Calon guru belajar matematika SMP dari Pembagian Bilangan Berpangkat, Pangkat Nol dan Pangkat Negatif sebagai contoh soal dan soal latihan yang kita diskusikan dipilih dari Buku Siswa Matematika SMP Kelas IX dan beberapa soal yang ditanyak pada grup media sosial facebook Dunia Maatematika Indonesia.
Catatan ini diharapkan dapat membantu siswa dalam mencapai kompetensi dasar yang diharapkan pemerintah dapat dicapai oleh peserta didik, yaitu Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya. Atau menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar.
DEFINISI BILANGAN BERPANGKAT
Seperti yang disampaikan pada catatan sebelumnya Definisi Bilangan Berpangkat, adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bilangan pokok dalam suatu perpangkatan disebut basis. Banyaknya bilangan pokok yang dikalikan secara berulang disebut eksponen.
Definisi!
$a^{n}= \underset{perkalian\ sebanyak\ n}{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a \times a}}$
$n:$ Bilangan pangkat (eksponen), dimana $n$ adalah bilangan bulat positif
$a:$ Bilangan Pokok (basis)
SIFAT PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGKAT
Dari Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ dapat kita peroleh beberapa sifat bilangan berpangkat, antara lain:
Pembagian bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama.
$\begin{align} \hline \dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ & = a^{m-n} \\
\hline \text{contoh:} & \\
\dfrac{7^{5}}{7^{3}}\ & = 7^{5-3} \\
& = 7^{2} \end{align}$
Alternatif Pembuktian:
Jika nilai $m \gt n$ dan misalkan nilai $m=n+p$ maka nilai $m-n=p$
$\begin{align}
\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ & = \dfrac{a^{n+p}}{a^{n}} \\
& = \dfrac{a^{n} \times a^{p}}{a^{n}} \\
& = \dfrac{a^{n} }{a^{n}} \times \dfrac{a^{p} }{1} \\
& = a^{p} \\
& = a^{m-n} \\
\end{align}$
$\begin{align}
\hline
\therefore\ \dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ = a^{m-n} \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{4^{5}}{4^{3}}\ & = \dfrac{4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4}{4 \times 4 \times 4} \\
& = \dfrac{4}{4} \times \dfrac{4}{4} \times \dfrac{4}{4} \times 4 \times 4 \\
& = 1 \times 1 \times 1 \times 4 \times 4 \\
& = 4^{2} \\
& = 4^{5-3} \\
\end{align}$
$\begin{align}
\hline
\therefore\ \dfrac{4^{5}}{4^{3}}\ = 4^{5-3} \\
\hline
\end{align}$
Pembagian bilangan berpangkat mempunyai pangkat sama.
$\begin{align}
\hline \dfrac{a^{n}}{b^{n}}\ & = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} \\
\hline \text{contoh:} & \\
\dfrac{12^{7}}{15^{7}}\ & = \left( \dfrac{12}{15} \right)^{7} \\
& = \left( \dfrac{4}{5} \right)^{7} \end{align}$
Alternatif Pembuktian:
$\begin{align}
\dfrac{a^{n}}{b^{n}}\ & = \dfrac{\underset{perkalian\ sebanyak\ n}{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}}}{\underset{perkalian\ sebanyak\ n}{\underbrace{b \times b \times \cdots \times b}}} \\
& = \underset{perkalian\ sebanyak\ n}{\underbrace{\dfrac{a}{b} \times \dfrac{a}{b} \times \cdots \times \dfrac{a}{b}}} \\
& = \underset{perkalian\ sebanyak\ n}{\underbrace{ \left( \dfrac{a}{b} \right) \times \left( \dfrac{a}{b} \right) \times \cdots \times \left( \dfrac{a}{b} \right)}} \\
& = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} \\
\end{align}$
$\begin{align}
\hline
\therefore\ \dfrac{a^{n}}{b^{n}}\ = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{9^{5}}{10^{5}}\ & = \dfrac{9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9}{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10} \\
& = \dfrac{9}{10} \times \dfrac{9}{10} \times \dfrac{9}{10} \times \dfrac{9}{10} \times \dfrac{9}{10} \\
& = \left( \dfrac{9}{10} \right) \times \left( \dfrac{9}{10} \right) \times \left( \dfrac{9}{10} \right) \times \left( \dfrac{9}{10} \right) \times \left( \dfrac{9}{10} \right) \\
& = \left( \dfrac{9}{10} \right)^{5}
\end{align}$
$\begin{align}
\hline
\therefore\ \dfrac{9^{5}}{10^{5}}\ = \left( \dfrac{9}{10} \right)^{5} \\
\hline
\end{align}$
Pembagian bilangan berpangkat mempunyai pangkat.
$\begin{align}
\hline \left( \dfrac{a^{m}}{b^{n}} \right)^{p}\ & = \dfrac{a^{mp}}{b^{np}} \\
\hline \text{contoh:} & \\
\left( \dfrac{2^{3}}{7^{4}} \right)^{3}\ & = \dfrac{2^{3 \times 3}}{7^{4 \times 3}} \\
& = \dfrac{2^{9}}{7^{12}} \end{align}$
Alternatif Pembuktian:
$\begin{align}
\left( \dfrac{a^{m}}{b^{n}} \right)^{p}\ & =\underset{perkalian\ sebanyak\ p}{\underbrace{\left( \dfrac{a^{m}}{b^{n}} \right) \times \left( \dfrac{a^{m}}{b^{n}} \right) \times \cdots \times \left( \dfrac{a^{m}}{b^{n}} \right)}} \\
& = \underset{perkalian\ sebanyak\ p}{\underbrace{ \dfrac{a^{m}}{b^{n}} \times \dfrac{a^{m}}{b^{n}} \times \cdots \times \dfrac{a^{m}}{b^{n}} }} \\
& = \dfrac{\underset{perkalian\ sebanyak\ p}{\underbrace{ a^{m} \times a^{m} \times \cdots \times a^{m}}}}{\underset{perkalian\ sebanyak\ p}{\underbrace{b^{n} \times b^{n} \times \cdots \times b^{n}}}} \\
& = \dfrac{\left( a^{m} \right)^{p}}{\left( b^{n} \right)^{p}} \\
& = \dfrac{ a^{mp} }{ b^{np}}
\end{align}$
$\begin{align}
\hline
\therefore\ \left( \dfrac{a^{m}}{b^{n}} \right)^{p}\ = \dfrac{a^{mp}}{b^{np}}\\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
\left( \dfrac{7^{3}}{5^{4}} \right)^{2}\ & =\left( \dfrac{7^{3}}{5^{4}} \right) \times \left( \dfrac{7^{3}}{5^{4}} \right) \\
& = \dfrac{7^{3}}{5^{4}} \times \dfrac{7^{3}}{5^{4}} \\
& = \dfrac{7^{3} \times 7^{3}}{5^{4} \times 5^{4}} \\
& = \dfrac{\left( 7^{3} \right)^{2}}{\left( 5^{4} \right)^{2}} \\
& = \dfrac{ 7^{3 \times 2}}{ 5^{4 \times 2}} \\
\end{align}$
$\begin{align}
\hline
\therefore\ \left( \dfrac{7^{3}}{5^{4}} \right)^{2}\ = \dfrac{ 7^{3 \times 2}}{ 5^{4 \times 2}}\\
\hline
\end{align}$
BILANGAN BERPANGKAT NOL
Dari Definisi Bilangan Berpangkat dan sifat pembagian bilangan berpangkat di atas dapat kita peroleh sifat bilangan berpangkat nol, yaitu:
$\begin{align}
\text{Untuk}\ a \neq 0,\ & \text{dapat kita tuliskan:} \\
\hline a^{0}\ & = 1 \\
\hline \text{contoh:} & \\
2^{0}\ & = 1 \\
-3^{0}\ & = 1 \\
\left( \dfrac{5}{7} \right)^{0}\ & = 1 \end{align}$
Alternatif Pembuktian:
Dengan menggunakan sifat $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{a^{m}}{a^{m}}\ & = a^{m-m} = a^{0} \\
\hline
\dfrac{a^{m}}{a^{m}}\ & = 1
\end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita dapat simpulkan:
$\begin{align}
\hline
\therefore\ a^{0}\ = 1 \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
\text{Untuk}\ a = 0,\ & \text{dapat kita tuliskan:} \\
\hline 0^{0}\ & = \text{tak tentu} \\
\hline \end{align}$
Alternatif Pembuktian:
Dengan menggunakan sifat $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$, dapat kita peroleh:
$\begin{align}
0^{m} \times 0^{n}\ & = 0^{m+n} \\
\text{misal}\ m=0\ & \text{dan}\ n \neq 0 \\
0^{0} \times 0^{n}\ & = 0^{0+n} \\
0^{0} \times 0^{n} \ & = 0^{n} \\
0^{0} \times 0\ & = 0 \\
\end{align}$
Dari persamaan di atas nilai $0^{0}$ bisa berapa saja yang mengakibatkan $0^{0} \times 0 = 0$, sehingga dikatakan $0^{0}$ dengan tak tentu.
Pada beberapa buku ada juga yang menyebutkan $0^{0}$ dengan tidak terdefinisi.
BILANGAN BERPANGKAT NEGATIF
Bilangan berpangkat negatif sering juga disebut dengan bilangan pangkat tidak sebenarnya. Bilangan pangkat negatif dapat kita hitung dengan memanipulasi aljabar dari Definisi Bilangan Berpangkat dan sifat pembagian bilangan berpangkat.
$\begin{align}
\hline a^{-n} \ & = \dfrac{1}{a^{n}} \\
\dfrac{1}{a^{-n}}\ & = a^{n} \\
\hline \text{contoh:} & \\
2^{-3}\ & = \dfrac{1}{2^{3}}= \dfrac{1}{8} \\
\dfrac{1}{3^{-2}}\ & = 3^{2}=9 \\
\end{align}$
Alternatif Pembuktian:
Jika nilai $m \lt n$ dan misalkan nilai $m+p=n$ maka nilai $m-n=-p$
$\begin{align}
\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ & = \dfrac{a^{m}}{a^{m+p}} \\
& = \dfrac{a^{m}}{a^{m} \times a^{p}} \\
& = \dfrac{a^{m} }{a^{m}} \times \dfrac{1 }{a^{p}} \\
& = \dfrac{1 }{a^{p}} \\
\hline
\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ & = a^{m-n} \\
& = a^{-p}
\end{align}$
$\begin{align}
\hline
\therefore\ a^{-p}\ = \dfrac{1}{a^{p}} \\
\hline
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{4^{3}}{4^{5}}\ & = \dfrac{4 \times 4 \times 4 }{4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4} \\
& = \dfrac{4}{4} \times \dfrac{4}{4} \times \dfrac{4}{4} \times \dfrac{1}{ 4 \times 4} \\
& = 1 \times 1 \times 1 \times \dfrac{1}{ 4^{2}} \\
& = \dfrac{1}{ 4^{2}} \\
\hline
\dfrac{4^{3}}{4^{5}}\ & = 4^{3-5} \\
& = 4^{-2} \\
\end{align}$
$\begin{align}
\hline
\therefore\ 4^{-2}\ = \dfrac{1}{ 4^{2}} \\
\hline
\end{align}$
Soal Latihan dan Pembahasan Pembagian Bilangan Berpangkat, Pangkat Nol dan Pangkat Negatif Matematika SMP
Sebagai bahan latihan dalam menggunakan beberapa sifat pembagian bilangan berpangkat, pangkat nol, dan pangkat negatif kita coba soal latihan yang dipilih dari buku matematika SMP kelas IX (sembilan).
1. Sederhanakan perpangkatan berikut ini.
(a). $\dfrac{\left( -4 \right)^{5}}{\left( -4 \right)^{2}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\hline
\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ &= a^{m-n} \\
\hline
\dfrac{\left( -4 \right)^{5}}{\left( -4 \right)^{2}}\ & = \left( -4 \right)^{5-2} \\
& = \left( -4 \right)^{3} \\
& = -4^{3}
\end{align}$
(b). $\dfrac{\left( -4 \right)^{6}}{\left( -4 \right)^{2}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\hline
\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ &= a^{m-n} \\
\hline
\dfrac{\left( -4 \right)^{6}}{\left( -4 \right)^{2}}\ & = \left( -4 \right)^{6-2} \\
& = \left( -4 \right)^{4} \\
& = 4^{4}
\end{align}$
(c). $\dfrac{0,3^{7}}{0,3^{3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\hline
\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ &= a^{m-n} \\
\hline
\dfrac{0,3^{7}}{0,3^{3}}\ &= 0,3^{7-3} \\
\
& = \left( 0,3 \right)^{4}
\end{align}$
(d). $\dfrac{\left( \frac{2}{5} \right)^{9}}{\left( \frac{2}{5} \right)^{5}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\hline
\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ &= a^{m-n} \\
\hline
\dfrac{\left( \frac{2}{5} \right)^{9}}{\left( \frac{2}{5} \right)^{5}}\ & = \left( \dfrac{2}{5} \right)^{9-5} \\
& = \left( \dfrac{2}{5} \right)^{3} \\
& = \dfrac{2^{3}}{5^{3}}
\end{align}$
(e). $\dfrac{3^{7} \times 3^{2}}{3^{3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\hline
\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ &= a^{m-n} \\
\hline
\dfrac{3^{7} \times 3^{2}}{3^{3}}\ &= \dfrac{3^{7+2}}{3^{3}} \\
\
&= \dfrac{3^{9}}{3^{3}} \\
\
&= 3^{9-3}=3^{6}
\end{align}$
f. $\dfrac{5^{5}}{5^{2} \times 5^{3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\hline
\dfrac{a^{m}}{a^{n}}\ &= a^{m-n} \\
\hline
\dfrac{5^{5}}{5^{2} \times 5^{3}}\ &= \dfrac{5^{5}}{5^{2+3}} \\
\
&= \dfrac{5^{5}}{5^{5}} \\
\
&= 5^{5-5}= 5^{0} =1
\end{align}$
g. $\dfrac{2^{7} \times 6^{7}}{4^{7}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\hline
\dfrac{a^{n}}{b^{n}}\ & = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} \\
\hline
\dfrac{2^{7} \times 6^{7}}{4^{7}}\ &= \dfrac{ \left( 2 \times 6 \right)^{7}}{4^{7}} \\
&= \dfrac{ \left( 12 \right)^{7}}{4^{7}} \\
&= \left( \dfrac{12}{4} \right)^{7} \\
&= 3^{7}
\end{align}$
h. $\dfrac{6^{7} \times 3^{3}}{2^{7}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\hline
\dfrac{a^{n}}{b^{n}}\ & = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} \\
\hline
\dfrac{6^{7} \times 3^{3}}{2^{7}}\ &= \dfrac{ 6^{7}}{2^{7}} \times 3^{3} \\
&= 3^{7} \times 3^{3} \\
&= 3^{7+3} \\
&= 3^{10}
\end{align}$
i. $\dfrac{10^{6} \times 4^{2}}{25^{3} \times 8^{3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\hline
\dfrac{a^{n}}{b^{n}}\ & = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} \\
\hline
\dfrac{10^{6} \times 4^{2}}{25^{3} \times 8^{3}}\ &= \dfrac{10^{6} \times \left( 2^{2} \right)^{2}}{\left( 5^{2} \right)^{3} \times \left( 2^{3} \right)^{3}} \\
&= \dfrac{10^{6} \times 2^{4}}{ 5^{6} \times 2^{9}} \\
&= \left( \dfrac{10}{5} \right)^{6} \times \dfrac{2^{4}}{2^{9}} \\
&= 2^{6} \times 2^{4-9} \\
&= 2^{6} \times 2^{-5} \\
&= 2^{6-5}=2
\end{align}$
j. $\dfrac{21^{5}}{9^{2}}\ :\ \left( \dfrac{7}{2} \right)^{2}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\hline
\dfrac{a^{n}}{b^{n}}\ & = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} \\
\hline
\dfrac{21^{5}}{9^{2}}\ :\ \left( \dfrac{7}{2} \right)^{2}\ &= \dfrac{\left( 7 \times 3 \right)^{5}}{\left( 3^{2} \right)^{2}}\ :\ \dfrac{7^{2}}{2^{2}} \\
&= \dfrac{7^{5} \times 3^{5}}{3^{4}}\ \times\ \dfrac{2^{2}}{7^{2}} \\
&= \dfrac{7^{5} \times 3^{5} \times 2^{2}}{3^{4} \times 7^{2}} \\
&= 7^{5-2} \times 3^{5-4} \times 2^{2} \\
&= 7^{3} \times 3^{1} \times 4 \\
&= 7^{3} \times 12
\end{align}$
2. Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini.
(a). $\dfrac{\left( -y \right)^{5}}{\left( -y \right)^{2}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{\left( -y \right)^{5}}{\left( -y \right)^{2}}\ & = \left( -y \right)^{5-2} \\
& = \left( -y \right)^{3} \\
& = -y^{3}
\end{align}$
(b). $\dfrac{\left( \frac{1}{t} \right)^{7}}{\left( \frac{1}{t} \right)^{3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{\left( \frac{1}{t} \right)^{7}}{\left( \frac{1}{t} \right)^{3}}\ & = \left( \dfrac{1}{t} \right)^{7-3} \\
& = \left( \dfrac{1}{t} \right)^{4}
\end{align}$
(c). $\dfrac{3m^{7}}{m^{3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{3m^{7}}{m^{3}}\ & = 3m^{7-3} \\
& = 3m^{4}
\end{align}$
(d). $\dfrac{42y^{8}}{12y^{5}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{42y^{8}}{12y^{5}}\ & = \dfrac{42}{12}\ y^{8-5} \\
& = \dfrac{7}{2}\ y^{3}
\end{align}$
(e). $\dfrac{\left( \frac{1}{t} \right)^{7}}{\left( \frac{1}{t} \right)^{3}} \times \dfrac{\left( \frac{1}{t} \right)^{3}}{\left( \frac{1}{t} \right)^{2}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{\left( \frac{1}{t} \right)^{7}}{\left( \frac{1}{t} \right)^{3}} \times \dfrac{\left( \frac{1}{t} \right)^{3}}{\left( \frac{1}{t} \right)^{2}}\ & = \left( \dfrac{1}{t} \right)^{7-3} \times \left( \dfrac{1}{t} \right)^{3-2} \\
& = \left( \dfrac{1}{t} \right)^{4} \times \dfrac{1}{t} \\
& = \left( \dfrac{1}{t} \right)^{5}
\end{align}$
f. $\dfrac{3w^{4}}{w^{2}} \times 5w^{3}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{3w^{4}}{w^{2}} \times 5w^{3}\ & = 3w^{4-2} \times 5w^{3} \\
& = 3w^{2} \times 5w^{3} \\
& = 15w^{2+5}=15w^{7}
\end{align}$
3. Sederhanakan.
(a). $ \dfrac{0,2^{4} \times 0,2^{2}}{0,2^{5}} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{0,2^{4} \times 0,2^{2}}{0,2^{5}}\ & = \dfrac{0,2^{4} \times 0,2^{2}}{0,2^{5}} \\
& = \dfrac{0,2^{4+2}}{0,2^{5}} \\
& = 0,2^{6-5}=0,2
\end{align}$
(b). $\dfrac{ \left(-5\right)^{5}}{\left(-5\right)^{2} \times \left(-5\right)^{2}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{ \left(-5\right)^{5}}{\left(-5\right)^{2} \times \left(-5\right)^{2}}\ & = \dfrac{\left(-5\right)^{5}}{\left(-5\right)^{2+2}} \\
& = \dfrac{\left(-5\right)^{5}}{\left(-5\right)^{4}} \\
& = \left(-5\right)^{5-4}= -5
\end{align}$
(c). $ 12 + \dfrac{ 4^{7}}{4^{6}} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
12 + \dfrac{ 4^{7}}{4^{6}}\ & = 12 + 4^{7-6} \\
& = 12 + 4^{1} \\
& = 16
\end{align}$
(d). $ \dfrac{3 \times 5^{4}}{5^{3}}-15 $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{3 \times 5^{4}}{5^{3}}-15\ & = 3 \times 5^{4-3} -15 \\
& = 3 \times 5 -15 \\
& = 15-15=0
\end{align}$
(e). $ \dfrac{4^{5}}{4^{4}}-\dfrac{2^{4}}{2^{3}} \times 6 $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{4^{5}}{4^{4}}-\dfrac{2^{4}}{2^{3}} \times 6\ & = 4^{5-4} - 2^{4-3} \times 6 \\
& = 4^{1} - 2^{1} \times 6 \\
& = 4 - 12 \\
& = -8
\end{align}$
4. Tuliskan kembali perpangkatan berikut dalam tiga bentuk pembagian perpangkatan yang berbeda.
(a). $ 2^{5} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
2^{5}\ & = \dfrac{2^{7}}{2^{2}} \\
\hline
2^{5}\ & = \dfrac{2^{11}}{2^{6}} \\
\hline
2^{5}\ & = \dfrac{2^{30}}{2^{25}} \\
\end{align}$
(b). $ p^{3} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
p^{3}\ & = \dfrac{p^{8}}{p^{5}} \\
\hline
p^{3}\ & = \dfrac{p^{11}}{p^{8}} \\
\hline
p^{3}\ & = \dfrac{p^{20}}{p^{17}} \\
\end{align}$
5. Dapatkan nilai $n$ dari pembagian pada perpangkatan di bawah ini.
(a). $\dfrac{s^{2}}{s^{4}} \times \dfrac{s^{9}}{s^{3}}=s^{n}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{s^{2}}{s^{4}} \times \dfrac{s^{9}}{s^{3}} & = s^{n} \\
s^{2-4} \times s^{9-3} & = s^{n} \\
s^{-2} \times s^{6} & = s^{n} \\
s^{-2+6} & = s^{n} \\
s^{4} & = s^{n}
\end{align}$
Agar persamaan di atas bernilai benar, maka nilai $n=4$
(b). $\dfrac{3^{6}}{3^{2}} = n \times 9$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{3^{6}}{3^{2}} & = n \times 9 \\
3^{6-2} & = n \times 3^{2} \\
3^{4} & = n \times 3^{2} \\
\dfrac{3^{4}}{3^{2}} & = n \\
3^{2} & = n
\end{align}$
6. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Berpikir Kritis. Diberikan persamaan $\dfrac{5^{m}}{5^{n}}=5^{4}$
a. Tentukan dua bilangan $m$ dan $n$ yang bernilai dari $1$ sampai dengan $9$ sehingga dapat memenuhi persamaan di atas.
b. Tentukan banyak penyelesaian dari persamaan tersebut. Jelaskan jawabanmu.
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{5^{m}}{5^{n}} & = 5^{4} \\
5^{m-n} & = 5^{4}
\end{align}$
a. Nilai $(m,n)$ yang memenuhi persamaan $m-n=4$ adalah $(9,5)$, $(8,4)$, $(7,3)$, $(6,2)$, dan $(5,1)$.
b. Banyak pasangan nilai $(m,n)$ penyelesaian dari persamaan ada $5$ buah. Bilangan-bilangan tersebut mempunya selisih $4$, karena harus memenuhi pada $m-n=4$.
7. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Bilangan $\dfrac{2^{2015}+2^{2014}+2^{2013}}{14}$ setara dengan $2^{y}$, untuk $y$ suatu bilangan bulat positif. Tentukan nilai $y$.
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{2^{2015}+2^{2014}+2^{2013}}{14} & = 2^{y} \\
\dfrac{2^{2013} \left( 2^{2} +2^{1}+1 \right)}{14} & = 2^{y} \\
\dfrac{2^{2013} \left( 4 +2+1 \right)}{14} & = 2^{y} \\
\dfrac{2^{2013} \left( 7 \right)}{14} & = 2^{y} \\
\dfrac{2^{2012} \times 2 \left( 7 \right)}{14} & = 2^{y} \\
\dfrac{2^{2012} \times 14}{14} & = 2^{y} \\
2^{2012} & = 2^{y}
\end{align}$
Nilai $y$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $y=2012$.
8. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Populasi bakteri yang tersebar dalam suatu wadah berbentuk persegi panjang yaitu sebanyak $4,2 \times 10^{7}$. Jika panjang dan lebar wadah tersebut masing-masing $10\ cm$ dan $7\ cm$, berapa kepadatan bakteri pada wadah tersebut?.
Alternatif Pembahasan:
Luas persegi panjang adalah:
$\begin{align}
L & = p\ cm \times l\ cm \\
& = 10\ cm \times 7\ cm \\
& = 70\ cm^{2}
\end{align}$
Kepadatan bakteri adalah:
$\begin{align}
\dfrac{\text{banyak populasi}}{\text{luas wilayah}} & = \dfrac{4,2 \times 10^{7}}{70\ cm^{2}} \\
& = \dfrac{4,2 \times 10 \times 10^{6}}{7 \times 10\ cm^{2}} \\
& = \dfrac{42 \times 10^{6}}{7 \times 10\ cm^{2}} \\
& = \dfrac{6 \times 10^{5}}{cm^{2}} \\
\end{align}$
Untuk $1\ cm^{2}$ terdapat $6 \times 10^{5}$ bakteri.
9. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam menyederhanakan bentuk dibawah ini.
$\dfrac{7^{13}}{7^{5}}=7^{\frac{13}{5}}=7^{8}$
Alternatif Pembahasan:
Kesalahan dalam menyederhanakan bentuk di atas adalah kesalahan dalam menggunakan sifat $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ seharusnya bentuknya menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\dfrac{7^{13}}{7^{5}} & = 7^{13-5} \\
& = 7^{8}
\end{align}$
10. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Tantangan. Intensitas bunyi percakapan manusia $10^{6}$ kali intensitas suara manusia berbisik. Sedangkan intensitas bunyi pesawat lepas landas $10^{14}$ kali intensitas suara bisikan manusia. Berapa kali intensitas bunyi pesawat lepas landas dibandingkan dengan bunyi percakapan manusia?
Alternatif Pembahasan:
Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa:
- Intensitas bunyi percakapan manusia ($PM$) $10^{6}$ kali intensitas suara manusia berbisik ($MB$)
- Intensitas bunyi pesawat lepas landas ($PL$) $10^{14}$ kali intensitas suara manusia berbisik ($MB$)
$\begin{align}
PM & = 10^{6} \times MB \\
10^{-6} \times PM & = MB \\
\hline
PL & = 10^{14} \times MB \\
10^{-14} \times PL & = MB \\
\hline
MB & = MB \\
10^{-14} \times PL & = 10^{-6} \times PM \\
PL & = 10^{14} \times 10^{-6} \times PM \\
PL & = 10^{14-6} \times PM \\
PL & = 10^{8} \times PM
\end{align}$
Intensitas bunyi pesawat lepas landas ($PL$) $10^{8}$ kali intensitas bunyi percakapan manusia ($PM$).
11. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Berpikir Kritis. Bagaimana kamu dapat menuliskan angka $1$ sebagai bentuk perpangkatan dengan basis $5$ dan perpangkatan dengan basis $7$?
Alternatif Pembahasan:
- Bentuk perpangkatan dengan basis (bilangan pokok) $5$ bentuknya adalah $5^{0}$
- Bentuk perpangkatan dengan basis (bilangan pokok) $7$ bentuknya adalah $7^{0}$
12. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini.
(a). $3^{1}+3^{0}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
3^{1}+3^{0} & = 3 +1 \\
& = 4 \\
\end{align}$
(b). $\left( -2 \right)^{-6} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\left( -2 \right)^{-6} & = \dfrac{1}{\left( -2 \right)^{6}} \\
& = \dfrac{1}{2^{6}} \\
& = \dfrac{1}{64}
\end{align}$
(c). $\left( -3^{3} \right) \times \left( -3^{0} \right) $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\left( -3^{3} \right) \times \left( -3^{0} \right) & = \left( -27 \right) \times \left( 1 \right) \\
& = -27
\end{align}$
(d). $\left( -3^{3} \right) \times \left( -3^{0} \right) $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\left( -3^{3} \right) \times \left( -3^{0} \right) & = \left( -27 \right) \times \left( 1 \right) \\
& = -27
\end{align}$
(e). $\left( -\dfrac{2}{3} \right)^{-2} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\left( -\dfrac{2}{3} \right)^{-2} & = \dfrac{1}{\left( -\dfrac{2}{3} \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1}{ \dfrac{4}{9}} \\
& = \dfrac{9}{4}
\end{align}$
13. Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut ini.
(a). $\dfrac{2^{3} \times 2^{4}}{2^{6}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{2^{3} \times 2^{4}}{2^{6}}\ & = \dfrac{2^{3+4}}{2^{6}} \\
& = \dfrac{2^{7}}{2^{6}} \\
& = 2^{7-6}=2 \\
\end{align}$
(b). $ \left( -\dfrac{1}{4}\right)^{-4} \times \left( -\dfrac{1}{4}\right)^{0} \times \left( -\dfrac{1}{4}\right)^{4}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\left( -\dfrac{1}{4}\right)^{-4} \times \left( -\dfrac{1}{4}\right)^{0} \times \left( -\dfrac{1}{4}\right)^{4}\ & = \left( -\dfrac{1}{4}\right)^{-4+0+4} \\
& = \left( -\dfrac{1}{4}\right)^{0} \\
& = 1 \\
\end{align}$
(c). $ \dfrac{1}{3^{5}} \times \dfrac{1}{3^{-7}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{3^{5}} \times \dfrac{1}{3^{-7}}\ & = 3^{-5} \times 3^{7} \\
& = 3^{-5+7} \\
& = 3^{2}
\end{align}$
(d). $ \left(-7 \right)^{4} \times 7^{3}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\left(-7 \right)^{4} \times 7^{3}\ & = -7^{4} \times 7^{3} \\
& = -1 \times 7^{4} \times 7^{3} \\
& = -1 \times 7^{4+3} \\
& = -7^{7} \\
\end{align}$
14. Sederhanakan dalam bentuk pangkat positif.
(a). $2m^{-4} \times m^{-3}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
2m^{-4} \times m^{-3}\ & = 2m^{-4-3} \\
& = 2m^{-7} \\
& = \dfrac{2}{m^{7}}
\end{align}$
(b). $ \dfrac{6^{7}}{6^{3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{6^{7}}{6^{3}} & = 6^{7-3} \\
& = 6^{4}
\end{align}$
(c). $ \dfrac{b^{-6}}{b^{-3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{b^{-6}}{b^{-3}} & = b^{-6-3} \\
& = b^{-9} \\
& = \dfrac{1}{b^{9}}
\end{align}$
(d). $ \dfrac{1}{a^{3}bc^{-4}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{a^{3}bc^{-4}} & = \dfrac{1}{a^{3}b} \times \dfrac{1}{c^{-4}} \\
& = \dfrac{1}{a^{3}b} \times c^{4} \\
& = \dfrac{c^{4}}{a^{3}b}
\end{align}$
15. Sederhanakan bentuk operasi perpangkatan berikut ini.
(a). $18t^{3} \times 2t^{-3}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
18t^{3} \times 2t^{-3}\ & = 36 \times t^{3-3} \\
& = 36 \times t^{0} \\
& = 18 \times 1 \\
& = 18
\end{align}$
(b). $\dfrac{2\ y^{0}\ t^{3}}{y^{6}\ t^{-2}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{2\ y^{0}\ t^{3}}{y^{6}\ t^{-2}}\ & = \dfrac{2\ \times 1\ \times t^{3+2}}{y^{6}} \\
& = \dfrac{2\ t^{5}}{y^{6}}
\end{align}$
(c). $2\ m^{0} \times m^{-7}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
2\ m^{0} \times m^{-7}\ & = 2 \times 1 \times \dfrac{1}{m^{7}} \\
& = \dfrac{2}{m^{7}}
\end{align}$
(d). $m^{3}+ \dfrac{4}{m^{-3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
m^{3}+ \dfrac{4}{m^{-3}}\ & = m^{3}+ 4m^{3} \\
& = m^{3} \left( 1+ 4 \right) \\
& = 5m^{3}
\end{align}$
16. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam penyederhanaan berikut ini.
$\begin{align}
d^{-5}\ & = \left( -d \right) \times \left( -d \right) \times \left( -d \right) \times \left( -d \right) \times \left( -d \right) \\
& = \left( -d \right)^{5} \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Kesalahan dalam penyederhanaan bentuk di atas adalah salah menerapkan dari definisi bilangan berpangkat $a^{n}= \underset{perkalian\ sebanyak\ n}{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a \times a}}$ dan sifat bilangan berpangkat negatif $a^{-n}= \dfrac{1}{a^{n}}$, seharusnya penyederhaan seperti berikut ini:
$\begin{align}
d^{-5} &= \dfrac{1}{d^{5}}
\end{align}$
17. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Tantangan. Pada sebuah pabrik kertas HVS dilakukan pengemasan kertas per rim (1 rim = 500 lembar). Jumlah pesanan yang harus dipenuhi pabrik tersebut tiap harinya adalah 30 karton box dengan masing-masing karton box berisi 30 rim kertas. Berapakah rim kertas HVS yang harus diproduksi dalam 1 bulan? (1 bulan adalah 30 hari).
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal dapat kita hitung banyak kertas dalam satuan rim yang diproduksi selama sebulan adalah:
$\begin{align}
& \text{Pesanan tiap hari}\ \times \text{isi tiap karton}\ \times \text{banyak hari} \\
& =30\ times 30\ \times 30 \\
& =30^{3}\ \text{rim}
\end{align}$
Jika pertanyaan dikembangkan dapat juga kita hitung banyak kertas dalam satuan lembar yang diproduksi selama sebulan adalah:
$\begin{align}
& \text{Pesanan tiap hari}\ \times \text{isi tiap karton}\ \times \text{banyak hari} \times \text{lembar} \\
& =30\ times 30\ \times 30 \times 500 \\
& =3^{3} \times 10^{3} \times 5 \times 10^{2} \\
& =27 \times 5 \times 10^{3+2} \\
& =135 \times 10^{5} \ \text{lembar}
\end{align}$
18. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Tantangan. Setiap tanggal 10 Budi melakukan aktivasi paket internet murah dengan kapasitas 1 Gigabyte (GB) untuk telepon selularnya dan masa aktif berlaku sampai tanggal 10 pada bulan berikutnya. Jika Budi melakukan aktivasi pada tanggal 10 Agustus 2016, berapakah kapasitas rata-rata tiap hari yang digunakan Budi agar tetap dapat menggunakan paket internet hingga 9 September 2016? (Tuliskan jawaban kamu dalam satuan Megabyte)
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal disampaikan paket yang dibeli adalah 1 Gigabyte yang setara dengan 1.000 Megabyte. Diaktifkan tanggal 10 Agustus, agar bisa aktif sampai tanggal 9 September maka paket data dipakai selama 31 hari.
Banyak paket data yang dipakai setiap harinya adalah:
$\begin{align}
& = \dfrac{1.000\ \text{Megabyte}}{31} \\
& = 32,25\ \text{Megabyte}
\end{align}$
19. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Tantangan. Dari soal nomor 18, andaikan paket internet Budi habis pada tanggal 30 Agustus 2016, berapa rata-rata kapasitas yang digunakan Budi tiap harinya? (Tuliskan jawaban kamu dalam satuan Byte)
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal disampaikan paket yang dibeli adalah 1 Gigabyte yang setara dengan 1.000 Megabyte. Diaktifkan tanggal 10 Agustus, agar bisa aktif sampai tanggal 30 Agustus 2016 maka paket data dipakai selama 22 hari.
Banyak paket data yang dipakai setiap harinya adalah:
$\begin{align}
& = \dfrac{1.000\ \text{Megabyte}}{22} \\
& = 45,45\ \text{Megabyte} \\
& = 45,45\ \times 10^{6}\ \text{Byte}
\end{align}$
20. Soal Latihan Bilangan Berpangkat Matematika SMP
Tantangan. Setiap kantung darah yang didonasikan oleh para pendonor kepada Palang Merah Indonesia (PMI) berisi $0,5\ \text{L}$ darah. ($1\ \text{mm}^{3} = 10^{–3}\ \text{mL}$)
(a). Jika dalam setiap $1\ \text{mm}^{3}$ darah mengandung $3 \times 10^{4}$ sel darah putih, berapa jumlah sel darah putih dalam satu kantung darah tersebut? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana.
(b). Jika dalam setiap $1\ \text{mm}^{3}$ darah mengandung $7 \times 10^{6}$ sel darah merah, berapa jumlah sel darah merah dalam satu kantung darah tersebut? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana.
Alternatif Pembahasan:
(a). Berdasarkan informasi pada soal disampaikan setiap kantung berisi $0,5\ \text{L}=500\ \text{mL}$ dan $1\ \text{mm}^{3}$ darah mengandung $3 \times 10^{4}$ sel darah putih, banyak sel darah putih dalam setiap kantung adalah:
$\begin{align}
500\ \text{mL} &\ = 500 \times 10^{3}\ \text{mm}^{3} \\
\hline
&\ \text{banyak sel darah putih}\\
\hline
& = 500 \times 10^{3} \times 3 \times 10^{4} \\
& = 1.500 \times 10^{3+4} \\
& = 15 \times 10^{2} \times 10^{7} \\
& = 15 \times 10^{9}
\end{align}$
(b). Berdasarkan informasi pada soal disampaikan setiap kantung berisi $0,5\ L=500\ \text{mL}$ dan $1\ \text{mm}^{3}$ darah mengandung $7 \times 10^{6}$ sel darah merah, banyak sel darah merah dalam setiap kantung adalah:
$\begin{align}
500\ \text{mL} &\ = 500 \times 10^{3}\ \text{mm}^{3} \\
\hline
&\ \text{banyak sel darah merah} \\
\hline
& = 500 \times 10^{3} \times 7 \times 10^{6} \\
& = 3.500\times 10^{3+6} \\
& = 35 \times 10^{2} \times 10^{9} \\
& = 35 \times 10^{11}
\end{align}$
21. Tentukan hasil operasi hitung berikut ini.
(a). $\dfrac{2^{-3} \times 9^{-2}}{18^{-3}} + \dfrac{6^{12} \times 24^{-2}}{12^{3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \dfrac{2^{-3} \times 9^{-2}}{18^{-3}} + \dfrac{6^{12} \times 24^{-2}}{12^{3}} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2^{3}} \times \frac{1}{9^{2}}}{\frac{1}{18^{3}}} + \dfrac{6^{12} \times \frac{1}{24^{2}}}{12^{3}} \\ & = \dfrac{1}{2^{3}} \times \dfrac{1}{9^{2}} \times \dfrac{18^{3}}{1} + 6^{12} \times \dfrac{1}{24^{2}} \times \dfrac{1}{12^{3}} \\ & = \dfrac{18^{3}}{2^{3} \times 9^{2}} + \dfrac{6^{12}}{24^{2} \times 12^{3}} \\ & = \dfrac{(2 \times 9)^{3}}{2^{3} \times 9^{2}} + \dfrac{6^{12}}{(4 \times 6)^{2} \times (2 \times 6)^{3}} \\ & = \dfrac{2^{3} \times 9^{3}}{2^{3} \times 9^{2}} + \dfrac{6^{12}}{4^{2} \times 6^{2} \times 2^3 \times 6^{3}} \\ & = 9 + \dfrac{6^{12}}{2^{4} \times 6^{2+3} \times 2^3 } \\ & = 9 + \dfrac{6^{12}}{2^{4+3} \times 6^{5} } \\ & = 9 + \dfrac{6^{12-5}}{2^{7} } \\ & = 9 + \dfrac{6^{7}}{2^{7} } \\ & = 9 + \left( \dfrac{6}{2 } \right)^{7}\\ & = 9 + 3^{7} \end{align}$
(b). $\dfrac{7^{2} \times 2^{-3} \times 5^{3} - 5^{2} \times 7 \times 2^{2}}{7^{2} \times 2^{-1} \times 5^{2}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \dfrac{7^{2} \times 2^{-3} \times 5^{3} - 5^{2} \times 7 \times 2^{2}}{7^{2} \times 2^{-1} \times 5^{2}} \\ &= \dfrac{7^{2} \times 2^{-3} \times 5^{3}}{7^{2} \times 2^{-1} \times 5^{2}} - \dfrac{5^{2} \times 7 \times 2^{2}}{7^{2} \times 2^{-1} \times 5^{2}}\\ &= 7^{2-2} \times 2^{-3-(-1)} \times 5^{3-2} - 5^{2-2} \times 7^{1-2} \times 2^{2-(-1)} \\ &= 7^{0} \times 2^{-2} \times 5^{1} - 5^{0} \times 7^{-1} \times 2^{3} \\ &= 1 \times \dfrac{1}{2^{2}} \times 5 - 1 \times \dfrac{1}{7^{1}} \times 8 \\ &= \dfrac{5}{4} - \dfrac{8}{7} \\ &= \dfrac{35-32}{28}= \dfrac{3}{28} \end{align}$
22. Tentukan hasil operasi berikut ini.
(a). $\dfrac{70x^{-3}\ y^{-4}\ z^{2}}{25x^{2}\ y^{-7}\ z^{-3}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} &\dfrac{70x^{-3}\ y^{-4}\ z^{2}}{25x^{2}\ y^{-7}\ z^{-3}} \\ &= \dfrac{70}{25} \times x^{-3-2} \times y^{-4-(-7)} \times z^{2-(-3)} \\ &= \dfrac{14}{5} \times x^{-5} \times y^{3} \times z^{5} \\ &= \dfrac{14}{5} \times \dfrac{1}{x^{5}} \times y^{3} \times z^{5} \\ &= \dfrac{14\ y^{3}\ z^{5} }{5\ x^{5}} \end{align}$
(b). $\left( \dfrac{x^{-6}\ y^{-2}}{y^{-5}\ z^{3}} \right)^{11}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left( \dfrac{x^{-6}\ y^{-2}}{y^{-5}\ z^{3}} \right)^{11} \\ &= \left( \dfrac{1}{x^{6}} \times y^{-2-(-5)} \times \dfrac{1}{z^{3}} \right)^{11} \\ &= \left( \dfrac{1}{x^{6}} \times y^{3} \times \dfrac{1}{z^{3}} \right)^{11} \\ &= \left( \dfrac{y^{3}}{x^{6}\ z^{3}} \right)^{11} \\ &= \dfrac{y^{3 \times 11}}{x^{6 \times 11}\ z^{3 \times 11}} \\ &= \dfrac{y^{33}}{x^{66}\ z^{33}} \\ &= \left( \dfrac{y}{x^{2}\ z} \right)^{33} \end{align}$
(c). $\left( \dfrac{x^{-2}\ y^{5}\ z^{-3}}{x^{4}\ y^{-2}\ z^{-2}} \right)^{-3}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left( \dfrac{x^{-2}\ y^{5}\ z^{-3}}{x^{4}\ y^{-2}\ z^{-2}} \right)^{-3} \\ &= \left( x^{-2-4} \times y^{5-(-2)} \times z^{-3-(-2)} \right)^{-3} \\ &= \left( x^{-6} \times y^{7} \times z^{-1} \right)^{-3} \\ &= x^{-6 \times -3} \times y^{7 \times -3} \times z^{-1 \times -3} \\ &= x^{18} \times y^{-21} \times z^{3} \\ &= x^{18} \times \dfrac{1}{y^{21}} \times z^{3} \\ &= \dfrac{x^{18} \times z^{3}}{y^{21}} \end{align}$
23. Tentukan bentuk sederhana dalam bentuk pangkat positif.
(a). $\dfrac{x^{-1}+y^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \dfrac{x^{-1}+y^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}} \\ & =\dfrac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} \\ & =\dfrac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{y-x}{xy}} \\ & =\dfrac{ x+y}{xy} \cdot \dfrac{xy}{y-x} \\ & =\dfrac{ x+y}{y-x} \end{align}$
(b). $\dfrac{ab^{-1}-a^{-1}b}{a^{-1}+b^{-1}}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \dfrac{ab^{-1}-a^{-1}b}{a^{-1}+b^{-1}} \\ & =\dfrac{a \times \frac{1}{b}- \frac{1}{a} \times b}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \\ & =\dfrac{\frac{a}{b}- \frac{b}{a}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \\ & =\dfrac{\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}}{\frac{a+b}{ab}} \\ & =\dfrac{a^{2}-b^{2}}{ab} \times \dfrac{ab}{a+b} \\ & =\dfrac{ a^{2}-b^{2} }{ a+b } \\ & =\dfrac{ \left( a -b \right)\left( a + b \right) }{ a+b } \\ & = a -b \end{align}$
(c). $ \left( \dfrac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-2}+b^{-2}} \right)^{-1}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left( \dfrac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-2}+b^{-2}} \right)^{-1}\\ &= \left( \dfrac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}{\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}} \right)^{-1}\\ &= \left( \dfrac{\frac{b-a}{ab}}{\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}} \right)^{-1}\\ &= \left( \dfrac{b-a}{ab} \times \dfrac{a^{2}\ b^{2}}{b^{2}-a^{2}} \right)^{-1}\\ &= \left( \dfrac{a^{2}\ b^{2}}{ab} \times \dfrac{b-a}{b^{2}-a^{2}} \right)^{-1}\\ &= \left( a^{2-1}\ b^{2-1} \times \dfrac{b-a}{\left( b-a\right)\left( b+a\right)} \right)^{-1}\\ &= \left( ab \times \dfrac{1}{ b+a } \right)^{-1}\\ &=\left( \dfrac{ab}{ b+a} \right)^{-1} \\ &= \dfrac{b+a}{ ab} \end{align}$
24. Tentukan bentuk sederhana dari hasil operasi berikut.
(a). $ \left( \dfrac{2^{4}xy^{-5}}{3^{5} y^{2}} \right)^{-1} \left( \dfrac{2^{2}x^{-2}y^{-1}}{3x^{-3} y} \right)^{2} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left( \dfrac{2^{4}xy^{-5}}{3^{5} y^{2}} \right)^{-1} \left( \dfrac{2^{2}x^{-2}y^{-1}}{3x^{-3} y} \right)^{2} \\ &= \left( \dfrac{2^{4(-1)}x^{(-1)}y^{-5(-1)}}{3^{5(-1)} y^{2(-1)}} \right) \left( \dfrac{2^{2(2)}x^{-2(2)}y^{-1(2)}}{3^{(2)}x^{-3(2)} y^{2}} \right) \\ &= \left( \dfrac{2^{-4}x^{-1}y^{5}}{3^{-5} y^{-2}} \right) \left( \dfrac{2^{4}x^{-4}y^{-2}}{3^{2}x^{-6} y^{2}} \right) \\ &= \dfrac{2^{-4+4}x^{-1-4}y^{5-2}}{3^{-5+2} y^{-2+2} x^{-6}} \\ &= \dfrac{2^{0}x^{-5}y^{3}}{3^{-3} y^{0} x^{-6} } \\ &= \dfrac{ x^{-5-(-6)}y^{3}}{3^{-3} } \\ &= 3^{3}\ x^{1}\ y^{3} \\ &= 27x y^{3} \end{align}$
(b). $ \dfrac{ \left( a+b \right)^{-1} \left( a^{-2}-b^{-2} \right)}{\left( a^{-1}+b^{-1} \right) \left( ab^{-1}-a^{-1}b \right)} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \dfrac{ \left( a+b \right)^{-1} \left( a^{-2}-b^{-2} \right)}{\left( a^{-1}+b^{-1} \right) \left( ab^{-1}-a^{-1}b \right)} \\ &= \dfrac{ \left( \frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}} \right)}{\left( a+b \right) \left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right) \left( \frac{a}{b}-\frac{b}{a} \right)} \\ &= \dfrac{ \left( \frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}} \right)}{\left( a+b \right) \left( \frac{b-a}{ab} \right) \left( \frac{a^{2}-b^{2}}{ab} \right)} \\ &= \dfrac{ \frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}} }{ \frac{\left(b^{2}-a^{2} \right) \left( a^{2}-b^{2} \right) } {a^{2}b^{2}} } \\ &= \dfrac{1}{ a^{2}-b^{2} } \end{align}$
25. Tentukan bentuk sederhana dari hasil operasi berikut.
(a). $ 2^{n+1} \times 4^{n-1} \times 8^{n+2} \times 16^{n-2} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & 2^{n+1} \times 4^{n-1} \times 8^{n+2} \times 16^{n-2} \\ &= 2^{n+1} \times \left(2^{2} \right)^{n-1} \times \left(2^{3} \right)^{n+2} \times \left(2^{4} \right)^{n-2} \\ &= 2^{n+1} \times 2^{2(n-1)} \times 2^{3(n+2)} \times 2^{4(n-2)} \\ &= 2^{n+1} \times 2^{2n-2} \times 2^{3n+6} \times 2^{4n-8} \\ &= 2^{n+1+2n-2+3n+6+4n-8} \\ &= 2^{10n-3} \end{align}$
(b). $ 2^{n+1} \times 4^{n-1} \times 8^{n+2} \times 16^{n-2} $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & 2^{n+1} \times 4^{n-1} \times 8^{n+2} \times 16^{n-2} \\ &= \dfrac{27^{n+2} \times 24^{2n-3}}{36^{2 \left(n-4 \right)}} \\ &= \dfrac{\left( 3^ {3} \right)^{n+2} \times (3 \times 8)^{2n-3}}{ \left( 6^{2} \right)^{2 \left(n-4 \right)}} \\ &= \dfrac{3^{3(n+2)} \times (3 \times 8)^{2n-3}}{ \left( 6^{2} \right)^{2 \left(n-4 \right)}} \\ &= \dfrac{3^{3n+6} \times 3^{2n-3} \times 8^{2n-3}}{ 6^{4 \left(n-4 \right)}} \\ &= \dfrac{3^{3n+6+2n-3} \times \left( 2^{3} \right)^{2n-3}}{ 6^{4n-16}} \\ &= \dfrac{3^{5n+3} \times 2^{6n-9}}{ 6^{4n-16}} \\ &= \dfrac{3^{5n+3} \times 2^{6n-9}}{ \left(2 \times 3 \right)^{4n-16}} \\ &= \dfrac{3^{5n+3} \times 2^{6n-9}}{ 2^{4n-16} \times 3^{4n-16}} \\ &= 3^{5n+3-(4n-16)} \times 2^{6n-9-(4n-16)}\\ &= 3^{n+19} \times 2^{2n+7} \end{align}$
Catatan Bilangan Berpangkat Nol dan Berpangkat Negatif Dilengkapi Pembahasan Soal Latihan dari Buku Matematika SMP di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
