Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN Tahun 2017 Kelompok SAINTEK Kode 106

Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN Tahun 2017 Kelompok SAINTEK Kode 106

Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan SBMPTN Tahun 2017 bidang studi Matematika kelompok SAINTEK Kode 106. Pada ujian Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2017 siswa dibagi menjadi beberapa kelompok ujian. Diantaranya Kelompok Ujian SAINTEK, Kelompok Ujian SOSHUM, dan Kelompok ujian campuran. Jika pada era saya kelompok ujian ini dikenal dengan Kelompok IPA (SAINTEK), kelompok IPS (SOSHUM) dan kelompok IPC (campuran).

Pada kelompok ujian SAINTEK (Sains dan Teknologi) akan mendapat materi ujian TKPA (Tes Kemampuan Potensi Akademik) dan TKD SAINTEK. Untuk kelompok ujian SOSHUM (Sosial dan Humaniora) akan mendapat materi ujian TKPA dan TKD SOSHUM. Sedangkan untuk kelompok campuran akan mendapat materi ujian TKPA, TKD SAINTEK dan TKD SOSHUM.

TKPA yang singkatan dari Tes Kemampuan dan Potensi Akademik dan yang diujikan pada TKPA terdiri atas Tes Kemampuan Verbal, Numerikal, Vigural, Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris.

Untuk TKD SAINTEK yang diujikan adalah mata pelajaran Matematika, Biologi, Fisika, dan Kimia. Sedangkan untuk TKD SOSHUM yang diujikan adalah mata pelajaran Sosiologi, Sejarah, Geografi dan Ekonomi.


Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN Tahun 2017 Kelompok SAINTEK Kode 106


Soal SBMPTN 2017 TKD SAINTEK kode naskah 106 mata pelajaran matematika ini teridiri dari 15 soal, seperti apa dan materi apa saja dari matematika SMA yang dipilih untuk menjadi 15 soal SBMPTN tahun 2017 TKD SAINTEK. Mari kita simak dan diskusikan pembahasan soalnya

1. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{9}{a+2b}+\dfrac{1}{a-2b}=2 \\ \dfrac{9}{a+2b}-\dfrac{2}{a-2b}=-1\end{cases}$ maka $a-b^2=\ldots$

$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 9 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Misalkan $x=\dfrac{1}{a+2b}$ dan $y=\dfrac{1}{a-2b}$ maka sistem persamaan pada soal dapat ditulis menjadi
\begin{split}
9x+y & = 2\\ 9x-2y & = -1
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{9}$ dan $y=1$. Lalu kita substitusi kembali nilai $x$ dan nilai $y$ pada pemisalan diawal, sehingga kita peroleh;
$\begin{split}
& \dfrac{1}{a+2b} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow a+2b=9\\ & \dfrac{1}{a-2b} = 1 \Rightarrow a-2b=1
\end{split}$
Sama seperti sebelumnya dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas kita peroleh $a=5$ dan $b = 2$.
Jadi $a-b^2\ = (5)-(2)^2\ = 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

2. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam $5$ tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

$\begin{align} (A)\ & 2 \left(\sqrt[10]{2}-1 \right) \\ (B)\ & 2\left(\sqrt[5]{2}-1 \right) \\ (C)\ & 2\left(\sqrt{2} \right) \\ (D)\ & 2\left(\sqrt[5]{2} \right) \\ (E)\ & 2\left(\sqrt[10]{2} \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung suku bunga pada soal diatas kita pakai dengan perhitungan bunga majemuk. Pada akhir $n$ tahun, dengan suku bunga $R$ dan modal semula $P$ akan terkumpul menjadi sejumlah $S_{n}=P(1 + R)^{n}$.

Jika kita hubungkan pada soal, misalkan tabungan awalnya $= P$, suku bunga yang didapat sebesar $= R$, maka setelah $5$ tahun atau $10$ semester tabungannya dapat kita hitung sebagai berikut;
$\begin{split}S_{n} &=P(1 + R)^{n}\\ S_{10} &=P(1 + R)^{10}\\ 2P &=P(1 + R)^{10}\\ 2 &=(1 + R)^{10}\\ \sqrt[10]{2} &=(1 + R)\\ \sqrt[10]{2}-1 &=R\\ \end{split}$
Suku bunga yang kita peroleh diatas adalah suku bunga per semester, jadi suku bunga per tahun adalah $2R = 2(\sqrt[10]{2}-1)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2(\sqrt[10]{2}-1)$

3. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \leq -\dfrac{1}{2} \right\} \\ (B)\ & \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\} \\ (C)\ & \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\} \\ (D)\ & \left \{x\mid 1 \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \leq \dfrac{1}{2} \right\} \\ (E)\ & \left \{x\mid -1 \lt; x \lt; 0\ atau\ 0 \lt; x \lt; 1 \right\} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Dengan sedikit manipulasi aljabar, pertidaksamaan di atas kita rubah menjadi seperti berikut ini;
$\begin{align}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\ \dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\ \dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\ \dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\ \dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0\\ \end{align}$
Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$.

Berikutnya kita cari batasan atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

  • Pembuat nol pembilang adalah $2x^{2}=0$ maka $x=0$
  • Pembuat nol penyebut adalah $x^{2}(x+1)(x-1)$ maka $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$
Batasan atau pembuat nol kita gambarkan dalam satu garis bilangan sehingga kita peroleh empat daerah yaitu:
$x\leq -1$ | $-1\leq x \leq 0$ | $0\leq x\leq 1$ | $x\geq 1$.
Pertidaksamaan SBMPTN 2018
Sekarang kita coba memilih nilai $x$ sembarang pada setiap daerah, lalu menguji kepada pertidaksamaan;
misal kita pilih dari daerah $x\geq 1$ yang kita uji $x=3$ pada pertidaksamaan
$\begin{align}
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &= \dfrac{2(3)^{2}}{(3)^{2}(3+1)(3-1)}\\ &= \dfrac{18}{9(4)(2)}= \dfrac{1}{4} \\ & \therefore \text{artinya} \geq 0
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh daerah $x\geq 1$ bukan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini pertidaksamaan lebih dari atau sama dengan nol ($\geq 0$).

Dengan cara yang sama, kita akan memperoleh daerah yang hasilnya kurang dari atau sama dengan nol ($\leq 0$) yaitu pada daerah $-1\leq x\leq0$, dan $0\leq x\leq 1$.
(*cara pilar perhatikan gambar, setiap melewati batas faktor pangkat ganjil tanda berubah dan setiap melewati batas faktor pangkat genap tanda tetap)

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ atau\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$

4. Soal SBMPTN Matematika Kelompok SAINTEK Tahun 2017 Kode

Diketahui vektor $a,\ u,\ v,\ w$ adalah vektor di bidang kartesius dengan $v=w-u$ dan sudut antara $u$ dan $w$ adalah $60^{\circ}$. Jika $a=4v$ dan $a \cdot u=0$ maka...

$\begin{align} (A)\ & \left \| u \right \|=2\left \| v \right \| \\ (B)\ & \left \| v \right \|=2\left \| w \right \| \\ (C)\ & \left \| v \right \|=2\left \| u \right \| \\ (D)\ & \left \| w \right \|=2\left \| v \right \| \\ (E)\ & \left \| w \right \|=2\left \| u \right \| \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{split}
\Rightarrow & a = 4v\\ & a = 4(w-u)\\ & a = 4w-4u\\ \\ \Rightarrow a \cdot u & = 0\\ (4w-4u)u & = 0\\ 4w \cdot u - 4u^{2}& = 0 \\ 4w \cdot u & = 4u^{2} \\ w \cdot u & = u^{2} \\ \end{split}$
Sudut antara vektor $u$ dan $w$ adalah $60^{\circ}$ sehingga berlaku:
$\begin{split}
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| cos 60^{\circ} \\ u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\ u^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\ \left \| u \right \|^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\ \left \| u \right \|&= \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\ 2 \left \| u \right \|&= \left \| w \right \|
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \| w \right \|=2\left \| u \right \|$

5. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Diketahui persamaan $sec\ \theta \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) =1$. Jika $\theta_{1}$ dan $\theta_{2}$ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $tan\ \theta_{1} \cdot tan\ \theta_{2}= \cdots$

$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & -0.5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 0.5 \\ (E)\ & 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{split}
sec\ \theta \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) &=1\\ \dfrac{1}{cos\ \theta} \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) &=1\\ \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right )&=cos\ \theta\\ \left (\dfrac{1}{cos\ \theta} \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right )&=cos\ \theta\\ sin\ \theta \left (\dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ \right )&=cos\ \theta\\ \dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}&=\dfrac{cos\ \theta}{sin\ \theta}\\ tan\ \theta+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}&=\dfrac{1}{tan\ \theta}\\ (tan\ \theta)^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ tan\ \theta &=1\\ (tan\ \theta)^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ tan\ \theta -1 &=0\\ \therefore tan\ \theta_{1} \cdot tan\ \theta_{2} =-1
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

6. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola $4y^{2}-x^{2}+16y+6x+3=0$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x+2y+5=0 \\ (B)\ & x-2y+1=0 \\ (C)\ & x-2y+7=0 \\ (D)\ & x+2y+1=0 \\ (E)\ & x+2y+1=0 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Asimtot dari hiperbola ini jadi salah satu materi yang sangat fresh di SBMPTN atau mungkin soal yang tidak diduga bakal dimunculkan oleh panitia pembuat soal SBMPTN.

Persamaan hiperbola secara umum ada 2 yaitu;

  1. Hiperbola Vertikal (Tegak)
    • persamaan umumnya adalah $\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$
    • Pusat $(h,k)$
    • Persamaan asimtotnya adalah $\dfrac{(y-k)}{a}=\pm \dfrac{(x-h)}{b}$ atau $y-k=\pm \dfrac{a}{b}(x-h)$
  2. Hiperbola Horizontal (Mendatar)
    • persamaan umumnya adalah $\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
    • Pusat $(h,k)$
    • Persamaan asimtotnya adalah $\dfrac{(x-h)}{a}=\pm \dfrac{(y-k)}{b}$ atau $y-k=\pm \dfrac{b}{a}(x-h)$
Seperti yang disampaikan dalang Sujiwo Tejo, salah satu keindahan matematik itu adalah saat mengutak-atik sampai ketemu persamaan baru. Persamaan hiperbola pada soal kita utak-atik dengan menggunakan aturan yang berlaku sampai ketemu bentuk umum dari hiperbola.
$\begin{split}
4y^{2}-x^{2}+16y+6x+3 & =0\\ 4y^{2}+16y-x^{2}+6x+3 & =0\\ (2y+4)^{2}-16-(x-3)^{2}+9+3 &=0\\ (2y+4)^{2}-(x-3)^{2}&=4\\ \dfrac{(2y+4)^2}{4}-\dfrac{(x-3)^2}{4}&=1\\ \dfrac{2^{2}(y+2)^2}{2^{2}}-\dfrac{(x-3)^2}{2^{2}}&=1\\ \dfrac{(y+2)^2}{1^{2}}-\dfrac{(x-3)^2}{2^{2}}&=1\\ \end{split}$
Persamaan asimtot hiperbola di atas adalah
$\begin{split}
\dfrac{(y+2)}{1^{2}}&=\pm \dfrac{(x-3)}{2}\\ y+2 &=\pm \dfrac{(x-3)}{2}\\ 2y+4 &=\pm (x-3)\\ \Rightarrow & 2y-x+7=0\\ \Rightarrow & 2y+x+1=0
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x+2y+1=0$

7. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Misalkan $f(x)=3x^{3}-9x^{2}+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$ maka $g(-2)= \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 12 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{split}
f(x)&=3x^{3}-9x^{2}+4bx+18\\ f(x)&=(x-2)g(x)+2b\\ 3(2)^{3}-9(2)^{2}+4b(2)+18 &=(2-2)g(2)+2b\\ 24-36+8b+18 &=2b\\ -12+8b+18 &=2b\\ 6b &=-6\\ b &=-1\\
f(x)&=3x^{3}-9x^{2}-4x+18\\ f(x)&=(x-2)g(x)-2\\ 3(-2)^{3}-9(-2)^{2}-4(-2)+18 &= (-2-2)g(-2)-2\\ -24-36+8+18 &= (-4)g(-2)-2\\ -60+26+2 &= (-4)g(-2)\\ -32 &= (-4)g(-2)\\ 8 &= g(-2)
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$

8. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]

$\begin{align} (A)\ & 18\pi+18 \\ (B)\ & 18\pi-18 \\ (C)\ & 14\pi+14 \\ (D)\ & 14\pi-15 \\ (E)\ & 10\pi+10 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]

Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut;

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]

Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil.

$\begin{split}
L_{Biru} & = \dfrac{1}{2} \pi r^{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2} = \dfrac{1}{2} \pi (18)\\ & = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]
Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
$\begin{split}
L_{Juring\ ABC} & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi 36 = 9 \pi
\end{split}$

$\begin{split}
L_{ABC} & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\ & = 18 \\ \hline
L_{Tembereng} & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran adalah $ L_{Biru} +L_{Tembereng}$ yaitu $9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$

9. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Jika $\int \limits_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int \limits_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int \limits_{-2}^0 f(x)\ dx=\cdots$

$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align} $

Alternatif Pembahasan:

Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap

  • Berlaku $f(-x)=f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
  • Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =2\int \limits_{0}^a f(x)dx $
  • Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$
Sebuah fungsi dikatakan fungsi ganjil
  • Berlaku $f(-x)=-f(x)$
  • Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat $(0,0)$
  • Jika dipakai pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini adalah $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =0$.
  • Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.

Kembali kepada soal,
$\begin{split}
& \int \limits_{-4}^{4} f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\ & \int \limits_{-4}^{4} \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\ & \int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 8
\end{split}$
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int \limits_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int \limits_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int \limits_{0}^4 f(x)\ dx$.
$\begin{split}
\int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\ 0 + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\ 2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 8\\ \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \hline
\int \limits_{-2}^{4} f(x) dx &= 4\\ \int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\ \int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + 4 &= 4\\ \int \limits_{-2}^{0} f(x) dx &= 0
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

10. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{8} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{8} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{split}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}\\ = & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{cos\ x}+\dfrac{cos^{2}x}{cos\ x}-\dfrac{2\ cos\ x}{cos\ x}}{x^{2}\ sin^{2}x}\\ = & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}-2\ cos\ x+1}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\ = & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (cos\ x-1 \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\ = & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (-2sin^{2}(\dfrac{1}{2}x) \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\ = & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\ = & \lim\limits_{x \to 0} 4\ \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}} \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{sin^{2}x} \cdot \dfrac{1}{cos\ x}\\ = & 4\ \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{1}\\ = & \dfrac{1}{4}
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{4}$

11. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \text{Tidak ada limitnya} \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & - \infty \\ (E)\ & \infty
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar, yaitu dengan memisalkan $\dfrac{1}{x}=m$ maka $\dfrac{1}{m}=x$. Karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.

Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin\left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ bisa kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ sin\ m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}}\\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ sin\ m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}}\\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}}\\ & = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m}+m}{m^{3}+1}\\ & = \dfrac{1+0}{0+1}\\ & = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

12. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Diberikan dua fungsi rasional $y=\dfrac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ dan $y=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},\ a \gt 0$. Jika diketahui kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak $4$ satuan, maka $a= \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 7 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Fungsi Rasional $y=\dfrac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}$

  • Asimtot Mendatar adalah garis $y=\dfrac{a}{p}$
  • Asimtot Tegak adalah garis $x=x_{1}$ dan $x=x_{2}$ jika penyelesaian $px^{2}+qx+r=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$

Dari dua fungsi rasional pada soal $y_{1}=\dfrac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ dan $y_{2}=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},\ a \gt 0$. Asimtot mendatar $y_{1}$ adalah $y=3$ dan berjarak $4$ satuan dengan asimtot mendatar $y_{2}$, sehingga asimtot mendatar $y_{2}$ yang mungkin adalah $y=-1$ atau $y=7$.

Asimtot tegak $y_{1}$ adalah $x=1$ dan $x=4$, salah satu asimtot tegak $y_1$ merupakan asimtot tegak $y_{2}$ karena disampaikan pada soal "kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama".

Kita pilih asimtot yang sama adalah $x=1$ sehingga pada $y_{2}$ penyebut $bx^{2}+2x-3$ adalah $0$ untuk $x=1$.
$bx^{2}+2x-3=0$
$b(1)^{2}+2(1)-3=0$
$b-1=0$
$b=1$

Karena $b=1$ maka $y_{2}=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{x^{2}+2x-3}$ dan asimtot mendatar adalah $y= \dfrac{a}{1}=a$.

Nilai $y=a$ yang memenuhi pada pilihan adalah $7$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 7$

13. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$

$\begin{align} (A)\ & 2\ sin\ x \cdot cos \left(sin^{2}x \right) \\ (B)\ & 2\ sin\ 2x \cdot cos \left(sin^{2}x \right) \\ (C)\ & sin^{2}x \cdot cos \left(sin^{2}x \right) \\ (D)\ & sin^{2}2x \cdot cos \left(sin^{2}x \right) \\ (E)\ & sin\ 2x \cdot cos \left(sin^{2}x \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\ & =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\ & = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

14. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Jika garis singgung dari $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}cos\ x}$ dititik $x=\pi$ memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$. Nilai $c$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{4}\pi \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2}\pi \\ (C)\ & -\pi \\ (D)\ & \dfrac{1}{2}\pi \\ (E)\ & \pi \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk soal ini, fungsi $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}cos\ x}$ sepertinya tidak terlalu diperhitungkan karena dari kalimat garis singgung memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$ artinya $(\pi,0)$ akan memenuhi untuk garis singgung kurva dan garis $y=x+c$.

Karena $(\pi,0)$ berlaku untuk $y=x+c$ maka $0=\pi+c$, diperoleh nilai $c=-\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\pi$

15. Soal SBMPTN Matematika SAINTEK 2017 Kode 106

Di dalam kotak I terdapat $12$ bola putih dan $3$ bola merah. Di dalam kotak II terdapat $4$ bola putih dan $4$ bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil $2$ bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil $1$ bola merah adalah ...

$\begin{align} (A)\ & 0,04 \\ (B)\ & 0,10 \\ (C)\ & 0,16 \\ (D)\ & 0,32 \\ (E)\ & 0,40 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih atau dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih

Kasus I: dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih.
Dari kotak I terambil satu merah dan satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}+\dfrac{12}{15}\cdot\dfrac{3}{15}=\dfrac{8}{25}$

Dari kotak II terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus II: dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih.
Dari kotak I terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$

Dari kotak II terambil satu merah satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya adalah $ \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$

Sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah peluang kasus pertama atau peluang kasus kedua $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0,4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 0,4$

Soal SBMPTN tahun 2017 yang asli secara lengkap juga untuk mata pelajaran yang lain silahkan download disini.

Catatan tentang Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar SMA Kelompok SAINTEK Tahun 2017 Kode 106 di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
close