60+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Dimensi Tiga

Jika kita gambarkan kedudukan titik $H$ dan garis $AC$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Jarak titik $H$ ke $AC$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ACH$. Karena segitiga $ACH$ merupakan segitiga sama sisi, dimana sisinya $AH$, $AC$, dan $CH$ yang kita misalkan dengan $x$ merupakan diagonal sisi kubus, maka tinggi segitiga $ACH$ adalah:

$\begin{align} t &=\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{3} \\ &=\dfrac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \\ &=4 \sqrt{6} \end{align}$

Jika kita gunakan rumus jarak titik pada kubus pada keadaan tersebut, dapat digunakan $t=\dfrac{1}{2}a\sqrt{6}=4\sqrt{6}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4 \sqrt{6}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $K$ dan bidang $BFHD$ pada kubus $ABCD\ EFGH$ seperti berikut ini:

Jarak titik $K$ ke bidang $BFHD$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $BDK$ kita sebut $KK'$. Dari segitiga $BDK$ kita ketahui $DK=\dfrac{3}{2}a$, $BD=a\sqrt{2}$, dan $AB=a$.

Dengan menggunakan konsep dari luas segitiga maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot KK' &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot DK \\ a\sqrt{2} \cdot KK' &= a \cdot \dfrac{3}{2}a \\ KK' &= \dfrac{3a}{2\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{3a \sqrt{2} }{4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{4}a \sqrt{2}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan titik $Q$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Jarak titik $B$ ke garis $PQ$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $PBQ$, kita sebut $BB'$.

Dari kubus $ABCD.EFGH$ dapat kita ketahui $PB=\dfrac{1}{2}a\sqrt{6}$ dan $BQ=\dfrac{1}{2}a\sqrt{6}$ sehingga segitiga $PBQ$ adalah sama kaki dengan panjang kaki $PB=BW=2\sqrt{6}$.

Dari kubus $ABCD.EFGH$ dapat juga kita hitung $PQ$ dengan memisalkan segitiga $PQR$ seperti gambar berikut ini:

Karena $PBQ$ adalah segitiga sama kaki maka $BB'$ dapat kita hitung dengan menerapkan teorema pythagoras.

$\begin{align} BB'^{2} &= BP^{2}-PB'^{2} \\ &= \left( 2\sqrt{6} \right)^{2} - \left( \sqrt{2} \right)^{2} \\ &= 24 - 2 \\ BB' &= \sqrt{22} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{22}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ dan garis $CF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Jarak titik $A$ ke $CF$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ACF$. Karena segitiga $ACF$ merupakan segitiga sama sisi, dimana sisinya $AC$, $AF$, dan $CF$ yang kita misalkan dengan $x$ merupakan diagonal sisi kubus, maka tinggi segitiga $ACF$ adalah:

$\begin{align} t &=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{3} \\ &=\dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \\ &=3 \sqrt{6} \end{align}$

Jika kita gunakan rumus jarak titik pada kubus pada keadaan tersebut, dapat digunakan $t=\dfrac{1}{2}a\sqrt{6}=3\sqrt{6}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3 \sqrt{6}$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $M$ dan garis $AG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Jarak titik $M$ ke garis $AG$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $AGM$. Karena segitiga $AGM$ merupakan segitiga sama kaki, dimana sisinya $MG=AM=\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{5}=4\sqrt{5}$ dan $AG=8\sqrt{3}$, maka tinggi segitiga $AGM$ adalah:

$\begin{align} t^{2} &=MG^{2}-\left( \frac{1}{2}AG \right)^{2} \\ &=\left( 4\sqrt{5} \right)^{2}-\left( 4\sqrt{3} \right)^{2} \\ &=80-48 \\ t &= \sqrt{32}= 4\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4 \sqrt{2}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $E$ dan bidang $BDG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Jarak titik $E$ ke bidang $BDG$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $BDG.E$ yang kita sebut $EO$. Pada gambar sebelah kanan dapat kita peroleh jarak titik $E$ ke $O$ adalah $\dfrac{2}{3}a\sqrt{3}$, sehingga dengan panjang rusuk $a=4$ maka kita peroleh $EO=\dfrac{8}{3} \sqrt{3}$

Jika tertarik untuk melihat perhitungan ini lebih lengkap silahkan dilihat pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{8}{3} \sqrt{3}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ dan bidang $BCHE$ pada balok $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Jarak titik $A$ ke bidang $BCHE$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $BCHE.A$ yang kita sebut $AA'$. Dari gambar juga kita ketahui $AA'$ merupakan tinggi segitiga siku-siku $ABE$.

Pada segitiga $ABE$ dengan menggunakan teorema pythagoras dapat kita ketahui $BE=10\ cm$. Dengan konsep luas segitiga pada segitiga siku-siku $ABE$ dapat kita tuliskan:

$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot BE \cdot AA' &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \\ 10 \cdot AA' &= 6 \cdot 8 \\ AA' &= \dfrac{48}{10} \\ &= \dfrac{24}{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{24}{5}\ cm $

Jika kita gambarkan kedudukan titik $T$ dan garis $CT$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Jarak titik $A$ ke garis $CT$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ACT$ yang kita sebut $AA'$.

Dengan panjang rusuk kubus $a=9$, maka $AT=\dfrac{9}{2}\sqrt{6}$, $CT=\dfrac{9}{2}\sqrt{6}$ dan $AC=9\sqrt{2}$. Dengan konsep luas segitiga pada segitiga siku-siku $ATC$ dapat kita tuliskan:

$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot CT \cdot AA' &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot OT \\ \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \cdot AA' &= 9\sqrt{2} \cdot 9 \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot AA' &= 9 \\ AA' &= \dfrac{18}{\sqrt{3}} \\ &= 6\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6\sqrt{3}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $C$ dan garis $AT$ pada limas $T.ABCD$ seperti berikut ini:

Jarak titik $C$ ke garis $AT$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ACT$ yang kita sebut $CC'$.

Dengan panjang $AC=4\sqrt{2}$, $AT=CT=6$, kita dapat menghitung $OT$ yaitu:

$\begin{align} OT^{2} &=CT^{2}-OC^{2} \\ &=6^{2}-\left( 2\sqrt{2} \right)^{2} \\ &=36-8 \\ t &= \sqrt{28}= 2\sqrt{7} \end{align}$

Dengan konsep luas segitiga pada segitiga $ATC$ dapat kita tuliskan:

$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot AT \cdot CC' &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot OT \\ 6 \cdot CC' &= 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{7} \\ CC' &= \dfrac{8}{6}\sqrt{14} \\ &= \dfrac{4}{3}\sqrt{14} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\sqrt{14}\ cm$

Pada soal diketahui $AN=7$ sehingga $DM=4$ dan $PN=3$.
Untuk $PN=3$ dan $MP=4$, jika kita gunakan teorema pythagoras maka kita peroeh $MN=5$.

Luas permukaan air setelah dimiringkan adalah:
$\begin{align}
\left[ MNKL \right] & = MN \times KN \\
& = 5 \times 10 = 50
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 50\ cm^{2}$

$ABCD$ dan $CEGH$ adalah dua persegi panjang kongruen sehingga panjang $EC=CD=12$
Dengan menggunakan teorema pythagoras pada $\bigtriangleup EBC$, kita peroleh:
$\begin{align}
BE &= \sqrt{EC^{2}-BC^{2}} \\
BE &= \sqrt{17^{2}-8^{2}} \\
BE &= \sqrt{289-64} \\
BE &= \sqrt{225}=15 \\
AE &= 2
\end{align}$
Dengan cara yang sama pada $\bigtriangleup DHC$ dapat kita hitung $HD=15$ dan $DG=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 72,25$

Ukuran kamar Akbar yang berbentuk balok masih dalam bentuk perbandingan, sehingga kita bisa dapat memisalkan ukuran panjangnya menjadi $panjang=5x$; $lebar=5x$ dan $tinggi=4x$.

Lampu berada pada titik tengah langit-langit dan saklar berada pada titik tengah dinding, ilustrasi saklar dan lampu kurang lebih seperti gambar berikut;

Jarak lampu dan saklar adalah;
$\begin{align} d &=\sqrt{(\dfrac{5}{2}x)^{2}+(2x)^{2}} \\ &=\sqrt{\dfrac{25}{4}x^{2}+4x^{2}} \\ &=\sqrt{\dfrac{25}{4}x^{2}+\dfrac{16}{4}x^{2}} \\ &=\sqrt{\dfrac{41}{4}x^{2}} \\ &=\dfrac{1}{2}\sqrt{41} x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{41}$

Kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $6$, Jarak titik $W$ ke titik tengah garis $PR$

Dengan memperhatikan $W$ dan garis $PR$ maka kita bisa mendapatkan sebuah segitiga $WPR$ dimana segitiga $WPR$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi adalah diagonal sisi $(6\sqrt{2})$. Karena $WPR$ adalah segitiga sama sisi maka besar sudut $PWR=60^{\circ}$

Dengan memperhatikan segitiga $WPR$, jarak titik $W$ ke titik tengah garis $PR$ adalah tinggi segitiga $WPR$;
$ \begin{align}
[WPR] & = [WPR] \\ \dfrac{1}{2} \cdot WP \cdot WR \cdot sin\ PWR & = \dfrac{1}{2} \cdot PR \cdot WW' \\ 6 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot sin\ 60^{\circ} & = 6\sqrt{2} \cdot WW' \\ 6\sqrt{2} \cdot sin\ 60^{\circ} & = WW' \\ 6\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = WW' \\ 3\sqrt{6} & = WW'
\end{align}$

(*Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013])

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3\sqrt{6}$

Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;

Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut;

Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil.

Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
$\begin{split}
L_{Juring\ ABC} & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi 36 = 9 \pi
\end{split}$

$\begin{split}
L_{ABC} & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\ & = 18 \\ \hline
L_{Tembereng} & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran adalah $ L_{Biru} +L_{Tembereng}$ yaitu $9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$

Jika kita ilustrasikan gambar yang disampaikan pada soal kurang lebih seprti berikut ini;

Pada $\bigtriangleup ABC$ berlaku teorema pythagoras,
$ \begin{align}
AC^{2} & = AB^{2}+BC^{2} \\ & = 6^{2}+8^{2} \\ & = 100 \\ AC & = 10
\end{align} $
Perbandingan $AM:MN:NC=1x:2x:3x$ sehingga $AM=\dfrac{1}{6} \times 10=\dfrac{5}{3}$, $MN=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$ dan $NC=\dfrac{30}{6}=5$.

Dari gambar juga dapat kita simpulkan bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup NQC$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{QN}{NC} & = \dfrac{BA}{AC} \\ \dfrac{QN}{5} & = \dfrac{6}{10} \\ NQ & = \dfrac{6}{10} \times 5 = 3 \\ \hline
\dfrac{QC}{CN} & = \dfrac{BC}{CA} \\ \dfrac{QC}{5} & = \dfrac{8}{10} \\ QC & = \dfrac{8}{10} \times 5 = 4 \\ BQ & = 8-4=4
\end{align} $

Dari gambar juga dapat kita simpulkan bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup APM$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{PM}{MA} & = \dfrac{BC}{CA} \\ \dfrac{PM}{\dfrac{5}{3}} & = \dfrac{8}{10} \\ PM & = \dfrac{8}{10} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3} \\ \hline
\dfrac{PA}{AM} & = \dfrac{BA}{AC} \\ \dfrac{PA}{\dfrac{5}{3}} & = \dfrac{6}{10} \\ PA & = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{3} = 1 \\ BP & = 6-1=5 \\ \hline
\dfrac{PM}{PA} & = \dfrac{BC}{BA} \\ PM & = \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3} \\ \end{align} $

Dari data-data yang kita peroleh diatas;
$ \begin{align}
[ABC] & = \dfrac{1}{2}(AB)(BC)=24 \\ [NQC] & = \dfrac{1}{2}(NQ)(QC)=6 \\ [APM] & = \dfrac{1}{2}(AP)(PM)=\dfrac{2}{3} \\ [PBQ] & = \dfrac{1}{2}(BP)(BQ)=10 \\ [PMNQ] & = [ABC]-[NQC]-[APM]-[PBQ] \\ & = 24-6-\dfrac{2}{3}-10 \\ & = 7\dfrac{1}{3}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7\dfrac{1}{3}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ R$ seperti berikut ini:

Dari gambar di atas jarak titik $P$ ke garis $QR$ adalah jarak titik $P$ ke $S$ atau panjang ruas garis $PS$. Dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga $PTS$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
PS^{2} &= PT^{2}+TS^{2} \\ &= 6^{2}+3^{2} \\ &= 36+9 \\ &= 45 \\ PS &= \sqrt{45} \\ &= 3 \sqrt{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3 \sqrt{5}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $C$ dan bidang $BDG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $C.BDG$ yang kita sebut $CO$. Pada gambar sebelah kanan dapat kita peroleh jarak titik $C$ ke $O$ adalah $\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}$, sehingga dengan panjang rusuk $a=3$ maka kita peroleh $CO=\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}$

Jika tertarik untuk melihat perhitungan ini lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas atau Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang (Geometri)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{3}\ cm$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ R$ seperti berikut ini:

• $AP=1$ dan $AD=2$ maka $DP=\sqrt{5}$
• $CQ=1$ dan $CD=2$ maka $DQ=\sqrt{5}$
• $PB=1$ dan $BC=2$ maka $PC=\sqrt{5}$
• $CQ=1$ dan $PC=\sqrt{5}$ maka $PQ=\sqrt{6}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{\dfrac{21}{5}}$

Ilustrasi kubus $ABCD.EFGH$ dengan titik $A$ dan bidang $CDEF$ jika kita gambarkan seperti berikut ini:

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \text{titik tengah}\ \overline{ED}$

Bidang diagonal kubus adalah bidang yang dibentuk oleh dua diagonal bidang yang sejajar pada kubus. Contohnya dapat kita perhatikan pada gambar berikut ini yaitu bidang $CDEF$.

Luas bidang diagonal kubus adalah $36\sqrt{2}\ cm^{2}=\text{diagonal bidang}\ \times \text{rusuk} $, sehingga berlaku:
$\begin{align}
36\sqrt{2} & = a\sqrt{2} \times a \\ 36\sqrt{2} & = a^{2}\sqrt{2} \\ 36 & = a^{2} \\ 6 & = a
\end{align}$
Diagonal ruang adalah $a\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6\sqrt{3}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $E$ dan garis $CM$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Disini kita anggap $CM$ merupakan ruas garis sehingga jarak titik $A$ ke $CM$ dari gambar di atas merupakan jarak titik $E$ ke titik $M$ yaitu $\dfrac{1}{2}a\sqrt{5}$ untuk $a=4$ kita peroleh jarak titik $A$ ke $CM$ adalah $2\sqrt{5}$.

Jika kita anggap $CM$ merupakan garis sehingga jarak titik $A$ ke garis $CM$ dari gambar di atas merupakan jarak titik $E$ ke titik $E'$. Untuk meghitung $EE'$ kita gunakan konsep luas segitiga. $MM'$ dapat kita hitung dengan teorema pythagoras pada segitiga $MM'C$ yaitu $MM'=2\sqrt{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:

$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot CM \cdot EE' &= \dfrac{1}{2} \cdot EC \cdot MM' \\ 2\sqrt{5} \cdot EE' &=4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} \\ EE' &= \dfrac{4\sqrt{30}}{\sqrt{5}} \\ AA' &= \dfrac{4}{5}\sqrt{30} \end{align}$

Karena pada soal disebutkan jarak titik $E$ ke $CM$, bukan jarak titik $E$ ke garis $CM$ sehingga pilihan akhir yang kita pakai untuk soal ini adalah $2\sqrt{5}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\sqrt{5}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $H$ dan garis $BN$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Disini kita anggap $BN$ merupakan ruas garis sehingga jarak titik $H$ ke $BN$ dari gambar di atas merupakan jarak titik $H$ ke titik $N$ yaitu $\dfrac{1}{2}a\sqrt{5}$ untuk $a=4$ kita peroleh jarak titik $H$ ke $BN$ adalah $2\sqrt{5}$.

Jika kita anggap $BN$ merupakan garis sehingga jarak titik $H$ ke garis $BN$ dari gambar di atas merupakan jarak titik $H$ ke titik $H'$. Untuk meghitung $HH'$ kita gunakan konsep luas segitiga. $HH'$ dapat kita hitung dengan teorema pythagoras pada segitiga $BNN'$ yaitu $HH'=2\sqrt{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:

$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot BH' \cdot HH' &= \dfrac{1}{2} \cdot BH \cdot NN' \\ 2\sqrt{5} \cdot HH' &=4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} \\ HH' &= \dfrac{4\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \\ HH' &= \dfrac{4}{5}\sqrt{30} \end{align}$

Karena pada soal disebutkan jarak titik $H$ ke $BN$, bukan jarak titik $H$ ke garis $BN$ sehingga pilihan akhir yang kita pakai untuk soal ini adalah $2\sqrt{5}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\sqrt{5}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ dan garis $TC$ pada limas $T.ABCD$ seperti berikut ini:

Jarak titik $A$ ke garis $TC$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ACT$ yang kita sebut $AA'$.

Dengan panjang $AC=10$, $AT=CT=13$, kita dapat menghitung $OT$ yaitu:

$\begin{align} OT^{2} &=CT^{2}-OC^{2} \\ &=13^{2}-5^{2} \\ &=169-25 \\ t &= \sqrt{144}= 12 \end{align}$

Dengan konsep luas segitiga pada segitiga $ATC$ dapat kita tuliskan:

$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot CT \cdot AA' &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot OT \\ 13 \cdot AA' &= 10 \cdot 12 \\ AA' &= \dfrac{120}{13} \\ &= 9\dfrac{3}{13} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9\dfrac{3}{13}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ dan garis $TB$ pada limas $T.ABCD$ seperti berikut ini:

Jarak titik $A$ ke garis $TB$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ABT$ yang kita sebut $AA'$.

Karena segitiga $ABT$ adalah segitiga sama sisi, maka tinggi segitiga dapat kita hitung dengan teorema pythagoras yaitu $\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}$. Sehingga dengan $a=4$ kita peroleh $AA'=2\sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{3}\ cm$

Jika kita gambarkan kedudukan titik $M$ dan bidang $LNQ$ pada kubus $KLMN.OPQR$ seperti berikut ini:

Jarak titik $M$ ke bidang $LNQ$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $M.LNQ$ yang kita sebut $AM$. Pada gambar sebelah kanan dapat kita peroleh jarak titik $A$ ke $M$ adalah $\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}$, sehingga dengan panjang rusuk $a=6$ maka kita peroleh $AM=\dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$

Jika tertarik untuk melihat perhitungan ini lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas atau Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri]

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{3}\ cm$

Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$, garis $DG$ dan garis $AC$, kurang lebih seperti berikut ini;

Berdasarkan gambar diatas, garis $AC$ dan garis $DG$ adalah dua garis bersilangan. Untuk membentuk sudut dua garis yang bersilangan, maka kita harus mengusahakan kedua garis berpotongan pada satu titik. Dengan menggeser salah satu garis atau keduanya sehingga berpotongan pada satu titik.

Untuk kasus ini, kita coba geser garis $DG$ ke titik $A$, sehingga garsi $AC$ dan $DG$ berpotongan di titik $A$. Sudut antara garis $AC$ dan $DG$ adalah sudut $CAF$. Sebagai ilustrasi, kurang lebih seperti gambar berikut ini;

Besar sudut $CAF$ bisa kita tentukan dengan bantuan segitiga $ACF$.

Segitiga $ACF$ adalah segitiga sama sisi karena sisi segitiga tersebut adalah diagonal sisi kubus yang besarnya $a\sqrt{2}$. Karena segitiga $ACF$ adalah sama sisi maka besar ketiga sudutnya sama besar yaitu $60^{\circ}$.

Besar sudut antara garis $AC$ dengan $DG$ adalah $\measuredangle CAF=60^{\circ}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$

Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ kurang lebih seperti berikut ini;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1)\ \text{dan}\ (2)$

Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $10$, Sudut garis $PV$ dan bidang $PQRS$, kurang lebih seperti berikut ini;

Sudut antara garis $PV$ dan bidang $PQRS$ adalah sudut antara garis $PV$ dengan garis proyeksi $PV$ garis pada bidang $PQRS$.
Pada soal diatas dan jika kita perhatikan gambar, proyeksi garis $PV$ adalah $PR$, sehingga;

$cos\ \theta = \dfrac{PR}{PV}$, dimana $PR$ adalah diagonal bidang $(PR=10\sqrt{2})$ dan $PV$ adalah diagonal ruang $(PV=10\sqrt{3})$.

$ \begin{align}
cos\ \theta & = \dfrac{PR}{PV} \\ & = \dfrac{10\sqrt{2}}{10\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ & = \dfrac{1}{3}\sqrt{6}
\end{align} $

(*Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013]).

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{3}\sqrt{6}$

Ilustrasi gambar persegi panjang $ABCD$ dan unsur-unsur yang diketahui kurang lebih seperti berikut ini:

Pada $\bigtriangleup ABD$ berlaku teorema pythagoras,
$ \begin{align}
BD^{2} & = AB^{2}+AD^{2} \\ & = (\sqrt{15})^{2}+(\sqrt{5})^{2} \\ & = 15+5 \\ BD & = \sqrt{20} \\ BD & = 2\sqrt{5}
\end{align} $
Karena $E$ adalah titik potong diagonal maka $BE=ED=EC=AE= \sqrt{5}$ dan $BC= \sqrt{5}$, sehingga $\bigtriangleup ABD$ adalah segitiga sama sisi maka besar ketiga sudutnya adalah sama yaitu $ \angle BEC= 60^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$

Jika kita gambarkan Balok $ABCD.EFGH$, titik $P$ dan sudut $\theta$ seperti berikut ini:

• $AP=4$ dan $AE=6$ maka $EP=2\sqrt{13}$
• $PB=4$ dan $BC=6$ maka $PC=2\sqrt{13}$
• $PC=2\sqrt{13}$ dan $CG=6$ maka $PG=2\sqrt{22}$
• $EF=8$ dan $FG=6$ maka $EG=10$

Sudut $\theta$ pada $\bigtriangleup EPG$ adalah sudut antara $EP$ dan $PG$, dapat kita hitung dengan menggunakan aturan cosinus:
$\begin{align}
EG^{2} &= EP^{2}+PG^{2}- 2 \cdot EP \cdot PG\ cos\ \theta \\ cos\ \theta &= \dfrac{EP^{2}+PG^{2}-EG^{2}}{2 \cdot EP \cdot PG} \\ &= \dfrac{\left( 2\sqrt{13} \right)^{2}+\left( 2\sqrt{22} \right)^{2}-\left( 10 \right)^{2}}{2 \cdot 2\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{22}} \\ &= \dfrac{52+88-100}{8 \sqrt{286}} \\ &= \dfrac{40}{8 \sqrt{286}} \\ &= \dfrac{5}{\sqrt{286}} \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5}{\sqrt{286}}$

Jika kita gambarkan Balok $ABCD.EFGH$, titik $T$ dan sudut $\theta$ seperti berikut ini:

Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
TC^{2} &= DT^{2}+CD^{2} \\ TC^{2} &= 9^{2}+12^{2} \\ TC &= \sqrt{225}=15 \\ \hline
TG^{2} &= TC^{2}+CG^{2} \\ TG^{2} &= (\sqrt{225})^{2}+20^{2} \\ TG &= \sqrt{225 +400}=25 \\ \end{align}$

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
cos\ \theta &= \dfrac{TC}{TG} \\ &= \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{5}$

Volume Limas $E.ACF$ adalah:
$ \begin{align} V & = \dfrac{1}{3} \cdot \text{luas alas} \cdot \text{tinggi} \\ & = \dfrac{1}{3} \cdot \left[ ACF \right] \cdot \text{tinggi} \end{align}$

Tinggi Limas $E.ACF$ jarak titik $E$ ke bidang $ACF$ atau $ACFD$ yang sama dengan jarak titik $E$ ke $DF$. Karena segitiga $EDF$ adalah sama sisi dengn panjang sisi $a=1$, maka tingginnya adalah $\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

Luas alas segitiga siku-siku $ACF$ adalah:
$ \begin{align} \left[ ACF \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot CF \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2} \end{align}$

Volume Limas $E.ACF$ adalah:
$ \begin{align} V & = \dfrac{1}{3} \cdot \left[ ACF \right] \cdot \text{tinggi} \\ & = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \dfrac{1}{12}\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{12}\sqrt{3}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan limas $E.PQRS$ yang kita misalkan panjang rusuk kubus $a$ adalah seperti berikut ini:

Volume Limas $E.PQRS$ adalah:
$ \begin{align} V & = \dfrac{1}{3} \cdot \text{luas alas} \cdot \text{tinggi} \\ & = \dfrac{1}{3} \cdot \left[ PQRS \right] \cdot \text{AE} \end{align}$

Dari gambar persegi $ABCD$ kita peroleh luas $\left[ PQRS \right]$, yaitu:
$ \begin{align} \left[ PQRS \right] & = \left[ ABCD \right] - \left[ APS \right] - 2\left[ BPQ \right]- \left[ RCQ \right] \\ & = a^{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}a cdot \dfrac{2}{3}a - 2\left( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}a \cdot \dfrac{2}{3}a \right)- \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}a \cdot \dfrac{1}{3}a \\ & = a^{2} - \dfrac{4}{18}a^{2} - \dfrac{2}{9}a^{2} - \dfrac{1}{18}a^{2} \\ & = a^{2} - \dfrac{9}{18}a^{2} = \dfrac{1}{2}a^{2} \end{align}$

Volume Limas $E.PQRS$ adalah:
$ \begin{align} V & = \dfrac{1}{3} \cdot \left[ PQRS \right] \cdot \text{AE} \\ & = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}a^{2} \cdot a \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot a^{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{6}$

Jika kita gambarkan bidang empat beraturan $T.ABC$ dengan panjang rusuk $a$ dan titik $P$ berada di pertengahan $BC$ seperti berikut ini:

Jarak titik $P$ ke garis $AT$ adalah $PQ$. Kita peroleh segitiga $APT$, dimana $AP=PT$ maka segitiga $APT$ adalah segitiga sama kaki sehingga $PQ$ yang merupakan garis tinggi juga merupakan garis berat yang mengakibatkan $AQ=QT$.

Segitiga $BCT$ adalah segitiga sama sisi sehingga $PT=AP=\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}$. Dengan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh:

$ \begin{align} AP^{2} & = AQ^{2}+PQ^{2} \\ \left( \dfrac{1}{2}a\sqrt{3} \right)^{2} & = \left( \dfrac{1}{2}a \right)^{2}+PQ^{2} \\ \dfrac{3}{4}a^{2} & = \dfrac{1}{4}a^{2}+PQ^{2} \\ PQ^{2} & = \dfrac{3}{4}a^{2}-\dfrac{1}{4}a^{2} \\ & = \dfrac{2}{4}a^{2} \\ PQ & = \sqrt{ \dfrac{2}{4}a^{2}}=\dfrac{1}{2}a \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{a}{2}\sqrt{2}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2a$. Jika titik $P$ berada pada perpanjangan garis $HG$ sehingga $HG=GP=2a$ seperti berikut ini:

Jarak titik $G$ ke garis $AP$ adalah $GQ$. Segitiga $APG$ adalah segitiga dengan $AG=2a\sqrt{3}$, $GP=2a$ dan $AP=2 \times \dfrac{1}{2} \cdot 2a\sqrt{6}$. Untuk mempermudah menghitung $AP$ kita beri kubus tambahan seperti gambar berikut ini.

Dari luas Segitiga $APG$ kita peroleh:
$ \begin{align} \left[ APG \right] & = \left[ APG \right]\\ \dfrac{1}{2} \cdot AP \cdot GQ & = \dfrac{1}{2} \cdot GP \cdot AH \\ 2a\sqrt{6} \cdot GQ & = 2a \cdot 2a\sqrt{2} \\ GQ & = \dfrac{2a\sqrt{2}}{ \sqrt{6}} \\ & = \dfrac{2a}{3}\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{2a}{3}\sqrt{3}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\ cm$. Titik $M$ berada di tengah ruas garis $EH$ dan titik $N$ berada di tengah ruas garis $EF$ seperti berikut ini:

Jarak titik $E$ ke bidang $MNA$, dimana segitiga $MNA$ adalah segitiga sama kaki. Jika kita gambarkan titik bantuan utnuk menghitung karak titik $E$ ke bidang $MNA$ yaitu garis $EP$ yang merupakan garis tinggi pada segitiga $EOA$ seperti gambar di bawah ini:

$EO=\dfrac{1}{4}EG=\dfrac{1}{4} \cdot 2 \sqrt{2}=\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$ dan dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku $AEO$ kita peroleh:

$ \begin{align} AO^{2} & = AE^{2}+EO^{2} \\ & = \left( 2 \right)^{2}+\left( \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \right)^{2} \\ & = 4 + \dfrac{1}{2} \\ AO & = \sqrt{ \dfrac{9}{2} }=\dfrac{3}{2} \sqrt{2} \end{align}$

Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $AEO$, kita peroleh:
$ \begin{align} \left[ AEO \right] & = \left[ AEO \right]\\ \dfrac{1}{2} \cdot AO \cdot EP & = \dfrac{1}{2} \cdot EO \cdot AE \\ \dfrac{3}{2} \sqrt{2} \cdot EP & = \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \cdot 2 \\ \dfrac{3}{2} \cdot EP & = 1 \\ EP & = \dfrac{2}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{2}{3}$

Jika kita gambarkan prisma tegak segitiga siku-siku $ABC.DEF$ dengan panjang rusuk tegak prisma $2\sqrt{2}$ satuan, $AB=BC=4$ seperti berikut ini:

Jarak titik $A$ ke garis $EF$ kita dapatkan dari segitiga $AEF$. Segitiga $AEF$ adalah segitiga siku-siku, untuk mempermudah melihat $AEF$ adalah segitiga siku-siku gambar di atas kita buat menjadi prisma segi empat dimana alasnya adalah persegi seperti berikut ini:

Dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa $AEF$ segitiga siku-siku di $E$ sehingga jarak titik $A$ ke $EF$ adalah $AE$. Panjang $AE$ adalah:
$ \begin{align} AE^{2} & = AB^{2}+BE^{2} \\ & = 4^{2}+\left( 2\sqrt{2} \right)^{2} \\ & = 16 + 8 \\ AE & = \sqrt{24}=2 \sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2\sqrt{6}$

Jika kita gambarkan limas beraturan $T.ABCD$ dengan panjang rusuk $6\ cm$ dimana titik $P$ pada $CT$ sehingga $TP=4$ dan $PC=2$. Jika proyeksi titik $P$ ke bidang $BDT$ kita misalkan titik $Q$, yang kita gambarkan seperti berikut ini:

Jarak titik $P$ ke bidang $BDT$ adalah $PQ$. Jika kita perhatikan segitiga $PQT$ dan segitiga $COT$ adalah segitiga yang sebangun. Sehingga dapat kita peroleh:
$ \begin{align} \dfrac{PQ}{PT} & = \dfrac{OC}{CT} \\ \dfrac{PQ}{4} & = \dfrac{3 \sqrt{2}}{6} \\ PQ & = \dfrac{12 \sqrt{2}}{6} = 2\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2\sqrt{2}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\ cm$. dan keterangan seperti pada soal seperti berikut ini:

Pada gambar di atas, kita misalkan proyeksi titik $A$ ke bidang $PQRS$ adalah $A'$ sehingga jarak titik $A$ ke bidang $PQRS$ adalah $AA'$. Dengan memperhatika segitiga siku-siku $APS$ kita dapat menghitung $PS$ yaitu:
$ \begin{align} PS^{2} & = AP^{2}+AS^{2} \\ & = 1^{2}+\left( \sqrt{3} \right)^{2} \\ PS & = \sqrt{4}=2 \end{align}$

Dengan $PS=2$, $AP=1$, dan $AS=\sqrt{3}$, maka menggunakan luas segitiga siku-siku $APS$ kita peroleh:
$ \begin{align} \left[ APS \right] & = \left[ APS \right]\\ \dfrac{1}{2} \cdot PS \cdot AA' & = \dfrac{1}{2} \cdot AS \cdot AP \\ 2 \cdot AA' & = \sqrt{3} \cdot 1 \\ AA' & = \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

Jika kita gambarkan bidang empat $T-ABC$ diketahui $ABC$ segitiga sama sisi dan ukuran seperti yang disampaikan pada soal seperti berikut ini:

Pada gambar di atas kita misalkan proyeksi titik $A$ pada bidang $TBC$ adalah $A'$ sehingga kita peroleh jarak titik $A$ ke bidang $TBC$ adalah $AA'$.

Kita dapat menghitung $AT'$ dari segitiga $ABT'$ yaitu:
$ \begin{align} AB^{2} & = BT'^{2}+AT'^{2} \\ 10^{2} & = 5^{2}+AT'^{2} \\ AT' & = \sqrt{100-25}=5 \sqrt{3} \end{align}$

Kita juga dapat menghitung $TT'$ dari segitiga $ATT'$ yaitu:
$ \begin{align} TT'^{2} & = AT'^{2}+AT^{2} \\ & = \left( 5\sqrt{3} \right)^{2}+15^{2} \\ & = 75+225 \\ TT' & = \sqrt{300}=10\sqrt{3} \end{align}$

Untuk $TT'=10\sqrt{3}$, $AT' =5 \sqrt{3}$, dan $AT=15$, maka menggunakan luas segitiga siku-siku $ATT'$ kita peroleh:
$ \begin{align} \left[ ATT' \right] & = \left[ ATT' \right]\\ \dfrac{1}{2} \cdot TT' \cdot AA' & = \dfrac{1}{2} \cdot AT' \cdot AT \\ 10\sqrt{3} \cdot AA' & = 5 \sqrt{3} \cdot 15 \\ AA' & = \dfrac{75}{10}= 7,5 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7,5\ cm$

Jika kita gambarkan Kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang sisi $5\ cm$ seperti yang disampaikan pada soal seperti berikut ini:

Pada gambar di atas kita misalkan proyeksi titik $B$ ke garis $EG$ adalah $B'$ sehingga kita peroleh jarak titik $B$ ke garis $EG$ adalah $BB'$.

Kita dapat menghitung $BB'$ yang merupakan tinggi segitiga sama sisi $BEG$ dimana panjang sisinya merupakan diagonal bidang yaitu $5\sqrt{2}$. Sehingga $BB'$ adalah:
$ \begin{align} t & = \dfrac{1}{2}a \sqrt{3} \\ BB' & = \dfrac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \\ & = \dfrac{5}{2} \sqrt{6} \end{align}$

Sebagai alternatif kita juga dapat gunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku $EBB'$, yaitu:
$ \begin{align} sin\ BEB' & = \dfrac{BB'}{BE} \\ sin\ 60^{\circ} & = \dfrac{BB'}{5\sqrt{2}} \\ BB' & = 5 \sqrt{6} \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{3} = \dfrac{5}{2} \sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{5}{2}\sqrt{6} $

Jika kita gambarkan balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=2,\ BC=1,\ AE=1\ cm$ seperti berikut ini:

Jarak titik $A$ ke $H$ atau panjang $AH$ adalah:
$ \begin{align} AH^{2} & = AD^{2}+DH^{2} \\ & = 1^{2}+1^{2} \\ AH & = \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \sqrt{2}\ cm$

Jika kita gambarkan titik $A \left(0,0,3 \right)$, $B \left(4,0,0 \right)$, $C \left(0,4,0 \right)$ dan titik $O\left(0,0,0 \right)$ seperti keterangan pada soal seperti berikut ini:

Pada gambar di atas, kita misalkan proyeksi titik $O$ ke bidang $ABC$ adalah $O'$ sehingga jarak titik $O$ ke bidang $ABC$ adalah $OO'$. Dengan memperhatikan segitiga $ABC$ yang merupakan segitiga sama kaki $AB=AC$ sehingga titik $A'$ yang merupakan proyeksi titik $A$ menghasilkan $CA'=BA'$.

Dengan menggunakan teorema pythagoras, kita peroleh beberapa data dari gambar di atas, antara lain:

• dari segitiga siku-siku $BOA$ kita peroleh $AB=5$,
• dari segitiga siku-siku $COA$ kita peroleh $AC=5$,
• dari segitiga siku-siku $BOC$ kita peroleh $BC=4\sqrt{2}$ dan $BA'=2\sqrt{2}$ ,
• dari segitiga siku-siku $BAA'$ kita peroleh $AA'= \sqrt{17}$.

Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $OAA'$ kita peroleh:
$ \begin{align} \left[ OAA' \right] & = \left[ OAA' \right]\\ \dfrac{1}{2} \cdot OO' \cdot AA' & = \dfrac{1}{2} \cdot OA' \cdot OA \\ OO' \cdot \sqrt{17} & = 2\sqrt{2} \cdot 3 \\ OO' & = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{17}}= \dfrac{6}{17}\sqrt{34} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{6}{17}\sqrt{34}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ seperti keterangan pada soal akan kita peroleh seperti berikut ini:

Pada gambar di atas, kita misalkan proyeksi titik $G$ ke bidang $PQR$ adalah $G'$ sehingga jarak titik $G$ ke bidang $PQR$ adalah $GG'$. Dengan menggunakan teorema pythagoras, kita peroleh beberapa data dari gambar di atas, antara lain:

• dari segitiga siku-siku $QGP$ kita peroleh $QP=a\sqrt{2}$,
• dari segitiga siku-siku $RQQ'$ kita peroleh $QR=a\sqrt{2}$,
• dari segitiga siku-siku $RGP$ kita peroleh $PR=a\sqrt{2}$, sehingga $RQ'=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$ dan $GQ'=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$,
• dari segitiga siku-siku $RQ'Q$ kita peroleh $QQ'= \frac{1}{2}a\sqrt{6}$.

Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $GQQ'$ kita peroleh:
$ \begin{align} \left[ GQQ' \right] & = \left[ GQQ' \right]\\ \dfrac{1}{2} \cdot GG' \cdot QQ' & = \dfrac{1}{2} \cdot GQ' \cdot GQ \\ GG' \cdot \frac{1}{2}a\sqrt{6} & = \frac{1}{2}a\sqrt{2} \cdot a \\ GG' & = \dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{6}}= \dfrac{a}{3}\sqrt{3} \end{align}$

Untuk posisi titik dan bidang seperti gambar di atas, dapat juga digunakan rumus alternatif yaitu $\dfrac{1}{6} \times \text{diagonal ruang}$ atau $\dfrac{1}{6} \times 2a \sqrt{3}=\dfrac{a}{3}\sqrt{3}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{a}{3}\sqrt{3}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ seperti keterangan pada soal dan kita misalkan rusuk kubus adalah $x$, maka akan kita peroleh seperti berikut ini:

Dari gambar di atas, dapat kita hitung $AP$, yaitu:
$ \begin{align} AP^{2} & = EP^{2}+AE^{2} \\ & = \left( \frac{3}{4}x\sqrt{2} \right)^{2}+x^{2} \\ & = \frac{18}{16}x^{2}+x^{2} \\ AP & = \sqrt{ \frac{34}{16}x^{2}} \\ & = \dfrac{1}{4}x\sqrt{ 34} \end{align}$

Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $EAP$ kita peroleh:
$ \begin{align} \left[ EAP \right] & = \left[ EAP \right]\\ \dfrac{1}{2} \cdot EA \cdot EP & = \dfrac{1}{2} \cdot AP \cdot EE' \\ x \cdot \frac{3}{4}x\sqrt{2} & = \frac{1}{4}x\sqrt{34} \cdot a \\ x & = \dfrac{ \sqrt{34}a}{3\sqrt{2}}= \dfrac{a}{3}\sqrt{17} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{a}{3}\sqrt{17}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ seperti keterangan pada soal maka akan kita peroleh seperti berikut ini:

Pada gambar di atas proyeksi titik $R$ ke garis $BT$ kita misalkan dengan $R'$ sehingga jarak titik $R$ ke $BT$ adalah $RR'$. Dengan menggunakan teorema pythagoras, kita peroleh beberapa data dari gambar di atas, antara lain:

• dari segitiga siku-siku $RGT$ kita peroleh $RT=3\sqrt{2}$,
• dari segitiga siku-siku $BCR$ kita peroleh $BR=3\sqrt{5}$,
• dari segitiga siku-siku $BGT$ kita peroleh $BT=9$.

Dari data yang kita peroleh di atas segitiga $BRT$ adalah segitiga sebarang, jika kita gambarkan segitigaya seperti berikut ini:

Pada segitiga $BRT$ di atas, dapat kita terapkan aturan cosinus yaitu:
$ \begin{align} \left( BR \right)^{2} & = \left( RT \right)^{2}+\left( BT \right)^{2}-2\left( BR \right)\left( RT \right)\ cos\ \alpha \\ \left( 3\sqrt{5} \right)^{2} & = \left( 3\sqrt{2} \right)^{2}+\left( 9 \right)^{2}-2\left( 3\sqrt{2} \right)\left( 9 \right)\ cos\ \alpha \\ 45 & = 18 + 81-54\sqrt{2}\ cos\ \alpha \\ 54\sqrt{2}\ cos\ \alpha & = 99-45 \\ cos\ \alpha & = \dfrac{54}{54\sqrt{2}}= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \alpha & = 45^{\circ} \end{align}$

Untuk $\alpha = 45^{\circ}$ maka dapat kita peroleh:
$ \begin{align} sin\ \alpha & = \dfrac{RR'}{RT} \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{2} & = \dfrac{RR'}{3\sqrt{2}} \\ 3 & = RR' \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 3$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik tambahan yang diperlukan untuk menentukan jarak titik $A$ ke garis $BH$ seperti keterangan pada soal maka akan kita peroleh seperti berikut ini:

Pada gambar di atas proyeksi titik $A$ ke garis $BH$ kita misalkan dengan $A'$ sehingga jarak titik $A$ ke $BH$ adalah $AA'$.

Dengan panjang rusuk $a$ maka $BH$ yang merupakan diagonal ruang kubus sehingga $BH=a\sqrt{3}$ dan $AH$ yang merupakan diagonal bidang kubus sehingga $AH=a\sqrt{2}$. Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $ABH$ kita peroleh:
$ \begin{align} \left[ ABH \right] & = \left[ ABH \right]\\ \dfrac{1}{2} \cdot BH \cdot AA' & = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AH \\ a\sqrt{3} \cdot AA' & = a \cdot a\sqrt{2} \\ AA' & = \dfrac{ a\sqrt{2} }{ \sqrt{3}}= \dfrac{a}{3}\sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{a}{3}\sqrt{6}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $S$ pada bidang $AFH$ seperti keterangan pada soal maka akan kita peroleh seperti berikut ini:

Pada gambar di atas proyeksi titik $C$ ke bidang $AFH$ adalah $S$ sehingga segitiga $CSA$ siku-siku di $S$. Panjang $CS$ kita hitung dengan rumus alternatif yaitu $CS=\dfrac{2}{3} EC$ atau $CS=\dfrac{2}{3}a \sqrt{3}$.

Dari segitiga siku-siku $ACS$ kita peroleh:
$ \begin{align} AC^{2} & = AS^{2}+CS^{2} \\ \left( a\sqrt{2} \right)^{2} & = AS^{2}+\left( \frac{2}{3}a\sqrt{3} \right)^{2} \\ 2a^{2} & = AS^{2} + \dfrac{4}{9}a^{2} \cdot 3 \\ AS^{2} & = 2a^{2}-\dfrac{4}{3}a^{2} \\ AS & = \sqrt{ \frac{2}{3}a^{2} }= \dfrac{a}{3}\sqrt{3 } \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{3}a\sqrt{3}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik tambahan yang diperlukan untuk menentukan jarak titik $B$ ke garis $AG$ seperti keterangan pada soal maka akan kita peroleh seperti berikut ini:

Pada gambar di atas proyeksi titik $B$ ke garis $AG$ kita misalkan dengan $B'$ sehingga jarak titik $B$ ke $AG$ adalah $BB'$.

Dengan panjang rusuk $12$ maka $AG$ yang merupakan diagonal ruang kubus sehingga $AG=12\sqrt{3}$ dan $BG$ yang merupakan diagonal bidang kubus sehingga $BG=12\sqrt{2}$. Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $ABG$ kita peroleh:
$ \begin{align} \left[ ABG \right] & = \left[ ABG \right]\\ \dfrac{1}{2} \cdot AG \cdot BB' & = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BG \\ 12\sqrt{3} \cdot BB' & = 12 \cdot 12\sqrt{2} \\ BB' & = \dfrac{ 12\sqrt{2} }{ \sqrt{3}}= 4\sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4\sqrt{6}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, titik $O,\ P$ serta $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ seperti berikut ini:

$\bigtriangleup HFC$ dengan sisi $HF$, $FC$, $CH$ yang merupakan diagonal sisi sehingga $\bigtriangleup HFC$ adalah segitiga sama sisi, luasnya adalah:
$\begin{align} \left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot sin\ 60^{\circ} \\ \left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &= 36 \sqrt{3} \end{align}$

$\bigtriangleup AOP$ dengan sisi $AO$, $OP$, $AP$ dimana $OP$ diagonal sisi maka luasnya dapat kita hitung dengan menggunakan alas $OP$ dan tingginya adalah $\dfrac{1}{2}AG=6\sqrt{3}$, luasnya adalah:
$\begin{align} \left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot OP \cdot t \\ \left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}$

Perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{3} = \sqrt{2} : 1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2} : 1$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, serta $\bigtriangleup DPG$ seperti berikut ini:

Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup DPG$ merupakan segitiga sama kaki $DP=GP$ dan $DG=12\sqrt{2}$ (diagonal sisi).
$\begin{align} GP^{2}\ &= CP^{2}+CG^{2} \\ &= 6^{2}+ 12^{2} \\ GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\ \hline t^{2}\ &= GP^{2} - \left(6\sqrt{2} \right)^{2} \\ &= 180 - 72 \\ t &= \sqrt{108}=6 \sqrt{3} \\ \hline \left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}$

Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, serta $\bigtriangleup APG$ seperti berikut ini:

Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup APG$ merupakan segitiga sama kaki $AP=PG$ dan $AG=12\sqrt{3}$ (diagonal ruang).
$\begin{align} AP^{2}\ &= AB^{2}+BP^{2} \\ &= 6^{2}+ 12^{2} \\ GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\ \hline t^{2}\ &= GP^{2}- \left(6\sqrt{3} \right)^{2} \\ &= 180 - 108 \\ t &= \sqrt{72}=6 \sqrt{2} \\ \hline \left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} \\ &= 36 \sqrt{6} \end{align}$

Perbandingan luas $\bigtriangleup DPG$ dan $\bigtriangleup APG$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{6} = 1 : 1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1 : 1$

Untuk mendapatkan sudut antara bidang $TAD$ dan $TBC$, kita tarik garis melalui $T$ yang tegak lurus $BC$ dan $AD$ sehingga kita peroleh sudut $ETF=\alpha$ seperti gambar berikut:

Dengan teorema pythagoras pada $\bigtriangleup TCF$ dapat kita tentukan panjang $TE$ dan $TF$ yaitu:
$\begin{align}
TE^2=TF^{2} & = TC^{2}-CF^{2} \\
& = (\sqrt{3})^{2}-(1)^{2} \\
& = 3-1 = 2 \\
TE =TF & = \sqrt{2}
\end{align}$
Dengan cara yang sama pada $\bigtriangleup TT'F$ dapat kita tentukan panjang $TT'$ yaitu:
$\begin{align}
TT'^{2} & = TF^{2}-T'F^{2} \\
& = (\sqrt{2})^{2}-(1)^{2} \\
& = 2-1 = 1 \\
TT' & = \sqrt{1} =1
\end{align}$
Dengan panjang $TT'=1$, maka luas $\bigtriangleup TEF$ adalah $\left[ TEF \right]=\dfrac{1}{2} \cdot (1) \cdot (2)=1$

Untuk menghitung luas $\bigtriangleup TEF$ dapat juga dengan cara (*jika diketahui dua sisi dan satu sudut)
$\begin{align}
\left[ TEF \right] &=\dfrac{1}{2} \cdot (TE) \cdot (EF) \cdot sin\ \alpha \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot (\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2}) \cdot sin\ \alpha \\
&= sin\ \alpha
\end{align}$

Dari hasil di atas, dapat kita ambil kesimpulan:
$\begin{align}
\left[ TEF \right] & = \left[ TEF \right] \\
sin\ \alpha & = 1 \\
\alpha & = 90^{\circ} \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 90^{\circ}$

Salah satu kosinus sudut antara diagonal $AG$ dan $HB$ adalah $\cos APB$. Dari gambar di atas dengan menggunakan teorema pythagoras dapat kita peroleh $AC$ dan $AG$.

$\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\ AC^{2} &= 3^{2}+ 2^{2} \\ AC^{2} &= 13 \\ AC &= \sqrt{13} \\ \hline AG^{2} &= AC^{2}+CG^{2} \\ AG^{2} &= 13+ 12 \\ AG &= \sqrt{25}=5 \end{align}$

Untuk $AG=5$ dan $P$ adalah titik tengah $AG$ maka $AP=\dfrac{5}{2}$. Dari segitiga $APB$ dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} &= AP^{2}+BP^{2}- 2 \cdot AP \cdot PB\ \cos APB \\ 3^{2} &= \left( \frac{5}{2} \right)^{2} + \left( \frac{5}{2} \right)^{2} - 2 \cdot \left( \frac{5}{2} \right) \cdot \left( \frac{5}{2} \right) \cos APB \\ 9 &= \dfrac{25}{4} + \dfrac{25}{4} - \dfrac{50}{4} \cos APB \\ \dfrac{50}{4} \cos APB &= \dfrac{50}{4} - 9 \\ 50 \cos APB &= 50 - 36 \\ \cos APB &= \dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{7}{25}$

Salah satu kosinus sudut antara diagonal $AG$ dan $HB$ adalah $\cos APB$. Dari gambar di atas dengan menggunakan teorema pythagoras dapat kita peroleh $AC$ dan $AG$.

$\begin{align}
AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\ AC^{2} &= 3^{2}+ 3^{2} \\ AC^{2} &= 18 \\ AC &= \sqrt{18}=2\sqrt{2} \\ \hline AG^{2} &= AC^{2}+CG^{2} \\ AG^{2} &= 18+ 7 \\ AG &= \sqrt{25}=5 \end{align}$

Untuk $AG=5$ dan $P$ adalah titik tengah $AG$ maka $AP=\dfrac{5}{2}$. Dari segitiga $APB$ dengan menggunakan aturan cosinus dapat kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} &= AP^{2}+BP^{2}- 2 \cdot AP \cdot PB\ \cos APB \\ 3^{2} &= \left( \frac{5}{2} \right)^{2} + \left( \frac{5}{2} \right)^{2} - 2 \cdot \left( \frac{5}{2} \right) \cdot \left( \frac{5}{2} \right) \cos APB \\ 9 &= \dfrac{25}{4} + \dfrac{25}{4} - \dfrac{50}{4} \cos APB \\ \dfrac{50}{4} \cos APB &= \dfrac{50}{4} - 9 \\ 50 \cos APB &= 50 - 36 \\ \cos APB &= \dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{7}{25}$

Misal titik potong $AP$ dan $HB$ kita misalkan titik $O$, panjang rusuk kubus adalah $a$ dan nama-nama sudut tambahan pada segitiga yang kita butuhkan digambarkan seperti di bawah ini.

Dari gambar di atas salah satu tangen sudut antara $AP$ dan $HB$ adalah $\tan AOB$.

Dengan $BG=a\sqrt{2}$ dan $BG:BP=2:3$ maka $BP=\frac{3}{2}a\sqrt{2}$.

Pada segitiga siku-siku $ABH$ yang siku-siku di $A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \beta &= \dfrac{AH}{AB} \\ &= \dfrac{a\sqrt{2}}{a}= \sqrt{2} \end{align}$

Pada segitiga siku-siku $ABP$ yang siku-siku di $B$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \alpha &= \dfrac{BP}{AB} \\ &= \dfrac{\frac{3}{2}a\sqrt{2}}{a}=\frac{3}{2}\sqrt{2} \end{align}$

Pada segitiga $AOB$ kita peroleh besar sudut $AOB=180^{\circ}-\left( \alpha +\beta \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan AOB &= \tan \left( 180^{\circ}-( \alpha +\beta ) \right) \\ &= -\tan \left( \alpha +\beta \right) \\ &= -\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta } \\ &= -\dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{2}+\sqrt{2}}{1- \frac{3}{2}\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} } \\ &= -\dfrac{\frac{5}{2}\sqrt{2}}{1-3}= -\dfrac{\frac{5}{2}\sqrt{2}}{-2} \\ &= \dfrac{5}{4}\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5\sqrt{2}}{4}$

Misal titik potong $AP$ dan $HB$ kita misalkan titik $O$, panjang rusuk kubus adalah $a$ dan nama-nama sudut tambahan pada segitiga yang kita butuhkan digambarkan seperti di bawah ini.

Dari gambar di atas salah satu tangen sudut antara $AP$ dan $HB$ adalah $\tan AOB$.

Dengan $AH=a\sqrt{2}$ dan $HP:HG=3:2$ maka $HP=\frac{3}{2}HG=\frac{3}{2}a\sqrt{2}$.

Pada segitiga siku-siku $ABH$ yang siku-siku di $A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \beta &= \dfrac{AH}{AB} \\ &= \dfrac{a\sqrt{2}}{a}= \sqrt{2} \end{align}$

Pada segitiga siku-siku $APH$ yang siku-siku di $H$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \theta &= \dfrac{HP}{AH} \\ \tan \left(90^{\circ}-\alpha \right) &= \dfrac{\frac{3}{2}a}{a\sqrt{2}} \\ \cot \alpha &= \dfrac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\tan \alpha} &= \dfrac{3}{2\sqrt{2}} \\ \tan \alpha &= \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\ \end{align}$

Pada segitiga $AOB$ kita peroleh besar sudut $AOB=180^{\circ}-\left( \alpha +\beta \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan AOB &= \tan \left( 180^{\circ}-( \alpha +\beta ) \right) \\ &= -\tan \left( \alpha +\beta \right) \\ &= -\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta } \\ &= -\dfrac{ \frac{2}{3}\sqrt{2} + \sqrt{2}}{1- \frac{2}{3}\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} } \\ &= -\dfrac{\frac{5}{3}\sqrt{2}}{1-\frac{4}{3}}= -\dfrac{\frac{5}{3}\sqrt{2}}{-\frac{1}{3}} \\ &= 5\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5\sqrt{2}$

Misal titik potong $AQ$ dan $BP$ kita misalkan titik $O$, panjang rusuk kubus adalah $a$ dan nama-nama sudut tambahan pada segitiga yang kita butuhkan digambarkan seperti di bawah ini.

Dari gambar di atas salah satu tangen sudut antara $AQ$ dan $BP$ adalah $\tan AOB$.

Dengan $AH=a\sqrt{2}$ dan $AP:PH=4:1$ maka $AP=\frac{4}{5}a\sqrt{2}$.

Pada segitiga siku-siku $ABP$ yang siku-siku di $A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \beta &= \dfrac{AP}{AB} \\ &= \dfrac{\frac{4}{5}a\sqrt{2}}{a}= \frac{4}{5}\sqrt{2} \end{align}$

Pada segitiga siku-siku $ABQ$ yang siku-siku di $B$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \alpha &= \dfrac{BQ}{AB} \\ &= \dfrac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$

Pada segitiga $AOB$ kita peroleh besar sudut $AOB=180^{\circ}-\left( \alpha +\beta \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan AOB &= \tan \left( 180^{\circ}-( \alpha +\beta ) \right) \\ &= -\tan \left( \alpha +\beta \right) \\ &= -\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta } \\ &= -\dfrac{ \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{4}{5}\sqrt{2}}{1- \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \frac{4}{5}\sqrt{2} } \\ &= -\dfrac{\frac{13}{10}\sqrt{2}}{1-\frac{4}{5}}== -\dfrac{\frac{13}{10}\sqrt{2}}{\frac{1}{5}} \\ &= \dfrac{13}{2}\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{13\sqrt{2}}{2}$

Misal titik potong $AQ$ dan $BP$ kita misalkan titik $O$, panjang rusuk kubus adalah $a$ dan nama-nama sudut tambahan pada segitiga yang kita butuhkan digambarkan seperti di bawah ini.

Dari gambar di atas salah satu tangen sudut antara antara $AQ$ dan $BP$ adalah $\tan AOB$.

Dengan $AH=BG=a\sqrt{2}$ dan $BQ:QG=AP:PH=3:1$ maka $AQ=AP=\frac{3}{4}a\sqrt{2}$.

Pada segitiga siku-siku $ABP$ yang siku-siku di $A$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \beta &= \dfrac{AP}{AB} \\ &= \dfrac{\frac{3}{4}a\sqrt{2}}{a}= \frac{3}{4}\sqrt{2} \end{align}$

Pada segitiga siku-siku $ABQ$ yang siku-siku di $B$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \alpha &= \dfrac{BQ}{AB} \\ &= \dfrac{\frac{3}{4}a\sqrt{2}}{a}=\frac{3}{4}\sqrt{2} \end{align}$

Pada segitiga $AOB$ kita peroleh besar sudut $AOB=180^{\circ}-\left( \alpha +\beta \right)$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\tan AOB &= \tan \left( 180^{\circ}-( \alpha +\beta ) \right) \\ &= -\tan \left( \alpha +\beta \right) \\ &= -\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta } \\ &= -\dfrac{ \frac{3}{4}\sqrt{2} + \frac{3}{4}\sqrt{2}}{1- \frac{3}{4}\sqrt{2} \cdot \frac{3}{4}\sqrt{2}} \\ &= -\dfrac{\frac{6}{4}\sqrt{2}}{1-\frac{9}{8}}== -\dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{2}}{-\frac{1}{8}} \\ &= 12\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12\sqrt{2}$

Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.

Dari gambar di atas $ABCD$ merupakan segiempat sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\angle DAB+\angle ABC+\angle BCD+\angle ADC & = 360^{\circ} \\ 45^{\circ}+120^{\circ}+60^{\circ}+\angle ADC & = 360^{\circ} \\ 225^{\circ}+\angle ADC & = 360^{\circ} \\ \angle ADC & = 360^{\circ}-225^{\circ} \\ \angle ADC & = 135^{\circ} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 135^{\circ}$

Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.

Dari gambar $ABCD$ di atas, kita perhatikan segitiga siku-siku $BCF$, karena $\angle ABC=120^{\circ}$ maka $\angle CBF=60^{\circ}$. Dengan menggunakan catatan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \angle CBF & = \dfrac{CF}{BC} \\ \sin 60^{\circ} & = \dfrac{CF}{4} \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = \dfrac{CF}{4} \\ 2\sqrt{3} & = CF\ \longrightarrow DE=2\sqrt{3} \end{align}$

Kembali kita pergatikan gambar $ABCD$ di atas, dari segitiga siku-siku $AED$, dan dengan menggunakan catatan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \angle DAE & = \dfrac{DE}{AE} \\ \tan 45^{\circ} & = \dfrac{2\sqrt{3}}{AE} \\ 1 & = \dfrac{2\sqrt{3}}{AE} \\ AE & = 2\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{3}$

Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.

Dari gambar $ABCD$ di atas, kita perhatikan segitiga siku-siku $BCF$, karena $\angle ABC=120^{\circ}$ maka $\angle FBC=60^{\circ}$. Dengan menggunakan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \angle FBC & = \dfrac{CF}{BC} \\ \sin 60^{\circ} & = \dfrac{CF}{4} \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = \dfrac{CF}{4} \\ 2\sqrt{3} & = CF\ \longrightarrow DE=2\sqrt{3} \end{align}$

Dari gambar $ABCD$ di atas dan segitiga siku-siku $AED$, dengan menggunakan catatan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \angle DAE & = \dfrac{DE}{AE} \\ \tan 45^{\circ} & = \dfrac{2\sqrt{3}}{AE} \\ 1 & = \dfrac{2\sqrt{3}}{AE} \\ AE & = 2\sqrt{3} \end{align}$

Kembali kita pergatikan gambar $ABCD$ di atas, luas $AFCD$ dapat kita peroleh dati perhitungan berikut ini:
$\begin{align}
\left[ AFCD \right] & = \left[ AED \right] + \left[ EFCD \right] \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot AE \cdot ED + EF \cdot FC \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \\ & = 6 + 6 =12 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12$

Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.

Dari gambar $\bigtriangleup CEF$ sama sisi di atas, kita perhatikan jajaran genjang $ABCD$ besar $\angle BCD=60^{\circ}$.
Dari catatan tentang jajaran genjang kita peroleh $\angle BCD=\angle BAD=60^{\circ}$ dan $\angle ABC=\angle ADC=\dfrac{360^{\circ}-120^{\circ}}{2}=120^{\circ}$.

Untuk $\angle ABC=120^{\circ}$ maka $\angle ABE=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.

Dari $\bigtriangleup ABE$ untuk $\angle ABE=60^{\circ}$ dan $\angle BEA=60^{\circ}$ maka $\angle EAB=60^{\circ}$.

Besar $\angle EAD= \angle EAB+\angle BAD=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 120^{\circ}$

Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.

Dari gambar $\bigtriangleup CEF$ sama sisi di atas, kita perhatikan jajaran genjang $ABCD$ besar $\angle BCD=60^{\circ}$.
Dari catatan tentang jajaran genjang kita peroleh $\angle BCD=\angle BAD=60^{\circ}$ dan $\angle ABC=\angle ADC=\dfrac{360^{\circ}-120^{\circ}}{2}=120^{\circ}$.

Untuk $\angle ABC=120^{\circ}$ maka $\angle ABE=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.

Dari $\bigtriangleup ABE$ untuk $\angle ABE=60^{\circ}$ dan $\angle BEA=60^{\circ}$ maka $\angle EAB=60^{\circ}$. Kita peroleh $\bigtriangleup ABE$ sama sisi, sehingga $AE=5$.

Untuk $AE=5$, maka panjang sisi $\bigtriangleup CEF$ adalah $EF=9$, tinggi $\bigtriangleup ECF$ adalah:
$\begin{align}
t\ &= \dfrac{1}{2} \cdot EF \cdot \sqrt{3} \\ t\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot \sqrt{3} \\ t\ &= \dfrac{9}{2} \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{9}{2}\sqrt{3}$

Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.

Dari gambar $\bigtriangleup CEF$ sama sisi di atas, kita perhatikan jajaran genjang $ABCD$ besar $\angle BCD=60^{\circ}$.
Dari catatan tentang jajaran genjang kita peroleh $\angle BCD=\angle BAD=60^{\circ}$ dan $\angle ABC=\angle ADC=\dfrac{360^{\circ}-120^{\circ}}{2}=120^{\circ}$.

Untuk $\angle ABC=120^{\circ}$ maka $\angle ABE=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.

Dari $\bigtriangleup ABE$ untuk $\angle ABE=60^{\circ}$ dan $\angle BEA=60^{\circ}$ maka $\angle EAB=60^{\circ}$. Kita peroleh $\bigtriangleup ABE$ sama sisi, sehingga $AE=5$.

Untuk $AE=5$, maka panjang sisi $\bigtriangleup CEF$ adalah $EF=9$. Luas $\bigtriangleup EFC$ adalah:
$\begin{align}
\left[ EFC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot EF \cdot EC \cdot \sin 60^{\circ} \\ \left[ EFC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ \left[ EFC \right] &= \dfrac{81}{4}\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{81}{4}\sqrt{3}$

Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.

Dari $\bigtriangleup ABC$ sama kaki di atas kita peroleh $\angle ABC=\angle ACB$.
Kita perhatikan segi empat $BCDE$.
$\begin{align}
\angle BED + \angle EDC + \angle DCB + \angle CBE &= 360^{\circ} \\ 120^{\circ} + 90^{\circ} + x + x &= 360^{\circ} \\ 210^{\circ} + 2x &= 360^{\circ} \\ 2x &= 360^{\circ}-210^{\circ} \\ 2x\ &= 120^{\circ} \\ x\ &= \dfrac{120^{\circ}}{2}=75^{\circ} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 75^{\circ}$

Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.

Dari gambar $\bigtriangleup ABC$ sama kaki di atas kita perhatikan $\bigtriangleup ADE$ dan $\bigtriangleup AFB$, kedua segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.
Dengan menggunakan perbandingan sisi-sisi pada dua segitiga tersebut dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{ED}{AE} &= \dfrac{BF}{AB} \\ \dfrac{10}{AE} &= \dfrac{BF}{2AE} \\ \dfrac{10}{1} &= \dfrac{BF}{2} \\ BF &= 2 (10) =20 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$

Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.

Dari $\bigtriangleup ABC$ sama kaki di atas, kita perhatikan $\angle BED=120^{\circ}$ sehingga $\angle DEA=60^{\circ}$ dan $\angle EAD=30^{\circ}$.

Untuk $\angle EAD=30^{\circ}$, pada $\bigtriangleup ABF$ dengan menggunakan catatan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
\tan BAF &= \dfrac{BF}{AF} \\ \tan 30^{\circ} &= \dfrac{20}{AF} \\ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} &= \dfrac{20}{AF} \\ AF &= \dfrac{20}{\frac{1}{3}\sqrt{3}} = 20 \sqrt{3} \end{align}$

Pada $\bigtriangleup AFB$ dengan menggunakan catatan teorema phytagoras kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} &= BF^{2}+AF^{2} \\ AB^{2} &= \left( 20\sqrt{3} \right)^{2} + \left( 20 \right)^{2} \\ AB^{2} &= 1200 + 400 \\ AB &= \sqrt{ 1600 }= 40 \end{align}$

Luas $\bigtriangleup AEC$:
$\begin{align}
\left[ AEC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot ED \\ \left[ AEC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot ED \\ \left[ AEC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot 40 \cdot 10 \\ \left[ AEC \right] &= 200 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 200$

Jika diketahui pernyataan $(1)\ \text{Volume prisma}=180$
Pada prisma $ADE.BCF$, $DA=6$ dan jarak $E$ ke $AD$ adalah $3$. Berapa tinggi prisma $ADE.BCF$? Dengan menggunakan rumus volume prisma maka kita peroleh:
$\begin{align}
V & = L_{\text{alas}} \cdot t \\ 180 & = \left[ ADE \right] \cdot t \\ 180 & = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot t \\ 180 & = 9 \cdot t\ \longrightarrow t =20 \end{align} $

Jika diketahui pernyataan $(2)\ AF=5$
Pada prisma $ADE.BCF$, $DA=6$ dan jarak $E$ ke $AD$ adalah $3$. Berapa tinggi prisma $ADE.BCF$?
Pada soal tidak diketahui jenis segitiga $ADE$ secara pasti, sehingga unsur-unsur yang diketahui tidak cukup untuk menghitung tinggi prisma $ADE.BCF$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)$ Pernyataan $(1)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan $(2)$ SAJA tidak cukup.