Calon Guru belajar matematika dasar SMA tentang dimensi tiga dan soal latihan yang kita pilih sebagai bahan diskusi dipilih dari soal Uji Kompetensi (UK) buku matematika SMA kelas XII (dua belas).
RUMUS JARAK DUA TITIK PADA KUBUS
Berikut ini coba kita gambarkan beberapa rumus jarak pada kubus dengan panjang rusuk kubus kita misalkan dengan $a$.
Beberapa jarak titik yang disampaikan di atas jika tidak hafal dapat ditemukan dengan mengggunakan menggunakan teorema pythagoras. Untuk lebih memahami lagi tentang masalah yang berkembang tentang dimensi tiga ini, kita coba diskusikan beberapa soal berikut yang kita pilih dari soal Uji Kompetensi (UK) yang ditanyakan pada media sosial dan umumnya soal ini dari buku matematika SMA kelas XII.
1. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA
Perhatikan gambar berikut:
a. Dari Gambar $(a)$, tentukan jarak dari titik $A$ ke $D$.
b. Dari Gambar $(b)$, tentukan jarak titik $P$ terhadap garis $g$.
c. Dari Gambar $(c)$, tentukan jarak titik $P$ pada bidang-$K$.
Alternatif Pembahasan:
Kalau melihat soal nomor 1 ini sepertinya kita diajak untuk memahami konsep jarak itu, yaitu Jika AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak.
- $(a)$, jarak dari titik $A$ ke $D$ adalah panjang $AD$ yaitu $AC+CD=$$17\ m +29\ m=46\ m$
- $(b)$, jarak titik $P$ terhadap garis $g$ adalah panjang $PP_{1}$ karena $P_{1}$ terletak pada garis $g$ dan $PP_{1}\ \perp g$.
- $(c)$, jarak titik $P$ pada bidang-$K$ adalah $PP_{1}$ karena $P_{1}$ terletak pada garis $RP_{1}$ atau garis $QP_{1}$ dimana garis $RP_{1}$ atau garis $QP_{1}$ terletak pada bidang-$K$ dan $PP_{1} \perp QP_{1}$ atau $PP_{1} \perp RP_{1}$.
2. Soal UK Dimensi Tiga Matematika SMA
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $9\ cm$. Buat ilustrasi kubus tersebut. Tentukan langkah menentukan jarak titik $F$ ke bidang $BEG$. Kemudian hitunglah jarak titik $F$ ke bidang $BEG$.
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita pastinya harus bisa menggambar kubus $ABCD.EFGH$ dan bidang $BEG$
- Pertama, kita tarik garis pada bidang $BEG$ misalkan kita sebut garis $BB'$.
- Kedua, kita tarik garis dari $F$ sehingga tegak lurus pada garis $BB'$ misalkan kita sebut garis $FF'$.
- Ketiga, karena $FF' \perp BB'$ maka jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ adalah panjang $FF'$.
Untuk menghitung jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ yaitu panjang $FF'$, kita membutuhkan beberapa data tambahan.
Karena $\triangle BEG$ adalah samakaki maka $BB' \perp EG$ dan $B'$ adalah titik tengah $EG$,
sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
BB' &= \sqrt{BG^{2}-B'G^{2}} \\
&=\sqrt{(9\sqrt{2})^{2}-(\dfrac{9}{2}\sqrt{2})^{2}} \\
&=\sqrt{162-\dfrac{81}{2}} \\
&=\sqrt{\dfrac{324}{2}-\dfrac{81}{2}} \\
&=\sqrt{\dfrac{243}{2}} \\
&=\dfrac{9}{2}\sqrt{6} \\
\end{align}$
Dari $\triangle BFB'$ adalah segitiga siku-siku di $F$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$\begin{align}
\left[ BFB' \right] &= \dfrac{1}{2} \times BF \times FB' \\
&= \dfrac{1}{2} \times 9 \times \dfrac{9}{2} \sqrt{2} \\
&=\dfrac{81}{4} \sqrt{2} \\
\end{align}$
Luas $\triangle BFB'$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[ BFB' \right] &= \dfrac{1}{2} \times BB' \times FF' \\
\left[ BFB' \right] &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \times FF' \\
\dfrac{81}{4}\sqrt{2} &=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \times FF' \\
\dfrac{81}{4}\sqrt{2} &=\dfrac{9}{4}\sqrt{6} \times FF' \\
81\sqrt{2} &=9\sqrt{6} \times FF' \\
9\sqrt{2} &=\sqrt{6} \times FF' \\
FF' &=\dfrac{9\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\
FF' &=\dfrac{9}{\sqrt{3}} \\
FF' &=3\sqrt{3} \\
\end{align}$
Jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ adalah $3 \sqrt{3}$.
(*Sebagai catatan; jika panjang rusuk kubus di rubah panjangnya misal jadi $a$, maka jarak titik ke bidang dengan posisi sama seperti soal di atas adalah $\dfrac{1}{3} a \sqrt{3}$. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas)
3. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$. Jika titik $P$ terletak pada perpanjangan $AB$ sehingga $PB = 2a$, dan titik $Q$ pada perpanjangan $FG$ sehingga $QG = a$.
a. Buatlah ilustrasi dari masalah di atas.
b. Tentukan $PQ$.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan ilustrasi dari masalah di atas kurang lebih seperti berikut ini;
Untuk menghitung $PQ$ kita perlu beberapa garis bantu, antara lain;
Titik potong perpanjangan garis $EF$ dengan garis yang tegak lurus $AP$ di $P$ kita misalkan Titik $R$. Lalu jika kita hubungkan titik $P,\ Q, R$ maka akan kita peroleh segitiga $PQR$ yang siku-siku di $R$.
$\begin{align}
PQ &= \sqrt{PR^{2}+QR^{2}} \\
\hline
PR=a\ & \text{dan}\ QR=\sqrt{QF^{2}+FR^{2}} \\
\hline
QR &= \sqrt{(2a)^{2}+(2a)^{2}} \\
&= \sqrt{8a^{2}} \\
&= 2a\sqrt{2} \\
\hline
PQ &=\sqrt{PR^{2}+QR^{2}} \\
&= \sqrt{a^{2}+(2a\sqrt{2})^{2}} \\
&= \sqrt{a^{2}+8a^{2}} \\
&= \sqrt{9a^{2}} \\
&= 3a
\end{align}$
4. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA
Panjang setiap bidang empat beraturan $T.ABC$ sama dengan $16\ cm$. Jika $P$ pertengahan $AT$ dan $Q$ pertengahan $BC$, tentukan $PQ$.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita coba ilustrasikan masalah di atas, kurang lebih seperti berikut ini;
Titik $P$ dan $Q$ merupakan titik tengah $AT$ dan $BC$ pada bidang empat beraturan, sehingga kita peroleh $\triangle CPT$ yang siku-siku di $P$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
CP&=\sqrt{CT^{2}-TP^{2}} \\
&=\sqrt{16^{2}-8^{2}} \\
&=\sqrt{256-64} \\
&=\sqrt{192} \\
&=8\sqrt{3} \\
\end{align}$
Pada $\triangle PQC$ yang siku-siku di $Q$, berlaku;
$\begin{align}
PQ &= \sqrt{CP^{2}-CQ^{2}} \\
&=\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}-8^{2}} \\
&=\sqrt{192-64} \\
&=\sqrt{128} \\
&=8\sqrt{2}
\end{align}$
5. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA
Perhatikan gambar kubus $ABCD.EFGH$. Tentukan jarak titik $H$ ke $DF$.
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung jarak titik $H$ ke $DF$ kita perlu beberapa garis bantu, antara lain;
Kita tarik garis dari $H$ yang tegak lurus ke $DF$, misal kita sebut $HH'$.
Segitiga $HDF$ adalah segitiga siku-siku di $H$ sehingga:
$\begin{align}
\left[ HDF \right] &= \dfrac{1}{2} \times HD \times HF \\
&= \dfrac{1}{2} \times 6 \times 6=18
\end{align}$
Luas segitiga $HDF$ dapat juga kita hitung dengan cara;
$\begin{align}
\left[ HDF \right] &=\dfrac{1}{2} \times DF \times HH' \\
18 &= \dfrac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times HH' \\
HH' &= \dfrac{18}{3\sqrt{3}} \\
HH' &= 9\sqrt{2} \\
\end{align}$
Karena $HH'$ tegak lurus dengan $DF$ maka jarak titik $H$ ke $DF$ adalah $9\sqrt{2}$
6. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA
Dalam kubus $ABCD.EFGH$ titik $S$ adalah titik tengah sisi $CD$ dan $P$ adalah titik tengah diagonal ruang $BH$. Tentukan perbandingan volum limas $P.BCS$ dan volum kubus $ABCD.EFGH$.
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung perbandingan volume kubus dengan limas, mungkin kita butuh ilustrasi kubus $ABCD.EFGH$ dan limas $P.BCS$ bisa kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
Karena pada soal panjang rusuk kubus tidak ditentukan, kita misalkan panjang rusuk kubus $AB=2a$.
Volume kubus adalah $V_{k}=(2a)^{3}=8a^{3}$.
Volume Limas adalah $\dfrac{1}{3} \times \text{luas alas} \times \text{tinggi}$
$\begin{align}
V_{l} &= \dfrac{1}{3} \times [BCS] \times PP' \\
&= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} BC \times CS \times PP' \\
&= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} 2a \times a \times a \\
&= \dfrac{1}{3} a^{3} \\
\end{align}$
Perbandingan Volume Kubus dan Limas adalah:
$\begin{align}
V_{k}:V_{l} &= 8a^3:\dfrac{1}{3} a^{3} \\
V_{k}:V_{l} &= 8:\dfrac{1}{3} \\
V_{k}:V_{l} &= 24:1 \\
\end{align}$
7. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. $S$ merupakan proyeksi titik $C$ pada bidang $AFH$.Tentukan jarak titik $A$ ke titik $S$.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita ilustrasikan gambar di atas kurang lebih seperti berikut ini;
Titik $S$ adalah hasil proyeksi titik $C$ pada bidang $AFH$ sehingga $SC$ tegak lurus pada bidang $AFH$. Garis $AS$ terletak pada bidang $AFH$ maka $AS$ tegak lurus $SC$ secara simbol dapat kita tuliskan $AS \perp SC$.
Dari kumpulan informasi di atas sekarang kita coba hitung panjang $AS$,
Coba perhatikan $\triangle ACE$ adalah segitiga siku-siku di $A$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$\begin{align}
\left[ ACE \right] &= \dfrac{1}{2} \times AC \times AE \\
&= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a \\
&= \dfrac{1}{2} a^{2}\sqrt{2}
\end{align}$
Luas $\triangle ACE$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[ ACE \right] &= \dfrac{1}{2} \times CE \times AS \\
\left[ ACE \right] &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times AS \\
a^{2}\sqrt{2} &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times AS \\
2a^{2}\sqrt{2} &= a\sqrt{2} \times AS \\
AS &= \dfrac{2a^{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} \\
AS &= \dfrac{2a^{2}}{a} \\
AS &= 2a
\end{align}$
8. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. $P$ dan $Q$ masing-masing merupakan titik tengah $AB$ dan $CD$, sedangkan $R$ merupakan titik potong $EG$ dan $FH$. Tentukan jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita ilustrasikan gambar soal di atas kurang lebih seperti berikut ini;
Titik tengah $EH$ kita sebut $S$, dan titik tengah $PQ$ kita sebut $T$.
Titik $R$ kita proyeksikan ke bidang $EPQH$ dan hasilnya terletak pada garis $ST$, kita sebut titik $R'$ sehingga $RR'$ tegak lurus dengan $ST$.
Karena $RR'$ tegak lurus dengan $ST$ dan $ST$ berada pada bidang $EPQH$ maka jarak titik $R$ ke $EPQH$ adalah $RR'$.
Sekarang kita coba menghitung $RR'$ dengan bantuan $\triangle TRS$
Coba perhatikan $\triangle TRS$ adalah segitiga siku-siku di $R$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$\begin{align}
\left[ TRS \right] &= \dfrac{1}{2} \times TR \times RS \\
&= \dfrac{1}{2} \times 2a \times a \\
&= a^{2} \\
\end{align}$
Luas $\triangle TRS$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[ TRS \right] &= \dfrac{1}{2} \times TS \times RR' \\
\hline
TS^{2} &= TR^{2}+RS^{2} \\
&= (2a)^{2}+a^{2} \\
&= 4a^{2}+a^{2} \\
&= 5a^{2} \\
TS &= a\sqrt{5} \\
\hline
\left[ TRS \right] &= \dfrac{1}{2} \times TS \times RR' \\
a^{2} &= \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{5} \times RR' \\
2a^{2} &= a\sqrt{5} \times RR' \\
RR' &= \dfrac{2a^{2}}{a\sqrt{5}} \\
RR' &= \dfrac{2}{5}a\sqrt{5} \\
\end{align}$
Jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$ adalah $\dfrac{2}{5}a\sqrt{5}$
9. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$. $P$ titik tengah $EH$. Tentukan jarak titik $P$ ke garis $CF$.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita ilustrasikan gambar soal di atas kurang lebih seperti berikut ini;
Untuk menghitung jarak titik $P$ ke garis $CF$, kita perlu beberapa informasi tambahan, antara lain;
Titik $P$ kita proyeksikan ke garis $CF$, misal kita sebut titiknya adalah $P'$ sehingga $PP'$ tegak lurus $CF$, karena $PP' \perp CF$ maka jarak titik $P$ ke garis $CF$ adalah panjang $PP'$.
Sekarang kita coba menghitung $PP'$ dengan bantuan $\triangle PFC$
Coba perhatikan $\triangle PFC$ kita bisa menghitung luasnya dengan cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi;
$[PFC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
dimana $s=\dfrac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle PFC$
$s=\dfrac{1}{2}(PF+CP+CF)$
Dengan menggunakan teorema phytagoras kita dapat menghitung panjang ketiga sisi $\triangle PFC$,
$PF=2\sqrt{5}=a$; $CP=6=b$ dan $CF=4\sqrt{2}=c$
$s=\dfrac{1}{2}(2\sqrt{5}+6+4\sqrt{2})$
$s=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}$
$s-a=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{5}=3+2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
$s-b=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-6=\sqrt{5}+2\sqrt{2}-3$
$s-c=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\sqrt{5}+3-2\sqrt{2}$
$\begin{align}
\left[PFC \right] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&= \sqrt{(\sqrt{5}+3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{5}+2\sqrt{2}-3)(\sqrt{5}+3-2\sqrt{2})} \\
&= \sqrt{(9+12\sqrt{2}+8-5)(-12+12\sqrt{2})} \\
&= \sqrt{(12\sqrt{2}+12)(12\sqrt{2}-12)} \\
&= \sqrt{288-144} \\
&= \sqrt{144}=12 \\
\end{align}$
Luas $\triangle PFC$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$\begin{align}
\left[PFC \right] &= \dfrac{1}{2} \times CF \times PP' \\
&= \dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times PP' \\
12 &= 2\sqrt{2} \times PP' \\
PP' &= \dfrac{12}{2\sqrt{2}} \\
PP' &= 3\sqrt{2} \\
\end{align}$
Jarak titik $P$ ke garis $CF$ adalah $3\sqrt{2}$
10. Soal Dimensi Tiga Matematika SMA
Panjang rusuk kubus $ABCD.EFGH$ adalah $6\ cm$. Tentukan jarak titik $C$ dengan bidang $BDG$.
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik $C$ dan bidang $BDG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ seperti berikut ini:
Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ dari gambar di atas merupakan tinggi limas $BDG.C$ yang kita sebut $CO$. Pada gambar sebelah kanan dapat kita peroleh jarak titik $C$ ke $O$ adalah $\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}$, sehingga dengan panjang rusuk $a=6$ maka kita peroleh $CO=\dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$
Jika tertarik untuk melihat perhitungan ini lebih lengkap silahkan disimak pada catatan Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas atau Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang (Geometri)
Catatan Dimensi Tiga dan Pembahasan Soal Latihan Uji Kompetensi dari Buku Matematika SMA di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
