Skip to main content

Matematika SMA: Mengenal Vektor Secara Analitis Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan

Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Tinjauan Analitis VektorThe good student, bersama Calon Guru kita belajar matematika dasar SMA dari Vektor yaitu Tinjauan Vektor Secara Analitis. Pada catatan sebelumnya kita sudah mengetahui bagaimana cara menyelesaikan masalah vektor yang berkaitan dengan Tinjauan Vektor Secara Geometris.

VEKTOR SATUAN dan VEKTOR BASIS


Sebelumnya kita sudah mengenal vektor, yaitu ruas garis berarah, sehingga suatu vektor memiliki panjang dan arah. Selanjutnya kita akan mengenal vektor satuan dan vektor basis.

Vektor Satuan adalah sebuah vektor yang panjangnya satu satuan yang disimbolkan dengan $\hat{a}$. Yang dihtung dengan menggunakan rumus:

\begin{align} \hat{a} &= \dfrac{ \vec{a} }{ \left| \vec{a} \right|} \end{align}

Dimana vektor $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ dan $\left| \vec{a} \right|$ adalah panjang vektor $\left| \vec{a} \right| = \sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}$.

Misal, jika panjang vektor $\vec{a}= 3\vec{i}+4\vec{j}+5 \vec{k}$ maka persamaan vektor satuan $\vec{a}$ dapat kita tentukan.

Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align} \left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(3)^{2}+(4)^{2} +(5)^{2}} \\ &= \sqrt{9+16 +25} \\ &= \sqrt{50}=5\sqrt{2} \end{align}

Vektor satuan $\vec{a}$ adalah:
\begin{align} \hat{a} &= \dfrac{ \vec{a} }{ \left| \vec{a} \right|} \\ \hat{a} &= \dfrac{ 3\vec{i}+4\vec{j}+5 \vec{k} }{ 5\sqrt{2}} \\ \hat{a} &= \frac{ 3}{ 5\sqrt{2} } \vec{i}+\frac{ 4}{ 5\sqrt{2} }\vec{j}+\frac{ 5}{ 5\sqrt{2} } \vec{k} \\ &= \frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \vec{i}+\frac{ 2}{ 5 }\sqrt{2}\vec{j}+\frac{ 1}{ 2 }\sqrt{2} \vec{k} \end{align}

Sebagai bukti kita hitung panjang vektor $\frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \vec{i}+\frac{ 2}{ 5 }\sqrt{2}\vec{j}+\frac{ 1}{ 2 }\sqrt{2} \vec{k}$ yaitu:
\begin{align} & \sqrt{\left( \frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \right)^{2}+\left( \frac{ 2}{ 5} \sqrt{2} \right)^{2} +\left( \frac{ 1}{ 2} \sqrt{2} \right)^{2} } \\ &= \sqrt{ \frac{ 9}{ 100} \cdot 2 + \frac{ 4}{ 25} \cdot 2 +\frac{ 1}{ 4} \cdot 2 } \\ &= \sqrt{ \frac{ 9}{ 50} + \frac{ 8}{ 25} +\frac{ 1}{ 2} } \\ &= \sqrt{ \frac{ 9+16+25}{ 50} } = \sqrt{ \frac{50}{ 50} } = 1 \end{align}

Vektor Basis adalah vektor satuan yang arahnya searah dengan sumbu-sumbu koordinat. Terdapat tiga macam vektor basis, yaitu:

  • $\vec{i}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $x$ positip.
  • $\vec{j}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $y$ positip.
  • $\vec{k}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $z$ positip.
<b>Vektor Basis</b> adalah vektor satuan yang arahnya searah dengan sumbu-sumbu koordinat kartesian. Terdapat tiga macam vektor basis, yaitu

Menyatakan vektor $\vec{a}$ secara analitis yaitu menyatakannya dalam bentuk persamaan dengan komponen $i$, $j$, dan $k$ dan dinyatakan sebagai $\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ atau $\vec{a}=\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix}$.

Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa soal berikut ini:

Gambarlah vektor $\vec{a}=3\vec{i}+5\vec{j}+4\vec{k}$

Gambarlah vektor $\vec{a}=3\vec{i}+5\vec{j}+4\vec{k}$

Gambarlah vektor $\vec{a}=3\vec{i}+5\vec{j}+4\vec{k}$

Pada gambar balok di atas, dapat kita nyatakan beberapa (a) vektor $\vec{EG}$, (b) vektor $\vec{DC}$, (c) vektor $\vec{CE}$, dan (d) vektor $\vec{DB}$ dalam bentuk persamaan vektor.

(a) Vektor $\vec{EG}$
$\begin{align} \vec{EG} &= \vec{ED} + \vec{DG} \\ &= -3\vec{i}+4\vec{j}+0\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align}$
(b) Vektor $\vec{DC}$
$\begin{align} \vec{DC} &= \vec{DG} + \vec{GC} \\ &= 0\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix} \end{align}$
(c) Vektor $\vec{CE}$
$\begin{align} \vec{CE} &= \vec{CB} + \vec{BA}+ \vec{AE} \\ &= 3\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} \end{align}$
(d) Vektor $\vec{DB}$
$\begin{align} \vec{DB} &= \vec{BE} + \vec{EF}+ \vec{FB} \\ &= 3\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix} \end{align}$

Diketahui balok $OABC.DEFG$ dimana $O$ adalah pusat koordinat Cartesius. Jika panjang sisi $OA = 4\ cm$, $OC = 7\ cm$ dan $OD = 5\ cm$. Tentukanlah:
(a) Persamaan vektor $\vec{EC}$
(b) Panjang vektor $\vec{EC}$

Jika kita gambarkan balok $OABC.DEFG$ dan vektor $\vec{EC}$ seperti berikut ini:

Diketahui balok $OABC.DEFG$ dimana $O$ adalah pusat koordinat Cartesius. Jika panjang sisi $OA = 4\ cm$, $OC = 7\ cm$ dan $OD = 5\ cm$. Tentukanlah: (a) Persamaan vektor $\vec{EC}$ (b) Panjang vektor $\vec{EC}

(a) Persamaan vektor $\vec{EC}$
$\begin{align} \vec{EC} &= \vec{EA} + \vec{AC} \\ &= \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC} \\ &= -5\vec{k}+7\vec{j}-4\vec{i} \\ &= -4\vec{i}+7\vec{j}-5\vec{i} \\ \end{align}$


(b) Panjang vektor $\vec{EC}$
$\begin{align} EC^{2} &= EA^{2} + AC^{2} \\ &= EA^{2} + AB^{2}+BC^{2} \\ &= 25 + 49+ 16 \\ EC &= \sqrt{90} \end{align}$


PANJANG VEKTOR


Dari contoh soal di atas, dapat menjadi bukti sederhana bahwa jika vektor $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ maka panjang vektor $\vec{a}$ yang disimbolkan dengan $\left| \vec{a} \right|$ dapat dirumuskan $\left| \vec{a} \right| =\sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}$.


OPERASI PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN PADA VEKTOR


Operasi penjumlahan pada atau pengurangan pada vector secara analitis dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurang komponen-komponennya.

Misalnya $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ dan $\vec{b} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{a}+\vec{b} &= \left(a_{1}-b_{1} \right)\vec{i}+\left(a_{2}-b_{2} \right)\vec{j}+\left(a_{3}-b_{3} \right)\vec{k} \\ \vec{a}-\vec{b} &= \left(a_{1}-b_{1} \right)\vec{i}+\left(a_{2}-b_{2} \right)\vec{j}+\left(a_{3}-b_{3} \right)\vec{k} \\ \vec{b}-\vec{a} &= \left(b_{1}-a_{1} \right)\vec{i}+\left(b_{2}-a_{2} \right)\vec{j}+\left(b_{3}-a_{3} \right)\vec{k} \end{align}$

Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa soal berikut ini:

Misal untuk vektor-vektor $\vec{a}=3\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$, $\vec{b}=-4\vec{i}+2\vec{j}+5\vec{k}$ dan $\vec{c}=\vec{i}+4\vec{j}-6\vec{k}$ maka dapat kita hitung:

$\begin{align} 2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c} &= 2\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}+3\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 3 \\ 12 \\ -18 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6-(-4)+3\\ -2-2+12 \\ 4-5+(-18) \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 13 \\ 12 \\ -19 \end{bmatrix} \\ &= 13\vec{i}+12\vec{j}-19\vec{k} \end{align}$


Diketahui titik $P(3, 0, 2)$, $Q(-2, 1, -1)$ dan $R(2, -3, 2)$ maka tentukanlah vektor hasil dari $3 \vec{PR} – 2 \vec{QR}$.

$\begin{align} 3 \vec{PR} – 2 \vec{QR} &= 3 \begin{bmatrix} 2-3 \\ -3-0 \\ 2-2 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 2-(-2) \\ -3-1 \\ 2-(-1) \end{bmatrix} \\ &= 3 \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -3 \\ -9 \\ 0 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 8 \\ -8 \\ 6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -3-8 \\ -9+8 \\ 0-6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -11 \\ -1 \\ -6 \end{bmatrix} \\ &= -11\vec{i}-\vec{j}-6\vec{k} \end{align}$


Untuk menambah pemahaman kita terkait Tinjauan Vektor Secara Analitis ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Tinjauan Vektor Secara Analitis Matematika SMA Kurikulum 2013 dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.

1. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Pada balok $ABCD.EFGH$ di bawah ini, $AB$ searah sumbu $y$ positip, maka persamaan vektor $\vec{EC}$ adalah...

Pada balok $ABCD.EFGH$ di bawah ini, $AB$ searah sumbu $y$ positip, maka persamaan vektor $\vec{EC}$ adalah

$\begin{align} (A)\ & 4\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k} \\ (B)\ & 3\vec{i}+5\vec{j}-4\vec{k} \\ (C)\ & -4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k} \\ (D)\ & 4\vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k} \\ (E)\ & -3\vec{i}+4\vec{j}-5\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari gambar balok di atas yang digambar dengan koordinat $x,y,z$ dan $AB$ searah sumbu $y$ positip dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Pada balok $ABCD.EFGH$ di bawah ini, $AB$ searah sumbu $y$ positip, maka persamaan vektor $\vec{EC}$ adalah

Dapat kita peroleh koordinat $E(4,0,3)$ dan $C(0,5,0)$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} \vec{EC} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0-4 \\ 5-0 \\ 0-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix} \\ &= -4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k}$

2. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Pada balok $ABCD.EFGH$ di bawah ini, $AB$ searah sumbu $y$ positip, maka persamaan vektor $\vec{AH}$ adalah...

Pada balok $ABCD.EFGH$ di bawah ini, $AB$ searah sumbu $y$ positip, maka persamaan vektor $\vec{EC}$ adalah

$\begin{align} (A)\ & 4\vec{i}-3\vec{j} \\ (B)\ & -4\vec{i}+3\vec{j} \\ (C)\ & 4\vec{j}- 3\vec{k} \\ (D)\ & -4\vec{j} +3\vec{k} \\ (E)\ & -4\vec{i}+3\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari gambar balok di atas yang digambar dengan koordinat $x,y,z$ dan $AB$ searah sumbu $y$ positip dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

Pada balok $ABCD.EFGH$ di bawah ini, $AB$ searah sumbu $y$ positip, maka persamaan vektor $\vec{EC}$ adalah

Dapat kita peroleh koordinat $A(4,0,0)$ dan $H(0,0,3)$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} \vec{AH} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0-4 \\ 0-0 \\ 3-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} \\ &= -4\vec{i}+0\vec{j}+3\vec{k} \\ &= -4\vec{i} +3\vec{k} \\ \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -4\vec{i}+3\vec{k}$

3. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

$OABC.DEFG$ adalah sebuah balok dengan $O$ pusat koordinat. Jika titik $F(-5, 3, 2)$ maka persamaan vektor $\vec{DB}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -5\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k} \\ (B)\ & 5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} \\ (C)\ & 5\vec{i}-2\vec{j}-3\vec{k} \\ (D)\ & -5\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k} \\ (E)\ & -5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Jika kita gambarkan balok $OABC.DEFG$ dengan koordinat $x,y,z$ dan $O$ pusat koordinat dapat kita gambarkan seperti berikut ini:

$OABC.DEFG$ adalah sebuah balok dengan $O$ pusat koordinat. Jika titik $F(-5, 3, 2)$ maka persamaan vektor \vec{DB} adalah

Dari gambar balok di atas yang digambar dengan koordinat $x,y,z$ dapat kita peroleh koordinat $D(0,0,2)$ dan $B(-5,3,0)$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} \vec{DB} &= \begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -5-0 \\ 3-0 \\ 0-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &= -5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}$

4. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Jika $A (2, -3, 4)$ dan $B (-4, 5, -3)$ maka vektor $\vec{AB}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 6\vec{i}-8\vec{j}+7\vec{k} \\ (B)\ & -6\vec{i}+8\vec{j}-7\vec{k} \\ (C)\ & 5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} \\ (D)\ & 8\vec{i}+3\vec{j}- \vec{k} \\ (E)\ & -5\vec{i}+4\vec{j}+3\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari koordinat $A (2, -3, 4)$ dan $B (-4, 5, -3)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{AB} &= \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -4-2 \\ 5-(-3) \\ -3-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6 \\ 8 \\ -7 \end{bmatrix} \\ &= -6\vec{i}+8\vec{j}-7 \vec{k} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -6\vec{i}+8\vec{j}-7 \vec{k}$

5. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui vektor $\vec{AB}=\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ dan $A (1, 3, 2)$ maka koordinat $B $ adalah...

$\begin{align} (A)\ & (4, -1, 3) \\ (B)\ & (-4, 1, 3) \\ (C)\ & (6, 5, 1) \\ (D)\ & (-6, -5, -1) \\ (E)\ & (2, -3, 4) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari koordinat $A (1, 3, 2)$ dan $B (x, y, z)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{AB} &= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} x-1 \\ y-3 \\ z-2 \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh $x=6$, $y=5$, dan $z=1$ sehingga koordinat $B (6, 5, 1)$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (6, 5, 1)$

6. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui vektor $\vec{a}=2m\vec{i}+4\vec{j}+3n\vec{k}$ dan vektor $\vec{b}=6\vec{i}+4\vec{j}-2m\vec{k}$. Jika $\vec{a}=\vec{b}$ maka nilai $m+n=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari kesamaan $\vec{a}=\vec{b}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2m\vec{i}+4\vec{j}+3n\vec{k} &= 6\vec{i}+4\vec{j}-2m\vec{k} \\ \hline 2m &= 6 \longrightarrow m=3 \\ 3n &= -2m \\ 3n &= -2(3)=-6 \longrightarrow n=-2 \\ \hline m+n &= 3-2 =1 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

7. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui $\vec{a}=\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$ dan $\vec{b}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}$ maka vektor $\vec{x}$ yang memenuhi $\vec{x}+2\vec{a}=3\vec{b}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \vec{i}-3\vec{j}+8\vec{k} \\ (B)\ & -\vec{i}+8\vec{j}-15\vec{k} \\ (C)\ & 2\vec{i}+ \vec{j}-5\vec{k} \\ (D)\ & \vec{i}-3\vec{j}- 10\vec{k} \\ (E)\ & 5\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari kesamaan $\vec{x}+2\vec{a}=3\vec{b}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{x}+2 \vec{a} &= 3\vec{b} \\ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}+2 \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} &= 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ -9 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x+ 4 \\ y-2 \\ z+6 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ -9 \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh $x+4=3 \rightarrow x=-1$, $y-2=6 \rightarrow y=8$, dan $z+6=-9 \rightarrow z=-15$ sehingga $\vec{x}=-\vec{i}+8\vec{j}-15\vec{k}$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\vec{i}+8\vec{j}-15\vec{k}$

8. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui $\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$, $\vec{b}=-\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$, dan $\vec{c}=-\vec{i}+5\vec{j}+6\vec{k}$. Jika berlaku hubungan $3\vec{x}=2\vec{b}-3\vec{a}+ \vec{c}$ maka vektor $\vec{x}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 3\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k} \\ (B)\ & 2\vec{i}+3\vec{j}+3\vec{k} \\ (C)\ & 2\vec{i}- \vec{j}-3\vec{k} \\ (D)\ & -3\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k} \\ (E)\ & 5\vec{i}-3\vec{j}+3\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari kesamaan $3\vec{x}=2\vec{b}-3\vec{a}+ \vec{c}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} 3\vec{x} &= 2\vec{b}-3\vec{a}+ \vec{c} \\ 3 \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} &= 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \\ 3z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \\ 3z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -2-6-1 \\ 4-(-3)+5 \\ 6-9+6 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \\ 3z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -9 \\ 12 \\ 3 \end{bmatrix} \end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh $3x=-9 \rightarrow x=-3$, $3y=12 \rightarrow y=4$, dan $3z=3 \rightarrow z=1$ sehingga $\vec{x}=-3\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -3\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}$

9. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui vektor $\vec{a}=3\vec{i}-2\vec{j}$, $\vec{b}=-\vec{i}+4\vec{j}$, dan $\vec{r}=7\vec{i}-8\vec{j}$. Jika $\vec{r}=k\vec{a}+m\vec{b}$ maka nilai dari $k+m=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari kesamaan $\vec{r}=k\vec{a}+m\vec{b}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{r} &= k\vec{a}+m\vec{b} \\ \begin{bmatrix} 7 \\ -8 \end{bmatrix} &= k \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}+m \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 7 \\ -8 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3k \\ -2k \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -m \\ 4m \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 7 \\ -8 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3k-m \\ -2k+4m \end{bmatrix} \end{align}$

Dari kesamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} 3k-m &= 7\ \left(\times 4 \right) \\ -2k+4m &= -8\ \left(\times 1 \right) \\ \hline 12k-4m &= 28 \\ -2k+4m &= -8\ \, \left( + \right) \\ \hline 10k &= 20 \\ k &= 2\ \longrightarrow m=-1 \\ k+m &= 1 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

10. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui $\vec{s}=\begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 5 \end{bmatrix}$, $\vec{t}=\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$, dan $\vec{u}=\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}$. Vektor hasil dari $\vec{s}+2\vec{t}-3\vec{u}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 9\vec{i}-10\vec{j}+8\vec{k} \\ (B)\ & 10\vec{i}-15\vec{j}+9\vec{k} \\ (C)\ & 7\vec{i}-12\vec{j}+5\vec{k} \\ (D)\ & 9\vec{i}+8\vec{j}-5\vec{k} \\ (E)\ & 7\vec{i}-10\vec{j}+9\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari vektor-vektor $\vec{s},\vec{t}$, dan $\vec{u}$ yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{s}+2\vec{t}-3\vec{u} &= \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 5 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}-3 \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \\ -2 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} -6 \\ 9 \\ -6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -2+6+6 \\ -4-2-9 \\ 5-2+6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 10 \\ -15 \\ 9 \end{bmatrix} \\ &=10\vec{i}-15\vec{j}+9\vec{k} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10\vec{i}-15\vec{j}+9\vec{k}$


11. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui vektor $\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}$, $\vec{b}= \vec{j}+4\vec{k}$, dan $\vec{c}=\vec{i}-2\vec{j}$. Maka resultan dari operasi vektor $3\vec{a}+2\vec{b}-4\vec{c}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 2\vec{i}+10\vec{j}-\vec{k} \\ (B)\ & 3\vec{i}+2\vec{j}-5\vec{k} \\ (C)\ & 3\vec{i}- 5\vec{k} \\ (D)\ & 2\vec{i}+ \vec{j}+8\vec{k} \\ (E)\ & 2\vec{i}+3\vec{j}-7\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari vektor-vektor yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align} 3\vec{a}+2\vec{b}-4\vec{c} &= 3\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}-4\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6 \\ -9 \\ 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 8 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6+0-4 \\ -9+2-(-8) \\ 0+8-0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix} \\ &= 2\vec{i}+ \vec{j}+8\vec{k} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\vec{i}+ \vec{j}+8\vec{k}$

12. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui $A(2, 0, -1)$, $B(-3, 1, 4)$ dan $C(2, -2, 3)$ maka $2\vec{AB} – 3\vec{AC}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -5\vec{i}+6\vec{j}-\vec{k} \\ (B)\ & -10\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k} \\ (C)\ & 3\vec{i}- 5\vec{j} +6\vec{k} \\ (D)\ & 3\vec{i}+ 5\vec{k} \\ (E)\ & \vec{i}+6\vec{k} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari vektor-vektor yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align} 2\vec{AB} – 3\vec{AC} &= 2\begin{bmatrix} -3-2 \\ 1-0 \\ 4-(-1) \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} 2-2 \\ -2-0 \\ 3-(-1) \end{bmatrix} \\ &= 2 \begin{bmatrix} -5 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}-3 \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -10 \\ 2 \\ 10 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 12 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -10-0 \\ 2-(-6) \\ 10-12 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -10 \\ 8 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &= -10\vec{i}+8 \vec{j}-2\vec{k} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k}$

13. Soal Latihan Vektor Secara Analitis

Diketahui vektor $\vec{a}=4\vec{i}+3\vec{j}$, $\vec{b}= \vec{i}-2\vec{j}$ dan $\vec{c}= \vec{i}+9\vec{j}$. Jika $\vec{c}= p \cdot \vec{a}+q \cdot \vec{b}$ maka nilai $p \cdot q =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & -3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari vektor-vektor $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align} \vec{c} &= p \vec{a}+q\vec{b} \\ \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \end{bmatrix} &= p \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4p \\ 3p \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} q \\ -2q \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4p+q \\ 3p-2q \end{bmatrix} \end{align}$


Dari kesamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} 4p+q &= 1\ \left(\times 2 \right) \\ 3p-2q &= 9\ \left(\times 1 \right) \\ \hline 8p+2q &= 2\\ 3p-2q &= 9\ \left( + \right) \\ \hline 11p &= 11 \\ p &= 1\ \longrightarrow q=-3 \\ p \cdot q &= -3 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Tinjauan Vektor Secara Geometris di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Mengenal Tinjauan Analitis Vektor Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Matematika SMA: Mengenal Vektor Secara Analitis Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan " silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar