Skip to main content

Matematika Dasar Bentuk Akar (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar Bentuk Akar (*Soal Dari Berbagai Sumber)Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Bentuk Akar. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang Eksponen, karena sedikit banyaknya nanti bentuk akar ini akan banyak menyinggung kepada eksponen. Sehingga pemahaman tentang eksponen sangat dibutuhkan untuk memantapkan soal-soal dan pembahasan tentang bentuk akar ini.

Kesulitan menganalisa kalimat soal mungkin bisa jadi salah satu masalah dalam diskusi tentang lingkaran yang umumnya dilakukan di kelas.

Seperti apa tingkat kesulitannya, mari kita simak beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Sebagai catatan, beberapa aturan dasar sederhana pada Lingkaran berikut ini mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk akar;
  1. $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
  2. $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
  3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
  4. $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
  5. $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
  6. $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
  7. $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c\left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$
  8. $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
  9. $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$
  10. $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$
  11. $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$
  12. $\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$
  13. $\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}$
  14. $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
  15. $\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Mari kita coba terapkan beberapa aturan diatas untuk menyelesaikan beberapa soal berikut😊

1. Soal SPMB 2006 Kode 510 (*Soal Lengkap)

Jika bilangan bulat $a$ dan $b$ memenuhi $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=a+b\sqrt{30}$ maka $ab=\cdots$
$(A)\ -22$
$(B)\ -11$
$(C)\ -9$
$(D)\ 2$
$(E)\ 13$
Alternatif Pembahasan:

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=a+b\sqrt{30}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{5+6-2\sqrt{30}}{5-6}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{11-2\sqrt{30}}{5-6}$
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=-11+2\sqrt{30}$

Nilai $a=-11$ dan $b=2$ maka $ab=-22$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -22$

2. Soal SIMAK UI 2015 Kode 567 (*Soal Lengkap)

Bentuk sederhana dari $\frac{\sqrt{143}+\sqrt{165}+\sqrt{195}+13}{\sqrt{11}+2\sqrt{13}+\sqrt{15}}$ adalah$\cdots$
$(A)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )$
$(B)\ \frac{1}{2} \frac{\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}{\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}$
$(C)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} - \sqrt{11} \right )$
$(D)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )$
$(E)\ \frac{\left( \sqrt{15} - \sqrt{11} \right )}{\left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )}$
Alternatif Pembahasan:

$\frac{\sqrt{143}+\sqrt{165}+\sqrt{195}+13}{\sqrt{11}+2\sqrt{13}+\sqrt{15}}$
$=\frac{\sqrt{11 \cdot 13}+\sqrt{11 \cdot 15}+\sqrt{13 \cdot 15}+\sqrt{13 \cdot 13}}{\sqrt{11}+\sqrt{13}+\sqrt{13}+\sqrt{15}}$
$=\frac{\left( \sqrt{13} + \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}{\sqrt{11} + \sqrt{13}+\sqrt{13} + \sqrt{15}}$
$=\frac{\left( \sqrt{13} + \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}{(\sqrt{11} + \sqrt{13})+(\sqrt{13} + \sqrt{15})} \times \frac{\left( \sqrt{13} - \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}{\left( \sqrt{13} - \sqrt{11} \right )\left( \sqrt{15} - \sqrt{13} \right )}$
$=\frac{\left( 13-11 \right )\left( 15 - 13 \right )}{2(\sqrt{15} - \sqrt{13})+2(\sqrt{13} - \sqrt{11})}$
$=\frac{4}{2\sqrt{15}-2\sqrt{11}}$
$=\frac{2}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$
$=\frac{2}{\sqrt{15}-\sqrt{11}} \times \frac{\sqrt{15}+\sqrt{11}}{\sqrt{15}+\sqrt{11}}$
$=\frac{2}{4} (\sqrt{15}+\sqrt{11})$
$=\frac{1}{2} (\sqrt{15}+\sqrt{11})$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )$

3. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)

Jika $\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ maka $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\cdots$
$(A)\ 25$
$(B)\ 20$
$(C)\ 15$
$(D)\ 10$
$(E)\ 5$
Alternatif Pembahasan:

$\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}$
$=\sqrt{\frac{3}{10}+\sqrt{\frac{8}{100}}}$
$=\sqrt{\frac{3}{10}+\sqrt{4 \cdot \frac{2}{100}}}$
$=\sqrt{\frac{3}{10}+2\sqrt{\frac{2}{100}}}$
$=\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+2\sqrt{\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{10}}}$
$=\sqrt{\frac{1}{10}}+\sqrt{\frac{2}{10}}$

Nilai $a=\frac{1}{10}$ dan $b=\frac{2}{10}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{10}{1}+\frac{10}{2}=15$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 15$

4.Soal SPMB 2007 Kode 341

Jika dirasionalkan maka $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\cdots$
$(A)\ -1-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(B)\ -1-\sqrt{2}$
$(C)\ -\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(E)\ 2+\frac{1}{2}\sqrt{2}$
Alternatif Pembahasan:

Jika kita rasionalkan satu persatu, maka akan kita peroleh;
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{-1}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}}=-1-\sqrt{2}$

Soal: $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}}$
$=1+\frac{1}{2}\sqrt{2}-1-\sqrt{2}$
$=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\frac{1}{2}\sqrt{2}$

5. Soal SIMAK UI 2009 Kode 912 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots++\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}=\cdots$
$(A)\ 10$
$(B)\ 9$
$(C)\ 8$
$(D)\ 7$
$(E)\ 6$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini dibutuhkan sedikit kreasi, yaitu dengan merasionalkan penyebut setiap suku;
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=-1+\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$
$\vdots$
$\frac{1}{\sqrt{62}+\sqrt{63}}=-\sqrt{62}+\sqrt{63}$
$\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}=-\sqrt{63}+\sqrt{64}$

$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots++\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}$
$=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\cdots-\sqrt{62}+\sqrt{63}-\sqrt{63}+\sqrt{64}$
$=-1+\sqrt{64}$
$=-1+8=7$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 7$

6. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}=\cdots$
$(A)\ \sqrt{6}$
$(B)\ 1-\sqrt{6}$
$(C)\ \sqrt{2}+\sqrt{3}$
$(D)\ 4-\sqrt{6}$
$(E)\ 5-2\sqrt{6}$
Alternatif Pembahasan:

$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\frac{\sqrt{9 \cdot 2}-\sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{9 \cdot 2}+\sqrt{4 \cdot 3}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}}$
$=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}+\frac{5}{1+\sqrt{6}} \cdot \frac{1-\sqrt{6}}{1-\sqrt{6}}$
$=\frac{18+12-12\sqrt{6}}{18-12}+\frac{5(1-\sqrt{6})}{1-6}$
$=\frac{30-12\sqrt{6}}{6}+\frac{5(1-\sqrt{6})}{-5}$
$=5-2\sqrt{6}-1+\sqrt{6}$
$=4-\sqrt{6}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4-\sqrt{6}$

7. Soal UM UGM 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Jika $r=\frac{20\sqrt{2}-25}{(10+20\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$, maka $(4r-2)^{2}=\cdots$
$(A)\ 5$
$(B)\ 4$
$(C)\ 3$
$(D)\ 2$
$(E)\ 1$
Alternatif Pembahasan:

Salah satu trik menyelesaikan masalah matematika adalah kerjakan apa yang bisa dikerjakan sampai ketemu apa yang diharapkan. Seperti soal diatas diketahui $r$ dengan bentuk yang belum sederhana, mungkin bisa kita sederhanakan terlebih dahulu;
$r=\frac{20\sqrt{2}-25}{(10+20\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$
$r=\frac{20\sqrt{2}-25}{20-10\sqrt{2}+40\sqrt{2}-40}$
$r=\frac{20\sqrt{2}-25}{30\sqrt{2}-20}$
$r=\frac{5(4\sqrt{2}-5)}{10(3\sqrt{2}-2)}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}-5}{3\sqrt{2}-2}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}-5}{3\sqrt{2}-2} \cdot \frac{3\sqrt{2}+2}{3\sqrt{2}+2}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{24+8\sqrt{2}-15\sqrt{2}-10}{18-4}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{14-7\sqrt{2}}{14}$
$r=\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{14} (2-\sqrt{2})$
$r=\frac{1}{4} (2-\sqrt{2})$

$(4r-2)^{2}=\left(4 \cdot \frac{1}{4} (2-\sqrt{2}) - 2 \right)^{2}$
$(4r-2)^{2}=\left(2-\sqrt{2} - 2 \right)^{2}$
$(4r-2)^{2}=\left(-\sqrt{2}\right)^{2}$
$(4r-2)^{2}=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

8. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Jika $\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{9}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$, maka $a=\cdots$
$(A)\ 2-\sqrt{2}$
$(B)\ 2$
$(C)\ 2+\sqrt{2}$
$(D)\ 8$
$(E)\ 16$
Alternatif Pembahasan:

$\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{9}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$
$\sqrt[4]{a}+9^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
$\sqrt[4]{a}+3^{\frac{1}{2}}=2+\sqrt{3}$
$\sqrt[4]{a}=2+\sqrt{3}-3^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[4]{a}=2$
$a=2^{4}=16$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 16$

9. Soal UM UNDIP 2010 Kode 102 (*Soal Lengkap)

Bentuk Sederhana dari $\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4}}-\sqrt{\frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4}}$ adalah$\cdots$
$(A)\ -\frac{8}{5}$
$(B)\ 0$
$(C)\ \frac{16}{5}$
$(D)\ \frac{8}{5}$
$(E)\ 5\sqrt{41}$
Alternatif Pembahasan:

$\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4}}-\sqrt{\frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4}}$
$=\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4} \cdot \frac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}+4}}-\sqrt{\frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4} \cdot \frac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}-4}}$
$=\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}+4\right )^{2}}{41-16}}-\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}-4\right )^{2}}{41-16}}$
$=\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}+4\right )^{2}}{25}}-\sqrt{\frac{\left (\sqrt{41}-4\right )^{2}}{25}}$
$=\frac{\sqrt{41}+4}{5}-\frac{\sqrt{41}-4}{5}$
$=\frac{\sqrt{41}+4-\sqrt{41}+4}{5}$
$=\frac{8}{5}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{8}{5}$

10. Soal USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}=\cdots$
$(A)\ 2\sqrt{3}$
$(B)\ \sqrt{10}$
$(C)\ 2\sqrt{2}$
$(D)\ \sqrt{11}$
$(E)\ 3\sqrt{2}$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba usahakan bentuk akar $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ atau bentuk akar $\sqrt{3+\sqrt{5}}$ setidaknya mirip dengan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ atau $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$.

$\sqrt{3-\sqrt{5}}$
$=\sqrt{3-2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}-2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{3+\sqrt{5}}$
$=\sqrt{3+2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}+2\sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}$
$=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=2\sqrt{\frac{5}{2}}$
$=2\sqrt{\frac{10}{4}}$
$=2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{10}$
$=\sqrt{10}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{10}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Bentuk Akar (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Bentuk Akar sangat diharapkan😊😊.

Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Matematika Dasar Bentuk Akar (*Soal Dari Berbagai Sumber)" 😊 and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar