Calon guru coba Belajar Matematika Dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Dimensi Tiga. Sebagai bahan diskusi dalam belajar dimesi tiga ini, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang teorema pythagoras, karena dalam dimensi tiga banyak menggunakan teorema pythagoras dalam membantu agar lebih cepat dalam belajar dimensi tiga.
Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada dimensi tiga tidaklah sulit, jika kita mengikuti step by step pembahasan yang kita diskusikan di bawah ini, maka kita akan dengan mudah memahami pembahasan soal dimensi tiga dan kita harapkan dapat meningkatkan daya nalar atau cara berpikir kita untuk menyelesaikan soal-masalah yang kita hadapi pada kehidupan sehari-hari.
Pada pelajaran matematika di SMP (Sekolah Menengah Pertama) materi dimensi tiga dibagi menjadi dua bagian umum yaitu bangun ruang sisi datar dan bangun ruang sisi lengkung. Pada catatan kita kali ini bangun ruang ini kita bagi menjadi tiga bagian berdasarkan cara menghitung volumenya, yaitu:
- Prisma, dimana Volumenya adalah $V=\text{Luas alas} \times \text{tinggi}$
- Limas, dimana Volumenya $V=\dfrac{1}{3} \times \text{Luas alas} \times \text{tinggi}$
- Bola, dimana Volumenya $V=\dfrac{4}{3} \times \pi r^{}$
Dimulai dari TITIK yang tidak berdimensi. GARIS dimensi satu yang hanya memiliki ukuran panjang. BIDANG dimensi dua yang memiliki dua ukuran yaitu panjang dan lebar. RUANG yang memiliki tiga ukuran yaitu panjang, lebar dan tinggi. Inilah salah satu alasan kenapa dikatakan dimensi tiga karena terbentuknya bangun ruang oleh tiga komponen yaitu $Panjang$, $Lebar$, $Tinggi$. Meskipun pada pelajaran fisika ketiga kompenen ini masih tergolong ke kelompok dimensi yang sama yaitu dimensi $L$ atau ($Long$).
Agar dapat menyelesaikan masalah yang berkembang tentang dimesi tiga dengan baik, maka ada baiknya kita sudah paham tentang materi pada dimensi dua terkhusus teorema pythagoras dan konsep jarak.
Beberapa catatab berikut ini mungkin kita pakai pada dimensi tiga terkhusus dalam menghitung jarak titik ke titik, atau jarak titik ke garis, dan jarak titik ke bidang.
TINGGI SEGITIGA dan LUAS SEGITIGA
Aturan dasar di atas diperoleh dengan menggunakan konsep dari luas segitiga, yaitu:
$\begin{align} \dfrac{c \times t}{2} &= \dfrac{a \times b}{2} \\ c \times t &= a \times b \\ t &= \dfrac{a \times b}{c} \end{align}$
TINGGI SEGITIGA SAMA SISI
Aturan dasar di atas diperoleh dengan menggunakan teorema pythagoras, yaitu:
$\begin{align} AB^{2} &= t^{2}+ \left( \frac{1}{2}AC \right)^{2} \\ a^{2} &= t^{2}+ \left( \frac{1}{2}a \right)^{2} \\ a^{2} &= t^{2}+ \frac{1}{4}a^{2} \\ t^{2} &= a^{2}- \frac{1}{4}a^{2} \\ t^{2} &= \frac{3}{4}a^{2} \\ t^{2} &= \sqrt{ \frac{3}{4}a^{2} } \\ t &= \dfrac{1}{2}a \sqrt{3} \end{align}$
TINGGI SEGITIGA dan ALAS SEGITIGA
Aturan dasar di atas diperoleh dengan menggunakan konsep teorema pythagoras, yaitu:
$\begin{align} a^{2} - x^{2} &= b^{2} - y^{2} \\ a^{2} - b^{2} &= x^{2} - y^{2} \\ a^{2} - b^{2} &= \left( x+y \right)\left( x-y \right) \\ a^{2} - b^{2} &= c \left( x-y \right) \\ \dfrac{a^{2} - b^{2}}{c} &= x-y \\ \dfrac{a^{2} - b^{2}}{c} &= x - \left( c-x \right) \\ \dfrac{a^{2} - b^{2}}{c} &= 2x - c \\ \dfrac{a^{2} - b^{2}}{c}+c &= 2x \\ \dfrac{a^{2}+c^{2} - b^{2}}{2c} &= x \end{align}$
BEBERAPA RUMUS JARAK DUA TITIK PADA KUBUS
Berikut ini coba kita gambarkan beberapa rumus jarak pada kubus dengan panjang rusuk kubus kita misalkan dengan $a$.
Beberapa jarak titik yang disampaikan di atas jika tidak hafal dapat ditemukan dengan mengggunakan menggunakan teorema pythagoras. Untuk lebih memahami lagi tentang masalah yang berkembang tentang dimensi tiga ini, kita coba diskusikan beberapa soal berikut yang kita sadur dari berbagai sumber tetapi masih dominan dari soal-soal Ujian Nasional (UN) atau seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN).
1. Soal UN Matematika IPA 2008 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $8\ cm$. Jarak titik $H$ ke garis $AC$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 8 \sqrt{3}\ cm \\ (B)\ & 8 \sqrt{2}\ cm \\ (C)\ & 4 \sqrt{6}\ cm \\ (D)\ & 4 \sqrt{3}\ cm \\ (E)\ & 4 \sqrt{2}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $H$ dan garis $AC$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $H$ ke $AC$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ACH$. Karena segitiga $ACH$ merupakan segitiga sama sisi, dimana sisinya $AH$, $AC$, dan $CH$ yang kita misalkan dengan $x$ merupakan diagonal sisi kubus, maka tinggi segitiga $ACH$ adalah:
$\begin{align} t &=\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{3} \\ &=\dfrac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \\ &=4 \sqrt{6} \end{align}$
Jika kita gunakan rumus jarak titik pada kubus pada keadaan tersebut, dapat digunakan $t=\dfrac{1}{2}a\sqrt{6}=4\sqrt{6}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4 \sqrt{6}$
2. Soal UN Matematika IPA 2009 |*Soal Lengkap
Kubus $ABCD\ EFGH$ mempunyai panjang rusuk $a$. Titik $K$ pada perpanjangan $DA$ sehingga $KA=\dfrac{1}{3}KD$. Jarak titik $K$ ke bidang $BDHF$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4}a \sqrt{2}\ cm \\ (B)\ & \dfrac{3}{4}a \sqrt{2}\ cm \\ (C)\ & \dfrac{2}{3}a \sqrt{3}\ cm \\ (D)\ & \dfrac{3}{4}a \sqrt{3}\ cm \\ (E)\ & \dfrac{5}{4}a \sqrt{3}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $K$ dan bidang $BFHD$ pada kubus $ABCD\ EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $K$ ke bidang $BFHD$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $BDK$ kita sebut $KK'$. Dari segitiga $BDK$ kita ketahui $DK=\dfrac{3}{2}a$, $BD=a\sqrt{2}$, dan $AB=a$.
Dengan menggunakan konsep dari luas segitiga maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot KK' &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot DK \\
a\sqrt{2} \cdot KK' &= a \cdot \dfrac{3}{2}a \\
KK' &= \dfrac{3a}{2\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{3a \sqrt{2} }{4}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{4}a \sqrt{2}\ cm$
3. Soal UN Matematika IPA 2010 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $4\ cm$. Titik $P$ adalah titik potong $AH$ dan $ED$ dan titik $Q$ adalah titik potong $FH$ dan $EG$. Jarak titik $B$ ke garis $PQ$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \sqrt{22}\ cm \\ (B)\ & \sqrt{21}\ cm \\ (C)\ & 2\sqrt{5}\ cm \\ (D)\ & \sqrt{19}\ cm \\ (E)\ & 3 \sqrt{2}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $P$ dan titik $Q$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $B$ ke garis $PQ$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $PBQ$, kita sebut $BB'$.
Dari kubus $ABCD.EFGH$ dapat kita ketahui $PB=\dfrac{1}{2}a\sqrt{6}$ dan $BQ=\dfrac{1}{2}a\sqrt{6}$ sehingga segitiga $PBQ$ adalah sama kaki dengan panjang kaki $PB=BW=2\sqrt{6}$.
Dari kubus $ABCD.EFGH$ dapat juga kita hitung $PQ$ dengan memisalkan segitiga $PQR$ seperti gambar berikut ini:
Karena $PBQ$ adalah segitiga sama kaki maka $BB'$ dapat kita hitung dengan menerapkan teorema pythagoras.
$\begin{align} BB'^{2} &= BP^{2}-PB'^{2} \\ &= \left( 2\sqrt{6} \right)^{2} - \left( \sqrt{2} \right)^{2} \\ &= 24 - 2 \\ BB' &= \sqrt{22} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{22}\ cm$
4. Soal UN Matematika IPA 2010 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6\ cm$. Jarak titik $A$ ke garis $CF$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6 \sqrt{3}\ cm \\ (B)\ & 6 \sqrt{2}\ cm \\ (C)\ & 3 \sqrt{3}\ cm \\ (D)\ & 3 \sqrt{2}\ cm \\ (E)\ & 3 \sqrt{6}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ dan garis $CF$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $A$ ke $CF$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ACF$. Karena segitiga $ACF$ merupakan segitiga sama sisi, dimana sisinya $AC$, $AF$, dan $CF$ yang kita misalkan dengan $x$ merupakan diagonal sisi kubus, maka tinggi segitiga $ACF$ adalah:
$\begin{align} t &=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{3} \\ &=\dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \\ &=3 \sqrt{6} \end{align}$
Jika kita gunakan rumus jarak titik pada kubus pada keadaan tersebut, dapat digunakan $t=\dfrac{1}{2}a\sqrt{6}=3\sqrt{6}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3 \sqrt{6}$
5. Soal UN Matematika IPA 2011 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $8\ cm$. $M$ adalah titik tengah $EH$. Jarak titik $M$ ke $AG$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 4 \sqrt{6}\ cm \\ (B)\ & 4 \sqrt{5}\ cm \\ (C)\ & 4 \sqrt{3}\ cm \\ (D)\ & 4 \sqrt{2}\ cm \\ (E)\ & 4\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $M$ dan garis $AG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $M$ ke garis $AG$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $AGM$. Karena segitiga $AGM$ merupakan segitiga sama kaki, dimana sisinya $MG=AM=\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{5}=4\sqrt{5}$ dan $AG=8\sqrt{3}$, maka tinggi segitiga $AGM$ adalah:
$\begin{align} t^{2} &=MG^{2}-\left( \frac{1}{2}AG \right)^{2} \\ &=\left( 4\sqrt{5} \right)^{2}-\left( 4\sqrt{3} \right)^{2} \\ &=80-48 \\ t &= \sqrt{32}= 4\sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4 \sqrt{2}\ cm$
6. Soal UN Matematika IPA 2012 |*Soal Lengkap
Kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$. Jarak titik $E$ ke bidang $BDG$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \sqrt{3}\ cm \\ (B)\ & \dfrac{3}{3} \sqrt{3}\ cm \\ (C)\ & \dfrac{4}{3} \sqrt{3}\ cm \\ (D)\ & \dfrac{8}{3} \sqrt{3}\ cm \\ (E)\ & \dfrac{16}{3} \sqrt{3}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $E$ dan bidang $BDG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $E$ ke bidang $BDG$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $BDG.E$ yang kita sebut $EO$. Pada gambar sebelah kanan dapat kita peroleh jarak titik $E$ ke $O$ adalah $\dfrac{2}{3}a\sqrt{3}$, sehingga dengan panjang rusuk $a=4$ maka kita peroleh $EO=\dfrac{8}{3} \sqrt{3}$
Jika tertarik untuk melihat perhitungan ini lebih lengkap silahkan dilihat pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{8}{3} \sqrt{3}\ cm$
7. Soal UN Matematika IPA 2013 |*Soal Lengkap
Jarak titik $A$ ke bidang $BCHE$ pada balok berikut ini adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{40}{3}\ cm \\ (B)\ & \dfrac{15}{2}\ cm \\ (C)\ & \dfrac{20}{3}\ cm \\ (D)\ & \dfrac{16}{3}\ cm \\ (E)\ & \dfrac{24}{5}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ dan bidang $BCHE$ pada balok $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $A$ ke bidang $BCHE$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $BCHE.A$ yang kita sebut $AA'$. Dari gambar juga kita ketahui $AA'$ merupakan tinggi segitiga siku-siku $ABE$.
Pada segitiga $ABE$ dengan menggunakan teorema pythagoras dapat kita ketahui $BE=10\ cm$. Dengan konsep luas segitiga pada segitiga siku-siku $ABE$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot BE \cdot AA' &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \\ 10 \cdot AA' &= 6 \cdot 8 \\ AA' &= \dfrac{48}{10} \\ &= \dfrac{24}{5} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{24}{5}\ cm $
8. Soal UN Matematika IPA 2014 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $9\ cm$. Jika titik $T$ terletak pada pertengahan garis $HF$. Jarak titik $A$ ke garis $CT$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5\sqrt{3}\ cm \\ (B)\ & 6\sqrt{2}\ cm \\ (C)\ & 6\sqrt{3}\ cm \\ (D)\ & 6\sqrt{6}\ cm \\ (E)\ & 7\sqrt{3}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $T$ dan garis $CT$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $A$ ke garis $CT$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ACT$ yang kita sebut $AA'$.
Dengan panjang rusuk kubus $a=9$, maka $AT=\dfrac{9}{2}\sqrt{6}$, $CT=\dfrac{9}{2}\sqrt{6}$ dan $AC=9\sqrt{2}$. Dengan konsep luas segitiga pada segitiga siku-siku $ATC$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot CT \cdot AA' &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot OT \\ \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \cdot AA' &= 9\sqrt{2} \cdot 9 \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot AA' &= 9 \\ AA' &= \dfrac{18}{\sqrt{3}} \\ &= 6\sqrt{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6\sqrt{3}\ cm$
9. Soal UN Matematika IPA 2014 |*Soal Lengkap
Diketahui limas beraturan $T.ABCD$ dengan $ABCD$ adalah persegi yang memiliki panjang $AB = 4\ cm$ dan $TA = 6\ cm$. Jarak titik $C$ ke garis $AT=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{11}{4}\sqrt{14}\ cm \\ (B)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt{14}\ cm \\ (C)\ & \dfrac{3}{4}\sqrt{14}\ cm \\ (D)\ & \dfrac{4}{3}\sqrt{14}\ cm \\ (E)\ & \dfrac{3}{2}\sqrt{14}\ cm \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $C$ dan garis $AT$ pada limas $T.ABCD$ seperti berikut ini:
Jarak titik $C$ ke garis $AT$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ACT$ yang kita sebut $CC'$.
Dengan panjang $AC=4\sqrt{2}$, $AT=CT=6$, kita dapat menghitung $OT$ yaitu:
$\begin{align} OT^{2} &=CT^{2}-OC^{2} \\ &=6^{2}-\left( 2\sqrt{2} \right)^{2} \\ &=36-8 \\ t &= \sqrt{28}= 2\sqrt{7} \end{align}$
Dengan konsep luas segitiga pada segitiga $ATC$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot AT \cdot CC' &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot OT \\ 6 \cdot CC' &= 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{7} \\ CC' &= \dfrac{8}{6}\sqrt{14} \\ &= \dfrac{4}{3}\sqrt{14} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\sqrt{14}\ cm$
10. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2020 |*Soal Lengkap
Ke dalam sebuah wadah berbentuk balok berukuran $4\ cm \times 10\ cm \times 14\ cm$ diisi air sebanyak $220\ cm^{3}$. Kemudian balok tersebut dimiringkan sehingga luas permukaan air dalam wadah semakin besar (lihat gambar). Luas permukaan air adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 40\ cm^{2} \\
(B)\ & 50\ cm^{2} \\
(C)\ & 60\ cm^{2} \\
(D)\ & 65\ cm^{2} \\ (E)\ & 70\ cm^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
V & = \left[ ADMN \right] \cdot AB \\
220 & = \left[ ADMN \right] \cdot 10 \\
22 & = \left[ ADMN \right]
\end{align}$
Dengan $\left[ ADMN \right]=22$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
[ADMN] & = \dfrac{(DM+AN) \cdot AD}{2} \\
22 & = \dfrac{(DM+AN) \cdot 4}{2} \\
11 & = DM+AN
\end{align}$
Pada soal diketahui $AN=7$ sehingga $DM=4$ dan $PN=3$.
Untuk $PN=3$ dan $MP=4$, jika kita gunakan teorema pythagoras maka kita peroeh $MN=5$.
Luas permukaan air setelah dimiringkan adalah:
$\begin{align}
\left[ MNKL \right] & = MN \times KN \\
& = 5 \times 10 = 50
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 50\ cm^{2}$
11. Soal Masuk SMA Unggul DEL 2018 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut:
Diketahui $ABCD$ dan $CEGH$ adalah dua persegi panjang kongruen dengan panjang $17$ cm dan lebar $8$ cm. Titik $F$ adalah titik potong sisi $AD$ dan $EG$. Luas segiempat $EFDC$ adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 74,00 \\
(B)\ & 72,25 \\
(C)\ & 70,15 \\
(D)\ & 70,00 \\
(E)\ & 68,00
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$ABCD$ dan $CEGH$ adalah dua persegi panjang kongruen sehingga panjang $EC=CD=12$
Dengan menggunakan teorema pythagoras pada $\bigtriangleup EBC$, kita peroleh:
$\begin{align}
BE &= \sqrt{EC^{2}-BC^{2}} \\
BE &= \sqrt{17^{2}-8^{2}} \\
BE &= \sqrt{289-64} \\
BE &= \sqrt{225}=15 \\
AE &= 2
\end{align}$
Dengan cara yang sama pada $\bigtriangleup DHC$ dapat kita hitung $HD=15$ dan $DG=2$
$\begin{align}
\dfrac{AE}{GD} & = \dfrac{EF}{FD} \\
\dfrac{2}{2} & = \dfrac{\sqrt{x^{2}+4}}{8-x} \\
\sqrt{x^{2}+4} & = 8-x \\
sama-sama &\ dikuadratkan \\
x^{2}+4 & = x^{2}-16x+64 \\
16x & = 60 \\
x & = \dfrac{15}{4}=3,75 \\
\end{align}$
Luas daerah yang diarsir adalah $[CEI]+[DIEA]-[AEF]$
$=\dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 + 2 \cdot 8 - \dfrac{1}{2} \cdot 3,75 \cdot 2$
$=60+ 16 -3,75$
$=72,25$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 72,25$
12. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap
Kamar Akbar berbentuk balok dengan ukuran panjang : lebar : tinggi=5:5:4. Di langit-langit kamar terdapat lampu yang letaknya tepat pada pusat bidang langit-langit. Pada salah dinding kamar dipasang saklar yang letaknya tepat di tengah-tengah dinding. Jarak saklar ke lampu adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3}{2}\ m \\ (B)\ & \dfrac{5}{2}\ m \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{34}\ m \\ (D)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{41}\ m \\ (E)\ & \sqrt{14}\ m \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Ukuran kamar Akbar yang berbentuk balok masih dalam bentuk perbandingan, sehingga kita bisa dapat memisalkan ukuran panjangnya menjadi $panjang=5x$; $lebar=5x$ dan $tinggi=4x$.
Lampu berada pada titik tengah langit-langit dan saklar berada pada titik tengah dinding, ilustrasi saklar dan lampu kurang lebih seperti gambar berikut;
Jarak lampu dan saklar adalah;
$\begin{align}
d &=\sqrt{(\dfrac{5}{2}x)^{2}+(2x)^{2}} \\
&=\sqrt{\dfrac{25}{4}x^{2}+4x^{2}} \\
&=\sqrt{\dfrac{25}{4}x^{2}+\dfrac{16}{4}x^{2}} \\
&=\sqrt{\dfrac{41}{4}x^{2}} \\
&=\dfrac{1}{2}\sqrt{41} x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{41}$
13. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $PQRS.TUVW$ seperti pada gambar berikut!
Jarak antara titik $W$ dan titik tengah $PR$ adalah...
$(A)\ 6\sqrt{3}$
$(B)\ 6\sqrt{2}$
$(C)\ 3\sqrt{6}$
$(D)\ 3\sqrt{3}$
$(E)\ 3\sqrt{2}$
Alternatif Pembahasan:
Kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $6$, Jarak titik $W$ ke titik tengah garis $PR$
Dengan memperhatikan $W$ dan garis $PR$ maka kita bisa mendapatkan sebuah segitiga $WPR$ dimana segitiga $WPR$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi adalah diagonal sisi $(6\sqrt{2})$. Karena $WPR$ adalah segitiga sama sisi maka besar sudut $PWR=60^{\circ}$
Dengan memperhatikan segitiga $WPR$, jarak titik $W$ ke titik tengah garis $PR$ adalah tinggi segitiga $WPR$;
$ \begin{align}
[WPR] & = [WPR] \\
\dfrac{1}{2} \cdot WP \cdot WR \cdot sin\ PWR & = \dfrac{1}{2} \cdot PR \cdot WW' \\
6 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot sin\ 60^{\circ} & = 6\sqrt{2} \cdot WW' \\
6\sqrt{2} \cdot sin\ 60^{\circ} & = WW' \\
6\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = WW' \\
3\sqrt{6} & = WW'
\end{align}$
(*Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3\sqrt{6}$
14. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
$\begin{align} (A)\ & 18\pi+18 \\ (B)\ & 18\pi-18 \\ (C)\ & 14\pi+14 \\ (D)\ & 14\pi-15 \\ (E)\ & 10\pi+10 \end{align}$
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://3.bp.blogspot.com/-XaFgpFmzupg/WabIatsvXNI/AAAAAAAALoM/YW-_XuvRbWQlAJLs7gWY7Sj6kjysP5OSQCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
Alternatif Pembahasan:
Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://1.bp.blogspot.com/-V4zD4q6coLA/WabLWH7IENI/AAAAAAAALoY/a3Vo47diixwDkAO2gg9NETEBOb-zobNDgCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut;
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://1.bp.blogspot.com/-DUFaYEpf7IQ/WabN4xjQwtI/AAAAAAAALok/Zz3XTWTvCkoP5enNZw2u-Z4-0m7SsVKdwCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran%2B2.png "Luas Arsiran")
Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil.
$\begin{split}L_{Biru} & = \dfrac{1}{2} \pi r^{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2} = \dfrac{1}{2} \pi (18)\\ & = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://2.bp.blogspot.com/-lz2YMcWBLQQ/WabWzJh6MSI/AAAAAAAALo0/IgFr0sybGm0HdGCg95D_fGBdryN7H0nDgCLcBGAs/s600/Lingkaran%2BSoal%2BSBMPTN%2BLuas%2BArsiran%2B3.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
$\begin{split}
L_{Juring\ ABC} & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi 36 = 9 \pi
\end{split}$
$\begin{split}
L_{ABC} & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\ & = 18 \\ \hline
L_{Tembereng} & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran adalah $ L_{Biru} +L_{Tembereng}$ yaitu $9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$
15. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap
Diberikan sebuah segitiga siku-siku $ABC$ yang siku-siku di $B$ dengan $AB=6$ dan $BC=8$. Titik $M,N$ berturut-turut berada pada sisi $AC$ sehingga $AM:MN:NC=1:2:3$. Titik $P$ dan $Q$ secara berurutan berada pada sisi $AB$ dan $BC$ sehingga $AP$ tegak lurus $PM$ dan $BQ$ tegak lurus $QN$. Luas segiempat $PMNQ$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9\dfrac{1}{3} \\ (B)\ & 8\dfrac{1}{3} \\ (C)\ & 7\dfrac{1}{3} \\ (D)\ & 6\dfrac{1}{3} \\ (E)\ & 5\dfrac{1}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita ilustrasikan gambar yang disampaikan pada soal kurang lebih seprti berikut ini;
Pada $\bigtriangleup ABC$ berlaku teorema pythagoras,
$ \begin{align}
AC^{2} & = AB^{2}+BC^{2} \\
& = 6^{2}+8^{2} \\
& = 100 \\
AC & = 10
\end{align} $
Perbandingan $AM:MN:NC=1x:2x:3x$ sehingga $AM=\dfrac{1}{6} \times 10=\dfrac{5}{3}$, $MN=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$ dan $NC=\dfrac{30}{6}=5$.
Dari gambar juga dapat kita simpulkan bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup NQC$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{QN}{NC} & = \dfrac{BA}{AC} \\
\dfrac{QN}{5} & = \dfrac{6}{10} \\
NQ & = \dfrac{6}{10} \times 5 = 3 \\
\hline
\dfrac{QC}{CN} & = \dfrac{BC}{CA} \\
\dfrac{QC}{5} & = \dfrac{8}{10} \\
QC & = \dfrac{8}{10} \times 5 = 4 \\
BQ & = 8-4=4
\end{align} $
Dari gambar juga dapat kita simpulkan bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup APM$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{PM}{MA} & = \dfrac{BC}{CA} \\
\dfrac{PM}{\dfrac{5}{3}} & = \dfrac{8}{10} \\
PM & = \dfrac{8}{10} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3} \\
\hline
\dfrac{PA}{AM} & = \dfrac{BA}{AC} \\
\dfrac{PA}{\dfrac{5}{3}} & = \dfrac{6}{10} \\
PA & = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{3} = 1 \\
BP & = 6-1=5 \\
\hline
\dfrac{PM}{PA} & = \dfrac{BC}{BA} \\
PM & = \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3} \\
\end{align} $
Dari data-data yang kita peroleh diatas;
$ \begin{align}
[ABC] & = \dfrac{1}{2}(AB)(BC)=24 \\
[NQC] & = \dfrac{1}{2}(NQ)(QC)=6 \\
[APM] & = \dfrac{1}{2}(AP)(PM)=\dfrac{2}{3} \\
[PBQ] & = \dfrac{1}{2}(BP)(BQ)=10 \\
[PMNQ] & = [ABC]-[NQC]-[APM]-[PBQ] \\
& = 24-6-\dfrac{2}{3}-10 \\
& = 7\dfrac{1}{3}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7\dfrac{1}{3}$
16. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6\ cm$. Titik $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ berturut-turut merupakan titik tengah rusuk $EH,\ BF,\ \text{dan}\ CG$. Jarak titik $P$ ke garis $QR$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \sqrt{7}\ cm \\ (B)\ & 3 \sqrt{6}\ cm \\ (C)\ & 3 \sqrt{5}\ cm \\ (D)\ & 3 \sqrt{3}\ cm \\ (E)\ & 2 \sqrt{3}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ R$ seperti berikut ini:
Dari gambar di atas jarak titik $P$ ke garis $QR$ adalah jarak titik $P$ ke $S$ atau panjang ruas garis $PS$. Dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga $PTS$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
PS^{2} &= PT^{2}+TS^{2} \\
&= 6^{2}+3^{2} \\
&= 36+9 \\
&= 45 \\
PS &= \sqrt{45} \\
&= 3 \sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3 \sqrt{5}\ cm$
17. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $3\ cm$. Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{2}\ cm \\ (B)\ & \sqrt{3}\ cm \\ (C)\ & 2 \sqrt{2}\ cm \\ (D)\ & 2 \sqrt{3}\ cm \\ (E)\ & 3 \sqrt{3}\ cm
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $C$ dan bidang $BDG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $C.BDG$ yang kita sebut $CO$. Pada gambar sebelah kanan dapat kita peroleh jarak titik $C$ ke $O$ adalah $\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}$, sehingga dengan panjang rusuk $a=3$ maka kita peroleh $CO=\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}$
Jika tertarik untuk melihat perhitungan ini lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas atau Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang (Geometri)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{3}\ cm$
18. Soal UTBK- SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\ cm$. Jika $P$ titik tengah $AB$, $Q$ titik tengah $CG$, dan $R$ terletak pada $PD$ sehingga $QR$ tegak lurus dengan $PD$, maka panjang $QR$ adalah...$cm$
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{\dfrac{21}{5}} \\ (B)\ & \sqrt{\dfrac{21}{6}} \\ (C)\ & \sqrt{\dfrac{21}{9}} \\ (D)\ & \sqrt{\dfrac{21}{12}} \\ (E)\ & \sqrt{\dfrac{21}{15}} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ R$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh:
- $AP=1$ dan $AD=2$ maka $DP=\sqrt{5}$
- $CQ=1$ dan $CD=2$ maka $DQ=\sqrt{5}$
- $PB=1$ dan $BC=2$ maka $PC=\sqrt{5}$
- $CQ=1$ dan $PC=\sqrt{5}$ maka $PQ=\sqrt{6}$
Panjang $QR$ coba kita hitung dengan menggunakan luas segitiga.
$\begin{align}
[DPQ] &= [DPQ] \\ \dfrac{1}{2} \cdot DP \cdot QR &= \dfrac{1}{2} \cdot QP \cdot DS \\ \sqrt{5} \cdot QR &= \sqrt{6} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{14} \\ QR &= \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{5}} \\ QR &= \sqrt{\dfrac{21}{5}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{\dfrac{21}{5}}$
19. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $12\ cm$. Jarak dari titik $A$ ke bidang $CDEF$ sama dengan jarak titik $A$ ke...
$\begin{align}
(A)\ & \text{titik tengah}\ \overline{ED} \\ (B)\ & \text{titik tengah}\ \overline{EF} \\ (C)\ & \text{titik pusat bidang}\ CDEF \\ (D)\ & \text{titik}\ E \\ (E)\ & \text{titik}\ D
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Ilustrasi kubus $ABCD.EFGH$ dengan titik $A$ dan bidang $CDEF$ jika kita gambarkan seperti berikut ini:
Pada gambar di atas titik $A$ adalah titik awal, dan jika titik $A$ kita proyeksikan ke bidang $CDEF$ diperoleh titik sekutu yang menembus bidang di titik kita misalkan $M$. Jarak titik $M$ ke $A$ atau panjang $AM$ adalah jarak titik $A$ ke bidang $CDEF$.
Titik $M$ berada pada $DE$, garis $AM$ adalah garis proyeksi pada bidang $CDEF$ sehingga $AM$ tegak lurus $DE$.
Jika garis $AM$ diperpanjang, sampai pada titik $H$ sehingga $M$ adalah titik potong diagonal $AH$ dan $DE$ sehingga $M$ merupakan titik tengah $ED$.
Jarak titik $A$ ke bidang $CDEF$ adalah $AM$ sama dengan jarak titik $A$ ke titik tengah $ED$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \text{titik tengah}\ \overline{ED}$
20. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Jika luas bidang diagonal suatu kubus adalah $36\sqrt{2}\ cm^{2}$, panjang diagonal ruang kubus adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 18\sqrt{3}\ cm \\ (B)\ & 15\sqrt{3}\ cm \\ (C)\ & 12\sqrt{3}\ cm \\ (D)\ & 9\sqrt{3}\ cm \\ (E)\ & 6\sqrt{3}\ cm \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Bidang diagonal kubus adalah bidang yang dibentuk oleh dua diagonal bidang yang sejajar pada kubus. Contohnya dapat kita perhatikan pada gambar berikut ini yaitu bidang $CDEF$.
Luas bidang diagonal kubus adalah $36\sqrt{2}\ cm^{2}=\text{diagonal bidang}\ \times \text{rusuk} $, sehingga berlaku:
$\begin{align}
36\sqrt{2} & = a\sqrt{2} \times a \\
36\sqrt{2} & = a^{2}\sqrt{2} \\
36 & = a^{2} \\
6 & = a
\end{align}$
Diagonal ruang adalah $a\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6\sqrt{3}\ cm$
21. Soal UN Matematika IPA 2015 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$. Jika titik $M$ adalah titik tengah $AB$. Jarak titik $E$ ke $CM$ sama dengan...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{5}\sqrt{30}\ cm \\ (B)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt{30}\ cm \\ (C)\ & 2\sqrt{5}\ cm \\ (D)\ & 2\sqrt{3}\ cm \\ (E)\ & 2\sqrt{2}\ cm \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $E$ dan garis $CM$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Disini kita anggap $CM$ merupakan ruas garis sehingga jarak titik $A$ ke $CM$ dari gambar di atas merupakan jarak titik $E$ ke titik $M$ yaitu $\dfrac{1}{2}a\sqrt{5}$ untuk $a=4$ kita peroleh jarak titik $A$ ke $CM$ adalah $2\sqrt{5}$.
Jika kita anggap $CM$ merupakan garis sehingga jarak titik $A$ ke garis $CM$ dari gambar di atas merupakan jarak titik $E$ ke titik $E'$. Untuk meghitung $EE'$ kita gunakan konsep luas segitiga. $MM'$ dapat kita hitung dengan teorema pythagoras pada segitiga $MM'C$ yaitu $MM'=2\sqrt{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot CM \cdot EE' &= \dfrac{1}{2} \cdot EC \cdot MM' \\ 2\sqrt{5} \cdot EE' &=4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} \\ EE' &= \dfrac{4\sqrt{30}}{\sqrt{5}} \\ AA' &= \dfrac{4}{5}\sqrt{30} \end{align}$
Karena pada soal disebutkan jarak titik $E$ ke $CM$, bukan jarak titik $E$ ke garis $CM$ sehingga pilihan akhir yang kita pakai untuk soal ini adalah $2\sqrt{5}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\sqrt{5}\ cm$
22. Soal UN Matematika IPA 2015 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$. Jika titik $N$ tengah-tengah $AE$. Jarak titik $H$ ke $BN$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{2}\ cm \\ (B)\ & 2\sqrt{3}\ cm \\ (C)\ & 2\sqrt{5}\ cm \\ (D)\ & \dfrac{2}{3}\sqrt{30} \ cm \\ (E)\ & \dfrac{4}{5}\sqrt{30}\ cm \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $H$ dan garis $BN$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Disini kita anggap $BN$ merupakan ruas garis sehingga jarak titik $H$ ke $BN$ dari gambar di atas merupakan jarak titik $H$ ke titik $N$ yaitu $\dfrac{1}{2}a\sqrt{5}$ untuk $a=4$ kita peroleh jarak titik $H$ ke $BN$ adalah $2\sqrt{5}$.
Jika kita anggap $BN$ merupakan garis sehingga jarak titik $H$ ke garis $BN$ dari gambar di atas merupakan jarak titik $H$ ke titik $H'$. Untuk meghitung $HH'$ kita gunakan konsep luas segitiga. $HH'$ dapat kita hitung dengan teorema pythagoras pada segitiga $BNN'$ yaitu $HH'=2\sqrt{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot BH' \cdot HH' &= \dfrac{1}{2} \cdot BH \cdot NN' \\ 2\sqrt{5} \cdot HH' &=4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} \\ HH' &= \dfrac{4\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \\ HH' &= \dfrac{4}{5}\sqrt{30} \end{align}$
Karena pada soal disebutkan jarak titik $H$ ke $BN$, bukan jarak titik $H$ ke garis $BN$ sehingga pilihan akhir yang kita pakai untuk soal ini adalah $2\sqrt{5}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2\sqrt{5}\ cm$
23. Soal UN Matematika IPA 2016 |*Soal Lengkap
Diketahui limas segiempat beraturan $T.ABCD$ dengan $AB = BC = 5 \sqrt{2}\ cm$ dan $TA = 13\ cm$. Jarak titik $A$ ke garis $TC$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 4\dfrac{8}{13}\ cm \\ (B)\ & 4\dfrac{12}{13}\ cm \\ (C)\ & 9\dfrac{3}{13}\ cm \\ (D)\ & 10\ cm \\ (E)\ & 12\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ dan garis $TC$ pada limas $T.ABCD$ seperti berikut ini:
Jarak titik $A$ ke garis $TC$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ACT$ yang kita sebut $AA'$.
Dengan panjang $AC=10$, $AT=CT=13$, kita dapat menghitung $OT$ yaitu:
$\begin{align} OT^{2} &=CT^{2}-OC^{2} \\ &=13^{2}-5^{2} \\ &=169-25 \\ t &= \sqrt{144}= 12 \end{align}$
Dengan konsep luas segitiga pada segitiga $ATC$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot CT \cdot AA' &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot OT \\ 13 \cdot AA' &= 10 \cdot 12 \\ AA' &= \dfrac{120}{13} \\ &= 9\dfrac{3}{13} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9\dfrac{3}{13}\ cm$
24. Soal UN Matematika IPA 2017 |*Soal Lengkap
Diketahui limas beraturan $T.ABCD$. Panjang rusuk tegak dan panjang rusuk alas $4\ cm$. Jarak titik $A$ ke garis $TB$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{2}\ cm \\ (B)\ & 2\sqrt{3}\ cm \\ (C)\ & 4\ cm \\ (D)\ & 4\sqrt{2}\ cm \\ (E)\ & 4\sqrt{3}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $A$ dan garis $TB$ pada limas $T.ABCD$ seperti berikut ini:
Jarak titik $A$ ke garis $TB$ dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga $ABT$ yang kita sebut $AA'$.
Karena segitiga $ABT$ adalah segitiga sama sisi, maka tinggi segitiga dapat kita hitung dengan teorema pythagoras yaitu $\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}$. Sehingga dengan $a=4$ kita peroleh $AA'=2\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{3}\ cm$
25. Soal UN Matematika IPA 2017 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $KLMN.OPQR$ dengan panjang rusuk $6\ cm$. Jarak titik $M$ ke bidang $LNQ$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \sqrt{2}\ cm \\ (B)\ & \sqrt{3}\ cm \\ (C)\ & 2 \sqrt{2}\ cm \\ (D)\ & 2 \sqrt{3}\ cm \\ (E)\ & 3 \sqrt{3}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $M$ dan bidang $LNQ$ pada kubus $KLMN.OPQR$ seperti berikut ini:
Jarak titik $M$ ke bidang $LNQ$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $M.LNQ$ yang kita sebut $AM$. Pada gambar sebelah kanan dapat kita peroleh jarak titik $A$ ke $M$ adalah $\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}$, sehingga dengan panjang rusuk $a=6$ maka kita peroleh $AM=\dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$
Jika tertarik untuk melihat perhitungan ini lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas atau Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri]
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{3}\ cm$
26. Soal UNBK Matematika IPA 2018 |*Soal Lengkap
Sudut antara garis $AC$ dengan $DG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $a\ cm$ adalah...
$\begin{align} (A)\ 30^{\circ} \\ (B)\ 45^{\circ} \\ (C)\ 60^{\circ} \\ (D)\ 75^{\circ} \\ (E)\ 90^{\circ} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$, garis $DG$ dan garis $AC$, kurang lebih seperti berikut ini;
Berdasarkan gambar diatas, garis $AC$ dan garis $DG$ adalah dua garis bersilangan. Untuk membentuk sudut dua garis yang bersilangan, maka kita harus mengusahakan kedua garis berpotongan pada satu titik. Dengan menggeser salah satu garis atau keduanya sehingga berpotongan pada satu titik.
Untuk kasus ini, kita coba geser garis $DG$ ke titik $A$, sehingga garsi $AC$ dan $DG$ berpotongan di titik $A$. Sudut antara garis $AC$ dan $DG$ adalah sudut $CAF$. Sebagai ilustrasi, kurang lebih seperti gambar berikut ini;
Besar sudut $CAF$ bisa kita tentukan dengan bantuan segitiga $ACF$.
Segitiga $ACF$ adalah segitiga sama sisi karena sisi segitiga tersebut adalah diagonal sisi kubus yang besarnya $a\sqrt{2}$. Karena segitiga $ACF$ adalah sama sisi maka besar ketiga sudutnya sama besar yaitu $60^{\circ}$.
Besar sudut antara garis $AC$ dengan $DG$ adalah $\measuredangle CAF=60^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$
27. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
Berikut ini adalah pernyataan-pernyataan tentang kubus $ABCD.EFGH$ dengan $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ berturut-turut titik-titik tengah rusuk $AB,\ DC,\ \text{dan}\ HG$.
(1) Ruas garis $PH$ dan $QE$ berpotongan.
(2) Ruas garis $RC$ dan $PC$ tidak tegak lurus.
(3) Ruas garis $ER$ dan $PC$ tidak sejajar.
(4) Segitiga $PCR$ sama sisi.
Pernyataan-pernyataan yang benar adalah...
$(A)\ (1)\ \text{dan}\ (2)$
$(B)\ (1)\ \text{dan}\ (3)$
$(C)\ (2)\ \text{dan}\ (3)$
$(D)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$
$(E)\ (3)\ \text{dan}\ (4)$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ kurang lebih seperti berikut ini;
(1) Ruas garis $PH$ dan $QE$ berpotongan: Benar.
(2) Ruas garis $RC$ dan $PC$ tidak tagak lurus: Benar.
(3) Ruas garis $ER$ dan $PC$ tidak sejajar: Salah.
(4) Segitiga $PCR$ sama sisi: Salah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1)\ \text{dan}\ (2)$
28. Soal UNBK Matematika IPS 2018 |*Soal Lengkap
Kubus $PQRS.TUVW$ memiliki panjang rusuk $10\ cm$, sudut antara $PV$ dan bidang $PQRS$ adalah $\theta$, Nilai $cos\ \theta$ adalah...
$(A)\ \dfrac{1}{2} \sqrt{2}$
$(B)\ \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$
$(C)\ \dfrac{1}{3} \sqrt{2}$
$(D)\ \dfrac{1}{3} \sqrt{3}$
$(E)\ \dfrac{1}{3} \sqrt{6}$
Alternatif Pembahasan:
Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $10$, Sudut garis $PV$ dan bidang $PQRS$, kurang lebih seperti berikut ini;
Sudut antara garis $PV$ dan bidang $PQRS$ adalah sudut antara garis $PV$ dengan garis proyeksi $PV$ garis pada bidang $PQRS$.
Pada soal diatas dan jika kita perhatikan gambar, proyeksi garis $PV$ adalah $PR$, sehingga;
$cos\ \theta = \dfrac{PR}{PV}$, dimana $PR$ adalah diagonal bidang $(PR=10\sqrt{2})$ dan $PV$ adalah diagonal ruang $(PV=10\sqrt{3})$.
$ \begin{align}
cos\ \theta & = \dfrac{PR}{PV} \\
& = \dfrac{10\sqrt{2}}{10\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \\
& = \dfrac{1}{3}\sqrt{6}
\end{align} $
(*Coba latih lagi jarak titik ke titik, garis dan bidang, Soal: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013]).
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{3}\sqrt{6}$
29. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $AB=\sqrt{15}$ cm dan $AD=\sqrt{5}$ cm. Jika $E$ merupakan titik potong diagonal persegi panjang tersebut, maka besar $\angle BEC$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ 30^{\circ} \\ (B)\ 45^{\circ} \\ (C)\ 60^{\circ} \\ (D)\ 75^{\circ} \\ (E)\ 90^{\circ} \end{align} $
Alternatif Pembahasan:
Ilustrasi gambar persegi panjang $ABCD$ dan unsur-unsur yang diketahui kurang lebih seperti berikut ini:
Pada $\bigtriangleup ABD$ berlaku teorema pythagoras,
$ \begin{align}
BD^{2} & = AB^{2}+AD^{2} \\
& = (\sqrt{15})^{2}+(\sqrt{5})^{2} \\
& = 15+5 \\
BD & = \sqrt{20} \\
BD & = 2\sqrt{5}
\end{align} $
Karena $E$ adalah titik potong diagonal maka $BE=ED=EC=AE= \sqrt{5}$ dan $BC= \sqrt{5}$, sehingga $\bigtriangleup ABD$ adalah segitiga sama sisi maka besar ketiga sudutnya adalah sama yaitu $ \angle BEC= 60^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$
30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Sebuah balok $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $AB=8$ dan $BC=CG=6$. Jika titik $P$ terletak di tengah rusuk $AB$ dan $\theta$ adalah sudut antara $EP$ dan $PG$, maka nilai $cos\ \theta$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{\sqrt{286}} \\ (B)\ & \dfrac{5}{\sqrt{286}} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{-3}{\sqrt{286}} \\ (E)\ & \dfrac{-5}{\sqrt{286}} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan Balok $ABCD.EFGH$, titik $P$ dan sudut $\theta$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh:
- $AP=4$ dan $AE=6$ maka $EP=2\sqrt{13}$
- $PB=4$ dan $BC=6$ maka $PC=2\sqrt{13}$
- $PC=2\sqrt{13}$ dan $CG=6$ maka $PG=2\sqrt{22}$
- $EF=8$ dan $FG=6$ maka $EG=10$
Sudut $\theta$ pada $\bigtriangleup EPG$ adalah sudut antara $EP$ dan $PG$, dapat kita hitung dengan menggunakan aturan cosinus:
$\begin{align}
EG^{2} &= EP^{2}+PG^{2}- 2 \cdot EP \cdot PG\ cos\ \theta \\
cos\ \theta &= \dfrac{EP^{2}+PG^{2}-EG^{2}}{2 \cdot EP \cdot PG} \\
&= \dfrac{\left( 2\sqrt{13} \right)^{2}+\left( 2\sqrt{22} \right)^{2}-\left( 10 \right)^{2}}{2 \cdot 2\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{22}} \\
&= \dfrac{52+88-100}{8 \sqrt{286}} \\
&= \dfrac{40}{8 \sqrt{286}} \\
&= \dfrac{5}{\sqrt{286}} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5}{\sqrt{286}}$
31. Soal UTBK- SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=12\ cm$ dan $BC=18\ cm$ dan $CG=20\ cm$. $T$ adalah titik tengah $AD$. Jika $\theta$ adalah sudut antara garis $GT$ dengan bidang $ABCD$, maka nilai $cos\ \theta$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{2}{5} \\ (C)\ & \dfrac{3}{5} \\ (D)\ & \dfrac{4}{5} \\ (E)\ & \dfrac{5}{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan Balok $ABCD.EFGH$, titik $T$ dan sudut $\theta$ seperti berikut ini:
Dari informasi pada gambar dan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
TC^{2} &= DT^{2}+CD^{2} \\
TC^{2} &= 9^{2}+12^{2} \\
TC &= \sqrt{225}=15 \\
\hline
TG^{2} &= TC^{2}+CG^{2} \\
TG^{2} &= (\sqrt{225})^{2}+20^{2} \\
TG &= \sqrt{225 +400}=25 \\
\end{align}$
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
cos\ \theta &= \dfrac{TC}{TG} \\
&= \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{5}$
32. Soal UMB-PTN 2014 Kode 583 |*Soal Lengkap
Gambar di atas adalah prisma tegak dengan alas segitiga $ABC$ sama sisi. Jika $AB=BE=1$, maka volume limas $E.ACF$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{12}\sqrt{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{6}\sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{4}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{12}\sqrt{6} \\ (E)\ & \dfrac{1}{6}\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Volume Limas $E.ACF$ adalah:
$ \begin{align}
V & = \dfrac{1}{3} \cdot \text{luas alas} \cdot \text{tinggi} \\
& = \dfrac{1}{3} \cdot \left[ ACF \right] \cdot \text{tinggi}
\end{align}$
Tinggi Limas $E.ACF$ jarak titik $E$ ke bidang $ACF$ atau $ACFD$ yang sama dengan jarak titik $E$ ke $DF$. Karena segitiga $EDF$ adalah sama sisi dengn panjang sisi $a=1$, maka tingginnya adalah $\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
Luas alas segitiga siku-siku $ACF$ adalah:
$ \begin{align}
\left[ ACF \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot CF \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Volume Limas $E.ACF$ adalah:
$ \begin{align}
V & = \dfrac{1}{3} \cdot \left[ ACF \right] \cdot \text{tinggi} \\
& = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
& = \dfrac{1}{12}\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{12}\sqrt{3}$
33. Soal SBMPTN 2014 Kode 514 |*Soal Lengkap
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$. Titik $P$, $Q$, $R$ dan $S$ masing-masing pada $AB$, $BC$, $CD$, dan $AD$ sehingga $BP=CR=\dfrac{AB}{3}$ dan $QC=DS=\dfrac{AD}{3}$. Volume limas $E.PQRS$ adalah...volume kubus
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{6} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{2}{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan limas $E.PQRS$ yang kita misalkan panjang rusuk kubus $a$ adalah seperti berikut ini:
Volume Limas $E.PQRS$ adalah:
$ \begin{align}
V & = \dfrac{1}{3} \cdot \text{luas alas} \cdot \text{tinggi} \\
& = \dfrac{1}{3} \cdot \left[ PQRS \right] \cdot \text{AE}
\end{align}$
Dari gambar persegi $ABCD$ kita peroleh luas $\left[ PQRS \right]$, yaitu:
$ \begin{align}
\left[ PQRS \right] & = \left[ ABCD \right] - \left[ APS \right] - 2\left[ BPQ \right]- \left[ RCQ \right] \\
& = a^{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}a cdot \dfrac{2}{3}a - 2\left( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}a \cdot \dfrac{2}{3}a \right)- \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}a \cdot \dfrac{1}{3}a \\
& = a^{2} - \dfrac{4}{18}a^{2} - \dfrac{2}{9}a^{2} - \dfrac{1}{18}a^{2} \\
& = a^{2} - \dfrac{9}{18}a^{2} = \dfrac{1}{2}a^{2}
\end{align}$
Volume Limas $E.PQRS$ adalah:
$ \begin{align}
V & = \dfrac{1}{3} \cdot \left[ PQRS \right] \cdot \text{AE} \\
& = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}a^{2} \cdot a \\
& = \dfrac{1}{6} \cdot a^{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{6}$
34. Soal SBMPTN 2013 Kode 433 |*Soal Lengkap
Diberikan bidang empat beraturan $T.ABC$ dengan panjang rusuk $a$. Jika titik $P$ adalah titik tengah rusuk $BC$, maka jarak titik $P$ ke garis $AT$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{a}{4}\sqrt{2} \\ (B)\ & \dfrac{a}{3}\sqrt{2} \\ (C)\ & \dfrac{a}{2}\sqrt{2} \\ (D)\ & \dfrac{a}{2}\sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{a}{3}\sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan bidang empat beraturan $T.ABC$ dengan panjang rusuk $a$ dan titik $P$ berada di pertengahan $BC$ seperti berikut ini:
Jarak titik $P$ ke garis $AT$ adalah $PQ$. Kita peroleh segitiga $APT$, dimana $AP=PT$ maka segitiga $APT$ adalah segitiga sama kaki sehingga $PQ$ yang merupakan garis tinggi juga merupakan garis berat yang mengakibatkan $AQ=QT$.
Segitiga $BCT$ adalah segitiga sama sisi sehingga $PT=AP=\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}$. Dengan menggunakan teorema pythagoras kita peroleh:
$ \begin{align} AP^{2} & = AQ^{2}+PQ^{2} \\ \left( \dfrac{1}{2}a\sqrt{3} \right)^{2} & = \left( \dfrac{1}{2}a \right)^{2}+PQ^{2} \\ \dfrac{3}{4}a^{2} & = \dfrac{1}{4}a^{2}+PQ^{2} \\ PQ^{2} & = \dfrac{3}{4}a^{2}-\dfrac{1}{4}a^{2} \\ & = \dfrac{2}{4}a^{2} \\ PQ & = \sqrt{ \dfrac{2}{4}a^{2}}=\dfrac{1}{2}a \sqrt{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{a}{2}\sqrt{2}$
35. Soal SNMPTN 2011 Kode 523 |*Soal Lengkap
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2a$. Jika titik $P$ berada pada perpanjangan garis $HG$ sehingga $HG=GP$, maka jarak titik $G$ ke garis $AP$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{a}{6}\sqrt{6} \\ (B)\ & \dfrac{a}{3}\sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{a}{3}\sqrt{6} \\ (D)\ & \dfrac{2a}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{2a}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2a$. Jika titik $P$ berada pada perpanjangan garis $HG$ sehingga $HG=GP=2a$ seperti berikut ini:
Jarak titik $G$ ke garis $AP$ adalah $GQ$. Segitiga $APG$ adalah segitiga dengan $AG=2a\sqrt{3}$, $GP=2a$ dan $AP=2 \times \dfrac{1}{2} \cdot 2a\sqrt{6}$. Untuk mempermudah menghitung $AP$ kita beri kubus tambahan seperti gambar berikut ini.
Dari luas Segitiga $APG$ kita peroleh:
$ \begin{align}
\left[ APG \right] & = \left[ APG \right]\\
\dfrac{1}{2} \cdot AP \cdot GQ & = \dfrac{1}{2} \cdot GP \cdot AH \\
2a\sqrt{6} \cdot GQ & = 2a \cdot 2a\sqrt{2} \\
GQ & = \dfrac{2a\sqrt{2}}{ \sqrt{6}} \\
& = \dfrac{2a}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{2a}{3}\sqrt{3}$
36. Soal SNMPTN 2011 Kode 659 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\ cm$. Titik $M$ berada di tengah ruas garis $EH$. Titik $N$ berada di tengah ruas garis $EF$. Jarak titik $E$ ke bidang $MNA$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\ cm$. Titik $M$ berada di tengah ruas garis $EH$ dan titik $N$ berada di tengah ruas garis $EF$ seperti berikut ini:
Jarak titik $E$ ke bidang $MNA$, dimana segitiga $MNA$ adalah segitiga sama kaki. Jika kita gambarkan titik bantuan utnuk menghitung karak titik $E$ ke bidang $MNA$ yaitu garis $EP$ yang merupakan garis tinggi pada segitiga $EOA$ seperti gambar di bawah ini:
$EO=\dfrac{1}{4}EG=\dfrac{1}{4} \cdot 2 \sqrt{2}=\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$ dan dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku $AEO$ kita peroleh:
$ \begin{align} AO^{2} & = AE^{2}+EO^{2} \\ & = \left( 2 \right)^{2}+\left( \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \right)^{2} \\ & = 4 + \dfrac{1}{2} \\ AO & = \sqrt{ \dfrac{9}{2} }=\dfrac{3}{2} \sqrt{2} \end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $AEO$, kita peroleh:
$ \begin{align}
\left[ AEO \right] & = \left[ AEO \right]\\
\dfrac{1}{2} \cdot AO \cdot EP & = \dfrac{1}{2} \cdot EO \cdot AE \\
\dfrac{3}{2} \sqrt{2} \cdot EP & = \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \cdot 2 \\
\dfrac{3}{2} \cdot EP & = 1 \\
EP & = \dfrac{2}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{2}{3}$
37. Soal SIMAK UI 2010 Kode 508 |*Soal Lengkap
Diberikan prisma tegak segitiga siku-siku $ABC.DEF$ dengan alas $\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $B$. Panjang rusuk tegak prisma $2\sqrt{2}$ satuan, panjang $AB$ = panjang $BC$ = $4$ satuan. Maka jarak $A$ ke $EF$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 4\sqrt{2} \\ (C)\ & 4\sqrt{3} \\ (D)\ & 2\sqrt{6} \\ (E)\ & 4\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan prisma tegak segitiga siku-siku $ABC.DEF$ dengan panjang rusuk tegak prisma $2\sqrt{2}$ satuan, $AB=BC=4$ seperti berikut ini:
Jarak titik $A$ ke garis $EF$ kita dapatkan dari segitiga $AEF$. Segitiga $AEF$ adalah segitiga siku-siku, untuk mempermudah melihat $AEF$ adalah segitiga siku-siku gambar di atas kita buat menjadi prisma segi empat dimana alasnya adalah persegi seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa $AEF$ segitiga siku-siku di $E$ sehingga jarak titik $A$ ke $EF$ adalah $AE$. Panjang $AE$ adalah:
$ \begin{align}
AE^{2} & = AB^{2}+BE^{2} \\
& = 4^{2}+\left( 2\sqrt{2} \right)^{2} \\
& = 16 + 8 \\
AE & = \sqrt{24}=2 \sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2\sqrt{6}$
38. Soal SNMPTN 2011 Kode 528 |*Soal Lengkap
Diketahui limas beraturan $T.ABCD$ dengan panjang rusuk $6\ cm$. titik $P$ pada $CT$ sehingga $TP : PC =2 : 1$. Jarak titik $P$ ke bidang $BDT$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & \sqrt{2} \\ (D)\ & \sqrt{3} \\ (E)\ & 2\sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan limas beraturan $T.ABCD$ dengan panjang rusuk $6\ cm$ dimana titik $P$ pada $CT$ sehingga $TP=4$ dan $PC=2$. Jika proyeksi titik $P$ ke bidang $BDT$ kita misalkan titik $Q$, yang kita gambarkan seperti berikut ini:
Jarak titik $P$ ke bidang $BDT$ adalah $PQ$. Jika kita perhatikan segitiga $PQT$ dan segitiga $COT$ adalah segitiga yang sebangun. Sehingga dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
\dfrac{PQ}{PT} & = \dfrac{OC}{CT} \\
\dfrac{PQ}{4} & = \dfrac{3 \sqrt{2}}{6} \\
PQ & = \dfrac{12 \sqrt{2}}{6} = 2\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2\sqrt{2}$
39. Soal UMB-PTN 2009 Kode 121 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\ cm$. Jika $P$ titik tengah $AE$, $Q$ titik tengah $BF$, titik $R$ pada $BC$ dan titik $S$ pada $AD$ sehingga $BR=AS=\sqrt{3}\ cm$, maka jarak dari titik $A$ ke bidang $PQRS$ adalah $a\ cm$, dengan $a=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & \sqrt{2} \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\ cm$. dan keterangan seperti pada soal seperti berikut ini:
Pada gambar di atas, kita misalkan proyeksi titik $A$ ke bidang $PQRS$ adalah $A'$ sehingga jarak titik $A$ ke bidang $PQRS$ adalah $AA'$. Dengan memperhatika segitiga siku-siku $APS$ kita dapat menghitung $PS$ yaitu:
$ \begin{align}
PS^{2} & = AP^{2}+AS^{2} \\
& = 1^{2}+\left( \sqrt{3} \right)^{2} \\
PS & = \sqrt{4}=2
\end{align}$
Dengan $PS=2$, $AP=1$, dan $AS=\sqrt{3}$, maka menggunakan luas segitiga siku-siku $APS$ kita peroleh:
$ \begin{align}
\left[ APS \right] & = \left[ APS \right]\\
\dfrac{1}{2} \cdot PS \cdot AA' & = \dfrac{1}{2} \cdot AS \cdot AP \\
2 \cdot AA' & = \sqrt{3} \cdot 1 \\
AA' & = \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
40. Soal SIMAK UI 2009 Kode 944 |*Soal Lengkap
Pada bidang empat $T-ABC$ diketahui $ABC$ segitiga sama sisi, rusuk $TA$ tegak lurus bidang alas. Jika panjang rusuk alas $10\ cm$, dan tinggi limas $15\ cm$. Maka jarak titik $A$ ke bidang $TBC$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 5\ cm \\ (B)\ & 5,5\ cm \\ (C)\ & 7,5\ cm \\ (D)\ & 5\sqrt{3} \\ (E)\ & 10\sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan bidang empat $T-ABC$ diketahui $ABC$ segitiga sama sisi dan ukuran seperti yang disampaikan pada soal seperti berikut ini:
Pada gambar di atas kita misalkan proyeksi titik $A$ pada bidang $TBC$ adalah $A'$ sehingga kita peroleh jarak titik $A$ ke bidang $TBC$ adalah $AA'$.
Kita dapat menghitung $AT'$ dari segitiga $ABT'$ yaitu:
$ \begin{align}
AB^{2} & = BT'^{2}+AT'^{2} \\
10^{2} & = 5^{2}+AT'^{2} \\
AT' & = \sqrt{100-25}=5 \sqrt{3}
\end{align}$
Kita juga dapat menghitung $TT'$ dari segitiga $ATT'$ yaitu:
$ \begin{align}
TT'^{2} & = AT'^{2}+AT^{2} \\
& = \left( 5\sqrt{3} \right)^{2}+15^{2} \\
& = 75+225 \\
TT' & = \sqrt{300}=10\sqrt{3}
\end{align}$
Untuk $TT'=10\sqrt{3}$, $AT' =5 \sqrt{3}$, dan $AT=15$, maka menggunakan luas segitiga siku-siku $ATT'$ kita peroleh:
$ \begin{align}
\left[ ATT' \right] & = \left[ ATT' \right]\\
\dfrac{1}{2} \cdot TT' \cdot AA' & = \dfrac{1}{2} \cdot AT' \cdot AT \\
10\sqrt{3} \cdot AA' & = 5 \sqrt{3} \cdot 15 \\
AA' & = \dfrac{75}{10}= 7,5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7,5\ cm$
41. Soal SIMAK UI 2009 Kode 934 |*Soal Lengkap
Kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang sisi $5\ cm$. Jarak titik $B$ ke diagonal $EG$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{2}\sqrt{3} \\ (B)\ & \dfrac{5}{2}\sqrt{6} \\ (C)\ & 5\sqrt{3} \\ (D)\ & 128\sqrt{3} \\ (E)\ & 3\sqrt{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan Kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang sisi $5\ cm$ seperti yang disampaikan pada soal seperti berikut ini:
Pada gambar di atas kita misalkan proyeksi titik $B$ ke garis $EG$ adalah $B'$ sehingga kita peroleh jarak titik $B$ ke garis $EG$ adalah $BB'$.
Kita dapat menghitung $BB'$ yang merupakan tinggi segitiga sama sisi $BEG$ dimana panjang sisinya merupakan diagonal bidang yaitu $5\sqrt{2}$. Sehingga $BB'$ adalah:
$ \begin{align}
t & = \dfrac{1}{2}a \sqrt{3} \\
BB' & = \dfrac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \\
& = \dfrac{5}{2} \sqrt{6}
\end{align}$
Sebagai alternatif kita juga dapat gunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku $EBB'$, yaitu:
$ \begin{align}
sin\ BEB' & = \dfrac{BB'}{BE} \\
sin\ 60^{\circ} & = \dfrac{BB'}{5\sqrt{2}} \\
BB' & = 5 \sqrt{6} \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{3} = \dfrac{5}{2} \sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{5}{2}\sqrt{6} $
42. Soal SNMPTN 2009 Kode 378 |*Soal Lengkap
Diberikan balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=2,\ BC=1,\ AE=1\ cm$. Panjang $AH$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2}\ cm \\ (B)\ & 1\ cm \\ (C)\ & \sqrt{2} cm \\ (D)\ & 2\ cm \\ (E)\ & \sqrt{3}\ cm \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=2,\ BC=1,\ AE=1\ cm$ seperti berikut ini:
Jarak titik $A$ ke $H$ atau panjang $AH$ adalah:
$ \begin{align}
AH^{2} & = AD^{2}+DH^{2} \\
& = 1^{2}+1^{2} \\
AH & = \sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \sqrt{2}\ cm$
43. Soal UMB-PTN 2008 Kode 380 |*Soal Lengkap
Diketahui titik $A \left(0,0,3 \right)$, $B \left(4,0,0 \right)$ dan $C \left(0,4,0 \right)$. Jarak titik $\left(0,0,0 \right)$ ke bidang yang melalui titik-titik $A$, $B$, dan $C$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{9}{17}\sqrt{34} \\ (B)\ & \dfrac{8}{17}\sqrt{34} \\ (C)\ & \dfrac{6}{17}\sqrt{34} \\ (D)\ & \dfrac{1}{17}\sqrt{34} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{34} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan titik $A \left(0,0,3 \right)$, $B \left(4,0,0 \right)$, $C \left(0,4,0 \right)$ dan titik $O\left(0,0,0 \right)$ seperti keterangan pada soal seperti berikut ini:
Pada gambar di atas, kita misalkan proyeksi titik $O$ ke bidang $ABC$ adalah $O'$ sehingga jarak titik $O$ ke bidang $ABC$ adalah $OO'$. Dengan memperhatikan segitiga $ABC$ yang merupakan segitiga sama kaki $AB=AC$ sehingga titik $A'$ yang merupakan proyeksi titik $A$ menghasilkan $CA'=BA'$.
Dengan menggunakan teorema pythagoras, kita peroleh beberapa data dari gambar di atas, antara lain:
- dari segitiga siku-siku $BOA$ kita peroleh $AB=5$,
- dari segitiga siku-siku $COA$ kita peroleh $AC=5$,
- dari segitiga siku-siku $BOC$ kita peroleh $BC=4\sqrt{2}$ dan $BA'=2\sqrt{2}$ ,
- dari segitiga siku-siku $BAA'$ kita peroleh $AA'= \sqrt{17}$.
Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $OAA'$ kita peroleh:
$ \begin{align}
\left[ OAA' \right] & = \left[ OAA' \right]\\
\dfrac{1}{2} \cdot OO' \cdot AA' & = \dfrac{1}{2} \cdot OA' \cdot OA \\
OO' \cdot \sqrt{17} & = 2\sqrt{2} \cdot 3 \\
OO' & = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{17}}= \dfrac{6}{17}\sqrt{34}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{6}{17}\sqrt{34}$
44. Soal UMB-PTN 2008 Kode 380 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk-rusuknya $2a$. Jika $P$, $Q$ dan $R$ masing-masing pertengahan $FG$, $CG$, dan $HG$, maka jarak titik $G$ ke segitiga $PQR$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{3a}{2}\sqrt{6} \\ (B)\ & \dfrac{3a}{2}\sqrt{6} \\ (C)\ & \dfrac{a}{3}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{a}{6}\sqrt{6} \\ (E)\ & \dfrac{2a}{3}\sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ seperti keterangan pada soal akan kita peroleh seperti berikut ini:
Pada gambar di atas, kita misalkan proyeksi titik $G$ ke bidang $PQR$ adalah $G'$ sehingga jarak titik $G$ ke bidang $PQR$ adalah $GG'$. Dengan menggunakan teorema pythagoras, kita peroleh beberapa data dari gambar di atas, antara lain:
- dari segitiga siku-siku $QGP$ kita peroleh $QP=a\sqrt{2}$,
- dari segitiga siku-siku $RQQ'$ kita peroleh $QR=a\sqrt{2}$,
- dari segitiga siku-siku $RGP$ kita peroleh $PR=a\sqrt{2}$, sehingga $RQ'=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$ dan $GQ'=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$,
- dari segitiga siku-siku $RQ'Q$ kita peroleh $QQ'= \frac{1}{2}a\sqrt{6}$.
Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $GQQ'$ kita peroleh:
$ \begin{align}
\left[ GQQ' \right] & = \left[ GQQ' \right]\\
\dfrac{1}{2} \cdot GG' \cdot QQ' & = \dfrac{1}{2} \cdot GQ' \cdot GQ \\
GG' \cdot \frac{1}{2}a\sqrt{6} & = \frac{1}{2}a\sqrt{2} \cdot a \\
GG' & = \dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{6}}= \dfrac{a}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
Untuk posisi titik dan bidang seperti gambar di atas, dapat juga digunakan rumus alternatif yaitu $\dfrac{1}{6} \times \text{diagonal ruang}$ atau $\dfrac{1}{6} \times 2a \sqrt{3}=\dfrac{a}{3}\sqrt{3}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{a}{3}\sqrt{3}$
45. Soal UM-UGM 2008 Kode 472 |*Soal Lengkap
Pada kubus $ABCD.EFGH$, $P$ pada $EG$ sehingga $EP=3PG$. Jika jarak $E$ ke garis $AP$ adalah $a$, maka rusuk kubus tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{a}{3}\sqrt{15} \\ (B)\ & \dfrac{4a}{3} \\ (C)\ & \dfrac{a}{3}\sqrt{17} \\ (D)\ & a\sqrt{2} \\ (E)\ & \dfrac{a}{2}\sqrt{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ seperti keterangan pada soal dan kita misalkan rusuk kubus adalah $x$, maka akan kita peroleh seperti berikut ini:
Dari gambar di atas, dapat kita hitung $AP$, yaitu:
$ \begin{align}
AP^{2} & = EP^{2}+AE^{2} \\
& = \left( \frac{3}{4}x\sqrt{2} \right)^{2}+x^{2} \\
& = \frac{18}{16}x^{2}+x^{2} \\
AP & = \sqrt{ \frac{34}{16}x^{2}} \\
& = \dfrac{1}{4}x\sqrt{ 34}
\end{align}$
Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $EAP$ kita peroleh:
$ \begin{align}
\left[ EAP \right] & = \left[ EAP \right]\\
\dfrac{1}{2} \cdot EA \cdot EP & = \dfrac{1}{2} \cdot AP \cdot EE' \\
x \cdot \frac{3}{4}x\sqrt{2} & = \frac{1}{4}x\sqrt{34} \cdot a \\
x & = \dfrac{ \sqrt{34}a}{3\sqrt{2}}= \dfrac{a}{3}\sqrt{17}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{a}{3}\sqrt{17}$
46. Soal SNMPTN 2008 Kode 212 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6\ cm$. Jika $T$ titik tengah $HG$, $R$ titik tengah $CG$, maka jarak $R$ ke $BT$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \sqrt{10} \\ (B)\ & 3\sqrt{5} \\ (C)\ & \dfrac{9}{5} \\ (D)\ & 3\sqrt{2} \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ seperti keterangan pada soal maka akan kita peroleh seperti berikut ini:
Pada gambar di atas proyeksi titik $R$ ke garis $BT$ kita misalkan dengan $R'$ sehingga jarak titik $R$ ke $BT$ adalah $RR'$. Dengan menggunakan teorema pythagoras, kita peroleh beberapa data dari gambar di atas, antara lain:
- dari segitiga siku-siku $RGT$ kita peroleh $RT=3\sqrt{2}$,
- dari segitiga siku-siku $BCR$ kita peroleh $BR=3\sqrt{5}$,
- dari segitiga siku-siku $BGT$ kita peroleh $BT=9$.
Dari data yang kita peroleh di atas segitiga $BRT$ adalah segitiga sebarang, jika kita gambarkan segitigaya seperti berikut ini:
Pada segitiga $BRT$ di atas, dapat kita terapkan aturan cosinus yaitu:
$ \begin{align}
\left( BR \right)^{2} & = \left( RT \right)^{2}+\left( BT \right)^{2}-2\left( BR \right)\left( RT \right)\ cos\ \alpha \\
\left( 3\sqrt{5} \right)^{2} & = \left( 3\sqrt{2} \right)^{2}+\left( 9 \right)^{2}-2\left( 3\sqrt{2} \right)\left( 9 \right)\ cos\ \alpha \\
45 & = 18 + 81-54\sqrt{2}\ cos\ \alpha \\
54\sqrt{2}\ cos\ \alpha & = 99-45 \\
cos\ \alpha & = \dfrac{54}{54\sqrt{2}}= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
\alpha & = 45^{\circ}
\end{align}$
Untuk $\alpha = 45^{\circ}$ maka dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
sin\ \alpha & = \dfrac{RR'}{RT} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{2} & = \dfrac{RR'}{3\sqrt{2}} \\
3 & = RR'
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 3$
47. Soal UMPTN 2001 (Rayon A) |*Soal Lengkap
Panjang rusuk kubus $ABCD.EFGH$ adalah $a$. Jarak $A$ ke diagonal $BH$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{a}{2}\sqrt{6} \\ (B)\ & \dfrac{a}{3}\sqrt{6} \\ (C)\ & \dfrac{a}{4}\sqrt{6} \\ (D)\ & \dfrac{a}{5}\sqrt{6} \\ (E)\ & \dfrac{a}{6}\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik tambahan yang diperlukan untuk menentukan jarak titik $A$ ke garis $BH$ seperti keterangan pada soal maka akan kita peroleh seperti berikut ini:
Pada gambar di atas proyeksi titik $A$ ke garis $BH$ kita misalkan dengan $A'$ sehingga jarak titik $A$ ke $BH$ adalah $AA'$.
Dengan panjang rusuk $a$ maka $BH$ yang merupakan diagonal ruang kubus sehingga $BH=a\sqrt{3}$ dan $AH$ yang merupakan diagonal bidang kubus sehingga $AH=a\sqrt{2}$. Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $ABH$ kita peroleh:
$ \begin{align}
\left[ ABH \right] & = \left[ ABH \right]\\
\dfrac{1}{2} \cdot BH \cdot AA' & = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AH \\
a\sqrt{3} \cdot AA' & = a \cdot a\sqrt{2} \\
AA' & = \dfrac{ a\sqrt{2} }{ \sqrt{3}}= \dfrac{a}{3}\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{a}{3}\sqrt{6}$
48. Soal SPMB 2003 (Regional I) |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. Jika $S$ merupakan proyeksi titik $C$ pada bidang $AFH$, maka jarak titik $A$ ke titik $S$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3}a\sqrt{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{3}a\sqrt{6} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3}a\sqrt{6} \\ (D)\ & a\sqrt{2} \\ (E)\ & a \sqrt{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $S$ pada bidang $AFH$ seperti keterangan pada soal maka akan kita peroleh seperti berikut ini:
Pada gambar di atas proyeksi titik $C$ ke bidang $AFH$ adalah $S$ sehingga segitiga $CSA$ siku-siku di $S$. Panjang $CS$ kita hitung dengan rumus alternatif yaitu $CS=\dfrac{2}{3} EC$ atau $CS=\dfrac{2}{3}a \sqrt{3}$.
Dari segitiga siku-siku $ACS$ kita peroleh:
$ \begin{align}
AC^{2} & = AS^{2}+CS^{2} \\
\left( a\sqrt{2} \right)^{2} & = AS^{2}+\left( \frac{2}{3}a\sqrt{3} \right)^{2} \\
2a^{2} & = AS^{2} + \dfrac{4}{9}a^{2} \cdot 3 \\
AS^{2} & = 2a^{2}-\dfrac{4}{3}a^{2} \\
AS & = \sqrt{ \frac{2}{3}a^{2} }= \dfrac{a}{3}\sqrt{3 }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{3}a\sqrt{3}$
49. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $12$ cm. Jarak titik $B$ ke diagonal ruang $AG$ adalah...cm
$\begin{align} (A)\ & 5\sqrt{3} \\ (B)\ & 6\sqrt{3} \\ (C)\ & 3\sqrt{6} \\ (D)\ & 4\sqrt{6} \\ (E)\ & 6\sqrt{6} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dan titik tambahan yang diperlukan untuk menentukan jarak titik $B$ ke garis $AG$ seperti keterangan pada soal maka akan kita peroleh seperti berikut ini:
Pada gambar di atas proyeksi titik $B$ ke garis $AG$ kita misalkan dengan $B'$ sehingga jarak titik $B$ ke $AG$ adalah $BB'$.
Dengan panjang rusuk $12$ maka $AG$ yang merupakan diagonal ruang kubus sehingga $AG=12\sqrt{3}$ dan $BG$ yang merupakan diagonal bidang kubus sehingga $BG=12\sqrt{2}$. Dengan menggunakan luas segitiga siku-siku $ABG$ kita peroleh:
$ \begin{align}
\left[ ABG \right] & = \left[ ABG \right]\\
\dfrac{1}{2} \cdot AG \cdot BB' & = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BG \\
12\sqrt{3} \cdot BB' & = 12 \cdot 12\sqrt{2} \\
BB' & = \dfrac{ 12\sqrt{2} }{ \sqrt{3}}= 4\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4\sqrt{6}$
50. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal Lengkap
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$. Jika $O$ titik tengah $DH$ dan $P$ adalah titik tengah $BF$, maka perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 : 2 \\ (B)\ & \sqrt{2} : 1 \\ (C)\ & 1 : 3 \\ (D)\ & 2 : 1 \\ (E)\ & \sqrt{2} : 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, titik $O,\ P$ serta $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ seperti berikut ini:
$\bigtriangleup HFC$ dengan sisi $HF$, $FC$, $CH$ yang merupakan diagonal sisi sehingga $\bigtriangleup HFC$ adalah segitiga sama sisi, luasnya adalah:
$\begin{align}
\left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot sin\ 60^{\circ} \\
\left[ HFC \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \\
&= 36 \sqrt{3}
\end{align}$
$\bigtriangleup AOP$ dengan sisi $AO$, $OP$, $AP$ dimana $OP$ diagonal sisi maka luasnya dapat kita hitung dengan menggunakan alas $OP$ dan tingginya adalah $\dfrac{1}{2}AG=6\sqrt{3}$, luasnya adalah:
$\begin{align}
\left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot OP \cdot t \\
\left[ AOP \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\
&= 36 \sqrt{6}
\end{align}$
Perbandingan luas $\bigtriangleup AOP$ dan $\bigtriangleup HFC$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{3} = \sqrt{2} : 1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2} : 1$
51. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Diberikan kubus $ABCD.EFGH$ dan $P$ adalah titik tengah $BC$. Perbandingan luas segitiga $APG$ dan luas segitiga $DPG$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 1 : 1 \\ (B)\ & \sqrt{3} : \sqrt{2} \\ (C)\ & \sqrt{2} : 1 \\ (D)\ & 3 : 2 \\ (E)\ & \sqrt{3} : 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, serta $\bigtriangleup DPG$ seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup DPG$ merupakan segitiga sama kaki $DP=GP$ dan $DG=12\sqrt{2}$ (diagonal sisi).
$\begin{align}
GP^{2}\ &= CP^{2}+CG^{2} \\
&= 6^{2}+ 12^{2} \\
GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\
\hline
t^{2}\ &= GP^{2} - \left(6\sqrt{2} \right)^{2} \\
&= 180 - 72 \\
t &= \sqrt{108}=6 \sqrt{3} \\
\hline
\left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} \\
&= 36 \sqrt{6}
\end{align}$
Jika kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ yang kita misalkan panjang rusuknya $12$, serta $\bigtriangleup APG$ seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup APG$ merupakan segitiga sama kaki $AP=PG$ dan $AG=12\sqrt{3}$ (diagonal ruang).
$\begin{align}
AP^{2}\ &= AB^{2}+BP^{2} \\
&= 6^{2}+ 12^{2} \\
GP &= \sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\
\hline
t^{2}\ &= GP^{2}- \left(6\sqrt{3} \right)^{2} \\
&= 180 - 108 \\
t &= \sqrt{72}=6 \sqrt{2} \\
\hline
\left[ DPG \right]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot t \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} \\
&= 36 \sqrt{6}
\end{align}$
Perbandingan luas $\bigtriangleup DPG$ dan $\bigtriangleup APG$ adalah $36 \sqrt{6} : 36 \sqrt{6} = 1 : 1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1 : 1$
52. Soal Simulasi Masuk SMA Unggul-Plus 2021 |*Soal Lengkap
Perhatikan limas beraturan $T.ABCD$ berikut.
Besar sudut antara bidang $TAD$ dan $TBC$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 90^{\circ} \\
(B)\ & 75^{\circ} \\
(C)\ & 60^{\circ} \\
(D)\ & 45^{\circ} \\
(E)\ & 30^{\circ}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk mendapatkan sudut antara bidang $TAD$ dan $TBC$, kita tarik garis melalui $T$ yang tegak lurus $BC$ dan $AD$ sehingga kita peroleh sudut $ETF=\alpha$ seperti gambar berikut:
Dengan teorema pythagoras pada $\bigtriangleup TCF$ dapat kita tentukan panjang $TE$ dan $TF$ yaitu:
$\begin{align}
TE^2=TF^{2} & = TC^{2}-CF^{2} \\
& = (\sqrt{3})^{2}-(1)^{2} \\
& = 3-1 = 2 \\
TE =TF & = \sqrt{2}
\end{align}$
Dengan cara yang sama pada $\bigtriangleup TT'F$ dapat kita tentukan panjang $TT'$ yaitu:
$\begin{align}
TT'^{2} & = TF^{2}-T'F^{2} \\
& = (\sqrt{2})^{2}-(1)^{2} \\
& = 2-1 = 1 \\
TT' & = \sqrt{1} =1
\end{align}$
Dengan panjang $TT'=1$, maka luas $\bigtriangleup TEF$ adalah $\left[ TEF \right]=\dfrac{1}{2} \cdot (1) \cdot (2)=1$
Untuk menghitung luas $\bigtriangleup TEF$ dapat juga dengan cara (*jika diketahui dua sisi dan satu sudut)
$\begin{align}
\left[ TEF \right] &=\dfrac{1}{2} \cdot (TE) \cdot (EF) \cdot sin\ \alpha \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot (\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2}) \cdot sin\ \alpha \\
&= sin\ \alpha
\end{align}$
Dari hasil di atas, dapat kita ambil kesimpulan:
$\begin{align}
\left[ TEF \right] & = \left[ TEF \right] \\
sin\ \alpha & = 1 \\
\alpha & = 90^{\circ} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 90^{\circ}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan masalah Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 50+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Dimensi Tiga silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊