20+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Deret Geometri Tak Hingga

Jumlah seluruh panjang lintasan bola sampai berhenti dapat kita hitung dengan menggunakan konsep deret geometri tak hingga. Berhenti adalah anggapan bahwa bola tidak lagi memantul dengan kata lain tidak ada lagi panjang lintasan tidak bertambah lagi kalau bola sudah berhenti. Meskipun panjang lintasan bola dapat dihitung tetapi banyak pantulan tidak dapat dihitung.

Tinggi bola awal $5\ m$, memantul kembali dengan ketinggian $\dfrac{3}{5}$ dari $5\ m$ yaitu $3\ m$,
lalu boal akan turun setinggi $3\ m$ dan memantul kembali setinggi $\dfrac{3}{5}$ dari $3\ m$ yaitu $\dfrac{9}{5} m$,
bola turun lagi $\dfrac{9}{5} m$ dan memantul kembali setinggi $\dfrac{3}{5}$ dari $\dfrac{9}{5}$ yaitu $\dfrac{27}{25}\ m$, dan
bola turun lagi $\dfrac{27}{25}\ m$ sampai seterusnya dan bola berhenti.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20\ m$

Bentuk umum Deret Geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ adalah
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+ \cdots $

Jika di bagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi,
Deret Geometri suku ganjil: $a+ar^{2}+ar^{4}+ar^{6}+ \cdots $
suku pertama$=a$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(ganjil)=\dfrac{a}{1-r^{2}}$.

Deret Geometri suku genap: $ar+ar^{3}+ar^{5}+ \cdots $
suku pertama$=ar$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(genap)=\dfrac{ar}{1-r^{2}}$.

Pada soal disampikan bahwa jumlah semua sukunya adalah $96$.
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\ 96 &=\dfrac{a}{1-r} \\ a &=96(1-r)
\end{align}$

Pada soal disampaikan bahwa jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah $64$.
$\begin{align}
S_{\infty }(ganjil) &= \dfrac{a}{1-r^{2}} \\ \hline
64 &= \dfrac{a}{1-r^{2}} \\ 64 &= \left ( \dfrac{a}{1-r} \right )\left ( \dfrac{1}{1+r} \right ) \\ 96 \left ( \dfrac{1}{1+r} \right ) &= 64 \\ 3 \left ( \dfrac{r}{1+r} \right ) &= 2 \\ 3 &= 2 \left ( 1+r \right ) \\ 3r &= 2+2r \\ r &= \dfrac{1}{2} \\ \hline
a &= 96(1-\dfrac{1}{2}) \\ a &= 96(\dfrac{1}{2}) \\ a &= 48
\end{align}$
Suku ke-4 adalah
$\begin{align}
U_{4} &=ar^{3} \\ &=48 \cdot \dfrac{1}{2}^{3} \\ &=48 \cdot \dfrac{1}{2}^{3} \\ &=\dfrac{48}{8} \\ &=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6\ m$

Dari deret $16+4+1+ \cdots $ kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\ S_{n} &=\dfrac{a\left ( 1-r^2 \right ) }{1-r} \\ \hline
\dfrac{a}{1-r}-\dfrac{a\left ( 1-r^n \right ) }{1-r} & \lt \dfrac{1}{3000} \\ \dfrac{16}{1-\dfrac{1}{4}}-\dfrac{ 16 \left ( 1-\dfrac{1}{4}^{n} \right ) }{1-\dfrac{1}{4}} & \lt \dfrac{1}{3000} \\ \dfrac{16}{\dfrac{3}{4}}-\dfrac{ 16-16 \left ( \dfrac{1}{4}\right )^{n} }{\dfrac{3}{4}} & \lt \dfrac{1}{3000} \\ 16-16+16\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{4000} \\ 16\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{4000} \\ \left (\dfrac{1}{4} \right )^{-2}\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{250} \cdot \left (\dfrac{1}{4} \right )^{2} \\ \left (\dfrac{1}{4} \right )^{-4}\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{250} \\ \left (\dfrac{1}{4} \right )^{n-4} & \lt \dfrac{1}{250} \\ \end{align}$
Kita ketahui bahwa: $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{1} =\dfrac{1}{4}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{2}=\dfrac{1}{16}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{3}=\dfrac{1}{64}$, dan $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{4}=\dfrac{1}{256}$.

Karena $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{4}=\dfrac{1}{256}$ sehingga nilai $n$ terkecil agar $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n-4} \lt \dfrac{1}{250}$ adalah $n-4=4$ atau $n=8$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$

Deret $1+(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=2-x$ dapat kita manipulasi menjadi $(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=1-x$.

Deret $(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=1-x$ adalah deret geometri tak hingga dengan $a=(x-1)^{2}$ dan $r=(x-1)$.
Karena deret geometri takhingga mempunyai hasil maka nilai $r$ adalah $-1 \lt r \lt 1$.

$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\ -1 \lt & x-1 \lt 1 \\ -1+1 \lt & x \lt 1+1 \\ 0 \lt & x \lt 2
\end{align}$

$\begin{align}
S_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ 1-x & = \dfrac{(x-1)^{2}}{1-(x-1)} \\ (1-x)(2+x) & = x^{2}-2x+1 \\ x^{2}-3x+2 & = x^{2}-2x+1 \\ -3x+2x+2-1 & = 0 \\ - x+1 & = 0 \\ x & = 1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

Dengan melihat batasan nilai $r$ yaitu $-1 \lt r \lt 1$, berarti deret ini adalah deret konvergen.

Deret $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots=4$ artinya jumlah suku-suku genap adalah $4$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty }(genap) &=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \\ 4 &=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \\ 4\left( 1-r^{2} \right) &= ar \\ 4 -4r^{2} &= ar \\ \hline
u_{2}+u_{4} & = 3 \\ ar +ar^{3} & = 3 \\ \left( 4-4r^{2} \right)+\left( 4-4r^{2} \right)r^{2} & =3 \\ 4-4r^{2} + 4r^{2}-4r^{4} & =3 \\ -4r^{4} & =3-4 \\ r^{4} & =\dfrac{-1}{-4}=\dfrac{ 1}{ 4} \\ r^{2} & =\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

Dengan melihat batasan nialai $r$ yaitu $-1 \lt r \lt 1$, berarti deret ini adalah deret konvergen.

Deret $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots=6$ artinya jumlah suku-suku adalah $6$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a }{1-r } \\ 6 &=\dfrac{a}{1-r} \\ 6\left( 1-r \right) &= a \\ 6 -6r &= a \\ \hline
u_{3}+u_{4}+ u_{5}+\cdots & = 2 \\ (u_{1}+u_{2})+u_{3}+u_{4}+ u_{5}+\cdots & = u_{1}+u_{2}+2 \\ 6 & = a+ar+2 \\ 4 & = a+ar \\ 4 & = 6 -6r+(6 -6r)r \\ 4 & = 6 -6r+ 6r -6r^{2} \\ 4-6 & = -6r^{2} \\ r^{2} & = \dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3} \\ r & = \pm \sqrt{\dfrac{1}{3}}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$.

Dari parabola $y=x^{2}-2x+m+2$ dapat kita tentukan:
$\begin{align}
p &=-\dfrac{b}{2a} \\ &=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\ \hline
q & =-\dfrac{D}{4a} \\ & =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(m+2)}{4(1)} \\ & =-\dfrac{4-4m-8}{4} \\ & =-\dfrac{-4-4m}{4} \\ & = 1+m
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
$\begin{align}
(3)+( 1+m)+ \cdots &= 9 \\ \hline
\dfrac{a }{1-r } & = 9 \\ \dfrac{3}{1- \dfrac{1+m}{3}} & = 9 \\ 3 & = 9 \times \left( 1- \dfrac{1+m}{3} \right) \\ 3 & = 9 - 3-3m \\ 3-6 & = -3m \\ -3 & = -3m \\ 1 & = m
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$.

Dari parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ dapat kita tentukan:
$\begin{align}
p &=-\dfrac{b}{2a} \\ &=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\ \hline
q & =-\dfrac{D}{4a} \\ & =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3m-1)}{4(1)} \\ & =-\dfrac{4-12m+4 }{4} \\ & =-\dfrac{8-12m }{4} \\ & = 3m-2
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
$\begin{align}
(2)+(\dfrac{3m-2}{4})+ \cdots &= 4 \\ \hline
\dfrac{a }{1-r } & = 4 \\ \dfrac{2}{1- \dfrac{3m-2}{8} } & = 4 \\ 2 & = 4 \times \left( 1- \dfrac{3m-2}{8} \right) \\ 2 & = 4 - \dfrac{3m-2}{2} \\ 2-4 & = - \dfrac{3m-2}{2} \\ -4 & = - (3m-2) \\ 4 & = 3m-2 \\ 4+2 & = 3m \\ 2 & = m
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

Untuk menyelesaikan soal ini setidaknya ada beberapa sifat logaritma yang harus sudah kita pahami, sedangkan untuk deret tak hingga kita hanya perlu jumlah deret tak hingga konvergen.

Deret ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$ adalah deret geometri tak hingga yang konvergen dimana $U_{1}={}^a\!\log b$ dan $r={}^a\!\log b$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{1-{}^a\!\log b} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log a-{}^a\!\log b} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log \dfrac{a}{b} } \\ 2 \cdot {}^a\!\log \dfrac{a}{b} &= {}^a\!\log b \\ {}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= {}^a\!\log b \\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= b \\ a^{2} &= b \cdot b^{2} \\ a^{2} &= b^{3} \\ a^{\frac{2}{3}} &= b
\end{align}$

Nilai dari
$\begin{align}
{}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}} &= {}^a\!\log a^{\frac{2}{3}} + {}^b\!\log \sqrt[3]{b^{3}} \\ &= \dfrac{2}{3} \cdot {}^a\!\log a + {}^b\!\log b \\ &= \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{3}$

Dari deret geometri $x-1,\ x-\dfrac{3}{2},\ x-\dfrac{7}{4}$ dapat kita ambil kesimpulan;
$\begin{align}
\left( x-\dfrac{3}{2} \right)^{2} &= \left( x-1 \right)\left( x-\dfrac{7}{4} \right) \\ x^{2}-3x+\dfrac{9}{4} &= x^{2}-\dfrac{11}{4}x+\dfrac{7}{4} \\ -3x+ \dfrac{11}{4}x &= \dfrac{7}{4}- \dfrac{9}{4} \\ -\dfrac{1}{4}x &= - \dfrac{2}{4} \\ x &= 2
\end{align}$

Barisan geometri yang kita peroleh $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \cdots $
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

Suku-suku dari deret geometri adalah ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$

Agar deret mempunyai nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$.

Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan

Kemungkinan pertama saat $x \gt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\ {}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\ x^{-1} \lt & 3 \lt x \\ \dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\ \end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu

• untuk $\dfrac{1}{x} \lt 3$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 0$ atau $x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)$
• untuk $3 \lt x$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \gt 3\ \, \, \cdots(2)$
• Irisan $(1)$ dan $(2)$ di atas adalah $x \gt 3$

• untuk $x \lt 3$
  nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 3\ \, \, \cdots(3)$
• untuk $3 \lt \dfrac{1}{x}$
  nilai $x$ yang memenuhi $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)$
• Irisan $(3)$ dan $(4)$ di atas adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}$

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dengan $0 \lt r \lt 1$ adalah $S$.
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ S &= \dfrac{a}{1-r} \\ S \cdot ( 1-r ) &= a
\end{align}$

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $1-r$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{S \cdot ( 1-r )}{1-(1-r)} \\ &= \dfrac{S \cdot ( 1-r )}{1- 1+r } \\ &= S \dfrac{ ( 1-r )}{r } \\ &= S \cdot \left( \dfrac{ 1 }{r }- \dfrac{r}{r} \right) \\ &= S \cdot \left( \dfrac{ 1 }{r }- 1 \right)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ S \left(\dfrac{1}{r}-1 \right)$

Dengan $AB=6$ dan $BC=10$, menggunakan teorema pythagoras kita dapat menghitung $AC=8$.
$\begin{align}
[ABC] &= [ABC] \\ \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC &= \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AB_{1} \\ \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot AB_{1} \\ 24 &= 5 \cdot AB_{1} \\ \dfrac{24}{5} &= AB_{1}
\end{align}$
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita juga dapat menghitung $BB_{1}=\dfrac{18}{5}$ dan $ B_{1}C=\dfrac{32}{5}$.
$\begin{align}
[B_{1}AC] &= \dfrac{1}{2} \cdot B_{1}C \cdot AB_{1} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{32}{5} \cdot \dfrac{24}{5} \\ &= 24 \cdot \dfrac{16}{25}
\end{align}$

Dengan cara yang sama seperti di atas dapat kita hitung $[A_{1}B_{1}C]=24 \cdot \dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{16}{25}$.

Hal yang sama juga untuk $[A_{1}B_{1}C]$, $[B_{2}A_{1}C]$ dan seterusnya.
Sehingga deret yang kita peroleh adalah:
$\begin{align}
& [ABC]+[B_{1}AC]+[A_{1}B_{1}C]+\cdots \\ &= 24+24 \cdot \dfrac{16}{25}+24 \cdot \dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{16}{25}+\cdots \\ &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{24}{1-\dfrac{16}{25}} \\ &= \dfrac{24}{\dfrac{9}{25}} \\ &= 24 \cdot \dfrac{25}{9} = \dfrac{600}{9}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{600}{9}$

Karena $u_{n}=2^{2x-n}$ maka deret geometrinya adalah
$2^{2x-1},\ 2^{2x-2},\ 2^{2x-3},\ 2^{2x-4},\ \cdots$

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=2^{2x-1}$ dan rasio $r=\dfrac{1}{2}$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{2^{2x-1}}{1-\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{2^{2x-1}}{\dfrac{1}{2}} \\ &= \dfrac{2^{2x-1}}{2^{-1}} \\ &= 2^{2x-1} \cdot 2^{1} \\ &= 2^{2x }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2^{2x}$

$\begin{align}
\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} &= 1 \\ \dfrac{p+q}{pq} &= 1 \\ p+q &= pq \\ q &= pq-p \\ q &= p(q-1) \\ \dfrac{q}{(q-1)} &= p
\end{align}$

Dari deret tak hingga $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{pq}+\dfrac{1}{pq^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{pq^{n}}+\cdots$ kita peroleh $a=\dfrac{1}{p}$ dan rasio $r=\dfrac{1}{q}$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{p}}{1-\dfrac{1}{q}} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{p}}{ \dfrac{q-1}{q}} \\ &= \dfrac{1}{p} \cdot \dfrac{q}{q-1} \\ &= \dfrac{1}{p} \cdot p =1 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

Deret geometri tak hingga dengan jumlah $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2 &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2(1-r) &= a \\ 2-2r &= a \\ 2r &= 2-a \\ r &= \dfrac{2-a}{2}
\end{align}$

Syarat deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $2$ adalah batasan $-1 \lt r \lt 1$.
$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\ -1 \lt & \dfrac{2-a}{2} \lt 1 \\ -2 \lt & 2-a \lt 2 \\ -2 \lt & a-2 \lt 2 \\ -2+2 \lt & a-2+2 \lt 2+2 \\ 0 \lt & a \lt 4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0 \lt a \lt 4$

Untuk menghitung panjang lintasan lompatan anak sampai berhenti dapat digunakan konsep deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=150$ dan rasio $r=\dfrac{1}{4}$. Catatan calon guru tentang deret geometri tak hingga yang mungkin kita butuhkan yaitu jumlah deret geometri tak hingga $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$.

Jika kita tuliskan keseluruhan lintasan yang di tempuh anak naik dan turun adalah:
$\begin{align}
& 150+150+\dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\dfrac{75}{8}+\cdots \\ &=2 \left( 150+ \dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\cdots \right) \\ &=2 \left( 150+ \dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\cdots \right) \\ \hline
S_{\infty} &=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline
&=2 \left( \dfrac{150}{1-\dfrac{1}{4}} \right) \\ &=2 \left( \dfrac{150}{\dfrac{3}{4}} \right) \\ &=2 \left( 150 \times \dfrac{4}{3} \right) \\ &=2 \left( 200 \right) \\ &= 400
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 400\ cm$

Untuk menghitung jarak terjauh yang dapat ditempuh dapat digunakan konsep deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=60$ dan rasio $r=\dfrac{1}{4}$. Catatan calon guru tentang deret geometri tak hingga yang mungkin kita butuhkan yaitu jumlah deret geometri tak hingga $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$.

Jika kita tuliskan lintasan yang di tempuh dari jam pertama, jam kedua dan seterusnya adalah:
$\begin{align}
& 60+\dfrac{60}{4}+\dfrac{60}{16}+\dfrac{60}{64}+\cdots \\ \hline
S_{\infty} &=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline
&= \dfrac{60}{1-\dfrac{1}{4}} \\ &= \dfrac{60}{\dfrac{3}{4}} \\ &= 60 \times \dfrac{4}{3} \\ &= 80
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 80$

Dari deret $4+3+\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{16}+\dfrac{81}{64}+\cdots$ tita peroleh $a=4$ dan $r=\dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}=\dfrac{3}{4}$.

Jumlah deret geomtri tak hingga adalah;
$\begin{align}
S_{\infty } =\ & \dfrac{a}{1-r} \\ =\ & \dfrac{4}{1-\frac{3}{4}} \\ =\ & \dfrac{4}{ \frac{1}{4}} =\ 16
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 16$

Sebelum kita menentukan nilai $a$ dan $b$, kita coba menguji nilai $r$ apakah deret tersebut dapat kita terapkan aturan pada deret geometri takhinga.

$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\ -1 \lt & -(a+3) \lt 1 \\ -1 \lt & a+3 \lt 1 \\ -1-3 \lt & a \lt 1-3 \\ -4 \lt & a \lt -2 \\ \end{align}$
Batasan nilai $a$ yang harus dipenuhi agar deret tersebut konvergen sesuai dengan syarat nilai $a$ pada soal yaitu $-4 \lt a \lt -2$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2a+9 &= \dfrac{1}{-(a+3)} \\ -(2a+9)(a+3) &= 1 \\ -2a^{2}-6a-9a-27-1 &= 0 \\ 2a^{2}+15a+28 &= 0 \\ (2a+7)(a+4) &= 0 \\ a &= -4\ (TM) \\ a &= -\dfrac{7}{2} \end{align}$

Barisan $a,-7,b$ adalah barisan geometri sehingga $-\dfrac{7}{2},-7,b$ sehingga menjadi $b=-14$. Nilai $2a+b=2 \left( -\dfrac{7}{2} \right) -14=-21$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -21$

Dari deret $1+\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{2}}+\dfrac{1}{p^{3}}+\cdots=2021$, kita peroleh $a=1$ dan $r=\dfrac{1}{p}$ sehingga dapat kita tuliskan,
$\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2021 &= \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p}} \\ 2021 &= \dfrac{1}{ \dfrac{p-1}{p}} \\ 2021 &= \dfrac{p}{ p-1} \\ 2021p-2021 &= p \\ 2020p &= 2021 \\ p &= \dfrac{2021}{2020} \end{align}$

Dari deret $\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{q^{2}}+\dfrac{1}{q^{3}}+\cdots=2019$, kita peroleh $a=\dfrac{1}{q}$ dan $r=\dfrac{1}{q}$ sehingga dapat kita tuliskan,
$\begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2019 &= \dfrac{\dfrac{1}{q}}{1-\dfrac{1}{q}} \\ 2019 &= \dfrac{\dfrac{1}{q}}{ \dfrac{q-1}{q}} \\ 2019 &= \dfrac{1}{ q-1} \\ 2019q-2019 &= 1 \\ 2019q &= 2020 \\ q &= \dfrac{2020}{2019} \end{align}$

Dari nilai $p$ dan $q$ di atas maka kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{q}{p} & = \dfrac{\frac{2020}{2019}}{\frac{2021}{2020} } \\ & = \dfrac{2020 \times 2020}{2021 \times 2019} \\ & = \dfrac{2020 \times 2020}{ \left(2020+1 \right) \times \left(2020-1\right)} \\ & = \dfrac{2020^{2}}{ 2020^{2}-1} \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2020^{2}}{2020^{2}-1}$

Dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$, rasio $\dfrac{1}{1+r}$ dan jumlahnya $8$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\ 8 &= \dfrac{2}{1-\frac{1}{1+r}} \\ 8 &= \dfrac{2}{\frac{r}{1+r}} \\ 8 &= \dfrac{2+2r}{r} \\ 8r &= 2+2r \\ 6r &= 2 \longrightarrow r=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \\ \hline S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{8}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \dfrac{8}{\frac{2}{3}} \\ &= \dfrac{24}{2}=12 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 12$