--> Skip to main content

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Soal Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)Calon Guru belajar matematika dasar tentang dimensi tiga. Soal yang kita diskusikan, dipilih dari buku matematika wajib kelas XII (dua belas) kurikulum 2013.

1. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013


Perhatikan gambar berikut:
Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
a. Dari Gambar $(a)$, tentukan jarak dari titik $A$ ke $D$.
b. Dari Gambar $(b)$, tentukan jarak titik $P$ terhadap garis $g$.
c. Dari Gambar $(c)$, tentukan jarak titik $P$ pada bidang-$K$.

Alternatif Pembahasan:
show

Kalau melihat soal nomor 1 ini sepertinya kita diajak untuk memahami konsep jarak itu, yaitu Jika AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak.

  • $(a)$, jarak dari titik $A$ ke $D$ adalah panjang $AD$ yaitu $AC+CD=$$17\ m +29\ m=46\ m$
  • $(b)$, jarak titik $P$ terhadap garis $g$ adalah panjang $PP_{1}$ karena $P_{1}$ terletak pada garis $g$ dan $PP_{1}\ \perp g$.
  • $(c)$, jarak titik $P$ pada bidang-$K$ adalah $PP_{1}$ karena $P_{1}$ terletak pada garis $RP_{1}$ atau garis $QP_{1}$ dimana garis $RP_{1}$ atau garis $QP_{1}$ terletak pada bidang-$K$ dan $PP_{1} \perp QP_{1}$ atau $PP_{1} \perp RP_{1}$.

2. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013


Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $9\ cm$. Buat ilustrasi kubus tersebut. Tentukan langkah menentukan jarak titik $F$ ke bidang $BEG$. Kemudian hitunglah jarak titik $F$ ke bidang $BEG$.
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita pastinya harus bisa menggambar kubus $ABCD.EFGH$ dan bidang $BEG$

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Langkah-langkah menentukan jarak titik $F$ ke bidang $BEG$, kurang lebih dapat kita lakukan seperti berikut ini;
  • Pertama, kita tarik garis pada bidang $BEG$ misalkan kita sebut garis $BB'$.
  • Kedua, kita tarik garis dari $F$ sehingga tegak lurus pada garis $BB'$ misalkan kita sebut garis $FF'$.
  • Ketiga, karena $FF' \perp BB'$ maka jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ adalah panjang $FF'$.
Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Untuk menghitung jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ yaitu panjang $FF'$, kita membutuhkan beberapa data tambahan.
Karena $\triangle BEG$ adalah samakaki maka $BB' \perp EG$ dan $B'$ adalah titik tengah $EG$,
sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
BB' &= \sqrt{BG^{2}-B'G^{2}} \\ &=\sqrt{(9\sqrt{2})^{2}-(\dfrac{9}{2}\sqrt{2})^{2}} \\ &=\sqrt{162-\dfrac{81}{2}} \\ &=\sqrt{\dfrac{324}{2}-\dfrac{81}{2}} \\ &=\sqrt{\dfrac{243}{2}} \\ &=\dfrac{9}{2}\sqrt{6} \\ \end{align}$

Dari $\triangle BFB'$ adalah segitiga siku-siku di $F$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$\begin{align}
\left[ BFB' \right] &= \dfrac{1}{2} \times BF \times FB' \\ &= \dfrac{1}{2} \times 9 \times \dfrac{9}{2} \sqrt{2} \\ &=\dfrac{81}{4} \sqrt{2} \\ \end{align}$

Luas $\triangle BFB'$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[ BFB' \right] &= \dfrac{1}{2} \times BB' \times FF' \\ \left[ BFB' \right] &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \times FF' \\ \dfrac{81}{4}\sqrt{2} &=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \times FF' \\ \dfrac{81}{4}\sqrt{2} &=\dfrac{9}{4}\sqrt{6} \times FF' \\ 81\sqrt{2} &=9\sqrt{6} \times FF' \\ 9\sqrt{2} &=\sqrt{6} \times FF' \\ FF' &=\dfrac{9\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\ FF' &=\dfrac{9}{\sqrt{3}} \\ FF' &=3\sqrt{3} \\ \end{align}$
Jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ adalah $3 \sqrt{3}$.

(*Sebagai catatan; jika panjang rusuk kubus di rubah panjangnya misal jadi $a$, maka jarak titik ke bidang dengan posisi sama seperti soal diatas adalah $\dfrac{1}{3} a \sqrt{3}$. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas)


3. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013


Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$. Jika titik $P$ terletak pada perpanjangan $AB$ sehingga $PB = 2a$, dan titik $Q$ pada perpanjangan $FG$ sehingga $QG = a$.
a. Buatlah ilustrasi dari masalah di atas.
b. Tentukan $PQ$.

Alternatif Pembahasan:
show

Jika kita gambarkan ilustrasi dari masalah diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Untuk menghitung $PQ$ kita perlu beberapa garis bantu, antara lain;
Titik potong perpanjangan garis $EF$ dengan garis yang tegak lurus $AP$ di $P$ kita misalkan Titik $R$. Lalu jika kita hubungkan titik $P,\ Q, R$ maka akan kita peroleh segitiga $PQR$ yang siku-siku di $R$.
Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
$\begin{align}
PQ &= \sqrt{PR^{2}+QR^{2}} \\ \hline PR=a\ & \text{dan}\ QR=\sqrt{QF^{2}+FR^{2}} \\ \hline QR &= \sqrt{(2a)^{2}+(2a)^{2}} \\ &= \sqrt{8a^{2}} \\ &= 2a\sqrt{2} \\ \hline PQ &=\sqrt{PR^{2}+QR^{2}} \\ &= \sqrt{a^{2}+(2a\sqrt{2})^{2}} \\ &= \sqrt{a^{2}+8a^{2}} \\ &= \sqrt{9a^{2}} \\ &= 3a
\end{align}$

4. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013


Panjang setiap bidang empat beraturan $T.ABC$ sama dengan $16\ cm$. Jika $P$ pertengahan $AT$ dan $Q$ pertengahan $BC$, tentukan $PQ$.
Alternatif Pembahasan:
show

Jika kita coba ilustrasikan masalah diatas, kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Titik $P$ dan $Q$ merupakan titik tengah $AT$ dan $BC$ pada bidang empat beraturan, sehingga kita peroleh $\triangle CPT$ yang siku-siku di $P$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
CP=\sqrt{CT^{2}-TP^{2}} \\ &=\sqrt{16^{2}-8^{2}} \\ &=\sqrt{256-64} \\ &=\sqrt{192} \\ &=8\sqrt{3} \\ \end{align}$
Pada $\triangle PQC$ yang siku-siku di $Q$, berlaku;
$\begin{align}
PQ &= \sqrt{CP^{2}-CQ^{2}} \\ &=\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}-8^{2}} \\ &=\sqrt{192-64} \\ &=\sqrt{128} \\ &=8\sqrt{2} \end{align}$

5. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013


Perhatikan gambar kubus $ABCD.EFGH$. Tentukan jarak titik $H$ ke $DF$.
Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Alternatif Pembahasan:
show

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Untuk menghitung jarak titik $H$ ke $DF$ kita perlu beberapa garis bantu, antara lain;
Kita tarik garis dari $H$ yang tegak lurus ke $DF$, misal kita sebut $HH'$.
Segitiga $HDF$ adalah segitiga siku-siku di $H$ sehingga:
$\begin{align}
\left[ HDF \right] &= \dfrac{1}{2} \times HD \times HF \\ &= \dfrac{1}{2} \times 6 \times 6=18
\end{align}$
Luas segitiga $HDF$ dapat juga kita hitung dengan cara;
$\begin{align}
\left[ HDF \right] &=\dfrac{1}{2} \times DF \times HH' \\ 18 &= \dfrac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times HH' \\ HH' &= \dfrac{18}{3\sqrt{3}} \\ HH' &= 9\sqrt{2} \\ \end{align}$
Karena $HH'$ tegak lurus dengan $DF$ maka jarak titik $H$ ke $DF$ adalah $9\sqrt{2}$


6. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013


Dalam kubus $ABCD.EFGH$ titik $S$ adalah titik tengah sisi $CD$ dan $P$ adalah titik tengah diagonal ruang $BH$. Tentukan perbandingan volum limas $P.BCS$ dan volum kubus $ABCD.EFGH$.
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menghitung perbandingan volume kubus dengan limas, mungkin kita butuh ilustrasi kubus $ABCD.EFGH$ dan limas $P.BCS$ bisa kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Karena pada soal panjang rusuk kubus tidak ditentukan, kita misalkan panjang rusuk kubus $AB=2a$.
Volume kubus adalah $V_{k}=(2a)^{3}=8a^3$

Volume Limas adalah $\dfrac{1}{3} \times \text{luas alas} \times \text{tinggi}$
$\begin{align}
V_{l} &= \dfrac{1}{3} \times [BCS] \times PP' \\ &= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} BC \times CS \times PP' \\ &= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} 2a \times a \times a \\ &= \dfrac{1}{3} a^{3} \\ \end{align}$
Perbandingan Volume Kubus dan Limas adalah:
$\begin{align}
V_{k}:V_{l} &= 8a^3:\dfrac{1}{3} a^{3} \\ V_{k}:V_{l} &= 8:\dfrac{1}{3} \\ V_{k}:V_{l} &= 24:1 \\ \end{align}$


7. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013


Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. $S$ merupakan proyeksi titik $C$ pada bidang $AFH$.Tentukan jarak titik $A$ ke titik $S$.
Alternatif Pembahasan:
show

Jika kita ilustrasikan gambar diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Titik $S$ adalah hasil proyeksi titik $C$ pada bidang $AFH$ sehingga $SC$ tegak lurus pada bidang $AFH$. Garis $AS$ terletak pada bidang $AFH$ maka $AS$ tegak lurus $SC$ secara simbol dapat kita tuliskan $AS \perp SC$.

Dari kumpulan informasi diatas sekarang kita coba hitung panjang $AS$,
Coba perhatikan $\triangle ACE$ adalah segitiga siku-siku di $A$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$\begin{align}
\left[ ACE \right] &= \dfrac{1}{2} \times AC \times AE \\ &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a \\ &= \dfrac{1}{2} a^{2}\sqrt{2}
\end{align}$

Luas $\triangle ACE$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[ ACE \right] &= \dfrac{1}{2} \times CE \times AS \\ \left[ ACE \right] &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times AS \\ a^{2}\sqrt{2} &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times AS \\ 2a^{2}\sqrt{2} &= a\sqrt{2} \times AS \\ AS &= \dfrac{2a^{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} \\ AS &= \dfrac{2a^{2}}{a} \\ AS &= 2a
\end{align}$

8. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013


Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. $P$ dan $Q$ masing-masing merupakan titik tengah $AB$ dan $CD$, sedangkan $R$ merupakan titik potong $EG$ dan $FH$. Tentukan jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$.
Alternatif Pembahasan:
show

Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Untuk menghitung jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$ kita membutuhkan beberapa informasi tambahan, antara lain;
Titik tengah $EH$ kita sebut $S$, dan titik tengah $PQ$ kita sebut $T$.
Titik $R$ kita proyeksikan ke bidang $EPQH$ dan hasilnya terletak pada garis $ST$, kita sebut titik $R'$ sehingga $RR'$ tegak lurus dengan $ST$.
Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Karena $RR'$ tegak lurus dengan $ST$ dan $ST$ berada pada bidang $EPQH$ maka jarak titik $R$ ke $EPQH$ adalah $RR'$.

Sekarang kita coba menghitung $RR'$ dengan bantuan $\triangle TRS$
Coba perhatikan $\triangle TRS$ adalah segitiga siku-siku di $R$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$\begin{align}
\left[ TRS \right] &= \dfrac{1}{2} \times TR \times RS \\ &= \dfrac{1}{2} \times 2a \times a \\ &= a^{2} \\ \end{align}$

Luas $\triangle TRS$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[ TRS \right] &= \dfrac{1}{2} \times TS \times RR' \\ \hline TS^{2} &= TR^{2}+RS^{2} \\ &= (2a)^{2}+a^{2} \\ &= 4a^{2}+a^{2} \\ &= 5a^{2} \\ TS &= a\sqrt{5} \\ \hline \left[ TRS \right] &= \dfrac{1}{2} \times TS \times RR' \\ a^{2} &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{5} \times RR' \\ 2a^{2} &= a\sqrt{5} \times RR' \\ RR' &= \dfrac{2a^{2}}{a\sqrt{5}} \\ RR' &= \dfrac{2}{5}a\sqrt{5} \\ \end{align}$

Jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$ adalah $\dfrac{2}{5}a\sqrt{5}$

9. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013


Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$. $P$ titik tengah $EH$. Tentukan jarak titik $P$ ke garis $CF$.
Alternatif Pembahasan:
show

Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Untuk menghitung jarak titik $P$ ke garis $CF$, kita perlu beberapa informasi tambahan, antara lain;
Titik $P$ kita proyeksikan ke garis $CF$, misal kita sebut titiknya adalah $P'$ sehingga $PP'$ tegak lurus $CF$, karena $PP' \perp CF$ maka jarak titik $P$ ke garis $CF$ adalah panjang $PP'$.
Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Sekarang kita coba menghitung $PP'$ dengan bantuan $\triangle PFC$
Coba perhatikan $\triangle PFC$ kita bisa menghitung luasnya denga cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi;
$[PFC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
dimana $s=\dfrac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle PFC$
$s=\dfrac{1}{2}(PF+CP+CF)$
Dengan menggunakan teorema phytagoras kita dapat menghitung panjang ketiga sisi $\triangle PFC$,
$PF=2\sqrt{5}=a$; $CP=6=b$ dan $CF=4\sqrt{2}=c$
$s=\dfrac{1}{2}(2\sqrt{5}+6+4\sqrt{2})$
$s=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}$
$s-a=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{5}=3+2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
$s-b=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-6=\sqrt{5}+2\sqrt{2}-3$
$s-c=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\sqrt{5}+3-2\sqrt{2}$

$\begin{align}
\left[PFC \right] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &= \sqrt{(\sqrt{5}+3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{5}+2\sqrt{2}-3)(\sqrt{5}+3-2\sqrt{2})} \\ &= \sqrt{(9+12\sqrt{2}+8-5)(-12+12\sqrt{2})} \\ &= \sqrt{(12\sqrt{2}+12)(12\sqrt{2}-12)} \\ &= \sqrt{288-144} \\ &= \sqrt{144}=12 \\ \end{align}$

Luas $\triangle PFC$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[PFC \right] &= \dfrac{1}{2} \times CF \times PP' \\ &= \dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times PP' \\ 12 &= 2\sqrt{2} \times PP' \\ PP' &= \dfrac{12}{2\sqrt{2}} \\ PP' &= 3\sqrt{2} \\ \end{align}$

Jarak titik $P$ ke garis $CF$ adalah $3\sqrt{2}$

10. Soal Uji Kompetensi Dimensi Tiga Matematika SMA Kurikulum 2013


Panjang rusuk kubus $ABCD.EFGH$ adalah $6\ cm$. Tentukan jarak titik $C$ dengan bidang $BDG$.
Alternatif Pembahasan:
show

Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)
Dengan memperhatikan gambar diatas, masalah ini sama dengan masalah soal nomor 2, jadi jika untuk menghitungnya dengan terpenrinci coba ikuti langkah-langkah pada soal nomor 2.

Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ adalah $\dfrac{1}{3} a \sqrt{3}$ dengan $a$ adalh panjang rusuk, sehingga jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ adalah $2 \sqrt{3}$.

(*Jika ingin melihat penjelasan jarak titik ke bidang dengan posisi sama seperti soal diatas adalah $\dfrac{1}{3} a \sqrt{3}$. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas)


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Soal Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013) silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Kreatifitas siswa lewat Baris-berbaris, sangat kreatif
youtube image
Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Matematika Dasar Dimensi Tiga (*Soal Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013)" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar