Belajar Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada SMA dan SMP, bahkan dalam bentuk soal cerita atau matematika realistik, soal tentang barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan Bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu.

Secara simbol sederhana barisan dapat kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$

$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.
Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.

Secara simbol sederhana deret bilangan dapat kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$

$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$

Barisan dan Deret Geometri

Setelah dapat memahami tentang barisan dan deret bilangan, sekarang coba kita diskusikan tentang Barisan dan Deret Bilangan Geometri yang sering disebut hanya Barisan Geometri. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Geometri [BG] jika perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ ($r$).
Contoh,
$2, 4, 8, 16, 32,...$ [BG dengan $r=2$]
$27, 9, 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}...$ [BG dengan $r=\frac{1}{3}$]

Pada Barisan Geometri (BG) jika suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan rasio dengan $r$ maka suku-suku BG secara umum dapat kita tuliskan menjadi;
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\cdots, ar^{n-1}$

Sedangkan jika BG kita tuliskan menjadi Deret Geometri (DG), penulisan menjadi;
$a+\ ar+\ ar^{2}+\ ar^{3}+\cdots+ ar^{n-1}$

Dari bentuk umum diatas kita peroleh,
  • rasio=$r$
    $r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}}=\frac{U_{7}}{U_{6}}$
    $r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$
  • Suku ke-n
    $U_{n}=ar^{n-1}$
  • Jumlah n suku pertama
    $S_{n}=\frac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1}$
    $S_{n}=\frac{a \left (1-r^{n} \right )}{1-r}$
  • Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
    $U_{t}=\sqrt{U_{1} \cdot U_{n}}$
    $S_{n}=n \cdot U_{t}$

Barisan dan Deret Geometri untuk beberapa buku memakai istilah dengan sebutan Deret Ukur. untuk memahami BG dan DG ini coba kita diskusikan beberapa contoh soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.

Soal UN 2007

1. Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyak bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah...
$(A)\ 640\ Bakteri\\
(B)\ 3.200\ Bakteri\\
(C)\ 6.400\ Bakteri\\
(D)\ 12.800\ Bakteri\\
(E)\ 32.000\ Bakteri$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Kita coba dengan memisalkan banyak bakteri awal atau mula-mula = $a$,
sehingga pada 5 menit berikut banyak bakteri adalah $2a$,
5 menit berikutnya banyak bakteri adalah $4a$ dan
5 menit berikutnya banyak bakteri adalah $8a$.


Dari keterangan diatas kita peroleh bahwa 15 menit pertama dari pola barisan sudah menghasilkan barisan sampai kepada suku ke-4.
Sehingga banyak bakteri pada 15 menit pertama adalah suku ke-4 yaitu 400.
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{4}=a2^{3}$
$400=8a$
$a=50$
kita peroleh banyak bakteri mula-mula adalah 50 bakteri.

Dengan mengikuti pola diatas juga banyak bakteri pada 50 menit pertama sama dengan suku ke-7, yaitu:
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{7}=50 \cdot 2^{6}$
$U_{7}=50 \cdot 64$
$U_{7}=32.000$
$a=50$

Soal SM-UNPAD 2007

2. Sepotong kawat yang panjangnya 124 cm dipotong menjadi 5 bagian sehingga panjang setiap potongnya membentuk BG. Jika potongan kawat yang paling pendek adalah 4 cm, potongan kawat yang paling panjang adalah...
$(A)\ 60\ cm\\
(B)\ 64\ cm\\
(C)\ 68\ cm\\
(D)\ 72\ cm\\
(E)\ 76\ cm$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Keterangan yang dapat kita ambil dari soal adalah panjang seluruh tali yang dibagi menjadi 5 bagian adalah 124.
Karena tali dibagi menjadi 5 bagian dengan mengikuti pola BG, maka jika kita urutkan dari panjang tali yang terkecil menjadi,
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4}$
barisan di atas panjang tali terpendek kita misalkan $a$ panjangnya adalah 4 dan jumlah barisan adalah 124, sehingga dapat kita tuliskan menjadi,
$a+ ar+ ar^{2}+ ar^{3}+ ar^{4}=124$
$S_{5}=124$
$\frac{a \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\frac{4 \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\frac{\left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=31$
$\frac{\left (r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1 \right )\left (r-1 \right )}{r-1}=31$
$r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1=31$
$\left (r^{3}+3r^{2}+7r+15 \right )\left ( r-2 \right )=0$
salah satu nilai $r$ yang memenuhi adalah $r=2$

Potongan kawat yang paling panjang,
$U_{5}=ar^{5-1}$
$U_{5}=4 \cdot 2^{4}$
$U_{5}=4 \cdot 16$
$U_{5}=64$


Soal SPMB 2004

3. Suku ke-4 suatu Barisan Geometri sama dengan suku ke-8 suatu Barisan Aritmatika. Kedua barisan tersebut mempunyai suku pertama sama dengan 2. Jika rasio BG sama dengan beda BA dan keduanya merupakan bilangan bulat, suku ke-5 BG dikurangi suku ke-11 BA sama dengan...
$(A)\ 2\\ (B)\ 8\\ (C)\ 10\\ (D)\ 14\\ (E)\ 16$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$U_{4} [BG]=U_{8} [BA]$
$ar^{3}=a+7b$
untuk nilai $a=2$ dan $r=b$ maka kita peroleh,
$2r^{3}=2+7r$
$2r^{3}-7r-2=0$
$(r-2)(2r^{2}+4r+1)=0$
$(r-2)(2r-1)^{2}=0$
$r=2$ atau $r=\frac{1}{2}$

Nilai $r$ yang bulat adalah yang memenuhi, $r=2$.

Nilai suku ke-5 BG dikurangi suku ke-11 BA adalah,
$U_{5} [BG]-U_{11} [BA]=ar^{4}-(a+10b)$
$U_{5} [BG]-U_{11} [BA]=(2)(2)^{4}-(2+10(2))$
$U_{5} [BG]-U_{11} [BA]=32-22$
$U_{5} [BG]-U_{11} [BA]=10$


Cerita tentang Barisan dan Deret Geometri diatas masihlah sangat sederhana, jika Anda punya sesuatu untuk kita diskusikan silahkan disampaikan melalui kotak komentar.

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Gurunya Super Kreatif, Mengerjakan Perkalian Jadi Kreatif;

You Might Also Like: