Matematika Dasar Dimensi Tiga [ Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013]

Ini ada beberapa soal tentang dimensi tiga dari buku kelas XII kurikulum 2013, mungkin kita bisa diskusikan, karena di sekolah mungkin tidak semua nanti soal ini akan dibahas,... kata Tika kepada Mat.

Baiklah, mana coba kita baca bersama bukunya..., balas Mat, ...lalu Tika coba buka buku SMA Kelas XII Kurikulum 2013 Halaman 25.

Soal Nomor 1:

Perhatikan gambar berikut:
a. Dari Gambar $(a)$, tentukan jarak dari titik $A$ ke $D$.
b. Dari Gambar $(b)$, tentukan jarak titik $P$ terhadap garis $g$.
c. Dari Gambar $(c)$, tentukan jarak titik $P$ pada bidang-$K$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Kalau melihat soal nomor 1 ini sepertinya kita diajak untuk memahami konsep jarak itu, yaitu Jika AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak.

  • $(a)$, jarak dari titik $A$ ke $D$ adalah panjang $AD$ yaitu $AC+CD=$$17\ m +29\ m=46\ m$
  • $(b)$, jarak titik $P$ terhadap garis $g$ adalah panjang $PP_{1}$ karena $P_{1}$ terletak pada garis $g$ dan $PP_{1}\ \perp g$.
  • $(c)$, jarak titik $P$ pada bidang-$K$ adalah $PP_{1}$ karena $P_{1}$ terletak pada garis $RP_{1}$ atau garis $QP_{1}$ dimana garis $RP_{1}$ atau garis $QP_{1}$ terletak pada bidang-$K$ dan $PP_{1} \perp QP_{1}$ atau $PP_{1} \perp RP_{1}$.


Soal Nomor 2:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $9\ cm$. Buat ilustrasi kubus tersebut. Tentukan langkah menentukan jarak titik $F$ ke bidang $BEG$. Kemudian hitunglah jarak titik $F$ ke bidang $BEG$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Pertama kita pastinya harus bisa menggambar kubus $ABCD.EFGH$ dan bidang $BEG$

Langkah-langkah menentukan jarak titik $F$ ke bidang $BEG$, kurang lebih dapat kita lakukan seperti berikut ini;
  • Pertama, kita tarik garis pada bidang $BEG$ misalkan kita sebut garis $BB'$.
  • Kedua, kita tarik garis dari $F$ sehingga tegak lurus pada garis $BB'$ misalkan kita sebut garis $FF'$.
  • Ketiga, karena $FF' \perp BB'$ maka jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ adalah panjang $FF'$.
Untuk menghitung jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ yaitu panjang $FF'$, kita membutuhkan beberapa data tambahan, antara lain;
Karena $\triangle BEG$ adalah samakaki maka $BB' \perp EG$ dan $B'$ adalah titik tengah $EG$,
sehingga berlaku $BB'=\sqrt{BG^{2}-B'G^{2}}$
$BB'=\sqrt{(9\sqrt{2})^{2}-(\frac{9}{2}\sqrt{2})^{2}}$
$BB'=\sqrt{162-\frac{81}{2}}$
$BB'=\sqrt{\frac{324}{2}-\frac{81}{2}}$
$BB'=\sqrt{\frac{243}{2}}$
$BB'=\frac{9}{2}\sqrt{6}$

Coba perhatikan $\triangle BFB'$ adalah segitiga siku-siku di $F$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$[BFB']=\frac{1}{2} \times BF \times FB'$
$[BFB']=\frac{1}{2} \times 9 \times \frac{9}{2} \sqrt{2}$
$[BFB']=\frac{81}{4} \sqrt{2}$

Luas $\triangle BFB'$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$[BFB]=\frac{1}{2} \times BB' \times FF'$
$[BFB]=\frac{1}{2} \times \frac{9}{2}\sqrt{6} \times FF'$
$\frac{81}{4}\sqrt{2}=\frac{1}{2} \times \frac{9}{2}\sqrt{6} \times FF'$
$\frac{81}{4}\sqrt{2}=\frac{9}{4}\sqrt{6} \times FF'$
$81\sqrt{2}=9\sqrt{6} \times FF'$
$9\sqrt{2}=\sqrt{6} \times FF'$
$FF'=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$
$FF'=\frac{9}{\sqrt{3}}$
$FF'=3\sqrt{3}$

Jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ adalah $3 \sqrt{3}$.

Sebagai catatan; jika panjang rusuk kubus di rubah panjangnya misal jadi $a$, maka jarak titik ke bidang dengan posisi sama seperti soal diatas adalah $\frac{1}{3} a \sqrt{3}$. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.


Soal Nomor 3:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$. Jika titik $P$ terletak pada perpanjangan $AB$ sehingga $PB = 2a$, dan titik $Q$ pada perpanjangan $FG$ sehingga $QG = a$.
a. Buatlah ilustrasi dari masalah di atas.
b. Tentukan $PQ$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita gambarkan ilustrasi dari masalah diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Untuk menghitung $PQ$ kita perlu beberapa garis bantu, antara lain;
Titik potong perpanjangan garis $EF$ dengan garis yang tegak lurus $AP$ di $P$ kita misalkan Titik $R$. Lalu jika kita hubungkan titik $P,\ Q, R$ maka akan kita peroleh segitiga $PQR$ yang siku-siku di $R$.
$PQ=\sqrt{PR^{2}+QR^{2}}$
dimana $PR=a$ dan $QR=\sqrt{QF^{2}+FR^{2}}$
$QR=\sqrt{(2a)^{2}+(2a)^{2}}$
$QR=\sqrt{8a^{2}}$
$QR=2a\sqrt{2}$

$PQ=\sqrt{PR^{2}+QR^{2}}$
$PQ=\sqrt{a^{2}+(2a\sqrt{2})^{2}}$
$PQ=\sqrt{a^{2}+8a^{2}}$
$PQ=\sqrt{9a^{2}}$
$PQ=3a$


Soal Nomor 4:

Panjang setiap bidang empat beraturan $T.ABC$ sama dengan $16\ cm$. Jika $P$ pertengahan $AT$ dan $Q$ pertengahan $BC$, tentukan $PQ$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita coba ilustrasikan masalah diatas, kurang lebih seperti berikut ini;

Titik $P$ dan $Q$ merupakan titik tengah $AT$ dan $BC$ pada bidang empat beraturan, sehingga kita peroleh $\triangle CPT$ yang siku-siku di $P$ sehingga berlaku;
$CP=\sqrt{CT^{2}-TP^{2}}$
$CP=\sqrt{16^{2}-8^{2}}$
$CP=\sqrt{256-64}$
$CP=\sqrt{192}$
$CP=8\sqrt{3}$

Pada $\triangle PQC$ yang siku-siku di $Q$, berlaku;
$PQ=\sqrt{CP^{2}-CQ^{2}}$
$PQ=\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}-8^{2}}$
$PQ=\sqrt{192-64}$
$PQ=\sqrt{128}$
$PQ=8\sqrt{2}$

Soal Nomor 5:

Perhatikan gambar kubus $ABCD.EFGH$. Tentukan jarak titik $H$ ke $DF$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menghitung jarak titik $H$ ke $DF$ kita perlu beberapa garis bantu, antara lain;
Kita tarik garis dari $H$ yang tegak lurus ke $DF$, misal kita sebut $HH'$.
Segitiga $HDF$ adalah segitiga siku-siku di $H$ sehingga:
$[HDF] =\frac{1}{2} \times HD \times HF$
$[HDF] =\frac{1}{2} \times 6 \times 6=18$

Luas segitiga $HDF$ dapat juga kita hitung dengan cara;
$[HDF] =\frac{1}{2} \times DF \times HH'$
$18 =\frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times HH'$
$HH'=\frac{18}{3\sqrt{3}}$
$HH'=9\sqrt{2}$

Karena $HH'$ tegak lurus dengan $DF$ maka jarak titik $H$ ke $DF$ adalah $9\sqrt{2}$


Soal Nomor 6:

Dalam kubus $ABCD.EFGH$ titik $S$ adalah titik tengah sisi $CD$ dan $P$ adalah titik tengah diagonal ruang $BH$. Tentukan perbandingan volum limas $P.BCS$ dan volum kubus $ABCD.EFGH$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menghitung perbandingan volume kubus dengan limas, mungkin kita butuh ilustrasi kubus $ABCD.EFGH$ dan limas $P.BCS$ bisa kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Karena pada soal panjang rusuk kubus tidak ditentukan, kita misalkan panjang rusuk kubus $AB=2a$.
Volume kubus adalah $V_{k}=(2a)^{3}=8a^3$

Volume Limas adalah $\frac{1}{3} \times \text{luas alas} \times \text{tinggi}$
$V_{l}=\frac{1}{3} \times [BCS] \times PP'$
$V_{l}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} BC \times CS \times PP'$
$V_{l}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} 2a \times a \times a$
$V_{l}=\frac{1}{3} a^{3}$

Perbandingan Volume Kubus dan Limas adalah:
$V_{k}:V_{l}=8a^3:\frac{1}{3} a^{3}$
$V_{k}:V_{l}=8:\frac{1}{3}$
$V_{k}:V_{l}=24:1$


Soal Nomor 7:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. $S$ merupakan proyeksi titik $C$ pada bidang $AFH$.Tentukan jarak titik $A$ ke titik $S$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita ilustrasikan gambar diatas kurang lebih seperti berikut ini;

Titik $S$ adalah hasil proyeksi titik $C$ pada bidang $AFH$ sehingga $SC$ tegak lurus pada bidang $AFH$. Garis $AS$ terletak pada bidang $AFH$ maka $AS$ tegak lurus $SC$ secara simbol dapat kita tuliskan $AS \perp SC$.

Dari kumpulan informasi diatas sekarang kita coba hitung panjang $AS$,
Coba perhatikan $\triangle ACE$ adalah segitiga siku-siku di $A$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$[ACE]=\frac{1}{2} \times AC \times AE$
$[ACE]=\frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a$
$[ACE]=\frac{1}{2} a^{2}\sqrt{2}$

Luas $\triangle ACE$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$[ACE]=\frac{1}{2} \times CE \times AS$
$[ACE]=\frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times AS$
$a^{2}\sqrt{2}=\frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times AS$
$2a^{2}\sqrt{2}=a\sqrt{2} \times AS$
$AS=\frac{2a^{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}$
$AS=\frac{2a^{2}}{a}$
$AS=2a$

Soal Nomor 8:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. $P$ dan $Q$ masing-masing merupakan titik tengah $AB$ dan $CD$, sedangkan $R$ merupakan titik potong $EG$ dan $FH$. Tentukan jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih seperti berikut ini;


Untuk menghitung jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$ kita membutuhkan beberapa informasi tambahan, antara lain;
Titik tengah $EH$ kita sebut $S$, dan titik tengah $PQ$ kita sebut $T$.
Titik $R$ kita proyeksikan ke bidang $EPQH$ dan hasilnya terletak pada garis $ST$, kita sebut titik $R'$ sehingga $RR'$ tegak lurus dengan $ST$.
Karena $RR'$ tegak lurus dengan $ST$ dan $ST$ berada pada bidang $EPQH$ maka jarak titik $R$ ke $EPQH$ adalah $RR'$.

Sekarang kita coba menghitung $RR'$ dengan bantuan $\triangle TRS$
Coba perhatikan $\triangle TRS$ adalah segitiga siku-siku di $R$, sehingga kita bisa menghitung luasnya denga cara;
$[TRS]=\frac{1}{2} \times TR \times RS$
$[TRS]=\frac{1}{2} \times 2a \times a$
$[TRS]=a^{2}$

Luas $\triangle TRS$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$[TRS]=\frac{1}{2} \times TS \times RR'$

$TS^{2}=TR^{2}+RS^{2}$
$TS^{2}=(2a)^{2}+a^{2}$
$TS^{2}=4a^{2}+a^{2}$
$TS^{2}=5a^{2}+$
$TS=a\sqrt{5}$

$[TRS]=\frac{1}{2} \times TS \times RR'$
$a^{2}=\frac{1}{2} \times a\sqrt{5} \times RR'$
$2a^{2}=a\sqrt{5} \times RR'$
$RR'=\frac{2a^{2}}{a\sqrt{5}}$
$RR'=\frac{2}{5}a\sqrt{5}$

Jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$ adalah $\frac{2}{5}a\sqrt{5}$


Soal Nomor 9:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$. $P$ titik tengah $EH$. Tentukan jarak titik $P$ ke garis $CF$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih seperti berikut ini;


Untuk menghitung jarak titik $P$ ke garis $CF$, kita perlu beberapa informasi tambahan, antara lain;
Titik $P$ kita proyeksikan ke garis $CF$, misal kita sebut titiknya adalah $P'$ sehingga $PP'$ tegak lurus $CF$, karena $PP' \perp CF$ maka jarak titik $P$ ke garis $CF$ adalah panjang $PP'$.

Sekarang kita coba menghitung $PP'$ dengan bantuan $\triangle PFC$
Coba perhatikan $\triangle PFC$ kita bisa menghitung luasnya denga cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi;
$[PFC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
dimana $s=\frac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle PFC$
$s=\frac{1}{2}(PF+CP+CF)$
Dengan menggunakan teorema phytagoras kita dapat menghitung panjang ketiga sisi $\triangle PFC$,
$PF=2\sqrt{5}=a$; $CP=6=b$ dan $CF=4\sqrt{2}=c$
$s=\frac{1}{2}(2\sqrt{5}+6+4\sqrt{2})$
$s=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}$
$s-a=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{5}=3+2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
$s-b=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-6=\sqrt{5}+2\sqrt{2}-3$
$s-c=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\sqrt{5}+3-2\sqrt{2}$

$[PFC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$[PFC]=\sqrt{(\sqrt{5}+3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{5}+2\sqrt{2}-3)(\sqrt{5}+3-2\sqrt{2})}$
$[PFC]=\sqrt{((3+2\sqrt{2})^{2}-5)(5+3\sqrt{5}-2\sqrt{10}+2\sqrt{10}+6\sqrt{2}-8-3\sqrt{5}-9+6\sqrt{2})}$
$[PFC]=\sqrt{(9+12\sqrt{2}+8-5)(-12+12\sqrt{2})}$
$[PFC]=\sqrt{(12\sqrt{2}+12)(12\sqrt{2}-12)}$
$[PFC]=\sqrt{288-144}$
$[PFC]=\sqrt{144}=12$

Luas $\triangle PFC$ dapat juga kita hitung luasnya dengan cara;
$[PFC]=\frac{1}{2} \times CF \times PP'$
$[PFC]=\frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times PP'$
$12=2\sqrt{2} \times PP'$
$PP'=\frac{12}{2\sqrt{2}}$
$PP'=3\sqrt{2}$

Jarak titik $P$ ke garis $CF$ adalah $3\sqrt{2}$


Soal Nomor 10:

Panjang rusuk kubus $ABCD.EFGH$ adalah $6\ cm$. Tentukan jarak titik $C$ dengan bidang $BDG$.
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih seperti berikut ini;


Dengan memperhatikan gambar diatas, masalah ini sama dengan masalah soal nomor 2, jadi jika untuk menghitungnya dengan terpenrinci coba ikuti langkah-langkah pada soal nomor 2.

Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ adalah $\frac{1}{3} a \sqrt{3}$ dengan $a$ adalh panjang rusuk, sehingga jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ adalah $2 \sqrt{3}$.

Sebagai catatan; Jika ingin melihat penjelasan jarak titik ke bidang dengan posisi sama seperti soal diatas adalah $\frac{1}{3} a \sqrt{3}$. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.



Sudah selesai semua nich.. teriak Mat puas kepada Tika,..
Iya sebentar aku coba buatkan teh dan goreng pisang biar tenagamu pulih kembali,... balas Tika....

Betul-betul potong Ema, Mat sepertinya sudah kelelahan dan aku harus coba baca-baca kembali apa yang di tulis Mat ini, karena aku belum sepenuhnya mengerti, tetapi paling tidak sudah ada pencerahan sedikit tentang jarak titik ke titik, jarak titik ke garis dan jarak titik ke bidang.

Sampai ketemu besok teman-teman, jika aku nanti ada kendala kita diskusikan kembali iya, tutup Ema.

UPDATE: Kumpulan Soal dan modul SBMPTN [Saintek-Soshum-TPA] dan STAN 😊 Silahkan didownload dan dipelajari, terkhusus bagi pelajar yang mau sukses SBMPTN atau UN tanpa bimbingan: [Download Disini]

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

You Might Also Like: