Menarik Akar Kuadrat (Menyederhanakan Bentuk Akar)

Calon guru belajar matematika dasar dari Cara Menarik Akar Kuadrat atau salah satu alternatif dalam menyederhanakan bentuk akar.

Catatan menarik akar kudarat ini merupakan catatan lebih khusus untuk membahas Bentuk Akar atau Eksponen.

DEFINISI BENTUK AKAR

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$ .

Misalnya $\sqrt{5}$ , $\sqrt{7}$ , $\sqrt{11}$ , dan bentuk lainnya. Sedangkan $\sqrt{4}=2$ atau $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ bukan bentuk akar karena hasilnya adalah bilangan rasional.

Secara umum bentuk akar ini dituliskan dalam bentuk $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ .
dibaca dengan "akar pangkat $n$ dari $a$ ".

Bentuk khusus $\sqrt[n]{a}$ , yaitu saat $n=2$ dapat tidak dituliskan, sehingga dapat ditulis hanya dengan $\sqrt{a}$ dibaca dengan "akar kuadrat dari $a$ " atau "akar pangkat dua dari $a$ " atau sering disebut "akar $a$ ".

MENARIK AKAR KUADRAT $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$

Istilah menarik akar kuadrat ini digunakan untuk salah satu alternatif dalam menyederhanakan bentuk akar bentuk $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ menjadi $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan syarat $a,\ b \geq 0$ .

Untuk membuktikan kesamaan bentuk di atas dapat kita gunakan beberapa sifat eksponen dan sedikit manipulasi aljabar seperti penjabaran berikut ini.

$\begin{align} \left( x+y \right)^{2} & = \left( x+y \right) \left( x+y \right) \\ \left( x+y \right)^{2} & = x^{2}+xy+xy+y^{2} \\ \left( x+y \right)^{2} & = x^{2}+2xy+y^{2} \\ \left( x+y \right)^{2} & = x^{2}+y^{2}+2xy \\ \hline \text{kedua ruas}\ &\ \text{kita tarik akar kuadrat} \\ \hline \sqrt{\left( x+y \right)^{2}} & = \sqrt{x^{2}+y^{2}+2xy} \\ x+y & = \sqrt{x^{2}+y^{2}+2xy}\\ \end{align}$

Dari bentuk yang kita peroleh di atas, jika kita misalkan $x=\sqrt{a}$ dan $y=\sqrt{b}$ , maka dapat kita tuliskkan:
$\begin{align} x+y & = \sqrt{x^{2}+y^{2}+2xy}\\ \sqrt{a}+\sqrt{b} & = \sqrt{\left( \sqrt{a} \right)^{2}+\left( \sqrt{b} \right)^{2}+2\left( \sqrt{a} \right) \left( \sqrt{b} \right)}\\ \sqrt{a}+\sqrt{b} & = \sqrt{a+b+2 \sqrt{ab}} \end{align}$
Sampai pada tahap ini kita sudah berhasil membuktikan $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ .

Contoh 1:
$\begin{align} \sqrt{7+2\sqrt{10}} &=\sqrt{(5+2)+2\sqrt{5 \cdot 2}} \\ &= \sqrt{5}+ \sqrt{2} \end{align}$

Contoh 2:
$\begin{align} \sqrt{8+2\sqrt{7}} &=\sqrt{(7+1)+2\sqrt{7 \cdot 1}} \\ &= \sqrt{7}+ \sqrt{1} \\ &= \sqrt{7}+ 1 \end{align}$

Contoh 3:
$\begin{align} \sqrt{95+2\sqrt{2016}} & = \sqrt{95+2\sqrt{2016}} \\ & = \sqrt{63+32+2\sqrt{63 \cdot 32}} \\ & = \sqrt{63}+ \sqrt{32} \\ & = \sqrt{9 \cdot 7}+ \sqrt{16 \cdot 2} \\ & = 3\sqrt{7}+ 4\sqrt{2} \end{align}$

Contoh 4:
$\begin{align} \sqrt{15+6\sqrt{6}} & = \sqrt{15+2 \cdot 3\sqrt{6}} \\ & = \sqrt{15+2\sqrt{9 \cdot 6}} \\ & = \sqrt{9+6+2\sqrt{9 \cdot 6}} \\ & = \sqrt{9}+ \sqrt{6} \\ & = 3 + \sqrt{6} \end{align}$

MENARIK AKAR KUADRAT $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$

Istilah menarik akar kuadrat ini digunakan untuk salah satu alternatif dalam menyederhanakan bentuk akar bentuk $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ menjadi $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan syarat $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$ .

Untuk membuktikan kesamaan bentuk di atas dapat kita gunakan beberapa sifat eksponen dan sedikit manipulasi aljabar seperti penjabaran berikut ini.

$\begin{align} \left( x-y \right)^{2} & = \left( x-y \right) \left( x-y \right) \\ \left( x-y \right)^{2} & = x^{2}-xy-xy+y^{2} \\ \left( x-y \right)^{2} & = x^{2}-2xy+y^{2} \\ \left( x-y \right)^{2} & = x^{2}+y^{2}-2xy \\ \hline \text{kedua ruas}\ &\ \text{kita tarik akar kuadrat} \\ \hline \sqrt{\left( x-y \right)^{2}} & = \sqrt{x^{2}+y^{2}-2xy} \\ x-y & = \sqrt{x^{2}+y^{2}-2xy}\\ \end{align}$

Dari bentuk yang kita peroleh di atas, jika kita misalkan $x=\sqrt{a}$ dan $y=\sqrt{b}$ , maka dapat kita tuliskkan:
$\begin{align} x-y & = \sqrt{x^{2}+y^{2}-2xy}\\ \sqrt{a}-\sqrt{b} & = \sqrt{\left( \sqrt{a} \right)^{2}+\left( \sqrt{b} \right)^{2}-2\left( \sqrt{a} \right) \left( \sqrt{b} \right)}\\ \sqrt{a}-\sqrt{b} & = \sqrt{a+b-2 \sqrt{ab}} \end{align}$
Sampai pada tahap ini kita sudah berhasil membuktikan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ .

Ingat bentuk $\sqrt{a}-\sqrt{b} \neq \sqrt{b}-\sqrt{a}$ sehingga ada syarat tambahan pada bentuk ini yaitu $a \geq b$ agar hasil dari $\sqrt{a+b-2 \sqrt{ab}}$ adalah bilangan real positif, atau dapat kita tuliskan dalam bentuk $\sqrt{a+b-2 \sqrt{ab}} = \left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$

Contoh 1:
$\begin{align} \sqrt{7-2\sqrt{10}} &=\sqrt{(5+2)-2\sqrt{5 \cdot 2}} \\ &= \sqrt{5} - \sqrt{2} \end{align}$

Contoh 2:
$\begin{align} \sqrt{8-2\sqrt{7}} &=\sqrt{(7+1)-2\sqrt{7 \cdot 1}} \\ &= \sqrt{7} - \sqrt{1} \\ &= \sqrt{7} - 1 \end{align}$

Contoh 3:
$\begin{align} \sqrt{95-2\sqrt{2016}} & = \sqrt{63+32-2\sqrt{63 \cdot 32}} \\ & = \sqrt{63} - \sqrt{32} \\ & = \sqrt{9 \cdot 7} - \sqrt{16 \cdot 2} \\ & = 3\sqrt{7} - 4\sqrt{2} \end{align}$

Contoh 4:
$\begin{align} \sqrt{27 - \sqrt{680}} & = \sqrt{27 - \sqrt{4 \cdot 170}} \\ & = \sqrt{27 - 2 \sqrt{170}} \\ & = \sqrt{17+10-2\sqrt{17 \cdot 10}} \\ & = \sqrt{17}- \sqrt{10} \end{align}$

Soal Latihan dan Pembahasan Menarik Akar Kuadrat

Untuk menambah pemahaman kita terkait menarik akar kuadrat, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal-soal yang diujikan pada Ujian Nasional matematika atau Ujian Sekolah matematika.

Soal latihan menarik akar kuadrat berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!

Nama Peserta :
Tanggal Tes :	Kamis, 3 April 2025
Jumlah Soal :	16 soal

Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

1. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

Bentuk $\sqrt{ 8+2\sqrt{15} }$ sama nilainya dengan...

$(A)\ \sqrt{6}+ \sqrt{3}$

$(B)\ \sqrt{6}+ \sqrt{2}$

$(C)\ \sqrt{5}+ \sqrt{3}$

$(D)\ \sqrt{5}+ \sqrt{6}$

$(E)\ \sqrt{3}+ \sqrt{2}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal di atas, dapat kita gunakan sifat $\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)+2\sqrt{ab} }$
$\begin{align} \sqrt{ 8+2\sqrt{15} } &= \sqrt{ \left( 5+3 \right)+2\sqrt{5 \times 3} } \\ &= \sqrt{5}+ \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{5}+ \sqrt{3}$

2. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

Bentuk $\sqrt{ 13-2\sqrt{30} }$ sama nilainya dengan...

$(A)\ \sqrt{10} - \sqrt{2}$

$(B)\ \sqrt{10} - \sqrt{3}$

$(C)\ \sqrt{5} - \sqrt{2}$

$(D)\ \sqrt{5} - \sqrt{3}$

$(E)\ \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal di atas, dapat kita gunakan sifat $\sqrt{a}-\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)-2\sqrt{ab} }$
$\begin{align} \sqrt{ 13+2\sqrt{30} } &= \sqrt{ \left( 10+3 \right)-2\sqrt{10 \times 3} } \\ &= \sqrt{10}- \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{10}- \sqrt{3}$

3. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

Bentuk $\sqrt{ 7+ \sqrt{40} }$ sama nilainya dengan...

$(A)\ \sqrt{3} + \sqrt{5}$

$(B)\ \sqrt{6} + \sqrt{5}$

$(C)\ \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$(D)\ \sqrt{3} + \sqrt{6}$

$(E)\ \sqrt{2} + \sqrt{5}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal di atas, dapat kita gunakan sifat $\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)+2\sqrt{ab} }$
$\begin{align} \sqrt{ 7+ \sqrt{40} } &= \sqrt{ 7 + \sqrt{4 \times 10} } \\ &= \sqrt{ 7 + 2 \sqrt{10} } \\ &= \sqrt{ \left( 5+2 \right)+2\sqrt{5 \times 2} } \\ &= \sqrt{5} + \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{2} + \sqrt{5}$

4. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

Bentuk $\sqrt{ 6+ 4\sqrt{2} }$ sama nilainya dengan...

$(A)\ \sqrt{3} + \sqrt{2}$

$(B)\ \sqrt{3} + 2$

$(C)\ \sqrt{2} + 2$

$(D)\ \sqrt{3} + 3$

$(E)\ \sqrt{3} + \sqrt{5}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal di atas, dapat kita gunakan sifat $\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)+2\sqrt{ab} }$
$\begin{align} \sqrt{ 6+ 4\sqrt{2} } &= \sqrt{ 6+ 2 \times 2\sqrt{2} } \\ &\sqrt{ 6+ 2\sqrt{2 \times 4} } \\ &\sqrt{ 6+ 2\sqrt{8} } \\ &= \sqrt{ \left( 4+2 \right)+2\sqrt{4 \times 2} } \\ &= \sqrt{4} + \sqrt{2} \\ &= 2 + \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{2} + 2$

5. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

Bentuk $\dfrac{2}{\sqrt{ 10-2\sqrt{21} }}$ sama nilainya dengan...

$(A)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \sqrt{2} \right)$

$(B)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{5} + \sqrt{2} \right)$

$(C)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \sqrt{5} \right)$

$(D)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \sqrt{3} \right)$

$(E)\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right)$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal di atas, dapat kita gunakan sifat $\sqrt{a}-\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)-2\sqrt{ab} }$
$\begin{align} \sqrt{ 10-2\sqrt{21}} &= \sqrt{ \left( 7+3 \right)-2\sqrt{7 \times 3} } \\ &= \sqrt{7} - \sqrt{3} \\ \hline \dfrac{2}{\sqrt{ 10-2\sqrt{21} }} &= \dfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{2 \left( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right)}{7-3 } \\ &= \dfrac{2 \left( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right)}{4 } \\ &= \dfrac{ \left( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right)}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \sqrt{3} \right)$

6. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

If $\sqrt{30-k\sqrt{6}}=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$ then $k=\cdots$

$(A)\ 9$

$(B)\ 10$

$(C)\ 11$

$(D)\ 12$

$(E)\ 13$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal di atas, dapat kita gunakan sifat $\left( x-y \right)^{2} = x^{2}-2xy+y^{2}$ atau $\sqrt{a}-\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)-2\sqrt{ab} }$

$\begin{align} \sqrt{30-k\sqrt{6}} &= 3\sqrt{2}-2\sqrt{3} \\ \hline \text{kedua ruas}\ & \text{kita kuadratkan} \\ \hline \left( \sqrt{30-k\sqrt{6}} \right)^{2} &= \left( 3\sqrt{2}-2\sqrt{3} \right)^{2} \\ 30-k\sqrt{6} &= \left( 3\sqrt{2} \right)^{2} - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} + \left( 2\sqrt{3} \right)^{2} \\ 30-k\sqrt{6} &= 18 - 12\sqrt{6} + 12 \\ 30-k\sqrt{6} &= 30 - 12\sqrt{6} \end{align}$

Dari kesamaan bentuk di atas kita peroleh nilai $k=12$ .

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12$

7. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Soal Lengkap

Jika $\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ maka $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\cdots$

$(A)\ 25$

$(B)\ 20$

$(C)\ 15$

$(D)\ 10$

$(E)\ 5$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sifat $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ;
$\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}$
$=\sqrt{\dfrac{3}{10}+\sqrt{\dfrac{8}{100}}}$
$=\sqrt{\dfrac{3}{10}+\sqrt{4 \cdot \dfrac{2}{100}}}$
$=\sqrt{\dfrac{3}{10}+2\sqrt{\dfrac{2}{100}}}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{10}+2\sqrt{\dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{2}{10}}}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{10}}+\sqrt{\dfrac{2}{10}}$

Nilai $a=\dfrac{1}{10}$ dan $b=\dfrac{2}{10}$
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{10}{1}+\dfrac{10}{2}=15$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 15$

8. Soal UM STIS 2017 |*Soal Lengkap

$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}=\cdots$

$(A)\ 2\sqrt{3}$

$(B)\ \sqrt{10}$

$(C)\ 2\sqrt{2}$

$(D)\ \sqrt{11}$

$(E)\ 3\sqrt{2}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita coba usahakan bentuk akar $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ atau bentuk akar $\sqrt{3+\sqrt{5}}$ setidaknya mirip dengan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ atau $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ .

$\begin{align} \sqrt{3-\sqrt{5}} &= \sqrt{3-2\sqrt{\dfrac{5}{4}}} \\ &=\sqrt{\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}-2\sqrt{\dfrac{5}{4}}} \\ &=\sqrt{\dfrac{5}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}} \end{align}$

$\begin{align} \sqrt{3+\sqrt{5}} &= \sqrt{3+2\sqrt{\dfrac{5}{4}}} \\ &= \sqrt{\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{5}{4}}} \\ &= \sqrt{\dfrac{5}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}} \end{align}$

$\begin{align} \sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}} &=\sqrt{\dfrac{5}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{5}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ &=2\sqrt{\dfrac{5}{2}} \\ &=2\sqrt{\dfrac{10}{4}} \\ &=2 \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{10} \\ &=\sqrt{10} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{10}$

9. Soal SIMAK UI 2009 Kode 912 |*Soal Lengkap

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\cdots$

$(A)\ 4\sqrt{2}$

$(B)\ 3+\sqrt{2}$

$(C)\ \sqrt{2}$

$(D)\ 1$

$(E)\ 0$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sifat $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ;
$\begin{align} \sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{2} & = \sqrt{(2+1)+2\sqrt{2 \cdot 1}}-\sqrt{2} \\ & = \sqrt{2}+ \sqrt{1}-\sqrt{2} \\ & = 1 \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

10. Soal UM UGM 2016 Kode 572 |*Soal Lengkap

$\sqrt{\dfrac{8}{15}-2\sqrt{\dfrac{1}{15}}}=\cdots$

$(A)\ \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}}$

$(B)\ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}}$

$(C)\ \sqrt{3} + \sqrt{5}$

$(D)\ \sqrt{\frac{5}{3}- \sqrt{\frac{3}{5}}}$

$(E)\ \sqrt{5} - \sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sifat $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ ;
$\begin{align} \sqrt{\dfrac{8}{15}-2\sqrt{\dfrac{1}{15}}} & = \sqrt{\left( \dfrac{5}{15}+\dfrac{3}{15} \right)-2\sqrt{\left( \dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{3}{15} \right)}} \\ & = \sqrt{\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5} \right)-2\sqrt{\left( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} \right)}} \\ & = \sqrt{\dfrac{1}{3}}- \sqrt{ \dfrac{1}{5}} \\ & = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}- \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}}$

11. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Nilai dari $\dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{18}}{\sqrt{7+2\sqrt{10}}}=\cdots$

$(A)\ 3$

$(B)\ 6$

$(C)\ 9$

$(D)\ 3\sqrt{2}$

$(E)\ 2\sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang bentuk akar yang mungkin membantu yaitu;

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{a \cdot b}}=\sqrt{a} + \sqrt{b}$

Dengan menyederhanakan bentuk soal menjadi seperti berikut ini;
$\begin{align} \sqrt{45} &= \sqrt{9 \cdot 5} \\ &= 3\sqrt{5} \\ \hline \sqrt{18} &= \sqrt{9 \cdot 2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \hline \sqrt{7+2\sqrt{10}} &=\sqrt{(5+2)+2\sqrt{5 \cdot 2}} \\ &= \sqrt{5}+ \sqrt{2} \\ \hline \end{align}$
$\begin{align} \dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{18}}{\sqrt{7+2\sqrt{10}}} & = \dfrac{3\sqrt{5}+3\sqrt{2}}{\sqrt{5}+ \sqrt{2}} \\ & = \dfrac{3 \left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right) }{\sqrt{5}+ \sqrt{2}} \\ & = 3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$

12. Soal UM UNDIP 2018 Kode 730/727 |*Soal Lengkap

Bentuk Sederhana dari $78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}}+\sqrt{17-12\sqrt{2}} \right)$ adalah...

$(A)\ 234$

$(B)\ 312$

$(C)\ 468$

$(D)\ 546$

$(E)\ 624$

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, dapat kita tulsikan bentuk sederhana dari soal seperti berikut ini:
$\begin{align} & 78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}}+\sqrt{17-12\sqrt{2}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{17+2 \cdot 6 \sqrt{2}}+\sqrt{17-2 \cdot 6 \sqrt{2}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{17+2 \sqrt{2 \cdot 36}}+\sqrt{17-2 \sqrt{2 \cdot 36}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{(9+8)+2 \sqrt{(9 \cdot 8)}}+\sqrt{(9+8)-2 \sqrt{(9 \cdot 8)}} \right) \\ & = 78 \left( \sqrt{9}+\sqrt{8}+ \sqrt{9}-\sqrt{8} \right) \\ & = 78 \left( 3+3 \right)= 468 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 468$

13. Soal UM UNDIP 2015 Kode 537 |*Soal Lengkap

Bentuk sederhana dari $\left( \sqrt{52+6\sqrt{43}} \right )^{3}-\left( \sqrt{52+6\sqrt{43}} \right )^{3}$ adalah...

$(A)\ 184$

$(B)\ 288$

$(C)\ 476$

$(D)\ 828$

$(E)\ 900$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma di atas, kita coba sederhanakan terlebih dahulu persamaannya:

$\begin{align} & \left( \sqrt{52+6\sqrt{43}} \right )^{3}-\left( \sqrt{52+6\sqrt{43}} \right )^{3} \\ &= \left( \sqrt{52+2 \cdot 3 \sqrt{43}} \right )^{3}-\left( \sqrt{52-2 \cdot 3 \sqrt{43}} \right )^{3} \\ &= \left( \sqrt{\left( 43+9 \right )+2 \sqrt{43 \cdot 9}} \right )^{3}-\left( \sqrt{\left( 43+9 \right )-2 \sqrt{43 \cdot 9}} \right )^{3} \\ &= \left( \sqrt{43}+ \sqrt{9} \right )^{3}-\left( \sqrt{43}- \sqrt{9} \right )^{3} \\ &= \left( \sqrt{43}+ 3 \right )^{3}-\left( \sqrt{43}- 3 \right )^{3} \\ \hline & a^{3}-b^{3}= \left[ a - b \right] \left[ a^{2}+ab+b^{2} \right] \\ \hline &= \left[ (\sqrt{43}+ 3)-(\sqrt{43}- 3) \right] \left[ (\sqrt{43}+ 3)^{2}+(\sqrt{43}+ 3)(\sqrt{43}- 3)+ (\sqrt{43}- 3)^{2} \right ] \\ &= [6]\left[ (43+6 \sqrt{43}+9)+(43-9) +(43-6 \sqrt{43}+9) \right] \\ &= [6]\left[ 43 \cdot 3 + 9 \right] \\ &= [6]\left[ 138 \right] = 828 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 828$

14. Soal UM UGM 2006 Kode 382 |*Soal Lengkap

Bentuk sederhana dari $\sqrt{7+\sqrt{48}}$ adalah...

$(A)\ \sqrt{8}+\sqrt{7}$

$(B)\ \sqrt{7}+\sqrt{6}$

$(C)\ \sqrt{6}+ 1$

$(D)\ \sqrt{5}+\sqrt{2}$

$(E)\ \sqrt{4}+\sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sifat $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ .

$\begin{align} \sqrt{7+\sqrt{48}} & = \sqrt{7+\sqrt{4 \cdot 12}} \\ & = \sqrt{7+ 2\sqrt{12}} \\ & = \sqrt{(4+3)+ 2\sqrt{4 \cdot 3}} \\ & = \sqrt{4}+ \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{4}+\sqrt{3}$

15. Soal UM UNJ 2012 Kode 25 |*Soal Lengkap

Jika $\sqrt{9-6\sqrt{2}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ maka $a-b=\cdots$

$(A)\ 5$

$(B)\ 4$

$(C)\ 3$

$(D)\ 2$

$(E)\ 1$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sifat $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dimana $a \geq b$ .

$\begin{align} \sqrt{9-6\sqrt{2}} & = \sqrt{a}-\sqrt{b} \\ \sqrt{9-2\cdot 3 \sqrt{2}} & = \sqrt{a}-\sqrt{b} \\ \sqrt{9-2 \sqrt{9 \cdot 2}} & = \sqrt{a}-\sqrt{b} \\ \sqrt{9-2 \sqrt{18}} & = \sqrt{a}-\sqrt{b} \\ \sqrt{(6+3)-2 \sqrt{6 \cdot 3}} & = \sqrt{a}-\sqrt{b} \\ \sqrt{6}-\sqrt{3} & = \sqrt{a}-\sqrt{b} \\ \hline a-b & = 6-3 \\ & = 3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$

16. Soal SPMB 2006 Kode 710 |*Soal Lengkap

Jika bilangan asli $a$ dan $b$ memenuhi $\sqrt{17+4\sqrt{15}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{5}$ , maka $b-a=\cdots$

$(A)\ -2$

$(B)\ -1$

$(C)\ 1$

$(D)\ 2$

$(E)\ 3$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sifat $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ .

$\begin{align} \sqrt{17+4\sqrt{15}} & = a\sqrt{3}+b\sqrt{5} \\ \sqrt{17+2 \cdot 2 \sqrt{15}} & = a\sqrt{3}+b\sqrt{5} \\ \sqrt{17+2 \sqrt{4 \cdot 15}} & = a\sqrt{3}+b\sqrt{5} \\ \sqrt{17+2 \sqrt{60}} & = a\sqrt{3}+b\sqrt{5} \\ \sqrt{12+5+2 \sqrt{5 \cdot 12}} & = a\sqrt{3}+b\sqrt{5} \\ \sqrt{12}+\sqrt{5} & = a\sqrt{3}+b\sqrt{5} \\ 2\sqrt{3}+\sqrt{5} & = a\sqrt{3}+b\sqrt{5} \\ \hline b-a & = 1-2 \\ & = -1 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

Catatan Menarik Akar Kuadrat (Menyederhanakan Bentuk Akar) di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.