Diskusi Matematika Seleksi Akademik Masuk Asrama YASOP SMAN 2 Balige 2005

Diskusi Matematika kita berikut ini soalnya kita coba dari Soal Seleksi Akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung SMAN 2 Balige Tahun 2005. Siswa-siswi yang tinggal di Asrama Yayasan Soposurung Balige yang dikenal dengan sebutan "Anak YASOP" bersekolah di SMAN 2 Balige. YASOP menjadi salah satu yayasan yang konsisten dalam memajukan pendidikan di Indonesia kuhususnya Sumatera Utara, sehingga tidak heran jika banyak anak-anak SMP kelas IX dari berbagai daerah ingin masuk dan bergabung bersama keluarga besar YASOP.

Soal Seleksi Akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung SMAN 2 Balige tiap tahun yang diujikan juga terus berkembang seiring dengan mengikuti perkembangan kurikulum dan teknologi. Tetapi aturan-aturan dasar atau sifat-sifat dalam mengerjakan soal, sifat dan aturannya selalu sama, terkhusus dalam pelajaran matematika. Sehingga soal-soal yang sudah diujikan panitia Seleksi Akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung pada tahun-tahun lalu sangat baik dijadikan latihan dasar sebagai latihan dalam bernalar.

Mari kita diskusikan beberapa soal:
1. Jika $H$ adalah himpunan bilangan ganjil antara $30$ dan $100$, maka $H$ mempunyai anggota sebanyak...
$\begin{align}
(A).\ & 33 \\
(B).\ & 34 \\
(C).\ & 35 \\
(D).\ & 36
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$H$ adalah himpunan bilangan ganjil antara $30$ dan $100$
$H:\ \left\{31,\ 33,\ 35,\ \cdots 97,\ 99 \right \}$
Dengan menggunakan konsep barisan aritmatika, dimana $a=31$, $b=2$ dan $u_{n}=99$.
$\begin{align}
u_{n} & = a+(n-1)b \\
99 & = 31+(n-1)2 \\
99 & = 31+2n-2 \\
99 & = 29+2n \\
99-29 & = 2n \\
70 & = 2n \\
n & = \dfrac{70}{2}=35 \\
\end{align}$
$H$ mempunyai anggota sebanyak $35$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 35$

2. Jangka waktu pendaftaran siswa baru dilaksanakan selama $100$ hari. Jika dibuka pada hari senin, maka hari pertama penutupan jatuh pada hari...
$\begin{align}
(A).\ & \text{Selasa} \\
(B).\ & \text{Rabu} \\
(C).\ & \text{Kamis} \\
(D).\ & \text{Jumat} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika sekarang hari senin maka seratus hari kemudian adalah hari RABU.
$\dfrac{100}{7}=14\ \text{sisa}\ 2$
"artinya seratus hari lagi sama dengan dua hari lagi"

Karena yang ditanyakan adalah hari pertama penutupan, maka jatuh pada hari setelah hari rabu yaitu KAMIS.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \text{Kamis}$

3. Jika $x$ dan $y$ adalah pasangan bilangan real yang memenuhi $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{xy}$ maka $x-y=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & -2 \\
(B).\ & -1 \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y} & = \dfrac{1}{xy}\\
\dfrac{y-x}{xy} & = \dfrac{1}{xy} \\
y-x & = 1 \\
x-y & = -1 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ -1$

4. Jika $N=\dfrac{2x-1}{x}$ dan $x$ bilangan real, maka $N$ tidak mungkin bernilai...
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 1 \\
(C).\ & 0 \\
(D).\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

  • $\dfrac{2x-1}{x}=2$
    $2x-1=2x$
    $0=1$ (Tidak Memenuhi)
  • $\dfrac{2x-1}{x}=1$
    $2x-1=x$
    $x=1$
  • $\dfrac{2x-1}{x}=0$
    $2x-1=0$
    $2x=1$
    $x=\dfrac{1}{2}$
  • $\dfrac{2x-1}{x}=-3$
    $2x-1=-3x$
    $5x=1$
    $x=\dfrac{1}{5}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 2$

5. Bilangan-bilangan disusun dan dikelompokkan menurut pola:
$(2,6),\ (3,7), (4,8), (5,9), \cdots$ dan seterusnya.
Bilangan pada kelompok ke-62 adalah...
$\begin{align}
(A).\ & (61,65) \\
(B).\ & (62,66) \\
(C).\ & (63,67) \\
(D).\ & (64,68)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari pola bilangan yang diketahui $(2,6),\ (3,7),\ (4,8)\, (5,9), \cdots$ kita peroleh
$k_{1}=(2,6)$
$k_{2}=(3,7)$
$k_{3}=(4,8)$
$k_{4}=(5,9)$
$\vdots$
$k_{n}=(n+1,5+n)$
$k_{6}=(63,67)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ (63,67)$

6. Diberikan rumus $\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$. maka nilai $\sqrt{18} \times \sqrt{12}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 6\sqrt{5} \\
(B).\ & 5\sqrt{6} \\
(C).\ & 6\sqrt{6} \\
(D).\ & 5\sqrt{5} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari sifat-sifat bentuk akar kita peroleh
$\begin{align}
\sqrt{a \times b} & =\sqrt{a} \times \sqrt{b} \\
\sqrt{18} \times \sqrt{12} & = \sqrt{18 \times 12} \\
\sqrt{18} \times \sqrt{12} & = \sqrt{216} \\
& = \sqrt{36 \times 6} \\
& = \sqrt{36} \times \sqrt{6} \\
& = 6 \sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 6\sqrt{6}$

7. Salah satu akar persamaan $ax^{2}+5x-3=0$ adalah $x=-\dfrac{1}{2}$ maka $a$ harus bernilai...
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & 2 \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari konsep persamaan kuadrat dapat kita simpulkan, karena salah akar $ax^{2}+5x-3=0$ adalah $x=-\dfrac{1}{2}$ maka untuk $x=-\dfrac{1}{2}$ nilai berlaku $ax^{2}+5x-3=0$.
$\begin{align}
ax^{2}+5x-3 =0 \\
a \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}+5\left( \dfrac{1}{2} \right)-3 =0 \\
a \left( \dfrac{1}{4} \right)+\dfrac{5}{2}-3 =0 \\
a \left( \dfrac{1}{4} \right)+\dfrac{5}{2}-3 =0\ \ \ \text{dikali}\ 4\\
a +10 - 12 =0 \\
a -2 =0 \\
a =2 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 2 $

8. $1000001^{2}-999999^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 4.000.000 \\
(B).\ & 4.000.100 \\
(C).\ & 4.010.000 \\
(D).\ & 4.100.000
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari sifat-sifat bilangan berpangkat kita peroleh
$\begin{align}
x^{2}-y^{2} & = (x+y)(x-y) \\
1.000.001^{2}-999.999^{2} & = (1.000.001+999.999)(1.000.001-999.999) \\
& = (2.000.000)(2) \\
& = 4.000.000
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 4.000.000$

9. Jika $log\ 2=x$ dan $log\ 3=y$, maka $log\ 72=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 3x+3y \\
(B).\ & 6xy \\
(C).\ & 2x+3y \\
(D).\ & 3x+2y
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma kita peroleh
$\begin{align}
log\ (xy) & = log\ x + log\ y \\
log\ (72) & = log\ (8 \times 9) \\
& = log\ 8 + log\ 9 \\
& = log\ 2^{3} + log\ 3^{2} \\
& = 3\ log\ 2 + 2\ log\ 3 \\
& = 3\ x + 2\ y
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 3x+2y$

10. Diketahui $P=x^{2}-6x+9$, $x$ bilangan real. Maka dapat dipastikanbahwa nilai $P$ tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \text{selalu posistif} \\
(B).\ & \text{selalu negatif} \\
(C).\ & \text{tidak pernah positif} \\
(D).\ & \text{tidak pernah negatif}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Berdasarkan konsep persamaan kuadrat atau manipulasi aljabar dapat kita tentukan gambaran nilai $P$.
$\begin{align}
P & = x^{2}-6x+9 \\
& = \left( x-3 \right)^{2}
\end{align}$
Karena nilai $P=\left( x-3 \rihgt)^{2}$ sehingga untuk $x$ bilangan real nilai $P$ tidak pernah negatif.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ \text{tidak pernah negatif}$

11. Batas dari semua nilai $x$ yang menyebabkan $\left( x^{2}+x-6 \right)$ bernilai negatif adalah...
$\begin{align}
(A).\ & -3 \lt x \lt 2 \\
(B).\ & -3 \leq x \leq 2 \\
(C).\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(D).\ & x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\left( x^{2}+x-6 \right)$ bernilai negatif, maka dapat kita tuliskan
$\begin{align}
x^{2}+x-6 & \lt 0 \\
(x+3)(x-2) & \lt 0 \\
\text{pembuat nol}\ x=-3\ & \text{atau}\ x=2 \\
\text{HP:}\ -3 \lt x \lt 2 &
\end{align}$
Jika belum paham untuk menentukan Himpunan Penyelesaian diatas coba dibaca: Cara Kreatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ -3 \lt x \lt 2$

12. Suatu pohon yang tingginya $24\ m$ mempunyai bayangan di tanah sepanjang $18\ m$. Jika pohon pinus yang tinginya $60\ m$, maka bayangannya di tanah sepanjang...
$\begin{align}
(A).\ & 40\ m \\
(B).\ & 45\ m \\
(C).\ & 75\ m \\
(D).\ & 80\ m
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dengan menggunakan konsep perbandingan senilai maka kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{t_{pohon}}{t_{pinus}} & = \dfrac{bayangan_{pohon}}{bayangan_{pinus}} \\
\dfrac{24}{60} & = \dfrac{18}{bayangan_{pinus}} \\
bayangan_{pinus} \times 24 & = 18 \times 60 \\
bayangan_{pinus} & = \dfrac{18 \times 60}{24} \\
bayangan_{pinus} & = 45
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 45\ m$

13. Pada kubus $ABCD.EFGH$ besar sudut $BEG$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 30^{\circ} \\
(B).\ & 45^{\circ} \\
(C).\ & 60^{\circ} \\
(D).\ & 80^{\circ}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita perhatikan $\bigtriangleup BEG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ adalah sebuah segitiga samasisi dengan panjang sisi adalah diagonal sisi kubus yaitu $a\sqrt{2}$. Karena $\bigtriangleup BEG$ adalah sebuah segitiga samasisi maka $\angle BEG=60^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 60^{\circ}$

14. Dari suatu kecelakaan diperoleh pernyataan:
"Semua penumpang tewas"
Setelah ditinjau langsung ke lokasi, ternyata pernyataan tersebut tidak benar. Maka dapat dipastikan bahwa...
$\begin{align}
(A).\ & \text{Semua penumpang selamat} \\
(B).\ & \text{Semua penumpang tidak selamat} \\
(C).\ & \text{Ada penumpang yang tidak selamat} \\
(D).\ & \text{Ada penumpang yang selamat}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Karena pernyataan "Semua penumpang tewas" tidak benar, maka "Ada penumpang tidak tewas"

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ \text{Ada penumpang yang selamat}$

15. Tinggi sebuah kerucut sama dengan jari-jari alasnya. Jika volumenya $9 \pi$, maka diameter alasnya adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 3 \\
(B).\ & 4 \\
(C).\ & 6 \\
(D).\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Volume kerucut adalah $V_{k}=\dfrac{1}{3}\ \text{Luas Alas} \cdot \text{tinggi}$
$\begin{align}
V_{k} & =\pi\ r^{2}\ \cdot t \\
9 \pi & =\dfrac{1}{3}\ \pi\ r^{2}\ \cdot r \\
27 \pi & = \pi\ r^{3} \\
27 & = r^{3} \\
3 & = r \\
d & = 6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 6$

16. Pada segitiga $ABC$ diketahui sudut $A=45^{\circ}$ dan $B=75^{\circ}$. Nilai $sin\ C=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{2}\\
(B).\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{3}\\
(C).\ & \dfrac{1}{2}\\
(D).\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

jumlah sudut pada segitiga adalah $180^{\circ}$, sehingga:
$\begin{align}
\angle A+\angle B+\angle C & =180^{\circ} \\
45^{\circ}+75^{\circ}+\angle C & =180^{\circ} \\
\angle C & =180^{\circ}-120^{\circ} \\
\angle C & =60^{\circ} \\
sin\ \angle C & =\dfrac{1}{2} \sqrt{3}\\\\
\end{align}$
[simak cara menghapal cepat nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa]
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

17. Jika sebuah segitiga siku-siku $ABC$ diketahui $sin\ A =\dfrac{5}{13}$ maka $cos\ A =\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{5}{13} \\
(B).\ & \dfrac{12}{5} \\
(C).\ & \dfrac{12}{13} \\
(D).\ & \dfrac{13}{12}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari perbandingan trigonometri pada segitiga $ABC$, kita peroleh:


Panjang dari $BC=5\ cm$, dan $AC=13\ cm$ m aka dengan menggunakan teorema phytagoras kita dapat hitung $AB=12$.
Perbandingan trigonometri untuk sudut $ A $
BC: Sisi siku di depan sudut $ A $
AB: Sisi siku di samping sudut $ A $
AC: Sisi miring
$\begin{align}
sin\ A & =\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{5}{13} \\
cos\ A & =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{13} \\
tan\ A & =\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{5}{12}
\end{align}$
JIka masih kesulitan memahami perbandingan trigonometri ini, coba disimak kembali Belajar Perbandingan Trigonometri Menjadi Mudah
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ \dfrac{12}{13}$

18. Sebuah kayu yang panjangnya $4\ m$ ditopang dengan tiang $T$ pada ujungnya. Agar kemiringan kayu mencapai $30^{\circ}$, maka tinggi tiang $T$ haruslah...

$\begin{align}
(A).\ & 2\ m \\
(B).\ & 2\dfrac{1}{2}\ m \\
(C).\ & 3\ m \\
(D).\ & 3\dfrac{1}{2}\ m
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dengan memperhatikan gambar dan menggunakan Perbandingan Trigonometri kita dapat menyimpulkan:
$\begin{align}
sin\ 30 & =\dfrac{Tiang}{kayu} \\
\dfrac{1}{2} & =\dfrac{T}{4\ m} \\
\dfrac{1}{2} \times 4\ m & =T \\
2\ m & =T
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 2\ m$

19. Jika $f(x-1)=2x+3$ maka $f(2)=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 8 \\
(B).\ & 9 \\
(C).\ & 10 \\
(D).\ & 11
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari fungsi $f(x-1)=2x+3$, yang ditanyakan adalah $f(2)$ maka kita substitusi $x=3$ agar pada $f(x-1)$ kita peroleh $f(2)$.
$\begin{align}
f(x-1) & = 2x+3 \\
f(3-1) & = 2(3)+3 \\
f(2) & = 6+3 \\
f(2) & = 9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 9$

20. Untuk $x\neq 1$, maka bentuk $\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$ dapat disederhanakan menjadi...
$\begin{align}
(A).\ & x \\
(B).\ & 2x \\
(C).\ & x-1 \\
(D).\ & x+1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
\dfrac{x^{2}-1}{x-1} & = \dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1} \\
& = (x+1) \dfrac{(x-1)}{x-1} \\
& = (x+1)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ x+1$

21. Nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{4x+5}{2x+1}=\dfrac{16}{5}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{3}{4} \\
(B).\ & \dfrac{3}{2} \\
(C).\ & \dfrac{2}{3} \\
(D).\ & \dfrac{4}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
\dfrac{4x+5}{2x+1} & = \dfrac{16}{5} \\
\dfrac{4x+5}{2x+1} & = \dfrac{16}{5} \\
5(4x+5) & = 16 (2x+1) \\
20x+25 & = 32x+16 \\
25-16 & = 32x-20x \\
9 & = 12x \\
x & = \dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ \dfrac{3}{4}$

22. Dari $20$ siswa diperoleh data bahwa $9$ siswa tidak suka jeruk, $7$ siswa tidak suka apel dan $7$ siswa suka jeruk maupun apel. Siswa yang tidak suka maupun apel sebanyak...
$\begin{align}
(A).\ & 3 \\
(B).\ & 4 \\
(C).\ & 5 \\
(D).\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika yang informasi pada soal kita sajikan dalam bentuk diagram venn, bentuknya kira-kira seperti berikut ini;

  • $9$ siswa tidak suka $J$ dan $x$ diantaranya juga tidak suka $A$, jadi yang hanya tidak suka $J$ adalah $9-x$.
  • $7$ siswa tidak suka $A$ dan $x$ diantaranya juga tidak suka $J$, jadi yang hanya tidak suka $A$ adalah $7-x$.
  • Siswa suka $J$ dan $A$ adalah $7$
$\begin{align}
n(J \cup A) & =n(J)+n(A)-n(J \cap A) \\
20-x & =14-x + 16-x -7 \\
20-x & =23-2x \\
2x-x & =23-20 \\
x & =3
\end{align}$
Banyak siswa tidak suka $J$ maupun $A$ adalah $3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 3$

23. Harga $3$ pesil dan $2$ buku sebesar $Rp7.600,00$. Sedangkan $2$ pensil dan $3$ buku seharga $Rp8.400,00$. Harga sebuah pensil sebesar...
$\begin{align}
(A).\ & Rp900,00 \\
(B).\ & Rp1.000,00 \\
(C).\ & Rp1.200,00 \\
(D).\ & Rp2.000,00
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Misalkan: $\text{pensil}=p$ dan $\text{buku}=b$
$\begin{array}{c|c|cc}
3p+2b=7.600 & \times\ 3 \\
2p+3b=8.400 & \times\ 2 \\
\hline
9p+6b=22.800 & \\
4p+6b=16.800 & (-) \\
\hline
5p=6.000 \\
p=\dfrac{6.000}{5} \\
p=1.200
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ Rp1.200,00$

24. Untu $x$ bilangan real, maka nilai terbesar dari $(3+4x-x^{2})$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 10 \\
(B).\ & 9 \\
(C).\ & 8 \\
(D).\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mendapatkan nilai terbesar atau terkecil dari apa yang disampaikan diatas dapat kita gunakan konsep fungsi kuadrat, karena $(3+4x-x^{2})$ berpangkat dua.

Aturan yang kita pakai dari fungsi kuadrat $f(x)=3+4x-x^{2}$ adalah nilai $y_{p}$.
$\begin{align}
y_{p} & =-\dfrac{D}{4a} \\
y_{p} & =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
& =-\dfrac{4^{2}-4(3)(-1)}{4(-1)} \\
& =-\dfrac{16+12}{-4} \\
& =-\dfrac{28}{-4} \\
& =7
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 7$

25. Segitiga $ABC$ diketahui panjang $AB=4$, $AC=6$ dan sudut $\angle A=30^{\circ}$. Luas segitiga $ABC$ sama dengan...
$\begin{align}
(A).\ & 4 \\
(B).\ & 6 \\
(C).\ & 8 \\
(D).\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita gambar segitiga $ABC$ beserta dengan unsur-unsur yang diketahui, kurang lebih seperti berikut ini;

Luas segitiga $ABC$ dapat kita hitung dengan menggunakan luas segitiga jika diketahui satu sudut dua sisi.

$[ABC]=dfrac{1}{2} (AB)(AC)(sin\ A)$
$[ABC]=dfrac{1}{2} (4)(6)(sin\ 30)$
$[ABC]=(2)(6)(\dfrac{1}{2})$
$[ABC]=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 6$

26. Garis $2x+3y=6$ dan sumbu $x$ membentuk sudut lancip $\theta$. Nilai $tan\ \theta=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & \dfrac{2}{3} \\
(D).\ & \dfrac{3}{2} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita gambar garis $2x+3y=6$ dan sudut lancip $\theta$, kurang lebih seperti berikut ini;

Dari gambar di atas dapat kita hitung
$\begin{align}
tan\ \theta & = \dfrac{AC}{BC} \\
& = \dfrac{2}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{2}{3}$

27. Jika peserta ujian nomor $41$ sampai $100$ mendapatkan hadiah masing-masing $2$ pensil, maka harus disediakan pensil sebanyak...
$\begin{align}
(A).\ & 116\ \text{buah} \\
(B).\ & 118\ \text{buah} \\
(C).\ & 120\ \text{buah} \\
(D).\ & 122\ \text{buah}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Peserta ujian nomor $41$ sampai $100$ akan diberi hadiah, banyak peserta yang akan diberi hadiah adalah $(100-41)+1=60$. Banyak pensil yang disiapkan adalah $60 \times 2 =120$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 120\ \text{buah}$


28. Nilai $\dfrac{log\ 8+log\ 4}{log\ 8-log\ 4}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 3 \\
(B).\ & 4 \\
(C).\ & 5 \\
(D).\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma kita peroleh
$\begin{align}
& \dfrac{log\ 8+log\ 4}{log\ 8-log\ 4} \\
& = \dfrac{log\ (8 \times 4)}{log\ \dfrac{8}{4}} \\
& = \dfrac{log\ (8 \times 4)}{log\ \left( \dfrac{8}{4} \right)} \\
& = \dfrac{log\ 32}{log\ 2} \\
& = \dfrac{log\ 2^{5}}{log\ 2} \\
& = \dfrac{5 \times log\ 2}{log\ 2} \\
& = 5
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 5$

29. Segitiga $ABC$ seperti pada gambar di bawah ini:
$DE$ sejajar $AB$
$AB=5$, $DE=3$, $CE=x$ dan $EB=y$.
Perbandingan $x:y=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 5:4 \\
(B).\ & 3:4 \\
(C).\ & 2:3 \\
(D).\ & 3:2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari gambar kita peroleh informasi bahwa $\bigtriangleup CDE$ sebangun dengan $\bigtriangleup CAB$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{DE}{AB} & = \dfrac{CE}{CB} \\
\dfrac{3}{5} & = \dfrac{x}{x+y} \\
3(x+y) & = 5x \\
3x+3y & = 5x \\
3y & = 5x-3x \\
3y & = 2x \\
\dfrac{x}{y} & = \dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 3:2$


30. Penyelesaian dari $x^{2} \lt 9$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & x \lt 3 \\
(B).\ & -3 \lt x \lt 3 \\
(C).\ & x \gt 3 \\
(D).\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
x^{2} & \lt 9 \\
x^{2} - 9 & \lt 0 \\
(x+3)(x-3) & \lt 0 \\
\text{pembuat nol}\ x=-3\ & \text{atau}\ x=3 \\
\text{HP:}\ -3 \lt x \lt 3 &
\end{align}$
Jika belum paham untuk menentukan Himpunan Penyelesaian diatas coba dibaca: Cara Kreatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ -3 \lt x \lt 3$

31. Titik-titik $A,\ B,\ \text{dan}\ C$ terletak pada lingkaran yang berpusat di $P$. Jika $AB$ adalah diameter lingkaran dan sudut $CAB=30^{\circ}$, maka sudut $CPB=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 50^{\circ} \\
(B).\ & 60^{\circ} \\
(C).\ & 70^{\circ} \\
(D).\ & 80^{\circ}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita gambarkan posisi titik pada lingkaran kurang lebih seperti berikut ini:

Dari $\bigtriangleup CAB$ karena $CAB=30^{\circ}$ dan $ACB=90^{\circ}$ karena menghadap diameter sehingga $ABC=60^{\circ}$.
Dari $\bigtriangleup CPB$ karena $PB=PC=r$ maka $\bigtriangleup CPB$ sama kaki sehingga $ABC=PBC=PCB=60^{\circ}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 60^{\circ}$

32. Kota $A$ dan $B$ berjarak $162\ km$. Mobil $I$ berangkat pada pukul $10.00$ dari kota $A$ menuju $B$ dengan kecepatan $60\ km/jam$. Pada saat yang sama mobil $II$ berangkat dari kota $B$ menuju $A$ dengan kecepatan $75\ km/jam$. Kedua mobil akan berpapasan pada pukul...
$\begin{align}
(A).\ & 10.42 \\
(B).\ & 10.56 \\
(C).\ & 11.12 \\
(D).\ & 11.45
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita gambarkan posisi mobil $I$ dan mobil $II$ sebelum berangkat kurang lebih seperti berikut ini:

Mobil $A$ berjalan sejauh $(162-x)\ km $ setelah $t$ jam dengan kecepatan $60\ km/jam$.
Mobil $B$ berjalan sejauh $x\ km $ setelah $t$ jam dengan kecepatan $75\ km/jam$.

Jarak yang ditempuh monbil $I$ dan $II$ setelah berjalan selama $t$ jam adalah
$\begin{align}
\dfrac{162-x}{60} &=\dfrac{x}{75} \\
(162-x)(75) &= (x)(60) \\
12150-75x &= 60x \\
12150 &= 135x \\
x &= \dfrac{12150}{60}=90
\end{align}$
Mobil $II$ setelah $t$ jam menempuh jarak $90\ km$, waktu yang dibutuhkan adalah $t=\dfrac{90}{75}=\dfrac{6}{5}\ jam=01.12$.
Mobil $I$ dan $II$ bertemu pukul $10.00+01.12$ yaitu pukul $11.12$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 11.12$

33. Uang Ali dan uang Budi berbanding $3:5$ jika selisih uang Ali dan uang Budi $Rp1.000,00$ maka jumlah uang Ali dan Budi adalah...
$\begin{align}
(A).\ & Rp2.400,00 \\
(B).\ & Rp3.200,00 \\
(C).\ & Rp3.500,00 \\
(D).\ & Rp4.000,00
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Perbandingan uang Ali dan Budi kita misalkan $3x:5x$, sehingga selisih uang mereka adalah $5x-3x=1.000$, sehingga $2x=1.000$ dan $x=500$.
Uang Ali: $3x=1.500$
Uang Budi: $5x=2.500$
Jumlah uang mereka adalah $1.500+2.500=4.000$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ Rp4.000,00$

34. Nilai matematika dari $7$ orang siswa mempunyai rata-rata $6,00$. Jika nilai Dono digabung, rata-ratanya menjadi $6,25$. Nilai Dono adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 6 \\
(B).\ & 7 \\
(C).\ & 8 \\
(D).\ & 9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Nilai $7$ orang siswa dan rata-ratanya adalah
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{7}}{7}$
$6=\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{7}}{7}$
$42= x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{7} $

Nilai Dono ditambahkan sehingga rata-ratanya menjadi $6,25$
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{7}+x_{Dono}}{8}$
$6,25=\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{7}+x_{Dono}}{8}$
$50= x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{7}+x_{Dono} $
$50= 42+x_{Dono} $
$8= x_{Dono} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 8$

35. Gambar di samping merupakan jaring-jaring...
$\begin{align}
(A).\ & \text{Kubus} \\
(B).\ & \text{Prisma} \\
(C).\ & \text{Limas} \\
(D).\ & \text{Kerucut}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari gambar yang ditampilkan adalah berupa jaring-jaring prisma segitiga

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ \text{Prisma}$

36. Objek matematika berikut merupakan benda abstrak, kecuali...
$\begin{align}
(A).\ & \text{Garis} \\
(B).\ & \text{Lingkaran} \\
(C).\ & \text{Bilangan} \\
(D).\ & \text{Angka}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari empat objek matematika yang dituliskan diatas yang paling mendekati kepada sebuah benda yang tidak abstrak adalah Lingkaran.
(Menurut KBBI: abstrak adalah tidak berwujud; tidak berbentuk)

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ \text{Lingkaran}$

37. Nilai dari $4$ orang diketahui terendah $3$ dan tertinggi $9$. Dapat dipastikan bahwa rata-ratanya berada pada batas...
$\begin{align}
(A).\ & 3 \dfrac{1}{2} \leq \bar{x} \leq 6 \\
(B).\ & 4 \leq \bar{x} \leq 6\dfrac{1}{2} \\
(C).\ & 4 \dfrac{1}{2} \leq \bar{x} \leq 7\dfrac{1}{2} \\
(D).\ & 5 \leq \bar{x} \leq 7 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Nilai $4$ orang siswa terendah $3$ dan tertinggi $9$.

Kemungkinan $I$ rata-rata terendah:
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}$
$\bar{x}=\dfrac{3+3+3+9}{4}$
$\bar{x}=\dfrac{18}{4}=4,5$

Kemungkinan $II$ rata-rata tertinggi:
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}$
$\bar{x}=\dfrac{3+9+9+9}{4}$
$\bar{x}=\dfrac{30}{4}=7,5$

Rata-rata nilai selalu diantara atau sama dengan yang tertinggi dan yang terendah, yaitu $4 \dfrac{1}{2} \leq \bar{x} \leq 7\dfrac{1}{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 4 \dfrac{1}{2} \leq \bar{x} \leq 7\dfrac{1}{2}$

38. Dua buah lingkaran berjari-jari $5\ cm$ berpotongan di titik $A$ dan $B$ seperti gambar.
$KL$ melalui kedua pusat lingkaran dan tegak lurus $AB$. Jika jarak kedua pusat lingkaran adalah $8\ cm$, maka luas segiempat $KBLA$ sama dengan...
$\begin{align}
(A).\ & 18\ cm^{2} \\
(B).\ & 24\ cm^{2} \\
(C).\ & 48\ cm^{2} \\
(D).\ & 54\ cm^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari gambar yang ditampilkan diatas, kita beri titik tambahan yang mungkin membantu kita dalam perhitungannya,

Dari apa yang disampaikan pada soal dan gambar diatas kita peroleh:
  • $P_{1}P_{2}=8\ cm$ sehingga $OP_{1}=4$.
  • $r=5$ maka $AP_{2}=5$ sehingga dengan menggunakan teorema pythagoras kita dapat hitung $AP=3$.
  • $OP_{2}=4$ maka $OL=9$ dan $KL=8$
  • $[OAL]=\dfrac{1}{2}(OL)(OA)$$=\dfrac{1}{2}(9)(3)=\dfrac{27}{2}$
  • $[KBLA]=4 \times [OAL]$$=4 \times \dfrac{27}{2}=54$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 54\ cm^{2}$

39. Garis $g$ melalui titik $A$ dan menyinggung lingkaran $L$ di titik $S$. $P$ adalah pusat lingkaran $L$ yang berjari-jari $3$. Jika sudut $PAS=30^{\circ}$, maka panjang $AP=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 4 \\
(B).\ & 5 \\
(C).\ & 6 \\
(D).\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari gambar yang ditampilkan diatas, kita beri garis tambahan yang mungkin membantu kita dalam perhitungannya,

Segitiga $APS$ adalah segitiga siku-siku di titik $S$ karena $AS$ adalah garis singgung lingkaran $L$.

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri sederhana yaitu
$\begin{align}
sin\ 30^{\circ} & =\dfrac{SP}{AP} \\
AP & =\dfrac{SP}{sin\ 30^{\circ}} \\
& =\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}} \\
& =6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 6$

40. Grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan $a \neq 0$ seperti gambar dibawah ini.
Berdasarkan hal diatas, maka...
$\begin{align}
(A).\ & a \gt 0 \\
(B).\ & b \gt 0 \\
(C).\ & c \lt 0 \\
(D).\ & c \gt 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Dengan memakai sifat-sifat grafik fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$, ciri-ciri grafik diatas adalah:

  • Grafik terbuka kebawah maka $a \lt 0$
  • Grafik memotong sumbu $y$ di titik $(0,0) maka $c=0$$
  • Titik puncak grafik parabola berada di kanan maka $a \lt 0$ dan $b \gt 0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ b \gt 0$


Silahkan dowload soal Matematika Soal Seleksi Akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung SMAN 2 Balige Tahun 2005.

Semoga Bermanfaat, soal-soal dan pembahasan Matematika Soal Seleksi Akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung SMAN 2 Balige Tahun 2008 di atas masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya 😊😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Gurunya Super Kreatif, Mengerjakan Perkalian Jadi Kreatif;

You Might Also Like: