Calon guru belajar matematika dasar SMP lewat soal dan pembahasan bentuk akar pada matematika SMP. Apa yang diharapkan setelah mempelajari materi ini, yaitu siswa dapat mengembangkan sifat-sifat operasi bentuk akar melalui ide-ide kreatif mereka, sehingga dapat menyelesaian masalah yang berkaitan dengan bentuk akar.
Soal matematika dasar bentuk akar untuk SMP ini kita pilih dari soal-soal yang sudah pernah diujikan pada soal Ujian Sekolah matematika SMP, soal Ujian Nasional matematika SMP, atau soal ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Favorit.
Dengan sendirinya catatan pembahasan soal bentuk akar ini dapat menjadi bahan latihan untuk persiapan dalam menghadapi Ujian Sekolah matematika SMP atau ujian seleksi akademik masuk SMA Unggulan atau SMA Favorit.
Bentuk akar ini mempunyai hubungan yang erat dengan bilangan berpangkat, yaitu $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$, sehingga pada catatan bentuk akar ini ada saatnya kita gunakan sifat-sifat dari bilangan berpangkat. Untuk mempelajari tentang bilangan berpangkat silahkan di simak pada catatan bilangan perpangkat (eksponen) matematika SMP.
DEFINISI BENTUK AKAR
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.
Misalnya $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, dan bentuk lainnya. Sedangkan $\sqrt{4}=2$ atau $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ bukan bentuk akar karena hasilnya adalah bilangan rasional.
Secara umum bentuk akar ini dituliskan dalam bentuk $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.
dibaca: "akar pangkat $n$ dari $a$".
Bentuk khusus $\sqrt[n]{a}$, yaitu saat $n=2$ dapat tidak dituliskan, sehingga dapat ditulis hanya dengan $\sqrt{a}$ dibaca "akar kuadrat dari $a$" atau "akar pangkat dua dari $a$" atau sering disebut hanya dengan "akar $a$".
SIFAT-SIFAT BENTUK AKAR
Dari definisi bentuk akar di atas, diperoleh beberapa sifat-sifat bentuk akar yaitu:
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
- Jika $𝑎$ adalah bilangan real serta $𝑚$ dan $𝑛$ adalah bilangan bulat positif yang relatif prima $\left( FPB (𝒎, 𝒏) =1 \right)$, maka
$a^{\frac{m}{n}}=\left( a^{m} \right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ - $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
- $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
- $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
- $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
- $\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{c\left (\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}$
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
- $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$, atau
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$ - $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$
- $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$
- $\sqrt{a \cdot b -\sqrt{ a \cdot b -\sqrt{a \cdot b -\sqrt{\cdots}}}}=b$ dengan $a-b=1$
- $\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}$
- $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Pada catatan berikut ini, sifat-sifat bentuk akar di atas sudah kita gunakan secara bersamaan, untuk catatan bentuk akar yang membahas sifat bilangan berpangkat secara khusus, silahkan di simak pada catatan berikut:
- Mengenal Bentuk Akar dan Pembahasan Soal Latihan Dari Buku Matematika SMP
- Cara Merasionalkan Penyebut Pecahan dan Pembahasan Soal Latihan
- Menarik Akar Kuadrat (Menyederhanakan Bentuk Akar)
Soal dan Pembahasan Bentuk Akar Matematika SMP
Soal-soal Bentuk Akar berikut ini, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 26 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal UNBK SMP Tahun 2019 |*Soal Lengkap
Hasil dari $3\sqrt{7} \times \sqrt{8} + 5\sqrt{14}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:
- $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
- $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
$\begin{align}
3\sqrt{7} \times \sqrt{8} + 5\sqrt{14} &= 3\sqrt{7} \times 2\sqrt{2} + 5\sqrt{14} \\
&= 6\sqrt{14} + 5\sqrt{14} \\
&= 11\sqrt{14}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 11\sqrt{14}$
2. Soal UNBK SMP Tahun 2019 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\left(3 \sqrt{3} \right)^{-2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung bilangan berpangkat di atas catatan calon guru tentang bilangan berpangkat berikut mungkin bermanfaat:
- $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$
- $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
$\begin{align}
\left(3 \sqrt{3} \right)^{-2} &= \left(3 \sqrt{3} \right)^{-2} \\
&= \left(3 \cdot 3^{\frac{1}{2} } \right)^{-2} \\
&= \left( 3^{1+\frac{1}{2} } \right)^{-2} \\
&= \left( 3^{ \frac{3}{2} } \right)^{-2} \\
&= 3^{-3} = \dfrac{1}{3^{3}} = \dfrac{1}{27}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{27}$
3. Soal Simulasi UNBK SMP 2019 |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6-2\sqrt{6}-3\sqrt{6}+6}{3-2} \\
& = \dfrac{12-5\sqrt{6}}{1} \\
& = 12-5\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12-5\sqrt{6}$
4. Soal UNBK SMP 2018 |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} \times \dfrac{\sqrt{20}+\sqrt{12}}{\sqrt{20}+\sqrt{12}} \\
& = \dfrac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{20}+\sqrt{12}\right)}{\left(\sqrt{20}-\sqrt{12}\right)\left(\sqrt{20}+\sqrt{12}\right)} \\
& = \dfrac{\sqrt{100}+\sqrt{60}+\sqrt{60}+\sqrt{36}}{\sqrt{400}-\sqrt{240}+\sqrt{240}-\sqrt{144} } \\
& = \dfrac{10+2\sqrt{60}+6}{20-12} \\
& = \dfrac{16+2\sqrt{60}}{8} \\
& = \dfrac{16+2\sqrt{4 \cdot 15}}{8} \\
& = \dfrac{16+2 \cdot 2\sqrt{15}}{8} \\
& = \dfrac{16+4\sqrt{15}}{8} \\
& = \dfrac{4+\sqrt{15}}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4+\sqrt{15}}{2}$
5. Soal Simulasi UNBK SMP 2018 |*Soal Lengkap
Bilangan yang senilai dengan $\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bilangan yang senilai dengan sebuah bilangan itu bisa kita cari dengan merubah bentuk tapi tidak merubah nilainya. Cara yang paling mudah adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan $1$, karena bilangan yang dikali dengan $1$ hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
$ \begin{align}
\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}
& =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times 1 \\
& =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times \dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(9-5)} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{4} \\
& =\dfrac{2(3-\sqrt{5})}{1} \\
& =6-2\sqrt{5} \\
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6-2\sqrt{5}$
6. Soal UN Matematika SMP 2018 |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{54}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{8}-3\sqrt{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{54}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{8}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2\sqrt{9 \times 6}+4\sqrt{6}}{4\sqrt{4 \times 2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \times 3\sqrt{6}+4\sqrt{6}}{4 \times 2 \sqrt{2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6\sqrt{6}+4\sqrt{6}}{8 \sqrt{2}-3\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{10\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \\
& = 2\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{3}$
7. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} : \sqrt{48} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 2\sqrt{27} \times \sqrt{32} : \sqrt{48} \\
& = 2\sqrt{9 \times 3} \times \sqrt{16 \times 2} : \sqrt{16 \times 3}\\
& = 2 \times 3 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} : 4\sqrt{3} \\
& = 6 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} : 4\sqrt{3} \\
& = \dfrac{6 \sqrt{3} \times 4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} \\
& = 6\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6\sqrt{2}$
8. Soal UN Matematika SMP 2017 |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari $ \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{8}{3-\sqrt{5}} \times \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \\
& = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{\left(3-\sqrt{5} \right)\left(3+\sqrt{5} \right)} \\
& = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{9-5} \\
& = \dfrac{8 \times \left(3-\sqrt{5} \right)}{4} \\
& = 2 \times \left(3-\sqrt{5} \\
& = 6-2\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6-2\sqrt{5}$
9. Soal UN Matematika SMP 2016 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ \sqrt{1.000}-2\sqrt{40} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sqrt{1.000}-2\sqrt{40} \\
& = \sqrt{100 \times 10}-2\sqrt{4 \times 10} \\
& = 10 \sqrt{10}-2 \times 2\sqrt{10} \\
& = 10 \sqrt{10}- 4\sqrt{10} \\
& = 6\sqrt{10}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6\sqrt{10}$
10. Soal UN Matematika SMP 2016 |*Soal Lengkap
Bilangan yang senilai dengan $ \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \times \dfrac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{2 \times \left(3-\sqrt{2} \right)}{\left(3-\sqrt{2} \right)\left(3+\sqrt{2} \right)} \\
& = \dfrac{2 \times \left(3-\sqrt{2} \right)}{9-2} \\
& = \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}$
11. Soal UN Matematika SMP 2015 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ 3\sqrt{2}+5 \sqrt{8}- \sqrt{32} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 3\sqrt{2}+5 \sqrt{8}- \sqrt{32} \\
& = 3\sqrt{2}+5 \sqrt{4 \times 2}- \sqrt{16 \times 2} \\
& = 3\sqrt{2}+5 \times 2\sqrt{2}-4\sqrt{2} \\
& = 3\sqrt{2}+10\sqrt{2}-4\sqrt{2} \\
& = 9\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9\sqrt{2}$
12. Soal UN Matematika SMP 2014 |*Soal Lengkap
Bilangan $ \dfrac{2}{\sqrt{6}} $ dirasionalkan penyebutnya menjadi...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
& = \dfrac{2}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\
& = \dfrac{2 \times \sqrt{6} \right)}{\left( \sqrt{6} \right)\left( \sqrt{6} \right)} \\
& = \dfrac{2 \sqrt{6}}{6} \\
& = \dfrac{1}{3}\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{3}\sqrt{6}$
13. Soal UN Matematika SMP 2014 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ \sqrt{24} : \sqrt{3} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \sqrt{24} : \sqrt{3} \\
& = \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} \\
& = \dfrac{\sqrt{8} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
& = \sqrt{8}= \sqrt{4 \times 2} \\
& = 2\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{2}$
14. Soal UN Matematika SMP 2013 |*Soal Lengkap
Hasil dari $ 4\sqrt{10} \times \sqrt{2} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 4\sqrt{10} \times \sqrt{2} \\
& = 4\sqrt{10 \times 2} \\
& = 4\sqrt{20} \\
& = 4 \sqrt{4 \times 5}= 4 \times 2 \sqrt{5} \\
& = 8\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8\sqrt{5}$
15. Soal UN Matematika SMP 2012 |*Soal Lengkap
Hasil dari $\sqrt{3} \times \sqrt{8}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung operasi aljabar bentuk akar di atas catatan calon guru tentang bentuk akar berikut mungkin bermanfaat yaitu:
- $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
- $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
$\begin{align}
\sqrt{3} \times \sqrt{8} &= \sqrt{3} \times \sqrt{4 \times 2} \\
&= \sqrt{3} \times 2 \sqrt{ 2} \\
&= 2\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\sqrt{6}$
16. Soal US-UM Matematika SMP |*Soal Lengkap
Nilai dari $x=\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $x=\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x & =\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( x \right)^{2}& = \left( \sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
x^{2}& = 2+ \color{red}{\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
x^{2}& = 2+ x \\
0 & = x^{2} - x - 2 \\
0 & = \left( x-2 \right) \left( x+1 \right) \\
& x=2\ \text{atau}\ x=-1
\end{align}$
Karena hasil $\sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \geq 0$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=2$.
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus, yaitu $\sqrt{a \cdot b +\sqrt{ a \cdot b +\sqrt{a \cdot b +\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a-b=1$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{2+\sqrt{2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{ 2 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = \sqrt{2 \times 1+\sqrt{2 \times 1 +\sqrt{ 2 \times 1 +\sqrt{ 2 \times 1 +\sqrt{\cdots}}}}} \\
& = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
17. Soal US-UM Matematika SMP |*Soal Lengkap
Nilai dari $x=\sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal $x=\sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}}$ dan arti $\cdots$ pada bentuk soal di atas artinya bentuk soal berulang sampai dengan seterusnya.
Untuk mengerjakan soal di atas kita coba dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pada soal, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x & = \sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} \\
\left( x \right)^{2}& = \left( \sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} \right)^{2}\\
x^{2}& = 2024 \color{red}{\sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} \\
x^{2}& = 2024 x \\
x & = 2024
\end{align}$
Jika sudah paham proses di atas, untuk berikutnya dengan bentk soal yang sama, alternatif penyelesaian lain bisa kita gunakan rumus, yaitu $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}=a$ dengan $a \geq 0$.
Sehingga untuk soal di atas kita kerjakan seperti berikut:
$\begin{align}
& \sqrt{2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{ 2024 \sqrt{\cdots}}}}} = 2024
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2024$
18. Soal US-UM Matematika SMP |*Soal Lengkap
Misalkan $A \gt 1$. Bentuk yang senilai dengan $\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align}
\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A\sqrt[3]{A}}} & = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A \cdot \left( A \right)^{\frac{1}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A \cdot A^{\frac{1}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A^{1+ \frac{1}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A\sqrt[3]{A^{\frac{4}{3}}}} \\
& = \sqrt[3]{A \cdot \left( A^{\frac{4}{3}} \right)^{\frac{1}{3}}} \\
& = \sqrt[3]{A \cdot A^{\frac{4}{9}}} \\
& = \sqrt[3]{ A^{1+\frac{4}{9}}} \\
& = \sqrt[3]{ A^{\frac{13}{9}}} \\
& = \left( A^{\frac{13}{9}} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = A^{\frac{13}{27}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ A^{\frac{13}{27}}$
19. Soal Masuk SMA Unggulan - Favorit |*Soal Lengkap
Jika $\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}}}}=p^{x}q^{-x}$ maka nilai $x$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align}
\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}}}}} & = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q} \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{1}{2}}}}} \\
& = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{3}{2}}}}} \\
& = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{\frac{p}{q} \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{3}{4}}}} \\
& = \sqrt{\frac{p}{q}\sqrt{ \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{7}{4}}}} \\
& = \sqrt{\frac{p}{q} \cdot \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{7}{8}}} \\
& = \sqrt{ \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{15}{8}}} \\
& = \left( \frac{p}{q} \right)^{\frac{15}{16}} \\
& = p^{\frac{15}{16}}q^{-\frac{15}{16}} \equiv p^{x}q^{-x}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{15}{16}$
20. Soal Masuk SMA Unggulan - Favorit |*Soal Lengkap
Nilai dari $\left( \sqrt{3} \right)^{-3}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{-2}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{-1}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{0}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{1}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{2}$$+\left( \sqrt{3} \right)^{3}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat pada soal di atas, maka dapat kita peroleh.
$\begin{align}
& \left( \sqrt{3} \right)^{-3} +\left( \sqrt{3} \right)^{-2} +\left( \sqrt{3} \right)^{-1} +\left( \sqrt{3} \right)^{0} +\left( \sqrt{3} \right)^{1} +\left( \sqrt{3} \right)^{2} +\left( \sqrt{3} \right)^{3} \\
&= \dfrac{1}{\left( \sqrt{3} \right)^{3}} + \dfrac{1}{\left( \sqrt{3} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + 1 + \sqrt{3} + 3 + \left( \sqrt{3} \right)^{2} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^{1} \\
&= \dfrac{1}{3\sqrt{3}} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + 1 + \sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} \\
&= \dfrac{1}{3\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + + 4 + 4\sqrt{3} \\
&= \dfrac{1}{9}\sqrt{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\sqrt{3} + 4 + 4\sqrt{3} \\
&= \left(\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{3} + 4 \right)\sqrt{3}+ 4 + \dfrac{1}{3} \\
&= \left(\dfrac{4}{9} + 4 \right)\sqrt{3}+ 4\frac{1}{3} \\
&= 4\frac{4}{9}\sqrt{3}+ 4\frac{1}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4\frac{1}{3}+4\frac{4}{9}\sqrt{3}$
21. Soal Masuk SMA Unggulan - Favorit |*Soal Lengkap
Nilai dari $\sqrt{2026^{2}-2024^{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat dan informasi pada soal di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \sqrt{2026^{2}-2024^{2}} \\
&= \sqrt{\left( 2026 + 2024 \right)\left( 2026 - 2024 \right)} \\
&= \sqrt{\left( 4050 \right)\left( 2 \right)} \\
&= \sqrt{8100} \\
&= 90
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 90$
22. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige |*Soal Lengkap
Nilai dari $\dfrac{\sqrt{2024^{2025}}}{\sqrt{2024^{2025}}-\sqrt{2024^{2023}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat bentuk akar atau sifat bilangan berpangkat dan informasi pada soal di atas, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{\sqrt{2024^{2025}}}{\sqrt{2024^{2025}}-\sqrt{2024^{2023}}} \\
&= \dfrac{ \sqrt{2024^{2023} \cdot 2024^{2}}}{\sqrt{2024^{2023} \cdot 2024^{2}
}-\sqrt{2024^{2023}}} \\
&= \dfrac{ \sqrt{2024^{2023}} \cdot \sqrt{2024^{2}}}{\sqrt{2024^{2023}} \cdot \sqrt{2024^{2}}-\sqrt{2024^{2023}}} \\
&=\dfrac{ \sqrt{2024^{2023}} \cdot 2024}{\sqrt{2024^{2023}} \cdot 2024-\sqrt{2024^{2023}}} \\
&=\dfrac{ \sqrt{2024^{2023}} \cdot 2024}{\sqrt{2024^{2023}} \cdot \left( 2024-1 \right)} \\
&=\dfrac{ 2024}{ \left( 2024-1 \right)} \\
&=\dfrac{ 2024}{ 2023}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{ 2024}{ 2023}$
23. Soal Masuk Asrama YASOP - SMAN 2 Balige |*Soal Lengkap
Nilai $ab$ jika $\sqrt{9+2-6\sqrt{ab}}=3-\sqrt{2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan pada bentuk akar dapat kita tuliskan beberapa aturan bentuk yang mungkin membantu:
- $\sqrt{(x+y)+2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ dengan $x,\ y \geq 0$
- $\sqrt{(x+y)-2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$ dengan $x,\ y \geq 0$ dan $x \geq y$
Dari informasi pada soal dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{9+2-6\sqrt{ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9+2-2 \cdot 3 \sqrt{ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9+2-2\sqrt{9 \cdot ab}} & = 3-\sqrt{2} \\
\sqrt{9}-\sqrt{ab} & = 3-\sqrt{2} \\
3-\sqrt{ab} & = 3-\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
24. Soal Masuk SMA Unggulan-Favorit |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari:
$\sqrt{8+ \sqrt{60}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal di atas, dapat kita sederhanakan dengan menarik akar kuadrat:
- $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
- $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$
$\begin{align}
\sqrt{8+ \sqrt{60}} &= \sqrt{8+ \sqrt{60}} \\
&= \sqrt{8+ \sqrt{4 \cdot 15}} \\
&= \sqrt{8+ 2\sqrt{15}} \\
&= \sqrt{(5+3)+ 2\sqrt{(5)(3)}} \\
&= \sqrt{5}+\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \sqrt{5} +\sqrt{3}$
25. Soal Masuk SMA Unggulan-Favorit |*Soal Lengkap
$\dfrac{\left (\sqrt[3]{x^{4}} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x+1}} \right )}{x\sqrt[6]{x+1}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal di atas, dapat kita sederhanakan dengan sifat-sifat bentuk akar menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \dfrac{\left (\sqrt[3]{x^{4}} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x+1}} \right )}{x\sqrt[6]{x+1}} \\
&= \dfrac{ \left (x^{\frac{4}{3}} \right) \left ( \sqrt[3]{x^{2} (x+1)^{\frac{1}{2}}} \right )}{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{\left ( x^{\frac{4}{3}} \right )\left ( x^{\frac{2}{3}} (x+1)^{\frac{1}{6}} \right)}{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{ x^{\frac{4}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}} }{x \cdot (x+1)^{\frac{1}{6}}} \\
&= \dfrac{ x^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}}{x } \\
&= \dfrac{ x^{\frac{6}{3}}}{x}=\dfrac{ x^{2}}{x}=x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x$
26. Soal Masuk SMA Unggulan-Favorit |*Soal Lengkap
Bentuk sederhana dari $3+ \dfrac{1}{\sqrt{3}}+ \dfrac{1}{3+\sqrt{3}}+ \dfrac{1}{\sqrt{3}-3} $ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& 3+ \dfrac{1}{\sqrt{3}}+ \dfrac{1}{3+\sqrt{3}}+ \dfrac{1}{\sqrt{3}-3} \\
&= 3+ \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+ \dfrac{1}{3+\sqrt{3}} \cdot \dfrac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}+ \dfrac{1}{\sqrt{3}-3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+3} \\
&= 3+ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} + \dfrac{3-\sqrt{3}}{9-3}+ \dfrac{\sqrt{3}+3}{3-9} \\
&= 3+ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} + \dfrac{3-\sqrt{3}}{6}+ \dfrac{\sqrt{3}+3}{-6} \\
&= 3+ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} + \dfrac{3}{6}-\dfrac{1}{6}\sqrt{3} -\dfrac{1}{6}\sqrt{3}-\dfrac{3}{6} \\
&= 3+ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} -\dfrac{2}{6}\sqrt{3} \\
&= 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3 $
Catatan Pembahasan 25 Soal Bentuk Akar Matematika SMP di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
