Menghitung Deret Geometri Tak Hingga

Bagaimana Menghitung Deret Geometri Tak Hingga? pertanyaan sederhana dari anak-anak. Pada cerita sebelumnya tentang barisan dan deret aritmatika dan barisan dan deret geometri sudah di ceritakan bagaimana perbedaan barisan dan deret serta perbedaan barisan aritmatika dan barisan geometri.

Seperti yang sudah disampaikan sebelumnya bahwa Suatu Deret Bilangan dikatakan sebagai Deret Geometri (DG) jika perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ ($r$).
Contoh,

1. $2+ 4+ 8+ 16+ 32+ \cdots $ (DG dengan $r=2$)
2. $10-5+ \frac{5}{2} -\frac{5}{4}+ \frac{5}{8}- \cdots $ (DG dengan $r=-\frac{1}{2}$]
3. $27+ 9+ 3+ 1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+ \cdots $ (DG dengan $r=\frac{1}{3}$]
4. $10+ 5+ \frac{5}{2}+ \frac{5}{4}+ \frac{5}{8}+ \cdots $ (DG dengan $r=\frac{1}{2}$]
5. $2+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \cdots $ (DG dengan $r=\frac{1}{4}$]

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi dua bagian, yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dan deret geometri tak hingga yang divergen.

Deret geometri tak hingga konvergen

Deret geometri tak hingga yang konvergen adalah deret geometri tak hingga yang memiliki limit jumlah. Syaratnya adalah rasio kurang dari 1 dan lebih dari negatif 1. Secara simbol syarat rasio dapat kita tulis menjadi $-1 < r < 1$ atau $\left | r \right |<1$.
Untuk menghitung jumlah deret sampai tak hingga, dipakai rumus:
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

contoh:
$27+ 9+ 3+ 1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+ \cdots $ (DG dengan $r=\frac{1}{3}$)
Limit jumlah deret ini bisa kita tafsir, karena jika deret diteruskan sampai dengan $n$ tak hingga maka $U_{n}$ nilainya mendekati nol.
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
$S_{\infty }=\frac{27}{1-\frac{1}{3}}$
$S_{\infty }=\frac{27}{\frac{2}{3}}$
$S_{\infty }=\frac{27}{\frac{2}{3}}$
$S_{\infty }=\frac{81}{2}$

contoh yang kedua,
$10+ 5+ \frac{5}{2}+ \frac{5}{4}+ \frac{5}{8}+ \cdots $ (DG dengan $r=\frac{1}{2}$)
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
$S_{\infty }=\frac{10}{1-\frac{1}{2}}$
$S_{\infty }=\frac{10}{\frac{1}{2}}$
$S_{\infty }=20$

Deret geometri tak hingga divergen

Untuk deret geometri tak hingga yang divergen adalah deret geometri tak hingga yang tidak memiliki limit jumlah. Tidak memiliki limit jumlah jika rasio lebih dari 1 atau kurang dari negatif 1. Secara simbol syarat rasio dapat kita tulis menjadi $ r < -1 \vee r > 1 $ atau $ \left | r \right | > 1 $. Karena tidak memiliki limit jumlah jika ditanyakan jumlah deret sampai tak hingga maka jawabnya adalah $S_{\infty}= \infty$ atau $tak\ hingga$.

contoh:
$2+ 4+ 8+ 16+ 32+ \cdots $ (DG dengan $r=2$) maka $S_{\infty}= \infty$ karena deret sampai tak hingga semakin besar sehingga penjumlahannya juga sangat besar.

Deret Geometri untuk beberapa buku memakai istilah dengan sebutan Deret Ukur. untuk memahami deret geometri tak hingga, coba kita diskusikan beberapa contoh soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.

Soal Ujian Nasional 2015 (*Soal Lengkap)

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $5\ m$ dan memantul kembali dengan $\frac{3}{5}$ kali tinggi sebelumnya. panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah...
$(A)\ \frac{15}{2}\ m \\(B)\ \frac{25}{2}\ m \\(C)\ 15\ m \\(D)\ 20\ m \\(E)\ 25\ m$

Alternatif Pembahasan: show

Jumlah seluruh panjang lintasan bola sampai berhenti dapat kita hitung dengan menggunakan konsep deret geometri tak hingga. Berhenti adalah anggapan bahwa bola tidak lagi memantul dengan kata lain tidak ada lagi panjang lintasan tidak bertambah lagi kalau bola sudah berhenti. Meskipun panjang lintasan bola dapat dihitung tetapi banyak pantulan tidak dapat dihitung.

Tinggi bola awal $5\ m$, memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{5}$ dari $5\ m$ yaitu $3\ m$,
lalu boal akan turun setinggi $3\ m$ dan memantul kembali setinggi $\frac{3}{5}$ dari $3\ m$ yaitu $\frac{9}{5} m$,
bola turun lagi $\frac{9}{5} m$ dan memantul kembali setinggi $\frac{3}{5}$ dari $\frac{9}{5}$ yaitu $\frac{27}{25}\ m$, dan
bola turun lagi $\frac{27}{25}\ m$ sampai seterusnya dan bola berhenti.

Dari keterangan diatas kita peroleh bahwa tinggi bola pertama kita sebut suku pertam $a=5$ dan $r=\frac{3}{5}$
Panjang lintasan bola adalah
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
$S_{\infty }=\frac{5}{1-\frac{3}{5}}+\frac{3}{1-\frac{3}{5}}$
$S_{\infty }=\frac{5}{\frac{2}{5}}+\frac{3}{\frac{2}{5}}$
$S_{\infty }=\frac{25}{2}+\frac{15}{2}$
$S_{\infty }=\frac{40}{2}=20$

atau bisa kita juga dengan cara panjang lintasan $S_{\infty }=\frac{5}{1-\frac{3}{5}}$ kita kalikan dengan $2$ lalu dikurang $5$, karena lintasan bola yang $5\ m$ hanya terjadi satu kali.

Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah...
$(A)\ 4\\ (B)\ 6\\ (C)\ 8\\ (D)\ 10\\ (E)\ 12$

Alternatif Pembahasan: show

bentuk umum $DG$ dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ adalah
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+ \cdots $

Jika di bagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi,
$DG$ suku ganjil: $a+ar^{2}+ar^{4}+ar^{6}+ \cdots $
suku pertama=$a$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(ganjil)=\frac{a}{1-r^{2}}$.

$DG$ suku genap: $ar+ar^{3}+ar^{5}+ \cdots $
suku pertama=$ar$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(genap)=\frac{ar}{1-r^{2}}$.

Pada soal disampikan bahwa jumlah semua sukunya adalah 96.
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
$96=\frac{a}{1-r}$
$a=96(1-r)$

Pada soal disampaikan bahwa jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64.
$S_{\infty }(ganjil)=\frac{a}{1-r^{2}}$
$64=\frac{a}{1-r^{2}}$
$64=\left ( \frac{a}{1-r} \right )\left ( \frac{1}{1+r} \right )$
$96 \left ( \frac{1}{1+r} \right )=64$
$3 \left ( \frac{r}{1+r} \right )=2$
$3=2 \left ( 1+r \right )$
$3r=2+2r$
$r=\frac{1}{2}$

$a=96(1-\frac{1}{2})$
$a=96(\frac{1}{2})$
$a=48$

Suku ke-4 adalah
$U_{4}=ar^{3}$
$U_{4}=48 \cdot \frac{1}{2}^{3}$
$U_{4}=48 \cdot \frac{1}{2}^{3}$
$U_{4}=\frac{48}{8}$
$U_{4}=6$

Soal UMPTN 2001 (*Soal Lengkap)

Diketahui deret geometri tak hingga $16+4+1+ \cdots $. Jika jumlah deret tersebut dikurangi dengan jumlah $n$ suku pertama, hasilnya kurang dari $\frac{1}{3000}$. Nilai $n$ terkecil yang memenuhi adalah...
$(A)\ 5\\ (B)\ 6\\ (C)\ 7\\ (D)\ 8\\ (E)\ 9$

Alternatif Pembahasan: show

Dari deret $16+4+1+ \cdots $
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^2 \right ) }{1-r}$

$\frac{a}{1-r}-\frac{a\left ( 1-r^n \right ) }{1-r} < \frac{1}{3000}$
$\frac{16}{1-\frac{1}{4}}-\frac{ 16 \left ( 1-\frac{1}{4}^n \right ) }{1-\frac{1}{4}} < \frac{1}{3000}$
$\frac{16}{\frac{3}{4}}-\frac{ 16-16 \left ( \frac{1}{4}\right )^n }{\frac{3}{4}} < \frac{1}{3000}$
$16-16+16\left (\frac{1}{4} \right )^n < \frac{1}{250}$
$16\left (\frac{1}{4} \right )^n < \frac{1}{250}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^n < \frac{1}{4000}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^1=\frac{1}{4}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^2=\frac{1}{16}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^3=\frac{1}{64}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^4=\frac{1}{256}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^5=\frac{1}{1024}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^6=\frac{1}{4096}$

Jadi nilai $n$ terkecil agar $\left (\frac{1}{4} \right )^n < \frac{1}{4000}$ adalah $n=6$

Semoga apa yang disampaikan dapat bermanfaat 😁 dan maaf jika semakin membuat Anda bingung 😭 

Apa yang disampaikan tentang deret geometri tak hingga diatas masihlah sangat sederhana, jika Anda punya sesuatu untuk kita diskusikan silahkan disampaikan melalui kotak komentar.

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 yuk mengenal salah satu matematikawan Indonesia melalui video berikut;