The good student, Calon Guru belajar matematika SMA dari Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 934. Soal Ujian Masuk Universitas Gadjah Mada (UM UGM) ini adalah soal mata ujian kelompok Tes Kemampuan Dasar Umum (TKDU) yang terdiri dari $20$ soal Matematika Dasar.
Materi Ujian UM UGM-CBT T.A. 2024/2025
- Kelompok SAINTEK
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Saintek: Fisika, Kimia, Biologi, Matematika IPA
- TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
- Tes Potensi Akademik (TPA)
- Kelompok SOSHUM
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Soshum: Sejarah, Geografi, Ekonomi, Sosiologi
- TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
- Tes Potensi Akademik (TPA)
- Kelompok Campuran
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Saintek: Fisika, Kimia, Biologi, Matematika IPA
- TKDU (Tes Kemampuan Dasar Umum): Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, Bahasa Ingggris
- Tes Potensi Akademik (TPA)
- TKA (Tes Kemampuan Akademik) Soshum: Sejarah, Geografi, Ekonomi, Sosiologi
Soal dan Pembahasan Matematika TKDU UM UGM Tahun 2019 Kode 634
Soal latihan yang kita diskusikan berikut ini adalah soal TKDU mata ujian Matematika Dasar. Silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai silahkan Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 20 soal |
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.
1. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika rata-rata dari $a,\ b,\ c$ dan $a^{2},\ b^{2},\ c^{2}$ berturut-turut adalah $2$ dan $4$, maka rata-rata dari $ab,\ bc,\ ca$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk rata-rata $a,\ b,\ c$ adalah $2$ kita peroleh:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
2 &=\dfrac{a+b+c+}{3} \\
6 &= a+b+c
\end{align}$
Untuk rata-rata $a^{2},\ b^{2},\ c^{2}$ adalah $4$ kita peroleh:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
4 &=\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \\
12 &= a^{2}+b^{2}+c^{2} \\
\hline
\left( a +b +c \right)^{2} &= a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2 (ab+ac+bc) \\
\hline
6^{2} &= 12 + 2 (ab+ac+bc) \\
36 &= 12 + 2 (ab+ac+bc) \\
18 &= 6+ (ab+ac+bc) \\
12 &= (ab+ac+bc)
\end{align}$
Rata-rata $ab,\ bc,\ ca$ adalah:
$\begin{align}
\bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\
&= \dfrac{ab+bc+ac}{3} \\
&= \dfrac{12}{3} = 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$
2. Soal Matematika UM UGM 2019
Diketahui $f(x)=x^{2} +1$ dan $g(x)=ax+2$, dengan $a \neq 0$. Jika $\left( f \circ g^{-1} \right)(1)=5$ maka $4a^{2} -3 = \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Invers fungsi $g(x)=ax+2$ adalah:
$ \begin{align}
y\ & = ax+2 \\
y-2\ & = ax \\
\dfrac{y-2}{x} & = a \\
g^{-1}(x)& =\dfrac{x-2}{a} \\
g^{-1}(1)& =\dfrac{-1}{a}
\end{align}$
$ \begin{align} \left( f \circ g^{-1} \right)(1) &= 5 \\ f \left( g^{-1}(1) \right) &= 5 \\ f \left( \dfrac{-1}{a} \right) &= 5 \\ \left( \dfrac{-1}{a} \right)^{2}+1 &= 5 \\ \dfrac{1}{a^{2}} &= 5-1 \\ \dfrac{1}{a^{2}} &= 4 \\ 1 &= 4a^{2} \\ \hline 4a^{2}-3 &= 1-3 \\ &=-2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$
3. Soal Matematika UM UGM 2019
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan memfaktorkan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ -\left ( 1-x \right )+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{\left (1+x \right )\left (1-x \right )}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \sqrt[3]{\left (1-x \right )} \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{\sqrt[3]{\left (1-x \right )} \cdot \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\
& = \dfrac{ \left (-\left ( 1-1 \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+1 \right )}} \\
& = \dfrac{ 1}{ \sqrt[3]{2}}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$
4. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan $f(x)=\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right)$. Jika $f'(0)=3$ dan $f'(-1)=10$, maka $f'\left( -\frac{1}{2} \right) =\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Sifat turunan fungsi yang mungkin dapat membantu salah satunya adalah $f\left( x \right) = u \left( x \right) \cdot v \left( x \right)$ turunan pertamanya adalah $f'\left( x \right) = u' \left( x \right) \cdot v \left( x \right)+u \left( x \right) \cdot v' \left( x \right)$.
$\begin{align} f\left( x \right) & = \left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right) \\ f'\left( x \right) & = \left( 2ax +b \right) \left( x^{2} +x \right)+\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( 2x + 1 \right) \\ \hline f'\left( 0 \right) & = \left( 2a(0) +b \right) \left( (0)^{2} + (0) \right)+\left( a(0)^{2}+b(0)+c \right) \left( 2(0) + 1 \right) \\ 3 & = \left( 0 +b \right) \left( 0 \right)+\left( 0+0+c \right) \left( 1 \right) \\ 3 & = c \\ \hline f'\left( -1 \right) & = \left( 2a(-1) +b \right) \left( (-1)^{2} + (-1) \right)+\left( a(-1)^{2}+b(-1)+c \right) \left( 2(-1) + 1 \right) \\ 10 & = \left( -2a+b \right) \left( 0 \right)+\left( a -b +c \right) \left( -1 \right) \\ 10 & = \left( a -b +3 \right) \left( -1 \right) \\ -10 & = a -b +3 \\ -13 & = a -b \\ \hline f'\left( -\frac{1}{2} \right) & = \left( 2a\left( -\frac{1}{2} \right) +b \right) \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^{2} + \left( -\frac{1}{2} \right) \right)+ \\ &\ \ \ \left( a\left( -\frac{1}{2} \right)^{2}+b\left( -\frac{1}{2} \right)+c \right) \left( 2\left( -\frac{1}{2} \right) + 1 \right) \\ & = \left( -a+b \right) \left( \frac{1}{4} -\frac{1}{2} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( -1 + 1 \right) \\ & = -\left( a-b \right) \left( -\frac{1}{4} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( 0 \right) \\ & = -\left( -13 \right) \left( -\frac{1}{4} \right) \\ & = -\dfrac{13}{4} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{13}{4}$
5. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan bilangan real $r$, dengan $0 \lt r \lt 1$. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$ dan rasio $\dfrac{1}{1+r}$ adalah $8$, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $8$ dan rasio $r$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$, rasio $\dfrac{1}{1+r}$ dan jumlahnya $8$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
8 &= \dfrac{2}{1-\frac{1}{1+r}} \\
8 &= \dfrac{2}{\frac{r}{1+r}} \\
8 &= \dfrac{2+2r}{r} \\
8r &= 2+2r \\
6r &= 2 \longrightarrow r=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \\
\hline
S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\
&= \dfrac{8}{1-\frac{1}{3}} \\
&= \dfrac{8}{\frac{2}{3}} \\
&= \dfrac{24}{2}=12
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 12$
6. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $A^{T} A+BB^{T}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} A^{T} A+BB^{T} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \\ \left| A^{T} A+BB^{T} \right| &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\ &= (3)(10)-(5)(5) \\ &= 30-25 =5 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$
7. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $\tan x=2$, maka $\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari nilai $\tan x=2$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} & = \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} \cdot \dfrac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} \\
& = \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\cos x}} \\
& = \dfrac{\tan x+1}{\tan x-1} \\
& = \dfrac{2+1}{2-1} = 3
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
8. Soal Matematika UM UGM 2019
Di dalam sebuah kotak terdapat sembilan bola yang diberi nomor $1$ sampai dengan $9$. Diambil tiga bola satu-persatu tanpa pengembalian. Peluang bola pertama genap, bola ke-$2$ ganjil, dan bola ke-$3$ genap adalah...
Alternatif Pembahasan:
Di dalam kotak ada bola $1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
- Peluang bola pertama genap adalah $\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{4}{9}$.
- Peluang bola kedua ganjil dengan anggapan sudah terambil bola genap pertama adalah $\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{5}{8}$.
- Peluang bola ketiga genap dengan anggapan sudah terambil bola genap pertama dan ganjil kedua adalah $\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{3}{7}$.
Peluang bola pertama genap, bola ke-$2$ ganjil, dan bola ke-$3$ genap adalah $\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{42}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{42}$
9. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $m$ dan $M$ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$ dengan $M+m=3$, maka $f(2)=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
- Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
Dari fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\
f'(x) & = 6x^{2}-6x \\
\hline
f'(x) & = 0 \\
0 & = 6x^{2}-6x \\
0 & = 6x \left( x - 1 \right) \\
& x=0\ \text{atau}\ x=1
\hline
f''(x) & = 12x -6 \\
f''(0) & = -6 \lt 0 \longrightarrow f(0)=M \\
f''(1) & = 6 \gt 0 \longrightarrow f(1)=m
\end{align} $
$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f(0) & = a \\ f(1) & = -1+a \\ m+M & = 3 \\ f(1)+f(0) & = 3 \\ -1+a+a & = 3 \\ 2a & = 4\ \longrightarrow a=2 \\ \hline f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+2 \\ f(2) & = 2(2)^{3}-3(2)^{2}+2 \\ & = 16-12+2=6 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$
10. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika $x$ adalah sudut, dengan $90^{\circ} \lt x \lt 180^{\circ}$ dan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$, maka $\cos x = \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$ dan beberapa identitas trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align}
4-2 \cos^{2} x &= 5 \sin x \\
4-2 \left( 1- \sin^{2}x \right) &= 5 \sin x \\
4-2 +2 \sin^{2}x &= 5 \sin x \\
2 \sin^{2}x - 5 \sin x +2 &= 0 \\
\left( 2 \sin x - 1 \right) \left( \sin x - 2 \right) &= 0 \\
\sin x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ \sin x = 2\ & \text{(TM)} \\
\hline
\sin x=\frac{1}{2} & \longrightarrow x=150^{\circ} \\
\cos 150^{\circ} &= \cos \left( 180^{\circ}- 30^{\circ} \right) \\
&= -\cos 30^{\circ} \\
&= -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
11. Soal Matematika UM UGM 2019
Apabila $x$ dan $y$ memenuhi
\begin{array} \text{\log}\ x^{2} -\log y = 1 \\ \log x + \log y = 8 \end{array} maka nilai $y-x = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\log x + \log y & = 8 \\
\log xy & = \log 10^{8} \\
xy & = 10^{8} \\
y & = \dfrac{10^{8}}{x} \\
\hline
\log x^{2} -\log y & = 1 \\
\log \dfrac{x^{2}}{y} & = \log 10 \\
\dfrac{x^{2}}{y} & = 10 \\
x^{2} & = 10 \cdot \dfrac{10^{8}}{x} \\
x^{3} & = 10^{9}\ \longrightarrow x=10^{3} \\
\hline
y & = \dfrac{10^{8}}{x} \\
y & = \dfrac{10^{8}}{10^{3}}=10^{5}
\end{align} $
Nilai $y-x$ adalah:
$\begin{align}
y-x & = 10^{5}-10^{3} \\
& = 10^{3} \left( 10^{2}-1 \right) \\
& = 1.000 \left( 99 \right) \\
& = 99.000
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 99000$
12. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle BAC=\alpha $. Titik $C_{1}$ merupakan titik sehingga $\bigtriangleup ACC_{1}$ siku-siku di $C$ dan $\angle CAC_{1}=\alpha $. Titik $C_{2}$ dipilih sehingga $\bigtriangleup AC_{1}C_{2}$ siku-siku di $C_{1}$ dan $\angle C_{1}AC_{2}=\alpha $, dan seterusnya. Panjang $AC_{1},\ AC_{2},\ AC_{3},\ \cdots$, merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$. Nilai $\dfrac{a}{r}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada segitiga siku-siku $ABC$ dapat kita peroleh $AC=5$, $\sin \alpha = \dfrac{BC}{AC}= \dfrac{3}{5}$, dan $\cos \alpha = \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{4}{5}$.
Pada segitiga siku-siku $ACC_{1}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\cos \alpha & = \dfrac{AC}{AC_{1}} \\
\dfrac{4}{5} & = \dfrac{5}{AC_{1}}\ \longrightarrow AC_{1} = \dfrac{25}{4}
\end{align}$
Pada segitiga siku-siku $AC_{1}C_{2}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\cos \alpha & = \dfrac{AC_{1}}{AC_{2}} \\
\dfrac{4}{5} & = \dfrac{\frac{25}{4}}{AC_{2}}\ \longrightarrow AC_{2} = \dfrac{125}{16}
\end{align}$
Karena $AC_{1},\ AC_{2},\ AC_{3},\ \cdots$ , merupakan barisan geometri maka dapat kita peroleh $a=AC_{1}=\dfrac{25}{4}$ dan $r=\dfrac{AC_{2}}{AC_{1}}=\dfrac{\dfrac{125}{16}}{\dfrac{25}{4}}= \dfrac{125}{16} \cdot \dfrac{4}{25}=\dfrac{5}{4}$.
Sehingga nilai $\dfrac{a}{r}=\dfrac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{4}}= \dfrac{25}{4} \cdot \dfrac{4}{5} = 5 $.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$
13. Soal Matematika UM UGM 2019
Pada sistem persamaan berikut
\begin{array} \text{x^{2}}+xy+xz=1 \\ y^{2} +yz+yx=6 \\ z^{2}+zx+zy=9 \end{array} Nilai $z$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2} +xy+xz &= 1 \\
y^{2} +yz+yx &= 6 \\
z^{2}+zx+zy &= 9\ (+) \\
\hline
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 \left( xy+xz+yz \right) &= 16 \\
\left( x+y+z \right)^{2} &= 16 \\
x+y+z &= 4 \\
\hline
z^{2}+zx+zy &= 9 \\
z \left( z+ x+ y \right) &= 9 \\
z \left( 4 \right) &= 9 \\
z &= \dfrac{9}{4}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{9}{4}$
14. Soal Matematika UM UGM 2019
Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $\sqrt{x^{2}-x+1} \leq \sqrt{x+1}$ adalah $\{x|x\ \text{bilangan real},\ a \leq x \leq b \}$, maka $a+b = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:
Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen nilainya.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-x+1} &\leq \sqrt{x+1} \\
x^{2}-x+1 &\leq x+1 \\
x^{2}-x+1-x-1 & \leq 0 \\
x^{2}-2x & \leq 0 \\
(x)(x-2) &\leq 0 \\
x=0\ \text{atau}\ x=2 &
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $0 \leq x \leq 2$.
Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-x+1}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-x+1 & \geq 0 \\
\end{align}$
Karena $a \gt 0$ dan $D=b^{2}-4ac \lt 0$ maka $x^{2}-x+1$ definit positif yang artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real. Sehingga nilai $x$ yang memenuhi $x^{2}-x+1 \geq 0 $ adalah $ x \in \mathbb{R} $.
Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{x+1}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+1 & \geq 0 \\
x & \geq -1
\end{align}$
Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas merupakan himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;
Himpunan penyelesaian adalah $0 \leq x \leq 2$ sehingga $a=0$ dan $b=2$. Nilai $a+b=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
15. Soal Matematika UM UGM 2019
Sebuah buku dibeli dengan harga $Rp 1.000,00$ dan dijual $Rp 1.100,00$. Sebuah pena dibeli dengan harga $Rp 1.500,00$ dan dijual $Rp 1.700,00$. Seorang pedagang yang memiliki modal $Rp 300.000,00$ dan tokonya dapat memuat paling banyak $250$ buku dan pena akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar...
Alternatif Pembahasan:
Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, kurang lebih menjadi seperti berikut ini;
| Deskripsi Soal | |||
|---|---|---|---|
| Jenis barang | Harga | Banyak (*misalkan) | Keuntungan |
| Buku | $Rp1.000$ | $x$ | $Rp100$ |
| Pena | $Rp1.500$ | $y$ | $Rp500$ |
| Ketersediaan | $Rp300.000$ | $250$ | $\cdots$ |
Dari tabel di atas, dapat kita bentuk sistem pertidaksamaannya.
$ \begin{align}
1000x+1500y & \leq 300000 \\
2x+ 3y & \leq 600 \\
x+ y & \leq 250 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0 \end{align} $
Tips dan Trik
Untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$ pada $ax+by \cdots c$.
#Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
#Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah;
Untuk mendapatkan penjualan maksimum, salah satu caranya dapat dengan titik uji pada titik sudut daerah HP kepada fungsi tujuan $Z=100x+200y$.
- $A\ (0,0)$ maka $Z=100(0)+200(0)=0$
- $B\ \left( 250,0 \right)$ maka $Z=100(250)+200(0)=25.000$
- $C\ \left( 150,100 \right)$ maka $Z=100(150)+200(100)=35.000$
*Titik $(C)$ kita peroleh dengan mengelimiasi atau substitusi garis $(1)$ dan garis $(2)$ - $D\ (0,200)$ maka $Z=100(0)+200(200)=40.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp40.000,00$
16. Soal Matematika UM UGM 2019
Diberikan barisan geometri tak konstan $a,\ b,\ c,\ \cdots$. Jika $abc=27$ dan $9a+b+c=33$ maka $6a+7b = \dots$
Alternatif Pembahasan:
Dari barisan geometri tidak konstan $a,\ b,\ c,\ \cdots$, $abc=27$ dan $9a+b+c=33$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
u_{2}^{2} & = u_{1} \cdot u_{3} \\
b^{2} & = a \cdot c \\
b^{2} \cdot b & = a \cdot c \cdot b \\
b^{3} & = 27\ \longrightarrow b=3 \\
ac & = 9\\
\hline
9a+b+c &= 33 \\
9a+3+c &= 33 \\
c &= 30-9a \\
\hline
ac & = 9 \\
a \left( 30-9a \right) & = 9 \\
30a -9a^{2} - 9 & = 0 \\
3a^{2} - 10a + 3 & = 0 \\
\left(3a - 1 \right) \left(a -3 \right) & = 0 \\
a=\frac{1}{3}\ \text{atau}\ a=3\ \text{(TM)} &
\end{align}$
Untuk $a=\frac{1}{3}$ dan $b=3$ maka $6a+7b=2+21=23$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 23$
17. Soal Matematika UM UGM 2019
Nilai $x$ yang merupakan penyelesaian dari $-2^{2x+1}+4^{x}+8^{x+\frac{1}{3}}-8^{\frac{2x-1}{3}}-16^{\frac{2x-1}{4}} \gt 0$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran pertidaksamaan di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
-2^{2x+1}+4^{x}+8^{x+\frac{1}{3}}-8^{\frac{2x-1}{3}}-16^{\frac{2x-1}{4}} & \gt 0 \\
-1 \cdot 2^{2x} \cdot 2+2^{2x}+2^{3 \left( x+\frac{1}{3} \right)}-2^{3 \left( \frac{2x-1}{3} \right)}-2^{4\left( \frac{2x-1}{4} \right)} & \gt 0 \\
-2 \cdot 2^{2x} +2^{2x}+2^{3x+1}-2^{2x-1}-2^{ 2x-1} & \gt 0 \\
-1 \cdot 2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2 \cdot 2^{2x-1} & \gt 0 \\
-2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2^{2x-1+1} & \gt 0 \\
-2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2^{2x} & \gt 0 \\
-2 \cdot 2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 & \gt 0 \\
2^{3x} \cdot 2 & \gt 2 \cdot 2^{2x} \\
2^{3x} & \gt 2^{2x} \\
\hline
3x & \gt 2x \\
3x-2x & \gt 0 \\
x & \gt 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \gt 0$
18. Soal Matematika UM UGM 2019
Hasil penjumlahan semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^{4 \log x}=\dfrac{x^{12}}{10^{8}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
x^{4 \log x} &= \dfrac{x^{12}}{10^{8}} \\
\log x^{4 \log x} &=\log \dfrac{x^{12}}{10^{8}} \\
4 \log x \cdot \log x &=\log x^{12} - \log 10^{8} \\
4 \left( \log x \right)^{2} &=12 \log x - 8 \\
4 \left( \log x \right)^{2} - 12 \log x + 8 &= 0 \\
\left( \log x \right)^{2} - 3 \log x + 2 &= 0 \\
\left( \log x-1 \right) \left( \log x -2 \right)&= 0 \\
\hline
\log x=1 & \longrightarrow x=10 \\
\log x=2 & \longrightarrow x=100 \\
\hline
x_{1}+x_{2} &=110
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 110$
19. Soal Matematika UM UGM 2019
Salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}-(3a-5)x+3=0$ adalah tiga kali akar yang lain. Perkalian dari nilai-nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(3a-5)x+3=0$ yang salah satu akarnya tiga kali akar yang lain. Jika kita misalkan akar-akarnya $p$ dan $q$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
pq &= \dfrac{c}{a} \\
p \cdot 3p &= \dfrac{3}{1} \\
3p^{2} &= 3 \\
p^{2} &= 1 \longrightarrow p =\pm 1
\hline
p+q &= -\dfrac{b}{a} \\
p+3p &= \dfrac{3a-5}{1} \\
4p &= 3a-5 \\
4 \left( \pm 1 \right) &= 3a-5 \\
\pm 4 +5 &= 3a \\
\hline
3a &= 4+5 \longrightarrow a = 3 \\
3a &= -4+5 \longrightarrow a = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Perkalian nilai $a$ yang mungkin adalah $3 \cdot \dfrac{1}{3} =1$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1$
20. Soal Matematika UM UGM 2019
Grafik fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ mempunyai puncak di $(1,1)$ dan menyinggung garis $y=x+1$. Nilai $8a-4b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ dimana titik puncaknya $( 1,1)$ dan menyinggung garis $y=x+1$ dapat kita peroleh:
- Titik puncaknya $( 1,1)$
$\begin{align} x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\ 1 &= -\dfrac{b}{2a} \\ -2a &= b \\ \hline y_{p} &= -\dfrac{D}{4a} \\ 1 &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ -4a &= b^{2}-4ac \\ -4a &= (-2a)^{2}-4ac \\ -4a &= 4a^{2}-4ac \\ -1 &= a-c \end{align}$ - Fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ menyinggung garis $y=x+1$ sehingga:
$\begin{align} y &= y \\ ax^{2}+bx+c &= x+1 \\ ax^{2}+bx-x+c-1 &= 0 \\ ax^{2}+ \left(b -1 \right)x+c-1 &= 0 \\ \hline D &=0 \\ b^{2}-4ac & =0 \\ \left(b -1 \right)^{2}-4a\left(c -1 \right) & =0 \\ \left(-2a -1 \right)^{2}-4a\left( a \right) & =0 \\ 4a^{2}+4a+1-4a^{2} & =0 \\ 4a+1 & =0 \\ 4a & = -1\ \longrightarrow a=-\dfrac{1}{4} \\ \hline b & = -2a \\ b & = -2 \left( -\dfrac{1}{4} \right)= \dfrac{1}{2} \end{align}$ - Nilai $8a-4b$ adalah $8\left( -\dfrac{1}{4} \right) -4\left( \dfrac{1}{2} \right)=-4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$
Catatan Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 934 di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Untuk siapapun yang sedang galau. Jangan terus bersedih. Percayalah Badai pasti berlalu. Kegagalan dalam berusaha adalah tiket bagi kesuksesan. Sepekat apapun malam ini, percayalah esok fajar kan bersinar kembali.