The good student, bersama calon guru kita belajar matematika dari soal-soal yang disajikan dalam buku matematika SMP atau SMA pada kurikulum 2013. Soal-soal ini sedikit memaksa guru harus belajar lagi terkait kompetensi guru dalam bidang profesional. Masalah kompetensi profeisonal guru yang ada di Indonesia sebenarnya tidak kita ragukan, tetapi ini adalah masalah kebiasaan, karena ciri soal-soal yang ada di buku pelajaran matematika kurikulum 2013 sangat berbeda dengan buku matematika kurikulum sebelumnya.
Berikut salah satu latihan yang kita ambil dari buku matematika kelas 7 kurikulum 2013. Salah satu alasan kenapa soal ini kita pilih adalah karena ada orang tua siswa yang menanyakan pada sosial media. Dari kata-kata yang ditulis ibu tersebut, sepertinya keberatan dengan soal latihan yang diberikan "PR matematika anakku yg duduk di kls 1 SMP, kurikulum 2013... Gak salah niih?".
1. PR Matematika Anakku Kelas 1 SMP
Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,\ b$ bilangan bulat dan $b ≠ 0$.
$ a.\ 0,25$
$ b.\ 3,50$
$ c.\ 0,75$
$ d.\ -5,2$
$ e.\ 0,47$
Alternatif Pembahasan:
Soal diatas sudah kita perbaiki sehingga bisa kita kerjakan, soal aslinya tampak seperti yang ada digambar. Untuk mengubah bentuk bilangan tanpa merubah nilainya, konsepnya adalah dengan mengkalikan bilangan itu dengan satu. Karena setiap bilangan yang dikalikan dengan satu hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Untuk memilih 'satu' inilah menjadi sebuah kreativitas yang indah pada matematika, mari kita coba...
$ a.\ 0,25=0,25 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4} $
$ b.\ 3,50=3,50 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{350}{100}=\dfrac{7}{2} $
$ c.\ 0,75=0,75 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4} $
$ d.\ -5,2=-5,2 \times \dfrac{10}{10}=-\dfrac{52}{10}=-\dfrac{26}{5} $
$ e.\ 0,47=0,47 \times \dfrac{100}{100}=\dfrac{47}{100} $
2. PR Matematika Anakku Kelas 1 SMP
Buktikanlah $ \sqrt{7}$ adalah bukan bilangan rasional
Alternatif Pembahasan:
Cara yang kita gunakan adalah dengan pengandaian/pemisalan bahwa $ \sqrt{7}$ merupakan bilangan rasional, kemudian bila pengandaian/pemisalan salah maka terjadi kontradiksi, kesimpulannya adalah lawan/kebalikan dari pengandaian/pemisalan. Cara seperti ini dikenal dengan pembuktian dengan kontradiksi.
Untuk membuktikan dengan kontradiksi kita misalkan bahwa $\sqrt{7}$ adalah bilangan rasional.
karena $ \sqrt{7}$ adalah bilangan rasional maka $ \sqrt{7}$ dapat kita tuliskan dalam bentuk pecahan seperti berikut:
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} $, dimana $a,b$ bilangan bulat, $b \neq 0$ dan $FPB (a,b)$ adalah $1$ (saling prima) atau $ \dfrac{a}{b} $ adalah bentuk pecahan dari $ \sqrt{7} $ yang paling sederhana.
\begin{align}
\sqrt{7} &= \dfrac{a}{b} \\
\hline
\text{kuadratkan ruas kiri}\ & \text{dan ruas kanan} \\
\hline
7 &= \dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\
\hline
\text{perkalian}\ & \text{silang} \\
\hline
7b^{2} &= a^{2}
\end{align}
Dari persamaan diatas $ 7b^{2} $ adalah kelipatan $7$ sehingga $ a^{2} $ kelipatan $7$ dan $a$ juga kelipatan $7$.
Karena $a$ adalah bilangan kelipatan $7$ maka dapat kita tuliskan bahwa $a = 7m$, dimana $m$ adalah bilangan asli.
\begin{align}
7b^{2} &= a^{2} \\
7b^{2} &= \left ( 7m \right )^{2} \\
7b^{2} &= 49m^{2} \\
b^{2} &= 7m^{2}
\end{align}
Dari persamaan diatas $ 7m^{2} $ adalah kelipatan $7$ sehingga $ b^{2} $ juga kelipatan $7$ dan $b$ adalah kelipatan $7$.
Dari hasil di atas kita peroleh $a$ adalah bilangan kelipatan $7$ dan $b$ adalah kelipatan $7$, maka dapat kita tuliskan bahwa:
$ \sqrt{7}=\dfrac{a}{b} \rightarrow \sqrt{7}=\dfrac{7n}{7m}$
Karena $a$ adalah bilangan kelipatan $7$ dan $b$ adalah bilangan kelipatan $7$ ini berarti $FPB (a,b) \neq 1$ sehingga kontradiksi atau bertentangan dengan pemisalan bahwa $ \sqrt{7}$ bilangan rasional. Jadi $ \sqrt{7}$ bukan bilangan rasional.
3. PR Matematika Anakku Kelas 1 SMP
Misalkan $a$ bilangan bulat, Buktikan jika $a$ genap maka $ a^{2}$ genap
Alternatif Pembahasan:
Karena $a$ bilangan genap maka dapat kita tuliskan $a=2n$, dimana $n$ adalah bilangan bulat
karena $ a=2n$, sehingga berlaku:
\begin{align}
a^{2} &=\left ( 2n \right )^{2} \\
a^{2} &= 4n^{2} \\
a^{2} &=2\left ( 2n^{2} \right ) \\
a^{2} &=2m\ \text{dimana}\ m = 2n^{2} \\
\end{align}
Karena $ a^{2}$ adalah bilangan kelipatan $2$ maka $ a^{2}$ adalah bilangan genap.
Jadi terbukti bahwa jika $a$ genap maka $ a^{2}$ genap
4. PR Matematika Anakku Kelas 1 SMP
Tentukan nilai $ p=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+...$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
p &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ \cdots \\
p &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ \cdots \\
3p &=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ + \cdots \\
3p &=1+\underbrace{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81}+ \cdots } \\
3p &=1+p \\
3p-p &=1 \\
2p &=1\ \rightarrow\ p =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif penyelesaian dengan menggunakan rumus persamaan deret geometri tak hingga, karena deret diatas adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $ a = \dfrac{1}{3}$ dan rasio $ r = \dfrac{1}{3}$.
$\begin{align}
S_{\infty } &=\dfrac{a}{1-r} \\
&=\dfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\
&=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}
\end{align}$
5. PR Matematika Anakku Kelas 1 SMP
Tentukan nilai $ y=x+1^{3}+x+2^{3}+x+3^{3}+x+4^{3}+x+5^{3}+...x+99^{3}+x+100^{3}$
Alternatif Pembahasan:
Soal dapat kita tulis menjadi $ y=\underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+ \cdots +99^{3}+100^{3}}+\underbrace{x+x+x+ \cdots +x+x}$
Kelompok $ \underbrace{x+x+x+ \cdots +x+x}$ hasilnya adalah $ 100x$
Kelompok $ \underbrace{1^{3}+2^{3}+ \cdots +99^{3}+100^{3}}$ dapat kita hitung dari bagian yang paling sederhana,
$\begin{align}
1^{3} &=1=1^{2} \\
1^{3}+2^{3} &=9=3^{2} \\
1^{3}+2^{3}+3^{3} &=36=6^{2} \\
1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3} &=100=10^{2} \\
1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3} &=225=15^{2}
\end{align}$
$ 1^{2}, 3^{2}, 6^{2}, \cdots ,\left(\dfrac{n \left ( n+1 \right )}{2} \right)^{2}$
Sehingga untuk jumlah $ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^{3}+100^{3}$
adalah
$\begin{align}
\left[\dfrac{100\left ( 100+1 \right )}{2} \right ]^{2} &=\left[\dfrac{100\left ( 101 \right )}{2} \right ]^{2} \\
&= \left[{50\left ( 101 \right )} \right ]^{2} \\
&={5050}^{2}
\end{align}$
$\begin{align}
y &=\underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+ \cdots +99^{3}+100^{3}}+\underbrace{x+x+x+...+x+x} \\
&={5050}^{2}+100x
\end{align}$
6. PR Matematika Anakku Kelas 1 SMP
Bilangan $23a23b$ habis dibagi $8$ dan $9$. Tentukanlah nilai $a+b$.
Alternatif Pembahasan:
Masalah diatas dapat kita selesaikan dengan melihat ciri-ciri bilangan habis dibagi
BILANGAN HABIS DIBAGI 8
Tiga digit terakhir habis dibagi $8$.
Contoh :
apakah $3224$ habis dibagi $8$? Tiga digit terakhir yaitu $224$. Dan $224$ habis dibagi $8$. Sehingga $3224$ habis dibagi $8$. Bagaimana dengan $56$? Tidak jadi masalah karena $56 = 056$. Sehingga tiga digit terakhirnya yaitu $056$. dan $56$ habis dibagi $8$. Sehingga $56$ habis dibagi $8$.
BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 9
Jumlah angka-angkanya habis dibagi $9$.
Contoh :
apakah $819$ habis dibagi $9$? Jumlah digit-digitnya yaitu $8 + 1 + 9 = 18$. Dan $18$ habis dibagi $9$. Sehingga $819$ habis dibagi $9$.
Agar $23a23b$ habis dibagi $8$ maka $23b$ harus habis dibagi $8$, sehingga nilai $b$ yang mungkin adalah $2$, karena $232$ habis dibagi $8$.
Agar $23a232$ habis dibagi $9$ maka $(2+3+a+2+3+2)$ harus kelipatan $9$, sehingga nilai $a$ yang mungkin adalah $6$.
Nilai $a+b$ adalah $8$
7. PR Matematika Anakku Kelas 1 SMP
Jika $ 0,201020102010 \cdots =\dfrac{x}{y}$ dengan $x,\ y$ bilangan asli. Maka nilai terkecil dari $x+y$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Jika kita misalkan $ 0,201020102010 \cdots = k$ kita sebut persamaan satu, dan kedua ruas kita kalikan dengan $10000$ maka kita peroleh persamaan kedua $2010,20102010 \cdots = 10000k$.
Lalu dengan mengeliminasi persamaan satu dan kedua, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
0,201020102010 \cdots = k & \\
2010,20102010 \cdots = 10000k & (-) \\
\hline
2010 = 9999k & \\
\dfrac{2010}{9999} = k & \\
\dfrac{670}{3333} = k
\end{array} $
nilai $x+y$ yang terkecil adalah $670 + 3333 = 4003$
8. PR Matematika Anakku Kelas 1 SMP
Buktikanlah $ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6} \cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$
Alternatif Pembahasan:
Kita misalkan,
Untuk membuktikan $ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6} \cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$
$ P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdots \dfrac{2007}{2008}$
$ Q=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{6}{7} \cdots \dfrac{2008}{2009}$
Jika kita perhatikan $ \dfrac{1}{2} \lt \dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{4} \lt \dfrac{4}{5},\ \dfrac{5}{6} \lt \dfrac{6}{7},$ dan seterusnya, maka $P \lt Q$
$\begin{align}
P \cdot Q &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{6}{7} \cdots \dfrac{2007}{2008} \cdot \dfrac{2008}{2009} \\
P\cdot Q &= \dfrac{1}{2009}
\end{align}$
$\begin{align}
P & \lt Q \\
P^{2} & \lt P \cdot Q \\
P^{2} & \lt \dfrac{1}{2009} \\
P \lt & \sqrt{\dfrac{1}{2009}} \\
P \lt & \dfrac{1}{\sqrt{2009}}
\end{align}$
$ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{7}{8}\cdots \dfrac{2007}{2008} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2009}}$ (terbukti)
Catatan tentang PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013 Gak salah niih? di atas agar lebih baik lagi perlu catatan tambahan dari Anda. Untuk catatan tambahan atau hal lain yang perlu diketahui admin, silahkan disampaikan dan contact admin 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.