Skip to main content

Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 934

The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 934.

Soal Ujian Masuk Universitas Gadjah Mada (UM UGM) ini adalah soal mata ujian kelompok Tes Kemampuan Dasar Umum (TKDU) yang terdiri dari $20$ soal Matematika Dasar, $20$ soal Bahasa Indonesia, dan $20$ soal Bahasa Inggris.

Soal yang kita diskusikan berikut ini adalah $20$ soal dari TKDU yaitu mata ujian Matematika Dasar. Untuk melihat soal lengkapnya silahkan download langsung di Kumpulan SOAL UM UGM.

1. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Jika rata-rata dari $a,\ b,\ c$ dan $a^{2},\ b^{2},\ c^{2}$ berturut-turut adalah $2$ dan $4$, maka rata-rata dari $ab,\ bc,\ ca$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{10}{3} \\ (B)\ & \dfrac{11}{3} \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & \dfrac{13}{3} \\ (E)\ & \dfrac{14}{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk rata-rata $a,\ b,\ c$ adalah $2$ kita peroleh:
$\begin{align} \bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ 2 &=\dfrac{a+b+c+}{3} \\ 6 &= a+b+c \end{align}$


Untuk rata-rata $a^{2},\ b^{2},\ c^{2}$ adalah $4$ kita peroleh:
$\begin{align} \bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ 4 &=\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \\ 12 &= a^{2}+b^{2}+c^{2} \\ \hline \left( a +b +c \right)^{2} &= a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2 (ab+ac+bc) \\ \hline 6^{2} &= 12 + 2 (ab+ac+bc) \\ 36 &= 12 + 2 (ab+ac+bc) \\ 18 &= 6+ (ab+ac+bc) \\ 12 &= (ab+ac+bc) \end{align}$


Rata-rata $ab,\ bc,\ ca$ adalah:
$\begin{align} \bar{x} &=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ &= \dfrac{ab+bc+ac}{3} \\ &= \dfrac{12}{3} = 4 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$

2. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Diketahui $f(x)=x^{2} +1$ dan $g(x)=ax+2$, dengan $a \neq 0$. Jika $\left( f \circ g^{-1} \right)(1)=5$ maka $4a^{2} -3 = \cdots $

$ \begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Invers fungsi $g(x)=ax+2$ adalah:
$ \begin{align} y\ & = ax+2 \\ y-2\ & = ax \\ \dfrac{y-2}{x} & = a \\ g^{-1}(x)& =\dfrac{x-2}{a} \\ g^{-1}(1)& =\dfrac{-1}{a} \end{align}$


$ \begin{align} \left( f \circ g^{-1} \right)(1) &= 5 \\ f \left( g^{-1}(1) \right) &= 5 \\ f \left( \dfrac{-1}{a} \right) &= 5 \\ \left( \dfrac{-1}{a} \right)^{2}+1 &= 5 \\ \dfrac{1}{a^{2}} &= 5-1 \\ \dfrac{1}{a^{2}} &= 4 \\ 1 &= 4a^{2} \\ \hline 4a^{2}-3 &= 1-3 \\ &=-2 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$

3. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -\sqrt[3]{2} \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \\ (D)\ & \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} \\ (E)\ & \sqrt[3]{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan memfaktorkan.


$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ -\left ( 1-x \right )+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{\left (1+x \right )\left (1-x \right )}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \sqrt[3]{\left (1-x \right )} \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{\sqrt[3]{\left (1-x \right )} \cdot \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\ & = \dfrac{ \left (-\left ( 1-1 \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+1 \right )}} \\ & = \dfrac{ 1}{ \sqrt[3]{2}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$

4. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Diberikan $f(x)=\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right)$. Jika $f'(0)=3$ dan $f'(-1)=10$, maka $f'\left( -\frac{1}{2} \right) =\cdots $

$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{15}{4} \\ (B)\ & -\dfrac{13}{4} \\ (C)\ & -\dfrac{11}{4} \\ (D)\ & -\dfrac{9}{4} \\ (E)\ & -\dfrac{7}{4} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Sifat turunan fungsi yang mungkin dapat membantu salah satunya adalah $f\left( x \right) = u \left( x \right) \cdot v \left( x \right)$ turunan pertamanya adalah $f'\left( x \right) = u' \left( x \right) \cdot v \left( x \right)+u \left( x \right) \cdot v' \left( x \right)$.

$\begin{align} f\left( x \right) & = \left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right) \\ f'\left( x \right) & = \left( 2ax +b \right) \left( x^{2} +x \right)+\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( 2x + 1 \right) \\ \hline f'\left( 0 \right) & = \left( 2a(0) +b \right) \left( (0)^{2} + (0) \right)+\left( a(0)^{2}+b(0)+c \right) \left( 2(0) + 1 \right) \\ 3 & = \left( 0 +b \right) \left( 0 \right)+\left( 0+0+c \right) \left( 1 \right) \\ 3 & = c \\ \hline f'\left( -1 \right) & = \left( 2a(-1) +b \right) \left( (-1)^{2} + (-1) \right)+\left( a(-1)^{2}+b(-1)+c \right) \left( 2(-1) + 1 \right) \\ 10 & = \left( -2a+b \right) \left( 0 \right)+\left( a -b +c \right) \left( -1 \right) \\ 10 & = \left( a -b +3 \right) \left( -1 \right) \\ -10 & = a -b +3 \\ -13 & = a -b \\ \hline f'\left( -\frac{1}{2} \right) & = \left( 2a\left( -\frac{1}{2} \right) +b \right) \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^{2} + \left( -\frac{1}{2} \right) \right)+ \\ &\ \ \ \left( a\left( -\frac{1}{2} \right)^{2}+b\left( -\frac{1}{2} \right)+c \right) \left( 2\left( -\frac{1}{2} \right) + 1 \right) \\ & = \left( -a+b \right) \left( \frac{1}{4} -\frac{1}{2} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( -1 + 1 \right) \\ & = -\left( a-b \right) \left( -\frac{1}{4} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( 0 \right) \\ & = -\left( -13 \right) \left( -\frac{1}{4} \right) \\ & = -\dfrac{13}{4} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{13}{4}$

5. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Diberikan bilangan real $r$, dengan $0 \lt r \lt 1$. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$ dan rasio $\dfrac{1}{1+r}$ adalah $8$, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $8$ dan rasio $r$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 15 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 18 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama $2$, rasio $\dfrac{1}{1+r}$ dan jumlahnya $8$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\ 8 &= \dfrac{2}{1-\frac{1}{1+r}} \\ 8 &= \dfrac{2}{\frac{r}{1+r}} \\ 8 &= \dfrac{2+2r}{r} \\ 8r &= 2+2r \\ 6r &= 2 \longrightarrow r=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \\ \hline S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\ &= \dfrac{8}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \dfrac{8}{\frac{2}{3}} \\ &= \dfrac{24}{2}=12 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 12$

6. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Jika $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $A^{T} A+BB^{T}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

$\begin{align} A^{T} A+BB^{T} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \\ \left| A^{T} A+BB^{T} \right| &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\ &= (3)(10)-(5)(5) \\ &= 30-25 =5 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$

7. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Jika $\tan x=2$, maka $\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari nilai $\tan x=2$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} & = \dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} \cdot \dfrac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\tan x+1}{\tan x-1} \\ & = \dfrac{2+1}{2-1} = 3 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

8. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Di dalam sebuah kotak terdapat sembilan bola yang diberi nomor $1$ sampai dengan $9$. Diambil tiga bola satu-persatu tanpa pengembalian. Peluang bola pertama genap, bola ke-$2$ ganjil, dan bola ke-$3$ genap adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{7}{252} \\ (B)\ & \dfrac{8}{252} \\ (C)\ & \dfrac{5}{42} \\ (D)\ & \dfrac{6}{41} \\ (E)\ & \dfrac{9}{43} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Di dalam kotak ada bola $1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

  • Peluang bola pertama genap adalah $\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{4}{9}$.
  • Peluang bola kedua ganjil dengan anggapan sudah terambil bola genap pertama adalah $\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{5}{8}$.
  • Peluang bola ketiga genap dengan anggapan sudah terambil bola genap pertama dan ganjil kedua adalah $\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{3}{7}$.

Peluang bola pertama genap, bola ke-$2$ ganjil, dan bola ke-$3$ genap adalah $\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{42}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{5}{42}$

9. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Jika $m$ dan $M$ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$ dengan $M+m=3$, maka $f(2)=\cdots $

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu;
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ adalah $f(a)$.
  • Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Dari fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f'(x) & = 6x^{2}-6x \\ \hline f'(x) & = 0 \\ 0 & = 6x^{2}-6x \\ 0 & = 6x \left( x - 1 \right) \\ & x=0\ \text{atau}\ x=1 \hline f''(x) & = 12x -6 \\ f''(0) & = -6 \lt 0 \longrightarrow f(0)=M \\ f''(1) & = 6 \gt 0 \longrightarrow f(1)=m \end{align} $


$\begin{align} f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f(0) & = a \\ f(1) & = -1+a \\ m+M & = 3 \\ f(1)+f(0) & = 3 \\ -1+a+a & = 3 \\ 2a & = 4\ \longrightarrow a=2 \\ \hline f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+a \\ f(x) & = 2x^{3}-3x^{2}+2 \\ f(2) & = 2(2)^{3}-3(2)^{2}+2 \\ & = 16-12+2=6 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$

10. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Jika $x$ adalah sudut, dengan $90^{\circ} \lt x \lt 180^{\circ}$ dan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$, maka $\cos x = \cdots $

$\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2\sqrt{3}} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$ dan beberapa identitas trigonometri dapat kita peroleh:
$\begin{align} 4-2 \cos^{2} x &= 5 \sin x \\ 4-2 \left( 1- \sin^{2}x \right) &= 5 \sin x \\ 4-2 +2 \sin^{2}x &= 5 \sin x \\ 2 \sin^{2}x - 5 \sin x +2 &= 0 \\ \left( 2 \sin x - 1 \right) \left( \sin x - 2 \right) &= 0 \\ \sin x=\frac{1}{2}\ \text{atau}\ \sin x = 2\ & \text{(TM)} \\ \hline \sin x=\frac{1}{2} & \longrightarrow x=150^{\circ} \\ \cos 150^{\circ} &= \cos \left( 180^{\circ}- 30^{\circ} \right) \\ &= -\cos 30^{\circ} \\ &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$


11. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Apabila $x$ dan $y$ memenuhi
\begin{array} \text{\log}\ x^{2} -\log y = 1 \\ \log x + \log y = 8 \end{array} maka nilai $y-x = \cdots$

$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 99 \\ (C)\ & 990 \\ (D)\ & 9900 \\ (E)\ & 99000 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma, maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} \log x + \log y & = 8 \\ \log xy & = \log 10^{8} \\ xy & = 10^{8} \\ y & = \dfrac{10^{8}}{x} \\ \hline \log x^{2} -\log y & = 1 \\ \log \dfrac{x^{2}}{y} & = \log 10 \\ \dfrac{x^{2}}{y} & = 10 \\ x^{2} & = 10 \cdot \dfrac{10^{8}}{x} \\ x^{3} & = 10^{9}\ \longrightarrow x=10^{3} \\ \hline y & = \dfrac{10^{8}}{x} \\ y & = \dfrac{10^{8}}{10^{3}}=10^{5} \end{align} $

Nilai $y-x$ adalah:
$\begin{align} y-x & = 10^{5}-10^{3} \\ & = 10^{3} \left( 10^{2}-1 \right) \\ & = 1.000 \left( 99 \right) \\ & = 99.000 \end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 99000$

12. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Diberikan segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle BAC=\alpha $. Titik $C_{1}$ merupakan titik sehingga $\bigtriangleup ACC_{1}$ siku-siku di $C$ dan $\angle CAC_{1}=\alpha $. Titik $C_{2}$ dipilih sehingga $\bigtriangleup AC_{1}C_{2}$ siku-siku di $C_{1}$ dan $\angle C_{1}AC_{2}=\alpha $, dan seterusnya. Panjang $AC_{1},\ AC_{2},\ AC_{3},\ \cdots$ , merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$. Nilai $\dfrac{a}{r}$ adalah...

Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 934

$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 7 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Pada segitiga siku-siku $ABC$ dapat kita peroleh $AC=5$, $\sin \alpha = \dfrac{BC}{AC}= \dfrac{3}{5}$, dan $\cos \alpha = \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{4}{5}$.


Pada segitiga siku-siku $ACC_{1}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \alpha & = \dfrac{AC}{AC_{1}} \\ \dfrac{4}{5} & = \dfrac{5}{AC_{1}}\ \longrightarrow AC_{1} = \dfrac{25}{4} \end{align}$


Pada segitiga siku-siku $AC_{1}C_{2}$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} \cos \alpha & = \dfrac{AC_{1}}{AC_{2}} \\ \dfrac{4}{5} & = \dfrac{\frac{25}{4}}{AC_{2}}\ \longrightarrow AC_{2} = \dfrac{125}{16} \end{align}$


Karena $AC_{1},\ AC_{2},\ AC_{3},\ \cdots$ , merupakan barisan geometri maka dapat kita peroleh $a=AC_{1}=\dfrac{25}{4}$ dan $r=\dfrac{AC_{2}}{AC_{1}}=\dfrac{\dfrac{125}{16}}{\dfrac{25}{4}}= \dfrac{125}{16} \cdot \dfrac{4}{25}=\dfrac{5}{4}$.
Sehingga nilai $\dfrac{a}{r}=\dfrac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{4}}= \dfrac{25}{4} \cdot \dfrac{4}{5} = 5 $.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 5$

13. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Pada sistem persamaan berikut
\begin{array} \text{x^{2}}+xy+xz=1 \\ y^{2} +yz+yx=6 \\ z^{2}+zx+zy=9 \end{array} Nilai $z$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{3}{2} \\ (D)\ & \frac{9}{4} \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Dari sistem persamaan dapat kita peroleh:
$\begin{align} x^{2} +xy+xz &= 1 \\ y^{2} +yz+yx &= 6 \\ z^{2}+zx+zy &= 9\ (+) \\ \hline x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 \left( xy+xz+yz \right) &= 16 \\ \left( x+y+z \right)^{2} &= 16 \\ x+y+z &= 4 \\ \hline z^{2}+zx+zy &= 9 \\ z \left( z+ x+ y \right) &= 9 \\ z \left( 4 \right) &= 9 \\ z &= \dfrac{9}{4} \end{align} $


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{9}{4}$

14. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $\sqrt{x^{2}-x+1} \leq \sqrt{x+1}$ adalah $\{x|x\ \text{bilangan real},\ a \leq x \leq b \}$, maka $a+b = \cdots$

$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu:

Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen nilainya.
$\begin{align}
\sqrt{x^{2}-x+1} &\leq \sqrt{x+1} \\ x^{2}-x+1 &\leq x+1 \\ x^{2}-x+1-x-1 & \leq 0 \\ x^{2}-2x & \leq 0 \\ (x)(x-2) &\leq 0 \\ x=0\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $0 \leq x \leq 2$.


Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-x+1}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x^{2}-x+1 & \geq 0 \\ \end{align}$
Karena $a \gt 0$ dan $D=b^{2}-4ac \lt 0$ maka $x^{2}-x+1$ definit positif yang artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real. Sehingga nilai $x$ yang memenuhi $x^{2}-x+1 \geq 0 $ adalah $ x \in \mathbb{R} $.


Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{x+1}$ mempunyai nilai real, maka:
$\begin{align}
x+1 & \geq 0 \\ x & \geq -1 \end{align}$


Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas merupakan himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Matematika Dasar Pertidaksamaan Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 934

Himpunan penyelesaian adalah $0 \leq x \leq 2$ sehingga $a=0$ dan $b=2$. Nilai $a+b=2$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

15. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Sebuah buku dibeli dengan harga $Rp 1.000,00$ dan dijual $Rp 1.100,00$. Sebuah pena dibeli dengan harga $Rp 1.500,00$ dan dijual $Rp 1.700,00$. Seorang pedagang yang memiliki modal $Rp 300.000,00$ dan tokonya dapat memuat paling banyak $250$ buku dan pena akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar...

$\begin{align} (A)\ & Rp30.000,00 \\ (B)\ & Rp40.000,00 \\ (C)\ & Rp50.000,00 \\ (D)\ & Rp60.000,00 \\ (E)\ & Rp70.000,00 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, kurang lebih menjadi seperti berikut ini;

Deskripsi Soal
Jenis barang Harga Banyak (*misalkan) Keuntungan
Buku $Rp1.000$ $x$ $Rp100$
Pena $Rp1.500$ $y$ $Rp500$
Ketersediaan $Rp300.000$ $250$ $\cdots$

Dari tabel di atas, dapat kita bentuk sistem pertidaksamaannya.
$ \begin{align}
1000x+1500y & \leq 300000 \\ 2x+ 3y & \leq 600 \\ x+ y & \leq 250 \\ x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \end{align} $


Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$ pada $ax+by \cdots c$.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
  • Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.

Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah;
Soal dan Pembahasan Program LInear UM UGM Tahun 2019 Kode 934

Untuk mendapatkan penjualan maksimum, salah satu caranya dapat dengan titik uji pada titik sudut daerah HP kepada fungsi tujuan $Z=100x+200y$.

  • $A\ (0,0)$ maka $Z=100(0)+200(0)=0$
  • $B\ \left( 250,0 \right)$ maka $Z=100(250)+200(0)=25.000$
  • $C\ \left( 150,100 \right)$ maka $Z=100(150)+200(100)=35.000$
    *Titik $(C)$ kita peroleh dengan mengelimiasi atau substitusi garis $(1)$ dan garis $(2)$
  • $D\ (0,200)$ maka $Z=100(0)+200(200)=40.000$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ Rp40.000,00$


16. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Diberikan barisan geometri tak konstan $a,\ b,\ c,\ \cdots$. Jika $abc=27$ dan $9a+b+c=33$ maka $6a+7b = \dots$

$\begin{align} (A)\ & 39 \\ (B)\ & 30 \\ (C)\ & 23 \\ (D)\ & 18 \\ (E)\ & 8 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Dari barisan geometri tidak konstan $a,\ b,\ c,\ \cdots$, $abc=27$ dan $9a+b+c=33$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} u_{2}^{2} & = u_{1} \cdot u_{3} \\ b^{2} & = a \cdot c \\ b^{2} \cdot b & = a \cdot c \cdot b \\ b^{3} & = 27\ \longrightarrow b=3 \\ ac & = 9\\ \hline 9a+b+c &= 33 \\ 9a+3+c &= 33 \\ c &= 30-9a \\ \hline ac & = 9 \\ a \left( 30-9a \right) & = 9 \\ 30a -9a^{2} - 9 & = 0 \\ 3a^{2} - 10a + 3 & = 0 \\ \left(3a - 1 \right) \left(a -3 \right) & = 0 \\ a=\frac{1}{3}\ \text{atau}\ a=3\ \text{(TM)} & \end{align}$

Untuk $a=\frac{1}{3}$ dan $b=3$ maka $6a+7b=2+21=23$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 23$

17. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Nilai $x$ yang merupakan penyelesaian dari $-2^{2x+1}+4^{x}+8^{x+\frac{1}{3}}-8^{\frac{2x-1}{3}}-16^{\frac{2x-1}{4}} \gt 0$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & -1 \leq x \lt 0 \\ (B)\ & x \gt 0 \\ (C)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 1 \\ (D)\ & 0 \leq x \lt 1 \\ (E)\ & x \gt 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran pertidaksamaan di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
-2^{2x+1}+4^{x}+8^{x+\frac{1}{3}}-8^{\frac{2x-1}{3}}-16^{\frac{2x-1}{4}} & \gt 0 \\ -1 \cdot 2^{2x} \cdot 2+2^{2x}+2^{3 \left( x+\frac{1}{3} \right)}-2^{3 \left( \frac{2x-1}{3} \right)}-2^{4\left( \frac{2x-1}{4} \right)} & \gt 0 \\ -2 \cdot 2^{2x} +2^{2x}+2^{3x+1}-2^{2x-1}-2^{ 2x-1} & \gt 0 \\ -1 \cdot 2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2 \cdot 2^{2x-1} & \gt 0 \\ -2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2^{2x-1+1} & \gt 0 \\ -2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2^{2x} & \gt 0 \\ -2 \cdot 2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 & \gt 0 \\ 2^{3x} \cdot 2 & \gt 2 \cdot 2^{2x} \\ 2^{3x} & \gt 2^{2x} \\ \hline 3x & \gt 2x \\ 3x-2x & \gt 0 \\ x & \gt 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \gt 0$

18. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Hasil penjumlahan semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $x^{4 \log x}=\dfrac{x^{12}}{10^{8}}$ adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 101 \\ (D)\ & 110 \\ (E)\ & 1100
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dengan menggunakan beberapa sifat logaritma dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{align}
x^{4 \log x} &= \dfrac{x^{12}}{10^{8}} \\ \log x^{4 \log x} &=\log \dfrac{x^{12}}{10^{8}} \\ 4 \log x \cdot \log x &=\log x^{12} - \log 10^{8} \\ 4 \left( \log x \right)^{2} &=12 \log x - 8 \\ 4 \left( \log x \right)^{2} - 12 \log x + 8 &= 0 \\ \left( \log x \right)^{2} - 3 \log x + 2 &= 0 \\ \left( \log x-1 \right) \left( \log x -2 \right)&= 0 \\ \hline \log x=1 & \longrightarrow x=10 \\ \log x=2 & \longrightarrow x=100 \\ \hline x_{1}+x_{2} &=110 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 110$

19. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}-(3a-5)x+3=0$ adalah tiga kali akar yang lain. Perkalian dari nilai-nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah...

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Show

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(3a-5)x+3=0$ yang salah satu akarnya tiga kali akar yang lain. Jika kita misalkan akar-akarnya $p$ dan $q$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align} pq &= \dfrac{c}{a} \\ p \cdot 3p &= \dfrac{3}{1} \\ 3p^{2} &= 3 \\ p^{2} &= 1 \longrightarrow p =\pm 1 \hline p+q &= -\dfrac{b}{a} \\ p+3p &= \dfrac{3a-5}{1} \\ 4p &= 3a-5 \\ 4 \left( \pm 1 \right) &= 3a-5 \\ \pm 4 +5 &= 3a \\ \hline 3a &= 4+5 \longrightarrow a = 3 \\ 3a &= -4+5 \longrightarrow a = \dfrac{1}{3} \end{align}$

Perkalian nilai $a$ yang mungkin adalah $3 \cdot \dfrac{1}{3} =1$.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1$

20. Soal Matematika Dasar UM UGM 2019 Kode 934

Grafik fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ mempunyai puncak di $(1,1)$ dan menyinggung garis $y=x+1$. Nilai $8a-4b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Show

Dari fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ dimana titik puncaknya $( 1,1)$ dan menyinggung garis $y=x+1$ dapat kita peroleh:

  • Titik puncaknya $( 1,1)$
    $\begin{align} x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\ 1 &= -\dfrac{b}{2a} \\ -2a &= b \\ \hline y_{p} &= -\dfrac{D}{4a} \\ 1 &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ -4a &= b^{2}-4ac \\ -4a &= (-2a)^{2}-4ac \\ -4a &= 4a^{2}-4ac \\ -1 &= a-c \end{align}$
  • Fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ menyinggung garis $y=x+1$ sehingga:
    $\begin{align} y &= y \\ ax^{2}+bx+c &= x+1 \\ ax^{2}+bx-x+c-1 &= 0 \\ ax^{2}+ \left(b -1 \right)x+c-1 &= 0 \\ \hline D &=0 \\ b^{2}-4ac & =0 \\ \left(b -1 \right)^{2}-4a\left(c -1 \right) & =0 \\ \left(-2a -1 \right)^{2}-4a\left( a \right) & =0 \\ 4a^{2}+4a+1-4a^{2} & =0 \\ 4a+1 & =0 \\ 4a & = -1\ \longrightarrow a=-\dfrac{1}{4} \\ \hline b & = -2a \\ b & = -2 \left( -\dfrac{1}{4} \right)= \dfrac{1}{2} \end{align}$
  • Nilai $8a-4b$ adalah $8\left( -\dfrac{1}{4} \right) -4\left( \dfrac{1}{2} \right)=-4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -4$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Pembahasan Soal TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 934 di atas beberapa adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 934 silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Soal dan Pembahasan TKDU Matematika Dasar UM UGM Tahun 2019 Kode 934" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih 🙏 support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar