The good student, bersama Calon Guru kita belajar matematika dasar SMA dari Vektor yaitu Tinjauan Vektor Secara Analitis. Pada catatan sebelumnya kita sudah mengetahui bagaimana cara menyelesaikan masalah vektor yang berkaitan dengan Tinjauan Vektor Secara Geometris.
VEKTOR SATUAN dan VEKTOR BASIS
Sebelumnya kita sudah mengenal vektor, yaitu ruas garis berarah, sehingga suatu vektor memiliki panjang dan arah. Selanjutnya kita akan mengenal vektor satuan dan vektor basis.
Vektor Satuan adalah sebuah vektor yang panjangnya satu satuan yang disimbolkan dengan $\hat{a}$. Yang dihtung dengan menggunakan rumus:
\begin{align} \hat{a} &= \dfrac{ \vec{a} }{ \left| \vec{a} \right|} \end{align}
Dimana vektor $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ dan $\left| \vec{a} \right|$ adalah panjang vektor $\left| \vec{a} \right| = \sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}$.
Misal, jika panjang vektor $\vec{a}= 3\vec{i}+4\vec{j}+5 \vec{k}$ maka persamaan vektor satuan $\vec{a}$ dapat kita tentukan.
Dari apa yang diketahui pada soal dapat kita peroleh:
\begin{align}
\left| \vec{a} \right| &= \sqrt{(3)^{2}+(4)^{2} +(5)^{2}} \\
&= \sqrt{9+16 +25} \\
&= \sqrt{50}=5\sqrt{2}
\end{align}
Vektor satuan $\vec{a}$ adalah:
\begin{align}
\hat{a} &= \dfrac{ \vec{a} }{ \left| \vec{a} \right|} \\
\hat{a} &= \dfrac{ 3\vec{i}+4\vec{j}+5 \vec{k} }{ 5\sqrt{2}} \\
\hat{a} &= \frac{ 3}{ 5\sqrt{2} } \vec{i}+\frac{ 4}{ 5\sqrt{2} }\vec{j}+\frac{ 5}{ 5\sqrt{2} } \vec{k} \\
&= \frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \vec{i}+\frac{ 2}{ 5 }\sqrt{2}\vec{j}+\frac{ 1}{ 2 }\sqrt{2} \vec{k}
\end{align}
Sebagai bukti kita hitung panjang vektor $\frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \vec{i}+\frac{ 2}{ 5 }\sqrt{2}\vec{j}+\frac{ 1}{ 2 }\sqrt{2} \vec{k}$ yaitu:
\begin{align}
& \sqrt{\left( \frac{ 3}{ 10} \sqrt{2} \right)^{2}+\left( \frac{ 2}{ 5} \sqrt{2} \right)^{2} +\left( \frac{ 1}{ 2} \sqrt{2} \right)^{2} } \\
&= \sqrt{ \frac{ 9}{ 100} \cdot 2 + \frac{ 4}{ 25} \cdot 2 +\frac{ 1}{ 4} \cdot 2 } \\
&= \sqrt{ \frac{ 9}{ 50} + \frac{ 8}{ 25} +\frac{ 1}{ 2} } \\
&= \sqrt{ \frac{ 9+16+25}{ 50} } = \sqrt{ \frac{50}{ 50} } = 1
\end{align}
Vektor Basis adalah vektor satuan yang arahnya searah dengan sumbu-sumbu koordinat. Terdapat tiga macam vektor basis, yaitu:
- $\vec{i}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $x$ positip.
- $\vec{j}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $y$ positip.
- $\vec{k}$ yaitu vektor basis yang searah dengan arah sumbu $z$ positip.
Menyatakan vektor $\vec{a}$ secara analitis yaitu menyatakannya dalam bentuk persamaan dengan komponen $i$, $j$, dan $k$ dan dinyatakan sebagai $\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}$ atau $\vec{a}=\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix}$.
Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa soal berikut ini:
Gambarlah vektor $\vec{a}=3\vec{i}+5\vec{j}+4\vec{k}$
(a) Vektor $\vec{EG}$Pada gambar balok di atas, dapat kita nyatakan beberapa (a) vektor $\vec{EG}$, (b) vektor $\vec{DC}$, (c) vektor $\vec{CE}$, dan (d) vektor $\vec{DB}$ dalam bentuk persamaan vektor.
$\begin{align} \vec{EG} &= \vec{ED} + \vec{DG} \\ &= -3\vec{i}+4\vec{j}+0\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align}$
(b) Vektor $\vec{DC}$
$\begin{align} \vec{DC} &= \vec{DG} + \vec{GC} \\ &= 0\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix} \end{align}$
(c) Vektor $\vec{CE}$
$\begin{align} \vec{CE} &= \vec{CB} + \vec{BA}+ \vec{AE} \\ &= 3\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} \end{align}$
(d) Vektor $\vec{DB}$
$\begin{align} \vec{DB} &= \vec{BE} + \vec{EF}+ \vec{FB} \\ &= 3\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k} \\ &= \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix} \end{align}$
Diketahui balok $OABC.DEFG$ dimana $O$ adalah pusat koordinat Cartesius. Jika panjang sisi $OA = 4\ cm$, $OC = 7\ cm$ dan $OD = 5\ cm$. Tentukanlah:
(a) Persamaan vektor $\vec{EC}$
(b) Panjang vektor $\vec{EC}$
Jika kita gambarkan balok $OABC.DEFG$ dan vektor $\vec{EC}$ seperti berikut ini:
(a) Persamaan vektor $\vec{EC}$
$\begin{align}
\vec{EC} &= \vec{EA} + \vec{AC} \\
&= \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC} \\
&= -5\vec{k}+7\vec{j}-4\vec{i} \\
&= -4\vec{i}+7\vec{j}-5\vec{i} \\
\end{align}$
(b) Panjang vektor $\vec{EC}$
$\begin{align} EC^{2} &= EA^{2} + AC^{2} \\ &= EA^{2} + AB^{2}+BC^{2} \\ &= 25 + 49+ 16 \\ EC &= \sqrt{90} \end{align}$
PANJANG VEKTOR
Dari contoh soal di atas, dapat menjadi bukti sederhana bahwa jika vektor $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ maka panjang vektor $\vec{a}$ yang disimbolkan dengan $\left| \vec{a} \right|$ dapat dirumuskan $\left| \vec{a} \right| =\sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}$.
OPERASI PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN PADA VEKTOR
Operasi penjumlahan pada atau pengurangan pada vector secara analitis dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurang komponen-komponennya.
Misalnya $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ dan $\vec{b} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{a}+\vec{b} &= \left(a_{1}-b_{1} \right)\vec{i}+\left(a_{2}-b_{2} \right)\vec{j}+\left(a_{3}-b_{3} \right)\vec{k} \\
\vec{a}-\vec{b} &= \left(a_{1}-b_{1} \right)\vec{i}+\left(a_{2}-b_{2} \right)\vec{j}+\left(a_{3}-b_{3} \right)\vec{k} \\
\vec{b}-\vec{a} &= \left(b_{1}-a_{1} \right)\vec{i}+\left(b_{2}-a_{2} \right)\vec{j}+\left(b_{3}-a_{3} \right)\vec{k}
\end{align}$
Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa soal berikut ini:
Misal untuk vektor-vektor $\vec{a}=3\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$, $\vec{b}=-4\vec{i}+2\vec{j}+5\vec{k}$ dan $\vec{c}=\vec{i}+4\vec{j}-6\vec{k}$ maka dapat kita hitung:$\begin{align} 2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c} &= 2\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}+3\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 3 \\ 12 \\ -18 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6-(-4)+3\\ -2-2+12 \\ 4-5+(-18) \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 13 \\ 12 \\ -19 \end{bmatrix} \\ &= 13\vec{i}+12\vec{j}-19\vec{k} \end{align}$
Diketahui titik $P(3, 0, 2)$, $Q(-2, 1, -1)$ dan $R(2, -3, 2)$ maka tentukanlah vektor hasil dari $3 \vec{PR} – 2 \vec{QR}$.
$\begin{align} 3 \vec{PR} – 2 \vec{QR} &= 3 \begin{bmatrix} 2-3 \\ -3-0 \\ 2-2 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 2-(-2) \\ -3-1 \\ 2-(-1) \end{bmatrix} \\ &= 3 \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -3 \\ -9 \\ 0 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 8 \\ -8 \\ 6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -3-8 \\ -9+8 \\ 0-6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -11 \\ -1 \\ -6 \end{bmatrix} \\ &= -11\vec{i}-\vec{j}-6\vec{k} \end{align}$
Untuk menambah pemahaman kita terkait Tinjauan Vektor Secara Analitis ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Tinjauan Vektor Secara Analitis Matematika SMA Kurikulum 2013 dan soal-soal yang ditanyakan pada media sosial.
Jika tertarik untuk membahas soal-soal vektor yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional matematika SMA atau soal seleksimasuk perguruan tinggi negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri silahkan disimak pada Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Vektor.
1. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Pada balok $ABCD.EFGH$ di bawah ini, $AB$ searah sumbu $y$ positip, maka persamaan vektor $\vec{EC}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 4\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k} \\ (B)\ & 3\vec{i}+5\vec{j}-4\vec{k} \\ (C)\ & -4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k} \\ (D)\ & 4\vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k} \\ (E)\ & -3\vec{i}+4\vec{j}-5\vec{k} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar balok di atas yang digambar dengan koordinat $x,y,z$ dan $AB$ searah sumbu $y$ positip dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Dapat kita peroleh koordinat $E(4,0,3)$ dan $C(0,5,0)$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{EC} &= \begin{bmatrix}
0 \\
5 \\
0
\end{bmatrix}- \begin{bmatrix}
4 \\
0 \\
3
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
0-4 \\
5-0 \\
0-3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-4 \\
5 \\
-3
\end{bmatrix} \\
&= -4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k}$
2. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Pada balok $ABCD.EFGH$ di bawah ini, $AB$ searah sumbu $y$ positip, maka persamaan vektor $\vec{AH}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 4\vec{i}-3\vec{j} \\ (B)\ & -4\vec{i}+3\vec{j} \\ (C)\ & 4\vec{j}- 3\vec{k} \\ (D)\ & -4\vec{j} +3\vec{k} \\ (E)\ & -4\vec{i}+3\vec{k} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar balok di atas yang digambar dengan koordinat $x,y,z$ dan $AB$ searah sumbu $y$ positip dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Dapat kita peroleh koordinat $A(4,0,0)$ dan $H(0,0,3)$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AH} &= \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
3
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
4 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
0-4 \\
0-0 \\
3-0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-4 \\
0 \\
3
\end{bmatrix} \\
&= -4\vec{i}+0\vec{j}+3\vec{k} \\
&= -4\vec{i} +3\vec{k} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -4\vec{i}+3\vec{k}$
3. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
$OABC.DEFG$ adalah sebuah balok dengan $O$ pusat koordinat. Jika titik $F(-5, 3, 2)$ maka persamaan vektor $\vec{DB}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & -5\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k} \\ (B)\ & 5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} \\ (C)\ & 5\vec{i}-2\vec{j}-3\vec{k} \\ (D)\ & -5\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k} \\ (E)\ & -5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan balok $OABC.DEFG$ dengan koordinat $x,y,z$ dan $O$ pusat koordinat dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Dari gambar balok di atas yang digambar dengan koordinat $x,y,z$ dapat kita peroleh koordinat $D(0,0,2)$ dan $B(-5,3,0)$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{DB} &= \begin{bmatrix}
-5 \\
3 \\
0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
2
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
-5-0 \\
3-0 \\
0-2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-5 \\
3 \\
-2
\end{bmatrix} \\
&= -5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}$
4. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Jika $A (2, -3, 4)$ dan $B (-4, 5, -3)$ maka vektor $\vec{AB}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6\vec{i}-8\vec{j}+7\vec{k} \\ (B)\ & -6\vec{i}+8\vec{j}-7\vec{k} \\ (C)\ & 5\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} \\ (D)\ & 8\vec{i}+3\vec{j}- \vec{k} \\ (E)\ & -5\vec{i}+4\vec{j}+3\vec{k} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari koordinat $A (2, -3, 4)$ dan $B (-4, 5, -3)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AB} &= \begin{bmatrix}
-4 \\
5 \\
-3
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
2 \\
-3 \\
4
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
-4-2 \\
5-(-3) \\
-3-4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-6 \\
8 \\
-7
\end{bmatrix} \\
&= -6\vec{i}+8\vec{j}-7 \vec{k}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -6\vec{i}+8\vec{j}-7 \vec{k}$
5. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Diketahui vektor $\vec{AB}=\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ dan $A (1, 3, 2)$ maka koordinat $B $ adalah...
$\begin{align} (A)\ & (4, -1, 3) \\ (B)\ & (-4, 1, 3) \\ (C)\ & (6, 5, 1) \\ (D)\ & (-6, -5, -1) \\ (E)\ & (2, -3, 4) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari koordinat $A (1, 3, 2)$ dan $B (x, y, z)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{AB} &= \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
2
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
5 \\
2 \\
-1
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
x-1 \\
y-3 \\
z-2
\end{bmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh $x=6$, $y=5$, dan $z=1$ sehingga koordinat $B (6, 5, 1)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (6, 5, 1)$
6. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Diketahui vektor $\vec{a}=2m\vec{i}+4\vec{j}+3n\vec{k}$ dan vektor $\vec{b}=6\vec{i}+4\vec{j}-2m\vec{k}$. Jika $\vec{a}=\vec{b}$ maka nilai $m+n=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari kesamaan $\vec{a}=\vec{b}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2m\vec{i}+4\vec{j}+3n\vec{k} &= 6\vec{i}+4\vec{j}-2m\vec{k} \\
\hline
2m &= 6 \longrightarrow m=3 \\
3n &= -2m \\
3n &= -2(3)=-6 \longrightarrow n=-2 \\
\hline
m+n &= 3-2 =1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
7. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Diketahui $\vec{a}=\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$ dan $\vec{b}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}$ maka vektor $\vec{x}$ yang memenuhi $\vec{x}+2\vec{a}=3\vec{b}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \vec{i}-3\vec{j}+8\vec{k} \\ (B)\ & -\vec{i}+8\vec{j}-15\vec{k} \\ (C)\ & 2\vec{i}+ \vec{j}-5\vec{k} \\ (D)\ & \vec{i}-3\vec{j}- 10\vec{k} \\ (E)\ & 5\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari kesamaan $\vec{x}+2\vec{a}=3\vec{b}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{x}+2 \vec{a} &= 3\vec{b} \\
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}+2 \begin{bmatrix}
2 \\
-1 \\
3
\end{bmatrix} &= 3 \begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
-3
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}
4 \\
-2 \\
6
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3 \\
6 \\
-9
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
x+ 4 \\
y-2 \\
z+6
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3 \\
6 \\
-9
\end{bmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh $x+4=3 \rightarrow x=-1$, $y-2=6 \rightarrow y=8$, dan $z+6=-9 \rightarrow z=-15$ sehingga $\vec{x}=-\vec{i}+8\vec{j}-15\vec{k}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\vec{i}+8\vec{j}-15\vec{k}$
8. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Diketahui $\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$, $\vec{b}=-\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$, dan $\vec{c}=-\vec{i}+5\vec{j}+6\vec{k}$. Jika berlaku hubungan $3\vec{x}=2\vec{b}-3\vec{a}+ \vec{c}$ maka vektor $\vec{x}$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k} \\ (B)\ & 2\vec{i}+3\vec{j}+3\vec{k} \\ (C)\ & 2\vec{i}- \vec{j}-3\vec{k} \\ (D)\ & -3\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k} \\ (E)\ & 5\vec{i}-3\vec{j}+3\vec{k} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari kesamaan $3\vec{x}=2\vec{b}-3\vec{a}+ \vec{c}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
3\vec{x} &= 2\vec{b}-3\vec{a}+ \vec{c} \\
3 \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix} &= 2 \begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}
2 \\
-1 \\
3
\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}
-1 \\
5 \\
6
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
3x \\
3y \\
3z
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
-2 \\
4 \\
6
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
6 \\
-3 \\
9
\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}
-1 \\
5 \\
6
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
3x \\
3y \\
3z
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
-2-6-1 \\
4-(-3)+5 \\
6-9+6
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
3x \\
3y \\
3z
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
-9 \\
12 \\
3
\end{bmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh $3x=-9 \rightarrow x=-3$, $3y=12 \rightarrow y=4$, dan $3z=3 \rightarrow z=1$ sehingga $\vec{x}=-3\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -3\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}$
9. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Diketahui vektor $\vec{a}=3\vec{i}-2\vec{j}$, $\vec{b}=-\vec{i}+4\vec{j}$, dan $\vec{r}=7\vec{i}-8\vec{j}$. Jika $\vec{r}=k\vec{a}+m\vec{b}$ maka nilai dari $k+m=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari kesamaan $\vec{r}=k\vec{a}+m\vec{b}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{r} &= k\vec{a}+m\vec{b} \\
\begin{bmatrix}
7 \\
-8
\end{bmatrix} &= k \begin{bmatrix}
3 \\
-2
\end{bmatrix}+m \begin{bmatrix}
-1 \\
4
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
7 \\
-8
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3k \\
-2k
\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}
-m \\
4m
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
7 \\
-8
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
3k-m \\
-2k+4m
\end{bmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
3k-m &= 7\ \left(\times 4 \right) \\
-2k+4m &= -8\ \left(\times 1 \right) \\
\hline
12k-4m &= 28 \\
-2k+4m &= -8\ \, \left( + \right) \\
\hline
10k &= 20 \\
k &= 2\ \longrightarrow m=-1 \\
k+m &= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
10. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Diketahui $\vec{s}=\begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 5 \end{bmatrix}$, $\vec{t}=\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$, dan $\vec{u}=\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}$. Vektor hasil dari $\vec{s}+2\vec{t}-3\vec{u}=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 9\vec{i}-10\vec{j}+8\vec{k} \\ (B)\ & 10\vec{i}-15\vec{j}+9\vec{k} \\ (C)\ & 7\vec{i}-12\vec{j}+5\vec{k} \\ (D)\ & 9\vec{i}+8\vec{j}-5\vec{k} \\ (E)\ & 7\vec{i}-10\vec{j}+9\vec{k} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari vektor-vektor $\vec{s},\vec{t}$, dan $\vec{u}$ yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{s}+2\vec{t}-3\vec{u} &= \begin{bmatrix}
-2 \\
-4 \\
5
\end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix}
3 \\
-1 \\
-1
\end{bmatrix}-3 \begin{bmatrix}
-2 \\
3 \\
-2
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
-2 \\
-4 \\
5
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
6 \\
-2 \\
-2
\end{bmatrix}- \begin{bmatrix}
-6 \\
9 \\
-6
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
-2+6+6 \\
-4-2-9 \\
5-2+6
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
10 \\
-15 \\
9
\end{bmatrix} \\
&=10\vec{i}-15\vec{j}+9\vec{k}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10\vec{i}-15\vec{j}+9\vec{k}$
11. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Diketahui vektor $\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}$, $\vec{b}= \vec{j}+4\vec{k}$, dan $\vec{c}=\vec{i}-2\vec{j}$. Maka resultan dari operasi vektor $3\vec{a}+2\vec{b}-4\vec{c}=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 2\vec{i}+10\vec{j}-\vec{k} \\ (B)\ & 3\vec{i}+2\vec{j}-5\vec{k} \\ (C)\ & 3\vec{i}- 5\vec{k} \\ (D)\ & 2\vec{i}+ \vec{j}+8\vec{k} \\ (E)\ & 2\vec{i}+3\vec{j}-7\vec{k} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari vektor-vektor yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
3\vec{a}+2\vec{b}-4\vec{c} &= 3\begin{bmatrix}
2 \\
-3 \\
0
\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
4
\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
0
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
6 \\
-9 \\
0
\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}
0 \\
2 \\
8
\end{bmatrix}- \begin{bmatrix}
4 \\
-8 \\
0
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
6+0-4 \\
-9+2-(-8) \\
0+8-0
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
8
\end{bmatrix} \\
&= 2\vec{i}+ \vec{j}+8\vec{k}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\vec{i}+ \vec{j}+8\vec{k}$
12. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Diketahui $A(2, 0, -1)$, $B(-3, 1, 4)$ dan $C(2, -2, 3)$ maka $2\vec{AB} – 3\vec{AC}=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -5\vec{i}+6\vec{j}-\vec{k} \\ (B)\ & -10\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k} \\ (C)\ & 3\vec{i}- 5\vec{j} +6\vec{k} \\ (D)\ & 3\vec{i}+ 5\vec{k} \\ (E)\ & \vec{i}+6\vec{k} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari vektor-vektor yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2\vec{AB} – 3\vec{AC} &= 2\begin{bmatrix}
-3-2 \\
1-0 \\
4-(-1)
\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}
2-2 \\
-2-0 \\
3-(-1)
\end{bmatrix} \\
&= 2 \begin{bmatrix}
-5 \\
1 \\
5
\end{bmatrix}-3 \begin{bmatrix}
0 \\
-2 \\
4
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
-10 \\
2 \\
10
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
0 \\
-6 \\
12
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
-10-0 \\
2-(-6) \\
10-12
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
-10 \\
8 \\
-2
\end{bmatrix} \\
&= -10\vec{i}+8 \vec{j}-2\vec{k}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k}$
13. Soal Latihan Vektor Secara Analitis
Diketahui vektor $\vec{a}=4\vec{i}+3\vec{j}$, $\vec{b}= \vec{i}-2\vec{j}$ dan $\vec{c}= \vec{i}+9\vec{j}$. Jika $\vec{c}= p \cdot \vec{a}+q \cdot \vec{b}$ maka nilai $p \cdot q =\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & -3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari vektor-vektor $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ yang diketahui dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\vec{c} &= p \vec{a}+q\vec{b} \\
\begin{bmatrix}
1 \\
9
\end{bmatrix} &= p \begin{bmatrix}
4 \\
3
\end{bmatrix} + q \begin{bmatrix}
1 \\
-2
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
1 \\
9
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
4p \\
3p
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
q \\
-2q
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
1 \\
9
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
4p+q \\
3p-2q
\end{bmatrix}
\end{align}$
Dari kesamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
4p+q &= 1\ \left(\times 2 \right) \\
3p-2q &= 9\ \left(\times 1 \right) \\
\hline
8p+2q &= 2\\
3p-2q &= 9\ \left( + \right) \\
\hline
11p &= 11 \\
p &= 1\ \longrightarrow q=-3 \\
p \cdot q &= -3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -3$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Tinjauan Vektor Secara Geometris di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Mengenal Tinjauan Analitis Vektor Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊