com.png "defantri.com")
Catatan Calon guru berikut belajar matematika dasar SMP lewat soal dan pembahasan bentuk akar pada matematika SMP. Apa yang diharapkan setelah mempelajari materi ini, yaitu siswa dapat mengetahui apa itu bentuk akar, dan mengembangkan sifat-sifat operasi bentuk akar melalui ide-ide kreatif mereka, sehingga dapat menyelesaian masalah yang berkaitan dengan bentuk akar.
Soal matematika dasar bentuk akar untuk SMP ini kita pilih dari soal-soal TKA matematika SMP, Ujian Sekolah/Ujian Madrasah matematika SMP, soal Ujian Nasional matematika SMP, atau soal ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Favorit. Sehingga catatan pembahasan soal bentuk akar ini dapat menjadi bahan latihan untuk persiapan dalam menghadapi Ujian Sekolah matematika SMP atau ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Favorit.
DEFINISI AKAR
Secara sederhana dapat kita tuliskan definisi Akar adalah kebalikan (invers) dari bilangan berpangkat.
Kebalikan (invers) yang dimaksud disini yaitu jika pada konsep bilangan perpangkat (eksponen) menghitung "berapa hasil dari $2^{3}$?", maka konsep akar adalah menghitung "bilangan berapa yang jika dipangkatkan dengan $3$ maka hasilnya $8$?".
Secara umum bentuk akar ini dituliskan dalam bentuk $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.
dibaca: "akar pangkat $n$ dari $a$".
Bentuk khusus $\sqrt[n]{a}$ yaitu saat $n=2$ dapat tidak dituliskan, sehingga dapat ditulis hanya dengan $\sqrt{a}$ dibaca "akar kuadrat dari $a$" atau "akar pangkat dua dari $a$" atau sering disebut hanya dengan "akar $a$".
$a^{\frac{m}{n}}=\left( a^{m} \right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
- Contoh:
- $\sqrt{9}=3$ karena $3^{2}=25$
- $\sqrt{25}=5$ karena $5^{2}=25$
- $\sqrt{144}=12$ karena $12^{2}=25$
- $\sqrt[3]{8}=2$ karena $2^{3}=85$
- $\sqrt[3]{64}=4$ karena $4^{3}=64$
- $\sqrt[5]{32}=2$ karena $2^{5}=32$
DEFINISI BENTUK AKAR
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.
Misalnya $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, dan bentuk lainnya. Sedangkan $\sqrt{4}=2$ atau $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ bukan bentuk akar karena hasilnya adalah bilangan rasional.
SIFAT-SIFAT BENTUK AKAR
Dari definisi akar dan bentuk akar di atas, diperoleh beberapa sifat-sifat akar dan bentuk akar, yaitu:
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
- $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
- $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
- $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
- $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
- $\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{c\left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
- $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$, atau
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$ - $\underset{\text{a sebanyak n}}{\underbrace{\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots\sqrt{a}}}}}}}=a^{\frac{2^{n}-1}{2^{n}}}$ dengan $a \geq 0$ dan $n$ bilangan asli
- $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}}=a$ dengan $a \geq 0$
- $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$
- $\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$
Pada catatan berikut ini, sifat-sifat bentuk akar di atas sudah kita gunakan secara bersamaan, untuk catatan bentuk akar yang membahas sifat bilangan berpangkat secara khusus, silahkan di simak pada catatan berikut:
- Mengenal Bentuk Akar dan Pembahasan Soal Latihan Dari Buku Matematika SMP
- Cara Merasionalkan Penyebut Pecahan dan Pembahasan Soal Latihan
- Menarik Akar Kuadrat (Menyederhanakan Bentuk Akar)
Soal dan Pembahasan Bentuk Akar Matematika SMP
Soal-soal Bentuk Akar berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih ⟳ Ulangi Tes untuk tes ulang. Ayo Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 41 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Nilai dari $\sqrt{8+\sqrt{540+\sqrt{1280+\sqrt{250+\sqrt{36}}}}}$ adalah....
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:
- $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
- $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
$\begin{align}
& \sqrt{8+\sqrt{540+\sqrt{1280+\sqrt{250+\sqrt{36}}}}} \\
&= \sqrt{8+\sqrt{540+\sqrt{1280+\sqrt{250+\sqrt{36}}}}} \\
&=\sqrt{8+\sqrt{540+\sqrt{1280+\sqrt{250+6}}}} \\
&=\sqrt{8+\sqrt{540+\sqrt{1280+\sqrt{256}}}} \\
&=\sqrt{8+\sqrt{540+\sqrt{1280+16}}} \\
&=\sqrt{8+\sqrt{540+\sqrt{1296}}} \\
&=\sqrt{8+\sqrt{540+36}} \\
&=\sqrt{8+\sqrt{576}} \\
&=\sqrt{8+24} \\
&=\sqrt{32} \\
&=\sqrt{16 \times 2} \\
&=4\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\sqrt{2} $
2. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Nilai dari $\sqrt{36 + \sqrt{155- \sqrt{98+ \sqrt[3]{529 \times \sqrt{529}}}}}$ adalah....
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:
- $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
- $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
$\begin{align}
& \sqrt{36 + \sqrt{155- \sqrt{98+ \sqrt[3]{529 \times \sqrt{529}}}}} \\
&=\sqrt{36 + \sqrt{155-\sqrt{98+ \sqrt[3]{529 \times 23}}}} \\
&=\sqrt{36 + \sqrt{155-\sqrt{98+ \sqrt[3]{23^{2} \times 23}}}} \\
&=\sqrt{36 + \sqrt{155-\sqrt{98+ 23}}} \\
&=\sqrt{36 + \sqrt{155-\sqrt{121}}} \\
&=\sqrt{36 + \sqrt{155-11}} \\
&=\sqrt{36 + \sqrt{144}} \\
&=\sqrt{36 + 12} \\
&=\sqrt{48} \\
&=4\sqrt{3} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\sqrt{3} $
3. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Berapa nilai dari $\sqrt{81 + \sqrt{ 94 - \sqrt{158 + \sqrt{1331 \div \sqrt[3]{1331}}}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:
- $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
- $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
$\begin{align}
& \sqrt{81 + \sqrt{ 94 - \sqrt{158 + \sqrt{1331 \div \sqrt[3]{1331}}}}} \\
&= \sqrt{81 + \sqrt{ 94 - \sqrt{158 + \sqrt{1331 \div 11}}}} \\
&= \sqrt{81 + \sqrt{ 94 - \sqrt{158 + \sqrt{121}}}} \\
&= \sqrt{81 + \sqrt{ 94 - \sqrt{158 + 11}}} \\
&= \sqrt{81 + \sqrt{ 94 - \sqrt{169}}} \\
&= \sqrt{81 + \sqrt{ 94 - 13}} \\
&= \sqrt{81 + \sqrt{ 81}} \\
&= \sqrt{81 + 9} \\
&= \sqrt{90} \\
&= \sqrt{9 \times 10} \\
&= 3 \sqrt{10}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3\sqrt{10} $
4. Soal UNBK SMP 2018 🔗
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} \times \dfrac{\sqrt{20}+\sqrt{12}}{\sqrt{20}+\sqrt{12}} \\
& = \dfrac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{20}+\sqrt{12}\right)}{\left(\sqrt{20}-\sqrt{12}\right)\left(\sqrt{20}+\sqrt{12}\right)} \\
& = \dfrac{\sqrt{100}+\sqrt{60}+\sqrt{60}+\sqrt{36}}{\sqrt{400}-\sqrt{240}+\sqrt{240}-\sqrt{144} } \\
& = \dfrac{10+2\sqrt{60}+6}{20-12} \\
& = \dfrac{16+2\sqrt{60}}{8} \\
& = \dfrac{16+2\sqrt{4 \cdot 15}}{8} \\
& = \dfrac{16+2 \cdot 2\sqrt{15}}{8} \\
& = \dfrac{16+4\sqrt{15}}{8} \\
& = \dfrac{4+\sqrt{15}}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4+\sqrt{15}}{2}$
5. Soal Simulasi UNBK SMP 2018 🔗
Bilangan yang senilai dengan $\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan yang senilai dengan sebuah bilangan itu bisa kita cari dengan merubah bentuk tapi tidak merubah nilainya. Cara yang paling mudah adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan $1$, karena bilangan yang dikali dengan $1$ hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
$ \begin{align}
\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}
& =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times 1 \\
& =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times \dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(9-5)} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{4} \\
& =\dfrac{2(3-\sqrt{5})}{1} \\
& =6-2\sqrt{5} \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6-2\sqrt{5}$
6. Soal UN Matematika SMP 2018 🔗
Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{54}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{8}-3\sqrt{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{54}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{8}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2\sqrt{9 \times 6}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{4 \times 2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \times 3\sqrt{6}+4\sqrt{6}}{4 \times 2 \sqrt{2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6\sqrt{6}+4\sqrt{6}}{8 \sqrt{2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{10\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \\
& = 2\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{3}$
7. Soal UN Matematika SMP 2017 🔗
Hasil dari $ 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} : \sqrt{48} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} : \sqrt{48} \\
& = 2\sqrt{9 \times 3} \times \sqrt{16 \times 2} : \sqrt{16 \times 3}\\
& = 2 \times 3 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} : 4\sqrt{3} \\
& = 6 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} : 4\sqrt{3} \\
& = \dfrac{6 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} \\
& = 6\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6\sqrt{2}$
8. Soal UN Matematika SMP 2017 🔗
Bentuk sederhana dari $ \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} \times \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \\
& = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{\left(3-\sqrt{5} \right)\left(3+\sqrt{5} \right)} \\
& = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{9-5} \\
& = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{4} \\
& = 2 \times \left(3-\sqrt{5} \\
& = 6-2\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6-2\sqrt{5}$
9. Soal UN Matematika SMP 2016 🔗
Hasil dari $ \sqrt{1.000}-2\sqrt{40} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sqrt{1.000}-2\sqrt{40} \\
& = \sqrt{100 \times 10}-2\sqrt{4 \times 10} \\
& = 10 \sqrt{10}-2 \times 2\sqrt{10} \\
& = 10 \sqrt{10}- 4\sqrt{10} \\
& = 6\sqrt{10}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6\sqrt{10}$
10. Soal UN Matematika SMP 2016 🔗
Bilangan yang senilai dengan $ \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \times \dfrac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \times \left(3-\sqrt{2} \right)}{\left(3-\sqrt{2} \right)\left(3+\sqrt{2} \right)} \\
& = \dfrac{2 \times \left(3-\sqrt{2} \right)}{9-2} \\
& = \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}$
11. Soal UN Matematika SMP 2015 🔗
Hasil dari $ 3\sqrt{2}+5 \sqrt{8}- \sqrt{32} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 3\sqrt{2}+5 \sqrt{8}- \sqrt{32} \\
& = 3\sqrt{2}+5 \sqrt{4 \times 2}- \sqrt{16 \times 2} \\
& = 3\sqrt{2}+5 \times 2\sqrt{2}-4\sqrt{2} \\
& = 3\sqrt{2}+10\sqrt{2}-4\sqrt{2} \\
& = 9\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9\sqrt{2}$
12. Soal UN Matematika SMP 2014 🔗
Bilangan $ \dfrac{2}{\sqrt{6}} $ dirasionalkan penyebutnya menjadi...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
& = \dfrac{2}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\
& = \dfrac{2 \times \sqrt{6} \right)}{\left( \sqrt{6} \right)\left( \sqrt{6} \right)} \\
& = \dfrac{2 \sqrt{6}}{6} \\
& = \dfrac{1}{3}\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{3}\sqrt{6}$
13. Soal UN Matematika SMP 2014 🔗
Hasil dari $ \sqrt{24} : \sqrt{3} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sqrt{24} : \sqrt{3} \\
& = \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{\sqrt{8} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
& = \sqrt{8}= \sqrt{4 \times 2} \\
& = 2\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{2}$
14. Soal UN Matematika SMP 2013 🔗
Hasil dari $ 4\sqrt{10} \times \sqrt{2} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 4\sqrt{10} \times \sqrt{2} \\
& = 4\sqrt{10 \times 2} \\
& = 4\sqrt{20} \\
& = 4 \sqrt{4 \times 5}= 4 \times 2 \sqrt{5} \\
& = 8\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8\sqrt{5}$
15. Soal UN Matematika SMP 2012 🔗
Hasil dari $\sqrt{3} \times \sqrt{8}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:
- $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
- $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
$\begin{align}
\sqrt{3} \times \sqrt{8} &= \sqrt{3} \times \sqrt{4 \times 2} \\
&= \sqrt{3} \times 2 \sqrt{ 2} \\
&= 2\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{6}$
16. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $x=\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}}$, maka nilai $x$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $x=\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x & =\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( x \right)^{2}& = \left( \sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
x^{2}& = 2+ \color{red}{\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
x^{2}& = 2+ x \\
0 & = x^{2} - x - 2 \\
0 & = \left( x-2 \right) \left( x+1 \right) \\
& x=2\ \text{atau}\ x=-1
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=2$.
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = \sqrt{2 \times 1+\sqrt{2 \times 1 +\sqrt{ 2 \times 1 +\sqrt{ 2 \times 1 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
17. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $x=\sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}}$, maka nilai $x$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $x=\sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x & = \sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( x \right)^{2}& = \left( \sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
x^{2}& = 2024 \color{red}{\sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} \\
x^{2}& = 2024 x \\
x & = 2024
\end{align}$
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} = 2024
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2024$
18. Soal US-UM Matematika SMP 🔗
Misalkan $A \gt 1$. Bentuk yang senilai dengan $\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka soal di atas dapat kita kerjakan dengan dua cara.
Cara Alternatif I: Berkerja dari dalam
$\begin{align}
& \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}} \\
& = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A \cdot \left( A \right)^{\frac{1}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A \cdot A^{\frac{1}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A^{1+ \frac{1}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A^{\frac{4}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A \cdot \left( A^{\frac{4}{3}} \right)^{\frac{1}{3}}} \\
& = \sqrt[3]{A \cdot A^{\frac{4}{9}}} \\
& = \sqrt[3]{ A^{1+\frac{4}{9}}} \\
& = \sqrt[3]{ A^{\frac{13}{9}}} \\
& = \left( A^{\frac{13}{9}} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = A^{\frac{13}{27}}
\end{align}$
Cara Alternatif II: Berkerja dari luar
$\begin{align}
& \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}} \\
& = \left( A\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}\right)^{\frac{1}{3}} \\
&= A^{\frac{1}{3}} \left( \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}\right)^{\frac{1}{3}} \\
&= A^{\frac{1}{3}} \left( \left( A \sqrt[3]{A}\right)^{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{3}} \\
&= A^{\frac{1}{3}} \left( A \sqrt[3]{A}\right)^{\frac{1}{9}} \\
&= A^{\frac{1}{3}} \cdot A^{\frac{1}{9}} \left( \sqrt[3]{A}\right)^{\frac{1}{9}} \\
&= A^{\frac{1}{3}} \cdot A^{\frac{1}{9}} \left( A^{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{9}} \\
&= A^{\frac{1}{3}} \cdot A^{\frac{1}{9}} \cdot A^{\frac{1}{27}} \\
&= A^{\frac{9}{27}+\frac{3}{27}+\frac{1}{27}} \\
&= A^{\frac{13}{27}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ A^{\frac{13}{27}}$
19. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}}}}=p^{x}q^{-x}$ maka nilai $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh kesimpulan seperti berikut ini.
Cara Alternatif I: Berkerja dari dalam
$\begin{align}
& \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}}}} \\
& = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q} \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}}}}} \\
& = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{3}{2}}}}} \\
& = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q} \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{3}{4}}}} \\
& = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{ \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{7}{4}}}} \\
& = \sqrt{\frac{p}{q} \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{7}{8}}} \\
& = \sqrt{ \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{15}{8}}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{15}{16}} \\
& = p^{\frac{15}{16}}q^{-\frac{15}{16}} \equiv p^{x}q^{-x}
\end{align}$
Cara Alternatif II: Berkerja dari luar
$\begin{align}
& \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}}}} \\
& = \left( \frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}} \right)^{\frac{1}{4}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{4}} \left( \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}} \right)^{\frac{1}{4}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{4}} \left( \left( \frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{4}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{4}} \left( \frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}} \right)^{\frac{1}{8}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{4}} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{8}} \left( \sqrt{\frac{p}{q}} \right)^{\frac{1}{8}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{4}} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{8}} \left( \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{8}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{4}} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{8}} \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{16}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{8}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}+\frac{1}{16}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{15}{16}} \\
& = p^{\frac{15}{16}}q^{-\frac{15}{16}} \equiv p^{x}q^{-x}
\end{align}$
Cara Alternatif III: Pakai rumus
$\begin{align}
& \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}}}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{2^{4}-1}{2^{4}}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{16-1}{16}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{15}{16}} \\
& = p^{\frac{15}{16}}q^{-\frac{15}{16}} \equiv p^{x}q^{-x}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{15}{16}$
20. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Nilai dari $\left( \sqrt{3} \right)^{-3}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{-2}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{-1}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{0}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{1}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{2}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{3}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align}
& \left( \sqrt{3} \right)^{-3} +\left( \sqrt{3} \right)^{-2} +\left( \sqrt{3} \right)^{-1} +\left( \sqrt{3} \right)^{0} +\left( \sqrt{3} \right)^{1} +\left( \sqrt{3} \right)^{2} +\left( \sqrt{3} \right)^{3} \\
&= \dfrac{1}{\left( \sqrt{3} \right)^{3}} + \dfrac{1}{\left( \sqrt{3} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + 1 + \sqrt{3} + 3 + \left( \sqrt{3} \right)^{2} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^{1} \\
&= \dfrac{1}{3\sqrt{3}} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + 1 + \sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} \\
&= \dfrac{1}{3\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + + 4 + 4\sqrt{3} \\
&= \dfrac{1}{9}\sqrt{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\sqrt{3} + 4 + 4\sqrt{3} \\
&= \left(\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{3} + 4 \right)\sqrt{3}+ 4 + \dfrac{1}{3} \\
&= \left(\dfrac{4}{9} + 4 \right)\sqrt{3}+ 4\frac{1}{3} \\
&= 4\frac{4}{9}\sqrt{3}+ 4\frac{1}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\frac{1}{3}+4\frac{4}{9}\sqrt{3}$
21. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Nilai dari $\sqrt{2026^{2}-2024^{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat dan informasi pada soal di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \sqrt{2026^{2}-2024^{2}} \\
&= \sqrt{\left( 2026 + 2024 \right)\left( 2026 - 2024 \right)} \\
&= \sqrt{\left( 4050 \right)\left( 2 \right)} \\
&= \sqrt{8100} \\
&= 90
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 90$
22. Soal Masuk Asrama YASOP-SMAN 2 Balige🔗
Nilai dari $\dfrac{\sqrt{2024^{2025}}}{\sqrt{2024^{2025}}-\sqrt{2024^{2023}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat dan informasi pada soal di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{\sqrt{2024^{2025}}}{\sqrt{2024^{2025}}-\sqrt{2024^{2023}}} \\
&= \dfrac{ \sqrt{2024^{2023} \cdot 2024^{2}}}{\sqrt{2024^{2023} \cdot 2024^{2}
}-\sqrt{2024^{2023}}} \\
&= \dfrac{ \sqrt{2024^{2023}} \cdot \sqrt{2024^{2}}}{\sqrt{2024^{2023}} \cdot \sqrt{2024^{2}}-\sqrt{2024^{2023}}} \\
&=\dfrac{ \sqrt{2024^{2023}} \cdot 2024}{\sqrt{2024^{2023}} \cdot 2024-\sqrt{2024^{2023}}} \\
&=\dfrac{ \sqrt{2024^{2023}} \cdot 2024}{\sqrt{2024^{2023}} \cdot \left( 2024-1 \right)} \\
&=\dfrac{ 2024}{ \left( 2024-1 \right)} \\
&=\dfrac{ 2024}{ 2023}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{ 2024}{ 2023}$
23. Soal Masuk Asrama YASOP-SMAN 2 Balige🔗
Nilai $ab$ jika $\sqrt{9+2-6\sqrt{ab}}=3-\sqrt{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bentuk akar dapat kita tuliskan beberapa aturan bentuk yang mungkin membantu:
- $\sqrt{(x+y)+2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ dengan $x,\ y \geq 0$
- $\sqrt{(x+y)-2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$ dengan $x,\ y \geq 0$ dan $x \geq y$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{9+2-6\sqrt{ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9+2-2 \cdot 3 \sqrt{ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9+2-2\sqrt{9 \cdot ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9}-\sqrt{ab} & = 3-\sqrt{2} \\
3-\sqrt{ab} & = 3-\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
24. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Bentuk sederhana dari:
$\sqrt{8+ \sqrt{60}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal di atas, dapat kita sederhanakan dengan menarik akar kuadrat:
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
- $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
$\begin{align}
\sqrt{8+ \sqrt{60}} &= \sqrt{8+ \sqrt{60}} \\
&= \sqrt{8+ \sqrt{4 \cdot 15}} \\
&= \sqrt{8+ 2\sqrt{15}} \\
&= \sqrt{(5+3)+ 2\sqrt{(5)(3)}} \\
&= \sqrt{5}+\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{5} +\sqrt{3}$
25. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
$\dfrac{\left (\sqrt[3]{x^{4}} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x+1}} \right )}{x\sqrt[6]{x+1}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal di atas, dapat kita sederhanakan dengan sifat-sifat bentuk akar menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \dfrac{\left (\sqrt[3]{x^{4}} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x+1}} \right )}{x\sqrt[6]{x+1}} \\
&= \dfrac{ \left (x^{\frac{4}{3}} \right) \left ( \sqrt[3]{x^{2} (x+1)^{\frac{1}{2}}} \right )}{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{\left ( x^{\frac{4}{3}} \right )\left ( x^{\frac{2}{3}} (x+1)^{\frac{1}{6}} \right)}{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{ x^{\frac{4}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}} }{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{ x^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}}{x } \\
&= \dfrac{ x^{\frac{6}{3}}}{x}=\dfrac{ x^{2}}{x}=x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x$
26. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Bentuk sederhana dari $3+ \dfrac{1}{\sqrt{3}}+ \dfrac{1}{3+\sqrt{3}}+ \dfrac{1}{\sqrt{3}-3} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 3+ \dfrac{1}{\sqrt{3}}+ \dfrac{1}{3+\sqrt{3}}+ \dfrac{1}{\sqrt{3}-3} \\
& =3+ \dfrac{1}{\sqrt{3}}+ \dfrac{\sqrt{3}-3+3+\sqrt{3}}{\left(3+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-3\right)} \\
&= 3+ \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+ \dfrac{2\sqrt{3}}{3-9} \\
&= 3+ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} + \dfrac{2\sqrt{3}}{-6} \\
&= 3+ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} -\dfrac{2}{6}\sqrt{3} \\
&= 3+ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} -\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\
&= 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3 $
27. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}=2^{x}$, maka nilai $x$ yang mmemenuhi adalah....
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh kesimpulan seperti berikut ini.
Cara Alternatif I: Berkerja dari dalam
$\begin{align}
& = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} \\
& = \sqrt{2\sqrt{ 2 \sqrt{ 2 \cdot \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}}}}} \\
& = \sqrt{2\sqrt{ 2 \sqrt{\left( 2 \right)^{\frac{3}{2}}}}} \\
& = \sqrt{2\sqrt{ 2 \cdot \left( 2 \right)^{\frac{3}{4}}}} \\
& = \sqrt{2\sqrt{ \left( 2 \right)^{\frac{7}{4}}}} \\
& = \sqrt{2 \cdot \left( 2 \right)^{\frac{7}{8}}} \\
& = \sqrt{ \left( 2 \right)^{\frac{15}{8}}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{15}{16}}
\end{align}$
Cara Alternatif II: Berkerja dari luar
$\begin{align}
& \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} \\
& = \left( 2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( \left( 2\sqrt{2\sqrt{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( 2\sqrt{2\sqrt{ 2 }} \right)^{\frac{1}{4}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( 2 \right)^{\frac{1}{4}} \left( 2\sqrt{2} \right)^{\frac{1}{4}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( 2 \right)^{\frac{1}{4}} \left( \left( 2\sqrt{2} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{4}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( 2 \right)^{\frac{1}{4}} \left( 2\sqrt{2} \right)^{\frac{1}{8}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( 2 \right)^{\frac{1}{4}} \left(2 \right)^{\frac{1}{8}} \left( \sqrt{2} \right)^{\frac{1}{8}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( 2 \right)^{\frac{1}{4}} \left( 2 \right)^{\frac{1}{8}} \left( \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{8}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( 2 \right)^{\frac{1}{4}} \left( 2 \right)^{\frac{1}{8}} \left( 2 \right)^{\frac{1}{16}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\frac{1}{16}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{8}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}\frac{1}{16}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{15}{16}}
\end{align}$
Cara Alternatif III: Pakai rumus
$\begin{align}
& \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{2^{4}-1}{2^{4}}} \\
& = \left( 2\right)^{\frac{16-1}{16}} \\
& = \left( 2 \right)^{\frac{15}{16}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{15}{16}$
28. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}}=5^{\frac{a}{b}}$ maka nilai dari $a+b$ yang mungkin adalah....
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh kesimpulan seperti berikut ini.
Cara Alternatif I: Berkerja dari dalam
$\begin{align}
& = \sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}} \\
& = \sqrt{ 5 \sqrt{ 5 \cdot \left( 5 \right)^{\frac{1}{2}}}} \\
& = \sqrt{ 5 \sqrt{\left( 5 \right)^{\frac{3}{2}}}} \\
& = \sqrt{ 5 \cdot \left( 5 \right)^{\frac{3}{4}}} \\
& = \sqrt{ \left(5 \right)^{\frac{7}{4}}} \\
& = \left( 5 \right)^{\frac{7}{8}}
\end{align}$
Cara Alternatif II: Berkerja dari luar
$\begin{align}
& \sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}} \\
&= \left( 5\sqrt{5\sqrt{5}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
&= \left( 5 \right)^{\frac{1}{2}} \left( \sqrt{5\sqrt{5}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
&= \left( 5 \right)^{\frac{1}{2}} \left( \left( 5\sqrt{5} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
&= \left( 5 \right)^{\frac{1}{2}} \left( 5\sqrt{5} \right)^{\frac{1}{4}} \\
&= \left( 5 \right)^{\frac{1}{2}} \left( 5 \right)^{\frac{1}{4}} \left( \sqrt{5} \right)^{\frac{1}{4}} \\
&= \left( 5 \right)^{\frac{1}{2}} \left( 5 \right)^{\frac{1}{4}} \left( 5 \right)^{\frac{1}{8}} \\
&= \left( 5 \right)^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} } \\
&= \left( 5 \right)^{\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8} } \\
&= \left( 5 \right)^{\frac{7}{8}}
\end{align}$
Cara Alternatif III: Pakai rumus
$\begin{align}
& \sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}} \\
& = \left( 5 \right)^{\frac{2^{3}-1}{2^{3}}} \\
& = \left( 5\right)^{\frac{8-1}{8}} \\
& = \left( 5 \right)^{\frac{7}{8}}
\end{align}$
Kita peroleh $5^{\frac{a}{b}}=\left( 5 \right)^{\frac{7}{8}}$, sehingga nilai $a+b$ yang mungkin adalah $15$, $30$, $45$, ....
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 30 $
29. Soal UNBK SMP Tahun 2019 🔗
Hasil dari $3\sqrt{7} \times \sqrt{8} + 5\sqrt{14}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:
- $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
- $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
$\begin{align}
3\sqrt{7} \times \sqrt{8} + 5\sqrt{14} &= 3\sqrt{7} \times 2\sqrt{2} + 5\sqrt{14} \\
&= 6\sqrt{14} + 5\sqrt{14} \\
&= 11\sqrt{14}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11\sqrt{14} $
30. Soal UNBK SMP Tahun 2019 🔗
Nilai dari $\left(3 \sqrt{3} \right)^{-2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung bilangan berpangkat di atas catatan calon guru tentang bilangan berpangkat berikut mungkin bermanfaat:
- $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
- $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
$\begin{align}
\left(3 \sqrt{3} \right)^{-2} &= \left(3 \sqrt{3} \right)^{-2} \\
&= \left(3 \cdot 3^{\frac{1}{2} } \right)^{-2} \\
&= \left( 3^{1+\frac{1}{2} } \right)^{-2} \\
&= \left( 3^{ \frac{3}{2} } \right)^{-2} \\
&= 3^{-3} = \dfrac{1}{3^{3}} = \dfrac{1}{27}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{27}$
31. Soal Simulasi UNBK SMP 2019 🔗
Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6-2\sqrt{6}-3\sqrt{6}+6}{3-2} \\
& = \dfrac{12-5\sqrt{6}}{1} \\
& = 12-5\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12-5\sqrt{6}$
32. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $x=\sqrt{6+\sqrt{6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{\cdots}}}}}$, maka nilai $x$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $x=\sqrt{6+\sqrt{6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{ 6+\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x & =\sqrt{6+\sqrt{6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( x \right)^{2}& = \left( \sqrt{6+\sqrt{6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
x^{2}& = 6+ \color{red}{\sqrt{6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
x^{2}& = 6+ x \\
0 & = x^{2} - x - 6 \\
0 & = \left( x-3 \right) \left( x+2 \right) \\
& x=3\ \text{atau}\ x=-2
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{6+\sqrt{6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=3$.
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{6+\sqrt{6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{ 6 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = \sqrt{3 \times 2+\sqrt{3 \times 2 +\sqrt{ 3 \times 2 +\sqrt{ 3 \times 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$
33. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $x=\sqrt{42+\sqrt{42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{\cdots}}}}}$, maka nilai $x$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $x=\sqrt{42+\sqrt{42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x & =\sqrt{42+\sqrt{42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( x \right)^{2}& = \left( \sqrt{42+\sqrt{42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{42 +\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
x^{2}& = 42+ \color{red}{\sqrt{42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
x^{2}& = 42+ x \\
0 & = x^{2} - x - 42 \\
0 & = \left( x-7 \right) \left( x+6 \right) \\
& x=7\ \text{atau}\ x=-6
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{42+\sqrt{42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=7$.
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{42+\sqrt{42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{ 42 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = \sqrt{7\times 6+\sqrt{7 \times 6 +\sqrt{ 7 \times 6 +\sqrt{ 7 \times 6 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = 7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$
34. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $p=\sqrt{72-\sqrt{72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{\cdots}}}}}$, maka nilai $p$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $p=\sqrt{72-\sqrt{72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
p & =\sqrt{72-\sqrt{72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( p \right)^{2}& = \left( \sqrt{72-\sqrt{72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{72 -\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
p^{2}& = 72-\color{red}{\sqrt{72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{\cdots}}}}} \\
p^{2}& = 72- p \\
0 & = p^{2} + p - 72 \\
0 & = \left( p+9 \right) \left( p-8 \right) \\
& p=-9\ \text{atau}\ p=8
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{72-\sqrt{72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=8$.
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{72-\sqrt{72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{ 72 -\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = \sqrt{9\times 8-\sqrt{9\times 8-\sqrt{ 9\times 8-\sqrt{ 9\times 8-\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = 8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8 $
35. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $x^{2}-20=\sqrt{20+\sqrt{20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{\cdots}}}}}$, maka nilai $x$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $x^{2}-20=\sqrt{20+\sqrt{20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Untuk menyelesaikan soal ini kita coba dengan menghitung terlebih dahulu nilai dari:
$\begin{align}
k & =\sqrt{20+\sqrt{20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( k \right)^{2}& = \left( \sqrt{20+\sqrt{20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{20 +\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
k^{2}& = 20+ \color{red}{\sqrt{20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
k^{2}& = 20+ k\\
0 & = k^{2} - k - 20 \\
0 & = \left( k-5 \right) \left( k+4 \right) \\
& k=5\ \text{atau}\ k=-4
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{20+\sqrt{20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=5$.
Dari hasil di atas dapat kita peroleh kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}-20 & = \sqrt{20+\sqrt{20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{ 20 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
x^{2}-20 & = 5 \\
x^{2} & = 5+20 \\
x^{2} & = 25 \\
x & = \pm \sqrt{25} = \pm 5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5 $
36. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{\cdots}}}}}=15$, maka nilai $x$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{\cdots}}}}}=15$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
15 & = \sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( 15 \right)^{2}& = \left( \sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
225 & = 3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{\cdots}}}}} \\
225 & = 3x+ 15 \\
225-15 & = 3x \\
210 & = 3x \\
\frac{210}{3} & = x \\
70 & = x
\end{align}$
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan pengembangan "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$.
$\sqrt{ax+\sqrt{ax+\sqrt{ax+\sqrt{ax+\sqrt{\cdots}}}}}=k$, untuk $k$ bilangan asli, kita peroleh hubungan:
$ax=k \left( k-1 \right)$
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
15 & = \sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{3x+\sqrt{\cdots}}}}} \\
\hline
3x & = 15 \left( 15-1 \right) \\
3x & = 15 \left( 14 \right) \\
x & = 5 \left( 14 \right) \\
x & = 70
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 70$
37. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{\cdots}}}}}=11$, maka nilai $m$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{\cdots}}}}}=11$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
11 & = \sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( 11 \right)^{2}& = \left( \sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
121 & = 5m+ \sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{\cdots}}}}} \\
121 & = 5m+ 11 \\
121-11 & = 5m \\
110 & = 5m \\
\frac{110}{5} & = m \\
22 & = m
\end{align}$
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan pengembangan "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$.
$\sqrt{ax+\sqrt{ax+\sqrt{ax+\sqrt{ax+\sqrt{\cdots}}}}}=k$, untuk $k$ bilangan asli, kita peroleh hubungan:
$ax=k \left( k-1 \right)$
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
11 & = \sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{5m+\sqrt{\cdots}}}}} \\
\hline
5m & = 11 \left( 11-1 \right) \\
5m & = 11 \left( 10 \right) \\
m & = 11 \left( 2 \right) \\
m & = 22
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 22 $
38. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $p=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\cdots}}}}}$, maka nilai $p$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $p=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
p & =\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( p \right)^{2}& = \left( \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
p^{2}& = 3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\cdots}}}} \\
p^{2} & = 3 + p \\
p^{2} - p & = 3 \\
\left( p - \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{1}{4} & = 3 \\
\left( p - \frac{1}{2} \right)^{2} & = 3 + \frac{1}{4} \\
\left( p - \frac{1}{2} \right)^{2} & = \frac{13}{4} \\
p - \frac{1}{2} & = \pm \sqrt{\frac{13}{4}} \\
p & = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{13}{4}} \\
p & = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{13}
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $p$ yang memenuhi adalah $p= \frac{1}{2} \sqrt{13} + \frac{1}{2}$.
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus "Rumus Pilar (pintar bernalar)" "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{\cdots}}}}}=\frac{1}{2} \sqrt{4x+1} + \frac{1}{2}$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{4(3)+1} + \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{12+1} + \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{13} + \frac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2} \sqrt{13} + \frac{1}{2}$
39. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $m=\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{\cdots}}}}}$, maka nilai $m$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $m=\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
m & = \sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( m \right)^{2}& = \left( \sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{\cdots}}}}}} \right)^{2}\\
m^{2}& = 9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{\cdots}}}}} \\
m^{2} & = 9 + m \\
m^{2} - m & = 9 \\
\left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{1}{4} & = 9 \\
\left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} & = 9 + \frac{1}{4} \\
\left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} & = \frac{37}{4} \\
m - \frac{1}{2} & = \pm \sqrt{\frac{37}{4}} \\
m & = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{37}{4}} \\
m & = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{37}
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $m$ yang memenuhi adalah $m= \frac{1}{2} \sqrt{37} + \frac{1}{2}$.
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{\cdots}}}}}=\frac{1}{2} \sqrt{4x+1} + \frac{1}{2}$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{4(9)+1} + \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{36+1} + \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{37} + \frac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2} \sqrt{37} + \frac{1}{2}$
40. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $m=\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{\cdots}}}}}$, maka nilai $m$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $m=\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
m & = \sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( m \right)^{2}& = \left( \sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
m^{2}& = 7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{\cdots}}}}} \\
m^{2} & = 7 - m \\
m^{2} + m & = 7 \\
\left( m + \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{1}{4} & = 7 \\
\left( m + \frac{1}{2} \right)^{2} & = 7 + \frac{1}{4} \\
\left( m + \frac{1}{2} \right)^{2} & = \frac{29}{4} \\
m + \frac{1}{2} & = \pm \sqrt{\frac{29}{4}} \\
m & = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{29}{4}} \\
m & = -\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{29}
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $m$ yang memenuhi adalah $m= \frac{1}{2} \sqrt{29} - \frac{1}{2}$.
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{\cdots}}}}}=\frac{1}{2} \sqrt{4x+1} - \frac{1}{2}$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{7-\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{4(7)+1} - \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{28+1} - \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{29} - \frac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{1}{2} \sqrt{29} - \frac{1}{2}$
41. Model Soal TKA Matematika Masuk SMA🔗
Jika $k=\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{\cdots}}}}}$, maka nilai $k$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $k=\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Cara Alternatif I:
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
k & =\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( k \right)^{2}& = \left( \sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
k^{2}& = 3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{\cdots}}}} \\
k^{2} & = 3 - k \\
k^{2} + k & = 3 \\
\left( k + \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{1}{4} & = 3 \\
\left( k + \frac{1}{2} \right)^{2} & = 3 + \frac{1}{4} \\
\left( k + \frac{1}{2} \right)^{2} & = \frac{13}{4} \\
k + \frac{1}{2} & = \pm \sqrt{\frac{13}{4}} \\
k & = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{13}{4}} \\
k & = -\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{13}
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $k$ yang memenuhi adalah $k= \frac{1}{2} \sqrt{13} - \frac{1}{2}$.
Cara Alternatif II:
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentuk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus "Rumus Pilar (pintar bernalar)", yaitu $\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{\cdots}}}}}=\frac{1}{2} \sqrt{4x+1} - \frac{1}{2}$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{3-\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{4(3)+1} - \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{12+1} - \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{13} - \frac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2} \sqrt{13} - \frac{1}{2}$
Catatan Pembahasan 30+ Soal Bentuk Akar Matematika SMP di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
