The good student, kita coba belajar matematika SMP tentang Merasionalkan Penyebut Pecahan dan Pembahasan Soal Latihan yang disesuaikan dengan materi Matematika SMP Kelas IX tentang bentuk akar.
Catatan ini untuk melengkapi catatan sebelumnya yaitu Definisi Bilangan Berpangkat, Perkalian Bilangan Berpangkat, atau Pembagian Bilangan Berpangkat, Pangkat Nol dan Pangkat Negatif.
Catatan ini diharapkan dapat membantu peserta didik dalam mencapai tujuan pembelajaran dasar yang diharapkan pemerintah dapat dicapai oleh peserta didik, yaitu Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya. Atau menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar.
DEFINISI BENTUK AKAR
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.
Misalnya $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, dan bentuk lainnya. Sedangkan $\sqrt{4}=2$ atau $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ bukan bentuk akar karena hasilnya adalah bilangan rasional.
Dalam matematik definisi bentuk akar ini dituliskan dalam bentuk $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.
dibaca dengan "akar pangkat $n$ dari $a$".
Bentuk kuhusus $\sqrt[n]{a}$, yaitu saat $n=2$ tidak perlu dituliskan, sehingga dapat ditulis hanya dengan $\sqrt{a}$ dibaca dengan "akar kuadrat dari $a$" atau "akar pangkat dua dari $a$" atau sering disebut "akar $a$".
MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN
Merasionalkan penyebut pecahan adalah merubah penyebut pecahan dari yang tadinya irasional menjadi rasional. Tujuan dari merasionalkan penyebut pecahan ini adalah salah satu cara dalam menyederhanakan bentuk aljabar.
Tujuan lain menyederhanakan bentuk aljabar dalam bentuk akar ini sendiri adalah untuk mempermudah dalam penulisan atau perhitungan yang memuat bentuk akar.
Untuk merasionalkan penyebut pecahan dapat dilakukan dengan manipulasi aljabar pada pembilang dan penyebut pecahan sehingga diperoleh hasil penyebut pecahan merupakan bilangan rasional, merasionalkan penyebut pecahan ini hanya merubah bentuk aljabar tidak merubah nilai aljabar
Dalam merasionalkan pecahan ada istilah yang disebut dengan Akar Konjugat atau lebih umum dikenal dengan sebutan Akar Sekawan. Jika hasil kali dua bentuk akar adalah bilangan rasional, maka masing-masing dari kedua bentuk akar tersebut dinamakan faktor rasional atau bentuk akar konjugat dari bentuk akar yang lain.
Bentuk $\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)$ bentuk konjugatnya $\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)$ dan begitu juga sebaliknya.
- $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
- $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
- $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
Alternatif lain dalam menyederhakan bentuk aljabar dalam bentuk akar ada juga dikenal dengan istilah menarik akar kuadrat. Catatan terkait menarik akar kuadrat silahkan di cek catatan .
Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$
Cara merasionalkan penyebut pecahan dalam bentuk ini $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$, cara kerjanya seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sqrt{b}}\ &= \dfrac{a}{\sqrt{b}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{a}{\sqrt{b}} \cdot \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} \\
&= \dfrac{a\sqrt{b}}{b} \\
&= \dfrac{a}{b} \sqrt{b}
\end{align}$
(1) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
\dfrac{10}{\sqrt{2}}\ &= \dfrac{10}{\sqrt{2}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{10}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{10\sqrt{2}}{2} = \dfrac{10}{2} \sqrt{2} \\
&= 5 \sqrt{2}
\end{align}$
(2) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}}\ &= \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} \cdot \dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}} \\
&= \dfrac{\sqrt{40}}{8} = \dfrac{\sqrt{4 \cdot 10}}{8} \\
&= \dfrac{2\sqrt{10}}{8} = \dfrac{ \sqrt{10}}{4} \\
&= \dfrac{1}{4} \sqrt{10}
\end{align}$
(3) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\sqrt{6}}{6 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{6}}{18} \\
&= \dfrac{1}{18} \sqrt{6}
\end{align}$
(4) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
\dfrac{3}{2\sqrt{6}}\ &= \dfrac{3}{2\sqrt{6}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{3}{2\sqrt{6}} \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\
&= \dfrac{3\sqrt{6}}{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \\
&= \dfrac{1}{2} \sqrt{6}
\end{align}$
(5) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{ \sqrt{3}}\ &= \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\sqrt{7 \cdot 3}+\sqrt{2 \cdot 3}}{3} \\
&= \dfrac{\sqrt{21}+\sqrt{6}}{3} \\
&= \dfrac{1}{3} \left( \sqrt{21} + \sqrt{6} \right)
\end{align}$
Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$
Cara merasionalkan penyebut pecahan dalam bentuk ini $\dfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$, cara kerjanya seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\ &= \dfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \cdot \dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} \\
&= \dfrac{a \left( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right)}{b-c} \\
&= \dfrac{a}{b-c} \left( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right)
\end{align}$
(5) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
\dfrac{2\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\ &= \dfrac{2\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{2\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} \cdot \dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\
&= \dfrac{2\sqrt{5} \left( 3 - \sqrt{5} \right)}{9-5} \\
&= \dfrac{2\sqrt{5} \left( 3 - \sqrt{5} \right)}{4} \\
&= \dfrac{ \sqrt{5} \left( 3 - \sqrt{5} \right)}{2} \\
&= \dfrac{1}{2} \left( 3\sqrt{5}-5 \right)
\end{align}$
(6) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\ &= \dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \\
&= \dfrac{2\sqrt{10} \left( \sqrt{7}+\sqrt{5} \right) }{7-5} \\
&= \dfrac{2 \left( \sqrt{70}+\sqrt{50} \right) }{2} \\
&= \sqrt{70}+\sqrt{50} \\
&= \sqrt{70}+5\sqrt{2}
\end{align}$
(7) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\ &= \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)^{2} }{3-2} \\
&= \dfrac{3+2-2\sqrt{3 \cdot 2}}{1} \\
&= 5-2\sqrt{6}
\end{align}$
(8) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}\ &= \dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2\sqrt{2}-\sqrt{7}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2\sqrt{2}-\sqrt{7}} \cdot \dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2\sqrt{2}+\sqrt{7}} \\
&= \dfrac{\left( 2\sqrt{2}+\sqrt{7} \right)^{2} }{8-7} \\
&= \dfrac{8+7+4\sqrt{14}}{1} \\
&= 15+4\sqrt{14}
\end{align}$
(9) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
& \dfrac{7}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} \\
&= \dfrac{7}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{7}{ \left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)-\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)+\sqrt{5}}{ \left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)+\sqrt{5}} \\
&= \dfrac{7 \left( \sqrt{2}+\sqrt{3} +\sqrt{5} \right)}{ \left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)^{2}-\left(\sqrt{5} \right)^{2}} \\
&= \dfrac{7 \left( \sqrt{2}+\sqrt{3} +\sqrt{5} \right)}{ 2+2\sqrt{6}+3-5} \\
&= \dfrac{7 \left( \sqrt{2}+\sqrt{3} +\sqrt{5} \right)}{ 2\sqrt{6}} \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\
&= \dfrac{7 \left( \sqrt{12}+\sqrt{18} +\sqrt{30} \right)}{ 2 \cdot 6} \\
&= \dfrac{7}{12} \left( 2\sqrt{3}+3\sqrt{2} +\sqrt{30} \right)
\end{align}$
(10) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
& \dfrac{2\sqrt{98}+3\sqrt{72}}{5\sqrt{75}-3\sqrt{48}} \\
&= \dfrac{2 \sqrt{49 \cdot 2}+3\sqrt{36 \cdot 2}}{5\sqrt{25 \cdot 3}-3\sqrt{16 \cdot 3}} \\
&= \dfrac{2 \cdot 7 \sqrt{2}+3 \cdot 6\sqrt{2}}{5 \cdot 5\sqrt{3}- 3 \cdot 4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{14 \sqrt{2}+18\sqrt{2}}{25\sqrt{3}- 12\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{32\sqrt{2}}{13\sqrt{3}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{32\sqrt{2}}{13\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{32\sqrt{6}}{13 \cdot 3} \\
&= \dfrac{32\sqrt{6}}{39} \\
&= \dfrac{32}{39} \sqrt{6}
\end{align}$
(11) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
& \dfrac{\left( \sqrt{3}+\sqrt{7} \right)\left( \sqrt{3} - \sqrt{7} \right)}{2\sqrt{5}-4\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{\left( \sqrt{3}\right)^{2}-\left( \sqrt{7} \right)^{2}}{2\sqrt{5}-4\sqrt{2}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{3-7}{2\sqrt{5}-4\sqrt{2}} \cdot \dfrac{2\sqrt{5}+4\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+4\sqrt{2}}\\
&= \dfrac{-4 \left( 2\sqrt{5}+4\sqrt{2} \right) }{\left( 2\sqrt{5} \right)^{2}-\left( 4\sqrt{2} \right)^{2}} \\
&= \dfrac{-4 \left( 2\sqrt{5}+4\sqrt{2} \right) }{4 \cdot 5-16 \cdot 2} \\
&= \dfrac{-4 \left( 2\sqrt{5}+4\sqrt{2} \right) }{20-32} \\
&= \dfrac{-4 \left( 2\sqrt{5}+4\sqrt{2} \right) }{-12} \\
&= \dfrac{ 2\sqrt{5}+4\sqrt{2}}{3} \\
&= \dfrac{2}{3} \left( \sqrt{5}+2\sqrt{2} \right) \\
\end{align}$
(12) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
& \dfrac{\left( \sqrt{12}-\sqrt{27} \right) \sqrt{3}}{1- \sqrt{2}} \\
&= \dfrac{\left( \sqrt{12 \cdot 3}-\sqrt{27 \cdot 3} \right)}{1- \sqrt{2}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{\left( \sqrt{36}-\sqrt{81} \right)}{1- \sqrt{2}} \cdot \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\\
&= \dfrac{\left( 6-9 \right) \left( 1 + \sqrt{2} \right)}{\left( 1 - \sqrt{2} \right)\left( 1 + \sqrt{2} \right)} \\
&= \dfrac{-3 \left( 1 + \sqrt{2} \right)}{1-2} \\
&= \dfrac{-3 \left( 1 + \sqrt{2} \right)}{-1} \\
&= 3 \left( 1 + \sqrt{2} \right) \\
&= 3 + 3 \sqrt{2}
\end{align}$
(13) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
& \dfrac{\left( \sqrt{96} \cdot 2\sqrt{2} \right)-2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\left( 2 \sqrt{96 \cdot 2} \right) -2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{2 \sqrt{192}-2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{2 \sqrt{ 64 \cdot 3} -2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{2 \sqrt{ 64 \cdot 3} -2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{16 \sqrt{3} -2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{14\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{7}{2}
\end{align}$
(14) Contoh soal merasionalkan penyebut:
$\begin{align}
& \dfrac{\left( \sqrt{96}-2\sqrt{2} \right)-2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\left( \sqrt{16 \cdot 6}-2\sqrt{2} \right)-2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{ \sqrt{16 \cdot 6}-2\sqrt{2} -2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} \cdot \dfrac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3}} \\
&= \dfrac{ \left( 4 \sqrt{6 \cdot 3}-2\sqrt{2 \cdot 3} -2\sqrt{3 \cdot 3} \right) }{4\sqrt{3 \cdot 3}} \\
&= \dfrac{ \left( 4 \sqrt{18}-2\sqrt{6} -2 \cdot 3 \right) }{4 \cdot 3 } \\
&= \dfrac{ \left( 4 \cdot 2 \sqrt{3}-2\sqrt{6} - 6 \right) }{12} \\
&= \dfrac{ 8 \sqrt{3}-2\sqrt{6} - 6 }{12}
\end{align}$
SOAL dan PEMBAHASAN MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN
Untuk lebih memahami bagaimana merasionalkan penyebut pecahan, mari kita lihat dari beberapa soal latihan di bawah ini, ada baiknya membuka pembahasan soal apabila sudah mencoba terlebih dahulu😊
1. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\sqrt{a} \times \sqrt{a}=a$
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} &= \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\
&= \dfrac{\sqrt{3 \times 6}}{6} \\
&= \dfrac{\sqrt{18}}{6} \\
&= \dfrac{\sqrt{9 \times 2}}{6} \\
&= \dfrac{3\sqrt{2}}{6}=\dfrac{ \sqrt{2}}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
2. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{4}{\sqrt{12}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\sqrt{a} \times \sqrt{a}=a$
$\begin{align}
\dfrac{4}{\sqrt{12}} &= \dfrac{4}{\sqrt{4 \times 3}} \\
&= \dfrac{4}{2 \sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{2\sqrt{3}}{3} =\dfrac{ 2}{3}\sqrt{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{2}{3}\sqrt{3}$
3. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{12}}{4\sqrt{3}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a \times b}$
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{12}}{4\sqrt{3}} &= \dfrac{\sqrt{4 \times 3}}{4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{2 \sqrt{ 3}}{4\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{2}{4 }=\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}$
4. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{10}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
$\begin{align}
\dfrac{10}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} &= \dfrac{10}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{10\left (\sqrt{6}-\sqrt{2} \right )}{\left (\sqrt{6}+\sqrt{2} \right )\left (\sqrt{6}-\sqrt{2} \right )} \\
&= \dfrac{10\left (\sqrt{6}-\sqrt{2} \right )}{6-2} \\
&= \dfrac{10\left (\sqrt{6}-\sqrt{2} \right )}{4} \\
&= \dfrac{5\left (\sqrt{6}-\sqrt{2} \right )}{2} \\
&= \dfrac{5\sqrt{6}-5\sqrt{2}}{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5\sqrt{6}-5\sqrt{2}}{2}$
5. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}-\sqrt{6}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}-\sqrt{6}} &= \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}-\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{6}}{\sqrt{8}+\sqrt{6}} \\
&= \dfrac{\sqrt{3} \left ( \sqrt{8}+\sqrt{6} \right )}{\left ( \sqrt{8}-\sqrt{6} \right )\left ( \sqrt{8}+\sqrt{6} \right )} \\
&= \dfrac{\sqrt{3} \left ( \sqrt{8}+\sqrt{6} \right )}{8-6} \\
&= \dfrac{\sqrt{24} + \sqrt{18}}{2} \\
&= \dfrac{\sqrt{6 \times 4} + \sqrt{9 \times 2}}{2} \\
&= \dfrac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{2} $
6. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}-\sqrt{10}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}-\sqrt{10}} &= \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5 \times 3}-\sqrt{5 \times 2}} \\
&= \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \left( \sqrt{3}- \sqrt{2} \right)} \\
&= \dfrac{1}{ \sqrt{3}- \sqrt{2}} \\
&= \dfrac{1}{ \sqrt{3}- \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{ \sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )} \\
&= \dfrac{ \sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} \\
&= \sqrt{3}+\sqrt{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right ) $
7. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{3}}{4-\sqrt{12}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{3}}{4-\sqrt{12}} &= \dfrac{\sqrt{3}}{4-\sqrt{12}} \times \dfrac{4+\sqrt{12}}{4+\sqrt{12}} \\
&= \dfrac{\sqrt{3} \left ( 4+\sqrt{12} \right )}{\left ( 4-\sqrt{12} \right )\left ( 4+\sqrt{12} \right )} \\
&= \dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{36} }{16-12} \\
&= \dfrac{4\sqrt{3} + 6}{4} \\
&= \dfrac{2\sqrt{3} + 3}{2} \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2\sqrt{3}+3}{2}$
8. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{2}-4}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
$\begin{align}
\dfrac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{2}-4} &= \dfrac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{2}-4} \times \dfrac{3\sqrt{2}+4}{3\sqrt{2}+4} \\
&= \dfrac{\left ( 2\sqrt{6} \right ) \left ( 3\sqrt{2}+4 \right )}{\left ( 3\sqrt{2}-4 \right )\left ( 3\sqrt{2}+4 \right )} \\
&= \dfrac{\left ( 6\sqrt{12}+8\sqrt{6} \right )}{\left ( 9 \times 2 - 16 \right )} \\
&= \dfrac{\left ( 6\sqrt{12}+8\sqrt{6} \right )}{\left ( 2 \right )} \\
&= 3\sqrt{12}+4\sqrt{6} \\
&= 3\sqrt{3 \times 4}+4\sqrt{6} \\
&= 6 \sqrt{3}+4\sqrt{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6 \sqrt{3}+4\sqrt{6}$
9. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{8}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a -b$
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{8}} &= \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+2\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{\sqrt{3} \left( \sqrt{2}-1 \right)}{3\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{\sqrt{3} \left( \sqrt{2}-1 \right)}{3\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{ \sqrt{2}} \\
&= \dfrac{\sqrt{6} \left( \sqrt{2}-1 \right)}{3 \times 2 } \\
&= \dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{6}}{6} \\
&= \dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2\sqrt{3}- \sqrt{6}}{6}$
10. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a -b^{2}$
$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} &= \dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} \times \dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} \\
&= \dfrac{ \left( \sqrt{5}+2 \right)\left( \sqrt{5}+2 \right)}{\left( \sqrt{5}-2 \right)\left( \sqrt{5}+2 \right)} \\
&= \dfrac{ 5+2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+4 }{5-4} \\
&= \dfrac{ 9+4\sqrt{5} }{1} \\
&= 9+4\sqrt{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9+4\sqrt{5}$
11. Rasionalkan Penyebut Pecahan berikut
a. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan bentuk soal seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\sqrt{a} \times \sqrt{a}=a$
$\begin{align}
\dfrac{1}{\sqrt{3}} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
&= \dfrac{1}{3} \sqrt{3}
\end{align}$
b. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyederhanakan bentuk soal seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{a^{2}}=a$
$\begin{align}
\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} &= \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\times \dfrac{\sqrt[3]{2^{2}}}{\sqrt[3]{2^{2}}} \\
&= \dfrac{\sqrt[3]{2^{2}}}{\sqrt[3]{2 \times 2^{2}}} \\
&= \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{ 2^{3}}} \\
&= \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2} \\
&= \dfrac{1}{2} \sqrt[3]{4}
\end{align}$
c. $\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
$\begin{align} \dfrac{2}{\sqrt{3}+1} &= \dfrac{2}{\sqrt{3}+1} \times \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\ &= \dfrac{2 \left ( \sqrt{3}-1 \right )}{\left ( \sqrt{3}+1 \right )\left ( \sqrt{3}-1 \right )} \\ &= \dfrac{2 \left ( \sqrt{3}-1 \right )}{3-1} \\ &= \dfrac{2 \left ( \sqrt{3}-1 \right )}{2} \\ &= \sqrt{3}-1 \end{align}$
d. $\dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
$\begin{align}
\dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} &= \dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{6 \left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )}{\left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )} \\
&= \dfrac{6 \left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )}{5-3} \\
&= \dfrac{6 \left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )}{2} \\
&= 3 \left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )
\end{align}$
e. $\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
$\begin{align}
\dfrac{1}{1-\sqrt{2}} &= \dfrac{1}{1-\sqrt{2}} \times \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{1+\sqrt{2}}{\left ( 1-\sqrt{2} \right )\left ( 1+\sqrt{2} \right )} \\
&= \dfrac{1+\sqrt{2}}{1-2} \\
&= \dfrac{1-\sqrt{2}}{-1} \\
&= -1+\sqrt{2} \\
&= \sqrt{2}-1 \\
\end{align}$
f. $\dfrac{12}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (\sqrt{a}+b \right )\left (\sqrt{a}-b \right )=a-b^{2}$
$\begin{align}
\dfrac{12}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} &= \dfrac{12}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{12 \left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )}{\left ( \sqrt{12}+\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )} \\
&= \dfrac{12 \left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )}{7-3} \\
&= \dfrac{12 \left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )}{4} \\
&= 3 \left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )
\end{align}$
12. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{3}{2+\sqrt{3}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (a+\sqrt{b} \right )\left (a-\sqrt{b} \right )=a^{2}-b$
$\begin{align} \dfrac{3}{2+\sqrt{3}} &= \dfrac{3}{2+\sqrt{3}} \times 1 \\ &= \dfrac{3}{2+\sqrt{3}} \times \dfrac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{3 \left ( 2-\sqrt{3} \right )}{\left ( 2+\sqrt{3} \right )\left ( 2-\sqrt{3} \right )} \\ &= \dfrac{3 \left ( 2-\sqrt{3} \right )}{4-3} \\ &= \dfrac{3 \left ( 2-\sqrt{3} \right )}{1} \\ &= 3 \left ( 2-\sqrt{3} \right ) \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3 \left ( 2-\sqrt{3} \right )$
13. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
$\begin{align} \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} &= \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times 1 \\ &= \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{\left ( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right )^{2}}{\left ( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right )} \\ &= \dfrac{ \left ( 2+3-2\sqrt{6} \right )}{2-3} \\ &= \dfrac{5-2\sqrt{6}}{-1} \\ &= 2\sqrt{6}-5 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2\sqrt{6}-5$
14. Soal Latihan Merasionalkan Penyebut Pecahan
Jika $\dfrac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}}=a+b\sqrt{5}$ maka nilai $a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk merasionalkan bentuk seperti soal di atas, ingat perkalian bentuk akar $\left (\sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right )=a-b$
$\begin{align} \dfrac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}}&= a+b\sqrt{5} \\ \dfrac{\frac{\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}}}&= a+b\sqrt{5} \\ \dfrac{\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}} \times \dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2} &= a+b\sqrt{5} \\ \dfrac{ \sqrt{5}-2 }{ \sqrt{5}+2 }&= a+b\sqrt{5} \\ \dfrac{ \sqrt{5}-2 }{ \sqrt{5}+2 } \times \dfrac{ \sqrt{5}-2 }{ \sqrt{5}-2 } &= a+b\sqrt{5} \\ \dfrac{ \left ( \sqrt{5}-2 \right )^{2} }{ \left ( \sqrt{5}-2 \right )\left ( \sqrt{5}+2 \right ) }&= a+b\sqrt{5} \\ \dfrac{ 5+4-4\sqrt{5} }{ 5- 4} &= a+b\sqrt{5} \\ \dfrac{ 9-4\sqrt{5} }{ 1} &= a+b\sqrt{5} \\ 9-4\sqrt{5} &= a+b\sqrt{5} \end{align}$
Dari kesamaan bentuk di atas kita peroleh $a=9$ dan $b=-4$ sehingga $a+b=9-4=5$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$
Catatan tentang Cara Merasionalkan Penyebut Pecahan Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan Untuk Matematika SMP Kelas IX di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.