Skip to main content

100+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar

Bank Soal Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar (*Soal dan Pembahasan)The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar. Catatan limit fungsi kita bagi dalam tiga catatan yaitu matematika dasar limit fungsi aljabar, matematika dasar limit fungsi trigonometri dan matematika dasar limit fungsi takhingga.

Penerapan Limit Fungsi Aljabar dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung, tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam matematika bagaimana kita bisa belajar Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan sampai kepada Integral Fungsi.

Bagaimana menggunakan aturan-aturan pada limit fungsi aljabar untuk menyelesaikan soal-soal yang berkembang bukan sesuatu yang sulit, jika kita mengikuti step by step penjabaran pada pembahasan soal dibawah ini, maka limit fungsi aljabarnya sedikit demi sedikit akan semakin kita pahami.

Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.

Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ kg$. Hasil $70,5\ kg$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang paling tepat tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ kg$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.

Beberapa contoh soal Limit Fungsi Aljabar untuk kita diskusikan, yang kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal UN (Ujian Nasional), Soal simulasi yang dilaksanakan oleh bimbingan belajar atau soal ujian sekolah yang dilaksanakan oleh satuan pendidikan.

Sedikit informasi tambahan yang mungkin tidak terlalu penting, kemarin siswa baru selesai penilaian harian tentang limit dan ada beberapa siswa yang mendapat nilai sempurna, sehingga sebagai kenang-kenangan hasil pekerjaan siswa kita photo dan ditampilkan sebagai photo dari artikel ini karena hasil sempurna.

Sebagai catatan sederhana tentang limit fungsi, yang mungkin kita pakai dalam menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri.

Berdasarkan definisi limit, Jika nilai Limit Kiri = Limit Kanan=L secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.

Nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$.

Dalam menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar, trigonometri atau limit menuju tak hingga, langkah awalnya adalah substitusi langsung. Setelah dilakukan substitusi diperoleh hasilnya bentuk tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, atau $\infty^{\infty}$ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya selama tidak menyalahi aturan-aturan dalam bermatematik.

Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar Dengan Pemfaktoran


Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan antara lain:
  • $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b) $
  • $ a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2}) $
  • $ a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$

Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar Dengan Mengalikan Akar Sekawan


Berikut beberapa bentuk akar sekawan dari beberapa fungsi:
  • $ \sqrt{x} + \sqrt{a} \, $ akar sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{a} $
  • $ a\sqrt{x} - b \sqrt{y} \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} + b \sqrt{y} $
  • $ a\sqrt{x} + b \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $

Teorema Limit Fungsi


Beberapa teorema limit fungsi yang dapat kita gunakan dalam menyelesaikan Masalah Limit Fungsi.
Andaikan $n$ bilangan bulat positif, $k$ konstanta, dan $f$ dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} c=c$
  • $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Aturan L'Hospital atau Menggunakan Turunan


Cara alternatif menyelesaikan limit fungsi adalah dengan Aturan L'Hospital atau pakai turunan fungsi. Cara ini dapat kita gunakan jika kita sudah mengenal atau belajar Turunan Fungsi, apabila belum mengenal atau belajar Fungsi Turunan maka menggunakan cara ini tidak dianjurkan.

Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{0}{0}$ dan $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ ada,
maka $ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)}= \dfrac{f^{\prime} (a)}{g^{\prime} (a)}$


Suatu fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$


Definisi di atas menjelaskan bahwa sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:
  • $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Jika salah satu saja dari syarat di atas tidak dipenuhi, Maka $f$ dikatakan tidak kontinu di $x=a$.

Mari kita diskusikan beberapa soal Limit Fungsi aljabar yang sudah pernah diujikan pada Ujian Sekolah, Ujian Nasional, Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri😊

1. Soal UNBK Matematika SMA IPA 2018 |*Soal Lengkap

Diketahui
$f(x)=\begin{cases}3x-p,\ x\leq 2 \\ 2x+1,\ x \gt 2 \end{cases}$
Agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai, maka $p=...$

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Berdasarkan definisi limit, agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai maka Limit Kiri = Limit Kanan secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{-}}f(x)=L$

Limit kanan $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{+}}(2x+1)=2(2)+1=5$

Limit kiri $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{-}}(3x-p)=3(2)-p=6-p$

Berdasarkan definisi agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai yaitu Limit Kiri = Limit Kanan maka:
$6-p=5$
$6-5=p$
$p=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

Sebagai tambahan yang masih kesulitan memahami definisi limit silahkan di simak lewat video di Definisi Limit Fungsi

2. Soal UN Matematika SMA IPS 2018 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-3x+2}{x-1} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita kerjakan langsung dengan substitusi,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-3x+2}{x-1} \\ & = \dfrac{2^{2}-3(2)+2}{2-1} \\ & = \dfrac{4-6+2}{2-1} \\ & = \dfrac{ 0 }{1}= 0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

3. Soal UN Matematika SMA IPS 2018 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x^{2}-x-6}{3x^{2}-5x-2} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{5} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x^{2}-x-6}{3x^{2}-5x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 2x+3 \right)\left( x-2 \right)}{\left( 3x+1 \right)\left( x-2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 2x+3 \right)}{\left( 3x+1 \right)} \\ & = \dfrac{2(2)+3 }{3(2)+1}=\dfrac{7}{7}=1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x^{2}-x-6}{3x^{2}-5x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4x-1}{6x-5} \\ & = \dfrac{4(2)-1}{6(2)-5} = \dfrac{7}{7}=1
\end{align} $

4. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{2x^{2}-7x+3} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{5}{6} \\ (C)\ & \dfrac{6}{7} \\ (D)\ & \dfrac{7}{6} \\ (E)\ & \dfrac{6}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{2x^{2}-7x+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{(x+3)(x-3)}{(2x-1)(x-3)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{(x+3) }{(2x-1) } \\ & = \dfrac{(3+3) }{(2(3)-1) } = \dfrac{6}{5}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{5}$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x-0}{4x-7+0} \\ & = \dfrac{2(3)-0}{4(3)-7+0} = \dfrac{6}{5}
\end{align} $

5. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 1995 |*Soal Lengkap

Nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( x \right) \left( 6x^{4}-4 \right)}{\left( x \right) \left( 2x^{3}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( 6x^{4}-4 \right)}{\left( 2x^{3}+1 \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 6(0)^{4}-4 \right)}{\left( 2(0)^{3}+1 \right)} \\ & = \dfrac{ -4 }{1}=-4
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{30x^{4}-4}{8x^{3}+1} \\ & = \dfrac{30(0)^{4}-4}{8(0)^{3}+1} \\ & = \dfrac{-4}{1}=-4
\end{align} $

6. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 1996 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-x-20}{x-5} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-x-20}{x-5} \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x-5 \right) \left( x+4 \right)}{\left( x-5 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( 1 \right)} \\ & = \dfrac{ 5+4 }{1}=9
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 9$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-x-20}{x-5} \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x-1}{1} \\ & = \dfrac{2(5)-1}{1} = 9
\end{align} $

7. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 1997 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{x^{2}+x-12} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & \dfrac{3}{7} \\ (D)\ & \dfrac{1}{7} \\ (E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{x^{2}+x-12} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)}{ \left( x+4 \right)\left( x-3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( 1 \right)}{\left( x+4 \right)} \\ & = \dfrac{ 1 }{3+4}=\dfrac{ 1 }{7}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{7}$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{x^{2}+x-12} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{2x+1} \\ & = \dfrac{1}{2(3)+1} = \dfrac{1}{7}
\end{align} $

8. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 1998 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-x-2} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)}{ \left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( x+1 \right)} \\ & = \dfrac{ 2+4 }{2+1}=\dfrac{ 6 }{3}=2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x+2}{2x-1} \\ & = \dfrac{2(2)+2}{2(2)-1} = \dfrac{6}{3}=2
\end{align} $

9. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 1999 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-2 \right)^{2}-1}{x-3} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-2 \right)^{2}-1}{x-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-4x+4-1}{x-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-4x+3}{x-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)}{ \left( x-3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-1 \right)}{\left( 1 \right)} \\ & = \dfrac{ 3-1 }{1}=2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-2 \right)^{2}-1}{x-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2\left( x-2 \right)(1)}{1} \\ & = \dfrac{2\left( 3-2 \right)(1)}{1}=2
\end{align} $

10. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 2000 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}+4x-12} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \infty \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{3}{4} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}+4x-12} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)}{ \left( x+6 \right)\left( x-2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( x+6 \right)} \\ & = \dfrac{ 2+4 }{2+6}=\dfrac{ 6 }{8}=\dfrac{ 3 }{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{4}$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}+4x-12} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x+2}{2x+4} \\ & = \dfrac{2(2)+2}{2(2)+4} = \dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}
\end{align} $

11. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 2002 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{8} \\ (C)\ & \dfrac{1}{8} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{5}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}{ \left( x+2 \right)\left( x-2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x-3 \right)}{\left( x+2 \right)} \\ & = \dfrac{ 2-3 }{2+2}=\dfrac{ -1 }{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{4}$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x-5}{2x} \\ & = \dfrac{2(2)-5}{2(2)} = \dfrac{-1}{4}
\end{align} $

12. Soal UN Matematika SMA IPS 2017 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2 \left( x+1 \right)\left( x-3 \right)}{ \left( x+1 \right)\left( x-3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2 \left( x+1 \right)}{ \left( x+1 \right)} \\ & = \dfrac{ 2(3+1) }{3+1}=2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{4x-4}{2x-2} \\ & = \dfrac{4(3)-4}{2(3)-2}=\dfrac{8}{4}=2
\end{align} $

13. Soal UN Matematika SMA IPS 2015 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x-4 \right)}{ \left( x-4 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( 1 \right)} \\ & = \dfrac{ 4+4 }{1}=8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2x}{1} \\ & = \dfrac{2(4)}{1} = 8
\end{align} $

14. Soal UN Matematika SMA IPS 2014 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & \dfrac{7}{8} \\ (D)\ & \dfrac{3}{2} \\ (E)\ & \dfrac{7}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} \\ & = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)}{ \left( 2 \right)\left( x+4 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{ \left( x+3 \right)}{\left( 2 \right)} \\ & = \dfrac{ -4+3 }{2}=\dfrac{ -1 }{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} \\ & = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{2x+7}{2} \\ & = \dfrac{2(-4)+7}{2} = \dfrac{-1}{2}
\end{align} $

15. Soal UN Matematika SMA IPA 2008 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 32 \\ (B)\ & 16 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}{x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x\ \left( x+2 \right)}{1} \\ & = \dfrac{2\left( 2+2 \right)}{1}=8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3x^{2}-4}{1} \\ & = \dfrac{3(2)^{2}-4}{1} = 8
\end{align} $

16. Soal UN Matematika SMA IPA 2010 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^{2}-4} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^{2}-4} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{\left( 2x^{2}-8 \right)-\left( 8x-16 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x^{2}-4 \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2x^{2}-8x+8}{\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{\left( x+2 \right)} \right) \\ & = \dfrac{2}{\left( 2+2 \right)}=\dfrac{2}{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$

17. Soal UN Matematika SMA IPA 2007 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 2\frac{1}{2} \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x-1 \right)\left( x-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x-4 \right)}{ \left( x^{2}+x+1 \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 1-4 \right)}{ \left( (1)^{2}+(1)+1 \right)} \\ & = \dfrac{-3}{3} =-1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -1$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2x-5}{3x^{2}} \\
& = \dfrac{2(1)-5}{3(1)^{2}} = \dfrac{-3}{3}=-1
\end{align} $

18. Soal UAN Matematika SMA IPA 2004 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x^{2}-4}-\dfrac{3}{x^{2}+2x-8} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{7}{12} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (C)\ & -\dfrac{1}{12} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{24} \\ (E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x^{2}-4}-\dfrac{3}{x^{2}+2x-8} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{\left( 2x^{2}+4x-16 \right)-\left( 3x^{2}-12 \right)}{\left( x^{2}+2x-8 \right)\left( x^{2}-4 \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-x^{2}+4x-4}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-1}{\left( x+2 \right) \left( x+4 \right)} \right) \\ & = \dfrac{-1}{\left( 2+2 \right) \left( 2+4 \right)}=\dfrac{-1}{24}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{24}$

19. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-8}{x^{2}+x-6} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{4} \\ (B)\ & \dfrac{2}{15} \\ (C)\ & 1 \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & 2 \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-8}{x^{2}+x-6} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x^{2}+2x+4 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x^{2}+2x+4 \right)}{\left( x+3 \right)} \\ & = \dfrac{ (2)^{2}+2(2)+4}{2+3} = \dfrac{ 12}{5} \end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2 \dfrac{2}{5}$


WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-8}{x^{2}+x-6} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3x^{2}-0}{2x+1-0} \\ & = \dfrac{3(2)^{2}-0}{2(2)+1-0} = \dfrac{ 12}{5} \end{align} $

20. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{1-x}-\dfrac{2}{x-x^{3}} \right)=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{2}{3} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{1-x}-\dfrac{2}{x-x^{3}} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{1-x}-\dfrac{2}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{\left( x \right)\left( 1+x \right)-2}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{x^{2}+x-2}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ -\left( x+2 \right)\left( 1-x \right)}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ -\left( x+2 \right)}{\left( x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \dfrac{-\left( (1)+2 \right)}{\left( 1 \right)\left( 1+(1) \right)} \\ & = \dfrac{-3}{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{3}{2}$


21. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27}=-\dfrac{1}{3^{5}}$, nilai $a+b$ untuk $a$ dan $b$ bulat positif adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit di atas sehingga hasilnya seperti yang diharapkan, kita coba dengan menggunakan turunan. Kita anggap pada turunan pertama nilai limit untuk $x \to -3$ hasilnya adalah $-\dfrac{1}{3^{5}}$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{a}x^{-1}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-\frac{1}{ax^{2}}}{3bx^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3bx^{2} \cdot ax^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3abx^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ -\dfrac{1}{3ab(-3)^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ -\dfrac{1}{ ab3^{5}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ ab & = 1
\end{align}$
Untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $ab=1$ adalah $a=1$ dan $b=1$, maka $a+b=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$

22. Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)=5x^{2}+3$. Hasil dari $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 10x \\
(E)\ & 5x^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari informasi pada soal, yang ditanyakan adalah $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dari sebuah fungsi $f(x)$. Jika kita teliti dalam membaca soal bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan fungsi $f(x)$.
Definisi turunan fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
$ \begin{align}
f(x) &=5x^{2}+3 \\ f'(x) &=10x
\end{align}$

Tetapi jika ingin mengerjakannya dengan proses limit fungsi,
$\begin{align}
& \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5(x+h)^{2}+3 -\left( 5x^{2}+3 \right)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 \left(x^{2}+2hx+h^{2} \right) +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 x^{2}+10hx+5h^{2} +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ +10hx+5h^{2}}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \left( +10 x+5h \right) \\
& = 10 x+5(0) \\ & = 10x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10x$

23. Soal UMB PTN 2008 Kode 270 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4t^{4}+4t-72}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{11}{4} \\ (B)\ & \dfrac{11}{3} \\ (C)\ & 11 \\ (D)\ & 22 \\ (E)\ & 33
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4t^{4}+4t-72}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4\left( t-2 \right)\left( t^{3}+2t^{2}+4t+9 \right)}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4 \left( t^{3}+2t^{2}+4t+9 \right)}{ \left( t^{2}+3t+2 \right)} \\ & = \dfrac{4 \left( (2)^{3}+2(2)^{2}+4(2)+9 \right)}{ (2)^{2}+3(2)+2} \\ & = \dfrac{4 \left( 33 \right)}{ 12} = 11
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 11$


WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4t^{4}+4t-72}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{16t^{3}+4}{\left( 1 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)+\left( t-2 \right)\left( 2t+3 \right)} \\ & = \dfrac{16(2)^{3}+4}{\left( 1 \right)\left( (2)^{2}+3(2)+2 \right)+\left( 2-2 \right)\left( 2(2)+3 \right)} \\ & = \dfrac{16 \cdot 8 +4}{12} = \dfrac{4 (4 \cdot 8) +1}{12} = 11
\end{align} $

24. Soal UM UGM 2010 Kode 461 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{x^{2}-x-2}-\dfrac{2}{x-2} \right)$ sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & -\dfrac{2}{3} \\ (C)\ & -\dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{x^{2}-x-2}-\dfrac{2}{x-2} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}-\dfrac{2}{x-2} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}-\dfrac{2\left( x+1 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6-2\left( x+1 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right)\\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{4-2x}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-2\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right)\\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-2 }{ \left( x+1 \right)} \right)\\ & = \dfrac{-2 }{ \left( 2+1 \right)} = \dfrac{-2}{3}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{2}{3}$

25. Soal SIMAK UI 2011 Kode 213 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)-3g(x) \right)=2$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( 3f(x)+g(x) \right)=1$ maka $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x) \cdot g(x) \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari persamaan $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)-3g(x) \right)=2$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( 3f(x)+g(x) \right)=1$ dengan teorema limit dapat kita ubah betuknya menjadi:
$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)-3g(x) \right) &=2 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x)-3\ \lim\limits_{x \to a} g(x) &=2 \\ \hline
\lim\limits_{x \to a} \left( 3f(x)+g(x) \right) &=1 \\ 3\ \lim\limits_{x \to a} f(x)+ \lim\limits_{x \to a} g(x) &=1
\end{align} $

Jika kita misalkan $\lim\limits_{x \to a} f(x)=m$ dan $\lim\limits_{x \to a} f(x)=n$, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m-3n=2 & (\times 3) \\ 3m+ n =1 & (\times 1) \\ \hline
3m - 9n =6 & \\ 3m + n =1 \ \ \ (-)& \\ \hline
-10n = 5 & \\ n = -\dfrac{1}{2} & \lim\limits_{x \to a} g(x)=-\dfrac{1}{2} \\ m = \dfrac{1}{2} & \lim\limits_{x \to a} f(x) = \dfrac{1}{2} \\ \end{array} $

$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to a} \left( f(x) \cdot g(x) \right) & = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x) \\ & = \left( -\dfrac{1}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ & = -\dfrac{1}{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{4}$

26. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 |*Soal Lengkap

Jika $a$ dan $b$ adalah dua bilangan real dengan $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -35 \\ (B)\ & -30 \\ (C)\ & -15 \\ (D)\ & -3 \\ (E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $x^{2}+2ax+b$ harus $0$, karena jika $x^{2}+2ax+b$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

Karena nilai $x^{2}+2ax+b$ untuk $x=2$ adalah $0$ maka $x-2$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
x^{2}+2ax+b & \equiv (x-2)(mx+n) \\ x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+nx-2mx-2n \\ x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+(n-2m)x-2n \\ \hline
\therefore & 1 = m \\ \therefore & 2a = n-2m=n-2 \\ \therefore & b = -2n
\end{align}$

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+n)}{x-2} & =-3 \\ \lim\limits_{x \to 2} (x+n) & =-3 \\ 2+n & =-3 \\ n &= -3-2 \\ n &= -5
\end{align}$

Untuk $n=-5$ maka $b=10$ dan $a=-\dfrac{7}{2}$

Nilai $ab=-\dfrac{7}{2} \cdot 10 = -35$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -35$

27. Soal SBMPTN 2016 Kode 333 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=x^{2}+ax+b$ dengan $f(1)=0$ dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)}{x-1}=2$, maka $b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Diketahui $f(1)=0$ dan $f(x)=x^{2}+ax+b$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} f(1)\ & = 1^{2}+a(1)+b \\ 0\ & = 1+a +b \\ -1\ & = a +b \end{align}$


Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)}{x-1}=2$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ harus $0$, karena jika $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.


Nilai $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ untuk $x=1$ adalah $0$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
f \left( x+1 \right)-f \left( x \right) & =0 \\ f \left( 1+1 \right)-f \left( 1 \right) & =0 \\ f \left( 2 \right)- 0 & =0 \\ 2^{2}+a(2)+b & =0 \\ 4+2a+b & =0 \\ \hline 2a+b & = -4 \\ a +b & = -1\ (-) \\ \hline a & = -3 \\ b & = 2 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

28. Soal SBMPTN 2016 Kode 353 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=x^{2}+ax+b$ dengan $f(2)=0$ dan $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)}{x-2}=2$, maka $b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Diketahui $f(2)=0$ dan $f(x)=x^{2}+ax+b$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} f(2)\ & = 2^{2}+a(2)+b \\ 0\ & = 4+2a +b \\ -4\ & = 2a +b \end{align}$


Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)}{x-1}=2$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ harus $0$. Karena jika $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.


Karena nilai $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ untuk $x=2$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
f \left( x+1 \right)-f \left( x \right) & =0 \\ f \left( 2+1 \right)-f \left( 2 \right) & =0 \\ f \left( 3 \right)- 0 & =0 \\ 3^{2}+a(3)+b & =0 \\ 9+3a+b & =0 \\ \hline 3a+b & = -9 \\ 2a +b & = -4\ (-)\\ \hline a & = -5 \\ b & = 6 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$

29. Soal SBMPTN 2016 Kode 321 |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)=x^{2}+ax+b$ dengan $f \left( b+1 \right)=0$ dan $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ f \left( x+b \right)}{x}=-1$, maka $a+2b=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Diketahui $f(b+1)=0$ dan $f(x)=x^{2}+ax+b$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align} f \left( b+1 \right)\ & = \left( b+1 \right)^{2}+a\left( b+1 \right)+b \\ 0\ & = b^{2}+2b+1+ab+a+b \\ 0\ & = b^{2}+3b+ab+a+1 \end{align}$


Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ f \left( x+b \right)}{x}=-1$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $f \left( 0+b \right)$ harus $0$. Karena jika $f \left( 0+b \right)$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.


Karena nilai $f \left(b \right)$ untuk $x=0$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align} f(x) & = x^{2}+ax+b \\ f(b) & = (b)^{2}+a(b)+b \\ 0 & = b^{2}+ab+b \\ \hline 0\ & = b^{2}+2b+ab+a+b+1 \\ 0\ & = b^{2}+ab+b+2b+a+1 \\ 0\ & = 0+2b+a+1 \\ -1\ & = 2b+a \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -1$

30. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 |*Soal Lengkap

Jika $a$ dan $b$ adalah dua bilangan real dengan $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka $ab=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -35 \\ (B)\ & -30 \\ (C)\ & -15 \\ (D)\ & -3 \\ (E)\ & -1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $x^{2}+2ax+b$ harus $0$, karena jika $x^{2}+2ax+b$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.


Karena nilai $x^{2}+2ax+b$ untuk $x=2$ adalh $0$ maka $x-2$ adalah salah satu faktornya sehingga $x^{2}+2ax+b \equiv (x-2)( x+n)$, dan dapat kita tuliskan;
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x^{2}+2ax+b}{x-2} &=-3 \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x-2)( x+n)}{x-2} &=-3 \\ \lim\limits_{x \to 2} \left( x+n \right) &=-3 \\ 2+n &=-3 \\ n &=-5 \end{align}$


Untuk $n=-5$, kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+2ax+b &= \equiv (x-2)( x+n) \\ x^{2}+2ax+b &= \equiv (x-2)( x-5) \\ x^{2}+2ax+b &= \equiv x^{2}-7x+10 \\ \hline 2a &=-7 \\ b &=10 \\ ab &= -35 \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -35$

31. Soal SBMPTN 2017 Kode 226|*Soal Lengkap

Jika kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=-4$ maka $\dfrac{b+c}{a}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ maka nilai $c=1$ sehingga $f(x)=ax^{2}+bx+1$.

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $ax^{2}+bx+1$ harus $0$, karena jika $ax^{2}+bx+1$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

Karena nilai $ax^{2}+bx+1$ untuk $x=1$ adalh $0$ maka $x-1$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx+1 & \equiv (x-1)(mx+n) \\ ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+nx-mx-n \\ ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+(n-m)x-n \\ -1 &= n \\ b &= n-m \\ b &= -1-m \\ a &= m
\end{align}$

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(mx+n)}{x-1} & =-4 \\ \lim\limits_{x \to 1} (mx+n) & =-4 \\ \lim\limits_{x \to 1} (mx-1) & =-4 \\ m-1 & =-4 \\ m &= -4+1 \\ m &=-3
\end{align}$

Untuk $m=-3$ nilai $a=-3$, $b=2$ dan $c=1$, maka $\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{2+1}{-3}=-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$

32. Soal UMPTN 1998 (Rayon C) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2n}- x}{1-x}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 2n-1 \\ (B)\ & 1-2n \\ (C)\ & 2n \\ (D)\ & 2n-2 \\ (E)\ & 2n+2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $a^{n}-b^{n}=\left(a-b \right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+ \cdots + ab^{n-2}+b^{n-1} \right)$ Untuk $n$ bilangan Asli

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2n}- x}{1-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x\left( x^{2n-1}- 1 \right)}{-\left( x -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x \left( x^{2n-1}- 1^{2n-1} \right) }{-\left( x -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x \left(x-1 \right)\left(x^{2n-1-1}+x^{2n-1-2}(1)+ \cdots + (x)(1)^{2n-1-2}+(1)^{2n-1-1} \right) }{-\left( x -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x \left(x-1 \right)\left(x^{2n-2}+x^{2n-3} + \cdots + x+1 \right) }{-\left( x -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x \left(x^{2n-2}+x^{2n-3} + \cdots + x+1 \right) }{-1} \\ & = -(1) \left( 2n-2 +1 \right) \\ & = -(1) \left( 2n-1 \right) \\ & = -2n+1 \end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1-2n$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2n}- x}{1-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2nx^{2n-1}- 1}{0-1} \\ & = \dfrac{2n(1)^{2n-1}- 1}{-1} \\ & = \dfrac{2n- 1}{-1}=-2n+1 \end{align} $

33. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap

Jika $\left| f(x)-2 \right| \leq x+3$, maka nilai $\lim\limits_{x \to -3}f(x)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak Himpunan penyelesaian dari $\left| f(x) \right| \leq a$ adalah $-a \leq f(x) \leq a$. Sehingga jika kita terapkan pada fungsi soal, kita akan peroleh:


\begin{align} \left| f(x)-2 \right| & \leq x+3 \\ -(x+3) \leq f(x) & -2 \leq (x+3) \\ - x-3+2 \leq f(x) & \leq x+3+2 \\ - x-1 \leq f(x) & \leq x+5 \\ \lim\limits_{x \to -3} \left(-x-1 \right) \leq \lim\limits_{x \to -3} & f(x) \leq \lim\limits_{x \to -3}\left( x+5 \right) \\ -(-3)-1 \leq \lim\limits_{x \to -3} & f(x) \leq -3+5 \\ 2 \leq \lim\limits_{x \to -3} & f(x) \leq 2 \end{align}


$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

34. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap

Jika $p \gt 0$ dan $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12$, maka nilai $p-q$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 14 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=p$ maka nilai $x^{3}+px^{2}+qx$ harus $0$, karena jika $x^{3}+px^{2}+qx$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.


Karena nilai $x^{3}+px^{2}+qx$ untuk $x=p$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
(p)^{3}+p(p)^{2}+q(p) &= 0 \\ 2p^{3} + pq &= 0 \\ 2p^{2} + q &= 0 \\ q &= 2p^{2} \\ \end{align}$


$x-p$ adalah salah satu faktor $x^{3}+px^{2}+qx$ sehingga dapat kita tuliskan;
$\begin{align}
x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+bx+c) \\ x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+bx^{2}+cx-px^{2}-bpx-pc \\ x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+ \left( b-p \right)x^{2}+\left( c-bp \right)x-pc \\ \hline -pc=0 & \rightarrow c=0 \\ b-p=p & \rightarrow b=2p \\ \hline x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+2px) \\ \end{align}$


Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx }{x-p} &=12 \\ \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ (x-p)( x^{2}+2px) }{x-p} &=12 \\ \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ ( x^{2}+2px) }{1} &=12 \\ (p)^{2}+2p(p) &=12 \\ 3p^{2} &=12 \\ p^{2} &= 4 \rightarrow p=2 \\ \hline q &= -2p^{2} \rightarrow q=-8 \end{align}$
Nilai $p-q$ adalah $2-(-8)=10$

Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 10$

35. Soal UN Matematika SMA IPA 2011 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{x-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( \sqrt{x}+2 \right)}{1} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt{4}+2 \right)}{1}=4
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

36. Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -\dfrac{3}{2} \\ (E)\ & -6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{17-2x^{2}}}{3+\sqrt{17-2x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{9-\left( 17-2x^{2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2x^{2}-8} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2(x-2)(x+2)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2 (x+2)} \\ & = \dfrac{ (2-4)\left( 3+\sqrt{17-2(2)^{2}} \right)}{ 2 (2+2)} \\ & = \dfrac{ (-2)\left( 3+3 \right)}{8} \\ & = -\dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{3}{2}$

37. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 1999 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x-2}{\sqrt{x+7}-3}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -\dfrac{2}{3} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x-2}{\sqrt{x+7}-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x-2}{\sqrt{x+7}-3} \cdot \dfrac{\sqrt{x+7}+3}{\sqrt{x+7}+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x-2 \right)\left( \sqrt{x+7}+3 \right)}{ x+7 +9} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x-2 \right)\left( \sqrt{x+7}+3 \right)}{ x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( \sqrt{x+7}+3 \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ \left( \sqrt{2+7}+3 \right)}{ 1 }=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 6$

38. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{ \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{x - 3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{1} \\ & = \dfrac{ \left( \sqrt{3}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{3}+\sqrt{3} \right)}{1} \\ & = \left( 2\sqrt{3} \right)\left( 2\sqrt{3} \right)=12
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12$

39. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{64} \\ (B)\ & \dfrac{1}{128} \\ (C)\ & \dfrac{1}{256} \\ (D)\ & \dfrac{1}{512} \\ (E)\ & \dfrac{1}{1024}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

Untuk menyelesaikan soal limit diatas, kita coba dengan memisalkan $\sqrt{x}=p$ sehingga $x^{2}=p^{4}$ dan karena $x \to 4$ maka $p \to 2$, perubahan pada soal menjadi;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16} \\ & = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\ & = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\ & = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \times \dfrac{p+\sqrt{3p-2}}{p+\sqrt{3p-2}} \\ & = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p^{2}-(3p-2)}{\left (p^{2}-4 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\ & = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{(p-2)(p-1)}{\left (p-2 \right )\left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\ & = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{ (p-1)}{ \left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\ & = \dfrac{ (2-1)}{ \left (2+2 \right )\left (2^{2}+4 \right )\left (2+\sqrt{3(2)-2} \right )} \\ & = \dfrac{1}{ \left (4 \right )\left (8 \right )\left (4 \right )} = \dfrac{1}{128}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{128}$

40. Soal UN Matematika SMA IPA 2003 |*Soal Lengkap - Soal UMB PTN 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap

$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{9-\left( x^{2}+5 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{4- x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\ & = 3+\sqrt{2^{2}+5} \\ & = 3+\sqrt{9}=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$


41. Soal UN Matematika SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-x-6}{\sqrt{3x^{2}-2}-5}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{25}{9} \\ (C)\ & \dfrac{25}{6} \\ (D)\ & \dfrac{25}{3} \\ (E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-x-6}{\sqrt{3x^{2}-2}-5} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{\sqrt{3x^{2}-2}-5} \cdot \dfrac{\sqrt{3x^{2}-2}+5}{\sqrt{3x^{2}-2}+5}\\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3x^{2}-2 -25} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x^{2}-9 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x-3 \right)\left( x+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x+3 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 3+2 \right)\left( \sqrt{3(3)^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( 3+3 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 5 \right)\left( \sqrt{27-2}+5 \right)}{18} \\ & = \dfrac{\left( 5 \right)\left( 10 \right)}{18} \\ & = \dfrac{25}{9}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{25}{9}$

42. Soal UN Matematika SMA IPA 2006 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{8} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{8} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6} \cdot \dfrac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4}}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\left( 3x-2 \right)-\left( 2x+4 \right)}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{x-6}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left(\sqrt{3(6)-2}+\sqrt{2(6)+4} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left(\sqrt{16}+\sqrt{16} \right)} = \dfrac{1}{8}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{8}$

43. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 2000 |*Soal Lengkap

$ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}} \times \dfrac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{1-\left( 1+x^{2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{ x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ \left( 1+\sqrt{1+0} \right)}{ 1 } = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2$

44. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 1995 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 0 \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x+2\right)-\left(3x-2\right)}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-2x}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 }{\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \dfrac{-2 }{\left( \sqrt{2+2}+\sqrt{3(2)-2} \right)} \\ & = \dfrac{-2}{2+2}= -\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{1}{2}$

45. Soal UMB PTN 2014 Kode 672 |*Soal Lengkap

$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \times \dfrac{x+1+\sqrt{2x+5}}{x+1+\sqrt{2x+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{(x+1)^{2}-(2x+5)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-2x+1- 2x-5 } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-4 } \times \dfrac{\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) }{ \left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (9- 2x-5 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left (x-2 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 \left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \dfrac{-2 \left( 2+1+\sqrt{2(2)+5 } \right )}{ (2+2)\left (3+\sqrt{2(2)+5} \right ) } \\ & = \dfrac{-2 \left( 3+3 \right)}{(2+2) \left( 3+3 \right)}=-\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

46. Soal UM UNDIP 2009 Kode 192 |*Soal Lengkap - Soal SPM UNNES 2009 Kode 9763 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$, maka $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$ maka:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} f(x) & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x}}-1}{\dfrac{x}{\sqrt{x}}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \\ & = \dfrac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{0}+1} \\ & = \dfrac{-1}{1}=-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -1$

47. Soal UMB PTN 2013 Kode 172 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \times \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ x^{2}+5-9} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x-2)(x+2)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x+2)} \\ & = \dfrac{2 \left( \sqrt{2^{2}+5}+3 \right)}{ (2+2)} \\ & = \dfrac{2 \left( 3+3 \right)}{ 4}= 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

48. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal Lengkap

Jika $a=\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}}$ maka nilai $4-a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\ (B)\ & -12 \\ (C)\ & -4 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
a & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{2-\sqrt{x+2}} \times \dfrac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{4-(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-1} \\
& = \dfrac{ (2+2) \left( 2+\sqrt{2+2} \right)}{-1} \\
& = -16 \\
4-a & = 4-(-16)=20
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 20$

49. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}+x\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}+x\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)}{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{x-2}\\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)^{2}}{1} \\ & = \left( 2\sqrt{2} \right)^{2} = 8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$

50. Soal SPMB 2005 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5x^{2}+x}{\sqrt{4+x} - 2} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5x^{2}+x}{\sqrt{4+x} - 2} \cdot \dfrac{\sqrt{4+x} - 2}{\sqrt{4+x} + 2} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ 4+x - 4} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ x } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ \left(5(0) +1 \right) \left( \sqrt{4+0} + 2 \right)}{ 1 } \\ & = \left( 1 \right)\left( 2 \right) = 2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$


51. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{ 9- \left( x^{2}+5 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{ 4- x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\ & = 3+\sqrt{(2)^{2}+5} = 3+\sqrt{9} = 6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$

52. Soal SIMAK UI 2010 Kode 506 |*Soal Lengkap

Untuk $t \gt 0$ maka $\lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\sqrt{t}} \right)\left( \sqrt{t+1}-1 \right)=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -\infty \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \infty \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\sqrt{t}} \right)\left( \sqrt{t+1}-1 \right) \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{1}{t}+\dfrac{\sqrt{t}}{t} \right)\left( \sqrt{t+1}-1 \right) \times \dfrac{\sqrt{t+1}+1}{\sqrt{t+1}+1} \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{t}+1}{t} \right)\left( \dfrac{t+1-1}{\sqrt{t+1}+1} \right) \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{t}+1}{t} \right)\left( \dfrac{t}{\sqrt{t+1}+1} \right) \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{t}+1}{\sqrt{t+1}+1} \right) \\ & = \dfrac{\sqrt{0}+1}{\sqrt{0+1}+1} \\ & = \dfrac{1}{2} \end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}$

53. Soal UM UGM 2004 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{9-x^{2}}{4-\sqrt{x^{2}+7}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{9-x^{2}}{4-\sqrt{x^{2}+7}} \cdot \dfrac{4+\sqrt{x^{2}+7}}{4+\sqrt{x^{2}+7}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( 9-x^{2} \right) \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right) }{ 16- \left( x^{2}+7 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( 9-x^{2} \right) \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right)}{ 9- x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right)}{1} \\ & = 4+\sqrt{(3)^{2}+7} = 4+\sqrt{16} = 8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$

54. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to q} \dfrac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3\sqrt{q} \\ (B)\ & \sqrt{q} \\ (C)\ & q \\ (D)\ & q\sqrt{q} \\ (E)\ & 3q
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{q}}{\sqrt{x}+\sqrt{q}} \\ & = \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x^{2}+x\sqrt{qx}-q\sqrt{qx}-q^{2}}{x-q} \\ &= \lim\limits_{x \to q} \dfrac{\left ( x-q \right )\left ( x+q \right )+\sqrt{qx}\left ( x-q \right )}{x-q} \\ &= \lim\limits_{x \to q} \dfrac{ \left ( x+q \right )+\sqrt{qx} }{1} \\ &= \dfrac{ \left ( q+q \right )+\sqrt{q(q)} }{1} \\ &= 2q+ q =3q
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3q$

55. Soal UM UGM 2006 Kode 372 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)= \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x^{2}+3}}$, maka $\lim\limits_{x \to 1}\ f(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to 1}\ f(x) & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x^{2}+3}} \cdot \dfrac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{2+\sqrt{x^{2}+3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ 4- \left( x^{2}+3 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ 1-x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ \left( 1-x \right)\left( 1+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 2+\sqrt{x^{2}+3} }{ 1+x } \\ & = \dfrac{ 2+\sqrt{(1)^{2}+3} }{ 1+(1) } \\ & = \dfrac{ 2+2}{2}=2 \\ \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

56. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 14 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 2\sqrt{q} \\ (D)\ & \sqrt{7} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{7}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}+\sqrt{7}} \\ & = \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right) \left( \sqrt{x}+\sqrt{7} \right)}{x-7} \\ & = \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left( \sqrt{x}+\sqrt{7} \right)}{1} \\ & = \dfrac{\sqrt{7} \left( \sqrt{7}+\sqrt{7} \right)}{1} \\ &= \sqrt{7} \left( 2\sqrt{7} \right) = 14
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 14$

57. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\ (B)\ & -10 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}} \cdot \dfrac{5+\sqrt{x^{2}+9}}{5+\sqrt{x^{2}+9}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x^{2}-16 \right) \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 25- \left( x^{2} +9 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x^{2}-16 \right) \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 16- x^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ - \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ - \left( 5+\sqrt{(4)^{2}+9} \right)}{ 1 } \\ & = - \left( 5+\sqrt{25} \right) = -10 \end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10$

58. Soal SPMB 2007 Kode 141 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 18
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7} \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+24}+7}{\sqrt{x^{2}+24}+7} \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x^{2}-25 \right) \left( \sqrt{x^{2}+24}+7 \right)}{ x^{2}+24 -49 } \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x^{2}-25 \right) \left( \sqrt{x^{2}+24}+7 \right)}{ x^{2} - 25 } \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{ \sqrt{x^{2}+24}+7 }{ 1 } \\ & = \sqrt{(5)^{2}+24}+7 = \sqrt{25+24}+7 = 14
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 14$

59. Soal SPMB 2007 Kode 541 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}+1}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)^{2}}{ x-1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{x}+1 \right)^{2}}{ 1 } \\ & = \left(\sqrt{1}+1 \right)^{2} = 2^{2} = 4
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

60. Soal SPMB 2007 Kode 441 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x+3}+2 \right) }{ x+3-4 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x+3}+2 \right) }{ x-1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+3}+2}{ 1 } \\ & = \sqrt{1+3}+2 = 2+2 = 4
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$


61. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -1\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 1\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x} \cdot \dfrac{\sqrt{2-x}+x}{\sqrt{2-x}+x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-x+x^{2} }{ \left( x^{2}-x \right) \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) }{x \left( x -1 \right) \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right) }{x \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \dfrac{ \left( 1+2 \right) }{1 \left( \sqrt{2-1}+1 \right) } = \dfrac{ 3 }{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1\dfrac{1}{2}$

62. Soal SPMB 2007 Kode 641 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -1\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 1\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x} \cdot \dfrac{1+\sqrt{3x-2}}{1+\sqrt{3x-2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\left( 3x-2 \right) }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-3x+2 }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3-3x }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3\left( 1-x \right) }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{3(1)-2} \right) } \\ & = \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{1} \right) } = \dfrac{3}{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1\dfrac{1}{2}$

63. Soal SNMPTN 2008 Kode 111 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{3}{8} \\ (C)\ & \dfrac{3}{4} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 1\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3x-2 \right)-4 }{ \left( 2x-4 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3x-6 }{ \left( 2x-4 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3(x-2) }{ 2\left( x-2 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{3(2)-2}+2 \right) } \\ & = \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{4}+2 \right)} = \dfrac{3}{8} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{8}$

64. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 3x\sqrt{x}+3x+x^{2}+x\sqrt{x}-4\sqrt{x}-4 }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4x \sqrt{x} - 4\sqrt{x}+x^{2}+3x-4 }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4\sqrt{x} \left( x-1 \right)+\left( x+4 \right)\left( x-1 \right) }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4\sqrt{x} +\left( x+4 \right) }{1} \\ & = \dfrac{ 4\sqrt{1} +\left( 1+4 \right) }{1} = \dfrac{ 4 +\left( 5 \right) }{1} = 9
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$

65. Soal UM UGM 2008 Kode 482 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to p} \dfrac{x\sqrt{x}-p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3\sqrt{p} \\ (B)\ & \sqrt{p} \\ (C)\ & p \\ (D)\ & p\sqrt{p} \\ (E)\ & 3p
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to p} \dfrac{x\sqrt{x}-p \sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{p}}{\sqrt{x}+\sqrt{p}} \\ & = \lim\limits_{x \to p} \dfrac{x^{2}+x\sqrt{px}-p\sqrt{px}-p^{2}}{x-p} \\ &= \lim\limits_{x \to p} \dfrac{\left ( x-p \right )\left ( x+p \right )+\sqrt{px}\left ( x-p \right )}{x-p} \\ &= \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ \left ( x+p \right )+\sqrt{px} }{1} \\ &= \dfrac{ \left ( p+p \right )+\sqrt{p(p)} }{1} \\ &= 2p+ p =3p
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3p$

66. Soal UM UGM 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x^{2}-2x}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \\ (E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x^{2}-2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x\left(x-2 \right)} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+5-9}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x-2 \right)\left(x + 2 \right)}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+2 \right)}{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 2+2 \right)}{2 \left( \sqrt{(2)^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \dfrac{ 4 }{2 \left( \sqrt{9}+3 \right)} = \dfrac{1}{3}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}$

67. Soal UMB PTN 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap

$ \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{x+6}}{3+\sqrt{x+6}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{9- \left(x+6 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3-x \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{1 } \\ & = \dfrac{- \left( 3+\sqrt{3+6} \right)}{1 } = -6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -6$

68. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{6} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{6} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \cdot \dfrac{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 3-\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)}{ \left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{9- \left( 3x^{2}+2x+9 \right)}{\left( 2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(3x^{2}+2x \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(2x \right) \left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}(0) + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3(0)+2(0)+9} \right)} \\ & = \dfrac{-1}{3+\sqrt{9}} = - \dfrac{1}{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\dfrac{1}{6}$

69. Soal UM UPI 2009

Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 2}\ \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2}$ adalah$ \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 4 \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{8x}+4 \right)+\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left(8x-16 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x+2-4 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(x-2 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x-2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)} \\ & = \dfrac{ 8 \left(\sqrt{2+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8(2)}+4 \right)} \\ & = \dfrac{ 8 \left(2+2 \right)}{\left(4+4 \right)}=4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$

70. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (C)\ & -\dfrac{1}{8} \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 5-x-4 \right) \left( \sqrt{2+x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right) \left(1-x \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\ & = \dfrac{ \sqrt{2-(1)}+1 }{ \sqrt{5-(1)}+2 } \\ & = \dfrac{2}{ \sqrt{4}+2 } \\ & = \dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$

71. Soal Latihan Limit Fungsi Matematika SMA |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=4$
$\begin{align}
\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5} & = 0 \\ \sqrt{4a-3}-\sqrt{4b+5} & = 0\\ \sqrt{4a-3} & = \sqrt{4b+5} \\ 4a-3 & = 4b+5 \\ 4a-4b & = 8 \\ a- b & = 2
\end{align}$

Jika soal limit di atas kita kalikan dengan akar sekawan menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}}{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}} &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(ax-3 \right)-\left(bx+5 \right)}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ ax-3 - bx-5}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ \left( a-b \right)x - 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2x - 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 \left( x - 4 \right) }{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} } &= \dfrac{1}{3} \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} &= 6 \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4(a-2) +5} &= 6 \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-8+5} &= 6 \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-3} &= 6 \\ 2\sqrt{4a-3} &= 6 \\ \sqrt{4a-3} &= 3 \\ 4a-3 &= 9 \\ a &= 3
\end{align}$
Untuk $a=3$ kita peroleh $b=a-2=1$ sehingga nilai $a+b=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$

72. Soal UM UNPAD 2006

$ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $ maka $2a+4b= \cdots $
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 20 \\ (E)\ & 21
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=-6$ maka nilai $\sqrt{-6+a}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{-6+a}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
$\begin{align}
\sqrt{-6+a}-2 &= 0 \\ \sqrt{-6+a} &= 2 \\ -6+a &= 4 \\ a &= 6+4=10
\end{align}$

Untuk $a=10$ maka
$\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6}=b $

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{x+10}+2 \right)}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+10-4}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+6}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \dfrac{1}{\left(\sqrt{-6+10}+2 \right)} &= b \\ \dfrac{1}{4} &= b \\ 2a+4b &= 2(10)+4(\dfrac{1}{4}) \\ &= 21
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 21$

73. Soal UMPTN 1993 (Rayon A,B,C) |*Soal Lengkap - Soal SPM UNNES 2008 Kode 140208 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3}{4}$, maka $a+b$ sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3}{4}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $ax+b -\sqrt{x}$ harus $0$, karena jika $ax+b -\sqrt{x}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

sehingga untuk $x=4$ berlaku:
$\begin{align}
ax+b -\sqrt{x} & = 0 \\ 4a+b -\sqrt{4} & = 0 \\ 4a+b & = 2 \end{align}$
Lalu dengan mengalikan akar sekawan maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4} &= \dfrac{3}{4} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4} \times \dfrac{ax+b +\sqrt{x}}{ax+b +\sqrt{x}} &= \dfrac{3}{4} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}-x}{\left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(x-4 \right)\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)+\left(4a+b\right)^{2}-4}{\left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(x-4 \right)\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)+\left( 2 \right)^{2}-4}{ \left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)}{ \left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{\left(4a^{2} +2ab+4a^{2}-1 \right)}{ \left( 4a+b +\sqrt{4} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{\left(8a^{2} +2ab-1 \right)}{ \left( 2 + 2 \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{\left( 8a^{2} +2ab -1 \right)}{4} &= \dfrac{3}{4} \\ \hline 8a^{2} +2ab -1 &= 3 \\ 8a^{2} +2a\left( 2-4a\right) -1 &= 3 \\ 8a^{2} +4a-8a^{2} &= 4 \\ 4a &= 4 \\ a &= 1 \end{align}$
Untuk $a=1$ dan $4a+b=2$ maka $b=-2$. Nilai $a+b=-1$

Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -1$

74. Soal SBMPTN 2014 Kode 542 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & B=A^{2} \\ (B)\ & 4B^{2}=A \\ (C)\ & 4B=A^{2} \\ (D)\ & 4B=A \\ (E)\ & A+B=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $ \sqrt{Ax+B}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{Ax+B}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=0$
$\begin{align}
\sqrt{Ax+B}-2 & = 0 \\ \sqrt{A(0)+B}-2 & = 0\\ \sqrt{B} & = 2\\ B & = 4
\end{align}$

Untuk $B=4$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{Ax+4}+2}{\sqrt{Ax+4}+2} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sqrt{Ax+4}-2 \right) \left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( Ax+4 -4 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{Ax}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{A}{ \sqrt{Ax+4}+2 } & = 1 \\ \dfrac{A}{ \sqrt{A(0)+4}+2 } & = 1 \\ \dfrac{A}{ \sqrt{4}+2 } & = 1 \\ \dfrac{A}{4} & = 1 \\ A & = 4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4B=A^{2}$

75. Soal SPMB 2006 Kode 320 |*Soal Lengkap

Agar $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+q}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$, maka nilai $p+2q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -27 \\ (B)\ & -9 \\ (C)\ & 9 \\ (D)\ & 18\dfrac{1}{9} \\ (E)\ & 27
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+q}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $\sqrt{p(x-1)+q}-3$ harus $0$, karena jika $\sqrt{p(x-1)+q}-3$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

sehingga untuk $x=1$ berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{p(x-1)+q}-3 & = 0 \\ \sqrt{p(1-1)+q}-3 & = 0 \\ \sqrt{q}-3 & = 0 \\ q & = 9
\end{align}$

untuk $q=9$ bentuk soal kita sekarang adalah
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$
dengan mengalikan akar sekawan, maka akan kita peroleh:

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}-3}{x-1} \cdot \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}+3}{\sqrt{p(x-1)+9}+3} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p(x-1)+9-9}{(x-1) \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p(x-1)}{(x-1) \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p }{ \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ \sqrt{p((1)-1)+9}+3 } &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ \sqrt{9}+3 } &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ 6 } &= -\dfrac{3}{2} \\ 2p &= - 18 \\ p &=-9
\end{align}$

Nilai $p+2q=-9+18=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9$

76. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{3}+\sqrt{2} \\ (B)\ & 5-2\sqrt{6} \\ (C)\ & 2\sqrt{6} \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 5+2\sqrt{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{ 5+1}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{ 5+1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{6}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{6}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \cdot 2}}}{\sqrt{(3+2)-2 \sqrt{3 \cdot 2}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}- \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}\\ & = \dfrac{3+2+2\sqrt{6}}{3- 2} \\ & = 5+2\sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5+2\sqrt{6}$

77. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{2\sqrt{5}} \\ (B)\ & 2\sqrt{5} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\ (D)\ & \dfrac{4}{5\sqrt{5}} \\ (E)\ & \dfrac{4}{5} \sqrt{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (5+2\sqrt{x} \right )-\left (5-2\sqrt{x} \right )}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{0}}+\sqrt{5-2\sqrt{0}} \right )} \\ & = \dfrac{4 }{ \sqrt{5} +\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{4 }{ 2\sqrt{5} } = \dfrac{2}{\sqrt{5} }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{5} $

78. Soal SPMB 2005 Kode 580 |*Soal Lengkap

Jika $a \neq 0$, maka $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3a \sqrt[3]{a} \\ (B)\ & 2a \sqrt[3]{a} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2a}\sqrt[3]{a} \\ (E)\ & \dfrac{1}{3a}\sqrt[3]{a}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)}{\left(x-a \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a(a)}+\sqrt[3]{a^{2}} \right)} \\ & = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{a^{2}}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}} \\ & = \dfrac{1}{3a}\sqrt[3]{a^{2}}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{3a}\sqrt[3]{a}$

79. Soal USM STIS 2017 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2} \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -\dfrac{2}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

Untuk menghemat penulisan kita coba dengan memisalkan $m=\sqrt{1-x}$, karena $x \to 0$ maka $m \to 1$.
Soal limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ sudah bisa kita tuliskan menjadi $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-\sqrt[3]{m^{2}}}$ atau $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)}$.


Sedikit catatan kita tentang perkalian akar sekawan yaitu $\left( \sqrt[3]{a}-1 \right)\left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a}+1 \right)=a-1$


$\begin{align} & \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{\left(\sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left(m-1 \right)\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{-\left(m^{2} -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left(m-1 \right)\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{-\left(m -1 \right)\left(m +1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{- \left(m +1 \right)} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{(1)}+1 \right)}{- \left(1 +1 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 1+1+1 \right)}{- \left( 2 \right)} \\ & = -\dfrac{3}{2} \end{align}$


Jika soal ini kita kerjakan dengan dengan menggunakan Aturan L'Hospital, penyelesaian seperti berikut ini;
$\begin{align} \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}} & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{1}{\frac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{1}{-\frac{2}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{1}{-\dfrac{2}{3}} = - \dfrac{3}{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ - \dfrac{3}{2}$

80. Soal SIMAK UI 2009 Kode 951 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{64} \\ (B)\ & \dfrac{1}{48} \\ (C)\ & \dfrac{1}{24} \\ (D)\ & \dfrac{1}{16} \\ (E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} \cdot \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2}{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{2+\sqrt[3]{x} -4}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -2}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\left (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{8} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{1}{\left ( 1 \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left ( \sqrt[3]{8^{2}}+\sqrt[3]{8 (8)}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{(8)}}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{ \left ( 4+4+4 \right ) \left( \sqrt{2+2}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{48}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{48}$


81. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}}$ sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & -2\sqrt{3} \\ (B)\ & -\sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{3} \\ (D)\ & 2\sqrt{3} \\ (E)\ & 3\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Sebagai catatan, kita ingatkan sedikit tentang bentuk akar yaitu:
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$, atau
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$
$\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}=\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right|$

Dari kesamaan bentuk akar di atas dan soal limit, maka kita peroleh:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right|}
\end{align} $

Untuk $x \gt 3$ maka $\sqrt{x}-\sqrt{3} \gt 0$, sehingga kita peroleh limit kanan;
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 33^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{1} \\ & = \dfrac{ \left( \sqrt{3} + \sqrt{3} \right)}{1}=2\sqrt{3} \\ \end{align} $

Untuk $0 \lt x \lt 3$ maka $\sqrt{x}-\sqrt{3} \lt 0$, sehingga kita peroleh limit kiri;
$ \begin{align}
&\lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{-\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{-1} \\ & = \dfrac{ \left( \sqrt{3} + \sqrt{3} \right)}{-1}=-2\sqrt{3} \\ \end{align} $

Karena nilai $\lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \neq \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| }$ atau Limit Kiri $\neq$ Limit Kanan maka nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| }$ tidak ada.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $-$

82. Soal UM UGM 2014 Kode 531 |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$.
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & \dfrac{6}{7} \\ (D)\ & \dfrac{9}{8} \\ (E)\ & \dfrac{5}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Fungsi $f(x)=\sqrt{1+x}$, maka
$\begin{align}
f(3+2h^{2}) & = \sqrt{1+3+2h^{2}} \\ & = \sqrt{4+2h^{2}} \\ f(3-3h^{2}) & = \sqrt{1+3-3h^{2}} \\ & = \sqrt{4-3h^{2}}
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-3h^{2}}}{h^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-2h^{2}}}{h^{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}}{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(4+2h^{2}\right) -\left(4-3h^{2}\right)}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4+2h^{2}-4+3h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5}{ \sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} }\\ & = \dfrac{5}{\sqrt{4+0}+\sqrt{4-0} } \\ & = \dfrac{5}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{5}{4}$

83. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap

Diketahui $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(2,0)$, $C(2,y)$, dan $D(0,y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}(2\sqrt{3}+3) \\ (B)\ & \dfrac{1}{4}(3\sqrt{2}+2) \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}( \sqrt{3}+1) \\ (D)\ & \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2) \\ (E)\ & \dfrac{1}{4}(3\sqrt{2}-2)
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
show

Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$, coba kita hitung keliling $\square ABCD$ dan keliling $\bigtriangleup ACD$.

Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,

  • Jarak titik $A(1,0)$ ke $B(2,0)$ adalah $AB=\sqrt{(2-1)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{1}=1$
  • Jarak titik $B(2,0)$ ke $C(2,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
  • Jarak titik $C(2,y)$ ke $D(0,y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-2)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
  • Jarak titik $A(1,0)$ ke $D(0,y)$ adalah $AD=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-y)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$
  • Jarak titik $A(1,0)$ ke $C(2,y)$ adalah $AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square ABCD \\ & = AB+BC+CD+DA \\ & = 1+y+2+\sqrt{1+y^{2}} \\ & = 3+y+\sqrt{1+y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup ACD \\ & = AC+CD+DA \\ & = \sqrt{1+y^{2}} +2+\sqrt{1+y^{2}} \\ & = 2+2\sqrt{1+y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD} \\ & = \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{3+y+\sqrt{1+y^{2}}}{2+2\sqrt{1+y^{2}}} \\ & = \dfrac{3+1+\sqrt{1+1^{2}}}{2+2\sqrt{1+1^{2}}} \\ & = \dfrac{4+\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} \times \dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{8-8\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4}{4-8} \\
& = \dfrac{4-6\sqrt{2}}{-4} \\ & = \dfrac{2-3\sqrt{2}}{-2} \\ & =\dfrac{1}{2}\left(3\sqrt{2}-2 \right)
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2)$

84. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap

Diketahui $O(0,0)$, $A(2,0)$, $B(2,y)$, $C(0,y)$, dan $D(0,\frac{1}{2}y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{5+2\sqrt{5}}{5} \\ (B)\ & \dfrac{5+\sqrt{5}}{10} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{5} \\ (D)\ & \dfrac{5-2\sqrt{5}}{5} \\ (E)\ & \dfrac{5-\sqrt{5}}{5}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
show

Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$, coba kita hitung keliling $\square OABD$ dan keliling $\bigtriangleup BCD$.

Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,

  • Jarak titik $O(0,0)$ ke $A(2,0)$ adalah $OA=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
  • Jarak titik $A(2,0)$ ke $B(2,y)$ adalah $AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
  • Jarak titik $B(2,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $BD=\sqrt{(0-2)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}$
  • Jarak titik $O(0,0)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $OD=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-\frac{1}{2}y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
  • Jarak titik $B(2,y)$ ke $C(0,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-0)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
  • Jarak titik $C(0,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-0)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup BCD \\ & = BC+CD+DB \\ & = 2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square OABD \\ & = OA+AB+BD+DO \\ & = 2+y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}+\frac{1}{2}y \\ & = 2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD} \\ & = \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}}{2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}} \\ & = \dfrac{2+\frac{1}{2}(2) +\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}}{2+\frac{3}{2}(2)+\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}} \\ & = \dfrac{2+1+\sqrt{4+1}}{2+3+\sqrt{4+1}} \\ & = \dfrac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \times \dfrac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5}{25-5} \\ & = \dfrac{10+2\sqrt{5}}{20} \\ & = \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}$

85. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{8t^{3}}}-t+1 \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{A}{2} \\ (B)\ & \dfrac{A}{3} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{A+2}{2} \\ (E)\ & \dfrac{A+3}{3} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align}
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right ) &= A \\ \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (2 \right ) &= A \\ \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )- 2 &= A \\ \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right ) &= A+2
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{t^{3}}}-t+1 \right ) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (t \right )+\lim\limits_{t \to 2} \left (1 \right ) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left (A+2 \right )-2+1 \\ &= \dfrac{A}{2}+1-1 = \dfrac{A}{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{A}{2}$

86. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2-A}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{A}{2} \\ (C)\ & \dfrac{A-2}{4} \\ (D)\ & \dfrac{A}{4} \\ (E)\ & \dfrac{A+2}{4} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2+2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2}{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1} {(x+3)}+\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(x+3)} \\ & = A \cdot \dfrac{1} {4}+ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-2(x-1) }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{4} \\ & = A \cdot \dfrac{1} {4}+ (-2) \cdot \dfrac{1}{4} \\ & = \dfrac{A}{4}- \dfrac{2}{4} = \dfrac{A-2}{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{A-2}{4}$

87. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right )=2$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{2}{15} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{15} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{15} \\ (E)\ & \dfrac{2}{15} \\ \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right ) &= 2 \\ \dfrac{\sqrt[3]{2a+b}}{2+1} &= 2 \\ \sqrt[3]{2a+b} &= 6
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ ax + b }-2x+1}{(x+1)(x+3)} \right ) \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ 2a + b }-2(2) +1}{(2+1)(2+3)} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot 6-3}{15} \\ &= \dfrac{0}{15}=0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

88. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right )=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{12}A \\ (B)\ & \dfrac{1}{12}(A-2) \\ (C)\ & \dfrac{1}{12}(A-1) \\ (D)\ & \dfrac{1}{12}(A-6) \\ (E)\ & \dfrac{1}{12}(A-8)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right ) &= A \\ \dfrac{\sqrt[3]{a(2)^{3}+b}}{2-1} &= A \\ \sqrt[3]{8a +b} &= A
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ax^{3}+b}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\ &= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8a +b}-2(2)}{(2)^{2}+2(2)-2} \\ &= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot A-4}{6} \\ &= \dfrac{A-8}{12}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $\dfrac{1}{12}(A-8)$

89. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{4x^{2}-1} \right )=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{8}A-2 \\ (B)\ & \dfrac{1}{8}A-1 \\ (C)\ & \dfrac{1}{8}A-\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & \dfrac{1}{8}A-\dfrac{1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{8}A-\dfrac{1}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right ) &= A \\ \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right ) &= \dfrac{1}{2} A \\ \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{2 \left( x-\frac{1}{2} \right)} \right ) &= \dfrac{A}{2} \\ \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{ \left( 2x- 1 \right)} \right ) &= \dfrac{A}{2} \\ \end{align} $

Dengan beberapa manipulasi aljabar, penjabaran soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{4x^{2}-1} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \sqrt[3]{ ax^{3} + b }-2x}{ \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \left( \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x \right)}{ \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x }{2 \left( 2x-1 \right) \left( 2x+1 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ 1 }{2 \left( 2x+1 \right)} \right )\\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2 + 2 - 4x }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{2 \left( 2 \cdot \frac{1}{2} +1 \right)} \right) \\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2 - 2 \left(2x -1 \right) }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - \dfrac{ 2 \left(2x -1 \right) }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\

&= \left (\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\

&= \left ( \dfrac{A}{2} - 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\

&= \dfrac{A}{8} - \dfrac{ 1 }{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{8}A-\dfrac{1}{2}$

90. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2}}{t^{2}-a^{2}} \right )=K$, maka nilai $\lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{4}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{4}}{t-a} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2K \left( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\ (B)\ & K \left( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\ (C)\ & 4aK \left( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\ (D)\ & aK \left( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\ (E)\ & K^{2} \left( \left | a+K \right |-1 \right )^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
Dengan beberapa manipulasi aljabar, penjabaran soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{4}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{4}}{t-a} \right ) \\
& = \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t-a} \right ) \\
& = \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t-a} \cdot \dfrac{\left (t+a \right )}{\left (t+a \right )} \right ) \\
&= \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (t+a \right ) }{t^{2}-a^{2}} \right ) \\
&= \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t^{2}-a^{2}} \right ) \cdot \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (t+a \right ) }{1} \right ) \\
&= K \cdot \left ( \left [\left (\left | a \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (a+a \right ) \right ) \\
&= K \cdot \left ( 2 \left ( \left | a \right |-1 \right )^{2} \cdot \left (2a \right ) \right ) \\
&= 4aK \cdot \left ( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4aK \left( \left | a \right |-1 \right )^{2}$


91. Soal Latihan Limit Fungsi Matematika SMA |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1}=A$, maka nilai dari $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{ A-2 }{2} \\ (B)\ & \dfrac{ A-2 }{4} \\ (C)\ & A-2 \\ (D)\ & 2A-4 \\ (E)\ & 2A
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1}=A$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $\sqrt{ax^{2}+b}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax^{2}+b}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

sehingga untuk $x=1$ berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{ax^{2}+b}-2 & = 0 \\ \sqrt{a(1)^{2}+b}-2 & = 0 \\ \sqrt{a+b} & = 2 \\ \end{align}$

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1} \times \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}+2}{\sqrt{ax^{2}+b}+2} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+b -4}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( a+b-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( 4-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right) }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right) }{ \left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \dfrac{a\left( 1+1 \right) }{ \left( \sqrt{a(1)^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \dfrac{2a}{ \left( \sqrt{a+b}+2 \right)} &= A \\ \dfrac{2a}{ \left( 2+2 \right)} &= A \\ \dfrac{a}{ 2} &= A \\ a &= 2A \\ \end{align}$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3} \\ &= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3} \times \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}+2x}{\sqrt{ax^{2}+b}+2x} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ ax^{2}+b-4x^{2}}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+a+b-4}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+4-4}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right) \left( x+1 \right)}{ \left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \dfrac{ \left( a-4 \right) \left( 1+1 \right)}{ \left( 1+3 \right)\left( \sqrt{a(1)^{2}+b}+2(1) \right)} \\
&= \dfrac{ 2A-4 }{ \left( 2 \right)\left( 2+2 \right)} \\
&= \dfrac{ A-2 }{4} \\ \end{align}$

Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{ A-2 }{4}$

92. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba pinjam catatan bentuk akar yaitu $\sqrt{a}- \sqrt{b}=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$ untuk $a \gt b$.


$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4- 2\sqrt{4x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{4}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} 1 = 1 \\ \hline & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4- 2\sqrt{4x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} -1 = -1 \end{align}$


Dari hasil di atas kita peroleh limit kiri $\lim\limits_{x \to 4^{-}} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}=-1$ dan limit kanan $\lim\limits_{x \to 4^{+}} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}=1$ sehingga nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}$ tidak ada.


Tetapi jika pada saat situasi ujian, pilihlah jawaban yang memenuhi salah satu nilai limitnya. Karena pada saat ujian dengan soal pilihan ganda, soalnya dirancang untuk mempunyai satu jawaban yang benar.


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1$

93. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 27 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(9x-9\right)^{\frac{1}{3}}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( 9x-9\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right) }{\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{\left( x-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9 \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{1} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+1\right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( 1+1+1 \right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 27 \right)^{\frac{1}{3}} =3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

94. Soal UN Matematika SMA IPS 2017 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -16 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 32 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}} \cdot \dfrac{1+\sqrt{x-3}}{1+\sqrt{x-3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{1-\left( x-3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{4-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{-\left( x-4 \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 4+4 \right)\left( 1+\sqrt{4-3} \right)}{-1} \\ & = \dfrac{ \left( 8 \right)\left( 2 \right)}{-1} =-16 \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -16$

95. Soal UN Matematika SMA IPA 2012 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3} \cdot \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{3-x}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-\left( x-3 \right)}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-1}{\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \dfrac{-1}{\left( 2+\sqrt{3+1} \right)}=\dfrac{-1}{4} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{4}$

96. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -\sqrt[3]{2} \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \\ (D)\ & \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} \\ (E)\ & \sqrt[3]{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ -\left ( 1-x \right )+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{\left (1+x \right )\left (1-x \right )}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \sqrt[3]{\left (1-x \right )} \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{\sqrt[3]{\left (1-x \right )} \cdot \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\ & = \dfrac{ \left (-\left ( 1-1 \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+1 \right )}} \\ & = \dfrac{ 1}{ \sqrt[3]{2}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$

97. Soal UMPTN 1992 (Rayon C) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x}- \sqrt{2x-1}}{x-1} =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x}- \sqrt{2x-1}}{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x}- \sqrt{2x-1}}{x-1} \times \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{2x-1}}{\sqrt{x} + \sqrt{2x-1}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x- \left(2x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x- 2x+1 }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-x+1 }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{- \left( x-1 \right) }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{- 1 }{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \dfrac{- 1 }{ \left( \sqrt{1} + \sqrt{2(1)-1} \right)} \\ & = \dfrac{- 1 }{ \left( 1 + 1 \right)}=\dfrac{- 1 }{ 2} \end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

98. Soal UMPTN 1997 (Rayon B) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x- \sqrt{2x+3}}{x^{2}-9} =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{9} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{2}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x- \sqrt{2x+3}}{x^{2}-9} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x- \sqrt{2x+3}}{x^{2}-9} \times \dfrac{x + \sqrt{2x+3}}{x + \sqrt{2x+3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}- \left(2x+3\right)}{\left( x^{2}-9 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-2x-3 }{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x+1 \right) }{ \left( x+3 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 3+1 \right) }{ \left( 3+3 \right)\left( 3 + \sqrt{2(3)+3} \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 4 \right) }{ \left( 6 \right)\left( 3 + 3 \right)} = \dfrac{ 4 }{ 36}= \dfrac{ 1 }{ 9} \end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{9}$

99. Soal UMPTN 1998 (Rayon B) |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^{2}- 5x}{3-\sqrt{9+x}}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 30 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -30 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^{2}- 5x}{3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^{2}- 5x}{3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 2x^{2}- 5x \right)\left( 3+\sqrt{9+x} \right)}{9-\left(9+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\left( 2x- 5 \right)\left( 3+\sqrt{9+x} \right)}{-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} (-1)\left( 2x- 5 \right)\left( 3+\sqrt{9+x} \right) \\ & = (-1)\left( 2(0)- 5 \right)\left( 3+\sqrt{9+0} \right) \\ & = (-1)\left( - 5 \right)\left( 3+ 3 \right) = 30 \end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30$

100. Soal UN Matematika SMA IPA 2009 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 1,2 \\ (D)\ & 0,8 \\ (E)\ & 0,4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{5x+14}+2}{\sqrt{5x+14}+2}\\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5x+14-4} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5x+10} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5 \left( x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt{5(-2)+14}+2 \right)}{5} \\ & = \dfrac{\left( 2+2 \right)}{5}= \dfrac{4}{5}=0,8
\end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0,8$


101. Soal UMPTN 1997 (Rayon A) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & \dfrac{3}{2} \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1+x}-1 }{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1}} \times \dfrac{ \sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} }{\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( \sqrt{1+x}-1 \right) \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right)}{1+x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( \sqrt{1+x}-1 \right) \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right)}{x} \times \dfrac{ \sqrt{1+x}+1 }{ \sqrt{1+x}+1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( 1+x -1 \right) \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right) }{(x) \left(\sqrt{1+x}+1 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right)}{ \left(\sqrt{1+x}+1 \right) } \\ & = \dfrac{ \sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+0}+\sqrt[3]{(1+0)^{2}}}{ \left(\sqrt{1+0}+1 \right) } \\ & = \dfrac{1+1+1}{1+1}= \dfrac{3}{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{3}{2}$

102. Soal UMPTN 1998 (Rayon A) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}{\left(x-1\right)^{2}}=\cdots$

$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{5} \\ (D)\ & \dfrac{1}{7} \\ (E)\ & \dfrac{1}{9} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}{\left(x-1\right)^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{2}}{\left(x-1\right)^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \sqrt[3]{x}-1 }{ x-1 } \right)^{2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \sqrt[3]{x}-1 }{ x-1 } \times \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ x-1 }{ x-1 } \times \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \left( \dfrac{1}{1+1+1} \right)^{2} =\dfrac{1}{9} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{9}$

103. Soal SNMPTN 2010 Kode 528 |*Soal Lengkap

Diketahui fungsi $g$ kontinu di $x=3$ dan $\lim\limits_{x \to 3} g(x)=2$. Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \left( g(x) \cdot \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right)$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{3} \\ (B)\ & 2\sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{3} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:

  • $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \left( g(x) \cdot \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 3} g(x) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) \\ & = \left( 2 \right) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} \right) \\ & = \left( 2 \right) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{\left( x-3 \right) \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{x-3} \right) \\ & = \left( 2 \right) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{1} \\ & = \left( 2 \right) \cdot \left( \sqrt{3}+\sqrt{3} \right) = 4\sqrt{3} \end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{3}$

104. Soal SNMPTN 2011 Kode 678 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $g(x)=ax^{2}+(a-b)x+a$ habis dibagi $x-1$. Jika $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)}{x^{2}-2x+1}=\dfrac{1}{3}$, maka nilai $a+b$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{3} \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{2}{3} \\ (E)\ & \dfrac{3}{4} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Sedikit catatan dari suku banyak (polinomial), jika suku banyak banyak $g(x)$ habis dibagi $x-a$ maka $g(a)=0$.

Sehingga untuk $g(x)=ax^{2}+(a-b)x+a$ habis dibagi $x-1$ kita peroleh:
$ \begin{align} g(x) &= ax^{2}+(a-b)x+a \\ g(1) &= a(1)^{2}+(a-b)(1)+a \\ 0 &= a + a-b +a \\ 0 &= 3a -b \\ b &= 3a \end{align} $

$ \begin{align} \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)}{x^{2}-2x+1} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+(a-b)x+a}{\left(x-1 \right)\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(x-1 \right)\left(ax+2a-b \right)+\left( 3a-b \right)}{\left(x-1 \right)\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(x-1 \right)\left( ax+2a-b \right)}{\left(x-1 \right)\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( ax+2a-b \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( ax+2a-3a \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( ax-a \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x-1 \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ a &= \dfrac{1}{3} \end{align} $

Untuk $a = \dfrac{1}{3}$ kita peroleh $b = 1$ sehingga nilai $a+b= \dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}$


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{3}$

105. Soal SNMPTN 2011 Kode 678 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{1}{2}$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1} \times \dfrac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x) \left( \sqrt{1-x}+1 \right)}{1-x-1} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x) \left( \sqrt{1-x}+1 \right)}{-x} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{1-x}+1 \right)}{-1} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{1-0}+1 \right)}{-1}=-1 \end{align} $


$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1$

106. Soal Simulasi Matematika UTBK SBMPTN |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4}=\dfrac{3}{16}$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4}=\dfrac{3}{16}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $\sqrt{ax+b}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax+b}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

sehingga untuk $x=2$ berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{ax+b}-2 & = 0 \\ \sqrt{2a+b}-2 & = 0 \\ \sqrt{2a+b} & = 2 \\ 2a+b & = 4 \\ \end{align}$
Lalu dengan mengalikan akar sekawan maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4} \times \dfrac{\sqrt{ax+b}+2}{\sqrt{ax+b}+2} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ ax+b -4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)+ 2a+b-4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)+ 4-4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a }{ \left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \dfrac{ a }{ \left( 2+2 \right)\left( \sqrt{2a+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \dfrac{ a }{ \left( 4 \right)\left( 4 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ a &= 3 \\ \end{align}$
Untuk $a=3$ dan $2a+b=4$ maka $b=-2$. Nilai $a+b=1$

Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1$

107. Soal Simulasi Matematika UTBK SBMPTN |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{x-2},\ x \neq 2 \\
2,\ x = 2 \end{cases}$,
Semua pernyataan berikut adalah benar, kecuali...
$\begin{align}
(A)\ & \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1 \\ (B)\ & \lim\limits_{x \to 2} f(x) \neq f(2) \\ (C)\ & f\ \text{tidak mempunyai turunan di}\ x=2 \\ (D)\ & f\ \text{tidak kontinu di}\ x=2 \\ (E)\ & f\ \text{kontinu di}\ x=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:

  • $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$

Untuk menentukan jawaban, kita coba tentukan kebenaran dari setiap pilihan:

  • $(A)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1$ salah, karena $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ tidak ada, $\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)= \infty $ dan $\lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x)= - \infty $
  • $(B)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$ benar, karena $f(2)=2$
  • $(C)\ f\ \text{tidak mempunyai turunan di}\ x=2$ benar, karena $f$ tidak kontinu pada $x=2$
    Jika suatu fungsi tidak kontinu pada $x = c$, maka fungsi tersebut tidak memiliki turunan di $x = c$
  • $(D)\ f\ \text{tidak kontinu di}\ x=2$ benar, karena karena $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ tidak ada
  • $(E)\ f\ \text{kontinu di}\ x=0$ benar, karena $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1$

108. Soal SNMPTN 2010 Kode 528 |*Soal Lengkap

Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-1}{x-1},\ x \neq 1 \\ 3,\ x = 1 \end{cases}$,
Semua pernyataan berikut benar, kecuali...

$\begin{align}
(A)\ & \lim\limits_{x \to 1} f(x)= 2 \\ (B)\ & \lim\limits_{x \to 1} f(x) \neq f(1) \\ (C)\ & f\ \text{mempunyai turunan di}\ x=1 \\ (D)\ & f\ \text{tidak kontinu di}\ x=1 \\ (E)\ & f\ \text{kontinu di}\ x=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:

  • $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$

Untuk menentukan jawaban, kita coba tentukan kebenaran dari setiap pilihan:

  • $(A)\ \lim\limits_{x \to 1} f(x)= 2$ benar,
    $\begin{align}
    \lim\limits_{x \to 1} f(x) &= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \\ &= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x+1 \right)}{1} \\ &= \dfrac{\left( 1+1 \right)}{1}=2 \end{align}$
  • $(B)\ \lim\limits_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ benar, karena $\lim\limits_{x \to 1} f(x)= 2$ dan $f(1)=3$
  • $(C)\ f\ \text{mempunyai turunan di}\ x=1$ salah, karena $f\ \text{tidak kontinu di}\ x=1$
  • $(D)\ f\ \text{tidak kontinu di}\ x=1$ benar, karena ketiga syarat sebuah fungsi dikatakan kontinu ketiganya tidak dipenuhi.
  • $(E)\ f\ \text{kontinu di}\ x=0$ benar, ketiga syarat sebuah fungsi dikatakan kontinu ketiganya dipenuhi.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ f\ \text{mempunyai turunan di}\ x=1$

109. Soal SBMPTN 2014 Kode 532 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right)=4$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right)=-3$, maka $\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x) =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{14} \\ (B)\ & \dfrac{2}{14} \\ (C)\ & \dfrac{3}{14} \\ (D)\ & \dfrac{4}{14} \\ (E)\ & \dfrac{5}{14} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right) & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right) & = -3 \\ \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) - \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = -3\ \ \ (+) \\ \hline 2\lim\limits_{x \to a} f(x) & = 1 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) & = \dfrac{1}{2} \end{align}$

Untuk $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \dfrac{1}{2}$ maka kita peroleh $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{7}{2}$ atau $\lim\limits_{x \to a} g(x) =\dfrac{2}{7}$.

Nilai $\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x)= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{14}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{2}{14}$

110. Soal SBMPTN 2014 Kode 514 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right)=4$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right)=-3$, maka $\lim\limits_{x \to a} \left( f^{2}(x)+\dfrac{1}{g^{2}(x)} \right) =\cdots$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{24}{3} \\ (B)\ & \dfrac{23}{5} \\ (C)\ & \dfrac{25}{3} \\ (D)\ & \dfrac{25}{2} \\ (E)\ & \dfrac{27}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right) & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right) & = -3 \\ \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) - \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = -3\ \ \ (+) \\ \hline 2\lim\limits_{x \to a} f(x) & = 1 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) & = \dfrac{1}{2} \end{align}$

Untuk $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \dfrac{1}{2}$ maka kita peroleh $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{7}{2}$.

$\begin{align} \text{Nilai}\ \lim\limits_{x \to a} \left( f^{2}(x)+\dfrac{1}{g^{2}(x)} \right) &= \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}+\left( \dfrac{7}{2} \right)^{2} \\ & = \dfrac{1}{4}+\dfrac{49}{4} \\ & =\dfrac{50}{4}=\dfrac{25}{2} \end{align}$


$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{25}{2}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras 

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar silahkan disampaikan πŸ™ CMIIW😊.

Jangan Lupa Untuk Berbagi πŸ™ Share is Caring πŸ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "100+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar" silahkan disampaikan 😊 dan terima kasih πŸ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar