Soal Latihan OSN-K Pelajaran IPS SD (Sekolah Dasar) dan Kunci Jawaban (Model Soal A)

The good student, Catatan Calon Guru berikut belajar matematika dasar SMA dari Vektor yaitu Tinjauan Vektor Secara Analitis. Pada catatan sebelumnya kita sudah mengetahui bagaimana cara menyelesaikan masalah vektor yang berkaitan dengan Tinjauan Vektor Secara Geometris.

VEKTOR SATUAN dan VEKTOR BASIS

Sebelumnya kita sudah mengenal vektor, yaitu ruas garis berarah, sehingga suatu vektor memiliki panjang dan arah. Selanjutnya kita akan mengenal vektor satuan dan vektor basis.

Vektor Satuan adalah sebuah vektor yang panjangnya satu satuan yang disimbolkan dengan $\hat{a}$. Yang dihtung dengan menggunakan rumus:

$$\begin{align} \hat{a} &= \dfrac{ \vec{a} }{ \left| \vec{a} \right|} \end{align}$$

Dimana vektor $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ dan $\left| \vec{a} \right|$ adalah panjang vektor $\left| \vec{a} \right| = \sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}$.

Misal, jika panjang vektor $\vec{a}= 3\vec{i}+4\vec{j}+5 \vec{k}$ maka persamaan vektor satuan $\vec{a}$ dapat kita tentukan.

Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
$$\begin{align} \left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(3)^{2}+(4)^{2} +(5)^{2}} \\ &= \sqrt{9+16 +25} \\ &= \sqrt{50}=5\sqrt{2} \end{align}$$

Vektor satuan $\vec{a}$ adalah:
$$\begin{align} \hat{a} &= \dfrac{ \vec{a} }{ \left| \vec{a} \right|} \\ \hat{a} &= \dfrac{ 3\vec{i}+4\vec{j}+5 \vec{k} }{ 5\sqrt{2}} \\ \hat{a} &= \frac{ 3}{ 5\sqrt{2} } \vec{i}+\frac{ 4}{ 5\sqrt{2} }\vec{j}+\frac{ 5}{ 5\sqrt{2} } \vec{k} \\ &= \frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \vec{i}+\frac{ 2}{ 5 }\sqrt{2}\vec{j}+\frac{ 1}{ 2 }\sqrt{2} \vec{k} \end{align}$$

Sebagai bukti kita hitung panjang vektor $\frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \vec{i}+\frac{ 2}{ 5 }\sqrt{2}\vec{j}+\frac{ 1}{ 2 }\sqrt{2} \vec{k}$ yaitu:
$$\begin{align} & \sqrt{\left( \frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \right)^{2}+\left( \frac{ 2}{ 5} \sqrt{2} \right)^{2} +\left( \frac{ 1}{ 2} \sqrt{2} \right)^{2} } \\ &= \sqrt{ \frac{ 9}{ 100} \cdot 2 + \frac{ 4}{ 25} \cdot 2 +\frac{ 1}{ 4} \cdot 2 } \\ &= \sqrt{ \frac{ 9}{ 50} + \frac{ 8}{ 25} +\frac{ 1}{ 2} } \\ &= \sqrt{ \frac{ 9+16+25}{ 50} } = \sqrt{ \frac{50}{ 50} } = 1 \end{align}$$

Vektor Basis adalah vektor satuan yang arahnya searah dengan sumbu-sumbu koordinat. Terdapat tiga macam vektor basis, yaitu:

• $\vec{i}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $x$ positip.
• $\vec{j}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $y$ positip.
• $\vec{k}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $z$ positip.

Menyatakan vektor $\vec{a}$ secara analitis yaitu menyatakannya dalam bentuk persamaan dengan komponen $i$, $j$, dan $k$ dan dinyatakan sebagai $\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ atau $\vec{a}=\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix}$.

Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa soal berikut ini:

Gambarlah vektor $\vec{a}=3\vec{i}+5\vec{j}+4\vec{k}$

Pada gambar balok di atas, dapat kita nyatakan beberapa (a) vektor $\vec{EG}$, (b) vektor $\vec{DC}$, (c) vektor $\vec{CE}$, dan (d) vektor $\vec{DB}$ dalam bentuk persamaan vektor.

(a) Vektor $\vec{EG}$
$\begin{align} \vec{EG} &= \vec{ED} + \vec{DG} \\ &= -3\vec{i}+4\vec{j}+0\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align}$

---

(b) Vektor $\vec{DC}$
$\begin{align} \vec{DC} &= \vec{DG} + \vec{GC} \\ &= 0\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix} \end{align}$

---

(c) Vektor $\vec{CE}$
$\begin{align} \vec{CE} &= \vec{CB} + \vec{BA}+ \vec{AE} \\ &= 3\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} \end{align}$

---

(d) Vektor $\vec{DB}$
$\begin{align} \vec{DB} &= \vec{BE} + \vec{EF}+ \vec{FB} \\ &= 3\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix} \end{align}$

Diketahui balok $OABC.DEFG$ dimana $O$ adalah pusat koordinat Cartesius. Jika panjang sisi $OA = 4\ cm$, $OC = 7\ cm$ dan $OD = 5\ cm$. Tentukanlah:
(a) Persamaan vektor $\vec{EC}$
(b) Panjang vektor $\vec{EC}$

Jika kita gambarkan balok $OABC.DEFG$ dan vektor $\vec{EC}$ seperti berikut ini:

(a) Persamaan vektor $\vec{EC}$
$\begin{align} \vec{EC} &= \vec{EA} + \vec{AC} \\ &= \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC} \\ &= -5\vec{k}+7\vec{j}-4\vec{i} \\ &= -4\vec{i}+7\vec{j}-5\vec{i} \\ \end{align}$

---

(b) Panjang vektor $\vec{EC}$
$\begin{align} EC^{2} &= EA^{2} + AC^{2} \\ &= EA^{2} + AB^{2}+BC^{2} \\ &= 25 + 49+ 16 \\ EC &= \sqrt{90} \end{align}$

---

PANJANG VEKTOR

Dari contoh soal di atas, dapat menjadi bukti sederhana bahwa jika vektor $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ maka panjang vektor $\vec{a}$ yang disimbolkan dengan $\left| \vec{a} \right|$ dapat dirumuskan $\left| \vec{a} \right| =\sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}$.

---

OPERASI PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN PADA VEKTOR

Operasi penjumlahan pada atau pengurangan pada vector secara analitis dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurang komponen-komponennya.

Misalnya $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ dan $\vec{b} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{a}+\vec{b} &= \left(a_{1}-b_{1} \right)\vec{i}+\left(a_{2}-b_{2} \right)\vec{j}+\left(a_{3}-b_{3} \right)\vec{k} \\ \vec{a}-\vec{b} &= \left(a_{1}-b_{1} \right)\vec{i}+\left(a_{2}-b_{2} \right)\vec{j}+\left(a_{3}-b_{3} \right)\vec{k} \\ \vec{b}-\vec{a} &= \left(b_{1}-a_{1} \right)\vec{i}+\left(b_{2}-a_{2} \right)\vec{j}+\left(b_{3}-a_{3} \right)\vec{k} \end{align}$

Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa soal berikut ini:

Misal untuk vektor-vektor $\vec{a}=3\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$, $\vec{b}=-4\vec{i}+2\vec{j}+5\vec{k}$ dan $\vec{c}=\vec{i}+4\vec{j}-6\vec{k}$ maka dapat kita hitung:

$\begin{align} 2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c} &= 2\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}+3\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 3 \\ 12 \\ -18 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6-(-4)+3\\ -2-2+12 \\ 4-5+(-18) \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 13 \\ 12 \\ -19 \end{bmatrix} \\ &= 13\vec{i}+12\vec{j}-19\vec{k} \end{align}$

Diketahui titik $P(3, 0, 2)$, $Q(-2, 1, -1)$ dan $R(2, -3, 2)$ maka tentukanlah vektor hasil dari $3 \vec{PR} – 2 \vec{QR}$.

$\begin{align} 3 \vec{PR} – 2 \vec{QR} &= 3 \begin{bmatrix} 2-3 \\ -3-0 \\ 2-2 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 2-(-2) \\ -3-1 \\ 2-(-1) \end{bmatrix} \\ &= 3 \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -3 \\ -9 \\ 0 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 8 \\ -8 \\ 6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -3-8 \\ -9+8 \\ 0-6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -11 \\ -1 \\ -6 \end{bmatrix} \\ &= -11\vec{i}-\vec{j}-6\vec{k} \end{align}$

---

Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Untuk menambah pemahaman kita terkait Mengenal Vektor Secara Analitis ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain Matematika SMA dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

Soal latihan Proyeksi ortogonal vektor berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

Nama Peserta :
Tanggal Tes :	Rabu, 28 Mei 2025
Jumlah Soal :	13 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Pada balok $ABCD.EFGH$ di bawah ini, $AB$ searah sumbu $y$ positip, maka persamaan vektor $\vec{EC}$ adalah...

$(A)\ 4\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}$

$(B)\ 3\vec{i}+5\vec{j}-4\vec{k}$

$(C)\ -4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k}$

$(D)\ 4\vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k}$

$(E)\ -3\vec{i}+4\vec{j}-5\vec{k}$

Alternatif Pembahasan:

Dari gambar balok di atas yang digambar dengan koordinat $x,y,z$ dan $AB$ searah sumbu $y$ positip dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dapat kita peroleh koordinat $E(4,0,3)$ dan $C(0,5,0)$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} \vec{EC} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0-4 \\ 5-0 \\ 0-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix} \\ &= -4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k}$

2. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Pada balok $ABCD.EFGH$ di bawah ini, $AB$ searah sumbu $y$ positip, maka persamaan vektor $\vec{AH}$ adalah...

$(A)\ 4\vec{i}-3\vec{j}$

$(B)\ -4\vec{i}+3\vec{j}$

$(C)\ 4\vec{j}- 3\vec{k}$

$(D)\ -4\vec{j} +3\vec{k}$

$(E)\ -4\vec{i}+3\vec{k}$

Alternatif Pembahasan:

Dari gambar balok di atas yang digambar dengan koordinat $x,y,z$ dan $AB$ searah sumbu $y$ positip dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dapat kita peroleh koordinat $A(4,0,0)$ dan $H(0,0,3)$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} \vec{AH} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0-4 \\ 0-0 \\ 3-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} \\ &= -4\vec{i}+0\vec{j}+3\vec{k} \\ &= -4\vec{i} +3\vec{k} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -4\vec{i}+3\vec{k}$

3. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

$OABC.DEFG$ adalah sebuah balok dengan $O$ pusat koordinat. Jika titik $F(-5, 3, 2)$ maka persamaan vektor $\vec{DB}$ adalah...

$(A)\ -5\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k}$

$(B)\ 5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}$

$(C)\ 5\vec{i}-2\vec{j}-3\vec{k}$

$(D)\ -5\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$

$(E)\ -5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}$

Alternatif Pembahasan:

Jika kita gambarkan balok $OABC.DEFG$ dengan koordinat $x,y,z$ dan $O$ pusat koordinat dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Dari gambar balok di atas yang digambar dengan koordinat $x,y,z$ dapat kita peroleh koordinat $D(0,0,2)$ dan $B(-5,3,0)$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} \vec{DB} &= \begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -5-0 \\ 3-0 \\ 0-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &= -5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}$

4. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Jika $A (2, -3, 4)$ dan $B (-4, 5, -3)$ maka vektor $\vec{AB}$ adalah...

$(A)\ 6\vec{i}-8\vec{j}+7\vec{k}$

$(B)\ -6\vec{i}+8\vec{j}-7\vec{k}$

$(C)\ 5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}$

$(D)\ 8\vec{i}+3\vec{j}- \vec{k}$

$(E)\ -5\vec{i}+4\vec{j}+3\vec{k}$

Alternatif Pembahasan:

Dari koordinat $A (2, -3, 4)$ dan $B (-4, 5, -3)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{AB} &= \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -4-2 \\ 5-(-3) \\ -3-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6 \\ 8 \\ -7 \end{bmatrix} \\ &= -6\vec{i}+8\vec{j}-7 \vec{k} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -6\vec{i}+8\vec{j}-7 \vec{k}$

5. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui vektor $\vec{AB}=\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ dan $A (1, 3, 2)$ maka koordinat $B$ adalah...

$(A)\ (4, -1, 3)$

$(B)\ (-4, 1, 3)$

$(C)\ (6, 5, 1)$

$(D)\ (-6, -5, -1)$

$(E)\ (2, -3, 4)$

Alternatif Pembahasan:

Dari koordinat $A (1, 3, 2)$ dan $B (x, y, z)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{AB} &= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} x-1 \\ y-3 \\ z-2 \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh $x=6$, $y=5$, dan $z=1$ sehingga koordinat $B (6, 5, 1)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (6, 5, 1)$

6. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui vektor $\vec{a}=2m\vec{i}+4\vec{j}+3n\vec{k}$ dan vektor $\vec{b}=6\vec{i}+4\vec{j}-2m\vec{k}$. Jika $\vec{a}=\vec{b}$ maka nilai $m+n=\cdots$

$(A)\ -1$

$(B)\ 0$

$(C)\ 1$

$(D)\ 3$

$(E)\ 4$

Alternatif Pembahasan:

Dari kesamaan $\vec{a}=\vec{b}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2m\vec{i}+4\vec{j}+3n\vec{k} &= 6\vec{i}+4\vec{j}-2m\vec{k} \\ \hline 2m &= 6 \longrightarrow m=3 \\ 3n &= -2m \\ 3n &= -2(3)=-6 \longrightarrow n=-2 \\ \hline m+n &= 3-2 =1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

7. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui $\vec{a}=\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$ dan $\vec{b}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}$ maka vektor $\vec{x}$ yang memenuhi $\vec{x}+2\vec{a}=3\vec{b}$ adalah...

$(A)\ \vec{i}-3\vec{j}+8\vec{k}$

$(B)\ -\vec{i}+8\vec{j}-15\vec{k}$

$(C)\ 2\vec{i}+ \vec{j}-5\vec{k}$

$(D)\ \vec{i}-3\vec{j}- 10\vec{k}$

$(E)\ 5\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$

Alternatif Pembahasan:

Dari kesamaan $\vec{x}+2\vec{a}=3\vec{b}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{x}+2 \vec{a} &= 3\vec{b} \\ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}+2 \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} &= 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ -9 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x+ 4 \\ y-2 \\ z+6 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ -9 \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh $x+4=3 \rightarrow x=-1$, $y-2=6 \rightarrow y=8$, dan $z+6=-9 \rightarrow z=-15$ sehingga $\vec{x}=-\vec{i}+8\vec{j}-15\vec{k}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\vec{i}+8\vec{j}-15\vec{k}$

8. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui $\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$, $\vec{b}=-\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$, dan $\vec{c}=-\vec{i}+5\vec{j}+6\vec{k}$. Jika berlaku hubungan $3\vec{x}=2\vec{b}-3\vec{a}+ \vec{c}$ maka vektor $\vec{x}$ adalah...

$(A)\ 3\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}$

$(B)\ 2\vec{i}+3\vec{j}+3\vec{k}$

$(C)\ 2\vec{i}- \vec{j}-3\vec{k}$

$(D)\ -3\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}$

$(E)\ 5\vec{i}-3\vec{j}+3\vec{k}$

Alternatif Pembahasan:

Dari kesamaan $3\vec{x}=2\vec{b}-3\vec{a}+ \vec{c}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} 3\vec{x} &= 2\vec{b}-3\vec{a}+ \vec{c} \\ 3 \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} &= 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \\ 3z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \\ 3z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -2-6-1 \\ 4-(-3)+5 \\ 6-9+6 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \\ 3z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -9 \\ 12 \\ 3 \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh $3x=-9 \rightarrow x=-3$, $3y=12 \rightarrow y=4$, dan $3z=3 \rightarrow z=1$ sehingga $\vec{x}=-3\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -3\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}$

9. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui vektor $\vec{a}=3\vec{i}-2\vec{j}$, $\vec{b}=-\vec{i}+4\vec{j}$, dan $\vec{r}=7\vec{i}-8\vec{j}$. Jika $\vec{r}=k\vec{a}+m\vec{b}$ maka nilai dari $k+m=\cdots$

$(A)\ 1$

$(B)\ 2$

$(C)\ 3$

$(D)\ 4$

$(E)\ 5$

Alternatif Pembahasan:

Dari kesamaan $\vec{r}=k\vec{a}+m\vec{b}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{r} &= k\vec{a}+m\vec{b} \\ \begin{bmatrix} 7 \\ -8 \end{bmatrix} &= k \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}+m \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 7 \\ -8 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3k \\ -2k \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -m \\ 4m \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 7 \\ -8 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3k-m \\ -2k+4m \end{bmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} 3k-m &= 7\ \left(\times 4 \right) \\ -2k+4m &= -8\ \left(\times 1 \right) \\ \hline 12k-4m &= 28 \\ -2k+4m &= -8\ \, \left( + \right) \\ \hline 10k &= 20 \\ k &= 2\ \longrightarrow m=-1 \\ k+m &= 1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

10. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui $\vec{s}=\begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 5 \end{bmatrix}$, $\vec{t}=\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$, dan $\vec{u}=\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}$. Vektor hasil dari $\vec{s}+2\vec{t}-3\vec{u}=\cdots$

$(A)\ 9\vec{i}-10\vec{j}+8\vec{k}$

$(B)\ 10\vec{i}-15\vec{j}+9\vec{k}$

$(C)\ 7\vec{i}-12\vec{j}+5\vec{k}$

$(D)\ 9\vec{i}+8\vec{j}-5\vec{k}$

$(E)\ 7\vec{i}-10\vec{j}+9\vec{k}$

Alternatif Pembahasan:

Dari vektor-vektor $\vec{s},\vec{t}$, dan $\vec{u}$ yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{s}+2\vec{t}-3\vec{u} &= \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 5 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}-3 \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \\ -2 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} -6 \\ 9 \\ -6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -2+6+6 \\ -4-2-9 \\ 5-2+6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 10 \\ -15 \\ 9 \end{bmatrix} \\ &=10\vec{i}-15\vec{j}+9\vec{k} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10\vec{i}-15\vec{j}+9\vec{k}$

11. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui vektor $\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}$, $\vec{b}= \vec{j}+4\vec{k}$, dan $\vec{c}=\vec{i}-2\vec{j}$. Maka resultan dari operasi vektor $3\vec{a}+2\vec{b}-4\vec{c}=\cdots$

$(A)\ 2\vec{i}+10\vec{j}-\vec{k}$

$(B)\ 3\vec{i}+2\vec{j}-5\vec{k}$

$(C)\ 3\vec{i}- 5\vec{k}$

$(D)\ 2\vec{i}+ \vec{j}+8\vec{k}$

$(E)\ 2\vec{i}+3\vec{j}-7\vec{k}$

Alternatif Pembahasan:

Dari vektor-vektor yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align} 3\vec{a}+2\vec{b}-4\vec{c} &= 3\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}-4\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6 \\ -9 \\ 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 8 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6+0-4 \\ -9+2-(-8) \\ 0+8-0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix} \\ &= 2\vec{i}+ \vec{j}+8\vec{k} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\vec{i}+ \vec{j}+8\vec{k}$

12. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui $A(2, 0, -1)$, $B(-3, 1, 4)$ dan $C(2, -2, 3)$ maka $2\vec{AB} – 3\vec{AC}=\cdots$

$(A)\ -5\vec{i}+6\vec{j}-\vec{k}$

$(B)\ -10\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k}$

$(C)\ 3\vec{i}- 5\vec{j} +6\vec{k}$

$(D)\ 3\vec{i}+ 5\vec{k}$

$(E)\ \vec{i}+6\vec{k}$

Alternatif Pembahasan:

Dari vektor-vektor yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2\vec{AB} – 3\vec{AC} &= 2\begin{bmatrix} -3-2 \\ 1-0 \\ 4-(-1) \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} 2-2 \\ -2-0 \\ 3-(-1) \end{bmatrix} \\ &= 2 \begin{bmatrix} -5 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}-3 \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -10 \\ 2 \\ 10 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 12 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -10-0 \\ 2-(-6) \\ 10-12 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -10 \\ 8 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &= -10\vec{i}+8 \vec{j}-2\vec{k} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k}$

13. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui vektor $\vec{a}=4\vec{i}+3\vec{j}$, $\vec{b}= \vec{i}-2\vec{j}$ dan $\vec{c}= \vec{i}+9\vec{j}$. Jika $\vec{c}= p \cdot \vec{a}+q \cdot \vec{b}$ maka nilai $p \cdot q =\cdots$

$(A)\ -1$

$(B)\ 2$

$(C)\ -2$

$(D)\ 3$

$(E)\ -3$

Alternatif Pembahasan:

Dari vektor-vektor $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{c} &= p \vec{a}+q\vec{b} \\ \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \end{bmatrix} &= p \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4p \\ 3p \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} q \\ -2q \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4p+q \\ 3p-2q \end{bmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} 4p+q &= 1\ \left(\times 2 \right) \\ 3p-2q &= 9\ \left(\times 1 \right) \\ \hline 8p+2q &= 2\\ 3p-2q &= 9\ \left( + \right) \\ \hline 11p &= 11 \\ p &= 1\ \longrightarrow q=-3 \\ p \cdot q &= -3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$

Latihan soal merupakan salah satu cara terbaik untuk memperkuat pemahaman konsep. Melalui soal latihan dan pembahasan proyeksi ortogonal suatu vektor ini, diharapkan siswa dapat lebih percaya diri dan terarah dalam belajar.

Catatan Mengenal Vektor Secara Analitis Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.

Kita adalah apa yang kita lakukan berulang kali. Maka, keunggulan bukanlah sebuah tindakan, melainkan sebuah kebiasaan

Aristoteles