Skip to main content

Matematika SMP: Cara Menyederhanakan Bentuk Akar dan Merasionalkan Penyebut (*Soal dan Pembahasan)

Matematika Dasar: Bentuk Akar (*Soal UN SMP dan Pembahasan)Belajar Matematika Dasar Bentuk Akar. Dengan bahasa sederhana disampaikan bahwa bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya bilangan irasional.

contoh: $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{17}$, $\cdots$ adalah betuk akar karena hasilnya berupa bilangan irasional.

Sedangkan $\sqrt{9}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{36}$, $\dots$ bukan bentuk akar karena hasilnya adalah bilangan rasional.

Beberapa topik matematika yang dipelajari pada bangku SMP atau SMA, diantaranya adalah;

Penjumlahan Bentuk Akar

Penjumlahan bentuk akar konsepnya sama dengan penjumlahan yang lain, yaitu yang bisa dijumlahkan adalah yang sejenis. Bentuk akar yang dijumlahkan adalah adalah bentuk akar yang sejenis.
  • $a \sqrt[n]{m}+b \sqrt[n]{m}=\left (a+b \right )\sqrt[n]{m}$
  • $a \sqrt{m}+b \sqrt{m}=\left (a+b \right )\sqrt{m}$
contoh :
  1. $\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$
  2. $2\sqrt{b}+3\sqrt{b}=5\sqrt{b}$
  3. $4\sqrt{5}+\sqrt{5}=5\sqrt{5}$
  4. $7\sqrt{6}+2\sqrt{6}=9\sqrt{6}$

Pengurangan Bentuk Akar

Pengurangan bentuk akar konsepnya sama dengan penjumlahan, yaitu yang bisa dikurangkan adalah yang sejenis. Bentuk akar yang dikurangkan adalah adalah bentuk akar yang sejenis.
  • $a \sqrt[n]{m}-b \sqrt[n]{m}=\left (a-b \right )\sqrt[n]{m}$
  • $a \sqrt{m}-b \sqrt{m}=\left (a-b \right )\sqrt{m}$
contoh :
  1. $\sqrt{a}-\sqrt{a}=0$
  2. $2\sqrt{b}-3\sqrt{b}=-\sqrt{b}$
  3. $4\sqrt{5}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
  4. $7\sqrt{6}-2\sqrt{6}=5\sqrt{6}$

Perkalian Bentuk Akar

Perkalian bentuk akar konsepnya adalah dengan mengalikan bilangan atau variabel yang diluar akar dengan yang diluar akar dan mengalikan yang didalam akar dengan yang didalam akar. Dengan catatan jenis akarnya masih sejenis, misalnya akar pangkat 2 dengan akar pangkat 2 atau akar pangkat n dengan akar pangkat n adalah contoh akar yang sejenis.
  • $a \sqrt[n]{p} \times b \sqrt[n]{q}=\left (a \times b \right )\sqrt[n]{p \times q}$
  • $a \sqrt{p} \times b \sqrt{q}=\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q}$
contoh:
  1. $a \sqrt{b} \times c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd}$
  2. $m \sqrt{n} \times x\sqrt{y}=mx\sqrt{ny}$
  3. $3 \sqrt{5} \times 2\sqrt{3}=6\sqrt{15}$
  4. $\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}=3\sqrt{12}=3\sqrt{12}$
Untuk soal nomor 4 diatas bentuk $3\sqrt{12}$ masih dapat disederhanakan menjadi;
$3\sqrt{12}=3\sqrt{4 \times 3}=3 \sqrt{4} \times \sqrt{3}=6 \sqrt{3}$

Pembagian Bentuk Akar

Pembagian bentuk akar konsepnya sama dengan perkalian bentuk akar yaitu dengan membagikan yang didalam akar dengan yang didalam akar dan membagikan yang didalam akar dengan yang didalam akar. Tetap memperhatikan akarnya masih sejenis, misalnya akar pangkat 3 dengan akar pangkat 3 atau akar pangkat n dengan akar pangkat n adalah contoh akar yang sejenis
  • $\dfrac{p\sqrt[n]{a}}{q\sqrt[n]{b}}=\dfrac{p}{q}\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
  • $\dfrac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{b}}=\dfrac{p}{q}\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
contoh:
  1. $\dfrac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{6}{3}\sqrt{\dfrac{6}{2}}=2\sqrt{3}$
  2. $\dfrac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{a}}=\dfrac{p}{q}\sqrt{\dfrac{a}{a}}=\dfrac{p}{q}$
  3. $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$
  4. $\dfrac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}=\dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}}$
Untuk soal nomor 4 diatas bentuk $\dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}}$ masih bisa disederhanakan dengan istilah merasionalkan penyebut, caranya:
$\begin{align}
\dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}} &=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \\
&=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\
&=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}} \\
&=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{10}}{5} \\
&=\dfrac{1}{3}\sqrt{10}
\end{align}$
Selama beberapa tahun terakhir soal bentuk akar ini selalu dikeluarkan pada soal Ujian Nasional Matematika tingkat SMP. Jadi pastikan bahwa Anda atau teman atau anak kita bisa menganggap bentuk akar itu bukan suatu masalah, hanya sekedar soal saja.

Beberapa soal berikut bisa dijadikan soal latihan untuk pemantapan

1. Soal UNBK Matematika SMP Tahun 2018 (*Soal Lengkap)

Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12-5\sqrt{6} \\
(B)\ & 12 -\sqrt{6} \\
(C)\ & -5-\sqrt{6} \\
(D)\ & 6-5\sqrt{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} & = \dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{6-2\sqrt{6}-3\sqrt{6}+6}{3-2} \\
& = \dfrac{12-5\sqrt{6}}{1} \\
& = 12-5\sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12-5\sqrt{6}$

2. Soal UNBK Matematika SMP Tahun 2018 (*Soal Lengkap)

Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4+\sqrt{15} \\
(B)\ & \dfrac{4-\sqrt{15}}{2} \\
(C)\ & 4+2\sqrt{15} \\
(D)\ & \dfrac{4+2\sqrt{15}}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{20}-\sqrt{12}} & =\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{4 \cdot 5}-\sqrt{4 \cdot 3}} \\
& =\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2\sqrt{5}-2\sqrt{3}} \times 1 \\
& =\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2 \left( \sqrt{5}- \sqrt{3} \right)} \times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \\
& =\dfrac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{2 \left( \sqrt{5}- \sqrt{3} \right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)} \\
& =\dfrac{ 5+3 +2 \sqrt{15}}{2 \left( 5- 3 \right)} \\
& =\dfrac{ 8 +2 \sqrt{15}}{2 \left( 2 \right)} \\
& = \dfrac{2 \left( 4 + \sqrt{15} \right)}{2 \left( 2 \right)} \\
& =\dfrac{ 4 + \sqrt{15}}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4+\sqrt{15}}{2}$

3. Soal Simulasi UNBK Matematika SMP Tahun 2018 (*Soal Lengkap)

Bilangan yang senilai dengan $\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6-2\sqrt{5} \\
(B)\ & 6+2\sqrt{5} \\
(C)\ & 12-2\sqrt{5} \\
(D)\ & 12+2\sqrt{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Bilangan yang senilai dengan sebuah bilangan itu bisa kita cari dengan merubah bentuk tapi tidak merubah nilainya. Cara yang paling mudah adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan $1$, karena bilangan yang dikali dengan $1$ hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
$ \begin{align}
\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} & =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times 1 \\
& =\dfrac{8}{3+\sqrt{5}} \times \dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{(9-5)} \\
& =\dfrac{8(3-\sqrt{5})}{4} \\
& =\dfrac{2(3-\sqrt{5})}{1} \\
& =6-2\sqrt{5} \\
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6-2\sqrt{5}$

4. Soal Latihan Matematika SMP Kurikulum 2013

Hitunglah $3 \sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{12}$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& 3 \sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{12} \\
&= 3 \sqrt{9 \cdot 3}+\sqrt{16 \cdot 3}-\sqrt{4 \cdot 3} \\
&= 3 \cdot 3 \sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3} \\
&= 9 \sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3} \\
&= \left( 9 +4 -2 \right) \sqrt{3} \\
&= 11 \sqrt{3}
\end{align}$

5. Soal Latihan Matematika SMP Kurikulum 2013

Hitunglah $\sqrt{5} \left(3\sqrt{2}-3\sqrt{7} \right)$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \sqrt{5} \left(3\sqrt{2}-3\sqrt{7} \right) \\
&= 3\sqrt{2 \cdot 5}-3\sqrt{7 \cdot 5} \\
&= 3\sqrt{10}-3\sqrt{35} \\
&= 3 \left( \sqrt{10}- \sqrt{35} \right) \\
\end{align}$

6. Soal Latihan Matematika SMP Kurikulum 2013

Hitunglah $\left(\sqrt{3}+2\sqrt{3} \right)\left(3\sqrt{3}-2\sqrt{18} \right)$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
& \left( \sqrt{3}+2\sqrt{3} \right) \left(3\sqrt{3}-2\sqrt{18} \right) \\
&= \left(\sqrt{3}+2\sqrt{3} \right) \left(3\sqrt{3}-2\sqrt{9 \cdot 2} \right) \\
&= \left(\sqrt{3}+2\sqrt{3} \right) \left(3\sqrt{3}-6\sqrt{2} \right) \\
&= 3\sqrt{3 \cdot 3}-6\sqrt{2 \cdot 3} +2 \cdot 3\sqrt{3 \cdot 3}-2 \cdot 6 \sqrt{2 \cdot 3} \\
&= 3 \cdot 3 -6 \sqrt{6} +6 \cdot 3 - 12\sqrt{6} \\
&= 9 -6 \sqrt{6} +18 - 12\sqrt{6} \\
&= 27 - 18\sqrt{6}
\end{align}$

7. Soal Latihan Matematika SMP Kurikulum 2013

Rasionalkanlah $\dfrac{5\sqrt{3}-5}{3-\sqrt{2}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Merasionalkan penyebut pecahan adalah merubah penyebut pecahan yang bentuk akar menjadi bilangan rasional, tetapi tidak merubah nilainya. Cara yang paling mudah adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan $1$, karena bilangan yang dikali dengan $1$ hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
$ \begin{align}
\dfrac{5\sqrt{3}-5}{3-\sqrt{2}} & = \dfrac{5\sqrt{3}-5}{3-\sqrt{2}} \times 1 \\
&= \dfrac{5\sqrt{3}-5}{3-\sqrt{2}} \times \dfrac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{3 \cdot 5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3 \cdot 2} - 5 \cdot 3 -5 \sqrt{2}}{3\cdot 3 +3\sqrt{2}-3\sqrt{2}- \sqrt{2 \cdot 2}}\\
&= \dfrac{15 \sqrt{3} + 5 \sqrt{6} - 15 - 5 \sqrt{2}}{9 - 2}\\
&= \dfrac{- 15 - 5 \sqrt{2}+15 \sqrt{3} + 5 \sqrt{6}}{7}\\
&= \dfrac{5}{7} \left( - 3 - \sqrt{2}+3 \sqrt{3} + \sqrt{6} \right )
\end{align} $

8. Soal Latihan Matematika SMP Kurikulum 2013

Rasionalkanlah $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Merasionalkan penyebut pecahan adalah merubah penyebut pecahan yang bentuk akar menjadi bilangan rasional, tetapi tidak merubah nilainya. Cara yang paling mudah adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan $1$, karena bilangan yang dikali dengan $1$ hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
$ \begin{align}
\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} &= \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \times 1 \\
&= \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\left( \sqrt{6}-\sqrt{3} \right) \left( \sqrt{6}-\sqrt{3} \right)}{\left( \sqrt{6}+\sqrt{3} \right) \left( \sqrt{6}-\sqrt{3} \right)} \\
&= \dfrac{ \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{6-3} \\
&= \dfrac{6+3-2\sqrt{18}}{6-3} \\
&= \dfrac{9-2\sqrt{9 \cdot 2}}{3} \\
&= \dfrac{9-6\sqrt{2}}{3} \\
&= \dfrac{3 \left(3-2\sqrt{2} \right)}{3} \\
&= 3-2\sqrt{2}
\end{align} $

9. Soal Latihan Matematika SMP Kurikulum 2013

Herman mengatakan bahwa bentuk sederhana dari $\dfrac{2}{3+\sqrt{5}}$ adalah $\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}$. Tuti tidak setuju, dia berpendapat bentuknya adalah $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$. Siapakah yang benar? Jelaskan jawabanmu!
Alternatif Pembahasan:

Tahap awal kita coba merasionalkan penyebut pecahan $\dfrac{2}{3+\sqrt{5}}$.
$ \begin{align}
\dfrac{2}{3+\sqrt{5}} &= \dfrac{2}{3+\sqrt{5}} \times 1 \\
&= \dfrac{2}{3+\sqrt{5}} \times \dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\
&= \dfrac{2 \left( 3 - \sqrt{5} \right)}{3 \cdot 3+ 3\sqrt{5}- 3\sqrt{5} - \sqrt{5 \cdot 5} } \\
&= \dfrac{6 - 2\sqrt{5}}{9-5} \\
&= \dfrac{6 - 2\sqrt{5}}{4}
\end{align} $
Apa yang dikerjakan Herman masih sampai bentuk $\dfrac{6 - 2\sqrt{5}}{4}$, dan bentuk ini masih bisa disederhanakan lagi menjadi:
$ \begin{align}
\dfrac{6 - 2\sqrt{5}}{4} &=\dfrac{2 \left( 3 - \sqrt{5} \right) }{4} \\
&=\dfrac{ 3 - \sqrt{5} }{2}
\end{align} $
Sehingga bentuk sederhana yang paling tepat adalah $\dfrac{ 3 - \sqrt{5} }{2}$ yaitu bentuk sederhana yang disampaikan Tuti

Jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait Matematika SMP: Cara Menyederhanakan Bentuk Akar dan Merasionalkan Penyebut (*Soal dan Pembahasan) request pembahasan soal, silahkan disampaikan๐Ÿ˜ŠCMIIW.

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ˜Š Cara Pilar (Pintar Bernalar) Perkalian Dua Angka;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Matematika SMP: Cara Menyederhanakan Bentuk Akar dan Merasionalkan Penyebut (*Soal dan Pembahasan)" sangat diharapkan ๐Ÿ˜Š and please for your concern in supported of defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar