The good student, bersama Calon Guru kita belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Vektor. Pada catatan sebelumnya kita sudah mengetahui bagaimana cara menyelesaikan masalah vektor yang berkaitan dengan Perkalian Skalar Dua Vektor.
Setelah kita belajar dan mengenal vektor secara geometri atau secara analitis, operasi aljabar pada vektor, perbandingan vektor, perkalian skalar dua vektor, dan proyeksi ortogonal vektor. Berikut kita coba menyelesaikaan soal-soal vektor yang sudah pernah diujikan pada Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri dan soal-soal pada seleksi masuk sekolah kedinasan.
PENGERTIAN VEKTOR
Vektor adalah ruas garis berarah, sehingga suatu vektor memiliki panjang dan arah. Menyatakan vektor dapat dengan satu huruf kecil atau dua huruf besar.
Sedangkan vektor nol adalah vektor yang memiliki panjang nol satuan dan tidak mempunyai arah (dilambangkan dengan $\vec{o}$ ) sehingga gambarnya berupa sebuah titik.
OPERASI PENJUMLAHAN VEKTOR
Terdapat dua metode penjumlahan vektor yaitu metode segitiga dan metode jajar genjang.
Misalkan dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ seperti gambar di bawah ini
OPERASI PENGURANGAN VEKTOR
Vektor negatif $\vec{a}$ ditulis $-\vec{a}$ yaitu vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor $\vec{a}$ tetapi arahnya berlawanan dengan arah vektor $\vec{a}$.
Sehingga pengurangan vektor adalah penjumlahan dengan vektor negatifnya atau $a – b = a + (– b )$.
Gambaran pengurangan vektor dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Sebagai tambahan Belajar Mengenal Vektor Secara Geometris yang dilengkapi dengan soal latihan dan pembahasan silahkan disimak pada catatan Belajar Mengenal Vektor Secara Geometris.
VEKTOR SATUAN dan VEKTOR BASIS
Vektor Satuan adalah sebuah vektor yang panjangnya satu satuan yang disimbolkan dengan $\hat{a}$. Yang dihtung dengan menggunakan rumus:
\begin{align} \hat{a} &= \dfrac{ \vec{a} }{ \left| \vec{a} \right|} \end{align}
Dimana vektor $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ dan $\left| \vec{a} \right|$ adalah panjang vektor $\left| \vec{a} \right| = \sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}$.
Vektor Basis adalah vektor satuan yang arahnya searah dengan sumbu-sumbu koordinat. Terdapat tiga macam vektor basis, yaitu:
- $\vec{i}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $x$ positip.
- $\vec{j}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $y$ positip.
- $\vec{k}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $z$ positip.
Menyatakan vektor $\vec{a}$ secara analitis yaitu menyatakannya dalam bentuk persamaan dengan komponen $i$, $j$, dan $k$ dan dinyatakan sebagai $\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ atau $\vec{a}=\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix}$.
PANJANG VEKTOR
Dari contoh soal di atas, dapat menjadi bukti sederhana bahwa jika vektor $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ maka panjang vektor $\vec{a}$ yang disimbolkan dengan $\left| \vec{a} \right|$ dapat dirumuskan $\left| \vec{a} \right| =\sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}$.
OPERASI PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN PADA VEKTOR
Operasi penjumlahan pada atau pengurangan pada vector secara analitis dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurang komponen-komponennya.
Misalnya $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ dan $\vec{b} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{a}+\vec{b} &= \left(a_{1}-b_{1} \right)\vec{i}+\left(a_{2}-b_{2} \right)\vec{j}+\left(a_{3}-b_{3} \right)\vec{k} \\
\vec{a}-\vec{b} &= \left(a_{1}-b_{1} \right)\vec{i}+\left(a_{2}-b_{2} \right)\vec{j}+\left(a_{3}-b_{3} \right)\vec{k} \\
\vec{b}-\vec{a} &= \left(b_{1}-a_{1} \right)\vec{i}+\left(b_{2}-a_{2} \right)\vec{j}+\left(b_{3}-a_{3} \right)\vec{k}
\end{align}$
Sebagai tambahan Belajar Mengenal Vektor Secara Analitis yang dilengkapi dengan soal latihan dan pembahasan silahkan disimak pada catatan Belajar Mengenal Vektor Secara Analitis.
RUMUS PERBANDINGAN RUAS GARIS
Jika $\vec{OA}$ vektor posisinya adalah $\vec{a}$, $\vec{OB}$ vektor posisinya adalah $\vec{b}$ dan $\vec{OP}$ vektor posisinya adalah $\vec{p}$, maka untuk perbandingan $AP:PB=m : n$ berlaku $\vec{p}=\dfrac{n \cdot \vec{a}+m \cdot \vec{b}}{m+n}$.
$\begin{align} \vec{AP} : \vec{PB} &= m : n \\ n\vec{AP} &= m \vec{PB} \\ n \left(\vec{p}-\vec{a} \right) &= m \left(\vec{b}-\vec{p} \right) \\ n \vec{p}- n\vec{a} &= m \vec{b}- m\vec{p} \\ m\vec{p} + n \vec{p} &= m \vec{a}+ n \vec{b} \\ \vec{p} \left( m + n \right) &= n \vec{a} + m \vec{b} \\ \vec{p} &= \dfrac{n \vec{a} + m \vec{b} }{ m + n } \end{align}$
Dari hasil di atas untuk $A \left( x_{a}, y_{a}, z_{a} \right)$, $B \left( x_{b}, y_{b}, z_{b} \right)$ dan $P \left( x_{p}, y_{p}, z_{p} \right)$ terletak segaris dengan $\vec{AB}$ dan memiliki perbandingan $\vec{AP} : \vec{PB} = m : n$, maka berlaku:
$x_{p}=\dfrac{n \cdot x_{a}+m \cdot x_{b}}{m+n}$, $y_{p}=\dfrac{n \cdot y_{a}+m \cdot y_{b}}{m+n}$, dan $z_{p}=\dfrac{n \cdot z_{a}+m \cdot z_{b}}{m+n}$.
Sebagai tambahan Belajar Mengenal Perbandingan Vektor yang dilengkapi dengan soal latihan dan pembahasan silahkan disimak pada catatan Belajar Mengenal Perbandingan Vektor.
PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
Jika $\vec{a} = a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ dan $\vec{b} = b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+c_{3}\vec{k}$ maka perkalian skalar $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ secara geometris didefinisikan:
Sebagai tambahan Belajar Mengenal Perkalian Skalar Dua Vektor yang dilengkapi dengan soal latihan dan pembahasan silahkan disimak pada catatan Belajar Mengenal Perkalian Skalar Dua Vektor.
PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR
Misalkan vektor $\vec{OA} = \vec{a}$ dan vektor $\vec{OB} = \vec{b}$ membentuk sudut sebesar $\alpha$ digambarkan dalam kedudukan seperti berikut ini:
Jika vektor $\vec{a}$ kita proyeksikan pada vektor $\vec{b}$ maka akan kita peroleh hasil proyeksi pada $\vec{b}$ yaitu $\vec{c}$. Ilustrasinya kita gambarkan seperti berikut ini:
Jika $\vec{c}$ adalah vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ maka panjang $\vec{c}$ (panjang proyeksi ini disebut juga proyeksi skalar $\vec{a}$ pada $\vec{b}$) adalah:
\begin{align}
\left| \vec{c} \right| &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} \\
\end{align}
Jika $\vec{c}$ adalah vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ maka persamaan $\vec{c}$ adalah:
\begin{align}
\vec{c} &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b}
\end{align}
Sebagai tambahan Belajar Mengenal Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor yang dilengkapi dengan soal latihan dan pembahasan silahkan disimak pada catatan Belajar Mengenal Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor.
Soal dan Pembahasan Vektor
Untuk menambah pemahaman kita terkait vektor, berikut mari kita diskusikan beberapa Soal Matematika Dasar SMA Vektor yang sudah pernah di ujikan pada Ujian Nasional, Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri dan Seleksi masuk sekolah kedinasan.
1. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap
Diketahui vektor-vektor $\overline{u}= \left (a, a+1, 2 \right )$ dan $\overline{u}= \left ( 1,1,1 \right )$. Jika vektor proyeksi $\overline{u}$ pada $\overline{v}$ adalah $\overline{w}= \left( 2,2,2 \right)$, maka panjang vektor $\overline{u}$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Proyeksi vektor $\overline{u}$ pada $\overline{v}$ adalah $\overline{w}$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\overline{w} &= \left( \dfrac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{ \left( \left|\overline{v} \right| \right)^{2}} \right) \overline{v} \\
\left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a, a+1, 2 \right ) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) }{ \left( \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\
\left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{\left (a \right ) \left ( 1 \right )+\left (a+1 \right ) \left ( 1 \right )+\left ( 2 \right ) \left ( 1 \right ) }{ \left( \sqrt{3} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\
\left( 2,2,2 \right) &= \left( \dfrac{a+a+1+2}{ 3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right ) \\
\left( 2 \right) \cdot \left( 1,1,1 \right) &= \left( \dfrac{2a+3}{3} \right) \cdot \left ( 1,1,1 \right )
\end{align}$
Dari kesamaan vektor di atas, kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{2a+3}{3} &= 2 \\
2a+3 &= 6 \rightarrow a=\frac{3}{2} \\
\hline
\overline{u} &= \left (a, a+1, 2 \right) \\
\overline{u} &= \left ( \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, 2 \right) \\
\left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \left (\frac{3}{2} \right )^{2} + \left (\frac{5}{2} \right )^{2} + \left (2\right)^{2} } \\
\left| \overline{u} \right| &= \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4 } \\
&= \sqrt{ \frac{50}{4} } = \frac{5}{2}\sqrt{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{5}{2}\sqrt{2}$
2. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap
Diberikan dua vektor $u$ dan $v$, dengan $u=\left(-1,-2,1 \right)$ dan $v=\left(2,1,1 \right)$. Besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Perkalian skalar dua vektor $u$ dan $v$ adalah $u \cdot v = \left| u \right| \cdot \left| v \right| \cdot cos\ \theta $, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
cos\ \theta &= \dfrac{u \cdot v}{\left| u \right| \cdot \left| v \right|} \\
\hline
\left| u \right| &= \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} \\
&= \sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{6} \\
\left| v \right| &= \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}} \\
&= \sqrt{(2)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{6} \\
u \cdot v &= x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}+z_{1} \cdot z_{2} \\
&= (-1)(2)+(-2)(1)+( 1)(1) = -3 \\
\hline
cos\ \theta &= \dfrac{-3}{\left( \sqrt{6} \right)\left( \sqrt{6} \right) } \\
cos\ \theta &= \dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2} \\
\theta &= 120^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 120^{\circ} $
3. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap
Diketahui vektor $a,\ u,\ v,\ w$ adalah vektor di bidang kartesius dengan $v=w-u$ dan sudut antara $u$ dan $w$ adalah $60^{\circ}$. Jika $a=4v$ dan $a \cdot u=0$ maka...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kta peroleh:
$\begin{align}
& a = 4v\\
& a = 4(w-u)\\
& a = 4w-4u\\
\hline
a \cdot u & = 0\\
(4w-4u)u & = 0\\
4w \cdot u - 4u^{2}& = 0 \\
4w \cdot u & = 4u^{2} \\
w \cdot u & = u^{2} \\
\end{align}$
Sudut antara vektor $u$ dan $w$ adalah $60^{\circ}$ sehingga berlaku:
$\begin{split}
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| cos 60^{\circ} \\
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
u^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
\left \| u \right \|^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
\left \| u \right \|&= \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
2 \left \| u \right \|&= \left \| w \right \|
\end{split}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \| w \right \|=2\left \| u \right \|$
4. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap
Vektor $\vec{w}$ merupakan vektor proyeksi tegak lurus vektor $(a,\ 1-a,\ a)$ pada vektor $(-1,-1,1)$. Jika panjang $\vec{w}$ adalah $\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$, maka diantara nilai $a$ berikut ini yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang vektor berikut ini mungkin membantu;
- Panjang Vektor $ \vec{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ adalah $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$
- Panjang Vektor Proyeksi $\vec{a}$ terhadap vektor $\vec{b}$ adalah $\left| \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right|$
- vektor Proyeksi $\vec{a}$ terhadap vektor $\vec{b}$ adalah $\left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^{2}} \right) \cdot \vec{b}$
\vec{w} & = \left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \\ \left| \vec{w} \right| & = \left| \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ \dfrac{2}{3}\sqrt{3} & = \left| \dfrac{(a)(-1)+(1-a)(-1)+(a)(1)}{ \sqrt{(-1)^{2}+ (-1)^{2}+ (1)^{2}}} \right| \\ \dfrac{2}{3}\sqrt{3} & = \left| \dfrac{a-1}{ \sqrt{3}} \right| \\ \dfrac{2}{3}\sqrt{3} & = \left| \dfrac{a-1}{ 3}\sqrt{3} \right| \\ 2 \cdot \dfrac{1}{3}\sqrt{3} & = \left| a-1 \right| \cdot \dfrac{1}{3}\sqrt{3}
\end{align} $
Agar nilai $|a-1|=2$ nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=3$ atau $a=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
5. Soal UMPTN 1992 (Rayon B) |*Soal Lengkap
Diberikan vektor $\vec{OA}= \vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$ dan $\vec{OB}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$. Titik $P$ pada garis $AB$, sehingga $\left| \vec{AP} \right|=\left| \vec{OB} \right|$, maka $\vec{OA} \cdot \vec{AP}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambar keadaan titik-titik pada soal dapat seperti berikut:
Dari gambar di atas dan apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{OA} &= \vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} \\
\vec{AO} &= -\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k} \\
\left| \vec{AO} \right| &= \sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2} +(-2)^{2}} \\
&= \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6} \\
\vec{AB} &= (1-1) \vec{i}+(2-1) \vec{j}+(3-2) \vec{k} \\
&= \vec{j} + \vec{k} \\
\left| \vec{AB} \right| &= \sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}} \\
&= \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \\
\hline
\left| \vec{OB} \right| =\left| \vec{AP} \right| &= \sqrt{(1)^{2}+(2)^{2} +(3)^{2}} \\
&= \sqrt{1+4 +9} = \sqrt{14}
\end{align}
Dari perkalian skalar dua vektor dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{AO} \cdot \vec{AB} &= \left| \vec{AO} \right| \cdot \left| \vec{AB} \right| \cdot \cos \theta \\
(-1)(0)+(-1)(1)+(-2)(1) &= \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos \theta \\
-3 &= \sqrt{12} \cdot \cos \theta \\
\cos \theta &= \frac{-3}{ \sqrt{12}} \\
\hline
\vec{OA} \cdot \vec{AP} &= -\vec{AO} \cdot \vec{AP} \\
&= - \left| \vec{AO} \right| \cdot \left| \vec{AP} \right| \cdot \cos \theta \\
&= - \sqrt{6} \cdot \sqrt{14} \cdot \frac{-3}{ \sqrt{12}} \\
&= \sqrt{6} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{3}{ \sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} \\
&= 3\sqrt{7}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3\sqrt{7}$
6. Soal UMPTN 1993 (Rayon A) |*Soal Lengkap
$\vec{a}= 3x\vec{i}+x\vec{j}-4\vec{k}$,
$\vec{b}= -2 \vec{i}+4 \vec{j}+5\vec{k}$,
$\vec{c}= -3 \vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$,
Jika $\vec{a}$ tegak lurus pada $\vec{b}$ maka $\vec{a}-\vec{c}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $\vec{a}$ tegak lurus pada $\vec{b}$ maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= 0 \\
(3x)(-2)+(x)(4)+(-4)(5) &= 0 \\
-6x+4x-20 &= 0 \\
-2x-20 &= 0 \\
x &= -10
\end{align}
Untuk $x=-10$ dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} - \vec{c} &= \left( 3x-(-3) \right) \vec{i}+\left(x-2 \right) \vec{j}+\left(-4-1 \right) \vec{k} \\
&= \left( -30+3 \right) \vec{i}+\left(-10-2 \right) \vec{j}+\left(-5 \right) \vec{k} \\
&= -27\vec{i}-12 \vec{j}-5 \vec{k}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -27 \vec{i}-12 \vec{j}-5\vec{k}$
7. Soal UMPTN 1993 (Rayon C) |*Soal Lengkap
$\vec{a}= -\vec{i}+4\vec{j}$,
$\vec{b}= 2 \vec{i}+ \vec{j}$,
$\vec{c}= 3 \vec{i}-4\vec{j}$,
$\vec{x}= p \vec{a}+q\vec{b}$,
Dengan $p$ dan $q$ bilangan real tidak nol. Jika $\vec{x}$ sejajar $\vec{c}$, maka $p$ dan $q$ memenuhi hubungan.
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{x} &= p \vec{a}+q\vec{b} \\
\vec{x} &= p \left( -\vec{i}+4\vec{j} \right) + q \left( 2 \vec{i}+ \vec{j} \right) \\
&= -p\vec{i}+4p\vec{j} + 2q \vec{i}+ q\vec{j} \\
&= \left( -p+2q \right) \vec{i}+ \left( 4p + q \right) \vec{j} \\
\end{align}
Diketahui $\vec{x}$ sejajar $\vec{c}$ maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
k \cdot \vec{c} &= \vec{x} \\
\hline
k \cdot \left( 3 \right) &= -p+2q \\
k &= \dfrac{-p+2q}{3} \\
\hline
k \cdot \left( -4 \right) &= 4p+q \\
k &= \dfrac{4p+q}{-4} \\
\hline
\dfrac{4p+q}{-4} &= \dfrac{-p+2q}{3} \\
12p+3q &= 4p-8q \\
12p-4p &= -8q -3q\\
8p &= -11q\\
8p +11 q &= 0
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8p+11q=0$
8. Soal UMPTN 1995 (Rayon B) |*Soal Lengkap
Diketahui $P=\left(a,\ 0,\ 3 \right)$, $Q=\left(0,\ 6,\ 5 \right)$, dan $R=\left(2,\ 7,\ c \right)$. Agar vektor $\vec{PQ}$, tegak lurus pada $\vec{QR}$, haruslah nilai $a-c=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{PQ} &= \left( 0-a,\ 6-0,\ 5-3 \right) \\
&= \left( -a,\ 6,\ 2 \right) \\
\vec{QR} &= \left( 2-0,\ 7-6,\ c-5 \right) \\
&= \left( 2,\ 1,\ c-5 \right)
\end{align}
$\vec{PQ}$ tegak lurus pada $\vec{QR}$ maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{PQ} \cdot \vec{QR} &= 0 \\
\left( -a,\ 6,\ 2 \right) \cdot \left( 2,\ 1,\ c-5 \right) &= 0 \\
(-a)(2)+(6)(1)+(2)(c-5) &= 0 \\
-2a+6+2c-10 &= 0 \\
-2a +2c-4 &= 0 \\
- a + c-2 &= 0 \\
- a + c &= 2 \\
a - c &= -2
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$
9. Soal UMPTN 1997 (Rayon A) |*Soal Lengkap
Vektor $\vec{PQ}=\left(2,\ 0,\ 1 \right)$ dan $\vec{PR}=\left(1,\ 1,\ 2 \right)$. Jika $\vec{PS}=\frac{1}{2} \vec{PQ}$ maka vektor $\vec{RS}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{PS} &= \frac{1}{2} \vec{PQ} \\
\vec{PS} &= \frac{1}{2} \cdot \left(2,\ 0,\ 1 \right) \\
&= \left( 1,\ 0,\ \frac{1}{2} \right) \\
\hline
\vec{RS} &= \vec{RP}+\vec{PS} \\
&= -\vec{PR}+\vec{PS} \\
&= -\left( 1,\ 1,\ 2 \right)+\left( 1,\ 0,\ \frac{1}{2} \right) \\
&= \left( -1+1,\ -1+0,\ -2+ \frac{1}{2} \right)\\
&= \left( 0,\ -1,\ - \frac{3}{2} \right)
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left( 0,\ -1,\ - \frac{3}{2} \right) $
10. Soal UMPTN 1997 (Rayon B) |*Soal Lengkap
$A=\left(-1,\ 5,\ 4 \right)$, $B=\left(2,\ -1,\ -2 \right)$, $C=\left(3,\ p,\ q \right)$. Jika titik-titik $A$, $B$, dan $C$ segaris maka nilai $p$ dan $q$ berturut-turut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui dan titik-titik $A$, $B$, dan $C$ segaris maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{AB} &= k \cdot \vec{AC} \\
\left( 2-(-1),\ -1-5,\ -2-4 \right) &= k \cdot \left( 3-(-1),\ p-5,\ q-4 \right) \\
\left( 3,\ -6,\ -6 \right) &= k \cdot \left( 4,\ p-5,\ q-4 \right) \\
\hline
3 &= 4k \longrightarrow k=\frac{3}{4} \\
\hline
-6 &= k\ \cdot \left( p -5 \right) \\
-6 &= \frac{3}{4}\ \cdot \left( p -5 \right) \\
-8 &= p -5 \longrightarrow p=-3 \\
\hline
-6 &= k\ \cdot \left( q -4 \right) \\
-6 &= \frac{3}{4}\ \cdot \left( q -4 \right) \\
-8 &= q -4 \longrightarrow q=-4 \\
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3\ \text{dan}\ -4$
11. Soal UMPTN 1998 (Rayon A) |*Soal Lengkap
Pada persegi panjang $OACB$, $D$ adalah titk tengah $OA$ dan $p$ titik potong $CD$ dengan diagonal $AB$. Jika $\vec{a}=\vec{OA}$ dan $\vec{b}=\vec{OB}$, maka $\vec{CP}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambar keadaan titik-titik pada soal dapat seperti berikut:
Dari gambar di atas kita peroleh $\angle DAP = \angle PBC$ dan $\angle APD = \angle CPB$ sehingga $\bigtriangleup CPB$ sebangun dengan $\bigtriangleup APD$. Dapat kita peroleh:
\begin{align}
\dfrac{\vec{BC}}{\vec{DA}} &= \dfrac{\vec{CP}}{\vec{PD}} \\
\dfrac{\vec{a}}{\frac{1}{2}\vec{a}} &= \dfrac{\vec{CP}}{\vec{PD}} \\
\dfrac{2}{1} &= \dfrac{\vec{CP}}{\vec{PD}} \\
2\vec{PD} &= \vec{CP}
\end{align}
Dari apa yang kita eroleh di atas, dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{CP} &= \dfrac{2}{3} \cdot \vec{CD} \\
&= \dfrac{2}{3} \left( \vec{CA}+ \vec{AD} \right) \\
&= \dfrac{2}{3} \left( -\vec{b} -\frac{1}{2}\vec{a} \right) \\
&= -\dfrac{2}{3} \vec{b} -\frac{1}{3}\vec{a} \\
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}$
12. Soal UMPTN 1998 (Rayon A) |*Soal Lengkap
$ABCD$ adalah sebuah belah ketupat. Jika $\vec{AD}=\vec{u}$, $\vec{AB}=\vec{v}$ dan besar sudut $BAD$ adalah $\alpha$, maka akan selalu
Alternatif Pembahasan:
Pernyataan $(1)$ $\vec{u}\ \text{tegak lurus pada}\ \vec{v}$ merupakan pernyataan yang SALAH karena jika $\alpha=90^{\circ}$ maka $ABCD$ adalah sebuah pesegi.
Pernyataan $(2)$ $\left| \vec{u} + \vec{v} \right| =2 \left| \vec{u} \right|$ atau $\left| \vec{u} + \vec{v} \right| =2 \left| \vec{v} \right|$ merupakan pernyataan yang SALAH karena $\left| \vec{u} + \vec{v} \right| \lt 2 \left| \vec{u} \right|$
Pernyataan $(3)$ proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{u}\ \sin \alpha$ merupakan pernyataan yang SALAH karena proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{u}\ \cos \alpha$
Pernyataan $(4)$ $\vec{u}+\vec{v}$ tegak lurus pada $\vec{u}-\vec{v}$ merupakan pernyataan yang BENAR
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \text{Pernyataan (4) Benar}$
13. Soal UMPTN 1999 (Rayon B) |*Soal Lengkap
Diketahui vektor $\vec{a}= 4\vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k}$ dan titik $P \left(2,\ -1,\ 3 \right)$. Jika panjang $\vec{PQ}$ sama dengan panjang $\vec{a}$ dan $\vec{PQ}$ berlawanan arah dengan $\vec{a}$ maka koordinat $Q$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(4)^{2}+(5)^{2}+(3)^{2}} \\
&= \sqrt{16+25+9}=\sqrt{50}
\end{align}
$\vec{PQ}$ berlawanan arah dengan $\vec{a}$ maka $\vec{QP}$ searah dengan $\vec{a}$. Jika koordinat $Q \left(x,\ y,\ z \right)$ maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{QP} &= k \cdot \vec{a} \\
\left(2-x,\ -1-y,\ 3-z \right) &= k \cdot \left(4,\ -5,\ 3 \right) \\
\left(2-x,\ -1-y,\ 3-z \right) &= \left(4k,\ -5k,\ 3k \right)
\end{align}
Panjang $\left| \vec{PQ} \right|=\left| \vec{a} \right|$ atau $\left| \vec{QP} \right|=\left| \vec{a} \right|$ maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left| \vec{QP} \right| &= \left| \vec{a} \right| \\
\sqrt{(2-x)^{2}+(-1-y)^{2}+(3-z)^{2}} &= \sqrt{50} \\
\sqrt{\left( 4k \right)^{2}+\left( -5k \right)^{2}+\left( 3k \right)^{2}} &= \sqrt{50} \\
16k^{2}+25k^{2}+9k^{2} &= 50 \\
50k^{2} &= 50 \\
k &= \pm 1
\end{align}
Untuk $k=1$ kita peroleh $2-x=4\ \longrightarrow x=-2$, $-1-y=-5\ \longrightarrow y=4$ dan $3-z=3\ \longrightarrow z=0$ sehingga $Q \left(-2,\ 4,\ 0 \right)$.
Untuk $k=-1$ kita peroleh $2-x=-4\ \longrightarrow x=6$, $-1-y=5\ \longrightarrow y=-6$ dan $3-z=-3\ \longrightarrow z=-6$ sehingga $Q \left(6,\ -6,\ 6 \right)$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left(-2,\ 4,\ 0 \right)$
14. Soal UMPTN 2000 (Rayon B) |*Soal Lengkap
Pada segitiga $ABC$, $E$ adalah titik tengah $BC$ dan $M$ adalah titik berat segitiga tersebut. Jika $\vec{u}=\vec{AB}$, maka ruas garis berarah $\vec{ME}$, maka ruas garis berarah $\vec{ME}$ dapat dinyatakan dalam $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ sebagai
Alternatif Pembahasan:
Titik $E$ adalah titik tengah $BC$ sehingga dengan menggunakan perbandingan vektor dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{AE} &= \frac{1 \cdot \vec{AB}+1 \cdot \vec{AC}}{2} \\
\vec{AE} &= \frac{\vec{u}+ \vec{v}}{2} \\
\vec{AE} &= \frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}
\end{align}
Titik $M$ adalah titik berat segitiga sehingga $\vec{AM} : \vec{ME}=2:1$ maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{ME} &= \frac{1}{3} \cdot \vec{AE} \\
\vec{ME} &= \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v} \right) \\
&= \frac{1}{6}\vec{u}+\frac{1}{6}\vec{v}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{6}\vec{u}+\frac{1}{6}\vec{v}$
15. Soal UMPTN 2000 (Rayon B) |*Soal Lengkap
Pada segiempat sembarang $ABCD$, $S$ dan $T$ masing-masing adalah titik tengah $AC$ dan $BD$. Jika $\vec{u}=\vec{ST}$, maka $\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD}$ dapat dinyatakan dalam $\vec{u}$ sebagai...
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar segiempat di atas dapat kita peroleh $\vec{ST}$ dari beberapa penjumlahan agar kita munculkan penjumlahan $\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD}$, yaitu:
\begin{align}
\vec{ST} &= \vec{SC}+\vec{CD}+\vec{DT} \\
\vec{ST} &= \vec{SC}+\vec{CB}+\vec{BT} \\
\vec{ST} &= \vec{SA}+\vec{AB}+\vec{BT} \\
\vec{ST} &= \vec{SA}+\vec{AD}+\vec{DT}\ \ (+) \\
\hline
4 \vec{ST} &= 2\vec{SC}+2\vec{SA}+2\vec{DT}+2\vec{BT}+\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\
4 \vec{u} &= 2\left( \vec{SC}+ \vec{SA}+ \vec{DT}+ \vec{BT} \right)+\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\
4 \vec{u} &= 2\left( \vec{SC}- \vec{AS}+ \vec{DT}- \vec{TB} \right)+\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\
4 \vec{u} &= 2\left( \vec{SC}- \vec{SC}+ \vec{DT}- \vec{DT} \right)+\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\
4 \vec{u} &= 2\left( 0+ 0 \right)+\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\
4 \vec{u} &= \vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} \\
\end{align}
Sebagai alternatif dapat juga dengan menggunakan vektor posisi. Jika kita misalkan vektor posisi titik $A,\ B,\ C,\ D$ adalah $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c},\ \vec{d}$.
Titik $S$ titik tengah $AC$ maka vektor posisinya adalah $\vec{s}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}$ dan Titik $T$ titik tengah $BD$ maka vektor posisinya adalah $\vec{t}=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d}$.
Dari apa yang kita peroleh di atas sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{ST} &= \vec{t}-\vec{s}\\
\vec{u} &= \frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d} - \left( \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c} \right) \\
\vec{u} &= \frac{1}{2} \left( \vec{b}+ \vec{d} - \vec{a}-\vec{c} \right) \\
2\vec{u} &= \vec{b}+ \vec{d} - \vec{a}-\vec{c} \\
\hline
\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{CB}+\vec{CD} &= \vec{b}- \vec{a}+\vec{d}- \vec{a}+\vec{b}- \vec{c}+\vec{d}- \vec{c} \\
&= 2\vec{b}- 2\vec{a}+2\vec{d}- 2\vec{c} \\
&= 2 \left( \vec{b}+ \vec{b}- \vec{a}- \vec{c} \right) \\
&= 2 \left( 2\vec{u} \right) \\
&= 4\vec{u}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4\vec{u}$
16. Soal UMPTN 2000 (Rayon A) |*Soal Lengkap
Pada segiempat sembarang $OABC$, $S$ dan $T$ masing-masing adalah titik tengah $OB$ dan $AC$. Jika $\vec{u}=\vec{OA}$, $\vec{v}=\vec{OB}$, dan $\vec{w}=\vec{OC}$, maka ruas garis berarah $\vec{ST}$ dapat dinyatakan dalam $\vec{u}$, $\vec{v}$, dan $\vec{w}$ sebagai
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar segiempat di atas dapat kita peroleh $\vec{ST}$ dari beberapa penjumlahan vektor agar kita munculkan $\vec{u}=\vec{OA}$, $\vec{v}=\vec{OB}$, dan $\vec{w}=\vec{OC}$, yaitu:
\begin{align}
\vec{ST} &= \vec{SO}+\vec{OA}+\vec{AT} \\
&= \frac{1}{2} \vec{BO}+\vec{u}+\frac{1}{2} \vec{AC}\\
&= -\frac{1}{2} \vec{OB}+\vec{u}+\frac{1}{2} \left( \vec{AO}+\vec{OC} \right) \\
&= -\frac{1}{2} \vec{v}+\vec{u}+\frac{1}{2} \left( -\vec{OA}+\vec{w} \right) \\
&= -\frac{1}{2} \vec{v}+\vec{u}+\frac{1}{2} \left( -\vec{u}+\vec{w} \right) \\
&= -\frac{1}{2} \vec{v}+\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{w} \\
&= -\frac{1}{2} \vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{w} \\
&= \frac{1}{2}\vec{u} -\frac{1}{2}\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{w}
\end{align}
Sebagai alternatif dapat juga dengan menggunakan vektor posisi. Jika kita misalkan vektor posisi titik $O,\ A,\ B,\ C$ adalah $\vec{o},\ \vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$.
Titik $S$ titik tengah $OB$ maka vektor posisinya adalah $\vec{s}=\frac{1}{2}\vec{o}+\frac{1}{2}\vec{b}$ dan Titik $T$ titik tengah $AC$ maka vektor posisinya adalah $\vec{t}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}$.
Dari apa yang kita peroleh di atas sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{ST} &= \vec{t}-\vec{s}\\
&= \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{o} - \frac{1}{2}\vec{v} \\
&= \frac{1}{2} \left(\vec{o}+\vec{u} \right)+\frac{1}{2}\left(\vec{o}+\vec{w} \right) - \frac{1}{2}\vec{o}-\frac{1}{2} \left(\vec{o}+\vec{u} \right) \\
&= \frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{w} -\frac{1}{2}\vec{u}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{w}$
17. Soal UMPTN 2001 (Rayon A) |*Soal Lengkap
Jika sudut antara vektor $\vec{a}= \vec{i}+\sqrt{2}\vec{j}+p\vec{k}$ dan $\vec{b}= \vec{i}-\sqrt{2}\vec{j}+p\vec{k}$ adalah $60^{\circ}$, maka $p=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dan dengan menggunakan aturan perkalian skalar dua vektor, maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos \theta \\
\left( 1 \cdot 1 \right)+\left( \sqrt{2} \cdot -\sqrt{2} \right)+\left( p \cdot p \right) &= \sqrt{1^{2}+ \left(\sqrt{2} \right)^{2} + p^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+ \left( -\sqrt{2} \right)^{2} + p^{2}} \cdot \cos 60^{\circ} \\
1-2+p^{2} &= \sqrt{1+2 + p^{2}} \cdot \sqrt{1 + 2 + p^{2}} \cdot \frac{1}{2} \\
-1+p^{2} &= \left( 3 + p^{2} \right) \cdot \frac{1}{2} \\
-2+2p^{2} &= 3 + p^{2} \\
p^{2}-5 &= 0 \\
\left(p-\sqrt{5} \right)\left( p+\sqrt{5} \right) &= 0 \\
p=\sqrt{5},\ \text{atau}\ & p=-\sqrt{5}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\sqrt{5}\ \text{atau}\ \sqrt{5}$
18. Soal UMPTN 2001 (Rayon B) |*Soal Lengkap
Jika $\vec{a}= \left(2,k \right)$ dan $\vec{b}= \left(3,5 \right)$ dan $\angle \left(\vec{a},\vec{b} \right)=\frac{\pi}{4}$, maka konstanta positif $k$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dan dengan menggunakan aturan perkalian skalar dua vektor, maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos \theta \\
\left( 2 \cdot 3 \right)+\left( k \cdot 5 \right) &= \sqrt{2^{2}+k^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}+5^{2}} \cdot \cos 45^{\circ} \\
6+5k &= \sqrt{4+k^{2}} \cdot \sqrt{9+25} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \\
\left( 6+5k \right)^{2} &=\left( \sqrt{4+k^{2}} \cdot \sqrt{9+25} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} \\
36+25k^{2}+60k &=\left( 4+k^{2} \right) \cdot 34 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \\
36+25k^{2}+60k &=68+17k^{2} \\
8k^{2}+60k-32 &= 0 \\
2k^{2}+15k-8 &= 0 \\
\left(2k-1 \right)\left(k+8 \right) &= 0 \\
k=\frac{1}{2}\ & \text{atau}\ k=-8
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}$
19. Soal UMPTN 2001 (Rayon C) |*Soal Lengkap
Jika $\vec{OA}= \left( 1,2 \right)$, $\vec{OB}= \left( 4,2 \right)$ dan $\theta = \angle \left( \vec{OA},\vec{OB} \right)$, maka $\tan \theta=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dan dengan menggunakan aturan perkalian skalar dua vektor, maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos \theta \\
\left( 1 \cdot 4 \right)+\left( 2 \cdot 2 \right) &= \sqrt{1^{2}+ 2^{2}} \cdot \sqrt{4^{2}+ 2^{2}} \cdot \cos \theta \\
4+4 &= \sqrt{1+4} \cdot \sqrt{16 + 4} \cdot \cos \theta \\
8 &= \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} \cdot \cos \theta \\
8 &= \sqrt{100} \cdot \cos \theta \\
8 &= 10 \cdot \cos \theta \\
\cos \theta &= \frac{8}{10}=\frac{4}{5}
\end{align}
Untuk $\cos \theta =\frac{4}{5}$ kita akan peroleh $\tan \theta = \frac{3}{4}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{3}{4}$
20. Soal SPMB 2002 (Regional I) |*Soal Lengkap
$O$ adalah titik awal.
$\begin{align} \text{Jika}\ & \vec{a}\ \text{adalah vektor posisi titik}\ A \\ & \vec{b}\ \text{adalah vektor posisi titik}\ B \\ & \vec{c}\ \text{adalah vektor posisi titik}\ C \\ \end{align}$
$\vec{CD} = \vec{b}$, $\vec{BE} = \vec{a}$, dan $\vec{DP} = \vec{OE}$ maka vektor posisi titik $P$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Vektor posisi $P$ atau $\vec{OP}$ dari apa yang diketahui di atas kita peroleh:
\begin{align}
\vec{CD} &= \vec{b} \\
\vec{OD}-\vec{OC} &= \vec{b} \\
\vec{OD} &= \vec{b} + \vec{OC} \\
\vec{OD} &= \vec{b} + \vec{c} \\
\hline
\vec{BE} &= \vec{a} \\
\vec{OE}-\vec{OB} &= \vec{a} \\
\vec{OE} &= \vec{a} + \vec{OB} \\
\vec{OE} &= \vec{a} + \vec{b} \\
\hline
\vec{DP} &= \vec{a} + \vec{b} \\
\vec{OP}-\vec{OD} &= \vec{a} + \vec{b} \\
\vec{OP} &= \vec{a} + \vec{b}+\vec{OD} \\
\vec{OP} &= \vec{a} + \vec{b}+\vec{b} + \vec{c} \\
\vec{OP} &= \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}$
21. Soal SPMB 2002 (Regional II) |*Soal Lengkap
$ABCDEF$ adalah segi-6 beraturan dengan pusat $O$. Bila $\vec{AB}$ dan $\vec{BC}$ masing-masing dinyatakan oleh $\vec{u}$ dan $\vec{v}$, maka $\vec{CD}$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambar segi-6 beraturan $ABCDEF$ dan vektor yang diketahui dapat seperti berikut:
Dari gambar di atas kita dapat $\vec{OC}=\vec{AB}$ dan $\vec{OD}=\vec{BC}$ sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{OC}+\vec{CD} &= \vec{OD} \\
\vec{AB}+\vec{CD} &= \vec{BC} \\
\vec{u}+\vec{CD} &= \vec{v} \\
\vec{CD} &= \vec{v}-\vec{u}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \vec{v}-\vec{u}$
22. Soal SPMB 2002 (Regional III) |*Soal Lengkap
Diketahui persegi panjang $OACB$ dan $D$ titik tengah $OA$ dan $CD$ memotong diagonal $AB$ di $P$. Jika $\vec{OA}=\vec{a}$ dan $\vec{OB}=\vec{b}$, maka $\vec{OP}$ dapat dinyatakan sebagai:
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambar persegi panjang $OACB$ dan titik-titik pada soal dapat seperti berikut:
Dari gambar di atas kita peroleh $\angle DPA = \angle BPC$ dan $\angle ADP = \angle BCP$ sehingga $\bigtriangleup DPA$ sebangun dengan $\bigtriangleup CPB$. Dapat kita peroleh:
\begin{align}
\dfrac{\vec{DA}}{\vec{BC}} &= \dfrac{\vec{DP}}{\vec{PC}} \\
\dfrac{\frac{1}{2} \vec{a}}{ \vec{a}} &= \dfrac{\vec{DP}}{\vec{PC}} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{\vec{DP}}{\vec{PC}}\\
PC &= 2DP
\end{align}
Dari apa yang kita peroleh di atas, dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{OP} &= \vec{OD}+\vec{DP} \\
&= \vec{OD}+\frac{1}{3} \vec{PC} \\
&= \frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{3} \left( \vec{DA}+\vec{AC} \right) \\
&= \frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} \right) \\
&= \frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} \\
&= \frac{4}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} \\
&= \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$
23. Soal SPMB 2003 (Regional I) |*Soal Lengkap
Diketahui titik-titik $P \left (1,1 \right )$, $Q \left (5,3 \right )$ dan $R \left ( 2,4 \right )$. Jika titik $S$ merupakan proyeksi titik $R$ pada garis $PQ$, maka panjang $PS=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Titik $S$ merupakan proyeksi titik $R$ pada garis $PQ$ maka panjang $PS$ dapat kita hitung dengan menggunakan proyeksi vektor $\vec{PR}$ pada $\vec{PQ}$ yaitu $\left| \vec{PS} \right|$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left| \vec{PS} \right| &= \dfrac{\vec{PR} \cdot \vec{PQ}}{\left|\vec{PQ} \right|} \\
&= \dfrac{\left ( 2-1,\ 4-1 \right ) \cdot \left (5-1,\ 3-1 \right )}{\sqrt{(5-1)^{2}+(3-1)^{2}}} \\
&= \dfrac{\left (1,\ 3 \right ) \cdot \left ( 4,\ 2 \right )}{\sqrt{(4)^{2}+(2)^{2}}} \\
&= \dfrac{(1)(4)+(3)(2)}{\sqrt{16+4}} \\
&= \dfrac{10}{\sqrt{20}} = \dfrac{10}{2\sqrt{5}}=\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \sqrt{5}$
24. Soal SPMB 2004 Kode 751 |*Soal Lengkap
Diketahui bidang empat $ABCD$, $\vec{DA}=\vec{a}$, $\vec{DB}=\vec{b}$, $\vec{DC}=\vec{c}$. Jika titik $Q$ pada $AB$ dengan $AQ : QB = 1 : 2$, dan titik $R$ pada $BC$ dengan $BR : RC = 1 : 2$ maka $\vec{QR}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambar bidang empat $ABCD$ dan titik-titik yang diketahui pada soal dapat seperti berikut:
Dari gambar di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{QR} &= \vec{QD}+ \vec{DR} \\
\hline
\bullet\ & \text{perhatikan}\ \bigtriangleup DAB \\
\vec{DQ} &= \frac{1 \cdot \vec{b}+2 \cdot \vec{a}}{3} \\
&= \frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b} \\
\bullet\ & \text{perhatikan}\ \bigtriangleup DBC \\
\vec{DR} &= \frac{1 \cdot \vec{c}+2 \cdot \vec{b}}{3} \\
&= \frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \\
\hline
\vec{QR} &= \vec{QD}+ \vec{DR} \\
&= -\vec{DQ}+ \vec{DR} \\
&= -\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}+ \frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \\
&= -\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{-2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$
25. Soal SPMB 2004 Kode 150 |*Soal Lengkap
Diketahui segitiga $ABC$ dalam ruang. Jika $\vec{AB}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$, $\vec{AC}=\vec{i}-\vec{k}$ dan $\beta = \angle ABC $ maka $\tan \beta = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $\beta = \angle ABC $ yaitu sudut yang dibentuk oleh $\vec{BA}$ dan $\vec{BC}$.
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{AB} &= 2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} \\
\vec{BA} &= -2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} \\
\vec{BC} &= \vec{BA}+\vec{AC} \\
&= -2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}+\vec{i}-\vec{k} \\
&= (-2+1)\vec{i}+(-1+0)\vec{j}+(-1-1)\vec{k} \\
&= -\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k} \\
\hline
\vec{BA} \cdot \vec{BC} &= \left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right| \cdot \cos \beta \\
\cos \beta &= \dfrac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{\left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right|} \\
\cos \beta &= \dfrac{(-2)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-2)}{\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}} \cdot \sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} \\
&= \dfrac{2+1+2}{\sqrt{4+1+1} \cdot \sqrt{1+1+4}} \\
&= \dfrac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}= \dfrac{5}{6}
\end{align}
Untuk $\cos \beta=\dfrac{5}{6} $ dapat kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\sqrt{11}}{5}$
26. Soal SPMB 2004 Kode 150 |*Soal Lengkap
Diketahui segitiga $ABC$ dalam ruang. Jika $\vec{AB}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$, $\vec{AC}=\vec{i}-\vec{k}$ dan $\beta = \angle ABC $ maka $\tan \beta = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $\beta = \angle ABC $ yaitu sudut yang dibentuk oleh $\vec{BA}$ dan $\vec{BC}$.
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{AB} &= 2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} \\
\vec{BA} &= -2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} \\
\vec{BC} &= \vec{BA}+\vec{AC} \\
&= -2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}+\vec{i}-\vec{k} \\
&= (-2+1)\vec{i}+(-1+0)\vec{j}+(-1-1)\vec{k} \\
&= -\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k} \\
\hline
\vec{BA} \cdot \vec{BC} &= \left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right| \cdot \cos \beta \\
\cos \beta &= \dfrac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{\left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right|} \\
\cos \beta &= \dfrac{(-2)(-1)+(-1)(-1)+(-1)(-2)}{\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}} \cdot \sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} \\
&= \dfrac{2+1+2}{\sqrt{4+1+1} \cdot \sqrt{1+1+4}} \\
&= \dfrac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}= \dfrac{5}{6}
\end{align}
Untuk $\cos \beta=\dfrac{5}{6} $ dapat kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\sqrt{11}}{5}$
27. Soal SPMB 2004 Kode 150 |*Soal Lengkap
Diketahui vektor $\vec{a}=(2, -1, 2)$ dan $\vec{b}=(4, 10, 8)$. Agar vektor $\vec{x}=\vec{a}-k\vec{b}$ tegak lurus dengan $\vec{b}$, maka nilai $k$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{x} &= \vec{a}-k\vec{b} \\
\vec{x} &= \begin{bmatrix}
2 \\
-1 \\
2
\end{bmatrix}-k \begin{bmatrix}
4 \\
10 \\
-8
\end{bmatrix} \\
\vec{x} &= \vec{a}-k\vec{b} \\
\vec{x} &= \begin{bmatrix}
2-4k \\
-1-10k \\
2+8k
\end{bmatrix}
\end{align}
Agar vektor $\vec{x}$ tegak lurus dengan $\vec{b}$, maka \begin{align} \vec{x} \cdot \vec{b} &= 0 \\ (2-4k)(4)+(-1-10k)(10)+(2+8k)(-8) &= 0 \\ 8-16k -10-100k -16-64k &= 0 \\ -180k -18 &= 0 \\ -180k &= 18 \\ k &= \frac{18}{-180} \\ k &= -\frac{1}{10} \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{10}$
28. Soal UM UGM 2004 Kode 312 |*Soal Lengkap
Jika $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ dan $\vec{s}$ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajaran genjang $PQRS$ dengan $PQ$ sejajar $SR$, maka $\vec{s}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambar keadaan titik-titik pada soal dapat seperti berikut:
Dari gambar di atas dan apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{OS} &= \vec{OP}+\vec{PS} \\
\vec{s} &= \vec{p}+\vec{PQ}+\vec{QR}+\vec{RS} \\
\hline
& \vec{SR}=\vec{PQ} \\
& \vec{SR}=-\vec{PQ} \\
\hline
\vec{s} &= \vec{p}+\vec{PQ}+\vec{QR}-\vec{PQ} \\
&= \vec{p}+ \vec{QR} \\
&= \vec{p}+ \vec{QO}+\vec{OR} \\
&= \vec{p}- \vec{OQ}+\vec{OR} \\
&= \vec{p}- \vec{q}+\vec{r}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \vec{p}- \vec{q}+\vec{r}$
29. Soal UM UGM 2004 Kode 111 |*Soal Lengkap
Diketahui vektor $\vec{u}=(2,-1,1)$ dan $\vec{v}=(-1, 1, -1)$. Vektor $\vec{w}$ yang panjangnya satu, tegak lurus pada $\vec{u}$ dan tegak lurus pada $\vec{v}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kita misalakan vektor $\vec{w}=(x,y,z)$, dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
- Vektor $\vec{w}$ yang panjangnya satu, sehingga berlaku: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.
- Vektor $\vec{w}$ tegak lurus pada $\vec{u}$ sehingga berlaku:
\begin{align} \vec{w} \cdot \vec{u} &= 0 \\ (x)(2)+(y)(-1)+(z)(1) &= 0 \\ 2x-y+z &= 0 \end{align} - Vektor $\vec{w}$ tegak lurus pada $\vec{v}$ sehingga berlaku:
\begin{align} \vec{w} \cdot \vec{v} &= 0 \\ (x)(-1)+(y)( 1)+(z)(-1) &= 0 \\ -x+y-z &= 0 \end{align}
Dari persamaan-persamaan yang kita peroleh di atas:
$\begin{align}
2x-y+z &= 0 \\
-x+y-z &= 0\ \ (+) \\
\hline
x &= 0
\end{align}$
Untuk $x=0$ maka $y-z= 0$ atau $y=z$, maka dapat kita peroleh: $\begin{align} x^{2}+y^{2}+z^{2} &= 1 \\ 0^{2}+y^{2}+y^{2} &= 1 \\ 2y^{2} &= 1 \\ y^{2} &= \frac{1}{2} \longrightarrow y = \pm \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ z &= y= \pm \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left(0, \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)$
30. Soal SPMB 2005 Kode 480 |*Soal Lengkap
Diketahui vektor-vektor $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+5\vec{k}$, $\vec{b}= -\vec{i}+2\vec{j}+(3x+2)\vec{k}$, dan $\vec{c}=-2y\vec{i}-\vec{j}+7\vec{k}$. Jika $\vec{a}$ dan $\vec{c}$ masing-masing tegak lurus pada $\vec{b}$, maka $-\frac{1}{4} \left( 7\vec{a}- \vec{c} \right)$...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
- Vektor $\vec{a}$ tegak lurus pada $\vec{b}$ sehingga berlaku:
$\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 0 \\ (x)(-1)+(y)(2)+(5)(3x+2) &= 0 \\ -x+2y+15x+10 &= 0 \\ 14x+2y &= -10 \end{align}$ - Vektor $\vec{c}$ tegak lurus pada $\vec{b}$ sehingga berlaku:
$\begin{align} \vec{c} \cdot \vec{b} &= 0 \\ (-2y)(-1)+(-1)(2)+(7)(3x+2) &= 0 \\ 2y-2+21x+14 &= 0 \\ 21x+2y &= -12 \end{align}$
Dari persamaan-persamaan yang kita peroleh di atas:
$\begin{align}
14x+2y &= -10 \\
21x+2y &= -12\ \ (-) \\
\hline
-7x &= -2 \\
x &= -\frac{2}{7}\ \longrightarrow y=-3
\end{align}$
Untuk $x=-\frac{2}{7}$ dan $y=-3$ maka dapat kita peroleh: $\begin{align} -\frac{1}{4} \left( 7\vec{a}- \vec{c} \right) &= -\frac{1}{4} \left( 7x\vec{i}+7y\vec{j}+35\vec{k}+2y\vec{i}+\vec{j}-7\vec{k} \right)\\ &= -\frac{1}{4} \left( -2\vec{i}-21\vec{j}+35\vec{k}-6\vec{i}+\vec{j}-7\vec{k} \right)\\ &= -\frac{1}{4} \left( -8\vec{i}-20\vec{j}+28\vec{k} \right)\\ &= 2\vec{i}+5\vec{j}-7\vec{k} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2 \vec{i}+5\vec{j}-7\vec{k}$
31. Soal SPMB 2005 Kode 380 |*Soal Lengkap
Diketahui vektor-vektor $\vec{a}= \left(1,3,3 \right)$, $\vec{b}= \left( 3,2,1 \right)$ dan $\vec{c}= \left(1,-5,0 \right)$. Sudut antara vektor $\left( \vec{a}- \vec{b} \right)$ dan $\left( \vec{a}+ \vec{c} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a}- \vec{b} &= \left(1-3,\ 3-2,\ 3-1 \right) \\
&= \left(-2,\ 1,\ 2 \right) \\
\vec{a} + \vec{c} &= \left(1+1,\ 3-5,\ 3+0 \right) \\
&= \left( 2,\ -2,\ 3 \right)
\end{align}
Dari apa yang kita peroleh di atas dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \cdot \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) &= \left| \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \right| \cdot \left| \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \right| \cdot \cos \beta \\
\cos \beta &= \dfrac{\left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \cdot \left( \vec{a}+ \vec{c} \right)}{\left| \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \right| \cdot \left| \left( \vec{a}+ \vec{c} \right) \right|} \\
\cos \beta &= \dfrac{(-2)(2)+( 1)(-2)+(2)(3)}{\sqrt{(-2)^{2}+( 1)^{2}+(2)^{2}} \cdot \sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}+(3)^{2}}} \\
&= \dfrac{-4-2+6}{\sqrt{4+1+4} \cdot \sqrt{4+4+9}} \\
&= \dfrac{0}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{17}}= 0 \\
\beta &= 90^{\circ}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 90^{\circ}$
32. Soal SPMB 2005 Kode 780 |*Soal Lengkap
Diketahui vektor satuan $\vec{u}=0,8\vec{i}+a\vec{j}$. Jika vektor $\vec{v}= b\vec{i}+ \vec{j}$ tegak lurus $\vec{u}$, maka $ab=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari vektor satuan $\vec{u}=0,8\vec{i}+a\vec{j}$ dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left| \vec{u} \right| &= 1 \\
\sqrt{(0,8)^{2}+(a)^{2}} &= 1 \\
0,64+a^{2} &= 1 \\
a^{2} &= 1-0,64 \\
a^{2} &= 0,36 \\
a &= \pm 0,6
\end{align}
Vektor $\vec{v}= b\vec{i}+ \vec{j}$ tegak lurus $\vec{u}$ maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{v} \cdot \vec{u} &= 0 \\
(0,8)(b)+(a)(1) &= 0 \\
0,8b+(0,6)(1) &= 0 \\
0,8b &= -0,6 \\
b &= -\frac{0,6}{0,8} = -\frac{3}{4} \\
\hline
ab &= 0,6 \cdot \frac{-3}{4} \\
&= \frac{3}{5} \cdot \frac{-3}{4} \\
&= -\frac{9}{20}
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\frac{9}{20}$
33. Soal SPMB 2005 Kode 580 |*Soal Lengkap
Proyeksi titik $\left(2,3\right)$ pada garis $y=x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Titik hasil proyeksi $\left(2,3\right)$ pada garis $y=x$ nantinya akan menghasilkan titik $\left( a,a \right)$.
Jika kita misalkan titik $A \left(2,3\right)$, titik $B \left(a,a\right)$ dan titik $O \left(0,0 \right)$ maka $\vec{BA}$ tegak lurus dengan $\vec{BO}$, sehingga dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{BA} \cdot \vec{BO} &= 0 \\
\left(2-a,\ 3-a \right) \cdot \left( 0-a,\ 0-a \right) &= 0 \\
\left(2-a,\ 3-a \right) \cdot \left( -a,\ -a \right) &= 0 \\
(2-a)(-a)+(3-a)(-a) &= 0 \\
-2a+a^{2}-3a+a^{2} &= 0 \\
2a^{2}-5a &= 0 \\
\left( a \right) \left( 2a - 5 \right) &= 0 \\
a=0\ \text{atau}\ a=\frac{5}{2} &
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left( \frac{5}{2},\frac{5}{2} \right)$
34. Soal SPMB 2006 Kode 420 |*Soal Lengkap
Diberikan vektor-vektor $\vec{a}=x\vec{i}-3x\vec{j}+6y\vec{k}$ dan $\vec{b}=(1-y)\vec{i}+3\vec{j}-(1+x)\vec{k}$ dengan $x \gt 0$. Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sejajar, maka $\vec{a}+3\vec{b}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sejajar, maka dapat kita peroleh:
\begin{align}
\vec{a} &= k \cdot \vec{b} \\
\begin{bmatrix}
x \\
-3x \\
6y
\end{bmatrix} &= k \cdot \begin{bmatrix}
1-y \\
3 \\
-(1+x)
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
x \\
-3x \\
6y
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
k-ky \\
3k \\
-k-kx
\end{bmatrix} \\
\hline
-3x &= 3k \\
- x &= k \\
\hline
x &= k-ky \\
x &= -x+xy \\
2x &= xy \longrightarrow y=2 \\
\hline
12 &= -k-kx \\
12 &= x+x^{2} \\
0 &= x^{2}+x-12 \\
0 &= (x+4)(x-3) \\
&x=-4\ \text{atau}\ x=3
\end{align}
Untuk $x=3$ dan $y=2$ kita peroleh vektor $\vec{a}=3\vec{i}-9\vec{j}+12\vec{k}$ dan $\vec{b}=-1\vec{i}+3\vec{j}-4\vec{k}$ sehingga $\vec{a}+3\vec{b}=\vec{0}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \vec{0}$
35. Soal SPMB 2006 Kode 621 |*Soal Lengkap
Diketahui $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ vektor pada bidang, $\vec{a}+\vec{B}+\vec{c}=0$, $\vec{b}= \vec{i}-2\vec{j}$, $\vec{b} \perp \vec{c} $ dan $\alpha$ sudut yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{c}$. Jika luas segitiga yang dibentuk oleh titik ujung vektor-vektor $\vec{a}$, $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah $5$ satuan luas, maka $\sin \alpha=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $\vec{a}+\vec{B}+\vec{c}=0$ maka ketiga vektor dapat membentuk segitiga dan $\vec{b} \perp \vec{c} $ jika kita gambarkan ketiga vektor dpat seperti berikut ini:
Panjang $\vec{b}= \vec{i}-2\vec{j}$ adalah $\left| \vec{b} \right| = \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.
Luas segitiga $5$ satuan luas maka dapat kita peroleh: \begin{align} \frac{1}{2} \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \left| \vec{c} \right| &= 5 \\ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \left| \vec{c} \right| &= 5 \\ \left| \vec{c} \right| &= 2\sqrt{5} \end{align}
Untuk $\left| \vec{b} \right|=\sqrt{5}$ dan $\left| \vec{c} \right|=2\sqrt{5}$ dengan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh $\left| \vec{a} \right|=5$.
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \left( 180^{\circ}-\alpha \right) &= \dfrac{\left| \vec{b} \right|}{\left| \vec{a} \right|} \\
\sin \alpha &= \dfrac{\left| \vec{b} \right|}{\left| \vec{a} \right|} \\
&= \dfrac{ \sqrt{5} }{5}=\dfrac{ 1 }{5}\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{5}\sqrt{5}$
36. Soal SPMB 2006 Kode 521 |*Soal Lengkap
Diketahui $\vec{u}= 4\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ dan $\vec{u}= \vec{i}+ \vec{j}+2\vec{k}$. Nilai bilangan positif $a$ agar panjang proyeksi vektor $a\vec{u}$ pada $\vec{v}$ sama dengan $10$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Panjang proyeksi vektor $a\vec{u}$ pada $\vec{v}$ panjangnya adalah $10$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
10 &= \dfrac{a \vec{u} \cdot \vec{v}}{\left|\vec{v} \right|} \\
10 &= \dfrac{a \left ( 4,\ 2,\ 3 \right ) \cdot \left (1,\ 1,\ 2 \right )}{\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}+(2)^{2}}} \\
10 &= \dfrac{(4a)(1)+(2a)(1)+(3a)(2)}{\sqrt{1+1+4}} \\
10 &= \dfrac{ 12a}{\sqrt{6}} \\
10\sqrt{6} &= 12a \\
a &= \dfrac{10\sqrt{6}}{12} \\
a &= \dfrac{5}{6} \sqrt{ 6 }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{5}{6}\sqrt{6}$
37. Soal UM UGM 2006 Kode 372 |*Soal Lengkap
Jika proyeksi vektor $\vec{u}= 3\vec{i}+4\vec{j}$ ke vektor $\vec{v}= -4\vec{i}+ 8\vec{j} $ adalah vektor $\vec{w}$, maka $\left| \vec{w} \right|$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Proyeksi vektor $ \vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{w}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left| \vec{w} \right| &= \dfrac{ \vec{u} \cdot \vec{v}}{\left|\vec{v} \right|} \\
&= \dfrac{ \left ( 3,\ 4 \right ) \cdot \left( -4,\ 8 \right)}{\sqrt{(-4)^{2}+(8)^{2}}} \\
&= \dfrac{(3)(-4)+(4)(8) }{\sqrt{16+64}} \\
&= \dfrac{20}{\sqrt{80}} = \dfrac{20}{\sqrt{16 \cdot 5}} \\
&= \dfrac{20}{4\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}= \sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \sqrt{5}$
38. Soal UM UGM 2007 Kode 731 |*Soal Lengkap
Diketahui vektor-vektor $\vec{a}= \left(2,\ 2,\ z \right)$, $\vec{b}= \left(-8,\ y,\ -5 \right)$, $\vec{c}= \left(x,\ 4y,\ 4 \right)$, dan $\vec{d}= \left(2x,\ 22-z,\ 8 \right)$. Jika vektor $\vec{a}$ tegak lurus dengan vektor $\vec{b}$ dan vektor $\vec{c}$ sejajar dengan vektor $\vec{d}$, maka $y+z=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Vektor $\vec{a}$ tegak lurus dengan vektor $\vec{b}$ sehingga dapat kita peroleh: \begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 0 \\ \left(2,\ 2,\ z \right) \cdot \left(-8,\ y,\ -5 \right) &= 0 \\ (2)(-8)+(2)(y)+(z)(-5) &= 0 \\ -16+2y-5z &= 0 \\ 2y-5z &= 16 \end{align}
vektor $\vec{c}$ sejajar dengan vektor $\vec{b}$ sehingga dapat kita peroleh: \begin{align} \vec{c} &= k \cdot \vec{d} \\ \left(x,\ 4y,\ 4 \right) &= k \cdot \left(2x,\ 22-z,\ 8 \right) \\ \left(x,\ 4y,\ 4 \right) &= \left(2kx,\ 22k-zk,\ 8k \right) \\ \hline x &= 2kx \longrightarrow k=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2} \\ 4y &= 22k-zk \\ 4y &= 22 \cdot \frac{1}{2}-z \cdot \frac{1}{2} \\ 8y+z &= 22 \end{align}
Dari persamaan-persamaan yang kita peroleh di atas:
$\begin{align}
2y-5z &= 16\ \times 4 \\
8y+z &= 22\ \times 1 \\
\hline
8y-20z &= 64 \\
8y+z &= 22\ \ \ (-) \\
\hline
-21z &= 42 \\
z &= -2\ \longrightarrow y=3 \\
y+z &= 3-2=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
39. Soal SNMPTN 2008 Kode 212 |*Soal Lengkap
Diketahui vektor $\vec{a}= -4x\vec{i}+2\vec{j}$ dan $\vec{b}= 3\vec{i}+ x\vec{j}$, $x$ bulat positif. Vektor $\vec{p}$ merupakan proyeksi $\vec{a}$ ke $\vec{b}$ dan $\alpha$ sudut yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{p}$. Jika konstanta $\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$, maka $\vec{p}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Proyeksi vektor $ \vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\vec{p}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left| \vec{p} \right| &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right| } \\
&= \dfrac{ (-4x)(3)+(2)(x) }{ \sqrt{3^{2}+x^{2}} } \\
&= \dfrac{ -12x+2x }{ \sqrt{x^{2}+9} }
\end{align}$
Diketahui $\alpha$ sudut yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{p}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \alpha &= \dfrac{\left| \vec{p} \right|}{\left| \vec{a} \right|} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &= \dfrac{\frac{ -10x }{ \sqrt{x^{2}+9} }}{\sqrt{(-4x)^{2}+2^{2}}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &= \dfrac{\frac{ -10x }{ \sqrt{x^{2}+9} }}{\sqrt{16x^{2}+4}} \\ \sqrt{16x^{2}+4} &= \dfrac{ -10x\sqrt{2} }{ \sqrt{x^{2}+9} } \\ 16x^{2}+4 &= \dfrac{ 200x^{2} }{ x^{2}+9 } \\ 4x^{2}+1 &= \dfrac{ 50x^{2} }{ x^{2}+9 } \\ 4x^{4}+36x^{2}+ x^{2}+9 &= 50x^{2} \\ 4x^{4}-13x^{2}+9 &= 0 \\ \left( 4x^{2}-9 \right)\left( x^{2}-1 \right) &= 0 \\ \left( 2x-3 \right)\left( 2x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x -1 \right) &= 0 \\ x=\frac{3}{2},\ x=-\frac{3}{2},\ x=-1,\ x=1 & \\ \end{align}$
Untuk $x=1$, maka proyeksi vektor $\vec{a}= -4\vec{i}+2\vec{j}$ pada $\vec{b}= 3\vec{i}+ \vec{j}$ adalah $\vec{p}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{p} &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b} \\
&= \left( \dfrac{ (-4)(3)+(2)(1) }{\left(\sqrt{3^{2}+(1)^{2}} \right)^{2}} \right) \cdot \left ( 3,\ 1 \right ) \\
&= \left( \dfrac{ -12 +2 }{ 9+1 } \right) \cdot \left ( 3,\ 1 \right ) \\
&= \left( \dfrac{ -10 }{ 10 } \right) \cdot \left ( 3,\ 1 \right ) \\
&= \left( -1 \right) \cdot \left ( 3,\ 1 \right )=-3\vec{i} - \vec{j}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -3\vec{i} - \vec{j}$
40. Soal UM UGM 2008 Kode 472 |*Soal Lengkap
Panjang proyeksi vektor $\left( a,\ 5, -1 \right)$, pada vektor $\left( 1,\ 4, 8 \right)$ adalah $2$, maka $a=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika $\vec{c}$ adalah vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ maka panjang $\vec{c}$ adalah:
\begin{align}
\left| \vec{c} \right| &= \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|} \\
\end{align}
Panjang proyeksi vektor $\left( a,\ 5, -1 \right)$ pada vektor $\left( 1,\ 4, 8 \right)$ adalah $2$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2 &= \dfrac{\left( a,\ 5, -1 \right) \cdot \left( 1,\ 4, 8 \right)}{\sqrt{(1)^{2}+(4)^{2}+(8)^{2}}} \\
2 &= \dfrac{(a)(1)+(5)(4)+(-1)(8)}{\sqrt{1+16+64}} \\
2 &= \dfrac{a+20-8}{\sqrt{81}} \\
2 &= \dfrac{a+12}{9} \\
18 &= a+12 \longrightarrow a=6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 6$
41. Soal SNMPTN 2009 Kode 176 |*Soal Lengkap
Vektor yang merupakan proyeksi vektor $\left(2,\ 1,\ 0 \right)$ pada $\left(3,\ 1,\ 2 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika $\vec{c}$ adalah vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ maka persamaan $\vec{c}$ adalah:
\begin{align}
\vec{c} &= \left( \dfrac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right|^{2}} \right) \cdot \vec{b}
\end{align}
Proyeksi vektor $\left(2,\ 1,\ 0 \right)$ pada $\left(3,\ 1,\ 2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
&\left( \dfrac{ \left(2,\ 1,\ 0 \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) }{\left(\sqrt{3^{2}+(1)^{2}+(2)^{2}} \right)^{2}} \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) \\
&=\left( \dfrac{ (2)(3)+(1)(1)+(0)(2) }{\left(\sqrt{9+1+4} \right)^{2}} \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) \\
&=\left( \dfrac{ 6+1+0 }{\left(\sqrt{14} \right)^{2}} \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) \\
&=\left( \dfrac{7}{14} \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right) \\
&=\left( \dfrac{1}{2} \right) \cdot \left(3,\ 1,\ 2 \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{2}\left(3,\ 1,\ 2 \right) $
42. Soal SNMPTN 2009 Kode 276 |*Soal Lengkap
Agar vektor $\vec{a}= 2\vec{i}+p\vec{j}+2\vec{k}$ dan $\vec{b}= 3\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k}$ saling tegak lurus, maka nilai $p$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Vektor $\vec{a}$ tegak lurus dengan vektor $\vec{b}$ sehingga dapat kita peroleh: \begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 0 \\ \left(2,\ p,\ 1 \right) \cdot \left(3,\ 2,\ 4 \right) &= 0 \\ (2)(3)+(p)(2)+(1)(4) &= 0 \\ 6+2p+4 &= 0 \\ 10+2p &= 0 \\ p &= -5 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -5$
43. Soal SNMPTN 2009 Kode 376 |*Soal Lengkap
Diketahui segitiga $ABC$. Titik $P$ di tengah $AC$, dan $Q$ pada $BC$ sehingga $BQ=QC$. Jika vektor $\vec{AB}=\vec{c}$, $\vec{AC}=\vec{b}$, dan $\vec{BC}=\vec{a}$, maka $\vec{PQ}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambar keadaan titik-titik pada soal dapat seperti berikut:
Dari gambar di atas dapat kita peroleh: \begin{align} \vec{PQ} &= \vec{PC}+\vec{CQ} \\ \vec{PQ} &= \frac{1}{2}\vec{AC}-\vec{QC} \\ \vec{PQ} &= \frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{BC} \\ \vec{PQ} &= \frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a} \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{2}\left( -\vec{a}+\vec{b} \right)$
Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Vektor di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Vektor di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Semua tindakan manusia terjadi berdasarkan satu atau lebih dari tujuh sebab ini, Kesempatan, Alamiah, Paksaan, Kebiasaan, Alasan, Semangat, dan Keinginan.
