Processing math: 14%
Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

20+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Deret Geometri Tak Hingga

Menghitung Deret Geometri Tak Hingga

The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga. Catatan ini untuk melengkapi catatan belajar kita terkait matematika dasar barisan dan deret. Barisan dan deret kita bagi menjadi tiga catatan, yaitu matematika dasar barisan dan deret aritmatika, matematika dasar barisan dan deret aritmatika dan matematika dasar deret geometri tak hingga.

Penerapan barisan dan deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya dapat dilihat pada soal-soal yang akan kita diskusikan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada barisan dan deret geometri sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal barisan dan deret geometri tak hingga dan menemukan solusinya.

Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada SMA dan SMP, bahkan dalam bentuk soal cerita atau matematika realistik, soal tentang barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.

Bagaimana Menghitung Deret Geometri Tak Hingga? pertanyaan sederhana dari anak-anak. Pada cerita sebelumnya tentang barisan dan deret aritmatika dan barisan dan deret geometri sudah di ceritakan bagaimana perbedaan barisan dan deret serta perbedaan barisan aritmatika dan barisan geometri.

Seperti yang sudah disampaikan sebelumnya bahwa Suatu Deret Bilangan dikatakan sebagai Deret Geometri (DG) jika perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan rasio (r).

    Contoh:
  1. 2+4+8+16+32+ (Deret Geometri dengan r=2)
  2. 105+5254+58 (Deret Geometri dengan r=12)
  3. 27+9+3+1+13+19+ (Deret Geometri dengan r=13)
  4. 10+5+52+54+58+ (Deret Geometri dengan r=12)
  5. 2+12+18+116+132+ (Deret Geometri dengan r=14)

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi dua bagian, yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dan deret geometri tak hingga yang divergen.


Deret geometri tak hingga konvergen

Deret geometri tak hingga yang konvergen adalah deret geometri tak hingga yang memiliki limit jumlah. Syaratnya adalah rasio kurang dari 1 dan lebih dari 1. Secara simbol syarat rasio dapat kita tulis menjadi 1<r<1 atau |r|<1.

Untuk menghitung jumlah deret sampai tak hingga, dipakai rumus:
S=a1r

contoh:
27+9+3+1+13+19+ (Deret Geometri dengan r=13)
Limit jumlah deret ini bisa kita tafsir, karena jika deret diteruskan sampai dengan n tak hingga maka Un nilainya mendekati nol.
S=a1r=27113=2723=812
contoh yang kedua,
10+5+52+54+58+ (Deret Geometri dengan r=12)
S=a1r=10112=1012=20

Jika deret geometri tak hingga konvergen di bagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi:

  • Deret Geometri suku ganjil: a+ar2+ar4+ar6+
    suku pertama=a dan r=r2,
    S(ganjil)=a1r2.
  • Deret Geometri suku genap: ar+ar3+ar5+
    suku pertama=ar dan r=r2,
    S(genap)=ar1r2.

Deret geometri tak hingga divergen

Untuk deret geometri tak hingga yang divergen adalah deret geometri tak hingga yang tidak memiliki limit jumlah. Tidak memiliki limit jumlah jika rasio lebih dari 1 atau kurang dari negatif 1.

Secara simbol syarat rasio dapat kita tulis menjadi r<1r>1 atau |r|>1. Karena tidak memiliki limit jumlah jika ditanyakan jumlah deret sampai tak hingga maka jawabnya adalah S= atau tak hingga.

contoh:
2+4+8+16+32+ (Deret Geometri dengan r=2) maka S= karena deret sampai tak hingga semakin besar sehingga hasil penjumlahannya juga sangat besar.


Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri

Untuk menambah pemahaman kita terkait Deret Geometri Tak Hingga ini coba kita diskusikan beberapa contoh soal dari soal Ujian Nasional, soal Ujian Sekolah, soal ujian masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN) secara nasioanal atau secara mandiri.

Soal latihan deret geometri tak hingga ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Selasa, 29 Juli 2025
Jumlah Soal :21 soal
Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Ujian Nasional 2015 |*Soal Lengkap

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 5 m dan memantul kembali dengan 35 kali tinggi sebelumnya. panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah...
Alternatif Pembahasan:

Jumlah seluruh panjang lintasan bola sampai berhenti dapat kita hitung dengan menggunakan konsep deret geometri tak hingga. Berhenti adalah anggapan bahwa bola tidak lagi memantul dengan kata lain tidak ada lagi panjang lintasan tidak bertambah lagi kalau bola sudah berhenti. Meskipun panjang lintasan bola dapat dihitung tetapi banyak pantulan tidak dapat dihitung.

Tinggi bola awal 5 m, memantul kembali dengan ketinggian 35 dari 5 m yaitu 3 m,
lalu boal akan turun setinggi 3 m dan memantul kembali setinggi 35 dari 3 m yaitu 95m,
bola turun lagi 95m dan memantul kembali setinggi 35 dari 95 yaitu 2725 m, dan bola turun lagi 2725 m sampai seterusnya dan bola berhenti.

Bank Soal Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga (*Soal dan Pembahasan)

Dari keterangan diatas kita peroleh bahwa tinggi bola pertama kita sebut suku pertam a=5 dan r=35
Panjang lintasan bola adalah
S =a1r=5135+3135=525+325=252+152=402=20
atau bisa kita juga dengan cara panjang lintasan S=5135 kita kalikan dengan 2 lalu dikurang 5, karena lintasan bola yang 5 m hanya terjadi satu kali.

Pilihan yang sesuai adalah (C)\ 20\ m

2. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap

Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:

Bentuk umum Deret Geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah
a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+ \cdots

Jika di bagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi,
Deret Geometri suku ganjil: a+ar^{2}+ar^{4}+ar^{6}+ \cdots
suku pertama=a dan r=r^{2},
S_{\infty }(ganjil)=\dfrac{a}{1-r^{2}}.

Deret Geometri suku genap: ar+ar^{3}+ar^{5}+ \cdots
suku pertama=ar dan r=r^{2},
S_{\infty }(genap)=\dfrac{ar}{1-r^{2}}.

Pada soal disampikan bahwa jumlah semua sukunya adalah 96.
\begin{align} S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\ 96 &=\dfrac{a}{1-r} \\ a &=96(1-r) \end{align}

Pada soal disampaikan bahwa jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64.
\begin{align} S_{\infty }(ganjil) &= \dfrac{a}{1-r^{2}} \\ \hline 64 &= \dfrac{a}{1-r^{2}} \\ 64 &= \left ( \dfrac{a}{1-r} \right )\left ( \dfrac{1}{1+r} \right ) \\ 96 \left ( \dfrac{1}{1+r} \right ) &= 64 \\ 3 \left ( \dfrac{r}{1+r} \right ) &= 2 \\ 3 &= 2 \left ( 1+r \right ) \\ 3r &= 2+2r \\ r &= \dfrac{1}{2} \\ \hline a &= 96(1-\dfrac{1}{2}) \\ a &= 96(\dfrac{1}{2}) \\ a &= 48 \end{align}
Suku ke-4 adalah
\begin{align} U_{4} &=ar^{3} \\ &=48 \cdot \dfrac{1}{2}^{3} \\ &=48 \cdot \dfrac{1}{2}^{3} \\ &=\dfrac{48}{8} \\ &=6 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 6\ m

3. Soal UMPTN 2001 |*Soal Lengkap

Diketahui deret geometri tak hingga 16+4+1+ \cdots . Jika jumlah deret tersebut dikurangi dengan jumlah n suku pertama, hasilnya kurang dari \dfrac{1}{3000}. Nilai n terkecil yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari deret 16+4+1+ \cdots kita peroleh:
\begin{align} S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\ S_{n} &=\dfrac{a\left ( 1-r^2 \right ) }{1-r} \\ \hline \dfrac{a}{1-r}-\dfrac{a\left ( 1-r^n \right ) }{1-r} & \lt \dfrac{1}{3000} \\ \dfrac{16}{1-\dfrac{1}{4}}-\dfrac{ 16 \left ( 1-\dfrac{1}{4}^{n} \right ) }{1-\dfrac{1}{4}} & \lt \dfrac{1}{3000} \\ \dfrac{16}{\dfrac{3}{4}}-\dfrac{ 16-16 \left ( \dfrac{1}{4}\right )^{n} }{\dfrac{3}{4}} & \lt \dfrac{1}{3000} \\ 16-16+16\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{4000} \\ 16\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{4000} \\ \left (\dfrac{1}{4} \right )^{-2}\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{250} \cdot \left (\dfrac{1}{4} \right )^{2} \\ \left (\dfrac{1}{4} \right )^{-4}\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{250} \\ \left (\dfrac{1}{4} \right )^{n-4} & \lt \dfrac{1}{250} \\ \end{align}
Kita ketahui bahwa: \left (\dfrac{1}{4} \right )^{1} =\dfrac{1}{4}, \left (\dfrac{1}{4} \right )^{2}=\dfrac{1}{16}, \left (\dfrac{1}{4} \right )^{3}=\dfrac{1}{64}, dan \left (\dfrac{1}{4} \right )^{4}=\dfrac{1}{256}.

Karena \left (\dfrac{1}{4} \right )^{4}=\dfrac{1}{256} sehingga nilai n terkecil agar \left (\dfrac{1}{4} \right )^{n-4} \lt \dfrac{1}{250} adalah n-4=4 atau n=8.

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D) 8

4. Soal SIMAK UI 2017 Kode 341 |*Soal Lengkap

Nilai x yang memenuhi 1+(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=2-x adalah...
Alternatif Pembahasan:

Deret 1+(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=2-x dapat kita manipulasi menjadi (x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=1-x.

Deret (x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=1-x adalah deret geometri tak hingga dengan a=(x-1)^{2} dan r=(x-1).
Karena deret geometri takhingga mempunyai hasil maka nilai r adalah -1 \lt r \lt 1.

\begin{align} -1 \lt & r \lt 1 \\ -1 \lt & x-1 \lt 1 \\ -1+1 \lt & x \lt 1+1 \\ 0 \lt & x \lt 2 \end{align}

\begin{align} S_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ 1-x & = \dfrac{(x-1)^{2}}{1-(x-1)} \\ (1-x)(2+x) & = x^{2}-2x+1 \\ x^{2}-3x+2 & = x^{2}-2x+1 \\ -3x+2x+2-1 & = 0 \\ - x+1 & = 0 \\ x & = 1 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D) 1

5. Soal SBMPTN 2013 Kode 228 |*Soal Lengkap

Diketahui deret geometri tak hingga u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots Jika rasio deret tersebut adalah r dengan -1 \lt r \lt 1, u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots=4 dan u_{2}+u_{4}=3, maka nilai r^{2} adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan melihat batasan nilai r yaitu -1 \lt r \lt 1, berarti deret ini adalah deret konvergen.

Deret u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots=4 artinya jumlah suku-suku genap adalah 4, sehingga berlaku:
\begin{align} S_{\infty }(genap) &=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \\ 4 &=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \\ 4\left( 1-r^{2} \right) &= ar \\ 4 -4r^{2} &= ar \\ \hline u_{2}+u_{4} & = 3 \\ ar +ar^{3} & = 3 \\ \left( 4-4r^{2} \right)+\left( 4-4r^{2} \right)r^{2} & =3 \\ 4-4r^{2} + 4r^{2}-4r^{4} & =3 \\ -4r^{4} & =3-4 \\ r^{4} & =\dfrac{-1}{-4}=\dfrac{ 1}{ 4} \\ r^{2} & =\dfrac{1}{2} \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D) \dfrac{1}{2}

6. Soal SBMPTN 2013 Kode 223 |*Soal Lengkap

Diketahui deret geometri tak hingga u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots Jika rasio deret tersebut adalah r dengan -1 \lt r \lt 1, u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots=6 dan u_{3}+u_{4}+u_{5}+\cdots=2, maka nilai r adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan melihat batasan nialai r yaitu -1 \lt r \lt 1, berarti deret ini adalah deret konvergen.

Deret u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots=6 artinya jumlah suku-suku adalah 6, sehingga berlaku:
\begin{align} S_{\infty } &=\dfrac{a }{1-r } \\ 6 &=\dfrac{a}{1-r} \\ 6\left( 1-r \right) &= a \\ 6 -6r &= a \\ \hline u_{3}+u_{4}+ u_{5}+\cdots & = 2 \\ (u_{1}+u_{2})+u_{3}+u_{4}+ u_{5}+\cdots & = u_{1}+u_{2}+2 \\ 6 & = a+ar+2 \\ 4 & = a+ar \\ 4 & = 6 -6r+(6 -6r)r \\ 4 & = 6 -6r+ 6r -6r^{2} \\ 4-6 & = -6r^{2} \\ r^{2} & = \dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3} \\ r & = \pm \sqrt{\dfrac{1}{3}} \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D) -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{\sqrt{3}}

7. Soal SBMPTN 2013 Kode 128 |*Soal Lengkap

Parabola y=x^{2}-2x+m+2 mempunyai titik puncak (p,q). Jika 3p dan q dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 9, maka nilai m adalah...
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu \left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right) dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }.

Dari parabola y=x^{2}-2x+m+2 dapat kita tentukan:
\begin{align} p &=-\dfrac{b}{2a} \\ &=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\ \hline q & =-\dfrac{D}{4a} \\ & =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(m+2)}{4(1)} \\ & =-\dfrac{4-4m-8}{4} \\ & =-\dfrac{-4-4m}{4} \\ & = 1+m \end{align}
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
\begin{align} (3)+( 1+m)+ \cdots &= 9 \\ \hline \dfrac{a }{1-r } & = 9 \\ \dfrac{3}{1- \dfrac{1+m}{3}} & = 9 \\ 3 & = 9 \times \left( 1- \dfrac{1+m}{3} \right) \\ 3 & = 9 - 3-3m \\ 3-6 & = -3m \\ -3 & = -3m \\ 1 & = m \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (C)\ 1

8. Soal SBMPTN 2013 Kode 126 |*Soal Lengkap

Parabola y=x^{2}-2x+3m-1 mempunyai titik puncak (p,q). Jika 2p dan \dfrac{q}{4} dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 4, maka nilai m adalah...
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu \left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right) dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }.

Dari parabola y=x^{2}-2x+3m-1 dapat kita tentukan:
\begin{align} p &=-\dfrac{b}{2a} \\ &=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\ \hline q & =-\dfrac{D}{4a} \\ & =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3m-1)}{4(1)} \\ & =-\dfrac{4-12m+4 }{4} \\ & =-\dfrac{8-12m }{4} \\ & = 3m-2 \end{align}

Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
\begin{align} (2)+(\dfrac{3m-2}{4})+ \cdots &= 4 \\ \hline \dfrac{a }{1-r } & = 4 \\ \dfrac{2}{1- \dfrac{3m-2}{8} } & = 4 \\ 2 & = 4 \times \left( 1- \dfrac{3m-2}{8} \right) \\ 2 & = 4 - \dfrac{3m-2}{2} \\ 2-4 & = - \dfrac{3m-2}{2} \\ -4 & = - (3m-2) \\ 4 & = 3m-2 \\ 4+2 & = 3m \\ 2 & = m \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D) 2

9. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 |*Soal Lengkap

Jika diketahui {}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2, maka {}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}}=\cdots
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini setidaknya ada beberapa sifat logaritma yang harus sudah kita pahami, sedangkan untuk deret tak hingga kita hanya perlu jumlah deret tak hingga konvergen.

Deret {}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2 adalah deret geometri tak hingga yang konvergen dimana U_{1}={}^a\!\log b dan r={}^a\!\log b sehingga berlaku;
\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{1-{}^a\!\log b} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log a-{}^a\!\log b} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log \dfrac{a}{b} } \\ 2 \cdot {}^a\!\log \dfrac{a}{b} &= {}^a\!\log b \\ {}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= {}^a\!\log b \\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= b \\ a^{2} &= b \cdot b^{2} \\ a^{2} &= b^{3} \\ a^{\frac{2}{3}} &= b \end{align}

Nilai dari
\begin{align} {}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}} &= {}^a\!\log a^{\frac{2}{3}} + {}^b\!\log \sqrt[3]{b^{3}} \\ &= \dfrac{2}{3} \cdot {}^a\!\log a + {}^b\!\log b \\ &= \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3} \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (C)\ \dfrac{5}{3}

10. Soal UM UGM 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap

Jika x-1,\ x-\dfrac{3}{2},\ x-\dfrac{7}{4} adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari deret geometri x-1,\ x-\dfrac{3}{2},\ x-\dfrac{7}{4} dapat kita ambil kesimpulan;
\begin{align} \left( x-\dfrac{3}{2} \right)^{2} &= \left( x-1 \right)\left( x-\dfrac{7}{4} \right) \\ x^{2}-3x+\dfrac{9}{4} &= x^{2}-\dfrac{11}{4}x+\dfrac{7}{4} \\ -3x+ \dfrac{11}{4}x &= \dfrac{7}{4}- \dfrac{9}{4} \\ -\dfrac{1}{4}x &= - \dfrac{2}{4} \\ x &= 2 \end{align}

Barisan geometri yang kita peroleh 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \cdots
\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E) 2

11. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal Lengkap

Diketahui deret geometri dengan U_{n}= \left( {}^x\!\log 3 \right)^{n}, x \gt 0, x \neq 1. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka x harus memenuhi syarat
Alternatif Pembahasan:

Suku-suku dari deret geometri adalah {}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots

Agar deret mempunyai nilai, maka r={}^x\!\log 3 harus -1 \lt r \lt 1, sehingga -1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1.

Pertidaksaaan -1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1 kita kerjakan pada dua kemungkinan

Kemungkinan pertama saat x \gt 1
\begin{align} -1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\ {}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\ x^{-1} \lt & 3 \lt x \\ \dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\ \end{align}
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu

  • untuk \dfrac{1}{x} \lt 3
    nilai x yang memenuhi x \lt 0 atau x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)
  • untuk 3 \lt x
    nilai x yang memenuhi x \gt 3\ \, \, \cdots(2)
  • Irisan (1) dan (2) di atas adalah x \gt 3

Kemungkinan kedua saat 0 \lt x \lt 1
\begin{align} -1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\ {}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\ x^{-1} \gt & 3 \gt x \\ x \lt & 3 \lt x^{-1} \\ x \lt & 3 \lt \dfrac{1}{x} \end{align}
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
  • untuk x \lt 3
    nilai x yang memenuhi x \lt 3\ \, \, \cdots(3)
  • untuk 3 \lt \dfrac{1}{x}
    nilai x yang memenuhi 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)
  • Irisan (3) dan (4) di atas adalah 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}
Nilai x yang memenuhi dari kemungkinan pertama atau kedua adalah 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3} atau x \gt 3

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}

12. Soal SPMB 2006 Kode 420 |*Soal Lengkap

Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 \lt r \lt 1 adalah S. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi 1-r, maka jumlahnya menjadi...
Alternatif Pembahasan:

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 \lt r \lt 1 adalah S.
\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ S &= \dfrac{a}{1-r} \\ S \cdot ( 1-r ) &= a \end{align}

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio 1-r;
\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{S \cdot ( 1-r )}{1-(1-r)} \\ &= \dfrac{S \cdot ( 1-r )}{1- 1+r } \\ &= S \dfrac{ ( 1-r )}{r } \\ &= S \cdot \left( \dfrac{ 1 }{r }- \dfrac{r}{r} \right) \\ &= S \cdot \left( \dfrac{ 1 }{r }- 1 \right) \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E) S \left(\dfrac{1}{r}-1 \right)

13. Soal UM UGM 2005 Kode 812 |*Soal Lengkap

Bank Soal Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga (*Soal dan Pembahasan)
\bigtriangleup ABC siku-siku di A,
B_{1} pada BC sehingga AB_{1}\perp BC,
A_{1} pada AC sehingga B_{1}A_{1} \perp AC,
B_{2} pada BC sehingga A_{1}B_{2} \perp BC,
A_{2} pada AC sehingga B_{2}A_{2} \perp AC,
dan setrusnya. Jika AB=6 dan BC=10, maka jumlah luas \bigtriangleup ABC, \bigtriangleup B_{1}AC, \bigtriangleup A_{1}B_{1}C, \bigtriangleup B_{2}A_{1}C, \bigtriangleup A_{2}B_{2}C dan seterusnya adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dengan AB=6 dan BC=10, menggunakan teorema pythagoras kita dapat menghitung AC=8.
\begin{align} [ABC] &= [ABC] \\ \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC &= \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AB_{1} \\ \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot AB_{1} \\ 24 &= 5 \cdot AB_{1} \\ \dfrac{24}{5} &= AB_{1} \end{align}
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita juga dapat menghitung BB_{1}=\dfrac{18}{5} dan B_{1}C=\dfrac{32}{5}.
\begin{align} [B_{1}AC] &= \dfrac{1}{2} \cdot B_{1}C \cdot AB_{1} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{32}{5} \cdot \dfrac{24}{5} \\ &= 24 \cdot \dfrac{16}{25} \end{align}

Dengan cara yang sama seperti di atas dapat kita hitung [A_{1}B_{1}C]=24 \cdot \dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{16}{25}.

Hal yang sama juga untuk [A_{1}B_{1}C], [B_{2}A_{1}C] dan seterusnya.
Sehingga deret yang kita peroleh adalah:
\begin{align} & [ABC]+[B_{1}AC]+[A_{1}B_{1}C]+\cdots \\ &= 24+24 \cdot \dfrac{16}{25}+24 \cdot \dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{16}{25}+\cdots \\ &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{24}{1-\dfrac{16}{25}} \\ &= \dfrac{24}{\dfrac{9}{25}} \\ &= 24 \cdot \dfrac{25}{9} = \dfrac{600}{9} \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ \dfrac{600}{9}

14. Soal SPMB 2005 Kode 270 |*Soal Lengkap

Jika suku ke-n suatu deret adalah u_{n}=2^{2x-n}, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:

Karena u_{n}=2^{2x-n} maka deret geometrinya adalah
2^{2x-1},\ 2^{2x-2},\ 2^{2x-3},\ 2^{2x-4},\ \cdots

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a=2^{2x-1} dan rasio r=\dfrac{1}{2};
\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{2^{2x-1}}{1-\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{2^{2x-1}}{\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{2^{2x-1}}{2^{-1}} \\ &= 2^{2x-1} \cdot 2^{1} \\ &= 2^{2x } \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (C)\ 2^{2x}

15. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap

Jika \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1, maka jumlah deret tak hingga \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{pq}+\dfrac{1}{pq^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{pq^{n}}+\cdots adalah..
Alternatif Pembahasan:

\begin{align} \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} &= 1 \\ \dfrac{p+q}{pq} &= 1 \\ p+q &= pq \\ q &= pq-p \\ q &= p(q-1) \\ \dfrac{q}{(q-1)} &= p \end{align}

Dari deret tak hingga \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{pq}+\dfrac{1}{pq^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{pq^{n}}+\cdots kita peroleh a=\dfrac{1}{p} dan rasio r=\dfrac{1}{q};
\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{p}}{1-\dfrac{1}{q}} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{p}}{ \dfrac{q-1}{q}} \\ &= \dfrac{1}{p} \cdot \dfrac{q}{q-1} \\ &= \dfrac{1}{p} \cdot p =1 \\ \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (A)\ 1

16. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap

Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama a mempunyai jumlah 2, maka a mempunyai...
Alternatif Pembahasan:

Deret geometri tak hingga dengan jumlah 2, sehingga berlaku:
\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2 &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2(1-r) &= a \\ 2-2r &= a \\ 2r &= 2-a \\ r &= \dfrac{2-a}{2} \end{align}

Syarat deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 2 adalah batasan -1 \lt r \lt 1.
\begin{align} -1 \lt & r \lt 1 \\ -1 \lt & \dfrac{2-a}{2} \lt 1 \\ -2 \lt & 2-a \lt 2 \\ -2 \lt & a-2 \lt 2 \\ -2+2 \lt & a-2+2 \lt 2+2 \\ 0 \lt & a \lt 4 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D) 0 \lt a \lt 4

17. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap

Seorang anak melompat di atas trampolin. Dalam sekali ayun, pantulan pertama setinggi 150 cm. Tinggi pantulan berikutnya hanya \dfrac{1}{4} tinggi sebelumnya. Panjang lintasan seluruhnya hingga berhenti adalah...
Simulasi UNBK Matematika IPA 2020 (*Soal dan Pembahasan Paket A)
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung panjang lintasan lompatan anak sampai berhenti dapat digunakan konsep deret geometri tak hingga dengan suku pertama a=150 dan rasio r=\dfrac{1}{4}. Catatan calon guru tentang deret geometri tak hingga yang mungkin kita butuhkan yaitu jumlah deret geometri tak hingga S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}.

Jika kita tuliskan keseluruhan lintasan yang di tempuh anak naik dan turun adalah:
\begin{align} & 150+150+\dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\dfrac{75}{8}+\cdots \\ &=2 \left( 150+ \dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\cdots \right) \\ &=2 \left( 150+ \dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\cdots \right) \\ \hline S_{\infty} &=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline &=2 \left( \dfrac{150}{1-\dfrac{1}{4}} \right) \\ &=2 \left( \dfrac{150}{\dfrac{3}{4}} \right) \\ &=2 \left( 150 \times \dfrac{4}{3} \right) \\ &=2 \left( 200 \right) \\ &= 400 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (B)\ 400\ cm

18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Seseorang berjalan dengan kecepatan 60\ km/jam selama satu jam pertama, Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah...km.
Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung jarak terjauh yang dapat ditempuh dapat digunakan konsep deret geometri tak hingga dengan suku pertama a=60 dan rasio r=\dfrac{1}{4}. Catatan calon guru tentang deret geometri tak hingga yang mungkin kita butuhkan yaitu jumlah deret geometri tak hingga S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}.

Jika kita tuliskan lintasan yang di tempuh dari jam pertama, jam kedua dan seterusnya adalah:
\begin{align} & 60+\dfrac{60}{4}+\dfrac{60}{16}+\dfrac{60}{64}+\cdots \\ \hline S_{\infty} &=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline &= \dfrac{60}{1-\dfrac{1}{4}} \\ &= \dfrac{60}{\dfrac{3}{4}} \\ &= 60 \times \dfrac{4}{3} \\ &= 80 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D) 80

19. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

Jumlah tak hingga dari deret 4+3+\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{16}+\dfrac{81}{64}+\cdots adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari deret 4+3+\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{16}+\dfrac{81}{64}+\cdots tita peroleh a=4 dan r=\dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}=\dfrac{3}{4}.

Jumlah deret geomtri tak hingga adalah;
\begin{align} S_{\infty } =\ & \dfrac{a}{1-r} \\ =\ & \dfrac{4}{1-\frac{3}{4}} \\ =\ & \dfrac{4}{ \frac{1}{4}} =\ 16 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D) 16

20. Soal Matematika IPA SIMAK UI 2019 Kode 314 |*Soal Lengkap

Diberikan deret geometri 1-(a+3)+(a+3)^{2}-(a+3)^{3}+\cdots=2a+9 dengan -4 \lt a \lt -2. Jika a,-7,b membentuk barisan geometri baru, nilai 2a+b=\cdots
Alternatif Pembahasan:

Sebelum kita menentukan nilai a dan b, kita coba menguji nilai r apakah deret tersebut dapat kita terapkan aturan pada deret geometri takhinga.

\begin{align} -1 \lt & r \lt 1 \\ -1 \lt & -(a+3) \lt 1 \\ -1 \lt & a+3 \lt 1 \\ -1-3 \lt & a \lt 1-3 \\ -4 \lt & a \lt -2 \\ \end{align}
Batasan nilai a yang harus dipenuhi agar deret tersebut konvergen sesuai dengan syarat nilai a pada soal yaitu -4 \lt a \lt -2 sehingga berlaku:
\begin{align} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2a+9 &= \dfrac{1}{-(a+3)} \\ -(2a+9)(a+3) &= 1 \\ -2a^{2}-6a-9a-27-1 &= 0 \\ 2a^{2}+15a+28 &= 0 \\ (2a+7)(a+4) &= 0 \\ a &= -4\ (TM) \\ a &= -\dfrac{7}{2} \end{align}

Barisan a,-7,b adalah barisan geometri sehingga -\dfrac{7}{2},-7,b sehingga menjadi b=-14. Nilai 2a+b=2 \left( -\dfrac{7}{2} \right) -14=-21

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (E) -21

21. Soal Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap

Misalkan 1+\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{2}}+\dfrac{1}{p^{3}}+\cdots=2021 dan \dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{q^{2}}+\dfrac{1}{q^{3}}+\cdots=2019. Nilai dari \dfrac{q}{p}=\cdots
Alternatif Pembahasan:

Dari deret 1+\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{2}}+\dfrac{1}{p^{3}}+\cdots=2021, kita peroleh a=1 dan r=\dfrac{1}{p} sehingga dapat kita tuliskan,
\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2021 &= \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p}} \\ 2021 &= \dfrac{1}{ \dfrac{p-1}{p}} \\ 2021 &= \dfrac{p}{ p-1} \\ 2021p-2021 &= p \\ 2020p &= 2021 \\ p &= \dfrac{2021}{2020} \end{align}

Dari deret \dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{q^{2}}+\dfrac{1}{q^{3}}+\cdots=2019, kita peroleh a=\dfrac{1}{q} dan r=\dfrac{1}{q} sehingga dapat kita tuliskan,
\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2019 &= \dfrac{\dfrac{1}{q}}{1-\dfrac{1}{q}} \\ 2019 &= \dfrac{\dfrac{1}{q}}{ \dfrac{q-1}{q}} \\ 2019 &= \dfrac{1}{ q-1} \\ 2019q-2019 &= 1 \\ 2019q &= 2020 \\ q &= \dfrac{2020}{2019} \end{align}

Dari nilai p dan q di atas maka kita peroleh:
\begin{align} \dfrac{q}{p} & = \dfrac{\frac{2020}{2019}}{\frac{2021}{2020} } \\ & = \dfrac{2020 \times 2020}{2021 \times 2019} \\ & = \dfrac{2020 \times 2020}{ \left(2020+1 \right) \times \left(2020-1\right)} \\ & = \dfrac{2020^{2}}{ 2020^{2}-1} \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai adalah (D) \dfrac{2020^{2}}{2020^{2}-1}

22. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Diberikan bilangan real r, dengan 0 \lt r \lt 1. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio \dfrac{1}{1+r} adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio r adalah...
Alternatif Pembahasan:

Dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2, rasio \dfrac{1}{1+r} dan jumlahnya 8 dapat kita peroleh:
\begin{align} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\ 8 &= \dfrac{2}{1-\frac{1}{1+r}} \\ 8 &= \dfrac{2}{\frac{r}{1+r}} \\ 8 &= \dfrac{2+2r}{r} \\ 8r &= 2+2r \\ 6r &= 2 \longrightarrow r=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \\ \hline S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{8}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \dfrac{8}{\frac{2}{3}} \\ &= \dfrac{24}{2}=12 \end{align}

\therefore Pilihan yang sesuai (B)\ 12


Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
close