Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari rumus cara menghitung luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya dan cara alternatif untuk membuktikan rumus luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya.
Rumus luas segitiga ini juga dikenal dengan sebutan Rumus Heron atau Formula Heron. Nama rumus ini diambil dari nama ahli matematika Yunani yang bernama Heron dari Alexandria. Rumus Heron tini sendiri terdapat pada buku yang ditulis oleh Heron yang berjudul "Metrica" sekitar tahun 60 Masehi.
Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisinya
Untuk membuktikan rumus luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya ada beberapa cara, yang kita jabarkan disini hanya satu dari beberapa cara yang ada.
Jika segitiga $ABC$ diketahui panjang sisi $AB=c$, sisi $AC=b$, sisi $BC=a$, maka luasnya adalah $[ABC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$.
Sekarang kita coba buktikan bahwa $[ABC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$ adalah benar.
Kita membutuhkan beberapa data pendukung antara lain;
- Identitas trigonometri: $\sin^{2}A=1-\cos^{2}A$
- Aturan Cosinus: $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
- Sifat Aljabar: $ (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$
- $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}bc\ \sin A$
$\begin{align}
\sin^{2}A & = 1-\cos^{2}A \\
\sin^{2}A & = \left (1-\cos A \right )\left (1+\cos A \right ) \\
\sin^{2}A & = \left (1-\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right )\left ( 1+\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right ) \\
\sin^{2}A & = \left (\dfrac{2bc-b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right )\left ( \dfrac{2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right ) \\
\sin^{2}A & = \left ( \dfrac{a^{2}-(b-c)^2}{2bc} \right )\left ( \dfrac{(b+c)^2-a^{2}}{2bc} \right ) \\
\sin^{2}A & = \left ( \dfrac{[a-(b-c)][a+(b-c)]}{2bc} \right )\left ( \dfrac{[(b+c)+a)][(b+c)-a)]}{2bc} \right ) \\
\sin^{2}A & = \left ( \dfrac{[a-b+c][a+b-c]}{2bc} \right )\left ( \dfrac{[b+c+a][b+c-a]}{2bc} \right ) \\
\sin^{2}A & = \left ( \dfrac{[a-b+c][a+b-c][b+c+a][b+c-a]}{4b^{2}c^{2}} \right ) \\
\sin A & = \sqrt{\left ( \dfrac{[a-b+c][a+b-c][b+c+a][b+c-a]}{4b^{2}c^{2}} \right )} \\
\sin A & = \dfrac{1}{2bc} \sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c+a)(b+c-a)} \\
\sin A & = \dfrac{1}{2bc} \sqrt{(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)(b+c+a)(a+b+c-2a)}
\end{align}$
Dengan $2s=a+b+c$ atau $s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$, maka kita peroleh;
$\begin{align}
\sin A &=\dfrac{1}{2bc} \sqrt{(2s-2b)(2s-2c)(2s)(2s-2a)} \\
\sin A &=\dfrac{1}{2bc} \sqrt{2(s-b)2(s-c)2(s)2(s-a)} \\
\sin A &=\dfrac{1}{2bc} \sqrt{16(s-b)(s-c)(s)(s-a)} \\
\sin A &=\dfrac{1}{2bc} \times 4 \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)} \\
\sin A &=\dfrac{2}{bc} \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}$
Dari aturan menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut kita peroleh;
$\begin{align}
\left[ ABC \right] &= \dfrac{1}{2}bc\ \sin A \\
\left[ ABC \right] &= \dfrac{1}{2}bc\ \dfrac{2}{bc} \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)} \\
\left[ ABC \right] &= \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}$
Sampai tahap ini kita sudah berhasil sampai kepada apa yang kita inginkan, dengan kata lain kita sudah berhasil membuktikan $\left[ ABC \right]=\sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}$.
Contoh Soal Menghitung Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisinya
$(1)$. Diketahui pada sebuah segitiga $PQR$ panjang sisi $PQ=5\ cm$, $PR=7\ cm$, dan $QR=8\ cm$, maka luas segitiga tersebut adalah....
Alternatif Pembahasan:
Pada segitiga $PQR$ diketahui panjang ketiga sisinya, untuk menghitung luasnya kita gunakan aturan $\left[ABC \right]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$.
$\begin{align}
s & = \dfrac{1}{2}(a+b+c) \\
s & = \dfrac{1}{2}(5+7+8)=10 \\
\hline
\left[ ABC \right] & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
\left[ ABC \right] & = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} \\
& = \sqrt{10(5)(3)(2)} \\
& = 10\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10\sqrt{3} $$
Catatan Cara Alternatif Membuktikan Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisinya di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
