The good student, kita bersama Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Deret Bilangan Geometri Tak Hingga. Sebagai contoh soal latihan untuk bahan diskusi, kita pilih dari soal pada Modul Deret Geometri Tak Hingga SMA Kurikulum 2013.
Catatan ini untuk melengkapi catatan belajar kita sebelumnya terkait barisan dan deret yaitu:
- Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri Lihat Catatan Lengkap,
- Matematika Dasar SMA: Soal Latihan dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika Lihat Catatan Lengkap.
Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga dapat dituliskan dalam beberapa bentuk antara lain:
- Deret geometri tak hingga dengan nilai rasio $r \gt 1$, misalnya:
- $2+4+8+16+32+\cdots$, $r=2$.
- $2+6+18+54+162+\cdots$, $r=3$.
- Deret geometri tak hingga dengan nilai rasio $r \lt -1$, misalnya:
- $2-4+8-16+32-\cdots$, $r=-2$.
- $-2+6-18+54-162+\cdots$, $r=-3$.
- Deret geometri tak hingga dengan nilai rasio $-1 \lt r \lt 1$, misalnya:
- $10+5+\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{8}+\cdots$, $r=\dfrac{1}{2}$.
- $18-6+2-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{9}-\cdots$, $r=-\dfrac{1}{3}$.
Jumlah Deret Geometri Tak Hingga Divergen
Jumlah deret geometri tak hingga ditulis dengan $S_{\infty}$.
Untuk deret geometri tak hingga dengan rasio $r \lt -1$ atau $r \gt 1$ disebut dengan deret geometri tak hingga divergen.
Jumlah deret geometri tak hingga dinvergen adalah $S_{\infty}=-\infty$ atau $S_{\infty}=\infty$ tergantung dari nilai $a$ dan $r$.
Kita lihat beberapa contohnya:
- Jumlah deret geometri tak hingga dinvergen $a = 3$ dan $r=2$,
$\begin{align} S_{\infty} & = 3+6+12+24+48+96+ \cdots \\ & = 3 \left( 1+2+4+8+\cdots \right) \\ & = 3 \left( \infty \right) = \infty \end{align}$ - Jumlah deret geometri tak hingga divergen $a = 3$ dan $r=-2$,
$\begin{align} S_{\infty} & = 3-6+12-24+48-96+\cdots \\ & = -3-12-48-\cdots \\ & = -3 \left( 1+4+16+\cdots \right) \\ & = -3 \left( \infty \right) = -\infty \end{align}$ - Jumlah deret geometri tak hingga divergen $a = -3$ dan $r=2$,
$\begin{align} S_{\infty} & = -3-6-12-24-48-96- \cdots \\ & = -3 \left( 1+2+4+8+\cdots \right) \\ & = -3 \left( \infty \right) = -\infty \end{align}$ - Jumlah deret geometri tak hingga divergen $a = -3$ dan $r= -2$,
$\begin{align} S_{\infty} & = -3+6-12+24-48+96-\cdots \\ & = 3+12+48+\cdots \\ & = 3 \left( 1+4+16+\cdots \right) \\ & = 3 \left( \infty \right) = \infty \end{align}$
Jumlah Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Untuk deret geometri tak hingga dengan nilai rasio $-1 \lt r \lt 1$ atau $\left| r \right| \lt 1$ disebut dengan deret geometri tak hingga konvergen.
Jumlah deret tak hingga konvergen adalah $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$.
Pembuktian Rumus Jumlah Deret Tak Hingga Konvergen
Pembuktian rumus jumlah deret tak hingga donvergen dengan menggunakan gambar, bisa dengan memperhatikan gambar berikut ini. Mudah-mudahan dapat di pahami.
Alternatif lain untuk pembuktian jumlah deret tak hingga konvergen dapat juga kita gunakan limit menuju tak hingga.
$\begin{align}
S_{n}\ &= \dfrac{ a \left( 1- r^{n} \right)}{ 1- r} \\
\lim\limits_{n \to \infty} S_{n} &= \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{ a \left( 1- r^{n} \right)}{ 1- r} \\
S_{\infty} &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{ a }{ 1- r} \right) \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1- r^{n} \right) \\
S_{\infty} &= \left( \dfrac{ a }{ 1- r} \right) \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1- r^{n} \right) \\
\hline
& r = \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\ \text{dimana}\ u_{2} \lt u_{1} \\
& \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{u_{2}}{u_{1}} \right)^{n} = 0 \\
\hline
S_{\infty} &= \left( \dfrac{ a }{ 1- r} \right) \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1- \left( \frac{u_{2}}{u_{1}} \right)^{n} \right) \\
&= \left( \dfrac{ a }{ 1- r} \right) \cdot \left( \lim\limits_{n \to \infty} 1- \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{u_{2}}{u_{1}} \right)^{n} \right) \\
&= \left( \dfrac{ a }{ 1- r} \right) \cdot \left( 1- 0 \right) \\
S_{\infty} &= \dfrac{ a }{ 1- r}\ \\
& \therefore\ \text{terbukti}
\end{align}$
Dari rumus jumlah deret geometri tak hingga $S_{\infty} = \dfrac{ a }{ 1- r}$, dapat kita kembangkan beberapa rumus pada deret geometri tak hingga yaitu:
- Jumlah deret geometri tak hingga untuk suku-suku ganjil,
$S_{\infty} = \dfrac{ a }{ 1- r^{2}}$. - Jumlah deret geometri tak hingga untuk suku-suku genap,
$S_{\infty} = \dfrac{ ar }{ 1- r^{2}}$. - Rasio deret geometri tak hingga,
$r = \dfrac{ S_{genap} }{ S_{ganjil}}$.
Untuk menambah pemahaman kita terkait Deret Geometri Tak Hingga ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Deret geometri tak hingga Matematika SMA Kurikulum 2013.
Soal dan pembahasan deret geometri tak hingga yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri lainnya silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga.
1. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Jumlah tak hingga dari deret geometri $54 + 18 + 6 + 2 + \dfrac{2}{3} + \cdots$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 81 \\ (B)\ & 64 \\ (C)\ & 48 \\ (D)\ & 32 \\ (E)\ & 24 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $54 + 18 + 6 + 2 + \dfrac{2}{3} + \cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\
& = \dfrac{18}{54} = \dfrac{1}{3} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
S_{\infty} &= \dfrac{54}{1-\frac{1}{3}} = \dfrac{54}{\frac{2}{3}} \\
&= 81
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 81$
2. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Jumlah tak hingga dari deret geometri $9 – 3 + 1 – \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} – \cdots$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{39}{4} \\ (B)\ & \dfrac{27}{4} \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & \dfrac{25}{4} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $9 – 3 + 1 – \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} – \cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\
& = \dfrac{-3}{9} = -\dfrac{1}{3} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
S_{\infty} &= \dfrac{9}{1+\frac{1}{3}} = \dfrac{9}{\frac{4}{3}} \\
&= \dfrac{27}{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{27}{4}$
3. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Suatu deret geometri tak hingga diketahui jumlahnya $81$. Jika rasionya $\dfrac{2}{3}$ maka suku ketiganya adalah...
$\begin{align} (A)\ & 32 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 18 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 12 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari $S_{\infty}=81$ dan $r=\dfrac{2}{3}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
81 &= \dfrac{a}{1-\frac{2}{3}} \\
81 &= \dfrac{a}{\frac{1}{3}} \\
81 \cdot \frac{1}{3} &= a \longrightarrow a= 27 \\
\hline
U_{n} &= ar^{n-1} \\
U_{3} &= \left( 27 \right) \left( \dfrac{2}{3} \right)^{3-1} \\
&= \left( 27 \right) \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2} \\
&= \left( 27 \right) \left( \dfrac{4}{9} \right) = 12
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 12$
4. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Jika $2 + \dfrac{2}{p}+ \dfrac{2}{p^{2}}+\dfrac{2}{p^{3}}+\cdots=2p$, maka nilai $p$ sama dengan...
$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $2 + \dfrac{2}{p}+ \dfrac{2}{p^{2}}+\dfrac{2}{p^{3}}+\cdots=2p$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\
& = \dfrac{\frac{2}{p}}{2} = \dfrac{1}{p} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
2p &= \dfrac{2}{1-\frac{1}{p}} \\
2p &= \dfrac{2}{ \frac{p-1}{p}} \\
2p \cdot \left( \dfrac{p-1}{p} \right) &= 2 \\
2p- 2 &= 2 \longrightarrow p= 2
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
5. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Suatu deret geometri tak hingga diketahui jumlahnya $9$. Jika suku pertamanya $6$ maka suku ke lima adalah...
$\begin{align} (A)\ & 486 \\ (B)\ & \dfrac{2}{9} \\ (C)\ & \dfrac{2}{27} \\ (D)\ & \dfrac{2}{81} \\ (E)\ & \dfrac{2}{243} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari $S_{\infty}=9$ dan $a=6$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
9 &= \dfrac{6}{1-r} \\
9 \left(1-r \right) &= 6 \\
9-9r &= 6 \longrightarrow r= \dfrac{1}{3} \\
\hline
U_{n} &= ar^{n-1} \\
U_{5} &= \left( 6 \right) \left( \dfrac{1}{3} \right)^{5-1} \\
&= \left( 6 \right) \left( \dfrac{1}{3} \right)^{4} \\
&= \left( 6 \right) \left( \dfrac{1}{81} \right) = \dfrac{2}{27}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{2}{27}$
6. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Jumlah deret $4\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \cdots$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 6\sqrt{2}+6 \\ (B)\ & 4\sqrt{2} -2 \\ (C)\ & 4\sqrt{2}+4 \\ (D)\ & 8\sqrt{2}+8 \\ (E)\ & 8\sqrt{2}-8 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $4\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\
& = \dfrac{4}{4\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
S_{\infty} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{4\sqrt{2}}{\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} } = \dfrac{4\sqrt{2}}{ \frac{2-\sqrt{2}}{2} } \\
&= \dfrac{8\sqrt{2}}{ 2-\sqrt{2} } \times \dfrac{ 2+\sqrt{2}}{ 2 + \sqrt{2} } \\
&= \dfrac{ 16\sqrt{2}+16 }{ 4-2 } = 8\sqrt{2}+8
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8\sqrt{2}+8$
7. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{16} + \cdots = \cdots$
$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & \dfrac{5}{2} \\ (E)\ & \dfrac{7}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{16} + \cdots$ dapat kita peroleh dua deret, yaitu:
Deret yang pertama,
$\begin{align}
& \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \cdots \\
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\
& = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
S_{\infty} &= \dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\
&= \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1
\end{align}$
Deret yang kedua,
$\begin{align}
& \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \cdots \\
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\
& = \dfrac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{3} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
S_{\infty} &= \dfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\
&= \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{17} + \cdots$ adalah $1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{2}$
8. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Suatu deret geometri tak hingga diketahui jumlah suku-suku ganjilnya $\dfrac{256}{3}$ dan suku-suku genapnya $\dfrac{128}{3}$. Suku ke lima itu adalah...
$\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari jumlah suku-suku ganjil $\dfrac{256}{3}$ dan suku-suku genap $\dfrac{128}{3}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r &= \dfrac{ S_{genap}}{S_{ganjil}} = \dfrac{\frac{128}{3}}{\frac{256}{3}} \\
&= \dfrac{128}{256} = \dfrac{1}{2} \\
\hline
S_{ganjil} &= \dfrac{ a }{ 1- r^{2}} \\
\dfrac{256}{3}\ &= \dfrac{ a }{ 1- \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} \\
\dfrac{256}{3}\ &= \dfrac{ a }{ 1- \frac{1}{4} } \\
\dfrac{256}{3}\ &= \dfrac{ a }{ \frac{3}{4} } \\
\dfrac{256}{3} \cdot \dfrac{3}{4} &= a \longrightarrow a = 64 \\
\hline
U_{n} &= ar^{n-1} \\
U_{5} &= ar^{5-1} \\
&= \left( 64 \right)\left( \frac{1}{2} \right)^{4} = \left( 64 \right)\left( \frac{1}{16} \right) \\
&= 4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
9. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Suatu deret geometri diketahui suku kedua adalah $12$ dan suku kelima adalah $\dfrac{3}{2}$, maka jumlah sampai tak hingga suku-sukunya adalah...
$\begin{align} (A)\ & 20 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 36 \\ (D)\ & 48 \\ (E)\ & 64 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari suku kedua, $ar=12$ dan suku kelima, $ar^{4}=\dfrac{3}{2}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
ar^{4} &= \dfrac{3}{2} \\
ar \cdot r^{3} &= \dfrac{3}{2} \\
12 \cdot r^{3} &= \dfrac{3}{2} \\
r^{3} &= \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{12} \\
r^{3} &= \dfrac{1}{8} \longrightarrow r= \dfrac{1}{2} \\
ar &= 12 \longrightarrow a= 24 \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
S_{\infty} &= \dfrac{24}{1-\frac{1}{2}} \\
&= \dfrac{24}{\frac{1}{2}} = 48
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 48$
10. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Jumlah deret geometri tak hingga adalah $\dfrac{3}{4}$, sedangkan jumlah suku-suku nomor genapnya adalah $\dfrac{3}{16}$. Rasio deret geometri itu adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{9} \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari jumlah deret geometri tak hingga $S_{\infty}=\dfrac{3}{4}$ dan jumlah suku-suku nomor genap $S_{genap}=\dfrac{3}{16}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty} &= S_{genap}+S_{ganjil} \\
\dfrac{3}{4} &= \dfrac{3}{16}+S_{ganjil} \\
\dfrac{12}{16}-\dfrac{3}{16} &= S_{ganjil} \\
\dfrac{9}{16} &= S_{ganjil} \\
r &= \dfrac{ S_{genap}}{S_{ganjil}} = \dfrac{\frac{3}{16}}{\frac{9}{16}} \\
&= \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}$
11. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Jika diketahui $2^{x} + 2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} + \cdots = 4^{x} + 4^{x-1} + 4^{x-1}+ \cdots$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align} (A)\ & {}^2\!\log \frac{1}{3} \\ (B)\ & {}^2\!\log \frac{3}{2} \\ (C)\ & {}^3\!\log \frac{1}{2} \\ (D)\ & {}^2\!\log 3 \\ (E)\ & {}^3\!\log 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari deret geometri tak hingga di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2^{x} + 2^{x-1} + 2^{x-2} + \cdots &= 4^{x} + 4^{x-1} + 4^{x-1}+ \cdots \\
\hline
a=2^{x}\ \text{dan}\ r= \frac{1}{2}\ & \vee a=4^{x}\ \text{dan}\ r= \frac{1}{4} \\
\hline
\dfrac{a}{1-r} &= \dfrac{a}{1-r} \\
\dfrac{2^{x}}{1-\frac{1}{2}} &= \dfrac{4^{x}}{1-\frac{1}{4}} \\
\dfrac{2^{x}}{\frac{1}{2}} &= \dfrac{2^{2x}}{\frac{3}{4}} \\
2^{x} \cdot \frac{3}{4} &= 2^{x} \cdot 2^{x} \cdot \frac{1}{2} \\
\frac{3}{2} &= 2^{x} \\
{}^2\!\log \frac{3}{2}\ &= x
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ {}^2\!\log \frac{3}{2}$
12. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Suatu deret geometri turun mempunyai jumlah tak hingga $24$. Jika jumlah suku-suku bernomor ganjil adalah $18$ maka suku kedua adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{16}{3} \\ (B)\ & \dfrac{20}{3} \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari $S_{\infty}=24$ dan $S_{ganjil}=18$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty} &= S_{genap}+S_{ganjil} \\
24 &= S_{genap}+18 \longrightarrow S_{genap}=6 \\
\hline
r &= \dfrac{ S_{genap}}{S_{ganjil}} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
24 &= \dfrac{a}{1-\frac{1}{3}} \\
24 &= \dfrac{a}{ \frac{2}{3}} \\
24 \cdot \frac{2}{3} &= a \longrightarrow a=16 \\
U_{2} &= ar \\
&= 16 \cdot \dfrac{1}{3} =\dfrac{16}{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{16}{3}$
13. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah $8$ dan jumlah semua suku yang bernomor genap adalah $\dfrac{8}{3}$. Suku ke-$5$ deret tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari $S_{\infty}=8$ dan $S_{genap}=\dfrac{8}{3}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty} &= S_{genap}+S_{ganjil} \\
8 &= \dfrac{8}{3}+ S_{ganjil} \longrightarrow S_{ganjil}=\dfrac{16}{3} \\
\hline
r &= \dfrac{ S_{genap}}{S_{ganjil}} = \dfrac{\frac{8}{3}}{\frac{16}{3}} = \dfrac{1}{2} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
8 &= \dfrac{a}{1-\frac{1}{2}} \\
8 &= \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} \longrightarrow a=4 \\
U_{5} &= ar^{4} \\
&= 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{4} = \dfrac{4}{16}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{4}$
14. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Jika $r$ rasio suatu deret geometri tak hingga yang konvergen dan $C$ jumlah deret geometri tak hingga $\dfrac{1}{r+3}+\dfrac{1}{\left(r+3\right)^{2}}+\dfrac{1}{\left(r+3\right)^{3}}+\cdots$, maka...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \lt C \lt \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{3}{4} \lt C \lt \dfrac{4}{3} \\ (C)\ & \dfrac{3}{8} \lt C \lt \dfrac{3}{4} \\ (D)\ & \dfrac{1}{5} \lt C \lt \dfrac{4}{5} \\ (E)\ & \dfrac{1}{3} \lt C \lt 1 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $\dfrac{1}{r+3}+\dfrac{1}{\left(r+3\right)^{2}}+\dfrac{1}{\left(r+3\right)^{3}}+\cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\
& = \dfrac{\frac{1}{\left(r+3\right)^{2}}}{\frac{1}{r+3}} = \dfrac{1}{r+3}\\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
C &= \dfrac{\dfrac{1}{r+3}}{1-\dfrac{1}{r+3}} \\
C &= \dfrac{\dfrac{1}{r+3}}{\dfrac{r+2}{r+3}} \\
C &= \dfrac{1}{r+2} \\
rC+2C &= 1\\
rC &= 1-2C \\
r &= \dfrac{1-2C}{C}
\end{align}$
Karena $r$ rasio suatu deret geometri tak hingga yang konvergen sehingga berlaku:
$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\
-1 \lt & \dfrac{1-2C}{C} \lt 1 \\
-C \lt & 1-2C \lt C \\
-C+2C \lt & 1 \lt C+2C \\
C \lt & 1 \lt 3C
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh $C \lt 1$ dan $\dfrac{1}{C} \lt 3 \rightarrow \dfrac{1}{3} \lt C$ sehingga yang memenuhi adalah $\dfrac{1}{3} \lt C \lt 1$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{3} \lt C \lt 1$
15. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus. Benda itu mula – mula bergerak ke kanan sejauh $S$, kemudian bergerak ke kiri sejauh $\dfrac{1}{2}S$, kemudian ke kanan lagi sejauh $\dfrac{1}{4}S$, demikian seterusnya. Panjang lintasan yang ditempuh benda tersebut sampai berhenti adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3S \\ (B)\ & 1\dfrac{1}{2} S \\ (C)\ & 2\dfrac{1}{2} S \\ (D)\ & 1\dfrac{1}{3} S \\ (E)\ & 2S \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal dapat kita tuliskan panjang lintasan adalah:
$\begin{align}
S_{\infty} &= S+\dfrac{1}{2}S+\dfrac{1}{4}S+\cdots \\
r & = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{\frac{1}{2}S}{S}=\dfrac{1}{2} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{S}{1-\dfrac{1}{2}} \\
&= \dfrac{S}{\dfrac{1}{2}} = 2S
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2S$
16. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Suku ke-$n$ suatu deret geometri adalah $4^{-n}$, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{1}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk suku ke-$n$ suatu deret geometri adalah $4^{-n}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
&U_{1}=4^{-1}=\frac{1}{4},\ U_{2}=4^{-2}=\frac{1}{16},\ U_{3}=4^{-3}=\frac{1}{64}, \cdots \\
r & = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{4}}=\dfrac{1}{4} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} \\
&= \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{3}$
17. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Jumlah suku deret geometri tak hingga adalah $1$. Jika suku pertama deretnya adalah $2x + 1$, maka semua nilai $x$ harus memenuhi pertaksamaan...
$\begin{align} (A)\ & x \lt \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \lt x \lt 1 \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 0 \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{1}{2} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk $S_{\infty}=1$ dan $a=2x+1$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
1 &= \dfrac{2x+1}{1-r} \\
1-r &= 2x+1 \\
2x &= r
\end{align}$
Karena deret tak hingga mempunyai jumlah maka deret tak hingga adalah konvergen, sehingga berlaku:
$\begin{align}
-1 \lt & r \lt 1 \\
-1 \lt & 2x \lt 1 \\
-\dfrac{1}{2} \lt & x \lt \dfrac{1}{2} \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{1}{2}$
18. Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Pada suatu deret geometri diketahui $S_{2}=16$ dan $S_{3}=24$. Jika rasio negatif maka jumlah tak hingga deret itu adalah...
$\begin{align} (A)\ & 18 \\ (B)\ & 18\dfrac{2}{3} \\ (C)\ & 21 \\ (D)\ & 21\dfrac{1}{3} \\ (E)\ & 24\frac{1}{3} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari $S_{2}=16$ dan $S_{3}=24$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{2} &= 16 \\
U_{1}+U_{2} &= 16 \\
a+ar &= 16 \\
S_{3} &= 24 \\
U_{1}+U_{2}+U_{3} &= 24 \\
a+ar+ar^{2} &= 24 \\
16+ar^{2} &= 24 \\
ar^{2} &= 8\ \longrightarrow\ a = \dfrac{8}{r^{2}} \\
\hline
a+ar &= 16 \\
\dfrac{8}{r^{2}}+\dfrac{8}{r^{2}} \cdot r &= 16 \\
8+8r &= 16r^{2} \\
16r^{2}-8r-8 &= 0 \\
2r^{2}- r- 1 &= 0 \\
\left( 2r+1 \right)\left(r-1 \right) &= 0 \\
r=-\frac{1}{2}\ \text{atau}\ r=1 & \\
r=-\frac{1}{2}\ \longrightarrow & a = \dfrac{8}{r^{2}}= \dfrac{8}{\frac{1}{4}}=32 \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{32}{1-\left(-\frac{1}{2} \right)} \\
&= \dfrac{32}{ \frac{3}{2} } = \dfrac{64}{3} \\
&= 21\dfrac{1}{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 21\dfrac{1}{3}$
Beberapa pembahasan Soal Matematika Dasar Deret Geometri Tak Hingga di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Belajar Deret Geometri Tak Hingga Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Matematika adalah kemampuan menangkap pola dari sesuatu yang semula tidak terpola. Itulah kemampuan matematika yang harus ditanamkan.