Matematika Dasar Bentuk Akar (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Bentuk Akar. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang Eksponen, karena sedikit banyaknya nanti bentuk akar ini akan banyak menyinggung kepada eksponen. Sehingga pemahaman tentang eksponen sangat dibutuhkan untuk memantapkan soal-soal dan pembahasan tentang bentuk akar ini.

Kesulitan menganalisa kalimat soal mungkin bisa jadi salah satu masalah dalam diskusi tentang lingkaran yang umumnya dilakukan di kelas.

Seperti apa tingkat kesulitannya, mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Lingkaran berikut ini mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk akar;
  1. $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
  2. $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
  3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
  4. $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
  5. $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
  6. $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
  7. $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c\left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$
  8. $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
  9. $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$
  10. $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$
  11. $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$
  12. $\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$
  13. $\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}$
  14. $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
  15. $\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Mari kita coba terapkan beberapa aturan diatas untuk menyelesaikan beberapa soal berikut😊

1. Soal SPMB 2006 Kode 510

Jika bilangan bulat $a$ dan $b$ memenuhi $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=a+b\sqrt{30}$ maka $ab=\cdots$
$(A)\ -22$
$(B)\ -11$
$(C)\ -9$
$(D)\ 2$
$(E)\ 13$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=a+b\sqrt{30}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{5+6-2\sqrt{30}}{5-6}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{11-2\sqrt{30}}{5-6}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=-11+2\sqrt{30}$

Nilai $a=-11$ dan $b=2$ maka $ab=-22$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -22$

2. Soal SIMAK UI 2015 Kode 567 [Soal Lengkap Disini]

Bentuk sederhana dari $\frac{\sqrt{143}+\sqrt{165}+\sqrt{195}+13}{\sqrt{11}+2\sqrt{13}+\sqrt{15}}$ adalah$\cdots$
$(A)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )$
$(B)\ \frac{1}{2} \frac{\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}{\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}$
$(C)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} - \sqrt{11} \right )$
$(D)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )$
$(E)\ \frac{\left( \sqrt{15} - \sqrt{11} \right )}{\left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\frac{\sqrt{143}+\sqrt{165}+\sqrt{195}+13}{\sqrt{11}+2\sqrt{13}+\sqrt{15}}$
$=\frac{\sqrt{11 \cdot 13}+\sqrt{11 \cdot 15}+\sqrt{13 \cdot 15}+\sqrt{13 \cdot 13}}{\sqrt{11}+\sqrt{13}+\sqrt{13}+\sqrt{15}}$
$=\frac{\left( \sqrt{13} + \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}{\sqrt{11} + \sqrt{13}+\sqrt{13} + \sqrt{15}}$
$=\frac{\left( \sqrt{13} + \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}{(\sqrt{11} + \sqrt{13})+(\sqrt{13} + \sqrt{15})} \times \frac{\left( \sqrt{13} - \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}{\left( \sqrt{13} - \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}$
$=\frac{\left( 13-11 \right )\left( 15 - 13 \right )}{2(\sqrt{15} - \sqrt{13})+2(\sqrt{13} - \sqrt{11})}$
$=\frac{4}{2\sqrt{15}-2\sqrt{11}}$
$=\frac{2}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$
$=\frac{2}{\sqrt{15}-\sqrt{11}} \times \frac{\sqrt{15}+\sqrt{11}}{\sqrt{15}+\sqrt{11}}$
$=\frac{2}{4} (\sqrt{15}+\sqrt{11})$
$=\frac{1}{2} (\sqrt{15}+\sqrt{11})$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )$

3. Soal UM UGM 2005 Kode 821

Jika $\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ maka $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\cdots$
$(A)\ 25$
$(B)\ 20$
$(C)\ 15$
$(D)\ 10$
$(E)\ 5$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}$
$=\sqrt{\frac{3}{10}+\sqrt{\frac{8}{100}}}$
$=\sqrt{\frac{3}{10}+\sqrt{4 \cdot \frac{2}{100}}}$
$=\sqrt{\frac{3}{10}+2\sqrt{\frac{2}{100}}}$
$=\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+2\sqrt{\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{10}}}$
$=\sqrt{\frac{1}{10}}+\sqrt{\frac{2}{10}}$

Nilai $a=\frac{1}{10}$ dan $b=\frac{2}{10}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{10}{1}+\frac{10}{2}=15$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 15$

4.Soal SPMB 2007 Kode 341

Jika dirasionalkan maka $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\cdots$
$(A)\ -1-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(B)\ -1-\sqrt{2}$
$(C)\ -\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(E)\ 2+\frac{1}{2}\sqrt{2}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita rasionalkan satu persatu, maka akan kita peroleh;
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{-1}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=-1-\sqrt{2}$

Soal: $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}}$
$=1+\frac{1}{2}\sqrt{2}-1-\sqrt{2}$
$=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\frac{1}{2}\sqrt{2}$

5. Soal SIMAK UI 2009 Kode 912 [Soal Lengkap Disini]

Nilai dari $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots++\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}=\cdots$
$(A)\ 10$
$(B)\ 9$
$(C)\ 8$
$(D)\ 7$
$(E)\ 6$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan soal ini dibutuhkan sedikit kreasi, yaitu dengan merasionalkan penyebut setiap suku;
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=-1+\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$
$\vdots$
$\frac{1}{\sqrt{62}+\sqrt{63}}=-\sqrt{62}+\sqrt{63}$
$\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}=-\sqrt{63}+\sqrt{64}$

$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots++\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}$
$=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\cdots-\sqrt{62}+\sqrt{63}-\sqrt{63}+\sqrt{64}$
$=-1+\sqrt{64}$
$=-1+8=7$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7$

6. Soal UM UGM 2013 Kode 251

$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}=\cdots$
$(A)\ \sqrt{6}$
$(B)\ 1-\sqrt{6}$
$(C)\ \sqrt{2}+\sqrt{3}$
$(D)\ 4-\sqrt{6}$
$(E)\ 5-2\sqrt{6}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\frac{\sqrt{9 \cdot 2}-\sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{9 \cdot 2}+\sqrt{4 \cdot 3}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}} \cdot \frac{1-\sqrt{6}}{1-\sqrt{6}}$
$=\frac{18+12-12\sqrt{6}}{18-12}+\frac{5(1-\sqrt{6})}{1-6}$
$=\frac{30-12\sqrt{6}}{6}+\frac{5(1-\sqrt{6})}{-5}$
$=5-2\sqrt{6}-1+\sqrt{6}$
$=4-\sqrt{6}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4-\sqrt{6}$

7. Soal UM UGM 2017 Kode 723

Jika $r=\frac{20\sqrt{2}-25}{(10+20\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$, maka $(4r-2)^{2}=\cdots$
$(A)\ 5$
$(B)\ 4$
$(C)\ 3$
$(D)\ 2$
$(E)\ 1$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Salah satu trik menyelesaikan masalah matematika adalah kerjakan apa yang bisa dikerjakan sampai ketemu apa yang diharapkan. Seperti soal diatas diketahui $r$ dengan bentuk yang belum sederhana, mungkin bisa kita sederhanakan terlebih dahulu;
$r=\frac{20\sqrt{2}-25}{(10+20\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$
$r=\frac{20\sqrt{2}-25}{20-10\sqrt{2}+40\sqrt{2}-40}$
$r=\frac{20\sqrt{2}-25}{30\sqrt{2}-20}$
$r=\frac{5(4\sqrt{2}-5)}{10(3\sqrt{2}-2)}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}-5}{3\sqrt{2}-2}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}-5}{3\sqrt{2}-2} \cdot \frac{3\sqrt{2}+2}{3\sqrt{2}+2}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{24+8\sqrt{2}-15\sqrt{2}-10}{18-4}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{14-7\sqrt{2}}{14}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{14} (2-\sqrt{2})$
$r=\frac{1}{4} (2-\sqrt{2})$

$(4r-2)^{2}=\left(4 \cdot \frac{1}{4} (2-\sqrt{2}) - 2 \right)^{2}$
$(4r-2)^{2}=\left(2-\sqrt{2} - 2 \right)^{2}$
$(4r-2)^{2}=\left(-\sqrt{2}\right)^{2}$
$(4r-2)^{2}=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

8. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 [Soal Lengkap Disini]

Jika $\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{9}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$, maka $a=\cdots$
$(A)\ 2-\sqrt{2}$
$(B)\ 2$
$(C)\ 2+\sqrt{2}$
$(D)\ 8$
$(E)\ 16$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{9}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$
$\sqrt[4]{a}+9^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
$\sqrt[4]{a}+3^{\frac{1}{2}}=2+\sqrt{3}$
$\sqrt[4]{a}=2+\sqrt{3}-3^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[4]{a}=2$
$a=2^{4}=16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 16$

9. Soal UM UNDIP 2010 Kode 102 [Soal Lengkap Disini]

Bentuk Sederhana dari $\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4}}-\sqrt{\frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4}}$ adalah$\cdots$
$(A)\ -\frac{8}{5}$
$(B)\ 0$
$(C)\ \frac{16}{5}$
$(D)\ \frac{8}{5}$
$(E)\ 5\sqrt{41}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4}}-\sqrt{\frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4}}$
$=\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4} \cdot \frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}+4}}-\sqrt{\frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4} \cdot \frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}-4}}$
$=\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}+4\right )^{2}}{41-16}}-\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}-4\right )^{2}}{41-16}}$
$=\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}+4\right )^{2}}{25}}-\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}-4\right )^{2}}{25}}$
$=\frac{\sqrt{41}+4}{5}-\frac{\sqrt{41}-4}{5}$
$=\frac{\sqrt{41}+4-\sqrt{41}+4}{5}$
$=\frac{8}{5}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{8}{5}$

10. Soal USM STIS 2017

$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}=\cdots$
$(A)\ 2\sqrt{3}$
$(B)\ \sqrt{10}$
$(C)\ 2\sqrt{2}$
$(D)\ \sqrt{11}$
$(E)\ 3\sqrt{2}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba usahakan bentuk akar $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ atau bentuk akar $\sqrt{3+\sqrt{5}}$ setidaknya mirip dengan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ atau $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$.

$\sqrt{3-\sqrt{5}}$
$=\sqrt{3-2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}-2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{3+\sqrt{5}}$
$=\sqrt{3+2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}+2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=2\sqrt{\frac{5}{2}}$
$=2\sqrt{\frac{10}{4}}$
$=2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{10}$
$=\sqrt{10}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{10}$

Contoh soal dan pembahasan akan kita tambah lagi besok, silahkan pantau kembali perkembangannya pada esok hari.

Jika ada yang ingin disampaikan untuk kita diskusikan terkait masalah alaternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya 😊😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

You Might Also Like: