Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Statistika, Cara Menghitung Quartil, Desil, dan Persentil (Ukuran Letak Data) Untuk Data Tunggal. Quartil, Desil, dan Persentil dalam statistika dikelompokkan dalam satu kelompok yaitu Ukuran Letak Data.
Setelah mengenal ukuran pemusatan data (rata-rata, median, dan modus), berikut ini kita coba mengenal ukuran letak data.
Ukuran letak data adalah untuk melihat keadaan letak sebuah data. Karena dari beberapa data yang ada kemungkinan mempunyai modus, median dan rata-rata yang sama sehingga dari ukuran pemusatan data saja kita belum bisa mengambil gambaran keadaan data. Untuk itu perlu kita lihat ukuran letak data.
UKURAN LETAK DATA
Dari sebuah data yang sudah terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar misalnya $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots x_{n}$ ada kalanya kita ingin mengelompokkan data hanya menjadi beberapa kelompok saja.
Misalnya data nilai beberapa siswa akan kita bagi menjadi beberapa kategori, yaitu menjadi sangat baik, baik dan kurang baik. Berarti kita membagi data menjadi tiga bagian, atau pada keadaan yang lain kita ingin membaginya menjadi empat bagian, sepuluh atau seratus bagian. Dalam statistika ada beberapa istilah yang sudah umum dipakai dalam pembagian data yaitu Quartil, Desil, dan Persentil.
QUARTIL
Quartil $\left( Q_{i} \right) $
adalah nilai yang membagi data terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar menjadi empat bagian yang sama.
Karena Quartil membagi data menjadi empat bagian yang sama maka quartil ada tiga yaitu $Q_{1}$ disebut Quartil bawah, $Q_{2}$ disebut Quartil tengah, dan $Q_{3}$ disebut Quartil atas. Banyak data $\left( n \right)$ yang dapat kita bagi menjadi empat bagian yang sama adalah $n \geq 4$.
Untuk menentukan quartil dengan banyak data tidak banyak, pertama kita data diurutkan dari yang terkecil ke terbesar dan kita peroleh $x_{min}$ dan $x_{max}$.
- Nilai tengah diantara data $x_{min}$ dan $x_{max}$ adalah Quartil dua atau median,
- Nilai tengah diantara data $x_{min}$ dan $Q_{2}$ adalah $Q_{1}$,
- Nilai tengah diantara data $Q_{2}$ dan $x_{max}$ adalah $Q_{3}$
Untuk data lebih banyak, quartil dapat kita tentukan dengan aturan berikut ini:
$Q_{i}=\text{nilai ke}-\dfrac{i \left(n+1 \right)}{4}$,
dimana $i=1,2,3$ dan $n$ adalah banyak data.
Jika kuartil terletak di antara dua nilai, maka nilai kuartil adalah rata-rata dari kedua nilai tersebut.
- Jika banyak data $n$ bilangan ganjil dan $(n+1)$ habis dibagi $4$
$Q_{i}=\text{nilai ke}-\dfrac{i \left(n+1 \right)}{4}$ - Jika banyak data $n$ bilangan ganjil dan $(n+1)$ tidak habis dibagi $4$
$Q_{1}=\dfrac{1}{2} \ \cdot \left( \text{nilai ke}- \dfrac{\left(n-1 \right)}{4}+\text{nilai ke}-\dfrac{\left(n+3 \right)}{4} \right)$
$Q_{2}= \text{nilai ke}- \dfrac{2\left(n+1 \right)}{4} $
$Q_{3}=\dfrac{1}{2} \ \cdot \left( \text{nilai ke}- \dfrac{\left(3n+1 \right)}{4}+\text{nilai ke}-\dfrac{\left(3n+5 \right)}{4} \right)$ - Jika banyak data $n$ bilangan genap dan habis dibagi $4$
$Q_{1}=\dfrac{1}{2} \ \cdot \left( \text{nilai ke}- \dfrac{\left(n-1 \right)}{4}+\text{nilai ke}-\dfrac{\left(n+3 \right)}{4} \right)$
$Q_{2}= \text{nilai ke}- \dfrac{2\left(n+1 \right)}{4} $
$Q_{3}=\dfrac{1}{2} \ \cdot \left( \text{nilai ke}- \dfrac{\left(3n+1 \right)}{4}+\text{nilai ke}-\dfrac{\left(3n+5 \right)}{4} \right)$ - Jika banyak data $n$ bilangan genap dan tidak habis dibagi $4$
$Q_{1}= \text{nilai ke}- \dfrac{\left(n+2 \right)}{4}$
$Q_{2}= \dfrac{1}{2} \cdot \left( \text{nilai ke}- \dfrac{n}{2}+\text{nilai ke}-\left(\dfrac{n}{2}+1\right) \right)$
$Q_{3}= \text{nilai ke}- \dfrac{\left(3n+2 \right)}{4}$
DESIL
Desil $\left( D_{i} \right) $
Desil $\left( D_{i} \right) $ adalah nilai yang membagi data terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar menjadi sepuluh bagian yang sama.
Karena Desil membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama maka desil ada sembilan yaitu $D_{1}$ dampai $D_{9}$. Banyak data $\left( n \right)$ yang dapat kita bagi menjadi sepuluh bagian yang sama adalah $n \geq 10$.
Untuk menentukan desil dapat kita tentukan dengan aturan berikut ini:
$D_{i}=\text{nilai ke}-\dfrac{i \left(n+1 \right)}{10}$,
dimana $i=1,2,\cdots,9$ dan $n$ adalah banyak data.
Jika letak desil terletak di antara dua nilai, desil ditentukan dengan interpolasi linear.
PERSENTIL
Persentil $\left( P_{i} \right) $
adalah nilai yang membagi data terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar menjadi seratus bagian yang sama.
Persentil membagi data menjadi seratus bagian yang sama maka persentil ada $99$ yaitu $P_{1}$ dampai $P_{99}$. Banyak data $\left( n \right)$ yang dapat kita bagi menjadi seratus bagian yang sama adalah $n \geq 10$.
Untuk menentukan persentil dapat kita tentukan dengan aturan berikut ini:
$P_{i}=\text{nilai ke}-\dfrac{i \left(n+1 \right)}{100}$,
dimana $i=1,2,\cdots,99$ dan $n$ adalah banyak data.
Jika letak persentil terletak di antara dua nilai, persentil ditentukan dengan interpolasi linear.
Soal Latihan dan Pembahasan Ukuran Letak Data Tunggal
Untuk menambah pemahaman kita terkait Statistika, Cara Menghitung Quartil, Desil, dan Persentil Untuk Data Tunggal di atas mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada modul belajar matematika SMA.
Sedangkan untuk soal statistika data tunggal yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Statistika Data Tunggal.
1. Soal Latihan Ukuran Letak Data Tunggal
Nilai $Q_{1}$, $Q_{2}$, dan $Q_{3}$ untuk data $3, 5, 10, 2, 8, 10, 13, 15, 6, 8, 9, 10, 29, 25, 5, 9$ berturut-turut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5,5,\ \ 8,\ \ 11,5 \\ (B)\ & 5,\ \ 9,\ \ 11,5 \\ (C)\ & 5,5,\ \ 9,\ \ 11,5 \\ (D)\ & 5,\ \ 8,\ \ 11,5 \\ (E)\ & 5,5,\ \ 9,\ \ 11,5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Banyak data adalah $n=16$, data setelah kita urutkan adalah $2, 3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 13, 15, 25, 29$
Quartil dua sama dengan median sehingga kita peroleh adalah:
$2, 3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, || 9, 10, 10, 10, 13, 15, 25, 29 $
$Q_{2} = \dfrac{9+9}{2}=9$
Quartil satu kita pilih dari median data sebelah kiri yaitu:
$ 2, 3, 5, 5, || 6, 8, 8, 9,$
$Q_{1} = \dfrac{5+6}{2}=5,5$
Quartil tiga kita pilih dari median data sebelah kanan yaitu:
$ 9, 10, 10, 10, || 13, 15, 25, 29$
$Q_{3} = \dfrac{10+13}{2}=11,5$
Jika hendak menggunakan rumus-rumus yang dituliskan pada penjelasan di atas untuk menghitung quartilnya silahkan dicoba
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5,5,\ \ 9,\ \ 11,5$
2. Soal Latihan Ukuran Letak Data Tunggal
Nilai $Q_{1}$, $Q_{2}$, dan $Q_{3}$ untuk data $6, 2, 4, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 9, 5, 6, 3, 8,$ berturut-turut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3,\ \ 5,5,\ \ 8 \\ (B)\ & 3,\ \ 5,\ \ 8,5 \\ (C)\ & 3,5,\ \ 5,\ \ 8 \\ (D)\ & 3,\ \ 5,5,\ \ 8,5 \\ (E)\ & 3,5,\ \ 6,\ \ 9 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Banyak data adalah $n=14$, data setelah kita urutkan adalah $2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9.$
Quartil dua sama dengan median sehingga kita peroleh adalah:
$2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, || 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9 $
$Q_{2} = \dfrac{5+6}{2}=5,5$
Quartil satu kita pilih dari median data sebelah kiri yaitu:
$ 2, 2, 3, |3|, 4, 4, 5,$
$Q_{1} = 3$
Quartil tiga kita pilih dari median data sebelah kanan yaitu:
$ 6, 6, 7, |8|, 8, 9, 9$
$Q_{3} = 8$
Jika hendak menggunakan rumus-rumus yang dituliskan pada penjelasan di atas untuk menghitung quartilnya silahkan dicoba
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3,\ \ 5,5\ \ 8$
3. Soal Latihan Ukuran Letak Data Tunggal
Nilai $D_{4}$ dan $D_{6}$ untuk data $42, 56, 78, 63, 58, 78, 81, 55, 32, 67, 84, 70, 65, 22, 10$ berturut-turut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 57,1\ \text{dan}\ 66,3 \\ (B)\ & 57,1\ \text{dan}\ 67 \\ (C)\ & 57\ \text{dan}\ 67 \\ (D)\ & 56,8\ \text{dan}\ 66,2 \\ (E)\ & 56,6\ \text{dan}\ 66,5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Banyak data adalah $n=15$, dan data setelah diurutkan adalah $10, 22, 32, 42, 55, 56, 58, 63, 65, 67, 70, 78, 78, 81, 84$
Desi ke-$4$ adalah
$\begin{align}
D_{i} &= \text{nilai ke}-\dfrac{i \left(n+1 \right)}{10} \\
D_{4} &= \text{nilai ke}-\dfrac{4 \left(15+1 \right)}{10} \\
&= \text{nilai ke}-6,4 \\
\hline
D_{4}\ &= x_{6}+ 0,4 \left(x_{7}-x_{6} \right)\\
&= 56 + 0,4 \left( 58-56 \right) \\
&= 56 + 0,8 = 56,8
\end{align}$
Desi ke-$6$ adalah
$\begin{align}
D_{i} &= \text{nilai ke}-\dfrac{i \left(n+1 \right)}{10} \\
D_{6} &= \text{nilai ke}-\dfrac{6 \left(15+1 \right)}{10} \\
&= \text{nilai ke}-9,6 \\
\hline
D_{6}\ &= x_{9}+ 0,6 \left(x_{10}-x_{9} \right)\\
&= 65 + 0,6 \left( 67-65 \right) \\
&= 65 + 1,2 = 66,2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 56,8\ \text{dan}\ 66,2$
4. Soal Latihan Ukuran Letak Data Tunggal
Nilai Desil ke-$7$ untuk data yang disusun pada tabel di bawah ini adalah...
Nilai Frekuensi $4$ $3$ $5$ $7$ $6$ $5$ $7$ $6$ $8$ $5$ $9$ $4$
$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 7,3 \\ (D)\ & 7,7 \\ (E)\ & 8,2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
| Nilai | Frekuensi | Datum ke $x_{i}$ |
| $4$ | $3$ | $x_{1}\ s/d\ x_{3}$ |
| $5$ | $7$ | $x_{4}\ s/d\ x_{10}$ |
| $6$ | $5$ | $x_{11}\ s/d\ x_{15}$ |
| $7$ | $6$ | $x_{16}\ s/d\ x_{21}$ |
| $8$ | $5$ | $x_{22}\ s/d\ x_{26}$ |
| $9$ | $4$ | $x_{27}\ s/d\ x_{30}$ |
$\begin{align} D_{i} &= \text{nilai ke}-\dfrac{i \left(n+1 \right)}{10} \\ D_{7} &= \text{nilai ke}-\dfrac{7 \left(30+1 \right)}{10} \\ &= \text{nilai ke}-21,7 \\ \hline D_{7}\ &= x_{21}+ 0,7 \left(x_{22}-x_{21} \right)\\ &= 7 + 0,7 \left( 8-7 \right) \\ &= 7 + 0,7 = 7,7 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7,7$
5. Soal Latihan Ukuran Letak Data Tunggal
Dari hasil suatu ujian yang diikuti oleh $10$ anak diperoleh median data sebesar $40$ dan rataan data $50$. Karena rataan itu terlalu rendah maka semua nilai dikali $2$ dan kemudian dikurangi $15$. Maka median dan rataan sekarang berturut-turut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 67\ \text{dan}\ 85 \\ (B)\ & 65\ \text{dan}\ 85 \\ (C)\ & 67\ \text{dan}\ 82 \\ (D)\ & 65\ \text{dan}\ 82 \\ (E)\ & 65\ \text{dan}\ 80 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Rata-rata nilai $10$ anak adalah $50$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
50\ &=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{10}}{10} \\
500 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots\ + x_{10}
\end{align}$
Median nilai $10$ anak adalah $40$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
40\ &=\dfrac{x_{5} + x_{6}}{2} \\
80 &= x_{5} + x_{6}
\end{align}$
Rata-rata data baru adalah:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{2{x}_{1}-15 +2{x}_{2}-15 +2{x}_{3}-15 +2{x}_{10}-15}{10} \\
&=\dfrac{2 {x}_{1} + 2{x}_{2}+2{x}_{3}+\cdots+ 2{x}_{10}-15 \cdot 10}{10} \\
&=\dfrac{2 \left( {x}_{1} + {x}_{2}+{x}_{3}+\cdots+ {x}_{10} \right)-150}{10} \\
&=\dfrac{2 \left( 500 \right)-150}{10} \\
&=\dfrac{850}{10}=85 \\
\end{align}$
Median data baru adalah:
$\begin{align}
Median\ &=\dfrac{2x_{5}-15 + 2x_{6}-15}{2} \\
&=\dfrac{2 \left( x_{5} + x_{6} \right) -15 \cdot 2}{2} \\
&=\dfrac{2 \left( 80 \right) - 30}{2} \\
&=\dfrac{130}{2}=65
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 65\ \text{dan}\ 85$
Beberapa pembahasan soal Cara Menghitung Quartil, Desil, dan Persentil Data Tunggal di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Matematika Alternatif: Membagikan Pecahan Tanpa harus Merubahnya Menjadi Perkalian Pecahan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
