Bilangan Berpangkat dan Pembahasan Soal Latihan Buku Matematika SMP Kelas IX

Pada bentuk perkalian $\left( -2 \right) \times \left( -2 \right) \times \left( -2 \right)$ bilangan pokok $\left( -2 \right)$ dikalikan sebanyak $3$ kali sehingga dalam bentuk bilangan eksponen dapat kita nyatakan menjadi $\left( -2 \right)^{3}$.

Pada bentuk perkalian $\left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right) \times \left( \dfrac{1}{5} \right)$ bilangan pokok $\left( \dfrac{1}{5} \right)$ dikalikan sebanyak $5$ kali sehingga dalam bentuk bilangan eksponen dapat kita nyatakan menjadi $\left( \dfrac{1}{5} \right)^{5}$.

Pada bentuk perkalian $\left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \left( -\dfrac{2}{3} \right)$ bilangan pokok $\left( -\dfrac{2}{3} \right)$ dikalikan sebanyak $5$ kali sehingga dalam bentuk bilangan eksponen dapat kita nyatakan menjadi $\left( -\dfrac{2}{3} \right)^{5}$.

Pada bentuk perkalian $t \times t \times t \times t \times t \times t$ bilangan pokok $t$ dikalikan sebanyak $6$ kali sehingga dalam bentuk bilangan eksponen dapat kita nyatakan menjadi $t^{5}$.

Pada bentuk perkalian $y \times y \times y \times y \times y \times y \times y \times y \times y \times y$ bilangan pokok $y$ dikalikan sebanyak $10$ kali sehingga dalam bentuk bilangan eksponen dapat kita nyatakan menjadi $y^{10}$.

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat, $3^{8}$ dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang adalah $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$.

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat, $\left(0,83 \right)^{4}$ dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang adalah $\left(0,83 \right) \times \left(0,83 \right) \times \left(0,83 \right) \times \left(0,83 \right)$.

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat, $t^{3}$ dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang adalah $t \times t \times t$.

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat, $\left( -\dfrac{1}{4} \right)^{4}$ dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang adalah $\left( -\dfrac{1}{4} \right) \times \left( -\dfrac{1}{4} \right) \times \left( -\dfrac{1}{4} \right) \times \left( -\dfrac{1}{4} \right)$.

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat, $-\left(\dfrac{1}{4} \right)^{4}$ dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang adalah $-\left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right)$.

$\begin{align}
2^{8}\ & = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 4 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 8 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 16 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 32 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 64 \times 2 \times 2 \\
& = 128 \times 2 \\
& = 256 \\
\end{align}$

$\begin{align}
5^{4}\ & = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \\
& = 25 \times 5 \times 5 \\
& = 125 \times 5 \\
& = 625 \\
\end{align}$

$\begin{align}
\left(0,02 \right)^{2}\ & = 0,02 \times 0,02 \\
& = 0,0004 \\
\end{align}$

$\begin{align}
\left( \dfrac{1}{3} \right)^{2}\ & = \left( \dfrac{1}{3} \right) \times \left( \dfrac{1}{3} \right) \times \left( \dfrac{1}{3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1}{9} \right) \times \left( \dfrac{1}{3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1}{27} \right) \\
\end{align}$

$\begin{align}
-\left( \dfrac{1}{4} \right)^{4}\ & = -\left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \\
& = -\left( \dfrac{1}{16} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \\
& = -\left( \dfrac{1}{64} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \\
& = -\left( \dfrac{1}{256} \right) \\
\end{align}$

$\begin{align}
1.000\ & = 100 \times 10 \\
& = 10 \times 10 \times 10 \\
& = 10^{3} \\
\end{align}$

$\begin{align}
100.000\ & = 100 \times 1000 \\
& = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\\
& = 10^{5} \\
\end{align}$

$\begin{align}
1.000.000\ & = 100.000 \times 10 \\
& = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \\
& = 10^{6} \\
\end{align}$

$\begin{align}
10.000.000\ & = 1.000.000 \times 10 \\
& = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \\
& = 10^{7} \\
\end{align}$

$\begin{align}
256\ & = 128 \times 2 \\
& = 64 \times 2 \times 2 \\
& = 32 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 16 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 8 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 4 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 2^{8} \\
\end{align}$

$\begin{align}
64\ & = 32 \times 2 \\
& = 16 \times 2 \times 2 \\
& = 8 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 4 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 2^{6} \\
\end{align}$

$\begin{align}
512\ & = 256 \times 2 \\
& = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
& = 2^{9} \\
\end{align}$

$\begin{align}
1.048.576\ & = 2048 \times 512 \\
& = 4 \times 512 \times 512 \\
& = 2 \times 2 \times 2^{9} \times 2^{9} \\
& = 2 \times 2 \times 2 \times \cdots \times 2 \times \cdots \times 2 \\
& = 2^{20} \\
\end{align}$

$\begin{align}
5\ & = 5^{1} \\
\end{align}$

$\begin{align}
625\ & = 125 \times 5 \\
& = 25 \times 5 \times 5 \\
& = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \\
& = 5^{4} \\
\end{align}$

$\begin{align}
15.625\ & = 25 \times 625 \\
& = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \\
& = 5^{6} \\
\end{align}$

$\begin{align}
125\ & = 25 \times 5 \\
& = 5 \times 5 \times 5 \\
& = 5^{3} \\
\end{align}$

$\begin{align}
5+3 \times 2^{4}\ & = 5+3 \times 16 \\
& = 5+48 \\
& = 53 \\
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{1}{2} \left( 6^{3}-4^{2} \right)\ & = \dfrac{1}{2} \left( 216-16 \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( 200 \right) \\
& = 100 \\
\end{align}$

$\begin{align}
8+3 \times \left( -3 \right)^{4}\ & = 8+3 \times \left( -3 \right)^{4} \\
& = 8+3 \times 81 \\
& = 8+243 \\
& = 251 \\
\end{align}$

$\begin{align}
\left( 6^{4}-4^{4} \right) : 2\ & = \left( 1.296-256 \right) : 2 \\
& = \left( 1.040 \right) : 2 \\
& = 520 \\
\end{align}$

$\begin{align}
\left( \dfrac{1}{4} \right)^{4} \times \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{2}\ & = \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( -\dfrac{1}{3} \right) \times \left( -\dfrac{1}{3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1 \times 1 \times 1 \times 1}{4 \times 4 \times 4 \times 4} \right) \times \left( \dfrac{ (-1) \times (-1)}{3 \times 3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1}{256} \right) \times \left( \dfrac{ 1}{9} \right) \\
& = \dfrac{1}{256 \times 9} \\
& = \dfrac{1}{2304} \\
\end{align}$

$\begin{align}
\left( \dfrac{1}{4} \right)^{4} : \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{2}\ & = \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \left( \dfrac{1}{4} \right) : -\left( \dfrac{1}{3} \right) \times \left( \dfrac{1}{3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1 \times 1 \times 1 \times 1}{4 \times 4 \times 4 \times 4} \right) : -\left( \dfrac{ 1 \times 1}{3 \times 3} \right) \\
& = \left( \dfrac{1}{256} \right) : -\left( \dfrac{ 1}{9} \right) \\
& = \dfrac{1}{256} \times -\dfrac{9}{1} \\
& = -\dfrac{9}{256} \\
\end{align}$

$\begin{align}
7^{x}\ & = 343 \\
7^{x}\ & = 49 \times 7 \\
7^{x}\ & = 7 \times 7 \times 7 \\
7^{x}\ & = 7^{3} \\
\end{align}$
$\therefore$ Nilai $x$ agar persamaan di atas bernilai benar adalah $x=3$.

$\begin{align}
2^{x}\ & = 64 \\
2^{x}\ & = 32 \times 2 \\
2^{x}\ & = 16 \times 2 \times 2 \\
2^{x}\ & = 8 \times 2 \times 2 \times 2 \\
2^{x}\ & = 4 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
2^{x}\ & = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
2^{x}\ & = 2^{6} \\
\end{align}$
$\therefore$ Nilai $x$ agar persamaan di atas bernilai benar adalah $x=6$.

$\begin{align}
10^{x}\ & = 10.000 \\
10^{x}\ & = 1000 \times 10 \\
10^{x}\ & = 100 \times 10 \times 10 \\
10^{x}\ & = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \\
10^{x}\ & = 10^{4} \\
\end{align}$
$\therefore$ Nilai $x$ agar persamaan di atas bernilai benar adalah $x=4$.

$\begin{align}
5^{x}\ & = 625 \\
5^{x}\ & = 25 \times 5 \\
5^{x}\ & = 5 \times 5 \times 5 \\
5^{x}\ & = 5^{3} \\
\end{align}$
$\therefore$ Nilai $x$ agar persamaan di atas bernilai benar adalah $x=3$.

Pada soal dikatakan bahwa virus berkembang dengan membelah diri menjadi $3$ setiap setengah jam. Karena banyak virus mula-mula tidak diketahui, kita anggap banyak virus pertama kali masuk ke dalam tubuh manusia adalah $1$.

• Banyak virus pertama kali masuk: $1$
• Banyak virus setelah $0,5\ jam$ adalah $1 \times 3 =3$
• Banyak virus setelah $1\ jam$ adalah $3 \times 3= 9$
• Banyak virus setelah $1,5\ jam$ adalah $9 \times 3 = 27$
• Banyak virus setelah $2\ jam$ adalah $27 \times 3 = 81$
• Banyak virus setelah $2,5\ jam$ adalah $81 \times 3 = 243$
• Banyak virus setelah $3\ jam$ adalah $243 \times 3 = 729$
• Banyak virus setelah $3,5\ jam$ adalah $729 \times 3 = 2.187$
• Banyak virus setelah $4\ jam$ adalah $2.187 \times 3 = 6.561$
• Banyak virus setelah $4,5\ jam$ adalah $6.561 \times 3 = 19.683$
• Banyak virus setelah $5\ jam$ adalah $19.683 \times 3 = 59.049$
• Banyak virus setelah $5,5\ jam$ adalah $59.049 \times 3 = 177.147$
• Banyak virus setelah $6\ jam$ adalah $177.147 \times 3 = 531.441$

Pada soal dikatakan bahwa "amoeba berkembang dengan membelah diri sebanyak $2$ kali tiap $15$ menit". Artinya jika amoeba banyak mula-mula ada $4$ ekor maka setelah $15$ menit banyak amoeba menjadi $16$ ekor, penjabarannya dapat kita tuliskan seperti berikut:

• Jika amobe membelah diri satu kali: amoeba yang tadinya $4$ ekor menjadi $8$ ekor;
• Jika amoeba membelah diri dua kali: amoeba yang tadinya $4$ menjadi $8$ ekor, lalu $8$ membelah diri lagi jadi $16$ ekor;

• Untuk satu jam pertama banyak amoeba adalah:
  • $15$ menit: $4 \times 2 \times 2=2^{4}$
  • $30$ menit: $2^{4} \times 2 \times 2=2^{6}$
  • $45$ menit: $2^{6} \times 2 \times 2=2^{8}$
  • $60$ menit: $2^{8} \times 2 \times 2=2^{10}$
• Setelah dua jam banyak amoeba adalah:
  • $15$ menit: $2^{10} \times 2 \times 2=2^{12}$
  • $30$ menit: $2^{12} \times 2 \times 2=2^{14}$
  • $45$ menit: $2^{14} \times 2 \times 2=2^{16}$
  • $60$ menit: $2^{16} \times 2 \times 2=2^{18}$
• Setelah tiga jam banyak amoeba adalah:
  • $15$ menit: $2^{18} \times 2 \times 2=2^{20}$
  • $30$ menit: $2^{20} \times 2 \times 2=2^{22}$
  • $45$ menit: $2^{22} \times 2 \times 2=2^{24}$
  • $60$ menit: $2^{24} \times 2 \times 2=2^{26}$

Jika kita perhatikan banyak amoeba setiap jam membentuk pola barisan bilangan yaitu:
$2^{10}$, $2^{18}$, $2^{26}$, $2^{34}$, $2^{42}$, ...
Untuk menghitung banyak amoeba setelah $24$ jam dengan pola di atas dapat kita gunakan aturan aritmatika pada pangkatnya, yaitu:
: $\begin{align}
(1)\ \text{jam}:\ & 10=10 \\
(2)\ \text{jam}:\ & 18=10+8 \\
(3)\ \text{jam}:\ & 26=10+2(8) \\
& \vdots \\
(23)\ \text{jam}:\ & S=10+22(8) \\
(24)\ \text{jam}:\ & S=10+23(8) \\
\end{align}$
Banyak amoeba setelah $24$ jam adalah $2^{10+23(8)}=2^{194}$ ekor.

Untuk pertanyaan berapa jumlah amoeba $S$ mula-mula sehingga dalam $1$ jam terdapat minimal $1.000$ Amoeba $S$
Kita coba kerjakan dengan alur mundur, sehingga dengan banyak amoeba minimal $1.000$ setelah satu jam ilustrasinya dapat kita tuliskan:

• $60$ menit pertama:
  $1.000$ ekor sebelumnya $500$ ekor, dan $500$ ekor sebelumnya $250$ ekor.
• $45$ menit pertama:
  $250$ ekor sebelumnya $125$ ekor, dan $125$ ekor sebelumnya $62,5$ ekor dan ini tidak mungkin karena amoeba adalah kelipatan $2$ sehingga banyak sebelumnya kita bulatkan menjadi $64$ ekor.
• $30$ menit pertama:
  $64$ ekor sebelumnya $32$ ekor, dan $32$ ekor sebelumnya $16$ ekor.
• $15$ menit pertama:
  $16$ ekor sebelumnya $8$ ekor, dan $8$ ekor sebelumnya adalah $4$ ekor.

Dari hasil ini jumlah amoeba $S$ mula-mula sehingga dalam $1$ jam terdapat minimal $1.000$ Amoeba $S$ adalah $4$ ekor.

Dapat juga kita kerjakan dengan formula seperti berikut,
Banyak amoeba mula-mula kita misalkan dengan $x_{0}$, banyak amoeba setelah satu jam adalah $x_{0} \times 2^{8}$. Agar banyak amoeba paling sedikit $1.000$ dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
x_{0} \times 2^{8}\ & \geq 1000 \\
x_{0} \times 256\ & \geq 1000 \\
x_{0} & \geq \dfrac{1000}{256}\ \\
x_{0} & \geq 3\dfrac{29}{32} \\
\end{align}$

Dari hasil di atas $x_{0} \geq 3\dfrac{29}{32}$ dan $x_{0}$ adalah bilangan bulat, sehingga nilai $x_{0}$ yang terkecil adalah $4$.