Skip to main content

Sifat Logaritma Ini Sangat Istimewa

Sifat Logaritma Ini Sangat IstimewaLogaritma adalah kebalikan dari bilangan perpangkat, dalam bahasa tetangga disampaikan 'inverse exponential functions is called the logarithmic function'.

Sebelum kepada sifat-sifat logaritma, coba kita singgung sedikit tentang istilah kebalikan dari bilangan berpangkat.
Kita pilih dari bentuk bilangan berpangkat yang sederhana yaitu $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $

Dari bentuk bilangan berpangkat $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $,
  • untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} 2}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} 3}$ dan ${\color{Green} 8}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $ \sqrt[{3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$
  • untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} 3}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} 2}$ dan ${\color{Green} 8}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$

Jadi kebalikan dari bilangan berpangkat bukan hanya logaritma tetapi juga akar.

Nach kesimpulan yang bisa kita ambil adalah:
  • jika $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $ maka $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$ dan
  • jika $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$ maka $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $.

Dalam bahasa logika matematika dapat dituliskan:
$ {\color{Blue} 2}^{3}={\color{Green} 8} $ jika dan hanya jika $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$

Bentuk umum logaritma dapat kita tuliskan sebagai berikut;
$^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ jika dan hanya jika $ {\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b} $.

Bentuk penulisan logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}={\color{Red} c}$.

Bentuk $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ atau $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}={\color{Red} c}$ dibaca: logaritma dari $ {\color{Green} b}$ dengan bilangan pokok $ {\color{Blue} a}$ adalah ${\color{Red} c}$. Tetapi untuk memudahkan pengucapan sering hanya disebut "a log b = c".

Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$
  • $ {\color{Blue} a}$ disebut Basis [Bilangan Pokok]. Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ adalah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a} \neq 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.
  • $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ adalah $ {\color{Green} b} \gt 0$
  • ${\color{Red} c}$ disebut Hasil logaritma
Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma diatas, sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;
  1. $^{a}\textrm{log}\ a=1$ karena $ a^{0}=1$
  2. $^{a}\textrm{log}\ 1=0$ karena $ a^{1}=a$
  3. $^{a}\textrm{log}\ x+^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \left (x\cdot y \right )$
  4. $^{a}\textrm{log}\ x+^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \frac{x}{y} $
  5. $^{a}\textrm{log}\ x^{n}=n\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  6. $^{a}\textrm{log}\ \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  7. $^{a^{n}}\textrm{log}\ x^{m}=\frac{m}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
  8. $^{a}\textrm{log}\ x= \frac{^{p}\textrm{log}\ x}{^{p}\textrm{log}\ a} $
  9. $^{a}\textrm{log}\ x= \frac{1}{^{x}\textrm{log}\ a} $
  10. $ a^{^{a}\textrm{log}\ x}= x $
  11. $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $
Mungkin dengan mengenal beberapa sifat logaritma diatas sudah bisa mendekatkan kita kepada logaritma. Sama halnya dengan kita mengenal seseorang, semakin kita mengenali sifat-sifatnya maka kita bisa semakin dekat kepada seseorang tersebut.

Pembuktian beberapa sifat logaritma diatas bisa kita temui pada buku matematika SMA atau buku-buku bank soal matematika.

Tetapi untuk sifat nomor 11, sifat logaritma yang saya katakan sangat istimewa $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $ karena hampir semua buku matematika SMA tidak menyebutkannya apalagi membuktikannya.

Sekarang coba kita membuktikan kebenaran sifat logaritma tersebut;
$ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $
Kita misalkan $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=y$
lalu kedua ruas kita berikan logaritma, bentuknya menjadi,
$ log\ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=log\ y$
degan menggunakan sifat (5) kita peroleh bentuknya menjadi,
$ ^{b}\textrm{log}\ c\ log\ a=log\ y$
lalu dengan menggunkan sifat (8) kita peroleh bentuknya menjadi,
$ \frac{log\ c}{log\ b}\ log\ a=log\ y$
perubahan berikutnya,
$ \frac{log\ a}{log\ b}\ log\ c=log\ y$
$ ^{b}\textrm{log}\ a\ log\ c=log\ y$
$ log\ c^{^{b}\textrm{log}\ a}=log\ y$
$ c^{^{b}\textrm{log}\ a}= y$
Bentuk diatas kita kembalikan ke pemisalan awal $ y=a^{^{b}\textrm{log}\ c}$
Bentuk akhir yang kita peroleh mungkin sudah bisa sebagai bukti sederhana,$ c^{^{b}\textrm{log}\ a}=a^{^{b}\textrm{log}\ c}$

Sifat logaritma yang istimewa ini, diperoleh ketika diskusi bersama rekan guru matematika saat akan dilaksanakan Olimpiade Guru Tingkat Provinsi beberapa tahun lalu.

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Mari kita coba belajar geogebra dasar;
youtube image

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar atau pertanyaan yang berhubungan dengan "Sifat Logaritma Ini Sangat Istimewa" 😊 and thank you for your concern in support of blog
Buka Komentar
Tutup Komentar