Skip to main content

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar (88)

Bank Soal Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar (*Soal dan Pembahasan)Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini, coba berdiskusi tentang Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar. Catatan limit fungsi kita bagi dalam tiga catatan yaitu matematika dasar limit fungsi aljabar, matematika dasar limit fungsi trigonometri dan matematika dasar limit fungsi takhingga.

Penerapan Limit Fungsi Aljabar dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung, tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam matematika bagaimana kita bisa belajar Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan sampai kepada Integral Fungsi.

Bagaimana menggunakan aturan-aturan pada limit fungsi aljabar untuk menyelesaikan soal-soal yang berkembang bukan sesuatu yang sulit, jika kita mengikuti step by step penjabaran pada pembahasan soal dibawah ini, maka limit fungsi aljabarnya sedikit demi sedikit akan semakin kita pahami.

Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.

Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ kg$. Hasil $70,5\ kg$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang paling tepat tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ kg$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.

Beberapa conoth soal Limit Fungsi Aljabar untuk kita diskusikan, yang kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal UN (Ujian Nasional), Soal simulasi yang dilaksanakan oleh bimbingan belajar atau soal ujian yang dilaksanakan di sekolah.

Sedikit informasi tambahan yang mungkin tidak terlalu penting, kemarin siswa baru selesai penilaian harian tentang limit dan ada beberapa siswa yang mendapat nilai sempurna, sehingga sebagai kenang-kenangan hasil pekerjaan siswa kita photo dan ditampilkan sebagai photo dari artikel ini karena hasil sempurna.

Sebagai catatan sederhana tentang limit fungsi, yang mungkin kita pakai dalam menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri.

Berdasarkan defenisi limit, Jika nilai Limit Kiri = Limit Kanan=L secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.

Nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$.

Tetapi jika nilai yang dihasilkan adalah bentuk tak tentu antara lain $\dfrac{0}{0}, \, \dfrac{\infty}{\infty} , \, \infty - \infty , \, 0^0 , \, \infty ^ \infty $ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan atau mengalikan dengan akar sekawan atau dengan manipulasi aljabar lainnya, selama tidak menyalahi aturan-aturan pada matematika.

Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar Dengan Pemfaktoran


Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan antara lain:
  • $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b) $
  • $ a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2}) $
  • $ a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$

Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar Dengan Mengalikan Akar Sekawan


Berikut beberapa bentuk akar sekawan dari beberapa fungsi:
  • $ \sqrt{x} + \sqrt{a} \, $ akar sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{a} $
  • $ a\sqrt{x} - b \sqrt{y} \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} + b \sqrt{y} $
  • $ a\sqrt{x} + b \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $

Teorema Limit Fungsi


Beberapa teorema limit fungsi yang dapat kita gunakan dalam menyelesaikan Masalah Limit Fungsi.
Andaikan $n$ bilangan bulat positif, $k$ konstanta, dan $f$ dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:
  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} c=c$
  • $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Aturan L'Hospital atau Menggunakan Turunan


Cara menyelesaikan limit dengan Aturan L'Hospital atau pakai turunan ini adalah bisa kita pakai jika kita sudah mengenal atau belajar Turunan Fungsi. Apabila belum mengenal atau belajar Fungsi Turunan, menggunakan cara ini tidak dianjurkan.

Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{0}{0}$ dan $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ ada,
maka $ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)}=L$

Suatu fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$


Defenisi di atas menjelaskan bahwa sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:
  • $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Jika salah satu saja dari syarat di atas tidak dipenuhi, Maka $f$ dikatakan tidak kontinu di $x=a$.

Mari kita diskusikan beberapa soal Limit Fungsi aljabar yang sudah pernah diujikan pada Ujian Sekolah, Ujian Nasional, Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri๐Ÿ˜Š

1. Soal UNBK Matematika SMA IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui
$f(x)=\begin{cases}3x-p,\ x\leq 2 \\
2x+1,\ x > 2 \end{cases}$

Agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai, maka $p=...$
Alternatif Pembahasan:
show

Berdasarkan defenisi limit, agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai maka Limit Kiri = Limit Kanan secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{-}}f(x)=L$

Limit kanan $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{+}}(2x+1)=2(2)+1=5$

Limit kiri $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{-}}(3x-p)=3(2)-p=6-p$

Berdasarkan defenisi agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai yaitu Limit Kiri = Limit Kanan maka:
$6-p=5$
$6-5=p$
$p=1$

$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $1$

Sebagai tambahan yang masih kesulitan memahami defenisi limit silahkan di simak lewat video di bawah catatan ini atau di Defenisi Limit Fungsi

2. Soal UN Matematika SMA IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-3x+2}{x-1} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita kerjakan langsung dengan substitusi,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-3x+2}{x-1} \\
& = \dfrac{2^{2}-3(2)+2}{2-1} \\
& = \dfrac{4-6+2}{2-1} \\
& = \dfrac{ 0 }{1}= 0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

3. Soal UN Matematika SMA IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x^{2}-x-6}{3x^{2}-5x-2} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{5} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 7
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x^{2}-x-6}{3x^{2}-5x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 2x+3 \right)\left( x-2 \right)}{\left( 3x+1 \right)\left( x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 2x+3 \right)}{\left( 3x+1 \right)} \\
& = \dfrac{2(2)+3 }{3(2)+1}=\dfrac{7}{7}=1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x^{2}-x-6}{3x^{2}-5x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4x-1}{6x-5} \\
& = \dfrac{4(2)-1}{6(2)-5} = \dfrac{7}{7}=1
\end{align} $

4. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{2x^{2}-7x+3} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{5}{6} \\
(C)\ & \dfrac{6}{7} \\
(D)\ & \dfrac{7}{6} \\
(E)\ & \dfrac{6}{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{2x^{2}-7x+3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{(x+3)(x-3)}{(2x-1)(x-3)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{(x+3) }{(2x-1) } \\
& = \dfrac{(3+3) }{(2(3)-1) } = \dfrac{6}{5}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{5}$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x-0}{4x-7+0} \\
& = \dfrac{2(3)-0}{4(3)-7+0} = \dfrac{6}{5}
\end{align} $

5. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 1995 (*Soal Lengkap)

Nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( x \right) \left( 6x^{4}-4 \right)}{\left( x \right) \left( 2x^{3}+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( 6x^{4}-4 \right)}{\left( 2x^{3}+1 \right)} \\
& = \dfrac{ \left( 6(0)^{4}-4 \right)}{\left( 2(0)^{3}+1 \right)} \\
& = \dfrac{ -4 }{1}=-4
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x^{5}-4x}{2x^{4}+x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{30x^{4}-4}{8x^{3}+1} \\
& = \dfrac{30(0)^{4}-4}{8(0)^{3}+1} \\
& = \dfrac{-4}{1}=-4
\end{align} $

6. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 1996 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-x-20}{x-5} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 9 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & -4 \\
(E)\ & -9
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-x-20}{x-5} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x-5 \right) \left( x+4 \right)}{\left( x-5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( 1 \right)} \\
& = \dfrac{ 5+4 }{1}=9
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 9$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-x-20}{x-5} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{2x-1}{1} \\
& = \dfrac{2(5)-1}{1} = 9
\end{align} $

7. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 1997 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{x^{2}+x-12} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & \dfrac{3}{7} \\
(D)\ & \dfrac{1}{7} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{x^{2}+x-12} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)}{ \left( x+4 \right)\left( x-3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( 1 \right)}{\left( x+4 \right)} \\
& = \dfrac{ 1 }{3+4}=\dfrac{ 1 }{7}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{7}$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{x^{2}+x-12} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{2x+1} \\
& = \dfrac{1}{2(3)+1} = \dfrac{1}{7}
\end{align} $

8. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 1998 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-x-2} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)}{ \left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( x+1 \right)} \\
& = \dfrac{ 2+4 }{2+1}=\dfrac{ 6 }{3}=2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}-x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x+2}{2x-1} \\
& = \dfrac{2(2)+2}{2(2)-1} = \dfrac{6}{3}=2
\end{align} $

9. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 1999 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-2 \right)^{2}-1}{x-3} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-2 \right)^{2}-1}{x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-4x+4-1}{x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-4x+3}{x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)}{ \left( x-3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-1 \right)}{\left( 1 \right)} \\
& = \dfrac{ 3-1 }{1}=2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-2 \right)^{2}-1}{x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2\left( x-2 \right)(1)}{1} \\
& = \dfrac{2\left( 3-2 \right)(1)}{1}=2
\end{align} $


10. Soal EBTANAS Matematika SMA IPS 2000 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}+4x-12} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \infty \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{3}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}+4x-12} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)}{ \left( x+6 \right)\left( x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( x+6 \right)} \\
& = \dfrac{ 2+4 }{2+6}=\dfrac{ 6 }{8}=\dfrac{ 3 }{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3}{4}$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2x-8}{x^{2}+4x-12} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x+2}{2x+4} \\
& = \dfrac{2(2)+2}{2(2)+4} = \dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}
\end{align} $

11. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 2002 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{8} \\
(C)\ & \dfrac{1}{8} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{5}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}{ \left( x+2 \right)\left( x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x-3 \right)}{\left( x+2 \right)} \\
& = \dfrac{ 2-3 }{2+2}=\dfrac{ -1 }{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{4}$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x-5}{2x} \\
& = \dfrac{2(2)-5}{2(2)} = \dfrac{-1}{4}
\end{align} $

12. Soal UN Matematika SMA IPS 2017 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2 \left( x+1 \right)\left( x-3 \right)}{ \left( x+1 \right)\left( x-3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2 \left( x+1 \right)}{ \left( x+1 \right)} \\
& = \dfrac{ 2(3+1) }{3+1}=2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{4x-4}{2x-2} \\
& = \dfrac{4(3)-4}{2(3)-2}=\dfrac{8}{4}=2
\end{align} $

13. Soal UN Matematika SMA IPS 2015 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & -4 \\
(E)\ & -8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x-4 \right)}{ \left( x-4 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( 1 \right)} \\
& = \dfrac{ 4+4 }{1}=8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 8$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2x}{1} \\
& = \dfrac{2(4)}{1} = 8
\end{align} $

14. Soal UN Matematika SMA IPS 2014 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{7}{8} \\
(D)\ & \dfrac{3}{2} \\
(E)\ & \dfrac{7}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)}{ \left( 2 \right)\left( x+4 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{ \left( x+3 \right)}{\left( 2 \right)} \\
& = \dfrac{ -4+3 }{2}=\dfrac{ -1 }{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{2x+7}{2} \\
& = \dfrac{2(-4)+7}{2} = \dfrac{-1}{2}
\end{align} $

15. Soal UN Matematika SMA IPA 2008 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 32 \\
(B)\ & 16 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}{x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x\ \left( x+2 \right)}{1} \\
& = \dfrac{2\left( 2+2 \right)}{1}=8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 8$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3x^{2}-4}{1} \\
& = \dfrac{3(2)^{2}-4}{1} = 8
\end{align} $

16. Soal UN Matematika SMA IPA 2010 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^{2}-4} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^{2}-4} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{\left( 2x^{2}-8 \right)-\left( 8x-16 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x^{2}-4 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2x^{2}-8x+8}{\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{\left( x+2 \right)} \right) \\
& = \dfrac{2}{\left( 2+2 \right)}=\dfrac{2}{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}$

17. Soal UN Matematika SMA IPA 2007 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 2\frac{1}{2} \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x-1 \right)\left( x-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x-4 \right)}{ \left( x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \dfrac{ \left( 1-4 \right)}{ \left( (1)^{2}+(1)+1 \right)} \\
& = \dfrac{-3}{3} =-1
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -1$

WARNING..!, Cara kedua dengan Aturan L'Hospital, Ada baiknya digunakan setelah belajar turunan fungsi.
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2x-5}{3x^{2}} \\
& = \dfrac{2(1)-5}{3(1)^{2}} = \dfrac{-3}{3}=-1
\end{align} $

18. Soal UAN Matematika SMA IPA 2004 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x^{2}-4}-\dfrac{3}{x^{2}+2x-8} \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{7}{12} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{12} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{24} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x^{2}-4}-\dfrac{3}{x^{2}+2x-8} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{\left( 2x^{2}+4x-16 \right)-\left( 3x^{2}-12 \right)}{\left( x^{2}+2x-8 \right)\left( x^{2}-4 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-x^{2}+4x-4}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-1}{\left( x+2 \right) \left( x+4 \right)} \right) \\
& = \dfrac{-1}{\left( 2+2 \right) \left( 2+4 \right)}=\dfrac{-1}{24}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{24}$


19. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-8}{x^{2}+x-6} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{4} \\
(B)\ & \dfrac{2}{15} \\
(C)\ & 1 \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & 2 \dfrac{2}{5} \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Pertama kita kerjakan dengan cara memfaktorkan,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-8}{x^{2}+x-6} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x^{2}+2x+4 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x^{2}+2x+4 \right)}{\left( x+3 \right)} \\
& = \dfrac{ (2)^{2}+2(2)+4}{2+3} = \dfrac{ 12}{5}
\end{align} $

Jika sudah belajar turunan, maka cara kedua dengan Aturan L'Hospital bisa dipakai,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-8}{x^{2}+x-6} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3x^{2}-0}{2x+1-0} \\
& = \dfrac{3(2)^{2}-0}{2(2)+1-0} = \dfrac{ 12}{5}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2 \dfrac{2}{5}$

20. Soal UM UGM 2005 Kode 621 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{1-x}-\dfrac{2}{x-x^{3}} \right)=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & \dfrac{2}{3} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{1-x}-\dfrac{2}{x-x^{3}} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{1-x}-\dfrac{2}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{\left( x \right)\left( 1+x \right)-2}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{x^{2}+x-2}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ -\left( x+2 \right)\left( 1-x \right)}{\left( x \right)\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ -\left( x+2 \right)}{\left( x \right)\left( 1+x \right)} \right) \\
& = \dfrac{-\left( (1)+2 \right)}{\left( 1 \right)\left( 1+(1) \right)} \\
& = \dfrac{-3}{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{3}{2}$

21. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27}=-\dfrac{1}{3^{5}}$, nilai $a+b$ untuk $a$ dan $b$ bulat positif adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit di atas sehingga hasilnya seperti yang diharapkan, kita coba dengan menggunakan turunan. Kita anggap pada turunan pertama nilai limit untuk $x \to -3$ hasilnya adalah $-\dfrac{1}{3^{5}}$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{a}x^{-1}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-\frac{1}{ax^{2}}}{3bx^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3bx^{2} \cdot ax^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3abx^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
-\dfrac{1}{3ab(-3)^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
-\dfrac{1}{ ab3^{5}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
ab & = 1
\end{align}$
Untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang memenuhi $ab=1$ adalah $a=1$ dan $b=1$, maka $a+b=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$

22. Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=5x^{2}+3$. Hasil dari $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 10x \\
(E)\ & 5x^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari informasi pada soal, yang ditanyakan adalah $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dari sebuah fungsi $f(x)$. Jika kita teliti dalam membaca soal bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan fungsi $f(x)$.
Defenisi turunan fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
$ \begin{align}
f(x) &=5x^{2}+3 \\
f'(x) &=10x
\end{align}$

Tetapi jika ingin mengerjakannya dengan proses limit fungsi,
$\begin{align}
& \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5(x+h)^{2}+3 -\left( 5x^{2}+3 \right)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 \left(x^{2}+2hx+h^{2} \right) +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 x^{2}+10hx+5h^{2} +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ +10hx+5h^{2}}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \left( +10 x+5h \right) \\
& = 10 x+5(0) \\
& = 10x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 10x$

23. Soal UMB PTN 2008 Kode 270 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4t^{4}+4t-72}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{11}{4} \\
(B)\ & \dfrac{11}{3} \\
(C)\ & 11 \\
(D)\ & 22 \\
(E)\ & 33
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4t^{4}+4t-72}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4\left( t-2 \right)\left( t^{3}+2t^{2}+4t+9 \right)}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4 \left( t^{3}+2t^{2}+4t+9 \right)}{ \left( t^{2}+3t+2 \right)} \\
& = \dfrac{4 \left( (2)^{3}+2(2)^{2}+4(2)+9 \right)}{ (2)^{2}+3(2)+2} \\
& = \dfrac{4 \left( 33 \right)}{ 12} = 11
\end{align} $

Jika sudah belajar turunan, maka cara kedua dengan Aturan L'Hospital bisa dipakai,
$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{4t^{4}+4t-72}{\left( t-2 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{t \to 2} \dfrac{16t^{3}+4}{\left( 1 \right)\left( t^{2}+3t+2 \right)+\left( t-2 \right)\left( 2t+3 \right)} \\
& = \dfrac{16(2)^{3}+4}{\left( 1 \right)\left( (2)^{2}+3(2)+2 \right)+\left( 2-2 \right)\left( 2(2)+3 \right)} \\
& = \dfrac{16 \cdot 8 +4}{12} = \dfrac{4 (4 \cdot 8) +1}{12} = 11
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 11$

24. Soal UM UGM 2010 Kode 461 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{x^{2}-x-2}-\dfrac{2}{x-2} \right)$ sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{3} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{x^{2}-x-2}-\dfrac{2}{x-2} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}-\dfrac{2}{x-2} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}-\dfrac{2\left( x+1 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{6-2\left( x+1 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right)\\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{4-2x}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-2\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)} \right)\\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-2 }{ \left( x+1 \right)} \right)\\
& = \dfrac{-2 }{ \left( 2+1 \right)} = \dfrac{-2}{3}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{2}{3}$

25. Soal SIMAK UI 2011 Kode 213 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)-3g(x) \right)=2$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( 3f(x)+g(x) \right)=1$ maka $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x) \cdot g(x) \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Dari persamaan $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)-3g(x) \right)=2$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( 3f(x)+g(x) \right)=1$ dengan teorema limit dapat kita ubah betuknya menjadi:
$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)-3g(x) \right) &=2 \\
\lim\limits_{x \to a} f(x)-3\ \lim\limits_{x \to a} g(x) &=2 \\
\hline
\lim\limits_{x \to a} \left( 3f(x)+g(x) \right) &=1 \\
3\ \lim\limits_{x \to a} f(x)+ \lim\limits_{x \to a} g(x) &=1
\end{align} $

Jika kita misalkan $\lim\limits_{x \to a} f(x)=m$ dan $\lim\limits_{x \to a} f(x)=n$, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m-3n=2 & (\times 3) \\
3m+ n =1 & (\times 1) \\
\hline
3m - 9n =6 & \\
3m + n =1 \ \ \ (-)& \\
\hline
-10n = 5 & \\
n = -\dfrac{1}{2} & \lim\limits_{x \to a} g(x)=-\dfrac{1}{2} \\
m = \dfrac{1}{2} & \lim\limits_{x \to a} f(x) = \dfrac{1}{2} \\
\end{array} $

$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to a} \left( f(x) \cdot g(x) \right) & = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x) \\
& = \left( -\dfrac{1}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right) \\
& = -\dfrac{1}{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{4}$

26. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ adalah dua bilangan real dengan $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -35 \\
(B)\ & -30 \\
(C)\ & -15 \\
(D)\ & -3 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $x^{2}+2ax+b$ harus $0$, karena jika $x^{2}+2ax+b$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

Karena nilai $x^{2}+2ax+b$ untuk $x=2$ adalah $0$ maka $x-2$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
x^{2}+2ax+b & \equiv (x-2)(mx+n) \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+nx-2mx-2n \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+(n-2m)x-2n \\
\hline
\therefore & 1 = m \\
\therefore & 2a = n-2m=n-2 \\
\therefore & b = -2n
\end{align}$

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+n)}{x-2} & =-3 \\
\lim\limits_{x \to 2} (x+n) & =-3 \\
2+n & =-3 \\
n &= -3-2 \\
n &= -5
\end{align}$

Untuk $n=-5$ maka $b=10$ dan $a=-\dfrac{7}{2}$

Nilai $ab=-\dfrac{7}{2} \cdot 10 = -35$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -35$

27. Soal SBMPTN 2017 Kode 226(*Soal Lengkap)

Jika kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=-4$ maka $\dfrac{b+c}{a}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ maka nilai $c=1$ sehingga $f(x)=ax^{2}+bx+1$.

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $ax^{2}+bx+1$ harus $0$, karena jika $ax^{2}+bx+1$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

Karena nilai $ax^{2}+bx+1$ untuk $x=1$ adalh $0$ maka $x-1$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx+1 & \equiv (x-1)(mx+n) \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+nx-mx-n \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+(n-m)x-n \\
-1 &= n \\
b &= n-m \\
b &= -1-m \\
a &= m
\end{align}$

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(mx+n)}{x-1} & =-4 \\
\lim\limits_{x \to 1} (mx+n) & =-4 \\
\lim\limits_{x \to 1} (mx-1) & =-4 \\
m-1 & =-4 \\
m &= -4+1 \\
m &=-3
\end{align}$

Untuk $m=-3$ nilai $a=-3$, $b=2$ dan $c=1$, maka $\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{2+1}{-3}=-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$


28. Soal UN Matematika SMA IPA 2009 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 1,2 \\
(D)\ & 0,8 \\
(E)\ & 0,4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{5x+14}+2}{\sqrt{5x+14}+2}\\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5x+14-4} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5x+10} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5 \left( x+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5} \\
& = \dfrac{\left( \sqrt{5(-2)+14}+2 \right)}{5} \\
& = \dfrac{\left( 2+2 \right)}{5}= \dfrac{4}{5}=0,8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0,8$

29. Soal UN Matematika SMA IPS 2017 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -16 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 32
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}} \cdot \dfrac{1+\sqrt{x-3}}{1+\sqrt{x-3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{1-left( x-3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{4-x} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{-\left( x-4 \right)} \\
& = \dfrac{ \left( 4+4 \right)\left( 1+\sqrt{4-3} \right)}{-1} \\
& = \dfrac{ \left( 8 \right)\left( 2 \right)}{-1} =-16
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -16$

30. Soal UN Matematika SMA IPA 2012 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3} \cdot \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)}}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{3-x}}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-\left( x-3 \right)}}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-1}}{\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\
& = \dfrac{-1}}{\left( 2+\sqrt{3+1} \right)}=\dfrac{-1}}{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{4}$

31. Soal UN Matematika SMA IPA 2011 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{x-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( \sqrt{x}+2 \right)}{1} \\
& = \dfrac{\left( \sqrt{4}+2 \right)}{1}=4
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$

32. Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(E)\ & -6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{17-2x^{2}}}{3+\sqrt{17-2x^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{9-\left( 17-2x^{2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2x^{2}-8} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2(x-2)(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2 (x+2)} \\
& = \dfrac{ (2-4)\left( 3+\sqrt{17-2(2)^{2}} \right)}{ 2 (2+2)} \\
& = \dfrac{ (-2)\left( 3+3 \right)}{8} \\
& = -\dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{3}{2}$

33. Soal UN Matematika SMA IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-x-6}{\sqrt{3x^{2}-2}-5}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{25}{9} \\
(C)\ & \dfrac{25}{6} \\
(D)\ & \dfrac{25}{3} \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-x-6}{\sqrt{3x^{2}-2}-5} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{\sqrt{3x^{2}-2}-5} \cdot \dfrac{\sqrt{3x^{2}-2}+5}{\sqrt{3x^{2}-2}+5}\\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3x^{2}-2 -25} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x^{2}-9 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x-3 \right)\left( x+3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x+3 \right)} \\
& = \dfrac{\left( 3+2 \right)\left( \sqrt{3(3)^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( 3+3 \right)} \\
& = \dfrac{\left( 5 \right)\left( \sqrt{27-2}+5 \right)}{18} \\
& = \dfrac{\left( 5 \right)\left( 10 \right)}{18} \\
& = \dfrac{25}{9}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{25}{9}$

34. Soal UN Matematika SMA IPA 2006 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{8} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{8} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6} \\
& = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6} \cdot \dfrac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4}}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4}} \\
& = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\left( 3x-2 \right)-\left( 2x+4 \right)}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{x-6}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\
& = \dfrac{1}{\left(\sqrt{3(6)-2}+\sqrt{2(6)+4} \right)} \\
& = \dfrac{1}{\left(\sqrt{16}+\sqrt{16} \right)} = \dfrac{1}{8}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{8}$

35. Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 2000 (*Soal Lengkap) - Soal UMB PTN 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -3
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{1-\sqrt{1+x^{2}}} \times \dfrac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{1-\left( 1+x^{2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{ x^{2} } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right)}{ 1 } \\
& = \dfrac{ \left( 1+\sqrt{1+0} \right)}{ 1 } = 2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2$

36. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 1995 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 0 \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x+2\right)-\left(3x-2\right)}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-2x}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 }{\left( \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2} \right)} \\
& = \dfrac{-2 }{\left( \sqrt{2+2}+\sqrt{3(2)-2} \right)} \\
& = \dfrac{-2}{2+2}= -\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -\dfrac{1}{2}$


37. Soal EBATANAS Matematika SMA IPA 1999 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x-2}{\sqrt{x+7}-3}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 12
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Bentuk soal limit fungsi di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x-2}{\sqrt{x+7}-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x-2}{\sqrt{x+7}-3} \cdot \dfrac{\sqrt{x+7}+3}{\sqrt{x+7}+3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x-2 \right)\left( \sqrt{x+7}+3 \right)}{ x+7 +9} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( x-2 \right)\left( \sqrt{x+7}+3 \right)}{ x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( \sqrt{x+7}+3 \right)}{ 1 } \\
& = \dfrac{ \left( \sqrt{2+7}+3 \right)}{ 1 }=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 6$

38. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 15
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{3}} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{ \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{x - 3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{1} \\
& = \dfrac{ \left( \sqrt{3}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{3}+\sqrt{3} \right)}{1} \\
& = \left( 2\sqrt{3} \right)\left( 2\sqrt{3} \right)=12
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12$

39. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{64} \\
(B)\ & \dfrac{1}{128} \\
(C)\ & \dfrac{1}{256} \\
(D)\ & \dfrac{1}{512} \\
(E)\ & \dfrac{1}{1024}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan soal limit diatas, kita coba dengan memisalkan $\sqrt{x}=p$ sehingga $x^{2}=p^{4}$ dan karena $x \to 4$ maka $p \to 2$, perubahan pada soal menjadi;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \times \dfrac{p+\sqrt{3p-2}}{p+\sqrt{3p-2}} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p^{2}-(3p-2)}{\left (p^{2}-4 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{(p-2)(p-1)}{\left (p-2 \right )\left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{ (p-1)}{ \left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \dfrac{ (2-1)}{ \left (2+2 \right )\left (2^{2}+4 \right )\left (2+\sqrt{3(2)-2} \right )} \\
& = \dfrac{1}{ \left (4 \right )\left (8 \right )\left (4 \right )} = \dfrac{1}{128}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{128}$

40. Soal UN Matematika SMA IPA 2003 (*Soal Lengkap) - Soal UMB PTN 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{9-\left( x^{2}+5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{4- x^{2} } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\
& = 3+\sqrt{2^{2}+5} \\
& = 3+\sqrt{9}=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$

41. Soal UMB PTN 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \times \dfrac{x+1+\sqrt{2x+5}}{x+1+\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{(x+1)^{2}-(2x+5)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-2x+1- 2x-5 } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-4 } \times \dfrac{\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) }{ \left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (9- 2x-5 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left (x-2 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 \left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \dfrac{-2 \left( 2+1+\sqrt{2(2)+5 } \right )}{ (2+2)\left (3+\sqrt{2(2)+5} \right ) } \\
& = \dfrac{-2 \left( 3+3 \right)}{(2+2) \left( 3+3 \right)}=-\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

42. Soal UM UNDIP 2009 Kode 192 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$, maka $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Karena $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$ maka:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} f(x) & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x}}-1}{\dfrac{x}{\sqrt{x}}+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \\
& = \dfrac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{0}+1} \\
& = \dfrac{-1}{1}=-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -1$

43. Soal UMB PTN 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \times \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ x^{2}+5-9} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x-2)(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x+2)} \\
& = \dfrac{2 \left( \sqrt{2^{2}+5}+3 \right)}{ (2+2)} \\
& = \dfrac{2 \left( 3+3 \right)}{ 4}= 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

44. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Jika $a=\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}}$ maka nilai $4-a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\
(B)\ & -12 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
a & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{2-\sqrt{x+2}} \times \dfrac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{4-(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-1} \\
& = \dfrac{ (2+2) \left( 2+\sqrt{2+2} \right)}{-1} \\
& = -16 \\
4-a & = 4-(-16)=20
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 20$

45. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}+x\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\sqrt{2}+x\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)}{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)\left( x-2 \right)}{x-2}\\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( \sqrt{x} + \sqrt{2} \right)^{2}}{1} \\
& = \left( 2\sqrt{2} \right)^{2} = 8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8 \dfrac{2}{5}$


46. Soal SPMB 2005 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5x^{2}+x}{\sqrt{4+x} - 2} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5x^{2}+x}{\sqrt{4+x} - 2} \cdot \dfrac{\sqrt{4+x} - 2}{\sqrt{4+x} + 2} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ 4+x - 4} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ x } \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left(5x +1 \right) \left( \sqrt{4+x} + 2 \right)}{ 1 } \\
& = \dfrac{ \left(5(0) +1 \right) \left( \sqrt{4+0} + 2 \right)}{ 1 } \\
& = \left( 1 \right)\left( 2 \right) = 2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2$

47. Soal SPMB 2005 Kode 470 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{ 9- \left( x^{2}+5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{ 4- x^{2} } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\
& = 3+\sqrt{(2)^{2}+5} = 3+\sqrt{9} = 6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$

48. Soal Simulasi UTBK SBMPTN Matematika Saintek 2020

Diketahui $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{x-2},\ x \neq 2 \\
2,\ x = 2 \end{cases}$,
Semua pernyataan berikut adalah benar, kecuali...
$\begin{align}
(A)\ & \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1 \\
(B)\ & \lim\limits_{x \to 2} f(x) \neq f(2) \\
(C)\ & f\ \text{tidak mempunyai turunan di}\ x=2 \\
(D)\ & f\ \text{tidak kontinu di}\ x=2 \\
(E)\ & f\ \text{kontinu di}\ x=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menentukan jawaban, kita coba tentukan kebenaran dari setiap pilihan:

  • $(A)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1$ salah, karena $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ tidak ada, $\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)= \infty $ dan $\lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x)= - \infty $
  • $(B)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$ benar, karena $f(2)=2$
  • $(C)\ f\ \text{tidak mempunyai turunan di}\ x=2$ benar, karena $f$ tidak kontinu pada $x=2$
    Jika suatu fungsi tidak kontinu pada $x = c$, maka fungsi tersebut tidak memiliki turunan di $x = c$
  • $(D)\ f\ \text{tidak kontinu di}\ x=2$ benar, karena karena $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ tidak ada
  • $(E)\ f\ \text{kontinu di}\ x=0$ benar, karena $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1$

49. Soal UM UGM 2004 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{9-x^{2}}{4-\sqrt{x^{2}+7}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{9-x^{2}}{4-\sqrt{x^{2}+7}} \cdot \dfrac{4+\sqrt{x^{2}+7}}{4+\sqrt{x^{2}+7}} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( 9-x^{2} \right) \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right) }{ 16- \left( x^{2}+7 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( 9-x^{2} \right) \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right)}{ 9- x^{2} } \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( 4+\sqrt{x^{2}+7} \right)}{1} \\
& = 4+\sqrt{(3)^{2}+7} = 4+\sqrt{16} = 8
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 8$

50. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to q} \dfrac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3\sqrt{q} \\
(B)\ & \sqrt{q} \\
(C)\ & q \\
(D)\ & q\sqrt{q} \\
(E)\ & 3q
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{q}}{\sqrt{x}+\sqrt{q}} \\
& = \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x^{2}+x\sqrt{qx}-q\sqrt{qx}-q^{2}}{x-q} \\
&= \lim\limits_{x \to q} \dfrac{\left ( x-q \right )\left ( x+q \right )+\sqrt{qx}\left ( x-q \right )}{x-q} \\
&= \lim\limits_{x \to q} \dfrac{ \left ( x+q \right )+\sqrt{qx} }{1} \\
&= \dfrac{ \left ( q+q \right )+\sqrt{q(q)} }{1} \\
&= 2q+ q =3q
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3q$

51. Soal UM UGM 2006 Kode 372 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)= \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x^{2}+3}}$, maka $\lim\limits_{x \to 1}\ f(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to 1}\ f(x) & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x^{2}+3}} \cdot \dfrac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{2+\sqrt{x^{2}+3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ 4- \left( x^{2}+3 \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ 1-x^{2} } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 1-x \right) \left( 2+\sqrt{x^{2}+3} \right)}{ \left( 1-x \right)\left( 1+x \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 2+\sqrt{x^{2}+3} }{ 1+x } \\
& = \dfrac{ 2+\sqrt{(1)^{2}+3} }{ 1+(1) } \\
& = \dfrac{ 2+2}{2}=2 \\
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

52. Soal SPMB 2006 Kode 411 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 14 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 2\sqrt{q} \\
(D)\ & \sqrt{7} \\
(E)\ & \dfrac{1}{2} \sqrt{7}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}+\sqrt{7}} \\
& = \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left(x-7 \right) \left( \sqrt{x}+\sqrt{7} \right)}{x-7} \\
& = \lim\limits_{x \to 7} \dfrac{\sqrt{x} \left( \sqrt{x}+\sqrt{7} \right)}{1} \\
& = \dfrac{\sqrt{7} \left( \sqrt{7}+\sqrt{7} \right)}{1} \\
&= \sqrt{7} \left( 2\sqrt{7} \right) = 14
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 14$

53. Soal SNMPTN 2007 Kode 341 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\
(B)\ & -10 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 20
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{5-\sqrt{x^{2}+9}} \cdot \dfrac{5+\sqrt{x^{2}+9}}{5+\sqrt{x^{2}+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x^{2}-16 \right) \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 25- \left( x^{2} +9 \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x^{2}-16 \right) \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 16- x^{2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ - \left( 5+\sqrt{x^{2}+9} \right)}{ 1 } \\
& = \dfrac{ - \left( 5+\sqrt{(4)^{2}+9} \right)}{ 1 } = - \left( 5+\sqrt{25} \right) = -10
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -10$

54. Soal SNMPTN 2007 Kode 141 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 14 \\
(E)\ & 18
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^{2}-25}{\sqrt{x^{2}+24}-7} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+24}+7}{\sqrt{x^{2}+24}+7} \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x^{2}-25 \right) \left( \sqrt{x^{2}+24}+7 \right)}{ x^{2}+24 -49 } \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\left( x^{2}-25 \right) \left( \sqrt{x^{2}+24}+7 \right)}{ x^{2} - 25 } \\
& = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{ \sqrt{x^{2}+24}+7 }{ 1 } \\
& = \sqrt{(5)^{2}+24}+7 = \sqrt{25+24}+7 = 14
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 14$


55. Soal SNMPTN 2007 Kode 541 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}+1}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x}+1 \right)^{2}}{ x-1 } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{x}+1 \right)^{2}}{ 1 } \\
& = \left(\sqrt{1}+1 \right)^{2} = 2^{2} = 4
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$

56. Soal SNMPTN 2007 Kode 441 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x+3}+2 \right) }{ x+3-4 } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x-1 \right) \left( \sqrt{x+3}+2 \right) }{ x-1 } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+3}+2}{ 1 } \\
& = \sqrt{1+3}+2 = 2+2 = 4
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$

57. Soal SNMPTN 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -1\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 1\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x} \cdot \dfrac{\sqrt{2-x}+x}{\sqrt{2-x}+x} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-x+x^{2} }{ \left( x^{2}-x \right) \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) }{x \left( x -1 \right) \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right) }{x \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\
& = \dfrac{ \left( 1+2 \right) }{1 \left( \sqrt{2-1}+1 \right) } = \dfrac{ 3 }{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1\dfrac{1}{2}$

58. Soal SNMPTN 2007 Kode 641 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & -1\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 1\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x} \cdot \dfrac{1+\sqrt{3x-2}}{1+\sqrt{3x-2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\left( 3x-2 \right) }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-3x+2 }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3-3x }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3\left( 1-x \right) }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\
& = \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{3(1)-2} \right) } \\
& = \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{1} \right) } = \dfrac{3}{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1\dfrac{1}{2}$

59. Soal SNMPTN 2008 Kode 111 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{3}{8} \\
(C)\ & \dfrac{3}{4} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 1\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3x-2 \right)-4 }{ \left( 2x-4 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3x-6 }{ \left( 2x-4 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3(x-2) }{ 2\left( x-2 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\
& = \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{3(2)-2}+2 \right) } \\
& = \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{4}+2 \right) = \dfrac{3}{8}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{8}$

60. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 9 \\
(E)\ & 10
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 3x\sqrt{x}+3x+x^{2}+x\sqrt{x}-4\sqrt{x}-4 }{x-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4x \sqrt{x} - 4\sqrt{x}+x^{2}+3x-4 }{x-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4\sqrt{x} \left( x-1 \right)+\left( x+4 \right)\left( x-1 \right) }{x-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4\sqrt{x} +\left( x+4 \right) }{1} \\
& = \dfrac{ 4\sqrt{1} +\left( 1+4 \right) }{1} = \dfrac{ 4 +\left( 5 \right) }{1} = 9
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$

61. Soal UM UGM 2008 Kode 482 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to p} \dfrac{x\sqrt{x}-p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3\sqrt{p} \\
(B)\ & \sqrt{p} \\
(C)\ & p \\
(D)\ & p\sqrt{p} \\
(E)\ & 3p
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to p} \dfrac{x\sqrt{x}-p \sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{p}}{\sqrt{x}+\sqrt{p}} \\
& = \lim\limits_{x \to p} \dfrac{x^{2}+x\sqrt{px}-p\sqrt{px}-p^{2}}{x-p} \\
&= \lim\limits_{x \to p} \dfrac{\left ( x-p \right )\left ( x+p \right )+\sqrt{px}\left ( x-p \right )}{x-p} \\
&= \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ \left ( x+p \right )+\sqrt{px} }{1} \\
&= \dfrac{ \left ( p+p \right )+\sqrt{p(p)} }{1} \\
&= 2p+ p =3p
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3p$

62. Soal UM UGM 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x^{2}-2x}=\cdot$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{3}{4} \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x^{2}-2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x\left(x-2 \right)} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+5-9}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x-2 \right)\left(x + 2 \right)}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+2 \right)}{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\
& = \dfrac{ \left( 2+2 \right)}{2 \left( \sqrt{(2)^{2}+5}+3 \right)} \\
& = \dfrac{ 4 }{2 \left( \sqrt{9}+3 \right)} = \dfrac{1}{3}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{3}$

63. Soal UMB PTN 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{x+6}}{3+\sqrt{x+6}} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{9- \left(x+6 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3-x \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{1 } \\
& = \dfrac{- \left( 3+\sqrt{3+6} \right)}{1 } = -6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -6$

64. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{6} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \cdot \dfrac{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 3-\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)}{ \left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{9- \left( 3x^{2}+2x+9 \right)}{\left( 2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(3x^{2}+2x \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(2x \right) \left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}(0) + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3(0)+2(0)+9} \right)} \\
& = \dfrac{-1}{3+\sqrt{9}} = - \dfrac{1}{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\dfrac{1}{6}$

65. Soal UM UPI 2009

Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 2}\ \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2}$ adalah$ \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 4 \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{8x}+4 \right)+\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left(8x-16 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x+2-4 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(x-2 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)} \\
& = \dfrac{ 8 \left(\sqrt{2+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8(2)}+4 \right)} \\
& = \dfrac{ 8 \left(2+2 \right)}{\left(4+4 \right)}=4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$

66. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{8} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 5-x-4 \right) \left( \sqrt{2+x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right) \left(1-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \dfrac{ \sqrt{2-(1)}+1 }{ \sqrt{5-(1)}+2 } \\
& = \dfrac{2}{ \sqrt{4}+2 } \\
& = \dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$

67. Soal Simulasi UTBK SBMPTN Matematika Saintek

Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=4$
$\begin{align}
\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5} & = 0 \\
\sqrt{4a-3}-\sqrt{4b+5} & = 0\\
\sqrt{4a-3} & = \sqrt{4b+5} \\
4a-3 & = 4b+5 \\
4a-4b & = 8 \\
a- b & = 2
\end{align}$

Jika soal limit di atas kita kalikan dengan akar sekawan menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}}{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}} &= \dfrac{1}{3} \\

\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(ax-3 \right)-\left(bx+5 \right)}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ ax-3 - bx-5}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ \left( a-b \right)x - 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2x - 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 \left( x - 4 \right) }{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} } &= \dfrac{1}{3} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} } &= \dfrac{1}{3} \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} &= 6 \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4(a-2) +5} &= 6 \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-8+5} &= 6 \\
\sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-3} &= 6 \\
2\sqrt{4a-3} &= 6 \\
\sqrt{4a-3} &= 3 \\
4a-3 &= 9 \\
a &= 3
\end{align}$
Untuk $a=3$ kita peroleh $b=a-2=1$ sehingga nilai $a+b=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$

68. Soal UM UNPAD 2006

$ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $ maka $2a+4b= \cdots $
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 21
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=-6$ maka nilai $\sqrt{-6+a}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{-6+a}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
$\begin{align}
\sqrt{-6+a}-2 &= 0 \\
\sqrt{-6+a} &= 2 \\
-6+a &= 4 \\
a &= 6+4=10
\end{align}$

Untuk $a=10$ maka
$\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6}=b $

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{x+10}+2 \right)}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+10-4}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+6}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\dfrac{1}{\left(\sqrt{-6+10}+2 \right)} &= b \\
\dfrac{1}{4} &= b \\
2a+4b &= 2(10)+4(\dfrac{1}{4}) \\
&= 21
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 21$

69. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)

Misalkan $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16}=\dfrac{1}{2} $, maka bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a-2b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16}=\dfrac{1}{2}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ harus $0$, karena jika $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

Sehingga untuk $x=1$, berlaku:
$\begin{align}
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & = 0 \\
a(4)^{2}+b(4)-\sqrt{4} & = 0\\
16a +4b -2 & = 0\\
16a +4b & = 2 \\
8a +2b & = 1
\end{align}$

Karena nilai $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ untuk $x=4$ adalah $0$ maka $x-4$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv (x-4)(mx+n) \\
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv mx^{2}+nx-4mx-4n \\
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv mx^{2}+(n-4m)x-4n \\
a &= m \\
\sqrt{x} &= 4n
\end{align}$

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16} &=\dfrac{1}{2} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{(x-4)(ax+\dfrac{1}{4}\sqrt{x}) }{(x-4)(x+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ (ax+\dfrac{1}{4}\sqrt{x}) }{ (x+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
\dfrac{ (a(4)+\dfrac{1}{4}\sqrt{4}) }{ (4+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
4a+\dfrac{1}{2} &= 4 \\
4a &= \dfrac{7}{2} \\
a &= \dfrac{7}{8} \\
\hline
8 \left( \dfrac{7}{8} \right) +2b & = 1 \\
7 +2b & = 1 \\
2b & = -6 \\
b & = -3
\end{align}$

Nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a-2b$ dinotasikan $\left \lfloor a-2b \right \rfloor$
$\begin{align}
\left \lfloor a-2b \right \rfloor & = \left \lfloor \dfrac{7}{8}-2(-3) \right \rfloor \\
& = \left \lfloor \dfrac{7}{8}+6 \right \rfloor \\
& = 6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$

70. Soal SBMPTN 2014 Kode 542 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & B=A^{2} \\
(B)\ & 4B^{2}=A \\
(C)\ & 4B=A^{2} \\
(D)\ & 4B=A \\
(E)\ & A+B=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $ \sqrt{Ax+B}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{Ax+B}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=0$
$\begin{align}
\sqrt{Ax+B}-2 & = 0 \\
\sqrt{A(0)+B}-2 & = 0\\
\sqrt{B} & = 2\\
B & = 4
\end{align}$

Untuk $B=4$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{Ax+4}+2}{\sqrt{Ax+4}+2} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sqrt{Ax+4}-2 \right) \left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( Ax+4 -4 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{Ax}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{A}{ \sqrt{Ax+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{A(0)+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{4} & = 1 \\
A & = 4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4B=A^{2}$

71. Soal SPMB 2006 Kode 320 (*Soal Lengkap)

Agar $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+q}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$, maka nilai $p+2q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -27 \\
(B)\ & -9 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 18\dfrac{1}{9} \\
(E)\ & 27
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+q}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $\sqrt{p(x-1)+q}-3$ harus $0$, karena jika $\sqrt{p(x-1)+q}-3$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

sehingga untuk $x=1$ berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{p(x-1)+q}-3 & = 0 \\
\sqrt{p(1-1)+q}-3 & = 0 \\
\sqrt{q}-3 & = 0 \\
q & = 9
\end{align}$

untuk $q=9$ bentuk soal kita sekarang adalah
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$
dengan mengalikan akar sekawan, maka akan kita peroleh:

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}-3}{x-1} \cdot \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}+3}{\sqrt{p(x-1)+9}+3} &= -\dfrac{3}{2} \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p(x-1)+9-9}{(x-1) \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p(x-1)}{(x-1) \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p }{ \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\
\dfrac{p }{ \sqrt{p((1)-1)+9}+3 } &= -\dfrac{3}{2} \\
\dfrac{p }{ \sqrt{9}+3 } &= -\dfrac{3}{2} \\
\dfrac{p }{ 6 } &= -\dfrac{3}{2} \\
2p &= - 18 \\
p &=-9
\end{align}$

Nilai $p+2q=-9+18=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9$

72. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{3}+\sqrt{2} \\
(B)\ & 5-2\sqrt{6} \\
(C)\ & 2\sqrt{6} \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 5+2\sqrt{6}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{ 5+1}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{ 5+1}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{6}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{6}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \cdot 2}}}{\sqrt{(3+2)-2 \sqrt{3 \cdot 2}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}- \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}\\
& = \dfrac{3+2+2\sqrt{6}}{3- 2} \\
& = 5+2\sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5+2\sqrt{6}$


73. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{2\sqrt{5}} \\
(B)\ & 2\sqrt{5} \\
(C)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
(D)\ & \dfrac{4}{5\sqrt{5}} \\
(E)\ & \dfrac{4}{5} \sqrt{5}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (5+2\sqrt{x} \right )-\left (5-2\sqrt{x} \right )}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{0}}+\sqrt{5-2\sqrt{0}} \right )} \\
& = \dfrac{4 }{ \sqrt{5} +\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{4 }{ 2\sqrt{5} } = \dfrac{2}{\sqrt{5} }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{5} $

74. Soal SPMB 2005 Kode 580 (*Soal Lengkap)

Jika $a \neq 0$, maka $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3a \sqrt[3]{a} \\
(B)\ & 2a \sqrt[3]{a} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2a}\sqrt[3]{a} \\
(E)\ & \dfrac{1}{3a}\sqrt[3]{a}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)}{\left(x-a \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}} \right)} \\
& = \dfrac{1}{\left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a(a)}+\sqrt[3]{a^{2}} \right)} \\
& = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{a^{2}}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}} \\
& = \dfrac{1}{3a}\sqrt[3]{a^{2}}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{3a}\sqrt[3]{a}$

75. Soal USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & -\dfrac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Untuk menyelesaikan limit ini untuk menghemat penulisan kita coba dengan memisalkan $m=\sqrt{1-x}$, karena $x \to 0$ maka $m \to 1$.
Soal limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ sudah bisa kita tuliskan menjadi $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-\sqrt[3]{m^{2}}}$ atau $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}}$.

Soal ini bisa kita kerjakan dengan mengalikan akar sekawan tetapi prosesnya lebih panjang jadi untuk soal ini kita coba dengan memakai turunan;
turunan $m-1$ adalah $1-0=1$.
turunan $1-m^{\frac{2}{3}}$ adalah $0-\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}=-\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}} \\
& = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\frac{2}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\dfrac{2}{3}} = - \dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ - \dfrac{3}{2}$

76. Soal SIMAK UI 2009 Kode 951 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{64} \\
(B)\ & \dfrac{1}{48} \\
(C)\ & \dfrac{1}{24} \\
(D)\ & \dfrac{1}{16} \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} \\
& = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} \cdot \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2}{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2} \\
& = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{2+\sqrt[3]{x} -4}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -2}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\left (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{8} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{1}{\left ( 1 \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\
& = \dfrac{1}{\left ( \sqrt[3]{8^{2}}+\sqrt[3]{8 (8)}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{(8)}}+2 \right)} \\
& = \dfrac{1}{ \left ( 4+4+4 \right ) \left( \sqrt{2+2}+2 \right)} \\
& = \dfrac{1}{48}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{48}$

77. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}}$ sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & -2\sqrt{3} \\
(B)\ & -\sqrt{3} \\
(C)\ & \sqrt{3} \\
(D)\ & 2\sqrt{3} \\
(E)\ & 3\sqrt{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Sebagai catatan, kita ingatkan sedikit tentang bentuk akar yaitu:
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$, atau
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$
$\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}=\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right|$

Dari kesamaan bentuk akar di atas dan soal limit, maka kita peroleh:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right|}
\end{align} $

Untuk $x \gt 3$ maka $\sqrt{x}-\sqrt{3} \gt 0$, sehingga kita peroleh limit kanan;
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 33^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \\
& = \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{1} \\
& = \dfrac{ \left( \sqrt{3} + \sqrt{3} \right)}{1}=2\sqrt{3} \\
\end{align} $

Untuk $0 \lt x \lt 3$ maka $\sqrt{x}-\sqrt{3} \lt 0$, sehingga kita peroleh limit kiri;
$ \begin{align}
&\lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \\
& = \lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{-\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{-1} \\
& = \dfrac{ \left( \sqrt{3} + \sqrt{3} \right)}{-1}=-2\sqrt{3} \\
\end{align} $

Karena nilai $\lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \neq \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| }$ atau Limit Kiri $\neq$ Limit Kanan maka nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| }$ tidak ada.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $-$

78. Soal UM UGM 2014 Kode 531 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$.
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & \dfrac{6}{7} \\
(D)\ & \dfrac{9}{8} \\
(E)\ & \dfrac{5}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Fungsi $f(x)=\sqrt{1+x}$, maka
$\begin{align}
f(3+2h^{2}) & = \sqrt{1+3+2h^{2}} \\
& = \sqrt{4+2h^{2}} \\
f(3-3h^{2}) & = \sqrt{1+3-3h^{2}} \\
& = \sqrt{4-3h^{2}}
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-3h^{2}}}{h^{2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-2h^{2}}}{h^{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}}{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(4+2h^{2}\right) -\left(4-3h^{2}\right)}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4+2h^{2}-4+3h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5}{ \sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} }\\
& = \dfrac{5}{\sqrt{4+0}+\sqrt{4-0} } \\
& = \dfrac{5}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{5}{4}$

79. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(2,0)$, $C(2,y)$, dan $D(0,y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}(2\sqrt{3}+3) \\
(B)\ & \dfrac{1}{4}(3\sqrt{2}+2) \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}( \sqrt{3}+1) \\
(D)\ & \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2) \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}(3\sqrt{2}-2)
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
show

Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$, coba kita hitung keliling $\square ABCD$ dan keliling $\bigtriangleup ACD$.

Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,

  • Jarak titik $A(1,0)$ ke $B(2,0)$ adalah $AB=\sqrt{(2-1)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{1}=1$
  • Jarak titik $B(2,0)$ ke $C(2,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
  • Jarak titik $C(2,y)$ ke $D(0,y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-2)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
  • Jarak titik $A(1,0)$ ke $D(0,y)$ adalah $AD=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-y)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$
  • Jarak titik $A(1,0)$ ke $C(2,y)$ adalah $AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square ABCD \\
& = AB+BC+CD+DA \\
& = 1+y+2+\sqrt{1+y^{2}} \\
& = 3+y+\sqrt{1+y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup ACD \\
& = AC+CD+DA \\
& = \sqrt{1+y^{2}} +2+\sqrt{1+y^{2}} \\
& = 2+2\sqrt{1+y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD} \\
& = \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{3+y+\sqrt{1+y^{2}}}{2+2\sqrt{1+y^{2}}} \\
& = \dfrac{3+1+\sqrt{1+1^{2}}}{2+2\sqrt{1+1^{2}}} \\
& = \dfrac{4+\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} \times \dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{8-8\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4}{4-8} \\
& = \dfrac{4-6\sqrt{2}}{-4} \\
& = \dfrac{2-3\sqrt{2}}{-2} \\
& =\dfrac{1}{2}\left(3\sqrt{2}-2 \right)
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2)$

80. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui $O(0,0)$, $A(2,0)$, $B(2,y)$, $C(0,y)$, dan $D(0,\frac{1}{2}y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{5+2\sqrt{5}}{5} \\
(B)\ & \dfrac{5+\sqrt{5}}{10} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{5} \\
(D)\ & \dfrac{5-2\sqrt{5}}{5} \\
(E)\ & \dfrac{5-\sqrt{5}}{5}
\end{align} $
Alternatif Pembahasan:
show

Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$, coba kita hitung keliling $\square OABD$ dan keliling $\bigtriangleup BCD$.

Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,

  • Jarak titik $O(0,0)$ ke $A(2,0)$ adalah $OA=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
  • Jarak titik $A(2,0)$ ke $B(2,y)$ adalah $AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
  • Jarak titik $B(2,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $BD=\sqrt{(0-2)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}$
  • Jarak titik $O(0,0)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $OD=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-\frac{1}{2}y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
  • Jarak titik $B(2,y)$ ke $C(0,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-0)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
  • Jarak titik $C(0,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-0)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup BCD \\
& = BC+CD+DB \\
& = 2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square OABD \\
& = OA+AB+BD+DO \\
& = 2+y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}+\frac{1}{2}y \\
& = 2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD} \\
& = \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}}{2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}} \\
& = \dfrac{2+\frac{1}{2}(2) +\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}}{2+\frac{3}{2}(2)+\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}} \\
& = \dfrac{2+1+\sqrt{4+1}}{2+3+\sqrt{4+1}} \\
& = \dfrac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \times \dfrac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5}{25-5} \\
& = \dfrac{10+2\sqrt{5}}{20} \\
& = \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}$

81. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{8t^{3}}}-t+1 \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{A}{2} \\
(B)\ & \dfrac{A}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{A+2}{2} \\
(E)\ & \dfrac{A+3}{3} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align}
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right ) &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (2 \right ) &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )- 2 &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right ) &= A+2
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{t^{3}}}-t+1 \right ) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (t \right )+\lim\limits_{t \to 2} \left (1 \right ) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \left (A+2 \right )-2+1 \\
&= \dfrac{A}{2}+1-1 = \dfrac{A}{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{A}{2}$


82. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2-A}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{A}{2} \\
(C)\ & \dfrac{A-2}{4} \\
(D)\ & \dfrac{A}{4} \\
(E)\ & \dfrac{A+2}{4} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2+2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2}{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1} {(x+3)}+\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(x+3)} \\
& = A \cdot \dfrac{1} {4}+ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-2(x-1) }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{4} \\
& = A \cdot \dfrac{1} {4}+ (-2) \cdot \dfrac{1}{4} \\
& = \dfrac{A}{4}- \dfrac{2}{4} = \dfrac{A-2}{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{A-2}{4}$

83. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right )=2$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{2}{15} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{15} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{15} \\
(E)\ & \dfrac{2}{15} \\
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right ) &= 2 \\
\dfrac{\sqrt[3]{2a+b}}{2+1} &= 2 \\
\sqrt[3]{2a+b} &= 6
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ ax + b }-2x+1}{(x+1)(x+3)} \right ) \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ 2a + b }-2(2) +1}{(2+1)(2+3)} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot 6-3}{15} \\
&= \dfrac{0}{15}=0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

84. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right )=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{12}A \\
(B)\ & \dfrac{1}{12}(A-2) \\
(C)\ & \dfrac{1}{12}(A-1) \\
(D)\ & \dfrac{1}{12}(A-6) \\
(E)\ & \dfrac{1}{12}(A-8)
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right ) &= A \\
\dfrac{\sqrt[3]{a(2)^{3}+b}}{2-1} &= A \\
\sqrt[3]{8a +b} &= A
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ax^{3}+b}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\
&= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8a +b}-2(2)}{(2)^{2}+2(2)-2} \\
&= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot A-4}{6} \\
&= \dfrac{A-8}{12}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $\dfrac{1}{12}(A-8)$

85. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{4x^{2}-1} \right )=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{8}A-2 \\
(B)\ & \dfrac{1}{8}A-1 \\
(C)\ & \dfrac{1}{8}A-\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{1}{8}A-\dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{8}A-\dfrac{1}{8}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right ) &= A \\
\dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right ) &= \dfrac{1}{2} A \\
\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{2 \left( x-\frac{1}{2} \right)} \right ) &= \dfrac{A}{2} \\
\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{ \left( 2x- 1 \right)} \right ) &= \dfrac{A}{2} \\
\end{align} $

Dengan beberapa manipulasi aljabar, penjabaran soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{4x^{2}-1} \right ) \\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \sqrt[3]{ ax^{3} + b }-2x}{ \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)} \right ) \\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \left( \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x \right)}{ \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)} \right ) \\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x }{2 \left( 2x-1 \right) \left( 2x+1 \right)} \right ) \\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ 1 }{2 \left( 2x+1 \right)} \right )\\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2 + 2 - 4x }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{2 \left( 2 \cdot \frac{1}{2} +1 \right)} \right) \\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2 - 2 \left(2x -1 \right) }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - \dfrac{ 2 \left(2x -1 \right) }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\

&= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\

&= \left (\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\

&= \left ( \dfrac{A}{2} - 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\

&= \dfrac{A}{8} - \dfrac{ 1 }{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{8}A-\dfrac{1}{2}$

86. Soal UTBK SBMPTN 2019 TKA SAINTEK Matematika IPA Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2}}{t^{2}-a^{2}} \right )=K$, maka nilai $\lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{4}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{4}}{t-a} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2K \left( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\
(B)\ & K \left( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\
(C)\ & 4aK \left( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\
(D)\ & aK \left( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\
(E)\ & K^{2} \left( \left | a+K \right |-1 \right )^{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
Dengan beberapa manipulasi aljabar, penjabaran soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{4}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{4}}{t-a} \right ) \\

& = \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t-a} \right ) \\

& = \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t-a} \cdot \dfrac{\left (t+a \right )}{\left (t+a \right )} \right ) \\

&= \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (t+a \right ) }{t^{2}-a^{2}} \right ) \\

&= \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t^{2}-a^{2}} \right ) \cdot \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (t+a \right ) }{1} \right ) \\

&= K \cdot \left ( \left [\left (\left | a \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (a+a \right ) \right ) \\

&= K \cdot \left ( 2 \left ( \left | a \right |-1 \right )^{2} \cdot \left (2a \right ) \right ) \\

&= 4aK \cdot \left ( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\

\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4aK \left( \left | a \right |-1 \right )^{2}$

87. Soal Latihan Limit Fungsi Matematika SMA (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1}=A$, maka nilai dari $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{ A-2 }{2} \\
(B)\ & \dfrac{ A-2 }{4} \\
(C)\ & A-2 \\
(D)\ & 2A-4 \\
(E)\ & 2A
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1}=A$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $\sqrt{ax^{2}+b}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax^{2}+b}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

sehingga untuk $x=1$ berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{ax^{2}+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{a(1)^{2}+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{a+b} & = 2 \\
\end{align}$

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1} \times \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}+2}{\sqrt{ax^{2}+b}+2} &= A \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+b -4}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( a+b-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( 4-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right) }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right) }{ \left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\dfrac{a\left( 1+1 \right) }{ \left( \sqrt{a(1)^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\dfrac{2a}{ \left( \sqrt{a+b}+2 \right)} &= A \\
\dfrac{2a}{ \left( 2+2 \right)} &= A \\
\dfrac{a}{ 2} &= A \\
a &= 2A \\
\end{align}$

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3} \times \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}+2x}{\sqrt{ax^{2}+b}+2x} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ ax^{2}+b-4x^{2}}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+a+b-4}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+4-4}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right) \left( x+1 \right)}{ \left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \dfrac{ \left( a-4 \right) \left( 1+1 \right)}{ \left( 1+3 \right)\left( \sqrt{a(1)^{2}+b}+2(1) \right)} \\
&= \dfrac{ 2A-4 }{ \left( 2 \right)\left( 2+2 \right)} \\
&= \dfrac{ A-2 }{4} \\
\end{align}$

Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital akan menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{ A-2 }{4}$

88. Soal Latihan Limit Fungsi Matematika SMA (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4}=\dfrac{3}{16}$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:
show

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4}=\dfrac{3}{16}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $\sqrt{ax+b}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax+b}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

sehingga untuk $x=2$ berlaku:
$\begin{align}
\sqrt{ax+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{2a+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{2a+b} & = 2 \\
2a+b & = 4 \\
\end{align}$
Lalu dengan mengalikan akar sekawan maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4} \times \dfrac{\sqrt{ax+b}+2}{\sqrt{ax+b}+2} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ ax+b -4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)+ 2a+b-4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)+ 4-4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a }{ \left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\dfrac{ a }{ \left( 2+2 \right)\left( \sqrt{2a+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\dfrac{ a }{ \left( 4 \right)\left( 4 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
a &= 3 \\
\end{align}$
Untuk $a=3$ dan $2a+b=4$ maka $b=-2$. Nilai $a+b=1$

Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital akan menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1$


Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada
  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.
Saran, Kritik atau Masukan yang sifatnya membangun terkait Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar di atas silahkan disampaikan๐Ÿ˜ŠCMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Ÿ™Share is Caring ๐Ÿ‘€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐Ÿ˜Š

Video pilihan khusus untuk Anda ๐Ÿ’— Defenisi Limit Fungsi;
youtube image

Comment Policy: Tanggapan atau pertanyaan terkait "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar (88)" silahkan disampaikan ๐Ÿ˜Š dan terima kasih ๐Ÿ™ support Anda untuk defantri.com
Buka Komentar
Tutup Komentar