Menarik Akar Kuadrat (Menyederhanakan Bentuk Akar)

Calon guru belajar matematika dasar dari Cara Menarik Akar Kuadrat atau salah satu alternatif dalam menyederhanakan bentuk akar.

Catatan menarik akar kudarat ini merupakan catatan lebih khusus untuk membahas Bentuk Akar atau Eksponen.

DEFINISI BENTUK AKAR

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.

Misalnya $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, dan bentuk lainnya. Sedangkan $\sqrt{4}=2$ atau $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ bukan bentuk akar karena hasilnya adalah bilangan rasional.

Dalam matematik definisi bentuk akar ini dituliskan dalam bentuk $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.
dibaca dengan "akar pangkat $n$ dari $a$".

Bentuk kuhusus $\sqrt[n]{a}$, yaitu saat $n=2$ tidak perlu dituliskan, sehingga dapat ditulis hanya dengan $\sqrt{a}$ dibaca dengan "akar kuadrat dari $a$" atau "akar pangkat dua dari $a$" atau sering disebut "akar $a$".

MENARIK AKAR KUADRAT $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$

Istilah menarik akar kuadrat ini digunakan untuk salah satu alternatif dalam menyederhanakan bentuk akar bentuk $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ menjadi $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan syarat $a,\ b \geq 0$.

Untuk membuktikan kesamaan bentuk di atas dapat kita gunakan beberapa sifat eksponen dan sedikit manipulasi aljabar seperti penjabaran berikut ini.

$\begin{align}
\left( x+y \right)^{2} & = \left( x+y \right) \left( x+y \right) \\
\left( x+y \right)^{2} & = x^{2}+xy+xy+y^{2} \\
\left( x+y \right)^{2} & = x^{2}+2xy+y^{2} \\
\left( x+y \right)^{2} & = x^{2}+y^{2}+2xy \\
\hline \text{kedua ruas}\ &\ \text{kita tarik akar kuadrat} \\ \hline \sqrt{\left( x+y \right)^{2}} & = \sqrt{x^{2}+y^{2}+2xy} \\
x+y & = \sqrt{x^{2}+y^{2}+2xy}\\ \end{align}$

Dari bentuk yang kita peroleh di atas, jika kita misalkan $x=\sqrt{a}$ dan $y=\sqrt{b}$, maka dapat kita tuliskkan:
$\begin{align}
x+y & = \sqrt{x^{2}+y^{2}+2xy}\\ \sqrt{a}+\sqrt{b} & = \sqrt{\left( \sqrt{a} \right)^{2}+\left( \sqrt{b} \right)^{2}+2\left( \sqrt{a} \right) \left( \sqrt{b} \right)}\\ \sqrt{a}+\sqrt{b} & = \sqrt{a+b+2 \sqrt{ab}} \end{align}$
Sampai pada tahap ini kita sudah berhasil membuktikan $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Contoh 1:
$\begin{align}
\sqrt{7+2\sqrt{10}} &=\sqrt{(5+2)+2\sqrt{5 \cdot 2}} \\
&= \sqrt{5}+ \sqrt{2} \end{align}$

Contoh 2:
$\begin{align}
\sqrt{8+2\sqrt{7}} &=\sqrt{(7+1)+2\sqrt{7 \cdot 1}} \\
&= \sqrt{7}+ \sqrt{1} \\ &= \sqrt{7}+ 1 \end{align}$

Contoh 3:
$\begin{align}
\sqrt{95+2\sqrt{2016}} & = \sqrt{95+2\sqrt{2016}} \\
& = \sqrt{63+32+2\sqrt{63 \cdot 32}} \\
& = \sqrt{63}+ \sqrt{32} \\
& = \sqrt{9 \cdot 7}+ \sqrt{16 \cdot 2} \\
& = 3\sqrt{7}+ 4\sqrt{2} \end{align}$

Contoh 4:
$\begin{align}
\sqrt{15+6\sqrt{6}} & = \sqrt{15+2 \cdot 3\sqrt{6}} \\
& = \sqrt{15+2\sqrt{9 \cdot 6}} \\
& = \sqrt{9+6+2\sqrt{9 \cdot 6}} \\
& = \sqrt{9}+ \sqrt{6} \\
& = 3 + \sqrt{6} \end{align}$

MENARIK AKAR KUADRAT $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$

Istilah menarik akar kuadrat ini digunakan untuk salah satu alternatif dalam menyederhanakan bentuk akar bentuk $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ menjadi $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan syarat $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$.

Untuk membuktikan kesamaan bentuk di atas dapat kita gunakan beberapa sifat eksponen dan sedikit manipulasi aljabar seperti penjabaran berikut ini.

$\begin{align}
\left( x-y \right)^{2} & = \left( x-y \right) \left( x-y \right) \\
\left( x-y \right)^{2} & = x^{2}-xy-xy+y^{2} \\
\left( x-y \right)^{2} & = x^{2}-2xy+y^{2} \\
\left( x-y \right)^{2} & = x^{2}+y^{2}-2xy \\
\hline \text{kedua ruas}\ &\ \text{kita tarik akar kuadrat} \\ \hline \sqrt{\left( x-y \right)^{2}} & = \sqrt{x^{2}+y^{2}-2xy} \\
x-y & = \sqrt{x^{2}+y^{2}-2xy}\\ \end{align}$

Dari bentuk yang kita peroleh di atas, jika kita misalkan $x=\sqrt{a}$ dan $y=\sqrt{b}$, maka dapat kita tuliskkan:
$\begin{align}
x-y & = \sqrt{x^{2}+y^{2}-2xy}\\ \sqrt{a}-\sqrt{b} & = \sqrt{\left( \sqrt{a} \right)^{2}+\left( \sqrt{b} \right)^{2}-2\left( \sqrt{a} \right) \left( \sqrt{b} \right)}\\ \sqrt{a}-\sqrt{b} & = \sqrt{a+b-2 \sqrt{ab}} \end{align}$
Sampai pada tahap ini kita sudah berhasil membuktikan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

Ingat bentuk $\sqrt{a}-\sqrt{b} \neq \sqrt{b}-\sqrt{a}$ sehingga ada syarat tambahan pada bentuk ini yaitu $a \geq b$ agar hasil dari $\sqrt{a+b-2 \sqrt{ab}}$ adalah bilangan real positif, atau dapat kita tuliskan dalam bentuk $\sqrt{a+b-2 \sqrt{ab}} = \left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$

Contoh 1:
$\begin{align}
\sqrt{7-2\sqrt{10}} &=\sqrt{(5+2)-2\sqrt{5 \cdot 2}} \\
&= \sqrt{5} - \sqrt{2} \end{align}$

Contoh 2:
$\begin{align}
\sqrt{8-2\sqrt{7}} &=\sqrt{(7+1)-2\sqrt{7 \cdot 1}} \\
&= \sqrt{7} - \sqrt{1} \\ &= \sqrt{7} - 1 \end{align}$

Contoh 3:
$\begin{align}
\sqrt{95-2\sqrt{2016}} & = \sqrt{63+32-2\sqrt{63 \cdot 32}} \\
& = \sqrt{63} - \sqrt{32} \\
& = \sqrt{9 \cdot 7} - \sqrt{16 \cdot 2} \\
& = 3\sqrt{7} - 4\sqrt{2} \end{align}$

Contoh 4:
$\begin{align}
\sqrt{27 - \sqrt{680}} & = \sqrt{27 - \sqrt{4 \cdot 170}} \\
& = \sqrt{27 - 2 \sqrt{170}} \\
& = \sqrt{17+10-2\sqrt{17 \cdot 10}} \\
& = \sqrt{17}- \sqrt{10} \end{align}$

SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN MENARIK AKAR KUADRAT

1. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

Bentuk $\sqrt{ 8+2\sqrt{15} }$ sama nilainya dengan...

$(A)\ \sqrt{6}+ \sqrt{3} $
$(B)\ \sqrt{6}+ \sqrt{2} $
$(C)\ \sqrt{5}+ \sqrt{3} $
$(D)\ \sqrt{5}+ \sqrt{6} $
$(E)\ \sqrt{3}+ \sqrt{2} $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal seperti soal di atas, ingat sifat $ \sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)+2\sqrt{ab} }$
$\begin{align} \sqrt{ 8+2\sqrt{15} } &= \sqrt{ \left( 5+3 \right)+2\sqrt{5 \times 3} } \\ &= \sqrt{5}+ \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{5}+ \sqrt{3}$

2. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

Bentuk $\sqrt{ 13-2\sqrt{30} }$ sama nilainya dengan...

$(A)\ \sqrt{10} - \sqrt{2} $
$(B)\ \sqrt{10} - \sqrt{3} $
$(C)\ \sqrt{5} - \sqrt{2} $
$(D)\ \sqrt{5} - \sqrt{3} $
$(E)\ \sqrt{3} - \sqrt{2} $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal seperti soal di atas, ingat sifat $ \sqrt{a}-\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)-2\sqrt{ab} }$
$\begin{align} \sqrt{ 13+2\sqrt{30} } &= \sqrt{ \left( 10+3 \right)-2\sqrt{10 \times 3} } \\ &= \sqrt{10}- \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{10}- \sqrt{3}$

3. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

Bentuk $\sqrt{ 7+ \sqrt{40} }$ sama nilainya dengan...

$(A)\ \sqrt{3} + \sqrt{5} $
$(B)\ \sqrt{6} + \sqrt{5} $
$(C)\ \sqrt{6} + \sqrt{2} $
$(D)\ \sqrt{3} + \sqrt{6} $
$(E)\ \sqrt{2} + \sqrt{5} $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal seperti soal di atas, ingat sifat $ \sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)+2\sqrt{ab} }$
$\begin{align} \sqrt{ 7+ \sqrt{40} } &= \sqrt{ 7 + \sqrt{4 \times 10} } \\ &= \sqrt{ 7 + 2 \sqrt{10} } \\ &= \sqrt{ \left( 5+2 \right)+2\sqrt{5 \times 2} } \\ &= \sqrt{5} + \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{2} + \sqrt{5}$

4. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

Bentuk $\sqrt{ 6+ 4\sqrt{2} }$ sama nilainya dengan...

$(A)\ \sqrt{3} + \sqrt{2} $
$(B)\ \sqrt{3} + 2 $
$(C)\ \sqrt{2} + 2 $
$(D)\ \sqrt{3} + 3 $
$(E)\ \sqrt{3} + \sqrt{5} $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal seperti soal di atas, ingat sifat $ \sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)+2\sqrt{ab} }$
$\begin{align} \sqrt{ 6+ 4\sqrt{2} } &= \sqrt{ 6+ 2 \times 2\sqrt{2} } \\ &\sqrt{ 6+ 2\sqrt{2 \times 4} } \\ &\sqrt{ 6+ 2\sqrt{8} } \\ &= \sqrt{ \left( 4+2 \right)+2\sqrt{4 \times 2} } \\ &= \sqrt{4} + \sqrt{2} \\ &= 2 + \sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{2} + 2$

5. Soal Latihan Menarik Akar Kuadrat

Bentuk $\dfrac{2}{\sqrt{ 10-2\sqrt{21} }}$ sama nilainya dengan...

$(A)\ \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \sqrt{2} \right) $
$(B)\ \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{5} + \sqrt{2} \right) $
$(C)\ \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \sqrt{5} \right) $
$(D)\ \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \sqrt{3} \right) $
$(E)\ \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right) $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyederhanakan bentuk soal seperti soal di atas, ingat sifat $ \sqrt{a}-\sqrt{b} = \sqrt{ \left( a+b \right)-2\sqrt{ab} }$
$\begin{align} \sqrt{ 10-2\sqrt{21}} &= \sqrt{ \left( 7+3 \right)-2\sqrt{7 \times 3} } \\ &= \sqrt{7} - \sqrt{3} \\ \hline \dfrac{2}{\sqrt{ 10-2\sqrt{21} }} &= \dfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{2 \left( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right)}{7-3 } \\ &= \dfrac{2 \left( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right)}{4 } \\ &= \dfrac{ \left( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right)}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \sqrt{3} \right)$

Catatan tentang Menarik Akar Kuadrat (Menyederhanakan Bentuk Akar) di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.