Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Dimensi Tiga
Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Dimensi Tiga. Untuk memantapkan kita dalam belajar dimesi tiga, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang teorema pythagoras, karena dalam dimensi tiga banyak menggunakan teorem pythagoras dalam membantu agar lebih cepat dalam belajar dimensi tiga. Penerapan dimensi tiga dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya menyelesaikan masalah volume suatu bangun ruang tanpa harus mempraktekkan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada dimensi tiga juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal dimensi tiga dan menemukan solusinya.
Pada pelajaran matematika di SMP (Sekolah Menengah Pertama) materi dimensi tiga ini kurang dikenal, kita lebih mengenalnya dengan sebutan bangun ruang. Bangun ruang senidiri sampai kita menyelesaikan bangku SMP pada kelas IX (sembilan) SMP atau menyelesaikan bangku SMA kelas XII (dua belas) umumnya pada pelajaran bangun ruang (dimensi tiga) masih mempelajari kelompok bangun ruang pada tiga kelompok yaitu:
- Prisma, dimana Volumenya adalah $V=\text{Luas alas} \times \text{tinggi}$
- Limas, dimana Volumenya $V=\dfrac{1}{3} \times \text{Luas alas} \times \text{tinggi}$
- Bola, dimana Volumenya $V=\dfrac{4}{3} \times \pi r^{}$
Dimulai dari TITIK yang tidak berdimensi. GARIS dimensi satu yang hanya memiliki ukuran panjang. BIDANG dimensi dua yang memiliki dua ukuran yaitu panjang dan lebar. RUANG yang memiliki tiga ukuran yaitu panjang, lebar dan tinggi. Inilah salah satu alasan kenapa dikatakan dimensi tiga karena terbentuknya bangun ruang oleh tiga komponen yaitu $Panjang$, $Lebar$, $Tinggi$. Meskipun pada pelajaran fisika ketiga kompenen ini masih tergolong ke kelompok dimensi yang sama yaitu dimensi $L$ atau ($Long$).
Agar dapat menyelesaikan masalah yang berkembang tentang dimesi tiga dengan baik, maka ada baiknya kita sudah paham tentang materi pada dimensi dua terkhusus teorema phytagoras dan konsep jarak.
Untuk lebih memahami lagi tentang masalah yang berkembang tentang dimensi tiga ini, kita coba diskusikan beberapa soal berikut yang kita sadaur dari berbagai sumber dan dominan dari soal-soal Ujian Nasional (UN) atau seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN).
1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
Kamar Akbar berbentuk balok dengan ukuran panjang : lebar : tinggi=5:5:4. Di langit-langit kamar terdapat lampu yang letaknya tepat pada pusat bidang langit-langit. Pada salah dinding kamar dipasang saklar yang letaknya tepat di tengah-tengah dinding. Jarak saklar ke lampu adalah...
$(A)\ \frac{3}{2}\ m $
$(B)\ \frac{5}{2}\ m $
$(C)\ \frac{1}{2}\sqrt{34}\ m $
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{41}\ m $
$(E)\ \sqrt{14}\ m $
Alternatif Pembahasan: 
Jarak lampu dan saklar adalah;
$d=\sqrt{(\frac{5}{2}x)^{2}+(2x)^{2}}$
$d=\sqrt{\frac{25}{4}x^{2}+4x^{2}}$
$d=\sqrt{\frac{25}{4}x^{2}+\frac{16}{4}x^{2}}$
$d=\sqrt{\frac{41}{4}x^{2}}$
$d=\frac{1}{2}\sqrt{41}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{41}$
Ukuran kamar Akbar yang berbentuk balok masih dalam bentuk perbandingan, sehingga kita bisa dapat memisalkan ukuran panjangnya menjadi $panjang=5x$; $lebar=5x$ dan $tinggi=4x$.
Lampu berada pada titik tengah langit-langit dan saklar berada pada titik tengah dinding, ilustrasi saklar dan lampu kurang lebih seperti gambar berikut;
$d=\sqrt{(\frac{5}{2}x)^{2}+(2x)^{2}}$
$d=\sqrt{\frac{25}{4}x^{2}+4x^{2}}$
$d=\sqrt{\frac{25}{4}x^{2}+\frac{16}{4}x^{2}}$
$d=\sqrt{\frac{41}{4}x^{2}}$
$d=\frac{1}{2}\sqrt{41}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{41}$
2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
Sudut antara garis $AC$ dengan $DG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $a\ cm$ adalah...
$(A)\ 30^{\circ}$
$(B)\ 45^{\circ}$
$(C)\ 60^{\circ}$
$(D)\ 75^{\circ}$
$(E)\ 90^{\circ}$
Alternatif Pembahasan: Berdasarkan gambar diatas, garis $AC$ dan garis $DG$ adalah dua garis bersilangan. Untuk membentuk sudut dua garis yang bersilangan, maka kita harus mengusahakan kedua garis berpotongan pada satu titik. Dengan menggeser salah satu garis atau keduanya sehingga berpotongan pada satu titik.
Untuk kasus ini, kita coba geser garis $DG$ ke titik $A$, sehingga garsi $AC$ dan $DG$ berpotongan di titik $A$. Sudut antara garis $AC$ dan $DG$ adalah sudut $CAF$. Sebagai ilustrasi, kurang lebih seperti gambar berikut ini;
Besar sudut $CAF$ bisa kita tentukan dengan bantuan segitiga $ACF$.
Segitiga $ACF$ adalah segitiga sama sisi karena sisi segitiga tersebut adalah diagonal sisi kubus yang besarnya $a\sqrt{2}$. Karena segitiga $ACF$ adalah sama sisi maka besar ketiga sudutnya sama besar yaitu $60^{\circ}$.
Besar sudut antara garis $AC$ dengan $DG$ adalah $\measuredangle CAF=60^{\circ}$
(*Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$
Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$, garis $DG$ dan garis $AC$, kurang lebih seperti berikut ini;
Untuk kasus ini, kita coba geser garis $DG$ ke titik $A$, sehingga garsi $AC$ dan $DG$ berpotongan di titik $A$. Sudut antara garis $AC$ dan $DG$ adalah sudut $CAF$. Sebagai ilustrasi, kurang lebih seperti gambar berikut ini;
Segitiga $ACF$ adalah segitiga sama sisi karena sisi segitiga tersebut adalah diagonal sisi kubus yang besarnya $a\sqrt{2}$. Karena segitiga $ACF$ adalah sama sisi maka besar ketiga sudutnya sama besar yaitu $60^{\circ}$.
Besar sudut antara garis $AC$ dengan $DG$ adalah $\measuredangle CAF=60^{\circ}$
(*Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$
3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Berikut ini adalah pernyataan-pernyataan tentang kubus $ABCD.EFGH$ dengan $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ berturut-turut titik-titik tengah rusuk $AB,\ DC,\ \text{dan}\ HG$.
(1) Ruas garis $PH$ dan $QE$ berpotongan.
(2) Ruas garis $RC$ dan $PC$ tidak tegak lurus.
(3) Ruas garis $ER$ dan $PC$ tidak sejajar.
(4) Segitiga $PCR$ samasisi.
Pernyataan-pernyataan yang benar adalah...
$(A)\ (1)\ \text{dan}\ (2)$
$(B)\ (1)\ \text{dan}\ (3)$
$(C)\ (2)\ \text{dan}\ (3)$
$(D)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$
$(E)\ (3)\ \text{dan}\ (4)$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan gambar diatas, kita peroleh bahwa:
(1) Ruas garis $PH$ dan $QE$ berpotongan: Benar.
(2) Ruas garis $RC$ dan $PC$ tidak tagak lurus: Benar.
(3) Ruas garis $ER$ dan $PC$ tidak sejajar: Salah.
(4) Segitiga $PCR$ samasisi: Salah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1)\ \text{dan}\ (2)$
Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ kurang lebih seperti berikut ini;
(1) Ruas garis $PH$ dan $QE$ berpotongan: Benar.
(2) Ruas garis $RC$ dan $PC$ tidak tagak lurus: Benar.
(3) Ruas garis $ER$ dan $PC$ tidak sejajar: Salah.
(4) Segitiga $PCR$ samasisi: Salah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1)\ \text{dan}\ (2)$
4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Kubus $PQRS.TUVW$ memiliki panjang rusuk $10\ cm$, sudut antara $PV$ dan bidang $PQRS$ adalah $\theta$, Nilai $cos\ \theta$ adalah...
$(A)\ \frac{1}{2} \sqrt{2}$
$(B)\ \frac{1}{2} \sqrt{3}$
$(C)\ \frac{1}{3} \sqrt{2}$
$(D)\ \frac{1}{3} \sqrt{3}$
$(E)\ \frac{1}{3} \sqrt{6}$
Alternatif Pembahasan:
Sudut antara garis $PV$ dan bidang $PQRS$ adalah sudut antara garis $PV$ dengan garis proyeksi $PV$ garis pada bidang $PQRS$.
Pada soal diatas dan jika kita perhatikan gambar, proyeksi garis $PV$ adalah $PR$, sehingga;
$cos\ \theta = \frac{PR}{PV}$, dimana $PR$ adalah diagonal bidang $(PR=10\sqrt{2})$ dan $PV$ adalah diagonal ruang $(PV=10\sqrt{3})$.
$ \begin{align}
cos\ \theta & = \frac{PR}{PV} \\
& = \frac{10\sqrt{2}}{10\sqrt{3}} \\
& = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
& = \frac{\sqrt{6}}{3} \\
& = \frac{1}{3}\sqrt{6}
\end{align} $
(*Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{3}\sqrt{6}$
Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $10$, Sudut garis $PV$ dan bidang $PQRS$, kurang lebih seperti berikut ini;
Pada soal diatas dan jika kita perhatikan gambar, proyeksi garis $PV$ adalah $PR$, sehingga;
$cos\ \theta = \frac{PR}{PV}$, dimana $PR$ adalah diagonal bidang $(PR=10\sqrt{2})$ dan $PV$ adalah diagonal ruang $(PV=10\sqrt{3})$.
$ \begin{align}
cos\ \theta & = \frac{PR}{PV} \\
& = \frac{10\sqrt{2}}{10\sqrt{3}} \\
& = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
& = \frac{\sqrt{6}}{3} \\
& = \frac{1}{3}\sqrt{6}
\end{align} $
(*Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{3}\sqrt{6}$
5. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Diketahui kubus $PQRS.TUVW$ seperti pada gambar berikut!
Jarak antara titik $W$ dan titik tengah $PR$ adalah...
$(A)\ 6\sqrt{3}$
$(B)\ 6\sqrt{2}$
$(C)\ 3\sqrt{6}$
$(D)\ 3\sqrt{3}$
$(E)\ 3\sqrt{2}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan memperhatikan $W$ dan garis $PR$ maka kita bisa mendapatkan sebuah segitiga $WPR$ dimana segitiga $WPR$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi adalah diagonal sisi $(6\sqrt{2})$. Karena $WPR$ adalah segitiga sama sisi maka besar sudut $PWR=60^{\circ}$
Dengan memperhatikan segitiga $WPR$, jarak titik $W$ ke titik tengah garis $PR$ adalah tinggi segitiga $WPR$;
$ \begin{align}
[WPR] & = [WPR] \\
\frac{1}{2} WP \cdot WR \cdot cos\ PWR & = \frac{1}{2} PR \cdot WW' \\
6 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot cos\ 60^{\circ} & = 6\sqrt{2} \cdot WW' \\
6\sqrt{2} \cdot cos\ 60^{\circ} & = WW' \\
6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} & = WW' \\
3\sqrt{2} & = WW'
\end{align}$
(*Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3\sqrt{2}$
Kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $6$, Jarak titik $W$ ke titik tengah garis $PR$
Dengan memperhatikan segitiga $WPR$, jarak titik $W$ ke titik tengah garis $PR$ adalah tinggi segitiga $WPR$;
$ \begin{align}
[WPR] & = [WPR] \\
\frac{1}{2} WP \cdot WR \cdot cos\ PWR & = \frac{1}{2} PR \cdot WW' \\
6 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot cos\ 60^{\circ} & = 6\sqrt{2} \cdot WW' \\
6\sqrt{2} \cdot cos\ 60^{\circ} & = WW' \\
6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} & = WW' \\
3\sqrt{2} & = WW'
\end{align}$
(*Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3\sqrt{2}$
6. Soal SBMPTN Saintek 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
$(A)\ 18\pi+18$
$(B)\ 18\pi-18$
$(C)\ 14\pi+14$
$(D)\ 14\pi-15$
$(E)\ 10\pi+10$
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://3.bp.blogspot.com/-XaFgpFmzupg/WabIatsvXNI/AAAAAAAALoM/YW-_XuvRbWQlAJLs7gWY7Sj6kjysP5OSQCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
Alternatif Pembahasan:
Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut;
Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil.
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Biru & = \frac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2}\\
& = \frac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Juring ABC & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 \\
& = 9 \pi\\
\Rightarrow Luas\ \bigtriangleup ABC & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\Rightarrow Luas\ Tembereng & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran $=$ luas biru $+$ luas tembereng $=9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 18\pi-18$
Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://1.bp.blogspot.com/-V4zD4q6coLA/WabLWH7IENI/AAAAAAAALoY/a3Vo47diixwDkAO2gg9NETEBOb-zobNDgCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://1.bp.blogspot.com/-DUFaYEpf7IQ/WabN4xjQwtI/AAAAAAAALok/Zz3XTWTvCkoP5enNZw2u-Z4-0m7SsVKdwCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran%2B2.png "Luas Arsiran")
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Biru & = \frac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2}\\
& = \frac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://2.bp.blogspot.com/-lz2YMcWBLQQ/WabWzJh6MSI/AAAAAAAALo0/IgFr0sybGm0HdGCg95D_fGBdryN7H0nDgCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran%2B3.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
$\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Juring ABC & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 \\
& = 9 \pi\\
\Rightarrow Luas\ \bigtriangleup ABC & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\Rightarrow Luas\ Tembereng & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran $=$ luas biru $+$ luas tembereng $=9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 18\pi-18$
7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $AB=\sqrt{15}$ cm dan $AD=\sqrt{5}$ cm. Jika $E$ merupakan titik potong diagonal persegi panjang tersebut, maka besar $\angle BEC$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ 30^{\circ} \\
(B)\ 45^{\circ} \\
(C)\ 60^{\circ} \\
(D)\ 75^{\circ} \\
(E)\ 90^{\circ}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan: Pada $\bigtriangleup ABD$ berlaku teorema phytagoras,
$ \begin{align}
BD^{2} & = AB^{2}+AD^{2} \\
& = (\sqrt{15})^{2}+(\sqrt{5})^{2} \\
& = 15+5 \\
BD & = \sqrt{20} \\
BD & = 2\sqrt{5}
\end{align} $
Karena $E$ adalah titik potong diagonal maka $BE=ED=EC=AE= \sqrt{5}$ dan $BC= \sqrt{5}$, sehingga $\bigtriangleup ABD$ adalah segitiga sama sisi maka besar ketiga sudutnya adalah sama yaitu $ \angle BEC= 60^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$
Ilustrasi gambar persegi panjang $ABCD$ dan unsur-unsur yang diketahui kurang lebih seperti berikut ini:
$ \begin{align}
BD^{2} & = AB^{2}+AD^{2} \\
& = (\sqrt{15})^{2}+(\sqrt{5})^{2} \\
& = 15+5 \\
BD & = \sqrt{20} \\
BD & = 2\sqrt{5}
\end{align} $
Karena $E$ adalah titik potong diagonal maka $BE=ED=EC=AE= \sqrt{5}$ dan $BC= \sqrt{5}$, sehingga $\bigtriangleup ABD$ adalah segitiga sama sisi maka besar ketiga sudutnya adalah sama yaitu $ \angle BEC= 60^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$
8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)
Diberikan sebuah segitiga siku-siku $ABC$ yang siku-siku di $B$ dengan $AB=6$ dan $BC=8$. Titik $M,N$ berturut-turut berada pada sisi $AC$ sehingga $AM:MN:NC=1:2:3$. Titik $P$ dan $Q$ secara berurutan berada pada sisi $AB$ dan $BC$ sehingga $AP$ tegak lurus $PM$ dan $BQ$ tegak lurus $QN$. Luas segiempat $PMNQ$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 9\dfrac{1}{3} \\
(B).\ & 8\dfrac{1}{3} \\
(C).\ & 7\dfrac{1}{3} \\
(D).\ & 6\dfrac{1}{3} \\
(E).\ & 5\dfrac{1}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan: Pada $\bigtriangleup ABC$ berlaku teorema phytagoras,
$ \begin{align}
AC^{2} & = AB^{2}+BC^{2} \\
& = 6^{2}+8^{2} \\
& = 100 \\
AC & = 10
\end{align} $
Perbandingan $AM:MN:NC=1x:2x:3x$ sehingga $AM=\dfrac{1}{6} \times 10=\dfrac{5}{3}$, $MN=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$ dan $NC=\dfrac{30}{6}=5$.
Dari gambar juga dapat kita simpulkan bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup NQC$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{QN}{NC} & = \dfrac{BA}{AC} \\
\dfrac{QN}{5} & = \dfrac{6}{10} \\
NQ & = \dfrac{6}{10} \times 5 = 3 \\
\hline
\dfrac{QC}{CN} & = \dfrac{BC}{CA} \\
\dfrac{QC}{5} & = \dfrac{8}{10} \\
QC & = \dfrac{8}{10} \times 5 = 4 \\
BQ & = 8-4=4
\end{align} $
Dari gambar juga dapat kita simpulkan bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup APM$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{PM}{MA} & = \dfrac{BC}{CA} \\
\dfrac{PM}{\dfrac{5}{3}} & = \dfrac{8}{10} \\
PM & = \dfrac{8}{10} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3} \\
\hline
\dfrac{PA}{AM} & = \dfrac{BA}{AC} \\
\dfrac{PA}{\dfrac{5}{3}} & = \dfrac{6}{10} \\
PA & = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{3} = 1 \\
BP & = 6-1=5 \\
\hline
\dfrac{PM}{PA} & = \dfrac{BC}{BA} \\
PM & = \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3} \\
\end{align} $
Dari data-data yang kita peroleh diatas;
$ \begin{align}
[ABC] & = \dfrac{1}{2}(AB)(BC)=24 \\
[NQC] & = \dfrac{1}{2}(NQ)(QC)=6 \\
[APM] & = \dfrac{1}{2}(AP)(PM)=\dfrac{2}{3} \\
[PBQ] & = \dfrac{1}{2}(BP)(BQ)=10 \\
[PMNQ] & = [ABC]-[NQC]-[APM]-[PBQ] \\
& = 24-6-\dfrac{2}{3}-10 \\
& = 7\dfrac{1}{3}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 7\dfrac{1}{3}$
Jika kita ilustrasikan gambar yang disampaikan pada soal kurang lebih seprti berikut ini;
$ \begin{align}
AC^{2} & = AB^{2}+BC^{2} \\
& = 6^{2}+8^{2} \\
& = 100 \\
AC & = 10
\end{align} $
Perbandingan $AM:MN:NC=1x:2x:3x$ sehingga $AM=\dfrac{1}{6} \times 10=\dfrac{5}{3}$, $MN=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$ dan $NC=\dfrac{30}{6}=5$.
Dari gambar juga dapat kita simpulkan bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup NQC$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{QN}{NC} & = \dfrac{BA}{AC} \\
\dfrac{QN}{5} & = \dfrac{6}{10} \\
NQ & = \dfrac{6}{10} \times 5 = 3 \\
\hline
\dfrac{QC}{CN} & = \dfrac{BC}{CA} \\
\dfrac{QC}{5} & = \dfrac{8}{10} \\
QC & = \dfrac{8}{10} \times 5 = 4 \\
BQ & = 8-4=4
\end{align} $
Dari gambar juga dapat kita simpulkan bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup APM$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{PM}{MA} & = \dfrac{BC}{CA} \\
\dfrac{PM}{\dfrac{5}{3}} & = \dfrac{8}{10} \\
PM & = \dfrac{8}{10} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3} \\
\hline
\dfrac{PA}{AM} & = \dfrac{BA}{AC} \\
\dfrac{PA}{\dfrac{5}{3}} & = \dfrac{6}{10} \\
PA & = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{3} = 1 \\
BP & = 6-1=5 \\
\hline
\dfrac{PM}{PA} & = \dfrac{BC}{BA} \\
PM & = \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3} \\
\end{align} $
Dari data-data yang kita peroleh diatas;
$ \begin{align}
[ABC] & = \dfrac{1}{2}(AB)(BC)=24 \\
[NQC] & = \dfrac{1}{2}(NQ)(QC)=6 \\
[APM] & = \dfrac{1}{2}(AP)(PM)=\dfrac{2}{3} \\
[PBQ] & = \dfrac{1}{2}(BP)(BQ)=10 \\
[PMNQ] & = [ABC]-[NQC]-[APM]-[PBQ] \\
& = 24-6-\dfrac{2}{3}-10 \\
& = 7\dfrac{1}{3}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 7\dfrac{1}{3}$
9. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6\ cm$. Titik $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ berturut-turut merupakan titik tengah rusuk $EH,\ BF,\ \text{dan}\ CG$. Jarak titik $P$ ke garis $QR$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \sqrt{7}\ cm \\
(B)\ & 3 \sqrt{6}\ cm \\
(C)\ & 3 \sqrt{5}\ cm \\
(D)\ & 3 \sqrt{3}\ cm \\
(E)\ & 2 \sqrt{3}\ cm
\end{align}$
Alternatif Pembahasan: Dari gambar di atas jarak titik $P$ ke garis $QR$ adalah jarak titik $P$ ke $S$ atau panjang ruas garis $PS$. Dengan menggunakan teorema phytagoras pada segitiga $PTS$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
PS^{2} &= PT^{2}+TS^{2} \\
&= 6^{2}+3^{2} \\
&= 36+9 \\
&= 45 \\
PS &= \sqrt{45} \\
&= 3 \sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3 \sqrt{5}\ cm$
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ R$ seperti berikut ini:
$\begin{align}
PS^{2} &= PT^{2}+TS^{2} \\
&= 6^{2}+3^{2} \\
&= 36+9 \\
&= 45 \\
PS &= \sqrt{45} \\
&= 3 \sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3 \sqrt{5}\ cm$
10. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $3\ cm$. Jarak titik $C$ ke garis $BDG$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{2}\ cm \\
(B)\ & \sqrt{3}\ cm \\
(C)\ & 2 \sqrt{2}\ cm \\
(D)\ & 2 \sqrt{3}\ cm \\
(E)\ & 3 \sqrt{3}\ cm
\end{align}$
Alternatif Pembahasan: Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ adalah
$\begin{align}
OC &= \dfrac{1}{3} EC \\
&= \dfrac{1}{3} \cdot 6 \sqrt{3} \\
&= 2\sqrt{3}
\end{align}$
Jika ingin melihat penjelasan jarak titik ke bidang dengan posisi sama seperti soal diatas adalah $\frac{1}{3} a \sqrt{3}$. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2 \sqrt{3}\ cm$
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $C$ ke bidang $BDG$ seperti berikut ini:
$\begin{align}
OC &= \dfrac{1}{3} EC \\
&= \dfrac{1}{3} \cdot 6 \sqrt{3} \\
&= 2\sqrt{3}
\end{align}$
Jika ingin melihat penjelasan jarak titik ke bidang dengan posisi sama seperti soal diatas adalah $\frac{1}{3} a \sqrt{3}$. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2 \sqrt{3}\ cm$
11. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\ cm$. Jika $P$ titik tengah $AB$, $Q$ titik tengah $CG$, dan $R$ terletak pada $PD$ sehingga $QR$ tegak lurus dengan $PD$, maka panjang $QR$ adalah...$cm$
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{\dfrac{21}{5}} \\
(B)\ & \sqrt{\dfrac{21}{6}} \\
(C)\ & \sqrt{\dfrac{21}{9}} \\
(D)\ & \sqrt{\dfrac{21}{12}} \\
(E)\ & \sqrt{\dfrac{21}{15}}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
Dari gambar di atas dan menggunakan teorema phytagoras pada segitiga $DSQ$ dapat kita peroleh panjang $DS=\dfrac{1}{2}\sqrt{14}$.
Panjang $QR$ coba kita hitung dengan menggunakan luas segitiga.
$\begin{align}
[DPQ] &= [DPQ] \\
\dfrac{1}{2} \cdot DP \cdot QR &= \dfrac{1}{2} \cdot QP \cdot DS \\
\sqrt{5} \cdot QR &= \sqrt{6} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{14} \\
QR &= \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{5}} \\
QR &= \sqrt{\dfrac{21}{5}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{\dfrac{21}{5}}$
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ R$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
- $AP=1$ dan $AD=2$ maka $DP=\sqrt{5}$
- $CQ=1$ dan $CD=2$ maka $DQ=\sqrt{5}$
- $PB=1$ dan $BC=2$ maka $PC=\sqrt{5}$
- $CQ=1$ dan $PC=\sqrt{5}$ maka $PQ=\sqrt{6}$
Panjang $QR$ coba kita hitung dengan menggunakan luas segitiga.
$\begin{align}
[DPQ] &= [DPQ] \\
\dfrac{1}{2} \cdot DP \cdot QR &= \dfrac{1}{2} \cdot QP \cdot DS \\
\sqrt{5} \cdot QR &= \sqrt{6} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{14} \\
QR &= \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{5}} \\
QR &= \sqrt{\dfrac{21}{5}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{\dfrac{21}{5}}$
12. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Sebuah balok $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $AB=8$ dan $BC=CG=6$. Jika titik $P$ terletak di tengah rusuk $AB$ dan $\theta$ adalah sudut antara $EP$ dan $PG$, maka nilai $cos\ \theta$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{\sqrt{286}} \\
(B)\ & \dfrac{5}{\sqrt{286}} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{-3}{\sqrt{286}} \\
(E)\ & \dfrac{-5}{\sqrt{286}}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
$\begin{align}
EG^{2} &= EP^{2}+PG^{2}- 2 \cdot EP \cdot PG\ cos\ \theta \\
cos\ \theta &= \dfrac{EP^{2}+PG^{2}-EG^{2}}{2 \cdot EP \cdot PG} \\
&= \dfrac{\left( 2\sqrt{13} \right)^{2}+\left( 2\sqrt{22} \right)^{2}-\left( 10 \right)^{2}}{2 \cdot 2\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{22}} \\
&= \dfrac{52+88-100}{8 \sqrt{286}} \\
&= \dfrac{40}{8 \sqrt{286}} \\
&= \dfrac{5}{\sqrt{286}} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5}{\sqrt{286}}$
Jika kita gambarkan Balok $ABCD.EFGH$, titik $P$ dan sudut $\theta$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
- $AP=4$ dan $AE=6$ maka $EP=2\sqrt{13}$
- $PB=4$ dan $BC=6$ maka $PC=2\sqrt{13}$
- $PC=2\sqrt{13}$ dan $CG=6$ maka $PG=2\sqrt{22}$
- $EF=8$ dan $FG=6$ maka $EG=10$
$\begin{align}
EG^{2} &= EP^{2}+PG^{2}- 2 \cdot EP \cdot PG\ cos\ \theta \\
cos\ \theta &= \dfrac{EP^{2}+PG^{2}-EG^{2}}{2 \cdot EP \cdot PG} \\
&= \dfrac{\left( 2\sqrt{13} \right)^{2}+\left( 2\sqrt{22} \right)^{2}-\left( 10 \right)^{2}}{2 \cdot 2\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{22}} \\
&= \dfrac{52+88-100}{8 \sqrt{286}} \\
&= \dfrac{40}{8 \sqrt{286}} \\
&= \dfrac{5}{\sqrt{286}} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5}{\sqrt{286}}$
13. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=12\ cm$ dan $BC=18\ cm$ dan $CG=20\ cm$. $T$ adalah titik tengah $AD$. Jika $\theta$ adalah sudut antara garis $GT$ dengan bidang $ABCD$, maka nilai $cos\ \theta$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{2}{5} \\
(C)\ & \dfrac{3}{5} \\
(D)\ & \dfrac{4}{5} \\
(E)\ & \dfrac{5}{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
$\begin{align}
TC^{2} &= DT^{2}+CD^{2} \\
TC^{2} &= 9^{2}+12^{2} \\
TC &= \sqrt{225}=15 \\
\hline
TG^{2} &= TC^{2}+CG^{2} \\
TG^{2} &= (\sqrt{225})^{2}+20^{2} \\
TG &= \sqrt{225 +400}=25 \\
\end{align}$
Dengan menggunkan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
cos\ \theta &= \dfrac{TC}{TG} \\
&= \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{5}$
Jika kita gambarkan Balok $ABCD.EFGH$, titik $T$ dan sudut $\theta$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
$\begin{align}
TC^{2} &= DT^{2}+CD^{2} \\
TC^{2} &= 9^{2}+12^{2} \\
TC &= \sqrt{225}=15 \\
\hline
TG^{2} &= TC^{2}+CG^{2} \\
TG^{2} &= (\sqrt{225})^{2}+20^{2} \\
TG &= \sqrt{225 +400}=25 \\
\end{align}$
Dengan menggunkan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
cos\ \theta &= \dfrac{TC}{TG} \\
&= \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{5}$
14. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $12\ cm$. Jarak dari titik $A$ ke bidang $CDEF$ sama dengan jarak titik $A$ ke...
$\begin{align}
(A)\ & \text{titik tengah}\ \overline{ED} \\
(B)\ & \text{titik tengah}\ \overline{EF} \\
(C)\ & \text{titik pusat bidang}\ CDEF \\
(D)\ & \text{titik}\ E \\
(E)\ & \text{titik}\ D
\end{align}$
Alternatif Pembahasan: Untuk mendapatkan jarak titik ke bidang, langkah pertama adalah memproyeksikan titik ke bidang sehingga garis proyeksi dan bidang mempunyai titik sekutu. Jarak titik sekutu dengan titik asal merupakan jarak titik ke bidang.
Pada gambar di atas titik $A$ adalah titik awal, dan jika titik $A$ kita proyeksikan ke bidang $CDEF$ diperoleh titik sekutu yang menembus bidang di titik kita misalkan $M$. Jarak titik $M$ ke $A$ atau panjang $AM$ adalah jarak titik $A$ ke bidang $CDEF$.
Titik $M$ berada pada $DE$, garis $AM$ adalah garis proyeksi pada bidang $CDEF$ sehingga $AM$ tegak lurus $DE$.
Jika garis $AM$ diperpanjang, sampai pada titik $H$ sehingga $M$ adalah titik potong diagonal $AH$ dan $DE$ sehingga $M$ merupakan titik tengah $ED$.
Jarak titik $A$ ke bidang $CDEF$ adalah $AM$ sama dengan jarak titik $A$ ke titik tengah $ED$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \text{titik tengah}\ \overline{ED}$
Ilustrasi kubus $ABCD.EFGH$ dengan titik $A$ dan bidang $CDEF$ jika kita gambarkan seperti berikut ini:
Pada gambar di atas titik $A$ adalah titik awal, dan jika titik $A$ kita proyeksikan ke bidang $CDEF$ diperoleh titik sekutu yang menembus bidang di titik kita misalkan $M$. Jarak titik $M$ ke $A$ atau panjang $AM$ adalah jarak titik $A$ ke bidang $CDEF$.
Titik $M$ berada pada $DE$, garis $AM$ adalah garis proyeksi pada bidang $CDEF$ sehingga $AM$ tegak lurus $DE$.
Jika garis $AM$ diperpanjang, sampai pada titik $H$ sehingga $M$ adalah titik potong diagonal $AH$ dan $DE$ sehingga $M$ merupakan titik tengah $ED$.
Jarak titik $A$ ke bidang $CDEF$ adalah $AM$ sama dengan jarak titik $A$ ke titik tengah $ED$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \text{titik tengah}\ \overline{ED}$
15. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)
Jika luas bidang diagonal suatu kubus adalah $36\sqrt{2}\ cm^{2}$, panjang diagonal ruang kubus adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 18\sqrt{3}\ cm \\
(B)\ & 15\sqrt{3}\ cm \\
(C)\ & 12\sqrt{3}\ cm \\
(D)\ & 9\sqrt{3}\ cm \\
(E)\ & 6\sqrt{3}\ cm \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Luas bidang diagonal kubus adalah $36\sqrt{2}\ cm^{2}=\text{diagonal bidang}\ \times \text{rusuk} $, sehingga berlaku:
$\begin{align}
36\sqrt{2} & = a\sqrt{2} \times a \\
36\sqrt{2} & = a^{2}\sqrt{2} \\
36 & = a^{2} \\
6 & = a
\end{align}$
Diagonal ruang adalah $a\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6\sqrt{3}\ cm$
Bidang diagonal kubus adalah bidang yang dibentuk oleh dua diagonal bidang yang sejajar pada kubus. Contohnya dapat kita perhatikan pada gambar berikut ini yaitu bidang $CDEF$.
Luas bidang diagonal kubus adalah $36\sqrt{2}\ cm^{2}=\text{diagonal bidang}\ \times \text{rusuk} $, sehingga berlaku:
$\begin{align}
36\sqrt{2} & = a\sqrt{2} \times a \\
36\sqrt{2} & = a^{2}\sqrt{2} \\
36 & = a^{2} \\
6 & = a
\end{align}$
Diagonal ruang adalah $a\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6\sqrt{3}\ cm$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Gurunya Super Kreatif, Mengerjakan Perkalian Jadi Kreatif;
