Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar (*Soal Dari Berbagai Sumber)

Matematika Dasar yang akan kita diskusikan berikut adalah tentang Limit Fungsi Aljabar. Sebelumnya kita sudah coba diskusikan tentang persamaan kuadrat, karena sedikit banyaknya nanti Limit fungsi aljabar ini akan banyak menyinggung kepada persamaan kuadrat. Sehingga materi persamaan kuadrat sebelumnya sangat dibutuhkan untuk memantapkan soal-soal dan pembahasan tentang limit fungsi aljabar ini.

Beberapa sampel soal untuk dibahas yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) atau SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri) dan UN (Ujian Nasional). Soal-soal dan pembahasan limit fungsi trigonometri ini masih jauh dari sempurna, jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Tetapi sebelumnya kemarin siswa baru selesai penilaian harian tentang limit, sehingga sebagai kenang-kenangan hasil pekerjaan siswa kita photo dan ditampilkan sebagai photo dari artikel ini karena hasil pekerjaan siswa yang dapat nilai sempurna.

Sebagai catatan sederhana tentang limit fungsi yaitu baik untuk limit fungsi aljabar dan trigonometri.

Berdasarkan defenisi limit, Jika nilai Limit Kiri = Limit Kanan=L secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.

Nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$.

Tetapi jika nilai yang dihasilkan adalah bentuk tak tentu antara lain $\frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty} , \, \infty - \infty , \, 0^0 , \, \infty ^ \infty $ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan atau mengalikan dengan akar sekawan;

Menyelesaikan Limit fungsi aljabar dengan pemfaktoran

Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan antara lain:
  • $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b) $
  • $ a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2}) $
  • $ a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$

Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar dengan mengalikan akar sekawan

Berikut beberapa bentuk akar sekawan dari beberapa fungsi:
  • $ \sqrt{x} + \sqrt{a} \, $ akar sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{a} $
  • $ a\sqrt{x} - b \sqrt{y} \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} + b \sqrt{y} $
  • $ a\sqrt{x} + b \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Metode L'Hospital atau Menggunakan Turunan

Cara menyelesaikan limit dengan turunan ini adalah tambahan karena kita harus sudah mengenal atau belajar Turunan Fungsi. Tetapi jika belum mengenal atau belajar Fungsi Turunan, menggunakan cara ini tidak dianjurkan.
Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \,$
Maka manipulasi aljabar pada limit fungsi tersebut diselesaikan dengan turunan, yaitu:
$ \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)} =
\lim\limits_{x \to a} \frac{f^{\prime \prime} (x)}{g^{\prime \prime} (x)}=L$

Mari kita simak contoh Soal Limit Fungsi dan Pembahasannya 😊

1. Soal UM UNDIP 2009 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=\frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$, maka $\underset{x \to 0}{lim} f(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 0 \\
(B).\ & -\frac{1}{2} \\
(C).\ & -1 \\
(D).\ & -2 \\
(E).\ & \infty
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Karena $f(x)=\frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$ maka $\underset{x \to 0}{lim} f(x)$ adalah
$\begin{align}
& \underset{x \to 0}{lim} \frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \\
& = \underset{x \to 0}{lim} \frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} \\
& = \underset{x \to 0}{lim} \frac{\frac{x}{\sqrt{x}}-1}{\frac{x}{\sqrt{x}}+1} \\
& = \underset{x \to 0}{lim} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \\
& = \frac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{0}+1} \\
& = \frac{-1}{1}=-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C).\ -1$

2. Soal UM UNDIP 2011 (*Soal Lengkap)

Nilai $\underset{x \to 0}{lim} \frac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & -\frac{1}{6} \\
(B).\ & -\frac{1}{3} \\
(C).\ & \frac{1}{6} \\
(D).\ & \frac{1}{3} \\
(E).\ & \frac{2}{3}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
& \underset{x \to 0}{lim} \frac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \\
& = \underset{x \to 0}{lim} \frac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \cdot \frac{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}} \\
& = \underset{x \to 0}{lim} \frac{\left( 3-\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)}{ \left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \underset{x \to 0}{lim} \frac{9- \left( 3x^{2}+2x+9 \right)}{\left( 2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \underset{x \to 0}{lim} \frac{-\left(3x^{2}+2x \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \underset{x \to 0}{lim} \frac{-\left(2x \right) \left(\frac{3}{2}x + 1 \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \underset{x \to 0}{lim} \frac{-\left(\frac{3}{2}x + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \frac{-\left(\frac{3}{2}(0) + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3(0)+2(0)+9} \right)} \\
& = \frac{-1}{3+\sqrt{9}} = - \frac{1}{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A).\ -\frac{1}{6}$

3. Soal UM UPI 2009

Nilai dari $ \underset{x \to 2}{lim}\ \frac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2}$ adalah$ \cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 0 \\
(B).\ & \frac{1}{4} \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & 4 \\
(E).\ & 4 \frac{1}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

$\begin{align}
& \underset{x \to 2}{lim}\ \frac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \\
& = \underset{x \to 2}{lim}\ \frac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \cdot \frac{ \left(\sqrt{8x}+4 \right)+\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)} \\
& = \underset{x \to 2}{lim}\ \frac{ \left(8x-16 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x+2-4 \right)} \\
& = \underset{x \to 2}{lim}\ \frac{ 8 \left(x-2 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x-2 \right)} \\
& = \underset{x \to 2}{lim}\ \frac{ 8 \left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)} \\
& = \frac{ 8 \left(\sqrt{2+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8(2)}+4 \right)} \\
& = \frac{ 8 \left(2+2 \right)}{\left(4+4 \right)}=4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D).\ 4$

4. Soal UM UNPAD 2006

$ \underset{x \to -6}{lim}\ \frac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $ maka $2a+4b= \cdots $
$\begin{align}
(A).\ & -\frac{1}{4} \\
(B).\ & \frac{1}{4} \\
(C).\ & 10 \\
(D).\ & 20 \\
(E).\ & 21
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Nilai $ \underset{x \to -6}{lim}\ \frac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=-6$ maka nilai $\sqrt{-6+a}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{-6+a}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
$\begin{align}
\sqrt{-6+a}-2 &= 0 \\
\sqrt{-6+a} &= 2 \\
-6+a &= 4 \\
a &= 6+4=10
\end{align}$

Untuk $a=10$ maka
$\underset{x \to -6}{lim}\ \frac{\sqrt{x+10}-2}{x+6}=b $

$\begin{align}
\underset{x \to -6}{lim}\ \frac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} &= b \\
\underset{x \to -6}{lim}\ \frac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} \cdot \frac{ \left(\sqrt{x+10}+2 \right)}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\underset{x \to -6}{lim}\ \frac{x+10-4}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\underset{x \to -6}{lim}\ \frac{x+6}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\underset{x \to -6}{lim}\ \frac{1}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\frac{1}{\left(\sqrt{-6+10}+2 \right)} &= b \\
\frac{1}{4} &= b \\
2a+4b &= 2(10)+4(\frac{1}{4}) \\
&= 21
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E).\ 21$

5. Soal SBMPTN 2016 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ adalah dua bilangan real dengan $\underset{x \to 2}{lim} \frac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & -35 \\
(B).\ & -30 \\
(C).\ & -15 \\
(D).\ & -3 \\
(E).\ & -1
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Nilai $ \underset{x \to 2}{lim} \frac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $x^{2}+2ax+b$ harus $0$, karena jika $x^{2}+2ax+b$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

Karena nilai $x^{2}+2ax+b$ untuk $x=2$ adalh $0$ maka $x-2$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
x^{2}+2ax+b & \equiv (x-2)(mx+n) \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+nx-2mx-2n \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+(n-2m)x-2n \\
1 &= m \\
2a &= n-2m=n-2 \\
b &= -2n
\end{align}$

Nilai $\underset{x \to 2}{lim} \frac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka
$\begin{align}
\underset{x \to 2}{lim} \frac{(x-2)(x+n)}{x-2} & =-3 \\
\underset{x \to 2}{lim} (x+n) & =-3 \\
2+n & =-3 \\
n &= -3-2 \\
n &= -5
\end{align}$

Untuk $n=-5$ maka $b=10$ dan $a=-\frac{7}{2}$

Nilai $ab=-\frac{7}{2} \cdot 10 = -35$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A).\ -35$

6. Soal SBMPTN 2014 (*Soal Lengkap)

Jika $\underset{x \to 0}{lim} \frac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka$\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & B=A^{2} \\
(B).\ & 4B^{2}=A \\
(C).\ & 4B=A^{2} \\
(D).\ & 4B=A \\
(E).\ & A+B=0
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Nilai $\underset{x \to 0}{lim} \frac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $ \sqrt{Ax+B}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{Ax+B}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
Untuk $x=0$
$\begin{align}
\sqrt{Ax+B}-2 & = 0 \\
\sqrt{A(0)+B}-2 & = 0\\
\sqrt{B} & = 2\\
B & = 4
\end{align}$

Untuk $B=4$
Nilai $\underset{x \to 0}{lim} \frac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka
$\begin{align}
\underset{x \to 0}{lim} \frac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} & = 1 \\
\underset{x \to 0}{lim} \frac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{Ax+4}+2}{\sqrt{Ax+4}-2} & = 1 \\
\underset{x \to 0}{lim} \frac{\left( \sqrt{Ax+4}-2 \right) \left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\underset{x \to 0}{lim} \frac{\left( Ax+4 -4 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\underset{x \to 0}{lim} \frac{Ax}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\underset{x \to 0}{lim} \frac{A}{ \sqrt{Ax+4}+2 } & = 1 \\
\frac{A}{ \sqrt{A(0)+4}+2 } & = 1 \\
\frac{A}{ \sqrt{4}+2 } & = 1 \\
\frac{A}{4} & = 1 \\
A & = 4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C).\ 4B=A^{2}$

7. Soal SBMPTN 2015 (*Soal Lengkap)

Nilai $\underset{x \to 1}{lim} \frac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & -\frac{1}{2} \\
(B).\ & -\frac{1}{4} \\
(C).\ & -\frac{1}{8} \\
(D).\ & \frac{1}{4} \\
(E).\ & \frac{1}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Nilai $\underset{x \to 1}{lim} \frac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah
$\begin{align}
& = \underset{x \to 1}{lim} \frac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \cdot \frac{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \underset{x \to 1}{lim} \frac{\left( 5-x-4 \right) \left( \sqrt{2+x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right) \left(1-x \right)} \\
& = \underset{x \to 1}{lim} \frac{ \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \frac{ \sqrt{2-(1)}+1 }{ \sqrt{5-(1)}+2 } \\
& = \frac{2}{ \sqrt{4}+2 } \\
& = \frac{2}{4} =\frac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E).\ \frac{1}{2}$

8. Soal SBMPTN 2017 (*Soal Lengkap)

Jika kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ dan $\underset{x \to 1}{lim} \frac{f(x)}{x-1}=-4$ maka $\frac{b+c}{a}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & -1 \\
(B).\ & -\frac{1}{2} \\
(C).\ & 0 \\
(D).\ & 1 \\
(E).\ & \frac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ maka nilai $c=1$ sehingga $f(x)=ax^{2}+bx+1$.

Nilai $\underset{x \to 1}{lim} \frac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $ax^{2}+bx+1$ harus $0$, karena jika $ax^{2}+bx+1$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

Karena nilai $ax^{2}+bx+1$ untuk $x=1$ adalh $0$ maka $x-1$ adalah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx+1 & \equiv (x-1)(mx+n) \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+nx-mx-n \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+(n-m)x-n \\
-1 &= n \\
b &= n-m \\
b &= -1-m \\
a &= m
\end{align}$

Nilai $\underset{x \to 1}{lim} \frac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$, maka
$\begin{align}
\underset{x \to 1}{lim} \frac{(x-1)(mx+n)}{x-1} & =-4 \\
\underset{x \to 1}{lim} (mx+n) & =-4 \\
\underset{x \to 1}{lim} (mx-1) & =-4 \\
m-1 & =-4 \\
m &= -4+1 \\
m &=-3
\end{align}$

Untuk $m=-3$ nilai $a=-3$, $b=2$ dan $c=1$, maka $\frac{b+c}{a}=\frac{2+1}{-3}=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A).\ -1$

9. Soal UM UGM 2014

Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$.
Nilai $\underset{h \to 0}{lim} \frac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 0 \\
(B).\ & \frac{2}{3} \\
(C).\ & \frac{6}{7} \\
(D).\ & \frac{9}{8} \\
(E).\ & \frac{5}{4}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Fungsi $f(x)=\sqrt{1+x}$, maka
$\begin{align}
f(3+2h^{2}) & = \sqrt{1+3+2h^{2}} \\
& = \sqrt{4+2h^{2}} \\
f(3-3h^{2}) & = \sqrt{1+3-3h^{2}} \\
& = \sqrt{4-3h^{2}}
\end{align}$
Nilai $\underset{h \to 0}{lim} \frac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah
$\begin{align}
& \underset{h \to 0}{lim} \frac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-3h^{2}}}{h^{2}} \\
& = \underset{h \to 0}{lim} \frac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-2h^{2}}}{h^{2}} \cdot \frac{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}}{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}} \\
& = \underset{h \to 0}{lim} \frac{\left(4+2h^{2}\right) -\left(4-3h^{2}\right)}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \underset{h \to 0}{lim} \frac{4+2h^{2}-4+3h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \underset{h \to 0}{lim} \frac{5h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \underset{h \to 0}{lim} \frac{5}{ \sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} }\\
& = \frac{5}{\sqrt{4+0}+\sqrt{4-0} } \\
& = \frac{5}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E).\ \frac{5}{4}$

10. Soal STIS 2017

$\underset{x \to 0}{lim} \frac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \frac{3}{2} \\
(B).\ & \frac{2}{3} \\
(C).\ & 0 \\
(D).\ & -\frac{2}{3} \\
(E).\ & -\frac{3}{2}
\end{align}$
Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menyelesaikan limit ini untuk menghemat penulisan kita coba dengan memisalkan $m=\sqrt{1-x}$, karena $x \to 0$ maka $m \to 1$.
Soal limit $\underset{x \to 0}{lim} \frac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ sudah bisa kita tuliskan menjadi $\underset{m \to 1}{lim} \frac{m-1}{1-\sqrt[3]{m^{2}}}$ atau $\underset{m \to 1}{lim} \frac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}}$.

Soal ini bisa kita kerjakan dengan mengalikan akar sekawan tetapi prosesnya lebih panjang jadi untuk soal ini kita coba dengan memakai turunan;
turunan $m-1$ adalah $1-0=1$.
turunan $1-m^{\frac{2}{3}}$ adalah $0-\frac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}=-\frac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}$
$\begin{align}
& \underset{m \to 1}{lim} \frac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}} \\
& = \underset{m \to 1}{lim} \frac{1}{\frac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \frac{1}{-\frac{2}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \frac{1}{-\frac{2}{3}} = - \frac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E).\ - \frac{3}{2}$


"Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban pembahasan Penilaian Harian, pembahasan Quiz atau pada saat presentasi diskusi di kelas.

Jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya😊😊.
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Matematika dapat mempengaruhi karakter kita, mari kita simak penjelasannya pada video berikut;

You Might Also Like: