Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Statistika, Cara Menghitung Rentang (Range atau Jangkauan), Rentang interkuartil, Simpangan kuartil, Simpangan Rata-rata, Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Ukuran Penyebaran Data) Untuk Data Tunggal.
Setelah mengenal ukuran pemusatan data (rata-rata, median, dan modus) dan ukuran letak data (quartil, desi dan persentil) berikut ini kita coba mengenal ukuran penyebaran data.
Ukuran penyebaran data adalah untuk melihat keadaan penyebaran sebuah data. Karena dari beberapa data yang ada kemungkinan mempunyai modus, median dan rata-rata yang sama sehingga dari ukuran pemusatan data saja kita belum bisa mengambil gambaran keadaan data. Untuk itu perlu kita lihat ukuran penyebaran data.
UKURAN PENYEBARAN DATA
Keragaman atau variasi setiap kumpulan data dapat diukur dengan menggunakan suatu nilai numerik yang disebut sebagai Ukuran Penyebaran Data atau ukuran keragaman data.
Keragaman data yang kita tuliskan disini antara Rentang (Range atau Jangkauan), Rentang interkuartil, Simpangan kuartil, Simpangan Rata-rata, Ragam (Varians) dan Simpangan Baku untuk data tunggal.
RANGE atau JANGKAUAN
Rentang (Range atau Jangkauan)
adalah selisih nilai terbesar dan nilai terkecil.
$J=x_{max}-x_{min}$ atau $R=x_{max}-x_{min}$
JANGKAUAN ANTARKUARTIL
Jangkauan Antarkuartil atau Rentang Interquartil
adalah selisih quartil atas dengan quartil bawah.
$H=Q_{3}-Q_{1}$ atau $IQR=Q_{3}-Q_{1}$
Dengan menggunakan Jangkauan Antarkuartil kita bisa mendapatkan syarat data termasuk Pencilan. Pencilan (outlier) adalah nilai yang mempunyai karakteristik berbeda dengan nilai lainnya dalam sekumpulan data sehingga keberadaannya memerlukan perhatian khusus. Dapat juga disebut pencilan merupakan nilai yang sangat berbeda dari kumpulan nilai lainnya.
Syarat nilai termasuk data pencilan adalah $x_{i} \lt Q_{1}-\frac{3}{2}H$ atau $x_{i} \gt Q_{3}+\frac{3}{2}H$
SIMPANGAN KUARTIL
Simpangan Kuartil
adalah setengah dari selisih quartil atas dengan quartil bawah.
$Q_{d}= \dfrac{1}{2} \left( Q_{3}-Q_{1} \right) $ atau $Q_{d}= \dfrac{1}{2} H$
SIMPANGAN RATA_RATA
Simpangan Rata-rata-rata atau deviasi rata-rata
didefinisikan dengan:
$SR=\dfrac{\sum \left | x_{i}- \bar{x} \right |}{n}$
RAGAM atau VARIANS
Ragam atau Varians
adalah Rataan dari jumlah kuadrat simpangan tiap datum.
$s^{2}=\dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}$
Rumus ragam di atas adalah untuk mencari ragam dari data yang diperoleh dari suatu populasi. Namun jika data dari suatu populasi berukuran besar maka data yang diambil hanya sampelnya. Untuk menghitung ragam sampel yaitu $s^{2}=\dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n-1}$
SIMPANGAN BAKU atau STANDARD DEVIATION
Simpangan Baku atau Standard Deviation
didefinisikan dengan:
$s=\sqrt{\dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}}$ atau $s=\sqrt{s^{2}}$
Rumus Simpangan Baku atau Standard Deviation di atas adalah untuk mencari Simpangan Baku dari data yang diperoleh dari suatu populasi. Namun jika data dari suatu populasi berukuran besar maka data yang diambil hanya sampelnya. Untuk menghitung Simpangan Baku sampel yaitu $s=\sqrt{\dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n-1}}$
Soal Latihan dan Pembahasan Ukuran Penyebaran Data Tunggal
Untuk menambah pemahaman kita terkait Cara Menghitung Rentang (Range atau Jangkauan), Rentang interkuartil, Simpangan kuartil, Simpangan Rata-rata, Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Ukuran Penyebaran Data) Untuk Data Tunggal di atas mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada modul belajar matematika SMA.
Soal statistika data tunggal yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Statistika Data Tunggal.
1. Soal Latihan Ukuran Penyeberan Data Tunggal
Dari data $5, 7, 3, 3, 6, 9, 10, 7, 7, 7, 6, 2$ diperoleh nilai rentang data, rentang antar kuartil dan simpangan kuartil berturut-turut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak data $n=12$ dan setelah diurutkan menjadi $2, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10$
Jangkauan atau Rentang $R=x_{max}-x_{min}=10-2=8$
$2, 3, 3,|| 5, 6, 6,|| 7, 7, 7,|| 7, 9, 10$
Dari data di atas kita peroleh $Q_{2}=\dfrac{6+7}{2}=6,5$, $Q_{1}=\dfrac{3+5}{2}=4$, dan $Q_{3}=\dfrac{7+7}{2}=7$.
Rentang antar kuartil $H=Q_{3}-Q_{1}=7-4=3$,
Simpangan kuartil $Q_{d}=\dfrac{1}{2} H=\dfrac{1}{2} \cdot 3 =1,5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ R=8,\ H=3,\ Q_{d}=1,5$
2. Soal Latihan Ukuran Penyeberan Data Tunggal
Diketahui data terdiri dari $5$ angka berbeda, mempunyai rentang data $7$ dan rentang antarkuartil $5$. Maka selisih data keempat dan kedua adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misal data yang sudah diurutkan adalah $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$
$\begin{align} R &=x_{max}-x_{min} \\ 7 &=x_{5}-x_{1} \end{align}$
$\begin{align} H &=Q_{3}-Q_{1} \\ 5 &=\dfrac{x_{4}+x_{5}}{2}-\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \\ 10 &= x_{4}+x_{5} -x_{1}-x_{2} \\ 10 &= x_{4}+7-x_{2} \\ 10-7 &= x_{4} -x_{2} \\ 3 &= x_{4} -x_{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
3. Soal Latihan Ukuran Penyeberan Data Tunggal
Simpangan baku dari data $3, 7, 6, 6, 7, 8, 5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rata-rata $3, 5, 6, 6, 7, 7, 8$ adalah:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{3+5+6+6+7+7+8}{7} \\
&=\dfrac{42}{7}=6
\end{align}$
Simpangan Baku atau Standard Deviation:
$\begin{align}
s &= \sqrt{\dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}} \\
&= \sqrt{\dfrac{ \left( 3-6 \right )^{2}+\left( 5-6 \right )^{2}+2\left( 6-6 \right )^{2}+2\left( 7-6 \right )^{2}+\left( 8-6 \right )^{2}}{7}} \\
&= \sqrt{\dfrac{9+1+0+2+4}{7}} \\
&= \sqrt{\dfrac{16}{7}}=\dfrac{4}{7}\sqrt{7}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{4}{7}\sqrt{7}$
4. Soal Latihan Ukuran Penyeberan Data Tunggal
Simpangan baku dari data $2, 3, 4, 4, 6, 5, 3, 4, 5$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rata-rata $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6$ adalah:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{2+3+3+ 4+ 4+ 4+ 5+ 5+ 6}{9} \\
&=\dfrac{36}{9}=4
\end{align}$
Simpangan Baku atau Standard Deviation:
$\begin{align}
s &= \sqrt{\dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}} \\
&= \sqrt{\dfrac{ \left( 2-4 \right )^{2}+2\left( 3-4 \right )^{2}+4\left( 4-4 \right )^{2}+2\left( 5-4 \right )^{2}+\left( 6-4 \right )^{2}}{9}} \\
&= \sqrt{\dfrac{4+2+2+4}{9}} \\
&= \sqrt{\dfrac{12}{9}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{2}{3}\sqrt{3}$
5. Soal Latihan Ukuran Pemusatan Data Tunggal
Dari data berikut ini, nilai ragamnya adalah...
Nilai Frekuensi $2$ $3$ $3$ $1$ $4$ $2$ $5$ $3$ $6$ $2$
Alternatif Pembahasan:
Rata-rata data pada tabel adalah:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{2 \cdot 3+3 \cdot 1 +4 \cdot 2+ 5 \cdot 3+ 6 \cdot 2}{11} \\
&=\dfrac{44}{11}=4
\end{align}$
Ragam atau varians:
$\begin{align}
s^{2} &= \dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n} \\
&= \dfrac{ 3\left( 2-4 \right )^{2}+1\left( 3-4 \right )^{2}+2\left( 4-4 \right )^{2}+3\left( 5-4 \right )^{2}+2\left( 6-4 \right )^{2}}{11} \\
&= \dfrac{12+1+0+3+8}{11} =\dfrac{24}{11}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{24}{11}$
6. Soal Latihan Ukuran Penyeberan Data Tunggal
Simpangan kuartil dari data $83, 53, 54, 78, 78, 57, 59, 65, 62, 69, 75, 72, 69, 71$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak data $n=14$, dan setelah diurutkan menjadi $53, 54, 57, |59|, 62, 65, 69, || 69, 71, 72, |75|, 78, 78, 83$
Dari data di atas kita peroleh $Q_{2}=\dfrac{69+69}{2}=69$, $Q_{1}=59$, dan $Q_{3}=75$.
Rentang antar kuartil $H=Q_{3}-Q_{1}=75-59=16$,
Simpangan kuartil $Q_{d}=\dfrac{1}{2} H=\dfrac{1}{2} \cdot 16 =8$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$
7. Soal Latihan Ukuran Penyeberan Data Tunggal
Diketahui data $3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8$. Simpangan kuartil data tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Banyak data $n=8$, dan setelah diurutkan menjadi $2, 3,|| 4, 6, || 8, 9, || 12, 14$
Dari data di atas kita peroleh $Q_{2}=\dfrac{6+8}{2}=7$, $Q_{1}=\dfrac{3+4}{2}=3,5$, dan $Q_{3}=\dfrac{9+12}{2}=10,5$.
Rentang antar kuartil $H=Q_{3}-Q_{1}=10,5-3,5=7$,
Simpangan kuartil $Q_{d}=\dfrac{1}{2} H=\dfrac{1}{2} \cdot 7 =3,5$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3,5 $
8. Soal Latihan Ukuran Penyeberan Data Tunggal
Kumpulan data $1, 3, 7, 2, 4, 5, 8, x, 1, –1, 2, 3$. Jika rentang data tersebut $10$ maka nilai $x =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Banyak data $n=12$, dan setelah diurutkan kemungkinan menjadi $-1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 8, x$
Dengan rentang $10=x_{max}-x_{min}$, maka nilai $x$ dapat berada pada dua posisi yaitu sebagai nilai maksimum atau sebagai minimum.
- Saat $x=x_{max}$ maka kita peroleh $10=x-(-1) \rightarrow x=9$
- Saat $x=x_{min}$ maka kita peroleh $10=8-x \rightarrow x=-2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9\ \text{atau}\ -2$
9. Soal Latihan Ukuran Penyeberan Data Tunggal
Simpangan baku dari data $4, 7, 7, 5, 4, 3, 6, 4$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rata-rata $3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7$ adalah:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{3+4+4+4+5+6+7+7}{8} \\
&=\dfrac{40}{8}=5
\end{align}$
Simpangan Baku atau Standard Deviation:
$\begin{align}
s &= \sqrt{\dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}} \\
&= \sqrt{\dfrac{ \left( 3-5 \right )^{2}+3\left( 4-5 \right )^{2}+ \left( 5-5 \right )^{2}+ \left( 6-5 \right )^{2}+2\left( 7-5 \right )^{2}}{8}} \\
&= \sqrt{\dfrac{4+3+0+1+8}{8}} \\
&= \sqrt{\dfrac{16}{8}}=\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \sqrt{2}$
10. Soal Latihan Ukuran Penyeberan Data Tunggal
Jumlah pasien yang berobat karena kecelakaan selama $8$ hari di puskesmas Cililin adalah $7, 4, 4, 1, 5, 6, 8, 5$. Nilai simpangan bakunya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rata-rata $1, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8$ adalah:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{1+4+ 4+ 5+ 5+ 6+ 7+ 8}{8} \\
&=\dfrac{40}{8}=5
\end{align}$
Simpangan Baku atau Standard Deviation:
$\begin{align}
s &= \sqrt{\dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}} \\
&= \sqrt{\dfrac{ \left( 1-5 \right )^{2}+2\left( 4-5 \right )^{2}+ 2\left( 5-5 \right )^{2}+ \left( 6-5 \right )^{2}+ \left( 7-5 \right )^{2}+\left( 8-5 \right )^{2}}{8}} \\
&= \sqrt{\dfrac{16+2+0+1+4+9}{8}} \\
&= \sqrt{\dfrac{32}{8}}=\sqrt{4}=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
11. Soal Latihan Ukuran Letak dan Penyebaran Data Tunggal
Suatu data dengan rata – rata $16$ dan jangkauan $6$. Jika setiap nilai dalam data dikalikan $p$ kemudian di kurangi $q$ didapat data baru dengan rata – rata $20$ dan jangkauan $9$. Nilai dari $2p + q =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Rata-rata sebuah data adalah
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{n}}{n} \\
16 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{n}}{n} \\
16n &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{n}
\end{align}$
Jangkauan sebuah data adalah
$\begin{align}
R &= x_{n}-x_{1} \\
6 &= x_{n}-x_{1} \\
\end{align}$
Data baru $px_{1}-q, px_{2}-q, px_{3}-q, \cdots , px_{n}-q$ dan Jangkauannya adalah $9$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
9 &= \left(px_{n}-q \right)- \left(px_{1}-q \right) \\
9 &= px_{n}-q - px_{1}+q \\
9 &= p \left( x_{n}-x_{1} \right) \\
9 &= p \left( 6 \right) \rightarrow p=\dfrac{3}{2}
\end{align}$
Data baru $px_{1}-q, px_{2}-q, px_{3}-q, \cdots , px_{n}-q$ dan rata-ratanya adalah $20$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
20 &= \dfrac{\left(px_{1}-q \right)+ \left(px_{2}-q \right) + \left(px_{3}-q\right)+ \cdots+\left( px_{n}-q \right)}{n} \\
20n &= px_{1}+px_{2}+px_{3}+ \cdots + px_{n}-n \cdot q \\
20n &= p \left( x_{1}+ x_{2}+ x_{3}+ \cdots + x_{n} \right)-n \cdot q \\
20n &= p \cdot 16n - qn \\
20 &= \dfrac{3}{2} \cdot 16 - q \\
20 &= 24 - q \rightarrow q= 4 \\
\hline
2p+q &= 2 \cdot \dfrac{3}{2}+4 \\
&= 7
\end{align}$
Setelah melihat pembuktian sederhana di atas kesimpulan yang dapat kita pakai untuk soal lainnya adalah:
Catatan
- Jika sebuah data dengan rata-rata $\bar{x}$ dan setiap nilai dikalikan dengan $p$ lalu dijumlah/dikurang dengan $q$ maka rata-rata data baru adalah $\bar{x}_{b}=p \cdot \bar{x} \pm q$.
- Jika sebuah data dengan Jangkauan $R$ dan setiap nilai dikalikan dengan $p$ lalu dijumlah/dikurang dengan $q$ maka jangkauan data baru adalah $R_{b}=p \cdot R$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$
12. Soal Latihan Ukuran Letak dan Penyebaran Data Tunggal
Pada suatu ujian yang diikuti $50$ siswa diperoleh rata-rata nilai ujian $35$ dengan median $40$ dan simpangan kuartil $10$. Karena rata-rata nilai terlalu rendah, maka semua nilai dikalikan $2$, kemudian dikurangi $15$. Akibatnya...
Alternatif Pembahasan:
Sebuah data dengan $n=50$ dan rata-rata data $35$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{n}}{n} \\
35 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{50}}{50} \\
1750 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{50}
\end{align}$
Data baru masing-masing nilai pada data lama dikali $2$ dan dikurang 15, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{\left(2x_{1}-15 \right)+ \left(2x_{2}-15 \right) + \left(2x_{3}-15\right)+ \cdots+\left( 2x_{50}-15 \right)}{50} \\
&= \dfrac{2 \left( x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots+ x_{50} \right) - 15 \cdot 50}{50} \\
&= \dfrac{2 \left( 1750 \right) - 15 \cdot 50}{50} \\
&= 2 \left( 35 \right) - 15 = 55
\end{align}$
Setelah melihat pembuktian sederhana di atas kesimpulan yang dapat kita gunakan untuk soal lainnya adalah:
Catatan
Jika sebuah data dengan rata-rata $\bar{x}$ dan setiap nilai dikalikan dengan $p$ lalu dijumlah/dikurang dengan $q$ maka rata-rata data baru adalah $\bar{x}_{b} = p \cdot \bar{x} \pm q$
Sebuah data dengan $n=50$ dan Median $40$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\text{Median} &= \dfrac{x_{25} + x_{26}}{2} \\
40 &= \dfrac{x_{25} + x_{26}}{2} \\
80 &= x_{25} + x_{26} \\
\end{align}$
Data baru masing-masing nilai pada data lama dikali $2$ lalu dikurang 15, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\text{Median} &= \dfrac{2 \cdot x_{25} -15 + 2 \cdot x_{25} -15}{2} \\
&= \dfrac{2 \left( x_{25}+ x_{26} \right) -30}{2} \\
&= \dfrac{2 \left( 80 \right) -30}{2}= \dfrac{130}{2}=65 \\
\end{align}$
Setelah melihat pembuktian sederhana di atas kesimpulan yang dapat kita gunakan untuk soal lainnya adalah:
Catatan
Jika sebuah data dengan Median $Me$ dan setiap nilai dikalikan dengan $p$ lalu dijumlah/dikurang dengan $q$ maka median data baru adalah $Me_{b}=p \cdot Me \pm q$
Sebuah data dengan $n=50$ dan Simpangan Quartil $Q_{d}=10$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
Q_{d} &= \dfrac{Q_{3} - Q_{1}}{2} \\
10 &= \dfrac{Q_{3} - Q_{1}}{2} \\
20 &= Q_{3} - Q_{1}
\end{align}$
Data baru masing-masing nilai pada data lama dikali $2$ lalu dikurang 15, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
Q_{d} &= \dfrac{ \left( 2Q_{3}-15 \right) - \left( 2Q_{1}-15 \right)}{2} \\
&= \dfrac{ 2Q_{3}-15 - 2Q_{1}+15 }{2} \\
&= \dfrac{ 2 \left( Q_{3} - Q_{1} \right)}{2} \\
&= Q_{3} - Q_{1} = 20
\end{align}$
Setelah melihat pembuktian sederhana di atas kesimpulan yang dapat kita gunakan untuk soal lainnya adalah:
Catatan
Jika sebuah data dengan Simpangan Quartil $Q_{d}$ dan setiap nilai dikalikan dengan $p$ lalu dijumlah/dikurang dengan $q$ maka Simpangan Quartil data baru adalah $Qd_{b}=p \cdot Q_{d}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \text{Simpangan Quartil menjadi}\ 20$
13. Soal Latihan Ukuran Letak dan Penyebaran Data Tunggal
Dalam suatu kelas terdapat $22$ siswa. Nilai rata–rata matematikanya $5$ dan jangkauan $4$. Bila seorang siswa yang paling tinggi nilainya tidak disertakan, maka nilai rata–ratanya berubah menjadi $4,9$. Nilai siswa yang paling rendah adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan data setelah diurutkan adalah $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots ,\ x_{22}$
$\begin{align} \bar{x}\ & = \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n} \\ 5\ & = \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots +x_{21}+ x_{22}}{22} \\ 110 & = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots +x_{21}+ x_{22} \\ 110- x_{22} & = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots +x_{21} \\ \hline R & = x_{22} - x_{1} \\ 4 & = x_{22} - x_{1} \end{align}$
Apabila nilai terbesar tidak diikutkan sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
4,9\ & = \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{21}}{21} \\
102,9 & = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{21} \\
102,9 & = 110- x_{22} \\
x_{22} & = 110- 102,9 = 7,1 \\
\hline
x_{22} - x_{1} & = 4 \\
7,1 - x_{1} & = 4 \\
x_{1} & = 3,1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3,1$
14. Soal Latihan Ukuran Letak dan Penyebaran Data Tunggal
Sebuah kumpulan data memiliki nilai rataan $20$ dengan rentang $4$. Jika setiap nilai dalam kumpulan data itu dikali dengan $a$ kemudian dikurangi dengan $b$, maka diperoleh kumpulan data baru dengan rataan $25$ dan rentang $6$. nilai $a + b =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan
Jika sebuah data dengan Jangkauan $R$ dan setiap nilai dikalikan dengan $p$ lalu dijumlah/dikurang dengan $q$ maka rata-rata data baru adalah $p \cdot \bar{x}$
Sebuah data dengan Jangkauan $4$, kemudian tiap nilai dikali dengan $a$ lalu dikurangi dengan $b$, maka diperoleh kumpulan data baru dengan Jangkauan $6$ sehingga berlaku $4a=6$ atau $a=\dfrac{3}{2}$
Catatan
Jika sebuah data dengan rata-rata $\bar{x}$ dan setiap nilai dikalikan dengan $p$ lalu dijumlah/dikurang dengan $q$ maka rata-rata data baru adalah $p \cdot \bar{x} \pm q$
Sebuah data dengan rataan $20$, kemudian tiap nilai dikali dengan $a$ lalu dikurangi dengan $b$, maka diperoleh kumpulan data baru dengan rataan $25$ sehingga berlaku $20a-b=25$
Untuk $a=\dfrac{3}{2}$, maka kita peroleh:
$\begin{align}
20a-b &= 25 \\
20 \cdot \dfrac{3}{2} - b &= 25 \\
b &= 30-25=5 \\
\hline
a+ b &= \dfrac{3}{2} +5 \\
&=6,5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6,5$
15. Soal Latihan Ukuran Letak dan Penyebaran Data Tunggal
Pada suatu tes di sebuah sekolah yang diikuti $48$ siswa diperoleh nilai rata-rata ujian adalah $30$ dengan median $29$ dan simpangan baku $2$. Agar nilainya lebih baik, maka semua nilainya dikali dua kemudian dikurangi $a$. Jika pertambahan nilai rata-rata dua kali pertambahan simpangan baku, maka nilai $a =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan
Jika sebuah data dengan rata-rata $\bar{x}$ dan setiap nilai dikalikan dengan $p$ lalu dijumlah/dikurang dengan $q$ maka rata-rata data baru adalah $p \cdot \bar{x} \pm q$
Sebuah data dengan rataan $30$, kemudian tiap nilai dikali dengan $2$ lalu dikurangi dengan $a$, maka diperoleh kumpulan data baru dengan rataan $60-a$.
Catatan
Jika sebuah data dengan Median $Me$ dan setiap nilai dikalikan dengan $p$ lalu dijumlah/dikurang dengan $q$ maka median data baru adalah $p \cdot Me \pm q$
Sebuah data dengan median $29$, kemudian tiap nilai dikali dengan $2$ lalu dikurangi dengan $a$, maka diperoleh kumpulan data baru dengan median $58-a$.
Simpangan Baku data lama adalah $2$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
s &= \sqrt{\dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}} \\
2 &= \sqrt{\dfrac{ \left( x_{1}-\bar{x} \right )^{2}+\left( x_{2}-\bar{x} \right )^{2}+\cdots+\left( x_{48}-\bar{x} \right )^{2}}{48}}
\end{align}$
Untuk simpangan baku data baru, data yang kita gunakan:
$\begin{align}
\left( 2x_{i}-a -\left( \bar{x}_{baru} \right) \right )^{2} &= \left( 2x_{i}-a -\left( 60-a \right) \right )^{2} \\
&= \left( 2x_{i}-a - \left( 60+a \right) \right )^{2} \\
&= \left( 2x_{i} - 60 \right )^{2} \\
&= 4 \cdot \left( x_{i} - 30 \right )^{2}
\end{align}$
Simpangan baku data baru adalah:
$\begin{align}
s &= \sqrt{\dfrac{\sum \left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}} \\
&= \sqrt{\dfrac{ 4\left( x_{1}- 30 \right )^{2}+4\left( x_{2}-30 \right )^{2}+\cdots+4\left( x_{48}-30 \right )^{2}}{48}} \\
&= 2 \sqrt{\dfrac{ \left( x_{1}- 30 \right )^{2}+ \left( x_{2}-30 \right )^{2}+\cdots+ \left( x_{48}-30 \right )^{2}}{48}} \\
&= 2 \cdot 2 =4
\end{align}$
Karena pertambahan nilai rata-rata dua kali pertambahan simpangan baku dan simpangan baku bertambah $2$ maka rata-rata bertambah $4$. Sehingga rata-rata data baru adalah $30+4=34$.
Untuk rata-rata data baru $34$ kita peroleh $60-a=34$, maka $a=26$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 26$
Beberapa pembahasan soal latihan Cara Menghitung Rentang (Range atau Jangkauan), Rentang interkuartil, Simpangan kuartil, Simpangan Rata-rata, Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Ukuran Penyebaran Data) Untuk Data Tunggal di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Cara Menghitung Simpangan Rata-rata, Ragam dan Simpangan Baku Data Tunggal Dilengkapi Pembahasan Soal Latihan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Kurangilah rasa ingin tahu Anda tentang orang, perbanyaklah rasa ingin tahu tentang ide gagasan, dan pemikiran.
