20 Contoh Soal TKA Bahasa Inggris (Wajib) SMA/MA/SMK dan Kunci Jawaban

Catatan calon guru berikut belajar matematika yaitu Contoh Soal TKA (Tes Kemampuan Akademik) Matematika SMA/MA/SMK/MAK Sederajat Mata Pelajaran Pilihan dan Kunci Jawaban. Catatan ini diharapkan bisa membantu siswa atau guru dalam persiapan menghadapi TKA (Tes Kemampuan Akademik) Matematika Jenjang SMA/MA/SMK/MAK Sederajat.

Berdasarkan informasi yang dibagikan PUSPENDIK (Pusat Asesmen Pendidikan) melalu laman https://pusmendik.kemdikbud.go.id/tka/, disampaikan sebagaimana TKA Matematika wajib, TKA Matematika Tingkat Lanjut juga mengukur kemampuan murid dalam memahami fakta, konsep, prinsip, dan prosedur matematika, serta kemampuan mereka dalam menerapkan pengetahuan matematika untuk menyelesaikan masalah (problem solving).

Muatan Matematika SMA/MA/SMK/MAK Sederajat

Muatan TKA Matematika merujuk pada elemen kurikulum atau materi matematika yang dipelajari murid yang ada pada Kurikulum 2013 dan Kurikulum Merdeka.

Elemen ini meliputi: 📌 Aljabar, 📌Geometri dan Pengukuran, dan 📌Kalkulus.

Penggunaan logika matematika diintegrasikan langsung dengan elemen matematika yang tertera dalam kurikulum. Pengetahuan matematika diukur melalui permasalahan dalam konteks matematika dan permasalahan dalam konteks keseharian yang dapat meliputi kejadian atau situasi di lingkungan personal, keluarga, atau lingkungan sekitar baik lokal maupun global.

Matriks Asesmen Matematika SMA/MA/SMK/MAK Sederajat

Matriks Asesmen pada materi TKA Matematika pilihan, siswa dapat memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan matematika, terkait seperti cakupan sub-elemen berikut:

1. Matriks

   • Determinan matriks;
   • Invers matriks;
   • Operasi matriks.Program linear.
2. Polinomial

   • Operasi Polinomial;
   • Pemfaktoran Polinomial;
   • Suku Sisa.
3. Fungsi

   • Domain, kodomain, daerah hasil (range);
   • Grafik fungsi polinom, rasional, akar, eksponensial, logaritma, mutlak, trigonometri.
4. Vektor

   • Vektor pada bidang dan ruang;
   • Panjang vektor;
   • Operasi vektor.
5. Lingkaran

   • Persamaan Lingkaran;
   • persamaan garis singgung lingkaran;
   • Luas dan keliling daerah lingkaran atau bagian daerah lingkaran.
6. Transformasi geometri

   Transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi, dilatasi, serta komposisinya) dari bentuk geometris dan matriks transformasinya.
7. Limit Fungsi

   • Limit fungsi aljabar;
   • Limit fungsi trigonometri.

---

Contoh Soal TKA Matematika SMA Sederajat Mata Pelajaran Pilihan dan Kunci Jawaban

Contoh soal TKA Matematika SMA Sederajat ini, silakan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silakan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih ⟳ Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

TKA Matematika Pilihan SMA

Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :	20 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Diketahui matriks $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$ dan $Q=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Determinan $P+Q$ adalah....

$(A)\ 9$

$(B)\ 8$

$(C)\ 5$

$(D)\ -8$

$(E)\ -20$

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align} P+Q &= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1+2 & 2+5 \\ -1-1 & -4+2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$

Berikutnya kita hitung determinan matriks $\left| P+Q \right|$:
$\begin{align} A &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\ \left| A \right| &= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \\ \left| A \right| &= (a)(b)-(c)(d) \\ \hline \left| P+Q \right| &= \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} \\ &= (3)(-2)-(7)(-2) \\ &= -6+14 \\ &= 8 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8$

2. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} -4 & 4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$.

Invers matriks $3A-4B+C^{T}$ adalah....

$(A)\ \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

$(B)\ \begin{pmatrix} -\frac{2}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$

$(C)\ \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$(D)\ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

$(E)\ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan penjumlahan, pengurangan matriks dan transpose matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align} & 3A-4B+C^{T} \\ &= 3\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}-4\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 12 & 12 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -3+8-4 & 6-0-3 \\ 9-12+4 & 12-12+2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$

Berikutnya kita hitung invers matriks $2 \times 2$:
Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka invers matriks $A$ adalah:
$A^{-1} =\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Untuk matriks $3A-4B+C^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, maka invers matriks adalah:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} &= \dfrac{1}{(1)(2)-(1)(3)} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{2-3} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= (-1) \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

3. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} x & -1 \\ y & 1 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 11 \end{pmatrix}$ dan $A^{T}$ adalah transpose matriks $A$.

Jika $2A^{T}+B=C$ maka nilai $x-y$ adalah....

$(A)\ 5$

$(B)\ 1$

$(C)\ -1$

$(D)\ -4$

$(E)\ -7$

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan penjumlahan, pengurangan matriks dan transpose matriks dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2A^{T}+B & = C \\ 2 \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & -1 \\ y & 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 11 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & -1 \\ y & 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 11 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 6+x & 3 \\ y & 11 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 11 \end{pmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh nilai $x=-6$ dan $y=1$, sehingga nilai $x-y=-7$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -7$

4. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Diketahui fungsi trigonometri $f(x) = –3 \sin (2x – 30^{\circ}) + 4$.

Periode fungsi $f(x)$ adalah....

$(A)\ 90^{\circ}$

$(B)\ 120^{\circ}$

$(C)\ 150^{\circ}$

$(D)\ 180^{\circ}$

$(E)\ 720^{\circ}$

Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal diketahui bahwa fungsi trigonometri $f(x) = –3 \sin (2x – 30^{\circ}) + 4$

Pada fungsi trigonometri untuk sinus dan cosinus berlaku:
$f(x)=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$
$T$ adalah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang.
$T=\frac{2 \pi}{k}$ atau $T=\frac{360}{k}$

Dengan bentuk yang lebih sederhana bisa kita tuliskan $y= \sin (kx+c)$ periodenya adalah $\frac{360^{\circ}}{k}$, sehingga untuk $f(x) = –3 \sin (2x – 30^{\circ}) + 4$ kita peroleh periodenya adalah $\frac{360^{\circ}}{2}=180^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 180^{\circ}$

5. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Di bawah ini yang merupakan grafik fungsi $y=\sin (2x)-\frac{1}{2}$ adalah....

$(A)$

$(B)$

$(C)$

$(D)$

$(E)$

Alternatif Pembahasan:

Pada soal diketahui fungsi trigonometri, yaitu $y=\sin (2x)-\frac{1}{2}$.

• Saat $x=0^{\circ}$ diperoleh $y=\sin 0^{\circ}-\frac{1}{2}$ atau $y=-\frac{1}{2}$, sehingga kurva melalui $\left(0^{\circ}, -\frac{1}{2} \right)$.
• Saat $x=45^{\circ}$ diperoleh $y=\sin 90^{\circ}-\frac{1}{2}$ atau $y=\frac{1}{2}$, sehingga kurva melalui $\left(45^{\circ}, \frac{1}{2} \right)$.
• Periode $T=\frac{360^{\circ}}{k}= \frac{360^{\circ}}{2} =180^{\circ}$
• Nilai Maksimum fungsi: $\left | A \right | \pm C$ yaitu $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
• Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$ yaitu $-1-\frac{1}{2}=-1\frac{1}{2}$

Sampai pada tahap ini, gambar yang memenuhi adalah gambar pada pilihan $(E)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$

6. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Suatu perahu akan menyeberangi sungai selebar $50$ meter dari titik $A$ di pinggir sungai. Kecepatan arus sungai $10\ \text{meter/menit}$ sejajar dengan pinggiran sungai dengan arah ke hulu dan kecepatan perahu $20\ \text{meter/menit}$ dengan arah tegak lurus dengan arah arus sungai. Jika $B$ berada di seberang sungai dan berjarak terdekat dengan posisi $A$, jarak titik perahu pada saat sampai di seberang sungai dan titik $B$ adalah .... meter.

$(A)\ 10$

$(B)\ 15$

$(C)\ 20$

$(D)\ 25$

$(E)\ 30$

Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, jika kita gambarkan posisi perahu mulai dari $A$ dan sampai di seberang sungai, kita gambarkan seperti berikut:

Dengan menggunakan informasi yang ada kita ketahui perahu bergerak setiap satu menit dia berpindah sejauh $20\ \text{m}$ dan arus air membawanya $10\ \text{m}$.

Dari informasi di atas dan perbandingan kecepatan perahu dan air sungai kita dapatkan jarak $B$ ke $A'$ adalah $25\ \text{m}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25$

7. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Diketahui persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y-26=0$.

Di antara lima pernyataan berikut, tentukan pernyataan yang benar!.

1. Lingkaran tersebut berpusat di $(1, 3)$.
2. Panjang jari-jari lingkaran tersebut $6$ satuan panjang.
3. Jarak pusat lingkaran dengan sumbu-$x$ adalah $3$.
4. Jarak pusat lingkaran dengan sumbu-y adalah $1$.
5. Garis $y=0$ memotong lingkaran di dua titik.

$(A)$ Pernyataan $1$ dan $3$

$(B)$ Pernyataan $1$ dan $4$

$(C)$ Pernyataan $2$ dan $4$

$(D)$ Pernyataan $2$ dan $5$

$(E)$ Pernyataan $4$ dan $5$

Alternatif Pembahasan:

Dari informasi persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y-26=0$ pada soal, kita coba tentukan kebenaran pernyataan yang diberikan.

1. Lingkaran tersebut berpusat di $(1, 3)$. (Salah)
   $\begin{align}
   \text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ &= \left(-\dfrac{1}{2}(-6),-\dfrac{1}{2}(-2) \right ) \\ &= \left( 3, 1 \right)
   \end{align}$
   atau
   $\begin{align}
   x^{2}+y^{2}-6x-2y-26 &= 0 \\ x^{2}-6x+y^{2}-2y &= 26 \\ \left( x-3 \right)^{2}-9 + \left( y-1 \right)^{2}-1 &= 26 \\ \left( x-3 \right)^{2} + \left( y-1 \right)^{2} &= 26+10 \\ \left( x-3 \right)^{2} + \left( y-1 \right)^{2} &= 6^{2} \\ \left( x-a \right)^{2} + \left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \end{align}$
2. Panjang jari-jari lingkaran tersebut $6$ satuan panjang. (Benar)
3. Jarak pusat lingkaran dengan sumbu-$x$ adalah $3$. (Salah)
   karena jarak pusat lingkaran ke sumbu-$x$ adalah $1$.
4. Jarak pusat lingkaran dengan sumbu-y adalah $1$. (Salah)
   karena jarak pusat lingkaran ke sumbu-$y$ adalah $3$.
5. Garis $y=0$ memotong lingkaran di dua titik. (Benar)
   $\begin{align}
   x^{2}+y^{2}-6x-2y-26 &= 0 \\ x^{2}+0^{2}-6x-2(0)-26 &= 0 \\ x^{2}-6x-26 &= 0 \\ \end{align}$
   Kita hitung diskriminanya:
   $\begin{align}
   D &= b^{2}-4ac \\ D &= 6^{2}-4(1)(26) \\ D &= 36-4(1)(-26) \\ D &= 36+104=140 \end{align}$
   $D \gt 0$ memotong di dua titik yang berbeda

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)$ Pernyataan $2$ dan $5$

8. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Bayangan dari kurva $y = 2x^{2} – 5$ yang ditranslasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ kemudian didilatasikan oleh $(O, 2)$ dengan $O$ merupakan titik koordinat $(0,0)$ adalah....

$(A)\ y=\frac{1}{4}x^{2}+3x+\frac{15}{2}$

$(B)\ y=\frac{1}{4}x^{2}+3x+\frac{11}{2}$

$(C)\ y= x^{2}+12x+30$

$(D)\ y= x^{2}-12x+22$

$(E)\ y=4x^{2}+12x+15$

Alternatif Pembahasan:

Parabola $y = 2x^{2} – 5$ di translasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

Matriks Transformasi
$\begin{pmatrix}
x' \\ y'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-3 \\ 2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
x-3 \\ y+2
\end{pmatrix} $
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
$x'=x-3$ maka $x=x'+3$
$y'=y+2$ atau $y=y'-2$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=2x^{2} – 5$;
$\begin{align}
y & = 2x^{2} – 5 \\ y'-2 & = 2(x'+3)^{2}-5 \\ y'-2 & = 2(x')^{2}+12x'+18-5 \\ y' & = 2(x')^{2}+12x' +15 \end{align}$

Berikutnya $y = 2x^{2}+12x +15 $ didilatasikan oleh $(O, 2)$, kita peroleh:
$ \begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 0\\ 0 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2x \\ 2y \end{pmatrix} $
dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;
$x'=2x$ maka $x=\frac{1}{2}x'$
$y'=2y$ maka $y=\frac{1}{2}y'$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke $y=2x^{2}+12x +15$;
$\begin{align}
\frac{1}{2}y' & = 2\left( \frac{1}{2}x' \right)^{2}+12\left( \frac{1}{2}x' \right)+15 \\ y' & = 4\left( \frac{1}{2}x' \right)^{2}+24\left( \frac{1}{2}x' \right)+30 \\ y & = 4\left( \frac{1}{2}x \right)^{2}+12 x +30 \\ y & = x^{2}+12x +30 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y= x^{2}+12x+30$

9. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Nilai dari $\lim\limits_{x \to 2 } \frac{x^{2}+5x-14}{4-\sqrt{x^{2}+12}}=\cdots$

$(A)\ -18$

$(B)\ -9$

$(C)\ 0$

$(D)\ 9$

$(E)\ 18$

Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

• $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
• $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
• $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+5x-14}{4-\sqrt{x^{2}+12}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+5x-14}{4-\sqrt{x^{2}+12}} \times \dfrac{4+\sqrt{x^{2}+12}}{4+\sqrt{x^{2}+12}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x+7)(x-2)}{16-x^{2}-12} \times \dfrac{4+\sqrt{x^{2}+12}}{1} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x+7)(x-2)}{4-x^{2}} \times \dfrac{4+\sqrt{x^{2}+12}}{1} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x+7)(x-2)}{-(x-2)(x+2)} \times \left( 4+\sqrt{x^{2}+12} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x+7)}{-(x+2)} \times \left( 4+\sqrt{x^{2}+12} \right) \\ & = \dfrac{(2+7)}{-(2+2)} \times \left( 4+\sqrt{2^{2}+12} \right) \\ & = \dfrac{9}{-4} \times 8 \\ & =-18 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -18$

10. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Nilai dari $ \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right )$ adalah...

$(A)\ -\frac{4}{3}\sqrt{3} $

$(B)\ -2 $

$(C)\ 0 $

$(D)\ 2 $

$(E)\ \frac{4}{3}\sqrt{3} $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi tak hingga di atas kita coba kerjakan dengan bantuan rumus alternatif, yaitu: $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax^{2} + bx + c } - \sqrt{ax^{2} + qx + r } \right ) = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \left (\sqrt{3x} -\sqrt{3x-4} \right ) \left( \sqrt{3x+2} \right) \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{\left( 3x \right)\left( 3x+2 \right)} -\sqrt{\left( 3x-4 \right)\left( 3x+2 \right)} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \left (\sqrt{9x^{2}+6x} -\sqrt{9x^{2}-6x-8} \right ) \\ &= \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}} \\ &= \dfrac{6-(-6)}{2\sqrt{9}} \\ &= \dfrac{12}{6}=2
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

11. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Diketahui matriks $M=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dan $M^{-1}$ melambangkan invers dari $M$.
Berapakah nilai $p$ dan $q$ yang tepat memenuhi $pM^{-1}=q\begin{pmatrix} 6 & -10 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}?$
Pilihlah jawaban yang benar!

1. $p = 2$ dan $q =1$
2. $p = 3$ dan $q =3$
3. $p = 4$ dan $q =2$
4. $p = 5$ dan $q =1$
5. $p = 6$ dan $q =3$

$(A)$ Pernyataan $1,\, 2,$ dan $3$

$(B)$ Pernyataan $1,\, 3,$ dan $5$

$(C)$ Pernyataan $2,\, 3,$ dan $4$

$(D)$ Pernyataan $2,\, 3,$ dan $5$

$(E)$ Pernyataan $3,\, 4,$ dan $5$

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan penjumlahan, pengurangan matriks dan invers matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ yaitu
$A^{-1} =\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Untuk matriks $M=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, maka invers matriks adalah:
$\begin{align} M^{-1} &= \dfrac{1}{(2)(3)-(5)(1)} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{6-5} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$

Berikutnya kita gunakan kesamaan matriks yang diketahui:
$\begin{align} pM^{-1} &= q\begin{pmatrix} 6 & -10 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \\ p \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} &= q\begin{pmatrix} 6 & -10 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \\ p \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} &= 2q\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ \end{align}$

Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh persamaan $p=2q$, sehingga nilai kebenaran pernyataan dapat kita tentukan.

1. $p = 2$ dan $q =1$ (Benar)
2. $p = 3$ dan $q =3$ (Salah)
3. $p = 4$ dan $q =2$ (Benar)
4. $p = 5$ dan $q =1$ (Salah)
5. $p = 6$ dan $q =3$ (Benar)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)$ Pernyataan $1,\, 3,$ dan $5$

12. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Seorang murid memperkirakan banyaknya penonton suatu video dalam ribuan yang dibuat oleh content creator $A$ di media sosial mengikuti model $f(t)=3\ \left( 2^{t} \right)$ dengan $t$ adalah banyaknya hari sejak video diunggah.

Tentukan Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut!

1. Video tersebut hanya ditonton oleh $3.000$ penonton setelah tepat $24$ jam diunggah.
2. Banyaknya penonton video meningkat dua kali lipat dari hari sebelumnya untuk beberapa hari setelah diunggah.
3. Model banyaknya penonton ini tidak tepat untuk waktu yang cukup besar.

Secara berurutan nilai kebenaran pernyataan di atas adalah...

$(A)$ $(1)$Salah, $(2)$Salah, $(3)$Salah.

$(B)$ $(1)$Salah, $(2)$Salah, $(3)$Benar.

$(C)$ $(1)$Salah, $(2)$Benar, $(3)$Benar.

$(D)$ $(1)$Benar, $(2)$Benar, $(3)$Salah.

$(E)$ $(1)$Benar, $(2)$Benar, $(3)$Benar.

Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, kita coba tentukan kebenaran pernyataan yang diberikan.

1. Video tersebut hanya ditonton oleh $3.000$ penonton setelah tepat $24$ jam diunggah. (Salah)
   Untuk $24$ jam, berarti $t=1$
   $\begin{align} f(t) & =3\ \left( 2^{t} \right) \\ f(1) & =3\ \left( 2^{1} \right) \\ f(1) & =6 \end{align}$
   Video tersebut sudah ditonton oleh $6.000$ penonton
2. Banyaknya penonton video meningkat dua kali lipat dari hari sebelumnya untuk beberapa hari setelah diunggah.(Benar)
   $\begin{align} f(t) & =3\ \left( 2^{t} \right) \\ f(1) & =3\ \left( 2^{1} \right) = 6 \\ f(2) & =3\ \left( 2^{2} \right) = 12 \\ f(3) & =3\ \left( 2^{3} \right) = 24 \\ f(4) & =3\ \left( 2^{4} \right) = 48 \\ f(5) & =3\ \left( 2^{5} \right) = 96 \end{align}$
3. Model banyaknya penonton ini tidak tepat untuk waktu yang cukup besar.(Benar)
   Model eksponensial $f(t)=3\ \left( 2^{t} \right)$ tumbuh sangat cepat. Dalam beberapa hari mungkin terlihat normal, tetapi untuk $30$ atau seterusnya, penonton video ini sudah tidak realistis.
   Misal untuk usia video memasuki akhir hari ke-$30$, sehingga $t=30$
   $\begin{align} f(t) & =3\ \left( 2^{t} \right) \\ f(30) & =3\ \left( 2^{30} \right) \end{align}$
   Ini sudah sangat besar, bagaimana untuk usia video bulan kedua, atau ketiga, mungkin semua manusia tidak lagi melakukan apa-apa tetapi hanya menonton video tersebut karena viewnya sudah berkali-kali lipat dari jumlah manusia yang ada di bumi ini.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ $(1)$Salah, $(2)$Benar, $(3)$Benar.

13. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Diketahui $\vec{u},$ $\vec{v},$ dan $\vec{w}$ merupakan tiga vektor dengan $\vec{u} = (1,1,−1),$ $\vec{v} = (1, v_{1}, 2)$ dan $\vec{w} = (0,w_{1},w_{2})$. Berapakah nilai $v_{1}$ dan $w_{1}$ yang mungkin sehingga memenuhi $\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}$?
Pilihlah jawaban yang benar!

1. $v_{1}=0$ dan $w_{1}=1$.
2. $v_{1}=1$ dan $w_{1}=0$.
3. $v_{1}=1$ dan $w_{1}=2$.
4. $v_{1}=2$ dan $w_{1}=-1$.
5. $v_{1}=2$ dan $w_{1}=2$.

$(A)$ Pernyataan $1,\, 2,$ dan $3$

$(B)$ Pernyataan $1,\, 2,$ dan $4$

$(C)$ Pernyataan $2,\, 3,$ dan $4$

$(D)$ Pernyataan $2,\, 3,$ dan $5$

$(E)$ Pernyataan $1,\, 2,$ dan $5$

Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align} \vec{w} &= \vec{u}-\vec{v} \\ \begin{pmatrix} 0 \\ w_{1} \\ w_{2} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ v_{1} \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 \\ w_{1} \\ w_{2} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1-1 \\ 1-v_{1} \\ -1-2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 \\ w_{1} \\ w_{2} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1-v_{1} \\ -3 \end{pmatrix} \\ \end{align}

Dari hasil di atas kita peroleh $w_{1}=1-v_{1}$, sehingga:
1. $v_{1}=0$ dan $w_{1}=1$. (Benar)
2. $v_{1}=1$ dan $w_{1}=0$. (Benar)
3. $v_{1}=1$ dan $w_{1}=2$. (Salah)
4. $v_{1}=2$ dan $w_{1}=-1$. (Benar)
5. $v_{1}=2$ dan $w_{1}=2$. (Salah)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)$ Pernyataan $1,\, 2,$ dan $4$

14. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Segitiga $PQR$ dengan titik $P (-1,3),$ $Q (3,3),$ dan $R(1,-2)$ didilatasi dengan pusat titik $(0,0)$ dan faktor skala $3$. Luas segitiga tersebut setelah dilakukan dilatasi adalah.... satuan luas.

$(A)\ 10 $

$(B)\ 30 $

$(C)\ 90 $

$(D)\ 120 $

$(E)\ 180 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menghemat beberapa langkah kita gunakan catatan untuk menghitung luas segitiga $ABC$ jika diketahui koordinat titik-titik sudutnya, $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$, $C(x_{3},y_{3})$, maka $[ABC]= \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}
1 & x_{1} & y_{1}\\ 1 & x_{2} & y_{2}\\ 1 & x_{3} & y_{3}
\end{vmatrix}$

Luas segitiga $PQR$ dengan titik $P (-1,3),$ $Q (3,3),$ dan $R(1,-2)$
$\begin{align} [PQR] &= \frac{1}{2} \begin{vmatrix}
1 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \\ \end{vmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix}\right| \\ [PQR] &= \frac{1}{2} \left| (-6)+(-3)+(3)-(9)-(3)-(2) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| -6-(9)-(3)-(2) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left|-20 \right| \\ &= 10 \end{align}$

Berikutnya kita gunakan lagi catatan "Jika bangun datar $A$ didilatasi dengan skala $k$ dan pusat $O(0,0)$ menjadi bangun datar $A'$, maka Luas bangun datar $A'=k^{2} \times\ \text{luas bangun datar}\ A$".

Segitiga $PQR$ didilatasi dengan pusat titik $(0,0)$ dan faktor skala $3$. Luas segitiga tersebut adalah:
$\begin{align} [PQR]' &= k^{2} \times\ [PQR] \\ [PQR]' &= 3^{2} \times\ 10 \\ [PQR]' &= 90 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 90 $

15. Contoh Soal TKA Matematika SMA

$f(x) =\begin{cases} 2x, & \text{untuk}\ 0 \lt x \lt 1 \\ 1, & \text{untuk}\ x=1 \\ 3-x, & \text{untuk}\ 1 \lt x \leq 3 \\ 1+(3-x)^{2}, & \text{untuk}\ x \gt 3 \\ \end{cases}$
Tentukan Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut!

1. $\lim\limits_{x \to 1} f(x)=2$
2. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)=0$
3. $\lim\limits_{x \to 4} f(x)=2$

$(A)$ $(1)$Salah, $(2)$Salah, $(3)$Salah.

$(B)$ $(1)$Salah, $(2)$Benar, $(3)$Salah.

$(C)$ $(1)$Benar, $(2)$Salah, $(3)$Benar.

$(D)$ $(1)$Benar, $(2)$Benar, $(3)$Salah.

$(E)$ $(1)$Benar, $(2)$Benar, $(3)$Benar.

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah: definisi limit, yaitu agar $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ mempunyai nilai maka Limit Kiri = Limit Kanan secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$

1. $\lim\limits_{x \to 1} f(x)=2$ [Benar]
   
   • Limit kanan $\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x)$
     $\lim\limits_{x \to 1^{+}}(3-x)=3-1=2$
   • Limit kiri $\lim\limits_{x \to 1^{-}}f(x)$
     $\lim\limits_{x \to 1^{-}}(2x)=2(1)=2$
2. $\lim\limits_{x \to 3} f(x)=0$ [Salah]
   
   • Limit kanan $\lim\limits_{x \to 3^{+}}f(x)$
     $\lim\limits_{x \to 3^{+}}\left(1+(3-x)^{2} \right)=1+(3-3)^{2}$
     $\lim\limits_{x \to 3^{+}}\left(1+(3-x)^{2} \right)=1+0$
     $\lim\limits_{x \to 3^{+}}\left(1+(3-x)^{2} \right)=1$
   • Limit kiri $\lim\limits_{x \to 3^{-}}f(x)$
     $\lim\limits_{x \to 3^{-}}\left( 3-x \right)=3-3=0$
3. $\lim\limits_{x \to 4} f(x)=2$ [Benar]
   
   • Limit kanan $\lim\limits_{x \to 4^{+}}f(x)$
     $\lim\limits_{x \to 4^{+}}\left(1+(3-x)^{2} \right)=1+(3-4)^{2}$
     $\lim\limits_{x \to 4^{+}}\left(1+(3-x)^{2} \right)=1+(-1)^{2}$
     $\lim\limits_{x \to 4^{+}}\left(1+(3-x)^{2} \right)=1+1=2$
   • Limit kiri $\lim\limits_{x \to 4^{-}}f(x)$
     $\lim\limits_{x \to 4^{-}}\left(1+(3-x)^{2} \right)=1+(3-4)^{2}$
     $\lim\limits_{x \to 4^{-}}\left(1+(3-x)^{2} \right)=1+(-1)^{2}$
     $\lim\limits_{x \to 4^{-}}\left(1+(3-x)^{2} \right)=1+1=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)$ $(1)$Benar, $(2)$Salah, $(3)$Benar.

16. Contoh Soal TKA Matematika SMA

$\lim\limits_{x \to \pi} \frac{\sin (x-\pi)}{3(x-\pi)\cos (4x)}=\cdots$

$(A)\ -\frac{1}{3}$

$(B)\ 0$

$(C)\ \frac{1}{3}$

$(D)\ 1$

$(E)\ 3$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri di atas, seperti kita sampaikan sebelumnya beberapa Identitas Trigonometri Dasar setidaknya dapat kita gunakan pada manipulasi aljabar;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \pi} \frac{\sin (x-\pi)}{3(x-\pi)\cos (4x)} \\
& = \lim\limits_{x \to \pi} \frac{\sin -(\pi-x)}{3(x-\pi)\cos (4x)} \\
& = \lim\limits_{x \to \pi} \frac{\sin -(\pi-x)}{3(x-\pi)} \cdot \lim\limits_{x \to \pi} \frac{1}{\cos (4x)} \\
& = \frac{ -1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (4\pi)} \\
& = \frac{ -1}{3} \cdot \frac{1}{\cos 720^{\circ}} \\
& = \frac{ -1}{3} \cdot \frac{1}{1} \\
& = \frac{ -1}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\frac{1}{3}$

17. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Matriks $A,\ B,\ C,$ dan $D$ berturut-turut berukuran $p \times 3,$ $2\times q,$ $r\times s,$ dan $t\times u$. Di antara lima nilai $(p,q,r,s,t,u)$ berikut, tentukan semua nilai yang dapat memenuhi persamaan matriks $(2A+B)\times 4C=5D$
Pernyataan yang benar adalah...!

1. $(1, 2, 2, 3, 2, 3)$
2. $(2, 2, 3, 3, 3, 3)$
3. $(2, 3, 3, 3, 2, 2)$
4. $(2, 3, 3, 3, 2, 3)$
5. $(2, 3, 3, 4, 2, 4)$

$(A)$ Pernyataan $1$ dan $2$

$(B)$ Pernyataan $2$ dan $3$

$(C)$ Pernyataan $3$ dan $4$

$(D)$ Pernyataan $4$ dan $5$

$(E)$ Pernyataan $5$ dan $1$

Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada soal, kita diberikan empat matriks dimana ordo matriks belum diketahui secara pasti.

Kita ketahui bahwa sebuah matriks $A_{m \times n}$ jika dikalikan dengan sebuah bilangan $k$ maka ordo matriks tidak berubah atau tetap $A_{m \times n}$. Sehingga soal di atas dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
$\begin{align} \left( 2A_{p \times 3} + B_{2 \times q} \right) \times 4C_{r \times s} & = 5D_{t \times u} \\ \left( A_{p \times 3} + B_{2 \times q} \right) \times C_{r \times s} & = D_{t \times u} \\ \left( A_{\color{red}{p \times 3}} + B_{\color{red}{2 \times q}} \right) \times C_{r \times s} & = D_{t \times u} \end{align}$

Agar operasi matriks dapat dilakukan, yang pertama harus dipenuhi adalah $p \times 3 \equiv 2 \times q$, sehingga kita peroleh $p=2$ dan $q=3$.
$\begin{align} \left( A + B \right)_{\color{red}{p \times 3}} \times C_{r \times s} & = D_{t \times u} \\ \left( A + B \right)_{2 \times \color{red}{3}} \times C_{{\color{red}{r}} \times s} & = D_{t \times u} \end{align}$

Agar operasi matriks dapat dilakukan, maka nilai $r=3$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align} \left( A + B \right)_{2 \times \color{red}{3}} \times C_{{\color{red}{r}} \times s} & = D_{t \times u} \\ \left( \left[ A + B \right] \times C \right)_{2 \times \color{red}{s}} & = D_{t \times u} \\ \end{align}$

Dari hasil di atas, agar operasi matriks terjadi maka bisa kita prediksi yaitu $2 \times \color{red}{s} \equiv t \times u$, sehingga kita peroleh $t=2$ dan $\color{red}{s}=u$. Hasil akhirnya seperti berikut ini:
$(p,q,r,s,t,u)$
$(2,3,3,\color{red}{x},2,\color{red}{x})$

1. $(1, 2, 2, 3, 2, 3)$ (Salah)
2. $(2, 2, 3, 3, 3, 3)$ (Salah)
3. $(2, 3, 3, 3, 2, 2)$ (Salah)
4. $(2, 3, 3, 3, 2, 3)$ (Benar)
5. $(2, 3, 3, 4, 2, 4)$ (Benar)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)$ Pernyataan $4$ dan $5$

18. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Fungsi polinomial berderajat tiga $f(x)=x^{3}+2x^{2}+ax+b$ memenuhi:

• sisa pembagian $f(x)$ oleh $x+1$ adalah $6$ dan
• sisa pembagian $f(x)$ oleh $x-1$ adalah $2$.

Berdasarkan informasi tersebut, pilihlah semua pernyataan berikut yang benar!

1. $b=2$
2. $f(-2)=4$
3. $f(0)=2$
4. sisa pembagian $f(x)$ oleh $x-2$ adalah $12$
5. sisa pembagian $f(x)$ oleh $x+3$ adalah $-2$

$(A)$ Pernyataan $1,\, 2,$ dan $3$

$(B)$ Pernyataan $1,\, 2,$ dan $5$

$(C)$ Pernyataan $2,\, 3,$ dan $4$

$(D)$ Pernyataan $2,\, 3,$ dan $5$

$(E)$ Pernyataan $1,\, 3,$ dan $4$

Alternatif Pembahasan:

Diketahui sisa pembagian $f(x)$ oleh $x+1$ adalah $6$ sehingga dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
f(x) & = x^{3}+2x^{2}+ax+b \\ f(-1) & = (-1)^{3}+2(-1)^{2}+a(-1)+b \\ 6 & = -1+2-a+b \\ 6 & = 1-a+b \\ 5 & = -a+b \\ \end{align} $

Diketahui sisa pembagian $f(x)$ oleh $x-1$ adalah $2$ sehingga dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
f(x) & = x^{3}+2x^{2}+ax+b \\ f(1) & = (1)^{3}+2(1)^{2}+a(1)+b \\ 2 & = 1+2+a+b \\ 2 & = 3+a+b \\ -1 & = a+b \\ \end{align} $

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align} a+b &= -1 \\ -a+b &= 5\ \ \ (+) \\ \hline 2b &= 4 \\ b &= 2 \\ a &= -3 \end{align} $

1. $b=2$ (Benar)
2. $f(-2)=4$ (Salah)
   $ \begin{align}
   f(x) & = x^{3}+2x^{2}-3x+2 \\ f(-2) & = (-2)^{3}+2(-2)^{2}-3(-2)+2 \\ & = -8+8+6+2 \\ & = 8 \end{align} $
3. $f(0)=2$ (Benar)
   $ \begin{align}
   f(x) & = x^{3}+2x^{2}-3x+2 \\ f(0) & = (0)^{3}+2(0)^{2}-3(0)+2 \\ & = 0 \end{align} $
4. sisa pembagian $f(x)$ oleh $x-2$ adalah $12$ (Benar)
   $ \begin{align}
   f(x) & = x^{3}+2x^{2}-3x+2 \\ f(2) & = (2)^{3}+2(2)^{2}-3(2)+2 \\ & = 8+8-6+2 \\ & = 12 \end{align} $
5. sisa pembagian $f(x)$ oleh $x+3$ adalah $-2$ (Salah)
   $ \begin{align}
   f(x) & = x^{3}+2x^{2}-3x+2 \\ f(-3) & = (-3)^{3}+2(-3)^{2}-3(-3)+2 \\ & = -27+18+9+2 \\ & = 2 \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$ Pernyataan $1,\, 3,$ dan $4$

19. Contoh Soal TKA Matematika SMA

$PQRS$ merupakan segiempat sembarang. Jika titik $T$ terletak pada ruas garis $\overline{PR}$ dan titik $U$ terletak pada ruas garis $\overline{SQ}$ dengan $2PT=TR$ dan $2SU=UQ$, diperoleh persamaan vektor $2\vec{PQ}+2\vec{PS}+\vec{RQ}+\vec{RS}=a\vec{SQ}+b\vec{TU}$ dengan $(10\times a)+b=\dots $

$(A)\ 16 $

$(B)\ 32 $

$(C)\ 36 $

$(D)\ 42 $

$(E)\ 61 $

Alternatif Pembahasan:

Dari informasi pada gambar segiempat di atas, kita akan menentukan $a\vec{SQ}+b\vec{TU}$ dari beberapa penjumlahan vektor $2\vec{PQ}+2\vec{PS}+\vec{RQ}+\vec{RS}$.
Diketahui juga bahwa $\vec{SQ}=3\vec{SU}$ dan $\vec{PR}=3\vec{PT}$

\begin{align} & \color{red}{a} \vec{SQ}+ \color{blue}{b} \vec{TU} \\ &= 2\vec{PQ}+2\vec{PS}+\vec{RQ}+\vec{RS} \\ &= 2\left( \vec{PS}+ \vec{SQ} \right)+2\vec{PS}+\left( \vec{RS}+ \vec{SQ} \right) + \vec{RS} \\ &= 2\vec{PS}+ 2\vec{SQ}+2\vec{PS}+\vec{RS}+ \vec{SQ} + \vec{RS} \\ &= 3\vec{SQ} + 4\vec{PS}+ 2\vec{RS} \\ &= 3\vec{SQ} + 4\vec{PS}+ 2\left( \vec{RP}+ \vec{PS} \right) \\ &= 3\vec{SQ} + 6\vec{PS}+ 2\vec{RP} \\ &= 3\vec{SQ} + 6\vec{PS}+ 2\left( 3TP \right) \\ &= 3\vec{SQ} + 6\vec{PS}+ 6\vec{TP} \\ &= 3\vec{SQ} + 6 \left( \vec{TP}+ \vec{PS} \right) \\ &= 3\vec{SQ} + 6 \left( \vec{TU}+ \vec{US} \right) \\ &= 3\vec{SQ} + 6 \vec{TU}+ 6\vec{US} \\ &= 3\vec{SQ} + 6 \vec{TU}+ 6 \left( \frac{1}{3} \vec{QS} \right) \\ &= 3\vec{SQ} + 6 \vec{TU}+ 2 \vec{QS} \\ &= \color{red}{1} \vec{SQ}+ \color{blue}{6} \vec{TU} \end{align}

Dari hasil di atas kita peroleh $a=1$ dan $b=6$. Nilai dari $(10\times a)+b= 16$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 16 $

20. Contoh Soal TKA Matematika SMA

Persamaan lingkaran yang berpusat di $A\ (-2,1)$ dan menyinggung garis $4x+3y-20=0$ di titik $B\ (2,4)$ adalah....

$(A)\ x^{2}+y^{2}+4x-2y-30=0$

$(B)\ x^{2}+y^{2}+4x-2y+30=0$

$(C)\ x^{2}+y^{2}+4x-2y-25=0$

$(D)\ x^{2}+y^{2}+4x-2y-20=0$

$(E)\ x^{2}+y^{2}+4x-2y+20=0$

Alternatif Pembahasan:

Lingkaran yang berpusat di $A\ (-2,1)$ dan meyinggung garis garis $4x+3y-20=0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $A\ (-2,1)$ ke di titik $B\ (2,4)$.

$\begin{align} d &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ r &= \sqrt{ \left(2+2 \right)^{2}+\left(4-1 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{ 16+9} = 5 \end{align}$

Lingkaran pusatnya $A\ (-2,1)$ dan $r=5$, maka persamaanya adalah:
$\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x+2 \right)^{2}+\left( y-1 \right)^{2} &= 25 \\ x^{2}+4x+4+y^{2}-2y+1 &= 25 \\ x^{2}+y^{2}+4x-2y-20 &= 0 \end{align}$

Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+y^{2}+4x-2y-20=0$

Catatan Contoh Soal TKA Matematika SMA/MA/SMK/MAK/Sederajat Mata Pelajaran Pilihan dan Kunci Jawaban di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.

Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.

Albert Einstein