Calon guru belajar matematika dasar SMP lewat soal dan pembahasan himpunan pada matematika SMP. Apa yang diharapkan setelah mempelajari materi ini, yaitu dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras.
Soal matematika dasar teorema Pythagoras untuk SMP kita pilih dari soal-soal yang sudah pernah diujikan pada soal Ujian Sekolah matematika SMP, soal Ujian Nasional matematika SMP, atau soal ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Plus.
TEOREMA PYTHAGORAS
Nama tripel Pythagoras diberikan karena Pythagoras, atau setidaknya para muridnya, diyakini sebagai orang yang pertama kali membuktikan bahwa persamaan $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ sesungguhnya berlaku secara umum pada sembarang segitiga siku-siku dengan sisi-sisi tegak $a$ dan $b$ dan sisi miring $c$ (di sini $a,\ b,$ dan $c$ tidak harus merupakan bilangan bulat, tetapi sembarang bilangan real positif). Dalil ini pun kemudian dikenal sebagai Dalil Pythagoras.
TRYPEL PYTHAGORAS
Berikut beberapa contoh bilangan tripel Pythagoras.
$\begin{align}(1):\ & - \\
(2):\ & - \\
(3):\ & (3,4,5) \\
(4):\ & (4,3,5) \\
(5):\ & (5,12,13) \\
(6):\ & (6,8,10) \\
(7):\ & (7,24,25) \\
(8):\ & (8,15,17) \\
(9):\ & (9,40,41) \\
(10):\ & (10,24,26) \end{align}$
Jika tertarik untuk melihat $50$ bilangan asli pertama dalam Tripel Pythagoras silahkan disimak Contoh dan Cara Mudah Susun Bilangan Tripel Pythagoras.
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP
1. Soal UNBK Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
Jika panjang $BD = 12\ cm$, Pilihan yang sesuai adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 66\ cm \\
(B)\ & 60\ cm \\
(C)\ & 55\ cm \\
(D)\ & 54\ cm
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan memperhatikan gambar, kita dapat dua segitiga siku-siku yaitu $ABD$ dan $BCD$.
$\bigtriangleup\ ABD$ siku-siku di $D$,
$\begin{align} AB^{2} & = AD^{2}+BD^{2} \\
20^{2} & = AD^{2}+12^{2} \\
400 & = AD^{2}+144 \\
400-144 & = AD^{2} \\
\sqrt{256} & = AD \\
16 & = AD \end{align}$
$\bigtriangleup\ BCD$ siku-siku di $B$,
$\begin{align} CD^{2} & = BC^{2}+BD^{2} \\
& = 5^{2}+12^{2} \\
& = 25+144 \\
CD & = \sqrt{169} \\
& = 13
\end{align}$
Keliling bidang adalah $AB+BC+CD+DA$=$20+5+13+16=54$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 54\ cm$
2. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2018 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut ini!
Jika $AE=12\ cm$, $BE=15\ cm$, $BC=7\ cm$, dan $BD=25\ cm$ maka $CD-CE=\cdots cm$
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas ada beberapa segitiga siku-siku, sehingga untuk menghitung unsur-unsur segitiga yang belum diketahui kita cari dengan menggunakan teorema phytagoras.
Dari $\bigtriangleup ABE$
$\begin{align}
AB^{2} & = BE^{2}-AE^{2} \\
AB^{2} & = 15^{2}-12^{2} \\
AB^{2} & = 225-144=81 \\
AB & = 9
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup ACE$
$\begin{align}
CE^{2} & = AE^{2}+AC^{2} \\
CE^{2} & = 12^{2}+16^{2} \\
CE^{2} & = 144+256=400 \\
CE & = 20
\end{align}$
Dari $\bigtriangleup BCD$
$\begin{align}
CD^{2} & = BD^{2}-BC^{2} \\
CD^{2} & = 25^{2}-7^{2} \\
CD^{2} & = 625-49=576 \\
CD & = 24
\end{align}$
$CD-CE=24-20=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$
3. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2007 |*Soal Lengkap
Diketahui $AC=15\ cm$, $EC=5\ cm$, $AD=6\ cm$, dan $BC=3\ cm$. Panjang AB adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5\sqrt{6} \\ (B)\ & 6\sqrt{5} \\ (C)\ & 10\sqrt{18} \\ (D)\ & 18\sqrt{10}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar informasi yang bisa kita ambil adalah
- $AC=15$ dan $EC=5$ maka $AE=10$
- Dengan menggunakan trypel pythagoras pada $AE=10$ dan $AD=6$ maka $ED=8$
- Dengan menggunakan teorema pythagoras pada $BC=3$ dan $EC=5$ maka $EB=4$
- Masis dengan menggunakan teorema pythagoras pada $AD=6$ dan $BD=DE+EB=8+4=12$ maka
$AB=\sqrt{6^{2}+12^{2}}$
$AB=\sqrt{36+144}$
$AB=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6\sqrt{5}$
4. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige 2006 |*Soal Lengkap
Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku adalah $x\ cm$, $(x+1)\ cm$ dan $(x+2)\ cm$, maka $x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1\ cm \\ (B)\ & 2\ cm \\ (C)\ & 3\ cm \\ (D)\ & 4\ cm \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan bilangan trypel pythagoras sisi yang terpanjang adalah sisi miring, sehingga dari sisi-sisi $x\ cm$, $(x+1)\ cm$ dan $(x+2)\ cm$ sisi miring adalah $(x+2)\ cm$.
Dengan teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
(x+2)^{2} & = (x+1)^{2}+x^{2} \\
x^{2}+4x+4 & = x^{2}+2x+1+x^{2} \\
x^{2}+4x+4 & = 2x^{2}+2x+1 \\
2x^{2}-x^{2}+2x-4x+1-4 & = 0 \\
x^{2}-2x-3 & = 0 \\
(x-3)(x+1)& = 0 \\
x=3\ & x=-1 (TM)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3\ cm$
5. Soal UN Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Seorang pengamat berada di atas mercusuar yang tingginya $12$ meter. Ia melihat kapal $A$ dan kapal $B$ yang berlayar di laut. Jarak pengamat dengan kapal $A$ dan kapal $B$ berturut-turut $20$ meter dan $13$ meter. Posisi kapal $A$, kapal $B$, dan kaki mercusuar terletak segaris. Jarak kapal $A$ dan kapal $B$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7\ \text{meter} \\ (B)\ & 11\ \text{meter} \\ (C)\ & 12\ \text{meter} \\ (D)\ & 15\ \text{meter} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, jika kita gambarkan keadaan pengamat dan kedua kapal dapat seperti berikut ini:
Dari gambar di atas dapat kita hitung jarak mercusuar dengan kapal $B$ yaitu jarak $BC$:
$\begin{align}
BP^{2} &= BC^{2} + CP^{2} \\
13^{2} &= BC^{2} + 12^{2} \\
169 &= BC^{2} + 144 \\
BC^{2} &= 169-144 \\
BC &= \sqrt{25}= 5
\end{align}$
Jarak mercusuar dengan kapal $A$ yaitu jarak $AC$:
$\begin{align}
AP^{2} &= AC^{2} + CP^{2} \\
20^{2} &= AC^{2} + 12^{2} \\
400 &= AC^{2} + 144 \\
AC^{2} &= 400-144 \\
AC &= \sqrt{256}= 16
\end{align}$
Jarak kedua kapal adalah jarak $AB$ yaitu $16-5=11$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 11\ \text{meter}$
6. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar dari pernyataan-pernyataan di bawah ini:
Pernyataan yang benar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (i)\ \text{dan}\ (ii) \\ (B)\ & (i)\ \text{dan}\ (iii) \\ (C)\ & (ii)\ \text{dan}\ (iii) \\ (D)\ & (ii)\ \text{dan}\ (iv) \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan teorema phytagoras yang tepat adalah:
$\begin{align}
(i). & p^{2}-q^{2} = r^{2}\ \ \text{Pernyataan Salah} \\
(ii). & p^{2}+q^{2} = r^{2}\ \ \text{Pernyataan Benar} \\
(iii ). & r^{2}+p^{2} = q^{2}\ \ \text{Pernyataan Salah} \\
(iv ). & r^{2}-p^{2} = q^{2}\ \ \text{Pernyataan Benar}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (ii)\ \text{dan}\ (iv)$
7. Soal UN Matematika SMP 2016 |*Soal Lengkap
Sebuah kapal berlayar sejauh $100\ \text{km}$ ke arah timur, kemudian berbelok ke arah utara sejauh $75\ \text{km}$. Jarak terpendek kapal tersebut dari titik awal tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 175\ \text{km} \\ (B)\ & 125\ \text{km} \\ (C)\ & 100\ \text{km} \\ (D)\ & 75\ \text{km} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, jika kita gambarkan keadaan kapal dari tempat semula dapat seperti berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 125\ \text{km}$
8. Soal UN Matematika SMP 2016 |*Soal Lengkap
Sebuah tangga dengan panjang $2,5\ \text{m}$ disandarkan pada tembok. Jika jarak ujung bawah tangga dengan tembok $1,5\ \text{m}$, tinggi ujung atas tangga dari lantai adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1\ \text{m} \\ (B)\ & 2\ \text{m} \\ (C)\ & 2,2\ \text{m} \\ (D)\ & 3,5\ \text{m} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, jika kita gambarkan keadaan tangga dan tembok dapat seperti berikut ini:
Dari gambar di atas untuk menghitung tinggi ujung tangga ke lantai dapat kita gunakan teorema pythagoras yaitu:
$\begin{align}
\text{tinggi}^{2} &= (2,5)^{2}-(1,5)^{2} \\
\text{tinggi}^{2} &= 6,25-2,25 \\
\text{tinggi} &= \sqrt{6,25-2,25} \\
&= \sqrt{4} \\
&= 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\ \text{m}$
9. Soal UN Matematika SMP 2011 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
Panjang $AD$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 15\ cm \\
(B)\ & 17\ cm \\
(C)\ & 24\ cm \\
(D)\ & 25\ cm
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dengan memperhatikan gambar, kita dapat dua segitiga siku-siku yaitu $ABC$ dan $ACD$.
$\bigtriangleup\ ABC$ siku-siku di $B$,
$\begin{align}
AC^{2} & = AB^{2}+BC^{2} \\
AC^{2} & = 12^{2}+9^{2} \\
& = 144+81 \\
& = 225 \\
AC & = \sqrt{225}=15
\end{align}$
$\bigtriangleup\ ACD$ siku-siku di $C$,
$\begin{align}
AD^{2} & = AC^{2}+CD^{2} \\
& = 15^{2}+8^{2} \\
& = 225+64 \\
& = 289 \\
AD & = \sqrt{289} \\
& = 17
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 17\ cm$
10. Soal UN Matematika SMP 2011 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut!
Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku samakaki.
Jika $AB=10\ \text{cm}$ dan $CD$ garis bagi sudut $C$, panjang $BD$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5\ \text{cm} \\
(B)\ & \left(10 \sqrt{2} - 10 \right)\ \text{cm} \\
(C)\ & \left( 10 - 5 \sqrt{2} \right)\ \text{cm} \\
(D)\ & \left( 5 \sqrt{2} - 5 \right)\ \text{cm} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, jika kita gambarkan dapat seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh $\bigtriangleup CBD$ dan $\bigtriangleup CED$ adalah kongruen.
Jika kita misalkan panjan $BD=x$ maka pada segitiga $AED$ kita peroleh:
$\begin{align}
AD^{2} &=AE^{2}+ED^{2} \\
\left( 10-x \right)^{2} &=\left( x \right)^{2}+\left( 10\sqrt{2}- 10 \right)^{2} \\
100 -20x+x^{2} &= x^{2}+ 200 - 200\sqrt{2} + 100 \\
-20x &= 200 - 200\sqrt{2} \\
x &= -10 + 10\sqrt{2} \\
&= 10\sqrt{2} -10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left(10 \sqrt{2} - 10 \right)\ \text{cm}$
11. Soal UN Matematika SMP 2010 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
$ABCD$ adalah jajargenjang dengan panjang $\overline{CD}=7\ cm$, $\overline{AD}=25\ cm$, dan $\overline{AE}=22\ cm$. Panjang $\overline{CE}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 17\ cm \\
(B)\ & 20\ cm \\
(C)\ & 22\ cm \\
(D)\ & 24\ cm
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas untuk menghitung panjang $\overline{CE}$ dapat kita gunakan teorema pythagoras pada segitiga $BCE$, yaitu:
$\begin{align}
BC^{2} &= BE^{2}+CE^{2} \\
\hline
&BC=AD=25, \\
& BE=AE-AB=22-7=15 \\
\hline
25^{2} &= 15^{2}+CE^{2} \\
625 &= 225+CE^{2} \\
625-225 &= CE^{2} \\
400 &= CE^{2}\ \longrightarrow CE=\sqrt{400}=20
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20\ cm$
12. Soal UN Matematika SMP 2010 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
Panjang $\overline{BC}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3\ cm \\
(B)\ & 6\ cm \\
(C)\ & 8\ cm \\
(D)\ & 9\ cm
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas untuk menghitung panjang $\overline{BC}$ dapat kita gunakan teorema pythagoras yaitu:
$\begin{align}
AB^{2} &= AC^{2}+BC^{2} \\
15^{2} &= 12^{2}+BC^{2} \\
225 &= 144+BC^{2} \\
225-144 &= BC^{2} \\
81 &= BC^{2}\ \longrightarrow BC=\sqrt{81}=9
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9\ cm$
13. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2022 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika diberikan segitiga $ABC$ dengan $AE$, $BF$ dan $CD$ masing-masing merupakan garis tinggi segitiga. Jika panjang $AC=15\ \text{cm}$ dan panjang $EC=12\ \text{cm}$, maka panjang $AO$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3\ \text{cm} \\ (B)\ & 4\ \text{cm} \\ (C)\ & 5\ \text{cm} \\ (D)\ & 6\ \text{cm} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada gambar di soal
$AE$, $BF$ dan $CD$ masing-masing merupakan garis tinggi
sehingga segitiga $AEC$ adalah segitiga siku-siku dapat diterapkan teorema pythagoras, yaitu:
$\begin{align}
AC^{2} &= AE^{2}+EC^{2} \\
15^{2} &= 12^{2}+EC^{2} \\
225 &= 144+EC^{2} \\
EC^{2} &= 225-144 \\
EC &= \sqrt{81} \\
EC &= 9
\end{align}$
Titik $O$ pada segitiga $ABC$ merupakan titik pusat segitiga, dimana berlaku hubungan $AO:OE=2:1$. Untuk $AE=9$ maka $AO=\dfrac{2}{3} \times 9=6$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6\ \text{cm}$
14. Model Soal US-UM Matematika SMP 2023 |*Soal Lengkap
Sebuah tiang tingginya $12\ m$ berdiri tegak di atas tanah datar. Dari ujung atas tiang ditarik seutas tali ke sebuah patok pada tanah. Jika panjang tali $15\ m$, maka jarak patok dengan pangkal tiang bagian bawah adalah...
$(A)\ 13\ m $ $(B)\ 10\ m $ $(C)\ 9\ m $ $(D)\ 3\ m $
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan tiang dengan tali maka ilustrasinya dapat seperti berikut ini:
Tiang berdiri tegak dengan tanah sehingga membentuk sudut siku-siku. Untuk menghitung jarak patok dengan tiang bagian bawah maka dapat kita gunakan teorema pythagoras.
$\begin{align}
\text{Jarak} & =\sqrt{ 15^{2}-12^{2} } \\
& =\sqrt{ 225-144 } \\
& = \sqrt{169} \\
& = 13
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 13\ m$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Himpunan Matematika SMP silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊