--> Skip to main content

Mengenal Bentuk Akar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan Dari Buku Matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013

Bentuk Akar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan Dari Buku Matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013Calon guru coba belajar bermatematik dari Mengenal Bentuk Akar dimana sebagai contoh soal dan soal latihan yang kita diskusikan beberapa dipilih dari Buku Siswa Matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013.

Catatan ini diharapkan dapat membantu siswa dalam mencapai kompetensi dasar yang diharapkan pemerintah dapat dicapai oleh peserta didik, yaitu Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya. Atau menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar.

DEFINISI BENTUK AKAR


Bentuk Akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya bilangan irasional.

contohnya: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, $\sqrt{13}$, $\cdots$.

Untuk bilangan $\sqrt{9}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{0,01}$, $\cdots$ bukan merupakan bentuk akar karena hasil dari $\sqrt{9}$, $\sqrt{16}$, dan $\sqrt{0,01}$ adalah bilangan rasional yaitu $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, dan $\sqrt{0,01}=0,1$

Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.

Contohnya: $1$, $2$, $\dfrac{2}{3}$, $0,3$, $\cdots$

Sedangkan Bilangan Irasional adalah kebalikan dari bilangan rasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.

Contohnya: $\sqrt{2}=1,41421...$, $\pi= 3,14159...$, $e=2,7182818...$, $\cdots$

PENJUMLAHAN BENTUK AKAR


Penjumlahan bentuk akar konsepnya sama dengan penjumlahan aljabar secara umum, yaitu dapat dijumlahkan apabila sejenis. Atau bentuk akar yang dapat dijumlahkan adalah bentuk akar yang sama (sejenis).

$\begin{align} a \sqrt{m}+b \sqrt{m} & = \left (a+b \right )\sqrt{m} \\ \\ a \sqrt[n]{m}+b \sqrt[n]{m} & = \left (a+b \right )\sqrt[n]{m} \\ \end{align}$

contoh :

  1. $\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$
  2. $2\sqrt{b}+3\sqrt{b}=5\sqrt{b}$
  3. $4\sqrt{5}+\sqrt{5}=5\sqrt{5}$
  4. $7\sqrt{6}+2\sqrt{6}=9\sqrt{6}$
  5. $3\sqrt{11}+5\sqrt{11}=8\sqrt{11}$
  6. $4\sqrt{13}+2\sqrt{3}=4\sqrt{13}+2\sqrt{3}$

PENGURANGAN BENTUK AKAR


Pengurangan bentuk akar konsepnya sama dengan pengurangan aljabar secara umum, yaitu dapat dikurangkan apabila sejenis. Atau bentuk akar yang dapat dikurangkan adalah bentuk akar yang sama (sejenis).

$\begin{align} a \sqrt{m}-b \sqrt{m} & = \left (a-b \right )\sqrt{m} \\ \\ a \sqrt[n]{m}-b \sqrt[n]{m} & = \left (a-b \right )\sqrt[n]{m} \\ \end{align}$
contoh :
  1. $\sqrt{a}-\sqrt{a}=0$
  2. $2\sqrt{b}-3\sqrt{b}=-\sqrt{b}$
  3. $4\sqrt{5}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
  4. $7\sqrt{6}-2\sqrt{6}=5\sqrt{6}$

PERKALIAN BENTUK AKAR


Perkalian bentuk akar hampir sama dengan penjumlahan atau pengurangan, bentuk akar yang dapat dikalikan adalah bentuk akar yang sama (sejenis).

$\begin{align} a \sqrt{p} \times b \sqrt{q} & =\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q} \\ \\ a \sqrt[n]{p} \times b \sqrt[n]{q} &=\left (a \times b \right )\sqrt[n]{p \times q} \\ \end{align}$

contoh :
  1. $a \sqrt{b} \times c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd}$
  2. $m \sqrt{n} \times x\sqrt{y}=mx\sqrt{ny}$
  3. $3 \sqrt{5} \times 2\sqrt{3}=6\sqrt{15}$
  4. $\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}=3\sqrt{12}=3\sqrt{12}$
Untuk soal nomor 4 diatas bentuk $3\sqrt{12}$ masih dapat disederhanakan menjadi;
$\begin{align}
3\sqrt{12} &=3\sqrt{4 \times 3} \\
&=3 \sqrt{4} \times \sqrt{3} \\
&=6 \sqrt{3}
\end{align}$

PEMBAGIAN BENTUK AKAR


Pembagian bentuk akar sama dengan perkalian bentuk akar, bentuk akar yang dapat dibagikan adalah bentuk akar yang sama (sejenis).
$\begin{align}
\text{untuk}\ a,b \gt 0\ \text{dan}\ q,b \neq 0 \\
\\ \dfrac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{b}} &= \dfrac{p}{q}\sqrt{\dfrac{a}{b}} \\
\\ \dfrac{p\sqrt[n]{a}}{q\sqrt[n]{b}} &= \dfrac{p}{q}\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\\
\end{align}$

contoh :
  1. $\dfrac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{6}{3}\sqrt{\dfrac{6}{2}}=2\sqrt{3}$
  2. $\dfrac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{a}}=\dfrac{p}{q}\sqrt{\dfrac{a}{a}}=\dfrac{p}{q}$
  3. $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$
  4. $\dfrac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}=\dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}}$

Untuk soal nomor 4 diatas bentuk $\dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}}$ masih bisa disederhanakan dengan istilah merasionalkan penyebut, caranya:

$\begin{align} \dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}} &=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \\ &=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ &=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}} \\ &=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{10}}{5} \\ &=\dfrac{1}{3}\sqrt{10} \end{align}$

Sebagai soal latihan untuk menambah pemahaman kita terkait bentuk akar, mari kita dikskusikan beberapa soal berikut:

1. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX

Hitunglah $3 \sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{12}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & 3 \sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{12} \\ &= 3 \sqrt{9 \cdot 3}+\sqrt{16 \cdot 3}-\sqrt{4 \cdot 3} \\ &= 3 \cdot 3 \sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3} \\ &= 9 \sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3} \\ &= \left( 9 +4 -2 \right) \sqrt{3} \\ &= 11 \sqrt{3} \end{align}$

2. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX

Hitunglah $\sqrt{5} \left(3\sqrt{2}-3\sqrt{7} \right)$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & \sqrt{5} \left(3\sqrt{2}-3\sqrt{7} \right) \\ &= 3\sqrt{2 \cdot 5}-3\sqrt{7 \cdot 5} \\ &= 3\sqrt{10}-3\sqrt{35} \\ &= 3 \left( \sqrt{10}- \sqrt{35} \right) \\ \end{align}$

3. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX

Hitunglah $\left(\sqrt{3}+2\sqrt{3} \right)\left(3\sqrt{3}-2\sqrt{18} \right)$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & \left( \sqrt{3}+2\sqrt{3} \right) \left(3\sqrt{3}-2\sqrt{18} \right) \\ &= \left(\sqrt{3}+2\sqrt{3} \right) \left(3\sqrt{3}-2\sqrt{9 \cdot 2} \right) \\ &= \left(\sqrt{3}+2\sqrt{3} \right) \left(3\sqrt{3}-6\sqrt{2} \right) \\ &= 3\sqrt{3 \cdot 3}-6\sqrt{2 \cdot 3} +2 \cdot 3\sqrt{3 \cdot 3}-2 \cdot 6 \sqrt{2 \cdot 3} \\ &= 3 \cdot 3 -6 \sqrt{6} +6 \cdot 3 - 12\sqrt{6} \\ &= 9 -6 \sqrt{6} +18 - 12\sqrt{6} \\ &= 27 - 18\sqrt{6} \end{align}$

4. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX

Tentukan panjang diagonal ruang balok di bawah ini dengan panjang rusuk $AB = 12\ cm$, $BC = 5\ cm$, dan $CG = 4 cm$.
Panjang diagonal ruang balok di bawah ini dengan panjang rusuk  AB = 12 cm, BC = 5 cm, dan CG = 4 cm
Alternatif Pembahasan:
Show

Diagonal ruang pada balok ada empat yaitu $AG$, $CE$, $BH$ dan $DF$. Kita cukup hitung satu saja karena panjangnya semua sama, misal kita pilih $AG$.

Sebelum menghitung panjang $AG$ kita hitung $AC$ dengan teorema phytagoras pada segitiga $ABC$

$\begin{align} AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\ &= 12^{2}+5^{2} \\ &= 144+25 \\ &= 169 \\ AC &= \sqrt{169}=13 \end{align}$

Panjang diagonal ruang balok di bawah ini dengan panjang rusuk  AB = 12 cm, BC = 5 cm, dan CG = 4 cm

Untuk menghitung panjang $AG$ dapat kita gunakan teorema phytagoras pada segitiga $ACG$

$\begin{align} AG^{2} &= AC^{2}+CG^{2} \\ &= 13^{2}+4^{2} \\ &= 169+16 \\ &= 185 \\ AG &= \sqrt{185} \end{align}$

5. Sederhanakan bentuk akar berikut.

a. $\sqrt{112}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \sqrt{112} &= \sqrt{28 \times 4} \\ &= \sqrt{7 \times 4 \times 4} \\ &= 4\sqrt{7} \end{align}$

b. $\sqrt{216}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \sqrt{216} &= \sqrt{54 \times 4} \\ &= \sqrt{6 \times 9 \times 4} \\ &= 6\sqrt{6} \end{align}$

c. $\sqrt{605}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \sqrt{605} &= \sqrt{121 \times 5} \\ &= 11\sqrt{5} \end{align}$

d. $\sqrt{800}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \sqrt{800} &= \sqrt{8 \times 100} \\ &= \sqrt{2 \times 4 \times 100} \\ &= 20\sqrt{2} \end{align}$

e. $\sqrt{5.000}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \sqrt{5.000} &= \sqrt{50 \times 100} \\ &= \sqrt{2 \times 25 \times 100} \\ &= 50\sqrt{2} \end{align}$

f. $\sqrt{0,000121}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \sqrt{0,000121} &= \sqrt{121 \times 10^{-6}} \\ &= 11 \times 10^{-3} \\ &= 0,011 \end{align}$

g. $\sqrt{0,00000324}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} \sqrt{0,00000324} &= \sqrt{324 \times 10^{-8}} \\ &= 18 \times 10^{-4} \\ &= 0,0018 \end{align}$

h. $9\sqrt{2}+\sqrt{72}-\sqrt{578}$.
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & 9\sqrt{2}+\sqrt{72}-\sqrt{578} \\ &= 9\sqrt{2}+\sqrt{36 \times 2}-\sqrt{289 \times 2} \\ &= 9\sqrt{2}+6\sqrt{2}-17\sqrt{2} \\ &= 17\sqrt{2}-17\sqrt{2} \\ &= 0 \end{align}$

i. $7\sqrt{3}+\sqrt{48}-\sqrt{768}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & 7\sqrt{3}+\sqrt{48}-\sqrt{768} \\ &= 7\sqrt{3}+\sqrt{16 \times 3}-\sqrt{256 \times 3} \\ &= 7\sqrt{3}+4\sqrt{3}-16\sqrt{3} \\ &= 11\sqrt{3}-16\sqrt{3} \\ &= -5\sqrt{3} \end{align}$

j. $9\sqrt{5}-\sqrt{125}+\sqrt{720}$
Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} & 9\sqrt{5}-\sqrt{125}+\sqrt{720} \\ &= 9\sqrt{5}-\sqrt{25 \times 5}+\sqrt{144 \times 5} \\ &= 9\sqrt{5}-5\sqrt{5}+12\sqrt{5} \\ &= 4\sqrt{5}+12\sqrt{5} \\ &= 16\sqrt{5} \end{align}$

6. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX

Pak Asep memiliki sebuah kolam renang berbentuk silinder di belakang rumahnya. Diameter kolam tersebut adalah $14\sqrt{3}$ meter dengan kedalaman $150\sqrt{2}$ cm. Apabila Pak Asep ingin mengisi kolam tersebut sampai penuh, berapa liter air yang dibutuhkan oleh Pak Asep? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana.
Alternatif Pembahasan:
Show

Diameter silinder adalah $14\sqrt{3}$ meter sehingga jari-jarinya adalah $7\sqrt{3}$ meter. Dengan kedalaman $150\sqrt{2}\ cm=1,5\sqrt{2}$ meter, ini merupakan tinggi silinder

Dengan menggunakan $\pi=\dfrac{22}{7}$, volume silinder jika penuh adalah:

$\begin{align} V & = \text{luas alas} \times \text{tinggi} \\ & = \pi \times r^{2} \times t \\ & = \dfrac{22}{7} \times \left( 7\sqrt{3}\ m \right)^{2} \times 1,5 \sqrt{2}\ m \\ & = \dfrac{22}{7} \times 49 \times 3\ m^{2} \times 1,5 \sqrt{2}\ m \\ & = 22 \times 7 \times 3 \times 1,5 \sqrt{2}\ m^{3} \\ & = 693 \sqrt{2}\ m^{3} \end{align}$

7. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX

Sebuah kapal tenaga angin seperti gambar di bawah. Perkirakan panjang tali layar agar menarik kapal pada sudut $45^{\circ}$ dan ketinggian layar $150\ m$. (Soal PISA 2012).
Sebuah kapal tenaga angin seperti gambar di bawah. Perkirakan panjang tali layar agar menarik kapal pada sudut  45 dan ketinggian layar 150 m. (Soal PISA 2012)
Alternatif Pembahasan:
Show

Jika titik penting pada gambar kita beri nama seperti dibawah ini.

Sebuah kapal tenaga angin seperti gambar di bawah. Perkirakan panjang tali layar agar menarik kapal pada sudut  45 dan ketinggian layar 150 m. (Soal PISA 2012)

Berdasarkan informasi pada gambar, $\angle BAC=45^{\circ} $ maka kita peroleh $\angle ACB=45^{\circ} $ karena $\angle ACB=\angle BAC=45^{\circ}$ dapat kita simpulkan bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku sama kaki. Sehingga pada segitiga $ABC$ dapat kita terapkan teorema phytagoras

$\begin{align} AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\ &= 150^{2}+150^{2} \\ &= 22.500+22.500 \\ &= 24.500 \\ AC &= \sqrt{24.500} \\ &= \sqrt{49 \times 5 \times 100}=70\sqrt{5} \end{align}$

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Mengenal Bentuk Akar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan Dari Buku Matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013 silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Cara Alternatif Pada Perkalian Dua Angka;

youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Mengenal Bentuk Akar Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan Dari Buku Matematika SMP Kelas IX Kurikulum 2013" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar