Belajar Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada SMA dan SMP, bahkan dalam bentuk soal cerita atau matematika realistik, soal tentang barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan Bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu.

Secara simbol sederhana barisan dapat kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$

$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.

Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.

Secara simbol sederhana deret bilangan dapat kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$

$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$

Barisan dan Deret Aritmatika

Setelah dapat memahami tentang barisan dan deret bilangan, sekarang coba kita diskusikan tentang Barisan dan Deret Bilangan Aritmatika yang sering disebut hanya Barisan Aritmatika. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Aritmatika (BA) jika selisih antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Selisih antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $beda$ ($b$).
Contoh,
$2, 5, 8, 11, 14,...$ (BA dengan $b=3$)
$10, 6, 2, -2, -6,...$ (BA dengan $b=-4$)

Pada Barisan Aritmatika (BA) jika suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan beda dengan $b$ maka suku-suku BA secara umum dapat kita tuliskan menjadi;
$a,\ (a+b),\ (a+2b),\ (a+3b),\cdots, a+(n-1)b$

Sedangkan jika BA kita tuliskan menjadi Deret Aritmatika (DA), penulisan menjadi;
$a+\ (a+b)+\ (a+2b)+\ (a+3b)+\cdots+ \left(a+(n-1)b\right)$

Dari bentuk umum diatas kita peroleh,
  • beda=$b$
    $b=U_{2}-U_{1}=U_{3}-U_{2}=U_{7}-U_{6}$
    $b=U_{n}-U_{n-1}$
  • Suku ke-n
    $U_{n}=a+(n-1)b$
  • Jumlah n suku pertama
    $S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
    $S_{n}=\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ]$
  • Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
    $U_{t}=\frac{1}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
    $S_{n}=n \cdot U_{t}$

Barisan dan Deret Aritmatika untuk beberapa buku memakai istilah dengan sebutan Deret Hitung. untuk memahami BA dan DA ini coba kita diskusikan beberapa contoh soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.

Soal UN tahun 2005 [Soal Lengkap Disini]

Dari suatu deret aritmatika diketahui $U_{3}=13$ dan $U_{7}=29$. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 3.250 \\
(B).\ & 2.650 \\
(C).\ & 1.325 \\
(D).\ & 1.225
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{3}=13$ ⇒ $a+2b=13$...pers(1)
$U_{7}=29$ ⇒ $a+6b=29$...pers(2)

pers(1)-pers(2) ⇒ $-4b=-16$ ⇒ $b=4$

lalu substitusikan nilai $b=4$ ke pers(1) atau pers(2)
$a+2b=13$
$a+2(4)=13$
$a=13-8$
$a=5$

Jumlah 25 suku pertama adalah,
$S_{n}=\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ]$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left [2(5)+\left ( 25-1 \right )(4) \right ]$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left [10+\left ( 24 \right )(4) \right ]$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left (10+96 \right )$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left (106 \right )$
$S_{25}=1.325$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 1.325$


Soal SPMB tahun 2007

Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika keliling segitiga tersebut adalah $72$, luasnya adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 216 \\
(B).\ & 363 \\
(C).\ & 364 \\
(D).\ & 383 \\
(E).\ & 432 \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint


Keliling Segitiga = jumlah ketiga sisinya
$K_\Delta=a+(a+b)+(a+2b)$
$72=3a+3b$
$24=a+b$... pers(1)
Karena segitiga adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras (kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang dari dua sisi lainnya).
$(a+2b)^{2}=a^{2}+(a+b)^2$
$a^{2}+4ab+4b^{2}=a^2+a^2+2ab+b^2$
$0=a^2-2ab-3b^2$
$0=(a-b)^2-4b^2$
$(a-b)^2=4b^2$
$(a-b)^2=(2b)^2$
$a-b=2b$
$a=3b$ *substitusi ke pers(1)

$24=3b+b$
$4b=24$
$b=6$ maka $a=18$

Luas Segitiga
$L_\Delta=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (a+b)$
$L_\Delta=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot (24)$
$L_\Delta=216$

Sebagai alternatif penyelesaian, soal ini bisa dikerjakan dengan cara memakai perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku karena membentuk Barisan Aritmatika sehingga berlaku $a:b:c=3x:4x:5x$.

$K_\Delta=3x+4x+5x$
$72=12x$
$6=x$

$L_\Delta=\frac{1}{2}(4x)(3x)$
$L_\Delta=6x^2$
$L_\Delta=6(36)=216$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 216$


Diskusi tentang Barisan dan Deret Aritmatika diatas masihlah sangat sederhana, jika Anda punya sesuatu untuk kita diskusikan silahkan disampaikan melalui kotak komentar.

Pernah dengar bilangan prima terbesar atau sudah pernah membayangkan berapa bilangan prima terbesar?, mari kita lihat bagaimana bilangan prima terbesar;

You Might Also Like: