Skip to main content

50+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Statistika Data Tunggal

Matematika Dasar Statistika Data Tunggal (*Soal Dari Berbagai Sumber)
Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Kumpulan Soal Matematika Dasar Statistika Untuk Data Tunggal. Diskusi kita tentang pembahasan soal matematika dasar terkait statistika, kita bagi dalam dua bagian, yaitu soal dan pembahasan matematika dasar statistika data tunggal dan soal dan pembahasan matematika dasar statistik data berkelompok.

Penerapan statistik data tunggal dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya mungkin kita dapat menghitung rata-rata penghasilan masyarakat di sekitar kita yang nantinya dapat dikembangkan untuk mengukur tingkat kesejahteraan masyarakat di lingkungan kita. Penerpan lainnya dapat dilihat dari soal-soal yang kita diskusikan di bawah ini.

Diskusi Kumpulan Soal Matematika Dasar Statistika Untuk Data Tunggal ini berawal dari pertanyaan sederhana dari siswa yang bernama Bernat Yusuf Sihite.

"Pak, aku ada pertanyaan" adalah satu kalimat yang paling ditunggu oleh setiap guru jika masuk kelas pada umumnya. Jika ada guru yang tidak suka pada kalimat tersebut, berarti ada yang salah pada guru tersebut sehingga guru tersebut sudah perlu diberi piknik beberapa minggu untuk 'merefresh' kembali semangat keguruannya.

Kemarin beberapa menit sebelum jam pembelajaran selesai dan akan segera istirahat, salah satu generasi penerus bangsa yang ganteng di kelas saya namanya Bernat Yusuf Sihite mengangkat tangan dan menyodorkan buku grafindo miliknya. Pak, bagaimana menyelesaikan soal ini tanyanya sambil menunjukkan soal nomor 29. Karena soal yang lumayan panjang, Bernat menuliskannya di papan tulis, seperti tertulis berikut ini;

1. Bank Soal MG Bekasi

Skor-skor dalam suatu ujian diolah dengan menggunakan rumus $y=px+q$ dimana $p$ dan $q$ adalah konstanta dan $x$ dan $y$ masing-masing adalah skor mentah dan skor hasil. Jika mean dan simpangan baku skor mentah masing-masing adalah $42$ dan $10$; dan mean dan simpangan baku skor hasil masing-masing adalah $50$ dan $15$ maka nilai $ 2p-q $ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 16 \\ (B)\ & 15 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 13 \\ (E)\ & 12 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Diketahui bahwa skor ujian diolah dengan $y=px+q$, artinya setiap $x$ skor mentah dikalikan dengan $p$ lalu ditambah $q$.


Untuk rata-rata, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{n}$
$\begin{align} \bar{x}_{L} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ 42 &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ 42n &=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} \end{align}$


Data Baru: $px_{1}+q,\ px_{2}+q,\ px_{3}+q,\ \cdots px_{n}+q$
$\begin{align} \bar{x}_{B} &= \dfrac{px_{1}+q+px_{2}+q+px_{3}+q+ \cdots+ px_{n}+q}{n} \\ 50 &= \dfrac{px_{1}+px_{2}+px_{3}+ \cdots+ px_{n}+n \cdot q}{n} \\ 50n &= p \left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{n} \right)+ qn \\ 50n &= p \cdot 42n + qn \\ 50 &= 42p + q \end{align}$


$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah di atas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa rata-rata berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama rata-ratanya $42$ lalu setiap data dikali $p$ dan ditambah $q$ maka rata-rata baru adalah $p \cdot 42 +q=50$.

Untuk simpangan baku, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{n}$
$\begin{align} s\ &=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\ 10\ &=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-42 \right )^{2}} \end{align}$


Data Baru: $px_{1}+q,\ px_{2}+q,\ px_{3}+q,\ \cdots px_{n}+q$
$\begin{align} s\ &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\ 15 &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( px_{i}+q- 50 \right )^{2}} \\ \hline 50 &= 42p + q \rightarrow q = 50-42p \\ \hline 15 &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( px_{i}+50-42p- 50 \right )^{2}} \\ 15 &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( px_{i} -42p \right )^{2}} \\ 15 &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}p^{2}\left ( x_{i} -42 \right )^{2}} \\ 15 &= p \cdot \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left ( x_{i} -42 \right )^{2}} \\ 15 &= p \cdot 10 \rightarrow p= \dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2} \end{align}$


$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah di atas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa simpangan baku berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian/pembagian yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama simpangan bakunya $15$ lalu setiap data dikali $p$ dan ditambah $q$ maka simpangan baku baru adalah $p \cdot 10=15$ atau $p=\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}$.

Dari apa yang kita peroleh di atas $50= 42p + q$ dan $p=\dfrac{3}{2}$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align} 42p + q &= 50 \\ 42 \cdot \dfrac{3}{2} + q &= 50 \\ 63 + q &= 50 \\ q &= -13 \\ \hline 2p-q &= 2 \cdot \dfrac{3}{2} - (-13) \\\ &= 3 + 13 =16 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 16$

Soal statistika seperti yang kita diskusikan di atas adalah salah satu model soal yang sering diujikan pada Ujian Nasional atau ujian masuk perguruan tinggi negeri yang saat ini istilahnya adalah SBMPTN.

Untuk menambah perbendaharaan kita tentang soal-soal statistika yang sudah pernah ditanyakan pada Ujian Nasional atau Ujian Masuk PTN, mari kita diskusikan beberapa soal berikut;

2. Soal SIMAK UI 2011 Kode 211 |*Soal Lengkap

Jika rata-rata $20$ bilangan bulat nonnegative berbeda adalah $20$, maka bilangan terbesar yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 210 \\ (B)\ & 229 \\ (C)\ & 230 \\ (D)\ & 239 \\ (E)\ & 240
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika $20$ bilangan bulat nonnegative kita misalkan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots,\ x_{20}$, maka
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}=\bar{x}$
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}}{20}=20$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{20}=400$
Agar kita peroleh $x_{20}$ bilangan yang terbesar yang mungkin maka kita harus beranggapan bahwa $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots x_{19}$ adalah bilang bulat nonnegative berbeda yang terkecil yaitu $1,\ 2,\ 3,\ \cdots 19$, sehingga:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{19}+x_{20}=400$
$1+2+3+\cdots +19+x_{20}=400$
$190+x_{20}=400$
$x_{20}=400-190$
$x_{20}=210$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 210$

3. Soal SIMAK UI 2011 Kode 212 |*Soal Lengkap

Sebuah keluarga mempunyai $5$ orang anak. Anak tertua berumur $2$ kali dari umur anak termuda, sedangkan $3$ anak yang lainnya masing-masing berumur kurang $3$ tahun dari anak tertua, lebih $4$ tahun dari anak termuda, dan kurang $5$ tahun dari anak tertua. Jika rata-rata umur mereka adalah $16$ tahun, maka kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 6,25 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 12,25 \\ (E)\ & 20,25 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kelima orang anak diurutkan dari anak pertama sampai anak kelima kita misalkan $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$, maka umur mereka dapat kita tuliskan dalam beberapa persamaan betnuk:

  • $a_{1}=2a_{5}$,
  • $a_{2}=a_{1}-3$,
  • $a_{3}=a_{5}+4$,
  • $a_{4}=a_{1}-5$, dan
  • $a_{5}$

Rata-rata umur kelima anak adalah $16$ tahun sehingga berlaku:
$\begin{align} \dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5} &= \bar{x} \\ \dfrac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}}{5} &= 16 \\ a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} &= 80 \\ a_{1} + a_{1}-3 + a_{5}+4 + a_{1}-5 + a_{5} &=80 \\ 3a_{1} +2a_{5}-4 &= 80 \\ 3a_{1} +2a_{5} &= 84 \\ 3a_{1} +a_{1} &= 84 \\ 4a_{1} &=84 \\ a_{1} &= 21 \end{align}$

Dengan $a_{1}=21$, kita peroleh $a_{2}=18$, $a_{3}=16$, $a_{4}=14,5$, dan $a_{5}=10,5$.

Kuadrat dari selisih umur anak kedua dan anak ketiga:
$\begin{align} \left (a_{2} - a_{3} \right )^{2} &= \left ( 18- 16 \right) ^{2} \\ &= 2^{2}= 4 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$

4. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 |*Soal Lengkap

Pada suatu ujian yang diikuti oleh $50$ orang mahasiswa diperoleh nilai rata-rata ujian adalah $30$ dengan median $40$, simpangan baku $15$, dan simpangan kuartil $25$. Untuk memperbaiki nilai rata-rata, semua nilai dikalikan $2$ kemudian dikurangi $10$. Akibat yang terjadi adalah...

$\begin{align} (1)\ & \text{Meannya menjadi}\ 50 \\ (2)\ & \text{Simpangan bakunya menjadi}\ 30 \\ (3)\ & \text{Mediannya menjadi}\ 70 \\ (4)\ & \text{Simpangan kuartilnya menjadi}\ 50 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk rata-rata, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{50}$
$\begin{align} \bar{x}_{L} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50} \\ 30&=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50}}{50} \\ 1500&=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{50} \end{align}$


Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots 2x_{50}-10$
$\begin{align} \bar{x}_{B} &= \dfrac{2x_{1}-10+2x_{2}-10+2x_{3}-10+ \cdots+ 2x_{50}-10}{50} \\ &= \dfrac{2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+ \cdots+ 2x_{50}-50 \cdot 10}{50} \\ &= \dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})-50 \cdot 10}{50} \\ &= \dfrac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50})}{50}- \dfrac{50 \cdot 10}{50} \\ &= 2\left (\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots+ x_{50}}{50} \right )- 10 \\ &= 2\left ( 30 \right )- 10 \\ &= 50 \end{align}$


$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah di atas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa rata-rata berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama rata-ratanya $30$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka rata-rata baru adalah $2 \cdot 30 -10=50$.

Untuk median, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{50}$
$\begin{align} Me&=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26}) \\ 40&=\dfrac{1}{2}(x_{25}+x_{26}) \\ 80&=x_{25}+x_{26} \end{align}$


Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots 2x_{50}-10$
$\begin{align} Me_{B} &=\dfrac{1}{2}(2x_{25}-10+2x_{26}-10) \\ &=\dfrac{1}{2}(2x_{25}+2x_{26}-20) \\ &=x_{25}+x_{26}-10 \\ &=80-10=70 \end{align}$


$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah di atas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa median berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama mediannya $40$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka median baru adalah $2 \cdot 40-10=70$.

Untuk simpangan baku, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{50}$
$\begin{align} s&=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\ 15&=\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( x_{i}- \bar{x} \right )^{2}} \end{align}$


Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots 2x_{50}-10$
$\begin{align} s &= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-(2\bar{x}-10) \right )^{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i}-10-2\bar{x}+10 \right )^{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\left ( 2x_{i} -2\bar{x} \right )^{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}(2^{2})\left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}} \\ &= 2\sqrt{\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50} \left ( x_{i} -\bar{x} \right )^{2}} \\ &= 2(15)=30 \end{align}$


$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah di atas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa simpangan baku berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian/pembagian yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama simpangan bakunya $15$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan baku baru adalah $2 \cdot 15=30$.

Untuk simpangan quartil, data Lama: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{50}$
$\begin{align} Q_{d}&=\dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1}) \\ 25&=\dfrac{1}{2}(x_{38}-x_{13}) \\ 50&=x_{38}-x_{13} \end{align}$


Data Baru: $2x_{1}-10,\ 2x_{2}-10,\ 2x_{3}-10,\ \cdots 2x_{50}-10$
$\begin{align} Q_{d_{B}} &= \dfrac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1}) \\ &=\dfrac{1}{2}\left ( \left (2x_{38}-10 \right )-\left (2x_{13}-10 \right ) \right ) \\ &=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}-10 - 2x_{13}+15 \right ) \\ &=\dfrac{1}{2}\left ( 2x_{38}- 2x_{13} \right ) \\ &= x_{38}- x_{13} \\ &= 50 \end{align}$


Jika sudah paham langkah-langkah di atas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa simpangan quartil berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian/pembagian yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama simpangan quartilnya $25$ lalu setiap data dikali $2$ dan dikurang $10$ maka simpangan quartil baru adalah $2 \cdot 25=50$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1)(2)(3)(4)$

5. Soal SBMPTN 2017 |*Soal Lengkap

Diketahui median dan rata-rata berat badan $5$ balita adalah sama. Setelah ditambah satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat $1\ kg$, sedangkan mediannya tetap. Jika $6$ data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & \dfrac{9}{2} \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & \dfrac{13}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan
Data Lama: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\begin{align}
\bar{x}_{L} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5} \\ b_{3} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}}{5} \\ 5b_{3} &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5} \\ 4b_{3} &= b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5} \\
\end{align}$

Data Baru: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5},\ b_{b}$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6} \\ b_{3}+1 &= \dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b}}{6} \\ 6(b_{3}+1) &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\ 6b_{3}+6 &= b_{1}+b_{2}+b_{3}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\ 5b_{3}+6 &= b_{1}+b_{2}+ b_{4} + b_{5}+b_{b} \\ 5b_{3}+6 &= 4b_{3}+b_{b} \\ b_{3}+6 &= b_{b}
\end{align}$

Karena masuknya data baru mengakibatkan rata-rata naik $1\ kg$ maka nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$, kemungkinan-kemungkinan urutan data adalah:

  • $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{b},\ b_{4},\ b_{5}$
    Nilai $b_{b}$ lebih dari $b_{3}$ sehingga pada kemungkinan ini median akan naik, sedangkan dikatakan median tetap $b_{3}$ maka pada posisi ini tidak memenuhi.
  • $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{b},\ b_{5}$
    pada kemungkinan ini karena median tetap sehingga $b_{3}=b_{4}$,
    selisih $b_{b}-b_{4}$ adalah $b_{3}+6-b_{3}=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6$

6. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap

Nilai ujian Matematika $30$ siswa pada suatu kelas berupa bilangan cacah tidak lebih daripada $10$. Rata-rata nilai mereka adalah $8$ dan hanya terdapat $5$ siswa yang memperoleh nilai $7$. Jika $p$ menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari $7$, maka nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 11
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{30}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{30}}{30} \\ 8 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{30}}{30} \\ 240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{30} \\ 240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{25}+\ 5 \cdot 7 \\ 240 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{25}+ 35 \\ 205 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{25}
\end{align}$
Agar nilai $p$ terbesar maka kita harap nilai $p$ semuanya adalah $6$ dan nilai yang lebih dari $7$ adalah $10$.

Jumlah $25$ nilai yang tidak $7$ adalah $205$ dan nilainya diharapkan paling banyak adalah $6$ lalu $10$.
Jika semua nilai $6$ maka jumlahnya adalah $6 \cdot 25 =150$, agar tercapai $205$ dibutuhkan ada nilai $10$.
Nilai $10$ yang diharapkan yaitu sebanyak $13$.
Alternatif cara memperoleh: $\dfrac{55}{4}=13\ \text{sisa}\ 3$ artinya dibutuhkan nilai $10$ sebanyak $13$ dan nilai $9$ sebanyak $1$.

Nilai $6$ yang paling banyak adalah $30-5-13-1=11$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 11$

7. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap

Jangkauan dan rata-rata nilai ujian $6$ siswa adalah $6$. Jika median data tersebut adalah $6$ dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 adalah $4$, maka jumlah dua nilai ujian tertinggi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 13 \\ (B)\ & 14 \\ (C)\ & 15 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 17
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{6}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{6}}{6} \\ 6 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{6}}{6} \\ 36 &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{6} \\ \hline
\text{Median} &= 6 \\ Me &= \dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4}) \\ 6 &= \dfrac{1}{2}(x_{3}+x_{4}) \\ 12 &= x_{3}+x_{4} \\ \hline
\text{Jangkauan}&= 6 \\ x_{6}-x_{1} &=6 \\ x_{1}&= x_{6}-6 \\ \hline
\text{Selisih Quartil}&= 4 \\ Q_{3}-Q_{1}&= 4 \\ x_{5}-x_{2} &= 4 \\ x_{2} &= x_{5}-4
\end{align}$
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}+ x_{5} + x_{6} &= 36 \\ (x_{6}-6) + (x_{5}-4) + (12)+ x_{5} + x_{6} &= 36 \\ 2x_{5}+2x_{6}+2 &= 36 \\ 2x_{5}+2x_{6} &= 34 \\ x_{5}+x_{6} &= 17 \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 17$

8. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap

Rata-rata nilai ujian Matematika siswa di suatu kelas dengan $50$ siswa tetap sama meskipun nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jumlah nilai-nilai tersebut adalah $350$. Jika data nilai-nilai ujian Matematika tersebut merupakan bilangan asli yang tidak lebih besar dari $10$, maka jangkauan data nilai yang mungkin ada sebanyak...

$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{50}$
$\begin{align} \bar{x} & =\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{49}+x_{n}}{n} \\ & =\dfrac{350}{50} \\ & = 7 \end{align}$


Rata-rata tetap jika $x_{1}$ dan $x_{50}$ dikeluarkan;
$\begin{align} \bar{x} & =\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{49}}{48} \\ 7 & =\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{49}}{48} \\ 336 &= x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{49} \\ \hline 350 &= x_{1}+x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{49}+x_{50} \\ 350 &= x_{1}+336+x_{50} \\ 14 &= x_{1} +x_{50} \end{align}$


Dengan $x_{1} +x_{50}=14$ dan $x_{1},\ x_{50}$ bilangan asli yang tidak lebih besar dari $10$.

Jangkauan data ($R=x_{50} -x_{1}$) yang mungkin adalah saat nilai $x_{50},\ x_{1}$ yaitu $10,\ 4$; $9,\ 5$; $8,\ 6$; $7,\ 7$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$

9. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap

Dalam suatu kelas terdapat $23$ siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka adalah $7$. Terdapat hanya $2$ orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya $1$ orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang $0,1$ jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots x_{21},\ x_{22},\ x_{23}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23}$
$7=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{21}+ x_{22}+x_{23}}{23}$
$161=x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{21}+ x_{22}+x_{23}$

Rata-rata berkurang $0,1$ jika $x_{22}, x_{23}$ dan $x_{1}$ dikeluarkan;
$\bar{x}=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{21}}{20}$
$6,9=\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{21}}{20}$
$138=x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{21}$

$161=x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{21}+ x_{22}+x_{23}$
$161=x_{1} + 138 + x_{22}+x_{23}$
Misalkan nilai terendah adalah $m$ dan tertinggi adalah $n$.
$161=m + 138 + n+n$
$23=m + 2n$

Semua nilai berupa bilangan cacah tidak lebih dari pada $10$, nilai $m$ yang mungkin adalah:

  • $m=1$ maka $1 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=11$ (TM)
  • $m=2$ maka $2 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{21}{2}$ (TM)
  • $m=3$ maka $3 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=10$
  • $m=4$ maka $4 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{19}{2}$ (TM)
  • $m=5$ maka $5 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=9$
  • $m=6$ maka $6 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=\frac{17}{2}$ (TM)
  • $m=7$ maka $7 + 2n=23$ $\rightarrow\ n=8$ (TM)
  • Sebagai bahan bernalar, coba dipikirkan kenapa nilai $n$ di atas Tidak Memenuhi (TM)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

10. Soal SBMPTN 2016 |*Soal Lengkap

Seorang siswa mengikuti $6$ kali ujian dengan nilai $5$ ujian pertama $6,\ 4,\ 8,\ 5$ dan $7$. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada $10$ dan rata-rata $6$ kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan Data: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots, x_{5},\ x_{t}$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{5}+x_{t}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{4 + 5 + 6 + 7+ 8+x_{t}}{6}$
$\bar{x}=\dfrac{30+x_{t}}{6}$

Pada data awal $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$ rata-rata adalah $6$ dan median adalah $6$.
Setelah ujian terakhir diikutkan rata-rata data lebih kecil dari median sehingga jika diurutkan, urutan data kemungkinannya adalah sebagai berikut:

  • $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ x_{t}$
    $\bar{x} \lt Me$
    $\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+7) $
    $30+x_{t} \lt 3(13) $
    $30+x_{t} \lt 39 $
    $x_{t} \lt 9 $
    Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $8$
  • $4,\ 5,\ 6,\ 7,\ x_{t},\ 8$
    $\bar{x} \lt Me$
    $\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+7) $
    $30+x_{t} \lt 3(13) $
    $30+x_{t} \lt 39 $
    $x_{t} \lt 9 $
    Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $7,\ 8$
  • $4,\ 5,\ 6,\ x_{t},\ 7,\ 8,$
    $\bar{x} \lt Me$
    $\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(6+x_{t}) $
    $30+x_{t} \lt 3(6+x_{t}) $
    $30+x_{t} \lt 18+3x_{t} $
    $30-18 \lt 3x_{t}-x_{t} $
    $12 \lt 2x_{t} $
    $6 \lt x_{t} $
    Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $7$
  • $4,\ 5,\ x_{t},\ 6,\ 7,\ 8,$
    $\bar{x} \lt Me$
    $\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(x_{t}+6) $
    $30+x_{t} \lt 3(x_{t}+6) $
    $30+x_{t} \lt 3x_{t}+18 $
    $30-18 \lt 3x_{t}-x_{t} $
    $12 \lt 2x_{t} $
    $6 \lt x_{t} $
    Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin
  • $4,\ x_{t},\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
    $\bar{x} \lt Me$
    $\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(5+6) $
    $30+x_{t} \lt 3(11) $
    $x_{t} \lt 33-30 $
    $x_{t} \lt 3 $
    Nilai $x_{t}$ tidak ada yang mungkin
  • $x_{t},\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,$
    $\bar{x} \lt Me$
    $\frac{1}{6}(30+x_{t}) \lt \frac{1}{2}(5+6) $
    $30+x_{t} \lt 3(11) $
    $x_{t} \lt 33-30 $
    $x_{t} \lt 3 $
    Nilai $x_{t}$ yang mungkin adalah $1,\ 2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

11. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal Lengkap

Suatu ujian di ikuti dua kelompok dan setiap kelompok terdiri dari $5$ siswa. Nilai rata-rata kelompok I adalah $63$ dan kelompok II adalah $58$. Seorang siswa kelompok I pindah ke kelompok II sehingga nilai rata-rata kelompok I menjadi $65$. Maka nikai rata-rata kelompok II sekarang adalah...

$\begin{align} (A)\ & 55,5 \\ (B)\ & 56 \\ (C)\ & 57,5 \\ (D)\ & 58 \\ (E)\ & 58,5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan Kelompok $I$: $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4},\ a_{5}$
$\begin{align} \bar{x}\ & =\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5} \\ 63\ & =\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{5} \\ 315\ & =a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} \end{align}$


Misalkan Kelompok $II$: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5}$
$\begin{align} \bar{x}\ & =\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}}{5} \\ 58\ & =\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}}{5} \\ 290\ & =b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5} \end{align}$


Seorang siswa Kelompok $I$ pindah ke Kelompok $II$ sehingga rata-rata Kelompok $I$ menjadi $65$;
$\begin{align} 65\ & =\dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4} \\ 260\ & =a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} \\ \hline 315\ & =a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} \\ 315\ & =260+a_{5} \\ 55\ & = a_{5} \end{align}$

Rata-rata kelompok $II$ yang baru adalah:
$\begin{align} \bar{x}\ & =\dfrac{b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}+a_{5}}{6} \\ & =\dfrac{290+55}{6} \\ & =\dfrac{345}{6}=57,5 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 57,5$

12. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap

Berat rata-rata $10$ siswa adalah $60\ kg$. Salah seorang diantaranya diganti oleh Andi sehingga berat rata-ratanya menjadi $60,5\ kg$. Jika berat Andi $60\ kg$, maka berat siswa yang digantikan adalah...

$\begin{align} (A)\ & 53 \\ (B)\ & 54 \\ (C)\ & 55 \\ (D)\ & 56 \\ (E)\ & 57 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots,\ x_{10}$
$\begin{align} \bar{x}\ &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10} \\ 60\ &= \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10} \\ 600\ &=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10} \end{align}$


Salah seorang digantikan Andi, kita misalkan $x_{1}$
$\begin{align} 60,5\ &=\dfrac{x_{A}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10}}{10} \\ 605\ &=60+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10} \\ 545\ &=x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10} \\ \hline 600\ &=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{10} \\ 600\ &=x_{1}+545 \\ x_{1}\ &=600-545=55 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 55$

13. Soal SNMPTN 2009 |*Soal Lengkap

Rata-rata sekelompok bilangan adalah $40$. Ada bilangan yang sebenarnya adalah $60$, tetapi terbaca $30$. Setelah dihitung kembali ternyata rata-rata yang benar adalah $41$. Banyak bilangan dalam kelompok itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 20 \\ (B)\ & 25 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 42 \\ (E)\ & 45
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots ,\ x_{n}$

$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$40=\dfrac{30 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$40n=30 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$40n-30 = x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$

$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$41=\dfrac{60 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n}$
$41n=60 + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}$
$41n=60 + 40n-30$
$n=30$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 30$

14. Soal SNMPTN 2012 |*Soal Lengkap

Jika lima data memiliki rata-rata $12$, median $12$, modus $15$, dan range (jangkauan) $7$, maka data kedua setelah diurutkan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 11 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 13
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5}$

$\text{Rata-rata}=12$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5}$
$12=\dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}}{5}$
$60=x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}$

$\text{Median}=12$
$Me=x_{3}=12$

$\text{Range}=7$
$x_{5} - x_{1}=7$
$x_{5} - 7=x_{1}$

$60=x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}$
$60=x_{5}-7 + x_{2} + 12 + x_{4} + x_{5}$
$60-5=x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}$
$55=x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}$
Karena $Me=x_{3}=12$ dan $Mo=15$ maka dapat kita simpulkan $x_{4}=x_{5}=15$.

Nilai $x_{2}+ x_{4} + 2x_{5}=55$
$x_{2}+ 15 + 30=55$
$x_{2}=55-45$
$x_{2}=10$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

15. Soal SBMPTN 2014 |*Soal Lengkap

Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata $20 \%$ data diantaranya adalah $p+0,1$, $40 \%$ lainnya adalah $p-0,1$, $10 \%$ lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata $30 \%$ data sisanya adalah $p+q$, maka $q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \frac{1}{5} \\ (B)\ & \frac{4}{15} \\ (C)\ & \frac{1}{3} \\ (D)\ & \frac{7}{30} \\ (E)\ & \frac{3}{10}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan data: $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots ,\ x_{30}$

$\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1} + \bar{x}_{2} \cdot n_{2} + \bar{x}_{3} \cdot n_{3}+ \bar{x}_{4} \cdot n_{4}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}}$
$p=\dfrac{(p+0,1) \cdot 6 + (p-0,1) \cdot 12 + (p-0,5) \cdot 3+ (p+q) \cdot 9}{6+12+3+9}$
$p=\dfrac{6p+0,6 + 12p-1,2 + 3p-1,5+ 9p+9q}{30}$
$p=\dfrac{30p+2,1+9q}{30}$
$30p=30p+2,1+9q$
$2,1=9q$
$q=\frac{2,1}{9}=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{7}{30}$

16. Soal SIMAK UI 2013 |*Soal Lengkap

Diketahui sebuah data terdiri dari $n$ bilangan asli yang pertama. Jika salah satu data dihapus, rata-rata data yang tersisa adalah $\dfrac{61}{4}$, maka $n=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\ (B)\ & 27 \\ (C)\ & 28 \\ (D)\ & 29 \\ (E)\ & 30
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk soal pilihan ganda, soal ini bisa cepat ditemukan jawabnya dengan memakai keterangan soal yaitu setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya adalah $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan setelah dihapus $(n-1)$ harus kelipatan $4$ dengan asumsi jika $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali hasilnya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=29$.

Tetapi jika soal disajikan uraian maka cara kerjanya akan berbeda atau yang buat soal lebih cerdik dalam membuat pilihan misalnya pilihan dirubah menjadi: $(A)\ 17\ (B)\ 21\ (C)\ 25\ (D)\ 29\ (E)\ 33$

Untuk $n$ bilangan asli pertama rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{n+1}{2}$
$\overline{x}=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}$

Jika bilangan terkecil dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{2+3+\cdots+n}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(2)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n+2 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n+2}{2}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n}{2}+1$
$\overline{x}_{b1}=\overline{x}+\dfrac{1}{2}$

Jika bilangan terbesar dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n-1}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(1)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{n}{2}$
$\overline{x}_{b2}=\overline{x}-\dfrac{1}{2}$

Dari dua eksplorasi di atas untuk $n$ bilangan asli pertama jika salah satu bilangan dihapus maka rata-rata data yang baru berada pada rentang
$\overline{x}_{b2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}_{b1}$.
$\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$.

Pada soal disampaikan bahwa rata-rata setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya adalah $\dfrac{61}{4}=15,25$ maka:

  • $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
  • $15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
    $14,75 \leq \overline{x}$
  • $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25$
    $\overline{x} \leq 15,75$

Dari pertidaksamaan di atas kita peroleh;
$14,75 \leq \overline{x} \leq 15,75$
$14,75 \leq \dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2} \leq 15,75$
$14,25 \leq \dfrac{n}{2} \leq 15,25$
$28,5 \leq n \leq 30,5$

$n$ adalah banyak bilangan sehingga nilai $n$ yang memenuhi adalah $29$ atau $30$. Karena setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya adalah $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan $(n-1)$ setelah dihapus harus kelipatan $4$ dengan asumsi jika $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali hasilnya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=29$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 29$

17. Soal SIMAK UI 2013 |*Soal Lengkap

Diketahui sebuah data terdiri dari $n$ bilangan asli yang pertama. Jika salah satu data dihapus, rata-rata data yang tersisa adalah $\dfrac{61}{4}$. Bilangan yang dihapus tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 11 \\ (E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk $n$ bilangan asli pertama rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{n+1}{2}$
$\overline{x}=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}$

Jika bilangan terkecil dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{2+3+\cdots+n}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(2)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n+2 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n+2}{2}$
$\overline{x}_{b1}=\dfrac{n}{2}+1$
$\overline{x}_{b1}=\overline{x}+\dfrac{1}{2}$

Jika bilangan terbesar dikurangi maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n-1}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (2(1)+(n-1-1)1 \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{\dfrac{(n-1)}{2}\left (n \right )}{n-1}$
$\overline{x}_{b2}=\dfrac{n}{2}$
$\overline{x}_{b2}=\overline{x}-\dfrac{1}{2}$

Dari dua eksplorasi di atas untuk $n$ bilangan asli pertama jika salah satu bilangan dihapus maka rata-rata data yang baru berada pada rentang
$\overline{x}_{b2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}_{b1}$.
$\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq \overline{x}_{b} \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$.

Pada soal disampaikan bahwa rata-rata setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya adalah $\dfrac{61}{4}=15,25$ maka:

  • $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
  • $15,25 \leq \overline{x}+\dfrac{1}{2}$
    $14,75 \leq \overline{x}$
  • $\overline{x}- \dfrac{1}{2} \leq 15,25$
    $\overline{x} \leq 15,75$

Dari pertidaksamaan di atas kita peroleh;
$14,75 \leq \overline{x} \leq 15,75$
$14,75 \leq \dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2} \leq 15,75$
$14,25 \leq \dfrac{n}{2} \leq 15,25$
$28,5 \leq n \leq 30,5$

$n$ adalah banyak bilangan sehingga nilai $n$ yang memenuhi adalah $29$ atau $30$. Karena setelah sebuah bilangan dihapus rata-ratanya adalah $\dfrac{61}{4}=15,25$ sehingga banyak bilangan $(n-1)$ setelah dihapus harus kelipatan $4$ dengan asumsi jika $\dfrac{61}{4}$ dijumlahkan sebanyak $(n-1)$ kali hasilnya harus bilangan asli, maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=29$.

Untuk $29$ bilangan asli pertama rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}$
$\overline{x}=\dfrac{29+1}{2}=15$

Jika sebuah bilangan dihapus maka rata-ratanya adalah:
$\overline{x}=\dfrac{(1+2+3+\cdots+29)-x}{n-1}$
$\dfrac{61}{4}=\dfrac{(1+2+3+\cdots+29)-x}{28}$
$\dfrac{61}{4} \cdot 28= 1+2+3+\cdots+29 -x$
$427= 1+2+3+\cdots+29 -x$
$427= 435 -x$
$x= 435-427=8 $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

18. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal Lengkap

Data hasil pengukuran tinggi dari sembilan pohon yangsedang dalam pengamatan adalah sebagai berikut:
  • Semua data beruap bilangan bulat tak nol
  • Mean=median=modus=$3$
  • Berdasarkan frekuensinya data terdiri dari 3 kelompok
  • Jumlah kuadrat semua data adalah $105$
Nilai data tertinggi - data terendah adalah....

$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika $9$ tinggi pohon berupa bilangan asli kita misalkan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}, \cdots,\ x_{9}$, maka
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}=\bar{x}$
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{9}}{9}=3$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{9}=27$

Karena $median\ =\ modus\ =\ 3$, berdasarkan frekuensi data terbagi menjadi tiga kelompok dan jumlah kuadrat adalah $105$, maka beberapa kemungkinan data adalah sebagai berikut;

  • $x_{1}+7 \cdot 3 +x_{9}=27$
    $x_{1}+x_{9}=27-21=6$
    • $x_{1}=1$ dan $x_{9}=5$ maka Jumlah kuadrat $1^{2}+7 \cdot 3^{2}+5^{2}=89$ (TM)
    • $x_{1}=2$ dan $x_{9}=4$ maka jumlah kuadrat $2^{2}+7 \cdot 3^{2}+4^{2}=83$ (TM)
  • $x_{1}+x_{2}+6 \cdot 3 +x_{9}=27$
    $x_{1}+x_{2}+x_{9}=27-18=9$
    • $x_{1}=1,\ x_{2}=2$ dan $x_{9}=6$ maka jumlah kuadrat $1^{2}+2^{2}+6 \cdot 3^{2}+6^{2}=95$ (TM)
    • $x_{1}=x_{2}=1$ dan $x_{9}=7$ maka jumlah kuadrat $1^{2}+1^{2}+6 \cdot 3^{2}+7^{2}=105$
Nilai data tertinggi $-$ data terendah $7-1=6$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$

19. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap

Sebelas siswa mengikuti suatu tes dan median nilai tes mereka adalah $91$. Jika sudah diketahui tiga siswa memperoleh nilai $100$, satu siswa memperoleh nilai $96$, tiga siswa memperoleh nilai $90$, serta dua siswa memperoleh nilai $86$, maka nilai dua siswa yang belum diketahui yang paling mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 100\ \text{dan}\ 100 \\ (B)\ & 100\ \text{dan}\ 90 \\ (C)\ & 95\ \text{dan}\ 90 \\ (D)\ & 93\ \text{dan}\ 91 \\ (E)\ & 91\ \text{dan}\ 86
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Nilai $11$ siswa kita misalkan sebagai berikut:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ x_{9},\ x_{10},\ x_{11}$
Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$86,\ 86,\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$

Untuk nilai $90$ tempatnya:
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$

Untuk letak nilai $96$ ada di dua kemungkinan:
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ 96,\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ (91),\ x_{7},\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
Nilai yang mungkin pada pilihan adalah $91$ dan $93$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 93\ \text{dan}\ 91$

20. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap

Sebelas siswa mengikuti suatu tes. Guru mengumumkan bahwa jangkauan data nilai siswa tersebut adalah $15$. Jika diumumkan tiga siswa memperoleh nilai $100$, satu siswa memperoleh nilai $96$, tiga siswa memperoleh nilai $90$, serta dua siswa memperoleh nilai $86$, maka nilai dua siswa yang belum diketahui yang paling mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 99\ \text{dan}\ 85 \\ (B)\ & 99\ \text{dan}\ 88 \\ (C)\ & 95\ \text{dan}\ 91 \\ (D)\ & 89\ \text{dan}\ 87 \\ (E)\ & 85\ \text{dan}\ 84
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Nilai $11$ siswa kita misalkan sebagai berikut:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ x_{9},\ x_{10},\ x_{11}$
Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi:
$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$

Jangkaun data adalah $100-x_{1}=15$ maka $x_{1}=85$
$(85),\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$

Letak nilai $86$ dan $86$:
$(85),\ 86,\ 86,\ x_{4},\ x_{5},\ x_{6},\ x_{7},\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$

Letak nilai $90,90,90$, dan $96$:
$(85),\ 86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ 96,\ x_{8},\ 100,\ 100,\ 100$
$(85),\ 86,\ 86,\ 90,\ 90,\ 90,\ x_{8},\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$
$(85),\ 86,\ 86,\ x_{4},\ 90,\ 90,\ 90,\ 96,\ 100,\ 100,\ 100$

Nilai yang mungkin pada pilihan adalah $85$ dan $99$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 99\ \text{dan}\ 85$

21. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap

Rata-rata tiga bilangan adalah $10$ lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan $8$ kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut adalah $14$, maka...
$(1)\ $ jangkauannya adalah $18$
$(2)\ $ variansianya adalah $84$
$(3)\ $ jumlahnya adalah $36$
$(4)\ $ simpangan rata-ratanya adalah $\dfrac{20}{3}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Kita misalkan ketiga bilangan tersebut jika kita urutkan dari yang terkecil adalah $a,14,b$
$ \begin{align}
\overline{x} & = \dfrac{a+14+b}{3} \\ a+10 & = \dfrac{a+14+b}{3} \\ 3a+30 & = a+14+b \\ 2a-b & = -16\ \text{pers.(1)}\\ \overline{x} & = \dfrac{a+14+b}{3} \\ b-8 & = \dfrac{a+14+b}{3} \\ 3b-24 & = a+14+b \\ 2b-a & = 38\ \text{pers.(2)}
\end{align} $

Dari persamaan yang kita peroleh di atas;
$\begin{array}{c|c|cc}
2a-b = -16\ & (\cdot 1) \\ 2b-a =38\ & (\cdot 2) \\ \hline
2a-b = -16 & \\ 4b-2a=76 & (+) \\ \hline
3b = 60 &\\
b = 20 &\\ a = 2(b)-38=2 &
\end{array} $
Ketiga bilangan adalah $2,14,20$ dengan $\overline{x}=12$

Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan

  • Untuk point $(1)$ pernyataan jangkauannya adalah $18$ adalah BENAR, karena $J=20-2=18$
  • Untuk point $(2)$ pernyataan variansianya adalah $84$ adalah BENAR
    Karena $n \lt 30$ varians yang kita pakai adalah varians untuk sampel, dirumuskan$ \begin{align}
    S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n-1} \\ & = \dfrac{(12-2)^{2}+(14-12)^{2}+(20-12)^{2}}{3-1} \\ & = \dfrac{100+4+64}{2} \\ & = \dfrac{168}{2}= 84
    \end{align} $
  • Untuk point $(3)$ pernyataan jumlahnya adalah $36$ adalah BENAR, karena $2+14+20=36$
  • Untuk point $(4)$ pernyataan simpangan rata-ratanya adalah $\dfrac{20}{3}$ adalah BENAR
    $ \begin{align}
    SR & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n} | \overline{x}-x_{i}| }{n} \\ & = \dfrac{|12-2|+|14-12|+|20-12|}{3} \\ & = \dfrac{10+2+8}{3} \\ & = \dfrac{20}{3}
    \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1),\ (2),\ (3),\ (4)\ \text{BENAR}$

22. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Dari $5$ buah bilangan, bilangan yang terkecil $40$ dan terbesar $75$. Jika mediannya $50$ dan rata-ratanya $\bar{x}$, maka...
$\begin{align}
(A)\ & 47 \leq \bar{x} \leq 63 \\ (B)\ & 47 \leq \bar{x} \leq 68 \\ (C)\ & 49 \leq \bar{x} \leq 63 \\ (D)\ & 51 \leq \bar{x} \leq 58 \\ (E)\ & 51 \leq \bar{x} \leq 68 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata sebuah data dapat kita tentukan dengan $\bar{x}=\dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3}+ \cdots+ x_{n}}{n}$.

Dari $5$ buah bilangan $x_{min}=40$, $x_{max}=75$, dan $Me=50$
Kemungkinan rata-rata terkecil terjadi saat $40,40,50,50,75$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\ &= \dfrac{40 +40+50 +50+75}{5} \\ &= \dfrac{255}{5}=51
\end{align} $

Kemungkinan rata-rata terbesar terjadi saat $40,50,50,75,75$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} +x_{2} +x_{3} + \cdots +x_{n}}{n} \\ &= \dfrac{40 +50+50 +75+75}{5} \\ &= \dfrac{290}{5}=58
\end{align} $
Rentang nilai rata-rata $\bar{x}$ adalah $51 \leq \bar{x} \leq 58$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 51 \leq \bar{x} \leq 58$

23. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Nilai rata-rata ulangan kelas $A$ adalah $\bar{x}_{A}$ dan kelas $B$ adalah $\bar{x}_{B}$. Setelah kedua kelas digabung, nilai rata-ratanya adalah $\bar{x}$. Jika $\bar{x}_{A}:\bar{x}_{B}=10:9$ dan $\bar{x}:\bar{x}_{B}=85:81$, maka perbandingan banyaknya siswa di kelas $A$ dan $B$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 8:9 \\ (B)\ & 9:8 \\ (C)\ & 4:5 \\ (D)\ & 5:4 \\ (E)\ & 3:5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.

$\begin{align}
\dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85}{81} \\ \dfrac{\bar{x} }{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{85p}{81p} \\ \bar{x} &= 85p \\ \bar{x}_{B} &= 81p \\ \hline
\dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \\ \dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{9p}{9p} \\ \dfrac{\bar{x}_{A}}{\bar{x}_{B}} &= \dfrac{90p}{81p} \\ \bar{x}_{A} &= 90p \\ \end{align} $

$\begin{align}
\bar{x}_{gab}&=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\ \bar{x} &=\dfrac{\bar{x}_{A} \cdot n_{A}+\bar{x}_{B} \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\ 85p &=\dfrac{90p \cdot n_{A}+81p \cdot n_{B}}{n_{A}+n_{B}} \\ 85p \cdot n_{A}+ 85p \cdot n_{B} &= 90p \cdot n_{A}+81p \cdot n_{B} \\ 85p \cdot n_{B}- 81p \cdot n_{B} &= 90p \cdot n_{A} - 85p \cdot n_{A} \\ 4p \cdot n_{B} &= 5p \cdot n_{A} \\ \dfrac{4p}{5p} &= \dfrac{n_{A}}{n_{B}} \\ \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4:5$

24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui data: $7,6,2,p,3,4$. Jika rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya banyaknya nilai $p$ yang mungkin untuk $p$ bilangan asli adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Data $7,6,2,p,3,4$, maka $\bar{x} = \dfrac{p+2+3+4+6+7}{6}= \dfrac{22+p}{6}$.

Karena rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya, sehingga jika pada semua kemungkinan nilai $p$ data diurutkan dari yang terkecil ke terbesar kemungkinannya adalah

  • $p, 2,3,4,6,7$
    $p$ yang mungkin adalah $1$ atau $2$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{23}{6}=3,8...$ atau $\bar{x}= \dfrac{24}{6}=4$ dan $Me=3,5$
  • $2, p,3,4,6,7$
    $p$ yang mungkin adalah $3$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{25}{6}=4,1..$ dan $Me=3,5$
  • $2,3,p,4,6,7$
    $p$ yang mungkin adalah $4$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{26}{6}$ dan $Me=3,5$
  • $2,3,4,p,6,7$
    $p$ yang mungkin adalah $5$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{27}{6}=4,5$ dan $Me=4,5$
  • $2,3,4,6,p,7$
    $p$ yang mungkin adalah $6$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{28}{6}=4,6..$ dan $Me=4,5$
  • $2,3,4,6,7,p$
    $p$ yang mungkin adalah $7,8,\cdots$ sehingga $\bar{x}= \dfrac{29}{6}=4,8..$ atau lebih dari $4,8$ dan $Me=4,5$
Banyak nilai $p$ yang mungkin yang mengakibatkan rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya adalah $1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

25. Soal UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2019 |*Soal Lengkap

Nilai matematika $7$ orang siswa, setelah diurutkan adalah sebagai berikut: $a,b,c,7,d,d,9$. Jika rata-rata semua siswa $7$ dan rata-rata $3$ nilai terendah $\dfrac{17}{3}$, maka rata-rata $3$ nilai terbaik adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\ (B)\ & \dfrac{25}{3} \\ (C)\ & \dfrac{26}{3} \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & \dfrac{28}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Nilai keseluruhan setelah diurutkan $a,b,c,7,d,d,9$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{a+b+c+7+d+d+9}{7} \\ 7 &= \dfrac{a+b+c+d+d+16}{7} \\ 49 &= a+b+c+d+d+16 \\ 33 &= a+b+c+d+d
\end{align}$

Rata-rata $3$ nilai terendah $\dfrac{17}{3}$
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{a+b+c}{3} \\ \dfrac{17}{3} &= \dfrac{a+b+c}{3} \\ 17 &= a+b+c \\ \hline
33 &= a+b+c+d+d\\ 33 &= 17+d+d\\ 16 &=2d \\ 8 &= d
\end{align}$

Rata-rata $3$ nilai terbaik adalah
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{d+d+9}{3} \\ &= \dfrac{8+8+9}{3} \\ &= \dfrac{25}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{25}{3}$

26. Soal UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui bilangan $a,b,5,3,7,6,6,6,6,6$ dengan rata-rata $5$ dan variansinya $\dfrac{13}{5}$. Nilai $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang statistika data tunggal terkhusus Varians untuk data tunggal. Rumus varians data untuk populasi yaitu
$S^{2} = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n}$ atau $S^{2}=\overline{x^{2}}-(\overline{x})^{2}$

Dari data pada soal diketahui $\overline{x}=5$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{a+b+5+3+7+6 \cdot 5}{10} \\ 5 &= \dfrac{a+b+45}{10} \\ 50 &= a+b+45 \\
5 &= a+b \\ \end{align}$

Diketahui variansinya $\dfrac{13}{5}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\bar{x}-x_{i})^{2}}{n} \\ \dfrac{13}{5} &= \dfrac{(5-a)^{2}+(5-b)^{2}+(5-5)^{2}+(5-3)^{2}+(5-7)^{2}+5 \cdot (5-6)^{2}}{10} \\ 26 &= a^{2}-10a+25+b^{2}-10b+25+0+4+4+5 \\ 26 &= a^{2}+b^{2}-10(a+b) +63 \\ 26-63 &= (a +b)^{2}-2ab-10(a+b) \\ -37 &= (5)^{2}-2ab-10(5) \\ -37 &= 25-2ab-50 \\ 2ab &= -25+37=12 \\ ab &= 6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$

27. Soal UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2019 |*Soal Lengkap

Diberikan $7$ data, setelah diurutkan, sebagai berikut $a,a+1,a+1,7,b,b,9$. Jika rata-rata data tersebut adalah $7$ dan simpangan rata-ratanya $\dfrac{8}{7}$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 13 \\ (E)\ & 14
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang statistika data tunggal terkhusus simpangan rata-rata untuk data tunggal. Rumus simpangan rata-rata (deviasi rata-rata) yaitu
$ SR=\dfrac{\sum_{i}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{n}$

Dari data pada soal diketahui $\overline{x}=7$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{a+a+1+a+1+7+b+b+9}{7} \\ 7 &= \dfrac{3a+2b+18}{7} \\ 49 &= 3a+2b+18 \\ 31 &= 3a+2b
\end{align}$

Diketahui simpangan rata-ratanya $\dfrac{8}{7}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
SR &=\dfrac{\sum_{i}^{n}\left | x_{i}-\overline{x} \right |}{n} \\ \dfrac{8}{7} &=\dfrac{\left | a-7 \right |+2\left | a+1-7 \right |+\left | 7-7 \right |+2\left | b-7 \right |+\left | 9-7 \right | }{7} \\ 8 &= 7-a+2(6-a)+0+2(b-7)+2\\ 8 &= 7-a+12-2a+2b-14+2\\ 1 &= -3a+2b
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
3a+2b = 31 & \\ -3a+2b = 1 & (+) \\ \hline
4b = 32 & \\ b = 8 & \\ a = 5
\end{array} $
Nilai dari $a+b=8+5=13$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 13$

28. Soal UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2019 |*Soal Lengkap

Rata-rata $50$ bilangan dalam bentuk $m$ dan $n$ adalah $x$. Jika rata-rata $m$ adalah $a$ maka rata-rata $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{50x-am}{50a-m} \\ (B)\ & \dfrac{50mx-a}{50m-a} \\ (C)\ & \dfrac{50mx-am}{50m-a} \\ (D)\ & \dfrac{50x-am}{50-m} \\ (E)\ & \dfrac{50ax-am}{50a-m}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Rumus rata-rata gabungan yaitu
$\begin{align}
\overline{x}_{gab} &=\dfrac{\overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n}}{ {n}_{m} + n_{n}} \\ x &=\dfrac{\overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n}}{ 50} \\ 50 x &= \overline{x}_{m} \cdot n_{m}+\overline{x}_{n} \cdot n_{n} \\ 50 x &= a \cdot n_{m}+ \overline{x}_{n} \cdot \left( 50-n_{m} \right) \\ \overline{x}_{n} \cdot \left( 50-n_{m} \right) &= 50 x- a \cdot n_{m} \\ \overline{x}_{n} &= \dfrac{50 x- a \cdot n_{m}}{ 50-n_{m}} \\ \end{align}$
Untuk data $m$ dengan rata-rata $a$ berlaku:
$\begin{align}
\overline{x}_{m} &= \dfrac{m}{n_{m}} \\ a &= \dfrac{m}{n_{m}} \\ n_{m} &= \dfrac{m}{a}
\end{align}$

$\begin{align}
\overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- a \cdot n_{m}}{ 50-n_{m}} \\ \overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- a \cdot \dfrac{m}{a}}{ 50-\dfrac{m}{a}} \\ \overline{x}_{n}&= \dfrac{50 x- m}{ \dfrac{50a-m}{a}} \\ \overline{x}_{n}&= \dfrac{50a x- am}{ 50a-m }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{50ax-am}{50a-m}$

29. Soal UTBK-SBMPTN TKA SAINTEK 2019 |*Soal Lengkap

Sekumpulan bilangan memiliki nilai rata-rata $25$ dengan jangkauan $10$. Jika setiap bilangan tersebut dikurangi dengan $a$, kemudian hasilnya dibagi dengan $b$, akan menghasilkan bilangan baru dengan rata-rata $15$ dan jangkauan $5$. Nilai $2a+5b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk rata-rata data lama $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{n}$
$\begin{align} \bar{x}_{L} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ 25 &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ 25n &=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} \end{align}$


Untuk rata-rata data baru $\dfrac{x_{1}-a}{b},\ \dfrac{x_{2}-a}{b},\ \cdots \dfrac{x_{n}-a}{b}$
$\begin{align}
\bar{x}_{B} &=\dfrac{\dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b}}{n} \\ 15 &=\dfrac{\dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b}}{n} \\ 15n &= \dfrac{x_{1}-a}{b}+\dfrac{x_{2}-a}{b} + \cdots + \dfrac{x_{n}-a}{b} \\ 15nb &= x_{1}-a + x_{2}-a + \cdots + x_{n}-a \\ 15nb &= x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}- an \\ 15nb &= 25n - an \\ 15 b &= 25 - a \\ 15 b +a &= 25 \end{align}$


$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah di atas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa rata-rata berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama rata-ratanya $25$ lalu setiap data dikurang $a$ dan dibagi $b$ maka rata-rata baru adalah $\dfrac{25-a}{b}=15$.

Untuk jangkauan data lama $x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \cdots x_{n}$
$\begin{align} R &= x_{n}-x_{1} \\ 10 &= x_{n}-x_{1} \end{align}$


Untuk jangkauan data baru $\dfrac{x_{1}-a}{b},\ \dfrac{x_{2}-a}{b},\ \cdots \dfrac{x_{n}-a}{b}$
$\begin{align}
R &= \dfrac{x_{n}-a}{b}-\dfrac{x_{1}-a}{b} \\ 5 &= \dfrac{x_{n}-x_{1}}{b} \\ 5 &= \dfrac{10}{b} \\ 5b &= 10 \\ b &= 2 \end{align}$


$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah di atas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa jangkauan berubah mengikuti "tindakan perkalian atau pembagian" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama jangkauannya $10$ lalu setiap data dikurang $a$ dan dibagi $b$ maka jangkauan baru adalah $5 = \dfrac{10}{b}$.

Untuk $b = 2$ kita peroleh
$\begin{align}
15 b +a &= 25 \\ 15 (2) + a &= 25 \\ 30 + a &= 25 \\ a &= -5 \\ \hline 2a+5b &= 2(-5)+5(2) \\ &= -10+10=0 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

30. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui data $2,6,7,1,4$. Varians data tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5,4 \\ (B)\ & 5,8 \\ (C)\ & 6,0 \\ (D)\ & 6,2 \\ (E)\ & 6,5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Materi pokok dari soal ini adalah Statistika data tunggal, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Statistika data tunggal.

Rumus varians data untuk sampel yaitu
$S^{2} = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\overline{x}-x_{i})^{2}}{n-1}$

Dari data pada soal dapat kita hitung rata-rata:
$\begin{align}
\overline{x} &= \dfrac{1+2+4+6+7}{5} \\
&= \dfrac{20}{5} \\
&= 4 \\
\end{align}$

Varians data tersebut adalah:
$\begin{align}
S^{2} & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n}(\bar{x}-x_{i})^{2}}{n-1} \\
&= \dfrac{(4-1)^{2}+(4-2)^{2}+(4-4)^{2}+(4-6)^{2}+(4-7)^{2}}{5-1} \\
&= \dfrac{(3)^{2}+(2)^{2}+(0)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}}{4} \\
&= \dfrac{9+4+0+4+9}{4} \\
&= \dfrac{26}{4} \\
&= 6,5
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6,5$

31. Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal Lengkap

Jika kuartil ketiga dari data berurutan $x-2$, $2x-3$, $3x-7$, $3x-3$, $3x+2$, $4x-2$, $5x+2$ adalah $18$, maka...
$\begin{align}
(1)\ & \text{mediannya adalah}\ 12 \\ (2)\ & \text{rata-ratanya adalah}\ 13 \\ (3)\ & \text{jangkauan antarkuartilnya adalah}\ 11 \\ (4)\ & \text{jangkauan adalah}\ 23 \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Karena data $x-2$, $2x-3$, $3x-7$, $3x-3$, $3x+2$, $4x-2$, $5x+2$ sudah berurutan, maka berlaku:
$\begin{align}
Q_{3} &= \text{suku ke-}\ 6 \\ 18 &= 4x-2 \\ 20 &= 4x \\ x &= 5
\end{align}$

Untuk $x=5$ maka data: $3$,$7$,$8$,$12$,$17$,$18$,$27$.

  1. Median, $Me=12$
  2. Rata-rata $\bar{x}_{7} =\dfrac{3+7+8+12+17+18+27}{7}=\dfrac{92}{7}=13,14$
  3. Jangkauan antar quartil $Q_{d}=Q_{3}-Q_{1}=18-7=11$
  4. Jangkauan $R=x_{max}-x_{min}=27-3=24$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$

32. Soal SPMB 2004 (Regional I) |*Soal Lengkap

Nilai ujian kemampuan bahasa dari peserta seleksi pegawai di suatu instansi diperlihatkan pada tabel berikut:

Nilai Ujian Frekuensi
$5$ $11$
$6$ $21$
$7$ $49$
$8$ $23$
$9$ $16$

Seorang peserta seleksi dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata ujian tersebut. Banyaknya peserta yang tidak lulus adalah...

$\begin{align} (A)\ & 11 \\ (B)\ & 21 \\ (C)\ & 32 \\ (D)\ & 49 \\ (E)\ & 81 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show
Nilai Ujian $(n)$ Frekuensi $(f)$ $n \cdot f$
$5$ $11$ $55$
$6$ $21$ $126$
$7$ $49$ $343$
$8$ $23$ $184$
$9$ $16$ $144$
Jumlah $120$ $852$

Nilai rata-rata pada tabel adalah:
$\begin{align} \bar{x}\ & =\dfrac{\text{Jumlah Data}}{ \text{Banyak Data}} \\ & =\dfrac{\text{852}}{ \text{120}} =7,1 \end{align}$

Banyak peserta yang tidak lulus adalah $11+21+49=81$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 81$

33. Soal SPMB 2004 (Regional I) |*Soal Lengkap

Nilai rata-rata ulangan matematika dari $40$ siswa SMA adalah $70$. Jika seorang siswa yang nilainya $100$ dan $3$ orang siswa yang nilainya masing-masing $30$ tidak dimasukkan dalam perhitungan, maka nilai rata-rata menjadi...

$\begin{align} (A)\ & 70,5 \\ (B)\ & 72,5 \\ (C)\ & 74,5 \\ (D)\ & 75,5 \\ (E)\ & 76,5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Nilai rata-rata $40$ siswa SMA adalah $70$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x} \ & = \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n} \\ 70\ & = \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{40}}{40} \\ 2800\ & = x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{40} \end{align}$


Seorang siswa yang nilainya $100$ dan $3$ orang siswa yang nilainya masing-masing $30$ tidak dimasukkan, sehingga rata-rata menjadi:
$\begin{align} \bar{x} \ & = \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{36}}{36} \\ & = \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{40}-100-3 \cdot 30 }{36} \\ & = \dfrac{2800-100-90 }{36} \\ & = \dfrac{2610 }{37} = 72,5 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 72,5$

34. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal Lengkap

Nilai rata-rata suatu ulangan adalah $5,9$. Empat anak dari kelas lain mempunyai nilai rata-rata $7$. Jika nilai rata-rata mereka setelah digabung menjadi $6$, maka banyaknya anak sebelum digabung dengan empat anak tadi adalah...

$\begin{align} (A)\ & 36 \\ (B)\ & 40 \\ (C)\ & 44 \\ (D)\ & 50 \\ (E)\ & 52 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.


Kelompok pertama rata-ratanya adalah $\bar{x}_{1}=5,9$ dan anggotanya ${n}_{1}$. Kelompok kedua rata-ratanya adalah $\bar{x}_{2}=7$ dan anggotanya ${n}_{2}=4$. Setelah digabung rata-ratanya menjadi $6$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \\ 6 &= \dfrac{5,9 \cdot n_{1}+7 \cdot 4}{n_{1}+4} \\ 6n_{1}+24 &= 5,9n_{1}+28 \\ 6n_{1}-5,9n_{1} &= 28-24 \\ 0,1n_{1} &= 4 \\ n_{1} &= 40 \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 40$

35. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap

Simpangan kuartil dari data $5,\ 6,\ a,\ 3,\ 7,\ 8$ adalah $1\frac{1}{2}$. Jika median data adalah $5\frac{1}{2}$ maka rata-rata data tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 4,5 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 5,5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Median data $5,\ 6,\ a,\ 3,\ 7,\ 8$ adalah $5\frac{1}{2}$, sehingga kemungkinan data secara terurut adalah $3,\ a,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$ atau $a,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$

Untuk data $3,\ a,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$. Kuartil satu $Q_{1}=a$, kuartil tiga $Q_{3}=7$ dan simpangan kuartil $Q_{d}= \dfrac{1}{2} \left( Q_{3}-Q_{1} \right)$ sehingga $1\frac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\left( 7-a \right)$ dan $a=4$.


Untuk data $a,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$. Kuartil satu $Q_{1}=3$, kuartil tiga $Q_{3}=7$ dan simpangan kuartil $Q_{d}= \dfrac{1}{2} \left( Q_{3}-Q_{1} \right)$ sehingga $1\frac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\left( 7-3 \right)$ tidak berlaku.


Rata-rata data adalah:
$\begin{align} \bar{x} & = \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n} \\ & = \dfrac{3+4+5+6+7+8}{6} \\ & = \dfrac{33}{6} = 5,5 \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5,5$

36. Soal SPMB 2005 Kode 570 |*Soal Lengkap

Nilai rata-rata ulangan matematika dari dua kelas adalah $5,38$. Jika nilai rata-rata kelas pertama yang terdiri dari $38$ siswa adalah $5,8$ dan kelas kedua terdiri dari $42$ siswa, maka nilai rata-rata kelas kedua adalah...

$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 5,12 \\ (C)\ & 5,18 \\ (D)\ & 5,21 \\ (E)\ & 5,26 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.


Kelompok pertama rata-ratanya adalah $\bar{x}_{1}=5,8$ dan anggotanya ${n}_{1}=38$. Kelompok kedua rata-ratanya adalah $\bar{x}_{2}$ dan anggotanya ${n}_{2}=42$. Setelah digabung rata-ratanya menjadi $5,38$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \\ 5,38 &= \dfrac{5,8 \cdot 38+\bar{x}_{2} \cdot 42}{38+42} \\ 5,38 \cdot 80 &= 220,4 + 42 \bar{x}_{2} \\ 42 \bar{x}_{2} &= 430,4-220,4 \\ \bar{x}_{2} &= \dfrac{210}{42}=5 \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$

37. Soal UM-UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap

Umur rata-rata dari suatu kelompok yang terdiri dari guru dan dosen adalah $42$ tahun. Jika umur rata-rata para guru $39$ tahun dan umur rata-rata para dosen adalah $47$ tahun, maka perbandingan banyanya guru dan banyaknya dosen adalah...

$\begin{align} (A)\ & 5:3 \\ (B)\ & 5:4 \\ (C)\ & 3:4 \\ (D)\ & 3:5 \\ (E)\ & 3:7 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.


Kelompok guru rata-ratanya adalah $\bar{x}_{g}=39$ dan anggotanya ${n}_{g}$. Kelompok dosen rata-ratanya adalah $\bar{x}_{d}=47$ dan anggotanya ${n}_{d}$. Setelah digabung rata-ratanya menjadi $42$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{g} \cdot n_{g}+\bar{x}_{d} \cdot n_{d}}{n_{g}+n_{d}} \\ 42 &= \dfrac{39 \cdot n_{g} + 47 \cdot n_{d}}{n_{g}+n_{d}} \\ 42n_{g}+42n_{d} &= 39n_{g} + 47n_{d} \\ 42n_{g}-39n_{g} &= 47n_{d} - 42n_{d} \\ 3n_{g} &= 5n_{d} \\ \dfrac{n_{g}}{n_{d}} &= \dfrac{5}{3} \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5:3$

38. Soal SNMPTN 2008 Kode 511 |*Soal Lengkap

Gaji rata-rata karyawan suatu perusahaan adalh $2,1$ juta rupiah. Jika gaji rata-rata karyawan pria $2,25$ juta rupiah sedangkan gaji rata-rata karyawan wanita $2$ juta rupiah, maka perbandingan jumlah karyawan pria dan wanita adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2:5 \\ (B)\ & 2:3 \\ (C)\ & 5:2 \\ (D)\ & 3:2 \\ (E)\ & 4:3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.


Kelompok pria rata-ratanya adalah $\bar{x}_{p}=2,25$ dan anggotanya ${n}_{p}$. Kelompok wanita rata-ratanya adalah $\bar{x}_{w}=2$ dan anggotanya ${n}_{w}$. Setelah digabung rata-ratanya menjadi $2,1$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{p} \cdot n_{p}+\bar{x}_{w} \cdot n_{w}}{n_{p}+n_{w}} \\ 2,1 &= \dfrac{2,25 \cdot n_{p} + 2 \cdot n_{w}}{n_{p}+n_{w}} \\ 2,1n_{p}+2,1n_{w} &= 2,25n_{p} + 2n_{w} \\ 2,1n_{w}-2n_{w} &= 2,25n_{p} - 2,1n_{p} \\ 0,1n_{w} &= 0,15n_{p} \\ \dfrac{n_{p}}{n_{w}} &= \dfrac{0,1}{0,15}= \dfrac{2}{3} \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2:3$

39. Soal UM-UGM 2005 Kode 621 |*Soal Lengkap

Suatu data mempunyai rata – rata $35$ dan jangkauan $7$. Jika setiap nilai dalam data dikalikan $p$ kemudian di kurangi $q$ didapat data baru dengan rata – rata $42$ dan jangkauan $9$. Nilai dari $7p-q =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 7 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk rata-rata data:
$\begin{align} \bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n} \\ 35 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}}{n} \\ 35n &= x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n} \end{align}$


Data baru $px_{1}-q, px_{2}-q, px_{3}-q, \cdots , px_{n}-q$ dan rata-ratanya adalah $42$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} 42 &= \dfrac{\left(px_{1}-q \right)+ \left(px_{2}-q \right) + \left(px_{3}-q\right)+ \cdots+\left( px_{n}-q \right)}{n} \\ 42n &= px_{1}+px_{2}+px_{3}+ \cdots + px_{n}-n \cdot q \\ 42n &= p \left( x_{1}+ x_{2}+ x_{3}+ \cdots + x_{n} \right)-n \cdot q \\ 42n &= p \cdot 35n - qn \\ 42 &= 35p - q \end{align}$


$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah di atas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa rata-rata berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama rata-ratanya $35$ lalu setiap data dikali $p$ dan dikurang $q$ maka rata-rata baru adalah $p \cdot 35 -q=42$.

Untuk jangkauan data:
$\begin{align} R &= x_{n}-x_{1} \\ 7 &= x_{n}-x_{1} \\ \end{align}$


Data baru $px_{1}-q, px_{2}-q, px_{3}-q, \cdots , px_{n}-q$ dan Jangkauannya adalah $9$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} 9 &= \left(px_{n}-q \right)- \left(px_{1}-q \right) \\ 9 &= px_{n}-q - px_{1}+q \\ 9 &= p \left( x_{n}-x_{1} \right) \\ 9 &= p \left( 7 \right) \rightarrow p=\dfrac{9}{7} \end{align}$


$\therefore$ Jika sudah paham langkah-langkah di atas untuk berikutnya sudah bisa menggunakan aturan bahwa jangkauan berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian/pembagian yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama jangkauannya $9$ lalu setiap data dikali $p$ dan dikurangi $q$ maka jangkauan baru adalah $p \cdot 7=9$ atau $p=\dfrac{9}{7}$ .

Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita tuliskan:
$\begin{align} 42 &= p \cdot 35 - q \\ 42 &= \dfrac{9}{7} \cdot 35 - q \\ 42 &= 45 - q \rightarrow q= 3 \\ \hline 7p-q &= 7 \cdot \dfrac{9}{7}-3 \\ &= 6 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6$

40. Soal SPMB 2006 Kode 510 |*Soal Lengkap

Sekelompok data mempunyai rata – rata $16$ dan jangkauan $6$. Jika setiap data dikalikan $x$ dan di kurangi $y$ sehingga diperoleh data baru dengan rata – rata $20$ dan jangkauan $9$. Nilai dari $3y-2x =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 12 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal ini kita pakai rumus alternatifnya saja, yang mau mencoba tanpa rumus alternatif silahkan dicoba pada pembahasan Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 pada nomor $4$ atau Soal UM-UGM tahun 2005 kode 621 yang sudah kita bahas pada nomor $39$ di atas.

$\therefore$ Jangkauan sebuah data berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian/pembagian yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama jangkauannya $6$ lalu setiap data dikali $x$ dan dikurangi $y$ maka jangkauan baru adalah $x \cdot 6=9$ atau $x=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$.

$\therefore$ Rata-rata sebuah data berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama rata-ratanya $16$ lalu setiap data dikali $x$ dan dikurang $y$ maka rata-rata baru adalah $x \cdot 16 -y=20$.

Dari kedua persamaan di atas dapat kita tuliskan:
$\begin{align} x \cdot 16 - y &= 20 \\ \dfrac{3}{2} \cdot 16 - y &= 20 \\ 24 - y &= 20 \rightarrow y=4 \\ \hline 3y-2x &= 3 \cdot 4 -2 \cdot \dfrac{3}{2} \\ &= 9 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$

41. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal Lengkap

Jika jangkauan dari data terurut $x-1$, $2x-1$, $3x$, $5x-3$, $4x+3$, $6x+2$ adalah $18$, maka mediannya adalah...

$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 10,5 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 21 \\ (E)\ & 24,8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Data terurut $x-1$, $2x-1$, $3x$, $5x-3$, $4x+3$, $6x+2$, dan jangkauan sebuah data adalah $18$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} R &= x_{n}-x_{1} \\ 18 &= 6x+2- \left(x-1 \right) \\ 18 &= 6x+2- x+1 \\ 15 &= 5x \rightarrow x=3 \end{align}$


Data terurut menjadi $2$, $5$, $9$, $12$, $15$, $20$ dan mediannya adalah $\dfrac{1}{2} \left( 9+12 \right)=10,5$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10,5$

42. Soal SNMPTN 2008 Kode 301 |*Soal Lengkap

Jika nilai rata-rata $15$ bilangan adalah $13,4$, nilai rata-rata $8$ bilangan pertama adalah $12,5$, dan nilai rata-rata bilangan ke-$9$ sampai ke-$14$ adalah $14,5$, maka bilangan ke-$15$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 7,5 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 28,5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.


Rata-rata $8$ bilangan pertama adalah $12,5$ dapat kita sebut $\bar{x}_{1}=12,5$ dan ${n}_{1}=8$. Rata-rata $6$ bilangan berikutnya adalah $14,5$ dapat kita sebut $\bar{x}_{2}=14,5$ dan ${n}_{2}=6$. Bilangan ke-$15$ kita sebut kelompok ketiga $\bar{x}_{3}=x_{15}$ dan ${n}_{3}=1$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}} \\ 13,4 &= \dfrac{12,5 \cdot 8+14,5 \cdot 6+x_{15} \cdot 1}{8+6+1} \\ 201 &= 100+ 87 + x_{15} \\ 201-187 &= x_{15} \\ 14 &= x_{15} \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 14$

43. Soal PENMABA UNJ 2015 |*Soal Lengkap

Tabel berikut menunjukkan hasil suatu kuesioner yang menanyakan berapa kecelakaan yang dialami pengemudi dalam $5$ tahun terahhir.

Banyaknya Kecelakaan Banyaknya Pengemudi
$0$ $17$
$1$ $13$
$2$ $21$
$3$ $4$
$4$ $2$
$5$ $2$
$6$ $1$

Nilai median banyaknya kecelakaan per pengemudi adalah...

$\begin{align} (A)\ & 0,5 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 1,5 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Median adalah suatu nilai pembatas yang membagi data menjadi dua bagian yang sama besar setelah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar.
Median $(Me)$ sama nilainya dengan kuartil kedua $(Q_{2})$, jadi proses kerjanya adalah sama.

Jumlah frekuensi pada tabel di atas adalah $60$. Untuk menentukan letak $Me$ ada pada data ke- $\left[\frac{1}{2}(n+1) \right]=\left[\frac{1}{2}(61) \right]=30,5$


Sehingga mediannya adalah $\dfrac{x_{30}+x_{31}}{2}=\dfrac{1+2}{2}=1,5$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 1,5$

44. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

Perbandingan jumlah pegawai tetap dan pegawai tidak tetap di suatu perusahaan adalah $1:9$. Jika penghasilan rata-rata tahunan pegawai tetap $Rp2.400.000,00$ dan penghasilan tahunan rata-rata pegawai tidak tetap $Rp1.800.000,00$ maka penghasilan tahunan rata-rata seluruh pegawai adalah...

$\begin{align} (A)\ & Rp1.820.000,00 \\ (B)\ & Rp1.840.000,00 \\ (C)\ & Rp1.860.000,00 \\ (D)\ & Rp1.880.000,00 \\ (E)\ & Rp1.900.000,00 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.


Kelompok pegawai tetap rata-ratanya adalah $\bar{x}_{t}=2,4$ juta dan anggotanya ${n}_{t}$. Kelompok pegawai tidak tetap rata-ratanya adalah $\bar{x}_{tt}=1,8$ juta dan anggotanya ${n}_{tt}$. Perbandingan $n_{t}: n_{tt}=1:9$ atau $n_{tt}=9n_{t}$, sehingga penghasilan rata-rata seleuruh pegawai dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{t} \cdot n_{t}+\bar{x}_{tt} \cdot n_{tt}}{n_{t}+n_{tt}} \\ &= \dfrac{2,4 \cdot n_{t} + 1,8 \cdot 9n_{t}}{n_{t}+9n_{tt}} \\ &= \dfrac{2,4 n_{t} + 16,2n_{t}}{10n_{t}} \\ &= \dfrac{18,6n_{t}}{10n_{t}} \\ &= 1,86 \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp1.860.000,00$

45. Soal UM UGM 2018 Kode 286 |*Soal Lengkap

Dua perusahaan masing-masing memiliki $6$ karyawan dengan rata-rata usia karyawannya adalah $35$ tahun dan $38$ tahun. Jika satu orang dari masing-masing perusahaan dipertukarkan, maka rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 18 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan karyawan perusahaan $A$ adalah $a_{1}, \cdots, a_{5},a_{6}$
$\begin{align} \bar{x}\ &= \dfrac{a_{1}+ \cdots +a_{5}+a_{6}}{6} \\ 35 &= \dfrac{a_{1} +\cdots +a_{5}+a_{6}}{6} \\ 210 &= a_{1} +\cdots +a_{5}+a_{6} \end{align}$


Misalkan karyawan perusahaan $B$ adalah $b_{1}, \cdots, b_{5},b_{6}$
$\begin{align} \bar{x}\ &= \dfrac{b_{1} +\cdots +b_{5}+b_{6}}{6} \\ 38 &= \dfrac{b_{1}+\cdots +b_{5}+b_{6}}{6} \\ 228 &= b_{1} +\cdots +b_{5}+b_{6} \end{align}$


Salah seorang pegawai ditukarkan, kita misalkan $a_{6}$ dan $b_{6}$ sehingga rata-ratanya sama, dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{b_{1}+\cdots +b_{5}+a_{6}}{6} &= \dfrac{a_{1}+\cdots +a_{5}+b_{6}}{6} \\ b_{1}+\cdots +b_{5}+a_{6} &= a_{1}+\cdots +a_{5}+b_{6} \\ 228-b_{6}+a_{6} &= 210-a_{6}+b_{6} \\ 228-210 &= 2b_{6}-2a_{6} \\ 18 &= 2b_{6}-2a_{6} \\ 9 &= b_{6}- a_{6} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9$

46. Soal UM UGM 2018 Kode 585 |*Soal Lengkap

Dalam satu grup yang terdiri $5$ orang, rata-rata umur setiap $4$ orang di antaranya adalah $31$, $32$, $32\frac{1}{2}$, $34$, dan $35\frac{1}{2}$. Orang termuda dari $5$ orang tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 18 \\ (B)\ & 21 \\ (C)\ & 23 \\ (D)\ & 25 \\ (E)\ & 34 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan orang-orang pada grup setelah diurutkan dari yang termuda adalah $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4},$ dan $a_{5}$


Rata-rata umur setiap $4$ orang di antaranya adalah $31$, $32$, $32\frac{1}{2}$, $34$, dan $35\frac{1}{2}$ sehingga jumlah umur setiap $4$ orang di antaranya adalah $124$, $128$, $130$, $136$, dan $142$.


Dari keterangan di atas dapat kita tuliskan:
$\begin{align} a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} &= 124 \\ a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{5} &= 128 \\ a_{1}+a_{2}+a_{4}+a_{5} &= 130 \\ a_{1}+a_{3}+a_{4}+a_{5} &= 136 \\ a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} &= 142\ \ (+)\\ \hline 4 \left( a_{1}+ a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} \right) &= 660 \\ a_{1}+ a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} &= 165 \\ \hline a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} &= 142 \\ a_{1} &= 23 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 23$

47. Soal UM UGM 2017 Kode 823 |*Soal Lengkap

Sekumpulan bilangan mempunyai rata-rata $15$ dengan jangkaun $6$. Jika setiap bilangan tersebut dikuragi $a$ kemudian hasilnya dibagi $b$ akan menghasilkan bilangan baru dengan rata-rata $7$ dan jangkauannya $3$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3\ \text{dan}\ 2 \\ (B)\ & 2\ \text{dan}\ 3 \\ (C)\ & 1\ \text{dan}\ 2 \\ (D)\ & 2\ \text{dan}\ 1 \\ (E)\ & 3\ \text{dan}\ 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal ini kita pakai rumus alternatifnya saja, yang mau mencoba tanpa rumus alternatif silahkan dicoba pada pembahasan Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 pada nomor $4$ atau Soal UM-UGM tahun 2005 kode 621 yang sudah kita bahas pada nomor $39$ di atas.

$\therefore$ Jangkauan sebuah data berubah mengikuti "tindakan" untuk perkalian/pembagian yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama jangkauannya $6$ lalu setiap data dikurangi $a$ kemudian dibagi $b$ maka jangkauan baru adalah $\dfrac{6}{b}=3$ atau $b=\dfrac{6}{3}=2$.

$\therefore$ Rata-rata sebuah data berubah mengikuti "tindakan" yang diberikan kepada setiap data.
Jika data lama rata-ratanya $15$ lalu setiap data dikurangi $a$ kemudian dibagi $b$ maka rata-rata baru adalah $\dfrac{15-a}{b} =7$.

Dari kedua persamaan di atas dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{15-a}{b} &= 7 \\ \dfrac{15-a}{2} &= 7 \\ 15-a &= 14 \rightarrow a=1 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$

48. Soal UM UGM 2017 Kode 748 |*Soal Lengkap

Jika seorang nelayan mendapatkan $75$ ekor ikan pada esok hari, maka rata-rata jumlah ikan tangkapannya adalah $82$. Jika ternyata ketika melaut esok hari nelayan tersebut mendapatkan $93$ ekor ikan, maka rata-rata jumlah ikan tangkapannya adalah $85$. Berdasarkan data ini, sudah berapa kali nelayan itu pergi melaut/mencari ikan?

$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 7 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misal banyak yang didapa nelayan hari-hari sebelumnya adalah $x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}$


Jika besok hari $75$ ekor ikan, maka rata-rata jumlah ikan tangkapannya adalah $82$.
$\begin{align} \bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+75}{n+1} \\ 82 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+75}{n+1} \\ 82n+82 &= x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+75 \\ 82n+7 &= x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} \end{align}$


Jika besok hari mendapatkan $93$ ekor ikan, maka rata-rata jumlah ikan tangkapannya adalah $85$.
$\begin{align} \bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+93}{n+1} \\ 85 &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+93}{n+1} \\ 85n+85 &= x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}+93 \\ 85n+85 &= 82n + 7+93 \\ 85n-82n &= 100-85 \\ 3n &= 15\ \rightarrow n=5 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$

49. Soal UM UGM 2017 Kode 723/724 |*Soal Lengkap

Suatu desa berpenduduk $5000$ jiwa, terdiri atas kelompok berpendidikan terakhir SD, SMP, SMA dan Perguruan Tinggi (PT). Perbandingan jumlah penduduk berpendidikan terakhir SD, SMP, dan SMA sebesar $2 : 4: 6$. Jika prosentase penduduk berpendidikan PT sebesar $4 \%$ dari total penduduk desa, maka jumlah penduduk berpendidikan terakhir $SD$ sebesar...

$\begin{align} (A)\ & 2400 \\ (B)\ & 2000 \\ (C)\ & 1600 \\ (D)\ & 1000 \\ (E)\ & 800 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Banyak penduduk yang berpendidikan terakhir Perguruan Tinggi (PT) adalah:
$\begin{align} \dfrac{4}{100} \times 5000 &= 200 \end{align}$


Sehingga banyak penduduk berpendidikan terakhir SD, SMP, dan SMA adalah $5000-200=4800$. Banyak penduduk berpendidikan terakhir SD adalah:
$\begin{align} \dfrac{2}{12} \times 4800 &= \dfrac{2}{1} \times 400 \\ &= 800 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 800$

50. Soal UM UGM 2016 Kode 571 |*Soal Lengkap

Nilai rata-rata Bahasa Inggris dalam suatu kelas yang terdiri dari $14$ siswa adalah $6$. Satu siswa memperoleh nilai tertinggi dan satu siswa lain memperoleh nilai terendah. Nilai rata-rata tanpa nilai tertinggi dan terendah juga sama dengan $6$. Jika nilai terendahnya adalah $b$, maka selisih nilai tertinggi dan terendah adalah...

$\begin{align} (A)\ & 10-b \\ (B)\ & 12-2b \\ (C)\ & 18-3b \\ (D)\ & 20-4b \\ (E)\ & 3b-4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Misalkan data setelah diurutkan adalah: $x_{1},\ x_{2},\ \cdots, x_{13},\ x_{14}$
$\begin{align} \bar{x} & =\dfrac{x_{1} + x_{2}+ \cdots + x_{13}+x_{14}}{14} \\ 6 & =\dfrac{x_{1} + x_{2}+ \cdots + x_{13}+x_{14}}{14} \\ 84 & = x_{1} + x_{2}+ \cdots + x_{13}+x_{14} \end{align}$


Rata-rata tetap jika $x_{1}$ dan $x_{14}$ dikeluarkan;
$\begin{align} \bar{x} & =\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{13}}{12} \\ 6 & =\dfrac{x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{13}}{12} \\ 72 &= x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{13} \\ \hline 84 &= x_{1}+x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{13}+x_{14} \\ 84 &= x_{1}+72+x_{14} \\ 12 &= x_{1} +x_{14} \\ 12-b &=x_{14} \\ \end{align}$


Selisih $x_{14} -x_{1}=12-b-b=12-2b$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12-2b$

51. Soal UM UGM 2016 Kode 371/372 |*Soal Lengkap

Mimi mendapatkan nilai rata-rata $6$ untuk $3$ kali ulangan Matematika, nilai rata-rata $7$ untuk $3$ kali ulangan Biologi, dan nilai rata-rata $8$ untuk $4$ kali ulangan Bahasa Inggris, dan masih ada $5$ ulangan dari ketiga pelajaran tersebut yang akan diikuti Mimi. Agar Mimi mendapatkan nilai rata-rata untuk tiga mata pelajaran minimal $7,2$, maka Mimi harus mendapatkan nilai rata-rata $5$ ulangan minimal...

$\begin{align} (A)\ & 7,2 \\ (B)\ & 7,3 \\ (C)\ & 7,4 \\ (D)\ & 7,5 \\ (E)\ & 7,6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}+\bar{x}_{3} \cdot n_{3}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}}$.


Matematika rata-ratanya adalah $\bar{x}_{MM}=6$ dan anggotanya ${n}_{Ma}=3$. Biologi rata-ratanya adalah $\bar{x}_{Bio}=7$ dan anggotanya ${n}_{Bio}=3$. Bahasa Inggris rata-ratanya adalah $\bar{x}_{Bin}=8$ dan anggotanya ${n}_{Bin}=4$. Ulangan berikutnya rata-ratanya adalah $\bar{x}_{Min}$ dan anggotanya ${n}_{Min}=5$. Setelah digabung rata-rata minimalnya adalah $7,2$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{Ma} \cdot n_{Ma}+\bar{x}_{Bio} \cdot n_{Bio}+\bar{x}_{Bin} \cdot n_{Bin}+\bar{x}_{Min} \cdot n_{Min}}{n_{Ma}+n_{Bio}+n_{Bin}+n_{Min}} \\ 7,2 &= \dfrac{6 \cdot 3+7 \cdot 3+8 \cdot 4+\bar{x}_{Min} \cdot 5}{3+3+4+5} \\ 7,2 &= \dfrac{18+21+32+5\bar{x}_{Min}}{15} \\ 108 &= 71+5\bar{x}_{Min} \\ 37 &= 5\bar{x}_{Min} \\ \bar{x}_{Min} &= \dfrac{37}{5}=7,4 \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7,4$

52. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap

Pada ulangan matematika diketahui nilai rata-rata kelas adalah $67$. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa $65$ dan untuk siswi $70$, maka perbandingan banyaknya siswa dan siswi pada kelas tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & 2:3 \\ (B)\ & 3:2 \\ (C)\ & 4:3 \\ (D)\ & 6:2 \\ (E)\ & 8:3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru tentang statistika yang mungkin membantu yaitu rata-rata gabungan dapat kita tentukan dengan aturan $\bar{x}_{gab}=\dfrac{\bar{x}_{1} \cdot n_{1}+\bar{x}_{2} \cdot n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$.


Kelompok siswa rata-ratanya adalah $\bar{x}_{a}=65$ dan anggotanya ${n}_{a}$. Kelompok siswi rata-ratanya adalah $\bar{x}_{i}=70$ dan anggotanya ${n}_{i}$. Rata-rata kelasnya atau rata-rata gabungannya adalah $67$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \bar{x}_{gab} &= \dfrac{\bar{x}_{a} \cdot n_{a}+\bar{x}_{i} \cdot n_{i}}{n_{a}+n_{i}} \\ 67 &= \dfrac{65 \cdot n_{a} + 70 \cdot n_{i}}{n_{a}+n_{i}} \\ 67n_{a}+67n_{i} &= 65n_{a} + 70n_{i} \\ 67n_{a}-65n_{a} &= 70n_{i} - 67n_{i} \\ 2n_{a} &= 3n_{i} \\ \dfrac{n_{a}}{n_{i}} &= \dfrac{3}{2} \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3:2$

53. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Jika rata-rata dari $a,\ b,\ c$ dan $a^{2},\ b^{2},\ c^{2}$ berturut-turut adalah $2$ dan $4$, maka rata-rata dari $ab,\ bc,\ ca$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{10}{3} \\ (B)\ & \dfrac{11}{3} \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & \dfrac{13}{3} \\ (E)\ & \dfrac{14}{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk rata-rata $a,\ b,\ c$ adalah $2$ kita peroleh:
$\begin{align} \bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ 2 &=\dfrac{a+b+c+}{3} \\ 6 &= a+b+c \end{align}$


Untuk rata-rata $a^{2},\ b^{2},\ c^{2}$ adalah $4$ kita peroleh:
$\begin{align} \bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ 4 &=\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \\ 12 &= a^{2}+b^{2}+c^{2} \\ \hline \left( a +b +c \right)^{2} &= a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2 (ab+ac+bc) \\ \hline 6^{2} &= 12 + 2 (ab+ac+bc) \\ 36 &= 12 + 2 (ab+ac+bc) \\ 18 &= 6+ (ab+ac+bc) \\ 12 &= (ab+ac+bc) \end{align}$


Rata-rata $ab,\ bc,\ ca$ adalah:
$\begin{align} \bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ &= \dfrac{ab+bc+ac}{3} \\ &= \dfrac{12}{3} = 4 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Statistika Data Tunggal (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 50+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Statistika Data Tunggal silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "50+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Statistika Data Tunggal" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar