Bagaimana Menghitung Deret Geometri Tak Hingga? pertanyaan sederhana dari anak-anak. Pada cerita sebelumnya tentang barisan dan deret aritmatika dan barisan dan deret geometri sudah di ceritakan bagaimana perbedaan barisan dan deret serta perbedaan barisan aritmatika dan barisan geometri.Seperti yang sudah disampaikan sebelumnya bahwa Suatu Deret Bilangan dikatakan sebagai Deret Geometri (DG) jika perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.
Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ ($r$).
Contoh,
- $2+ 4+ 8+ 16+ 32+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=2$)
- $10-5+ \dfrac{5}{2} -\dfrac{5}{4}+ \dfrac{5}{8}- \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=-\dfrac{1}{2}$)
- $27+ 9+ 3+ 1+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{9}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)
- $10+ 5+ \dfrac{5}{2}+ \dfrac{5}{4}+ \dfrac{5}{8}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{2}$)
- $2+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{8}+ \dfrac{1}{16}+ \dfrac{1}{32}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{4}$)
Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi dua bagian, yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dan deret geometri tak hingga yang divergen.Deret geometri tak hingga konvergen
Deret geometri tak hingga yang konvergen adalah deret geometri tak hingga yang memiliki limit jumlah. Syaratnya adalah rasio kurang dari $1$ dan lebih dari $-1$. Secara simbol syarat rasio dapat kita tulis menjadi $-1 \lt r \lt 1$ atau $\left | r \right | \lt 1$.Untuk menghitung jumlah deret sampai tak hingga, dipakai rumus:
$S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r}$
contoh:
$27+ 9+ 3+ 1+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{9}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)
Limit jumlah deret ini bisa kita tafsir, karena jika deret diteruskan sampai dengan $n$ tak hingga maka $U_{n}$ nilainya mendekati nol.
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{27}{1-\dfrac{1}{3}} \\
&=\dfrac{27}{\dfrac{2}{3}} \\
&=\dfrac{81}{2} \\
\end{align}$
contoh yang kedua,
$10+ 5+ \dfrac{5}{2}+ \dfrac{5}{4}+ \dfrac{5}{8}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{2}$)
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{10}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&=\dfrac{10}{\dfrac{1}{2}} =20
\end{align}$
Jika deret geometri tak hingga konvergen di bagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi:
- Deret Geometri suku ganjil: $a+ar^{2}+ar^{4}+ar^{6}+ \cdots $
suku pertama$=a$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(ganjil)=\dfrac{a}{1-r^{2}}$. - Deret Geometri suku genap: $ar+ar^{3}+ar^{5}+ \cdots $
suku pertama$=ar$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(genap)=\dfrac{ar}{1-r^{2}}$.
Deret geometri tak hingga divergen
Untuk deret geometri tak hingga yang divergen adalah deret geometri tak hingga yang tidak memiliki limit jumlah. Tidak memiliki limit jumlah jika rasio lebih dari 1 atau kurang dari negatif 1.Secara simbol syarat rasio dapat kita tulis menjadi $ r \lt -1 \vee r \gt 1 $ atau $ \left | r \right | \gt 1 $. Karena tidak memiliki limit jumlah jika ditanyakan jumlah deret sampai tak hingga maka jawabnya adalah $S_{\infty}= \infty$ atau $tak\ hingga$.
contoh:
$2+ 4+ 8+ 16+ 32+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=2$) maka $S_{\infty}= \infty$ karena deret sampai tak hingga semakin besar sehingga penjumlahannya juga sangat besar.
Deret Geometri untuk beberapa buku memakai istilah dengan sebutan Deret Ukur. Untuk lebih memahami lagi tentang Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga ini, berikut coba kita diskusikan beberapa soal yang disadur dari soal-soal Ujian Nasional, Soal Seleksi masuk PTN seperti Soal SNMPTN-SBMPTN, Soal SIMAK UI, Soal UM UGM, Soal UM UNDIP atau soal seleksi masuk sekolah kedinasan.
1. Soal Ujian Nasional 2015 (*Soal Lengkap)
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $5\ m$ dan memantul kembali dengan $\dfrac{3}{5}$ kali tinggi sebelumnya. panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{15}{2}\ m \\
(B)\ & \dfrac{25}{2}\ m \\
(C)\ & 15\ m \\
(D)\ & 20\ m \\
(E)\ & 25\ m
\end{align}$
Jumlah seluruh panjang lintasan bola sampai berhenti dapat kita hitung dengan menggunakan konsep deret geometri tak hingga. Berhenti adalah anggapan bahwa bola tidak lagi memantul dengan kata lain tidak ada lagi panjang lintasan tidak bertambah lagi kalau bola sudah berhenti. Meskipun panjang lintasan bola dapat dihitung tetapi banyak pantulan tidak dapat dihitung.
Tinggi bola awal $5\ m$, memantul kembali dengan ketinggian $\dfrac{3}{5}$ dari $5\ m$ yaitu $3\ m$,
lalu boal akan turun setinggi $3\ m$ dan memantul kembali setinggi $\dfrac{3}{5}$ dari $3\ m$ yaitu $\dfrac{9}{5} m$,
bola turun lagi $\dfrac{9}{5} m$ dan memantul kembali setinggi $\dfrac{3}{5}$ dari $\dfrac{9}{5}$ yaitu $\dfrac{27}{25}\ m$, dan
bola turun lagi $\dfrac{27}{25}\ m$ sampai seterusnya dan bola berhenti.
Panjang lintasan bola adalah
$\begin{align}
S_{\infty } \ & =\dfrac{a}{1-r} \\
& =\dfrac{5}{1-\dfrac{3}{5}}+\dfrac{3}{1-\dfrac{3}{5}} \\
& =\dfrac{5}{\dfrac{2}{5}}+\dfrac{3}{\dfrac{2}{5}} \\
& =\dfrac{25}{2}+\dfrac{15}{2} \\
& =\dfrac{40}{2}=20
\end{align}$
atau bisa kita juga dengan cara panjang lintasan $S_{\infty }=\dfrac{5}{1-\dfrac{3}{5}}$ kita kalikan dengan $2$ lalu dikurang $5$, karena lintasan bola yang $5\ m$ hanya terjadi satu kali.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20\ m$
2. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)
Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 12 \\
\end{align}$
Bentuk umum Deret Geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ adalah
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+ \cdots $
Jika di bagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi,
Deret Geometri suku ganjil: $a+ar^{2}+ar^{4}+ar^{6}+ \cdots $
suku pertama$=a$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(ganjil)=\dfrac{a}{1-r^{2}}$.
Deret Geometri suku genap: $ar+ar^{3}+ar^{5}+ \cdots $
suku pertama$=ar$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(genap)=\dfrac{ar}{1-r^{2}}$.
Pada soal disampikan bahwa jumlah semua sukunya adalah $96$.
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\
96 &=\dfrac{a}{1-r} \\
a &=96(1-r)
\end{align}$
Pada soal disampaikan bahwa jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah $64$.
$\begin{align}
S_{\infty }(ganjil) &= \dfrac{a}{1-r^{2}} \\
\hline
64 &= \dfrac{a}{1-r^{2}} \\
64 &= \left ( \dfrac{a}{1-r} \right )\left ( \dfrac{1}{1+r} \right ) \\
96 \left ( \dfrac{1}{1+r} \right ) &= 64 \\
3 \left ( \dfrac{r}{1+r} \right ) &= 2 \\
3 &= 2 \left ( 1+r \right ) \\
3r &= 2+2r \\
r &= \dfrac{1}{2} \\
\hline
a &= 96(1-\dfrac{1}{2}) \\
a &= 96(\dfrac{1}{2}) \\
a &= 48
\end{align}$
Suku ke-4 adalah
$\begin{align}
U_{4} &=ar^{3} \\
&=48 \cdot \dfrac{1}{2}^{3} \\
&=48 \cdot \dfrac{1}{2}^{3} \\
&=\dfrac{48}{8} \\
&=6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6\ m$
3. Soal UMPTN 2001 (*Soal Lengkap)
Diketahui deret geometri tak hingga $16+4+1+ \cdots $. Jika jumlah deret tersebut dikurangi dengan jumlah $n$ suku pertama, hasilnya kurang dari $\dfrac{1}{3000}$. Nilai $n$ terkecil yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Dari deret $16+4+1+ \cdots $ kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\
S_{n} &=\dfrac{a\left ( 1-r^2 \right ) }{1-r} \\
\hline
\dfrac{a}{1-r}-\dfrac{a\left ( 1-r^n \right ) }{1-r} & \lt \dfrac{1}{3000} \\
\dfrac{16}{1-\dfrac{1}{4}}-\dfrac{ 16 \left ( 1-\dfrac{1}{4}^{n} \right ) }{1-\dfrac{1}{4}} & \lt \dfrac{1}{3000} \\
\dfrac{16}{\dfrac{3}{4}}-\dfrac{ 16-16 \left ( \dfrac{1}{4}\right )^{n} }{\dfrac{3}{4}} & \lt \dfrac{1}{3000} \\
16-16+16\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{250} \\
16\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{250} \\
\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{4000}
\end{align}$
Karena $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{1} =\dfrac{1}{4}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{2}=\dfrac{1}{16}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{3}=\dfrac{1}{64}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{4}=\dfrac{1}{256}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{5}=\dfrac{1}{1024}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{6}=\dfrac{1}{4096}$
Jadi nilai $n$ terkecil agar $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} \lt \dfrac{1}{4000}$ adalah $n=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6\ m$
4. Soal SIMAK UI 2017 Kode 341 (*Soal Lengkap)
Nilai $x$ yang memenuhi $1+(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=2-x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{-3+\sqrt{3}}{2} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{3-\sqrt{3}}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{3+\sqrt{3}}{2}
\end{align}$
Deret $1+(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=2-x$ dapat kita manipulasi menjadi $(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=1-x$.
Deret $(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=1-x$ adalah deret geometri tak hingga dengan $a=(x-1)^{2}$ dan $r=(x-1)$.
Karena deret geometri takhingga mempunyai hasil maka nilai $r$ adalah $-1 \lt r \lt 1$.
$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\
-1 \lt & x-1 \lt 1 \\
-1+1 \lt & x \lt 1+1 \\
0 \lt & x \lt 2
\end{align}$
$\begin{align}
S_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\
1-x & = \dfrac{(x-1)^{2}}{1-(x-1)} \\
(1-x)(2+x) & = x^{2}-2x+1 \\
x^{2}-3x+2 & = x^{2}-2x+1 \\
-3x+2x+2-1 & = 0 \\
- x+1 & = 0 \\
x & = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
5. Soal SBMPTN 2013 Kode 228 (*Soal Lengkap)
Diketahui deret geometri tak hingga $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$ Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $-1 \lt r \lt 1$, $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots=4$ dan $u_{2}+u_{4}=3$, maka nilai $r^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & \dfrac{3}{4}
\end{align}$
Dengan melihat batasan nilai $r$ yaitu $-1 \lt r \lt 1$, berarti deret ini adalah deret konvergen.
Deret $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots=4$ artinya jumlah suku-suku genap adalah $4$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty }(genap) &=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \\
4 &=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \\
4\left( 1-r^{2} \right) &= ar \\
4 -4r^{2} &= ar \\
\hline
u_{2}+u_{4} & = 3 \\
ar +ar^{3} & = 3 \\
\left( 4-4r^{2} \right)+\left( 4-4r^{2} \right)r^{2} & =3 \\
4-4r^{2} + 4r^{2}-4r^{4} & =3 \\
-4r^{4} & =3-4 \\
r^{4} & =\dfrac{-1}{-4}=\dfrac{ 1}{ 4} \\
r^{2} & =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
6. Soal SBMPTN 2013 Kode 223 (*Soal Lengkap)
Diketahui deret geometri tak hingga $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$ Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $-1 \lt r \lt 1$, $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots=6$ dan $u_{3}+u_{4}+u_{5}+\cdots=2$, maka nilai $r$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}$
Dengan melihat batasan nialai $r$ yaitu $-1 \lt r \lt 1$, berarti deret ini adalah deret konvergen.
Deret $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots=6$ artinya jumlah suku-suku adalah $6$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a }{1-r } \\
6 &=\dfrac{a}{1-r} \\
6\left( 1-r \right) &= a \\
6 -6r &= a \\
\hline
u_{3}+u_{4}+ u_{5}+\cdots & = 2 \\
(u_{1}+u_{2})+u_{3}+u_{4}+ u_{5}+\cdots & = u_{1}+u_{2}+2 \\
6 & = a+ar+2 \\
4 & = a+ar \\
4 & = 6 -6r+(6 -6r)r \\
4 & = 6 -6r+ 6r -6r^{2} \\
4-6 & = -6r^{2} \\
r^{2} & = \dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3} \\
r & = \pm \sqrt{\dfrac{1}{3}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
7. Soal SBMPTN 2013 Kode 128 (*Soal Lengkap)
Parabola $y=x^{2}-2x+m+2$ mempunyai titik puncak $(p,q)$. Jika $3p$ dan $q$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $9$, maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$.
Dari parabola $y=x^{2}-2x+m+2$ dapat kita tentukan:
$\begin{align}
p &=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\
\hline
q & =-\dfrac{D}{4a} \\
& =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
& =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(m+2)}{4(1)} \\
& =-\dfrac{4-4m-8}{4} \\
& =-\dfrac{-4-4m}{4} \\
& = 1+m
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
$\begin{align}
(3)+( 1+m)+ \cdots &= 9 \\
\hline
\dfrac{a }{1-r } & = 9 \\
\dfrac{3}{1- \dfrac{1+m}{3}} & = 9 \\
3 & = 9 \times \left( 1- \dfrac{1+m}{3} \right) \\
3 & = 9 - 3-3m \\
3-6 & = -3m \\
-3 & = -3m \\
1 & = m
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
8. Soal SBMPTN 2013 Kode 126 (*Soal Lengkap)
Parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ mempunyai titik puncak $(p,q)$. Jika $2p$ dan $\dfrac{q}{4}$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $4$, maka nilai $m$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$.
Dari parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ dapat kita tentukan:
$\begin{align}
p &=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\
\hline
q & =-\dfrac{D}{4a} \\
& =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
& =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3m-1)}{4(1)} \\
& =-\dfrac{4-12m+4 }{4} \\
& =-\dfrac{8-12m }{4} \\
& = 3m-2
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
$\begin{align}
(2)+(\dfrac{3m-2}{4})+ \cdots &= 4 \\
\hline
\dfrac{a }{1-r } & = 4 \\
\dfrac{2}{1- \dfrac{3m-2}{8} } & = 4 \\
2 & = 4 \times \left( 1- \dfrac{3m-2}{8} \right) \\
2 & = 4 - \dfrac{3m-2}{2} \\
2-4 & = - \dfrac{3m-2}{2} \\
-4 & = - (3m-2) \\
4 & = 3m-2 \\
4+2 & = 3m \\
2 & = m
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
9. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)
Jika diketahui ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$, maka $ {}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{3}{2} \\
(C)\ & \dfrac{5}{3} \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini setidaknya ada beberapa sifat logaritma yang harus sudah kita pahami, sedangkan untuk deret tak hingga kita hanya perlu jumlah deret tak hingga konvergen.
Deret ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$ adalah deret geometri tak hingga yang konvergen dimana $U_{1}={}^a\!\log b$ dan $r={}^a\!\log b$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{1-{}^a\!\log b} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log a-{}^a\!\log b} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log \dfrac{a}{b} } \\
2 \cdot {}^a\!\log \dfrac{a}{b} &= {}^a\!\log b \\
{}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= {}^a\!\log b \\
\left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= b \\
a^{2} &= b \cdot b^{2} \\
a^{2} &= b^{3} \\
a^{\frac{2}{3}} &= b
\end{align}$
Nilai dari
$\begin{align}
{}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}} &= {}^a\!\log a^{\frac{2}{3}} + {}^b\!\log \sqrt[3]{b^{3}} \\
&= \dfrac{2}{3} \cdot {}^a\!\log a + {}^b\!\log b \\
&= \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{3}$
10. Soal UM UGM 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)
Jika $x-1,\ x-\dfrac{3}{2},\ x-\dfrac{7}{4}$ adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ &-2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Dari deret geometri $x-1,\ x-\dfrac{3}{2},\ x-\dfrac{7}{4}$ dapat kita ambil kesimpulan;
$\begin{align}
\left( x-\dfrac{3}{2} \right)^{2} &= \left( x-1 \right)\left( x-\dfrac{7}{4} \right) \\
x^{2}-3x+\dfrac{9}{4} &= x^{2}-\dfrac{11}{4}x+\dfrac{7}{4} \\
-3x+ \dfrac{11}{4}x &= \dfrac{7}{4}- \dfrac{9}{4} \\
-\dfrac{1}{4}x &= - \dfrac{2}{4} \\
x &= 2
\end{align}$
Barisan geometri yang kita peroleh $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \cdots $
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
11. Soal UM UGM 2006 Kode 381 (*Soal Lengkap)
Diketahui deret geometri dengan $U_{n}= \left( {}^x\!\log 3 \right)^{n}$, $x \gt 0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syarat
$\begin{align}
(A)\ & x \leq \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \geq 3 \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \lt x \lt 3 \\
(C)\ & x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & x \geq 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \leq \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt 3
\end{align}$
Suku-suku dari deret geometri adalah ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$
Agar deret mempunyai nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$.
Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan
Kemungkinan pertama saat $x \gt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \lt & 3 \lt x \\
\dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- untuk $\dfrac{1}{x} \lt 3$
nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 0$ atau $x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)$ - untuk $3 \lt x$
nilai $x$ yang memenuhi $x \gt 3\ \, \, \cdots(2)$ - Irisan $(1)$ dan $(2)$ di atas adalah $x \gt 3$
Kemungkinan kedua saat $0 \lt x \lt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \gt & 3 \gt x \\ x \lt & 3 \lt x^{-1} \\
x \lt & 3 \lt \dfrac{1}{x}
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- untuk $x \lt 3$
nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 3\ \, \, \cdots(3)$ - untuk $3 \lt \dfrac{1}{x}$
nilai $x$ yang memenuhi $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)$ - Irisan $(3)$ dan $(4)$ di atas adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}$
12. Soal SPMB 2006 Kode 420 (*Soal Lengkap)
Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dengan $0 \lt r \lt 1$ adalah $S$. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi $1-r$, maka jumlahnya menjadi...
$\begin{align}
(A)\ & S \left(1- \dfrac{1}{r} \right) \\
(B)\ & \dfrac{S}{r} \\
(C)\ & S \left( \dfrac{1}{r} + r \right) \\
(D)\ & \dfrac{S}{1-r} \\
(E)\ & S \left(\dfrac{1}{r}-1 \right)
\end{align}$
Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dengan $0 \lt r \lt 1$ adalah $S$.
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
S &= \dfrac{a}{1-r} \\
S \cdot ( 1-r ) &= a
\end{align}$
Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $1-r$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{S \cdot ( 1-r )}{1-(1-r)} \\
&= \dfrac{S \cdot ( 1-r )}{1- 1+r } \\
&= S \dfrac{ ( 1-r )}{r } \\
&= S \cdot \left( \dfrac{ 1 }{r }- \dfrac{r}{r} \right) \\
&= S \cdot \left( \dfrac{ 1 }{r }- 1 \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ S \left(\dfrac{1}{r}-1 \right)$
13. Soal UM UGM 2005 Kode 812 (*Soal Lengkap)
$\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $A$,
$B_{1}$ pada $BC$ sehingga $AB_{1}\perp BC$,
$A_{1}$ pada $AC$ sehingga $B_{1}A_{1} \perp AC$,
$B_{2}$ pada $BC$ sehingga $A_{1}B_{2} \perp BC$,
$A_{2}$ pada $AC$ sehingga $B_{2}A_{2} \perp AC$,
dan setrusnya. Jika $AB=6$ dan $BC=10$, maka jumlah luas $\bigtriangleup ABC$, $\bigtriangleup B_{1}AC$, $\bigtriangleup A_{1}B_{1}C$, $\bigtriangleup B_{2}A_{1}C$, $\bigtriangleup A_{2}B_{2}C$ dan seterusnya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{600}{8} \\
(B)\ & \dfrac{600}{9} \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 50 \\
(E)\ & \dfrac{600}{16}
\end{align}$
Dengan $AB=6$ dan $BC=10$, menggunakan teorema pythagoras kita dapat menghitung $AC=8$.
$\begin{align}
[ABC] &= [ABC] \\
\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC &= \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AB_{1} \\
\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot AB_{1} \\
24 &= 5 \cdot AB_{1} \\
\dfrac{24}{5} &= AB_{1}
\end{align}$
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita juga dapat menghitung $BB_{1}=\dfrac{18}{5}$ dan $ B_{1}C=\dfrac{32}{5}$.
$\begin{align}
[B_{1}AC] &= \dfrac{1}{2} \cdot B_{1}C \cdot AB_{1} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{32}{5} \cdot \dfrac{24}{5} \\
&= 24 \cdot \dfrac{16}{25}
\end{align}$
Dengan cara yang sama seperti di atas dapat kita hitung $[A_{1}B_{1}C]=24 \cdot \dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{16}{25}$.
Hal yang sama juga untuk $[A_{1}B_{1}C]$, $[B_{2}A_{1}C]$ dan seterusnya.
Sehingga deret yang kita peroleh adalah:
$\begin{align}
& [ABC]+[B_{1}AC]+[A_{1}B_{1}C]+\cdots \\
&= 24+24 \cdot \dfrac{16}{25}+24 \cdot \dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{16}{25}+\cdots \\
&= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{24}{1-\dfrac{16}{25}} \\
&= \dfrac{24}{\dfrac{9}{25}} \\
&= 24 \cdot \dfrac{25}{9} = \dfrac{600}{9}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{600}{9}$
14. Soal SPMB 2005 Kode 270 (*Soal Lengkap)
Jika suku ke-$n$ suatu deret adalah $u_{n}=2^{2x-n}$, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2^{2x-2} \\
(B)\ & 2^{2x-1} \\
(C)\ & 2^{2x} \\
(D)\ & 2^{2x+1} \\
(E)\ & 2^{2x+2}
\end{align}$
Karena $u_{n}=2^{2x-n}$ maka deret geometrinya adalah
$2^{2x-1},\ 2^{2x-2},\ 2^{2x-3},\ 2^{2x-4},\ \cdots$
Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=2^{2x-1}$ dan rasio $r=\dfrac{1}{2}$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{2^{2x-1}}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{2^{2x-1}}{\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{2^{2x-1}}{2^{-1}} \\
&= 2^{2x-1} \cdot 2^{1} \\
&= 2^{2x }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2^{2x}$
15. Soal SPMB 2005 Kode 470 (*Soal Lengkap)
Jika $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$, maka jumlah deret tak hingga $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{pq}+\dfrac{1}{pq^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{pq^{n}}+\cdots$ adalah..
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 1\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{q}{p} \\
(E)\ & \dfrac{p}{q}
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} &= 1 \\
\dfrac{p+q}{pq} &= 1 \\
p+q &= pq \\
q &= pq-p \\
q &= p(q-1) \\
\dfrac{q}{(q-1)} &= p
\end{align}$
Dari deret tak hingga $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{pq}+\dfrac{1}{pq^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{pq^{n}}+\cdots$ kita peroleh $a=\dfrac{1}{p}$ dan rasio $r=\dfrac{1}{q}$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{p}}{1-\dfrac{1}{q}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{p}}{ \dfrac{q-1}{q}} \\
&= \dfrac{1}{p} \cdot \dfrac{q}{q-1} \\
&= \dfrac{1}{p} \cdot p =1 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
16. Soal SPMB 2005 Kode 470 (*Soal Lengkap)
Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ mempunyai jumlah $2$, maka $a$ mempunyai...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \lt a \lt 0 \\
(B)\ & -4 \lt a \lt 0 \\
(C)\ & 0 \lt a \lt 2 \\
(D)\ & 0 \lt a \lt 4 \\
(E)\ & -4 \lt a \lt 4
\end{align}$
Deret geometri tak hingga dengan jumlah $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
2 &= \dfrac{a}{1-r} \\
2(1-r) &= a \\
2-2r &= a \\
2r &= 2-a \\
r &= \dfrac{2-a}{2}
\end{align}$
Syarat deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $2$ adalah batasan $-1 \lt r \lt 1$.
$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\
-1 \lt & \dfrac{2-a}{2} \lt 1 \\
-2 \lt & 2-a \lt 2 \\
-2 \lt & a-2 \lt 2 \\
-2+2 \lt & a-2+2 \lt 2+2 \\
0 \lt & a \lt 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0 \lt a \lt 4$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasBeberapa pembahasan masalah Matematika Dasar Menghitung Deret Geometri Tak Hingga (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 yuk mengenal salah satu matematikawan Indonesia melalui video berikut;
