The good student, bersama calon guru kita belajar matematika SMA dari Barisan dan Deret Bilangan Geometri. Sebagai contoh soal latihan untuk bahan diskusi, kita pilih dari soal pada Modul Barisan dan Deret Geometri Matematika SMA dan soal-soal yang di tanyakan pada grup belajar pada media sosial.
Sebelum melanjutkan pembelajaran ini, kita berharap the good student sudah bisa memakai sifat-sifat eksponen atau sifat-sifat bentuk akar, karena nanti sifat-sifat itu akan banyak digunakan pada barisan atau deret geometri.
Definisi Barisan Geometri
Barisan adalah kumpulan objek-obejek yang disusun menurut pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai objek ke-$n$ dinamakan suku ke-$n$ atau $U_{n}$.
Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk pembagian dari objek-objek tersebut sampai $n$ suku dinamakan deret bilangan.
Barisan geometri adalah suatu barisan angka-angka dimana $\dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{U_{3}}{U_{2}} = \cdots = \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}$ disebut dengan rasio (merupakan angka yang sama).
Contoh barisan geometri
- $3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 \cdots$
adalah barisan geometri dengan rasio $2$ - $ 5, 15, 45, 135, \cdots ,3$
adalah barisan geometri dengan rasio $3$ - $99 + 33 + 11 + \frac{11}{3} + \frac{11}{9} + \cdots $
adalah barisan geometri dengan rasio $\frac{1}{3}$ - $2 - 6 + 18 - 54 + 162 - 486 + \cdots $
adalah barisan geometri dengan rasio $-3$
Rumus Suku ke-$n$ Barisan Geometri
Untuk barisan geometri $u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \cdots, u_{n}$,
dimana $u_{1}$ adalah suku pertama dan $u_{2}$ suku kedua dan seterusnya sampai dengan $u_{n}$ adalah suku ke-$n$.
Dari definisi barisan geometri dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{U_{3}}{U_{2}} \\
&= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}
\end{align}$
Barisan geometri dapat kita tuliskan menjadi: $u_{1},\ u_{1} \cdot r,\ u_{1} \cdot r^{2},\ u_{1} \cdot r^{2},\ \cdots$
Untuk $u_{1}=a$ barisan geometri dapat kita tuliskkan menjadi: $a,\ a \cdot r^{1},\ a \cdot r^{2},\ a\cdot r^{3},\ \cdots$
Dari bentuk di atas, dapat kita temukan pola barisan geometri sebagai berikut:
$\begin{align}
u_{1}\ &= a \\
u_{2}\ &= a \cdot r^{1} \\
u_{3}\ &= a \cdot r^{2} \\
& \vdots \\
u_{10}\ &= a \cdot r^{9} \\
u_{11}\ &= a \cdot r^{10} \\
& \vdots \\
u_{n}\ &= a \cdot r^{n-1} \\
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh bentuk umum untuk suku suku ke-$n$ barisan geometri yaitu: $ u_{n}\ = a \cdot r^{n-1}$.
Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan barisan bilangan geometri.
Secara umum deret geometri dapat tuliskan:
$a+ar^{1}+a r^{2}+a r^{3}+ \cdots + ar^{n-1}$
Jumlah satu suku pertama adalah $S_{1}$
$\begin{align}
S_{1}\ &= u_{1} \\
&= a
\end{align}$
Jumlah dua suku pertama adalah $S_{2}$
$\begin{align}
S_{2}\ &= u_{1}+u_{2} \\
&= a+ar^{}
\end{align}$
Jumlah tiga suku pertama adalah $S_{3}$
$\begin{align}
S_{3}\ &= u_{1}+u_{2}+u_{3} \\
&= a+ar^{1}+ar^{2}
\end{align}$
Jumlah n suku pertama adalah $S_{n}$
$\begin{align}
S_{n}\ &= u_{1}+u_{2}+u_{3}+ \cdots +u_{n-2}+u_{n-1}+u_{n} \\
&= a+ar^{1}+ar^{2}+ \cdots +ar^{n-2}+ar^{n-1}
\end{align}$
Kita coba temukan rumus umum untuk $S_{n}$
$\begin{align}
S_{n}\ &= a+ar^{1}+ar^{2}+ \cdots +ar^{n-1}\\
S_{n}\ &= a+ar^{1}+ar^{2}+ \cdots +ar^{n-1}\ \cdot \dfrac{r-1}{r-1},\ \text{dengan}\ r \neq 1 \\
S_{n}\ &= \dfrac{\left( a+ar^{1}+ar^{2}+ \cdots +ar^{n-1} \right) \left( r-1 \right)}{\left(r-1 \right)} \\
S_{n}\ &= \dfrac{\left( ar+ar^{2}+ar^{3}+ \cdots +ar^{n} \right)-\left( a+ar^{1}+ar^{2}+ \cdots +ar^{n-1} \right)}{\left(r-1 \right)} \\
S_{n}\ &= \dfrac{ ar^{n} -a}{\left(r-1 \right)} \\
S_{n}\ &= \dfrac{ a \left( r^{n} - 1 \right)}{\left(r-1 \right)},\ \text{dengan}\ r \neq 1
\end{align}$
Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Jika suatu barisan aritmatika diketahui $n$ ganjil, maka suku tengah dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
$\begin{align}
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{t}\ &= ar^{\frac{n+1}{2}-1} \\
&= ar^{\frac{n-1}{2} } \\
&= \left( a^{2}r^{n-1} \right)^\frac{1}{2} \\
&= \sqrt{ a \cdot a r^{n-1} } \\
&= \sqrt{ a \cdot U_{n} }
\end{align}$
Sebagai tambahan, hasil pengembangan apa yang sudah kita peroleh di atas dapat juga diketahui bahwa:
- $U_{n} = S_{n} – S_{n–1}$
- $U_{p+q}= U_{p} \cdot r^{q}$
- $r^{p-q}=\dfrac{U_{p}}{U_{q}}$
- Jika ada $k$ bilangan yang disisipkan diantara dua suku $x$ dan $y$ barisan geometri maka ada perubahan pada barisan yang baru yaitu:
- Banyak suku pada barisan yang baru $n'\ =n+\left( n-1 \right)k$
- Rasio barisan yang baru untuk $k$ bilangan genap $r\ =\sqrt[k+1]{\dfrac{y}{x}}$ dan untuk $k$ bilangan ganjil $r\ =\pm \sqrt[k+1]{\dfrac{y}{x}}$
Pembahasan Soal Barisan dan Deret Geometri
Untuk menambah pemahaman kita terkait Barisan dan Deret geometri ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Barisan dan Deret geometri Matematika SMA.
Sedangkan soal dan pembahasan barisan dan deret bilangan geometri yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri lainnya silahkan di simak pada catatan Matematika Dasar Barisan dan Deret geometri.
1. Soal Latihan BarDer Geometri
Rasio dari barisan $\dfrac{16}{27},\ \dfrac{8}{9},\ \dfrac{4}{3},\ 2,\ \cdots $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $\dfrac{16}{27},\ \dfrac{8}{9},\ \dfrac{4}{3},\ 2,\ \cdots $ dapat kita peroleh rasionya yaitu:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{4}}{U_{3}} = \dfrac{2}{\frac{4}{3}} \\
&= 2 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{2}$
2. Soal Latihan BarDer Geometri
Diketahui $9,\ 3,\ 1,\ \dfrac{1}{3},\ \cdots$ Suku ke-$7$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $\dfrac{16}{27},\ \dfrac{8}{9},\ \dfrac{4}{3},\ 2,\ \cdots $ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{3}}{U_{2}} = \dfrac{1}{3} \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{7}\ &= 9 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{7-1} \\
&= 9 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{6} = 9 \cdot \dfrac{1}{3^{6}} \\
&= \dfrac{9}{3^{6}} = \dfrac{1}{3^{4}} = \dfrac{1}{81}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{81}$
3. Soal Latihan BarDer Geometri
Diketahui $3^{4},\ 3^{6},\ 3^{8},\ 3^{10},\ \cdots $ Suku ke-$12$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $3^{4},\ 3^{6},\ 3^{8},\ 3^{10},\ \cdots $ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{3^{6}}{3^{4}}=3^{6-4}=3^{2} \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{12}\ &= 3^{4} \cdot \left( 3^{2} \right)^{12-1} \\
&= 3^{4} \cdot \left( 3^{2} \right)^{11} \\
&= 3^{4} \cdot 3^{22} = 3^{26}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3^{26}$
4. Soal Latihan BarDer Geometri
Diketahui barisan $\sqrt{3},\ 3,\ 3\sqrt{3},\ \cdots$ Suku ke-$9$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $\sqrt{3},\ 3,\ 3\sqrt{3},\ \cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{3}}{U_{2}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{3}= \sqrt{3} \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{9}\ &= \sqrt{3} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^{9-1} \\
&= \sqrt{3} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^{8} \\
&= \sqrt{3} \cdot 3^{4} = 81\sqrt{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 81\sqrt{3}$
5. Soal Latihan BarDer Geometri
Rumus suku ke-$n$ dari barisan $100,\ 20,\ 4,\ \dfrac{4}{5},\ \cdots $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $100,\ 20,\ 4,\ \dfrac{4}{5},\ \cdots $ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{20}{100}= \dfrac{1}{5} \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
&= 100 \cdot \left( \dfrac{1}{5} \right)^{n-1} \\
&= 100 \cdot \left( 5^{-1} \right)^{n-1} \\
&= 4 \cdot 5^{2} \cdot 5^{1-n} = 4 \cdot 5^{3-n}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4 \cdot 5^{3-n}$
6. Soal Latihan BarDer Geometri
Suatu barisan geometri diketahui suku ke-$3$ adalah $3$ dan suku ke-$6$ adalah $81$. Maka suku ke-$8$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan $U_{n} = ar^{n-1}$ dan yang diketahui pada soal, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{3}\ &= 3 \\
ar^{3-1}\ &= 3 \\
ar^{2}\ &= 3 \\
\hline
U_{6}\ &= 81 \\
ar^{6-1}\ &= 3^{4} \\
ar^{5}\ &= 3^{4} \\
3 \cdot r^{3} &= 3^{4} \\
r^{3} &= 3^{3} \rightarrow r=3 \\
\hline
U_{8}\ &= ar^{8-1} \\
&= ar^{2} \cdot r^{5} \\
&= 3 \cdot (3)^{5} = 729
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 729$
7. Soal Latihan BarDer Geometri
Diketahui barisan $2,\ 2\sqrt{2},\ 4,\ 4\sqrt{2},\ \cdots$ Suku keberapakah $64 \sqrt{2}$?
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $2,\ 2\sqrt{2},\ 4,\ 4\sqrt{2},\ \cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2}= \sqrt{2} \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
64 \sqrt{2} &= 2 \cdot \left( \sqrt{2} \right)^{n-1} \\
32 \sqrt{2} &= \left( \sqrt{2} \right)^{n} \cdot \left( \sqrt{2} \right)^{-1} \\
2^{5} \cdot 2^{\frac{1}{2}} &= \left( 2^{\frac{1}{2}} \right)^{n} \cdot \left( 2^{\frac{1}{2}} \right)^{-1} \\
2^{5} \cdot 2^{\frac{1}{2}} &= 2^{\frac{1}{2}n} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \\
2^{5+\frac{1}{2}} &= 2^{\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}} \\
\hline
5+\frac{1}{2} &= \frac{1}{2}n-\frac{1}{2} \\
10+1 &= n-1 \\
12 &= n
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$
8. Soal Latihan BarDer Geometri
Jumlah $5$ suku pertama dari deret $3 + 6 + 12 + \cdots$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $3 + 6 + 12 + \cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{6}{3}= 2 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{ a \left( r^{n} - 1 \right)}{ r-1 } \\
S_{5}\ &= \dfrac{ 3 \left( 2^{5} - 1 \right)}{ 2-1 } \\
&= \dfrac{ 3 \left( 32 - 1 \right)}{ 1 } \\
&= 3 \left( 31 \right) = 93
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 93$
9. Soal Latihan BarDer Geometri
Jumlah $5$ suku pertama dari deret $–1 + 5 – 25 + 125 – \cdots$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $–1 + 5 – 25 + 125 – \cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{5}{-1}= -5 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{ a \left( r^{n} - 1 \right)}{ r-1 } \\
S_{5}\ &= \dfrac{ -1 \left( (-5)^{5} - 1 \right)}{ -5-1 } \\
&= \dfrac{ -1 \left( -3125 - 1 \right)}{ -6 } \\
&= \dfrac{3126}{-6} = -521
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -521$
10. Soal Latihan BarDer Geometri
Jumlah $8$ suku pertama dari deret $2 + 2 \sqrt{3} + 6 + \cdots$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $2 + 2 \sqrt{3} + 6 + \cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{2 \sqrt{3}}{2}= \sqrt{3} \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{ a \left( r^{n} - 1 \right)}{ r-1 } \\
S_{8}\ &= \dfrac{ 2 \left( \left( \sqrt{3} \right)^{8} - 1 \right)}{ \sqrt{3}-1 } \\
&= \dfrac{ 2 \left( 3^{4} - 1 \right)}{ \sqrt{3}-1 } \times \dfrac{\sqrt{3}+1 }{ \sqrt{3}+1 } \\
&= \dfrac{160 \left( \sqrt{3}+1 \right)}{ 3-1 } \\
&= \dfrac{160 \left( \sqrt{3}+1 \right)}{ 2 } \\
&= 80\sqrt{3} +80
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 80\sqrt{3}+80$
11. Soal Latihan BarDer Geometri
Jika diketahui deret $4 + 8 + 16 + \cdots + x = 124$ maka nilai $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $4 + 8 + 16 + \cdots + x = 124$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{8}{4}= 2 \\
\hline
S_{n}\ &= \dfrac{ a \left( r^{n} - 1 \right)}{ r-1 } \\
124\ &= \dfrac{ 4 \left( 2^{n} - 1 \right)}{ 2-1 } \\
124\ &= 4 \left( 2^{n} - 1 \right) \\
31\ &= 2^{n} - 1 \\
32\ &= 2^{n} \rightarrow n=5 \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{5}\ &= (4)(2)^{5-1}=(4)(2)^{4}= 64
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 64$
12. Soal Latihan BarDer Geometri
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku pertama $\sqrt[3]{x}$ dan suku kedua $\sqrt{x}$. Maka $U_{5}$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Untuk $a=\sqrt[3]{x}$ dan $U_{2}=\sqrt{x}$ pada barisan geometri dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} \\
&= \dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}= x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}= x^{\frac{1}{6}} \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{5}\ &= \left(\sqrt[3]{x} \right) \left( x^{\frac{1}{6}} \right)^{5-1} \\
&= \left(\sqrt[3]{x} \right) \left( x^{\frac{1}{6}} \right)^{4} \\
&= x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=x \\
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x$
13. Soal Latihan BarDer Geometri
Jika $p\sqrt{q},\ q\sqrt{p}$ merupakan dua suku pertama deret geometri, maka suku ke tiga adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk $a=p\sqrt{q}$ dan $U_{2}=q\sqrt{p}$ pada barisan geometri dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{q\sqrt{p}}{p\sqrt{q}} \\
& = \dfrac{\sqrt{pq^{2}}}{\sqrt{p^{2}q}} = \dfrac{\sqrt{ q }}{\sqrt{p }} \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{3}\ &= \left( p\sqrt{q} \right) \left( \dfrac{\sqrt{ q }}{\sqrt{p }} \right)^{3-1} \\
&= p\sqrt{q} \cdot \left( \dfrac{\sqrt{ q }}{\sqrt{p }} \right)^{2} \\
&= p\sqrt{q} \cdot \dfrac{q}{p} = q\sqrt{q}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ q\sqrt{q}$
14. Soal Latihan BarDer Geometri
Diketahui deret geometri $3 + 9 + 27 + 81 + \cdots $ Jika deret tersebut diteruskan sampai $9$ suku, maka suku tengahnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret $3 + 9 + 27 + 81 + \cdots $ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{9}{3}=3 \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{9}\ &= \left( 3 \right) \left( 3 \right)^{9-1} \\
&= 3 \cdot 3^{8} = 3^{9} \\
\hline
U_{t} &= \sqrt{ a \cdot U_{n} } \\
&= \sqrt{ 3 \cdot 3^{9} } = \sqrt{ 3^{10} } = 3^{5} = 243
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 243$
15. Soal Latihan BarDer Geometri
Tiga buah bilangan $k – 1,\ 2k – 2,\ 3k + 1$ berturut-turut membentuk barisan geometri. Maka bilangan terbesar adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari bilangan $k – 1,\ 2k – 2,\ 3k + 1$ yang membentuk barisan geometri dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{U_{2}}{U_{1}} &= \dfrac{U_{3}}{U_{2}} \\
U_{2}^{2} &= U_{1} \cdot U_{3} \\
\left( 2k – 2 \right)^{2} &= \left( k-1 \right)\left( 3k+1 \right) \\
4 \left( k – 1 \right)^{2} &= \left( k-1 \right)\left( 3k+1 \right) \\
4 \left( k – 1 \right) &= \left( 3k+1 \right) \\
4k-4 &= 3k+1 \\
k &= 5 \\
\hline
3k+1 &= 3(5)+1 = 16
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 16$
16. Soal Latihan BarDer Geometri
Jumlah $n$ suku pertama deret geometri dinyatakan dengan $S_{n} = 2^{n+2} – 4$. Rumus suku ke-$n$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari $S_{n} = 2^{n+2} – 4$ yang merupakan jumlah $n$ suku pertama deret geometri dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{n} &= 2^{n+2} – 4 \\
S_{1} &= 2^{1+2} – 4 \\
U_{1} &= 2^{3} – 4 = 4 \\
\hline
S_{2} &= 2^{2+2} – 4 \\
&= 2^{4} – 4 = 12 \\
U_{2} &= 12-4 =8 \\
\hline
S_{3} &= 2^{3+2} – 4 \\
&= 2^{5} – 4 = 28 \\
U_{3} &= 28-12 =16 \\
\hline
r\ &= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{8}{4}=2 \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
&= 4 \cdot 2^{n-1} \\
&= 2^{2} \cdot 2^{n-1} \\
&= 2^{n+1}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2^{n+1}$
17. Soal Latihan BarDer Geometri
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlah ketiga bilangan itu $13$ dan hasil kalinya $27$ maka suku ke-$3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari tiga bilangan yang membentuk barisan geometri kita misalkan dengan $\dfrac{a}{r},\ a,\ ar$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{a}{r} \cdot a \cdot ar &= 27 \\
a^{3} &= 27 \\
a &= 3 \\
\hline
\dfrac{a}{r} + a + ar &= 13 \\
\dfrac{3}{r} + 3 + 3r &= 13 \\
\dfrac{3}{r} + 3r &= 10 \\
3 + 3r^{2} &= 10r \\
3r^{2}-10r-3 &= 0 \\
3r^{2}-10r+3 &= 0 \\
\left(3r-1 \right)\left(r-3 \right) &= 0 \\
r=\dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ r=3 & \\
\end{align}$
Untuk $a=3$ dan $r=3$ maka bilangan adalah $1,\ 3,\ 9$ dan untuk $a=3$ dan $r=\dfrac{1}{3}$ maka bilangan adalah $9,\ 3,\ 1$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$
18. Soal Latihan BarDer Geometri
Suku pertama dan kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah $p^{-4}$ dan $p^{x}$. Jika suku ke-$8$ adalah $p^{52}$ maka nilai $x =\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Dari suku pertama $p^{-4}$ dan suku kedua $p^{x}$ suatu deret geometri dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{p^{x}}{p^{-4}}=p^{x+4} \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
U_{8}\ &= p^{-4} \left( p^{x+4} \right)^{8-1} \\
p^{52}\ &= p^{-4} \cdot p^{7x+28} \\
p^{52}\ &= p^{7x+24} \\
\hline
52 &= 7x+24 \\
28 &= 7x \\
x &= 4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
19. Soal Latihan BarDer Geometri
Tiga buah bilangan merupakan barisan geometri dengan jumlah $26$. Jika suku tengahnya ditambah $4$ maka akan terbentuk barisan aritmatika. Suku pertama barisan itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari tiga bilangan yang membentuk barisan geometri kita misalkan dengan $a,\ ar,\ ar^{2}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
a + ar + ar^{2} &= 26 \\
a + ar^{2} &= 26- ar
\end{align}$
Jika suku tengahnya ditambah $4$ maka akan terbentuk barisan aritmatika, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
a + ar+4 + ar^{2} & \\
\hline
2U_{2} & = U_{1} + U_{3} \\
2 \left( ar+4 \right) &= a+ar^{2} \\
2ar+ 8 &= 26-ar \\
2ar+ar &= 26- 8 \\
3ar &= 18 \\
ar &= 6 \rightarrow r = \dfrac{6}{a}\\
\hline
a + ar^{2} &= 26- ar \\
a + a \left( \dfrac{6}{a} \right)^{2} &= 26- 6 \\
a + \dfrac{36}{a} &= 20 \\
a^{2} -20a + 36 &= 0 \\
\left( a-18 \right)\left( a-2 \right) &= 0 \\
a=18\ \text{atau}\ a=2 &
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$
20. Soal Latihan BarDer Geometri
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku tengahnya dikurangi $2$ maka akan terbentuk barisan geometri dengan rasio $\dfrac{1}{2}$. Jumlah barisan aritmetika tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika, kita misalkan dengan $a-b,\ a,\ a+b$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
a-b,\ a-2,\ a+b\ & \text{diketahui}\ r=\dfrac{1}{2} \\
\hline
\dfrac{a-2}{a-b} &= \dfrac{1}{2} \\
2a-4 &= a-b \\
a &= 4-b \\
\hline
\dfrac{a+b}{a-2} &= \dfrac{1}{2} \\
2a+2b &= a-2 \\
a &= -2b-2 \\
4-b &= -2b-2 \\
2b-b &= -4-2 \\
b &= -6 \rightarrow a=10
\end{align}$
Untuk $b=-6$ dan $a=10$ jumlah arisan aritmetika $a-b,\ a,\ a+b$ adalah $3a=30$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 30$
21. Soal Latihan BarDer Geometri
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika yang berjumlah $3$. Jika suku kedua dan ketiga dipertukarkan letaknya maka terbentuklah barisan geometri. Ratio barisan geometri itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari tiga bilangan $a-b,\ a,\ a+b$ yang membentuk barisan aritmetika dan jumlahnya $3$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
a-b+a +a+b & =3 \\
3a & =3 \rightarrow a=1
\end{align}$
Jika suku kedua dan ketiga dipertukarkan letaknya maka terbentuklah barisan geometri, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
a-b,\ a+b,\ a\ & \text{barisan geometri} \\
\left( a+b \right)^{2} &= \left( a \right)\left( a-b \right) \\
\left( 1+b \right)^{2} &= \left( 1 \right)\left( 1-b \right) \\
b^{2}+2b+1 &= 1-b \\
b^{2}+3b &= 0 \\
b \left( b + 3 \right) &= 0 \\
b=0\ \text{atau}\ b=-3 &
\end{align}$
Untuk $b=0$ barisan geometri adalah $1,1,1$ rasionya adalah $r=1$ sedangkan untuk $b=-3$ barisan geometri adalah $4,-2,1$ rasionya adalah $r=-\dfrac{1}{2}$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$
22. Soal Latihan BarDer Geometri
Diketahui deret geometri dengan suku pertama $6$ dan suku keempat adalah $48$. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $a=6$ dan $U_{4}=48$. Dengan $U_{n}=ar^{n-1}$, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} & = ar^{n-1} \\
U_{4} & = 6 \cdot r^{4-1} \\
48 & = 6 \cdot r^{3} \\
8 & = r^{3}\ \rightarrow r=2
\end{align}$
$\begin{align} S_{n}\ &= \dfrac{ a \left( r^{n} - 1 \right)}{ r-1 } \\ S_{6}\ &= \dfrac{ 6 \left( 2^{6} - 1 \right)}{ 2-1 } \\ &= 6 \left( 64 - 1 \right) \\ &= 6 \cdot 63 = 378 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 378$
23. Soal Latihan BarDer Geometri
Diketahui barisan $2\sqrt{2},\ 4,\ 4\sqrt{2},\ 8, \cdots$ Suku keberapakah $128$?
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan $2\sqrt{2},\ 4,\ 4\sqrt{2},\ 8, \cdots$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\
&= \dfrac{U_{3}}{U_{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{4}= \sqrt{2} \\
\hline
U_{n}\ &= ar^{n-1} \\
128 &= 2\sqrt{2} \cdot \left( \sqrt{2} \right)^{n-1} \\
128 &= 2\sqrt{2} \cdot \left( \sqrt{2} \right)^{n} \cdot \left( \sqrt{2} \right)^{-1} \\
128 &= 2 \cdot \left( \sqrt{2} \right)^{n} \\
64 &= \left( 2^{\frac{1}{2}} \right)^{n} \\
2^{6} &= 2^{\frac{1}{2}n}\ \rightarrow n= 12
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$
24. Soal Latihan BarDer Geometri
Suatu deret geometri diketahui suku ke-$n$ dirumuskan dengan $U_{n}=2^{3-2n}$ rasio deret tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari $U_{n}=2^{3-2n}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{n} &= 2^{3-2n} \\
U_{1} &= 2^{3-2(1)}=2^{1}= 2 \\
U_{2} &= 2^{3-2(2)}=2^{-1}= \dfrac{1}{2} \\
r &= \dfrac{U_{2}}{U_{1}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{2} \\
&= \dfrac{1}{4}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{4}$
25. Soal Latihan BarDer Geometri
Dari suatu barisan geometri ditentukan $U_{1}+U_{2}+U_{3} = 13$, dan $U_{1} \cdot U_{2} \cdot U_{3} = 27$. Maka nilai $U_{3}$ pada barisan geometri itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Barisan geometri $U_{1},\ U_{2},\ U_{3}$ kita misalkan dengan $\dfrac{a}{r},\ a,\ ar$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{a}{r} \cdot a \cdot ar &= 27 \\
a^{3} &= 27 \\
a &= 3 \\
\hline
\dfrac{a}{r} + a + ar &= 13 \\
\dfrac{3}{r} + 3 + 3r &= 13 \\
\dfrac{3}{r} + 3r &= 10 \\
3 + 3r^{2} &= 10r \\
3r^{2}-10r-3 &= 0 \\
3r^{2}-10r+3 &= 0 \\
\left(3r-1 \right)\left(r-3 \right) &= 0 \\
r=\dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ r=3 &
\end{align}$
Untuk $r=\dfrac{1}{3}$ maka barisannya adalah $9,\ 3,\ 1$ da saat $r=3$ maka barisannya adalah $1,\ 3,\ 9$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1\ \text{atau}\ 9$
26. Soal Latihan BarDer Geometri
Jika $U_{n}$ adalah suku ke-$n$ suatu barisa geometri maka jumlah $4$ suku pertama barisan tersebut sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} S_{n}\ &= \dfrac{ a \left( r^{n} - 1 \right)}{ r-1 } \\ S_{4}\ &= \dfrac{ a \left( r^{4} - 1 \right)}{ r-1 } \times \dfrac{ a}{ a } \\ &= \dfrac{ a \left( ar^{4} - a \right)}{ ar-a } \\ &= \dfrac{ u_{1} \left( u_{5} - u_{1} \right)}{ u_{2}-u_{1} } \\ &= \dfrac{ u_{1} \left( u_{1} - u_{5} \right)}{ u_{1}-u_{2} } \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{u_{1} \left( u_{1} - u_{5} \right)}{ u_{1} - u_{2}}$
27. Soal Latihan BarDer Geometri
Diketahui deret geometri dengan $S_{n}=240$, $S_{n+1} = 248$, dan $S_{n+2} = 252$. Suku pertama deret itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} U_{n+1}\ &= S_{n+1}-S_{n} \\ &= 248-240 = 8 \\ \hline U_{n+2}\ &= S_{n+2}-S_{n+1} \\ &= 252-248 = 4 \\ \hline r &= \dfrac{ U_{n+2} }{ U_{n+1} }= \dfrac{4}{ 8 }= \dfrac{1}{2} \\ \hline U_{n} &= ar^{n-1} \\ U_{n+1} &= ar^{n+1-1} \\ 8 &= ar^{n} \end{align}$
$\begin{align} S_{n}\ &= \dfrac{ a \left( r^{n} - 1 \right)}{ r-1 } \\ 240 \ &= \dfrac{ ar^{n} -a}{ \frac{1}{2}-1 } \\ 240 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right) &= ar^{n} - a \\ -120\ &= 8 - a \\ a\ &= 120 + 8 = 128 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 128$
28. Soal Latihan BarDer Geometri
Diketahui empat bilangan, tiga bilangan pertama merupakan barisan aritmatika dan tiga bilangan terakhir merupakan barisan geometri. Jumlah bilangan kedua dan keempat adalah $10$. Jumlah bilangan pertama dan ketiga adalah $18$. Jumlah keempat bilangan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misal bilangan tersebut adalah $U_{1},\ U_{2},\ U_{3},\ U_{4}$.
Diketahui $U_{1}+U_{3}=18$ dan $U_{2}+U_{4}=10$ maka jumlah keempat bilangan itu adalah $U_{1}+U_{3}+U_{2}+U_{4}=28$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 28$
Jika soal kita kembangkan dengan menentukan kempat bilangan tersebut?, maka alternatif pengerjaannya adalah:
tiga bilangan pertama merupakan barisan aritmatika sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
2U_{2}\ &= U_{1}+U_{3} \\
2U_{2}\ &= 18 \\
U_{2} & = 9 \rightarrow U_{4}=1
\end{align}$
tiga bilangan terakhir merupakan barisan geometri sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{3}^{2}\ &= U_{2} \cdot U_{4} \\
U_{3}^{2}\ &= 9 \cdot 1 \\
U_{3}\ &= \pm \sqrt{9} = \pm 3 \\
U_{3}\ &= 3 \rightarrow U_{1}=15 \\
U_{3}\ &= -3 \rightarrow U_{1}=21 \\
\end{align}$
Kempat bilangan tersebut adalah $15,\ 9,\ 3,\ 1$ atau $21,\ 9,\ -3,\ 1$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 128$
29. Soal Latihan BarDer Geometri
Jumlah enam suku pertama deret geometri adalah $252$. Sedangkan jumlah tiga suku pertamanya adalah $28$. Jumlah empat suku pertama deret itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari jumlah enam suku pertama deret geometri adalah $252$ dan jumlah tiga suku pertamanya adalah $28$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} a+ar+ar^{2} &= 28 \\ \hline a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5} &= 252 \\ 28+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5} &= 252 \\ ar^{3}+ar^{4}+ar^{5} &= 252-28 \\ r^{3} \left( a +ar +ar^{2} \right) &= 224 \\ r^{3} \left( 28 \right) &= 224 \\ r^{3}\ &= \dfrac{224}{28} = 8 \\ r &=2 \\ \hline a+ar+ar^{2} &= 28 \\ a+2a+4a &= 28 \\ 7a &= 28 \rightarrow a=4 \end{align}$
Untuk $a=4$ dan $r=2$, jumlah empat suku pertamanya adalah $4+ 8 +16 +32 = 60$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 60$
30. Soal Latihan BarDer Geometri
Suatu deret geometri dimana semua sukunya positip. Jika $U_{1} + U_{2} + U_{3} = 10,5$ dan ${}^2\!\log U_{1}+{}^2\!\log U_{2}+{}^2\!\log U_{3}={}^2\!\log U_{4}-2$ maka suku ke-empat deret itu adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan meminjam catatan logaritma yaitu:- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- ${}^a\!\log x\ -{}^a\!\log y={}^a\!\log \dfrac{x}{y} $
$\begin{align} {}^2\!\log U_{1}+{}^2\!\log U_{2}+{}^2\!\log U_{3} &= {}^2\!\log U_{4}-2 \\ {}^2\!\log \left( U_{1} \cdot U_{2} \cdot U_{3} \right) &= {}^2\!\log U_{4}-{}^2\!\log 2^{2} \\ {}^2\!\log \left( U_{1} \cdot U_{2} \cdot U_{3} \right) &= {}^2\!\log \left( \dfrac{U_{4}}{4} \right) \\ \hline U_{1} \cdot U_{2} \cdot U_{3} &= \dfrac{U_{4}}{4} \\ a \cdot ar \cdot ar^{2} &= \dfrac{ar^{3}}{4} \\ a^{3}r^{3} &= \dfrac{ar^{3}}{4} \\ a^{2} &= \dfrac{1}{4} \rightarrow a= \pm \dfrac{1}{2} \end{align}$
Untuk $a=\dfrac{1}{2}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
U_{1} + U_{2} + U_{3} &= 10,5 \\
a + ar + ar^{2} &= 10,5 \\
\left( \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} \right)r + \left( \dfrac{1}{2} \right)r^{2} &= 10,5 \\
1 + r + r^{2} &= 21 \\
r^{2}+r-20 &= 0 \\
\left( r+5 \right)\left( r-4 \right) &= 0 \\
r=-5\ \text{(TM)}\ \text{atau}\ r=4 & \\
\hline
U_{4} &= ar^{4-1} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 4^{3} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 64 = 32
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 32$
Pembahasan soal Barisan dan Deret Geometri di atas beberapa adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan tentang Belajar Barisan dan Deret Geometri Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Matematika adalah kemampuan menangkap pola dari sesuatu yang semula tidak terpola. Itulah kemampuan matematika yang harus ditanamkan.
