yang berpangkat sama besarnya adalah sama.
Catatan terkait nilai suku banyak dan kesamaan suku banyak dapat di simak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Definisi dan Nilai Suku Banyak (Polinomial).
PEMBAGIAN SUKU BANYAK
Pembagian suku banyak secara umum dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan bersusun kebawah dan cara horner. Untuk cara pembagian suku banyak ini kita diskusikan pada catatan tersendiri, silahkan disimak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Operasi Pembagian Pada Suku Banyak (Polinomial). Untuk melanjutkan diskusi berikut ini, materi pembagian suku banyak sudah kita anggap bisa.
TEOREMA SISA
- Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.
dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
$F(x) \equiv H(x) \cdot (x-a)+F(a)$
- Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(ax-b)$, maka sisa pembagiannya adalah $F \left(\dfrac{b}{a} \right)$.
dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
$F(x) \equiv H(x) \cdot (ax-b)+F \left(\dfrac{b}{a} \right)$ - Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x – a)(x - b)$, maka sisa pembagiannya adalah $\dfrac {F(a)-F(b)}{a-b}x+\dfrac {a \cdot F(b)-b \cdot F(a)}{a-b}$.
dari teorema ini, bentuk umum suku banyak $F(x)$ dapat kita tuliskan:
$F(x) \equiv H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
Catatan terkait teorema sisa dapat di simak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Sisa Pada Suku Banyak (Polinomial).
TEOREMA FAKTOR
Untuk suku banyak $F(x)$, $(x-a)$ adalah faktor suku banyak $F(x)$ jika dan hanya jika $F(a)=0$.
- Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ faktornya adalah $(x-a)$, maka $F(a)=0$.
- Jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ nilai $F(a)=0$ maka $(x-a)$ adalah faktor $F(x)$.
Catatan terkait teorema faktor dan teorema vieta dapat di simak pada Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Teorema Faktor dan Teorema Vieta Pada Suku Banyak (Polinomial).
TEOREMA AKAR-AKAR VIETA
Teorema akar-akar Vieta atau mungkin yang lebih dikenal dengan Hasil Jumlah dan Hasil Kali akar-akar Suku Banyak (*François Viète adalah pakar matematika abad ke-16 kebangsaan Perancis).
Persamaan suku banyak yang mempunyai akar-akar real paling banyak $n$ buah. Jika $x_{1},x_{2},x_{3}, \dots x_{n}$ adalah akar-akar dari persamaan tersebut, maka hubungan antara akar-akarnya ini adalah sebagai berikut.
akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$
- $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$
akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$
- $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+ x_{2}\cdot x_{3} = \dfrac{c}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = -\dfrac{d}{a}$
akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$
- $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3}+\cdots+ x_{3}\cdot x_{4} = \dfrac{c}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4}+\cdots+ x_{2} \cdot x_{3}\cdot x_{4} = -\dfrac{d}{a}$
- $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \dfrac{e}{a}$
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Suku Banyak (Polinomial)
Catatan matematika tentang soal dan pembahasan Suku Banyak (Polinomial) ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal-soal latihan Suku Banyak (Polinomial) berikut ini silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 33 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
41. Soal SIMAK UI 2011 Kode 618 |*Soal Lengkap
Jika $p(x)$ adalah polinomial berderajat $3$ dengan $p(1)=2$, $p(2)=3$, $p(3)=4$, dan $p(4)=6$, maka salah satu faktor dari $p(x+2)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Suku banyak $p(x)$ polinomial berderajat $3$ kita misalkan
$p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
Dari $p(1)=2$, $p(2)=3$, $p(3)=4$, dan $p(4)=6$ maka kita peroleh beberapa persamaan yaitu:
$\begin{align}
a+b+c+d &= 2\ \cdots\ (1) \\
8a+4b+2c+d &= 3\ \cdots\ (2) \\
27a+9b+3c+d &= 4\ \cdots\ (3) \\
64a+16b+4c+d &= 6\ \cdots\ (4)
\end{align}$
Dengan mengeliminasi $d$ pada $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh:
$\begin{align}
a+b+c+d &= 2 \\
8a+4b+2c+d &= 3 \\
\hline
7a+3b+c &= 1\ \cdots\ (5)
\end{align}$
Dengan mengeliminasi $d$ pada $(2)$ dan $(3)$ kita peroleh:
$\begin{align}
8a+4b+2c+d &= 3 \\
27a+9b+3c+d &= 4 \\
\hline
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6)
\end{align}$
Dengan mengeliminasi $d$ pada $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
27a+9b+3c+d &= 4 \\
64a+16b+4c+d &= 6 \\
\hline
37a+7b+c &= 2\ \cdots\ (7)
\end{align}$
Dengan mengeliminasi $c$ pada $(5)$ dan $(6)$ kita peroleh:
$\begin{align}
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6) \\
7a+3b+c &= 1\ \cdots\ (5) \\
\hline
12a+2b &= 0\ \cdots\ (8)
\end{align}$
Dengan mengeliminasi $c$ pada $(5)$ dan $(7)$ kita peroleh:
$\begin{align}
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6) \\
37a+7b+c &= 2\ \cdots\ (7) \\
\hline
18a+2b &= 1\ \cdots\ (9)
\end{align}$
Dengan mengeliminasi $b$ pada $ (8)$ dan $(9)$ kita peroleh:
$\begin{align}
18a+2b &= 1\ \cdots\ (9) \\
12a+2b &= 0\ \cdots\ (8) \\
\hline
6a &= 1\ \rightarrow\ a=\dfrac{1}{6}
\end{align}$
Untuk $a=\dfrac{1}{6}$ dan $12a+2b= 0$, kita peroleh $b=-1$.
Nilai $a=\dfrac{1}{6}$ dan $b=-1$ kita substitusi ke $7a+3b+c= 1$ kita peroleh $c=\dfrac{17}{6}$.
Nilai $a=\dfrac{1}{6}$, $b=-1$, dan $C=\dfrac{17}{6}$ kita substitusi ke $a+b+c+d = 2$ kita peroleh $d=0$.
Sehingga kita peroleh kita peroleh $p(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-x^{2}+\dfrac{17}{6}x$.
$\begin{align}
p(x) &= \dfrac{1}{6}x^{3}-x^{2}+\dfrac{17}{6}x \\
p(x+2) &= \dfrac{1}{6}(x+2)^{3}-(x+2)^{2}+\dfrac{17}{6}(x+2) \\
&= (x+2) \left( \dfrac{1}{6}(x+2)^{2}-(x+2) +\dfrac{17}{6} \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x+2$
42. Soal UM UGM 2015 Kode 632 |*Soal Lengkap
Jika $9,x_{1},x_{2}$ merupakan tiga akar berbeda dari $x^{3}-6x^{2}-ax+b=0$ dengan $b-a=5$, maka $x_{1}+x_{2}+x_{1} \cdot x_{2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari suku banyak $x^{3}-6x^{2}-ax+b=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh: $\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 6 \\
x_{1}+x_{2}+ 9 & = 6 \\
x_{1}+x_{2} & = -3 \end{align}$
$\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -b \\
x_{1} \cdot x_{2} \cdot 9 & = -b \\
x_{1} \cdot x_{2} & = -\dfrac{b}{9} \end{align}$
$\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} & = \dfrac{c}{a} \\
-\dfrac{b}{9} + 9x_{1} + 9x_{2} & = -a \\
-\dfrac{b}{9} + 9 \left( -3 \right) & = -a \\
-\dfrac{b}{9} -27 & = -a \\
\hline
b-a=5 & \\
\hline
-\dfrac{b}{9} -27 & = 5-b \\
-\dfrac{b}{9} +b & = 32 \\
\dfrac{8b}{9} & = 32 \\
\dfrac{ b}{9} & = 4 \end{align}$
$\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{1} \cdot x_{2} & = -3 -\dfrac{b}{9} \\
& = -3 - 4 \\
& = -7 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$
43.Soal UM UGM 2017 Kode 713 |*Soal Lengkap
Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^{3}-12x^{2}+(p+4)x-(p+8)=0$ membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, maka $p-36=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari suku banyak $x^{3}-12x^{2}+(p+4)x-(p+8)=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 12
\end{align}$
Lalu dikatakan akar-akar persamaan suku banyak membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = x_{1} + x_{1}+2 + x_{1}+4 \\
12 & = 6+3x_{1} \\
6 & = 3x_{1} \\
x_{1} & = 2 \rightarrow x_{2}=2,\ x_{3}=4
\end{align}$
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\
2 \cdot 4 \cdot 6 & = p+8 \\
48 & = p+8 \\
40 & = p \\
\hline
p-36 & = 40-36 = 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$
44. Soal UM UGM 2017 Kode 814 |*Soal Lengkap
Jika salah satu akar persamaan $x^{3}+2x^{2}+px-6=0$ adalah $2$, maka jumlah dua akar lainnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari suku banyak $x^{3}+2x^{2}+px-6=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -2
\end{align}$
Lalu dikatakan salah satu akar suku banyak adalah $2$, maka berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + 2 & = -2 \\
x_{1} + x_{2} & = -4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$
45. Soal UM UGM 2018 Kode 276 |*Soal Lengkap
Akar-akar persamaan $x^{3}-7x^{2}+px+q=0$ membentuk deret geometri dengan rasio $2$, nilai $p+q$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari suku banyak $x^{3}-7x^{2}+px+q=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 7
\end{align}$
Lalu dikatakan akar-akar persamaan suku banyak membentuk deret geometri dengan rasio $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = x_{1} + 2x_{1} + 4x_{1} \\
7 & = 7x_{1} \\
x_{1} & = 1 \rightarrow x_{2}=2,\ x_{3}=4
\end{align}$
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\
1 \cdot 2 \cdot 4 & = -q \\
8 & = -q \\
q & = -8
\end{align}$
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\
2 + 4 + 8 & = \dfrac{c}{a} \\
14 & = p \\
\hline
p+q & = 14-8=6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
46. Soal UM UGM 2018 Kode 276 |*Soal Lengkap
Salah satu akar dari persamaan $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ adalah $0$, sedangkan dua akar lainnya saling berlawanan tanda. Jika $a+b+c=-4$ maka akar terbesar yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dikatakan salah satu akar suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ adalah $0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{3}+ax^{2}+bx+c & = 0 \\
(0)^{3}+a(0)^{2}+b(0)+c & = 0 \\
c & = 0 \\
\hline
a + b + c & = -4 \\
a + b & = -4
\end{align}$
Dari teorema akar-akar vieta dan dikatakan dua akar lainnya saling berlawanan tanda, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\
x_{1} + x_{2} + 0 & = -a \\
x_{1} + \left( -x_{1} \right) & = -a \\
0 & = a \\
\hline
a+b & = -4 \\
b & = -4
\end{align}$
$\begin{align}
x^{3}+ax^{2}+bx+c & = 0 \\
x^{3}-4x & = 0 \\
x \left( x^{2}-4 \right) & = 0 \\
x \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) & = 0 \\
\hline
x=0;\ x=-2,\ x=2
\end{align}$
Akar terbesar yang mungkin adalah $2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
47. Soal SIMAK UI 2009 Kode 914 |*Soal Lengkap
Jika suku banyak $f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$ maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x-1)(x+1)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+\text{sisa}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-1)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-1)(x+1)+mx+n$
$f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(1) & = 0 \\
f(1) & = H(1) \cdot (1-1)(1+1)+m(1)+n \\
0 & = m+n
\end{align} $
$f(x)$ dibagi oleh $(x-1)(x+1)$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = H(x) \cdot (x-1)(x+1)+mx+n \\
f(-1) & = H(-1) \cdot (-1-1)(-1+1)+m(-1)+n \\
f(-1) & = -m+n \\
f(-1) & = n+n \\
f(-1) & = 2n \\
n & = \dfrac{1}{2}f(-1) \\
m & = -\dfrac{1}{2}f(-1)
\end{align} $
Untuk $n=\dfrac{1}{2}f(-1)$ dan $m=-\dfrac{1}{2}f(-1)$ maka sisa pembagian $mx+n$ adalah:
$ \begin{align}
mx+n & = -\dfrac{1}{2}f(-1) \cdot x+\dfrac{1}{2}f(-1) \\
& = \dfrac{1}{2}f(-1) \left(-x+1 \right) \\
& = \dfrac{1}{2}f(-1) \left(1-x \right)
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{f(-1)}{2}(1-x)$
48. Soal SIMAK UI 2009 Kode 934 |*Soal Lengkap
Sebuah fungsi $f(x)$ memiliki sisa $30$ jika dibagi $(x-1)$ dan bersisa $15$ jika dibagi $\left( 3x-2\right)$. Jika $f(x)$ dibagi $(x-1)(3x-2)$ maka sisanya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+\text{sisa}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-1)(3x-2)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n$
$f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $30$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(1) & = 30 \\
f(x) &= H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n \\
f(1) & = m(1)+n \\
30 & = m+n
\end{align} $
$f(x)$ dibagi $(3x-2)$ sisa $15$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f \left( \frac{2}{3} \right) & = 15 \\
f(x) &= H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n \\
f \left( \frac{2}{3} \right) & = m\left( \frac{2}{3} \right)+n \\
15 & = \left( \frac{2}{3} \right)m+n \\
45 & = 2m+3n
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 30 & \times 2 \\
2m+3n = 45 & \times 1 \\
\hline
2m+2n = 60 & \\
2m+3n = 45 & (-)\\
\hline
n = -15 & \\
m = 45
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n$ dalah $45x-15$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 45x-15$
49. Soal SIMAK UI 2009 Kode 944 |*Soal Lengkap
Jika akar-akar persamaan suku banyak $x^{4}-8x^{3}+2ax^{2}+(5b+3)x+4c-3=0$ diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmatika dengan beda $2$. Nilai $a+b+c=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari suku banyak $x^{4}-8x^{3}+2ax^{2}+(5b+3)x+4c-3=0$ dan dengan menggunakan teorema akar vieta kita peroleh:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-8}{1}=8$
Dengan diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmatika dengan beda $2$,
$ \begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a} &= 8
x_{1}+x_{1}+2+x_{1}+4+x_{1}+6= 8 \\
4x_{1} + 12 & = 8 \\
x_{1} & = -1
\end{align} $
Untuk $x_{1}=-1$, maka $x_{2}=1$, $x_{3}=3$ dan $x_{4}=5$
$ \begin{align}
x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4} & = \dfrac{c}{a} \\
-1 -3 -5+3+5+15 & = \dfrac{2a}{1} \\
14 & = 2a \\
a & = 7
\end{align} $
$ \begin{align}
x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4} & = -\dfrac{d}{a} \\
-3-5-15+15 & = -\dfrac{5b+3}{1} \\
-8 & = -5b-3 \\
b & = 1
\end{align} $
$ \begin{align}
x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} & = \dfrac{e}{a} \\
-15 & = \dfrac{4c-3}{1} \\
-15 & = 4c-3 \\
c & = -3
\end{align} $
Nilai $a+b+c+d$ adalah $7+1-3=5$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$
50. Soal SIMAK UI 2009 Kode 954 |*Soal Lengkap
Jika suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x-2$ sisanya $27$, jika dibagi $x+1$ sisanya $3$, maka jika dibagi $x-1$ sisanya sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x-2$ sisa $27$, maka $f(2)=27$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
(2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)-3 & = 27 \\
8 +4a +2b -3 & = 27 \\
4a +2b & = 22 \\
2a + b & = 11
\end{align} $
Suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x+1$ sisa $3$, maka $f(-1)=3$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
(-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)-3 & = 3 \\
-1 + a - b -3 & = 3 \\
a - b & = 7
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 11 & \\
a-b = 7\ \ (+)& \\
\hline
3a = 18 & \\
a = 6 & \\
b = -1
\end{array} $
Untuk $a=6$ dan $b=-1 $ kita peroleh suku banyak menjadi $x^{3}+6x^{2}-x-3$, dan dibagi $x-1$ sisanya adalah:
$ \begin{align}
(1)^{3}+6(1)^{2}-(1)-3 & = 1+6-1-3 \\
& = 3
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$
51. Soal SIMAK UI 2010 Kode 503 |*Soal Lengkap
Jika sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x, x-1,$ dan $x + 2$ berturut-turut adalah $2, 3,$ dan $4$, maka sisa pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x^{3} + x^{2} - 2x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
suku banyak $f(x)$ dibagi $x$ sisa $2$ maka $f(0)=2$,
suku banyak $f(x)$ dibagi $x-1$ sisa $3$ maka $f(1)=3$,
suku banyak $f(x)$ dibagi $x+2$ sisa $4$ maka $f(-2)=4$
suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{3} + x^{2} - 2x$ maka:
$ \begin{align}
f(x) &=H(x) \cdot x^{3} + x^{2} - 2x+\text{sisa} \\
&=H(x) \cdot x \left(x^{2} + x - 2 \right)+ax^{2}+bx+c \\
&=H(x) \cdot x \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) + ax^{2}+bx+c \\
\hline
f(0) &= c\ \rightarrow\ c=2 \\
f(1) &= a+b+c \\
3 &= a+b+ 2 \\
1 &= a+b \\
f(-2) &= 4a-2b+c \\
4 &= 4a-2b+2 \\
1 &= 2a- b
\end{align} $
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 1 & \\
2a-b = 1\ \ (+)& \\
\hline
3a = 2 & \\
a = \dfrac{2}{3} & \\
b = \dfrac{1}{3} &
\end{array} $
Untuk $a=\dfrac{2}{3}$, $b=\dfrac{1}{3}$ dan $c=2$, maka sisa $ax^{2}+bx+c$ adalah $\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2$
52. Soal SIMAK UI 2010 Kode 506 |*Soal Lengkap
Jumlah semua solusi riil dari persamaan $x^{5}-4x^{4}-2x^{3}+39x^{2}-54x=0$
adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan akar-akar riil atau akar-akar rasional persamaan suku banyak, salah satu caranya adalah dengan mencoba nilai $x$ yang mungkin jadi salah satu akar persamaan suku banyak.
Dari bentuk persamaan suku banyak di atas, salah satu akar yang sudah pasti adalah $x=0$ sehingga tidak perlu kita coba lagi, bentuk suku banyak menjadi:
$x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) =0$
berikutnya kita coba untuk $x=2$
$ \begin{align}
& x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+39x-54 \\
& = (2)^{4}-4(2)^{3}-2(2)^{2}+39(2)-54 \\
& = 16-32-8+78-54 \\
&= 0
\end{align} $
artinya $x=2$ merupakan salah satu akar suku banyak atau $(x-2)$ merupakan salah satu faktor suku banyak.
Berikutnya suku banyak $x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+39x-54$ kita bagi dengan $(x-2)$
$ \begin{align}
& x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) \\ & = x \left( x-2 \right) \left( x^{3}-2x^{2}-6x+27 \right)
\end{align} $
Lalu kita memfaktorkan $x^{3}-2x^{2}-6x+27$, dengan mencoba nilai $x$ yang mungkin yaitu $x=-3$
$ \begin{align}
& x^{3}-2x^{2}-6x+27 \\ & = (-3)^{3}-2(-3)^{2}-6(-3)+27 \\ & = -27-18+18+27 \\ &= 0
\end{align} $
artinya $x=-3$ merupakan salah satu akar suku banyak atau $(x+3)$ merupakan salah satu faktor suku banyak.
Berikutnya suku banyak $x^{3}-2x^{2}-6x+27$ kita bagi dengan $(x+3)$
Dari pembagian suku banyak di atas kita peroleh
$ \begin{align}
& x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) \\
& = x \left( x-2 \right) \left( x^{3}-2x^{2}-6x+27 \right) \\
& = x \left( x-2 \right) \left( x+3 \right) \left( x^{2}-5x+9 \right) \\
\end{align} $
Untuk $x^{2}-5x+9$ nilai $D=b^{2}-4ac$ adalah $D \lt 0$ sehingga tidak memiliki akar-akar riil.
Akar riil dari persamaan $x \left( x-2 \right) \left( x+3 \right) \left( x^{2}-5x+9 \right)$ adalah $0,2,-3$
Jumlah semua solusi riil adalah $0+2-3=-1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$
53. Soal SIMAK UI 2010 Kode 507 |*Soal Lengkap
Diketahui $P(x)=ax^{5}+bx-1$ dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x-2010)$ bersisa $6$. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x+2010)$ akan bersisa...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa $P(x)$ dibagi $(x-2010)$ sisanya $6$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $P(2010)=6$.
Yang ditanyakan adalah $P(x)$ dibagi $(x+2010)$ atau $p(-2010)$
$\begin{align}
P(x) &= ax^{5}+bx-1 \\
P(2010) &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right)-1 \\
6 &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right)-1 \\
7 &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right) \\
7 &=2010 \left( a \left( 2010 \right)^{4}+b \right) \\
\dfrac{7}{2010} &= a \left( 2010 \right)^{4}+b \\
\hline
p(-2006) &= a \left( -2010 \right)^{5}+b\left( -2010 \right)-1 \\
&= a \left( -2010 \right) \cdot \left( -2010 \right)^{4}+b\left( -2010 \right)-1 \\
&= \left( -2010 \right) \left( a \cdot \left(2010 \right)^{7}+b \right)-1 \\
&= \left( -2010 \right) \left( \dfrac{7}{2010} \right)-1 \\
&= -7 -1 =-8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -8$
54. Soal SIMAK UI 2010 Kode 508 |*Soal Lengkap
Pada pembagian suku banyak $81x^{3} + 9x^{2} - 9x + 4$ dengan $(3x - p)$ diperoleh sisa $3p^{3} + 2$. Jumlah nilai-nilai $p$ yang memenuhi adalah....
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa $81x^{3} + 9x^{2} - 9x + 4$ dibagi $(3x - p)$ sisanya $3p^{3} + 2$, sehingga berdasarkan teorema sisa untuk $x=\dfrac{p}{3}$ berlaku:
$\begin{align}
81\left( \frac{p}{3} \right)^{3} + 9\left( \frac{p}{3} \right)^{2} - 9\left( \frac{p}{3} \right) + 4 &= 3p^{3} + 2 \\
81 \cdot \dfrac{p^{3}}{3^{3}} + 9 \cdot \dfrac{p^{2}}{3^{2}} - 9 \cdot \dfrac{p }{3} + 4 &= 3p^{3} + 2 \\
3p^{3} + p^{2} - 3p + 4 &= 3p^{3} + 2 \\
p^{2} - 3p + 2 &= 0 \\
\hline
p_{1} + p_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\
&= -\dfrac{-3}{1} =3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
55. Soal SIMAK UI 2011 Kode 511 |*Soal Lengkap
Misalkan $f(x)$ adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmatika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya sama dengan $12$. Maka sisa dari pembagian $f(x + 6)$ oleh $x^{2} + 1$ adalah ....
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan bahwa akar-akar suku banyak $f(x)$ membentuk barisan aritmatika, kita misalkan dengan; $a, a+b, a+2b$.
Nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama,
$\begin{align}
a+2b &= 3a \\
2b &= 2a \\
b &= a \\
\end{align}$
Jumlah akar-akarnya sama dengan $12$
$\begin{align}
a + a+b + a+2b &= 12 \\
a + a+a + a+2a &= 12 \\
6a &= 12 \\
a &= 2 \\
\end{align}$
Akar-akar suku banyak $f(x)$ adalah $2,4,6$, sehingga:
$\begin{align}
f(x) &= (x-2)(x-4)(x-6) \\
f(x+6) &= (x+6-2)(x+6-4)(x+6-6) \\
&= (x+4)(x+2)(x) \\
&= \left( x^{2}+6x+8 \right) (x) \\
&= x^{3}+6x^{2}+8x
\end{align}$
Suku banyak $f(x+6) = x^{3}+6x^{2}+8x $ dibagi $x^{2}+1$, kita coba dengan manipulsi faktor $x^{2}=-1$.
$\begin{align}
f(x+6) &= x^{3}+6x^{2}+8x \\
&= x^{2} \cdot x+6x^{2}+8x \\
&= (-1) \cdot x+6(-1)+8x \\
&= -x-6+8x \\
&= 7x-6
\end{align}$
Sisa pembagian $f(x+6) = x^{3}+6x^{2}+8x $ dengan $x^{2}+1$ adalah $7x-6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7x-6$
56. Soal UM UNDIP 2013 Kode 132 |*Soal Lengkap
Diberikan persamaan $\dfrac{2x^{2}+x+3}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)}=\dfrac{a}{ x-1}+\dfrac{b}{ x+1}+\dfrac{c}{ x+2}$ dengan $a,b,$ dan $c$ konstanta-konstanta. Nilai $a+b+c=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Bentuk suku banyak di atas jika kita ubah bentuknya menjadi dua suku banyak yang sama, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{2x^{2}+x+3}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\
&=\dfrac{a}{ x-1}+\dfrac{b}{ x+1}+\dfrac{c}{ x+2} \\
&=\dfrac{(a+b)x+(a-b)}{x^{2}-1}+ \dfrac{c}{ x+2} \\
&=\dfrac{\left[ (a+b)x+(a-b) \right] \left( x+2 \right)+c \left( x^{2}-1 \right)}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\
&=\dfrac{(a+b)x^{2}+2(a+b)x+(a-b)x+2(a-b)+cx^{2}-c}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\
&=\dfrac{(a+b+c)x^{2}+(3a+b)x+2a-2b-c}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)}
\end{align}$
Dari kesamaan dua suku banyak di atas kita peroleh nilai $a+b+c=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
57. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Jika $\left( x-2 \right)^{2}$ membagi $x^{4}- ax^{3}+bx^{2}x^{2}+4x-4$, maka $ab=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Pemfaktoran Langsung dari suku banyak.
$ \begin{align} & x^{4}- ax^{3}+bx^{2} +4x-4 \\ & = \left( x-2 \right)^{2}\left( x^{2}+px+q \right) \\ & = \left( x^{2}-4x+4 \right) \left( x^{2}+px+q \right) \\ & = x^{4}+px^{3}+qx^{2}-4x^{3}-4x^{2}-4qx+4x^{2} +4px+4q \\ & = x^{4}+ \left( p-4 \right)x^{3}+\left( 4p+q+4 \right)x^{2}+\left( 4p-4q \right)x +4q \end{align} $
Dari kesamaan suku banyak di atas kita peroleh:
- $4q=-4$ maka $q=-1$
- $4p-4q=4$ atau $4p+4=4$ maka $p=0$
- $4p+q+4=b$ maka $b=4(0)+(-1)+4=3$
- $p-4=-a$ maka $a=4-0=4$
- Nilai $ab=(4)(3)=12$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$
58. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Jika suku banyak $x^{4}+3x^{3}+Ax^{2} +5x+B$ dibagi $x^{2}+2x+2$ bersisa $7x+14$, maka jika dibagi $x^{2}+4x+4$ akan bersisa...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Metode Horner Kino.
Dari apa yang kita peroleh di atas, sisa yang kita peroleh $\left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right)$, sehingga dapat kita tuliskan: $ \begin{align} \left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right) & \equiv 7x+14 \\ \hline -2A+11=7 & \\ -2A = -4 & \\ A = 2 & \\ -2A+B+8=14 & \\ -4+B+8 = 14 & \\ B = 10 & \end{align} $
Sekarang suku banyaknya adalah $x^{4}+3x^{3}+2x^{2} +5x+10$ dibagi $x^{2}+4x+4$ adalah:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2$
59. Soal SPMB 2005 Kode 480 |*Soal Lengkap
Salah satu akar persamaan $x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6=0$ adalah $2$. Jumlah akar-akar yang lain persamaan itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari teorema akar vieta untuk $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$ berlaku $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$.
Sehingga untuk $x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6=0$ salah satu akarnya $2$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &=-\dfrac{b}{a} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &=-\dfrac{-5}{1} \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 &=5 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3} &=3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
60. Soal SPMB 2005 Kode 780 |*Soal Lengkap
Jika $P(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+a$ dibagi dengan $\left( x+3 \right)$ bersisa $2$, maka $P(x)$ dibagi $\left( x+1 \right)$ akan bersisa...
Alternatif Pembahasan:
Teorema sisa, "jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.
$P(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+a$ dibagi dengan $\left( x+3 \right)$ bersisa $2$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
P(x) &= x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+a \\
P(-3) &= (-3)^{4}+5(-3)^{3}+9(-3)^{2}+13(-3)+a \\
2 &= 81-135+81-39+a \\
2 &=-12+a \longrightarrow a=14
\end{align}$
$P(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+14$ dibagi dengan $\left( x+1 \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
P(x) &= x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+14 \\
P(-1) &= (-1)^{4}+5(-1)^{3}+9(-1)^{2}+13(-1)+14 \\
&= 1- 5+9-13+14 \\
&=6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$
61. Soal SPMB 2005 Kode 280 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=x^{3}-5x+20$, $g(x)=2x^{3}+5x^{2}+11$ dan $h(x)=x+3$. Jika $a$ dan $b$ masing-masing merupakan sisa hasil pembagian $f(x)$ dan $g(x)$ oleh $h(x)$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Teorema sisa, "jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.
$f(x)=x^{3}-5x+20$ dibagi dengan $h(x)=x+3$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(-3) &= (-3)^{3}-5(-3)+20 \\
a &= -27+15+20 = 8
\end{align}$
$g(x)=2x^{3}+5x^{2}+11$ dibagi dengan $h(x)=x+3$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
g(-3) &= 2(-3)^{3}+5(-3)^{2}+11 \\
b &= -54+45+11 = 2 \\
\hline
a+b &= 10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$
62. Soal SPMB 2005 Kode 181 |*Soal Lengkap
$f(x)=\frac{1}{2}x^{4}-2ax^{2}+2a^{2}$ habis dibagi dengan $\left( x-4 \right)$ untuk $a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Teorema faktor, "jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ habis dibagi oleh $(x-a)$, maka $F(a)=0$.
$f(x)=\frac{1}{2}x^{4}-2ax^{2}+2a^{2}$ habis dibagi oleh $\left( x-4 \right)$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(4) &= \frac{1}{2}(4)^{4}-2a(4)^{2}+2a^{2} \\
0 &= 128-32a+2a^{2} \\
0 &= a^{2}-16a+64 \\
0 &= \left( a-8 \right) \left( a-8 \right) \\
& a=8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$
63. Soal SPMB 2005 Kode 380 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)= x^{3}+ax^{2}+bx+2$, $f(1)= f(2)=0$ dan $g(x)= x^{2}- \left(a +b \right)x+ab$ $g(-1)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $f(1)= f(2)=0$ dan $f(x)= x^{3}+ax^{2}+bx+2$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= x^{3}+ax^{2}+bx+2 \\
f(1) &= (1)^{3}+a(1)^{2}+b(1)+2 \\
0 &= 1+a +b +2 \\
-3 &= a+b \\
\hline
f(x) &= x^{3}+ax^{2}+bx+2 \\
f(1) &= (2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)+2 \\
0 &= 8+4a +2b +2 \\
-10 &= 4a+2b \\
-5 &= 2a+ b \\
-5 &= a+ a+ b \\
-5 &= a+ -3 \\
a &= -2 \longrightarrow b=-1
\end{align}$
Untuk $a=-2$ dan $b=-1$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
g(x) &= x^{2}- \left(a +b \right)x+ab \\
g(x) &= x^{2}+3x+2 \\
g(-1) &= (-1)^{2}+3(-1)+2 \\
&= 1-3+2 =0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$
64. Soal UM UGM 2005 Kode 812 |*Soal Lengkap
Suku banyak $f(x)=x^{3}+ax^{2}-bx-5$ dibagi dengan $(x-2)$ memberikan hasil bagi $x^{2}+4x+11$ dan sisa $17$. Nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Disampaikan bahwa $f(x)=x^{3}+ax^{2}-bx-5$ dibagi $(x-2)$ memberikan hasil bagi $x^{2}+4x+11$ dan sisa $17$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot P \left( x \right) + Sisa \\
x^{3}+ax^{2}-bx-5 & \equiv \left( x^{2}+4x+11 \right) \cdot \left( x-2 \right) + 17 \\
x^{3}+ax^{2}-bx-5 & \equiv x^{3}-2x^{2}+4x^{2}-8x+11x-22 + 17 \\
x^{3}+ax^{2}-bx-5 & \equiv x^{3}+2x^{2} +3x- 5 \\
\hline
a+b & = 2-3 =-1
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$
65. Soal SPMB 2006 Kode 521 |*Soal Lengkap
Jika salah satu akar suku banyak $f(x)=0$ adalah $a$, maka salah satu akar $\left( x^{2}+3x+6 \right)f \left( x+2 \right)=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dikatakan salah satu akar suku banyak $f(x)=0$ adalah $a$, sehingga untuk $x=a$ berlaku $f(a)=0$.
$\begin{align} \left( x^{2}+3x+6 \right)f \left( x+2 \right) & = 0 \\ \left( x^{2}+3x+6 \right)=0\ \text{atau}\ & f \left( x+2 \right) = 0 \end{align}$
Dari $f(a)=0$ dan $f \left( x+2 \right) = 0$ dapat kita peroleh $a=x+2$ atau $x=a-2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ a-2$
66. Soal SPMB 2006 Kode 720 |*Soal Lengkap
Jika $b \gt 0$, $\dfrac{x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a}{x-a}=x^{2}+bx+3$, dan $a$ merupakan sisa pembagian $\dfrac{x^{2}-x-3}{x+b}$, maka $a-b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \dfrac{x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a}{x-a} &=x^{2}+bx+3 \\ x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a &= \left( x^{2}+bx+3 \right)\left( x-a \right)+0 \end{align}$
Dari bentuk persamaan di atas dapat kita simpulkan bahwa $x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a$ dibagi $\left( x-a \right)$ sisa $0$, sehingga untuk $x=a$ berlaku:
$\begin{align}
(a)^{3}+(b-a)(a)^{2}-a(a)-3a &= 0 \\
a^{3}+a^{2}b-a^{3}-a^{2} -3a &= 0 \\
a^{2}b -a^{2} -3a &= 0 \\
a b -a -3 &= 0 \\
a b &= a+3 \\
\end{align}$
Diketahui bahwa $a$ merupakan sisa pembagian $\dfrac{x^{2}-x-3}{x+b}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}-x-3 &= H\left( x \right)\left( x+b \right)+a \\
(-b)^{2}-(-b)-3 &= H\left( -b \right)\left( -b+b \right)+a \\
b^{2}+b -3 &= a \\
b^{2}+b &= a+3 \\
b^{2}+b &= a b \\
b + 1 &= a \\
1 &= a-b
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
67. Soal UM UGM 2006 Kode 372 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)$ suku banyak berderajat $3$ dengan koefisien $x^{3}$ sama dengan $1$, yang habis dibagi $\left( x-3 \right)$ dan $\left( x+1 \right)$. Jika $f(4)=30$, maka $f(2)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa $f(x)$ berderajat $3$, habis dibagi $\left( x-3 \right)$ dan $\left( x+1 \right)$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) & = \left( x+a \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) \\
\hline
f(4) & = \left( 4+a \right) \left( 4-3 \right) \left( 4+1 \right) \\
30 & = \left( 4+a \right) \left( 1 \right) \left( 5 \right) \\
6 & = 4+a \longrightarrow a=2 \\
\hline
f(x) & = \left( x+a \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) \\
f(x) & = \left( x+2 \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) \\
f(2) & = \left( 2+2 \right) \left( 2-3 \right) \left( 2+1 \right) \\
& = \left( 4 \right) \left( -1 \right) \left( 3 \right) \\
& = -12
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -12$
68. Soal SPMB 2007 Kode 350 |*Soal Lengkap
Suku banyak $f(x)$ berderajat $5$, $f(x)$ habis dibagi $x^{2}-1$. Maka sisa pembagian $ f \left( x \right)$ oleh $\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan teorema soal nomor $2$ Soal UM UNDIP 2015 di atas diketahui, jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$.
Sisa pembagian $ f \left( x \right)$ oleh $\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)$ adalah:
$\dfrac{\left(x-b \right)\left(x -c \right)}{\left(a-b \right)\left( a-c \right)}f\left ( a \right ) + \dfrac{\left(x-a \right)\left(x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}f\left ( b \right )+\dfrac{\left(x-a \right)\left(x-b \right)}{\left(c-a \right)\left( c-b \right)}f\left ( c \right )$
$f(x)$ habis dibagi $x^{2}-1$ maka $f(1)=0$ dan $f(-1)=0$. Sisa pembagian $f \left( x \right)$ oleh $\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
\text{sisa} & = \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)}{\left(2-1 \right)\left(2+1 \right)}f\left ( 2 \right )+ \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x-2 \right)}{\left(-1-1 \right)\left(-1-2 \right)}f\left ( -1 \right )+\dfrac{\left(x-2 \right)\left(x+1 \right)}{\left(1-2 \right)\left(1+1 \right)}f\left ( 1 \right ) \\
& = \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)}{\left( 1 \right)\left( 3 \right)}f\left ( 2 \right )+ \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x-2 \right)}{\left( -2 \right)\left( -3 \right)} \cdot \left( 0 \right) +\dfrac{\left(x-2 \right)\left(x+1 \right)}{\left( -1 \right)\left( 2 \right)} \cdot \left ( 0 \right ) \\
& = \dfrac{x^{2}-1}{3}f\left ( 2 \right )+0+0 \\
& = \dfrac{1}{3} \left( x^{2}-1 \right) f\left ( 2 \right )
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{3}f(2)\left( x^{2}-1 \right)$
Secara umum soal di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan teorema sisa, yaitu:
$\begin{align}
f \left(x \right) & = \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\left(x-2 \right) \cdot H(x)+sisa \\
f \left(x \right) & = \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\left(x-2 \right) \cdot H(x)+ax^{2}+bx+c \\
f \left( 1 \right) & = \left(1-1 \right)\left(1+1 \right)\left(1-2 \right) \cdot H(1)+a(1)^{2}+b(1)+c \\
0 & = a+b+c \\
\hline
f \left( -1 \right) & = \left(-1-1 \right)\left(-1+1 \right)\left(-1-2 \right) \cdot H(-1)+a(-1)^{2}+b(-1)+c \\
0 & = a-b+c
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a+b+c & = 0 \\
a-b+c & = 0\ \, (-) \\
\hline
2b & = 0 \longrightarrow b =0 \\
a+b+c & = 0 \\
a+0+c & = 0 \\
a+c & = 0 \longrightarrow a = -c \\
\end{align}$
Untuk $b=0$ dan $a=-c$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f \left(x \right) & = \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\left(x-2 \right) \cdot H(x)+ax^{2}+bx+c \\
f \left( 2 \right) & = \left(2-1 \right)\left(2+1 \right)\left(2-2 \right) \cdot H(2)+(-c)(2)^{2}+(0)(2)+c \\
f \left( 2 \right) & = -4c+ c \\
f \left( 2 \right) & = -3c \longrightarrow c=-\dfrac{1}{3}f \left( 2 \right)
\end{align}$
$\begin{align} \text{sisa} & = ax^{2}+bx+c \\ & = \left( -c \right)x^{2}+(0)(c)-\dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \\ & = \left( \dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \right)x^{2}-\dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \\ & = \dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \left( x^{2}- 1 \right) \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{3}f(2)\left( x^{2}-1 \right)$
69. Soal SPMB 2007 Kode 750 |*Soal Lengkap
Jika akar-akar persamaan $x^{3}+px^{2}+11x+p=0$ adalah $1$, $\alpha$, dan $\beta$, maka nilai $\alpha^{2} +\beta^{2}$ adalah
Alternatif Pembahasan:
Salah satu akar suku banyak $x^{3}+px^{2}+11x+p=0$ adalah $1$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
(1)^{3}+p(1)^{2}+11(1)+p & = 0 \\
1 + p+11+p & = 0 \\
2p & = -12 \\
p & = -6
\end{align}$
Untuk $p=-6$ maka $x^{3}-6x^{2}+11x-6=0$. Dengan teorema vieta dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\
1 + \alpha + \beta & = -\dfrac{-6}{1} \\
\alpha + \beta & = 5 \\
\left( \alpha + \beta \right)^{2} & = 5^{2} \\
\alpha^{2} + \beta^{2} + 2 \alpha\ \beta & = 25 \\
\hline
x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3} & = \dfrac{c}{a} \\
1 \cdot \alpha + 1 \cdot \beta + \alpha \cdot \beta & = \dfrac{11}{1} \\
\alpha + \beta + \alpha \cdot \beta & = 11 \\
5 + \alpha \cdot \beta & = 11 \\
\alpha \cdot \beta & = 6 \\
\hline
\alpha^{2} + \beta^{2} + 2 \alpha\ \beta & = 25 \\
\alpha^{2} + \beta^{2} + 2 \cdot 6 & = 25 \\
\alpha^{2} + \beta^{2} & = 25-12=13
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 13$
70. Soal SPMB 2007 Kode 151 |*Soal Lengkap
Apabila $f(x)= ax^{3}+bx +(a+b)$ dibagi $x^{2}-3x+2$ bersisa $x+1$, maka nilai $a-b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$ \begin{align}
F(x) &= P\left( x \right) H\left( x \right) + S\left( x \right) \\
ax^{3}+bx +(a+b) &= H\left( x \right) \left( x^{2}-3x+2 \right) + x+1 \\
ax^{3}+bx +(a+b) &= H\left( x \right) \left( x-1 \right)\left( x-2 \right) + x+1 \\
\hline
a(1)^{3}+b(1) +(a+b) &= H\left( 1 \right) \left( 1-1 \right)\left( 1-2 \right) + 1+1 \\
a +b + a+b &= 2 \\
a +b &= 1 \\
\hline
a(2)^{3}+b(2) +(a+b) &= H\left( 2 \right) \left( 2-1 \right)\left( 2-2 \right) + 2+1 \\
8a + 2b + a+b &= 3 \\
9a + 3b &= 3 \\
3a + b &= 1
\end{align} $
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a+b &= 1 \\
3a+b &= 1\ \, (-) \\
\hline
-2a &= 0 \\
a &=0 \longrightarrow b=1 \\
a-b &= -1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -1$
71. Soal SPMB 2007 Kode 650 |*Soal Lengkap
Banyaknya akar-akar real yang berbeda persamaan $x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1=0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan akar-akar polinomial, pertama dengan menguji nilai $x$ salah satu akar polinomial yang mungkin, yang diuji adalah faktor $\pm 1$ yaitu $\pm 1$.
Kita uji untuk $x=1$ kita peroleh:
$\begin{align}
F\left( x \right) & = x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1 \\
F\left( 1 \right) & = (1)^{5}-2(1)^{4}+ (1)^{3}-(1)^{2}+2(1)-1 \\
& = 1-2 + 1-1+2 -1 = 0 \\
\end{align}$
Salah satu akar suku banyak adalah $x=1$ sehingga salah satu faktornya $\left( x-1 \right)$. Jika kita bagikan $x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1$ dengan $\left( x - 1 \right)$ kita peroleh:
Dari hasil di atas, kita peroleh:
$\begin{align}
x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1 & = 0 \\
\left( x -1 \right) \left( x^{4} -x^{3}-x +1 \right) & = 0
\end{align}$
Dengan cara yang sama kita coba faktorkan $\left( x^{4} -x^{3}-x +1 \right)$ seperti berikut ini:
Dari hasil di atas, kita peroleh:
$\begin{align}
x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1 & = 0 \\
\left( x -1 \right) \left( x^{4} -x^{3}-x +1 \right) & = 0 \\
\left( x -1 \right) \left( x -1 \right) \left( x^{3} - 1 \right) & = 0 \\
\left( x -1 \right) \left( x -1 \right) \left( x -1 \right) \left( x^{2} +x+1 \right) & = 0
\end{align}$
$x^{2} +x+1$ nilai $D \lt 0$ sehingga akar-akarnya tidak real.
Banyaknya akar-akar real persamaan suku banyak yang berbeda adalah $1$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
72. Soal UM UGM 2007 Kode 731 |*Soal Lengkap
Suku banyak berderajat tiga $P(x)=x^{3}+2x^{2}+mx+n$ dibagi dengan $x^{2}-4x+3$ mempunyai sisa $3x+2$, maka nilai $n=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Disampaikan bahwa $P(x)=x^{3}+2x^{2}+mx+n$ dibagi $(x^{2}-4x+3)$ memberikan sisa $3x+2$, sehingga dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
P(x) &= H\left( x \right) (x^{2}-4x+3) + S\left( x \right) \\
x^{3}+2x^{2}+mx+n &= H\left( x \right) \left( x-3 \right)\left( x-1 \right) + 3x+2 \\
\hline
x=3 \rightarrow (3)^{3}+2(3)^{2}+m(3)+n &= H\left( 3 \right) \left( 3-3 \right)\left( 3-1 \right) + 3(3)+2 \\
27+18+3m +n &= 20 \\
3m+n &= -34\\
\hline
x=1 \rightarrow (1)^{3}+2(1)^{2}+m(1)+n &= H\left( 1 \right) \left( 1-3 \right)\left( 1-1 \right) + 3(1)+2 \\
1+2+ m +n &= 5 \\
m+n &= 2
\end{align} $
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
3m+n &= -34 \\
m+n &= 2\ \, \, \, (-) \\
\hline
2m &= -36 \\
m &= -18 \longrightarrow n=20
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 20$
73. Soal SNMPTN 2008 Kode 102 |*Soal Lengkap
Diketahui suku banyak $p(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ dengan $a$, $b$, dan $c$ konstan. Jika terdapat tepat satu nilai $y$ yang memenuhi $P(y)=y$, maka $9c=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $P(y)=y$ sehingga dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
P(x) & = x^{3}+ax^{2}+bx+c \\
P(y) & = y^{3}+ay^{2}+by+c \\
y & = y^{3}+ay^{2}+by+c \\
0 & = y^{3}+ay^{2}+by-y+c \\
0 & = y^{3}+ay^{2}+ \left(b -1 \right)y+c
\end{align} $
Terdapat tepat satu nilai $y$ yang memenuhi $P(y)=y$ sehingga akar-akar dari persamaan $y^{3}+ay^{2}+ \left(b -1 \right)y+c=0$ hanya ada satu atau $y_{1}=y_{2}=y_{3}$. Sehingga dengan menggunakan teorema vieta dapat kita peroleh:
- $y_{1}+y_{2}+y_{3}=-\dfrac{a}{1}$
$ \begin{align} y_{1}+y_{1}+y_{1} & = -a \\ 3y_{1} & =-a \\ y_{1} & = -\dfrac{1}{3}a \end{align} $ - $y_{1} \cdot y_{2} + y_{1} \cdot y_{3}+ y_{2}\cdot y_{3} = \dfrac{b-1}{1}$
$ \begin{align} y_{1} \cdot y_{1} + y_{1} \cdot y_{1}+ y_{1}\cdot y_{1} & = b-1 \\ 3y^{2}_{1} & = b-1 \\ y^{2}_{1} & = \dfrac{b-1}{3} \\ \end{align} $ - $y_{1} \cdot y_{2} \cdot y_{3} = -\dfrac{c}{1}$
$ \begin{align} y_{1} \cdot y_{1} \cdot y_{1} & = -c \\ y_{1} \cdot y^{2}_{1} & = -c \\ -\dfrac{1}{3}a \cdot \dfrac{b-1}{3} & = -c \\ \dfrac{ab-a}{9} & = c \\ ab-a & = 9c \\ \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ab-a$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Suku Banyak atau Polinomial di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA suku banyak (Polinomial) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
