Calon guru belajar matematika dasar SMP dari Mengenal Bentuk Akar dimana sebagai contoh soal dan soal latihan yang kita diskusikan beberapa dipilih dari Buku Siswa Matematika SMP Kelas IX.
Catatan ini diharapkan dapat membantu siswa dalam mencapai kompetensi dasar yang diharapkan pemerintah dapat dicapai oleh peserta didik, yaitu Menjelaskan dan melakukan operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya. Atau menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar.
DEFINISI BENTUK AKAR
Bentuk Akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya bilangan irasional.
contohnya: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, $\sqrt{13}$, $\cdots$.
Untuk bilangan $\sqrt{9}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{0,01}$, $\cdots$ bukan merupakan bentuk akar karena hasil dari $\sqrt{9}$, $\sqrt{16}$, dan $\sqrt{0,01}$ adalah bilangan rasional yaitu $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, dan $\sqrt{0,01}=0,1$
Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.
Contohnya: $1$, $2$, $\dfrac{2}{3}$, $0,3$, $\cdots$
Sedangkan Bilangan Irasional adalah kebalikan dari bilangan rasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.
Contohnya: $\sqrt{2}=1,41421...$, $\pi= 3,14159...$, $e=2,7182818...$, $\cdots$
PENJUMLAHAN BENTUK AKAR
Penjumlahan bentuk akar konsepnya sama dengan penjumlahan aljabar secara umum, yaitu dapat dijumlahkan apabila sejenis. Atau bentuk akar yang dapat dijumlahkan adalah bentuk akar yang sama (sejenis).
$\begin{align} a \sqrt{m}+b \sqrt{m} & = \left (a+b \right )\sqrt{m} \\ \\ a \sqrt[n]{m}+b \sqrt[n]{m} & = \left (a+b \right )\sqrt[n]{m} \\ \end{align}$
contoh :
- $\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$
- $2\sqrt{b}+3\sqrt{b}=5\sqrt{b}$
- $4\sqrt{5}+\sqrt{5}=5\sqrt{5}$
- $7\sqrt{6}+2\sqrt{6}=9\sqrt{6}$
- $3\sqrt{11}+5\sqrt{11}=8\sqrt{11}$
- $4\sqrt{13}+2\sqrt{3}=4\sqrt{13}+2\sqrt{3}$
PENGURANGAN BENTUK AKAR
Pengurangan bentuk akar konsepnya sama dengan pengurangan aljabar secara umum, yaitu dapat dikurangkan apabila sejenis. Atau bentuk akar yang dapat dikurangkan adalah bentuk akar yang sama (sejenis).
$\begin{align} a \sqrt{m}-b \sqrt{m} & = \left (a-b \right )\sqrt{m} \\ \\ a \sqrt[n]{m}-b \sqrt[n]{m} & = \left (a-b \right )\sqrt[n]{m} \\ \end{align}$contoh :
- $\sqrt{a}-\sqrt{a}=0$
- $2\sqrt{b}-3\sqrt{b}=-\sqrt{b}$
- $4\sqrt{5}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
- $7\sqrt{6}-2\sqrt{6}=5\sqrt{6}$
PERKALIAN BENTUK AKAR
Perkalian bentuk akar hampir sama dengan penjumlahan atau pengurangan, bentuk akar yang dapat dikalikan adalah bentuk akar yang sama (sejenis).
$\begin{align} a \sqrt{p} \times b \sqrt{q} & =\left (a \times b \right )\sqrt{p \times q} \\ \\ a \sqrt[n]{p} \times b \sqrt[n]{q} &=\left (a \times b \right )\sqrt[n]{p \times q} \\ \end{align}$contoh :
- $a \sqrt{b} \times c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd}$
- $m \sqrt{n} \times x\sqrt{y}=mx\sqrt{ny}$
- $3 \sqrt{5} \times 2\sqrt{3}=6\sqrt{15}$
- $\sqrt{50}=\sqrt{25 \times 2}$
$\sqrt{50}=\sqrt{25} \times \sqrt{2}$
$\sqrt{50}=5 \times \sqrt{2}=5 \sqrt{2}$ - $\sqrt{45}=\sqrt{9 \times 5}$
$\sqrt{50}=\sqrt{9} \times \sqrt{5}$
$\sqrt{50}=3 \times \sqrt{5}=3 \sqrt{5}$ - $\sqrt{90}=\sqrt{9 \times 10}$
$\sqrt{90}=\sqrt{9} \times \sqrt{10}$
$\sqrt{90}=3 \times \sqrt{10}=3 \sqrt{10}$ - $\sqrt{180}+\sqrt{200}$
$\begin{align}
&=\sqrt{36 \times 5}+\sqrt{100 \times 2} \\ &=\sqrt{36} \times \sqrt{5}+\sqrt{100} \times \sqrt{2} \\
&=6 \sqrt{5}+10\sqrt{2} \end{align}$ - $\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}$
$\begin{align}
&=3\sqrt{2 \times 6} \\ &=3\sqrt{12} \\ &=3 \times \sqrt{4 \times 3} \\
&=3 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3} \\
&=3 \times 2 \times \sqrt{3} \\
&=6 \times \sqrt{3} =6 \sqrt{3} \end{align}$
PEMBAGIAN BENTUK AKAR
Pembagian bentuk akar sama dengan perkalian bentuk akar, bentuk akar yang dapat dibagikan adalah bentuk akar yang sama (sejenis).$\begin{align}contoh :
\text{untuk}\ a,b \gt 0\ \text{dan}\ q,b \neq 0 \\
\\ \dfrac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{b}} &= \dfrac{p}{q}\sqrt{\dfrac{a}{b}} \\
\\ \dfrac{p\sqrt[n]{a}}{q\sqrt[n]{b}} &= \dfrac{p}{q}\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\\
\end{align}$
- $\dfrac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{6}{3}\sqrt{\dfrac{6}{2}}=2\sqrt{3}$
- $\dfrac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{a}}=\dfrac{p}{q}\sqrt{\dfrac{a}{a}}=\dfrac{p}{q}$
- $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$
- $\dfrac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}=\dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}}$
Untuk soal nomor 4 diatas bentuk $\dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}}$ masih bisa disederhanakan dengan istilah merasionalkan penyebut, caranya:
$\begin{align} \dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{2}{5}} &=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \\ &=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ &=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}} \\ &=\dfrac{5}{3}\dfrac{\sqrt{10}}{5} \\ &=\dfrac{1}{3}\sqrt{10} \end{align}$
Sebagai soal latihan untuk menambah pemahaman kita terkait bentuk akar, mari kita dikskusikan beberapa soal berikut:
1. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX
Hitunglah $3 \sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{12}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & 3 \sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{12} \\ &= 3 \sqrt{9 \cdot 3}+\sqrt{16 \cdot 3}-\sqrt{4 \cdot 3} \\ &= 3 \cdot 3 \sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3} \\ &= 9 \sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3} \\ &= \left( 9 +4 -2 \right) \sqrt{3} \\ &= 11 \sqrt{3} \end{align}$
2. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX
Hitunglah $\sqrt{5} \left(3\sqrt{2}-3\sqrt{7} \right)$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \sqrt{5} \left(3\sqrt{2}-3\sqrt{7} \right) \\ &= 3\sqrt{2 \cdot 5}-3\sqrt{7 \cdot 5} \\ &= 3\sqrt{10}-3\sqrt{35} \\ &= 3 \left( \sqrt{10}- \sqrt{35} \right) \\ \end{align}$
3. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX
Hitunglah $\left(\sqrt{3}+2\sqrt{3} \right)\left(3\sqrt{3}-2\sqrt{18} \right)$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left( \sqrt{3}+2\sqrt{3} \right) \left(3\sqrt{3}-2\sqrt{18} \right) \\ &= \left(\sqrt{3}+2\sqrt{3} \right) \left(3\sqrt{3}-2\sqrt{9 \cdot 2} \right) \\ &= \left(\sqrt{3}+2\sqrt{3} \right) \left(3\sqrt{3}-6\sqrt{2} \right) \\ &= 3\sqrt{3 \cdot 3}-6\sqrt{2 \cdot 3} +2 \cdot 3\sqrt{3 \cdot 3}-2 \cdot 6 \sqrt{2 \cdot 3} \\ &= 3 \cdot 3 -6 \sqrt{6} +6 \cdot 3 - 12\sqrt{6} \\ &= 9 -6 \sqrt{6} +18 - 12\sqrt{6} \\ &= 27 - 18\sqrt{6} \end{align}$
4. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX
Tentukan panjang diagonal ruang balok di bawah ini dengan panjang rusuk $AB = 12\ cm$, $BC = 5\ cm$, dan $CG = 4 cm$.
Alternatif Pembahasan:
Diagonal ruang pada balok ada empat yaitu $AG$, $CE$, $BH$ dan $DF$. Kita cukup hitung satu saja karena panjangnya semua sama, misal kita pilih $AG$.
Sebelum menghitung panjang $AG$ kita hitung $AC$ dengan teorema phytagoras pada segitiga $ABC$
$\begin{align} AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\ &= 12^{2}+5^{2} \\ &= 144+25 \\ &= 169 \\ AC &= \sqrt{169}=13 \end{align}$
Untuk menghitung panjang $AG$ dapat kita gunakan teorema phytagoras pada segitiga $ACG$
$\begin{align} AG^{2} &= AC^{2}+CG^{2} \\ &= 13^{2}+4^{2} \\ &= 169+16 \\ &= 185 \\ AG &= \sqrt{185} \end{align}$
5. Sederhanakan bentuk akar berikut.
a. $\sqrt{112}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sqrt{112} &= \sqrt{28 \times 4} \\ &= \sqrt{7 \times 4 \times 4} \\ &= 4\sqrt{7} \end{align}$
b. $\sqrt{216}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sqrt{216} &= \sqrt{54 \times 4} \\ &= \sqrt{6 \times 9 \times 4} \\ &= 6\sqrt{6} \end{align}$
c. $\sqrt{605}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sqrt{605} &= \sqrt{121 \times 5} \\ &= 11\sqrt{5} \end{align}$
d. $\sqrt{800}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sqrt{800} &= \sqrt{8 \times 100} \\ &= \sqrt{2 \times 4 \times 100} \\ &= 20\sqrt{2} \end{align}$
e. $\sqrt{5.000}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sqrt{5.000} &= \sqrt{50 \times 100} \\ &= \sqrt{2 \times 25 \times 100} \\ &= 50\sqrt{2} \end{align}$
f. $\sqrt{0,000121}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sqrt{0,000121} &= \sqrt{121 \times 10^{-6}} \\ &= 11 \times 10^{-3} \\ &= 0,011 \end{align}$
g. $\sqrt{0,00000324}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \sqrt{0,00000324} &= \sqrt{324 \times 10^{-8}} \\ &= 18 \times 10^{-4} \\ &= 0,0018 \end{align}$
h. $9\sqrt{2}+\sqrt{72}-\sqrt{578}$.
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & 9\sqrt{2}+\sqrt{72}-\sqrt{578} \\ &= 9\sqrt{2}+\sqrt{36 \times 2}-\sqrt{289 \times 2} \\ &= 9\sqrt{2}+6\sqrt{2}-17\sqrt{2} \\ &= 15\sqrt{2}-17\sqrt{2} \\ &= -2\sqrt{2} \end{align}$
i. $7\sqrt{3}+\sqrt{48}-\sqrt{768}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & 7\sqrt{3}+\sqrt{48}-\sqrt{768} \\ &= 7\sqrt{3}+\sqrt{16 \times 3}-\sqrt{256 \times 3} \\ &= 7\sqrt{3}+4\sqrt{3}-16\sqrt{3} \\ &= 11\sqrt{3}-16\sqrt{3} \\ &= -5\sqrt{3} \end{align}$
j. $9\sqrt{5}-\sqrt{125}+\sqrt{720}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & 9\sqrt{5}-\sqrt{125}+\sqrt{720} \\ &= 9\sqrt{5}-\sqrt{25 \times 5}+\sqrt{144 \times 5} \\ &= 9\sqrt{5}-5\sqrt{5}+12\sqrt{5} \\ &= 4\sqrt{5}+12\sqrt{5} \\ &= 16\sqrt{5} \end{align}$
6. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX
Pak Asep memiliki sebuah kolam renang berbentuk silinder di belakang rumahnya. Diameter kolam tersebut adalah $14\sqrt{3}$ meter dengan kedalaman $150\sqrt{2}$ cm. Apabila Pak Asep ingin mengisi kolam tersebut sampai penuh, berapa liter air yang dibutuhkan oleh Pak Asep? Tuliskan jawabanmu dalam bentuk perpangkatan paling sederhana.
Alternatif Pembahasan:
Diameter silinder adalah $14\sqrt{3}$ meter sehingga jari-jarinya adalah $7\sqrt{3}$ meter. Dengan kedalaman $150\sqrt{2}\ cm=1,5\sqrt{2}$ meter, ini merupakan tinggi silinder
Dengan menggunakan $\pi=\dfrac{22}{7}$, volume silinder jika penuh adalah:
$\begin{align} V & = \text{luas alas} \times \text{tinggi} \\ & = \pi \times r^{2} \times t \\ & = \dfrac{22}{7} \times \left( 7\sqrt{3}\ m \right)^{2} \times 1,5 \sqrt{2}\ m \\ & = \dfrac{22}{7} \times 49 \times 3\ m^{2} \times 1,5 \sqrt{2}\ m \\ & = 22 \times 7 \times 3 \times 1,5 \sqrt{2}\ m^{3} \\ & = 693 \sqrt{2}\ m^{3} \end{align}$
7. Soal Latihan Bentuk Akar Matematika SMP Kelas IX
Sebuah kapal tenaga angin seperti gambar di bawah. Perkirakan panjang tali layar agar menarik kapal pada sudut $45^{\circ}$ dan ketinggian layar $150\ m$. (Soal PISA 2012).
Alternatif Pembahasan:
Jika titik penting pada gambar kita beri nama seperti dibawah ini.
Berdasarkan informasi pada gambar, $\angle BAC=45^{\circ} $ maka kita peroleh $\angle ACB=45^{\circ} $ karena $\angle ACB=\angle BAC=45^{\circ}$ dapat kita simpulkan bahwa segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku sama kaki. Sehingga pada segitiga $ABC$ dapat kita terapkan teorema phytagoras
$\begin{align} AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\ &= 150^{2}+150^{2} \\ &= 22.500+22.500 \\ &= 24.500 \\ AC &= \sqrt{24.500} \\ &= \sqrt{49 \times 5 \times 100}=70\sqrt{5} \end{align}$
Catatan Mengenal Bentuk Akar dan Pembahasan Soal Latihan Dari Buku Matematika SMP Kelas IX di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
