Matematika Dasar SMA Dimensi Tiga (*Soal Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Calon Guru: Matematika Dasar SMA Dimensi Tiga (*Soal Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

1. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013
Perhatikan gambar berikut:

b. Dari Gambar $(b)$, tentukan jarak titik $P$ terhadap garis $g$.
c. Dari Gambar $(c)$, tentukan jarak titik $P$ pada bidang-$K$.
show
Kalau melihat soal nomor 1 ini sepertinya kita diajak untuk memahami konsep jarak itu, yaitu Jika AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak.
- $(a)$, jarak dari titik $A$ ke $D$ adalah panjang $AD$ yaitu $AC+CD=$$17\ m +29\ m=46\ m$
- $(b)$, jarak titik $P$ terhadap garis $g$ adalah panjang $PP_{1}$ karena $P_{1}$ terletak pada garis $g$ dan $PP_{1}\ \perp g$.
- $(c)$, jarak titik $P$ pada bidang-$K$ adalah $PP_{1}$ karena $P_{1}$ terletak pada garis $RP_{1}$ atau garis $QP_{1}$ dimana garis $RP_{1}$ atau garis $QP_{1}$ terletak pada bidang-$K$ dan $PP_{1} \perp QP_{1}$ atau $PP_{1} \perp RP_{1}$.
2. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $9\ cm$. Buat ilustrasi kubus tersebut. Tentukan langkah menentukan jarak titik $F$ ke bidang $BEG$. Kemudian hitunglah jarak titik $F$ ke bidang $BEG$.
show
Pertama kita pastinya harus bisa menggambar kubus $ABCD.EFGH$ dan bidang $BEG$

- Pertama, kita tarik garis pada bidang $BEG$ misalkan kita sebut garis $BB'$.
- Kedua, kita tarik garis dari $F$ sehingga tegak lurus pada garis $BB'$ misalkan kita sebut garis $FF'$.
- Ketiga, karena $FF' \perp BB'$ maka jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ adalah panjang $FF'$.

Karena $\triangle BEG$ adalah samakaki maka $BB' \perp EG$ dan $B'$ adalah titik tengah $EG$,
sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
BB' &= \sqrt{BG^{2}-B'G^{2}} \\ &=\sqrt{(9\sqrt{2})^{2}-(\dfrac{9}{2}\sqrt{2})^{2}} \\ &=\sqrt{162-\dfrac{81}{2}} \\ &=\sqrt{\dfrac{324}{2}-\dfrac{81}{2}} \\ &=\sqrt{\dfrac{243}{2}} \\ &=\dfrac{9}{2}\sqrt{6} \\ \end{align}$
Dari $\triangle BFB'$ adalah segitiga siku-siku di $F$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$\begin{align}
\left[ BFB' \right] &= \dfrac{1}{2} \times BF \times FB' \\ &= \dfrac{1}{2} \times 9 \times \dfrac{9}{2} \sqrt{2} \\ &=\dfrac{81}{4} \sqrt{2} \\ \end{align}$
Luas $\triangle BFB'$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[ BFB' \right] &= \dfrac{1}{2} \times BB' \times FF' \\ \left[ BFB' \right] &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \times FF' \\ \dfrac{81}{4}\sqrt{2} &=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \times FF' \\ \dfrac{81}{4}\sqrt{2} &=\dfrac{9}{4}\sqrt{6} \times FF' \\ 81\sqrt{2} &=9\sqrt{6} \times FF' \\ 9\sqrt{2} &=\sqrt{6} \times FF' \\ FF' &=\dfrac{9\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\ FF' &=\dfrac{9}{\sqrt{3}} \\ FF' &=3\sqrt{3} \\ \end{align}$
Jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ adalah $3 \sqrt{3}$.
(*Sebagai catatan; jika panjang rusuk kubus di rubah panjangnya misal jadi $a$, maka jarak titik ke bidang dengan posisi sama seperti soal diatas adalah $\dfrac{1}{3} a \sqrt{3}$. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas)
3. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$. Jika titik $P$ terletak pada perpanjangan $AB$ sehingga $PB = 2a$, dan titik $Q$ pada perpanjangan $FG$ sehingga $QG = a$.
a. Buatlah ilustrasi dari masalah di atas.
b. Tentukan $PQ$.
show
Jika kita gambarkan ilustrasi dari masalah diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Titik potong perpanjangan garis $EF$ dengan garis yang tegak lurus $AP$ di $P$ kita misalkan Titik $R$. Lalu jika kita hubungkan titik $P,\ Q, R$ maka akan kita peroleh segitiga $PQR$ yang siku-siku di $R$.

PQ &= \sqrt{PR^{2}+QR^{2}} \\ \hline PR=a\ & \text{dan}\ QR=\sqrt{QF^{2}+FR^{2}} \\ \hline QR &= \sqrt{(2a)^{2}+(2a)^{2}} \\ &= \sqrt{8a^{2}} \\ &= 2a\sqrt{2} \\ \hline PQ &=\sqrt{PR^{2}+QR^{2}} \\ &= \sqrt{a^{2}+(2a\sqrt{2})^{2}} \\ &= \sqrt{a^{2}+8a^{2}} \\ &= \sqrt{9a^{2}} \\ &= 3a
\end{align}$
4. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013
Panjang setiap bidang empat beraturan $T.ABC$ sama dengan $16\ cm$. Jika $P$ pertengahan $AT$ dan $Q$ pertengahan $BC$, tentukan $PQ$.
show
Jika kita coba ilustrasikan masalah diatas, kurang lebih seperti berikut ini;

$\begin{align}
CP=\sqrt{CT^{2}-TP^{2}} \\ &=\sqrt{16^{2}-8^{2}} \\ &=\sqrt{256-64} \\ &=\sqrt{192} \\ &=8\sqrt{3} \\ \end{align}$
Pada $\triangle PQC$ yang siku-siku di $Q$, berlaku;
$\begin{align}
PQ &= \sqrt{CP^{2}-CQ^{2}} \\ &=\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}-8^{2}} \\ &=\sqrt{192-64} \\ &=\sqrt{128} \\ &=8\sqrt{2} \end{align}$
5. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013
Perhatikan gambar kubus $ABCD.EFGH$. Tentukan jarak titik $H$ ke $DF$.

show

Kita tarik garis dari $H$ yang tegak lurus ke $DF$, misal kita sebut $HH'$.
Segitiga $HDF$ adalah segitiga siku-siku di $H$ sehingga:
$\begin{align}
\left[ HDF \right] &= \dfrac{1}{2} \times HD \times HF \\ &= \dfrac{1}{2} \times 6 \times 6=18
\end{align}$
Luas segitiga $HDF$ dapat juga kita hitung dengan cara;
$\begin{align}
\left[ HDF \right] &=\dfrac{1}{2} \times DF \times HH' \\ 18 &= \dfrac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times HH' \\ HH' &= \dfrac{18}{3\sqrt{3}} \\ HH' &= 9\sqrt{2} \\ \end{align}$
Karena $HH'$ tegak lurus dengan $DF$ maka jarak titik $H$ ke $DF$ adalah $9\sqrt{2}$
6. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013
Dalam kubus $ABCD.EFGH$ titik $S$ adalah titik tengah sisi $CD$ dan $P$ adalah titik tengah diagonal ruang $BH$. Tentukan perbandingan volum limas $P.BCS$ dan volum kubus $ABCD.EFGH$.
show
Untuk menghitung perbandingan volume kubus dengan limas, mungkin kita butuh ilustrasi kubus $ABCD.EFGH$ dan limas $P.BCS$ bisa kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Volume kubus adalah $V_{k}=(2a)^{3}=8a^3$
Volume Limas adalah $\dfrac{1}{3} \times \text{luas alas} \times \text{tinggi}$
$\begin{align}
V_{l} &= \dfrac{1}{3} \times [BCS] \times PP' \\ &= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} BC \times CS \times PP' \\ &= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} 2a \times a \times a \\ &= \dfrac{1}{3} a^{3} \\ \end{align}$
Perbandingan Volume Kubus dan Limas adalah:
$\begin{align}
V_{k}:V_{l} &= 8a^3:\dfrac{1}{3} a^{3} \\ V_{k}:V_{l} &= 8:\dfrac{1}{3} \\ V_{k}:V_{l} &= 24:1 \\ \end{align}$
7. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. $S$ merupakan proyeksi titik $C$ pada bidang $AFH$.Tentukan jarak titik $A$ ke titik $S$.
show
Jika kita ilustrasikan gambar diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Dari kumpulan informasi diatas sekarang kita coba hitung panjang $AS$,
Coba perhatikan $\triangle ACE$ adalah segitiga siku-siku di $A$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$\begin{align}
\left[ ACE \right] &= \dfrac{1}{2} \times AC \times AE \\ &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a \\ &= \dfrac{1}{2} a^{2}\sqrt{2}
\end{align}$
Luas $\triangle ACE$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[ ACE \right] &= \dfrac{1}{2} \times CE \times AS \\ \left[ ACE \right] &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times AS \\ a^{2}\sqrt{2} &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times AS \\ 2a^{2}\sqrt{2} &= a\sqrt{2} \times AS \\ AS &= \dfrac{2a^{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} \\ AS &= \dfrac{2a^{2}}{a} \\ AS &= 2a
\end{align}$
8. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. $P$ dan $Q$ masing-masing merupakan titik tengah $AB$ dan $CD$, sedangkan $R$ merupakan titik potong $EG$ dan $FH$. Tentukan jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$.
show
Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Titik tengah $EH$ kita sebut $S$, dan titik tengah $PQ$ kita sebut $T$.
Titik $R$ kita proyeksikan ke bidang $EPQH$ dan hasilnya terletak pada garis $ST$, kita sebut titik $R'$ sehingga $RR'$ tegak lurus dengan $ST$.

Sekarang kita coba menghitung $RR'$ dengan bantuan $\triangle TRS$
Coba perhatikan $\triangle TRS$ adalah segitiga siku-siku di $R$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$\begin{align}
\left[ TRS \right] &= \dfrac{1}{2} \times TR \times RS \\ &= \dfrac{1}{2} \times 2a \times a \\ &= a^{2} \\ \end{align}$
Luas $\triangle TRS$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[ TRS \right] &= \dfrac{1}{2} \times TS \times RR' \\ \hline TS^{2} &= TR^{2}+RS^{2} \\ &= (2a)^{2}+a^{2} \\ &= 4a^{2}+a^{2} \\ &= 5a^{2} \\ TS &= a\sqrt{5} \\ \hline \left[ TRS \right] &= \dfrac{1}{2} \times TS \times RR' \\ a^{2} &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{5} \times RR' \\ 2a^{2} &= a\sqrt{5} \times RR' \\ RR' &= \dfrac{2a^{2}}{a\sqrt{5}} \\ RR' &= \dfrac{2}{5}a\sqrt{5} \\ \end{align}$
Jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$ adalah $\dfrac{2}{5}a\sqrt{5}$
9. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$. $P$ titik tengah $EH$. Tentukan jarak titik $P$ ke garis $CF$.
show
Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Titik $P$ kita proyeksikan ke garis $CF$, misal kita sebut titiknya adalah $P'$ sehingga $PP'$ tegak lurus $CF$, karena $PP' \perp CF$ maka jarak titik $P$ ke garis $CF$ adalah panjang $PP'$.

Coba perhatikan $\triangle PFC$ kita bisa menghitung luasnya denga cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi;
$[PFC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
dimana $s=\dfrac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle PFC$
$s=\dfrac{1}{2}(PF+CP+CF)$
Dengan menggunakan teorema phytagoras kita dapat menghitung panjang ketiga sisi $\triangle PFC$,
$PF=2\sqrt{5}=a$; $CP=6=b$ dan $CF=4\sqrt{2}=c$
$s=\dfrac{1}{2}(2\sqrt{5}+6+4\sqrt{2})$
$s=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}$
$s-a=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{5}=3+2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
$s-b=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-6=\sqrt{5}+2\sqrt{2}-3$
$s-c=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\sqrt{5}+3-2\sqrt{2}$
$\begin{align}
\left[PFC \right] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &= \sqrt{(\sqrt{5}+3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{5}+2\sqrt{2}-3)(\sqrt{5}+3-2\sqrt{2})} \\ &= \sqrt{(9+12\sqrt{2}+8-5)(-12+12\sqrt{2})} \\ &= \sqrt{(12\sqrt{2}+12)(12\sqrt{2}-12)} \\ &= \sqrt{288-144} \\ &= \sqrt{144}=12 \\ \end{align}$
Luas $\triangle PFC$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[PFC \right] &= \dfrac{1}{2} \times CF \times PP' \\ &= \dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times PP' \\ 12 &= 2\sqrt{2} \times PP' \\ PP' &= \dfrac{12}{2\sqrt{2}} \\ PP' &= 3\sqrt{2} \\ \end{align}$
Jarak titik $P$ ke garis $CF$ adalah $3\sqrt{2}$
10. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013
Panjang rusuk kubus $ABCD.EFGH$ adalah $6\ cm$. Tentukan jarak titik $C$ dengan bidang $BDG$.
show
Jika kita gambarkan kedudukan titik $C$ dan bidang $BDG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:

Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $BDG.C$ yang kita sebut $CO$. Pada gambar sebelah kanan dapat kita peroleh jarak titik $C$ ke $O$ adalah $\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}$, sehingga dengan panjang rusuk $a=6$ maka kita peroleh $CO=\dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$
Jika tertarik untuk melihat perhitungan ini lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas atau Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri]
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Matematika Dasar SMA Dimensi Tiga (*Soal Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013) silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Cara Alternatif dalam Perkalian Dua Angka, sangat kreatif;
