Pembahasan 20+ Soal Bentuk Akar Matematika SMP

Calon guru belajar matematika dasar SMP lewat soal dan pembahasan bentuk akar pada matematika SMP. Apa yang diharapkan setelah mempelajari materi ini, yaitu siswa dapat mengembangkan sifat-sifat operasi bentuk akar melalui ide-ide kreatif mereka, sehingga dapat menyelesaian masalah yang berkaitan dengan bentuk akar.

Soal matematika dasar bentuk akar untuk SMP ini kita pilih dari soal-soal yang sudah pernah diujikan pada soal Ujian Sekolah matematika SMP, soal Ujian Nasional matematika SMP, atau soal ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Favorit.

Dengan sendirinya catatan pembahasan soal bentuk akar ini dapat menjadi bahan latihan untuk persiapan dalam menghadapi Ujian Sekolah matematika SMP atau ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Favorit.

Bentuk akar ini mempunyai hubungan yang erat dengan bilangan berpangkat, yaitu $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$, sehingga pada catatan bentuk akar ini ada saatnya kita gunakan sifat-sifat dari bilangan berpangkat. Untuk mempelajari tentang bilangan berpangkat silahkan di simak pada catatan bilangan perpangkat (eksponen) matematika SMP.

DEFINISI BENTUK AKAR

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya bilangan irasional.
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.

Misalnya $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, dan bentuk lainnya. Sedangkan $\sqrt{4}=2$ atau $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ bukan bentuk akar karena hasilnya adalah bilangan rasional.

Dalam matematik definisi bentuk akar ini dituliskan dalam bentuk $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.
dibaca dengan "akar pangkat $n$ dari $a$".

Bentuk kuhusus $\sqrt[n]{a}$, yaitu saat $n=2$ tidak perlu dituliskan, sehingga dapat ditulis hanya dengan $\sqrt{a}$ dibaca dengan "akar kuadrat dari $a$" atau "akar pangkat dua dari $a$" atau sering juga disebut "akar $a$".

Dari definisi bentuk akar di atas, diperoleh beberapa sifat-sifat bentuk akar yaitu:

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
$\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
$\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
$\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
$\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{c\left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$, atau
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$
$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$
$\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$
$\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$
$\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}$
$\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Pada catatan berikut ini, sifat-sifat bentuk akar di atas sudah kita gunakan secara bersamaan, untuk catatan bentuk akar yang membahas sifat bilangan berpangkat secara khusus, silahkan di simak pada catatan berikut:

Soal dan Pembahasan Bentuk Akar Matematika SMP

1. Soal UNBK SMP Tahun 2019 |*Soal Lengkap

Hasil dari $3\sqrt{7} \times \sqrt{8} + 5\sqrt{14}$ adalah...

$(A)\ 15\sqrt{29} $
$(B)\ 11\sqrt{29} $
$(C)\ 15\sqrt{14} $
$(D)\ 11\sqrt{14} $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:

$a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
$a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$

$\begin{align}
3\sqrt{7} \times \sqrt{8} + 5\sqrt{14} &= 3\sqrt{7} \times 2\sqrt{2} + 5\sqrt{14} \\
&= 6\sqrt{14} + 5\sqrt{14} \\
&= 11\sqrt{14}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11\sqrt{14}$

2. Soal UNBK SMP Tahun 2019 |*Soal Lengkap

Nilai dari $\left(3 \sqrt{3} \right)^{-2}$ adalah...

$(A)\ -27 $
$(B)\ -\dfrac{1}{27} $
$(C)\ \dfrac{1}{27} $
$(D)\ 27 $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung bilangan berpangkat di atas catatan calon guru tentang bilangan berpangkat berikut mungkin bermanfaat:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
$(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
$a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$
$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

$\begin{align}
\left(3 \sqrt{3} \right)^{-2} &= \left(3 \sqrt{3} \right)^{-2} \\
&= \left(3 \cdot 3^{\frac{1}{2} } \right)^{-2} \\
&= \left( 3^{1+\frac{1}{2} } \right)^{-2} \\
&= \left( 3^{ \frac{3}{2} } \right)^{-2} \\
&= 3^{-3} = \dfrac{1}{3^{3}} = \dfrac{1}{27}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{27}$

3. Soal Simulasi UNBK SMP 2019 |*Soal Lengkap

Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ adalah...

$(A)\ 12-5\sqrt{6} $
$(B)\ 12 -\sqrt{6} $
$(C)\ -5-\sqrt{6} $
$(D)\ 6-5\sqrt{6} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6-2\sqrt{6}-3\sqrt{6}+6}{3-2} \\
& = \dfrac{12-5\sqrt{6}}{1} \\
& = 12-5\sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12-5\sqrt{6}$

4. Soal UNBK SMP 2018 |*Soal Lengkap

Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}}$ adalah...

$(A)\ 4+\sqrt{15} $
$(B)\ \dfrac{4-\sqrt{15}}{2} $
$(C)\ 4+2\sqrt{15} $
$(D)\ \dfrac{4+2\sqrt{15}}{2} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} \times \dfrac{\sqrt{20}+\sqrt{12}}{\sqrt{20}+\sqrt{12}} \\
& = \dfrac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{20}+\sqrt{12}\right)}{\left(\sqrt{20}-\sqrt{12}\right)\left(\sqrt{20}+\sqrt{12}\right)} \\
& = \dfrac{\sqrt{100}+\sqrt{60}+\sqrt{60}+\sqrt{36}}{\sqrt{400}-\sqrt{240}+\sqrt{240}-\sqrt{144} } \\
& = \dfrac{10+2\sqrt{60}+6}{20-12} \\
& = \dfrac{16+2\sqrt{60}}{8} \\
& = \dfrac{16+2\sqrt{4 \cdot 15}}{8} \\
& = \dfrac{16+2 \cdot 2\sqrt{15}}{8} \\
& = \dfrac{16+4\sqrt{15}}{8} \\
& = \dfrac{4+\sqrt{15}}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4+\sqrt{15}}{2}$

Coba latih lagi soal tentang betuk akar pada Matematika Dasar: Bentuk Akar [Soal UN Matematika SMP dan Pembahasan]

5. Soal Simulasi UNBK SMP 2018 |*Soal Lengkap

Bilangan yang senilai dengan $\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}$ adalah...

$(A)\ 6-2\sqrt{5} $
$(B)\ 6+2\sqrt{5} $
$(C)\ 12-2\sqrt{5} $
$(D)\ 12+2\sqrt{5} $

Alternatif Pembahasan:

Bilangan yang senilai dengan sebuah bilangan itu bisa kita cari dengan merubah bentuk tapi tidak merubah nilainya. Cara yang paling mudah adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan $1$, karena bilangan yang dikali dengan $1$ hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
$ \begin{align}
\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}
& =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times 1 \\ & =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times \dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\ & =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} \\ & =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(9-5)} \\ & =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{4} \\ & =\dfrac{2(3-\sqrt{5})}{1} \\ & =6-2\sqrt{5} \\ \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6-2\sqrt{5}$

6. Soal UN Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap

Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{54}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{8}-3\sqrt{2}}$ adalah...

$(A)\ 2\sqrt{12} $
$(B)\ 5\sqrt{4} $
$(C)\ 6\sqrt{10} $
$(D)\ 2\sqrt{3} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{54}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{8}-3\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{2\sqrt{9 \times 6}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{4 \times 2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \times 3\sqrt{6}+4\sqrt{6}}{4 \times 2 \sqrt{2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6\sqrt{6}+4\sqrt{6}}{8 \sqrt{2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{10\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \\
& = 2\sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{3}$

7. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap

Hasil dari $ 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} : \sqrt{48} $ adalah...

$(A)\ 3\sqrt{3} $
$(B)\ 4\sqrt{3} $
$(C)\ 5\sqrt{2} $
$(D)\ 6\sqrt{2} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} : \sqrt{48} \\ & = 2\sqrt{9 \times 3} \times \sqrt{16 \times 2} : \sqrt{16 \times 3}\\
& = 2 \times 3 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} : 4\sqrt{3} \\ & = 6 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} : 4\sqrt{3} \\ & = \dfrac{6 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} \\
& = 6\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6\sqrt{2}$

8. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap

Bentuk sederhana dari $ \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} $ adalah...

$(A)\ 6+2\sqrt{5} $
$(B)\ 6+\sqrt{10} $
$(C)\ 6-\sqrt{10} $
$(D)\ 6-2\sqrt{5} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} \times \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \\ & = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{\left(3-\sqrt{5} \right)\left(3+\sqrt{5} \right)} \\ & = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{9-5} \\ & = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{4} \\ & = 2 \times \left(3-\sqrt{5} \\
& = 6-2\sqrt{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6-2\sqrt{5}$

9. Soal UN Matematika SMP 2016 |*Soal Lengkap

Hasil dari $ \sqrt{1.000}-2\sqrt{40} $ adalah...

$(A)\ 6\sqrt{10} $
$(B)\ 8\sqrt{10} $
$(C)\ 10\sqrt{10} $
$(D)\ 2\sqrt{10} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sqrt{1.000}-2\sqrt{40} \\ & = \sqrt{100 \times 10}-2\sqrt{4 \times 10} \\
& = 10 \sqrt{10}-2 \times 2\sqrt{10} \\
& = 10 \sqrt{10}- 4\sqrt{10} \\
& = 6\sqrt{10} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6\sqrt{10}$

10. Soal UN Matematika SMP 2016 |*Soal Lengkap

Bilangan yang senilai dengan $ \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} $ adalah...

$(A)\ \dfrac{6+2\sqrt{2}}{7} $
$(B)\ \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7} $
$(C)\ \dfrac{5+ \sqrt{2}}{13} $
$(D)\ \dfrac{5- \sqrt{2}}{13} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \times \dfrac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{2 \times \left(3-\sqrt{2} \right)}{\left(3-\sqrt{2} \right)\left(3+\sqrt{2} \right)} \\ & = \dfrac{2 \times \left(3-\sqrt{2} \right)}{9-2} \\ & = \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}$

11. Soal UN Matematika SMP 2015 |*Soal Lengkap

Hasil dari $ 3\sqrt{2}+5 \sqrt{8}- \sqrt{32} $ adalah...

$(A)\ 4\sqrt{2} $
$(B)\ 6\sqrt{2} $
$(C)\ 8\sqrt{2} $
$(D)\ 9\sqrt{2} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& 3\sqrt{2}+5 \sqrt{8}- \sqrt{32} \\ & = 3\sqrt{2}+5 \sqrt{4 \times 2}- \sqrt{16 \times 2} \\
& = 3\sqrt{2}+5 \times 2\sqrt{2}-4\sqrt{2} \\ & = 3\sqrt{2}+10\sqrt{2}-4\sqrt{2} \\ & = 9\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9\sqrt{2}$

12. Soal UN Matematika SMP 2014 |*Soal Lengkap

Bilangan $ \dfrac{2}{\sqrt{6}} $ dirasionalkan penyebutnya menjadi...

$(A)\ \sqrt{6}$
$(B)\ \dfrac{1}{6}\sqrt{12} $
$(C)\ \dfrac{1}{3}\sqrt{6} $
$(D)\ 2\sqrt{6} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \dfrac{2}{\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{2}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ & = \dfrac{2 \times \sqrt{6} \right)}{\left( \sqrt{6} \right)\left( \sqrt{6} \right)} \\ & = \dfrac{2 \sqrt{6}}{6} \\ & = \dfrac{1}{3}\sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{3}\sqrt{6}$

13. Soal UN Matematika SMP 2014 |*Soal Lengkap

Hasil dari $ \sqrt{24} : \sqrt{3} $ adalah...

$(A)\ 2\sqrt{2} $
$(B)\ 3\sqrt{2} $
$(C)\ 4\sqrt{2} $
$(D)\ 2\sqrt{6} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sqrt{24} : \sqrt{3} \\ & = \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{\sqrt{8} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{8}= \sqrt{4 \times 2} \\ & = 2\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{2}$

14. Soal UN Matematika SMP 2013 |*Soal Lengkap

Hasil dari $ 4\sqrt{10} \times \sqrt{2} $ adalah...

$(A)\ 4\sqrt{5} $
$(B)\ 8\sqrt{5} $
$(C)\ 9\sqrt{5} $
$(D)\ 10\sqrt{5} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& 4\sqrt{10} \times \sqrt{2} \\ & = 4\sqrt{10 \times 2} \\
& = 4\sqrt{20} \\ & = 4 \sqrt{4 \times 5}= 4 \times 2 \sqrt{5} \\ & = 8\sqrt{5} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8\sqrt{5}$

15. Soal UN Matematika SMP 2012 |*Soal Lengkap

Hasil dari $\sqrt{3} \times \sqrt{8}$ adalah...

$(A)\ 2\sqrt{6} $
$(B)\ 3\sqrt{6} $
$(C)\ 4\sqrt{3} $
$(D)\ 4\sqrt{6} $

Alternatif Pembahasan:

Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:

$a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
$a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$

$\begin{align}
\sqrt{3} \times \sqrt{8} &= \sqrt{3} \times \sqrt{4 \times 2} \\
&= \sqrt{3} \times 2 \sqrt{ 2} \\
&= 2\sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{6}$

16. Model Soal US-UM Matematika SMP 2024 |*Soal Lengkap

Nilai dari $x=\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}}$ adalah...

$(A)\ 2 $
$(B)\ 4 $
$(C)\ 6 $
$(D)\ 8 $

Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal $x=\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.

Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} x & =\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\ \left( x \right)^{2}& = \left( \sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\ x^{2}& = 2+ \color{red}{\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\ x^{2}& = 2+ x \\ 0 & = x^{2} - x - 2 \\ 0 & = \left( x-2 \right) \left( x+1 \right) \\ & x=2\ \text{atau}\ x=-1 \end{align}$

Karena hasil $\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=2$.

Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus, yaitu $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$.

Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align} & \sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\ & = \sqrt{2 \times 1+\sqrt{2 \times 1 +\sqrt{ 2 \times 1 +\sqrt{ 2 \times 1 +\sqrt{\cdots}}}}} \\ & = 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

17. Model Soal US-UM Matematika SMP 2024 |*Soal Lengkap

Nilai dari $x=\sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}}$ adalah...

$(A)\ 2021 $
$(B)\ 2022 $
$(C)\ 2023 $
$(D)\ 2024 $

Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal $x=\sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.

Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} x & = \sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} \\ \left( x \right)^{2}& = \left( \sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\ x^{2}& = 2024 \color{red}{\sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} \\ x^{2}& = 2024 x \\ x & = 2024 \end{align}$

Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus, yaitu $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$.

Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align} & \sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} = 2024 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2024$

18. Model Soal US-UM Matematika SMP 2024 |*Soal Lengkap

Misalkan $A \gt 1$. Bentuk yang senilai dengan $\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}}$ adalah...

$(A)\ A^{\frac{1}{27}} $
$(B)\ A^{\frac{13}{9}} $
$(C)\ A^{\frac{1}{3}} $
$(D)\ A^{\frac{13}{27}} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align} \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}} & = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A \cdot \left( A \right)^{\frac{1}{3}}}} \\ & = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A \cdot A^{\frac{1}{3}}}} \\ & = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A^{1+ \frac{1}{3}}}} \\ & = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A^{\frac{4}{3}}}} \\ & = \sqrt[3]{A \cdot \left( A^{\frac{4}{3}} \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \sqrt[3]{A \cdot A^{\frac{4}{9}}} \\ & = \sqrt[3]{ A^{1+\frac{4}{9}}} \\ & = \sqrt[3]{ A^{\frac{13}{9}}} \\ & = \left( A^{\frac{13}{9}} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = A^{\frac{13}{27}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ A^{\frac{13}{27}}$

19. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan - SMA Favorit |*Soal Lengkap

Jika $\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}}}}=p^{x}q^{-x}$ maka nilai $x$ adalah...

$(A)\ \dfrac{31}{32} $
$(B)\ \dfrac{15}{16} $
$(C)\ \dfrac{7}{8} $
$(D)\ \dfrac{3}{4} $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align} \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}}}} & = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q} \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}}}}} \\ & = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{3}{2}}}}} \\ & = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q} \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{3}{4}}}} \\ & = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{ \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{7}{4}}}} \\ & = \sqrt{\frac{p}{q} \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{7}{8}}} \\ & = \sqrt{ \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{15}{8}}} \\ & = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{15}{16}} \\ & = p^{\frac{15}{16}}q^{-\frac{15}{16}} \equiv p^{x}q^{-x} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{15}{16}$

20. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan - SMA Favorit |*Soal Lengkap

Nilai dari $\left( \sqrt{3} \right)^{-3}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{-2}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{-1}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{0}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{1}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{2}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{3}=\cdots$

$(A)\ 14\frac{5}{9} \sqrt{3}$
$(B)\ 4\frac{1}{3}+4\frac{4}{9}\sqrt{3}$
$(C)\ 10\frac{1}{9}+4\frac{5}{9}\sqrt{3}$
$(D)\ 81\sqrt{3}$

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align} & \left( \sqrt{3} \right)^{-3} +\left( \sqrt{3} \right)^{-2} +\left( \sqrt{3} \right)^{-1} +\left( \sqrt{3} \right)^{0} +\left( \sqrt{3} \right)^{1} +\left( \sqrt{3} \right)^{2} +\left( \sqrt{3} \right)^{3} \\ &= \dfrac{1}{\left( \sqrt{3} \right)^{3}} + \dfrac{1}{\left( \sqrt{3} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + 1 + \sqrt{3} + 3 + \left( \sqrt{3} \right)^{2} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^{1} \\ &= \dfrac{1}{3\sqrt{3}} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + 1 + \sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} \\ &= \dfrac{1}{3\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + + 4 + 4\sqrt{3} \\ &= \dfrac{1}{9}\sqrt{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\sqrt{3} + 4 + 4\sqrt{3} \\ &= \left(\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{3} + 4 \right)\sqrt{3}+ 4 + \dfrac{1}{3} \\ &= \left(\dfrac{4}{9} + 4 \right)\sqrt{3}+ 4\frac{1}{3} \\ &= 4\frac{4}{9}\sqrt{3}+ 4\frac{1}{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\frac{1}{3}+4\frac{4}{9}\sqrt{3}$

21. Contoh Soal Masuk SMA Unggulan - SMA Favorit |*Soal Lengkap

Nilai dari $\sqrt{2026^{2}-2024^{2}}$ adalah...

$(A)\ \sqrt{2}$
$(B)\ 2$
$(C)\ \sqrt{90}$
$(D)\ 90$

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat dan informasi pada soal di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \sqrt{2026^{2}-2024^{2}} \\ &= \sqrt{\left( 2026 + 2024 \right)\left( 2026 - 2024 \right)} \\ &= \sqrt{\left( 4050 \right)\left( 2 \right)} \\ &= \sqrt{8100} \\ &= 90 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 90$

22. Soal Seleksi Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige |*Soal Lengkap

Nilai dari $\dfrac{\sqrt{2024^{2025}}}{\sqrt{2024^{2025}}-\sqrt{2024^{2023}}}$ adalah...

$(A)\ \dfrac{1}{\sqrt{2024^{2023}}}$
$(B)\ \dfrac{ 2023}{ 2024}$
$(C)\ \dfrac{ 2024}{ 2023}$
$(D)\ \dfrac{-1}{\sqrt{2024^{2023}}}$

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat dan informasi pada soal di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align} & \dfrac{\sqrt{2024^{2025}}}{\sqrt{2024^{2025}}-\sqrt{2024^{2023}}} \\ &= \dfrac{ \sqrt{2024^{2023} \cdot 2024^{2}}}{\sqrt{2024^{2023} \cdot 2024^{2} }-\sqrt{2024^{2023}}} \\ &= \dfrac{ \sqrt{2024^{2023}} \cdot \sqrt{2024^{2}}}{\sqrt{2024^{2023}} \cdot \sqrt{2024^{2}}-\sqrt{2024^{2023}}} \\ &=\dfrac{ \sqrt{2024^{2023}} \cdot 2024}{\sqrt{2024^{2023}} \cdot 2024-\sqrt{2024^{2023}}} \\ &=\dfrac{ \sqrt{2024^{2023}} \cdot 2024}{\sqrt{2024^{2023}} \cdot \left( 2024-1 \right)} \\ &=\dfrac{ 2024}{ \left( 2024-1 \right)} \\ &=\dfrac{ 2024}{ 2023} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{ 2024}{ 2023}$

23. Soal Seleksi Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige |*Soal Lengkap

Nilai $ab$ jika $\sqrt{9+2-6\sqrt{ab}}=3-\sqrt{2}$ adalah...

$(A)\ 1 $
$(B)\ 2 $
$(C)\ 6 $
$(D)\ 18 $

Alternatif Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan pada bentuk akar dapat kita tuliskan beberapa aturan bentuk yang mungkin membantu:

$\sqrt{(x+y)+2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ dengan $x,\ y \geq 0$
$\sqrt{(x+y)-2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$ dengan $x,\ y \geq 0$ dan $x \geq y$

Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{9+2-6\sqrt{ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9+2-2 \cdot 3 \sqrt{ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9+2-2\sqrt{9 \cdot ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9}-\sqrt{ab} & = 3-\sqrt{2} \\ 3-\sqrt{ab} & = 3-\sqrt{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

Catatan tentang Pembahasan 20+ Soal Bentuk Akar Matematika SMP di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.