Skip to main content

Belajar Logika Matematika

Calon Guru belajar Logika proposisi atau yang lebih di kenal dengan sebutan Logika Matematika ataupun logika deduktif.

Beberapa istilah yang harus kita sepakati bersama dalam belajar logika matematika dan ini berlaku secara umum, yaitu:
  • Pertanyaan adalah kalimat yang membutuhkan jawaban, kecuali pertanyaan retorik yaitu pertanyaan yang tidak membutuhkan jawaban.
  • Kalimat Terbuka adalah kalimat yang belum bisa ditentukan nilai kebenarannya, pada matematika biasanya masih kalimat masih mengandung variabel
  • Kalimat Tertutup adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan nilai kebenarannya atau sering juga disebut dengan Pernyataan
  • Nilai Kebenaran adalah Benar atau Salah, setiap pernyataan hanya memiliki satu nilai kebenaran

Pertanyaan sederhana akan sulit terjawab ketika siswa tidak belajar Logika Matematika, sebagai contoh dari beberapa kasus berikut ini:
  • $(1)$ Nilai kebenaran pernyataan $9 \lt 13$ adalah Benar
  • $(2)$ Nilai kebenaran pernyataan $8 \gt 5$ adalah Benar
  • $(3)$ Nilai kebenaran pernyataan $3 \gt 5$ adalah Salah
  • $(4)$ Nilai kebenaran pernyataan $5 \leq 7$ adalah Benar
  • $(5)$ Nilai kebenaran pernyataan $4 \geq 4$ adalah Benar
Dari kelima pernyataan di atas siswa tidak kesulitan menerima nilai kebenaran dari pernyataan $(1),(2)$ dan $(3)$, tetapi untuk pernyataan $(4)$ dan $(5)$ sudah terjadi perdebatan dan perbedaan pendapat. Bagaimana dengan Anda?

Kasus lain yang tidak kalah menarik adalah: Dari pernyataan di bawah ini mana, manakah pernyataan yang benar?
  • Merokok Tidak Sehat
  • Tidak Merokok Sehat

Berikut, mari kita coba diskusikan kembali secara singkat tentang Logika Matematika yang tidak lagi ditemukan di buku pelajaran matematika SMA.

A. PERNYATAAN MAJEMUK


Pernyataan Majemuk atau Compound Statement adalah gabungan beberapa pernyataan yang digabung dengan kata penghubung "dan, atau, tidak/bukan, serta variatifnya".

Jenis-jenis pernyataan majemuk yang sudah umum dipelajari di Matematika

1. Konjungsi (dan)

Pernyataan konjungsi adalah gabungan dari dua atau beberapa pernyataan yang dihubungkan dengan kata 'dan' yang disimbolkan dengan "$\wedge$"
Contoh:
$p$: $2$ adalah bilangan genap
$q$: $2$ adalah bilangan prima
$p \wedge q $: $2$ adalah bilangan genap dan bilangan prima.
Tabel Kebenaran Konjungsi
$p$ $q$ $p \wedge q $
$B$ $B$ $ B $
$B$ $S$ $ S $
$S$ $B$ $ S $
$S$ $S$ $ S $

2. Disjungsi (atau)

Pernyataan Disjungsi adalah gabungan dari dua atau beberapa pernyataan yang dihubungkan dengan kata 'atau' yang disimbolkan dengan "$\vee$"
Contoh:
$p$: $4$ adalah bilangan komposit
$q$: $\pi$ adalah bilangan irasional
$p \vee q $: $4$ adalah bilangan komposit atau $\pi$ adalah bilangan irasional.
Tabel Kebenaran Disjungsi
$p$ $q$ $p \vee q $
$B$ $B$ $ B $
$B$ $S$ $ B $
$S$ $B$ $ B $
$S$ $S$ $ S $

3. Implikasi (jika ... maka ...)

Pernyataan Implikasi adalah gabungan dari dua atau beberapa pernyataan yang dihubungkan dengan kata 'jika ... maka ...' yang disimbolkan dengan "$\rightarrow$"
Contoh:
$p$: Dari dua titik hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
$q$: Banyak diagonal segilima adalah lima.
$p \rightarrow q $: Jika Dari dua titik hanya dapat dibuat sebuah garis lurus maka banyak diagonal segilima adalah lima.
Tabel Kebenaran Implikasi
$p$ $q$ $p \rightarrow q $
$B$ $B$ $ B $
$B$ $S$ $ S $
$S$ $B$ $ B $
$S$ $S$ $ B $

4. Biimplikasi (...jika dan hanya jika...)

Pernyataan Biimplikasi adalah gabungan dari dua atau beberapa pernyataan yang dihubungkan dengan kata '...jika dan hanya jika...' yang disimbolkan dengan "$\leftrightarrow $"
Contoh:
$p$: $2^{3}=8$
$q$: ${}^2\!\log 8=3$
$p \leftrightarrow q$: $2^{3}=8$ jika dan hanya jika ${}^2\!\log 8=3$.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
$p$ $q$ $p \leftrightarrow q $
$B$ $B$ $ B $
$B$ $S$ $ S $
$S$ $B$ $ S $
$S$ $S$ $ B $

B. INGKARAN PERNYATAAN (NEGASI)


Negasi (Ingkaran) adalah sebuah pernyataan yang meniadakan yang ada. Ingkaran pernyataan dapat ditulis dengan menyisipkan kata "tidak/ bukan" atau sejenisnya dalam sebuah pernyataan.

Negasi pernyataan $p$ disimbolkan $\sim p$
Contoh:
$p$: Jakarta adalah ibu kota Indonesia.
$\sim p$: Tidak benar Jakarta adalah ibu kota Indonesia.
$\sim p$: Jakarta bukan ibu kota Indonesia.
Tabel Kebenaran Negasi
$p$ $\sim p$
$B$ $S$
$S$ $B$

C. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN


Pernyataan majemuk yang ekuivalen atau pernyataan majemuk yang setara adalah pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang ekuivalen (sama).

Untuk menentukan pernyataan majemuk yang ekuivalen dapat menggunakan tabel kebenaran seperti contoh berikut ini, Tabel Pembuktian bahwa $\sim \left( p \rightarrow q \right) \equiv p \wedge \sim q $
$\sim \left( p \rightarrow q \right) \equiv p \wedge \sim q $
$p$ $q$ $p \rightarrow q $ $\sim q $ $ \sim \left( p \rightarrow q \right) $ $ p \wedge \sim q $
$B$ $B$ $ B $ $ S $ $ S $ $ S $
$B$ $S$ $ S $ $ B $ $ B $ $ B $
$S$ $B$ $ B $ $ S $ $ S $ $ S $
$S$ $S$ $ B $ $ B $ $ S $ $ S $
Dengan cara yang sama seperti di atas, berikut beberapa contoh pernyataan yang ekuivalen:
  • Ingkaran Konjungsi $p \wedge q \equiv \sim p \vee \sim q$
  • Ingkaran Disjungsi $p \vee q \equiv \sim p \wedge \sim q$
  • Ingkaran Implikasi $\sim \left( p \rightarrow q \right) \equiv p \wedge \sim q $
  • Ingkaran Biimplikasi $\sim \left( p \leftrightarrow q \right) \equiv \left( p \wedge \sim q \right) \vee \left( \sim p \wedge q \right) $
  • Jika Implikasi $p \rightarrow q$ maka
    • Konversnya: $q \rightarrow p$
    • Inversnya: $\sim p \rightarrow \sim q$
    • Kontraposisinya: $\sim q \rightarrow \sim p$
Contoh Soal:
1. jelaskan konversi, inversi, kontraposisi dan negasi dari implikasi: "Jika guru hadir maka murid senang"
Dari pernyataan diatas, kita misalkan $p:$ guru hadir dan $q:$ murid senang,
sehingga dari $p \rightarrow q$ kita peroleh:
  • Negasinya: $p \wedge \sim q$
    Guru hadir dan murid tidak senang
  • Konversnya: $q \rightarrow p$
    Jika murid senang maka guru hadir
  • Inversnya: $\sim p \rightarrow \sim q$
    Jika guru tidak hadir maka murid tidak senang
  • Kontraposisinya: $\sim q \rightarrow \sim p$
    Jika murid tidak senang maka guru tidak hadir hadir

2. Selidiki apakah pernyataan berikut merupakan tautology (pernyataan selalu bernilai benar), kontradiksi (pernyataan selalu bernilai salah) atau tidak keduanya.
$\left( q \rightarrow p \right) \leftrightarrow p$
$p$ $q$ $q \rightarrow p $ $\left( q \rightarrow p \right) \leftrightarrow p $
$B$ $B$ $ B $ $ B $
$B$ $S$ $ B $ $ B $
$S$ $B$ $ S $ $ B $
$S$ $S$ $ B $ $ S $
$\therefore$ Pernyataan $\left( q \rightarrow p \right) \leftrightarrow p$ bukan tautology atau kontradiksi.

D. PERNYATAAN BERKUANTOR


Pernyatan berkuantor ada dua jenis, yaitu pernyatataan Universal dan pernyataan Eksitensial.

Pernyataan Universal

Pernyataan Universal adalah pernyataan yang menyatakan keseluruhan objek, umumnya mengandung kata: semua, seluruh, setiap, ....
Secara simbol pernyataan universal disimbolkan dengan "$\forall$"

Contoh:
  1. Setiap bilangan komposit adalah bilangan asli.
  2. Semua planet mengelilingi matahari.
  3. $\forall x,\ P(x)$, artinya Untuk setiap $x$, berlaku $P(x)$
    • $\forall x \in R,\ x^{2} \geq 0$ bernilai Benar
    • $\forall x \in R,\ \sqrt{x} = \left| x \right|$ bernilai Benar

Pernyataan Eksistensial

Pernyataan Eksitensial adalah pernyataan yang menyatakan sebahagian objek, umumnya mengandung kata: sebahagian, ada, beberapa, ....
Secara simbol pernyataan universal disimbolkan dengan "$\exists $"

Contoh:
  1. Ada bilangan prima bilangan genap.
  2. Beberapa unggas dapat berenang.
  3. $\exists x,\ P(x)$, artinya Ada $x$, sehingga berlaku $P(x)$
    • $\exists x \in R,\ x^{2} = 0$ bernilai Benar
    • $\exists x \in R,\ x+1 \leq 0 $ bernilai Benar

Negasi (Ingkaran) Pernyataan Berkuantor

Negasi Universal adalah Eksistensial dan sebaliknya, secara simbol dapat kita tuliskan:
  • $ \sim \left( \forall x ,\ P(x) \right) \equiv \exists x,\ \sim P(x) $
  • $ \sim \left( \exists x ,\ P(x) \right) \equiv \forall x,\ \sim P(x) $
Contoh:
  1. $p:$ Semua negara memiliki daerah kekuasaan $(B)$
    $\sim p:$ Ada negara tidak memiliki daerah kekuasaan $(S)$
  2. $p:$ Ada bilangan prima bilangan genap $(B)$
    $\sim p:$ Semua bilangan prima bukan bilangan genap $(S)$
  3. $p:$ $\forall x \in R,\ \left| x \right| \leq 0$ $(B)$
    $\sim p:$ $\exists x \in R,\ \left| x \right| \gt 0$ $(S)$
  4. $p:$ $\exists x \in R,\ x^{2}-5x = 0$ $(B)$
    $\sim p:$ $\forall x \in R,\ x^{2}-5x \neq 0$ $(S)$

E. PENARIKAN KESIMPULAN


Penarikan kesimpulan (konklusi) dikatakan sah (benar) apabila konjungsi dari premis-premis berimplikasi logis terhadap konklusi. Dengan kata lain dapat kita sebutkan Implikasi Konjungsi premis terhadap konklusi adalah tautologi (nilai kebenaran semua benar).

Secara umum ada beberapa penarikan kesimpulan yang sering digunakan, yaitu:

1. MODUS PONENS

$\begin{align}
p_{1} &:\ p \rightarrow q \\
p_{2} &:\ q \\
\hline
\therefore\ & q
\end{align}$
Contoh:
(1). $p_{1}:$ Jika adik bermain bola, maka kakak bermain boneka.
$p_{2}:$ Kakak bermain boneka.
$\therefore$ Adik bermain bola

(2). $p_{1}:$ Jika $a+b=x$, maka $a-b=y$.
$p_{2}:$ $a-b=y$
$\therefore$ $a+b=x$

(3). $p_{1}:$ Jika saya giat belajar, maka saya ulus ujian.
$p_{2}:$ Saya giat belajar
$\therefore$ Saya ulus ujian

(4). $p_{1}:$ Jika $n$ bilangan ganjil, maka $n^{2}$ bilangan ganjil.
$p_{2}:$ $5$ bilangan ganjil
$\therefore$ $5^{2}$ bilangan ganjil

(5). $p_{1}:$ Jika seekor binatang suka makan dagaing, maka semua binatang itu buas.
$p_{2}:$ Buaya suka makan daging
$\therefore$ Buaya binatang buas

2. MODUS TOLENS

$\begin{align}
p_{1} &:\ p \rightarrow q \\
p_{2} &:\ \sim q \\
\hline
\therefore\ & \sim p
\end{align}$
Contoh:
(1). $p_{1}:$ Jika Adik sekolah di Sekolah Dasar maka Adik memakai seragam merah putih.
$p_{2}:$ Adik tidak memakai seragam merah putih.
$\therefore$ Adik tidak sekolah di sekolah dasar.

(2). $p_{1}:$ Jika $x$ bilangan bulat positif maka $2x+1$ bilangan ganjil.
$p_{2}:$ $2x+1$ bukan bilangan ganjil.
$\therefore$ $x$ bukan bilangan bulat positif

(3). $p_{1}:$ Jika saya rajin berolahraga, maka saya tidak sakit.
$p_{2}:$ Saya sakit
$\therefore$ Saya tidak rajin berolahraga

(4). $p_{1}:$ Jika $2x=9$, maka $x+y \gt 5$.
$p_{2}:$ $x+y \leq 5$
$\therefore$ $2x \neq 9$

3. SILOGISME

$\begin{align}
p_{1} &:\ p \rightarrow q \\
p_{2} &:\ q \rightarrow r \\
\hline
\therefore\ & p \rightarrow r
\end{align}$
Contoh:
(1). $p_{1}:$ Jika ibu memasak di dapur maka kakak membersihkan rumah.
$p_{2}:$ Jika kakak membersihkan rumah maka ayah pergi ke kebun.
$\therefore$ Jika ibu memasak di dapur maka ayah pergi ke kebun.

(2). $p_{1}:$ Jika $x$ bilangan prima maka $y$ bilangan ganjil.
$p_{2}:$ Jika $y$ bilangan ganjil maka $z$ bilangan asli.
$\therefore$ Jika $x$ bilangan prima maka $z$ bilangan asli.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras


Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Ayo Dicoba! Belajar Logika Matematika Yang Hilang Pada Kurikulum 2013 silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara alternatif dalam membagikan pecahan, dan dikerjakan dengan sangat kreatif;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Belajar Logika Matematika" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar