Skip to main content

Cara Alternatif Membuktikan Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisinya

Cara Pilar Membuktikan Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi
Catatan calon guru kali ini coba berbagi cerita tentang Cara Alternatif Membuktikan Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisinya. Membuktikan Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisinya ini adalah tugas mandiri yang diberikan kepada siswa yang diharapkan dapat diselesaikan dengan sebelumnya diberikan soal-soal dasar dalam menentukan luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut.

Memberikan tugas secara mandiri yang dapat dikerjakan secara individu atau berkelompok bersama teman-temannya, mungkin menjadi pilihan terbaik yang bisa dilakukan ketika guru akan meninggalkan kelas karena kegiatan yang sangat penting di luar sekolah.

Tetapi apabila di sekolah sudah didukung oleh program belajar jarak jauh atau pembelajaran secara online, dimana kelas bisa dikontrol oleh guru, meskipun guru tidak ada di kelas maka jika guru harus meninggalkan kelas tidak lagi menjadi sebuah masalah.

Sebelum kita simak bagaimana Membuktikan Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisinya, silahkan disimak beberapa soal sebagai pemanasan, yang juga tentang luas segitiga.

1. Tentukan luas segitiga $ABC$ jika diketahui sisi $BC=4\ cm$, $AC=7 \sqrt{3}\ cm$, dan $\angle C=60^{\circ}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada segitiga $ABC$ diketahui sisi $BC=4$, $AC=7 \sqrt{3}$ dan $\angle C=60^{\circ}$. Unsur-unsur yang diketahui yaitu dua sisi satu sudut dimana sudut yang diketahui adalah sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang diketahui juga.

Dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menghitung luas dengan aturan menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut yaitu $L=\dfrac{1}{2}\ ab\ sin\ C$
$\begin{align}
\left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2}\times 4 \times 7\sqrt{3} sin\ 60^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2}\times 4 \times 7\sqrt{3} \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
& = \dfrac{1}{4}\times 4 \times 7\sqrt{9} \\
& = 21\ \text{dalam satuan luas}
\end{align}$


2. Sebuah segitiga $ABC$ diketahui luasnya $18\ cm^{2}$. Jika panjang sisi $BC=4\ cm$ dan $AB=6 \sqrt{3}\ cm$, maka tentukanlah besar $\angle B= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada segitiga $ABC$ diketahui luasnya $18\ cm^{2}$, panjang sisi $BC=4$, dan $AB=6 \sqrt{3}$. Unsur-unsur yang diketahui yaitu dua sisi dan luas segitiga dan kita diminta menghitung sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang diketahui juga.

Dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut yaitu $L=\dfrac{1}{2}\ ab\ sin\ C$
$\begin{align}
\left[ ABC \right] & = \dfrac{1}{2} \times BC \times AB sin\ B \\
18 & = \dfrac{1}{2}\times 4 \times 6\sqrt{3} sin\ B \\
18 & = 12 \sqrt{3} sin\ B \\
\dfrac{18}{12 \sqrt{3}} & = sin\ B \\
\dfrac{3}{2 \sqrt{3}} & = sin\ B \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = sin\ B
\end{align}$
Tanpa menggunakan kalkulator kita mengetahui besar $\angle B$ karena $\angle B$ masih tergolong sudut istimewa yaitu $60^{\circ}$.


3. Diketahui segitiga $PQR$, dengan luas segitiga $PQR$ adalah $12 \sqrt{3}\ cm^{2}$. Jika panjang $PR=6\ cm$ dan sisi $PQ=8\ cm$, maka tentukanlah panjang sisi QR.
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada segitiga $PQR$ diketahui luasnya $12 \sqrt{3}\ cm^{2}$, panjang sisi $PR=6$, dan $PQ=8$. Unsur-unsur yang diketahui yaitu dua sisi dan luas segitiga dan kita diminta menghitung panjang sisi di depan sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang diketahui.

Dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi satu sudut yaitu $L=\dfrac{1}{2}\ ab\ sin\ C$
$\begin{align}
\left[PQR \right] & = \dfrac{1}{2}\times PR \times PQ sin\ P \\
12 \sqrt{3} & = \dfrac{1}{2}\times 6 \times 8 sin\ P \\
\dfrac{12 \sqrt{3}}{24} & = sin\ P \\
\dfrac{1}{2} \sqrt{3} & = sin\ P \\
\end{align}$
Tanpa menggunakan kalkulator kita mengetahui besar $\angle P$ karena $\angle P$ masih tergolong sudut istimewa yaitu $60^{\circ}$.

Karena $\angle P=60^{\circ}$ maka kita dapat menghitung $cos\ P$ yaitu $\dfrac{1}{2}$. Kita membutuhkan $cos\ P$ untuk menghitung panjang sisi $QR$ dengan bantuan aturan cosinus yaitu
$\begin{align}
a^{2} & = b^{2}+c^{2}-2bc\ cos\ A \\
QR^{2} & = PR^{2}+PQ^{2}-2PR \times PQ\ cos\ P \\
QR^{2} & = 6^{2}+8^{2}-2 \times 6 \times 8 \times \dfrac{1}{2} \\
QR^{2} & =100-48 \\
QR & =\sqrt{52}
\end{align}$


4. Tentukan luas segitiga $PQR$, jika diketahui panjang sisi $PQ=5\ cm$, $PR=7\ cm$, dan $QR=8\ cm$.
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada segitiga $PQR$ diketahui panjang ketiga sisinya, untuk menghitung luasnya kita gunakan aturan $\left[ABC \right]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$.
$\begin{align}
s & = \dfrac{1}{2}(a+b+c) \dfrac{1}{2}(5+7+8)=10 \\
\left[ ABC \right] & = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} \\
& = \sqrt{10(5)(3)(2)} \\
& = 10\sqrt{3}
\end{align}$


5. Hitunglah luas segienam beraturan $ABCDEF$ yang panjang sisi-sisinya $4\ cm$.
Alternatif Pembahasan:
Show

Pada soal disampaikan adalah segienam beraturan, jika kita coba ilustrasikan soal diatas dengan gambar kira-kira gambarnya sebagai berikut,

Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Dua Sisi Dan Besar Satu Sudut
dengan panjang $OA=OB=4$ satuan, dan besar sudut $AOB$ adalah $60^{\circ}$ yang diperoleh dari $ \dfrac{360^{\circ}}{6}$

Segienam beraturan dibangun oleh $6$ segitiga yang kongruen sehingga untuk menghitung luas segienam beraturan diatas dapat kita hitung dengan menghitung luas sebuah segitiga yang membangun segienam tersebut lalu kita kalikan dengan $6$.

Mari kita hitung luas segienamnya;
$\begin{align}
L & = \dfrac{1}{2}\times OA\times OB\times sin\ 60^{\circ} \times 6 \\
& = \dfrac{1}{2}\times 4 \times 4 \times \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \times 6 \\
& = 2 \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \times 6 \\
& = 6 \sqrt{3}
\end{align}$


6. Pada segitiga $ABC$ dimana sisi $AB=c$, sisi $AC=b$, sisi $BC=a$, sudut $ABC=\angle B$, $ACB=\angle C$, dan $BAC=\angle A$. Buktikan bahwa $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ab\ sin\ C$ atau $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ac\ sin\ B$ atau $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}bc\ sin\ A$.
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk membuktikan rumus atau aturan dalam menghitung luas segitiga $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ab\ sin\ C$ atau $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ac\ sin\ B$ atau $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}bc\ sin\ A$ sebelumnya sudah pernah kita diskusikan.

Silahkan disimak diskusinya pada Menghitung Luas Segitiga Jika Diketahui Dua Sisi Satu Sudut


7. Pada segitiga $ABC$ dimana sisi $AB=c$, sisi $AC=b$, sisi $BC=a$. Buktikan $[ABC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$.
Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk membuktikan bahwa $[ABC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dimana $s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$ adalah benar.
Kita membutuhkan beberapa data pendukung antara lain;

  • Identitas trigonometri: $sin^{2}A=1-cos^{2}A$
  • Aturan Cosinus: $cos\ A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
  • Sifat Aljabar: $ (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$
  • $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}bc\ sin\ A$
$\begin{align}
sin^{2}A & = 1-cos^{2}A \\
sin^{2}A & = \left (1-cos\ A \right )\left (1+cos\ A \right ) \\
sin^{2}A & = \left (1-\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right )\left ( 1+\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right ) \\
sin^{2}A & = \left (\dfrac{2bc-b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right )\left ( \dfrac{2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right ) \\
sin^{2}A & = \left ( \dfrac{a^{2}-(b-c)^2}{2bc} \right )\left ( \dfrac{(b+c)^2-a^{2}}{2bc} \right ) \\
sin^{2}A & = \left ( \dfrac{[a-(b-c)][a+(b-c)]}{2bc} \right )\left ( \dfrac{[(b+c)+a)][(b+c)-a)]}{2bc} \right ) \\
sin^{2}A & = \left ( \dfrac{[a-b+c][a+b-c]}{2bc} \right )\left ( \dfrac{[b+c+a][b+c-a]}{2bc} \right ) \\
sin^{2}A & = \left ( \dfrac{[a-b+c][a+b-c][b+c+a][b+c-a]}{4b^{2}c^{2}} \right ) \\
sin\ A & = \sqrt{\left ( \dfrac{[a-b+c][a+b-c][b+c+a][b+c-a]}{4b^{2}c^{2}} \right )} \\
sin\ A & = \dfrac{1}{2bc} \sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c+a)(b+c-a)} \\
sin\ A & = \dfrac{1}{2bc} \sqrt{(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)(b+c+a)(a+b+c-2a)}
\end{align}$
dengan $2s=a+b+c$ atau $s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$
maka kita peroleh;
$\begin{align}
sin\ A &=\dfrac{1}{2bc} \sqrt{(2s-2b)(2s-2c)(2s)(2s-2a)} \\
sin\ A &=\dfrac{1}{2bc} \sqrt{2(s-b)2(s-c)2(s)2(s-a)} \\
sin\ A &=\dfrac{1}{2bc} \sqrt{16(s-b)(s-c)(s)(s-a)} \\
sin\ A &=\dfrac{1}{2bc} \times 4 \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)} \\
sin\ A &=\dfrac{2}{bc} \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}$
dari aturan sebelumnya kita sudah peroleh;
$\begin{align}
\left[ ABC \right] &= \dfrac{1}{2}bc\ sin\ A \\
\left[ ABC \right] &= \dfrac{1}{2}bc\ \dfrac{2}{bc} \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)} \\
\left[ ABC \right] &= \sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}$
Sampai tahap ini kita sudah berhasil sampai kepada apa yang diinginkan, dengan kata lain kita sudah berhasil membuktikan $\left[ ABC \right]=\sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}$.

Mungkin begitu cerita sederhana tentang membuktikan rumus luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya. Rumus ini sebenarnya dikenal dengan Rumus Heron atau formula Heron.

Nama rumus ini diambil dari nama ahli matematika Yunani yang bernama Heron dari Alexandria. Rumus Heron tini sendiri terdapat pada buku yang ditulis oleh Heron yang berjudul “Metrica” sekitar tahun 60 Masehi.

Saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait Cara Alternatif Membuktikan Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi sangat diharapkan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ˜Š Beberapa cara alternatif dalam mengerjakan perkalian dua angka;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Cara Alternatif Membuktikan Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisinya" silahkan disampaikan ๐Ÿ˜Š dan terima kasih ๐Ÿ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar