The good student, kita belajar matematika SMA dari Cara Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar Dengan Menggunakan Definisi Limit Fungsi Aljabar.
Notasi Limit Fungsi
Notasi limit fungsi: $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$
dibaca: "limit fungsi $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ sama dengan $L$ atau "limit fungsi $f(x)$ dengan $x$ mendekati $a$ sama dengan $L$.
Simbol $ \to $ pada limit fungsi dibaca "mendekati". Untuk $x \to a$ ada dua kemungkinan yaitu $x \to a^{-}$ dibaca $x$ mendekati $a$ dari kiri dan $x \to a^{+}$ dibaca $x$ mendekati $a$ dari kanan.
Bentuk di atas, jika digabung dengan limit fungsi penulisannya menjadi $\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)$ disebut limit kiri dan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)$ disebut limit kanan.
Definisi Limit Fungsi
Definisi limit fungsi dituliskan: Sebuah limit fungsi mempunyai nilai, Jika nilai $\text{Limit Kiri = Limit Kanan}$ secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ Maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.
Dari definisi limit fungsi di atas, secara sederhana dapat kita tuliskan, limit fungsi adalah nilai yang dihampiri (didekati) suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik tertentu.
Contoh 1:
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( 2x+1 \right)=\cdots$
Untuk menentukan nilai limit fungsi berdasarkan definisi limit, kita harus cari nilai limit kiri dan limit kanan dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to 2} \left( 2x+1 \right)$.
Limit kiri yaitu: $\lim\limits_{x \to 2^{-}} \left( 2x+1 \right)$
$x \to 2^{-}$ artinya nilai $x$ mendekati $2$ dari kiri. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $2$ dari kiri, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=2x+1$ |
|---|---|
| $1$ | $2(1)+1=3$ |
| $1,5$ | $2(1,5)+1=4$ |
| $1,8$ | $2(1,8)+1=4,6$ |
| $1,9$ | $2(1,9)+1=4,8$ |
| $1,999$ | $2(1,999)+1=4,998$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $2$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin mendekati $5$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 2^{-}} \left( 2x+1 \right)=5$.
Limit kanan yaitu: $\lim\limits_{x \to 2^{+}} \left( 2x+1 \right)$
$x \to 2^{+}$ artinya nilai $x$ mendekati dua dari kanan. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $2$ dari kanan, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=2x+1$ |
|---|---|
| $3$ | $2(3)+1=7$ |
| $2,5$ | $2(2,5)+1=6$ |
| $2,2$ | $2(2,2)+1=5,4$ |
| $2,1$ | $2(2,1)+1=5,2$ |
| $2,0001$ | $2(2,0001)+1=5,0002$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $2$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin mendekati $5$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 2^{+}} \left( 2x+1 \right)=5$.
Karena $\lim\limits_{x \to 2^{-}} \left( 2x+1 \right)=5$ dan $\lim\limits_{x \to 2^{+}} \left( 2x+1 \right)=5$ maka $\lim\limits_{x \to 2} \left( 2x+1 \right)=5$.
Dalam bentuk gambar $\lim\limits_{x \to 2} \left( 2x+1 \right)=5$ dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Contoh 2:
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right)=\cdots$
Untuk menentukan nilai limit fungsi berdasarkan definisi limit, kita harus cari nilai limit kiri dan limit kanan dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right)$.
Limit kiri yaitu: $\lim\limits_{x \to 1^{-}} \left( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right)$
$x \to 1^{-}$ artinya nilai $x$ mendekati $1$ dari kiri. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $1$ dari kiri, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} $ |
|---|---|
| $0$ | $\frac{0^{2}-1}{0-1}=1$ |
| $0,5$ | $\frac{0,5^{2}-1}{0,5-1}=1,5$ |
| $0,8$ | $\frac{0,8^{2}-1}{0,8-1}=1,8$ |
| $0,9$ | $\frac{0,9^{2}-1}{0,9-1}=1,9$ |
| $0,999$ | $\frac{0,999^{2}-1}{0,999-1}=1,999$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $1$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin mendekati $2$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 1^{-}} \left( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right)=2$.
Limit kanan yaitu: $\lim\limits_{x \to 1^{+}} \left( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right)$
$x \to 1^{+}$ artinya nilai $x$ mendekati $1$ dari kanan. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $1$ dari kanan, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} $ |
|---|---|
| $2$ | $\frac{2^{2}-1}{2-1}=3$ |
| $1,5$ | $\frac{1,5^{2}-1}{1,5-1}=2,5$ |
| $1,3$ | $\frac{1,3^{2}-1}{1,3-1}=2,3$ |
| $1,1$ | $\frac{1,1^{2}-1}{1,1-1}=2,1$ |
| $1,001$ | $\frac{1,001^{2}-1}{1,001-1}=2,001$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $1$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin mendekati $2$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 1^{+}} \left( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right)=2$.
Karena $\lim\limits_{x \to 1^{-}} \left( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right)=2$ dan $\lim\limits_{x \to 1^{+}} \left( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right)=2$ maka $\lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right)=2$.
Dalam bentuk gambar $\lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right)=2$ dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Contoh 3:
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x} \right)=\cdots$
Untuk menentukan nilai limit fungsi berdasarkan definisi limit, kita harus cari nilai limit kiri dan limit kanan dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x} \right)$.
Limit kiri yaitu: $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \left( \dfrac{1}{x} \right)$
$x \to 0^{-}$ artinya nilai $x$ mendekati $0$ dari kiri. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $0$ dari kiri, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=\frac{1}{x} $ |
|---|---|
| $-1$ | $\frac{1}{-1}=-1$ |
| $-0,5$ | $\frac{1}{-0,5}=-2$ |
| $-0,1$ | $\frac{1}{-0,1}=-10$ |
| $-0,001$ | $\frac{1}{-0,001}=-1.000$ |
| $-0,0001$ | $\dfrac{1}{-0,0001}=-10.000$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $0$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin kecil, yang dikenal dengan istilah negatif tak hingga $(-\infty)$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{ x-3 }{ x}=-\infty$.
Limit kanan yaitu: $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \left( \dfrac{1}{x} \right)$
$x \to 0^{+}$ artinya nilai $x$ mendekati $0$ dari kanan. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $0$ dari kanan, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=\frac{1}{x} $ |
|---|---|
| $1$ | $\frac{1}{1}=1$ |
| $0,5$ | $\frac{1}{0,5}=-2$ |
| $0,1$ | $\frac{1}{0,1}=10$ |
| $0,001$ | $\frac{1}{0,001}=1.000$ |
| $0,0001$ | $\frac{1}{0,0001}=10.000$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $0$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin kecil, yang dikenal dengan istilah negatif tak hingga $(-\infty)$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \left( \dfrac{1}{x} \right)=\infty$.
Karena $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \left( \dfrac{1}{x} \right)=-\infty$ dan $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \left( \dfrac{1}{x} \right)=\infty$ (limit kiri tidak sama dengan limit kanan) maka $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x} \right)$ tidak memiliki nilai limit.
Dalam bentuk gambar $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x} \right)$ tidak memiliki nilai limit dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Contoh 4:
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right)=\cdots$
Untuk menentukan nilai limit fungsi berdasarkan definisi limit, kita harus cari nilai limit kiri dan limit kanan dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right)$.
Limit kiri yaitu: $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right)$
$x \to 0^{-}$ artinya nilai $x$ mendekati $0$ dari kiri. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $0$ dari kiri, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=\frac{1}{x^{2}} $ |
|---|---|
| $-1$ | $\frac{1}{(-1)^{2}}=1$ |
| $-0,5$ | $\frac{1}{(-0,5)^{2}}=4$ |
| $-0,1$ | $\frac{1}{(-0,1)^{2}}=100$ |
| $-0,001$ | $\frac{1}{(-0,001)^{2}}=10^{6}$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $0$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin besar, yang dikenal dengan istilah tak hingga $(\infty)$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right)=\infty$.
Limit kanan yaitu: $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right)$
$x \to 0^{+}$ artinya nilai $x$ mendekati $0$ dari kanan. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $0$ dari kanan, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=\frac{1}{x^{2}} $ |
|---|---|
| $1$ | $\frac{1}{(1)^{2}}=1$ |
| $0,5$ | $\frac{1}{(0,5)^{2}}=4$ |
| $0,1$ | $\frac{1}{(0,1)^{2}}=100$ |
| $0,001$ | $\frac{1}{(0,001)^{2}}=10^{6}$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $0$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin besar, yang dikenal dengan istilah tak hingga $(\infty)$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right)=\infty$.
Karena $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right)=\infty$ dan $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right)=\infty$ maka $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right)=\infty$ (tak hingga).
Dalam bentuk gambar $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x^{2}} \right)=\infty$ dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Contoh 5:
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+3x} \right)=\cdots$
Untuk mempermudah perhitungan soal $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+3x} \right)$ masih bisa kita sederhanakan menjadi $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+3x} \right)= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\left( x+3 \right)\left( x-3 \right) }{ x \left( x+3 \right)} \right)= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x-3 }{ x} $.
Untuk menentukan nilai limit fungsi berdasarkan definisi limit, kita harus cari nilai limit kiri dan limit kanan dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x-3 }{ x} $.
Limit kiri yaitu: $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{ x-3 }{ x} $
$x \to 0^{-}$ artinya nilai $x$ mendekati $0$ dari kiri. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $0$ dari kiri, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=\frac{ x-3 }{ x} $ |
|---|---|
| $-1$ | $\frac{-1-3}{-1}=4$ |
| $-0,5$ | $\frac{-0,5-3}{-0,5}=7$ |
| $-0,1$ | $\frac{-0,1-3}{-0,1}=31$ |
| $-0,001$ | $\frac{-0,001-3}{-0,001}=3.001$ |
| $-0,0001$ | $\frac{-0,0001-3}{-0,0001}=30.001$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $0$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin besar, yang dikenal dengan istilah tak hingga $(\infty)$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{ x-3 }{ x}=\infty$.
Limit kanan yaitu: $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{ x-3 }{ x} $
$x \to 0^{+}$ artinya nilai $x$ mendekati $0$ dari kanan. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $0$ dari kanan, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=\frac{ x-3 }{ x}$ |
|---|---|
| $1$ | $\frac{ 1-3 }{1}=-2$ |
| $0,5$ | $\frac{ 0,5-3 }{ 0,5}=-5$ |
| $0,1$ | $\frac{ 0,1-3 }{ 0,1}=-29$ |
| $0,001$ | $\frac{ 0,001-3 }{ 0,001 }=-2.999$ |
| $0,0001$ | $\frac{ 0,0001-3 }{0,0001}=-29.999$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $0$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin kecil, yang dikenal dengan istilah negatif tak hingga $(-\infty)$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{ x-3 }{ x}=-\infty$.
Karena $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{ x-3 }{ x} =\infty$ dan $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{ x-3 }{ x} =-\infty$ maka $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x-3 }{ x}=\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+3x} \right)$ tidak mempunyai nilai limit.
Dalam bentuk gambar $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+3x} \right)$ tidak mempunyai nilai limit dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Contoh 6:
Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{x^{2}+3x-10}{x^{2}-2x-3} \right)=\cdots$
Untuk mempermudah perhitungan soal $\lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{x^{2}+3x-10}{x^{2}-2x-3} \right)$ masih bisa kita sederhanakan menjadi $\lim\limits_{x \to 3} \left( \dfrac{x^{2}+3x-10}{x^{2}-2x-3} \right)= \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)} $.
Untuk menentukan nilai limit fungsi berdasarkan definisi limit, kita harus cari nilai limit kiri dan limit kanan dari limit fungsi $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)} $.
Limit kiri yaitu: $\lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)} $
$x \to 3^{-}$ artinya nilai $x$ mendekati $3$ dari kiri. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $3$ dari kiri, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=\dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)}$ |
|---|---|
| $2$ | $\frac{\left( 2+5 \right)\left( 2-2 \right) }{ \left( 2-3 \right)\left( 2+1 \right)}=0$ |
| $2,5$ | $\frac{\left( 2,5+5 \right)\left( 2,5-2 \right) }{ \left( 2,5-3 \right)\left( 2,5+1 \right)}=-2,14...$ |
| $2,8$ | $\frac{\left( 2,8+5 \right)\left( 2,8-2 \right) }{ \left( 2,8-3 \right)\left( 2,8+1 \right)}=-8,21...$ |
| $2,9$ | $\frac{\left( 2,9+5 \right)\left( 2,9-2 \right) }{ \left( 2,9-3 \right)\left( 2,9+1 \right)}=-18,23...$ |
| $2,999$ | $\frac{\left( 2,999+5 \right)\left( 2,999-2 \right) }{ \left( 2,999-3 \right)\left( 2,999+1 \right)}=-1998,24...$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $3$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin kecil, yang dikenal dengan istilah negatif tak hingga $(-\infty)$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)} = -\infty$.
Limit kanan yaitu: $\lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)} $
$x \to 3^{+}$ artinya nilai $x$ mendekati $3$ dari kanan. Ada banyak nilai $x$ yang mendekati $3$ dari kanan, disini kita pilih sebagai contoh adalah lima nilai $x$.
| $x$ | $f(x)=\dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)}$ |
|---|---|
| $4$ | $\frac{\left( 4+5 \right)\left( 4-2 \right) }{ \left( 4-3 \right)\left( 4+1 \right)}=3,6$ |
| $3,5$ | $\frac{\left( 3,5+5 \right)\left( 3,5-2 \right) }{ \left( 3,5-3 \right)\left( 3,5+1 \right)}=5,66...$ |
| $3,2$ | $\frac{\left( 3,2+5 \right)\left( 3,2-2 \right) }{ \left( 3,2-3 \right)\left( 3,2+1 \right)}=11,71...$ |
| $3,1$ | $\frac{\left( 3,1+5 \right)\left( 3,1-2 \right) }{ \left( 3,1-3 \right)\left( 3,1+1 \right)}=21,73...$ |
| $3,001$ | $\frac{\left( 3,001+5 \right)\left( 3,001-2 \right) }{ \left( 3,001-3 \right)\left( 3,001+1 \right)}=2001,74...$ |
Jika kita teruskan perhitungan di atas untuk nilai $x$ yang semakin dekat ke $3$ maka akan kita peroleh nilai $f(x)$ yang semakin besar, yang dikenal dengan istilah tak hingga $(\infty)$, sehingga dapat kita peroleh nilai $\lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)} = \infty$.
Karena $\lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)} = -\infty$ dan $\lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)} = \infty$ maka $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)}$ tidak mempunyai nilai limit.
Dalam bentuk gambar $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-2 \right) }{ \left( x-3 \right)\left( x+1 \right)}$ tidak mempunyai nilai limit dapat kita gambarkan seperti berikut ini:
Soal-soal limit fungsi aljabar yang sudah pernah diujikan pada seleksi masuk perguruan tinggi negeri secara mandiri atau nasional, silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika SMA Limit Fungsi Aljabar.
Catatan Cara Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar Dengan Menggunakan Definisi Limit Fungsi Aljabar di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
