Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Kumpulan Soal Matematika Dasar Statistika Untuk Data Tunggal. Diskusi kita tentang pembahasan soal matematika dasar terkait statistika, kita bagi dalam dua bagian, yaitu soal dan pembahasan matematika dasar statistika data tunggal dan soal dan pembahasan matematika dasar statistik data berkelompok.
Penerapan statistik data tunggal dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya mungkin kita dapat menghitung rata-rata penghasilan masyarakat di sekitar kita yang nantinya dapat dikembangkan untuk mengukur tingkat kesejahteraan masyarakat di lingkungan kita. Penerpan lainnya dapat dilihat dari soal-soal yang kita diskusikan di bawah ini.
Untuk dasar teori atau rumus-rumus yang sering digunakan dalam statistika data tunggal, dapat juga disimak pada catatan sebelumnya yaitu:
- Cara Menghitung Rata-rata, Median, dan Modus Data Tunggal Dilengkapi Pembahasan 30+ Soal Latihan |*Lihat Catatan
- Cara Menghitung Quartil, Desil, dan Persentil Data Tunggal Dilengkapi Pembahasan Soal Latihan |*Lihat Catatan
- Cara Menghitung Simpangan Rata-rata, Ragam dan Simpangan Baku Data Tunggal Dilengkapi Pembahasan Soal Latihan |*Lihat Catatan
Diskusi Kumpulan Soal Matematika Dasar Statistika Untuk Data Tunggal ini kita awali dari pertanyaan sederhana dari siswa yang bernama Bernat Yusuf Sihite.
"Pak, aku ada pertanyaan" adalah satu kalimat yang paling ditunggu oleh setiap guru jika masuk kelas pada umumnya. Jika ada guru yang tidak suka pada kalimat tersebut, berarti ada yang salah pada guru tersebut sehingga guru tersebut sudah perlu diberi piknik beberapa minggu untuk 'merefresh' kembali semangat keguruannya.
Kemarin beberapa menit sebelum jam pembelajaran selesai dan akan segera istirahat, salah satu generasi penerus bangsa yang ganteng di kelas saya namanya Bernat Yusuf Sihite mengangkat tangan dan menyodorkan buku grafindo miliknya. Pak, bagaimana menyelesaikan soal ini tanyanya sambil menunjukkan soal nomor 29. Karena soal yang lumayan panjang, Bernat menuliskannya di papan tulis, dan soal yang ditanyakan adalah soal yang pertama pada catatan statistika ini.
Soal dan Pembahasan Statistika Data Tunggal Matematika SMA
Catatan pembahasan soal statitika matematika SMA ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.
Soal latihan statistika matematika SMA ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 30 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Bank Soal MG Bekasi
Skor-skor dalam suatu ujian diolah dengan menggunakan rumus $y=px+q$ dimana $p$ dan $q$ adalah konstanta dan $x$ dan $y$ masing-masing adalah skor mentah dan skor hasil. Jika mean dan simpangan baku skor mentah masing-masing adalah $42$ dan $10$; dan mean dan simpangan baku skor hasil masing-masing adalah $50$ dan $15$ maka nilai $ 2p-q $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui bahwa skor ujian diolah dengan $y=px+q$, artinya setiap $x$ skor mentah dikalikan dengan $p$ lalu ditambah $q$.
Untuk rata-rata, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{n}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
42 &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
42n &=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}
\end{align}$
Data Baru: $px_{1}+q,\ px_{2}+q,\ px_{3}+q,\ \cdots px_{n}+q$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &= \dfrac{px_{1}+q+px_{2}+q+px_{3}+q+ \cdots+ px_{n}+q}{n} \\
50 &= \dfrac{px_{1}+px_{2}+px_{3}+ \cdots+ px_{n}+n \cdot q}{n} \\
50n &= p \left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{n} \right)+ qn \\
50n &= p \cdot 42n + qn \\
50 &= 42p + q
\end{align}$
Jika data lama rata-ratanya $42$ lalu setiap data dikali $p$ dan ditambah $q$ maka rata-rata baru adalah $p \cdot 42 +q=50$.
Untuk simpangan baku, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{n}$
$\begin{align}
s\ &=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\
10\ &=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-42 \right )^{2}}
\end{align}$
Data Baru: $px_{1}+q,\ px_{2}+q,\ px_{3}+q,\ \cdots px_{n}+q$
$\begin{align}
s\ &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\
15 &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( px_{i}+q- 50 \right )^{2}} \\
\hline
50 &= 42p + q \rightarrow q = 50-42p \\
\hline
15 &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( px_{i}+50-42p- 50 \right )^{2}} \\
15 &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( px_{i} -42p \right )^{2}} \\
15 &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}p^{2}\left ( x_{i} -42 \right )^{2}} \\
15 &= p \cdot \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left ( x_{i} -42 \right )^{2}} \\
15 &= p \cdot 10 \rightarrow p= \dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}
\end{align}$
Jika data lama simpangan bakunya $15$ lalu setiap data dikali $p$ dan ditambah $q$ maka simpangan baku baru adalah $p \cdot 10=15$ atau $p=\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}$.
Dari apa yang kita peroleh di atas $50= 42p + q$ dan $p=\dfrac{3}{2}$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
42p + q &= 50 \\
42 \cdot \dfrac{3}{2} + q &= 50 \\
63 + q &= 50 \\
q &= -13 \\
\hline
2p-q &= 2 \cdot \dfrac{3}{2} - (-13) \\\
&= 3 + 13 =16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 16$
2. Soal SIMAK UI 2011 Kode 211 |*Soal Lengkap
Jika rata-rata $20$ bilangan bulat nonnegative berbeda adalah $20$, maka bilangan terbesar yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika $20$ bilangan bulat nonnegative kita misalkan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots,\ x_{20}$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n} &=\bar{x} \\
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}}{20} &=20 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20} &=400
\end{align}$
Agar kita peroleh $x_{20}$ bilangan yang terbesar yang mungkin, maka kita harus beranggapan bahwa $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots x_{19}$ adalah bilang bulat nonnegative berbeda yang terkecil yaitu $0,1,\ 2,\ 3,\ \cdots 18$, sehingga:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{19}+x_{20}&=400 \\
0+1+2+3+\cdots +18+x_{20}&=400 \\
171+x_{20}&=400 \\
x_{20}&=400-171 \\
x_{20}&=229
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 229$
3. Soal SIMAK UI 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap
Sebuah keluarga mempunyai $5$ orang anak. Anak tertua berumur $2$ kali dari umur anak termuda, sedangkan $3$ anak yang lainnya masing-masing berumur kurang $3$ tahun dari anak tertua, lebih $4$ tahun dari anak termuda, dan kurang $5$ tahun dari anak tertua. Jika rata-rata umur mereka adalah $16$ tahun, maka kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kelima orang anak diurutkan dari anak pertama sampai anak kelima kita misalkan $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$, maka umur mereka dapat kita tuliskan dalam beberapa persamaan betnuk:
- $a_{1}=2a_{5}$,
- $a_{2}=a_{1}-3$,
- $a_{3}=a_{5}+4$,
- $a_{4}=a_{1}-5$, dan
- $a_{5}$
Rata-rata umur kelima anak adalah $16$ tahun sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5} &= \bar{x} \\
\dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5} &= 16 \\
a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} &= 80 \\
a_{1} + a_{1}-3 + a_{5}+4 + a_{1}-5 + a_{5} &=80 \\
3a_{1} +2a_{5}-4 &= 80 \\
3a_{1} +2a_{5} &= 84 \\
3a_{1} +a_{1} &= 84 \\
4a_{1} &=84 \\
a_{1} &= 21
\end{align}$
Dengan $a_{1}=21$, kita peroleh $a_{2}=18$, $a_{3}=16$, $a_{4}=14,5$, dan $a_{5}=10,5$.
Kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga:
$\begin{align}
\left (a_{2} - a_{3} \right )^{2} &= \left ( 18- 16 \right) ^{2} \\
&= 2^{2}= 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$
4. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 |*Soal Lengkap
Pada suatu ujian yang diikuti oleh $50$ orang mahasiswa diperoleh nilai rata-rata ujian adalah $30$ dengan median $40$, simpangan baku $15$, dan simpangan kuartil $25$. Untuk memperbaiki nilai rata-rata, semua nilai dikalikan $2$ kemudian dikurangi $10$. Akibat yang terjadi adalah...
- Meannya menjadi $50
- Simpangan bakunya menjadi $30$
- Mediannya menjadi $70$
- Simpangan kuartilnya menjadi $50$
Alternatif Pembahasan:
Untuk rata-rata, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{50}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50} \\
30&=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50} \\
1500&=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}
\end{align}$
Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots 2x_{50}-10$.
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &= \dfrac{2x_{1}-10+2x_{2}-10+2x_{3}-10+ \cdots+ 2x_{50}-10}{50} \\
&= \dfrac{2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+ \cdots+ 2x_{50}-50 \cdot 10}{50} \\
&= \dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})-50 \cdot 10}{50} \\
&= \dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})}{50}- \dfrac{50 \cdot 10}{50} \\
&= 2\left (\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50}}{50} \right )- 10 \\
&= 2\left ( 30 \right )- 10 \\
&= 50
\end{align}$
Jika data lama rata-ratanya $30$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka rata-rata baru adalah $2 \cdot 30 -10=50$.
Untuk median, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{50}$
$\begin{align}
Me&=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26}) \\
40&=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26}) \\
80&=x_{25}+x_{26}
\end{align}$
Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots 2x_{50}-10$
$\begin{align}
Me_{B} &=\dfrac{1}{2}(2x_{25}-10+2x_{26}-10) \\
&=\dfrac{1}{2}(2x_{25}+2x_{26}-20) \\
&=x_{25}+x_{26}-10 \\
&=80-10=70
\end{align}$
Jika data lama mediannya $40$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka median baru adalah $2 \cdot 40-10=70$.
Untuk simpangan baku, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{50}$
$\begin{align}
s&=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\
15&=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( x_{i}- \bar{x} \right )^{2}}
\end{align}$
Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots 2x_{50}-10$
$\begin{align}
s &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-(2\bar{x}-10) \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-2\bar{x}+10 \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i} -2\bar{x} \right )^{2}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}(2^{2})\left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}} \\
&= 2\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50} \left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}} \\
&= 2(15)=30
\end{align}$
Jika data lama simpangan bakunya $15$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan baku baru adalah $2 \cdot 15=30$.
Untuk simpangan quartil, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{50}$
$\begin{align}
Q_{d}&=\dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1}) \\
25&=\dfrac{1}{2}(x_{38}-x_{13}) \\
50&=x_{38}-x_{13}
\end{align}$
Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots 2x_{50}-10$
$\begin{align}
Q_{d_{B}} &= \dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1}) \\
&=\dfrac{1}{2}\left ( \left (2x_{38}-10 \right )-\left (2x_{13}-10 \right ) \right ) \\
&=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}-10 - 2x_{13}+15 \right ) \\
&=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}- 2x_{13} \right ) \\
&= x_{38}- x_{13} \\
&= 50
\end{align}$
Jika data lama simpangan quartilnya $25$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan quartil baru adalah $2 \cdot 25=50$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$ SEMUA pilihan benar.
5. Soal SBMPTN 2017 |*Soal Lengkap
Diketahui median dan rata-rata berat badan $5$ balita adalah sama. Setelah ditambah satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat $1\ kg$, sedangkan mediannya tetap. Jika $6$ data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misalkan
Data Lama: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5} \\
b_{3} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5} \\
5b_{3} &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5} \\
4b_{3} &= b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5}
\end{align}$
Data Baru: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5},\ b_{b}$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6} \\
b_{3}+1 &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6} \\
6(b_{3}+1) &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\
6b_{3}+6 &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\
5b_{3}+6 &= b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\
5b_{3}+6 &= 4b_{3}+b_{b} \\
b_{3}+6 &= b_{b}
\end{align}$
Karena masuknya data baru mengakibatkan rata-rata naik $1\ kg$ maka nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$, kemungkinan-kemungkinan urutan data adalah:
- $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{b},\ b_{4},\ b_{5}$
Nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$ sehingga pada kemungkinan ini median akan naik, sedangkan dikatakan median tetap $b_{3}$ maka pada posisi ini tidak memenuhi. - $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{b},\ b_{5}$
pada kemungkinan ini karena median tetap sehingga $b_{3}=b_{4}$,
selisih $b_{b}-b_{4}$ adalah $b_{3}+6-b_{3}=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6$
6. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap
Nilai ujian Matematika $30$ siswa pada suatu kelas berupa bilangan cacah tidak lebih daripada $10$. Rata-rata nilai mereka adalah $8$ dan hanya terdapat $5$ siswa yang memperoleh nilai $7$. Jika $p$ menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari $7$, maka nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{30}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{30}}{30} \\
8 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{30}}{30} \\
240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{30} \\
240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{25}+\ 5 \cdot 7 \\
240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{25}+ 35 \\
205 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{25}
\end{align}$
Agar nilai $p$ terbesar maka kita harap nilai $p$ semuanya adalah $6$ dan nilai yang lebih dari $7$ adalah $10$.
Jumlah $25$ nilai yang tidak $7$ adalah $205$ dan nilainya diharapkan paling banyak adalah $6$ lalu $10$.
Jika semua nilai $6$ maka jumlahnya adalah $6 \cdot 25 =150$, agar tercapai $205$ dibutuhkan ada nilai $10$.
Nilai $10$ yang diharapkan yaitu sebanyak $13$.
Alternatif cara memperoleh: $\dfrac{55}{4}=13\ \text{sisa}\ 3$ artinya dibutuhkan nilai $10$ sebanyak $13$ dan nilai $9$ sebanyak $1$.
Nilai $6$ yang paling banyak adalah $30-5-13-1=11$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 11$
7. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian $6$ siswa adalah $6$. Jika median data tersebut adalah $6$ dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 adalah $4$, maka jumlah dua nilai ujian tertinggi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{6}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{6}}{6} \\
6 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{6}}{6} \\
36 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{6} \\
\hline
\text{Median} &= 6 \\
Me &= \dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4}) \\
6 &= \dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4}) \\
12 &= x_{3}+x_{4} \\
\hline
\text{Jangkauan}&= 6 \\
x_{6}-x_{1} &=6 \\
x_{1}&= x_{6}-6 \\
\hline
\text{Selisih Quartil}&= 4 \\
Q_{3}-Q_{1}&= 4 \\
x_{5}-x_{2} &= 4 \\
x_{2} &= x_{5}-4
\end{align}$
$\begin{align} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}+ x_{5} + x_{6} &= 36 \\ (x_{6}-6) + (x_{5}-4) + (12)+ x_{5} + x_{6} &= 36 \\ 2x_{5}+2x_{6}+2 &= 36 \\ 2x_{5}+2x_{6} &= 34 \\ x_{5}+x_{6} &= 17 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 17$
8. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap
Rata-rata nilai ujian Matematika siswa di suatu kelas dengan $50$ siswa tetap sama meskipun nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jumlah nilai-nilai tersebut adalah $350$. Jika data nilai-nilai ujian Matematika tersebut merupakan bilangan asli yang tidak lebih besar dari $10$, maka jangkauan data nilai yang mungkin ada sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{50}$
$\begin{align}
\bar{x} & =\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{49}+x_{n}}{n} \\
& =\dfrac{350}{50} \\
& = 7
\end{align}$
Rata-rata tetap jika $x_{1}$ dan $x_{50}$ dikeluarkan;
$\begin{align}
\bar{x} & =\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{49}}{48} \\
7 & =\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{49}}{48} \\
336 &= x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{49} \\
\hline
350 &= x_{1}+x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{49}+x_{50} \\
350 &= x_{1}+336+x_{50} \\
14 &= x_{1} +x_{50}
\end{align}$
Dengan $x_{1} +x_{50}=14$ dan $x_{1},\ x_{50}$ bilangan asli yang tidak lebih besar dari $10$.
Jangkauan data $\left(R=x_{50} -x_{1} \right)$ yang mungkin adalah saat nilai $\left( x_{50},\ x_{1} \right)$ yaitu $\left(10,\ 4$, $\left( 9,5 \right)$, $\left( 8,6 \right)$, atau $\left( 7,7 \right)$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
9. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap
Dalam suatu kelas terdapat $23$ siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka adalah $7$. Terdapat hanya $2$ orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya $1$ orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang $0,1$ jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots x_{21},\ x_{22},\ x_{23}$
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23} \\
7 &=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23} \\
161 &=x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{21}+ x_{22}+x_{23}
\end{align}$
Rata-rata berkurang $0,1$ jika $x_{22}, x_{23}$ dan $x_{1}$ dikeluarkan;
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{21}}{20} \\
6,9 &=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{21}}{20} \\
138 &=x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{21} \\
161 &=x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{21}+ x_{22}+x_{23} \\
161 &=x_{1} + 138 + x_{22}+x_{23}
\end{align}$
Misalkan nilai terendah adalah $m$ dan tertinggi adalah $n$.
$\begin{align}
161 &= m + 138 + n+n \\
23 &=m + 2n
\end{align}$
Semua nilai berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, nilai $m$ yang mungkin adalah:
- $m=1$ maka $1 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=11$ (TM)
- $m=2$ maka $2 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{21}{2}$ (TM)
- $m=3$ maka $3 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=10$
- $m=4$ maka $4 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{19}{2}$ (TM)
- $m=5$ maka $5 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=9$
- $m=6$ maka $6 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{17}{2}$ (TM)
- $m=7$ maka $7 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=8$ (TM) Sebagai bahan bernalar, coba dipikirkan kenapa nilai $n$ di atas Tidak Memenuhi (TM)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
10. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap
Seorang siswa mengikuti $6$ kali ujian dengan nilai $5$ ujian pertama $6,\ 4,\ 8,\ 5$ dan $7$. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada $10$ dan rata-rata $6$ kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots, x_{5},\ x_{t}$
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{5}+x_{t}}{6} \\
\bar{x} &=\dfrac{4 + 5 + 6 + 7+ 8+x_{t}}{6} \\
\bar{x}&=\dfrac{30+x_{t}}{6}
\end{align}$
Pada data awal $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$ rata-rata adalah $6$ dan median adalah $6$.
Setelah ujian terakhir diikutkan rata-rata data lebih kecil dari median sehingga jika diurutkan, urutan data kemungkinannya adalah sebagai berikut:
- $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ x_{t}$
$\begin{align} \bar{x} & \lt Me \\ \frac{1}{6}(30+x_{t}) & \lt \frac{1}{2}(6+7) \\ 30+x_{t} &\lt 3(13) \\ 30+x_{t} &\lt 39 \\ x_{t} &\lt 9 \end{align}$
Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $8$ - $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ x_{t},\ 8$
$\begin{align} \bar{x} &\lt Me \\ \frac{1}{6}(30+x_{t}) &\lt \frac{1}{2}(6+7) \\ 30+x_{t} &\lt 3(13) \\ 30+x_{t} &\lt 39 \\ x_{t} &\lt 9 \end{align}$
Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $7,\ 8$ - $4,\ 5,\ 6,\ x_{t},\ 7,\ 8,$
$\begin{align} \bar{x} &\lt Me \\ \frac{1}{6}(30+x_{t}) &\lt \frac{1}{2}(6+x_{t}) \\ 30+x_{t} &\lt 3(6+x_{t}) \\ 30+x_{t} &\lt 18+3x_{t} \\ 30-18 &\lt 3x_{t}-x_{t} \\ 12 &\lt 2x_{t} \\ 6 &\lt x_{t} \end{align}$
Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $7$ - $4,\ 5,\ x_{t},\ 6,\ 7,\ 8,$
$\begin{align} \bar{x} &\lt Me \\ \frac{1}{6}(30+x_{t}) &\lt \frac{1}{2}(x_{t}+6) \\ 30+x_{t} &\lt 3(x_{t}+6) \\ 30+x_{t} &\lt 3x_{t}+18 \\ 30-18 &\lt 3x_{t}-x_{t} \\ 12 &\lt 2x_{t} \\ 6 &\lt x_{t} \end{align}$
Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin - $4,\ x_{t},\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
$\begin{align} \bar{x} &\lt Me \\ \frac{1}{6}(30+x_{t}) &\lt \frac{1}{2}(5+6) \\ 30+x_{t} &\lt 3(11) \\ x_{t} &\lt 33-30 \\ x_{t} &\lt 3 \end{align}$
Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin - $x_{t},\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
$\begin{align} \bar{x} &\lt Me \\ \frac{1}{6}(30+x_{t}) &\lt \frac{1}{2}(5+6) \\ 30+x_{t} &\lt 3(11) \\ x_{t} &\lt 33-30 \\ x_{t} &\lt 3 \end{align}$
Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $1,\ 2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$
11. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal Lengkap
Suatu ujian di ikuti dua kelompok dan setiap kelompok terdiri dari $5$ siswa. Nilai rata-rata kelompok I adalah $63$ dan kelompok II adalah $58$. Seorang siswa kelompok I pindah ke kelompok II sehingga nilai rata-rata kelompok I menjadi $65$. Maka nikai rata-rata kelompok II sekarang adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misalkan Kelompok $I$: $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$
$\begin{align}
\bar{x}\ & =\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5} \\
63\ & =\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5} \\
315\ & =a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}
\end{align}$
Misalkan Kelompok $II$: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\begin{align}
\bar{x}\ & =\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}}{5} \\
58\ & =\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}}{5} \\
290\ & =b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}
\end{align}$
Seorang siswa Kelompok $I$ pindah ke Kelompok $II$ sehingga rata-rata Kelompok $I$ menjadi $65$;
$\begin{align}
65\ & =\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4} \\
260\ & =a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} \\
\hline
315\ & =a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} \\
315\ & =260+a_{5} \\
55\ & = a_{5}
\end{align}$
Rata-rata kelompok $II$ yang baru adalah:
$\begin{align}
\bar{x}\ & =\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}+a_{5}}{6} \\
& =\dfrac{290+55}{6} \\
& =\dfrac{345}{6}=57,5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 57,5$
12. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap
Berat rata-rata $10$ siswa adalah $60\ kg$. Salah seorang diantaranya diganti oleh Andi sehingga berat rata-ratanya menjadi $60,5\ kg$. Jika berat Andi $60\ kg$, maka berat siswa yang digantikan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots,\ x_{10}$
$\begin{align}
\bar{x}\ &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10} \\
60\ &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10} \\
600\ &=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}
\end{align}$
Salah seorang digantikan Andi, kita misalkan $x_{1}$
$\begin{align}
60,5\ &=\dfrac{x_{A}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10} \\
605\ &=60+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10} \\
545\ &=x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10} \\
\hline
600\ &=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10} \\
600\ &=x_{1}+545 \\
x_{1}\ &=600-545=55
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 55$
13. Soal SNMPTN 2009 |*Soal Lengkap
Rata-rata sekelompok bilangan adalah $40$. Ada bilangan yang sebenarnya adalah $60$, tetapi terbaca $30$. Setelah dihitung kembali ternyata rata-rata yang benar adalah $41$. Banyak bilangan dalam kelompok itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots ,\ x_{n}$
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n} \\
40 &=\dfrac{30 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n} \\
40n &=30 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n} \\
40n-30 &= x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n} \\
\hline
\bar{x} &=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n} \\
41 &=\dfrac{60 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n} \\
41n &=60 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n} \\
41n &=60 + 40n-30 \\
n &=30
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 30$
14. Soal SNMPTN 2012 |*Soal Lengkap
Jika lima data memiliki rata-rata $12$, median $12$, modus $15$, dan range (jangkauan) $7$, maka data kedua setelah diurutkan adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5}$
$\begin{align}
\text{Rata-rata} &=12 \\
\bar{x} &=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5} \\
12 &=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5} \\
60 &=x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} \\
\hline
\text{Median} &=12 \\
Me=x_{3}&=12 \\
\hline
\text{Range} &=7 \\
x_{5} - x_{1} &=7 \\
x_{5} - 7 &=x_{1} \\
\hline
60 &=x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} \\
60 &=x_{5}-7 + x_{2} + 12 + x_{4} + x_{5} \\
60-5 &=x_{2}+ x_{4} + 2x_{5} \\
55 &=x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}
\end{align}$
Karena $Me=x_{3}=12$ dan $Mo=15$ maka dapat kita simpulkan $x_{4}=x_{5}=15$.
Nilai $x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}=55$
$\begin{align}
x_{2}+ 15 + 30 &=55 \\
x_{2}& =55-45 \\
x_{2} &\lt=10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$
15. Soal SBMPTN 2014 |*Soal Lengkap
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata $20 \%$ data diantaranya adalah $p+0,1$, $40 \%$ lainnya adalah $p-0,1$, $10 \%$ lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata $30 \%$ data sisanya adalah $p+q$, maka $q=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots ,\ x_{30}$
$\begin{align}
\bar{x}_{gab} &=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1} + \bar{x}_{2} \cdot n_{2} + \bar{x}_{3} \cdot n_{3}+ \bar{x}_{4} \cdot n_{4}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}} \\
p &=\dfrac{(p+0,1) \cdot 6 + (p-0,1) \cdot 12 + (p-0,5) \cdot 3+ (p+q) \cdot 9}{6+12+3+9} \\
p &=\dfrac{6p+0,6 + 12p-1,2 + 3p-1,5+ 9p+9q}{30} \\
p &=\dfrac{30p+2,1+9q}{30} \\
30p &=30p+2,1+9q \\
2,1 &=9q \\
q &=\dfrac{2,1}{9}=\dfrac{21}{90}=\dfrac{7}{30}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{7}{30}$
16. Soal SIMAK UI 2013 |*Soal Lengkap
Diketahui sebuah data terdiri dari $n$ bilangan asli yang pertama. Jika salah satu data dihapus, rata-rata data yang tersisa adalah $\dfrac{61}{4}$, maka $n=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk soal pilihan ganda, soal ini bisa cepat ditemukan jawabnya dengan memakai keterangan soal yaitu setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya adalah $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan setelah dihapus $(n-1)$ harus kelipatan $4$ dengan asumsi jika $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali hasilnya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=29$.
Tetapi jika soal disajikan uraian maka cara kerjanya akan berbeda atau yang buat soal lebih cerdik dalam membuat pilihan misalnya pilihan dirubah menjadi: $(A)\ 17\ (B)\ 21\ (C)\ 25\ (D)\ 29\ (E)\ 33$
Untuk $n$ bilangan asli pertama rata-ratanya adalah:
$\begin{align}
\overline{x} &=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n} \\
\overline{x} &=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n} \\
\overline{x} &=\dfrac{n+1}{2} \\
\overline{x} &=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Jika bilangan terkecil dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\begin{align}
\overline{x}_{b1}&=\dfrac{2+3+\cdots+n}{n-1} \\
\overline{x}_{b1}&=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(2)+(n-1-1)1 \right )}{n-1} \\
\overline{x}_{b1}&=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n+2 \right )}{n-1} \\
\overline{x}_{b1}&=\dfrac{n+2}{2} \\
\overline{x}_{b1}&=\dfrac{n}{2}+1 \\
\overline{x}_{b1}&=\overline{x}+\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Jika bilangan terbesar dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\begin{align}
\overline{x}_{b2} &=\dfrac{1+2+3+\cdots+n-1}{n-1} \\
\overline{x}_{b2} &=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(1)+(n-1-1)1 \right )}{n-1} \\
\overline{x}_{b2} &=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n \right )}{n-1} \\
\overline{x}_{b2} &=\dfrac{n}{2} \\
\overline{x}_{b2} &=\overline{x}-\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Dari dua eksplorasi di atas untuk $n$ bilangan asli pertama jika salah satu bilangan dihapus maka rata-rata data yang baru berada pada rentang
$\begin{align}
\overline{x}_{b2} & \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}_{b1} \\
\overline{x}- \dfrac{1}{2} & \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Pada soal disampaikan bahwa rata-rata setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya adalah $\dfrac{61}{4}=15,25$ maka:
- $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
- $15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
$14,75 \leq \overline{x}$ - $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25$
$\overline{x} \leq 15,75$
Dari pertidaksamaan di atas kita peroleh;
$\begin{align}
14,75 \leq & \overline{x} \leq 15,75 \\
14,75 \leq & \dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2} \leq 15,75 \\
14,25 \leq & \dfrac{n}{2} \leq 15,25 \\
28,5 \leq& n \leq 30,5
\end{align}$
$n$ adalah banyak bilangan sehingga nilai $n$ yang memenuhi adalah $29$ atau $30$. Karena setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya adalah $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan $(n-1)$ setelah dihapus harus kelipatan $4$ dengan asumsi jika $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali hasilnya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=29$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 29$
17. Soal SIMAK UI 2013 |*Soal Lengkap
Diketahui sebuah data terdiri dari $n$ bilangan asli yang pertama. Jika salah satu data dihapus, rata-rata data yang tersisa adalah $\dfrac{61}{4}$. Bilangan yang dihapus tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk $n$ bilangan asli pertama rata-ratanya adalah:
$\begin{align}
\overline{x} &=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n} \\
\overline{x} &=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n} \\
\overline{x} &=\dfrac{n+1}{2} \\
\overline{x} &=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Jika bilangan terkecil dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\begin{align}
\overline{x}_{b1} &=\dfrac{2+3+\cdots+n}{n-1} \\
\overline{x}_{b1} &=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(2)+(n-1-1)1 \right )}{n-1} \\
\overline{x}_{b1} &=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n+2 \right )}{n-1} \\
\overline{x}_{b1} &=\dfrac{n+2}{2} \\
\overline{x}_{b1} &=\dfrac{n}{2}+1 \\
\overline{x}_{b1} &=\overline{x}+\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Jika bilangan terbesar dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\begin{align}
\overline{x}_{b2} &=\dfrac{1+2+3+\cdots+n-1}{n-1} \\
\overline{x}_{b2} &=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(1)+(n-1-1)1 \right )}{n-1} \\
\overline{x}_{b2} &=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n \right )}{n-1} \\
\overline{x}_{b2} &=\dfrac{n}{2} \\
\overline{x}_{b2} &=\overline{x}-\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Dari dua eksplorasi di atas untuk $n$ bilangan asli pertama jika salah satu bilangan dihapus maka rata-rata data yang baru berada pada rentang
$\begin{align}
\overline{x}_{b2} \leq & \overline{x}_{b} \leq \overline{x}_{b1} \\
\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq & \overline{x}_{b} \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2} \\
\end{align}$
Pada soal disampaikan bahwa rata-rata setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya adalah $\dfrac{61}{4}=15,25$ maka:
- $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
- $15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
$14,75 \leq \overline{x}$ - $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25$
$\overline{x} \leq 15,75$
Dari pertidaksamaan di atas kita peroleh;
$\begin{align}
14,75 \leq & \overline{x} \leq 15,75 \\
14,75 \leq & \dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2} \leq 15,75 \\
14,25 \leq & \dfrac{n}{2} \leq 15,25 \\
28,5 \leq & n \leq 30,5
\end{align}$
$n$ adalah banyak bilangan sehingga nilai $n$ yang memenuhi adalah $29$ atau $30$. Karena setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya adalah $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan $(n-1)$ setelah dihapus harus kelipatan $4$ dengan asumsi jika $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali hasilnya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=29$.
Untuk $29$ bilangan asli pertama rata-ratanya adalah:
$\begin{align}
\overline{x} &=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n} \\
\overline{x} &=\dfrac{29+1}{2}=15
\end{align}$
Jika sebuah bilangan dihapus maka rata-ratanya adalah:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{(1+2+3+\cdots+29)-x}{n-1} \\
\dfrac{61}{4} &=\dfrac{(1+2+3+\cdots+29)-x}{28} \\
\dfrac{61}{4} \cdot 28 &= 1+2+3+\cdots+29 -x \\
427 &= 1+2+3+\cdots+29 -x \\
427 &= 435 -x \\
x &== 435-427=8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$
18. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap
Data hasil pengukuran tinggi dari sembilan pohon yangsedang dalam pengamatan adalah sebagai berikut:
Nilai data tertinggi - data terendah adalah....
- Semua data beruap bilangan bulat tak nol
- Mean=median=modus=$3$
- Berdasarkan frekuensinya data terdiri dari 3 kelompok
- Jumlah kuadrat semua data adalah $105$
Alternatif Pembahasan:
Jika $9$ tinggi pohon berupa bilangan asli kita misalkan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots,\ x_{9}$, maka
$\begin{align}
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n} &=\bar{x} \\
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{9}}{9} &=3 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{9} &=27
\end{align}$
Karena $median\ =\ modus\ =\ 3$, berdasarkan frekuensi data terbagi menjadi tiga kelompok dan jumlah kuadrat adalah $105$, maka beberapa kemungkinan data adalah sebagai berikut:
- $x_{1}+7 \cdot 3 +x_{9}=27$
$x_{1}+x_{9}=27-21=6$
- $x_{1}=1$ dan $x_{9}=5$ maka Jumlah kuadrat $1^{2}+7 \cdot 3^{2}+5^{2}=89$ (TM)
- $x_{1}=2$ dan $x_{9}=4$ maka jumlah kuadrat $2^{2}+7 \cdot 3^{2}+4^{2}=83$ (TM)
- $x_{1}+x_{2}+6 \cdot 3 +x_{9}=27$
$x_{1}+x_{2}+x_{9}=27-18=9$
- $x_{1}=1,\ x_{2}=2$ dan $x_{9}=6$ maka jumlah kuadrat $1^{2}+2^{2}+6 \cdot 3^{2}+6^{2}=95$ (TM)
- $x_{1}=x_{2}=1$ dan $x_{9}=7$ maka jumlah kuadrat $1^{2}+1^{2}+6 \cdot 3^{2}+7^{2}=105$
Nilai data tertinggi $-$ data terendah $7-1=6$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
19. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Sebelas siswa mengikuti suatu tes dan median nilai tes mereka adalah $91$. Jika sudah diketahui tiga siswa memperoleh nilai $100$, satu siswa memperoleh nilai $96$, tiga siswa memperoleh nilai $90$, serta dua siswa memperoleh nilai $86$, maka nilai dua siswa yang belum diketahui yang paling mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Nilai $11$ siswa kita misalkan sebagai berikut:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ x_{9},\ x_{10},\ x_{11}$
Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$86,\ 86,\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Untuk nilai $90$ tempatnya:
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Untuk letak nilai $96$ ada di dua kemungkinan:
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ 96,\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ x_{7},\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
Nilai yang mungkin pada pilihan adalah $91$ dan $93$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 93\ \text{dan}\ 91$
20. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
Sebelas siswa mengikuti suatu tes. Guru mengumumkan bahwa jangkauan data nilai siswa tersebut adalah $15$. Jika diumumkan tiga siswa memperoleh nilai $100$, satu siswa memperoleh nilai $96$, tiga siswa memperoleh nilai $90$, serta dua siswa memperoleh nilai $86$, maka nilai dua siswa yang belum diketahui yang paling mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Nilai $11$ siswa kita misalkan sebagai berikut:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ x_{9},\ x_{10},\ x_{11}$
Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Jangkaun data adalah $100-x_{1}=15$ maka $x_{1}=85$
$(85),\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Letak nilai $86$ dan $86$:
$(85),\ 86,\ 86,\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
Letak nilai $90,90,90$, dan $96$:
$(85),\ 86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ 96,\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$(85),\ 86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ x_{8},\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
$(85),\ 86,\ 86,\ x_{4},\ 90,\ 90,\ 90,\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
Nilai yang mungkin pada pilihan adalah $85$ dan $99$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 99\ \text{dan}\ 85$
21. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap
Rata-rata tiga bilangan adalah $10$ lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan $8$ kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut adalah $14$, maka...
- jangkauannya adalah $18$
- variansianya adalah $84 $
- jumlahnya adalah $36$
- simpangan rata-ratanya adalah $\dfrac{20}{3}$
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan ketiga bilangan tersebut jika kita urutkan dari yang terkecil adalah $a,14,b$
$ \begin{align}
\overline{x} & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
a+10 & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
3a+30 & = a+14+b \\
2a-b & = -16\ \text{pers.(1)}\\
\overline{x} & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
b-8 & = \dfrac{a+14+b}{3} \\
3b-24 & = a+14+b \\
2b-a & = 38\ \text{pers.(2)}
\end{align} $
Dari persamaan yang kita peroleh di atas;
$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = -16\ & (\cdot 1) \\
2b-a =38\ & (\cdot 2) \\
\hline
2a-b = -16 & \\
4b-2a=76 & (+) \\
\hline
3b = 60 &\\
b = 20 &\\
a = 2(b)-38=2 &
\end{array} $
Ketiga bilangan adalah $2,14,20$ dengan $\overline{x}=12$
Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan
- Untuk point $(1)$ pernyataan jangkauannya adalah $18$ adalah BENAR, karena $J=20-2=18$
- Untuk point $(2)$ pernyataan variansianya adalah $84$ adalah BENAR
Karena $n \lt 30$ varians yang kita pakai adalah varians untuk sampel, dirumuskan$ \begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n-1} \\ & = \dfrac{(12-2)^{2}+(14-12)^{2}+(20-12)^{2}}{3-1} \\ & = \dfrac{100+4+64}{2} \\ & = \dfrac{168}{2}= 84
\end{align} $ - Untuk point $(3)$ pernyataan jumlahnya adalah $36$ adalah BENAR, karena $2+14+20=36$
- Untuk point $(4)$ pernyataan simpangan rata-ratanya adalah $\dfrac{20}{3}$ adalah BENAR
$ \begin{align}
SR & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n} | \overline{x}-x_{i}| }{n} \\ & = \dfrac{|12-2|+|14-12|+|20-12|}{3} \\ & = \dfrac{10+2+8}{3} \\ & = \dfrac{20}{3}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)$ SEMUA pilihan benar.
22. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Dari $5$ buah bilangan, bilangan yang terkecil $40$ dan terbesar $75$. Jika mediannya $50$ dan rata-ratanya $\bar{x}$, maka...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata sebuah data dapat kita tentukan dengan $\bar{x}=\dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3}+ \cdots+ x_{n}}{n}$.
Dari $5$ buah bilangan $x_{min}=40$, $x_{max}=75$, dan $Me=50$
Kemungkinan rata-rata terkecil terjadi saat $40,40,50,50,75$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\
&= \dfrac{40 +40+50 +50+75}{5} \\
&= \dfrac{255}{5}=51
\end{align} $
Kemungkinan rata-rata terbesar terjadi saat $40,50,50,75,75$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\
&= \dfrac{40 +50+50 +75+75}{5} \\
&= \dfrac{290}{5}=58
\end{align} $
Rentang nilai rata-rata $\bar{x}$ adalah $51 \leq \bar{x} \leq 58$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 51 \leq \bar{x} \leq 58$
23. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Nilai rata-rata ulangan kelas $A$ adalah $\bar{x}_{A}$ dan kelas $B$ adalah $\bar{x}_{B}$. Setelah kedua kelas digabung, nilai rata-ratanya adalah $\bar{x}$. Jika $\bar{x}_{A}:\bar{x}_{B}=10:9$ dan $\bar{x}:\bar{x}_{B}=85:81$, maka perbandingan banyaknya siswa di kelas $A$ dan $B$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.
$\begin{align}
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85}{81} \\
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85p}{81p} \\
\bar{x} &= 85p \\
\bar{x}_{B} &= 81p \\
\hline
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \\
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{9p}{9p} \\
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{90p}{81p} \\
\bar{x}_{A} &= 90p \\
\end{align} $
$\begin{align}
\bar{x}_{gab}&=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
\bar{x} &=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
85p &=\dfrac{90p \cdot n_{A}+81p \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\
85p \cdot n_{A}+ 85p \cdot n_{B} &= 90p \cdot n_{A}+81p \cdot n_{B} \\
85p \cdot n_{B}- 81p \cdot n_{B} &= 90p \cdot n_{A} - 85p \cdot n_{A} \\
4p \cdot n_{B} &= 5p \cdot n_{A} \\
\dfrac{4p}{5p} &= \dfrac{n_{A}}{n_{B}} \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4:5$
24. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui data: $7,6,2,p,3,4$. Jika rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya banyaknya nilai $p$ yang mungkin untuk $p$ bilangan asli adalah...
Alternatif Pembahasan:
Data $7,6,2,p,3,4$, maka $\bar{x} = \dfrac{p+2+3+4+6+7}{6}= \dfrac{22+p}{6}$.
Karena rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya, sehingga jika pada semua kemungkinan nilai $p$ data diurutkan dari yang terkecil ke terbesar kemungkinannya adalah:
- $p, 2,3,4,6,7$
$p$ yang mungkin adalah $1$ atau $2$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{23}{6}=3,8...$ atau $\bar{x}= \dfrac{24}{6}=4$ dan $Me=3,5$ - $2, p,3,4,6,7$
$p$ yang mungkin adalah $3$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{25}{6}=4,1..$ dan $Me=3,5$ - $2,3,p,4,6,7$
$p$ yang mungkin adalah $4$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{26}{6}$ dan $Me=3,5$ - $2,3,4,p,6,7$
$p$ yang mungkin adalah $5$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{27}{6}=4,5$ dan $Me=4,5$ - $2,3,4,6,p,7$
$p$ yang mungkin adalah $6$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{28}{6}=4,6..$ dan $Me=4,5$ - $2,3,4,6,7,p$
$p$ yang mungkin adalah $7,8,\cdots$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{29}{6}=4,8..$ atau lebih dari $4,8$ dan $Me=4,5$
Banyak nilai $p$ yang mungkin yang mengakibatkan rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya adalah $1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
25. Soal UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2019 |*Soal Lengkap
Nilai matematika $7$ orang siswa, setelah diurutkan adalah sebagai berikut: $a,b,c,7,d,d,9$. Jika rata-rata semua siswa $7$ dan rata-rata $3$ nilai terendah $\dfrac{17}{3}$, maka rata-rata $3$ nilai terbaik adalah...
Alternatif Pembahasan:
Nilai keseluruhan setelah diurutkan $a,b,c,7,d,d,9$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{a+b+c+7+d+d+9}{7} \\
7 &= \dfrac{a+b+c+d+d+16}{7} \\
49 &= a+b+c+d+d+16 \\
33 &= a+b+c+d+d
\end{align}$
Rata-rata $3$ nilai terendah $\dfrac{17}{3}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{a+b+c}{3} \\
\dfrac{17}{3} &= \dfrac{a+b+c}{3} \\
17 &= a+b+c \\
\hline
33 &= a+b+c+d+d\\
33 &= 17+d+d\\
16 &=2d \\
8 &= d
\end{align}$
Rata-rata $3$ nilai terbaik adalah
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{d+d+9}{3} \\
&= \dfrac{8+8+9}{3} \\
&= \dfrac{25}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{25}{3}$
26. Soal UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui bilangan $a,b,5,3,7,6,6,6,6,6$ dengan rata-rata $5$ dan variansinya $\dfrac{13}{5}$. Nilai $ab=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang statistika data tunggal terkhusus Varians untuk data tunggal. Rumus varians data untuk populasi yaitu
$S^{2} = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n}$ atau $S^{2}=\overline{x^{2}}-(\overline{x})^{2}$
Dari data pada soal diketahui $\overline{x}=5$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{a+b+5+3+7+6 \cdot 5}{10} \\
5 &= \dfrac{a+b+45}{10} \\
50 &= a+b+45 \\
5 &= a+b \\
\end{align}$
Diketahui variansinya $\dfrac{13}{5}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\bar{x}-x_{i})^{2}}{n} \\
\dfrac{13}{5} &= \dfrac{(5-a)^{2}+(5-b)^{2}+(5-5)^{2}+(5-3)^{2}+(5-7)^{2}+5 \cdot (5-6)^{2}}{10} \\
26 &= a^{2}-10a+25+b^{2}-10b+25+0+4+4+5 \\
26 &= a^{2}+b^{2}-10(a+b) +63 \\
26-63 &= (a +b)^{2}-2ab-10(a+b) \\
-37 &= (5)^{2}-2ab-10(5) \\
-37 &= 25-2ab-50 \\
2ab &= -25+37=12 \\
ab &= 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
27. Soal UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2019 |*Soal Lengkap
Diberikan $7$ data, setelah diurutkan, sebagai berikut $a,a+1,a+1,7,b,b,9$. Jika rata-rata data tersebut adalah $7$ dan simpangan rata-ratanya $\dfrac{8}{7}$, maka $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang statistika data tunggal terkhusus simpangan rata-rata untuk data tunggal. Rumus simpangan rata-rata (deviasi rata-rata) yaitu
$ SR=\dfrac{\sum_{i}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{n}$
Dari data pada soal diketahui $\overline{x}=7$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{a+a+1+a+1+7+b+b+9}{7} \\
7 &= \dfrac{3a+2b+18}{7} \\
49 &= 3a+2b+18 \\
31 &= 3a+2b
\end{align}$
Diketahui simpangan rata-ratanya $\dfrac{8}{7}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
SR &=\dfrac{\sum_{i}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{n} \\
\dfrac{8}{7} &=\dfrac{\left | a-7 \right |+2\left | a+1-7 \right |+\left | 7-7 \right |+2\left | b-7 \right |+\left | 9-7 \right | }{7} \\
8 &= 7-a+2(6-a)+0+2(b-7)+2\\
8 &= 7-a+12-2a+2b-14+2\\
1 &= -3a+2b
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+2b = 31 & \\
-3a+2b = 1 & (+) \\
\hline
4b = 32 & \\
b = 8 & \\
a = 5
\end{array} $
Nilai dari $a+b=8+5=13$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 13$
28. Soal UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2019 |*Soal Lengkap
Rata-rata $50$ bilangan dalam bentuk $m$ dan $n$ adalah $x$. Jika rata-rata $m$ adalah $a$ maka rata-rata $n$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Rumus rata-rata gabungan yaitu
$\begin{align}
\overline{x}_{gab} &=\dfrac{\overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n}}{ {n}_{m} + n_{n}} \\
x &=\dfrac{\overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n}}{ 50} \\
50 x &= \overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n} \\
50 x &= a \cdot n_{m}+ \overline{x}_{n} \cdot \left( 50-n_{m} \right) \\
\overline{x}_{n} \cdot \left( 50-n_{m} \right) &= 50 x- a \cdot n_{m} \\
\overline{x}_{n} &= \dfrac{50 x- a \cdot n_{m}}{ 50-n_{m}} \\
\end{align}$
Untuk data $m$ dengan rata-rata $a$ berlaku:
$\begin{align}
\overline{x}_{m} &= \dfrac{m}{n_{m}} \\
a &= \dfrac{m}{n_{m}} \\
n_{m} &= \dfrac{m}{a}
\end{align}$
$\begin{align}
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- a \cdot n_{m}}{ 50-n_{m}} \\
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- a \cdot \dfrac{m}{a}}{ 50-\dfrac{m}{a}} \\
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- m}{ \dfrac{50a-m}{a}} \\
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50a x- am}{ 50a-m }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{50ax-am}{50a-m}$
29. Soal UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2019 |*Soal Lengkap
Sekumpulan bilangan memiliki nilai rata-rata $25$ dengan jangkauan $10$. Jika setiap bilangan tersebut dikurangi dengan $a$, kemudian hasilnya dibagi dengan $b$, akan menghasilkan bilangan baru dengan rata-rata $15$ dan jangkauan $5$. Nilai $2a+5b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk rata-rata data lama $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{n}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
25 &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
25n &=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}
\end{align}$
Untuk rata-rata data baru $\dfrac{x_{1}-a}{b},\ \dfrac{x_{2}-a}{b},\ \cdots \dfrac{x_{n}-a}{b}$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &=\dfrac{\dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b}}{n} \\
15 &=\dfrac{\dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b}}{n} \\
15n &= \dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b} \\
15nb &= x_{1}-a + x_{2}-a + \cdots + x_{n}-a \\
15nb &= x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}- an \\
15nb &= 25n - an \\
15 b &= 25 - a \\
15 b +a &= 25
\end{align}$
Jika data lama rata-ratanya $25$ lalu setiap data dikurang $a$ dan dibagi $b$ maka rata-rata baru adalah $\dfrac{25-a}{b}=15$.
Untuk jangkauan data lama $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{n}$
$\begin{align}
R &= x_{n}-x_{1} \\
10 &= x_{n}-x_{1}
\end{align}$
Untuk jangkauan data baru $\dfrac{x_{1}-a}{b},\ \dfrac{x_{2}-a}{b},\ \cdots \dfrac{x_{n}-a}{b}$
$\begin{align}
R &= \dfrac{x_{n}-a}{b}-\dfrac{x_{1}-a}{b} \\
5 &= \dfrac{x_{n}-x_{1}}{b} \\
5 &= \dfrac{10}{b} \\
5b &= 10 \\
b &= 2
\end{align}$
Jika data lama jangkauannya $10$ lalu setiap data dikurang $a$ dan dibagi $b$ maka jangkauan baru adalah $5 = \dfrac{10}{b}$.
Untuk $b = 2$ kita peroleh
$\begin{align}
15 b +a &= 25 \\
15 (2) + a &= 25 \\
30 + a &= 25 \\
a &= -5 \\
\hline
2a+5b &= 2(-5)+5(2) \\
&= -10+10=0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
30. Soal UNBK SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui data $2,6,7,1,4$. Varians data tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Materi pokok dari soal ini adalah Statistika data tunggal, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Statistika data tunggal.
Rumus varians data untuk sampel yaitu
$S^{2} = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n-1}$
Dari data pada soal dapat kita hitung rata-rata:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{1+2+4+6+7}{5} \\
&= \dfrac{20}{5} \\
&= 4 \\
\end{align}$
Varians data tersebut adalah:
$\begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\bar{x}-x_{i})^{2}}{n-1} \\
&= \dfrac{(4-1)^{2}+(4-2)^{2}+(4-4)^{2}+(4-6)^{2}+(4-7)^{2}}{5-1} \\
&= \dfrac{(3)^{2}+(2)^{2}+(0)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}}{4} \\
&= \dfrac{9+4+0+4+9}{4} \\
&= \dfrac{26}{4} \\
&= 6,5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6,5$
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Statistika Data Tunggal di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan 60 Soal dan Pembahasan Matematika SMA Statistika Data Tunggal di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
