Skip to main content

Mempelajari Kembali Logika Matematika Yang Hilang

Logika proposisi atau yang lebih di kenal anak-anak pada bangku SMA sebelum negara api menyerang adalah Logika Matematika ataupun logika deduktif. Setelah negara api menyerang, pada Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) pelajaran matematika materi Logika Matematika ditarik dari materi matematika wajib yang harus dikenal dan dipelajari oleh peserta didik SMA.

Ntah apa yang merasuki para inisiator penyusun kurikulum 2013?, sehingga menghilangkan atau mencabut materi Logika Matematika dan memunculkan Induksi Matematika pada materi matematika yang wajib dipelajari di SMA.

Logika Matematika yang dicabut dari materi wajib matematika SMA sepertinya kurang tepat, karena secara fungsi dalam kehidupan sehari-hari kita tidak pernah lepas dari yang namanya logika. Hanya cinta yang tidak butuh logika, dan itupun hanya terkadang seperti apa yang disampaikan oleh Agnes Monika "Cinta ini kadang-kadang tak ada Logika".

Pertanyaan sederhana akan sulit terjawab ketika siswa tidak belajar Logika Matematika, sebagai contoh dari beberapa kasus berikut ini. Tetapi sebelum kita simak kasus yang terjadi ada beberapa istilah yang harus kita sepakati bersama, yaitu:
  • Pertanyaan adalah kalimat yang membutuhkan jawaban, kecuali pertanyaan retorik yaitu pertanyaan yang tidak membutuhkan jawaban.
  • Kalimat Terbuka adalah kalimat yang belum bisa ditentukan nilai kebenarannya, pada matematika biasanya masih kalimat masih mengandung variabel
  • Kalimat Tertutup adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan nilai kebenarannya atau sering juga disebut dengan Pernyataan
  • Nilai Kebenaran adalah Benar atau Salah, setiap pernyataan hanya memiliki satu nilai kebenaran

Setelah kita sedikit paham dengan istilah Nilai Kebenaran dan Penyataan, sekarang kita coba simak kasus sederhana berikut:
  • $(1)$ Nilai kebenaran pernyataan $9 \lt 13$ adalah Benar
  • $(2)$ Nilai kebenaran pernyataan $8 \gt 5$ adalah Benar
  • $(3)$ Nilai kebenaran pernyataan $3 \gt 5$ adalah Salah
  • $(4)$ Nilai kebenaran pernyataan $5 \leq 7$ adalah Benar
  • $(5)$ Nilai kebenaran pernyataan $4 \geq 4$ adalah Benar
Dari kelima pernyataan di atas siswa tidak kesulitan menerima nilai kebenaran dari pernyataan $(1),(2)$ dan $(3)$, tetapi untuk pernyataan $(4)$ dan $(5)$ sudah terjadi perdebatan dan perbedaan pendapat. Bagaimana dengan Anda?

Kasus lain yang tidak kalah menarik adalah: Dari pernyataan di bawah ini mana, manakah pernyataan yang benar?
  • Merokok Tidak Sehat
  • Tidak Merokok Sehat

Berikut, mari kita coba diskusikan kembali secara singkat tentang Logika Matematika yang tidak lagi ditemukan di buku pelajaran matematika SMA.

A. PERNYATAAN MAJEMUK

Pernyataan Majemuk atau Compound Statement adalah gabungan beberapa pernyataan yang digabung dengan kata penghubung "dan, atau, tidak/bukan, serta variatifnya".

Jenis-jenis pernyataan majemuk yang sudah umum dipelajari di Matematika

1. Konjungsi (dan)

Pernyataan konjungsi adalah gabungan dari dua atau beberapa pernyataan yang dihubungkan dengan kata 'dan' yang disimbolkan dengan "$\wedge$"
Contoh:
$p$: $2$ adalah bilangan genap
$q$: $2$ adalah bilangan prima
$p \wedge q $: $2$ adalah bilangan genap dan bilangan prima.
Tabel Kebenaran Konjungsi
$p$ $q$ $p \wedge q $
$B$ $B$ $ B $
$B$ $S$ $ S $
$S$ $B$ $ S $
$S$ $S$ $ S $

2. Disjungsi (atau)

Pernyataan Disjungsi adalah gabungan dari dua atau beberapa pernyataan yang dihubungkan dengan kata 'atau' yang disimbolkan dengan "$\vee$"
Contoh:
$p$: $4$ adalah bilangan komposit
$q$: $\pi$ adalah bilangan irasional
$p \vee q $: $4$ adalah bilangan komposit atau $\pi$ adalah bilangan irasional.
Tabel Kebenaran Disjungsi
$p$ $q$ $p \vee q $
$B$ $B$ $ B $
$B$ $S$ $ B $
$S$ $B$ $ B $
$S$ $S$ $ S $

3. Implikasi (jika ... maka ...)

Pernyataan Implikasi adalah gabungan dari dua atau beberapa pernyataan yang dihubungkan dengan kata 'jika ... maka ...' yang disimbolkan dengan "$\rightarrow$"
Contoh:
$p$: Dari dua titik hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
$q$: Banyak diagonal segilima adalah lima.
$p \rightarrow q $: Jika Dari dua titik hanya dapat dibuat sebuah garis lurus maka banyak diagonal segilima adalah lima.
Tabel Kebenaran Implikasi
$p$ $q$ $p \rightarrow q $
$B$ $B$ $ B $
$B$ $S$ $ S $
$S$ $B$ $ B $
$S$ $S$ $ B $

4. Biimplikasi (...jika dan hanya jika...)

Pernyataan Biimplikasi adalah gabungan dari dua atau beberapa pernyataan yang dihubungkan dengan kata '...jika dan hanya jika...' yang disimbolkan dengan "$\leftrightarrow $"
Contoh:
$p$: $2^{3}=8$
$q$: ${}^2\!\log 8=3$
$p \leftrightarrow q$: $2^{3}=8$ jika dan hanya jika ${}^2\!\log 8=3$.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
$p$ $q$ $p \leftrightarrow q $
$B$ $B$ $ B $
$B$ $S$ $ S $
$S$ $B$ $ S $
$S$ $S$ $ B $

B. INGKARAN PERNYATAAN (NEGASI)

Negasi (Ingkaran) adalah sebuah pernyataan yang meniadakan yang ada. Ingkaran pernyataan dapat ditulis dengan menyisipkan kata "tidak/ bukan" atau sejenisnya dalam sebuah pernyataan.

Negasi pernyataan $p$ disimbolkan $\sim p$
Contoh:
$p$: Jakarta adalah ibu kota Indonesia.
$\sim p$: Tidak benar Jakarta adalah ibu kota Indonesia.
$\sim p$: Jakarta bukan ibu kota Indonesia.
Tabel Kebenaran Negasi
$p$ $\sim p$
$B$ $S$
$S$ $B$

C. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN

Pernyataan majemuk yang ekuivalen atau pernyataan majemuk yang setara adalah pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang ekuivalen (sama).

Untuk menentukan pernyataan majemuk yang ekuivalen dapat menggunakan tabel kebenaran seperti contoh berikut ini, Tabel Pembuktian bahwa $\sim \left( p \rightarrow q \right) \equiv p \wedge \sim q $
$\sim \left( p \rightarrow q \right) \equiv p \wedge \sim q $
$p$ $q$ $p \rightarrow q $ $\sim q $ $ \sim \left( p \rightarrow q \right) $ $ p \wedge \sim q $
$B$ $B$ $ B $ $ S $ $ S $ $ S $
$B$ $S$ $ S $ $ B $ $ B $ $ B $
$S$ $B$ $ B $ $ S $ $ S $ $ S $
$S$ $S$ $ B $ $ B $ $ S $ $ S $
Dengan cara yang sama seperti di atas, berikut beberapa contoh pernyataan yang ekuivalen:
  • Ingkaran Konjungsi $p \wedge q \equiv \sim p \vee \sim q$
  • Ingkaran Disjungsi $p \vee q \equiv \sim p \wedge \sim q$
  • Ingkaran Implikasi $\sim \left( p \rightarrow q \right) \equiv p \wedge \sim q $
  • Ingkaran Biimplikasi $\sim \left( p \leftrightarrow q \right) \equiv \left( p \wedge \sim q \right) \vee \left( \sim p \wedge q \right) $
  • Jika Implikasi $p \rightarrow q$ maka
    • Konversnya: $q \rightarrow p$
    • Inversnya: $\sim p \rightarrow \sim q$
    • Kontraposisinya: $\sim q \rightarrow \sim p$

D. PERNYATAAN BERKUANTOR

Pernyatan berkuantor ada dua jenis, yaitu pernyatataan Universal dan pernyataan Eksitensial.

Pernyataan Universal

Pernyataan Universal adalah pernyataan yang menyatakan keseluruhan objek, umumnya mengandung kata: semua, seluruh, setiap, ....
Secara simbol pernyataan universal disimbolkan dengan "$\forall$"

Contoh:
  1. Setiap bilangan komposit adalah bilangan asli.
  2. Semua planet mengelilingi matahari.
  3. $\forall x,\ P(x)$, artinya Untuk setiap $x$, berlaku $P(x)$
    • $\forall x \in R,\ x^{2} \geq 0$ bernilai Benar
    • $\forall x \in R,\ \sqrt{x} = \left| x \right|$ bernilai Benar

Pernyataan Eksistensial

Pernyataan Eksitensial adalah pernyataan yang menyatakan sebahagian objek, umumnya mengandung kata: sebahagian, ada, beberapa, ....
Secara simbol pernyataan universal disimbolkan dengan "$\exists $"

Contoh:
  1. Ada bilangan prima bilangan genap.
  2. Beberapa unggas dapat berenang.
  3. $\exists x,\ P(x)$, artinya Ada $x$, sehingga berlaku $P(x)$
    • $\exists x \in R,\ x^{2} = 0$ bernilai Benar
    • $\exists x \in R,\ x+1 \leq 0 $ bernilai Benar

Negasi (Ingkaran) Pernyataan Berkuantor

Negasi Universal adalah Eksistensial dan sebaliknya, secara simbol dapat kita tuliskan:
  • $ \sim \left( \forall x ,\ P(x) \right) \equiv \exists x,\ \sim P(x) $
  • $ \sim \left( \exists x ,\ P(x) \right) \equiv \forall x,\ \sim P(x) $
Contoh:
  1. $p:$ Semua negara memiliki daerah kekuasaan $(B)$
    $\sim p:$ Ada negara tidak memiliki daerah kekuasaan $(S)$
  2. $p:$ Ada bilangan prima bilangan genap $(B)$
    $\sim p:$ Semua bilangan prima bukan bilangan genap $(S)$
  3. $p:$ $\forall x \in R,\ \left| x \right| \leq 0$ $(B)$
    $\sim p:$ $\exists x \in R,\ \left| x \right| \gt 0$ $(S)$
  4. $p:$ $\exists x \in R,\ x^{2}-5x = 0$ $(B)$
    $\sim p:$ $\forall x \in R,\ x^{2}-5x \neq 0$ $(S)$

Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan (konklusi) dikatakan sah (benar) apabila konjungsi dari premis-premis berimplikasi logis terhadap konklusi. Dengan kata lain dapat kita sebutkan Implikasi Konjungsi premis terhadap konklusi adalah tautologi (nilai kebenaran semua benar).

Secara umum ada beberapa penarikan kesimpulan yang sering digunakan, yaitu:

1. MODUS PONENS

$\begin{align}
p_{1} &:\ p \rightarrow q \\
p_{2} &:\ q \\
\hline
\therefore\ & q
\end{align}$
Contoh:
$p_{1}:$ Jika adik bermain bola, maka kakak bermain boneka.
$p_{2}:$ Kakak bermain boneka.
$\therefore$ Adik bermain bola

$p_{1}:$ Jika $a+b=x$, maka $a-b=y$.
$p_{2}:$ $a-b=y$
$\therefore$ $a+b=x$

2. MODUS TOLENS

$\begin{align}
p_{1} &:\ p \rightarrow q \\
p_{2} &:\ \sim q \\
\hline
\therefore\ & \sim p
\end{align}$
Contoh:
$p_{1}:$ Jika Adik sekolah di Sekolah Dasar maka Adik memakai seragam merah putih.
$p_{2}:$ Adik tidak memakai seragam merah putih.
$\therefore$ Adik tidak sekolah di sekolah dasar.

$p_{1}:$ Jika $x$ bilangan bulat positif maka $2x+1$ bilangan ganjil.
$p_{2}:$ $2x+1$ bukan bilangan ganjil.
$\therefore$ $x$ bukan bilangan bulat positif

3. Silogisme

$\begin{align}
p_{1} &:\ p \rightarrow q \\
p_{2} &:\ q \rightarrow r \\
\hline
\therefore\ & p \rightarrow r
\end{align}$
Contoh:
$p_{1}:$ Jika ibu memasak di dapur maka kakak membersihkan rumah.
$p_{2}:$ Jika kakak membersihkan rumah maka ayah pergi ke kebun.
$\therefore$ Jika ibu memasak di dapur maka ayah pergi ke kebun.

$p_{1}:$ Jika $x$ bilangan prima maka $y$ bilangan ganjil.
$p_{2}:$ Jika $y$ bilangan ganjil maka $z$ bilangan asli.
$\therefore$ Jika $x$ bilangan prima maka $z$ bilangan asli.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Catatan calon guru di atas yang mengangkat tentang Logika Matematika masih perlu saran dan perbaikan, jadi saran atau komentarnya silahkan disampaikan 😊CMIIW, jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda bagaimana mengasah logika anak, membentuk Kreativitas dan Imajinasi Anak Dengan Baik Menggunakan Tangram πŸ’— Contoh yang kita tampilkan ini adalah dari buku ‘TANGRAMS ABC KIT’ yang ditulis oleh Susan Johnston.
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Mempelajari Kembali Logika Matematika Yang Hilang" sangat diharapkan 😊 and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar