com.png "defantri.com")
The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga. Catatan ini untuk melengkapi catatan belajar kita terkait matematika dasar barisan dan deret. Barisan dan deret kita bagi menjadi tiga catatan, yaitu matematika dasar barisan dan deret aritmatika, matematika dasar barisan dan deret aritmatika dan matematika dasar deret geometri tak hingga.
Penerapan barisan dan deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya dapat dilihat pada soal-soal yang akan kita diskusikan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada barisan dan deret geometri sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal barisan dan deret geometri tak hingga dan menemukan solusinya.
Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada SMA dan SMP, bahkan dalam bentuk soal cerita atau matematika realistik, soal tentang barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.
Bagaimana Menghitung Deret Geometri Tak Hingga? pertanyaan sederhana dari anak-anak. Pada cerita sebelumnya tentang barisan dan deret aritmatika dan barisan dan deret geometri sudah di ceritakan bagaimana perbedaan barisan dan deret serta perbedaan barisan aritmatika dan barisan geometri.
Seperti yang sudah disampaikan sebelumnya bahwa Suatu Deret Bilangan dikatakan sebagai Deret Geometri (DG) jika perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.
Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ ($r$).
- Contoh:
- $2+ 4+ 8+ 16+ 32+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=2$)
- $10-5+ \dfrac{5}{2} -\dfrac{5}{4}+ \dfrac{5}{8}- \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=-\dfrac{1}{2}$)
- $27+ 9+ 3+ 1+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{9}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)
- $10+ 5+ \dfrac{5}{2}+ \dfrac{5}{4}+ \dfrac{5}{8}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{2}$)
- $2+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{8}+ \dfrac{1}{16}+ \dfrac{1}{32}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{4}$)
Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi dua bagian, yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dan deret geometri tak hingga yang divergen.
Deret geometri tak hingga konvergen
Deret geometri tak hingga yang konvergen adalah deret geometri tak hingga yang memiliki limit jumlah. Syaratnya adalah rasio kurang dari $1$ dan lebih dari $-1$. Secara simbol syarat rasio dapat kita tulis menjadi $-1 \lt r \lt 1$ atau $\left | r \right | \lt 1$.
Untuk menghitung jumlah deret sampai tak hingga, dipakai rumus:
$S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r}$
contoh:
$27+ 9+ 3+ 1+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{9}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)
Limit jumlah deret ini bisa kita tafsir, karena jika deret diteruskan sampai dengan $n$ tak hingga maka $U_{n}$ nilainya mendekati nol.
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{27}{1-\dfrac{1}{3}} \\
&=\dfrac{27}{\dfrac{2}{3}} \\
&=\dfrac{81}{2} \\
\end{align}$
contoh yang kedua,
$10+ 5+ \dfrac{5}{2}+ \dfrac{5}{4}+ \dfrac{5}{8}+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=\dfrac{1}{2}$)
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{10}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&=\dfrac{10}{\dfrac{1}{2}} =20
\end{align}$
Jika deret geometri tak hingga konvergen di bagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi:
- Deret Geometri suku ganjil: $a+ar^{2}+ar^{4}+ar^{6}+ \cdots $
suku pertama$=a$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(ganjil)=\dfrac{a}{1-r^{2}}$. - Deret Geometri suku genap: $ar+ar^{3}+ar^{5}+ \cdots $
suku pertama$=ar$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(genap)=\dfrac{ar}{1-r^{2}}$.
Deret geometri tak hingga divergen
Untuk deret geometri tak hingga yang divergen adalah deret geometri tak hingga yang tidak memiliki limit jumlah. Tidak memiliki limit jumlah jika rasio lebih dari $1$ atau kurang dari negatif $1$.
Secara simbol syarat rasio dapat kita tulis menjadi $ r \lt -1 \vee r \gt 1 $ atau $ \left | r \right | \gt 1 $. Karena tidak memiliki limit jumlah jika ditanyakan jumlah deret sampai tak hingga maka jawabnya adalah $S_{\infty}= \infty$ atau $tak\ hingga$.
contoh:
$2+ 4+ 8+ 16+ 32+ \cdots $ (Deret Geometri dengan $r=2$) maka $S_{\infty}= \infty$ karena deret sampai tak hingga semakin besar sehingga hasil penjumlahannya juga sangat besar.
Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri
Untuk menambah pemahaman kita terkait Deret Geometri Tak Hingga ini coba kita diskusikan beberapa contoh soal dari soal Ujian Nasional, soal Ujian Sekolah, soal ujian masuk Perguruan Tinggi Negeri (PTN) secara nasioanal atau secara mandiri.
Soal latihan deret geometri tak hingga ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 21 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Ujian Nasional 2015 |*Soal Lengkap
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $5\ m$ dan memantul kembali dengan $\dfrac{3}{5}$ kali tinggi sebelumnya. panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jumlah seluruh panjang lintasan bola sampai berhenti dapat kita hitung dengan menggunakan konsep deret geometri tak hingga. Berhenti adalah anggapan bahwa bola tidak lagi memantul dengan kata lain tidak ada lagi panjang lintasan tidak bertambah lagi kalau bola sudah berhenti. Meskipun panjang lintasan bola dapat dihitung tetapi banyak pantulan tidak dapat dihitung.
Tinggi bola awal $5\ m$, memantul kembali dengan ketinggian $\dfrac{3}{5}$ dari $5\ m$ yaitu $3\ m$,
lalu boal akan turun setinggi $3\ m$ dan memantul kembali setinggi $\dfrac{3}{5}$ dari $3\ m$ yaitu $\dfrac{9}{5} m$,
bola turun lagi $\dfrac{9}{5} m$ dan memantul kembali setinggi $\dfrac{3}{5}$ dari $\dfrac{9}{5}$ yaitu $\dfrac{27}{25}\ m$, dan bola turun lagi $\dfrac{27}{25}\ m$ sampai seterusnya dan bola berhenti.
Dari keterangan diatas kita peroleh bahwa tinggi bola pertama kita sebut suku pertam $a=5$ dan $r=\dfrac{3}{5}$
Panjang lintasan bola adalah
$\begin{align}
S_{\infty } \ & =\dfrac{a}{1-r} \\
& =\dfrac{5}{1-\dfrac{3}{5}}+\dfrac{3}{1-\dfrac{3}{5}} \\
& =\dfrac{5}{\dfrac{2}{5}}+\dfrac{3}{\dfrac{2}{5}} \\
& =\dfrac{25}{2}+\dfrac{15}{2} \\
& =\dfrac{40}{2}=20
\end{align}$
atau bisa kita juga dengan cara panjang lintasan $S_{\infty }=\dfrac{5}{1-\dfrac{3}{5}}$ kita kalikan dengan $2$ lalu dikurang $5$, karena lintasan bola yang $5\ m$ hanya terjadi satu kali.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20\ m$
2. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap
Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk umum Deret Geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ adalah
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+ \cdots $
Jika di bagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi,
Deret Geometri suku ganjil: $a+ar^{2}+ar^{4}+ar^{6}+ \cdots $
suku pertama$=a$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(ganjil)=\dfrac{a}{1-r^{2}}$.
Deret Geometri suku genap: $ar+ar^{3}+ar^{5}+ \cdots $
suku pertama$=ar$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(genap)=\dfrac{ar}{1-r^{2}}$.
Pada soal disampikan bahwa jumlah semua sukunya adalah $96$.
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\
96 &=\dfrac{a}{1-r} \\
a &=96(1-r)
\end{align}$
Pada soal disampaikan bahwa jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah $64$.
$\begin{align}
S_{\infty }(ganjil) &= \dfrac{a}{1-r^{2}} \\
\hline
64 &= \dfrac{a}{1-r^{2}} \\
64 &= \left ( \dfrac{a}{1-r} \right )\left ( \dfrac{1}{1+r} \right ) \\
96 \left ( \dfrac{1}{1+r} \right ) &= 64 \\
3 \left ( \dfrac{r}{1+r} \right ) &= 2 \\
3 &= 2 \left ( 1+r \right ) \\
3r &= 2+2r \\
r &= \dfrac{1}{2} \\
\hline
a &= 96(1-\dfrac{1}{2}) \\
a &= 96(\dfrac{1}{2}) \\
a &= 48
\end{align}$
Suku ke-4 adalah
$\begin{align}
U_{4} &=ar^{3} \\
&=48 \cdot \dfrac{1}{2}^{3} \\
&=48 \cdot \dfrac{1}{2}^{3} \\
&=\dfrac{48}{8} \\
&=6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6\ m$
3. Soal UMPTN 2001 |*Soal Lengkap
Diketahui deret geometri tak hingga $16+4+1+ \cdots $. Jika jumlah deret tersebut dikurangi dengan jumlah $n$ suku pertama, hasilnya kurang dari $\dfrac{1}{3000}$. Nilai $n$ terkecil yang memenuhi adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $16+4+1+ \cdots $ kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\
S_{n} &=\dfrac{a\left ( 1-r^2 \right ) }{1-r} \\
\hline
\dfrac{a}{1-r}-\dfrac{a\left ( 1-r^n \right ) }{1-r} & \lt \dfrac{1}{3000} \\
\dfrac{16}{1-\dfrac{1}{4}}-\dfrac{ 16 \left ( 1-\dfrac{1}{4}^{n} \right ) }{1-\dfrac{1}{4}} & \lt \dfrac{1}{3000} \\
\dfrac{16}{\dfrac{3}{4}}-\dfrac{ 16-16 \left ( \dfrac{1}{4}\right )^{n} }{\dfrac{3}{4}} & \lt \dfrac{1}{3000} \\
16-16+16\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{4000} \\
16\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{4000} \\
\left (\dfrac{1}{4} \right )^{-2}\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{250} \cdot \left (\dfrac{1}{4} \right )^{2} \\
\left (\dfrac{1}{4} \right )^{-4}\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n} & \lt \dfrac{1}{250} \\
\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n-4} & \lt \dfrac{1}{250} \\
\end{align}$
Kita ketahui bahwa: $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{1} =\dfrac{1}{4}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{2}=\dfrac{1}{16}$, $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{3}=\dfrac{1}{64}$, dan $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{4}=\dfrac{1}{256}$.
Karena $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{4}=\dfrac{1}{256}$ sehingga nilai $n$ terkecil agar $\left (\dfrac{1}{4} \right )^{n-4} \lt \dfrac{1}{250}$ adalah $n-4=4$ atau $n=8$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) 8$
4. Soal SIMAK UI 2017 Kode 341 |*Soal Lengkap
Nilai $x$ yang memenuhi $1+(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=2-x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Deret $1+(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=2-x$ dapat kita manipulasi menjadi $(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=1-x$.
Deret $(x-1)^{2}+(x-1)^{3}+(x-1)^{4}+\cdots=1-x$ adalah deret geometri tak hingga dengan $a=(x-1)^{2}$ dan $r=(x-1)$.
Karena deret geometri takhingga mempunyai hasil maka nilai $r$ adalah $-1 \lt r \lt 1$.
$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\
-1 \lt & x-1 \lt 1 \\
-1+1 \lt & x \lt 1+1 \\
0 \lt & x \lt 2
\end{align}$
$\begin{align}
S_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\
1-x & = \dfrac{(x-1)^{2}}{1-(x-1)} \\
(1-x)(2+x) & = x^{2}-2x+1 \\
x^{2}-3x+2 & = x^{2}-2x+1 \\
-3x+2x+2-1 & = 0 \\
- x+1 & = 0 \\
x & = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) 1$
5. Soal SBMPTN 2013 Kode 228 |*Soal Lengkap
Diketahui deret geometri tak hingga $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$ Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $-1 \lt r \lt 1$, $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots=4$ dan $u_{2}+u_{4}=3$, maka nilai $r^{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan melihat batasan nilai $r$ yaitu $-1 \lt r \lt 1$, berarti deret ini adalah deret konvergen.
Deret $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots=4$ artinya jumlah suku-suku genap adalah $4$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty }(genap) &=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \\
4 &=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \\
4\left( 1-r^{2} \right) &= ar \\
4 -4r^{2} &= ar \\
\hline
u_{2}+u_{4} & = 3 \\
ar +ar^{3} & = 3 \\
\left( 4-4r^{2} \right)+\left( 4-4r^{2} \right)r^{2} & =3 \\
4-4r^{2} + 4r^{2}-4r^{4} & =3 \\
-4r^{4} & =3-4 \\
r^{4} & =\dfrac{-1}{-4}=\dfrac{ 1}{ 4} \\
r^{2} & =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \dfrac{1}{2}$
6. Soal SBMPTN 2013 Kode 223 |*Soal Lengkap
Diketahui deret geometri tak hingga $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$ Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $-1 \lt r \lt 1$, $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots=6$ dan $u_{3}+u_{4}+u_{5}+\cdots=2$, maka nilai $r$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan melihat batasan nialai $r$ yaitu $-1 \lt r \lt 1$, berarti deret ini adalah deret konvergen.
Deret $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots=6$ artinya jumlah suku-suku adalah $6$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a }{1-r } \\
6 &=\dfrac{a}{1-r} \\
6\left( 1-r \right) &= a \\
6 -6r &= a \\
\hline
u_{3}+u_{4}+ u_{5}+\cdots & = 2 \\
(u_{1}+u_{2})+u_{3}+u_{4}+ u_{5}+\cdots & = u_{1}+u_{2}+2 \\
6 & = a+ar+2 \\
4 & = a+ar \\
4 & = 6 -6r+(6 -6r)r \\
4 & = 6 -6r+ 6r -6r^{2} \\
4-6 & = -6r^{2} \\
r^{2} & = \dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3} \\
r & = \pm \sqrt{\dfrac{1}{3}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
7. Soal SBMPTN 2013 Kode 128 |*Soal Lengkap
Parabola $y=x^{2}-2x+m+2$ mempunyai titik puncak $(p,q)$. Jika $3p$ dan $q$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $9$, maka nilai $m$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$.
Dari parabola $y=x^{2}-2x+m+2$ dapat kita tentukan:
$\begin{align}
p &=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\
\hline
q & =-\dfrac{D}{4a} \\
& =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
& =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(m+2)}{4(1)} \\
& =-\dfrac{4-4m-8}{4} \\
& =-\dfrac{-4-4m}{4} \\
& = 1+m
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
$\begin{align}
(3)+( 1+m)+ \cdots &= 9 \\
\hline
\dfrac{a }{1-r } & = 9 \\
\dfrac{3}{1- \dfrac{1+m}{3}} & = 9 \\
3 & = 9 \times \left( 1- \dfrac{1+m}{3} \right) \\
3 & = 9 - 3-3m \\
3-6 & = -3m \\
-3 & = -3m \\
1 & = m
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$
8. Soal SBMPTN 2013 Kode 126 |*Soal Lengkap
Parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ mempunyai titik puncak $(p,q)$. Jika $2p$ dan $\dfrac{q}{4}$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $4$, maka nilai $m$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$.
Dari parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ dapat kita tentukan:
$\begin{align}
p &=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\
\hline
q & =-\dfrac{D}{4a} \\
& =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
& =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3m-1)}{4(1)} \\
& =-\dfrac{4-12m+4 }{4} \\
& =-\dfrac{8-12m }{4} \\
& = 3m-2
\end{align}$
Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu:
$\begin{align}
(2)+(\dfrac{3m-2}{4})+ \cdots &= 4 \\
\hline
\dfrac{a }{1-r } & = 4 \\
\dfrac{2}{1- \dfrac{3m-2}{8} } & = 4 \\
2 & = 4 \times \left( 1- \dfrac{3m-2}{8} \right) \\
2 & = 4 - \dfrac{3m-2}{2} \\
2-4 & = - \dfrac{3m-2}{2} \\
-4 & = - (3m-2) \\
4 & = 3m-2 \\
4+2 & = 3m \\
2 & = m
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) 2$
9. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 |*Soal Lengkap
Jika diketahui ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$, maka $ {}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini setidaknya ada beberapa sifat logaritma yang harus sudah kita pahami, sedangkan untuk deret tak hingga kita hanya perlu jumlah deret tak hingga konvergen.
Deret ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$ adalah deret geometri tak hingga yang konvergen dimana $U_{1}={}^a\!\log b$ dan $r={}^a\!\log b$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{1-{}^a\!\log b} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log a-{}^a\!\log b} \\
2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log \dfrac{a}{b} } \\
2 \cdot {}^a\!\log \dfrac{a}{b} &= {}^a\!\log b \\
{}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= {}^a\!\log b \\
\left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= b \\
a^{2} &= b \cdot b^{2} \\
a^{2} &= b^{3} \\
a^{\frac{2}{3}} &= b
\end{align}$
Nilai dari
$\begin{align}
{}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}} &= {}^a\!\log a^{\frac{2}{3}} + {}^b\!\log \sqrt[3]{b^{3}} \\
&= \dfrac{2}{3} \cdot {}^a\!\log a + {}^b\!\log b \\
&= \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{3}$
10. Soal UM UGM 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap
Jika $x-1,\ x-\dfrac{3}{2},\ x-\dfrac{7}{4}$ adalah tiga suku pertama deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret geometri $x-1,\ x-\dfrac{3}{2},\ x-\dfrac{7}{4}$ dapat kita ambil kesimpulan;
$\begin{align}
\left( x-\dfrac{3}{2} \right)^{2} &= \left( x-1 \right)\left( x-\dfrac{7}{4} \right) \\
x^{2}-3x+\dfrac{9}{4} &= x^{2}-\dfrac{11}{4}x+\dfrac{7}{4} \\
-3x+ \dfrac{11}{4}x &= \dfrac{7}{4}- \dfrac{9}{4} \\
-\dfrac{1}{4}x &= - \dfrac{2}{4} \\
x &= 2
\end{align}$
Barisan geometri yang kita peroleh $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \cdots $
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E) 2$
11. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal Lengkap
Diketahui deret geometri dengan $U_{n}= \left( {}^x\!\log 3 \right)^{n}$, $x \gt 0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syarat
Alternatif Pembahasan:
Suku-suku dari deret geometri adalah ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$
Agar deret mempunyai nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$.
Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinan
Kemungkinan pertama saat $x \gt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\
{}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\
x^{-1} \lt & 3 \lt x \\
\dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- untuk $\dfrac{1}{x} \lt 3$
nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 0$ atau $x \gt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(1)$ - untuk $3 \lt x$
nilai $x$ yang memenuhi $x \gt 3\ \, \, \cdots(2)$ - Irisan $(1)$ dan $(2)$ di atas adalah $x \gt 3$
Kemungkinan kedua saat $0 \lt x \lt 1$
$\begin{align}
-1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\ {}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\ x^{-1} \gt & 3 \gt x \\ x \lt & 3 \lt x^{-1} \\ x \lt & 3 \lt \dfrac{1}{x}
\end{align}$
Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
- untuk $x \lt 3$
nilai $x$ yang memenuhi $x \lt 3\ \, \, \cdots(3)$ - untuk $3 \lt \dfrac{1}{x}$
nilai $x$ yang memenuhi $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \, \, \cdots(4)$ - Irisan $(3)$ dan $(4)$ di atas adalah $ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}$
12. Soal SPMB 2006 Kode 420 |*Soal Lengkap
Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dengan $0 \lt r \lt 1$ adalah $S$. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi $1-r$, maka jumlahnya menjadi...
Alternatif Pembahasan:
Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ dengan $0 \lt r \lt 1$ adalah $S$.
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
S &= \dfrac{a}{1-r} \\
S \cdot ( 1-r ) &= a
\end{align}$
Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ dan rasio $1-r$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{S \cdot ( 1-r )}{1-(1-r)} \\
&= \dfrac{S \cdot ( 1-r )}{1- 1+r } \\
&= S \dfrac{ ( 1-r )}{r } \\
&= S \cdot \left( \dfrac{ 1 }{r }- \dfrac{r}{r} \right) \\
&= S \cdot \left( \dfrac{ 1 }{r }- 1 \right)
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E) S \left(\dfrac{1}{r}-1 \right)$
13. Soal UM UGM 2005 Kode 812 |*Soal Lengkap
$\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $A$,
$B_{1}$ pada $BC$ sehingga $AB_{1}\perp BC$,
$A_{1}$ pada $AC$ sehingga $B_{1}A_{1} \perp AC$,
$B_{2}$ pada $BC$ sehingga $A_{1}B_{2} \perp BC$,
$A_{2}$ pada $AC$ sehingga $B_{2}A_{2} \perp AC$,
dan setrusnya. Jika $AB=6$ dan $BC=10$, maka jumlah luas $\bigtriangleup ABC$, $\bigtriangleup B_{1}AC$, $\bigtriangleup A_{1}B_{1}C$, $\bigtriangleup B_{2}A_{1}C$, $\bigtriangleup A_{2}B_{2}C$ dan seterusnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan $AB=6$ dan $BC=10$, menggunakan teorema pythagoras kita dapat menghitung $AC=8$.
$\begin{align}
[ABC] &= [ABC] \\
\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC &= \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AB_{1} \\
\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot AB_{1} \\
24 &= 5 \cdot AB_{1} \\
\dfrac{24}{5} &= AB_{1}
\end{align}$
Dengan menggunakan teorema pythagoras kita juga dapat menghitung $BB_{1}=\dfrac{18}{5}$ dan $ B_{1}C=\dfrac{32}{5}$.
$\begin{align}
[B_{1}AC] &= \dfrac{1}{2} \cdot B_{1}C \cdot AB_{1} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{32}{5} \cdot \dfrac{24}{5} \\
&= 24 \cdot \dfrac{16}{25}
\end{align}$
Dengan cara yang sama seperti di atas dapat kita hitung $[A_{1}B_{1}C]=24 \cdot \dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{16}{25}$.
Hal yang sama juga untuk $[A_{1}B_{1}C]$, $[B_{2}A_{1}C]$ dan seterusnya.
Sehingga deret yang kita peroleh adalah:
$\begin{align}
& [ABC]+[B_{1}AC]+[A_{1}B_{1}C]+\cdots \\
&= 24+24 \cdot \dfrac{16}{25}+24 \cdot \dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{16}{25}+\cdots \\
&= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{24}{1-\dfrac{16}{25}} \\
&= \dfrac{24}{\dfrac{9}{25}} \\
&= 24 \cdot \dfrac{25}{9} = \dfrac{600}{9}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{600}{9}$
14. Soal SPMB 2005 Kode 270 |*Soal Lengkap
Jika suku ke-$n$ suatu deret adalah $u_{n}=2^{2x-n}$, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Karena $u_{n}=2^{2x-n}$ maka deret geometrinya adalah
$2^{2x-1},\ 2^{2x-2},\ 2^{2x-3},\ 2^{2x-4},\ \cdots$
Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=2^{2x-1}$ dan rasio $r=\dfrac{1}{2}$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{2^{2x-1}}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{2^{2x-1}}{\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{2^{2x-1}}{2^{-1}} \\
&= 2^{2x-1} \cdot 2^{1} \\
&= 2^{2x }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2^{2x}$
15. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap
Jika $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$, maka jumlah deret tak hingga $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{pq}+\dfrac{1}{pq^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{pq^{n}}+\cdots$ adalah..
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} &= 1 \\
\dfrac{p+q}{pq} &= 1 \\
p+q &= pq \\
q &= pq-p \\
q &= p(q-1) \\
\dfrac{q}{(q-1)} &= p
\end{align}$
Dari deret tak hingga $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{pq}+\dfrac{1}{pq^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{pq^{n}}+\cdots$ kita peroleh $a=\dfrac{1}{p}$ dan rasio $r=\dfrac{1}{q}$;
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{p}}{1-\dfrac{1}{q}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{p}}{ \dfrac{q-1}{q}} \\
&= \dfrac{1}{p} \cdot \dfrac{q}{q-1} \\
&= \dfrac{1}{p} \cdot p =1 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$
16. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap
Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a$ mempunyai jumlah $2$, maka $a$ mempunyai...
Alternatif Pembahasan:
Deret geometri tak hingga dengan jumlah $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
2 &= \dfrac{a}{1-r} \\
2(1-r) &= a \\
2-2r &= a \\
2r &= 2-a \\
r &= \dfrac{2-a}{2}
\end{align}$
Syarat deret geometri tak hingga mempunyai jumlah $2$ adalah batasan $-1 \lt r \lt 1$.
$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\
-1 \lt & \dfrac{2-a}{2} \lt 1 \\
-2 \lt & 2-a \lt 2 \\
-2 \lt & a-2 \lt 2 \\
-2+2 \lt & a-2+2 \lt 2+2 \\
0 \lt & a \lt 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) 0 \lt a \lt 4$
17. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal Lengkap
Seorang anak melompat di atas trampolin. Dalam sekali ayun, pantulan pertama setinggi $150$ cm. Tinggi pantulan berikutnya hanya $\dfrac{1}{4}$ tinggi sebelumnya. Panjang lintasan seluruhnya hingga berhenti adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung panjang lintasan lompatan anak sampai berhenti dapat digunakan konsep deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=150$ dan rasio $r=\dfrac{1}{4}$. Catatan calon guru tentang deret geometri tak hingga yang mungkin kita butuhkan yaitu jumlah deret geometri tak hingga $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$.
Jika kita tuliskan keseluruhan lintasan yang di tempuh anak naik dan turun adalah:
$\begin{align}
& 150+150+\dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\dfrac{75}{8}+\cdots \\
&=2 \left( 150+ \dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\cdots \right) \\
&=2 \left( 150+ \dfrac{75}{2}+\dfrac{75}{8}+\cdots \right) \\
\hline
S_{\infty} &=\dfrac{a}{1-r} \\
\hline
&=2 \left( \dfrac{150}{1-\dfrac{1}{4}} \right) \\
&=2 \left( \dfrac{150}{\dfrac{3}{4}} \right) \\
&=2 \left( 150 \times \dfrac{4}{3} \right) \\
&=2 \left( 200 \right) \\
&= 400
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 400\ cm$
18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Seseorang berjalan dengan kecepatan $60\ km/jam$ selama satu jam pertama, Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperempatnya demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah...km.
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung jarak terjauh yang dapat ditempuh dapat digunakan konsep deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=60$ dan rasio $r=\dfrac{1}{4}$. Catatan calon guru tentang deret geometri tak hingga yang mungkin kita butuhkan yaitu jumlah deret geometri tak hingga $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$.
Jika kita tuliskan lintasan yang di tempuh dari jam pertama, jam kedua dan seterusnya adalah:
$\begin{align}
& 60+\dfrac{60}{4}+\dfrac{60}{16}+\dfrac{60}{64}+\cdots \\
\hline
S_{\infty} &=\dfrac{a}{1-r} \\
\hline
&= \dfrac{60}{1-\dfrac{1}{4}} \\
&= \dfrac{60}{\dfrac{3}{4}} \\
&= 60 \times \dfrac{4}{3} \\
&= 80
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) 80$
19. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
Jumlah tak hingga dari deret $4+3+\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{16}+\dfrac{81}{64}+\cdots$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $4+3+\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{16}+\dfrac{81}{64}+\cdots$ tita peroleh $a=4$ dan $r=\dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}=\dfrac{3}{4}$.
Jumlah deret geomtri tak hingga adalah;
$\begin{align}
S_{\infty } =\ & \dfrac{a}{1-r} \\
=\ & \dfrac{4}{1-\frac{3}{4}} \\
=\ & \dfrac{4}{ \frac{1}{4}} =\ 16
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) 16$
20. Soal Matematika IPA SIMAK UI 2019 Kode 314 |*Soal Lengkap
Diberikan deret geometri $1-(a+3)+(a+3)^{2}-(a+3)^{3}+\cdots=2a+9$ dengan $-4 \lt a \lt -2$. Jika $a,-7,b$ membentuk barisan geometri baru, nilai $2a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Sebelum kita menentukan nilai $a$ dan $b$, kita coba menguji nilai $r$ apakah deret tersebut dapat kita terapkan aturan pada deret geometri takhinga.
$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\
-1 \lt & -(a+3) \lt 1 \\
-1 \lt & a+3 \lt 1 \\
-1-3 \lt & a \lt 1-3 \\
-4 \lt & a \lt -2 \\
\end{align}$
Batasan nilai $a$ yang harus dipenuhi agar deret tersebut konvergen sesuai dengan syarat nilai $a$ pada soal yaitu $-4 \lt a \lt -2$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
2a+9 &= \dfrac{1}{-(a+3)} \\
-(2a+9)(a+3) &= 1 \\
-2a^{2}-6a-9a-27-1 &= 0 \\
2a^{2}+15a+28 &= 0 \\
(2a+7)(a+4) &= 0 \\
a &= -4\ (TM) \\
a &= -\dfrac{7}{2}
\end{align}$
Barisan $a,-7,b$ adalah barisan geometri sehingga $-\dfrac{7}{2},-7,b$ sehingga menjadi $b=-14$. Nilai $2a+b=2 \left( -\dfrac{7}{2} \right) -14=-21$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E) -21$
21. Soal Latihan Matematika SMA |*Soal Lengkap
Misalkan $1+\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{2}}+\dfrac{1}{p^{3}}+\cdots=2021$ dan $\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{q^{2}}+\dfrac{1}{q^{3}}+\cdots=2019$. Nilai dari $\dfrac{q}{p}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $1+\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{2}}+\dfrac{1}{p^{3}}+\cdots=2021$, kita peroleh $a=1$ dan $r=\dfrac{1}{p}$ sehingga dapat kita tuliskan,
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
2021 &= \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p}} \\
2021 &= \dfrac{1}{ \dfrac{p-1}{p}} \\
2021 &= \dfrac{p}{ p-1} \\
2021p-2021 &= p \\
2020p &= 2021 \\
p &= \dfrac{2021}{2020}
\end{align}$
Dari deret $\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{q^{2}}+\dfrac{1}{q^{3}}+\cdots=2019$, kita peroleh $a=\dfrac{1}{q}$ dan $r=\dfrac{1}{q}$ sehingga dapat kita tuliskan,
$\begin{align}
S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\
2019 &= \dfrac{\dfrac{1}{q}}{1-\dfrac{1}{q}} \\
2019 &= \dfrac{\dfrac{1}{q}}{ \dfrac{q-1}{q}} \\
2019 &= \dfrac{1}{ q-1} \\
2019q-2019 &= 1 \\
2019q &= 2020 \\
q &= \dfrac{2020}{2019}
\end{align}$
Dari nilai $p$ dan $q$ di atas maka kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{q}{p} & = \dfrac{\frac{2020}{2019}}{\frac{2021}{2020} } \\
& = \dfrac{2020 \times 2020}{2021 \times 2019} \\
& = \dfrac{2020 \times 2020}{ \left(2020+1 \right) \times \left(2020-1\right)} \\
& = \dfrac{2020^{2}}{ 2020^{2}-1}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \dfrac{2020^{2}}{2020^{2}-1}$
22. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Diberikan bilangan real $r$, dengan $0 \lt r \lt 1$. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$ dan rasio $\dfrac{1}{1+r}$ adalah $8$, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $8$ dan rasio $r$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$, rasio $\dfrac{1}{1+r}$ dan jumlahnya $8$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
8 &= \dfrac{2}{1-\frac{1}{1+r}} \\
8 &= \dfrac{2}{\frac{r}{1+r}} \\
8 &= \dfrac{2+2r}{r} \\
8r &= 2+2r \\
6r &= 2 \longrightarrow r=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{8}{1-\frac{1}{3}} \\
&= \dfrac{8}{\frac{2}{3}} \\
&= \dfrac{24}{2}=12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 12$
Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
