Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Barisan dan Deret Aritmetika

Belajar Barisan dan Deret AritmetikaCatatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Barisan dan Deret Aritmetika. Untuk melengkapi matematika dasar barisan dan deret arimetika, kita juga baiknya akan mempelajari matematika dasar barisan dan deret geometri dan matematika dasar barisan dan deret geometri tak hingga, dengan memahami ketiga topik ini maka masalah barisan dan deret akan semakin mudah kita pelajari.

Penerapan barisan dan deret aritmetika dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya dapat dilihat pada soal-soal yang akan kita diskusikan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada barisan dan deret aritmetika sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal barisan dan deret aritmetika dan menemukan solusinya.

Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada SMA dan SMP, bahkan dalam bentuk soal cerita atau matematika realistik, soal tentang barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan Bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu.

Secara simbol sederhana barisan dapat kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$

$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.

Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.

Secara simbol sederhana deret bilangan dapat kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$

$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$

Barisan dan Deret Aritmetika

Setelah dapat memahami tentang barisan dan deret bilangan, sekarang coba kita diskusikan tentang Barisan dan Deret Bilangan Aritmetika yang sering disebut hanya Barisan Aritmetika. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Aritmetika (BA) jika selisih antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Selisih antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $beda$ ($b$).
Contoh,
$2, 5, 8, 11, 14,...$ (Barisan Aritmetika dengan $b=3$)
$10, 6, 2, -2, -6,...$ (Barisan Aritmetika dengan $b=-4$)

Pada Barisan Aritmetika jika suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan beda dengan $b$ maka suku-suku Barisan Aritmetika secara umum dapat kita tuliskan menjadi;
$a,\ (a+b),\ (a+2b),\ (a+3b),\cdots, a+(n-1)b$

Sedangkan jika Barisan Aritmetika kita tuliskan menjadi Deret Aritmetika, penulisan menjadi;
$a+\ (a+b)+\ (a+2b)+\ (a+3b)+\cdots+ \left(a+(n-1)b\right)$

Dari bentuk umum diatas kita peroleh,
  • beda=$b$
    $b=U_{2}-U_{1}=U_{7}-U_{6}$
    $b=U_{n}-U_{n-1}$
    $b=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{m}-u_{n}}{m-n}$
  • Suku ke-n
    $U_{n}=a+(n-1)b$
  • Jumlah n suku pertama
    $S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
    $S_{n}=\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ]$
  • Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
    $U_{t}=\frac{1}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
    $S_{n}=n \cdot U_{t}$

Barisan Aritmetika Tingkat Dua

Barisan aritmetika tingkat $n$ adalah barisan yang mempunyai $n$ pola dalam membentuk sebuah barisan dan pada pola ke-$n$ pola barisan menggunakan konsep aritmetika atau beda pada barisan adalah sama. Barisan aritmetika tingkat dua berarti barisan memiliki dua pola dan pada pola yang kedua beda barisan adalah sama.

Sebagai contoh kita perhatikan barisan berikut:
Barisan aritmetika tingkat dua $6, 18, 36, 60, 90, 126, \cdots$
 Matematika Dasar Barisan Aritmetika tingkat dua

Barisan aritmetika tingkat tiga $1, 7, 25, 121, 211, 337, 505, \cdots$
 Matematika Dasar Barisan Aritmetika tingkat tiga
Menggunakan faktorial $(*n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1)$ suku ke-$n$ barisan aritmetika tingkat dua adalah $U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!} + \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}$.

Jika kita lanjutkan suku ke-$n$ untuk barisan aritmetika tingkat ketiga adalah $U_n=a+ \dfrac{(n-1)b}{1!}+ \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!}+\dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)d}{3!}$

Barisan dan Deret Aritmetika untuk beberapa buku memakai istilah dengan sebutan Deret Hitung. untuk memahami Barisan Aritmetika dan Deret Aritmetika ini coba kita diskusikan beberapa contoh soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN atau ujian lain yang pernah diselenggarakan pada sekolah.

1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan $U_{2}=8$ dan $U_{6}=20$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 150 \\
(B)\ & 75 \\
(C)\ & 50 \\
(D)\ & 28 \\
(E)\ & 25
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi dari soal yaitu barisan aritmetika, maka kita butuh informasi berikut ini;
$U_{n}=a+(n-1)b$
$S_{n}=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b \right)$

$U_{2}=8\ \rightarrow\ a+b=8$
$U_{6}=20\ \rightarrow\ a+5b=20$
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b= 8 & \\
a+5b = 20 & (-) \\
\hline
-4b = -12 & \\
b = 3 & a= 5
\end{array} $

Untuk $b=3$ maka $a=5$, dan $S_{6}$ adalah
$\begin{align}
S_{6} & =\frac{6}{2} \left(2a+(6-1)b \right) \\
&=3 \left(2(5)+(5)(3) \right) \\
&=3 \left(10+15 \right) \\
&=3 \left(25 \right) \\
&=75
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 75$

2. Soal SPMB 2007 (*Soal Lengkap)

Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika keliling segitiga tersebut adalah $72$, luasnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 216 \\
(B)\ & 363 \\
(C)\ & 364 \\
(D)\ & 383 \\
(E)\ & 432 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Belajar Barisan dan Deret Aritmetika
Keliling Segitiga = jumlah ketiga sisinya
$\begin{align}
K_\Delta &=a+(a+b)+(a+2b) \\
72 &=3a+3b \\
24 &=a+b \cdots pers(1)
\end{align}$
Karena segitiga adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras (kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang dari dua sisi lainnya).

$\begin{align}
(a+2b)^{2} &=a^{2}+(a+b)^{2} \\
a^{2}+4ab+4b^{2} &=a^2+a^{2}+2ab+b^{2} \\
0 &=a^{2}-2ab-3b^{2} \\
0 &=(a-b)^{2}-4b^{2} \\
(a-b)^{2} &=4b^{2} \\
(a-b)^{2} &=(2b)^{2} \\
a-b &= 2b \\
a &=3b\ \text{substitusi ke pers(1)} \\
24 &=3b+b \\
4b &= 24 \\
b=6\ & \text{maka}\ a=18 \\
\end{align}$
Luas Segitiga
$L_\Delta=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (a+b)$
$L_\Delta=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot (24)$
$L_\Delta=216$

Sebagai alternatif penyelesaian, soal ini bisa dikerjakan dengan cara memakai perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku karena membentuk Barisan Aritmetika sehingga berlaku $a:b:c=3x:4x:5x$.

$\begin{align}
K_\Delta &= 3x+4x+5x \\
72 &=12x \\
6 &=x
\end{align}$

$\begin{align}
L_\Delta &=\frac{1}{2}(4x)(3x) \\
&=6x^{2} \\
&=6(36)=216
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 216$

3. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmetika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmetika adalah 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 30 \\
(E)\ & 36 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan geometri harus kita ketahui;

Misalkan barisan aritmetika dengan $b=2$ adalah $(a),\ (a+2),\ (a+4),\ (a+6)$.

Barisan Geometri yang terbentuk:
$(a),\ (a+2),\ (a+4)+(a),\ 2(a+6)$.
$(a),\ (a+2),\ (2a+4),\ (2a+12)$.
dengan menggunakan ciri khas dari $BG$, kita peroleh
$\begin{align}
u_{2}^{2} & =u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+2)^{2} & = a \cdot (2a+4) \\
a^{2}+4a+4 & = 2a^{2}+4a \\
a^{2}-4 & =0 \\
(a-2)(a+2) & =0 \\
a=2\ & \text{atau}\ a=-2
\end{align}$

Untuk $a=-2$ barisan adalah: $-2,\ 0,\ 0,\ 8$ bukan $BG$.
Untuk $a=2$ barisan adalah: $2,\ 4,\ 8,\ 16$ merupakan $BG$ sehingga jumlahnya adalah $30$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 30$

4. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $\dfrac{1}{2}$ dan suatu barisan aritmetika yang terdiri atas tiga suku dengan beda $b$. Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai $1$. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{15} \\
(B)\ & \dfrac{2}{15} \\
(C)\ & \dfrac{1}{5} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{8}{15}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan geometri harus kita ketahui;

Misalkan:$BG$ dengan $r=\dfrac{1}{2}$ adalah $a,\ \dfrac{1}{2}a,\ \dfrac{1}{4}a,\ \dfrac{1}{8}a$.
$\begin{align}
a+ \dfrac{1}{2}a+ \dfrac{1}{4}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8}{8}a+ \dfrac{4}{8}a+ \dfrac{2}{8}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8+4+2+1}{8}a & = 1 \\
15a & = 8 \\
a & = \dfrac{8}{15}
\end{align}$

Misalkan $BA$ dengan $b=b$ adalah $u_{1}-b,\ u_{1},\ u_{1}+b$.
$\begin{align}
u_{1}-b+ u_{1}+ u_{1}+b & = 1 \\
3u_{1} & = 1 \\
u_{1} & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$

Karena $u_{1}$ $BG$ sama dengan $u_{3}$ $BA$, maka
$\begin{align}
u_{1}+b & = a \\
\dfrac{1}{3}+b & = \dfrac{8}{15} \\
b & = \dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{8}{15}-\dfrac{5}{15} \\
& = \dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{5}$

5. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Sebelas buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah $187$. Jika pada setiap $2$ suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rat-rata dari $2$ suku yang berurutan tersebut, jumlah deret yang baru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 289 \\
(B)\ & 323 \\
(C)\ & 357 \\
(D)\ & 399 \\
(E)\ & 418
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Misalkan Deret Aritmetika$(a)+(a+b)+(a+2b)+\cdots+(a+9b)+(a+10b)$ dengan $S_{11}=187$

$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
S_{11} & = \dfrac{11}{2} \left(2a+(11-1)b \right) \\
187 & = \dfrac{11}{2} \left(2a+10b \right) \\
187 & = 11a+55b \\
17 & = a+5b
\end{align}$

Diantara dua suku disisipkan rata-rata kedua suku, sehingga deret yang baru adalah:
$(a)+\dfrac{1}{2}(2a+b)+(a+b)+\dfrac{1}{2}(2a+3b)+(a+2b)+\cdots+(a+9b)+\dfrac{1}{2}(2a+19b)+(a+10b)$

Banyak suku yang dapat disisipkan adalah $10$ suku baru, deret yang disisipkan adalah:
$ \dfrac{1}{2}(2a+b) +\dfrac{1}{2}(2a+3b)+\dfrac{1}{2}(2a+5b)+\cdots$$+\dfrac{1}{2}(2a+19b)$
$ =\dfrac{1}{2} \left( (2a+b) + (2a+3b)+ (2a+5b)+\cdots+ (2a+19b) \right)$
$ =\dfrac{1}{2} \left( 2a \times 10 +(b+3b+5b+\cdots+19b) \right)$
$ =\dfrac{1}{2} \left( 20a +100b \right)$
$ =\dfrac{1}{2} \cdot 20 \left( a +5b \right)$
$ =10 \left( 17 \right)$
$ =170$

Jumlah deret yang baru adalah $170+187=357$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 357$

6. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)

Jika jumlah $n$ suku pertama dari suatu deret adalah $S_{n}=(n-1)(n)(n+1)$, maka suku ke-10 deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 90 \\
(B)\ & 180 \\
(C)\ & 270 \\
(D)\ & 540 \\
(E)\ & 990
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal bahwa $S_{n}=(n-1)(n)(n+1)$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{n} & = (n-1)(n)(n+1) \\
S_{1} & = 0 \\
S_{2} & = (1)(2)(3) =6 \\
S_{3} & = (2)(3)(4) =24 \\
S_{4} & = (3)(4)(5) =60 \\
S_{5} & = (4)(5)(6) =120 \\
\vdots
\end{align}$
Kita ketahui bahwa $U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$, sehingga kita peroleh,
$\begin{align}
U_{1} & = 0 \\
U_{2} & = S_{2}-S_{1}=6-0=6 \\
U_{3} & = S_{3}-S_{2}=24-6=18 \\
U_{4} & = S_{4}-S_{3}=60-24=36 \\
U_{5} & = S_{5}-S_{4}=120-60=60 \\
\vdots
\end{align}$
Deret yang dihasilkan adalah $0+6+18+36+60+\cdots$, ini adalah deret aritmetika tingkat dua dimana $a=0$, $b=6$ dan $c=6$ sehingga:
$\begin{align}
U_n & = a+ \dfrac{(n-1)b}{1!} + \dfrac{(n-1)(n-2)c}{2!} \\
U_{10} & = 0+ \dfrac{(10-1)6}{1!} + \dfrac{(10-1)(10-2)6}{2!} \\
& = \dfrac{(9)6}{1} + \dfrac{(9)(8)6}{2} \\
& = 54 + 216 = 270
\end{align}$

Deret aritmetika tingkat dua umumnya mempunyai pola yang unik, untuk soal di atas polanya adalah
$\begin{align}
0 & = 1 \times 3 \times 0 \\
6 & = 2 \times 3 \times 1 \\
18 & = 3 \times 3 \times 2 \\
36 & = 4 \times 3 \times 3 \\
\vdots \\
U_{10} & = 10 \times 3 \times 9 \\
& = 270
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 270$

7. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Dalam suatu barisan aritmetika, nilai rata-rata dari $4$ suku pertama adalah $8$ dan nilai rata-rata $9$ suku pertama adalah $3$. Jumlah $n$ suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -10n+n^{2} \\
(B)\ & 11n+n^{2} \\
(C)\ & 12n-n^{2} \\
(D)\ & -10n-n^{2} \\
(E)\ & 8n-n^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Sebagai tambahan sedikit catatan tentang tentang rata-rata yaitu $\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{n}}{n}$.
$\begin{align}
\bar{x} &= \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{n}}{n} \\
8 & = \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{4}}{4} \\
32 & = x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{4} \\
32 & = a + a+b + a+2b + a+3b \\
32 & = 4a + 6b \\
16 & = 2a + 3b \\
\hline
3 & = \dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{9}}{9} \\
27 & = x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{9} \\
27 & = x_{1} + x_{2} + x_{3}+ x_{4}+x_{5} + \cdots\ + x_{9} \\
27 & = 32 +x_{5} + \cdots\ + x_{9} \\
-5 & = x_{5} + \cdots\ + x_{9} \\
-5 & = a+4b+a+5b+a+6b+a+7b+a+8b \\
-5 & = 5a+30b \\
-1 & = a+6b
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
a+6b= -1 & \\
2a+3b = 16 & \\
\hline
2a+12b= -2 & \\
2a+3b = 16 & (-) \\
\hline
9b=-18 & \\
b=-2 & a= 11
\end{array} $

$\begin{align}
S_{n} &= \dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)b \right) \\
&= \dfrac{n}{2} \left( 2(11)+(n-1)(-2) \right) \\
&= \dfrac{n}{2} \left( 22 -2n+2 \right) \\
&= \dfrac{n}{2} \left( 24 -2n \right) \\
&= 12n - n^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12n - n^{2}$

8. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika, Jika jumlah suku ke-1 dan suku ke-3 adalah $30$ dan jumlah dari logaritma suku ke-1, ke-2 dan ke-3 adalah $3+{}^\!\log 3$, maka suku ke-1 barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -5\ \text{atau}\ 5 \\
(B)\ & 5\ \text{atau}\ -10 \\
(C)\ & 5\ \text{atau}\ 25 \\
(D)\ & 10\ \text{atau}\ 20 \\
(E)\ & 25\ \text{atau}\ 15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika, kita misalkan $(a-b), (a), (a+b)$, Sebagai tambahan sedikit catatan tentang tentang rata-rata yaitu $\bar{x}=\dfrac{x_{1} + x_{2} + \cdots\ + x_{n}}{n}$.
$\begin{align}
U_{1}+ U_{3} &= 30 \\
a-b+a+b &= 30 \\
2a &= 30 \\
a &= 15
\end{align}$
Untuk $a=15$ dan jumlah dari logaritma suku ke-1, ke-2 dan ke-3 adalah $3+{}^\!\log 3$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
{}^\!\log a+{}^\!\log (a+b)+{}^\!\log (a+2b) &= 3+{}^\!\log 3 \\
{}^\!\log (a-b)(a)(a+b) &= {}^\!\log 1000+{}^\!\log 3 \\
{}^\!\log (15-b)(15)(15+b) &= {}^\!\log 3000 \\
(15-b)(15)(15+b) &= 3000 \\
(15-b) (15+b) &= 200 \\
225-b^{2} &= 200 \\
b^{2} &= 225-200=25 \\
b &= \pm 5
\end{align} $

Untuk $b=5$ dan $a=15$ maka barisan adalah $10,15,20$
Untuk $b=-5$ dan $a=15$ maka barisan adalah $20,15,10$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10\ \text{atau}\ 20$

9. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)

Jika $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ adalah barisan aritmetika dan $a_{1}, a_{2}, a_{1}+a_{3}$ adalah barisan geometri, maka $\dfrac{a_{3}}{a_{1}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari barisan aritmetika $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ kita peroleh $2a_{2}=a_{1} + a_{3}$

Dari barisan geometri $a_{1}, a_{2}, a_{1}+a_{3}$ kita peroleh:
$\begin{align}
a_{2}^{2} &= a_{1} \left( a_{1}+a_{3} \right) \\
a_{2}^{2} &= a_{1} \left( 2a_{2} \right) \\
a_{2}^{2} &= 2a_{1} \cdot a_{2} \\
a_{2} &= 2 a_{1}
\end{align}$

Persamaan yang kita peroleh di atas kita substitusi ke persamaan $2a_{2}=a_{1} + a_{3}$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
2 \left( 2 a_{1} \right) &= a_{1} + a_{3} \\
4 a_{1} &= a_{1} + a_{3} \\
3 a_{1} &= a_{3} \\
\dfrac{a_{3}}{a_{1}} &= \dfrac{3a_{1}}{a_{1}} \\
&= 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$


10. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 (*Soal Lengkap)

Jumlah suku ke-4 dan suku ke-5 dari suatu barisan arimetika adalah $55$, sedangkan suku ke-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai $1$. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 17 \\
(B)\ & 35 \\
(C)\ & 37 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 60
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari barisan aritmetika $a, a+b, a+2b,\cdots , a+(n-1)b$ kita peroleh:
$\begin{align}
U_{4}+U_{5} &= 55 \\
a+3b +a+4b &= 55 \\
2a+7b &= 55 \\
U_{9}-2U_{2} &= 1 \\
a+8b-2(a+b) &= 1 \\
a+8b-2 a-2b &= 1 \\
-a+6b &= 1
\end{align}$

Persamaan yang kita peroleh di atas coab kita eliminasi atau substitusi:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+7b = 55 & \\
-a+6b = 1 & \\
\hline
2a+7b = 55 & \\
-2a+12b = 2 (+) & \\
\hline
19b = 57 & \\
b = 3 & a= 17
\end{array} $

Jumlah tiga suku pertama
$\begin{align}
S_{3} &= 17+20+23 \\
&= 60
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 60$

11. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 (*Soal Lengkap)

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ akar-akar real persamaan $x^{2}+3x+p=0$, dengan $x_{1}$ dan $x_{2}$ kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika $x_{1}+x_{2},\ x_{1}x_{2},$ dan $x_{1}^{2}x_{2}^{2}$ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, maka $p=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk dapat menyelesaikan soal di atas coba kita ambil sedikit catatan tentang akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+3x+p=0$, yaitu:

  • $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3}{1}=-3$
  • $x_{1} x_{2}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{p}{1}=p$
  • $ x_{1}^{2} x_{2}^{2}= \left( x_{1} x_{2} \right)^{2} = p^{2}$
Berdasarkan data di atas barisan aritmetika adalah $-3,\ p,\ p^{2}$
$\begin{align}
2U_{2} &= U_{1}+ U_{3} \\
2p &= -3 +p^{2} \\
p^{2}-2p-3 &= 0 \\
(p-3)(p+1) &= 0 \\
p=3\ \text{atau}\ p=-1 & \\
\end{align}$

Untuk $p=3$ tidak memenuhi karena mengakibatkan $x^{2}+3x+p=0$ akar-akarnya tidak real, sehingga yang memenuhi adalah untuk $p=-1$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

12. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)

Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah $ 23$. Jika suku terakhirnya $43$ dan suku ketiganya $13$, maka banyak suku barisan itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Diketahui suku tengah $23$ dan $U_{n}=43$ sehingga;
$\begin{align}
U_{t} &= \frac{1}{2}\left ( a+U_{n} \right ) \\
23 &= \frac{1}{2}\left ( a+43 \right ) \\
46 &= a+43 \\
a &= 3
\end{align}$

Karena $U_{3}=13=a+2b$ dan $a=3$ sehingga $3+2b=13$, $ b=5$
$\begin{align}
U_{n} &= a+(n-1)b \\
43 &= 3+(n-1)5 \\
43 &= 3+5n-5 \\
43 &= 5n-2 \\
45 &= 5n \\
9 &= n
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 9$

13. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Tujuh bilangan berjumlah $133$ membentuk barisan aritmetika. Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku tersebut. Jumlah semua bilangan di barisan baru adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 200 \\
(B)\ & 240 \\
(C)\ & 247 \\
(D)\ & 250 \\
(E)\ & 251
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari deret aritmetika $a+a+b+a+2b+ \cdots+ a+6b=133$ sehingga $7a+21b=133$ atau $ a+3b=19$.

Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku tersebut sehinga bilangan yang disisipkan itu ada $6$ bilangan yaitu $\dfrac{2a+b}{2}$, $\dfrac{2a+3b}{2}$, $\dfrac{2a+5b}{2}$, $\dfrac{2a+7b}{2}$, $\dfrac{2a+9b}{2}$, dan $\dfrac{2a+11b}{2}$.

Jumlah bilangan yang disisipkan adalah
$\dfrac{2a+b}{2}+\dfrac{2a+3b}{2}+\dfrac{2a+5b}{2}+\dfrac{2a+7b}{2}+\dfrac{2a+9b}{2}+\dfrac{2a+11b}{2}$.
$=\dfrac{12a+36b}{2}$.
$=6a+18b $
$=6(a+3b) $
$=6(19)$
$=114$

Jumlah semua bilangan di barisan baru adalah $133+114=247$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 247$

14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui bahwa $x=10-10\dfrac{1}{3}+10\dfrac{2}{3}-\cdots+40$, nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1150 \\
(B)\ & 1125 \\
(C)\ & 690 \\
(D)\ & 45 \\
(E)\ & 25
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Deret $10-10\dfrac{1}{3}+10\dfrac{2}{3}-\cdots+40$ kita coba manipulasi bentuknya menjadi:
$\begin{align}
& 10-10\dfrac{1}{3}+10\dfrac{2}{3}-\cdots+40 \\
& = \dfrac{1}{3} \left( 30-31+32-\cdots+120 \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \left( 30 +32+34+\cdots+120 \right)-\dfrac{1}{3} \left( 31+33+35+\cdots+119 \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \left( 30 +32+34+\cdots+120 \right)-\dfrac{1}{3} \left( 31+33+35+\cdots+119 \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{46}{2} (30+120) \right)-\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{45}{2} (31+119) \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \left( 46 \cdot 75 \right)-\dfrac{1}{3} \left( 45 \cdot 75 \right) \\
& = \dfrac{1}{3} \cdot 75 \left( 46 - 45 \right) \\
& = 25
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 25$

15. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

Diketahui bilangan $a,\ b,\ c$ membentuk barisan geometri. Bilangan $a,\ b,\ c-2$ membentuk barisan aritmetika dan bilangan $a,\ b+2,\ c+10$ membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{14}{9} \\
(B)\ & \dfrac{20}{9} \\
(C)\ & \dfrac{32}{9} \\
(D)\ & \dfrac{40}{9} \\
(E)\ & \dfrac{80}{9}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan geometri harus kita ketahui;

  • Dari barisan geometri $a,\ b,\ c$ kita peroleh $b^{2}=ac\ \cdots \text{pers.(1)}$
  • Dari barisan aritmetika $a,\ b,\ c-2$ kita peroleh $2b=a+c-2\ \cdots \text{pers.(2)}$
  • Dari barisan geometri $a,\ b+2,\ c+10$ kita peroleh $(b+2)^{2}=a(c+10)\ \cdots \text{pers.(3)}$

Jika kita subsitusi $\text{pers.}(1)$ dan $(2)$ ke $\text{pers.}(3)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
(b+2)^{2} & = a(c+10) \\
b^{2}+4b+4 & = a c+10a \\
ac+2(a+c-2)+4 & = a c+10a \\
2 a+2c-4+4 & = 10a \\
a+ c & = 5a \\
c & = 4a\ \cdots\ \text{pers.(4)} \\
2b & = a+ c-2 \\
2b & = a+ 4a-2 \\
2b+2 & = 5a \\
a & = \dfrac{2b+2}{5}\ \cdots \text{pers.(5)}
\end{align}$

$\text{pers.}(4)$ dan $(5)$ kita substitusikan ke $\text{pers.}(1)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
b^{2} & = ac \\
b^{2} & = a \left( 4a \right) \\
b^{2} & = 4a^{2} \\
b^{2} & = 4\left( \dfrac{2b+2}{5} \right)^{2} \\
b^{2} & = 4\left( \dfrac{4b^{2}+8b+4}{25} \right) \\
25b^{2} & = 16b^{2}+32b+16 \\
9b^{2}-32b-16 & = 0
\end{align}$
Jumlah semua nilai $b$ yang mungkin adalah $b_{1}+b_{2}=-\dfrac{-32}{9}=\dfrac{32}{9}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{32}{9}$

16. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $n$ adalah bilangan asli. Misalkan $S(n)$ menyatakan jumlah setiap digit dari $n$ (secagai contoh: $n=1234$. $S(1234)=1+2+3+4=10$), maka nilai $S\left( S(n) \right)$ yang memenuhi persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$ adalah...
$\begin{align}
(1)\ & 2 \\
(2)\ & 5 \\
(3)\ & 8 \\
(4)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk soal ini rencana mau tidak diketik, karena tidak termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri. Tetapi karena termasuk kategori soal HOTS kita tampilkan pada barisan aritmetika dan barisan geometri;

Dari persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$;

  • $n \gt S(n) \gt S\left( S(n) \right)$, berdasarkan ketidaksamaan ini agar mendapatkan hasil penjumlahan $2013$ maka $n$ adalah bilangan $4$ angka dan kurang dari $2013$
  • Jika $1000 \geq n \leq 1999$, maka $S(n)_{max}=S(1999)=1+9+9+9=28$ dan $S \left( S(n) \right)_{max}=S(28)=2+8=10$
$\begin{align}
n+S(n)+S\left( S(n) \right) & \leq n + 28 +10 \\
2013 & \leq n + 38 \\
2013-38 & \leq n \\
1975 & \leq n \\
1975 & \leq n \lt 2013
\end{align}$
Dari batasan nilai $n$ di atas kita coba lakukan uji nilai $n$;
UJI NILAI
$n$$S(n)$ $S \left( S(n) \right)$ $n+S(n)+S\left( S(n) \right)$
$1975$ $1+9+7+5=22$ $2+2=4$ $1975+22+4=2001$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$1979$ $1+9+7+9=26$ $2+6=8$ $1979+26+8=2013$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$1985$ $1+9+8+5=23$ $2+3=5$ $1985+23+5=2013$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$1991$ $1+9+9+1=20$ $2+0=2$ $1991+20+2=2013$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$2003$ $2+0+0+3=5$ $5=5$ $2003+5+5=2013$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
Nilai $S\left( S(n) \right)$ yang mungkin adalah $2, 5,\ 8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1)\ (2)\ (3)$

17. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $x,\ a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ y$ dan $x,\ b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5},\ y$ dengan $ x \neq y$ adalah dua buah barisan aritmetika, maka $\dfrac{a_{3}-a_{2}}{b_{5}-b_{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(1)\ & 2 \\
(2)\ & 5 \\
(3)\ & 8 \\
(4)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dari barisan $x,\ a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ y$;

  • $u_{1}=x$ dan misal beda$=p$ maka $p=\dfrac{y-x}{4}$ dan $u_{n}=x+(n-1)p$
  • $a_{2}=x+p$ dan $a_{3}=x+2p$
Dari barisan $x,\ b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ b_{4},\ b_{5},\ y$;
  • $u_{1}=x$ dan misal beda$=q$ maka $q=\dfrac{y-x}{6}$ dan $u_{n}=x+(n-1)q$
  • $b_{3}=x+2q$ dan $b_{5}=x+4q$
$\begin{align}
\dfrac{a_{3}-a_{2}}{b_{5}-b_{3}} &= \dfrac{\left(x+2p \right)-\left(x+p \right)}{\left(x+4q \right)-\left(x+2q \right)} \\
&= \dfrac{ x+2p - x-p }{ x+4q - x-2q } \\
&= \dfrac{ p }{ 2q } \\
&= \dfrac{ 1 }{ 2 } \cdot \dfrac{ \dfrac{y-x}{4} }{ \dfrac{y-x}{6} } \\
&= \dfrac{ 1 }{ 2 } \cdot \dfrac{ 6 }{ 4 } \\
&= \dfrac{ 6 }{ 8 } = \dfrac{ 3 }{ 4 }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{ 3 }{ 4 }$

18. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui bahwa $x= \dfrac{1}{2013}-\dfrac{2}{2013}+\dfrac{3}{2013}-\dfrac{4}{2013}+\cdots-\dfrac{2012}{2013}$, nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1007}{2013} \\
(B)\ & -\dfrac{1006}{2013} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2013} \\
(D)\ & \dfrac{1006}{2013} \\
(E)\ & \dfrac{1007}{2013}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Deret $x$ kita coba manipulasi bentuknya menjadi:
$\begin{align}
& \dfrac{1}{2013}-\dfrac{2}{2013}+\dfrac{3}{2013}-\dfrac{4}{2013}+\cdots-\dfrac{2012}{2013} \\
& = \dfrac{1}{2013} \left( 1-2+3-4+\cdots+2011-2012 \right) \\
& = \dfrac{1}{2013} \left( (1-2)+(3-4)+\cdots+(2011-2012) \right) \\
& = \dfrac{1}{2013} \left( (-1)+(-1)+\cdots+(-1) \right) \\
& = \dfrac{1}{2013} \left( \dfrac{2012}{2} \times (-1) \right) \\
& = \dfrac{1}{2013} \left( -1006 \right) \\
& = -\dfrac{1006}{2013}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1006}{2013}$


19. Soal UMB-PT 2013 Kode 327 (*Soal Lengkap)

Jika jumlah $n$ suku pertama dari suatu deret adalah $S_{n}=2n+3n^{2}$, maka jumlah suku ke-6 dan suku ke-11 dari barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 80 \\
(C)\ & 100 \\
(D)\ & 130 \\
(E)\ & 170
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pada soal bahwa $S_{n}=2n+3n^{2}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{n} & = 2n+3n^{2} \\
S_{1} & = 2(1)+3(1)^{2}=5 \\
S_{2} & = 2(2)+3(2)^{2}=16 \\
S_{3} & = 2(3)+3(3)^{2}=33 \\
S_{4} & = 2(4)+3(4)^{2}=56 \\
S_{5} & = 2(5)+3(5)^{2}=85 \\
\vdots
\end{align}$
Kita ketahui bahwa $U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$, sehingga kita peroleh,
$\begin{align}
U_{1} & = 5 \\
U_{2} & = S_{2}-S_{1}=16-5=11 \\
U_{3} & = S_{3}-S_{2}=33-16=17 \\
U_{4} & = S_{4}-S_{3}=56-33=23 \\
U_{5} & = S_{5}-S_{4}=85-56=29 \\
\vdots
\end{align}$
barisan yang dihasilkan adalah $5,\ 11,\ 17,\ 23,\ 29,\ \cdots$, ini adalah barisan aritmetika dimana $a=5$, $b=6$ sehingga:
$\begin{align}
U_{6}+U_{11} & = a+5b+a+10b \\
& = 2a+15b \\
& = 2(5)+15(6) \\
& = 10+90=100
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 100$

20. Soal UMB-PT 2013 Kode 327 (*Soal Lengkap)

Jika $S_{n}$ adalah jumlah $n$ suku pertama dari barisan aritmetika, maka $\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 60 \\
(B)\ & 80 \\
(C)\ & 100 \\
(D)\ & 130 \\
(E)\ & 170
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Dengan bantuan sedikit dari teorema limit takhingga dimana $\lim\limits_{x \to \infty } \dfrac{1}{x}= 0$ dan Jumlah $n$ suku pertama pada barisan aritmetika yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$, sehingga:
$\begin{align}
\lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{S_{3n}}{S_{n}} & = \lim\limits_{x \to \infty }\dfrac{\dfrac{3n}{2} \left(2a+(3n-1)b \right)}{\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3 \left(2a+ 3bn-b \right)}{ \left(2a+bn-b \right)} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ 6a+ 9bn-3b }{ 2a+bn-b } \times \dfrac{ \dfrac{1}{n} }{ \dfrac{1}{n}} \\
& = \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{ \dfrac{6a}{n}+ \dfrac{9bn}{n}-\dfrac{3b}{n} }{ \dfrac{2a}{n}+\dfrac{bn}{n}-\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{6a}{n}+ \lim\limits_{n \to \infty } 9b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{3b}{n} }{ \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac{2a}{n}+\lim\limits_{n \to \infty } b- \lim\limits_{n \to \infty }\dfrac{b}{n} } \\
& = \dfrac{ 0+ 9b-0}{0+b-0 } \\
& = \dfrac{ 9b }{ b }=9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 9$

21. Soal SNMPTN 2012 Kode 122 (*Soal Lengkap)

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $6$. Jika bilangan yang terbesar ditambah $12$, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\
(B)\ & 27 \\
(C)\ & 28 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 30
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $6$, Misal bilangan itu adalah $a,\ a+6,\ a+12$ dan jika $a+12+12$ barisan $a,\ a+6,\ a+12+12$ adalah barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
(a+6)^{2} &= a(a+12+12) \\
a^{2}+12a+36 &= a^{2}+24a \\
12a+36-24a &= 0 \\
-12a &= -36 \\
a &= 3
\end{align}$
Jumlah bilangan adalah
$\begin{align}
a+a+6+a+12 &= 3a+18 \\
&= 3(2)+18 \\
&= 27
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 27$

22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Nilai $26^{2}-25^{2}+24^{2}-23^{2}+\cdots+4^{2}-3^{2}+2^{2}-1=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 351 \\
(B)\ & 371 \\
(C)\ & 431 \\
(D)\ & 451 \\
(E)\ & 472
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita perhatikan kelompok bilangan yang ada di atas adalah deret bilangan berpangkat dua, dengan mengelompokkan perhitungan dan menggunakan sifat pemfaktoran bilangan berpangakat yaitu $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

  • $26^{2}-25^{2}=(26+25)(26-25)=26+25$
  • $24^{2}-23^{2}=(24+23)(24-23)=24+23$
  • $22^{2}-21^{2}=(22+21)(22-21)=22+21$
  • $\vdots$
  • $4^{2}-3^{2}=(4+3)(4-3)=4+3$
  • $2^{2}-1^{2}=(2+1)(2-1)=2+1$
Dari bentuk di atas, soal sekarang dapat kita tuliskan menjadi
$\begin{align}
&26+25+24+23+\cdots+4+3+2+1 \\
S_{n} &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\
S_{26} &= \dfrac{26}{2} \left( 2(26)+(26-1)(-1) \right) \\
&= 13 \left( 72-25 \right) \\
&= 13 \left( 27 \right) \\
&= 351
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 351$

23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Seorang peternak ayam petelur mencatat banyak telur yang dihasilkan selama $12$ hari. Setiap hari, banyaknya telur yang dihasilkan bertambah $4$ buah. Jika hari pertama telur yang dihasilkan berjumlah $20$ buah, jumlah seluruh telur selama $12$ hari adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 480 \\
(B)\ & 496 \\
(C)\ & 504 \\
(D)\ & 512 \\
(E)\ & 520
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Pertambahan telur setiap hari adalah sama, ini sesuai dengan konsep deret aritmatika. Catatan calon guru tentang deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$ dan jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$ atau $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$.

Dengan suku pertama $a=20$ dan pertambahan $b=4$, maka deretnya adalah $20+24+28+\cdots$ dan jumlah $12$ suku pertama adalah:
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
S_{12} & = \dfrac{12}{2} \left(2(20)+(12-1)(4) \right) \\
& = 6 \left(40+44 \right) \\
& = 6 \left(84 \right) =504
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 504$

24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Dalam rangka memperingati hari kemerdekaan Republik Indonesia, Desa X mengadakan lomba mengambil kelereng dari wadah dengan aturan sebagai berikut:
  • Setiap tim terdiri dari $5$ orang dan setiap anggota kelompok harus mengambil kelereng sesuai urutannya
  • Pada pengambilan putaran pertama ($5$ orang secara bergantian) hanya diperbolehkan mengambil masing-masing satu kelereng
  • Pada putaran kedua, orang pertama setiap kelompok mengambil $2$ kelereng dan selalu bertambah $3$ kelereng untuk peserta pada urutan berikutnya dalam kelompok tersebut
  • Pada putaran selanjutnya, setiap anggota tim mengambil $3$ kelereng lebih banyak dari anggota sebelumnya.
Tim A beranggotakan Andi, Beny, Cakra, Dani, dan Eko (Urutan pengambilan kelereng sesuai dengan urutan abjad awal nama). Bersamaan dengan habisnya waktu, ternyata Tim A berhasil mengumpulkan $265$ kelereng. Banyak kelereng yang berhasil diambil pada pengambilan terakhir oleh salah seorang anggota Tim A adalah...kelereng
Alternatif Pembahasan:

  • Pada pengambilan pertama, kelereng yang terambil adalah $1+1+1+1+1= 5$
  • Pada pengambilan kedua, kelereng yang terambil adalah $2+5+8+11+14=40$
Sampai pada tahap ini kelereng yang terambil sudah $5+40=45$ dan total kelereng yang belum terambil adalah $265-45=220$

Jumlah kelereng $220$ adalah jumlah keseluruhan kelereng pada pengambilan ketiga oleh Tim A dimana beda banyak kelereng yang diambil oleh setiap peserta adalah $3$ kelereng. Secara matematis dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
A+B+C+D+E &= 220 \\
A+(A+3)+(A+6)+(A+9)+(A+12) &= 220 \\
5A + 30 &= 220 \\
5A &= 220-30 \\
5A &= 190 \\
A &= \dfrac{190}{5} \\
A &=38 \\
\end{align}$
Banyak kelereng yang berhasil diambil Eko adalah $A+12=38+12=50$

$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $50$

25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Misalkan $(u_{n})$ adalah barisan aritmatika dengan suku pertama $a$ dan beda $2a$. Jika $u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}=100$, maka $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots+u_{20}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 720 \\
(B)\ & 840 \\
(C)\ & 960 \\
(D)\ & 1080 \\
(E)\ & 1200
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$ dan jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$.

$\begin{align}
100 & = u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5} \\
& = a+a+b+a+2b+a+3b+a+4b \\
& = 5a +10b \\
& = 5a +10(2a) \\
100 &= 25a \\
a &= 4 \\
b &= 8
\end{align}$

$\begin{align}
&u_{2}+u_{4}+\cdots+u_{18}+u_{20} \\
& = (a+b)+(a+3b)+\cdots+(a+17b)+(a+19b) \\
& = 10a +b(1+3+5+\cdots+19) \\
& = 10a +b(100) \\
& = 10(4) +8(100) \\
&= 840
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 840$

27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui deret aritmatika:
$u_{1}+u_{3}+u_{5}+\cdots+u_{2n-1}=\dfrac{n(n+1)}{2}$, untuk setiap $n \geq 1$. Beda deret tersebut adalah...

$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & \dfrac{5}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
  • Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
  • Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$
Dari $u_{1}+u_{3}+u_{5}+\cdots+u_{2n-1} = \dfrac{n(n+1)}{2}$ kita peroleh:
$\begin{align}
u_{1} &=\dfrac{1(1+1)}{2}=1 \\
u_{1}+u_{3} &= \dfrac{2(2+1)}{2}=3 \\
u_{3} &=2 \\
u_{1}+u_{3}+u_{5} &= \dfrac{3(3+1)}{2}=6 \\
u_{5} &=3 \\
\hline
b &= \dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q} \\
&= \dfrac{u_{5}-u_{3}}{5-3} \\
&= \dfrac{3-2}{5-3}=\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{2}$


28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika perbandingan suku pertama dan suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah $2:3$, maka perbandingan suku kedua dan suku keempat adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1:3 \\
(B)\ & 3:4 \\
(C)\ & 4:5 \\
(D)\ & 5:6 \\
(E)\ & 5:7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
  • Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
  • Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$
$\begin{align}
\dfrac{u_{1}}{u_{3}} &= \dfrac{2}{3} \\
\dfrac{a}{a+2b} &= \dfrac{2}{3} \\
3a &= 2a+4b \\
a &= 4b \\
\hline
\dfrac{u_{2}}{u_{4}} &= \dfrac{a+b}{a+3b} \\
&= \dfrac{4b+b}{4b+3b} \\
&= \dfrac{5b}{7b}=\dfrac{5 }{7 }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5:7$

29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$. Jika $b=2a$ dan $u_{1}+u_{3}+u_{5}+u_{7 }+u_{9}=90$, maka nilai dari $u_{8}+u_{10}+u_{12}+u_{14}+u_{16}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 210 \\
(B)\ & 220 \\
(C)\ & 230 \\
(D)\ & 240 \\
(E)\ & 250
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
  • Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
  • Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$
$\begin{align}
90 & = u_{1}+u_{3}+u_{5}+u_{7 }+u_{9} \\
& = a+a+2b+a+4b+a+6b+a+8b \\
& = 5a +20b \\
& = 5a +20(2a) \\
90 &= 45a \\
a &= 2 \\
b &= 4
\end{align}$

$\begin{align}
& u_{8}+u_{10}+u_{12}+u_{14}+u_{16} \\
& = (a+7b)+(a+9b)+(a+11b)+(a+13b)+(a+15b) \\
& = 5a + b(7+9+11+13+15) \\
& = 5(2) + 4(55) \\
& = 10 + 220 \\
&= 230
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 230$

30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika diketahui suku barisan aritmatika bersifat $x_{k+2}=x_{k}+p$ dengan $p \neq 0$ untuk sembarang bilangan asli postif $k$, maka $x_{3}+x_{5}+x_{7}+\cdots+x_{2n+1}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{pn^{2}+2nx_{2}}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2pn^{2}+2nx_{2}}{2} \\
(C)\ & \dfrac{pn^{2}+2x_{2}}{2} \\
(D)\ & \dfrac{pn^{2}+ nx_{2}}{2} \\
(E)\ & \dfrac{pn^{2}+2pnx_{2}}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
  • Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
  • Jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$

Dari deret aritmatika $x_{3}+x_{5}+x_{7}+\cdots+x_{2n+1}$
Deret aritmatika secara umum adalah
$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}+u_{6}+u_{7}+\cdots$
$S_{n}=(a)+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b)+(a+5b)+(a+6b)+\cdots$
Deret di atas sku pertama adalah $a$ dan beda $b$.

Jika kita pisah menjadi dua bagian suku-suku genap dan susku ganjil menjadi
$S_{genap}=u_{2}+ u_{4}+ u_{6}+ u_{8}+\cdots$
$S_{genap}= (a+b)+ (a+3b)+ (a+5b)+ \cdots$
Deret di atas dapat kita anggap deret aritmatika dengan suku pertama adalah $a+b$ dan beda $2b$

$S_{ganjil}=u_{1}+ u_{3}+ u_{5}+ u_{7}+\cdots$
$S_{ganjil}=(a)+ (a+2b)+ (a+4b)+ (a+6b)+\cdots$
Deret di atas dapat kita anggap deret aritmatika dengan suku pertama adalah $a$ dan beda $2b$

Jika kita terapkan pada soal, yang diminta adalah jumlah suku-suku ganjil dimana suku pertama adalah $x_{3}$ dan beda $2b$
$\begin{align}
x_{k+2} & = x_{k}+p \\
x_{k+2}-x_{k} & = p \\
x_{k+2}-x_{k} & = 2b \\
\hline
p & = 2b \\
\hline
\end{align}$

$\begin{align}
S_{n} & = x_{3}+x_{5}+x_{7}+\cdots+x_{2n+1} \\
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2x_{3}+(n-1)p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 \left(x_{2}+b \right)+(n-1)p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 x_{2}+2b +pn-p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 x_{2}+p +pn-p \right) \\
& = \dfrac{n}{2} \left(2 x_{2} +pn \right) \\
& = \dfrac{2nx_{2}+pn^{2}}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{2nx_{2}+pn^{2}}{2}$

31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui barisan aritmatika dengan $U_{k}$ menyatakan suku ke $k$. Jika $U_{k+2}=U_{2}+kU_{16}-2$, maka nilai $U_{6}+U_{12}+U_{18}+U_{24}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{k} \\
(B)\ & \dfrac{3}{k} \\
(C)\ & \dfrac{4}{k} \\
(D)\ & \dfrac{6}{k} \\
(E)\ & \dfrac{8}{k} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang barisan dan deret artimatika yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • Beda $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$
  • Suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a+(n-1)b$
Karena $U_{k}$ menyatakan suku ke $k$ pada deret aritmatika sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{k} & = a+(k-1)b \\
x_{k+2} & = a+(k+2-1)b \\
U_{2}+kU_{16}-2 & = a+(k+1)b \\
a+b+k(a+15b)-2 & = a+bk+b \\
ak+15bk -2 & = bk \\
ak+15bk - bk & = 2 \\
ak+14bk & = 2 \\
k \left(a +14b \right) & = 2 \\
a +14b \right & = \dfrac{2}{k} \\
\hline
U_{6}+U_{12}+U_{18}+U_{24} & = a+5b+a+11b+a+17b+a+23b \\
& = 4a+56b \\
& = 4 \left( a+14b \right) \\
& = 4 \left( \dfrac{2}{k} \right) =\dfrac{8}{k}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{8}{k}$

32. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah $33$, sedangkan suku ke-7 adalah 54. Suku ke-15 barisan tersebut adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 162 \\
(B)\ & 118 \\
(C)\ & 110 \\
(D)\ & 92 \\
(E)\ & 70
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kita ketahui bahwa suku ke-$n$ barisan aritmatika adalah $U_{n}=a+(n-1)b$.
Pada soal diberitahu bahwa pada barisan aritmatika suku ke-4 adalah $33$ sehingga berlaku $U_{4}=a+(4-1)b$ atau $33=a+3b$.
Suku ke-7 adalah $54$ sehingga berlaku $U_{7}=a+(7-1)b$ atau $54=a+6b$.

Dari kedua persamaan di atas dapat kita tentukan nilai $a$ dan $b$;
$\begin{array}{c|c|cc}
a+3b=33 & \\
a+6b=54 & (-) \\
\hline
-3b=-21 \\
b=7 \\
\hline
a+3(7)=33 \\
a =33-21=12
\end{array} $
Suku ke-15 adalah $U_{15}=12+(15-1)7=110$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 110$

33. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

Suku kelima suatu barisan aritmetika adalah $28$ dan suku kesepuluhnya adalah $53$. Jumlah $18$ suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 816 \\
(B)\ & 819 \\
(C)\ & 826 \\
(D)\ & 909 \\
(E)\ & 919
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Kita ketahui bahwa suku ke-$n$ barisan aritmatika adalah $U_{n}=a+(n-1)b$.
Pada soal diberitahu bahwa pada barisan aritmatika suku ke-5 adalah $28$ sehingga berlaku $U_{5}=a+(5-1)b$ atau $28=a+4b$.
Suku ke-10 adalah $53$ sehingga berlaku $U_{10}=a+(10-1)b$ atau $53=a+9b$.

Dari kedua persamaan di atas dapat kita tentukan nilai $a$ dan $b$;
$\begin{array}{c|c|cc}
a+4b=28 & \\
a+9b=53 & (-) \\
\hline
-5b=-25 \\
b=5 \\
\hline
a+4(5)=28 \\
a =28-20=8
\end{array} $
Jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika adalah $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right)$.

Jumlah $18$ suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah
$\begin{align}
S_{n}= &\dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\
S_{18}= & \dfrac{18}{2} \left( 2(8)+(18-1)(5) \right) \\
= & 9 \left( 16 +(17)(5) \right) \\
= & 9 \left( 16 + 85 \right) \\
= & 9 \left( 101 \right) \\
= & 909
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 909$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan masalah Matematika Dasar Barisan dan Deret Aritmetika (*Soal Dari Berbagai Sumber) (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal barisan dan deret aritmatika sangat diharapkan๐Ÿ˜Š๐Ÿ˜Š

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Pernah dengar bilangan prima terbesar atau sudah pernah membayangkan berapa bilangan prima terbesar?, mari kita lihat bagaimana bilangan prima terbesar;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Barisan dan Deret Aritmetika" ๐Ÿ˜Š and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar