Gk7qp1DNYQGDurixnE7FWT3LyBvSK3asrvqSm057
Bookmark

100+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Aljabar (61-115)

100+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Aljabar

The good student, Calon Guru belajar matematika SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar. Catatan limit fungsi kita bagi dalam tiga catatan yaitu matematika dasar limit fungsi aljabar, matematika dasar limit fungsi trigonometri dan matematika dasar limit fungsi takhingga.

Penerapan Limit Fungsi Aljabar dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung, tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam matematika bagaimana kita bisa belajar Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan sampai kepada Integral Fungsi.

Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan istilah atau bagian dari limit fungsi.

Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat badan dan hasilnya terlihat adalah $70,5\ \text{kg}$. Hasil $70,5\ \text{kg}$ ini sebenarnya belum hasil pengukuran yang sebenarnya tetapi sudah bisa mewakili hasil pengukuran, karena berat badan kita adalah mendekati $70,5\ \text{kg}$. Kata "mendekati" adalah salah satu kata kunci dalam belajar limit fungsi.


Definisi Limit Fungsi

Definisi limit fungsi dituliskan: Sebuah limit fungsi mempunyai nilai, Jika nilai $\text{Limit Kiri = Limit Kanan}$ secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ Maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.

Dari definisi limit fungsi di atas, secara sederhana dapat kita tuliskan, limit fungsi adalah nilai yang dihampiri (didekati) suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik tertentu.

Dalam menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar, trigonometri atau limit menuju tak hingga, langkah awalnya adalah menentukan limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut. Akan tetapi kita memerlukan energi yang lebih banyak apabila untuk menentukan nilai sebuah limit fungsi kita gunakan definisi limit fungsi.

Untuk menghemat energi dalam menentukan nilai limit fungsi, langkah awal yang kita lakukan adalah dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$ (substitusi langsung).

Setelah dilakukan substitusi langsung dan diperoleh hasilnya bentuk tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ atau $1^{\infty}$ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya dengan tidak melanggar aturan dalam matematika sampai nilai limit fungsi hasilnya bukan bentuk tak tentu.


Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar Dengan Pemfaktoran

Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan antara lain:
  • $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b) $
  • $ a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2}) $
  • $ a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$

Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar Dengan Mengalikan Akar Sekawan

Berikut beberapa bentuk akar sekawan dari beberapa fungsi:
  • $ \sqrt{x} + \sqrt{a} \, $ akar sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{a} $
  • $ a\sqrt{x} - b \sqrt{y} \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} + b \sqrt{y} $
  • $ a\sqrt{x} + b \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $

Teorema Limit Fungsi

Beberapa teorema limit fungsi yang dapat kita gunakan dalam menyelesaikan Masalah Limit Fungsi.
Andaikan $n$ adalah bilangan bulat positif, $k$ adalah konstanta, dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} c=c$
  • $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Aturan L'Hospital atau Menggunakan Turunan

Cara alternatif menyelesaikan limit fungsi adalah dengan Aturan L'Hospital atau pakai turunan fungsi. Cara ini dapat kita gunakan jika kita sudah mengenal atau belajar Turunan Fungsi, apabila belum mengenal atau belajar Fungsi Turunan maka menggunakan cara ini tidak dianjurkan.

Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{0}{0}$ dan $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ ada, maka $ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)}= \dfrac{f^{\prime} (a)}{g^{\prime} (a)}$


Suatu fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$

Definisi di atas menjelaskan bahwa sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:
  • $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Jika salah satu saja dari syarat di atas tidak dipenuhi, Maka $f$ dikatakan tidak kontinu di $x=a$.

Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Aljabar

Soal latihan Limit Fungsi Aljabar berikut ini, kita pilih untuk bahan diskusi kita sadur dari Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri, soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan, Soal UN (Ujian Nasional), Soal simulasi yang dilaksanakan oleh bimbingan belajar atau Soal Ujian Sekolah yang dilaksanakan oleh satuan pendidikan.

Catatan pembahasan 100+ Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Aljabar ini kita bagi menjadi dua catatan, agar dapat dicoba dan dipelajari secara optimal.

Soal latihan limit fungsi berikut, silahkan dikerjakan terlebih dahulu secara mandiri sebelum membuka buku atau sumber lain untuk melihat pembahasan soal. Setelah selesai Periksa Jawaban dan jika hasilnya belum memuaskan, pilih Ulangi Tes untuk tes ulang.

Ayo dicoba terlebih dahulu, Sebelum melihat pembahasan soal.
Tunjukkan Kemampuan Terbaikmu!
Nama Peserta :
Tanggal Tes :
Jumlah Soal :55 soal
Petunjuk Pengerjaan Soal:
Bentuk soal pilihan ganda, pilihlah jawaban yang benar di antara pilihan jawaban yang tersedia. Apabila Kamu merasa terdapat lebih dari satu jawaban yang benar, maka pilihlah yang paling benar.

61. Soal SPMB 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{2-x}-x}{x^{2}-x} \cdot \dfrac{\sqrt{2-x}+x}{\sqrt{2-x}+x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-x+x^{2} }{ \left( x^{2}-x \right) \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) }{x \left( x -1 \right) \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x+2 \right) }{x \left( \sqrt{2-x}+x \right) } \\ & = \dfrac{ \left( 1+2 \right) }{1 \left( \sqrt{2-1}+1 \right) } = \dfrac{ 3 }{2} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1\frac{1}{2}$

62. Soal SPMB 2007 Kode 641 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\sqrt{3x-2}}{1-x} \cdot \dfrac{1+\sqrt{3x-2}}{1+\sqrt{3x-2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-\left( 3x-2 \right) }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-3x+2 }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3-3x }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3\left( 1-x \right) }{ \left( 1-x \right)\left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{3x-2} \right) } \\ & = \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{3(1)-2} \right) } \\ & = \dfrac{3 }{ \left( 1+\sqrt{1} \right) } = \dfrac{3}{2} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1\frac{1}{2}$

63. Soal SNMPTN 2008 Kode 111 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x-2}-2}{2x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3x-2 \right)-4 }{ \left( 2x-4 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3x-6 }{ \left( 2x-4 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3(x-2) }{ 2\left( x-2 \right)\left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{3x-2}+2 \right) } \\ & = \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{3(2)-2}+2 \right) } \\ & = \dfrac{ 3 }{ 2 \left( \sqrt{4}+2 \right)} = \dfrac{3}{8} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{3}{8}$

64. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 3x\sqrt{x}+3x+x^{2}+x\sqrt{x}-4\sqrt{x}-4 }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4x \sqrt{x} - 4\sqrt{x}+x^{2}+3x-4 }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4\sqrt{x} \left( x-1 \right)+\left( x+4 \right)\left( x-1 \right) }{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ 4\sqrt{x} +\left( x+4 \right) }{1} \\ & = \dfrac{ 4\sqrt{1} +\left( 1+4 \right) }{1} = \dfrac{ 4 +\left( 5 \right) }{1} = 9 \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 9$

65. Soal UM UGM 2008 Kode 482 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to p} \dfrac{x\sqrt{x}-p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to p} \dfrac{x\sqrt{x}-p \sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{p}}{\sqrt{x}+\sqrt{p}} \\ & = \lim\limits_{x \to p} \dfrac{x^{2}+x\sqrt{px}-p\sqrt{px}-p^{2}}{x-p} \\ &= \lim\limits_{x \to p} \dfrac{\left ( x-p \right )\left ( x+p \right )+\sqrt{px}\left ( x-p \right )}{x-p} \\ &= \lim\limits_{x \to p} \dfrac{ \left ( x+p \right )+\sqrt{px} }{1} \\ &= \dfrac{ \left ( p+p \right )+\sqrt{p(p)} }{1} \\ &= 2p+ p =3p \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3p$

66. Soal UM UGM 2007 Kode 741 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x^{2}-2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x^{2}-2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x\left(x-2 \right)} \cdot \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+5-9}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(x-2 \right)\left(x + 2 \right)}{x\left(x-2 \right)\left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( x+2 \right)}{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 2+2 \right)}{2 \left( \sqrt{(2)^{2}+5}+3 \right)} \\ & = \dfrac{ 4 }{2 \left( \sqrt{9}+3 \right)} = \dfrac{1}{3} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3}$

67. Soal UMB PTN 2012 Kode 270 |*Soal Lengkap

$ \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{x+6}}{3+\sqrt{x+6}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{9- \left(x+6 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3-x \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{1 } \\ & = \dfrac{- \left( 3+\sqrt{3+6} \right)}{1 } = -6 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -6$

68. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \cdot \dfrac{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 3-\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)}{ \left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{9- \left( 3x^{2}+2x+9 \right)}{\left( 2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(3x^{2}+2x \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(2x \right) \left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\ & = \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}(0) + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3(0)+2(0)+9} \right)} \\ & = \dfrac{-1}{3+\sqrt{9}} = - \dfrac{1}{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\frac{1}{6}$

69. Soal UM UPI 2009

Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 2}\ \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2}$ adalah$ \cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left(8x-16 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x+2-4 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(x-2 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x-2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)} \\ & = \dfrac{ 8 \left(\sqrt{2+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8(2)}+4 \right)} \\ & = \dfrac{ 8 \left(2+2 \right)}{\left(4+4 \right)}=4 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$

70. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah
$\begin{align} & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 5-x-4 \right) \left( \sqrt{2+x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right) \left(1-x \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\ & = \dfrac{ \sqrt{2-(1)}+1 }{ \sqrt{5-(1)}+2 } \\ & = \dfrac{2}{ \sqrt{4}+2 } \\ & = \dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{1}{2}$

71. Soal Simulasi US Matematika SMA |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$, maka nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$. Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$. Untuk $x=4$
$\begin{align} \sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5} & = 0 \\ \sqrt{4a-3}-\sqrt{4b+5} & = 0\\ \sqrt{4a-3} & = \sqrt{4b+5} \\ 4a-3 & = 4b+5 \\ 4a-4b & = 8 \\ a- b & = 2 \end{align}$

Jika soal limit di atas kita kalikan dengan akar sekawan menjadi seperti berikut ini:
$\begin{align} \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}}{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(ax-3 \right)-\left(bx+5 \right)}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ ax-3 - bx-5}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ \left( a-b \right)x - 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2x - 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 \left( x - 4 \right) }{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} } &= \dfrac{1}{3} \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} &= 6 \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4(a-2) +5} &= 6 \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-8+5} &= 6 \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-3} &= 6 \\ 2\sqrt{4a-3} &= 6 \\ \sqrt{4a-3} &= 3 \\ 4a-3 &= 9 \\ a &= 3 \end{align}$

Untuk $a=3$ kita peroleh $b=a-2=1$ sehingga nilai $a+b=4$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$

72. Soal UM UNPAD 2006 |*Soal Lengkap

$ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $ maka $2a+4b= \cdots $
Alternatif Pembahasan:

Nilai $\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $. Jika kita substitusi langsung nilai $x=-6$ maka nilai $\sqrt{-6+a}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{-6+a}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
$\begin{align} \sqrt{-6+a}-2 &= 0 \\ \sqrt{-6+a} &= 2 \\ -6+a &= 4 \\ a &= 6+4=10 \end{align}$
Untuk $a=10$ maka $\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6}=b $

$\begin{align} \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{x+10}+2 \right)}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+10-4}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+6}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\ \dfrac{1}{\left(\sqrt{-6+10}+2 \right)} &= b \\ \dfrac{1}{4} &= b \end{align}$

Untuk $a=10$ dan $b=\dfrac{1}{4}$ kita peroleh:
$\begin{align} 2a+4b &= 2(10)+4(\dfrac{1}{4}) \\ &= 20+1 \\ &= 21 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 21$

73. Soal UMPTN 1993 (Rayon A,B,C) |*Soal Lengkap - Soal SPM UNNES 2008 Kode 140208 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3}{4}$, maka $a+b$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3}{4}$. Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $ax+b -\sqrt{x}$ harus $0$, karena jika $ax+b -\sqrt{x}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.

Sehingga untuk $x=4$ berlaku:
$\begin{align} ax+b -\sqrt{x} & = 0 \\ 4a+b -\sqrt{4} & = 0 \\ 4a+b & = 2 \end{align}$

Lalu dengan mengalikan akar sekawan maka akan kita peroleh:
$\begin{align} \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4} &= \dfrac{3}{4} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax+b -\sqrt{x}}{x-4} \times \dfrac{ax+b +\sqrt{x}}{ax+b +\sqrt{x}} &= \dfrac{3}{4} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}-x}{\left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(x-4 \right)\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)+\left(4a+b\right)^{2}-4}{\left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(x-4 \right)\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)+\left( 2 \right)^{2}-4}{ \left(x-4 \right)\left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(a^{2}x+2ab+4a^{2}-1 \right)}{ \left( ax+b +\sqrt{x} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{\left(4a^{2} +2ab+4a^{2}-1 \right)}{ \left( 4a+b +\sqrt{4} \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{\left(8a^{2} +2ab-1 \right)}{ \left( 2 + 2 \right)} &= \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{\left( 8a^{2} +2ab -1 \right)}{4} &= \dfrac{3}{4} \\ \hline 8a^{2} +2ab -1 &= 3 \\ 8a^{2} +2a\left( 2-4a\right) -1 &= 3 \\ 8a^{2} +4a-8a^{2} &= 4 \\ 4a &= 4 \\ a &= 1 \end{align}$

Untuk $a=1$ dan $4a+b=2$ maka $b=-2$. Nilai $a+b=-1$

Warning!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -1$

74. Soal SBMPTN 2014 Kode 542 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka$\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$. Jika kita substitusi langsung nilai $x=0$ maka nilai $ \sqrt{Ax+B}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{Ax+B}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$. Untuk $x=0$
$\begin{align} \sqrt{Ax+B}-2 & = 0 \\ \sqrt{A(0)+B}-2 & = 0\\ \sqrt{B} & = 2\\ B & = 4 \end{align}$

Untuk $B=4$ Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka
$\begin{align} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{Ax+4}+2}{\sqrt{Ax+4}+2} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sqrt{Ax+4}-2 \right) \left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( Ax+4 -4 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{Ax}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{A}{ \sqrt{Ax+4}+2 } & = 1 \\ \dfrac{A}{ \sqrt{A(0)+4}+2 } & = 1 \\ \dfrac{A}{ \sqrt{4}+2 } & = 1 \\ \dfrac{A}{4} & = 1 \\ A & = 4 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4B=A^{2}$

75. Soal SPMB 2006 Kode 320 |*Soal Lengkap

Agar $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+q}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$, maka nilai $p+2q=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+q}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$. Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $\sqrt{p(x-1)+q}-3$ harus $0$, karena jika $\sqrt{p(x-1)+q}-3$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$. sehingga untuk $x=1$ berlaku:
$\begin{align} \sqrt{p(x-1)+q}-3 & = 0 \\ \sqrt{p(1-1)+q}-3 & = 0 \\ \sqrt{q}-3 & = 0 \\ q & = 9 \end{align}$

untuk $q=9$ bentuk soal kita sekarang adalah $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}-3}{x-1}=-\dfrac{3}{2}$ dengan mengalikan akar sekawan, maka akan kita peroleh:

$\begin{align} \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}-3}{x-1} \cdot \dfrac{\sqrt{p(x-1)+9}+3}{\sqrt{p(x-1)+9}+3} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p(x-1)+9-9}{(x-1) \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p(x-1)}{(x-1) \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{p }{ \left( \sqrt{p(x-1)+9}+3 \right)} &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ \sqrt{p((1)-1)+9}+3 } &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ \sqrt{9}+3 } &= -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{p }{ 6 } &= -\dfrac{3}{2} \\ 2p &= - 18 \\ p &=-9 \end{align}$

Nilai $p+2q=-9+18=9$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9$

76. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}}=\cdots $
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{ 5+1}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{ 5+1}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{6}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{6}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \cdot 2}}}{\sqrt{(3+2)-2 \sqrt{3 \cdot 2}}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}- \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}\\ & = \dfrac{3+2+2\sqrt{6}}{3- 2} \\ & = 5+2\sqrt{6} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5+2\sqrt{6}$

77. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\cdots $
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (5+2\sqrt{x} \right )-\left (5-2\sqrt{x} \right )}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{0}}+\sqrt{5-2\sqrt{0}} \right )} \\ & = \dfrac{4 }{ \sqrt{5} +\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{4 }{ 2\sqrt{5} } = \dfrac{2}{\sqrt{5} } \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{2}{5}\sqrt{5} $

78. Soal SPMB 2005 Kode 580 |*Soal Lengkap

Jika $a \neq 0$, maka $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\left( x-a \right)}{\left(x-a \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{ax}+\sqrt[3]{a^{2}} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a(a)}+\sqrt[3]{a^{2}} \right)} \\ & = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{a^{2}}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}} \\ & = \dfrac{1}{3a}\sqrt[3]{a^{2}} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{3a}\sqrt[3]{a}$

79. Soal USM STIS 2017 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

Untuk menghemat penulisan kita coba dengan memisalkan $m=\sqrt{1-x}$, karena $x \to 0$ maka $m \to 1$. Soal limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ sudah bisa kita tuliskan menjadi $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-\sqrt[3]{m^{2}}}$ atau $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)}$.


Sedikit catatan kita tentang perkalian akar sekawan yaitu $\left( \sqrt[3]{a}-1 \right)\left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a}+1 \right)=a-1$

$\begin{align} & \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{-\left(\sqrt[3]{m^{2}}-1 \right)} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{\left(\sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left(m-1 \right)\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{-\left(m^{2} -1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left(m-1 \right)\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{-\left(m -1 \right)\left(m +1 \right)} \\ & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{\left( \sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{m}+1 \right)}{- \left(m +1 \right)} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{(1)}+1 \right)}{- \left(1 +1 \right)} \\ & = \dfrac{\left( 1+1+1 \right)}{- \left( 2 \right)} \\ & = -\dfrac{3}{2} \end{align}$

Warning!
Jika soal ini kita kerjakan dengan dengan menggunakan Aturan L'Hospital, penyelesaian seperti berikut ini;

$\begin{align} \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}} & = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{1}{\frac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{1}{-\frac{2}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}} \\ & = \dfrac{1}{-\dfrac{2}{3}} = - \dfrac{3}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ - \dfrac{3}{2}$

80. Soal SIMAK UI 2009 Kode 951 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} \cdot \dfrac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2}{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{2+\sqrt[3]{x} -4}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -2}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\left( x-8 \right) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{8}}{\left (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{8} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{t \to 8} \dfrac{1}{\left ( 1 \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left ( \sqrt[3]{8^{2}}+\sqrt[3]{8 (8)}+\sqrt[3]{8^{2}} \right ) \left( \sqrt{2+\sqrt[3]{(8)}}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{ \left ( 4+4+4 \right ) \left( \sqrt{2+2}+2 \right)} \\ & = \dfrac{1}{48} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{48}$

81. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}}$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:

Sebagai catatan, kita ingatkan sedikit tentang bentuk akar yaitu: $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dengan $a,\ b \geq 0$ dan $a \geq b$, atau $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|$ $\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}=\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right|$

Dari kesamaan bentuk akar di atas dan soal limit, maka kita peroleh:
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right|} \end{align} $

Untuk $x \gt 3$ maka $\sqrt{x}-\sqrt{3} \gt 0$, sehingga kita peroleh limit kanan;
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 33^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{1} \\ & = \dfrac{ \left( \sqrt{3} + \sqrt{3} \right)}{1}=2\sqrt{3} \\ \end{align} $

Untuk $0 \lt x \lt 3$ maka $\sqrt{x}-\sqrt{3} \lt 0$, sehingga kita peroleh limit kiri;
$ \begin{align} &\lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{-\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}{-1} \\ & = \dfrac{ \left( \sqrt{3} + \sqrt{3} \right)}{-1}=-2\sqrt{3} \\ \end{align} $

Karena nilai $\lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| } \neq \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| }$ atau Limit Kiri $\neq$ Limit Kanan maka nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{\left| \sqrt{x}-\sqrt{3} \right| }$ tidak ada.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \text{tidak ada} $

82. Soal UM UGM 2014 Kode 531 |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$. Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah$\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Fungsi $f(x)=\sqrt{1+x}$, maka
$\begin{align} f(3+2h^{2}) & = \sqrt{1+3+2h^{2}} \\ & = \sqrt{4+2h^{2}} \\ f(3-3h^{2}) & = \sqrt{1+3-3h^{2}} \\ & = \sqrt{4-3h^{2}} \end{align}$

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-3h^{2}}}{h^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-2h^{2}}}{h^{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}}{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(4+2h^{2}\right) -\left(4-3h^{2}\right)}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4+2h^{2}-4+3h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5}{ \sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} }\\ & = \dfrac{5}{\sqrt{4+0}+\sqrt{4-0} } \\ & = \dfrac{5}{4} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{5}{4}$

83. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal Lengkap

Diketahui $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(2,0)$, $C(2,y)$, dan $D(0,y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$, coba kita hitung keliling $\square ABCD$ dan keliling $\bigtriangleup ACD$.

    Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,
  • Jarak titik $A(1,0)$ ke $B(2,0)$ adalah $AB=\sqrt{(2-1)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{1}=1$
  • Jarak titik $B(2,0)$ ke $C(2,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
  • Jarak titik $C(2,y)$ ke $D(0,y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-2)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
  • Jarak titik $A(1,0)$ ke $D(0,y)$ adalah $AD=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-y)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$
  • Jarak titik $A(1,0)$ ke $C(2,y)$ adalah $AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$

$ \begin{align} & \text{keliling}\ \square ABCD \\ & = AB+BC+CD+DA \\ & = 1+y+2+\sqrt{1+y^{2}} \\ & = 3+y+\sqrt{1+y^{2}} \end{align} $

$ \begin{align} & \text{keliling}\ \bigtriangleup ACD \\ & = AC+CD+DA \\ & = \sqrt{1+y^{2}} +2+\sqrt{1+y^{2}} \\ & = 2+2\sqrt{1+y^{2}} \end{align} $

$ \begin{align} & \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD} \\ & = \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{3+y+\sqrt{1+y^{2}}}{2+2\sqrt{1+y^{2}}} \\ & = \dfrac{3+1+\sqrt{1+1^{2}}}{2+2\sqrt{1+1^{2}}} \\ & = \dfrac{4+\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} \times \dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{8-8\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4}{4-8} \\ & = \dfrac{4-6\sqrt{2}}{-4} \\ & = \dfrac{2-3\sqrt{2}}{-2} \\ & =\dfrac{1}{2}\left(3\sqrt{2}-2 \right) \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}(3\sqrt{2}-2)$

84. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal Lengkap

Diketahui $O(0,0)$, $A(2,0)$, $B(2,y)$, $C(0,y)$, dan $D(0,\frac{1}{2}y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$, coba kita hitung keliling $\square OABD$ dan keliling $\bigtriangleup BCD$.

    Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,
  • Jarak titik $O(0,0)$ ke $A(2,0)$ adalah $OA=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
  • Jarak titik $A(2,0)$ ke $B(2,y)$ adalah $AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
  • Jarak titik $B(2,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $BD=\sqrt{(0-2)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}$
  • Jarak titik $O(0,0)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $OD=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-\frac{1}{2}y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
  • Jarak titik $B(2,y)$ ke $C(0,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-0)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
  • Jarak titik $C(0,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-0)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$

$ \begin{align} & \text{keliling}\ \bigtriangleup BCD \\ & = BC+CD+DB \\ & = 2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}} \end{align} $

$ \begin{align} & \text{keliling}\ \square OABD \\ & = OA+AB+BD+DO \\ & = 2+y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}+\frac{1}{2}y \\ & = 2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}} \end{align} $

$ \begin{align} & \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD} \\ & = \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}}{2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}} \\ & = \dfrac{2+\frac{1}{2}(2) +\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}}{2+\frac{3}{2}(2)+\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}} \\ & = \dfrac{2+1+\sqrt{4+1}}{2+3+\sqrt{4+1}} \\ & = \dfrac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \times \dfrac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5}{25-5} \\ & = \dfrac{10+2\sqrt{5}}{20} \\ & = \dfrac{5+\sqrt{5}}{10} \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{5+\sqrt{5}}{10}$

85. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{8t^{3}}}-t+1 \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align} \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right ) &= A \\ \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (2 \right ) &= A \\ \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )- 2 &= A \\ \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right ) &= A+2 \end{align} $

$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{t^{3}}}-t+1 \right ) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (t \right )+\lim\limits_{t \to 2} \left (1 \right ) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left (A+2 \right )-2+1 \\ &= \dfrac{A}{2}+1-1 = \dfrac{A}{2} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{A}{2}$

86. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2+2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2}{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1} {(x+3)}+\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(x+3)} \\ & = A \cdot \dfrac{1} {4}+ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-2(x-1) }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{4} \\ & = A \cdot \dfrac{1} {4}+ (-2) \cdot \dfrac{1}{4} \\ & = \dfrac{A}{4}- \dfrac{2}{4} = \dfrac{A-2}{4} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{A-2}{4}$

87. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right )=2$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right ) &= 2 \\ \dfrac{\sqrt[3]{2a+b}}{2+1} &= 2 \\ \sqrt[3]{2a+b} &= 6 \end{align} $

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ ax + b }-2x+1}{(x+1)(x+3)} \right ) \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ 2a + b }-2(2) +1}{(2+1)(2+3)} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot 6-3}{15} \\ &= \dfrac{0}{15}=0 \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

88. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right )=\cdots $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right ) &= A \\ \dfrac{\sqrt[3]{a(2)^{3}+b}}{2-1} &= A \\ \sqrt[3]{8a +b} &= A \end{align} $

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ax^{3}+b}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\ &= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8a +b}-2(2)}{(2)^{2}+2(2)-2} \\ &= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot A-4}{6} \\ &= \dfrac{A-8}{12} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{1}{12}(A-8) $

89. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{4x^{2}-1} \right )=\cdots $
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right ) &= A \\ \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{x-\frac{1}{2}} \right ) &= \dfrac{1}{2} A \\ \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{2 \left( x-\frac{1}{2} \right)} \right ) &= \dfrac{A}{2} \\ \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}-2}{ \left( 2x- 1 \right)} \right ) &= \dfrac{A}{2} \\ \end{align} $

Dengan beberapa manipulasi aljabar, penjabaran soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{4x^{2}-1} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \sqrt[3]{ ax^{3} + b }-2x}{ \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \left( \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x \right)}{ \left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x }{2 \left( 2x-1 \right) \left( 2x+1 \right)} \right ) \\ &= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 4x }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ 1 }{2 \left( 2x+1 \right)} \right )\\ &= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2 + 2 - 4x }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{2 \left( 2 \cdot \frac{1}{2} +1 \right)} \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2 - 2 \left(2x -1 \right) }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - \dfrac{ 2 \left(2x -1 \right) }{ \left( 2x-1 \right)} \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left (\dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\ &= \left (\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{ \sqrt[3]{ ax^{3} + b }- 2}{ \left( 2x-1 \right)} - \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\ &= \left ( \dfrac{A}{2} - 2 \right ) \cdot \left( \dfrac{ 1 }{4} \right) \\ &= \dfrac{A}{8} - \dfrac{ 1 }{2} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{8}A-\dfrac{1}{2}$

90. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2}}{t^{2}-a^{2}} \right )=K$, maka nilai $\lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{4}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{4}}{t-a} \right )=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$

Dengan beberapa manipulasi aljabar, penjabaran soal menjadi seperti berikut ini:
$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left (\left | t \right |-1 \right )^{4}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{4}}{t-a} \right ) \\ & = \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t-a} \right ) \\ & = \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t-a} \cdot \dfrac{\left (t+a \right )}{\left (t+a \right )} \right ) \\ &= \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (t+a \right ) }{t^{2}-a^{2}} \right ) \\ &= \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}-\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ]}{t^{2}-a^{2}} \right ) \cdot \lim\limits_{t \to a} \left (\dfrac{\left [\left (\left | t \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (t+a \right ) }{1} \right ) \\ &= K \cdot \left ( \left [\left (\left | a \right |-1 \right )^{2}+\left (\left | a \right |-1 \right )^{2} \right ] \cdot \left (a+a \right ) \right ) \\ &= K \cdot \left ( 2 \left ( \left | a \right |-1 \right )^{2} \cdot \left (2a \right ) \right ) \\ &= 4aK \cdot \left ( \left | a \right |-1 \right )^{2} \\ \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4aK \left( \left | a \right |-1 \right )^{2}$

91. Soal Simulasi US Matematika SMA |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1}=A$, maka nilai dari $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1}=A$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $\sqrt{ax^{2}+b}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax^{2}+b}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
sehingga untuk $x=1$ berlaku:
$\begin{align} \sqrt{ax^{2}+b}-2 & = 0 \\ \sqrt{a(1)^{2}+b}-2 & = 0 \\ \sqrt{a+b} & = 2 \\ \end{align}$

$\begin{align} \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1} \times \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}+2}{\sqrt{ax^{2}+b}+2} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+b -4}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( a+b-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( 4-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right) }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right) }{ \left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \dfrac{a\left( 1+1 \right) }{ \left( \sqrt{a(1)^{2}+b}+2 \right)} &= A \\ \dfrac{2a}{ \left( \sqrt{a+b}+2 \right)} &= A \\ \dfrac{2a}{ \left( 2+2 \right)} &= A \\ \dfrac{a}{ 2} &= A \\ a &= 2A \\ \end{align}$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3} \\ &= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3} \times \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}+2x}{\sqrt{ax^{2}+b}+2x} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ ax^{2}+b-4x^{2}}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+a+b-4}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+4-4}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right) \left( x+1 \right)}{ \left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \dfrac{ \left( a-4 \right) \left( 1+1 \right)}{ \left( 1+3 \right)\left( \sqrt{a(1)^{2}+b}+2(1) \right)} \\
&= \dfrac{ 2A-4 }{ \left( 2 \right)\left( 2+2 \right)} \\
&= \dfrac{ A-2 }{4} \\ \end{align}$

Warning!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{ A-2 }{4}$

92. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba pinjam catatan bentuk akar yaitu $\sqrt{a}- \sqrt{b}=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$ untuk $a \gt b$.

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4- 2\sqrt{4x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{4}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} 1 = 1 \\ \hline & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4- 2\sqrt{4x}}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} -1 = -1 \end{align}$

Dari hasil di atas kita peroleh limit kiri $\lim\limits_{x \to 4^{-}} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}=-1$ dan limit kanan $\lim\limits_{x \to 4^{+}} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}=1$ sehingga nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-2}$ tidak ada.

Tetapi jika pada saat situasi ujian, pilihlah jawaban yang memenuhi salah satu nilai limitnya. Karena pada saat ujian dengan soal pilihan ganda, soalnya dirancang untuk mempunyai satu jawaban yang benar.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 1$

93. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(9x-9\right)^{\frac{1}{3}}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( 9x-9\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right) }{\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{\left( x-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9 \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{1} \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+1\right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 9 \left( 1+1+1 \right) \right)^{\frac{1}{3}} \\ & = \left( 27 \right)^{\frac{1}{3}} =3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

94. Soal UN SMA IPS 2017 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}} \cdot \dfrac{1+\sqrt{x-3}}{1+\sqrt{x-3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{1-\left( x-3 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{4-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{-\left( x-4 \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 4+4 \right)\left( 1+\sqrt{4-3} \right)}{-1} \\ & = \dfrac{ \left( 8 \right)\left( 2 \right)}{-1} =-16 \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -16$

95. Soal UN SMA IPA 2012 |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3} \cdot \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{3-x}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-\left( x-3 \right)}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-1}{\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\ & = \dfrac{-1}{\left( 2+\sqrt{3+1} \right)}=\dfrac{-1}{4} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{1}{4}$

96. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ -\left ( 1-x \right )+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{\left (1+x \right )\left (1-x \right )}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \sqrt[3]{\left (1-x \right )} \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{\sqrt[3]{\left (1-x \right )} \cdot \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\ & = \dfrac{ \left (-\left ( 1-1 \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+1 \right )}} \\ & = \dfrac{ 1}{ \sqrt[3]{2}} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

97. Soal UMPTN 1992 (Rayon C) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x}- \sqrt{2x-1}}{x-1} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x}- \sqrt{2x-1}}{x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x}- \sqrt{2x-1}}{x-1} \times \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{2x-1}}{\sqrt{x} + \sqrt{2x-1}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x- \left(2x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x- 2x+1 }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-x+1 }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{- \left( x-1 \right) }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{- 1 }{ \left( \sqrt{x} + \sqrt{2x-1} \right)} \\ & = \dfrac{- 1 }{ \left( \sqrt{1} + \sqrt{2(1)-1} \right)} \\ & = \dfrac{- 1 }{ \left( 1 + 1 \right)}=\dfrac{- 1 }{ 2} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\frac{1}{2}$

98. Soal UMPTN 1997 (Rayon B) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x- \sqrt{2x+3}}{x^{2}-9} =\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x- \sqrt{2x+3}}{x^{2}-9} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x- \sqrt{2x+3}}{x^{2}-9} \times \dfrac{x + \sqrt{2x+3}}{x + \sqrt{2x+3}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}- \left(2x+3\right)}{\left( x^{2}-9 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-2x-3 }{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right) }{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x+1 \right) }{ \left( x+3 \right)\left( x + \sqrt{2x+3} \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 3+1 \right) }{ \left( 3+3 \right)\left( 3 + \sqrt{2(3)+3} \right)} \\ & = \dfrac{ \left( 4 \right) }{ \left( 6 \right)\left( 3 + 3 \right)} = \dfrac{ 4 }{ 36}= \dfrac{ 1 }{ 9} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{9}$

99. Soal UMPTN 1998 (Rayon B) |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^{2}- 5x}{3-\sqrt{9+x}}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^{2}- 5x}{3-\sqrt{9+x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^{2}- 5x}{3-\sqrt{9+x}} \times \dfrac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 2x^{2}- 5x \right)\left( 3+\sqrt{9+x} \right)}{9-\left(9+x \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\left( 2x- 5 \right)\left( 3+\sqrt{9+x} \right)}{-x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} (-1)\left( 2x- 5 \right)\left( 3+\sqrt{9+x} \right) \\ & = (-1)\left( 2(0)- 5 \right)\left( 3+\sqrt{9+0} \right) \\ & = (-1)\left( - 5 \right)\left( 3+ 3 \right) = 30 \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30$

100. Soal UN SMA IPA 2009 |*Soal Lengkap

Nilai $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{5x+14}+2}{\sqrt{5x+14}+2}\\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5x+14-4} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5x+10} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5 \left( x+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5} \\ & = \dfrac{\left( \sqrt{5(-2)+14}+2 \right)}{5} \\ & = \dfrac{\left( 2+2 \right)}{5}= \dfrac{4}{5}=0,8 \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0,8$

101. Soal UMPTN 1997 (Rayon A) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt{1+x}-1 }{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1}} \times \dfrac{ \sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} }{\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( \sqrt{1+x}-1 \right) \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right)}{1+x-1} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( \sqrt{1+x}-1 \right) \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right)}{x} \times \dfrac{ \sqrt{1+x}+1 }{ \sqrt{1+x}+1 } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left( 1+x -1 \right) \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right) }{(x) \left(\sqrt{1+x}+1 \right) } \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \left(\sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}} \right)}{ \left(\sqrt{1+x}+1 \right) } \\ & = \dfrac{ \sqrt[3]{1^{2}}+\sqrt[3]{1+0}+\sqrt[3]{(1+0)^{2}}}{ \left(\sqrt{1+0}+1 \right) } \\ & = \dfrac{1+1+1}{1+1}= \dfrac{3}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{3}{2}$

102. Soal UMPTN 1998 (Rayon A) |*Soal Lengkap

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}{\left(x-1\right)^{2}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Beberapa sifat aljabar yang mungkin dapat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi di atas, antara laia:

  • $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)=a-b$
  • $\left(\sqrt{a} + b \right) \left(\sqrt{a} - b \right)=a-b^{2}$
  • $\left(a + \sqrt{b} \right) \left( a - \sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
  • $\left( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} \right) \left( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} \right)=a-b$

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}{\left(x-1\right)^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{2}}{\left(x-1\right)^{2}} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \sqrt[3]{x}-1 }{ x-1 } \right)^{2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \sqrt[3]{x}-1 }{ x-1 } \times \dfrac{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ x-1 }{ x-1 } \times \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1}} \right)^{2} \\ & = \left( \dfrac{1}{1+1+1} \right)^{2} =\dfrac{1}{9} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{1}{9}$

103. Soal SNMPTN 2010 Kode 528 |*Soal Lengkap

Diketahui fungsi $g$ kontinu di $x=3$ dan $\lim\limits_{x \to 3} g(x)=2$. Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \left( g(x) \cdot \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:

  • $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \left( g(x) \cdot \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) \\ & = \lim\limits_{x \to 3} g(x) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right) \\ & = \left( 2 \right) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} \right) \\ & = \left( 2 \right) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{\left( x-3 \right) \left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{x-3} \right) \\ & = \left( 2 \right) \cdot \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( \sqrt{x}+\sqrt{3} \right)}{1} \\ & = \left( 2 \right) \cdot \left( \sqrt{3}+\sqrt{3} \right) = 4\sqrt{3} \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{3}$

104. Soal SNMPTN 2011 Kode 678 |*Soal Lengkap

Diketahui suku banyak $g(x)=ax^{2}+(a-b)x+a$ habis dibagi $x-1$. Jika $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)}{x^{2}-2x+1}=\dfrac{1}{3}$, maka nilai $a+b$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

Sedikit catatan dari suku banyak (polinomial), jika suku banyak banyak $g(x)$ habis dibagi $x-a$ maka $g(a)=0$.

Sehingga untuk $g(x)=ax^{2}+(a-b)x+a$ habis dibagi $x-1$ kita peroleh:
$ \begin{align} g(x) &= ax^{2}+(a-b)x+a \\ g(1) &= a(1)^{2}+(a-b)(1)+a \\ 0 &= a + a-b +a \\ 0 &= 3a -b \\ b &= 3a \end{align} $

$ \begin{align} \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)}{x^{2}-2x+1} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+(a-b)x+a}{\left(x-1 \right)\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(x-1 \right)\left(ax+2a-b \right)+\left( 3a-b \right)}{\left(x-1 \right)\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(x-1 \right)\left( ax+2a-b \right)}{\left(x-1 \right)\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( ax+2a-b \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( ax+2a-3a \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( ax-a \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x-1 \right)}{\left(x-1 \right)} &= \dfrac{1}{3} \\ a &= \dfrac{1}{3} \end{align} $

Untuk $a = \dfrac{1}{3}$ kita peroleh $b = 1$ sehingga nilai $a+b= \dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \frac{4}{3}$

105. Soal SNMPTN 2011 Kode 678 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{1}{2}$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$ adalah...
Alternatif Pembahasan:

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1} \times \dfrac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x) \left( \sqrt{1-x}+1 \right)}{1-x-1} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x) \left( \sqrt{1-x}+1 \right)}{-x} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{1-x}+1 \right)}{-1} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{1-0}+1 \right)}{-1}=-1 \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1$

106. Soal Simulasi UTBK-SBMPTN |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4}=\dfrac{3}{16}$, maka nilai $a+b=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4}=\dfrac{3}{16}$.
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $\sqrt{ax+b}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax+b}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
sehingga untuk $x=2$ berlaku:
$\begin{align} \sqrt{ax+b}-2 & = 0 \\ \sqrt{2a+b}-2 & = 0 \\ \sqrt{2a+b} & = 2 \\ 2a+b & = 4 \\ \end{align}$

Lalu dengan mengalikan akar sekawan maka akan kita peroleh:
$\begin{align} \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4} \times \dfrac{\sqrt{ax+b}+2}{\sqrt{ax+b}+2} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ ax+b -4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)+ 2a+b-4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)+ 4-4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a }{ \left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \dfrac{ a }{ \left( 2+2 \right)\left( \sqrt{2a+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ \dfrac{ a }{ \left( 4 \right)\left( 4 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\ a &= 3 \\ \end{align}$

Untuk $a=3$ dan $2a+b=4$ maka $b=-2$. Nilai $a+b=1$

Warning!
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L'Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 1$

107. Soal Simulasi UTBK-SBMPTN |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{x-2},\ x \neq 2 \\ 2,\ x = 2 \end{cases}$, Semua pernyataan berikut adalah benar, kecuali...
Alternatif Pembahasan:

Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:

  • $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$

Untuk menentukan jawaban, kita coba tentukan kebenaran dari setiap pilihan:

  • $(A)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1$ salah, karena $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ tidak ada, $\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)= \infty $ dan $\lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x)= - \infty $
  • $(B)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$ benar, karena $f(2)=2$
  • $(C)\ f\ \text{tidak mempunyai turunan di}\ x=2$ benar, karena $f$ tidak kontinu pada $x=2$ Jika suatu fungsi tidak kontinu pada $x = c$, maka fungsi tersebut tidak memiliki turunan di $x = c$
  • $(D)\ f\ \text{tidak kontinu di}\ x=2$ benar, karena karena $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ tidak ada
  • $(E)\ f\ \text{kontinu di}\ x=0$ benar, karena $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1$

108. Soal SNMPTN 2010 Kode 528 |*Soal Lengkap

Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-1}{x-1},\ x \neq 1 \\ 3,\ x = 1 \end{cases}$, Semua pernyataan berikut benar, kecuali...
Alternatif Pembahasan:

Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:

  • $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
  • $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$

Untuk menentukan jawaban, kita coba tentukan kebenaran dari setiap pilihan:

  • $(A)\ \lim\limits_{x \to 1} f(x)= 2$ benar,
    $\begin{align} \lim\limits_{x \to 1} f(x) &= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \\ &= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( x+1 \right)}{1} \\ &= \dfrac{\left( 1+1 \right)}{1}=2 \end{align}$
  • $(B)\ \lim\limits_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ benar, karena $\lim\limits_{x \to 1} f(x)= 2$ dan $f(1)=3$
  • $(C)\ f\ \text{mempunyai turunan di}\ x=1$ salah, karena $f\ \text{tidak kontinu di}\ x=1$
  • $(D)\ f\ \text{tidak kontinu di}\ x=1$ benar, karena ketiga syarat sebuah fungsi dikatakan kontinu ketiganya tidak dipenuhi.
  • $(E)\ f\ \text{kontinu di}\ x=0$ benar, ketiga syarat sebuah fungsi dikatakan kontinu ketiganya dipenuhi.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ f\ \text{mempunyai turunan di}\ x=1$

109. Soal SBMPTN 2014 Kode 532 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right)=4$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right)=-3$, maka $\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} \lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right) & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right) & = -3 \\ \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) - \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = -3\ \ \ (+) \\ \hline 2\lim\limits_{x \to a} f(x) & = 1 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) & = \dfrac{1}{2} \end{align}$

Untuk $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \dfrac{1}{2}$ maka kita peroleh $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{7}{2}$ atau $\lim\limits_{x \to a} g(x) =\dfrac{2}{7}$.

Nilai $\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x)= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{14}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{2}{14}$

110. Soal SBMPTN 2014 Kode 514 |*Soal Lengkap

Jika $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right)=4$ dan $\lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right)=-3$, maka $\lim\limits_{x \to a} \left( f^{2}(x)+\dfrac{1}{g^{2}(x)} \right) =\cdots$
Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} \lim\limits_{x \to a} \left( f(x)+ \dfrac{1}{g(x)} \right) & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} \left( f(x)- \dfrac{1}{g(x)} \right) & = -3 \\ \hline \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = 4 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) - \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)} & = -3\ \ \ (+) \\ \hline 2\lim\limits_{x \to a} f(x) & = 1 \\ \lim\limits_{x \to a} f(x) & = \dfrac{1}{2} \end{align}$

Untuk $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \dfrac{1}{2}$ maka kita peroleh $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{7}{2}$.


$\begin{align} \text{Nilai}\ \lim\limits_{x \to a} \left( f^{2}(x)+\dfrac{1}{g^{2}(x)} \right) &= \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}+\left( \dfrac{7}{2} \right)^{2} \\ & = \dfrac{1}{4}+\dfrac{49}{4} \\ & =\dfrac{50}{4}=\dfrac{25}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{25}{2}$

111. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Jika $r$ dan $s$ merupakan bilangan real sehingga $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{rx+2x-2}-\sqrt{s \left( x+2 \right)}}{x-2}=K$, maka $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{rx+2x+r}-\sqrt{s \left( x+3 \right)}}{x^{2}-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlukan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:

  • Jika $x \longrightarrow 1$ maka $\left( x+1 \right) \longrightarrow 2$.
  • Jika dimisalkan $x+1=m$ maka $x=m-1$ dan $m \longrightarrow 2$.

Dari yang diketahui pada soal di atas dapat kita tuliskan:
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{rx+2x+r}-\sqrt{s \left( x+3 \right)}}{x^{2}-1} \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{r\left( m-1 \right)+2\left( m-1 \right)+r}-\sqrt{s \left( m-1+3 \right)}}{\left( m-1 \right)^{2}-1} \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{rm-r+2m-2+r}-\sqrt{s \left( m+2 \right)}}{m^{2}-2m+1-1} \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{rm+2m-2}-\sqrt{s \left( m+2 \right)}}{m^{2}-2m} \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{rm+2m-2}-\sqrt{s \left( m+2 \right)}}{m \left( m-2 \right)} \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \left( \dfrac{1}{m} \cdot \dfrac{\sqrt{rm+2m-2}-\sqrt{s \left( m+2 \right)}}{\left( m-2 \right)} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot K \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{1}{2}K$

112. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan real sehingga $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x}}-\sqrt{ax+b}}{x-2}=L$, maka $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{1+x^{3}}-\sqrt{ax+bx^{2}}}{\sqrt{2x}-1}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlukan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:

  • Jika $x \longrightarrow \frac{1}{2}$ maka $\frac{1}{x} \longrightarrow 2$.
  • Jika dimisalkan $\frac{1}{x}=m$ maka $\frac{1}{m}=x$ dan $m \longrightarrow 2$.

Dari yang diketahui pada soal di atas dapat kita tuliskan:
$ \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{1+x^{3}}-\sqrt{ax+bx^{2}}}{\sqrt{2x}-1} $
$= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{1+\left( \frac{1}{m} \right)^{3}}-\sqrt{a\left( \frac{1}{m} \right)+b\left( \frac{1}{m} \right)^{2}}}{\sqrt{2\left( \frac{1}{m} \right)}-1}$
$= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{1+\frac{1}{m^{3}}}-\sqrt{ \frac{a}{m}+ \frac{b}{m^{2}}}}{\sqrt{\frac{2}{m}}-1}$
$= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} \left( m^{2}+ \frac{1}{m} \right)}-\sqrt{ \frac{1}{m^{2}} \left( am+b \right)}}{\sqrt{\frac{2m}{m^{2}}}-1}$
$= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\frac{1}{m} \sqrt{ m^{2}+ \frac{1}{m} }-\frac{1}{m}\sqrt{ am+b }}{\frac{1}{m} \left(\sqrt{2m}-m \right)}$
$= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{ \sqrt{ m^{2}+ \frac{1}{m} }- \sqrt{ am+b }}{ \left(\sqrt{2m}-m \right)}$
$= \lim\limits_{m \to 2} \left( \dfrac{\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m}}- \sqrt{ am+b}}{ \sqrt{2m}-m} \cdot \dfrac{\sqrt{2m}+m}{\sqrt{2m}+m} \right)$
$= \lim\limits_{m \to 2} \left( \dfrac{\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m}}- \sqrt{ am+b}}{ 2m-m^{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2m}+m}{1} \right)$
$= \lim\limits_{m \to 2} \left( \dfrac{\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m}}- \sqrt{ am+b}}{ m-2} \cdot \dfrac{\sqrt{2m}+m}{-m} \right)$
$= L \cdot \dfrac{\sqrt{2(2)}+(2)}{-(2)} $
$= L \cdot \dfrac{2+2}{-2} $
$= -2L$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -2L$

113. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Jika $p$ dan $q$ merupakan bilangan real sehingga $\lim\limits_{x \to \frac{1}{3}} \dfrac{\sqrt{9x^{4}+3}-\sqrt{\frac{p}{x^{2}}+q}}{3x-1}=L$, maka $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{3x^{4}+9}-\sqrt{px^{6}+qx^{4}}}{x^{2}-9}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlukan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:

  • Jika $x \longrightarrow 3$ maka $\frac{1}{x} \longrightarrow \frac{1}{3}$.
  • Jika dimisalkan $\frac{1}{x}=m$ maka $\frac{1}{m}=x$ dan $m \longrightarrow \frac{1}{3}$.

Dari yang diketahui pada soal di atas dapat kita tuliskan:
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{3x^{4}+9}-\sqrt{px^{6}+qx^{4}}}{x^{2}-9} \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{\sqrt{3\left( \frac{1}{m} \right)^{4}+9}-\sqrt{p\left( \frac{1}{m} \right)^{6}+q\left( \frac{1}{m} \right)^{4}}}{\left( \frac{1}{m} \right)^{2}-9} \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{\sqrt{\frac{3}{m^{4}}+\frac{9m^{4}}{m^{4}}}-\sqrt{\frac{p}{m^{6}}+ \frac{q}{m^{4}}}}{\frac{1}{m^{2}}-9} \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{\sqrt{\frac{1}{m^{4}} \left(3+ 9m^{4} \right)}-\sqrt{\frac{1}{m^{4}} \left( \frac{p}{m^{2}}+ q \right)}}{\frac{1}{m^{2}} \left(1-9m^{2} \right)} \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{\frac{1}{m^{2}}\sqrt{3+ 9m^{4}}-\frac{1}{m^{2}}\sqrt{\frac{p}{m^{2}}+ q}}{\frac{1}{m^{2}} \left( 1-9m^{2} \right) } \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{ \sqrt{3+ 9m^{4}}- \sqrt{\frac{p}{m^{2}}+ q}}{ 1-9m^{2} } \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \dfrac{ \sqrt{9m^{4}+3}- \sqrt{\frac{p}{m^{2}}+ q}}{ -\left(3m+1 \right)\left(3m-1 \right) } \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{3}} \left( \dfrac{ \sqrt{9m^{4}+3}- \sqrt{\frac{p}{m^{2}}+ q}}{ \left(3m-1 \right) } \cdot \dfrac{1}{ -\left(3m+1 \right)} \right)\\ &= L \cdot \dfrac{1}{-2}\\ &= -\dfrac{L}{2} \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\frac{L}{2}$

114. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Jika $r$ dan $s$ merupakan bilangan real sehingga $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{1+\frac{r}{x^{2}}}-\sqrt{sx^{4}+1}}{1-2x}=L$, maka $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+rx^{4}}-\sqrt{\frac{s}{x^{2}}+x^{2}}}{x^{2}-4}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlukan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:

  • Jika $x \longrightarrow 2$ maka $\frac{1}{x} \longrightarrow \frac{1}{2}$.
  • Jika dimisalkan $\frac{1}{x}=m$ maka $\frac{1}{m}=x$ dan $m \longrightarrow \frac{1}{2}$.

Dari yang diketahui pada soal di atas dapat kita tuliskan:
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^{2}+rx^{4}}-\sqrt{\frac{s}{x^{2}}+x^{2}}}{x^{2}-4} \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{\left( \frac{1}{m} \right)^{2}+r\left( \frac{1}{m} \right)^{4}}-\sqrt{\frac{s}{\left( \frac{1}{m} \right)^{2}}+\left( \frac{1}{m} \right)^{2}}}{\left( \frac{1}{m} \right)^{2}-4} \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{ \frac{1}{m^{2}}+ \frac{r}{m^{4}}}-\sqrt{sm^{2}+ \frac{1}{m^{2}}}}{\frac{1}{m^{2}}-4} \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{ \frac{1}{m^{2}} \left( 1 + \frac{r}{m^{2}} \right)}-\sqrt{\frac{1}{m^{2}} \left(sm^{4}+ 1 \right)}}{\frac{1}{m^{2}} \left(1-4m^{2} \right)} \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \dfrac{\frac{1}{m}\sqrt{ 1 + \frac{r}{m^{2}}}-\frac{1}{m}\sqrt{sm^{4}+ 1}}{\frac{1}{m^{2}} \left(1-4m^{2} \right)} \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{ 1 + \frac{r}{m^{2}}}-\sqrt{sm^{4}+ 1}}{\frac{1}{m} \left(1-2m \right)\left(1+2m \right)} \\ &= \lim\limits_{m \to \frac{1}{2}} \left( \dfrac{\sqrt{ 1 + \frac{r}{m^{2}}}-\sqrt{sm^{4}+ 1}}{\left(1-2m \right)} \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{m}\left(1+2m \right)} \right) \\ &= L \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{\frac{1}{2}}\left(1+2 \cdot \frac{1}{2} \right)} \\ &= L \cdot \dfrac{1}{2\left(1+ 1 \right)} \\ &= \dfrac{L}{4} \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \frac{L}{4}$

115. Soal UTBK-SBMPTN 2022 |*Soal Lengkap

Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan real sehingga $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+\frac{4}{x}}-\sqrt{ax+b}}{x-2}=L$, maka $\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{x+4x^{3}}-\sqrt{ax+bx^{2}}}{1-4x^{2}}=\cdots$
Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlukan sedikit manipulasi aljabar, yaitu:

  • Jika $x \longrightarrow \frac{1}{2}$ maka $\frac{1}{x} \longrightarrow 2$.
  • Jika dimisalkan $\frac{1}{x}=m$ maka $\frac{1}{m}=x$ dan $m \longrightarrow 2$.

Dari yang diketahui pada soal di atas dapat kita tuliskan:
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} \dfrac{\sqrt{x+4x^{3}}-\sqrt{ax+bx^{2}}}{1-4x^{2}} \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{\left( \frac{1}{m} \right)+4\left( \frac{1}{m} \right)^{3}}-\sqrt{a\left( \frac{1}{m} \right)+b\left( \frac{1}{m} \right)^{2}}}{1-4\left( \frac{1}{m} \right)^{2}} \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{ \frac{1}{m} + \frac{4}{m^{3}}}-\sqrt{ \frac{a}{m} + \frac{b}{m^{2}}}}{1- \frac{4}{m^{2}}} \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{ \frac{1}{m^{2}} \left( m + \frac{4}{m} \right)}-\sqrt{ \frac{1}{m^{2}} \left( am + b \right)}}{ \frac{1}{m^{2}} \left( m^{2}-4 \right) } \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\frac{1}{m} \sqrt{ \left( m + \frac{4}{m} \right)}- \frac{1}{m} \sqrt{ \left( am + b \right)}}{ \frac{1}{m^{2}} \left( m -2 \right) \left( m+2 \right) } \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \dfrac{\sqrt{ \left( m + \frac{4}{m} \right)}- \sqrt{ \left( am + b \right)}}{ \frac{1}{m} \left( m -2 \right) \left( m+2 \right) } \\ &= \lim\limits_{m \to 2} \left( \dfrac{\sqrt{ \left( m + \frac{4}{m} \right)}- \sqrt{ \left( am + b \right)}}{ \left( m -2 \right) } \cdot \dfrac{1}{ \frac{1}{m} \left( m+2 \right) } \right) \\ &= L \cdot \dfrac{1}{ \frac{1}{2} \left( 2+2 \right) } \\ &= L \cdot \dfrac{1}{ 2 } \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \frac{L}{2}$


Beberapa pembahasan soal Limit Fungsi Aljabar di atas adalah coretan kreatif siswa pada:

  • lembar jawaban penilaian harian matematika,
  • lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
  • presentasi hasil diskusi matematika atau
  • pembahasan quiz matematika di kelas.

Catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
close