Calon guru belajar matematika dasar SMP lewat soal dan pembahasan lingkaran pada matematika SMP. Apa yang diharapkan setelah mempelajari materi ini, yaitu dengan aturan yang berlaku dan kreativitas berpikir kita dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran, serta masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran.
Soal matematika dasar lingkaran untuk SMP kita pilih dari soal-soal yang sudah pernah diujikan pada soal Ujian Sekolah matematika SMP, soal Ujian Nasional matematika SMP, atau soal ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Plus.
DEFINISI LINGKARAN
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Atau dapat juga dikatakan lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
Jarak yang sama itu disebut dengan Jari-jari lingkaran dan titik tertentu itu disebut Titik pusat lingkaran.
LUAS DAN KELILING LINGKARAN
Luas lingkaran dirumuskan dengan rumus $L=\pi r^{2}$ dan Keliling Lingkaran dirumuskan dengan rumus $K=2\ \pi r$.
Untuk mempermudah perhitungan di tingkat SD atau SMP nilai $\pi$ yang digunakan dapat $\pi=3,14$ atau $\pi=\dfrac{22}{7}$. Sedangkan nilai $\pi$ yang sebenarnya adalah $3,141592653589793238…$, nilai $\pi$ untuk desimal yang lebih banyak silahkan dibaca Bagaimana Menghitung pi Satu Juta Tempat Desimal.
DIAMETER DAN TALI BUSUR LINGKARAN
Tali Busur Lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran, dan Diameter Lingkaran adalah tali busur yang melalui titik pusat.
BUSUR DAN PANJANG BUSUR LINGKARAN
Busur Lingkaran adalah garis lengkung yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Busur bagian dari keliling lingkaran.
Panjang Busur Lingkaran adalah
$\begin{align}
\overset{\frown}{AB}\ & = \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Keliling Lingkaran} \\
\overset{\frown}{AB}\ & = \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r \\
\end{align}$
JURING DAN LUAS JURING LINGKARAN
Juring Lingkaran adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur. Juring merupakan bagian dari luas lingkaran.
Luas Juring Lingkaran adalah
$\begin{align}
\left[AOB \right]\ & = \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Luas Lingkaran} \\
\left[AOB \right]\ & = \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\
\end{align}$
APOTEMA DAN TEMBERENG LINGKARAN
Tembereng Lingkaran adalah daerah yang dibatasi tali busur dengan busur lingkaran. Apotema Lingkaran adalah ruas garis dari titik pusat lingkaran ke tali busur lingkaran.
SUDUT PUSAT DAN KELILING LINGKARAN
Sudut Pusat Lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran. Sudut Keliling Lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur lingkaran.
Sudut keliling lingkaran dan sudut pusat lingkaran jika menghadap busur yang sama berlaku hubungan "2 $\times$ sudut keliling lingkaran = sudut pusat lingkaran".
GARIS SINGGUNG LINGKARAN PERSEKUTUAN LUAR
GARIS SINGGUNG LINGKARAN PERSEKUTUAN DALAM
Pembahasan Soal Lingkaran Matematika SMP
Soal latihan tentang lingkaran berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan cek jawaban. Jika hasilnya belum memuaskan silahkan lakukan dicoba lagi tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 40 soal |
Untuk soal-soal pilihan ganda sederhana, pilihlah jawaban yang benar di antara 4 (empat) opsi jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal UNBK Matematika SMP 2019 |*Soal Lengkap
Panjang busur lingkaran dengan sudut pusat $72^{\circ}$ dan panjang jari-jari $10\ cm$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung panjang busur lingkaran kita membutuhkan keliling lingkaran $\left(k=2 \pi r \right)$. Dengan menggunkan $\pi=3,14$, kita akan peroleh:
$\begin{align}
\text{panjang busur} &= \text{keliling lingkaran} \times \dfrac{\text{sudut pusat}}{360^{\circ} } \\
&= 2 \pi r \times \dfrac{72^{\circ}}{360^{\circ} } \\
&= 2 \cdot 3,14 \cdot 10 \times \dfrac{1}{5 } \\
&= 12,56
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12,56\ cm$
2. Soal UNBK Matematika SMP 2019 |*Soal Lengkap
Pak Anton membuat taman berbentuk persegi panjang berukuran $6\ m \times 5\ m$. Di tengah taman dibuat kolam berbentuk lingkaran berdiameter $2,8\ m$. Taman di luar kolam tersebut ditanami rumput. Luas taman yang ditanami rumput adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung luas rumput yang ditanam kita perlu menghitung selisih luas taman dan luas kolam.
$\begin{align}
L_{r} &= L_{t}-L_{k} \\
&= 6 \times 5 - \pi r^{2} \\
&= 30 - \dfrac{22}{7} \cdot (1,4)(1,4) \\
&= 30 - 22 \cdot (0,2)(1,4) \\
&= 23,84
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 23,84\ m^{2}$
3. Soal UNBK Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
$AC$ merupakan diameter lingkaran yang berpusat di titik $O$. Jika besar $\angle BOA=100^{\circ}$, maka $\angle CDB= \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar $\angle BOA=100^{\circ}$ maka $\angle BOC=80^{\circ}$ karena $\angle BOA$ dan $\angle BOC$ adalah sudut pelurus.
$\angle BOC$ adalah sudut pusat lingkaran dan $\angle CDB$ adalah sudut keliling lingkaran maka berlaku $\angle BOC=2 \angle CDB$.
$\begin{align}
2 \angle CDB & = \angle BOC \\
2 \angle CDB & = 80^{\circ} \\
\angle CDB & = \frac{80^{\circ}}{2} \\
\angle CDB & = 40^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 40^{\circ}$
4. Soal Masuk YASOP - SMAN 2 Balige 2009 |*Soal Lengkap
Jika sudut $ABC=60^{\circ}$ dan titik $O$ adalah pusat lingkaran maka sudut refleks $AOC=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sudut refleks adalah sudut yang memiliki ukuran lebih dari 180 derajat dan kurang dari 360 derajat.
Dari gambar yang diberikan bahwa $AOC$ adalah sudut pusat yang besarnya $2$ kali sudut keliling yaitu $ABC$ karena kedua sudut tersebut menghadap tali busur yang sama yaitu $AC$, sehingga besar $AOC=120^{\circ}$.
Sudut refleks $AOC$ adalah $360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 240^{\circ}$
5. Soal Masuk YASOP - SMAN 2 Balige 2009 |*Soal Lengkap
Panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat $3$ batang kayu bila diameter kayu $14$ dm adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sebagai ilustrasi menghitung panjang tali yang dibutuhkan (*minimum) untuk mengikat ketiga kayu diatas, kurang lebih seperti berikut ini:
Dari gambar juga dapat kita peroleh besar sudut: $\measuredangle ABC=60^{\circ}$; $\measuredangle ABE=90^{\circ}$; $\measuredangle CBF=90^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle EBF=120^{\circ}$.
Panjang busur $EF$;
$\begin{align}
EF & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi r \\ & =\dfrac{1}{3} \times 2 \dfrac{22}{7} \cdot 7 \\ & =\dfrac{44}{3}
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah $3 \times (DE+ EF)=3 \times (14+\dfrac{44}{3})$
$\begin{align}
3 \times (DE+ EF) & =3 \times \left( 14+\dfrac{44}{3} \right) \\ & =42 +44 \\ & =86\ dm \\ & =8.600\ cm
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8.600\ cm$
6. Soal Masuk YASOP - SMAN 2 Balige 2009 |*Soal Lengkap
Keempat sisi persegi disinggung oleh sebuah lingkaran seperti gambar. Jika keliling lingkaran $44$ cm, maka panjang sisi persegi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Keliling lingkaran adalah $2 \pi r$.
$\begin{align}
K & = 2 \pi r \\
44 & = 2 \times \dfrac{22}{7} r \\
44 & = \dfrac{44}{7} r \\
1 & = \dfrac{1}{7} r \\
r & = 7
\end{align}$
Untuk $r=7$ dan panjang sisi persegi adalah $2r=14$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 14\ cm$
7. Soal Masuk YASOP - SMAN 2 Balige 2009 |*Soal Lengkap
Jika diketahui $OA=4\ cm$, dan $PB=2\ cm$ dan $OP=10\ cm $. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mempermudah menghitung panjang garis singgung persekutuan dalam, dimana pada gambar dimisalkan $AB$ kita beri beberapa titik dan garis tambahan. Kurang lebih seperti berikut ini;
- Panjang $AB=CP=OD=10\ cm$,
- Panjang $OA=BD=4\ cm$,
- Panjang $BP=AD=2\ cm$,
- Paniang $OC=DP=6\ cm$
- Dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga $OCP$ kita dapat hitung panjang $CP=8\ cm$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8\ cm$
8. Soal Masuk YASOP - SMAN 2 Balige 2009 |*Soal Lengkap
Luas tembereng yang diarsir pada gambar berikut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita perhatikan Luas tembereng yang diarsir adalah luas seperempat lingkaran dikurang luas segitiga $AOB$, yaitu:
Luas seperempat lingkaran dengan $r=21$ dan $\pi=\dfrac{22}{7}$
$\begin{align}
L & = \dfrac{1}{4} \pi\ r^{2} \\
& = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{22}{7} \times 21^{2} \\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{11}{7} \times 21 \times 21 \\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{11}{1} \times 3 \times 21 \\
& = \dfrac{21}{2} \times 33
\end{align}$
Luas segitiga dengan $a=21$ dan $t=21$ adalah $\dfrac{1}{2} (21)(21)=\dfrac{21}{2} \times 21$
Luas tembereng adalah
$\begin{align}
L _{t}& = \dfrac{21}{2} \times 33 - \dfrac{21}{2} \times 21 \\
& = \dfrac{21}{2}(33-21) \\
& = \dfrac{21}{2}(12) \\
& = \dfrac{21}{1}(6) \\
& = 126
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 126\ cm^{2}$
9. Soal Masuk YASOP - SMAN 2 Balige 2007 |*Soal Lengkap
$AOB$ adalah garis tengah. Jika besar $\angle ABC=63^{\circ}$ dan besar $\angle ABD=49^{\circ}$ maka besar $\angle CAD=\cdots$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar, dapat kita simpulkan bahwa $\angle ADB=\angle ACB=90^{\circ}$ karena kedua sudut tersebut menghadap diameter lingkaran.
Dari segitiga $ABC$
$\angle ABC+\angle ACB+\angle CAB=180^{\circ}$
$63^{\circ}+90^{\circ}+\angle CAB=180^{\circ}$
$\angle CAB=180^{\circ}-63^{\circ}-90^{\circ}$
$\angle CAB=180^{\circ}-153^{\circ}$
$\angle CAB=27^{\circ}$
Dari segitiga $ABD$
$\angle ABD+\angle ADB+\angle BAD=180^{\circ}$
$49^{\circ}+90^{\circ}+\angle BAD=180^{\circ}$
$\angle BAD=180^{\circ}-49^{\circ}-90^{\circ}$
$\angle BAD=180^{\circ}-139^{\circ}$
$\angle BAD=41^{\circ}$
Dari segitiga $ABC$
$\angle CAD=\angle BAD+\angle BAC$
$\angle CAD=41^{\circ}+27^{\circ}$
$\angle CAD=68^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 68^{\circ}$
10. Soal Masuk YASOP - SMAN 2 Balige 2005 |*Soal Lengkap
Titik-titik $A,\ B,\ \text{dan}\ C$ terletak pada lingkaran yang berpusat di $P$. Jika $AB$ adalah diameter lingkaran dan sudut $CAB=30^{\circ}$, maka sudut $CPB=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Jika kita gambarkan posisi titik pada lingkaran kurang lebih seperti berikut ini:
Dari $\bigtriangleup CAB$ karena $CAB=30^{\circ}$ dan $ACB=90^{\circ}$ karena menghadap diameter sehingga $ABC=60^{\circ}$.
Dari $\bigtriangleup CPB$ karena $PB=PC=r$ maka $\bigtriangleup CPB$ sama kaki sehingga $ABC=PBC=PCB=60^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 60^{\circ}$
11. Soal Masuk YASOP - SMAN 2 Balige 2004 |*Soal Lengkap
$P$ adalah pusat lingkaran yang kelilingnya $4 \pi\ cm$, dan $\angle APB=50 ^{\circ}$. Luas daerah di arsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Keliling lingkaran $4 \pi\ cm$ maka $2 \pi\ r = 4 \pi$ dan $r=2$.
Luas daerah yang diarsir adalah
$\dfrac{130}{360} \times \pi\ r^{2}$
$=\dfrac{13}{36} \times \pi\ 2^{2}$
$=\dfrac{13}{36} \times \pi\ 4$
$=\dfrac{13}{9} \times \pi $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{13}{9} \pi\ cm^{2}$
12. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2020 |*Soal Lengkap
Luas daerah yang diarsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika jari-jari lingkaran besar dan kecil kita munculkan seperti gambar berikut ini:
Dari gambar di atas dan menggunakan teorema phytagoras kita peroleh:
$\begin{align}
T^{2} & = R^{2}-r^{2} \\
T^{2} & = R^{2}-r^{2}
\end{align}$
Luas yang diarsir adalah luas lingkaran besar dengan jari-jari $R$ dikurang lingkaran kecil dengan jari-jar $r$, yaitu:
$\begin{align}
L & = \pi R^{2}- \pi r^{2} \\
& = \pi \left( R^{2}- r^{2} \right) \\
& = \pi\ T^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \pi\ T^{2}$
13. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2020 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut!
Jika setiap lingkaran melewati pusat dari lingkaran lain, keliling (tidak termasuk bagian yang terkandung dalam gambar) adalah...
Alternatif Pembahasan:
Lingkaran melalui titik-titik pusat lingkaran lainnya, sehingga jika titik-titik potong dan titik pusat lingaran kita hubungkan akan menjadi diameter lingkaran, seperti gambar berikut:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3 \pi r$
14. Soal UN Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
Titik $O$ adalah pusat lingkaran. Garis $AC$ adalah diameter. Besar sudut $ADB$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas garis $AC$ adalah diameter, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\angle BOC + \angle BOA &= 180^{\circ} \\
74^{\circ} + \angle BOA &= 180^{\circ} \\
\angle BOA &= 180^{\circ}-74^{\circ} \\
\angle BOA &= 106^{\circ}
\end{align}$
$\angle BOA$ dan $\angle ADB$ menghadap busur yang sama sehingga $\angle BOA$ adalah sudut pusat dan $\angle ADB$ adalah sudut keliling maka berlaku:
$\begin{align}
\angle BOA &= 2 \angle BDA \\
106^{\circ} &= 2 \angle BDA \\
\dfrac{106^{\circ}}{2} &= \angle BDA \\
53^{\circ} &= \angle BDA
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 53^{\circ}$
15. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap
Keliling sebuah lingkaran adalah $66\ \text{dm}$. Luas lingkaran tersebut adalah... $\left( \pi=\dfrac{22}{7} \right)$
Alternatif Pembahasan:
Luas lingkaran dirumuskan dengan rumus $L=\pi r^{2}$ dan Keliling Lingkaran dirumuskan dengan rumus $K=2\ \pi r$.
$\begin{align} K &= 2\ \pi r \\ 66\ \text{dm} &= 2 \left( \dfrac{22}{7} \right) r \\ 66\ \text{dm} &= \dfrac{44}{7} r \\ 3\ \text{dm} &= \dfrac{2}{7} \\ 21\ \text{dm} &= 2 r \\ \dfrac{21}{2} &= r \\ \hline L &= \pi r^{2} \\ L &= \left( \dfrac{22}{7} \right) \left( \dfrac{21}{2} \right)^{2} \\ &= \left( \dfrac{22}{7} \right) \left( \dfrac{21}{2} \right) \left( \dfrac{21}{2} \right) \\ &= \left( \dfrac{22}{1} \right) \left( \dfrac{3}{2} \right) \left( \dfrac{21}{2} \right) \\ &= \left( \dfrac{11}{1} \right) \left( \dfrac{3}{1} \right) \left( \dfrac{21}{2} \right) \\ &= \left( \dfrac{33}{1} \right) \left( \dfrac{21}{2} \right) \\ &= \dfrac{346}{2}=346,5 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 346,5\ \text{dm}^{2}$
16. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
Garis $AB$ disebut...
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas, garis $AB$ adalah tali busur lingkaran.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \text{tali busur}$
17. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar lingakran dengan pusat $O$.
Jika $\angle AOD=80^{\circ}$, besar $\angle ACB=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas garis $BD$ adalah diameter, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\angle AOD + \angle AOB &= 180^{\circ} \\
80^{\circ} + \angle AOB &= 180^{\circ} \\
\angle AOB &= 180^{\circ}-80^{\circ} \\
\angle AOB &= 100^{\circ}
\end{align}$
$\angle AOB$ dan $\angle ACB$ menghadap busur yang sama sehingga $\angle AOB$ adalah sudut pusat dan $\angle ACB$ adalah sudut keliling maka berlaku:
$\begin{align}
\angle AOB &= 2 \angle ACB \\
100^{\circ} &= 2 \angle ACB \\
\dfrac{100^{\circ}}{2} &= \angle ACB \\
50^{\circ} &= \angle ACB
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 50^{\circ}$
18. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap
Anton akan membuat $100$ buah teralis berbentuk juring lingkaran terbuat dari besi. Panjang jari-jari lingkaran $18\ \text{cm}$ dan besar sudut pusat $60^{\circ}$. Panjang besi minimal yang digunakan untuk membuat teralis tersebut adalah... $\left( \pi=3,14 \right)$
Alternatif Pembahasan:
Luas lingkaran dirumuskan dengan rumus $L=\pi r^{2}$ dan Keliling Lingkaran dirumuskan dengan rumus $K=2\ \pi r$.
Untuk membuat sebuah teralis berbentuk juring lingkaran, dibutuhkan besi dengan panjang:
$\begin{align}
p_{\text{besi}} &= 2 r + \text{busur lingkaran} \\
p_{\text{besi}} &= 2 r + \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Keliling Lingkaran} \\
&= 2 (18) + \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 (3,14) (18) \\
&= 36 + \dfrac{1}{6} \times (6,28) (18) \\
&= 36 + (6,28) (3) \\
&= 36 + 18,84 \\
&= 54,84
\end{align}$
Untuk membuat sebuah teralis berbentuk juring lingkaran, dibutuhkan besi dengan panjang $54,84\ \text{cm}$ sehingga untuk membuat $100$ panjang besi yang dibutuhkan adalah $54,84\ \text{cm} \times 100 = 5.484\ \text{cm}$ atau $54,84\ \text{m}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 54,84\ \text{m}$
19. Soal UN Matematika SMP 2014 |*Soal Lengkap
Pada suatu lingkaran, besar sudut pusat $AOB=108^{\circ}$. Jika panjang jari-jari lingkaran tersebut $7\ \text{cm}$, maka panjang busur $AB$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Luas lingkaran dirumuskan dengan rumus $L=\pi r^{2}$ dan Keliling Lingkaran dirumuskan dengan rumus $K=2\ \pi r$.
Panjang busur lingkaran adalah:
$\begin{align}
p_{\text{busur}} &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Keliling Lingkaran} \\
&= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r \\
&= \dfrac{108^{\circ}}{360^{\circ}} \times (2) \left( \dfrac{22}{7} \right) (7) \\
&= \dfrac{3}{10} \times (44) \\
&= \dfrac{132}{10} \\
&= 13,2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 13,2\ \text{cm}$
20. Soal UN Matematika SMP 2013 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
Jika $BD$ diameter dan luas juring $BOC=50\ \text{cm}^{2}$, luas juring $AOD$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Luas lingkaran dirumuskan dengan rumus $L=\pi r^{2}$ dan Keliling Lingkaran dirumuskan dengan rumus $K=2\ \pi r$.
Luas juring $BOC=50\ \text{cm}^{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\left[ \text{Juring BOC} \right] &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Luas Lingkaran} \\
50\ \text{cm}^{2} &= \dfrac{100^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\
50\ \text{cm}^{2} \times \dfrac{360^{\circ}}{100^{\circ}}&= \pi r^{2} \\
\end{align}$
Luas juring $AOD$ adalah:
$\begin{align}
\left[ \text{Juring AOD} \right] &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Luas Lingkaran} \\
&= \dfrac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\
&= \dfrac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times 50\ \text{cm}^{2} \times \dfrac{360^{\circ}}{100^{\circ}} \\
&= \dfrac{2^{\circ}}{5^{\circ}} \times 50\ \text{cm}^{2} \\
&= 20\ \text{cm}^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 20\ \text{cm}^{2}$
21. Soal UN Matematika SMP 2013 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
Titik $O$ adalah pusat lingkaran. Diketahui $\angle ABE+\angle ACE+\angle ADE=96^{\circ}$, besar $\angle AOE$ adalah
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas garis $O$ adalah titik pusat. $\angle ABE$, $\angle ACE$, dan $\angle ADE$ adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama sehingga besar ketiga sudut sama. Jika besar sudut kita misalkan dengan $\alpha$, maka besar sudut $\alpha$ adalah:
$\begin{align}
\angle ABE + \angle ACE+\angle ADE &= 96^{\circ} \\
\alpha + \alpha+\alpha &= 96^{\circ} \\
3 \alpha &= 96^{\circ} \\
\alpha &= \dfrac{96^{\circ}}{3}= 32^{\circ}
\end{align}$
Untuk sudut keliling $\angle ABE=32^{\circ}$ dan $\angle AOE$ adalah sudut pusat yang juga menghadap busur yang sama, maka $\angle AOE=2\angle ABE=64^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 64^{\circ}$
22. Soal UN Matematika SMP 2012 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
Titik $O$ adalah titik pusat lingkaran dan luas juring $OPQ=24\ \text{cm}^{2}$. Luas juring $OQR$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Luas lingkaran dirumuskan dengan rumus $L=\pi r^{2}$ dan Keliling Lingkaran dirumuskan dengan rumus $K=2\ \pi r$.
Luas juring $OPQ=24\ \text{cm}^{2}$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
\left[ \text{Juring OPQ} \right] &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Luas Lingkaran} \\
24\ \text{cm}^{2} &= \dfrac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\
24\ \text{cm}^{2} \times \dfrac{360^{\circ}}{40^{\circ}} &= \pi r^{2}
\end{align}$
Luas juring $AOD$ adalah:
$\begin{align}
\left[ \text{Juring OQR} \right] &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Luas Lingkaran} \\
&= \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\
&= \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 24\ \text{cm}^{2} \times \dfrac{360^{\circ}}{40^{\circ}} \\
&= 36\ \text{cm}^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 36\ \text{cm}^{2}$
23. Soal UN Matematika SMP 2011 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
Jika $O$ adalah pusat lingkaran, dan $\pi = \dfrac{22}{7}$, maka luas daerah yang diarsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Luas lingkaran dirumuskan dengan rumus $L=\pi r^{2}$ dan Keliling Lingkaran dirumuskan dengan rumus $K=2\ \pi r$.
Luas juring $AOB$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left[ \text{Juring AOB} \right] &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Luas Lingkaran} \\
&= \dfrac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\
&= \dfrac{1}{9} \times \dfrac{22}{7} \times (21)^{2} \\
&= \dfrac{1}{9} \times \dfrac{22}{7} \times (21) \times (21) \\
&= \dfrac{1}{9} \times (22) \times (3) \times (21) \\
&= \dfrac{1}{3} \times (22) \times (21) \\
&= (22) \times (7) = 154
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 154\ \text{cm}^{2}$
24. Soal UN Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar!
Diketahui $O$ adalah titik pusat lingkaran. Besar sudut $AOB$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar di atas, titik $O$ adalah pusat lingkaran, $\angle AOB$ dan $\angle ACB$ menghadap busur yang sama. $\angle AOB$ adalah sudut pusat dan $\angle ACB$ adalah sudut keliling maka berlaku:
$\begin{align}
\angle AOB &= 2 \angle ACB \\
&= 2 \times 30^{\circ} \\
&= 60^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 60^{\circ}$
25. Soal UN Matematika SMP 2010 |*Soal Lengkap
Seorang pelari mengelilingi lapangan berbentuk lingkaran dengan diameter $140\ \text{meter}$ sebanyak $10$ kali. Jarak yang ditempuh adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, pelari akan mengelilingi lingkaran sebanyak $10$ kali, maka panjang lintasan adalah:
$\begin{align}
P_{\text{lintasan}} & = 10 \times K_{\text{lingkaran}} \\
& = 10 \times 2 \pi r \\
& = 10 \times 2 \times \dfrac{22}{7} \times 70 \\
& = 20 \times 220 \\
& = 4.400
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4.400\ \text{m}$
26. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2022 |*Soal Lengkap
Dua buah lingkaran masing-masing yang berjari-jari $10 \text{cm}$ diletakkan pada sebuah bidang datar dengan kedua lingkaran saling bersinggungan satu sama lain. Sebuah lingkaran kecil diletakkan diantara kedua lingkaran besar tersebut sedemikian hingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan bidang datar. Maka jari-jari lingkaran tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2,5\ \text{cm}$
27. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2022 |*Soal Lengkap
Dua buah roda dililit seperti gambar berikut.
Panjang tali yang melilit dua roda tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada ujian nanti, mungkin soal ini dikembangkan dan yang ditanyakan panjang tali minimum untuk mengikat tiga lingkaran atau empat lingkaran. Untuk mendapatkan rumusnya silahkan disimak pada Cara Menghitung Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran).
Dari gambar di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align}
l_{t} & = \left( \pi\ + 2 \right)d \\
& = \left( \dfrac{22}{7} + 2 \right) (42) \\
& = 132 + 84 = 216
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 216\ \text{cm}$
28. Soal TUK Masuk SMA Unggul DEL 2022 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut!
Diketahui $QA:AP=3:1$. Luas juring $AOB = 36\ \text{cm}$. Luas daerah yang diarsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada gambar di soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\left[ \text{Juring AOB} \right] &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Luas Lingkaran} \\
36 &= \dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\
36 &= \dfrac{1}{4} \times \pi (OA)^{2} \\
36 &= \dfrac{1}{4} \times \pi (OA)^{2}
\end{align}$
Diketahui $QA:AP=3:1$ sehingga $OP=\dfrac{4}{3}OA$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\left[ \text{Juring POQ} \right] &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Luas Lingkaran} \\
&= \dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\
&= \dfrac{1}{4} \times \pi \left( OP \right)^{2} \\
&= \dfrac{1}{4} \times \pi \left( \dfrac{4}{3}OA \right)^{2} \\
&= \dfrac{1}{4} \times \pi \cdot \dfrac{16}{9} \cdot \left(OA \right)^{2} \\
&= \dfrac{16}{9} \cdot \dfrac{1}{4} \times \pi \left(OA \right)^{2} \\
&= \dfrac{16}{9} \cdot 36 \\
&= 64
\end{align}$
Luas daerah yang diarsir adalah $\left[ \text{Juring POQ} \right]-\left[ \text{Juring AOB} \right]=64-36=28$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 28\ \text{cm}^{2}$
29. Model Soal US-UM Matematika SMP 2023 |*Soal Lengkap
Sebuah lingkaran berpusat di titik $O$ seperti gambar berikut.
Besar sudut $AOB$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar yang diberikan kita ketahui bahwa $AOB$ adalah sudut pusat yang besarnya $2$ kali sudut keliling yaitu $ACB$ karena kedua sudut tersebut menghadap tali busur yang sama yaitu $AB$, sehingga besar $AOB=2 \times AOB = 110^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 110^{\circ}$
30. Model Soal US-UM Matematika SMP 2023 |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut!
Jika $O$ adalah pusat lingkaran, dan $\pi = 3,14$, maka luas daerah yang diarsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Luas lingkaran dirumuskan dengan rumus $L=\pi r^{2}$ dan Keliling Lingkaran dirumuskan dengan rumus $K=2\ \pi r$.
Daerah yang diarsir di atas adalah juring lingkaran, luasnya adalah:
$\begin{align}
\left[ \text{Juring} \right] &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Luas Lingkaran} \\
&= \dfrac{72^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\
&= \dfrac{1}{5} \times 3,14 \times (20)^{2} \\
&= \dfrac{1}{5} \times 3,14 \times 400 \\
&= (3,14) \times (80) \\
&= 251,2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 251,2\ \text{cm}^{2}$
31. Model Soal US-UM Matematika SMP 2023 |*Soal Lengkap
Gambar dibawah ini adalah sebuah penampang pipa yang berisi air dengan permukaan air dalam keadaan rata.Jika kedalaman air pada pipa adalah $9\ cm$ dan diameter pipa $34\ cm$, maka lebar permukaan air adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal, jika kita berikan informasi yang ada pada gambar dan memberi nama titik yang penting maka akan kita peroleh seperti gambar berikut ini:
Dari gambar di atas, kita peroleh bahwa lebar permukaan air adalah $AB$ yang besarnya $2AD$. Dimana besar $AD$ dapat kita hitung dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga $ADO$, yaitu:
$\begin{align}
AO^{2} &= AD^{2} + OD^{2} \\
17^{2} &= AD^{2} + 8^{2} \\
289 &= AD^{2} + 64 \\
289-64 &= AD^{2} \\
225 &= AD^{2} \\
AD &= 15 \\
\hline
AB &= 2AD=30
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 30\ \text{cm}$
32. Contoh Soal PAS Matematika SMP/MTs |*Soal Lengkap
Diketahui panjang busur suatu lingkaran adalah $22\ \text{cm}$. Jika sudut pusat yang menghadap busur tersebut berukuran $120^{\circ}$, maka panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah...$\left(\pi=\dfrac{22}{7} \right)$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal jika lingkaran kita gambarkan maka dapat kita peroleh seperti berikut ini:
Dari gambar di atas kita peroleh bawah sudut pusat sebesar $120^{\circ}$ menghadap busur lingkaran sepanjang $22\ \text{cm}$, sehingga untuk satu putaran $3 \times 120^{\circ}=360^{\circ}$ kita peroleh keliling lingkaran yaitu $3 \times 22\ \text{cm}=66\ \text{cm}$.
$\begin{align}
p_{\text{busur}} &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Keliling Lingkaran} \\
22\ \text{cm} &= \dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \dfrac{22}{7} \times r \\
22\ \text{cm} &= \dfrac{1}{3} \times 2 \times \dfrac{22}{7} \times r \\
1\ \text{cm} &= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{7} \times r \\
1\ \text{cm} &= \dfrac{2}{21} \times r \\
r &= \dfrac{21}{2}\ \text{cm}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10,5\text{cm}$
33. Contoh Soal PAS Matematika SMP/MTs |*Soal Lengkap
Diketahui panjang busur suatu lingkaran adalah $16,5\ \text{cm}$. Jika panjang diameter lingkaran tersebut adalah $42\ \text{cm}$, maka ukuran sudut pusatnya adalah...$\left(\pi=\dfrac{22}{7} \right)$
Alternatif Pembahasan:
Dari unsur-unsur lingkaran yang diketahui pada soal dapat kita peroleh ukuran sudutnya seperti berikut ini:
$\begin{align}
p_{\text{busur}} &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \text{Keliling Lingkaran} \\
16,5\ \text{cm} &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \times \pi \times r \\
16,5\ \text{cm} &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \times \dfrac{22}{7} \times 21\ \text{cm} \\
16,5\ \text{cm} &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times \dfrac{44}{1} \times 3\ \text{cm} \\
16,5\ \text{cm} &= \dfrac{\theta}{360^{\circ}} \times 132\ \text{cm} \\
\theta &= \dfrac{16,5 \times 360^{\circ}}{132} \\
\theta &= 45^{\circ}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 45^{\circ}$
34. Contoh Soal PAS Matematika SMP/MTs |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar lingkaran dengan titik pusat $O$ berikut.Diketahui besar $\angle BOD = 110^{\circ}$. Besar $\angle BCD$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari unsur-unsur lingkaran yang diketahui pada soal, $\angle BOD = 110^{\circ}$ merupakan sudut pusat sehingga sudut keliling $\angle BAD = 55^{\circ}$.
Sudut keliling $\angle BAD = 55^{\circ}$ dan sudut keliling $\angle BCD$ menghadap tali busur $BD$ sehingga jumlah $\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$. Dapat kita peroleh $\angle BCD = 125^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 125^{\circ}$
35. Contoh Soal PAS Matematika SMP/MTs |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut. Keliling bagian yang diarsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar yang diberikan di atas, daerah yang diarsir dibatasi oleh dua buah $\dfrac{1}{4}$ lingkaran dengan $r=14\ \text{cm}$ dan empat buah garis yang panjangnya $26\ \text{cm}$.
Keliling daerah yang diarsir adalah:
$\begin{align}
K_{\text{arisr}} &= 2 \times \dfrac{1}{4} \times \text{Keliling Lingkaran} + 4 \times 26\ \text{cm} \\
&= \dfrac{1}{2} \times 2 \times \dfrac{22}{7} \times 14\ \text{cm} + 104\ \text{cm} \\
&= 44\ \text{cm} + 104\ \text{cm} \\
&= 148\ \text{cm} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 148\ \text{cm}$
36. Contoh Soal PAS Matematika SMP/MTs |*Soal Lengkap
Perhatikan gambar berikut. Luas daerah yang diarsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari gambar yang diberikan di atas, daerah yang diarsir terdiri dari sebuah persegi dengan panjang sisi $14\ \text{cm}$ dan setengah lingkaran dengan $r=7\ \text{cm}$. Luas daerah yang diarsir adalah:
$\begin{align}
L_{\text{arsir}} &= \left[ \frac{1}{2} Lingkaran \right] + \left[ Persegi \right] \\
&= \frac{1}{2} \times \pi \times r^{2} + \text{sisi} \times \text{sisi} \\
&= \frac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times 7 \times 7 + 14 \times 14 \\
&= 11 \times 7 + 196 \\
&= 77 + 196 \\
&= 273
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 273\ \text{cm}^{2}$
37. Contoh Soal PAS Matematika SMP/MTs |*Soal Lengkap
Suatu lingkaran memiliki luas $16\pi\ \text{cm}^{2}$. Keliling lingkaran tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan rumus menghitung luas lingkaran dapat kita ketahui keliling lingkaran seperti berikut ini:
$\begin{align}
L_{\bigcirc} &= \pi \times r^{2} \\
16\pi\ \text{cm}^{2} &= \pi \times r^{2} \\
r^{2} &= \dfrac{16\pi\ \text{cm}^{2}}{\pi} \\
r^{2} &= 16\ \text{cm}^{2} \longrightarrow r=4\ \text{cm} \\
\hline
K_{\bigcirc} &= 2 \times \pi \times r \\
&= 2 \times \pi \times 4\ \text{cm} \\
&= 8\pi\ \text{cm}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8\pi\ \text{cm}$
38. Contoh Soal PAS Matematika SMP/MTs |*Soal Lengkap
Diketahui dua lingkaran berjari-jari $2,5\ \text{cm}$ dan $4,5\ \text{cm}$. Jika panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah $24\ \text{cm}$, maka jarak pusat kedua lingkaran adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal jika kita gambarkan maka kedudukan dua lingkaran dapat seperti beriktu ini:
Dari informasi gambar di atas dapat kita hitung jarak kedua titik pusat lingkaran $AB$ dengan bantuan segitiga siku-siku $AEB$, seperti berikut:
\begin{align}
AB^{2} & = AE^{2} + BE^{2} \\
AB^{2} & = 24^{2} + (4,5+2,5)^{2} \\
AB^{2} & = 576 + 49 \\
AB & = \sqrt{625} \\
AB & = 25
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 25\ \text{cm}$
39. Contoh Soal PAS Matematika SMP/MTs |*Soal Lengkap
Diketahui dua lingkaran berjari-jari $13\ \text{cm}$ dan $r\ \text{cm}$. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah $20\ \text{cm}$. Jika panjang gari singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah $16\ \text{cm}$, maka panjang $r$ yang mungkin dan tepat adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal jika kita gambarkan maka kedudukan dua lingkaran dapat seperti beriktu ini:
Dari informasi gambar di atas dapat kita jari-jari $r$ dengan bantuan segitiga siku-siku $ABC$, seperti berikut:
\begin{align}
AB^{2} & = BC^{2} + AC^{2} \\
20^{2} & = (13-r)^{2} + 16^{2} \\
400 & = 169-26r+r^{2} + 256 \\
0 & = r^{2}-26r+25 \\
0 & = \left(r-1 \right)\left(r-25 \right) \\
&r=1\ \text{atau}\ r=25
\end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1\ \text{cm}$
40. Soal Seleksi Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige |*Soal Lengkap
Pada sebuah lingkaran dengan titik pusat $O$, diketahui besar $\angle KOL$ adalah $5x$ derajat dan besar $\angle MON$ adalah $\left( 3x+2 \right)$ derajat. Jika panjang busur $KL=MN=5\ \text{cm}$ maka nilai $x=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal kita ketahui bahwa $\angle KOL$ dan $\angle MON$ merupakan sudut pusat lingkaran.
Karena panjang busur $KL=MN=5\ \text{cm}$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\angle KOL &= \angle MON \\
5x &= 3x+2 \\
5x-3x &= 2 \\
2x &= 2 \\
x &= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1 $
Catatan Soal dan Pembahasan Lingkaran Matematika SMP di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda yang dialamatkan kepada admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika ingin sukses harus pintar, Jika ingin pintar maka harus belajar, dan Jika ingin belajar harus rajin membaca.