The good student, Calon Guru belajar matematika SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar. Catatan limit fungsi kita bagi dalam tiga catatan yaitu matematika dasar limit fungsi aljabar, matematika dasar limit fungsi trigonometri dan matematika dasar limit fungsi takhingga.
Penerapan Limit Fungsi Aljabar dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung, tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam matematika bagaimana kita bisa belajar Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan sampai kepada Integral Fungsi.
Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.
Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ \text{kg}$. Hasil $70,5\ \text{kg}$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang sebenarnya tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ \text{kg}$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.
Definisi Limit Fungsi
Definisi limit fungsi dituliskan: Sebuah limit fungsi mempunyai nilai, Jika nilai $\text{Limit Kiri = Limit Kanan}$ secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ Maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.
Dari definisi limit fungsi di atas, secara sederhana dapat kita tuliskan, limit fungsi adalah nilai yang dihampiri (didekati) suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik tertentu.
Dalam menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar, trigonometri atau limit menuju tak hingga, langkah awalnya adalah menentukan limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut. Akan tetapi kita memerlukan energi yang lebih banyak apabila untuk menentukan nilai sebuah limit fungsi kita gunakan definisi limit fungsi.
Untuk menghemat energi dalam menentukan nilai limit fungsi, langkah awal yang kita lakukan adalah dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$ (substitusi langsung).
Setelah dilakukan substitusi langsung dan diperoleh hasilnya bentuk tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ atau $1^{\infty}$ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya dengan tidak melanggar aturan dalam matematika sampai nilai limit fungsi hasilnya bukan bentuk tak tentu.
Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar Dengan Pemfaktoran
Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan antara lain:- $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b) $
- $ a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2}) $
- $ a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$
Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar Dengan Mengalikan Akar Sekawan
Berikut beberapa bentuk akar sekawan dari beberapa fungsi:- $ \sqrt{x} + \sqrt{a} \, $ akar sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{a} $
- $ a\sqrt{x} - b \sqrt{y} \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} + b \sqrt{y} $
- $ a\sqrt{x} + b \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $
Teorema Limit Fungsi
Beberapa teorema limit fungsi yang dapat kita gunakan dalam menyelesaikan Masalah Limit Fungsi.
Andaikan $n$ adalah bilangan bulat positif, $k$ adalah konstanta, dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} c=c$
- $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Aturan L'Hospital atau Menggunakan Turunan
Cara alternatif menyelesaikan limit fungsi adalah dengan Aturan L'Hospital atau pakai turunan fungsi. Cara ini dapat kita gunakan jika kita sudah mengenal atau belajar Turunan Fungsi, apabila belum mengenal atau belajar Fungsi Turunan maka menggunakan cara ini tidak dianjurkan.
Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{0}{0}$ dan $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ ada, maka $ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)}= \dfrac{f^{\prime} (a)}{g^{\prime} (a)}$
Suatu fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Definisi di atas menjelaskan bahwa sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:- $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Aljabar
Soal latihan Limit Fungsi Aljabar berikut ini, kita pilih untuk bahan diskusi kita sadur dari Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri, soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan, Soal UN (Ujian Nasional), Soal simulasi yang dilaksanakan oleh bimbingan belajar atau Soal Ujian Sekolah yang dilaksanakan oleh satuan pendidikan.
1. Soal UNBK SMA IPA 2018 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=\begin{cases}3x-p,\ x\leq 2 \\ 2x+1,\ x \gt 2 \end{cases}$ Agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai, maka $p=...$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan definisi limit, agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai maka Limit Kiri = Limit Kanan secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{-}}f(x)=L$
Limit kanan $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{+}}(2x+1)=2(2)+1=5$
Limit kiri $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{-}}(3x-p)=3(2)-p=6-p$
Berdasarkan definisi agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai yaitu Limit Kiri = Limit Kanan maka:
$ \begin{align}
6-p & =5 \\
6- 5 & = p \\
1 & = p
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
Sebagai tambahan yang masih kesulitan memahami definisi limit silahkan di simak lewat video di Definisi Limit Fungsi
2. Soal UN SMA IPS 2018 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-3x+2}{x-1} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita kerjakan langsung dengan substitusi,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-3x+2}{x-1} \\
& = \dfrac{2^{2}-3(2)+2}{2-1} \\
& = \dfrac{4-6+2}{2-1} \\
& = \dfrac{ 0 }{1}= 0
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
3. Soal UN SMA IPS 2018 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x^{2}-x-6}{3x^{2}-5x-2} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x^{2}-x-6}{3x^{2}-5x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 2x+3 \right)\left( x-2 \right)}{\left( 3x+1 \right)\left( x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 2x+3 \right)}{\left( 3x+1 \right)} \\
& = \dfrac{2(2)+3 }{3(2)+1}=\dfrac{7}{7}=1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x^{2}-x-6}{3x^{2}-5x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4x-1}{6x-5} \\
& = \dfrac{4(2)-1}{6(2)-5} = \dfrac{7}{7}=1
\end{align} $
4. Soal UNBK SMA IPS 2019 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{2x^{2}-7x+3} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{2x^{2}-7x+3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{(x+3)(x-3)}{(2x-1)(x-3)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{(x+3) }{(2x-1) } \\
& = \dfrac{(3+3) }{(2(3)-1) } = \dfrac{6}{5}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{5}$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x-0}{4x-7+0} \\
& = \dfrac{2(3)-0}{4(3)-7+0} = \dfrac{6}{5}
\end{align} $
5. Soal EBTANAS SMA IPS 1995 |*Soal Lengkap
Nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( x \right) \left( 6x^{4}-4 \right)}{\left( x \right) \left( 2x^{3}+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( 6x^{4}-4 \right)}{\left( 2x^{3}+1 \right)} \\
& = \dfrac{ \left( 6(0)^{4}-4 \right)}{\left( 2(0)^{3}+1 \right)} \\
& = \dfrac{ -4 }{1}=-4
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{30x^{4}-4}{8x^{3}+1} \\
& = \dfrac{30(0)^{4}-4}{8(0)^{3}+1} \\
& = \dfrac{-4}{1}=-4
\end{align} $
6. Soal EBTANAS SMA IPS 1996 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-x-20}{x-5} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-x-20}{x-5} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x-5 \right) \left( x+4 \right)}{\left( x-5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( 1 \right)} \\
& = \dfrac{ 5+4 }{1}=9
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 9$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-x-20}{x-5} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x-1}{1} \\
& = \dfrac{2(5)-1}{1} = 9
\end{align} $
7. Soal EBTANAS SMA IPS 1997 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{x^{2}+x-12} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{x^{2}+x-12} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)}{ \left( x+4 \right)\left( x-3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( 1 \right)}{\left( x+4 \right)} \\
& = \dfrac{ 1 }{3+4}=\dfrac{ 1 }{7}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{7}$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{x^{2}+x-12} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{2x+1} \\
& = \dfrac{1}{2(3)+1} = \dfrac{1}{7}
\end{align} $
8. Soal EBTANAS SMA IPS 1998 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-x-2} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)}{ \left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( x+1 \right)} \\
& = \dfrac{ 2+4 }{2+1}=\dfrac{ 6 }{3}=2
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x+2}{2x-1} \\
& = \dfrac{2(2)+2}{2(2)-1} = \dfrac{6}{3}=2
\end{align} $
9. Soal EBTANAS SMA IPS 1999 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-2 \right)^{2}-1}{x-3} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-2 \right)^{2}-1}{x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-4x+4-1}{x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-4x+3}{x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)}{ \left( x-3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-1 \right)}{\left( 1 \right)} \\
& = \dfrac{ 3-1 }{1}=2
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-2 \right)^{2}-1}{x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2\left( x-2 \right)(1)}{1} \\
& = \dfrac{2\left( 3-2 \right)(1)}{1}=2
\end{align} $
10. Soal EBTANAS SMA IPS 2000 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}+4x-12} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}+4x-12} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)}{ \left( x+6 \right)\left( x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( x+6 \right)} \\
& = \dfrac{ 2+4 }{2+6}=\dfrac{ 6 }{8}=\dfrac{ 3 }{4}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{4}$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}+4x-12} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x+2}{2x+4} \\
& = \dfrac{2(2)+2}{2(2)+4} = \dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}
\end{align} $
11. Soal EBTANAS SMA IPA 2002 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}{ \left( x+2 \right)\left( x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x-3 \right)}{\left( x+2 \right)} \\
& = \dfrac{ 2-3 }{2+2}=\dfrac{ -1 }{4}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{4}$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x-5}{2x} \\
& = \dfrac{2(2)-5}{2(2)} = \dfrac{-1}{4}
\end{align} $
12. Soal UN SMA IPS 2017 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2 \left( x+1 \right)\left( x-3 \right)}{ \left( x+1 \right)\left( x-3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2 \left( x+1 \right)}{ \left( x+1 \right)} \\
& = \dfrac{ 2(3+1) }{3+1}=2
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{4x-4}{2x-2} \\
& = \dfrac{4(3)-4}{2(3)-2}=\dfrac{8}{4}=2
\end{align} $
13. Soal UN SMA IPS 2015 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x-4 \right)}{ \left( x-4 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( 1 \right)} \\
& = \dfrac{ 4+4 }{1}=8
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2x}{1} \\
& = \dfrac{2(4)}{1} = 8
\end{align} $
14. Soal UN SMA IPS 2014 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)}{ \left( 2 \right)\left( x+4 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{ \left( x+3 \right)}{\left( 2 \right)} \\
& = \dfrac{ -4+3 }{2}=\dfrac{ -1 }{2}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{2x+7}{2} \\
& = \dfrac{2(-4)+7}{2} = \dfrac{-1}{2}
\end{align} $
15. Soal UN SMA IPA 2008 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}{x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x\ \left( x+2 \right)}{1} \\
& = \dfrac{2\left( 2+2 \right)}{1}=8
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3x^{2}-4}{1} \\
& = \dfrac{3(2)^{2}-4}{1} = 8
\end{align} $
16. Soal UN SMA IPA 2010 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^{2}-4} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^{2}-4} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{\left( 2x^{2}-8 \right)-\left( 8x-16 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x^{2}-4 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2x^{2}-8x+8}{\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{\left( x+2 \right)} \right) \\
& = \dfrac{2}{\left( 2+2 \right)}=\dfrac{2}{4}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$
17. Soal UN SMA IPA 2007 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x-1 \right)\left( x-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x-4 \right)}{ \left( x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \dfrac{ \left( 1-4 \right)}{ \left( (1)^{2}+(1)+1 \right)} \\
& = \dfrac{-3}{3} =-1
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -1$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2x-5}{3x^{2}} \\
& = \dfrac{2(1)-5}{3(1)^{2}} = \dfrac{-3}{3}=-1
\end{align} $
18. Soal UAN SMA IPA 2004 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x^{2}-4}-\dfrac{3}{x^{2}+2x-8} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x^{2}-4}-\dfrac{3}{x^{2}+2x-8} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{\left( 2x^{2}+4x-16 \right)-\left( 3x^{2}-12 \right)}{\left( x^{2}+2x-8 \right)\left( x^{2}-4 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-x^{2}+4x-4}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-1}{\left( x+2 \right) \left( x+4 \right)} \right) \\
& = \dfrac{-1}{\left( 2+2 \right) \left( 2+4 \right)}=\dfrac{-1}{24}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -\dfrac{1}{24}$
19. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-8}{x^{2}+x-6} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-8}{x^{2}+x-6} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x^{2}+2x+4 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x^{2}+2x+4 \right)}{\left( x+3 \right)} \\
& = \dfrac{ (2)^{2}+2(2)+4}{2+3} = \dfrac{ 12}{5}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2 \dfrac{2}{5}$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-8}{x^{2}+x-6} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3x^{2}-0}{2x+1-0} \\
& = \dfrac{3(2)^{2}-0}{2(2)+1-0} = \dfrac{ 12}{5}
\end{align} $
20. Soal UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{1-x}-\dfrac{2}{x-x^{3}} \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{1-x}-\dfrac{2}{x-x^{3}} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{1-x}-\dfrac{2}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{\left( x \right)\left( 1+x \right)-2}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{x^{2}+x-2}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ -\left( x+2 \right)\left( 1-x \right)}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ -\left( x+2 \right)}{\left( x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\ & = \dfrac{-\left( (1)+2 \right)}{\left( 1 \right)\left( 1+(1) \right)} \\ & = \dfrac{-3}{2} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{3}{2}$
21. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27}=-\dfrac{1}{3^{5}}$, nilai $a+b$ untuk $a$ dan $b$ bulat positif adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal limit di atas sehingga hasilnya seperti yang diharapkan, kita coba dengan menggunakan turunan. Kita anggap pada turunan pertama nilai limit untuk $x \to -3$ hasilnya adalah $-\dfrac{1}{3^{5}}$.
$\begin{align} \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{a}x^{-1}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-\frac{1}{ax^{2}}}{3bx^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3bx^{2} \cdot ax^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3abx^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ -\dfrac{1}{3ab(-3)^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ -\dfrac{1}{ ab3^{5}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\ ab & = 1 \end{align}$
Untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $ab=1$ adalah $a=1$ dan $b=1$, maka $a+b=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$
22. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=5x^{2}+3$. Hasil dari $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dari informasi pada soal, yang ditanyakan adalah $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dari sebuah fungsi $f(x)$. Jika kita teliti dalam membaca soal bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan fungsi $f(x)$.
Definisi turunan fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
$ \begin{align}
f(x) &=5x^{2}+3 \\
f(x) &=2 \cdot 5x^{2-1}+0 \\
f'(x) &=10x
\end{align}$
Tetapi jika ingin mengerjakannya dengan proses limit fungsi berikut pembahasannya:
$\begin{align}
& \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5(x+h)^{2}+3 -\left( 5x^{2}+3 \right)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 \left(x^{2}+2hx+h^{2} \right) +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 x^{2}+10hx+5h^{2} +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ +10hx+5h^{2}}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \left( +10 x+5h \right) \\
& = 10 x+5(0) \\
& = 10x
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10x$
23. Soal UMB PTN 2008 Kode 270 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4t^{4}+4t-72}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4t^{4}+4t-72}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4\left( t-2 \right)\left( t^{3}+2t^{2}+4t+9 \right)}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4 \left( t^{3}+2t^{2}+4t+9 \right)}{ \left( t^{2}+3t+2 \right)} \\ & = \dfrac{4 \left( (2)^{3}+2(2)^{2}+4(2)+9 \right)}{ (2)^{2}+3(2)+2} \\ & = \dfrac{4 \left( 33 \right)}{ 12} = 11 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 11$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4t^{4}+4t-72}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{16t^{3}+4}{\left( 1 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)+\left( t-2 \right)\left( 2t+3 \right)} \\
& = \dfrac{16(2)^{3}+4}{\left( 1 \right)\left( (2)^{2}+3(2)+2 \right)+\left( 2-2 \right)\left( 2(2)+3 \right)} \\
& = \dfrac{16 \cdot 8 +4}{12} = \dfrac{4 (4 \cdot 8) +1}{12} = 11
\end{align} $
24. Soal UM UGM 2010 Kode 461 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{x^{2}-x-2}-\dfrac{2}{x-2} \right)$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{x^{2}-x-2}-\dfrac{2}{x-2} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}-\dfrac{2}{x-2} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}-\dfrac{2\left( x+1 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6-2\left( x+1 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right)\\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{4-2x}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-2\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right)\\ & = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-2 }{ \left( x+1 \right)} \right)\\ & = \dfrac{-2 }{ \left( 2+1 \right)} = \dfrac{-2}{3} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{2}{3}$
25. Soal SIMAK UI 2011 Kode 213 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)-3g(x) \right)=2$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( 3f(x)+g(x) \right)=1$ maka $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x) \cdot g(x) \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Dari persamaan $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)-3g(x) \right)=2$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( 3f(x)+g(x) \right)=1$ dengan teorema limit dapat kita ubah betuknya menjadi:
$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)-3g(x) \right) &=2 \\
\lim\limits_{x \to a} f(x)-3\ \lim\limits_{x \to a} g(x) &=2 \\
\hline
\lim\limits_{x \to a} \left( 3f(x)+g(x) \right) &=1 \\
3\ \lim\limits_{x \to a} f(x)+ \lim\limits_{x \to a} g(x) &=1
\end{align} $
Jika kita misalkan $\lim\limits_{x \to a} f(x)=m$ dan $\lim\limits_{x \to a} f(x)=n$, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m-3n=2 & (\times 3) \\
3m+ n =1 & (\times 1) \\
\hline
3m - 9n =6 & \\
3m + n =1 \ \ \ (-)& \\
\hline
-10n = 5 & \\
n = -\dfrac{1}{2} & \lim\limits_{x \to a} g(x)=-\dfrac{1}{2} \\
m = \dfrac{1}{2} & \lim\limits_{x \to a} f(x) = \dfrac{1}{2} \\
\end{array} $
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to a} \left( f(x) \cdot g(x) \right) & = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x) \\ & = \left( -\dfrac{1}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ & = -\dfrac{1}{4} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{4}$
26. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 |*Soal Lengkap
Jika $a$ dan $b$ adalah dua bilangan real dengan $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka $ab=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $x^{2}+2ax+b$ harus $0$, karena jika $x^{2}+2ax+b$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Karena nilai $x^{2}+2ax+b$ untuk $x=2$ adalah $0$ maka $x-2$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
x^{2}+2ax+b & \equiv (x-2)(mx+n) \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+nx-2mx-2n \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+(n-2m)x-2n \\
\hline
\therefore & 1 = m \\
\therefore & 2a = n-2m=n-2 \\
\therefore & b = -2n
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+n)}{x-2} & =-3 \\
\lim\limits_{x \to 2} (x+n) & =-3 \\
2+n & =-3 \\
n &= -3-2 \\
n &= -5
\end{align}$
Untuk $n=-5$ maka $b=10$ dan $a=-\dfrac{7}{2}$
Nilai $ab=-\dfrac{7}{2} \cdot 10 = -35$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -35$
27. Soal SBMPTN 2016 Kode 333 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=x^{2}+ax+b$ dengan $f(1)=0$ dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)}{x-1}=2$, maka $b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $f(1)=0$ dan $f(x)=x^{2}+ax+b$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f(1)\ & = 1^{2}+a(1)+b \\
0\ & = 1+a +b \\
-1\ & = a +b
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)}{x-1}=2$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ harus $0$, karena jika $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Nilai $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ untuk $x=1$ adalah $0$ sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
f \left( x+1 \right)-f \left( x \right) & =0 \\
f \left( 1+1 \right)-f \left( 1 \right) & =0 \\
f \left( 2 \right)- 0 & =0 \\
2^{2}+a(2)+b & =0 \\
4+2a+b & =0 \\
\hline
2a+b & = -4 \\
a +b & = -1\ (-) \\
\hline
a & = -3 \\
b & = 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$
28. Soal SBMPTN 2016 Kode 353 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=x^{2}+ax+b$ dengan $f(2)=0$ dan $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)}{x-2}=2$, maka $b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $f(2)=0$ dan $f(x)=x^{2}+ax+b$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f(2)\ & = 2^{2}+a(2)+b \\
0\ & = 4+2a +b \\
-4\ & = 2a +b
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)}{x-1}=2$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ harus $0$. Karena jika $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Karena nilai $f \left( x+1 \right)-f \left( x \right)$ untuk $x=2$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
f \left( x+1 \right)-f \left( x \right) & =0 \\
f \left( 2+1 \right)-f \left( 2 \right) & =0 \\
f \left( 3 \right)- 0 & =0 \\
3^{2}+a(3)+b & =0 \\
9+3a+b & =0 \\
\hline
3a+b & = -9 \\
2a +b & = -4\ (-)\\
\hline
a & = -5 \\
b & = 6
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$
29. Soal SBMPTN 2016 Kode 321 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=x^{2}+ax+b$ dengan $f \left( b+1 \right)=0$ dan $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ f \left( x+b \right)}{x}=-1$, maka $a+2b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Diketahui $f(b+1)=0$ dan $f(x)=x^{2}+ax+b$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
f \left( b+1 \right)\ & = \left( b+1 \right)^{2}+a\left( b+1 \right)+b \\
0\ & = b^{2}+2b+1+ab+a+b \\
0\ & = b^{2}+3b+ab+a+1
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ f \left( x+b \right)}{x}=-1$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $f \left( 0+b \right)$ harus $0$. Karena jika $f \left( 0+b \right)$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Karena nilai $f \left(b \right)$ untuk $x=0$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
f(x) & = x^{2}+ax+b \\
f(b) & = (b)^{2}+a(b)+b \\
0 & = b^{2}+ab+b \\
\hline
0\ & = b^{2}+2b+ab+a+b+1 \\
0\ & = b^{2}+ab+b+2b+a+1 \\
0\ & = 0+2b+a+1 \\
-1\ & = 2b+a
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -1$
30. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 |*Soal Lengkap
Jika $a$ dan $b$ adalah dua bilangan real dengan $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka $ab=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $x^{2}+2ax+b$ harus $0$, karena jika $x^{2}+2ax+b$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Karena nilai $x^{2}+2ax+b$ untuk $x=2$ adalh $0$ maka $x-2$ adalah salah satu faktornya sehingga $x^{2}+2ax+b \equiv (x-2)( x+n)$, dan dapat kita tuliskan;
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x^{2}+2ax+b}{x-2} &=-3 \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x-2)( x+n)}{x-2} &=-3 \\
\lim\limits_{x \to 2} \left( x+n \right) &=-3 \\
2+n &=-3 \\
n &=-5
\end{align}$
Untuk $n=-5$, kita peroleh:
$\begin{align}
x^{2}+2ax+b &= \equiv (x-2)( x+n) \\
x^{2}+2ax+b &= \equiv (x-2)( x-5) \\
x^{2}+2ax+b &= \equiv x^{2}-7x+10 \\
\hline
2a &=-7 \\
b &=10 \\
ab &= -35
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -35$
31. Soal SBMPTN 2017 Kode 226|*Soal Lengkap
Jika kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=-4$ maka $\dfrac{b+c}{a}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ maka nilai $c=1$ sehingga $f(x)=ax^{2}+bx+1$.
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $ax^{2}+bx+1$ harus $0$, karena jika $ax^{2}+bx+1$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Karena nilai $ax^{2}+bx+1$ untuk $x=1$ adalh $0$ maka $x-1$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx+1 & \equiv (x-1)(mx+n) \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+nx-mx-n \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+(n-m)x-n \\
-1 &= n \\
b &= n-m \\
b &= -1-m \\
a &= m
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$, maka:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(mx+n)}{x-1} & =-4 \\
\lim\limits_{x \to 1} (mx+n) & =-4 \\
\lim\limits_{x \to 1} (mx-1) & =-4 \\
m-1 & =-4 \\
m &= -4+1 \\
m &=-3
\end{align}$
Untuk $m=-3$ nilai $a=-3$, $b=2$ dan $c=1$, maka $\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{2+1}{-3}=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$
32. Soal UMPTN 1998 (Rayon C) |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2n}- x}{1-x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $a^{n}-b^{n}=\left(a-b \right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+ \cdots + ab^{n-2}+b^{n-1} \right)$ Untuk $n$ bilangan Asli
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2n}- x}{1-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x\left( x^{2n-1}- 1 \right)}{-\left( x -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x \left( x^{2n-1}- 1^{2n-1} \right) }{-\left( x -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x \left(x-1 \right)\left(x^{2n-1-1}+x^{2n-1-2}(1)+ \cdots + (x)(1)^{2n-1-2}+(1)^{2n-1-1} \right) }{-\left( x -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x \left(x-1 \right)\left(x^{2n-2}+x^{2n-3} + \cdots + x+1 \right) }{-\left( x -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x \left(x^{2n-2}+x^{2n-3} + \cdots + x+1 \right) }{-1} \\ & = \dfrac{(1) \left((1)^{2n-2}+(1)^{2n-3} + \cdots + (1)+1 \right) }{-1} \\ & = -(1) \left( 2n-2 +1 \right) \\ & = -(1) \left( 2n-1 \right) \\ & = -2n+1 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1-2n$
Warning!
Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2n}- x}{1-x} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2nx^{2n-1}- 1}{0-1} \\
& = \dfrac{2n(1)^{2n-1}- 1}{-1} \\
& = \dfrac{2n- 1}{-1}=-2n+1
\end{align} $
33. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal Lengkap
Jika $\left| f(x)-2 \right| \leq x+3$, maka nilai $\lim\limits_{x \to -3}f(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak Himpunan penyelesaian dari $\left| f(x) \right| \leq a$ adalah $-a \leq f(x) \leq a$. Sehingga jika kita terapkan pada fungsi soal, kita akan peroleh:
\begin{align} \left| f(x)-2 \right| & \leq x+3 \\ -(x+3) \leq f(x) & -2 \leq (x+3) \\ - x-3+2 \leq f(x) & \leq x+3+2 \\ - x-1 \leq f(x) & \leq x+5 \\ \lim\limits_{x \to -3} \left(-x-1 \right) \leq \lim\limits_{x \to -3} & f(x) \leq \lim\limits_{x \to -3}\left( x+5 \right) \\ -(-3)-1 \leq \lim\limits_{x \to -3} & f(x) \leq -3+5 \\ 2 \leq \lim\limits_{x \to -3} & f(x) \leq 2 \end{align}
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
34. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal Lengkap
Jika $p \gt 0$ dan $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12$, maka nilai $p-q$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx}{x-p}=12$ sehingga jika kita substitusi langsung nilai $x=p$ maka nilai $x^{3}+px^{2}+qx$ harus $0$, karena jika $x^{3}+px^{2}+qx$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Karena nilai $x^{3}+px^{2}+qx$ untuk $x=p$ adalah $0$ maka dapat kita tuliskan:
$\begin{align}
(p)^{3}+p(p)^{2}+q(p) &= 0 \\
2p^{3} + pq &= 0 \\
2p^{2} + q &= 0 \\
q &= 2p^{2} \\
\end{align}$
$x-p$ adalah salah satu faktor $x^{3}+px^{2}+qx$ sehingga dapat kita tuliskan;
$\begin{align}
x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+bx+c) \\
x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+bx^{2}+cx-px^{2}-bpx-pc \\
x^{3}+px^{2}+qx &= x^{3}+ \left( b-p \right)x^{2}+\left( c-bp \right)x-pc \\
\hline
-pc=0 & \rightarrow c=0 \\
b-p=p & \rightarrow b=2p \\
\hline
x^{3}+px^{2}+qx &= (x-p)( x^{2}+2px) \\
\end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ x^{3}+px^{2}+qx }{x-p} &=12 \\
\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ (x-p)( x^{2}+2px) }{x-p} &=12 \\
\lim\limits_{x \to p} \dfrac{ ( x^{2}+2px) }{1} &=12 \\
(p)^{2}+2p(p) &=12 \\
3p^{2} &=12 \\
p^{2} &= 4 \rightarrow p=2 \\
\hline
q &= -2p^{2} \rightarrow q=-8
\end{align}$
Nilai $p-q$ adalah $2-(-8)=10$
Warning!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 10$
35. Soal UN SMA IPA 2011 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{x-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( \sqrt{x}+2 \right)}{1} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt{4}+2 \right)}{1}=4 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$
36. Soal UNBK SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{17-2x^{2}}}{3+\sqrt{17-2x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{9-\left( 17-2x^{2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2x^{2}-8} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2(x-2)(x+2)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2 (x+2)} \\ & = \dfrac{ (2-4)\left( 3+\sqrt{17-2(2)^{2}} \right)}{ 2 (2+2)} \\ & = \dfrac{ (-2)\left( 3+3 \right)}{8} \\ & = -\dfrac{3}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{3}{2}$
37. Soal EBATANAS SMA IPA 1999 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x-2}{\sqrt{x+7}-3}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x-2}{\sqrt{x+7}-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x-2}{\sqrt{x+7}-3} \cdot \dfrac{\sqrt{x+7}+3}{\sqrt{x+7}+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x-2 \right)\left( \sqrt{x+7}+3 \right)}{ x+7 +9} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x-2 \right)\left( \sqrt{x+7}+3 \right)}{ x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( \sqrt{x+7}+3 \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ \left( \sqrt{2+7}+3 \right)}{ 1 }=6 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 6$
38. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{ \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{x - 3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{1} \\ & = \dfrac{ \left( \sqrt{3}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{3}+\sqrt{3} \right)}{1} \\ & = \left( 2\sqrt{3} \right)\left( 2\sqrt{3} \right)=12 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12$
39. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
Untuk menyelesaikan soal limit diatas, kita coba dengan memisalkan $\sqrt{x}=p$ sehingga $x^{2}=p^{4}$ dan karena $x \to 4$ maka $p \to 2$, perubahan pada soal menjadi;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \times \dfrac{p+\sqrt{3p-2}}{p+\sqrt{3p-2}} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p^{2}-(3p-2)}{\left (p^{2}-4 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{(p-2)(p-1)}{\left (p-2 \right )\left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{ (p-1)}{ \left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \dfrac{ (2-1)}{ \left (2+2 \right )\left (2^{2}+4 \right )\left (2+\sqrt{3(2)-2} \right )} \\
& = \dfrac{1}{ \left (4 \right )\left (8 \right )\left (4 \right )} = \dfrac{1}{128}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{128}$
40. Soal UN SMA IPA 2003 |*Soal Lengkap - Soal UMB PTN 2014 Kode 573 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{9-\left( x^{2}+5 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{4- x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\ & = 3+\sqrt{2^{2}+5} \\ & = 3+\sqrt{9}=6 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$
41. Soal UN SMA IPA 2019 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-x-6}{\sqrt{3x^{2}-2}-5}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-x-6}{\sqrt{3x^{2}-2}-5} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{\sqrt{3x^{2}-2}-5} \cdot \dfrac{\sqrt{3x^{2}-2}+5}{\sqrt{3x^{2}-2}+5}\\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3x^{2}-2 -25} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x^{2}-9 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x-3 \right)\left( x+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x+3 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 3+2 \right)\left( \sqrt{3(3)^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( 3+3 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 5 \right)\left( \sqrt{27-2}+5 \right)}{18} \\ & = \dfrac{\left( 5 \right)\left( 10 \right)}{18} \\ & = \dfrac{25}{9} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{25}{9}$
42. Soal UN SMA IPA 2006 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6} \cdot \dfrac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4}}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4}} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\left( 3x-2 \right)-\left( 2x+4 \right)}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{x-6}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left(\sqrt{3(6)-2}+\sqrt{2(6)+4} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left(\sqrt{16}+\sqrt{16} \right)} = \dfrac{1}{8} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{8}$
43. Soal EBTANAS SMA IPA 2000 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}} \times \dfrac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{1-\left( 1+x^{2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{ x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ \left( 1+\sqrt{1+0} \right)}{ 1 } = 2 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2$
44. Soal EBATANAS SMA IPA 1995 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x+2\right)-\left(3x-2\right)}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-2x}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 }{\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\ & = \dfrac{-2 }{\left( \sqrt{2+2}+\sqrt{3(2)-2} \right)} \\ & = \dfrac{-2}{2+2}= -\dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{1}{2}$
45. Soal UMB PTN 2014 Kode 672 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \times \dfrac{x+1+\sqrt{2x+5}}{x+1+\sqrt{2x+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{(x+1)^{2}-(2x+5)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-2x+1- 2x-5 } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-4 } \times \dfrac{\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) }{ \left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (9- 2x-5 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left (x-2 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 \left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\ & = \dfrac{-2 \left( 2+1+\sqrt{2(2)+5 } \right )}{ (2+2)\left (3+\sqrt{2(2)+5} \right ) } \\ & = \dfrac{-2 \left( 3+3 \right)}{(2+2) \left( 3+3 \right)}=-\dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{1}{2}$
46. Soal UM UNDIP 2009 Kode 192 |*Soal Lengkap - Soal SPM UNNES 2009 Kode 9763 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$, maka $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Karena $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$ maka:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} f(x) & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x}}-1}{\dfrac{x}{\sqrt{x}}+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \\
& = \dfrac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{0}+1} \\
& = \dfrac{-1}{1}=-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -1$
47. Soal UMB PTN 2013 Kode 172 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3}=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \times \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ x^{2}+5-9} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x-2)(x+2)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x+2)} \\ & = \dfrac{2 \left( \sqrt{2^{2}+5}+3 \right)}{ (2+2)} \\ & = \dfrac{2 \left( 3+3 \right)}{ 4}= 3 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$
48. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal Lengkap
Jika $a=\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}}$ maka nilai $4-a$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} a & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{2-\sqrt{x+2}} \times \dfrac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{4-(x+2)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-(x-2)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-1} \\ & = \dfrac{ (2+2) \left( 2+\sqrt{2+2} \right)}{-1} \\ & = -16 \\ 4-a & = 4-(-16)=20 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 20$
49. Soal SPMB 2004 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}+x\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}+x\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)}{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{x-2}\\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)^{2}}{1} \\ & = \left( 2\sqrt{2} \right)^{2} = 8 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
50. Soal SPMB 2005 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5x^{2}+x}{\sqrt{4+x} - 2} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5x^{2}+x}{\sqrt{4+x} - 2} \cdot \dfrac{\sqrt{4+x} - 2}{\sqrt{4+x} + 2} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ 4+x - 4} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ x } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ \left(5(0) +1 \right) \left( \sqrt{4+0} + 2 \right)}{ 1 } \\ & = \left( 1 \right)\left( 2 \right) = 2 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$
51. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{ 9- \left( x^{2}+5 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{ 4- x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\ & = 3+\sqrt{(2)^{2}+5} = 3+\sqrt{9} = 6 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$
52. Soal SIMAK UI 2010 Kode 506 |*Soal Lengkap
Untuk $t \gt 0$ maka $\lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\sqrt{t}} \right)\left( \sqrt{t+1}-1 \right)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\sqrt{t}} \right)\left( \sqrt{t+1}-1 \right) \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{1}{t}+\dfrac{\sqrt{t}}{t} \right)\left( \sqrt{t+1}-1 \right) \times \dfrac{\sqrt{t+1}+1}{\sqrt{t+1}+1} \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{t}+1}{t} \right)\left( \dfrac{t+1-1}{\sqrt{t+1}+1} \right) \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{t}+1}{t} \right)\left( \dfrac{t}{\sqrt{t+1}+1} \right) \\ & = \lim\limits_{t \to 0} \left( \dfrac{\sqrt{t}+1}{\sqrt{t+1}+1} \right) \\ & = \dfrac{\sqrt{0}+1}{\sqrt{0+1}+1} \\ & = \dfrac{1}{2} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}$
53. Soal UM UGM 2004 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{9-x^{2}}{4-\sqrt{x^{2}+7}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{9-x^{2}}{4-\sqrt{x^{2}+7}} \cdot \dfrac{4+\sqrt{x^{2}+7}}{4+\sqrt{x^{2}+7}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( 9-x^{2} \right) \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right) }{ 16- \left( x^{2}+7 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( 9-x^{2} \right) \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right)}{ 9- x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right)}{1} \\ & = 4+\sqrt{(3)^{2}+7} = 4+\sqrt{16} = 8 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$
54. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to q} \dfrac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{q}}{\sqrt{x}+\sqrt{q}} \\ & = \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x^{2}+x\sqrt{qx}-q\sqrt{qx}-q^{2}}{x-q} \\ &= \lim\limits_{x \to q} \dfrac{\left ( x-q \right )\left ( x+q \right )+\sqrt{qx}\left ( x-q \right )}{x-q} \\ &= \lim\limits_{x \to q} \dfrac{ \left ( x+q \right )+\sqrt{qx} }{1} \\ &= \dfrac{ \left ( q+q \right )+\sqrt{q(q)} }{1} \\ &= 2q+ q =3q \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3q$
55. Soal UM UGM 2006 Kode 372 |*Soal Lengkap
Jika $f(x)= \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x^{2}+3}}$, maka $\lim\limits_{x \to 1}\ f(x)=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to 1}\ f(x) & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x^{2}+3}} \cdot \dfrac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{2+\sqrt{x^{2}+3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ 4- \left( x^{2}+3 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ 1-x^{2} } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ \left( 1-x \right)\left( 1+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 2+\sqrt{x^{2}+3} }{ 1+x } \\ & = \dfrac{ 2+\sqrt{(1)^{2}+3} }{ 1+(1) } \\ & = \dfrac{ 2+2}{2}=2 \\ \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
56. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}+\sqrt{7}} \\ & = \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right) \left( \sqrt{x}+\sqrt{7} \right)}{x-7} \\ & = \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left( \sqrt{x}+\sqrt{7} \right)}{1} \\ & = \dfrac{\sqrt{7} \left( \sqrt{7}+\sqrt{7} \right)}{1} \\ &= \sqrt{7} \left( 2\sqrt{7} \right) = 14 \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 14$
57. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}} \cdot \dfrac{5+\sqrt{x^{2}+9}}{5+\sqrt{x^{2}+9}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x^{2}-16 \right) \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 25- \left( x^{2} +9 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x^{2}-16 \right) \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 16- x^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ - \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 1 } \\ & = \dfrac{ - \left( 5+\sqrt{(4)^{2}+9} \right)}{ 1 } \\ & = - \left( 5+\sqrt{25} \right) = -10 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10$
58. Soal SPMB 2007 Kode 141 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7} \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+24}+7}{\sqrt{x^{2}+24}+7} \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x^{2}-25 \right) \left( \sqrt{x^{2}+24}+7 \right)}{ x^{2}+24 -49 } \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x^{2}-25 \right) \left( \sqrt{x^{2}+24}+7 \right)}{ x^{2} - 25 } \\ & = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{ \sqrt{x^{2}+24}+7 }{ 1 } \\ & = \sqrt{(5)^{2}+24}+7 = \sqrt{25+24}+7 = 14 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 14$
59. Soal SPMB 2007 Kode 541 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}-1}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)^{2}}{ x-1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{x}+1 \right)^{2}}{ 1 } \\ & = \left(\sqrt{1}+1 \right)^{2} = 2^{2} = 4 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$
60. Soal SPMB 2007 Kode 441 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x+3}+2 \right) }{ x+3-4 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x+3}+2 \right) }{ x-1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+3}+2}{ 1 } \\ & = \sqrt{1+3}+2 = 2+2 = 4 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$
61. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x} \cdot \dfrac{\sqrt{2-x}+x}{\sqrt{2-x}+x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-x+x^{2} }{ \left( x^{2}-x \right) \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) }{x \left( x -1 \right) \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right) }{x \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \dfrac{ \left( 1+2 \right) }{1 \left( \sqrt{2-1}+1 \right) } = \dfrac{ 3 }{2} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1\dfrac{1}{2}$
62. Soal SPMB 2007 Kode 641 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x} \cdot \dfrac{1+\sqrt{3x-2}}{1+\sqrt{3x-2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\left( 3x-2 \right) }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-3x+2 }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3-3x }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3\left( 1-x \right) }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{3(1)-2} \right) } \\ & = \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{1} \right) } = \dfrac{3}{2} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1\dfrac{1}{2}$
63. Soal SNMPTN 2008 Kode 111 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3x-2 \right)-4 }{ \left( 2x-4 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3x-6 }{ \left( 2x-4 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3(x-2) }{ 2\left( x-2 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{3(2)-2}+2 \right) } \\ & = \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{4}+2 \right)} = \dfrac{3}{8} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{8}$
64. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 3x\sqrt{x}+3x+x^{2}+x\sqrt{x}-4\sqrt{x}-4 }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4x \sqrt{x} - 4\sqrt{x}+x^{2}+3x-4 }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4\sqrt{x} \left( x-1 \right)+\left( x+4 \right)\left( x-1 \right) }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4\sqrt{x} +\left( x+4 \right) }{1} \\ & = \dfrac{ 4\sqrt{1} +\left( 1+4 \right) }{1} = \dfrac{ 4 +\left( 5 \right) }{1} = 9 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$
65. Soal UM UGM 2008 Kode 482 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to p} \dfrac{x\sqrt{x}-p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to p} \dfrac{x\sqrt{x}-p \sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{p}}{\sqrt{x}+\sqrt{p}} \\ & = \lim\limits_{x \to p} \dfrac{x^{2}+x\sqrt{px}-p\sqrt{px}-p^{2}}{x-p} \\ &= \lim\limits_{x \to p} \dfrac{\left ( x-p \right )\left ( x+p \right )+\sqrt{px}\left ( x-p \right )}{x-p} \\ &= \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ \left ( x+p \right )+\sqrt{px} }{1} \\ &= \dfrac{ \left ( p+p \right )+\sqrt{p(p)} }{1} \\ &= 2p+ p =3p \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3p$
66. Soal UM UGM 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x^{2}-2x}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x^{2}-2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x\left(x-2 \right)} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+5-9}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x-2 \right)\left(x + 2 \right)}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+2 \right)}{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 2+2 \right)}{2 \left( \sqrt{(2)^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \dfrac{ 4 }{2 \left( \sqrt{9}+3 \right)} = \dfrac{1}{3} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}$
67. Soal UMB PTN 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{x+6}}{3+\sqrt{x+6}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{9- \left(x+6 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3-x \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{1 } \\ & = \dfrac{- \left( 3+\sqrt{3+6} \right)}{1 } = -6 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -6$
68. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \cdot \dfrac{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 3-\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)}{ \left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{9- \left( 3x^{2}+2x+9 \right)}{\left( 2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(3x^{2}+2x \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(2x \right) \left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}(0) + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3(0)+2(0)+9} \right)} \\ & = \dfrac{-1}{3+\sqrt{9}} = - \dfrac{1}{6} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\dfrac{1}{6}$
69. Soal UM UPI 2009
Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 2}\ \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2}$ adalah$ \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left(8x-16 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x+2-4 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(x-2 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x-2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)} \\ & = \dfrac{ 8 \left(\sqrt{2+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8(2)}+4 \right)} \\ & = \dfrac{ 8 \left(2+2 \right)}{\left(4+4 \right)}=4 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$
70. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 5-x-4 \right) \left( \sqrt{2+x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right) \left(1-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \dfrac{ \sqrt{2-(1)}+1 }{ \sqrt{5-(1)}+2 } \\
& = \dfrac{2}{ \sqrt{4}+2 } \\
& = \dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$
71. Soal Simulasi US Matematika SMA |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$, maka nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=4$
$\begin{align}
\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5} & = 0 \\
\sqrt{4a-3}-\sqrt{4b+5} & = 0\\
\sqrt{4a-3} & = \sqrt{4b+5} \\
4a-3 & = 4b+5 \\
4a-4b & = 8 \\
a- b & = 2
\end{align}$
Jika soal limit di atas kita kalikan dengan akar sekawan menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}}{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}} &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(ax-3 \right)-\left(bx+5 \right)}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ ax-3 - bx-5}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ \left( a-b \right)x - 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2x - 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 \left( x - 4 \right) }{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} } &= \dfrac{1}{3} \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} &= 6 \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4(a-2) +5} &= 6 \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-8+5} &= 6 \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-3} &= 6 \\
2\sqrt{4a-3} &= 6 \\
\sqrt{4a-3} &= 3 \\
4a-3 &= 9 \\
a &= 3
\end{align}$
Untuk $a=3$ kita peroleh $b=a-2=1$ sehingga nilai $a+b=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$
72. Soal UM UNPAD 2006 |*Soal Lengkap
$ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $ maka $2a+4b= \cdots $
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=-6$ maka nilai $\sqrt{-6+a}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{-6+a}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
$\begin{align}
\sqrt{-6+a}-2 &= 0 \\
\sqrt{-6+a} &= 2 \\
-6+a &= 4 \\
a &= 6+4=10
\end{align}$
Untuk $a=10$ maka
$\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6}=b $
$\begin{align} \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{x+10}+2 \right)}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+10-4}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+6}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \dfrac{1}{\left(\sqrt{-6+10}+2 \right)} &= b \\ \dfrac{1}{4} &= b \end{align}$
Untuk $a=10$ dan $b=\dfrac{1}{4}$ kita peroleh:
$\begin{align}
2a+4b &= 2(10)+4(\dfrac{1}{4}) \\
&= 20+1 \\
&= 21
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 21$
73. Soal UMPTN 1993 (Rayon A,B,C) |*Soal Lengkap - Soal SPM UNNES 2008 Kode 140208 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3}{4}$, maka $a+b$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3}{4}$. Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $ax+b -\sqrt{x}$ harus $0$, karena jika $ax+b -\sqrt{x}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Sehingga untuk $x=4$ berlaku:
$\begin{align}
ax+b -\sqrt{x} & = 0 \\
4a+b -\sqrt{4} & = 0 \\
4a+b & = 2
\end{align}$
Lalu dengan mengalikan akar sekawan maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4} &= \dfrac{3}{4} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4} \times \dfrac{ax+b +\sqrt{x}}{ax+b +\sqrt{x}} &= \dfrac{3}{4} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}-x}{\left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(x-4 \right)\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)+\left(4a+b\right)^{2}-4}{\left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(x-4 \right)\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)+\left( 2 \right)^{2}-4}{ \left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)}{ \left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\dfrac{\left(4a^{2} +2ab+4a^{2}-1 \right)}{ \left( 4a+b +\sqrt{4} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\dfrac{\left(8a^{2} +2ab-1 \right)}{ \left( 2 + 2 \right)} &= \dfrac{3}{4} \\
\dfrac{\left( 8a^{2} +2ab -1 \right)}{4} &= \dfrac{3}{4} \\
\hline
8a^{2} +2ab -1 &= 3 \\
8a^{2} +2a\left( 2-4a\right) -1 &= 3 \\
8a^{2} +4a-8a^{2} &= 4 \\
4a &= 4 \\
a &= 1
\end{align}$
Warning!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -1$
74. Soal SBMPTN 2014 Kode 542 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $ \sqrt{Ax+B}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{Ax+B}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=0$
$\begin{align}
\sqrt{Ax+B}-2 & = 0 \\
\sqrt{A(0)+B}-2 & = 0\\
\sqrt{B} & = 2\\
B & = 4
\end{align}$
Untuk $B=4$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{Ax+4}+2}{\sqrt{Ax+4}+2} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sqrt{Ax+4}-2 \right) \left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( Ax+4 -4 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{Ax}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{A}{ \sqrt{Ax+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{A(0)+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{4} & = 1 \\
A & = 4
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4B=A^{2}$
75. Soal SPMB 2006 Kode 320 |*Soal Lengkap
Agar $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+q}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$, maka nilai $p+2q=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+q}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $\sqrt{p(x-1)+q}-3$ harus $0$, karena jika $\sqrt{p(x-1)+q}-3$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
sehingga untuk $x=1$ berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{p(x-1)+q}-3 & = 0 \\
\sqrt{p(1-1)+q}-3 & = 0 \\
\sqrt{q}-3 & = 0 \\
q & = 9
\end{align}$
$\begin{align} \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}-3}{x-1} \cdot \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}+3}{\sqrt{p(x-1)+9}+3} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p(x-1)+9-9}{(x-1) \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p(x-1)}{(x-1) \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p }{ \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ \sqrt{p((1)-1)+9}+3 } &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ \sqrt{9}+3 } &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ 6 } &= -\dfrac{3}{2} \\ 2p &= - 18 \\ p &=-9 \end{align}$
Nilai $p+2q=-9+18=9$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9$
76. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}}=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{ 5+1}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{ 5+1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{6}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{6}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \cdot 2}}}{\sqrt{(3+2)-2 \sqrt{3 \cdot 2}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}- \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}\\ & = \dfrac{3+2+2\sqrt{6}}{3- 2} \\ & = 5+2\sqrt{6} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5+2\sqrt{6}$
77. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (5+2\sqrt{x} \right )-\left (5-2\sqrt{x} \right )}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{0}}+\sqrt{5-2\sqrt{0}} \right )} \\ & = \dfrac{4 }{ \sqrt{5} +\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{4 }{ 2\sqrt{5} } = \dfrac{2}{\sqrt{5} } \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{5} $
78. Soal SPMB 2005 Kode 580 |*Soal Lengkap
Jika $a \neq 0$, maka $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)}{\left(x-a \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a(a)}+\sqrt[3]{a^{2}} \right)} \\ & = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{a^{2}}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}} \\ & = \dfrac{1}{3a}\sqrt[3]{a^{2}} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{3a}\sqrt[3]{a}$
79. Soal USM STIS 2017 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$
Untuk menghemat penulisan kita coba dengan memisalkan $m=\sqrt{1-x}$, karena $x \to 0$ maka $m \to 1$. Soal limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ sudah bisa kita tuliskan menjadi $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-\sqrt[3]{m^{2}}}$ atau $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)}$.
Sedikit catatan kita tentang perkalian akar sekawan yaitu $\left( \sqrt[3]{a}-1 \right)\left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a}+1 \right)=a-1$
$\begin{align} & \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{\left(\sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left(m-1 \right)\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{-\left(m^{2} -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left(m-1 \right)\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{-\left(m -1 \right)\left(m +1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{- \left(m +1 \right)} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{(1)}+1 \right)}{- \left(1 +1 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 1+1+1 \right)}{- \left( 2 \right)} \\ & = -\dfrac{3}{2} \end{align}$
Warning!
Jika soal ini kita kerjakan dengan dengan menggunakan Aturan L'Hospital, penyelesaian seperti berikut ini;
$\begin{align}
\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}} & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{1}{\frac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\frac{2}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\dfrac{2}{3}} = - \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ - \dfrac{3}{2}$
80. Soal SIMAK UI 2009 Kode 951 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} \cdot \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2}{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{2+\sqrt[3]{x} -4}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -2}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\left (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{8} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{1}{\left ( 1 \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left ( \sqrt[3]{8^{2}}+\sqrt[3]{8 (8)}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{(8)}}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{ \left ( 4+4+4 \right ) \left( \sqrt{2+2}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{48} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{48}$
81. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}}$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Sebagai catatan, kita ingatkan sedikit tentang bentuk akar yaitu: $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$, atau $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$ $\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}=\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right|$
Dari kesamaan bentuk akar di atas dan soal limit, maka kita peroleh: $ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right|} \end{align} $
Untuk $x \gt 3$ maka $\sqrt{x}-\sqrt{3} \gt 0$, sehingga kita peroleh limit kanan; $ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 33^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{1} \\ & = \dfrac{ \left( \sqrt{3} + \sqrt{3} \right)}{1}=2\sqrt{3} \\ \end{align} $
Untuk $0 \lt x \lt 3$ maka $\sqrt{x}-\sqrt{3} \lt 0$, sehingga kita peroleh limit kiri; $ \begin{align} &\lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{-\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{-1} \\ & = \dfrac{ \left( \sqrt{3} + \sqrt{3} \right)}{-1}=-2\sqrt{3} \\ \end{align} $
Karena nilai $\lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \neq \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| }$ atau Limit Kiri $\neq$ Limit Kanan maka nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| }$ tidak ada.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $-$
82. Soal UM UGM 2014 Kode 531 |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$. Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Fungsi $f(x)=\sqrt{1+x}$, maka
$\begin{align}
f(3+2h^{2}) & = \sqrt{1+3+2h^{2}} \\
& = \sqrt{4+2h^{2}} \\
f(3-3h^{2}) & = \sqrt{1+3-3h^{2}} \\
& = \sqrt{4-3h^{2}}
\end{align}$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-3h^{2}}}{h^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-2h^{2}}}{h^{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}}{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(4+2h^{2}\right) -\left(4-3h^{2}\right)}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4+2h^{2}-4+3h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5}{ \sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} }\\ & = \dfrac{5}{\sqrt{4+0}+\sqrt{4-0} } \\ & = \dfrac{5}{4} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{5}{4}$
83. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap
Diketahui $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(2,0)$, $C(2,y)$, dan $D(0,y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$, coba kita hitung keliling $\square ABCD$ dan keliling $\bigtriangleup ACD$.
- Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,
- Jarak titik $A(1,0)$ ke $B(2,0)$ adalah $AB=\sqrt{(2-1)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{1}=1$
- Jarak titik $B(2,0)$ ke $C(2,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
- Jarak titik $C(2,y)$ ke $D(0,y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-2)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
- Jarak titik $A(1,0)$ ke $D(0,y)$ adalah $AD=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-y)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$
- Jarak titik $A(1,0)$ ke $C(2,y)$ adalah $AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$
$ \begin{align} & \text{keliling}\ \square ABCD \\ & = AB+BC+CD+DA \\ & = 1+y+2+\sqrt{1+y^{2}} \\ & = 3+y+\sqrt{1+y^{2}} \end{align} $
$ \begin{align} & \text{keliling}\ \bigtriangleup ACD \\ & = AC+CD+DA \\ & = \sqrt{1+y^{2}} +2+\sqrt{1+y^{2}} \\ & = 2+2\sqrt{1+y^{2}} \end{align} $
$ \begin{align} & \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD} \\ & = \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{3+y+\sqrt{1+y^{2}}}{2+2\sqrt{1+y^{2}}} \\ & = \dfrac{3+1+\sqrt{1+1^{2}}}{2+2\sqrt{1+1^{2}}} \\ & = \dfrac{4+\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} \times \dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{8-8\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4}{4-8} \\ & = \dfrac{4-6\sqrt{2}}{-4} \\ & = \dfrac{2-3\sqrt{2}}{-2} \\ & =\dfrac{1}{2}\left(3\sqrt{2}-2 \right) \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2)$
84. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap
Diketahui $O(0,0)$, $A(2,0)$, $B(2,y)$, $C(0,y)$, dan $D(0,\frac{1}{2}y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$, coba kita hitung keliling $\square OABD$ dan keliling $\bigtriangleup BCD$.
- Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,
- Jarak titik $O(0,0)$ ke $A(2,0)$ adalah $OA=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
- Jarak titik $A(2,0)$ ke $B(2,y)$ adalah $AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
- Jarak titik $B(2,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $BD=\sqrt{(0-2)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}$
- Jarak titik $O(0,0)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $OD=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-\frac{1}{2}y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
- Jarak titik $B(2,y)$ ke $C(0,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-0)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
- Jarak titik $C(0,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-0)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
$ \begin{align} & \text{keliling}\ \bigtriangleup BCD \\ & = BC+CD+DB \\ & = 2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}} \end{align} $
$ \begin{align} & \text{keliling}\ \square OABD \\ & = OA+AB+BD+DO \\ & = 2+y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}+\frac{1}{2}y \\ & = 2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}} \end{align} $
$ \begin{align} & \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD} \\ & = \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}}{2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}} \\ & = \dfrac{2+\frac{1}{2}(2) +\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}}{2+\frac{3}{2}(2)+\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}} \\ & = \dfrac{2+1+\sqrt{4+1}}{2+3+\sqrt{4+1}} \\ & = \dfrac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \times \dfrac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5}{25-5} \\ & = \dfrac{10+2\sqrt{5}}{20} \\ & = \dfrac{5+\sqrt{5}}{10} \end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}$
85. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{8t^{3}}}-t+1 \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{t^{3}}}-t+1 \right ) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (t \right )+\lim\limits_{t \to 2} \left (1 \right ) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left (A+2 \right )-2+1 \\ &= \dfrac{A}{2}+1-1 = \dfrac{A}{2} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{A}{2}$
86. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2+2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2}{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1} {(x+3)}+\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(x+3)} \\ & = A \cdot \dfrac{1} {4}+ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-2(x-1) }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{4} \\ & = A \cdot \dfrac{1} {4}+ (-2) \cdot \dfrac{1}{4} \\ & = \dfrac{A}{4}- \dfrac{2}{4} = \dfrac{A-2}{4} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{A-2}{4}$
87. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right )=2$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ ax + b }-2x+1}{(x+1)(x+3)} \right ) \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ 2a + b }-2(2) +1}{(2+1)(2+3)} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot 6-3}{15} \\ &= \dfrac{0}{15}=0 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$
88. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right )=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ax^{3}+b}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\ &= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8a +b}-2(2)}{(2)^{2}+2(2)-2} \\ &= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot A-4}{6} \\ &= \dfrac{A-8}{12} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $\dfrac{1}{12}(A-8)$
89. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{4x^{2}-1} \right )=\cdots $
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right ) &= A \\ \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right ) &= \dfrac{1}{2} A \\ \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{2 \left( x-\frac{1}{2} \right)} \right ) &= \dfrac{A}{2} \\ \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{ \left( 2x- 1 \right)} \right ) &= \dfrac{A}{2} \\ \end{align} $
Dengan beberapa manipulasi aljabar, penjabaran soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{4x^{2}-1} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \sqrt[3]{ ax^{3} + b }-2x}{ \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \left( \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x \right)}{ \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x }{2 \left( 2x-1 \right) \left( 2x+1 \right)} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ 1 }{2 \left( 2x+1 \right)} \right )\\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2 + 2 - 4x }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{2 \left( 2 \cdot \frac{1}{2} +1 \right)} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2 - 2 \left(2x -1 \right) }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - \dfrac{ 2 \left(2x -1 \right) }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\
&= \left (\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\
&= \left ( \dfrac{A}{2} - 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\
&= \dfrac{A}{8} - \dfrac{ 1 }{2}
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{8}A-\dfrac{1}{2}$
90. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2}}{t^{2}-a^{2}} \right )=K$, maka nilai $\lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{4}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{4}}{t-a} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
Dengan beberapa manipulasi aljabar, penjabaran soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{4}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{4}}{t-a} \right ) \\
& = \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t-a} \right ) \\
& = \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t-a} \cdot \dfrac{\left (t+a \right )}{\left (t+a \right )} \right ) \\
&= \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (t+a \right ) }{t^{2}-a^{2}} \right ) \\
&= \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t^{2}-a^{2}} \right ) \cdot \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (t+a \right ) }{1} \right ) \\
&= K \cdot \left ( \left [\left (\left | a \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (a+a \right ) \right ) \\
&= K \cdot \left ( 2 \left ( \left | a \right |-1 \right )^{2} \cdot \left (2a \right ) \right ) \\
&= 4aK \cdot \left ( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\
\end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4aK \left( \left | a \right |-1 \right )^{2}$
91. Soal Simulasi US Matematika SMA |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1}=A$, maka nilai dari $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1}=A$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $\sqrt{ax^{2}+b}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax^{2}+b}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
sehingga untuk $x=1$ berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{ax^{2}+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{a(1)^{2}+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{a+b} & = 2 \\
\end{align}$
$\begin{align} \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1} \times \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}+2}{\sqrt{ax^{2}+b}+2} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+b -4}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( a+b-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( 4-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right) }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right) }{ \left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \dfrac{a\left( 1+1 \right) }{ \left( \sqrt{a(1)^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \dfrac{2a}{ \left( \sqrt{a+b}+2 \right)} &= A \\ \dfrac{2a}{ \left( 2+2 \right)} &= A \\ \dfrac{a}{ 2} &= A \\ a &= 2A \\ \end{align}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3} \times \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}+2x}{\sqrt{ax^{2}+b}+2x} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ ax^{2}+b-4x^{2}}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+a+b-4}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+4-4}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right) \left( x+1 \right)}{ \left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \dfrac{ \left( a-4 \right) \left( 1+1 \right)}{ \left( 1+3 \right)\left( \sqrt{a(1)^{2}+b}+2(1) \right)} \\
&= \dfrac{ 2A-4 }{ \left( 2 \right)\left( 2+2 \right)} \\
&= \dfrac{ A-2 }{4} \\
\end{align}$
Warning!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{ A-2 }{4}$
92. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba pinjam catatan bentuk akar yaitu $\sqrt{a}- \sqrt{b}=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$ untuk $a \gt b$.
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4- 2\sqrt{4x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{4}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} 1 = 1 \\ \hline & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4- 2\sqrt{4x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} -1 = -1 \end{align}$
Dari hasil di atas kita peroleh limit kiri $\lim\limits_{x \to 4^{-}} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}=-1$ dan limit kanan $\lim\limits_{x \to 4^{+}} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}=1$ sehingga nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}$ tidak ada.
Tetapi jika pada saat situasi ujian, pilihlah jawaban yang memenuhi salah satu nilai limitnya. Karena pada saat ujian dengan soal pilihan ganda, soalnya dirancang untuk mempunyai satu jawaban yang benar.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1$
93. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(9x-9\right)^{\frac{1}{3}}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( 9x-9\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right) }{\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{\left( x-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9 \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{1} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+1\right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( 1+1+1 \right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 27 \right)^{\frac{1}{3}} =3 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$
94. Soal UN SMA IPS 2017 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}} \cdot \dfrac{1+\sqrt{x-3}}{1+\sqrt{x-3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{1-\left( x-3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{4-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{-\left( x-4 \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 4+4 \right)\left( 1+\sqrt{4-3} \right)}{-1} \\ & = \dfrac{ \left( 8 \right)\left( 2 \right)}{-1} =-16 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -16$
95. Soal UN SMA IPA 2012 |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}=\cdot$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3} \cdot \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{3-x}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-\left( x-3 \right)}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-1}{\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \dfrac{-1}{\left( 2+\sqrt{3+1} \right)}=\dfrac{-1}{4} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{4}$
96. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ -\left ( 1-x \right )+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{\left (1+x \right )\left (1-x \right )}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \sqrt[3]{\left (1-x \right )} \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{\sqrt[3]{\left (1-x \right )} \cdot \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\ & = \dfrac{ \left (-\left ( 1-1 \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+1 \right )}} \\ & = \dfrac{ 1}{ \sqrt[3]{2}} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$
97. Soal UMPTN 1992 (Rayon C) |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x}- \sqrt{2x-1}}{x-1} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x}- \sqrt{2x-1}}{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x}- \sqrt{2x-1}}{x-1} \times \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{2x-1}}{\sqrt{x} + \sqrt{2x-1}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x- \left(2x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x- 2x+1 }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-x+1 }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{- \left( x-1 \right) }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{- 1 }{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \dfrac{- 1 }{ \left( \sqrt{1} + \sqrt{2(1)-1} \right)} \\ & = \dfrac{- 1 }{ \left( 1 + 1 \right)}=\dfrac{- 1 }{ 2} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$
98. Soal UMPTN 1997 (Rayon B) |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x- \sqrt{2x+3}}{x^{2}-9} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x- \sqrt{2x+3}}{x^{2}-9} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x- \sqrt{2x+3}}{x^{2}-9} \times \dfrac{x + \sqrt{2x+3}}{x + \sqrt{2x+3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}- \left(2x+3\right)}{\left( x^{2}-9 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-2x-3 }{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x+1 \right) }{ \left( x+3 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 3+1 \right) }{ \left( 3+3 \right)\left( 3 + \sqrt{2(3)+3} \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 4 \right) }{ \left( 6 \right)\left( 3 + 3 \right)} = \dfrac{ 4 }{ 36}= \dfrac{ 1 }{ 9} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{9}$
99. Soal UMPTN 1998 (Rayon B) |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^{2}- 5x}{3-\sqrt{9+x}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^{2}- 5x}{3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^{2}- 5x}{3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 2x^{2}- 5x \right)\left( 3+\sqrt{9+x} \right)}{9-\left(9+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\left( 2x- 5 \right)\left( 3+\sqrt{9+x} \right)}{-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} (-1)\left( 2x- 5 \right)\left( 3+\sqrt{9+x} \right) \\ & = (-1)\left( 2(0)- 5 \right)\left( 3+\sqrt{9+0} \right) \\ & = (-1)\left( - 5 \right)\left( 3+ 3 \right) = 30 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30$
100. Soal UN SMA IPA 2009 |*Soal Lengkap
Nilai $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{5x+14}+2}{\sqrt{5x+14}+2}\\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5x+14-4} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5x+10} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5 \left( x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt{5(-2)+14}+2 \right)}{5} \\ & = \dfrac{\left( 2+2 \right)}{5}= \dfrac{4}{5}=0,8 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0,8$
101. Soal UMPTN 1997 (Rayon A) |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1+x}-1 }{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1}} \times \dfrac{ \sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} }{\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( \sqrt{1+x}-1 \right) \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right)}{1+x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( \sqrt{1+x}-1 \right) \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right)}{x} \times \dfrac{ \sqrt{1+x}+1 }{ \sqrt{1+x}+1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( 1+x -1 \right) \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right) }{(x) \left(\sqrt{1+x}+1 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right)}{ \left(\sqrt{1+x}+1 \right) } \\ & = \dfrac{ \sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+0}+\sqrt[3]{(1+0)^{2}}}{ \left(\sqrt{1+0}+1 \right) } \\ & = \dfrac{1+1+1}{1+1}= \dfrac{3}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{3}{2}$
102. Soal UMPTN 1998 (Rayon A) |*Soal Lengkap
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}{\left(x-1\right)^{2}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:
- $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
- $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$
$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}{\left(x-1\right)^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{2}}{\left(x-1\right)^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \sqrt[3]{x}-1 }{ x-1 } \right)^{2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \sqrt[3]{x}-1 }{ x-1 } \times \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ x-1 }{ x-1 } \times \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \left( \dfrac{1}{1+1+1} \right)^{2} =\dfrac{1}{9} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{9}$
103. Soal SNMPTN 2010 Kode 528 |*Soal Lengkap
Diketahui fungsi $g$ kontinu di $x=3$ dan $\lim\limits_{x \to 3} g(x)=2$. Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \left( g(x) \cdot \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:
- $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \left( g(x) \cdot \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 3} g(x) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) \\ & = \left( 2 \right) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} \right) \\ & = \left( 2 \right) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{\left( x-3 \right) \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{x-3} \right) \\ & = \left( 2 \right) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{1} \\ & = \left( 2 \right) \cdot \left( \sqrt{3}+\sqrt{3} \right) = 4\sqrt{3} \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{3}$
104. Soal SNMPTN 2011 Kode 678 |*Soal Lengkap
Diketahui suku banyak $g(x)=ax^{2}+(a-b)x+a$ habis dibagi $x-1$. Jika $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)}{x^{2}-2x+1}=\dfrac{1}{3}$, maka nilai $a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Sedikit catatan dari suku banyak (polinomial), jika suku banyak banyak $g(x)$ habis dibagi $x-a$ maka $g(a)=0$.
Sehingga untuk $g(x)=ax^{2}+(a-b)x+a$ habis dibagi $x-1$ kita peroleh:
$ \begin{align}
g(x) &= ax^{2}+(a-b)x+a \\
g(1) &= a(1)^{2}+(a-b)(1)+a \\
0 &= a + a-b +a \\
0 &= 3a -b \\
b &= 3a
\end{align} $
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)}{x^{2}-2x+1} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+(a-b)x+a}{\left(x-1 \right)\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(x-1 \right)\left(ax+2a-b \right)+\left( 3a-b \right)}{\left(x-1 \right)\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(x-1 \right)\left( ax+2a-b \right)}{\left(x-1 \right)\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( ax+2a-b \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( ax+2a-3a \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( ax-a \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x-1 \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ a &= \dfrac{1}{3} \end{align} $
Untuk $a = \dfrac{1}{3}$ kita peroleh $b = 1$ sehingga nilai $a+b= \dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{3}$
105. Soal SNMPTN 2011 Kode 678 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{1}{2}$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1} \times \dfrac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x) \left( \sqrt{1-x}+1 \right)}{1-x-1} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x) \left( \sqrt{1-x}+1 \right)}{-x} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{1-x}+1 \right)}{-1} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{1-0}+1 \right)}{-1}=-1 \end{align} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1$
106. Soal Simulasi UTBK-SBMPTN |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4}=\dfrac{3}{16}$, maka nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4}=\dfrac{3}{16}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $\sqrt{ax+b}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax+b}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
sehingga untuk $x=2$ berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{ax+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{2a+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{2a+b} & = 2 \\
2a+b & = 4 \\
\end{align}$
Lalu dengan mengalikan akar sekawan maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4} \times \dfrac{\sqrt{ax+b}+2}{\sqrt{ax+b}+2} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ ax+b -4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)+ 2a+b-4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)+ 4-4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a }{ \left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\dfrac{ a }{ \left( 2+2 \right)\left( \sqrt{2a+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\dfrac{ a }{ \left( 4 \right)\left( 4 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
a &= 3 \\
\end{align}$
Warning!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1$
107. Soal Simulasi UTBK-SBMPTN |*Soal Lengkap
Diketahui $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{x-2},\ x \neq 2 \\ 2,\ x = 2 \end{cases}$, Semua pernyataan berikut adalah benar, kecuali...
Alternatif Pembahasan:
Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:
- $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Untuk menentukan jawaban, kita coba tentukan kebenaran dari setiap pilihan:
- $(A)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1$ salah, karena $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ tidak ada, $\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)= \infty $ dan $\lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x)= - \infty $
- $(B)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$ benar, karena $f(2)=2$
- $(C)\ f\ \text{tidak mempunyai turunan di}\ x=2$ benar, karena $f$ tidak kontinu pada $x=2$ Jika suatu fungsi tidak kontinu pada $x = c$, maka fungsi tersebut tidak memiliki turunan di $x = c$
- $(D)\ f\ \text{tidak kontinu di}\ x=2$ benar, karena karena $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ tidak ada
- $(E)\ f\ \text{kontinu di}\ x=0$ benar, karena $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)=0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1$
108. Soal SNMPTN 2010 Kode 528 |*Soal Lengkap
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-1}{x-1},\ x \neq 1 \\ 3,\ x = 1 \end{cases}$, Semua pernyataan berikut benar, kecuali...
Alternatif Pembahasan:
Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:
- $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Untuk menentukan jawaban, kita coba tentukan kebenaran dari setiap pilihan:
- $(A)\ \lim\limits_{x \to 1} f(x)= 2$ benar,
$\begin{align} \lim\limits_{x \to 1} f(x) &= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \\ &= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x+1 \right)}{1} \\ &= \dfrac{\left( 1+1 \right)}{1}=2 \end{align}$ - $(B)\ \lim\limits_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ benar, karena $\lim\limits_{x \to 1} f(x)= 2$ dan $f(1)=3$
- $(C)\ f\ \text{mempunyai turunan di}\ x=1$ salah, karena $f\ \text{tidak kontinu di}\ x=1$
- $(D)\ f\ \text{tidak kontinu di}\ x=1$ benar, karena ketiga syarat sebuah fungsi dikatakan kontinu ketiganya tidak dipenuhi.
- $(E)\ f\ \text{kontinu di}\ x=0$ benar, ketiga syarat sebuah fungsi dikatakan kontinu ketiganya dipenuhi.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ f\ \text{mempunyai turunan di}\ x=1$
109. Soal SBMPTN 2014 Kode 532 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right)=4$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right)=-3$, maka $\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right) & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right) & = -3 \\ \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) - \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = -3\ \ \ (+) \\ \hline 2\lim\limits_{x \to a} f(x) & = 1 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) & = \dfrac{1}{2} \end{align}$
Untuk $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \dfrac{1}{2}$ maka kita peroleh $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{7}{2}$ atau $\lim\limits_{x \to a} g(x) =\dfrac{2}{7}$.
Nilai $\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x)= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{14}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{2}{14}$
110. Soal SBMPTN 2014 Kode 514 |*Soal Lengkap
Jika $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right)=4$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right)=-3$, maka $\lim\limits_{x \to a} \left( f^{2}(x)+\dfrac{1}{g^{2}(x)} \right) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right) & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right) & = -3 \\ \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) - \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = -3\ \ \ (+) \\ \hline 2\lim\limits_{x \to a} f(x) & = 1 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) & = \dfrac{1}{2} \end{align}$
Untuk $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \dfrac{1}{2}$ maka kita peroleh $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{7}{2}$.
$\begin{align} \text{Nilai}\ \lim\limits_{x \to a} \left( f^{2}(x)+\dfrac{1}{g^{2}(x)} \right) &= \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}+\left( \dfrac{7}{2} \right)^{2} \\ & = \dfrac{1}{4}+\dfrac{49}{4} \\ & =\dfrac{50}{4}=\dfrac{25}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{25}{2}$
111. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika $r$ dan $s$ merupakan bilangan real sehingga $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{rx+2x-2}-\sqrt{s \left( x+2 \right)}}{x-2}=K$, maka $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{rx+2x+r}-\sqrt{s \left( x+3 \right)}}{x^{2}-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlukan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:
- Jika $x \longrightarrow 1$ maka $\left( x+1 \right) \longrightarrow 2$.
- Jika dimisalkan $x+1=m$ maka $x=m-1$ dan $m \longrightarrow 2$.
Dari yang diketahui pada soal di atas dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{rx+2x+r}-\sqrt{s \left( x+3 \right)}}{x^{2}-1} \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{r\left( m-1 \right)+2\left( m-1 \right)+r}-\sqrt{s \left( m-1+3 \right)}}{\left( m-1 \right)^{2}-1} \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{rm-r+2m-2+r}-\sqrt{s \left( m+2 \right)}}{m^{2}-2m+1-1} \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{rm+2m-2}-\sqrt{s \left( m+2 \right)}}{m^{2}-2m} \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{rm+2m-2}-\sqrt{s \left( m+2 \right)}}{m \left( m-2 \right)} \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \left( \dfrac{1}{m} \cdot \dfrac{\sqrt{rm+2m-2}-\sqrt{s \left( m+2 \right)}}{\left( m-2 \right)} \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot K
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{2}K$
112. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan real sehingga $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x}}-\sqrt{ax+b}}{x-2}=L$, maka $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{1+x^{3}}-\sqrt{ax+bx^{2}}}{\sqrt{2x}-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlukan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:
- Jika $x \longrightarrow \frac{1}{2}$ maka $\frac{1}{x} \longrightarrow 2$.
- Jika dimisalkan $\frac{1}{x}=m$ maka $\frac{1}{m}=x$ dan $m \longrightarrow 2$.
Dari yang diketahui pada soal di atas dapat kita tuliskan:
$ \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{1+x^{3}}-\sqrt{ax+bx^{2}}}{\sqrt{2x}-1} $
$= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{1+\left( \frac{1}{m} \right)^{3}}-\sqrt{a\left( \frac{1}{m} \right)+b\left( \frac{1}{m} \right)^{2}}}{\sqrt{2\left( \frac{1}{m} \right)}-1}$
$= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{1+\frac{1}{m^{3}}}-\sqrt{ \frac{a}{m}+ \frac{b}{m^{2}}}}{\sqrt{\frac{2}{m}}-1}$
$= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} \left( m^{2}+ \frac{1}{m} \right)}-\sqrt{ \frac{1}{m^{2}} \left( am+b \right)}}{\sqrt{\frac{2m}{m^{2}}}-1}$
$= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\frac{1}{m} \sqrt{ m^{2}+ \frac{1}{m} }-\frac{1}{m}\sqrt{ am+b }}{\frac{1}{m} \left(\sqrt{2m}-m \right)}$
$= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{ \sqrt{ m^{2}+ \frac{1}{m} }- \sqrt{ am+b }}{ \left(\sqrt{2m}-m \right)}$
$= \lim\limits_{m \to 2} \left( \dfrac{\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m}}- \sqrt{ am+b}}{ \sqrt{2m}-m} \cdot \dfrac{\sqrt{2m}+m}{\sqrt{2m}+m} \right)$
$= \lim\limits_{m \to 2} \left( \dfrac{\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m}}- \sqrt{ am+b}}{ 2m-m^{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2m}+m}{1} \right)$
$= \lim\limits_{m \to 2} \left( \dfrac{\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m}}- \sqrt{ am+b}}{ m-2} \cdot \dfrac{\sqrt{2m}+m}{-m} \right)$
$= L \cdot \dfrac{\sqrt{2(2)}+(2)}{-(2)} $
$= L \cdot \dfrac{2+2}{-2} $
$= -2L$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -2L$
113. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika $p$ dan $q$ merupakan bilangan real sehingga $\lim\limits_{x \to \frac{1}{3}} \dfrac{\sqrt{9x^{4}+3}-\sqrt{\frac{p}{x^{2}}+q}}{3x-1}=L$, maka $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{3x^{4}+9}-\sqrt{px^{6}+qx^{4}}}{x^{2}-9}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlukan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:
- Jika $x \longrightarrow 3$ maka $\frac{1}{x} \longrightarrow \frac{1}{3}$.
- Jika dimisalkan $\frac{1}{x}=m$ maka $\frac{1}{m}=x$ dan $m \longrightarrow \frac{1}{3}$.
Dari yang diketahui pada soal di atas dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{3x^{4}+9}-\sqrt{px^{6}+qx^{4}}}{x^{2}-9} \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{\sqrt{3\left( \frac{1}{m} \right)^{4}+9}-\sqrt{p\left( \frac{1}{m} \right)^{6}+q\left( \frac{1}{m} \right)^{4}}}{\left( \frac{1}{m} \right)^{2}-9} \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{\sqrt{\frac{3}{m^{4}}+\frac{9m^{4}}{m^{4}}}-\sqrt{\frac{p}{m^{6}}+ \frac{q}{m^{4}}}}{\frac{1}{m^{2}}-9} \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{\sqrt{\frac{1}{m^{4}} \left(3+ 9m^{4} \right)}-\sqrt{\frac{1}{m^{4}} \left( \frac{p}{m^{2}}+ q \right)}}{\frac{1}{m^{2}} \left(1-9m^{2} \right)} \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{\frac{1}{m^{2}}\sqrt{3+ 9m^{4}}-\frac{1}{m^{2}}\sqrt{\frac{p}{m^{2}}+ q}}{\frac{1}{m^{2}} \left( 1-9m^{2} \right) } \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{ \sqrt{3+ 9m^{4}}- \sqrt{\frac{p}{m^{2}}+ q}}{ 1-9m^{2} } \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{ \sqrt{9m^{4}+3}- \sqrt{\frac{p}{m^{2}}+ q}}{ -\left(3m+1 \right)\left(3m-1 \right) } \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \left( \dfrac{ \sqrt{9m^{4}+3}- \sqrt{\frac{p}{m^{2}}+ q}}{ \left(3m-1 \right) } \cdot \dfrac{1}{ -\left(3m+1 \right)} \right)\\
&= L \cdot \dfrac{1}{-2}\\
&= -\dfrac{L}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{L}{2}$
114. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika $r$ dan $s$ merupakan bilangan real sehingga $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{1+\frac{r}{x^{2}}}-\sqrt{sx^{4}+1}}{1-2x}=L$, maka $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+rx^{4}}-\sqrt{\frac{s}{x^{2}}+x^{2}}}{x^{2}-4}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlukan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:
- Jika $x \longrightarrow 2$ maka $\frac{1}{x} \longrightarrow \frac{1}{2}$.
- Jika dimisalkan $\frac{1}{x}=m$ maka $\frac{1}{m}=x$ dan $m \longrightarrow \frac{1}{2}$.
Dari yang diketahui pada soal di atas dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+rx^{4}}-\sqrt{\frac{s}{x^{2}}+x^{2}}}{x^{2}-4} \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{\left( \frac{1}{m} \right)^{2}+r\left( \frac{1}{m} \right)^{4}}-\sqrt{\frac{s}{\left( \frac{1}{m} \right)^{2}}+\left( \frac{1}{m} \right)^{2}}}{\left( \frac{1}{m} \right)^{2}-4} \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{ \frac{1}{m^{2}}+ \frac{r}{m^{4}}}-\sqrt{sm^{2}+ \frac{1}{m^{2}}}}{\frac{1}{m^{2}}-4} \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{ \frac{1}{m^{2}} \left( 1 + \frac{r}{m^{2}} \right)}-\sqrt{\frac{1}{m^{2}} \left(sm^{4}+ 1 \right)}}{\frac{1}{m^{2}} \left(1-4m^{2} \right)} \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \dfrac{\frac{1}{m}\sqrt{ 1 + \frac{r}{m^{2}}}-\frac{1}{m}\sqrt{sm^{4}+ 1}}{\frac{1}{m^{2}} \left(1-4m^{2} \right)} \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{ 1 + \frac{r}{m^{2}}}-\sqrt{sm^{4}+ 1}}{\frac{1}{m} \left(1-2m \right)\left(1+2m \right)} \\
&= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \left( \dfrac{\sqrt{ 1 + \frac{r}{m^{2}}}-\sqrt{sm^{4}+ 1}}{\left(1-2m \right)} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{m}\left(1+2m \right)} \right) \\
&= L \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{\frac{1}{2}}\left(1+2 \cdot \frac{1}{2} \right)} \\
&= L \cdot \dfrac{1}{2\left(1+ 1 \right)} \\
&= \dfrac{L}{4}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{L}{4}$
115. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap
Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan real sehingga $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+\frac{4}{x}}-\sqrt{ax+b}}{x-2}=L$, maka $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{x+4x^{3}}-\sqrt{ax+bx^{2}}}{1-4x^{2}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:
Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
- $\lim\limits_{x \to c} k=k$
- $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
- $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlukan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:
- Jika $x \longrightarrow \frac{1}{2}$ maka $\frac{1}{x} \longrightarrow 2$.
- Jika dimisalkan $\frac{1}{x}=m$ maka $\frac{1}{m}=x$ dan $m \longrightarrow 2$.
Dari yang diketahui pada soal di atas dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{x+4x^{3}}-\sqrt{ax+bx^{2}}}{1-4x^{2}} \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{\left( \frac{1}{m} \right)+4\left( \frac{1}{m} \right)^{3}}-\sqrt{a\left( \frac{1}{m} \right)+b\left( \frac{1}{m} \right)^{2}}}{1-4\left( \frac{1}{m} \right)^{2}} \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{ \frac{1}{m} + \frac{4}{m^{3}}}-\sqrt{ \frac{a}{m} + \frac{b}{m^{2}}}}{1- \frac{4}{m^{2}}} \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{ \frac{1}{m^{2}} \left( m + \frac{4}{m} \right)}-\sqrt{ \frac{1}{m^{2}} \left( am + b \right)}}{ \frac{1}{m^{2}} \left( m^{2}-4 \right) } \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\frac{1}{m} \sqrt{ \left( m + \frac{4}{m} \right)}- \frac{1}{m} \sqrt{ \left( am + b \right)}}{ \frac{1}{m^{2}} \left( m -2 \right) \left( m+2 \right) } \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{ \left( m + \frac{4}{m} \right)}- \sqrt{ \left( am + b \right)}}{ \frac{1}{m} \left( m -2 \right) \left( m+2 \right) } \\
&= \lim\limits_{m \to 2} \left( \dfrac{\sqrt{ \left( m + \frac{4}{m} \right)}- \sqrt{ \left( am + b \right)}}{ \left( m -2 \right) } \cdot \dfrac{1}{ \frac{1}{m} \left( m+2 \right) } \right) \\
&= L \cdot \dfrac{1}{ \frac{1}{2} \left( 2+2 \right) } \\
&= L \cdot \dfrac{1}{ 2 }
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{L}{2}$
Beberapa pembahasan soal Limit Fungsi Aljabar di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
