Cara Menghitung Panjang Tali Minimum yang Diperlukan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran)

Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat cara menghitung Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran). Panjang pengikat minimum yang dibutuhkan untuk mengikat pipa berdiameter $d$ meter dalam satu ikatan (kumpulan), dimana satu ikatan (kumpulan) pipa terdiri dari $2,\ 3,\ 4, 5,\ \text{atau}\ n$ pipa.

Soal yang terkadang jadi masalah seperti yang disebutkan di atas adalah salah satu contoh masalah penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari pada materi lingkaran. Masalah ini umumnya diujikan pada saat belajar lingkaran di SMP, sehingga soal-soal seperti di atas sangat berpeluang diujikan pada Ujian Nasional Matematika SMP, kompetisi matematika SMP atau ujian seleksi masuk SMA tertentu.

Soal yang hampir mirip, pernah diujikan pada saat seleksi akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung SMAN 2 Balige, soal lengkapnya seperti berikut ini:

Panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat $3$ batang kayu bila diameter kayu $14$ dm adalah...

$(A)\ 8.600\ cm $
$(B)\ 860\ cm $
$(C)\ 86\ cm $
$(D)\ 8,6\ cm $
Alternatif Pembuktian:
Sebagai ilustrasi tambahan, kita beri titik-titik tambahan pada gambar agar menghitung panjang tali yang dibutuhkan (*minimum) untuk mengikat ketiga kayu di atas lebih mudah. Kurang lebih seperti berikut ini:

Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=14$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA=3 \times (14+ BC)$

Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $14$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan karena $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times 2 \dfrac{22}{7} \cdot 7 \\
& =\dfrac{44}{3}
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (AB+ BC) & =3 \times \left( 14+\dfrac{44}{3} \right) \\
& =42 +44 \\
& =86\ dm \\
& =8.600\ cm
\end{align}$

Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi lingkaran diikat mendatar, posisi lingkaran kita ilustrasikan seperti beberapa gambar berikut ini:

Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Satu Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat sebuah lingkaran yang berdiameter $d$ adalah $\pi \times d$ atau sama dengan menghitung keliling lingkaran.

Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Dua Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...

Alternatif Pembuktian:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$

Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Tiga Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...

Alternatif Pembuktian:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=2d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (2d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (2d+ BC) & =2 \times \left( 2d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =4d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 4 \right)d
\end{align}$
Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Empat Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...

Alternatif Pembuktian:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=3d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (3d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (3d+ BC) & =2 \times \left( 3d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =6d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 6 \right)d
\end{align}$

Kesimpulan yang dapat kita peroleh dalam menghitung panjang tali minimum ($p$) yang dibutuhkan untuk mengikat $1,\ 2,\ 3, \cdots n$ buah lingkaran disusun secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar di atas:

Untuk $1$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 0 \right)d$

Untuk $2$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$

Untuk $3$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$

Untuk $4$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 6 \right)d$
$\vdots$

Untuk $n$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2n-2 \right)d$

Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi lingkaran diikat bertingkat, posisi lingkaran kita ilustrasikan seperti beberapa gambar berikut ini:

Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Dua Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...

Alternatif Pembuktian:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$
Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Tiga Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...

Alternatif Pembuktian:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=d$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA$$=3 \times (d+ BC)$

Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan karena $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (d+ BC) & =3 \times \left( d+\dfrac{1}{3} \times \pi\ d \right) \\
& =3d+ \pi\ d \\
& =(3+\pi) d
\end{align}$
Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Empat Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...

Alternatif Pembuktian:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=CD=EF=GH=d$ dan panjang busur $BC=DE=FG=HA$ sehingga $AB+BC+CD+$$DE+EF+FG+GH+HA=$$4 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{90}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{4} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
4 \times (d+ BC) & =4 \times \left( d+\dfrac{1}{4} \times \pi\ d \right) \\
& =4d+ \pi\ d \\
& =(4+\pi) d
\end{align}$

Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Lima Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...

Alternatif Pembuktian:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=2d$, $CD=EF=GH=d$, panjang busur $BC=AH$ dan $DE=FG$ sehingga $AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA$$=2d+3d+2BC+2DE$$=5d+2BC+2DE$

Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQS$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar $\measuredangle BPC=120^{\circ}$ dan $\measuredangle DQE=60^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang busur $DE$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{60}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{6} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 5d+2BC+2DE \\
& = 5d+2 (\dfrac{1}{3} \times \pi\ d )+2(\dfrac{1}{6} \times \pi\ d) \\
& = 5d+ \dfrac{2}{3} \pi\ d )+ \dfrac{1}{3} \pi\ d \\
& = 5d+ \pi\ d \\
& = (5 + \pi)d
\end{align}$
Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Enam Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat enam buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...

Alternatif Pembuktian:
Dari gambar di atas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=2d$, dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$$=3(2d+BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABPQ$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQR$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $2d$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 3(2d+BC) \\
& = 3 (2d+ \dfrac{1}{3} \times \pi\ d ) \\
& = 6d+ \pi\ d ) \\
& = (6 + \pi)d
\end{align}$

Sebagai latihan kita diskusikan soal yang pernah diujikan pada Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (UMPTN) tahun 1993 pada Rayon A.

Soal UMPTN 1993 (Rayon A) |*Soal Lengkap
Enam buah pipa, masing-masing dengan garis tengah $d$, diikat erat seperti pada gambar. Jika arah tali pengikat tegak lurus pada arah panjang pipa, maka panjang tali yang melilit pipa itu adalah...

$(A)\ 9d $
$(B)\ 3+ \dfrac{\pi}{2}d $
$(C)\ (6+\pi)d $
$(D)\ (6+\dfrac{3}{4}\pi)d $
$(E)\ (12+2\pi)d $

Alternatif Pembahasan:
Seperti hasil diskusi kita di atas panjang tali minimum yang diperlukan untuk mengikat enam pipa adalah $(6 + \pi)d$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (6+\pi)d$

Catatan Cara Menghitung Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.

Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
Albert Einstein