The good student, bersama calon guru kita Belajar Matematika SMA dari soal-soal tentang Bangun Datar (Dimensi Dua) yang sudah pernah diujikan pada Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri secara Nasional/Mandiri atau soal seleksi masuk sekolah kedinasan.
Dimulai dari TITIK yang tidak berdimensi. GARIS dimensi satu yang hanya memiliki ukuran panjang. BIDANG dimensi dua yang memiliki dua ukuran yaitu panjang dan lebar. Istilah bidang pada saat SMP kita kenal dengan istilah bangun datar, atau dikatakan dimensi dua karena terbentuknya bidang oleh dua komponen yaitu $\text{panjang}$ dan $\text{lebar}$. Meskipun pada pelajaran fisika ketiga kompenen ini masih tergolong ke kelompok dimensi yang sama yaitu dimensi $L$ atau Long.
Pada pelajaran matematika di SMP (Sekolah Menengah Pertama) materi bangun datar (dimensi dua) dibagi menjadi beberap bagian yaitu:
- Bangun Datar (Segitiga, Segiempat, segi-n)
- Teorema Pythagoras
- Lingkaran
- Kesebangunan Dan Kekongruenan
Aturan-aturan atau teorema yang digunakan pada catatan matematika SMP yang kita sebutkan di atas, kemungkinan akan kita gunakan dalam menyelesaikan masalah-masalah bangun datar (dimensi dua) pada soal-soal yang diujikan pada seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN) atau seleksi masuk sekolah kedinasan. Sebagai tambahan beberapa catatan yang mungkin kita gunakan adalah beberapa catatan berikut ini.
TINGGI SEGITIGA dan LUAS SEGITIGA
Aturan dasar di atas diperoleh dengan menggunakan konsep dari luas segitiga, yaitu:
$\begin{align} \dfrac{c \times t}{2} &= \dfrac{a \times b}{2} \\ c \times t &= a \times b \\ t &= \dfrac{a \times b}{c} \end{align}$
TINGGI SEGITIGA SAMA SISI
Aturan dasar di atas diperoleh dengan menggunakan teorema pythagoras, yaitu:
$\begin{align} AB^{2} &= t^{2}+ \left( \frac{1}{2}AC \right)^{2} \\ a^{2} &= t^{2}+ \left( \frac{1}{2}a \right)^{2} \\ a^{2} &= t^{2}+ \frac{1}{4}a^{2} \\ t^{2} &= a^{2}- \frac{1}{4}a^{2} \\ t^{2} &= \frac{3}{4}a^{2} \\ t^{2} &= \sqrt{ \frac{3}{4}a^{2} } \\ t &= \dfrac{1}{2}a \sqrt{3} \end{align}$
TINGGI SEGITIGA dan ALAS SEGITIGA
Aturan dasar di atas diperoleh dengan menggunakan konsep teorema pythagoras, yaitu:
$\begin{align} a^{2} - x^{2} &= b^{2} - y^{2} \\ a^{2} - b^{2} &= x^{2} - y^{2} \\ a^{2} - b^{2} &= \left( x+y \right)\left( x-y \right) \\ a^{2} - b^{2} &= c \left( x-y \right) \\ \dfrac{a^{2} - b^{2}}{c} &= x-y \\ \dfrac{a^{2} - b^{2}}{c} &= x - \left( c-x \right) \\ \dfrac{a^{2} - b^{2}}{c} &= 2x - c \\ \dfrac{a^{2} - b^{2}}{c}+c &= 2x \\ \dfrac{a^{2}+c^{2} - b^{2}}{2c} &= x \end{align}$
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Bangun Datar (Dimensi Dua)
Untuk menambah pemahaman kita terkait dimensi tiga (bangun ruang), boleh dilanjutkan juga berlatih dari beberapa soal latihan tentang matematika SMA dimensi tiga (bangun ruang)
Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal, Ayo Uji Kemampuan Terbaikmu!. Setelah selesai silahkan cek jawaban. Jika hasilnya belum memuaskan silahkan dicoba lagi untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 23 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Masuk SMA Unggul DEL 2018 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut:
Diketahui $ABCD$ dan $CEGH$ adalah dua persegi panjang kongruen dengan panjang $17$ cm dan lebar $8$ cm. Titik $F$ adalah titik potong sisi $AD$ dan $EG$. Luas segiempat $EFDC$ adalah...$cm^{2}$
Alternatif Pembahasan:
$ABCD$ dan $CEGH$ adalah dua persegi panjang kongruen sehingga panjang $EC=CD=12$
Dengan menggunakan teorema pythagoras pada $\bigtriangleup EBC$, kita peroleh:
$\begin{align}
BE &= \sqrt{EC^{2}-BC^{2}} \\
BE &= \sqrt{17^{2}-8^{2}} \\
BE &= \sqrt{289-64} \\
BE &= \sqrt{225}=15 \\
AE &= 2
\end{align}$
Dengan cara yang sama pada $\bigtriangleup DHC$ dapat kita hitung $HD=15$ dan $DG=2$
$\begin{align}
\dfrac{AE}{GD} & = \dfrac{EF}{FD} \\
\dfrac{2}{2} & = \dfrac{\sqrt{x^{2}+4}}{8-x} \\
\sqrt{x^{2}+4} & = 8-x \\
sama-sama &\ dikuadratkan \\
x^{2}+4 & = x^{2}-16x+64 \\
16x & = 60 \\
x & = \dfrac{15}{4}=3,75 \\
\end{align}$
Luas daerah yang diarsir adalah $[CEI]+[DIEA]-[AEF]$
$=\dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 + 2 \cdot 8 - \dfrac{1}{2} \cdot 3,75 \cdot 2$
$=60+ 16 -3,75$
$=72,25$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 72,25$
2. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMCfuIczlZYIbz2sEzz1wBuOcoWC_Cfc7-9lLA0Tb1JUXnWwaHRGAa_aqJfNQFb_qmLzwLWS863RHPSkFtifoLOQGFX41wji0FLCTEBH11ZtjfGs1PteNhprvSCfPuE23UFpfvnKgFAXko/s600/Lingkaran+Soal+SBMPTN.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
Alternatif Pembahasan:
Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpHlaIHeXcidn5ihlMg_Zyz9oyzvnMIuRFcC0iZdHvxWEGZ8T3ECZ0R6YnumULMwi8kG-hSUky33p94xN1Ho85H6VX3epMtyuDLsHj_4fR5yxWpsx7EZoe8taCchjNCrddf7akJf4E9k2l/s600/Lingkaran+Soal+SBMPTN+Luas+Arsiran.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut;
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3Q463Lh1EF0LSChAXD7BxgYAkExZyIhAmIAeLmSyhp4XTOQS_0_NoqVJP8tPAml9YthKFLgamgcHLk_ThsPqoMCxdrAMhd7i3A6YgXCZMUbj1uEw9MP8AnbjygQz3azxJCk7bo-NgumKR/s600/Lingkaran+Soal+SBMPTN+Luas+Arsiran+2.png "Luas Arsiran")
Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil.
$\begin{split}L_{Biru} & = \dfrac{1}{2} \pi r^{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2} = \dfrac{1}{2} \pi (18)\\ & = 9 \pi
\end{split}$
Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
![Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyBWyCFi__WnlhY546KIxLLlogaywO24Iy4LWkA2UzceV6exEV5rvFZmBtHJOVN-xTsMXUNtY025HCxAKTpGCkLYrbdFOsK5Ue2BqkvuFR_HjW_qaYoIsQyXilMdq_WCrUYl9ZsShyphenhyphenEmZX/s600/Lingkaran+Soal+SBMPTN+Luas+Arsiran+3.png "Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika [Kode106]")
Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga;
$\begin{split}
L_{Juring\ ABC} & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 = 9 \pi
\end{split}$
$\begin{split}
L_{ABC} & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\hline
L_{Tembereng} & = 9 \pi - 18
\end{split}$
Luas irisan lingkaran adalah $ L_{Biru} +L_{Tembereng}$ yaitu $9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$
3. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal Lengkap
Diberikan sebuah segitiga siku-siku $ABC$ yang siku-siku di $B$ dengan $AB=6$ dan $BC=8$. Titik $M,N$ berturut-turut berada pada sisi $AC$ sehingga $AM:MN:NC=1:2:3$. Titik $P$ dan $Q$ secara berurutan berada pada sisi $AB$ dan $BC$ sehingga $AP$ tegak lurus $PM$ dan $BQ$ tegak lurus $QN$. Luas segiempat $PMNQ$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita ilustrasikan gambar yang disampaikan pada soal kurang lebih seprti berikut ini;
Pada $\bigtriangleup ABC$ berlaku teorema pythagoras,
$ \begin{align}
AC^{2} & = AB^{2}+BC^{2} \\
& = 6^{2}+8^{2} \\
& = 100 \\
AC & = 10
\end{align} $
Perbandingan $AM:MN:NC=1x:2x:3x$ sehingga $AM=\dfrac{1}{6} \times 10=\dfrac{5}{3}$, $MN=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$ dan $NC=\dfrac{30}{6}=5$.
Dari gambar juga dapat kita simpulkan bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup NQC$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{QN}{NC} & = \dfrac{BA}{AC} \\
\dfrac{QN}{5} & = \dfrac{6}{10} \\
NQ & = \dfrac{6}{10} \times 5 = 3 \\
\hline
\dfrac{QC}{CN} & = \dfrac{BC}{CA} \\
\dfrac{QC}{5} & = \dfrac{8}{10} \\
QC & = \dfrac{8}{10} \times 5 = 4 \\
BQ & = 8-4=4
\end{align} $
Dari gambar juga dapat kita simpulkan bahwa $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup APM$ sehingga berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{PM}{MA} & = \dfrac{BC}{CA} \\
\dfrac{PM}{\dfrac{5}{3}} & = \dfrac{8}{10} \\
PM & = \dfrac{8}{10} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3} \\
\hline
\dfrac{PA}{AM} & = \dfrac{BA}{AC} \\
\dfrac{PA}{\dfrac{5}{3}} & = \dfrac{6}{10} \\
PA & = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{3} = 1 \\
BP & = 6-1=5 \\
\hline
\dfrac{PM}{PA} & = \dfrac{BC}{BA} \\
PM & = \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3} \\
\end{align} $
Dari data-data yang kita peroleh diatas;
$ \begin{align}
[ABC] & = \dfrac{1}{2}(AB)(BC)=24 \\
[NQC] & = \dfrac{1}{2}(NQ)(QC)=6 \\
[APM] & = \dfrac{1}{2}(AP)(PM)=\dfrac{2}{3} \\
[PBQ] & = \dfrac{1}{2}(BP)(BQ)=10 \\
[PMNQ] & = [ABC]-[NQC]-[APM]-[PBQ] \\
& = 24-6-\dfrac{2}{3}-10 \\
& = 7\dfrac{1}{3}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7\dfrac{1}{3}$
4. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $AB=\sqrt{15}$ cm dan $AD=\sqrt{5}$ cm. Jika $E$ merupakan titik potong diagonal persegi panjang tersebut, maka besar $\angle BEC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Ilustrasi gambar persegi panjang $ABCD$ dan unsur-unsur yang diketahui kurang lebih seperti berikut ini:
Pada $\bigtriangleup ABD$ berlaku teorema pythagoras,
$ \begin{align}
BD^{2} & = AB^{2}+AD^{2} \\
& = (\sqrt{15})^{2}+(\sqrt{5})^{2} \\
& = 15+5 \\
BD & = \sqrt{20} \\
BD & = 2\sqrt{5}
\end{align} $
Karena $E$ adalah titik potong diagonal maka $BE=ED=EC=AE= \sqrt{5}$ dan $BC= \sqrt{5}$, sehingga $\bigtriangleup ABD$ adalah segitiga sama sisi maka besar ketiga sudutnya adalah sama yaitu $ \angle BEC= 60^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$
5. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Pada trapesium $ABCD$ dengan $AB \parallel CD$, $\angle DAB=45^{\circ}$, $\angle DCB=60^{\circ}$, $\angle ABC=120^{\circ}$, $BC=4$, dan $DC=\sqrt{3}$. Titik $E$ dan $F$ terletak pada garis $AB$ sehingga $DE \perp AB$ dan $CF \parallel DE$.$\angle ADC=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.
Dari gambar di atas $ABCD$ merupakan segiempat sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\angle DAB+\angle ABC+\angle BCD+\angle ADC & = 360^{\circ} \\
45^{\circ}+120^{\circ}+60^{\circ}+\angle ADC & = 360^{\circ} \\
225^{\circ}+\angle ADC & = 360^{\circ} \\
\angle ADC & = 360^{\circ}-225^{\circ} \\
\angle ADC & = 135^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 135^{\circ}$
6. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Pada trapesium $ABCD$ dengan $AB \parallel CD$, $\angle DAB=45^{\circ}$, $\angle DCB=60^{\circ}$, $\angle ABC=120^{\circ}$, $BC=4$, dan $DC=\sqrt{3}$. Titik $E$ dan $F$ terletak pada garis $AB$ sehingga $DE \perp AB$ dan $CF \parallel DE$.$AE=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.
Dari gambar $ABCD$ di atas, kita perhatikan segitiga siku-siku $BCF$, karena $\angle ABC=120^{\circ}$ maka $\angle CBF=60^{\circ}$.
Dengan menggunakan catatan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \angle CBF & = \dfrac{CF}{BC} \\
\sin 60^{\circ} & = \dfrac{CF}{4} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = \dfrac{CF}{4} \\
2\sqrt{3} & = CF\ \longrightarrow DE=2\sqrt{3}
\end{align}$
Kembali kita pergatikan gambar $ABCD$ di atas, dari segitiga siku-siku $AED$, dan dengan menggunakan catatan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \angle DAE & = \dfrac{DE}{AE} \\
\tan 45^{\circ} & = \dfrac{2\sqrt{3}}{AE} \\
1 & = \dfrac{2\sqrt{3}}{AE} \\
AE & = 2\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{3}$
7. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Pada trapesium $ABCD$ dengan $AB \parallel CD$, $\angle DAB=45^{\circ}$, $\angle DCB=60^{\circ}$, $\angle ABC=120^{\circ}$, $BC=4$, dan $DC=\sqrt{3}$. Titik $E$ dan $F$ terletak pada garis $AB$ sehingga $DE \perp AB$ dan $CF \parallel DE$.Luas segiempat $AFCD$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.
Dari gambar $ABCD$ di atas, kita perhatikan segitiga siku-siku $BCF$, karena $\angle ABC=120^{\circ}$ maka $\angle FBC=60^{\circ}$.
Dengan menggunakan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
\sin \angle FBC & = \dfrac{CF}{BC} \\
\sin 60^{\circ} & = \dfrac{CF}{4} \\
\dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = \dfrac{CF}{4} \\
2\sqrt{3} & = CF\ \longrightarrow DE=2\sqrt{3}
\end{align}$
Dari gambar $ABCD$ di atas dan segitiga siku-siku $AED$, dengan menggunakan catatan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
\tan \angle DAE & = \dfrac{DE}{AE} \\
\tan 45^{\circ} & = \dfrac{2\sqrt{3}}{AE} \\
1 & = \dfrac{2\sqrt{3}}{AE} \\
AE & = 2\sqrt{3}
\end{align}$
Kembali kita pergatikan gambar $ABCD$ di atas, luas $AFCD$ dapat kita peroleh dati perhitungan berikut ini:
$\begin{align}
\left[ AFCD \right] & = \left[ AED \right] + \left[ EFCD \right] \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot AE \cdot ED + EF \cdot FC \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \\
& = 6 + 6 =12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12$
8. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Titik $A$, $B$, dan $D$ berturut-turut terletak pada sisi $EF$, $CE$, dan $CF$ dari segitiga sama sisi $ECF$ sehingga $ABCD$ merupakan jajaran genjang dengan $AB=5$ dan $AF=4$.Besar $\angle EAD$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.
Dari gambar $\bigtriangleup CEF$ sama sisi di atas, kita perhatikan jajaran genjang $ABCD$ besar $\angle BCD=60^{\circ}$.
Dari catatan tentang jajaran genjang kita peroleh $\angle BCD=\angle BAD=60^{\circ}$ dan $\angle ABC=\angle ADC=\dfrac{360^{\circ}-120^{\circ}}{2}=120^{\circ}$.
Untuk $\angle ABC=120^{\circ}$ maka $\angle ABE=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.
Dari $\bigtriangleup ABE$ untuk $\angle ABE=60^{\circ}$ dan $\angle BEA=60^{\circ}$ maka $\angle EAB=60^{\circ}$.
Besar $\angle EAD= \angle EAB+\angle BAD=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 120^{\circ}$
9. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Titik $A$, $B$, dan $D$ berturut-turut terletak pada sisi $EF$, $CE$, dan $CF$ dari segitiga sama sisi $ECF$ sehingga $ABCD$ merupakan jajaran genjang dengan $AB=5$ dan $AF=4$.Tinggi $\bigtriangleup ECF$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.
Dari gambar $\bigtriangleup CEF$ sama sisi di atas, kita perhatikan jajaran genjang $ABCD$ besar $\angle BCD=60^{\circ}$.
Dari catatan tentang jajaran genjang kita peroleh $\angle BCD=\angle BAD=60^{\circ}$ dan $\angle ABC=\angle ADC=\dfrac{360^{\circ}-120^{\circ}}{2}=120^{\circ}$.
Untuk $\angle ABC=120^{\circ}$ maka $\angle ABE=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.
Dari $\bigtriangleup ABE$ untuk $\angle ABE=60^{\circ}$ dan $\angle BEA=60^{\circ}$ maka $\angle EAB=60^{\circ}$. Kita peroleh $\bigtriangleup ABE$ sama sisi, sehingga $AE=5$.
Untuk $AE=5$, maka panjang sisi $\bigtriangleup CEF$ adalah $EF=9$, tinggi $\bigtriangleup ECF$ adalah:
$\begin{align}
t\ &= \dfrac{1}{2} \cdot EF \cdot \sqrt{3} \\
t\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot \sqrt{3} \\
t\ &= \dfrac{9}{2} \sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{9}{2}\sqrt{3}$
10. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Titik $A$, $B$, dan $D$ berturut-turut terletak pada sisi $EF$, $CE$, dan $CF$ dari segitiga sama sisi $ECF$ sehingga $ABCD$ merupakan jajaran genjang dengan $AB=5$ dan $AF=4$.Luas $\bigtriangleup EFC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.
Dari gambar $\bigtriangleup CEF$ sama sisi di atas, kita perhatikan jajaran genjang $ABCD$ besar $\angle BCD=60^{\circ}$.
Dari catatan tentang jajaran genjang kita peroleh $\angle BCD=\angle BAD=60^{\circ}$ dan $\angle ABC=\angle ADC=\dfrac{360^{\circ}-120^{\circ}}{2}=120^{\circ}$.
Untuk $\angle ABC=120^{\circ}$ maka $\angle ABE=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.
Dari $\bigtriangleup ABE$ untuk $\angle ABE=60^{\circ}$ dan $\angle BEA=60^{\circ}$ maka $\angle EAB=60^{\circ}$. Kita peroleh $\bigtriangleup ABE$ sama sisi, sehingga $AE=5$.
Untuk $AE=5$, maka panjang sisi $\bigtriangleup CEF$ adalah $EF=9$. Luas $\bigtriangleup EFC$ adalah:
$\begin{align}
\left[ EFC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot EF \cdot EC \cdot \sin 60^{\circ} \\
\left[ EFC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
\left[ EFC \right] &= \dfrac{81}{4}\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{81}{4}\sqrt{3}$
11. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
$\bigtriangleup ABC$ sama kaki dengan $AB=AC$. Titik $E$ terletak di tengah ruas garis $AB$. Titik $D$ dan $F$ terletak di ruas garis $AC$ sehingga $ED \perp AC$, $BF \perp AC$, $DE=10$, $\angle BED=120^{\circ}$.$\angle ABC=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.
Dari $\bigtriangleup ABC$ sama kaki di atas kita peroleh $\angle ABC=\angle ACB$.
Kita perhatikan segi empat $BCDE$.
$\begin{align}
\angle BED + \angle EDC + \angle DCB + \angle CBE &= 360^{\circ} \\
120^{\circ} + 90^{\circ} + x + x &= 360^{\circ} \\
210^{\circ} + 2x &= 360^{\circ} \\
2x &= 360^{\circ}-210^{\circ} \\
2x\ &= 120^{\circ} \\
x\ &= \dfrac{120^{\circ}}{2}=75^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 75^{\circ}$
12. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
$\bigtriangleup ABC$ sama kaki dengan $AB=AC$. Titik $E$ terletak di tengah ruas garis $AB$. Titik $D$ dan $F$ terletak di ruas garis $AC$ sehingga $ED \perp AC$, $BF \perp AC$, $DE=10$, $\angle BED=120^{\circ}$.$BF=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.
Dari gambar $\bigtriangleup ABC$ sama kaki di atas kita perhatikan $\bigtriangleup ADE$ dan $\bigtriangleup AFB$, kedua segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.
Dengan menggunakan perbandingan sisi-sisi pada dua segitiga tersebut dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{ED}{AE} &= \dfrac{BF}{AB} \\
\dfrac{10}{AE} &= \dfrac{BF}{2AE} \\
\dfrac{10}{1} &= \dfrac{BF}{2} \\
BF &= 2 (10) =20
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$
13. Soal TPS UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
$\bigtriangleup ABC$ sama kaki dengan $AB=AC$. Titik $E$ terletak di tengah ruas garis $AB$. Titik $D$ dan $F$ terletak di ruas garis $AC$ sehingga $ED \perp AC$, $BF \perp AC$, $DE=10$, $\angle BED=120^{\circ}$.Luas $\bigtriangleup AEC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita tuliskan informasi pada soal ke gambar maka akan kita peroleh ilustrasinya seperti gambar berikut ini.
Dari $\bigtriangleup ABC$ sama kaki di atas, kita perhatikan $\angle BED=120^{\circ}$ sehingga $\angle DEA=60^{\circ}$ dan $\angle EAD=30^{\circ}$.
Untuk $\angle EAD=30^{\circ}$, pada $\bigtriangleup ABF$ dengan menggunakan catatan perbandingan trigonometri kita peroleh:
$\begin{align}
\tan BAF &= \dfrac{BF}{AF} \\
\tan 30^{\circ} &= \dfrac{20}{AF} \\
\dfrac{1}{3}\sqrt{3} &= \dfrac{20}{AF} \\
AF &= \dfrac{20}{\frac{1}{3}\sqrt{3}} = 20 \sqrt{3}
\end{align}$
Pada $\bigtriangleup AFB$ dengan menggunakan catatan teorema phytagoras kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} &= BF^{2}+AF^{2} \\
AB^{2} &= \left( 20\sqrt{3} \right)^{2} + \left( 20 \right)^{2} \\
AB^{2} &= 1200 + 400 \\
AB &= \sqrt{ 1600 }= 40
\end{align}$
Luas $\bigtriangleup AEC$:
$\begin{align}
\left[ AEC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot ED \\
\left[ AEC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot ED \\
\left[ AEC \right] &= \dfrac{1}{2} \cdot 40 \cdot 10 \\
\left[ AEC \right] &= 200
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 200$
14. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Pada prisma $ADE.BCF$, $DA=6$ dan jarak $E$ ke $AD$ adalah $3$. Berapa tinggi prisma $ADE.BCF$?
Putuskan apakah pernyataan $(1)$ dan $(2)$ berikut cukup untuk menjawab pertanyaan tersebut:
$\begin{align}
(1)\ & \text{Volume prisma}=180 \\
(2)\ & AF=5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika diketahui pernyataan $(1)\ \text{Volume prisma}=180$
Pada prisma $ADE.BCF$, $DA=6$ dan jarak $E$ ke $AD$ adalah $3$. Berapa tinggi prisma $ADE.BCF$?
Dengan menggunakan rumus volume prisma maka kita peroleh:
$\begin{align}
V & = L_{\text{alas}} \cdot t \\
180 & = \left[ ADE \right] \cdot t \\
180 & = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot t \\
180 & = 9 \cdot t\ \longrightarrow t =20
\end{align} $
Jika diketahui pernyataan $(2)\ AF=5$
Pada prisma $ADE.BCF$, $DA=6$ dan jarak $E$ ke $AD$ adalah $3$. Berapa tinggi prisma $ADE.BCF$?
Pada soal tidak diketahui jenis segitiga $ADE$ secara pasti, sehingga unsur-unsur yang diketahui tidak cukup untuk menghitung tinggi prisma $ADE.BCF$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)$ Pernyataan $(1)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan $(2)$ SAJA tidak cukup.
15. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019
Segitiga $BDC$ sama kaki dengan $BC=DC$. Titik $A$ terletak pada garis perpanjangan $\overline{CB}$. Jika $p=36^{\circ}$ dan $q=50^{\circ}$, maka nilai $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal Segitiga $BDC$ sama kaki dengan $CB=CD$ maka $\angle CBD=\angle CBD$, sehingga berlaku seperti perhitungan berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 29$
16. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019
Segitiga $BEA$ sama kaki dengan $BA=EA$. Titik $C$ terletak pada garis perpanjangan $AB$. Titik $F$ terletak pada $AE$. Titik $D$ adalah titik potong antara $FC$ dan $BE$. Jika $\angle A=54^{\circ}$ dan $\angle EFD=68^{\circ}$, maka nilai $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal Segitiga $BEA$ sama kaki dengan $BA=EA$ dan $\angle A=54^{\circ}$, sehingga sudut $\angle ABE=\angle ABE$ yaitu $\dfrac{180-54}{2}=63^{\circ}$.
Sudut $\angle EDF = 180- \left( 68^{\circ}+63^{\circ} \right)=49^{\circ}$. Karena sudut $\angle EDF$ bertolak belakang dengan $\angle x$, maka $x=49^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 49$
17. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019
Segitiga $ADC$ sama kaki dengan $AC=DC$. Titik $B$ terletak pada $\overline{AC}$. Jika $p=65^{\circ}$ dan $q=20^{\circ}$, maka nilai $x$ adalah
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal segitiga $ADC$ sama kaki dengan $AC=DC$ maka $\angle DAC=\angle ADC$, sehingga berlaku seperti perhitungan berikut ini:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 110$
18. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019
Perhatikan gambar di atas. Jika diketahui $AB=8$, maka jarak $E$ ke $AB$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk soal ini ada beberapa tipe yang beredar, salah satunya seperti yang disebutkan di atas dan ada juga soal yang beredar tanpa diketahui panjang $AB$. Panjang $AB$ tidak mempengaruhi jarak $E$ ke $AB$, sehingga disini kita hitung jarak $E$ ke $AB$ dengan mengabaikan panjang $AB$.
Jika jarak titik $E$ ke $AB$ adalah $EF$ maka sudut $AEF=90^{\circ}$, sehingga segitiga $ABC$ dan $AEF$ sebangun dan begitu juga segitiga $ABD$ dan $BEF$.
Dari perbandingan sisi pada segitiga $ABC$ dan $AEF$ kita peroleh;
$\begin{align}
\dfrac{EF}{AF} &= \dfrac{BC}{AB} \\
EF &= \dfrac{3 \cdot AF}{AB}\ \cdots ,\ pers.(1) \\
\end{align}$
Dari perbandingan sisi pada segitiga $ABD$ dan $BEF$ kita peroleh;
$\begin{align}
\dfrac{EF}{BF} &= \dfrac{AD}{AB} \\
EF &= \dfrac{8 \cdot BF}{AB}\ \cdots ,\ pers.(2) \\
\end{align}$
Dari $pers.(1)$ dan $pers.(2)$ kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{8 \cdot BF}{AB} &= \dfrac{3 \cdot AF}{AB} \\
8 \cdot BF &= 3 \cdot AF \\
\dfrac{ BF}{AF} &= \dfrac{3}{8} \\
BF &= 3x \\
AF &= 8x \\
\hline
EF &= \dfrac{3 \cdot AF}{AB}\ \cdots ,\ pers.(1) \\
EF &= \dfrac{3 \cdot 8x}{11x} \\
EF &= \dfrac{24}{11}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{24}{11}$
19. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019
Di dalam lingkaran besar terdapat dua lingkaran kecil identik yang saling bersinggungan di pusat lingkaran besar seperti pada gambar.
Kedua lingkaran kecil menyinggung lingkaran besar, jika jari-jari lingkaran kecil adalah $2\ cm$, maka luas daerah yang diarsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Kedua lingkaran kecil yang di dalam lingkaran besar adalah berimpit sehingga jari-jari lingkaran besar adalah diameter lingkaran kecil. Sehingga luas yang di arsir adalah:
$\begin{align}
\left[ arsir \right] & = \text{Luas}\ \bigcirc _{B} - 2 \cdot \text{Luas}\ \bigcirc _{K} \\
& = \pi \cdot r_{B}^{2} - 2 \cdot \pi \cdot r_{K}^{2} \\
& = \pi \cdot 4^{2} - 2 \cdot \pi \cdot 2^{2} \\
& = 16 \pi - 2 \cdot 4 \pi \\
& = 8 \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8 \pi \ cm^{2}$
20. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019
Pada persegi $ABCD$,
$\begin{align}
(i)\ & AE=EF=FB=AG=GH=HD,\\
(ii)\ & \overline{EK}\ \text{dan}\ \overline{FL}\ \text{tegak lurus terhadap}\ \overline{AB} \text{dan} \\
(Iii)\ & \overline{GK}\ \text{dan}\ \overline{HL}\ \text{tegak lurus terhadap}\ \overline{AD}
\end{align}$
Rasio antara luas daerah yang tidak diarsir dan daerah yang diarsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada persegi $ABCD$ diketahui $AE=EF=FB=AG=GH=HD$, sehingga jika gambarnya kita beri menjadi garis bantu, kita sudah dapat jawabnya $1 : 2$, ilustrasinya seperti berikut ini:
Dengan perhitungan menggunakan luas, jika kita misalkan $AE=x$, maka rasio antara luas daerah yang tidak diarsir dan daerah yang diarsir adalah:
$\begin{align}
\left[ AFLH \right]-\left[ AEKG \right] & : \left[ ABCD \right]-\left[ AFLH \right]+\left[ AEKG \right] \\
2x \cdot 2x - x \cdot x & : 3x \cdot 3x - 2x \cdot 2x + x \cdot x \\
4x^{2} - x^{2} &: 9x^{2} - 4x^{2} + x^{2} \\
3x^{2} & : 6^{2} \\
1 & : 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1 : 2$
21. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019
Segi empat $ABCD$ merupakan layang-layang seperti pada gambar. Jika $AB=1$ dan $AD=\sqrt{5}$, maka luas layang-layang tersebut dalam satuan luas adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung luas layang-layang secara umum dapat kita gunakan aturan yang sudah kita kenal sewaktu belajar matematika di bangku SMP yaitu diagonal dikali diagonal lalu dibagi dua.
Berdasarkan informasi pada soal, jika layang-layang kita hitung dengan menggunakan luas segitiga yaitu $[ABC]+[ACD]$, seperti gambar berikut:
$\begin{align}
[ABC]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\begin{align}
[ACD]\ &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot t \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \left( \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \right) = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Luas layang-layang adalah $[ABC]+[ACD]=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
22. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019
Perhatikan gambar berikut:
Jika $AD=BD$, $\angle P=55^{\circ}$, $\angle Q=48^{\circ}$, maka sudut $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika data pada soal $AD=BD$, kita tambahkan pada gambar, maka akan kita peroleh segitiga $ABD$ adalah sama kaki, sehingga besar sudut pada kedua kakinya adalah sama. Dengan diketahui $\angle P=55^{\circ}$ dan $\angle Q=48^{\circ}$ dapat kita peroleh besar sudut yang lainnya.
Kita perhatikan gambar berikut ini:
Dari apa yang kita peroleh pada gambar di atas besar sudut $x^{\circ}=180^{\circ}- \left(110^{\circ}+48^{\circ} \right)=22^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 22^{\circ}$
23. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2019
Jika panjang $QT =$ panjang $TU =$ panjang $UR=6\ cm$ dan panjang $SW=$ panjang $WV=$ panjang $VR=4\ cm$, maka luas daerah yang di arsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Luas yang di arsir pada gambar di atas dapat kita hitung dengan menggunakan aturan luas segitiga yaitu:
$\begin{align}
\left[ PTU \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot TU \cdot PQ \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \ cm\ \cdot 12\ cm \\
& = 36 \ cm^{2}
\end{align}$
$\begin{align}
\left[ PVW \right] & = \dfrac{1}{2} \cdot VW \cdot PS \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 4\ cm \cdot 18\ cm \\
& = 36\ \ cm^{2}
\end{align}$
Total luas yang di arsir adalah $36+36=72\ cm^{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 72\ cm^{2}$
Beberapa pembahasan masalah Matematika SMA Dimensi Tiga (Bangun Ruang) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika SMA Dimensi Tiga (Bangun Ruang) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.Sebelumnya...Selanjutnya...